Kostenlose Arbeitsblätter

- Zähle die Kästchen zeilenweise oder bestimme die Anzahl der Zeilen und Spalten. - Vergleiche anschließend die beiden Gesamtzahlen der Einheitsquadrate. - Wie lässt sich der Vergleich als Verhältnis der beiden Flächeninhalte schreiben?

1. Das linke Quadrat umfasst \(4\) Einheitsquadrate. 2. Das rechte Quadrat umfasst \(16\) Einheitsquadrate. 3. Die Flächeninhalte stehen daher im Verhältnis \(16:4=4:1\). 4. Zum Längenverhältnis \(2:1\) gehört hier also das Verhältnis der Flächeninhalte \(4:1\).

Links: \(4\) Einheitsquadrate. Rechts: \(16\) Einheitsquadrate. Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(4:1\).

- Wie viele Einheitswürfel liegen im größeren Körper in Länge, Breite und Höhe? - Multipliziere die Anzahlen in den drei Raumrichtungen. - Wie oft geht das Verhältnis entsprechender Längen in ein Volumen ein?

1. Der Würfel in a) besteht aus \(1\) Einheitswürfel. 2. Bei doppelter Kantenlänge passen in jede der drei Raumrichtungen jeweils \(2\) Einheitswürfel. 3. Daher enthält der größere Würfel \(2\cdot2\cdot2=8\) Einheitswürfel. 4. Das Verhältnis entsprechender Längen ist \(2:1\), das Verhältnis der Volumina \(2^3:1=8:1\).

Das größere Volumen ist achtmal so groß, weil \(2\cdot2\cdot2=2^3=8\) gilt.

- Lies zuerst die Planlänge in Kästchen ab. - Für einen Maßstab müssen beide Längen in derselben Einheit stehen. - Kürze das Verhältnis Planlänge : Wirklichkeitslänge auf \(1:n\).

1. Im Plan ist \(AB=4\,\text{cm}\) lang. 2. In Wirklichkeit sind \(4\,\text{m}=400\,\text{cm}\). 3. Damit ist das Verhältnis Plan zu Wirklichkeit \(4:400=1:100\).

Der Maßstab ist \(1:100\).

- Übersetze den Maßstab zuerst in „\(1\,\text{cm}\) im Plan entspricht ... in Wirklichkeit“. - Wie viele solcher Wirklichkeitsabschnitte passen in \(8\,\text{m}\)? - Vergleiche das Ergebnis mit den Kästchenlängen a) und b).

1. Im Maßstab \(1:200\) entsprechen \(200\,\text{cm}=2\,\text{m}\) in Wirklichkeit genau \(1\,\text{cm}\) im Plan. 2. Für \(8\,\text{m}\) werden daher \(8:2=4\,\text{cm}\) Planlänge benötigt. 3. Strecke a) ist \(4\) Kästchen lang, Strecke b) \(8\) Kästchen. 4. Deshalb ist a) richtig.

Strecke a) ist richtig.

- Überlege dir zuerst, mit welchem Faktor man eine Größe multipliziert, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie wirkt sich dieser Faktor auf das Quadrat der Seitenlänge aus? - Kannst du die neue Fläche als Bruchteil oder Prozentsatz der alten Fläche ausdrücken?

1. Sei \(s\) die ursprüngliche Seitenlänge. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = s^2\). 2. Eine Verringerung der Seitenlänge um \(15\,\%\) entspricht einem Faktor von \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Die neue Seitenlänge ist \(s_2 = 0{,}85s\). 3. Der neue Flächeninhalt berechnet sich zu \(A_2 = (0{,}85s)^2 = 0{,}7225s^2\). 4. Der neue Flächeninhalt beträgt somit \(72{,}25\,\%\) des ursprünglichen Inhalts. 5. Die prozentuale Verkleinerung ist \(100\,\% - 72{,}25\,\% = 27{,}75\,\%\).

Der Flächeninhalt verringert sich um \(27{,}75\,\%\).

- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlängen bei einer maßstäblichen Vergrößerung zusammen? - Wenn sich alle Längen verdoppeln, was passiert dann mit der Fläche? - Überlege, ob der Umfang eine Fläche oder eine Länge ist.

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_{\text{neu}}}{A_{\text{alt}}} = \frac{12{,}5\,\text{m}^2}{2\,\text{m}^2} = 6{,}25\). 2. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung entspricht dieses Verhältnis dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. 3. Da \(2{,}5^2=6{,}25\), stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2{,}5\). 4. Da der Umfang eine Summe von Seitenlängen ist, stehen auch die Umfänge im Verhältnis \(1:2{,}5\).

Entsprechende Seitenlängen und die Umfänge stehen jeweils im Verhältnis \(1:2{,}5\).

- Schreibe \(64\,\%\) als Dezimalzahl und verbinde das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. - Welche positive Dezimalzahl ergibt beim Quadrieren \(0{,}64\)? - Wie bestimmst du aus dem verbleibenden Prozentsatz der Seitenlänge die prozentuale Abnahme?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(0{,}64:1\). Das Verhältnis entsprechender Längen ist daher die positive Zahl, deren Quadrat \(0{,}64\) ergibt. 2. Weil \(0{,}8^2=0{,}64\), beträgt das Verhältnis der neuen zur ursprünglichen Seitenlänge \(0{,}8:1\). 3. Die neue Seitenlänge beträgt damit \(80\,\%\) der ursprünglichen Seitenlänge. Die Abnahme ist \(100\,\%-80\,\%=20\,\%\).

a) \(0{,}8:1\) b) \(20\,\%\)

- Wie hängen der Umfang und die Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Was passiert mit dem Umfang, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis vergrößert werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Seitenlängen und dem Verhältnis der Flächeninhalte?

1. Berechnung des Umfangs von \(R_1\): \(U_1 = 2 \cdot (4\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\). 2. Das Verhältnis der Umfänge und damit auch entsprechender Längen beträgt \(\frac{U_2}{U_1}=\frac{40}{20}=2\). 3. Berechnung der Seitenlängen von \(R_2\): \(a_2 = 2 \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\) und \(b_2 = 2 \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 4. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: Da entsprechende Längen im Verhältnis \(2:1\) stehen, ist das Verhältnis der Flächeninhalte \(2^2=4\).

Die Seitenlängen von \(R_2\) betragen \(8\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Das Verhältnis der Flächeninhalte von \(R_2\) zu \(R_1\) ist \(4\) (bzw. \(4:1\)).

- Überlege zuerst, wie sich der neue Radius mathematisch als Vielfaches des alten Radius ausdrücken lässt. - Welche Formel verbindet den Radius eines Kreises mit seinem Flächeninhalt? - Wie verändert sich \(r^2\), wenn der Radius \(r\) mit derselben Zahl vervielfacht wird? - Denke an das Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Eine Vergrößerung des Radius um \(25\,\%\) bedeutet, dass der neue Radius \(1{,}25\)-mal so groß ist wie der ursprüngliche. 2. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(A_{\text{neu}} = 1{,}25^2 \cdot A_{\text{alt}}\). 3. Damit beträgt das Verhältnis der Flächeninhalte \(1{,}25^2=1{,}5625\). 4. Der neue Flächeninhalt entspricht \(156{,}25\,\%\) des ursprünglichen; die Zunahme beträgt daher \(56{,}25\,\%\).

Der Flächeninhalt des Kreises vergrößert sich um \(56{,}25\,\%\).

- Wie hängen das Verhältnis der Flächeninhalte und das Verhältnis der Seitenlängen bei ähnlichen Figuren zusammen? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn man alle Seitenlängen verdoppelt oder verdreifacht? - Kannst du aus dem Verhältnis der Flächeninhalte auf das Verhältnis entsprechender Längen schließen?

1. Berechnung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(q = \frac{A_{\text{groß}}}{A_{\text{klein}}} = \frac{162\,\text{cm}^2}{18\,\text{cm}^2} = 9\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. 3. Aus \(9=3^2\) folgt daher das Längenverhältnis \(1:3\). 4. Jede Seitenlänge des großen Fünfecks ist somit dreimal so lang wie die entsprechende Seitenlänge des kleinen Fünfecks.

Entsprechende Längen des kleinen und großen Fünfecks stehen im Verhältnis \(1:3\).

- Was bedeutet ein Maßstab wie \(1:500\) für die Länge einer Linie auf dem Papier im Vergleich zur Wirklichkeit? - Vergleiche die Maßstäbe: In welchem Verhältnis stehen entsprechende Planstrecken bei \(1:500\) und \(1:200\)? - Wenn du das Verhältnis entsprechender Längen kennst, wie verändert sich dann der Flächeninhalt?

1. Der Maßstab \(1:200\) stellt dieselbe Wirklichkeitslänge größer dar als der Maßstab \(1:500\). Entsprechende Planstrecken stehen im Verhältnis \(\frac{500}{200}=2{,}5\). 2. Da die Pläne zueinander ähnlich sind, entspricht das Verhältnis ihrer Flächeninhalte dem Quadrat dieses Längenverhältnisses. 3. Somit beträgt das Verhältnis der Flächeninhalte \(2{,}5^2=6{,}25\). 4. Schlussfolgerung: Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

Der Flächeninhalt im zweiten Plan ist \(6{,}25\)-mal so groß wie im ersten Plan.

- In welchem Verhältnis stehen entsprechende Längen von Modell und Original? - Welches Verhältnis der Volumina gehört dazu? - Achte auf die Umrechnung von Kubikmetern in Kubikzentimeter.

1. Beim Maßstab \(1:20\) stehen entsprechende Längen von Modell und Original im Verhältnis \(1:20\). 2. Daher stehen die Volumina im Verhältnis \(1^3:20^3=1:8000\). 3. Das Modellvolumen ist \(12\,\text{m}^3:8000=0{,}0015\,\text{m}^3\). 4. Da \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\), gilt \(0{,}0015\cdot1\,000\,000\,\text{cm}^3=1500\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Modells beträgt \(1500\,\text{cm}^3\).

- Überlege zuerst, in welchem Verhältnis neue und ursprüngliche entsprechende Längen bei einer Erhöhung um \(40\,\%\) stehen. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Welche Potenz dieses Längenverhältnisses wird für das Volumen benötigt? - Denk daran, dass die Zunahme der Teil ist, der über \(100\,\%\) des ursprünglichen Wertes hinausgeht.

1. Eine Erhöhung der Seitenlänge um \(40\,\%\) bedeutet, dass entsprechende Längen \(1{,}4\)-mal so groß sind. 2. Der Flächeninhalt verändert sich mit dem Quadrat dieses Verhältnisses: \(1{,}4^2 = 1{,}96\). 3. Die neue Fläche entspricht \(196\,\%\) der ursprünglichen; die Zunahme beträgt also \(96\,\%\). 4. Das Volumen verändert sich mit der dritten Potenz: \(1{,}4^3 = 2{,}744\). 5. Das neue Volumen entspricht \(274{,}4\,\%\) des ursprünglichen; die Zunahme beträgt also \(174{,}4\,\%\).

a) Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(96\,\%\). b) Das Volumen vergrößert sich um \(174{,}4\,\%\).

- Überlege zuerst, wie du aus zwei gegebenen Werten einer Zeile das feste Verhältnis berechnen kannst. - Bleibt dieses Verhältnis für alle Zeilen gleich? - Wie kannst du die Formel für das Verhältnis umstellen, um eine fehlende Länge zu berechnen?

1. Aus der ersten Zeile folgt \(\frac{l'}{l}=\frac{13{,}75}{5{,}5}=2{,}5\). 2. Bestimmung der Originallänge in der zweiten Zeile: \(l = \frac{21{,}25}{2{,}5} = 8{,}5\,\text{cm}\). 3. Bestimmung der Bildlänge in der dritten Zeile: \(l' = 12 \cdot 2{,}5 = 30\,\text{cm}\). 4. Der konstante Wert für die dritte Spalte ist in allen Zeilen \(2{,}5\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><th>Originallänge \(l\) in \(\text{cm}\)</th><th>Bildlänge \(l'\) in \(\text{cm}\)</th><th>Verhältnis \(\frac{l'}{l}\)</th></tr> <tr><td>\(5{,}5\)</td><td>\(13{,}75\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(8{,}5\)</td><td>\(21{,}25\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(30\)</td><td>\(2{,}5\)</td></tr> </table>

- Überlege, wie sich der Flächeninhalt verändert, wenn alle entsprechenden Längen im selben Verhältnis vergrößert werden. - Welche Rechenoperation musst du auf dieses Längenverhältnis anwenden, um die Flächenänderung zu bestimmen?

1. Beim maßstäblichen Vergrößern verändert sich der Flächeninhalt mit dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(A'=A\cdot1{,}5^2\). 2. Gegebene Werte einsetzen: \(A' = 80 \cdot 1{,}5^2\). 3. Quadrat des Längenverhältnisses berechnen: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 4. Endgültigen Flächeninhalt berechnen: \(80 \cdot 2{,}25 = 180\). Das neue Logo hat einen Flächeninhalt von \(180\,\text{cm}^2\).

\(180\,\text{cm}^2\)

- Wie setzt sich der Umfang eines Vielecks aus seinen Seitenlängen zusammen? - Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis entsprechender Seiten? - Was geschieht mit einem gemeinsamen Längenverhältnis, wenn du die entsprechenden Seiten jeweils addierst?

1. Wegen der Ähnlichkeit gilt für alle entsprechenden Seiten \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\dots\). 2. Bezeichne diesen gemeinsamen Quotienten vorübergehend mit \(r\). Dann gilt \(a=ra'\), \(b=rb'\), \(c=rc'\) und so weiter. 3. Für die Umfänge folgt \(U=a+b+c+\dots=r(a'+b'+c'+\dots)=rU'\). 4. Daher ist \(\frac{U}{U'}=r=\frac{a}{a'}\).

Bei ähnlichen Vielecken haben alle entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis. Deshalb gilt dieses Verhältnis auch für die Umfänge: \(\frac{U}{U'}=\frac{a}{a'}\).

- Wie hängen die Seitenlängen ähnlicher Dreiecke mit ihren Flächeninhalten zusammen? - Bestimme zuerst das Längenverhältnis entsprechender Seiten des zweiten und des ersten Dreiecks. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit diesem Längenverhältnis zusammen?

1. Für die entsprechenden Seiten gilt \(\frac{DE}{AB}=\frac{10}{5}=2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=2^2=4\). 3. Berechnung von \(x\): \(x = S_{ABC} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60\,\text{cm}^2\).

\(x = 60\,\text{cm}^2\)

- Was bedeutet Ähnlichkeit für das Verhältnis von Längen und Umfängen? - Wie hängt das Verhältnis der Umfänge mit dem gemeinsamen Längenverhältnis entsprechender Seiten zusammen?

1. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Umfänge dem Verhältnis entsprechender Längen. 2. Es gilt also \(\frac{DE}{AB} = \frac{U_{DEF}}{U_{ABC}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 3. Berechnung der Seite \(DE\): \(DE = AB \cdot 2{,}5 = 6 \cdot 2{,}5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seite \(DE\) ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Welchem Verhältnis entspricht \(120\,\%\) bei den Längen? - Wie hängt das Verhältnis der Oberflächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wie hängt das Verhältnis der Volumina damit zusammen?

1. Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1{,}2:1\). 2. Daher stehen die Oberflächeninhalte im Verhältnis \(1{,}2^2:1=1{,}44:1\). Die Oberfläche beträgt also \(144\,\%\) des ursprünglichen Werts. 3. Die Volumina stehen im Verhältnis \(1{,}2^3:1=1{,}728:1\). Das Volumen beträgt also \(172{,}8\,\%\) des ursprünglichen Werts. 4. Leas Aussage ist falsch, weil das Längenverhältnis bei Flächen quadratisch und bei Volumina kubisch eingeht.

Leas Aussage ist falsch. Die Oberfläche beträgt \(144\,\%\), das Volumen \(172{,}8\,\%\) des ursprünglichen Werts.

- Zerlege jede L-Figur in vollständige Quadratkästchen. - Vergleiche danach nicht nur die Flächen, sondern auch eine entsprechende Länge. - Wie hängt der Quotient der Flächen mit \(2^2\) zusammen?

1. Figur a) besteht aus \(5\) Quadratkästchen. Daher ist \(A_a=5\,\text{cm}^2\). 2. Bei b) ist jede Länge doppelt so groß. Die Figur umfasst \(20\) Quadratkästchen, also \(A_b=20\,\text{cm}^2\). 3. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{20}{5}=4\). 4. Werden alle entsprechenden Längen verdoppelt, vervierfacht sich der Flächeninhalt: \(4=2^2\).

\(A_a=5\,\text{cm}^2\), \(A_b=20\,\text{cm}^2\); der Flächeninhalt vervierfacht sich.

- Bestimme bei jedem Körper Länge, Breite und Höhe in Einheitswürfeln. - Wie verändern sich alle drei Abmessungen, wenn jede entsprechende Länge verdoppelt wird? - Vergleiche den Quotienten der Volumina mit \(2^3\).

1. Körper a) besteht aus \(2\) Einheitswürfeln. Daher ist \(V_a=2\,\text{cm}^3\). 2. Bei einer Verdopplung aller drei Abmessungen hat Körper b) die Maße \(2\times4\times2\) Einheitswürfel und damit \(V_b=16\,\text{cm}^3\). 3. Das Verhältnis der Volumina ist \(\frac{16}{2}=8\). 4. Werden alle entsprechenden Längen verdoppelt, wird das Volumen achtmal so groß: \(8=2^3\).

\(V_a=2\,\text{cm}^3\), \(V_b=16\,\text{cm}^3\); das Volumen wird achtmal so groß.

- Vergleiche zuerst die beiden Flächeninhalte. - Welches positive Verhältnis entsprechender Längen hat als Quadrat das erhaltene Verhältnis der Flächeninhalte? - Übertrage dieses Verhältnis anschließend auf die Seitenlänge.

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(\frac{72}{18}=4\). 2. Da sich bei ähnlichen Figuren die Flächeninhalte mit dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen ändern und \(4=2^2\), stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2\). 3. Die entsprechende Seitenlänge beträgt \(5{,}5\,\text{cm}\cdot2=11\,\text{cm}\).

Verhältnis entsprechender Längen \(1:2\); die entsprechende Seite ist \(11\,\text{cm}\) lang.

- Welche Formel gilt für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn beide Katheten bekannt sind? - Vergleiche anschließend die beiden Flächeninhalte. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{54}{6}=9\). 3. Daher stehen entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) im Verhältnis \(1:3\), denn \(3^2=9\).

Der Flächeninhalt von \(D_1\) beträgt \(6\,\text{cm}^2\). Entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) stehen im Verhältnis \(1:3\).

- Was bedeutet eine Erhöhung „um \(125\,\%\)“ für den Gesamtwert der Fläche im Vergleich zum Startwert? - Wenn du weißt, wie sich die Fläche vervielfacht, wie findest du dann heraus, wie sich die Seitenlänge verändert hat? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Streckfaktor von Längen und dem von Flächen.

1. Sei \(A_{\mathrm{alt}}\) die ursprüngliche Fläche. Eine Erhöhung um \(125\,\%\) bedeutet, dass die neue Fläche \(A_{\mathrm{neu}} = A_{\mathrm{alt}} + 1{,}25A_{\mathrm{alt}} = 2{,}25A_{\mathrm{alt}}\) beträgt. 2. Für die Seitenlängen gilt der Zusammenhang \(s_{\mathrm{neu}}^2 = 2{,}25s_{\mathrm{alt}}^2\). 3. Um den Faktor \(k\) für die Seitenlänge zu finden, wird die Wurzel gezogen: \(k = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\). 4. Ein Faktor von \(1{,}5\) entspricht einer Zunahme um \(0{,}5\), also einer Steigerung der Seitenlänge um \(50\,\%\).

Die Seitenlänge muss um \(50\,\%\) erhöht werden.

- Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Welche positive Zahl hat das Quadrat \(2{,}25\)? - Ist eine Höhe eine Längen- oder eine Flächengröße?

1. Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis \(2{,}25:1\). Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1{,}5:1\), denn \(1{,}5^2=2{,}25\). 2. Höhen sind entsprechende Längen. Somit gilt \(\frac{h_a'}{h_a}=1{,}5\).

\(h_a':h_a=1{,}5:1=3:2\)

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen. - Wie verändern sich Flächeninhalte, wenn entsprechende Längen in einem festen Verhältnis stehen? - Wie hängt das Verhältnis der Volumina mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikmetern.

1. Nach der Umrechnung \(12\,\text{m}=1200\,\text{cm}\) gilt für entsprechende Längen \(30:1200=1:40\). Dies entspricht dem Maßstab \(1{:}40\). 2. Vom Modell zum Original stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:40\). Daher stehen die Oberflächeninhalte im Verhältnis \(1:40^2=1:1600\). Die echte Fläche ist \(1600\)-mal so groß. 3. Das Verhältnis der Volumina entspricht der dritten Potenz des Längenverhältnisses. Vom Modell zum Original beträgt es \(40^3=64\,000\). 4. Berechnung des realen Volumens: \(27\,\text{l} \cdot 64\,000 = 1\,728\,000\,\text{l}\). Da \(1000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\) gilt, beträgt das Volumen \(1728\,\text{m}^3\).

a) Entsprechende Längen von Original und Modell stehen im Verhältnis \(40:1\); der Maßstab ist \(1{:}40\). b) Die Außenfläche des Originals ist \(1600\)-mal so groß wie die des Modells. c) Der echte Wasserturm fasst \(1728\,\text{m}^3\).

- Was passiert mit der zweiten Seite, wenn die erste Seite in einem bestimmten Verhältnis vergrößert wird und die Form gleich bleiben soll? - Wenn sich der Flächeninhalt verneunfacht, in welchem Verhältnis müssen dann entsprechende Seitenlängen stehen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte.

1. Vergleich entsprechender Seitenlängen für Teil a: Die Breite wird von \(10\,\text{cm}\) auf \(60\,\text{cm}\) vergrößert. Entsprechende Längen stehen daher im Verhältnis \(1:6\). Die Länge wird ebenfalls versechsfacht: \(15\,\text{cm} \cdot 6 = 90\,\text{cm}\). 2. Zusammenhang der Flächeninhalte für Teil b: Bei einem neunfachen Flächeninhalt stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:3\), denn \(3^2=9\). 3. Berechnung der neuen Seitenlängen für Teil b: \(a_{\text{neu}} = 10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(b_{\text{neu}} = 15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\).

a) Die Länge des Posters beträgt \(90\,\text{cm}\). b) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:3\). Die Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\).

- Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis vergrößert werden? - Berechne zunächst den Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Verhältnis der Flächeninhalte und dem Verhältnis entsprechender Längen bei ähnlichen Figuren?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(A = ab = 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_1}{A} = \frac{144\,\text{cm}^2}{36\,\text{cm}^2} = 4\). 3. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. Aus \(4=2^2\) folgt daher das Längenverhältnis \(1:2\). 4. Berechnung der neuen Seitenlängen: \(a_1 = 4\,\text{cm} \cdot 2 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 9\,\text{cm} \cdot 2 = 18\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des zweiten Rechtecks betragen \(a_1 = 8\,\text{cm}\) und \(b_1 = 18\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt des kleineren rechtwinkligen Dreiecks. - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wie nutzt du ein bekanntes Längenverhältnis, um eine entsprechende Seitenlänge zu berechnen?

1. Der Flächeninhalt von \(D_1\) ist \(A_1=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_2}{A_1}=\frac{120}{30}=4\). Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2\). 3. Entsprechend ist \(a_2=2\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}\) und \(b_2=2\cdot12\,\text{cm}=24\,\text{cm}\).

Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\); \(a_2=10\,\text{cm}\), \(b_2=24\,\text{cm}\).

- Bringe zuerst beide Volumina auf dieselbe Einheit. - In welchem Verhältnis stehen die Volumina von Original und Modell? - Welche natürliche Zahl hat als dritte Potenz genau dieses Verhältnis? - Wie verändert sich ein Oberflächeninhalt, wenn entsprechende Längen im Verhältnis \(n:1\) stehen?

1. Es ist \(270\,\text{m}^3=270\,000\,\text{dm}^3\). Damit beträgt das Verhältnis der Volumina \(\frac{270000}{10}=27\,000\). 2. Beim Maßstab \(1:n\) gilt für die Volumina der Zusammenhang \(n^3=27\,000\). Da \(30^3=27\,000\), ist \(n=30\). Der Maßstab lautet \(1:30\). 3. Beim maßstäblichen Vergrößern mit dem Verhältnis entsprechender Längen \(30:1\) wächst der Oberflächeninhalt mit \(30^2\). Daher ist die reale Oberfläche \(25\,\text{dm}^2\cdot30^2=22\,500\,\text{dm}^2\). 4. Es gilt \(22\,500\,\text{dm}^2=225\,\text{m}^2\).

a) \(1:30\) b) \(225\,\text{m}^2\)

- Welche Potenz des Verhältnisses entsprechender Längen beschreibt das Verhältnis der Volumina? - Welche Potenz beschreibt die Änderung einer Oberfläche? - Vergleiche in Teil c zuerst neues und altes Volumen. - Suche anschließend eine einfache positive Zahl, deren dritte Potenz dem Verhältnis der Volumina entspricht.

1. Bei verdoppelten Kantenlängen stehen die Volumina im Verhältnis \(2^3:1=8:1\). Daher beträgt das neue Fassungsvermögen \(80\,\text{l}\cdot8=640\,\text{l}\). 2. Die Oberflächeninhalte stehen im Verhältnis \(2^2:1=4:1\). Der Materialbedarf vervierfacht sich. 3. Für Teil c beträgt das Verhältnis der Volumina \(270:80=3{,}375:1\). 4. Da \(1{,}5^3=3{,}375\), stehen die entsprechenden Kantenlängen im Verhältnis \(1{,}5:1\).

a) \(640\,\text{l}\) b) Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich. c) \(1{,}5:1\)

- Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Was bedeutet ein Verhältnis der Flächeninhalte von \(2{,}25:1\) als Prozentangabe? - Prüfe Sofias Behauptung zunächst für verdoppelte Seitenlängen. - Welche positive Zahl ergibt beim Quadrieren \(2\)?

1. Wenn entsprechende Längen im Verhältnis \(1{,}5:1\) stehen, stehen die Flächeninhalte im Verhältnis \(1{,}5^2:1=2{,}25:1\). 2. Die neue Fläche entspricht \(225\,\%\) der ursprünglichen Fläche; die Zunahme beträgt daher \(125\,\%\). 3. Bei verdoppelten Seitenlängen stünden die Flächeninhalte im Verhältnis \(2^2:1=4:1\). Sofias Aussage ist also falsch. 4. Für eine Verdopplung des Flächeninhalts muss die gesuchte positive Zahl \(r\) die Gleichung \(r^2=2\) erfüllen. Daher ist \(r=\sqrt{2}\approx1{,}41\).

a) Der Flächeninhalt nimmt um \(125\,\%\) zu. b) Sofias Aussage ist falsch. Die Seitenlängen müssen mit \(\sqrt{2}\approx1{,}41\) multipliziert werden.

- Was sagt das Verhältnis der Umfänge über das Verhältnis der Seitenlängen aus? - Wenn du das Verhältnis der Längen kennst, wie verhalten sich dann die entsprechenden Flächen zueinander? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die den Unterschied zwischen den beiden Flächen nutzt.

1. Aus dem Verhältnis der Umfänge folgt für entsprechende Längen das Verhältnis \(\frac{5}{3}\). 2. Daher gilt für die Flächeninhalte \(\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}\). 3. Aufstellen der Differenzgleichung: \(A_2 - A_1 = 100\). 4. Einsetzen von \(A_2 = \frac{25}{9} A_1\) in die Differenzgleichung: \(\frac{25}{9} A_1 - A_1 = 100 \implies \frac{16}{9} A_1 = 100\). 5. Berechnung von \(A_1\): \(A_1 = \frac{100 \cdot 9}{16} = 56{,}25\,\text{cm}^2\). 6. Berechnung von \(A_2\): \(A_2 = 56{,}25\,\text{cm}^2 + 100\,\text{cm}^2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke betragen \(A_1 = 56{,}25\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 156{,}25\,\text{cm}^2\).

- Gilt die Ähnlichkeit nur für die Seiten eines Dreiecks oder auch für andere Längen wie den Umkreisradius? - Wie berechnet man das Verhältnis zweier entsprechender Längen? - Welche Regel gilt für das Verhältnis von Flächeninhalten bei ähnlichen Figuren?

1. Da alle entsprechenden linearen Maße ähnlicher Figuren dasselbe Längenverhältnis haben, gilt \(\frac{R'}{R}=\frac{6{,}0}{4{,}5}=\frac{4}{3}\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(c'\): Es gilt \(c' = \frac{4}{3} \cdot 7{,}2\,\text{cm} = 9{,}6\,\text{cm}\). 3. Verhältnis der Umkreisflächen: Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. \(\frac{A'_{\text{Umkreis}}}{A_{\text{Umkreis}}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \approx 1{,}78\). Das Verhältnis beträgt somit \(16 : 9\).

a) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(3:4\) beziehungsweise \(1:\frac{4}{3}\). b) \(c' = 9{,}6\,\text{cm}\) c) Das Verhältnis ist \(16 : 9\) (oder ca. \(1{,}78\)).

- In welchem Verhältnis stehen die beiden Gesamthöhen? - Wie hängt bei ähnlichen Körpern das Verhältnis der Volumina mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Welche Beziehung besteht zwischen \(\text{dm}^3\) und Litern?

1. Die entsprechenden Höhen stehen im Verhältnis \(40:25=1{,}6:1\). 2. Daher stehen die Volumina im Verhältnis \(1{,}6^3:1=4{,}096:1\). 3. Das größere Modell hat somit das Volumen \(1{,}2\,\text{dm}^3\cdot4{,}096=4{,}9152\,\text{dm}^3\). 4. Da \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) gilt, beträgt das Volumen \(4{,}9152\,\text{l}\).

Das Volumen des größeren Modells beträgt \(4{,}9152\,\text{l}\).

- Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wenn du das Verhältnis entsprechender Längen kennst, wie überträgst du es auf Umfang und Seitenlängen? - Gilt die Ähnlichkeit nur für die Außenseiten eines Dreiecks oder für alle Linien innerhalb der Figur? - Überlege dir, ob eine Seitenhalbierende eine „Länge“ oder eine „Fläche“ ist.

1. Berechnung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{150}{24} = 6{,}25\). 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2{,}5\), denn \(2{,}5^2=6{,}25\). 3. Berechnung des Umfangs \(U_2\): Die Umfänge stehen im selben Verhältnis wie entsprechende Längen. Daher gilt \(U_2 = 2{,}5U_1 = 2{,}5 \cdot 24 = 60\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Seitenlänge \(a_2\): \(a_2 = 2{,}5a_1 = 2{,}5 \cdot 6 = 15\,\text{cm}\). 5. Bei ähnlichen Figuren gilt dasselbe Längenverhältnis für alle entsprechenden Strecken, also auch für Seitenhalbierende, Höhen oder Winkelhalbierende. In diesem Fall ist \(\frac{s_2}{s_1}=2{,}5\), also \(s_2=2{,}5s_1\).

a) Entsprechende Längen von \(D_1\) und \(D_2\) stehen im Verhältnis \(1:2{,}5\). b) Der Umfang \(U_2\) beträgt \(60\,\text{cm}\). c) Die Seitenlänge \(a_2\) beträgt \(15\,\text{cm}\). d) Es gilt \(\frac{s_2}{s_1}=2{,}5\), da bei ähnlichen Figuren alle entsprechenden Längen dasselbe Längenverhältnis haben.

- Bringe die beiden Flächeninhalte zunächst auf dieselbe Flächeneinheit. - Wie hängen das Verhältnis der Flächeninhalte und das Verhältnis entsprechender Längen bei maßstäblichen Abbildungen zusammen? - Rechne die reale Mauerlänge vor der Maßstabsrechnung in Zentimeter um.

1. Umrechnung der realen Fläche: \(450\,\text{m}^2 = 4\,500\,000\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Verhältnisses der Flächeninhalte: \(\frac{A_{\text{real}}}{A_{\text{Plan}}} = \frac{4500000}{50} = 90\,000\). 3. Der Nenner des Maßstabs ist die Quadratwurzel aus diesem Verhältnis: \(n = \sqrt{90\,000} = 300\). Der Maßstab beträgt somit \(1{:}300\). 4. Umrechnung der realen Mauerlänge: \(45\,\text{m} = 4500\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Planlänge: \(l_{\text{Plan}} = 4500\,\text{cm} : 300 = 15\,\text{cm}\).

a) Der Maßstab beträgt \(1{:}300\). b) Die Mauer ist im Plan \(15\,\text{cm}\) lang.

- Bestimme zuerst das Verhältnis der Flächeninhalte von \(D_2\) und \(D_1\). - Verbinde anschließend die Flächeninhalte von \(D_3\) und \(D_2\). - Welches positive Längenverhältnis gehört zum Verhältnis der Flächeninhalte \(9:1\)?

1. Für \(D_2\) und \(D_1\) gilt \(A_2:A_1=1{,}5^2:1=2{,}25:1\). 2. Weil \(A_3=4A_2\), ist \(A_3:A_1=4\cdot2{,}25:1=9:1\). 3. Das positive Längenverhältnis, dessen Quadrat \(9:1\) ergibt, ist \(3:1\).

Das Verhältnis entsprechender Seitenlängen von \(D_3\) zu \(D_1\) beträgt \(3:1\).

- Bestimme zuerst den dritten Winkel des Ausgangsdreiecks. - Welche Eigenschaft entsprechender Winkel gilt bei ähnlichen Figuren? - Prüfe Mareks Behauptung auch mithilfe der Innenwinkelsumme.

1. Im Ausgangsdreieck ist \(\angle R=180^\circ-55^\circ-35^\circ=90^\circ\). 2. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung entstehen ähnliche Figuren; entsprechende Winkel bleiben gleich groß. 3. Daher ist \(\angle P'=55^\circ\), \(\angle Q'=35^\circ\) und \(\angle R'=90^\circ\). 4. Mareks Aussage ist falsch: Die Seitenlängen werden hier verdreifacht, die Winkelweiten ändern sich jedoch nicht. Eine Verdreifachung der Winkel würde außerdem die Innenwinkelsumme eines Dreiecks verletzen.

a) \(\angle P'=55^\circ\), \(\angle Q'=35^\circ\), \(\angle R'=90^\circ\) b) Die Aussage ist falsch. Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß, auch wenn sich die Seitenlängen maßstäblich verändern.

- In welchem Verhältnis stehen Modelllängen und entsprechende reale Längen beim Maßstab \(1:50\)? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Welche Umrechnungsfaktoren gelten von \(\text{cm}^2\) zu \(\text{m}^2\) und von \(\text{cm}\) zu \(\text{m}\)?

1. Beim Maßstab \(1:50\) sind entsprechende reale Längen \(50\)-mal so groß wie im Modell. 2. Die Flächeninhalte stehen im Verhältnis \(50^2=2500\). Damit ist die reale Fläche \(120\,\text{cm}^2\cdot2500=300\,000\,\text{cm}^2\). 3. Mit \(10\,000\,\text{cm}^2=1\,\text{m}^2\) folgt \(300\,000\,\text{cm}^2=30\,\text{m}^2\). 4. Die reale Seitenlänge ist \(15\,\text{cm}\cdot50=750\,\text{cm}=7{,}5\,\text{m}\).

a) \(30\,\text{m}^2\) b) \(7{,}5\,\text{m}\)

- Wie hängen das Verhältnis der Volumina und das Verhältnis der Oberflächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Eine Vervierfachung bedeutet nicht eine Zunahme um \(400\,\%\). Welcher Anteil ist bereits der Ausgangswert? - Welche einfache ganze Zahl hat die dritte Potenz \(27\)?

1. Bei \(Z_2\) sind entsprechende Längen doppelt so groß. Das Volumen wächst daher mit \(2^3=8\), also ist das Volumen von \(Z_2\) achtmal so groß. 2. Die Mantelfläche wächst mit \(2^2=4\). Sie ist daher um \(300\,\%\) größer. 3. Das Volumen von \(Z_3\) ist \(27\)-mal so groß wie das von \(Z_1\). Da \(3^3=27\), stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(3:1\). 4. Der Oberflächeninhalt wächst dann mit \(3^2=9\); das entspricht einer Vergrößerung um \(800\,\%\).

a) \(8\) b) \(300\,\%\) c) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(3:1\); die Oberfläche ist um \(800\,\%\) größer.

- Wie hängt das Verhältnis der Oberflächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Warum stehen bei gleichem Material die Massen im selben Verhältnis wie die Volumina? - In welchem Verhältnis stehen in Teil c die beiden Massen und damit die Volumina? - Welche einfache Zahl hat die dritte Potenz dieses Verhältnisses?

1. Die Oberflächeninhalte der kleinen und großen Skulptur stehen im Verhältnis \(0{,}8:1{,}8=1:2{,}25\). Da \(1{,}5^2=2{,}25\), stehen entsprechende Längen der kleinen und großen Skulptur im Verhältnis \(1:1{,}5\). 2. Bei gleicher Dichte stehen die Massen im selben Verhältnis wie die Volumina. Daher ist die Masse der größeren Skulptur \(15\,\text{kg}\cdot1{,}5^3=50{,}625\,\text{kg}\). 3. Das Verhältnis der Massen und damit der Volumina beträgt \(\frac{120}{15}=8\). Da \(2^3=8\), sind entsprechende Längen der dritten Version doppelt so groß. 4. Die Oberflächeninhalte stehen im Verhältnis \(2^2=4\). Die Oberfläche ist \(0{,}8\,\text{m}^2\cdot4=3{,}2\,\text{m}^2\), also um \(300\,\%\) größer.

a) \(1:1{,}5\) b) \(50{,}625\,\text{kg}\) c) \(3{,}2\,\text{m}^2\); das sind \(300\,\%\) mehr als bei der kleinsten Skulptur.

- Was bedeutet ein Maßstab von \(1:50\) für die Umrechnung von Planmaßen in reale Maße? - Wie verhält sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis ändern? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte.

1. Berechnung der realen Maße: Die Länge beträgt \(12\,\text{cm} \cdot 50 = 600\,\text{cm} = 6\,\text{m}\). Die Breite beträgt \(8\,\text{cm} \cdot 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\). 2. Berechnung des realen Flächeninhalts: \(A = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung des neuen Maßstabs: Wenn sich der Flächeninhalt vervierfacht, verdoppeln sich die entsprechenden Seitenlängen im Plan, denn \(2^2=4\). Die neuen Planmaße sind \(24\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\). Der Maßstab berechnet sich aus \(\frac{24\,\text{cm}}{600\,\text{cm}} = \frac{1}{25}\). Der neue Maßstab ist somit \(1:25\).

a) Das Zimmer ist in der Realität \(6\,\text{m}\) lang und \(4\,\text{m}\) breit. b) Der reale Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). c) Der neue Maßstab ist \(1:25\).

- Bringe beide Volumina zuerst auf dieselbe Einheit. - In welchem Verhältnis stehen die beiden Volumina? - Welche positive ganze Zahl hat als dritte Potenz dieses Verhältnis?

1. Zunächst gilt \(54\,\text{m}^3=54\,000\,\text{dm}^3\). 2. Das Verhältnis der Volumina von Gebäude und Modell ist \(\frac{54000}{16}=3375\). 3. Da \(15^3=3375\), stehen die entsprechenden Längen von Gebäude und Modell im Verhältnis \(15:1\). 4. Das Modell wurde somit im Maßstab \(1:15\) gebaut.

\(1:15\)

- Was bedeutet eine Zunahme um \(125\,\%\) für das Verhältnis von neuer zu alter Oberfläche? - Welches Verhältnis entsprechender Längen gehört dazu? - Wie erhältst du daraus das Verhältnis der Volumina? - Unterscheide am Ende zwischen neuem Gesamtwert und reiner Zunahme.

1. Eine Erhöhung der Oberfläche um \(125\,\%\) bedeutet, dass neuer und alter Oberflächeninhalt im Verhältnis \(2{,}25:1\) stehen. 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1{,}5:1\), denn \(1{,}5^2=2{,}25\). 3. Die Volumina stehen folglich im Verhältnis \(1{,}5^3:1=3{,}375:1\). 4. Das neue Volumen entspricht damit \(337{,}5\,\%\) des ursprünglichen Volumens. 5. Die Zunahme beträgt \(337{,}5\,\%-100\,\%=237{,}5\,\%\).

Das Volumen des Werkstücks hat sich um \(237{,}5\,\%\) erhöht.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Überlege, wie sich Streckenlängen verändern, wenn eine Figur maßstäblich vergrößert wird. - Gibt es einen festen Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren?

1. Umfang des Originals berechnen: \(U_{\text{alt}} = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 15\,\text{cm}) = 50\,\text{cm}\). 2. Umfang der Vergrößerung in Zentimeter umrechnen: \(U_{\text{neu}} = 150\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis entsprechender Längen ergibt sich aus dem Verhältnis der Umfänge: \(\frac{U_{\text{neu}}}{U_{\text{alt}}}=\frac{150}{50}=3\). 4. Neue Seitenlängen berechnen: \(10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}\). 5. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. Daher beträgt es \(1:3^2=1:9\).

a) Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:3\). b) Die neuen Seitenlängen betragen \(30\,\text{cm}\) und \(45\,\text{cm}\). c) Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(1:9\).

- Wie ändert sich das Volumen eines Körpers, wenn alle drei Raumdimensionen vergrößert werden? - Erinnerst du dich an die Regel zur Potenzierung von Brüchen? - Kannst du den Bruch vor der Multiplikation mit dem Volumen kürzen?

1. Beim maßstäblichen Vergrößern verändert sich das Volumen mit der dritten Potenz des Verhältnisses entsprechender Längen: \(V'=V\cdot\left(\frac{6}{5}\right)^3\). 2. Potenz des Bruchs berechnen: \(\left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{6^3}{5^3} = \frac{216}{125}\). 3. Multiplikation mit dem Ausgangsvolumen durchführen: \(250 \cdot \frac{216}{125}\). 4. Ausdruck vereinfachen und berechnen: \(\frac{250}{125} \cdot 216 = 2 \cdot 216 = 432\). Das Volumen des größeren Körpers beträgt \(432\,\text{cm}^3\).

\(432\,\text{cm}^3\)

- Wie kommst du vom Verhältnis der Oberflächeninhalte zum Verhältnis entsprechender Längen zurück? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Volumina? - Bestimme zuerst das Verhältnis entsprechender Längen, bevor du das neue Volumen berechnest.

1. Da das Verhältnis der Oberflächeninhalte \(2{,}25\) beträgt, stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:1{,}5\), denn \(1{,}5^2=2{,}25\). 2. Das Verhältnis der Volumina ist daher \(1{,}5^3=3{,}375\). 3. Da die Volumina im Verhältnis \(1:3{,}375\) stehen, gilt für das vergrößerte Gefäß \(V'=400\cdot3{,}375\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(400 \cdot 3{,}375 = 1350\). Entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\), und das neue Volumen beträgt \(1350\,\text{ml}\).

a) \(1:1{,}5\) b) \(1350\,\text{ml}\)

- Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Figur, wenn alle entsprechenden Seitenlängen im selben Verhältnis verändert werden? - Bestimme zuerst das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen der beiden Dreiecke. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Für die entsprechenden Grundseiten gilt \(\frac{g_2}{g_1}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\). 2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat dieses Längenverhältnisses: \(\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{4}{3}\right)^2\). 3. Daher ist \(A_2 = A_1 \cdot \frac{16}{9} = 54 \cdot \frac{16}{9} = 6 \cdot 16 = 96\). Der Flächeninhalt \(A_2\) beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks beträgt \(96\,\text{cm}^2\).

- Welche Kartenlänge ist in der Abbildung eingetragen? - Was bedeutet der Maßstab \(1:50\,000\) für entsprechende Längen? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Achte bei Teil b) auf die Umrechnung von Quadratmetern in Hektar.

1. Die Kartenlänge beträgt laut Abbildung \(1{,}2\,\text{cm}\). Im Maßstab \(1:50\,000\) entspricht das \(1{,}2\,\text{cm}\cdot50\,000=60\,000\,\text{cm}=600\,\text{m}\). 2. Der tatsächliche Flächeninhalt ist \((600\,\text{m})^2=360\,000\,\text{m}^2=36\,\text{ha}\). 3. Entsprechende Karten- und Wirklichkeitslängen stehen im Verhältnis \(1:50\,000\). Daher stehen die Flächeninhalte im Verhältnis \(1:(50\,000)^2=1:2\,500\,000\,000\).

a) \(600\,\text{m}\) b) \(36\,\text{ha}\) c) \(1:2\,500\,000\,000\)

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Was passiert mit der Seitenlänge, wenn sich der Flächeninhalt verneunfacht? - Überlege, wie sich die Diagonale verändert, wenn die Seitenlänge mit einem Faktor multipliziert wird. - Versuche, die Größen mit Variablen wie \(s\) und \(d\) auszudrücken.

1. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats: \(A = s^2\). 2. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Diagonale \(d\): \(d = s\sqrt{2}\). 3. Für den neuen Flächeninhalt gilt: \(A_{neu} = 9A_{alt}\), also \(s_{neu}^2 = 9s_{alt}^2\). 4. Daraus folgt durch Wurzelziehen für die Seitenlänge: \(s_{neu} = \sqrt{9s_{alt}^2} = 3s_{alt}\). Die Seitenlänge verdreifacht sich. 5. Für die neue Diagonale gilt: \(d_{neu} = s_{neu}\sqrt{2} = (3s_{alt})\sqrt{2} = 3(s_{alt}\sqrt{2}) = 3d_{alt}\). Auch die Diagonale verdreifacht sich.

Sowohl die Seitenlänge als auch die Diagonale des Quadrats verdreifachen sich.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Verhältnis der Flächeninhalte und dem Verhältnis entsprechender Längen ähnlicher Figuren? - Vereinfache zuerst das Verhältnis der beiden Flächeninhalte. - Welche positive Zahl musst du quadrieren, um dieses Verhältnis der Flächeninhalte zu erhalten?

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{75}{27}=\frac{25}{9}\). 2. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(\sqrt{\frac{25}{9}}:1=\frac{5}{3}:1\). 3. Die entsprechende Seitenlänge ist \(x=9\,\text{cm}\cdot\frac{5}{3}=15\,\text{cm}\).

\(x = 15\,\text{cm}\)

- Wie erhältst du aus dem Verhältnis zweier Flächeninhalte das Verhältnis entsprechender Längen? - Wie verhalten sich die Umfänge ähnlicher Figuren zum Verhältnis entsprechender Längen? - Nutze anschließend die gegebene Summe der beiden Umfänge.

1. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\). 2. Daher stehen entsprechende Längen von \(ABC\) und \(DEF\) im Verhältnis \(1:1{,}5\), denn \(\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 3. Auch die Umfänge stehen im Verhältnis \(1{,}5:1\), also ist \(y=1{,}5x\). 4. Aus \(x + 1{,}5x = 45\,\text{cm}\) folgt \(2{,}5x = 45\,\text{cm}\) und damit \(x = 18\,\text{cm}\). 5. Somit ist \(y = 27\,\text{cm}\).

\(x = 18\,\text{cm}\) \(y = 27\,\text{cm}\)

- Überlege dir, warum die Dreiecke \(MNC\) und \(ABC\) die gleiche Form haben (ähnlich sind). - Wie verhalten sich die Seitenlängen der beiden Dreiecke zueinander, wenn \(M\) die Mitte von \(BC\) ist? - Wenn man alle Seitenlängen einer Figur halbiert, wie ändert sich dann ihr Flächeninhalt? - Denke an den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis entsprechender Längen und dem Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren.

1. Die Dreiecke \(MNC\) und \(BAC\) sind ähnlich zueinander (\(\triangle MNC \sim \triangle BAC\)), da sie den Winkel bei \(C\) gemeinsam haben und aufgrund der Parallelität von \(MN\) und \(AB\) die entsprechenden Stufenwinkel gleich groß sind. 2. Da \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(BC\) ist, gilt für entsprechende Seiten \(\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}\). 3. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen: \(\frac{A_{MNC}}{A_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). 4. Das gesuchte Verhältnis der Flächeninhalte beträgt somit \(1{:}4\).

\(1{:}4\)

- Schreibe den Quotienten der Volumina als vollständig gekürzten Bruch. - Kannst du Zähler und Nenner jeweils als dritte Potenz einer kleinen ganzen Zahl erkennen? - Das gefundene Verhältnis entsprechender Längen wird anschließend auf die gegebene Länge übertragen.

1. Das Verhältnis der Volumina ist \(\frac{216}{64}=\frac{27}{8}\). 2. Es gilt \(\frac{27}{8}=\frac{3^3}{2^3}=\left(\frac{3}{2}\right)^3\). 3. Daher stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:\frac{3}{2}=1:1{,}5\). 4. Die entsprechende Länge am größeren Körper ist \(12\,\text{cm}\cdot1{,}5=18\,\text{cm}\).

Verhältnis entsprechender Längen \(1:1{,}5\); die entsprechende Länge beträgt \(18\,\text{cm}\).

- Schreibe zuerst die bekannten Formeln für Oberfläche und Volumen eines Quaders auf. - Ersetze anschließend jede Kantenlänge durch die mit \(r\) vervielfachte Länge. - Zähle, wie oft \(r\) in einem Flächenprodukt beziehungsweise im Volumenprodukt vorkommt.

1. Für den ursprünglichen Quader gilt \(O=2(ab+ac+bc)\) und \(V=abc\). 2. Nach der Vergrößerung sind die Kanten \(ra\), \(rb\) und \(rc\). 3. Damit ist \(O'=2((ra)(rb)+(ra)(rc)+(rb)(rc))=2r^2(ab+ac+bc)=r^2O\). 4. Für das Volumen gilt \(V'=(ra)(rb)(rc)=r^3abc=r^3V\). 5. In jedem Flächenterm tritt \(r\) zweimal auf, in jedem Volumenterm dreimal.

Es gilt \(O'=r^2O\) und \(V'=r^3V\).

- Betrachte die Schritte nacheinander: Zuerst die Beziehung zwischen A und B, dann zwischen B und C. - Wie verknüpfen sich die Verhältnisse entsprechender Längen, wenn man über eine Zwischenstufe vergrößert? - Erinnere dich daran, wie sich eine Längenänderung auf den Flächeninhalt auswirkt.

1. Teilaufgabe a: Das Verhältnis der Flächeninhalte ist \(\frac{A_B}{A_A} = \frac{1250}{200} = 6{,}25\). Daher stehen entsprechende Längen von A und B im Verhältnis \(1:2{,}5\), denn \(2{,}5^2=6{,}25\). 2. Teilaufgabe b: Da \(U_C = 2U_B\), stehen entsprechende Längen von B und C im Verhältnis \(1:2\). 3. Insgesamt stehen entsprechende Längen von A und C im Verhältnis \(1:(2{,}5\cdot2)=1:5\). 4. Entsprechende Längen von A und C stehen im Verhältnis \(1:5\). Daher stehen ihre Flächeninhalte im Verhältnis \(1:5^2=1:25\). Der Flächeninhalt von Modell C ist also 25-mal so groß wie der von Modell A.

a) Das Verhältnis der Seitenlängen von Modell A zu Modell B beträgt \(1 : 2{,}5\). b) Der Flächeninhalt von Modell C ist 25-mal so groß wie der von Modell A.

- Wie hängen die beiden Seitenlängen des A0-Bogens mit dem Verhältnis \(\sqrt{2}:1\) zusammen? - Wie oft wird der Flächeninhalt auf dem Weg von A0 zu A4 halbiert? - Welche beiden Seitenlängen entstehen aus \(x\) und \(\sqrt{2}x\), wenn die längere Seite halbiert wird? - Welches Verhältnis von Länge zu Breite müssen zwei Rechtecke besitzen, damit sie ähnlich sind?

1. Sei \(x\) die kurze Seite des A0-Bogens. Dann ist \(\sqrt{2}x\) die lange Seite und \(x\cdot\sqrt{2}x=10\,000\,\text{cm}^2\). Somit ist \(x^2=\frac{10000}{\sqrt{2}}\) und \(x\approx84{,}1\,\text{cm}\). Die lange Seite ist \(\sqrt{2}x\approx118{,}9\,\text{cm}\). 2. Bei jeder Halbierung wird der Flächeninhalt halbiert. Nach vier Schritten ist er \(10\,000\,\text{cm}^2:16=625\,\text{cm}^2\). 3. Vor einem Halbierungsschritt seien die Seiten \(x\) und \(\sqrt{2}x\). Nach dem Halbieren der längeren Seite sind die Seiten \(x\) und \(\frac{\sqrt{2}}{2}x\). Das Verhältnis der längeren zur kürzeren neuen Seite ist \(\frac{x}{(\sqrt{2}/2)x}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\). Damit bleibt das Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite bei jedem Schritt gleich; alle Winkel bleiben rechte Winkel. Deshalb ist auch A4 zu A0 ähnlich.

a) Die Seitenlängen betragen \(\approx84{,}1\,\text{cm}\) und \(\approx118{,}9\,\text{cm}\). b) \(625\,\text{cm}^2\) c) Nach einer Halbierung gilt \(\frac{x}{(\sqrt{2}/2)x}=\sqrt{2}\). Daher bleibt das Verhältnis von längerer zu kürzerer Seite \(\sqrt{2}:1\) erhalten und A4 ist zu A0 ähnlich.

- In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte, wenn entsprechende Seiten im Verhältnis \(4:3\) stehen? - Drücke \(S_2\) mithilfe dieses Verhältnisses durch \(S_1\) aus. - Wie kannst du anschließend die gegebene Flächendifferenz verwenden?

1. Entsprechende Seiten von \(T_2\) und \(T_1\) stehen im Verhältnis \(\frac{4}{3}\). Daher gilt \(\frac{S_2}{S_1}=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}\). 2. Somit ist \(S_2=\frac{16}{9}S_1\). Mit der Differenzbedingung folgt \(\frac{16}{9}S_1-S_1=28\,\text{cm}^2\). 3. Daraus ergibt sich \(\frac{7}{9}S_1=28\,\text{cm}^2\) und damit \(S_1=36\,\text{cm}^2\). 4. Folglich ist \(S_2=36\,\text{cm}^2+28\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\).

\(S_1=36\,\text{cm}^2\), \(S_2=64\,\text{cm}^2\)

- Warum sind die beiden Dreiecke an den parallelen Seiten des Trapezes ähnlich? - Welches Verhältnis entsprechender Längen gehört zum Verhältnis der Flächeninhalte \(1:9\)? - Wie kannst du dieses Längenverhältnis mit \(x+y=20\,\text{cm}\) verbinden?

1. Wegen \(BC\parallel AD\) sind die Dreiecke \(BOC\) und \(DOA\) ähnlich. 2. Aus \(A_{BOC}:A_{AOD}=1:9\) folgt für entsprechende Längen das Verhältnis \(1:3\). 3. Daher gilt \(x:y=1:3\), also \(y=3x\). 4. Mit \(x+y=20\,\text{cm}\) folgt \(4x=20\,\text{cm}\), also \(x=5\,\text{cm}\) und \(y=15\,\text{cm}\). 5. Auch die entsprechenden Diagonalenabschnitte stehen im Verhältnis \(1:3\). Daher ist \(OD=3\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

\(x=5\,\text{cm}\), \(y=15\,\text{cm}\), \(OD=12\,\text{cm}\)

- Ein kleinerer Maßstabsnenner bedeutet bei demselben realen Objekt ein größeres Modell. - Bestimme zuerst das Verhältnis entsprechender Modelllängen aus den beiden Maßstäben. - Verwende für Fläche und Volumen nicht dasselbe Verhältnis wie für eine Länge.

1. Für dieselbe Wirklichkeitslänge ist eine Modelllänge bei \(1:20\) größer als bei \(1:50\). Entsprechende Längen in Modell B und Modell A stehen im Verhältnis \(\frac{50}{20}=2{,}5\). 2. Die entsprechende Kante in B ist \(14\,\text{cm}\cdot2{,}5=35\,\text{cm}\). 3. Die Außenfläche verändert sich mit dem Quadrat dieses Verhältnisses: \(2{,}5^2=6{,}25\). Daher beträgt die Außenfläche \(96\,\text{cm}^2\cdot6{,}25=600\,\text{cm}^2\). 4. Das Volumen verändert sich mit der dritten Potenz: \(2{,}5^3=15{,}625\). Daher beträgt das Volumen \(320\,\text{cm}^3\cdot15{,}625=5000\,\text{cm}^3\).

Kantenlänge: \(35\,\text{cm}\) Außenfläche: \(600\,\text{cm}^2\) Volumen: \(5000\,\text{cm}^3\)