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- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlängen bei einer maßstäblichen Vergrößerung zusammen? - Wenn sich alle Längen verdoppeln, was passiert dann mit der Fläche? - Überlege, ob der Umfang eine Fläche oder eine Länge ist.

1. Berechnung des Flächenverhältnisses: \(\frac{A_{neu}}{A_{alt}} = \frac{12{,}5\,\text{m}^2}{2\,\text{m}^2} = 6{,}25\). 2. Da bei einer maßstäblichen Vergrößerung das Flächenverhältnis dem Quadrat des Streckungsfaktors \(k\) entspricht, gilt: \(k^2 = 6{,}25\). 3. Berechnung des Streckungsfaktors für die Längen: \(k = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). 4. Da der Umfang eine Summe von Seitenlängen ist, vergrößert er sich proportional zu den Seitenlängen, also ebenfalls um den Faktor \(k = 2{,}5\).

Die Seitenlängen wurden um den Faktor \(2{,}5\) vergrößert. Der Umfang hat sich ebenfalls um den Faktor \(2{,}5\) vergrößert.

- Schreibe den Prozentsatz zuerst als Dezimalzahl. - Wenn du den Faktor für die Seitenlängen hast, wie viel fehlt dann noch zum ursprünglichen Ganzen (\(100\,\%\))? - Überlege dir ein Beispiel: Was passiert mit einer Seitenlänge von \(10\,\text{cm}\), wenn der Faktor \(0{,}8\) ist?

1. Das Flächenverhältnis beträgt \(0{,}64\), da die neue Fläche \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche entspricht. 2. Es gilt der Zusammenhang \(k^2 = 0{,}64\). 3. Berechnung des Faktors \(k\): \(k = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). Die Seitenlängen müssen mit \(0{,}8\) multipliziert werden. 4. Berechnung der prozentualen Abnahme: Eine Multiplikation mit \(0{,}8\) entspricht einem neuen Wert von \(80\,\%\). Die Abnahme beträgt somit \(100\,\% - 80\,\% = 20\,\%\).

a) Die Seitenlängen müssen mit dem Faktor \(k = 0{,}8\) multipliziert werden. b) Die Seitenlänge des Quadrats nimmt um \(20\,\%\) ab.

- Überlege zuerst, wie sich der neue Radius mathematisch als Vielfaches des alten Radius ausdrücken lässt. - Welche Formel verbindet den Radius eines Kreises mit seinem Flächeninhalt? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius \(r\) mit einem Faktor multipliziert wird? - Denke an das Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Eine Vergrößerung des Radius um \(25\,\%\) entspricht einem neuen Radius von \(125\,\%\) des ursprünglichen Wertes, also \(k = 1{,}25\). 2. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Längen- und Flächenänderung: Bei ähnlichen Figuren verhalten sich die Flächeninhalte wie das Quadrat des Ähnlichkeitsfaktors: \(A_{neu} = k^2 \cdot A_{alt}\). 3. Berechnung des neuen Flächenfaktors: \(k^2 = 1{,}25^2 = 1{,}5625\). 4. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}5625\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5625\), was \(56{,}25\,\%\) entspricht.

Der Flächeninhalt des Kreises vergrößert sich um \(56{,}25\,\%\).

- Was bedeutet ein Maßstab wie \(1:500\) für die Länge einer Linie auf dem Papier im Vergleich zur Wirklichkeit? - Vergleiche die Maßstäbe: Um welchen Faktor wird eine Strecke gezeichnet, wenn man von \(1:500\) zu \(1:200\) wechselt? - Wenn du den Längenfaktor kennst, wie verändert sich dann die Fläche?

1. Bestimmung des Längenverhältnisses zwischen den Plänen: Der Maßstab \(1:200\) bedeutet, dass Strecken im Vergleich zum Maßstab \(1:500\) vergrößert dargestellt werden. Der Streckungsfaktor \(k\) von Plan 1 zu Plan 2 berechnet sich aus dem Verhältnis der Maßstabszahlen: \(k = \frac{500}{200} = 2{,}5\). 2. Anwendung des Flächenverhältnisses: Da die Pläne zueinander ähnlich sind, verhalten sich die Flächen wie \(k^2\). 3. Berechnung des Flächenfaktors: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\). 4. Schlussfolgerung: Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

- Wie verhält sich das Volumen, wenn sich die Seitenlängen um einen bestimmten Faktor ändern? - Achte auf die Einheitenumrechnung von Kubikmetern in Kubikzentimeter. - Überlege zuerst, um welchen Faktor das Modellvolumen kleiner als das Originalvolumen ist.

1. Bestimmung des Längenmaßstabs: \(k = \frac{1}{20}\). 2. Berechnung des Volumenmaßstabs: \(k^3 = \left(\frac{1}{20}\right)^3 = \frac{1}{8\,000}\). 3. Berechnung des Modellvolumens in \(\text{m}^3\): \(V_{\text{Modell}} = 12\,\text{m}^3 : 8\,000 = 0{,}0015\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in \(\text{cm}^3\): Da \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\), folgt \(0{,}0015 \cdot 1\,000\,000\,\text{cm}^3 = 1\,500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Modells beträgt \(1\,500\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, welcher Streckungsfaktor \(k\) einer Erhöhung von \(40\,\%\) entspricht. - Wie hängen der Streckungsfaktor der Längen und der Faktor für den Flächeninhalt zusammen? - Welche Potenz des Streckungsfaktors wird benötigt, um das Volumen zu berechnen? - Denk daran, dass die Zunahme der Teil ist, der über \(100\,\%\) des ursprünglichen Wertes hinausgeht.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Eine Erhöhung der Seitenlänge um \(40\,\%\) entspricht einem Faktor von \(k = 1 + 0{,}4 = 1{,}4\). 2. Berechnung des Flächenfaktors: Der Flächeninhalt skaliert mit \(k^2\). Es gilt \(1{,}4^2 = 1{,}96\). 3. Ermittlung der prozentualen Flächenzunahme: Ein Faktor von \(1{,}96\) bedeutet eine Zunahme um \(1{,}96 - 1 = 0{,}96\), also um \(96\,\%\). 4. Berechnung des Volumenfaktors: Das Volumen skaliert mit \(k^3\). Es gilt \(1{,}4^3 = 2{,}744\). 5. Ermittlung der prozentualen Volumenzunahme: Ein Faktor von \(2{,}744\) entspricht einer Zunahme um \(2{,}744 - 1 = 1{,}744\), also um \(174{,}4\,\%\).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(96\,\%\). b) Das Volumen vergrößert sich um \(174{,}4\,\%\).

- Überlege zuerst, wie du aus zwei gegebenen Werten einer Zeile das feste Verhältnis berechnen kannst. - Bleibt dieses Verhältnis für alle Zeilen gleich? - Wie kannst du die Formel für das Verhältnis umstellen, um eine fehlende Länge zu berechnen?

1. Berechnung des konstanten Streckungsfaktors \(k\) aus der ersten Zeile: \(k = \frac{13{,}75}{5{,}5} = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Originallänge in der zweiten Zeile: \(l = \frac{l'}{k} = \frac{21{,}25}{2{,}5} = 8{,}5\,\text{cm}\). 3. Bestimmung der Bildlänge in der dritten Zeile: \(l' = l \cdot k = 12 \cdot 2{,}5 = 30\,\text{cm}\). 4. Der konstante Wert für die Spalte \(k\) ist in allen Zeilen \(2{,}5\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><th>Originallänge \(l\) in \(\text{cm}\)</th><th>Bildlänge \(l'\) in \(\text{cm}\)</th><th>Streckungsfaktor \(k = \frac{l'}{l}\)</th></tr> <tr><td>\(5{,}5\)</td><td>\(13{,}75\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(8{,}5\)</td><td>\(21{,}25\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(30\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> </table>

- Überlege, wie sich die Fläche verändert, wenn beide Dimensionen (Länge und Breite) mit demselben Faktor gestreckt werden. - Welche Rechenoperation musst du auf den Streckfaktor anwenden, um die Flächenänderung zu bestimmen?

1. Zusammenhang zwischen Streckfaktor \(k\) und Flächeninhalt \(A\) identifizieren: \(A' = A \cdot k^2\). 2. Gegebene Werte einsetzen: \(A' = 80 \cdot 1{,}5^2\). 3. Quadrat des Streckfaktors berechnen: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 4. Endgültigen Flächeninhalt berechnen: \(80 \cdot 2{,}25 = 180\). Das neue Logo hat einen Flächeninhalt von \(180\,\text{cm}^2\).

\(180\,\text{cm}^2\)

- Was bedeutet es für die Längen einer Figur, wenn die Fläche um einen bestimmten Faktor wächst? - Ist eine Höhe eine Längenangabe oder eine Flächenangabe? - Welche mathematische Operation kehrt das Quadrieren um?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Streckungsfaktors \(k\): \(\frac{A'}{A} = k^2 = 2{,}25\). 2. Bestimmung des Streckungsfaktors für Längen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 3. Höhen sind Streckenlängen. Bei ähnlichen Figuren verhalten sich alle entsprechenden Längen wie der Streckungsfaktor \(k\). 4. Somit gilt für das Verhältnis der Höhen: \(\frac{h_a'}{h_a} = k = 1{,}5\). Das Verhältnis ist \(1{,}5 : 1\) oder \(3 : 2\).

Die Höhe \(h_a'\) verhält sich zur Höhe \(h_a\) wie \(1{,}5 : 1\) (oder \(3 : 2\)). Die Höhe des vergrößerten Dreiecks ist also das \(1{,}5\)-fache der ursprünglichen Höhe.

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen. - Wenn sich Längen um einen Faktor \(k\) ändern, wie ändern sich dann Flächeninhalte? - Wie hängen der Streckfaktor der Längen und der Faktor für das Volumen zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikmetern.

1. Berechnung des Ähnlichkeitsfaktors: Umrechnung der Einheiten auf \(\text{cm}\): \(12\,\text{m} = 1\,200\,\text{cm}\). Der Faktor ist \(k = \frac{30}{1\,200} = \frac{1}{40} = 0{,}025\). Dies entspricht dem Maßstab \(1:40\). 2. Verhältnis der Oberflächen: Das Verhältnis der Flächen entspricht \(k^2\) bzw. dem Kehrwert \(\left(\frac{1}{k}\right)^2\). Mit \(\frac{1}{k} = 40\) ergibt sich \(40^2 = 1\,600\). Die echte Fläche ist \(1\,600\)-mal so groß. 3. Berechnung des Volumens: Das Volumen skaliert mit \(k^3\). Das Verhältnis der Volumina ist \(40^3 = 64\,000\). 4. Berechnung des realen Volumens: \(27\,\text{l} \cdot 64\,000 = 1\,728\,000\,\text{l}\). Da \(1\,000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\) gilt, beträgt das Volumen \(1\,728\,\text{m}^3\).

a) Der Ähnlichkeitsfaktor beträgt \(k = \frac{1}{40} = 0{,}025\); der Maßstab ist \(1:40\). b) Die Außenfläche des Originals ist \(1\,600\)-mal so groß wie die des Modells. c) Der echte Wasserturm fasst \(1\,728\,\text{m}^3\).

- Was passiert mit der zweiten Seite, wenn die erste Seite um einen bestimmten Faktor vergrößert wird und die Form gleich bleiben soll? - Wenn eine Fläche verneunfacht wird, um welchen Faktor müssen dann die einzelnen Seiten gestreckt worden sein? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Längenfaktor \(k\) und dem Flächenfaktor.

1. Berechnung des Seitenverhältnisses oder des Faktors für Teil a: Die Breite wird von \(10\,\text{cm}\) auf \(60\,\text{cm}\) vergrößert, also \(k = \frac{60}{10} = 6\). Die Länge muss ebenfalls mit \(k=6\) multipliziert werden: \(15\,\text{cm} \cdot 6 = 90\,\text{cm}\). 2. Zusammenhang zwischen Fläche und Faktor für Teil b: Das Flächenverhältnis entspricht \(k^2\). Es gilt \(k^2 = 9\), woraus folgt \(k = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung der neuen Seitenlängen für Teil b: \(a_{neu} = 10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(b_{neu} = 15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\).

a) Die Länge des Posters beträgt \(90\,\text{cm}\). b) Der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k = 3\). Die Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\).

- Wie hängen der Längenmaßstab und der Volumenmaßstab zusammen? - Kannst du aus dem Verhältnis der Volumina auf das Verhältnis der Längen schließen? - Wenn du den Längenmaßstab kennst, wie berechnest du dann das Verhältnis der Oberflächen? - Denke an die Umrechnung zwischen \(\text{dm}^2\) und \(\text{m}^2\).

1. Umrechnung der Volumina auf eine Einheit: \(V_{\text{Skulptur}} = 270\,\text{m}^3 = 270\,000\,\text{dm}^3\). 2. Berechnung des Volumenverhältnisses: \(\frac{V_{\text{Skulptur}}}{V_{\text{Modell}}} = \frac{270\,000}{10} = 27\,000\). 3. Bestimmung des Längenmaßstabs: \(n^3 = 27\,000 \Rightarrow n = \sqrt[3]{27\,000} = 30\). Der Maßstab ist \(1:30\). 4. Berechnung der echten Oberfläche: \(A_{\text{Skulptur}} = A_{\text{Modell}} \cdot 30^2 = 25\,\text{dm}^2 \cdot 900 = 22\,500\,\text{dm}^2\). 5. Umrechnung in \(\text{m}^2\): \(22\,500\,\text{dm}^2 : 100 = 225\,\text{m}^2\).

a) Der Maßstab beträgt \(1:30\). b) Die Oberfläche der Skulptur beträgt \(225\,\text{m}^2\).

- Was passiert mit dem Rauminhalt, wenn man einen Körper in alle drei Richtungen gleichmäßig streckt? - Wie verändert sich eine Fläche, wenn man die Seitenlängen verdoppelt? - Wenn das Volumen um den Faktor 2 wachsen soll, welcher mathematische Zusammenhang besteht dann zur Kantenlänge?

1. Zu a): Bei Verdoppelung der Kantenlängen ist \(k=2\). Das Volumen vergrößert sich um \(k^3 = 2^3 = 8\). Neues Volumen: \(80\,\text{l} \cdot 8 = 640\,\text{l}\). 2. Zu b): Die Oberfläche verhält sich wie \(k^2\). Bei \(k=2\) gilt \(k^2 = 2^2 = 4\). Der Materialbedarf vervierfacht sich also. 3. Zu c): Gesucht ist \(k\), sodass \(V_{\text{neu}} = k^3 \cdot V_{\text{alt}}\). Hier soll \(k^3 = 2\) sein. 4. Berechnung von \(k\): \(k = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\). Gerundet müssen die Kantenlängen um den Faktor \(1{,}26\) vergrößert werden.

a) Das Fassungsvermögen beträgt \(640\,\text{l}\). b) Der Materialbedarf vervierfacht sich, da die Oberfläche mit dem Quadrat des Längenmaßstabs (\(2^2 = 4\)) wächst. c) Die Kantenlängen müssen um den Faktor \(\approx 1{,}26\) vergrößert werden.

- Denk an den Unterschied zwischen Längenwachstum und Flächenwachstum. - Wenn eine Fläche um einen bestimmten Faktor wächst, wie viel Prozent kommen dann zum ursprünglichen Wert (\(100\,\%\)) hinzu? - Was passiert mit der Fläche, wenn du die Seitenlängen verdoppelst? Probier es im Kopf mit einem Quadrat aus.

1. Berechnung des Flächenverhältnisses bei \(k = 1{,}5\): \(k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\). 2. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(2{,}25\) entspricht \(225\,\%\) der ursprünglichen Fläche. Die Zunahme beträgt somit \(225\,\% - 100\,\% = 125\,\%\). 3. Überprüfung der Behauptung: Bei Verdopplung der Seiten (\(k = 2\)) vervierfacht sich die Fläche (\(k^2 = 4\)), die Aussage ist also falsch. 4. Berechnung des korrekten Faktors für Flächenverdopplung: Gesucht ist \(k\) mit \(k^2 = 2\). Daraus folgt \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

a) Der Flächeninhalt hat sich um \(125\,\%\) vergrößert. b) Die Aussage ist falsch (die Fläche würde sich vervierfachen). Die Seitenlängen müssten mit dem Faktor \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) multipliziert werden.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Volumina bei ähnlichen Körpern? - Berechne zuerst den Faktor, mit dem die Höhe vergrößert wurde. - Beachte den Unterschied zwischen Längen-, Flächen- und Volumenänderungen bei maßstäblichen Vergrößerungen.

1. Berechnung des Längenfaktors \(k\) zwischen den Modellen: \(k = \frac{40\,\text{cm}}{25\,\text{cm}} = 1{,}6\). 2. Anwendung des Volumenverhältnisses für ähnliche Körper: \(V_2 = V_1 \cdot k^3\). 3. Einsetzen der Werte: \(V_2 = 1{,}2\,\text{dm}^3 \cdot 1{,}6^3 = 1{,}2\,\text{dm}^3 \cdot 4{,}096 = 4{,}9152\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, beträgt das Volumen \(4{,}9152\,\text{l}\).

Das Volumen des größeren Modells beträgt \(4{,}9152\,\text{l}\).

- Wie hängen das Verhältnis der Flächen und das Verhältnis der Längen bei maßstäblichen Abbildungen zusammen? - Achte darauf, zuerst das Verhältnis der Flächeninhalte zu bestimmen, bevor du auf die Längen schließt. - Vergiss nicht, am Ende die Einheiten wie gefordert umzurechnen.

1. Bestimmung des Flächenverhältnisses: \(\frac{A_{\text{Real}}}{A_{\text{Modell}}} = \frac{450}{0{,}5} = 900\). 2. Berechnung des Längenverhältnisses (Maßstabszahl) durch Wurzelziehen: \(k = \sqrt{900} = 30\). 3. Angabe des Maßstabs als Verhältnis von Modell zu Realität: \(1:30\). 4. Berechnung der Modelllänge: \(l_{\text{Modell}} = \frac{45\,\text{m}}{30} = 1{,}5\,\text{m}\). 5. Umrechnung der Einheit: \(1{,}5\,\text{m} = 150\,\text{cm}\).

a) Der Maßstab beträgt \(1:30\). b) Die Mauer ist im Modell \(150\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, was passiert, wenn man eine Figur mit einer Lupe betrachtet – ändern sich dabei die Winkel? - Was würde passieren, wenn man einen rechten Winkel (\(90^\circ\)) verdreifachen würde? Wäre das Ergebnis noch ein Teil eines Dreiecks? - Erinnere dich an die Definition von Ähnlichkeit: Was bleibt gleich, was ändert sich?

1. Bestimmung des dritten Winkels im Ausgangsdreieck \(PQR\): \(\angle R = 180^\circ - 55^\circ - 35^\circ = 90^\circ\). 2. Anwendung der Eigenschaft der Winkeltreue bei Ähnlichkeitsabbildungen (wie der zentrischen Streckung): Die Winkelweiten bleiben unverändert. 3. Ergebnis für Teil a): Die Winkel im Bilddreieck sind \(\angle P' = 55^\circ\), \(\angle Q' = 35^\circ\) und \(\angle R' = 90^\circ\). 4. Beurteilung für Teil b): Die Aussage des Schülers ist falsch. Bei einer Ähnlichkeitsabbildung ändern sich zwar die Seitenlängen proportional, aber die Form des Dreiecks und damit die Winkel bleiben gleich (Invarianten der Abbildung). Eine Verdreifachung der Winkel würde zudem die Innenwinkelsumme von \(180^\circ\) verletzen.

a) Die Winkel im Dreieck \(P'Q'R'\) sind \(55^\circ\), \(35^\circ\) und \(90^\circ\). b) Die Aussage ist falsch. Bei einer Ähnlichkeitsabbildung (wie der Streckung) sind Bild- und Originalfigur winkeltreu. Die Winkel bleiben immer gleich groß, unabhängig vom Streckfaktor \(k\).

- Wie hängen der Längenmaßstab und der Flächenmaßstab bei ähnlichen Figuren zusammen? - Wenn eine Länge verdoppelt wird, vervierfacht sich die Fläche. Was passiert bei einer Verfünfzigfachung? - Achte auf die Einheitenumrechnung von \(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\).

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): Da der Maßstab \(1:50\) von Modell zu Realität ist, gilt \(k = 50\). 2. Berechnung des Flächenverhältnisses: Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht \(k^2\), also \(50^2 = 2\,500\). 3. Berechnung der realen Fläche: \(120\,\text{cm}^2 \cdot 2\,500 = 300\,000\,\text{cm}^2\). 4. Umrechnung in Quadratmeter: \(300\,000\,\text{cm}^2 : 10\,000 = 30\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der realen Länge: \(15\,\text{cm} \cdot 50 = 750\,\text{cm}\). 6. Umrechnung in Meter: \(750\,\text{cm} : 100 = 7{,}5\,\text{m}\).

a) Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{m}^2\). b) Die Seite ist in der Realität \(7{,}5\,\text{m}\) lang.

- Wenn zwei Körper ähnlich sind, gilt das Verhältnis für alle entsprechenden Längen, also auch für Radius und Höhe. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Längenverhältnis \(k\), Flächenverhältnis \(k^2\) und Volumenverhältnis \(k^3\). - Wie berechnet man \(k\), wenn \(k^3\) bekannt ist? - Achte beim Prozentwert darauf, ob nach dem neuen Gesamtwert oder nur nach der Zunahme gefragt ist.

1. Bestimmung des Faktors für Teil a): Da der Radius verdoppelt wird und die Körper ähnlich sind, beträgt der Streckungsfaktor \(k = 2\). Das Volumen skaliert mit \(k^3 = 2^3 = 8\). Somit passt das kleine Volumen \(8\)-mal in das große. 2. Berechnung für Teil b): Die Mantelfläche skaliert mit \(k^2 = 2^2 = 4\). Eine Vervierfachung entspricht einer Zunahme um \(300\,\%\). 3. Berechnung für Teil c): Gegeben ist der Volumenfaktor \(k^3 = 27\). Daraus folgt durch Ziehen der Kubikwurzel der Streckungsfaktor \(k = \sqrt[3]{27} = 3\). 4. Oberflächenzunahme für Teil c): Die Oberfläche skaliert mit \(k^2 = 3^2 = 9\). Eine Verneunfachung bedeutet eine Zunahme um \(800\,\%\).

a) Es müssten \(8\) Gefäße entleert werden. b) Die Mantelfläche ist um \(300\,\%\) größer. c) Der Streckungsfaktor beträgt \(k = 3\); die Oberfläche ist um \(800\,\%\) größer.

- Was bedeutet ein Maßstab von \(1:50\) für die Umrechnung von Planmaßen in reale Maße? - Wie verhält sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis ändern? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Längenstreckfaktor \(k\) und dem Flächenfaktor \(k^2\).

1. Berechnung der realen Maße: Die Länge beträgt \(12\,\text{cm} \cdot 50 = 600\,\text{cm} = 6\,\text{m}\). Die Breite beträgt \(8\,\text{cm} \cdot 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\). 2. Berechnung des realen Flächeninhalts: \(A = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung des neuen Maßstabs: Wenn die Fläche vervierfacht wird (\(k^2 = 4\)), verdoppeln sich die Seitenlängen im Plan (\(k = 2\)). Die neuen Planmaße sind \(24\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\). Der Maßstab berechnet sich aus \(\frac{24\,\text{cm}}{600\,\text{cm}} = \frac{1}{25}\). Der neue Maßstab ist somit \(1:25\).

a) Das Zimmer ist in der Realität \(6\,\text{m}\) lang und \(4\,\text{m}\) breit. b) Der reale Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). c) Der neue Maßstab ist \(1:25\).

- Achte darauf, dass alle Volumenangaben in derselben Einheit (z. B. \(\text{dm}^3\)) vorliegen, bevor du rechnest. - Der Maßstab bezieht sich immer auf die Längen des Objekts, nicht auf das Volumen. - Wenn du den Volumenfaktor kennst, wie bestimmst du daraus den Längenfaktor?

1. Umrechnung der Einheiten auf eine gemeinsame Basis: \(54\,\text{m}^3 = 54\,000\,\text{dm}^3\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Volumenfaktor: \(V_{\text{Real}} = V_{\text{Modell}} \cdot k^3\). 3. Berechnung des Volumenverhältnisses: \(k^3 = \frac{54\,000}{16} = 3\,375\). 4. Bestimmung des Längenfaktors durch Ziehen der Kubikwurzel: \(k = \sqrt[3]{3\,375} = 15\). 5. Angabe des Maßstabs als Verhältnis der Längen: Der Maßstab ist \(1:15\).

Das Modell wurde im Maßstab \(1:15\) gebaut.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege, wie sich Streckenlängen verändern, wenn eine Figur maßstäblich vergrößert wird. - Gibt es einen festen Zusammenhang zwischen dem Streckenverhältnis und dem Flächenverhältnis bei ähnlichen Figuren?

1. Umfang des Originals berechnen: \(U_{\text{alt}} = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) = 50\,\text{cm}\). 2. Umfang der Vergrößerung in Zentimeter umrechnen: \(U_{\text{neu}} = 150\,\text{cm}\). 3. Vergrößerungsfaktor \(k\) bestimmen: \(k = \frac{U_{\text{neu}}}{U_{\text{alt}}} = \frac{150}{50} = 3\). 4. Neue Seitenlängen berechnen: \(10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\). 5. Flächenverhältnis bestimmen: Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Streckungsfaktors, also \(k^2 = 3^2 = 9\). Das Verhältnis beträgt \(1:9\).

a) Der Vergrößerungsfaktor ist \(k = 3\). b) Die neuen Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\). c) Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(1:9\).

- Was bedeutet es für das Verhältnis der Seiten, wenn zwei Figuren zueinander ähnlich sind? - Berechne zuerst den Faktor, um den die Seiten verlängert wurden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Untersuche, wie sich das Quadrat des Längenverhältnisses zum Flächenverhältnis verhält.

1. Bestimmung des Streckungsfaktors \(k\): \(k = \frac{b'}{b} = \frac{22{,}5}{15} = 1{,}5\). 2. Berechnung der neuen kurzen Seite \(a'\): \(a' = 10 \cdot 1{,}5 = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_{alt} = 10 \cdot 15 = 150\,\text{cm}^2\) und \(A_{neu} = 15 \cdot 22{,}5 = 337{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnis der Flächeninhalte: \(A_{neu} : A_{alt} = 337{,}5 : 150 = 2{,}25 : 1 = 9 : 4\). 5. Vergleich mit \(k\): Es gilt \(2{,}25 = 1{,}5^2\); der Zahlenwert des Flächenfaktors ist also \(k^2\).

a) Die neue kurze Seite beträgt \(a' = 15\,\text{cm}\). b) Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(A_{neu} : A_{alt} = 2{,}25 : 1 = 9 : 4\). Der Flächenfaktor entspricht \(k^2\).

- Wie ändert sich das Volumen eines Körpers, wenn alle drei Raumdimensionen vergrößert werden? - Erinnerst du dich an die Regel zur Potenzierung von Brüchen? - Kannst du den Bruch vor der Multiplikation mit dem Volumen kürzen?

1. Zusammenhang zwischen Streckfaktor \(k\) und Volumen \(V\) identifizieren: \(V' = V \cdot k^3\). 2. Potenz des Bruchs berechnen: \(\left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{6^3}{5^3} = \frac{216}{125}\). 3. Multiplikation mit dem Ausgangsvolumen durchführen: \(250 \cdot \frac{216}{125}\). 4. Ausdruck vereinfachen und berechnen: \(\frac{250}{125} \cdot 216 = 2 \cdot 216 = 432\). Das Volumen des größeren Körpers beträgt \(432\,\text{cm}^3\).

\(432\,\text{cm}^3\)

- Betrachte die Schritte nacheinander: Zuerst die Beziehung zwischen A und B, dann zwischen B und C. - Wie hängen die Streckungsfaktoren zusammen, wenn man über eine Zwischenstufe vergrößert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Längenänderung auf den Flächeninhalt auswirkt.

1. Teilaufgabe a: Berechnung des Flächenverhältnisses \(\frac{A_B}{A_A} = \frac{1250}{200} = 6{,}25\). Der Längenstreckungsfaktor ist \(k_{AB} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\). Das Verhältnis der Seitenlängen von A zu B ist somit \(1 : 2{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Da \(U_C = 2 \cdot U_B\), ist der Streckungsfaktor von B nach C \(k_{BC} = 2\). 3. Der Gesamtstreckungsfaktor von A nach C ist \(k_{AC} = k_{AB} \cdot k_{BC} = 2{,}5 \cdot 2 = 5\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte von C zu A ist \(k_{AC}^2 = 5^2 = 25\). Der Flächeninhalt von Modell C ist also 25-mal so groß wie der von Modell A.

a) Das Verhältnis der Seitenlängen von Modell A zu Modell B beträgt \(1 : 2{,}5\). b) Der Flächeninhalt von Modell C ist 25-mal so groß wie der von Modell A.

- Nutze das Verhältnis der gegebenen Oberflächen, um zuerst auf \(k^2\) und dann auf \(k\) zu schließen. - Überlege, wie sich die Masse verhält, wenn sich das Volumen eines Objekts bei gleichbleibendem Material ändert. - Wenn die Masse verdoppelt wird, welcher Faktor gilt dann für das Volumen? - Wie gelangst du vom Volumenfaktor zum Flächenfaktor?

1. Berechnung des Streckungsfaktors \(k\): Aus dem Verhältnis der Oberflächen folgt \(k^2 = \frac{1{,}8}{0{,}8} = 2{,}25\). Somit ist \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 2. Berechnung der Masse der größeren Skulptur: Da die Masse bei gleicher Dichte proportional zum Volumen ist, gilt \(m_{\text{groß}} = k^3 \cdot m_{\text{klein}}\). Mit \(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\) ergibt sich \(m_{\text{groß}} = 3{,}375 \cdot 15\,\text{kg} = 50{,}625\,\text{kg}\). 3. Berechnung für die dritte Version: Das Volumenverhältnis zur kleinsten Skulptur beträgt \(k^3 = 2\). Daraus folgt der Streckungsfaktor \(k = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}2599\). 4. Ermittlung der Oberflächenzunahme: Das Flächenverhältnis beträgt \(k^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}5874\). 5. Prozentuale Zunahme: \(1{,}5874 - 1 = 0{,}5874\), was gerundet \(58{,}7\,\%\) entspricht.

a) Der Streckungsfaktor beträgt \(k = 1{,}5\). b) Die größere Skulptur wiegt \(50{,}625\,\text{kg}\). c) Die Oberfläche ist um etwa \(58{,}7\,\%\) größer.

- Welchen Strahlensatz musst du anwenden, um die Länge der Parallelen zu berechnen? - Achte darauf, immer die Längen vom Zentrum des Strahls aus zu betrachten (also die gesamte Seitenlänge des großen Dreiecks). - Wie hängen der Streckfaktor der Längen und das Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren zusammen?

1. Anwendung des zweiten Strahlensatzes: Zuerst wird die Gesamtlänge \(AB = AD + DB = 4\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\) berechnet. Es gilt das Verhältnis \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\). Eingesetzt ergibt das \(\frac{DE}{15} = \frac{4}{10}\). Daraus folgt \(DE = 15 \cdot 0{,}4 = 6\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Flächenverhältnisses: Der Streckfaktor \(k\), der das große Dreieck \(ABC\) auf das kleine Dreieck \(ADE\) abbildet, ist \(k = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat des Streckfaktors, also \(k^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16\). Dies entspricht einem Verhältnis von \(16:100\) bzw. gekürzt \(4:25\).

a) Die Strecke \(DE\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(4:25\) (oder \(0{,}16\)), da das Flächenverhältnis dem Quadrat des Längenstreckfaktors \(k = 0{,}4\) entspricht.

- Was bedeutet eine Zunahme „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert im Vergleich zum Anfangswert? - Wie hängen der Faktor für Flächen und der Faktor für Längen zusammen? - Wenn du den Faktor für die Längen kennst, wie berechnest du dann den Faktor für das Volumen? - Unterscheide am Ende genau zwischen dem neuen Gesamtwert und der reinen Zunahme.

1. Bestimmung des Flächenfaktors: Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Oberfläche das \(2{,}25\)-fache der alten Oberfläche beträgt (\(100\,\% + 125\,\% = 225\,\%\)). Also ist \(k^2 = 2{,}25\). 2. Berechnung des Längenfaktors \(k\): \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 3. Berechnung des Volumenfaktors: Das neue Volumen ist das \(k^3\)-fache des alten Volumens. \(1{,}5^3 = 3{,}375\). 4. Umrechnung in eine prozentuale Zunahme: Ein Faktor von \(3{,}375\) entspricht \(337{,}5\,\%\) des ursprünglichen Wertes. 5. Berechnung der Steigerung: \(337{,}5\,\% - 100\,\% = 237{,}5\,\%\).

Das Volumen des Werkstücks hat sich um \(237{,}5\,\%\) erhöht.

- Wenn der Faktor für die Fläche bekannt ist, wie kommst du dann zurück auf den Faktor für die einfache Länge? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Längenfaktor und dem Volumenfaktor? - Versuche zuerst \(k\) zu finden, bevor du das neue Volumen berechnest.

1. Berechnung des Streckfaktors \(k\) aus dem Flächenfaktor: \(k^2 = 2{,}25 \Rightarrow k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 2. Bestimmung des Volumenfaktors durch Kubieren von \(k\): \(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\). 3. Anwendung des Volumenfaktors auf das ursprüngliche Volumen: \(V' = 400 \cdot 3{,}375\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(400 \cdot 3{,}375 = 1350\). Der Streckfaktor beträgt \(k = 1{,}5\) und das neue Volumen beträgt \(1350\,\text{ml}\).

a) \(k = 1{,}5\) b) \(1350\,\text{ml}\)

- Was bedeutet ein Maßstab von \(1:50\,000\) für die Längen? - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats? - Wenn sich Längen um einen Faktor \(k\) ändern, wie ändert sich dann der Flächeninhalt? - Achte auf die Einheitenumrechnung von Zentimetern zu Metern und von Quadratmetern zu Hektar.

1. Tatsächliche Seitenlänge: \(s_{\text{real}} = 1{,}2\,\text{cm} \cdot 50\,000 = 60\,000\,\text{cm}\). Umrechnung in Meter: \(60\,000\,\text{cm} = 600\,\text{m}\). 2. Tatsächlicher Flächeninhalt: \(A_{\text{real}} = (600\,\text{m})^2 = 360\,000\,\text{m}^2\). Umrechnung in Hektar: \(360\,000\,\text{m}^2 : 10\,000 = 36\,\text{ha}\). 3. Flächeninhalt auf der Karte: \(A_{\text{Karte}} = (1{,}2\,\text{cm})^2 = 1{,}44\,\text{cm}^2\). 4. Verhältnis der Flächen: Der Ähnlichkeitsfaktor der Längen ist \(k = \frac{1}{50\,000}\). Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht \(k^2\). 5. Berechnung von \(k^2\): \(k^2 = \left(\frac{1}{50\,000}\right)^2 = \frac{1}{2\,500\,000\,000}\). Das bedeutet, die echte Fläche ist \(2{,}5\) Milliarden Mal größer als die Fläche auf der Karte.

a) Die tatsächliche Seitenlänge beträgt \(600\,\text{m}\). b) Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{ha}\). c) Das Flächenverhältnis beträgt \(1 : 2\,500\,000\,000\) (bzw. \(1 : (50\,000)^2\)).