Aimathic
Login | English | Deutsch

Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Strahlensätze

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

5531269
In der dargestellten V-Figur gilt \(AB\parallel CD\). Welche Verhältnisgleichung ist nach dem ersten Strahlensatz sicher richtig? A: \(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SD}\) B: \(\frac{SA}{SC}=\frac{SD}{SB}\) C: \(\frac{SA}{SB}=\frac{SD}{SC}\)
Abbildung zur Aufgabe 553126

Denkanstöße

- Suche auf jedem Strahl den Abstand zur näheren und zur weiter entfernten Parallelen. - In beiden Brüchen muss die Reihenfolge „nah zu weit“ gleich bleiben.

Lösung

1. Auf dem ersten Strahl entsprechen einander die Abstände \(SA\) und \(SC\), auf dem zweiten Strahl die Abstände \(SB\) und \(SD\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt deshalb \(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SD}\). 3. Damit ist nur Aussage A richtig.

Antwort

Richtig ist A: \(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SD}\).
5565719
Welche der drei Skizzen zeigt eine gültige Grundkonfiguration für die Strahlensätze? Begründe deine Wahl mit den beiden geometrischen Voraussetzungen.
Abbildung zur Aufgabe 556571

Denkanstöße

- Wie viele gemeinsame Strahlen müssen vom selben Scheitelpunkt ausgehen? - Welche Beziehung müssen die beiden Querstrecken haben? - Prüfe diese beiden Bedingungen in jeder Skizze getrennt.

Lösung

1. In a) liegen \(A,C\) auf einem gemeinsamen Strahl von \(S\) und \(B,D\) auf einem zweiten gemeinsamen Strahl von \(S\). 2. Außerdem sind die Querstrecken \(AB\) und \(CD\) parallel. Damit liegt eine Strahlensatzfigur vor. 3. In b) liegen die Punkte zwar auf zwei gemeinsamen Strahlen, aber die Querstrecken sind nicht parallel. 4. In c) liegen \(B\) und \(D\) nicht auf demselben Strahl von \(S\). Damit fehlt dort die zweite gemeinsame Strahlengerade.

Antwort

Nur Skizze a) ist eine gültige Strahlensatzfigur: Es gibt zwei gemeinsame Strahlen mit Scheitel \(S\) und zwei parallele Querstrecken.
4148549
An einem Punkt \(Z\) entspringen zwei Strahlen. Auf dem ersten Strahl liegen die Punkte \(A\) und \(B\), auf dem zweiten Strahl die Punkte \(C\) und \(D\). Es sind folgende Abstände vom Scheitelpunkt \(Z\) bekannt: \(\overline{ZA} = 3{,}5\,\text{cm}\), \(\overline{AB} = 5{,}25\,\text{cm}\), \(\overline{ZC} = 4{,}2\,\text{cm}\) und \(\overline{CD} = 6{,}3\,\text{cm}\). Überprüfe rechnerisch, ob die Strecken \(AC\) und \(BD\) parallel zueinander verlaufen. Begründe deine Entscheidung mithilfe der Umkehrung des ersten Strahlensatzes.

Denkanstöße

- Überlege, wie man die Gesamtlänge der Strahlabschnitte vom Scheitelpunkt aus berechnet. - Welche Streckenabschnitte müssen laut dem ersten Strahlensatz in welchem Verhältnis zueinander stehen? - Was sagt die Umkehrung des Strahlensatzes über die Parallelität aus, wenn die Verhältnisse gleich sind?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtlängen der Strecken vom Scheitelpunkt \(Z\) zu den äußeren Punkten: \(\overline{ZB} = \overline{ZA} + \overline{AB} = 3{,}5\,\text{cm} + 5{,}25\,\text{cm} = 8{,}75\,\text{cm}\) und \(\overline{ZD} = \overline{ZC} + \overline{CD} = 4{,}2\,\text{cm} + 6{,}3\,\text{cm} = 10{,}5\,\text{cm}\). 2. Prüfung des Verhältnisses der Teilstrecken auf dem ersten Strahl: \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{3{,}5}{8{,}75} = 0{,}4\). 3. Prüfung des Verhältnisses der Teilstrecken auf dem zweiten Strahl: \(\frac{\overline{ZC}}{\overline{ZD}} = \frac{4{,}2}{10{,}5} = 0{,}4\). 4. Da die Verhältnisse auf beiden Strahlen gleich sind (\(0{,}4 = 0{,}4\)), folgt aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes, dass die Strecken \(AC\) und \(BD\) parallel zueinander verlaufen.

Antwort

Ja, die Strecken \(AC\) und \(BD\) sind parallel, da die Verhältnisse der entsprechenden Strahlenabschnitte gleich sind: \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZC}}{\overline{ZD}} = 0{,}4\).
4153909
Die Abbildung zeigt eine Strahlensatzfigur mit \(AC\parallel BD\). Es gilt \(|SB|=15\,\text{cm}\) und \(|AC|{:}|BD|=2{:}5\). Berechne \(|SA|\) und \(|AB|\).
Abbildung zur Aufgabe 415390

Denkanstöße

- Welche Verhältnisgleichung verbindet eine Strecke vom Scheitelpunkt mit den beiden parallelen Querstrecken? - Nutze zuerst das gegebene Verhältnis \(2{:}5\), um \(|SA|\) zu bestimmen. - Wie erhältst du anschließend das Teilstück zwischen \(A\) und \(B\) aus der Gesamtstrecke \(SB\)?

Lösung

1. Mit dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{|SA|}{|SB|} = \frac{|AC|}{|BD|}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{|SA|}{15\,\text{cm}} = \frac{2}{5}\). 3. Daher ist \(|SA| = 15\,\text{cm} \cdot \frac{2}{5} = 6\,\text{cm}\). 4. Weil \(A\) auf \(SB\) liegt, folgt \(|AB| = |SB| - |SA| = 15\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\).

Antwort

\(|SA| = 6\,\text{cm}\) und \(|AB| = 9\,\text{cm}\)
4156049
Die Abbildung zeigt eine V-Figur. Die beiden Querstrecken sind parallel. Berechne die Länge \(b\).
Abbildung zur Aufgabe 415604

Denkanstöße

- Welche gesamte Entfernung vom Scheitelpunkt bis zur äußeren Parallelen erhältst du auf dem ersten Strahl? - Welche inneren und äußeren Strecken gehören im zweiten Strahlensatz zusammen? - Achte darauf, vom Scheitelpunkt aus gemessene Strecken zu vergleichen.

Lösung

1. Auf dem ersten Strahl ist \(SB=SA+AB=4{,}0\,\text{cm}+6{,}0\,\text{cm}=10{,}0\,\text{cm}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{SA}{SB}=\frac{AC}{BD}\). 3. Mit den Angaben aus der Abbildung ist \(\frac{4}{10}=\frac{3}{b}\). 4. Daraus folgt \(b=7{,}5\,\text{cm}\).

Antwort

\(b=7{,}5\,\text{cm}\)
4363689
In der Abbildung sind die Geraden \(g\) und \(h\) parallel. Die Strahlen gehen vom Punkt \(Z\) aus. Ergänze die fehlenden Größen \(x\) und \(y\) in den Verhältnisgleichungen mithilfe der Bezeichnungen aus der Zeichnung. Falls es mehrere Möglichkeiten gibt, nenne alle. a) \(\frac{a}{a+b} = \frac{x}{y}\) b) \(\frac{c}{d} = \frac{x}{y}\) c) \(\frac{e}{f} = \frac{x}{y}\)
Abbildung zur Aufgabe 436368

Denkanstöße

- Überlege, welcher Strahlensatz (1. oder 2.) die gesuchten Strecken miteinander verknüpft. - Der 1. Strahlensatz bezieht sich nur auf die Abschnitte auf den Strahlen. - Der 2. Strahlensatz stellt eine Beziehung zwischen den Parallelen und den Strahlenabschnitten her. - Achte darauf, dass die Strecken immer vom Scheitelpunkt \(Z\) aus gemessen werden, wenn du die Parallelen einbeziehst.

Lösung

Mithilfe des 1. und 2. Strahlensatzes lassen sich die Verhältnisse bestimmen: 1. Nach dem 1. Strahlensatz verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl: \(\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}\). Also ist \(x = c\) und \(y = c+d\). 2. Nach dem 1. Strahlensatz gilt auch: \(\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\). Also ist \(x = a\) und \(y = b\). 3. Nach dem 2. Strahlensatz verhalten sich die Längen der Parallelen wie die vom Scheitelpunkt \(Z\) aus gemessenen Längen auf den Strahlen: \(\frac{e}{f} = \frac{a}{a+b}\) oder \(\frac{e}{f} = \frac{c}{c+d}\). Also gibt es hier zwei Lösungen für \(x\) und \(y\).

Antwort

a) \(x = c\); \(y = c+d\) b) \(x = a\); \(y = b\) c) \(x = a\) und \(y = a+b\) oder \(x = c\) und \(y = c+d\)
4363769
In der abgebildeten V-Figur sind die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander. Berechne die Länge der Strecke \(\overline{BD}\). Gegeben sind die Längen: \(\overline{ZA} = 4\,\text{cm}\) \(\overline{AC} = 6\,\text{cm}\) \(\overline{ZB} = 5\,\text{cm}\)
Abbildung zur Aufgabe 436376

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Strecken auf demselben Strahl liegen und in welchem Verhältnis sie zueinander stehen. - Wie lang ist der gesamte Strahlabschnitt vom Scheitelpunkt \(Z\) bis zum Punkt \(C\)? - Kannst du ein Verhältnis aufstellen, in dem die gesuchte Teilstrecke vorkommt oder aus dem sie berechnet werden kann? - Achte darauf, dass du immer die Längen vom Scheitelpunkt \(Z\) aus betrachtest, wenn du die Verhältnisse aufstellst.

Lösung

1. Identifikation des 1. Strahlensatzes für die V-Figur: Da \(g \parallel h\), gilt das Verhältnis \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZD}}\). 2. Berechnung der Gesamtlänge \(\overline{ZC}\): \(\overline{ZC} = \overline{ZA} + \overline{AC} = 4\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 3. Aufstellen der Gleichung nach dem 1. Strahlensatz: \(\frac{4}{10} = \frac{5}{\overline{ZD}}\). 4. Lösen nach \(\overline{ZD}\): \(\overline{ZD} = \frac{5 \cdot 10}{4} = 12{,}5\,\text{cm}\). 5. Berechnung der gesuchten Teilstrecke \(\overline{BD}\): \(\overline{BD} = \overline{ZD} - \overline{ZB} = 12{,}5\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}\).

Antwort

Die Strecke \(\overline{BD}\) ist \(7{,}5\,\text{cm}\) lang.
4363779
In der abgebildeten X-Figur sind die Strecken \(\overline{AC}\) und \(\overline{BD}\) parallel zueinander. Einige Längen der Teilstrecken sind bereits eingetragen. Berechne die fehlenden Längen \(x\) und \(y\).
Abbildung zur Aufgabe 436377

Denkanstöße

- Welche Strahlensatz-Figur erkennst du in der Zeichnung? - Finde den Scheitelpunkt \(S\), an dem sich die Geraden kreuzen. - Überlege, welche Abschnitte auf derselben Geraden liegen und zueinander gehören. - Denke daran, dass das Verhältnis der Parallelstrecken dem Verhältnis der Streckenabschnitte vom Scheitelpunkt aus entspricht.

Lösung

1. Identifikation der Strahlensatz-Figur: Es handelt sich um eine X-Figur (Scheitelpunktfigur). 2. Anwendung des 1. Strahlensatzes für die Teilstrecken auf den sich schneidenden Geraden: \(\frac{SA}{SB} = \frac{SC}{SD}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses anhand der bekannten Werte auf der ersten Geraden: \(\frac{SA}{SB} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). 4. Berechnung von \(x\) durch Anwendung des Verhältnisses auf die zweite Gerade: \(\frac{x}{6} = 0{,}5 \implies x = 3\). 5. Anwendung des 2. Strahlensatzes für die parallelen Strecken \(\overline{AC}\) und \(\overline{BD}\): \(\frac{AC}{BD} = \frac{SA}{SB}\). 6. Berechnung von \(y\): \(\frac{4}{y} = 0{,}5 \implies y = \frac{4}{0{,}5} = 8\).

Antwort

\(x = 3\) und \(y = 8\)
4363859
In der Abbildung gilt \(CD\parallel AB\). Berechne \(x=AB\).
Abbildung zur Aufgabe 436385

Denkanstöße

- Welche beiden Punkte liegen auf demselben Strahl hintereinander? - Bestimme zuerst die gesamte Strecke \(ZA\). - Welcher Strahlensatz verbindet die parallelen Strecken \(CD\) und \(AB\) mit den Entfernungen von \(Z\)?

Lösung

1. Zuerst ist \(ZA=ZC+CA=4\,\text{cm}+2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{ZC}{ZA}=\frac{CD}{AB}\). 3. Einsetzen liefert \(\frac{4}{6}=\frac{3}{x}\). 4. Daraus folgt \(4x=18\) und damit \(x=4{,}5\,\text{cm}\).

Antwort

Die Strecke \(AB\) ist \(4{,}5\,\text{cm}\) lang.
4363869
Von einem Punkt \(Z\) gehen zwei Strahlen aus. Auf dem ersten Strahl liegen nacheinander die Punkte \(A_1\), \(B_1\) und \(C_1\), auf dem zweiten Strahl die Punkte \(A_2\), \(B_2\) und \(C_2\). Die Gerade \(g\) verläuft durch \(A_1\) und \(A_2\), die Gerade \(h\) durch \(B_1\) und \(B_2\), die Gerade \(k\) durch \(C_1\) und \(C_2\). Gegeben sind \(|ZA_1|=3{,}0\), \(|ZA_2|=2{,}0\), \(|ZB_1|=6{,}0\), \(|ZB_2|=4{,}0\), \(|ZC_1|=9{,}0\) und \(|ZC_2|=5{,}5\). Prüfe rechnerisch, welche der Geraden \(g\), \(h\) und \(k\) zueinander parallel sind.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Umkehrung des ersten Strahlensatzes. - Vergleiche für jede Verbindungsgerade die Abstände vom Scheitelpunkt \(Z\) auf den beiden Strahlen. - Welche Quotienten müssen übereinstimmen, damit du auf Parallelität schließen darfst?

Lösung

1. Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes sind zwei Verbindungsgeraden parallel, wenn die Abstände ihrer Schnittpunkte vom Scheitelpunkt auf beiden Strahlen dasselbe Verhältnis haben. 2. Für \(g\) und \(h\) gilt \(\frac{|ZA_1|}{|ZA_2|}=\frac{3{,}0}{2{,}0}=1{,}5\) und \(\frac{|ZB_1|}{|ZB_2|}=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\). Daher ist \(g\parallel h\). 3. Für \(k\) gilt \(\frac{|ZC_1|}{|ZC_2|}=\frac{9{,}0}{5{,}5}\approx 1{,}64\). Dieses Verhältnis unterscheidet sich von \(1{,}5\). 4. Somit ist \(k\) weder zu \(g\) noch zu \(h\) parallel.

Antwort

Die Geraden \(g\) und \(h\) sind zueinander parallel. Die Gerade \(k\) ist zu keiner der beiden anderen Geraden parallel.
4363929
In der abgebildeten V-Figur sind die Geraden \(g\) und \(h\) parallel. Berechne \(x=BD\) und \(y=CD\).
Abbildung zur Aufgabe 436392

Denkanstöße

- Welche beiden Entfernungen vom Scheitelpunkt liegen auf dem ersten Strahl vollständig vor? - Welche Verhältnisgleichung des ersten Strahlensatzes enthält \(SD=SC+CD\)? - Welche weitere Verhältnisgleichung bezieht die parallelen Querstrecken \(AC\) und \(BD\) ein?

Lösung

1. Es gilt \(SA=4\), \(AB=6\), also \(SB=10\), sowie \(SC=5\) und \(AC=3\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{SA}{SB}=\frac{SC}{SD}\), also \(\frac{4}{10}=\frac{5}{5+y}\). Daraus folgt \(y=7{,}5\). 3. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{AC}{BD}=\frac{SA}{SB}\), also \(\frac{3}{x}=\frac{4}{10}\). Daraus folgt \(x=7{,}5\).

Antwort

\(x=7{,}5\), \(y=7{,}5\)
4363969
In der abgebildeten V-Figur sind die Geraden \(g\) und \(h\) parallel. Bestimme \(x=CD\).
Abbildung zur Aufgabe 436396

Denkanstöße

- Welche beiden Gesamtentfernungen vom Scheitelpunkt enthalten die gegebenen Teilstrecken? - Welche Verhältnisgleichung des ersten Strahlensatzes vergleicht diese Gesamtentfernungen auf beiden Strahlen? - Schreibe \(ZD\) zunächst mit \(x\) aus.

Lösung

1. Es ist \(ZA=3\,\text{cm}\), \(AB=4{,}5\,\text{cm}\), also \(ZB=7{,}5\,\text{cm}\). Außerdem gilt \(ZC=4\,\text{cm}\) und \(ZD=4\,\text{cm}+x\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{ZC}{ZD}\). 3. Damit ist \(\frac{3}{7{,}5}=\frac{4}{4+x}\). Auflösen ergibt \(x=6\,\text{cm}\).

Antwort

\(x=6\,\text{cm}\)
4364079
In der Abbildung gilt \(AC\parallel BD\). Bestimme \(x=AB\) und \(y=CD\).
Abbildung zur Aufgabe 436407

Denkanstöße

- Welche beiden parallelen Strecken liefern unmittelbar ein gemeinsames Verhältnis entsprechender Längen? - Wie setzen sich \(ZB\) und \(ZD\) aus den gegebenen und gesuchten Teilstrecken zusammen? - Achte darauf, die Entfernungen jeweils vom Scheitelpunkt \(Z\) aus zu vergleichen.

Lösung

1. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{AC}{BD}\), also \(\frac{4}{4+x}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\). Daraus folgt \(x=8\,\text{cm}\). 2. Ebenso gilt \(\frac{ZC}{ZD}=\frac{AC}{BD}\), also \(\frac{5}{5+y}=\frac{1}{3}\). Daraus folgt \(y=10\,\text{cm}\).

Antwort

\(x=8\,\text{cm}\) und \(y=10\,\text{cm}\)
4364159
Betrachte die folgende X-Figur mit den parallelen Geraden \(g\) und \(h\). Die Streckenabschnitte vom Schnittpunkt \(Z\) zu den Parallelen sind mit \(p, q, r\) und \(s\) bezeichnet, die parallelen Abschnitte mit \(u\) und \(v\). Welche der folgenden Verhältnisgleichungen sind korrekt? A: \(\frac{p}{q} = \frac{r}{s}\) B: \(\frac{u}{v} = \frac{p}{q}\) C: \(\frac{p}{r} = \frac{q}{s}\) D: \(\frac{p}{q} = \frac{s}{r}\)
Abbildung zur Aufgabe 436415

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Strahlensätze für die X-Figur. Welche Abschnitte entsprechen einander? - Der erste Strahlensatz vergleicht die Abschnitte auf den sich schneidenden Geraden. - Der zweite Strahlensatz bezieht die parallelen Strecken mit ein. - Versuche, eine bekannte richtige Gleichung mathematisch umzuformen, um andere Varianten zu prüfen.

Lösung

1. Nach dem ersten Strahlensatz für die X-Figur gilt \(\frac{p}{q} = \frac{r}{s}\). Damit ist Aussage A korrekt. 2. Durch Umformen dieser Gleichung erhält man \(\frac{p}{r} = \frac{q}{s}\). Damit ist Aussage C korrekt. 3. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{u}{v} = \frac{p}{q}\). Damit ist Aussage B korrekt. 4. Aussage D ist falsch, da das Verhältnis auf der rechten Seite umgekehrt wurde.

Antwort

Die korrekten Aussagen sind A, B und C.
4364179
Zwei Geraden schneiden sich im Punkt \(Z\). Auf der ersten liegen \(A\) und \(A_1\) auf entgegengesetzten Seiten von \(Z\), auf der zweiten entsprechend \(B\) und \(B_1\). Es gilt \(AB \parallel A_1B_1\). Dabei bezeichnen \(a=ZA\), \(a_1=ZA_1\), \(b=ZB\), \(b_1=ZB_1\), \(x=AB\) und \(y=A_1B_1\). Berechne die fehlenden Streckenlängen in der Tabelle. <table> <thead> <tr> <th></th> <th>\(a\)</th> <th>\(a_1\)</th> <th>\(b\)</th> <th>\(b_1\)</th> <th>\(x\)</th> <th>\(y\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>a)</td> <td>\(3\,\text{cm}\)</td> <td>\(4{,}5\,\text{cm}\)</td> <td>\(2\,\text{cm}\)</td> <td>?</td> <td>-</td> <td>-</td> </tr> <tr> <td>b)</td> <td>\(4\,\text{cm}\)</td> <td>\(10\,\text{cm}\)</td> <td>-</td> <td>-</td> <td>\(3{,}2\,\text{cm}\)</td> <td>?</td> </tr> </tbody> </table>

Denkanstöße

- Welche Strecken liegen jeweils auf derselben Geraden durch \(Z\)? - In a) brauchst du nur die Abstände vom Schnittpunkt auf den beiden Geraden. - In b) werden zusätzlich die beiden parallelen Verbindungsstrecken verglichen.

Lösung

1. Für a) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{b_1}\). Damit ist \(b_1=3\,\text{cm}\). 3. Für b) gilt nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{a}{a_1}=\frac{x}{y}\). 4. Einsetzen ergibt \(\frac{4}{10}=\frac{3{,}2}{y}\). Damit ist \(y=8\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(b_1=3\,\text{cm}\) b) \(y=8\,\text{cm}\)
4364259
Die Geraden \(AC\) und \(BD\) schneiden sich im Punkt \(Z\). Die Strecken \(AB\) und \(CD\) sind parallel. Gegeben sind \(ZA=5\,\text{cm}\), \(ZC=12{,}5\,\text{cm}\), \(ZD=15\,\text{cm}\) und \(AB=4\,\text{cm}\). Berechne \(ZB\) und \(CD\).

Denkanstöße

- Welche Strecken liegen auf derselben Geraden durch \(Z\)? - Nutze für \(ZB\) zunächst nur die Entfernungen vom Schnittpunkt. - Wie kannst du danach dasselbe Verhältnis auf die parallelen Strecken übertragen?

Lösung

1. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{ZB}{ZD}=\frac{ZA}{ZC}\). 2. Damit ist \(\frac{ZB}{15}=\frac{5}{12{,}5}=0{,}4\), also \(ZB=6\,\text{cm}\). 3. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{CD}{AB}=\frac{ZC}{ZA}\). 4. Damit ist \(\frac{CD}{4}=\frac{12{,}5}{5}=2{,}5\), also \(CD=10\,\text{cm}\).

Antwort

\(ZB=6\,\text{cm}\) und \(CD=10\,\text{cm}\)
4364269
In einem Dreieck \(ABC\) wird eine Parallele zur Seite \(BC\) gezeichnet. Sie schneidet \(AB\) im Punkt \(D\) und \(AC\) im Punkt \(E\). Gegeben sind \(AD=4\,\text{cm}\), \(DB=2\,\text{cm}\) und \(BC=7{,}5\,\text{cm}\). a) Berechne die Länge \(AB\). b) Berechne \(DE\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst aus \(AD\) und \(DB\) die gesamte Länge \(AB\). - Welche beiden Strecken sind parallel und bilden die Querstrecken der Strahlensatzfigur? - Welches Verhältnis vom Scheitelpunkt \(A\) entspricht dem Verhältnis \(DE:BC\)?

Lösung

1. Es ist \(AB=AD+DB=4\,\text{cm}+2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 2. Wegen \(DE\parallel BC\) gilt nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{DE}{7{,}5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\). 4. Somit ist \(DE=7{,}5\,\text{cm}\cdot\frac{2}{3}=5\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(AB=6\,\text{cm}\) b) \(DE=5\,\text{cm}\)
4364289
Gegeben ist die abgebildete V-Figur, in der die Geraden \(g\) und \(h\) parallel verlaufen. Alle Längenangaben sind in Zentimetern. a) Berechne die Länge \(b\) der Strecke \(\overline{BD}\). b) Bestimme die Gesamtlänge der Strecke \(\overline{ZD}\).
Abbildung zur Aufgabe 436428

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welchen Scheitelpunkt die Strahlensatzfigur hat. - Welche Strecken auf den Strahlen gehören zusammen? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem ersten und dem zweiten Strahlensatz. - Wie hängen die Längen auf den Strahlen mit den Längen der Parallelstrecken zusammen?

Lösung

1. Da \(g\parallel h\), gilt für entsprechende Längen \(\frac{\overline{ZB}}{\overline{ZA}}=\frac{4\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}=2{,}5\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{b}{5\,\text{cm}}=2{,}5\). Daher ist \(b=12{,}5\,\text{cm}\). 3. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{\overline{ZD}}{3{,}2\,\text{cm}}=2{,}5\). Daher ist \(\overline{ZD}=8\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(b=12{,}5\,\text{cm}\) b) \(\overline{ZD}=8\,\text{cm}\)
4366449
Im Dreieck \(ABC\) ist \(K\) der Mittelpunkt der Seite \(AB\). Der Punkt \(P\) liegt auf der Seite \(BC\), ist aber nicht deren Mittelpunkt. Kann \(KP\) parallel zu \(AC\) verlaufen? Begründe mit einem Strahlensatz.
Abbildung zur Aufgabe 436644

Denkanstöße

- Welches Teilverhältnis erzeugt der Mittelpunkt \(K\) auf \(BA\)? - Welche Teilstrecken auf \(BA\) und \(BC\) entsprechen einander vom Scheitelpunkt \(B\) aus? - Welche Konsequenz hätte Parallelität für die Lage von \(P\)?

Lösung

1. Weil \(K\) der Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(BK:KA=1:1\). 2. Wäre \(KP\parallel AC\), dann müssten nach dem ersten Strahlensatz die entsprechenden Teilverhältnisse auf den beiden Strahlen durch \(B\) übereinstimmen. 3. Es müsste also \(BK:KA=BP:PC\) gelten. Dann wäre auch \(BP:PC=1:1\), also wäre \(P\) der Mittelpunkt von \(BC\). 4. Das widerspricht der Angabe. Daher kann \(KP\) nicht parallel zu \(AC\) sein.

Antwort

Nein. Aus \(KP\parallel AC\) würde \(BK:KA=BP:PC\) folgen. Wegen \(BK:KA=1:1\) müsste dann auch \(P\) Mittelpunkt von \(BC\) sein, im Widerspruch zur Angabe.
4368469
Die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks \(ABC\) bilden das Dreieck \(A_1B_1C_1\). Der Umfang des großen Dreiecks \(ABC\) beträgt \(42\,\text{cm}\). Wie groß ist der Umfang des Dreiecks \(A_1B_1C_1\)? Begründe, warum seine Seiten halb so lang sind wie die entsprechenden Seiten des großen Dreiecks.
Abbildung zur Aufgabe 436846

Denkanstöße

- Welche beiden Strecken vom selben Eckpunkt aus werden durch die Mittelpunkte jeweils halbiert? - Was folgt aus zwei gleichen Teilungsverhältnissen für die Verbindung der beiden Teilungspunkte? - Welches Verhältnis haben anschließend die parallelen Seiten des kleinen und des großen Dreiecks? - Was geschieht mit der Summe der Seitenlängen, wenn jede einzelne Seitenlänge halbiert wird?

Lösung

1. Weil \(A_1\) und \(B_1\) Mittelpunkte sind, gilt vom Scheitel \(C\) aus \(\frac{CA_1}{CB}=\frac{CB_1}{CA}=\frac{1}{2}\). Daraus folgt \(A_1B_1\parallel AB\). 2. Für die parallelen Strecken gilt dann \(\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CA_1}{CB}=\frac{1}{2}\). Entsprechend sind auch die beiden anderen Seiten des Mittendreiecks jeweils halb so lang wie die entsprechenden Seiten des großen Dreiecks. 3. Da jeder Summand des Umfangs halbiert wird, ist auch der Umfang halb so groß: \(U_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot42\,\text{cm}=21\,\text{cm}\).

Antwort

Der Umfang des Dreiecks \(A_1B_1C_1\) beträgt \(21\,\text{cm}\).
4370529
Die Abbildung zeigt eine V-Figur mit \(AC\parallel BD\). Bestimme die Länge \(x=AC\).
Abbildung zur Aufgabe 437052

Denkanstöße

- Welche gesamte Entfernung vom Scheitelpunkt erhältst du auf dem ersten Strahl? - Welche beiden parallelen Querstrecken gehören zusammen? - Schreibe das Verhältnis so, dass die innere Querstrecke zur inneren Scheitelentfernung gehört.

Lösung

1. Aus der Abbildung ist \(SB=SA+AB=8+12=20\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{AC}{BD}=\frac{SA}{SB}\). 3. Damit ist \(\frac{x}{15}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\). 4. Also gilt \(x=6\).

Antwort

\(x=6\)
5565729
Auf zwei Strahlen mit gemeinsamem Scheitel \(S\) liegen \(A,C\) beziehungsweise \(B,D\). Die Querstrecken \(AB\) und \(CD\) sind bewusst nicht eingezeichnet. Alle benötigten Längen stehen in der Abbildung. Prüfe mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes, ob \(AB\parallel CD\) gilt.
Abbildung zur Aufgabe 556572

Denkanstöße

- Für die Umkehrung brauchst du auf beiden Strahlen Abstände vom gemeinsamen Scheitelpunkt. - Welche beiden ganzen Abstände erhältst du durch Addieren der Teilstrecken? - Vergleiche die beiden Verhältnisse in derselben Reihenfolge „nah zu weit“.

Lösung

1. Auf dem ersten Strahl ist \(SC=SA+AC=6+4=10\). 2. Auf dem zweiten Strahl ist \(SD=SB+BD=9+6=15\). 3. Damit gilt \(\frac{SA}{SC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) und \(\frac{SB}{SD}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\). 4. Die gleich orientierten Verhältnisse stimmen überein. Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes gilt daher \(AB\parallel CD\).

Antwort

Ja. Es gilt \(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SD}=\frac{3}{5}\), also \(AB\parallel CD\).
4100829
Für die abgebildete Figur gilt: \(AB \parallel DE\), \(AB = 6\), \(DE = 10\), \(BE = 24\). Wie lang ist die Strecke \(CE\)?
Abbildung zur Aufgabe 410082

Denkanstöße

- Siehst du zwei Dreiecke, die die gleiche Form haben? Warum ist das so? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den bekannten Seitenlängen aufstellen? - Wie hängen die gesuchte Teilstrecke und die gegebene Gesamtstrecke zusammen?

Lösung

1. Identifikation ähnlicher Dreiecke: \(\triangle ABC \sim \triangle EDC\) aufgrund der parallelen Seiten (Stufen- oder Wechselwinkel) 2. Aufstellen des Längenverhältnisses: \(\frac{CE}{BC} = \frac{DE}{AB} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\) 3. Nutzung der Gesamtstrecke \(BE\): \(BC + CE = 24\) 4. Einsetzen und Lösen der Gleichung: \(\frac{3}{5}CE + CE = 24 \Rightarrow \frac{8}{5}CE = 24 \Rightarrow CE = 15\)

Antwort

15
4152559
In einem Dreieck \(ABC\) wird eine Strecke \(DE\) parallel zur Seite \(AB\) so gezeichnet, dass \(D\) auf \(AC\) und \(E\) auf \(BC\) liegt. Es ist bekannt, dass \(CD=6\,\text{cm}\) und \(DA=9\,\text{cm}\). a) Bestimme das Längenverhältnis \(CE:CB\). b) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der Dreiecke \(CDE\) und \(CBA\)? c) Das Dreieck \(ABC\) hat einen Flächeninhalt von \(75\,\text{cm}^2\). Berechne den Flächeninhalt des Trapezes \(ABED\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die gesamte Länge \(CA\). - Welche beiden Strahlen gehen vom Punkt \(C\) aus, und welche beiden Strecken sind parallel? - Welche Verhältnisgleichung liefert der erste Strahlensatz für \(CE:CB\)? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen? - Wie setzt sich die Fläche des großen Dreiecks aus Dreieck und Trapez zusammen?

Lösung

1. Es ist \(CA=CD+DA=6\,\text{cm}+9\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). 2. Wegen \(DE\parallel AB\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\). Daher ist \(CE:CB=2:5\). 3. Die Dreiecke \(CDE\) und \(CBA\) sind ähnlich. Ihre Flächeninhalte stehen deshalb im Verhältnis \(2^2:5^2=4:25\). 4. Somit ist \(A_{CDE}=\frac{4}{25}\cdot75\,\text{cm}^2=12\,\text{cm}^2\). 5. Für das Trapez folgt \(A_{ABED}=75\,\text{cm}^2-12\,\text{cm}^2=63\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) \(CE:CB=2:5\) b) \(A_{CDE}:A_{CBA}=4:25\) c) \(63\,\text{cm}^2\)
4153849
In einem Dreieck \(ABC\) verläuft eine Parallele zur Seite \(BC\). Diese schneidet die Seite \(AB\) im Punkt \(D\) und die Seite \(AC\) im Punkt \(E\). Es ist bekannt, dass \(AD = 4\,\text{cm}\) und die verbleibende Teilstrecke \(DB = 6\,\text{cm}\) lang ist. Die Grundseite \(BC\) misst \(15\,\text{cm}\). a) Berechne die Länge der parallelen Strecke \(DE\). b) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der Dreiecke \(ADE\) und \(ABC\)? Begründe deine Antwort mithilfe des Verhältnisses entsprechender Längen.

Denkanstöße

- Welchen Strahlensatz musst du anwenden, um die Länge der Parallelen zu berechnen? - Achte darauf, immer die Längen vom Zentrum des Strahls aus zu betrachten (also die gesamte Seitenlänge des großen Dreiecks). - Wie hängen das Verhältnis entsprechender Längen und das Verhältnis der Flächeninhalte bei ähnlichen Figuren zusammen?

Lösung

1. Anwendung des zweiten Strahlensatzes: Zuerst wird die Gesamtlänge \(AB = AD + DB = 4\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\) berechnet. Es gilt das Verhältnis \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\). Eingesetzt ergibt das \(\frac{DE}{15} = \frac{4}{10}\). Daraus folgt \(DE = 15 \cdot 0{,}4 = 6\,\text{cm}\). 2. Für entsprechende Längen gilt \(\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=0{,}4\). Das Verhältnis der Flächeninhalte entspricht dem Quadrat dieses Längenverhältnisses, also \(0{,}4^2=0{,}16\). Dies entspricht \(16:100\) beziehungsweise gekürzt \(4:25\).

Antwort

a) Die Strecke \(DE\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt \(4:25\) beziehungsweise \(0{,}16\), da es dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen \(0{,}4\) entspricht.
4156069
Die Abbildung zeigt zwei Strahlen, die von zwei parallelen Quergeraden geschnitten werden. Auf dem zweiten Strahl gilt zusätzlich \(SD=45\,\text{cm}\). Bestimme a) \(b_1\), b) \(b_2\).
Abbildung zur Aufgabe 415606

Denkanstöße

- Welche gesamte Entfernung bis zur äußeren Parallelen erhältst du auf dem ersten Strahl? - Welche inneren Scheitelentfernungen entsprechen einander? - Wie erhältst du nach Teil a) den Abschnitt zwischen den Parallelen auf dem zweiten Strahl?

Lösung

1. Auf dem ersten Strahl beträgt die gesamte Scheitelentfernung bis zur äußeren Parallelen \(12\,\text{cm}+18\,\text{cm}=30\,\text{cm}\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{b_1}{45}=\frac{12}{30}\). Daher ist \(b_1=18\,\text{cm}\). 3. Auf dem zweiten Strahl bleibt zwischen den Parallelen \(b_2=45\,\text{cm}-18\,\text{cm}=27\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(b_1=18\,\text{cm}\) b) \(b_2=27\,\text{cm}\)
4363699
Die Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sind parallel. Bestimme für die gegebenen Gleichungen passende Streckenbezeichnungen aus der Skizze für \(p\) und \(q\). a) \(\frac{u}{v}=\frac{p}{q}\) b) \(\frac{m}{n}=\frac{p}{q}\). Gib alle möglichen geordneten Paare \((p,q)\) an. c) \(\frac{w}{p}=\frac{z}{q}\)
Abbildung zur Aufgabe 436369

Denkanstöße

- Welche Strecken werden jeweils vom Schnittpunkt \(S\) bis zu den beiden Parallelen gemessen? - Welche beiden Quotienten sind nach dem ersten Strahlensatz gleich? - Bei b) sind mehrere richtige Zuordnungen möglich; prüfe beide Geraden durch \(S\).

Lösung

1. In der X-Figur gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{u}{v}=\frac{w}{z}\). Für a) ist daher \(p=w\) und \(q=z\). 2. Für die Parallelstrecken gilt \(\frac{m}{n}=\frac{u}{v}=\frac{w}{z}\). Deshalb sind in b) beide Paare \((u,v)\) und \((w,z)\) möglich. 3. Aus \(\frac{u}{v}=\frac{w}{z}\) folgt durch äquivalentes Umformen \(\frac{w}{u}=\frac{z}{v}\). Für c) ist daher \(p=u\) und \(q=v\).

Antwort

a) \(p=w\), \(q=z\) b) \((p,q)=(u,v)\) oder \((p,q)=(w,z)\) c) \(p=u\), \(q=v\)
4363759
Bestimme in der dargestellten Figur mit \(g \parallel h\) die Längen der markierten Abschnitte \(d\) und \(e\). Gegeben sind folgende Werte: \(a = 12\) (Gesamtlänge vom Scheitelpunkt \(S\) bis zur Geraden \(g\)) \(b = 8\) (Länge vom Scheitelpunkt \(S\) bis zur Geraden \(h\)) \(c = 6\) (Länge der Parallelstrecke auf der Geraden \(h\)) \(f = 15\) (Gesamtlänge auf dem unteren Strahl von \(S\) bis zur Geraden \(g\))
Abbildung zur Aufgabe 436375

Denkanstöße

- Identifiziere zuerst, welche der gegebenen Variablen Gesamtlängen und welche nur Teilabschnitte bezeichnen. - Für die Berechnung der Parallelstrecken \(c\) und \(d\) musst du die Entfernungen vom Scheitelpunkt \(S\) verwenden. - Wie hängen die Abschnitte auf dem unteren Strahl mit der Gesamtlänge \(f\) zusammen?

Lösung

1. Berechnung von \(d\) mit dem 2. Strahlensatz: Das Verhältnis der Parallelstrecken entspricht dem Verhältnis der Entfernungen zum Scheitelpunkt. \(\frac{c}{d} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{6}{d} = \frac{8}{12}\). \(d = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\). 2. Berechnung von \(e\) mit dem 1. Strahlensatz: Der untere Strahl wird durch die Parallelen in zwei Teile geteilt. Der innere Teil ist \(f - e\). Es gilt: \(\frac{f-e}{f} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{15-e}{15} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). \(15-e = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10\). Daraus folgt \(e = 15 - 10 = 5\).

Antwort

Die gesuchten Längen sind \(d = 9\) und \(e = 5\).
4363799
In der dargestellten X-Figur gilt \(AC\parallel BD\). Außerdem sind \(AC=6\), \(BD=9\) und \(SC=5\). Für die Strecken \(SA=x\) und \(SB=y\) gilt \(y-x=2\). a) Berechne \(x\) und \(y\). b) Berechne anschließend \(v=SD\).
Abbildung zur Aufgabe 436379

Denkanstöße

- Welches Verhältnis liefern die beiden parallelen Strecken \(AC\) und \(BD\)? - Wie kannst du dieses Verhältnis mit der Bedingung \(y-x=2\) verbinden? - Welches entsprechende Verhältnis gilt auf der zweiten Geraden durch \(S\)?

Lösung

1. Wegen \(AC\parallel BD\) gilt nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{SA}{SB}=\frac{AC}{BD}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Also ist \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\). 2. Damit ist \(y=1{,}5x\). Zusammen mit \(y-x=2\) folgt \(0{,}5x=2\), also \(x=4\) und \(y=6\). 3. Nach dem ersten Strahlensatz gilt auf der zweiten Geraden \(\frac{SC}{SD}=\frac{SA}{SB}=\frac{2}{3}\). Daher ist \(\frac{5}{v}=\frac{2}{3}\) und somit \(v=7{,}5\).

Antwort

a) \(x=4\), \(y=6\) b) \(v=7{,}5\)
4363909
In der folgenden Abbildung sind die Geraden \(g\), \(h\) und \(k\) parallel zueinander. Sie werden von zwei Strahlen geschnitten, die im Punkt \(Z\) beginnen. Ergänze die fehlenden Bezeichnungen in den Verhältnisgleichungen: a) \(\frac{p}{q} = \frac{s}{\square}\) b) \(\frac{a}{b} = \frac{p}{\square}\) c) \(\frac{\square}{c} = \frac{s+t}{s+t+u}\) d) \(\frac{q}{r} = \frac{\square}{u}\)
Abbildung zur Aufgabe 436390

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Strecken auf demselben Strahl liegen und welche auf den parallelen Geraden. - Der erste Strahlensatz vergleicht Streckenabschnitte auf den beiden Strahlen miteinander. - Der zweite Strahlensatz stellt eine Beziehung zwischen den Abschnitten auf den Strahlen und den Abschnitten auf den Parallelstrecken her. - Achte beim zweiten Strahlensatz darauf, dass die Strecken auf den Strahlen immer vom gemeinsamen Scheitelpunkt \(Z\) aus gemessen werden müssen.

Lösung

1. Nach dem ersten Strahlensatz verhalten sich Teilstücke auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Teilstücke auf dem anderen Strahl: \(\frac{p}{q} = \frac{s}{t}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz verhalten sich die Längen der Parallelstrecken wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen Längen auf den Strahlen: \(\frac{a}{b} = \frac{p}{p+q}\). 3. Ebenso gilt für die Parallelen \(b\) und \(c\): \(\frac{b}{c} = \frac{s+t}{s+t+u}\). 4. Wiederum nach dem ersten Strahlensatz gilt für die weiteren Teilstücke: \(\frac{q}{r} = \frac{t}{u}\).

Antwort

a) \(t\) b) \(p+q\) c) \(b\) d) \(t\)
4363919
Die Abbildung zeigt eine sogenannte X-Figur, bei der die Geraden \(g\) und \(h\) parallel zueinander verlaufen. Ergänze die fehlenden Teilstücke in den folgenden Gleichungen: a) \(\frac{x}{y} = \frac{w}{\square}\) b) \(\frac{m}{n} = \frac{\square}{y}\) c) \(\frac{z}{n} = \frac{w}{\square}\) d) \(\frac{x+y}{y} = \frac{w+z}{\square}\)
Abbildung zur Aufgabe 436391

Denkanstöße

- Identifiziere den Scheitelpunkt \(Z\), an dem sich die beiden Geraden kreuzen. - Erinnere dich daran, dass sich bei parallelen Geraden die Verhältnisse der gegenüberliegenden Teilstücke entsprechen. - Überlege dir, wie man eine Verhältnisgleichung erweitern kann, wenn im Zähler eine Summe ganzer Teilstrecken steht.

Lösung

1. Erster Strahlensatz: Die Abschnitte auf der einen Geraden verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, also \(\frac{x}{y} = \frac{w}{z}\). 2. Zweiter Strahlensatz: Das Verhältnis der parallelen Strecken entspricht dem Verhältnis der vom Scheitelpunkt \(Z\) aus gemessenen Strecken auf einer Geraden: \(\frac{m}{n} = \frac{x}{y}\). 3. Durch Umformen des zweiten Strahlensatzes, etwa \(\frac{m}{w} = \frac{n}{z}\), erhält man \(\frac{z}{n} = \frac{w}{m}\). 4. Aus \(\frac{x}{y} = \frac{w}{z}\) folgt durch Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(\frac{x+y}{y} = \frac{w+z}{z}\).

Antwort

a) \(z\) b) \(x\) c) \(m\) d) \(z\)
4363939
Die Abbildung zeigt eine V-Figur mit \(AC\parallel BD\). Die gegebenen Längen stehen ausschließlich in der Abbildung. Mira will zuerst \(x=SA\) bestimmen und schreibt \(\frac{x+9}{x}=\frac{6}{4}\). a) Erkläre, warum Miras Verhältnisgleichung nicht zum Strahlensatz passt. Korrigiere sie so, dass auf beiden Seiten das Verhältnis „äußere Scheitelentfernung : innere Scheitelentfernung“ steht. b) Berechne anschließend \(x\) und \(y=AC\).
Abbildung zur Aufgabe 436393

Denkanstöße

- Vergleiche genau, welche Art von Strecken links und rechts in Miras Quotienten stehen: Scheitelentfernungen oder Abschnitte zwischen den Parallelen? - Welche gesamte Entfernung ist \(SD\)? - Nutze für \(y\) danach die parallelen Querstrecken und dasselbe Verhältnis der Scheitelentfernungen.

Lösung

1. Auf dem zweiten Strahl ist \(SD=SC+CD=4+6=10\). Miras Quotient \(\frac{6}{4}\) vergleicht dagegen \(CD\) mit \(SC\); links vergleicht sie die ganzen Scheitelentfernungen \(SB\) und \(SA\). Die Bezugsstrecken stimmen daher nicht überein. 2. Richtig ist \(\frac{SB}{SA}=\frac{SD}{SC}\), also \(\frac{x+9}{x}=\frac{10}{4}\). 3. Daraus folgt \(4x+36=10x\) und damit \(x=6\). 4. Für die parallelen Querstrecken gilt \(\frac{BD}{AC}=\frac{SD}{SC}\). Somit ist \(\frac{10}{y}=\frac{10}{4}\), also \(y=4\).

Antwort

a) Miras Gleichung mischt eine ganze Scheitelentfernung mit einer Teilstrecke zwischen den Parallelen. Richtig ist \(\frac{x+9}{x}=\frac{10}{4}\). b) \(x=6\) und \(y=4\)
4363949
In der Figur liegen \(A\) und \(B\) auf einem Strahl mit Scheitelpunkt \(S\), \(C\) und \(D\) auf einem zweiten Strahl. Dabei gilt \(AC\parallel BD\). Gegeben sind \(SA=5\), \(SC=8\), \(AC=7\) und \(BD=16{,}8\). Berechne \(x=SB\) und \(y=SD\).
Abbildung zur Aufgabe 436394

Denkanstöße

- Welche Strecken in der Figur sind parallel und bilden die beiden entsprechenden Querstrecken? - Welches Verhältnis entsprechender Längen kannst du aus den beiden Parallelstrecken bestimmen? - Wie zeigt sich dasselbe Verhältnis bei den Abständen vom Scheitelpunkt \(S\) auf beiden Strahlen?

Lösung

1. Aus dem zweiten Strahlensatz folgt \(\frac{SB}{SA}=\frac{BD}{AC}=\frac{16{,}8}{7}=2{,}4\). 2. Damit gilt \(x=SB=5\cdot2{,}4=12\). 3. Ebenso ist \(\frac{SD}{SC}=\frac{BD}{AC}=2{,}4\). Daher gilt \(y=SD=8\cdot2{,}4=19{,}2\).

Antwort

\(\frac{SB}{SA}=\frac{SD}{SC}=\frac{BD}{AC}=2{,}4\), daher \(x=12\) und \(y=19{,}2\).
4364069
Von \(Z\) gehen zwei Strahlen aus. Auf dem ersten liegen nacheinander die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) mit \(ZA=a\), \(AB=b\) und \(BC=c\). Auf dem zweiten liegen nacheinander \(D\), \(E\) und \(F\) mit \(ZD=d\), \(DE=e\) und \(EF=f\). Die Verbindungsstrecken \(AD\), \(BE\) und \(CF\) sind parallel; ihre Längen werden mit \(u\), \(v\) und \(w\) bezeichnet. Ersetze die Platzhalter \(x\), \(y\) und \(z\) so, dass die Verhältnisgleichungen nach dem Strahlensatz korrekt sind. a) \(\frac{a}{a+b} = \frac{d}{x}\) b) \(\frac{u}{w} = \frac{y}{a+b+c}\) c) \(\frac{v}{u} = \frac{z}{a}\)

Denkanstöße

- Welche Gesamtstrecken vom Scheitelpunkt \(Z\) entsprechen den Summen \(a+b\), \(a+b+c\) und \(d+e\)? - Beim ersten Strahlensatz müssen Entfernungen vom Scheitelpunkt auf beiden Strahlen gleich orientiert werden. - Beim Verhältnis zweier paralleler Verbindungsstrecken kannst du die zugehörigen Entfernungen von \(Z\) vergleichen.

Lösung

1. Für a) gilt \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{ZD}{ZE}\). Damit ist \(\frac{a}{a+b}=\frac{d}{d+e}\), also \(x=d+e\). 2. Für b) gilt \(\frac{u}{w}=\frac{ZA}{ZC}\). Damit ist \(\frac{u}{w}=\frac{a}{a+b+c}\), also \(y=a\). 3. Für c) gilt \(\frac{v}{u}=\frac{ZB}{ZA}\). Damit ist \(\frac{v}{u}=\frac{a+b}{a}\), also \(z=a+b\).

Antwort

a) \(x=d+e\) b) \(y=a\) c) \(z=a+b\)
4364089
Die Abbildung zeigt zwei sich in \(Z\) schneidende Geraden. Die möglichen Verbindungsstrecken \(AB\) und \(CD\) sind absichtlich nicht eingezeichnet. Prüfe mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes, ob \(AB\parallel CD\) gelten muss. Begründe deine Entscheidung mit den passenden Verhältnissen.
Abbildung zur Aufgabe 436408

Denkanstöße

- Vergleiche nur Entfernungen vom Schnittpunkt \(Z\) auf den beiden Geraden. - Welche zwei Quotienten gehören zu derselben Orientierung vom näheren zum weiter entfernten Punkt? - Was darfst du aus der Gleichheit dieser beiden Quotienten folgern, obwohl die Verbindungsstrecken nicht gezeichnet sind?

Lösung

1. Auf der ersten Geraden gilt \(\frac{ZA}{ZD}=\frac{4}{10}=0{,}4\). 2. Auf der zweiten Geraden gilt \(\frac{ZB}{ZC}=\frac{5}{12{,}5}=0{,}4\). 3. Die Punkte liegen auf den beiden Geraden jeweils auf entgegengesetzten Seiten von \(Z\), und die gleich orientierten Scheitelverhältnisse stimmen überein. 4. Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt daher \(AB\parallel CD\).

Antwort

Ja. Es gilt \(\frac{ZA}{ZD}=\frac{4}{10}=\frac{5}{12{,}5}=\frac{ZB}{ZC}\); daher folgt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes \(AB\parallel CD\).
4364119
In der Abbildung gilt \(AC\parallel BD\). Berechne \(x=CD\) und \(y=BD\).
Abbildung zur Aufgabe 436411

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die gesamte Strecke \(ZB\). - Welche Verhältnisgleichung verbindet \(ZA,ZB,ZC,ZD\)? - Welche zweite Verhältnisgleichung bezieht die parallelen Strecken \(AC\) und \(BD\) ein?

Lösung

1. Es ist \(ZB=ZA+AB=4\,\text{cm}+6\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{ZC}{ZD}\). Damit ist \(\frac{4}{10}=\frac{6}{6+x}\), woraus \(x=9\,\text{cm}\) folgt. 3. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{AC}{BD}\). Damit ist \(\frac{4}{10}=\frac{5}{y}\), woraus \(y=12{,}5\,\text{cm}\) folgt.

Antwort

\(x=9\,\text{cm}\) und \(y=12{,}5\,\text{cm}\)
4364129
Zwei Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). Auf der ersten liegen \(A\) und \(B\) auf entgegengesetzten Seiten von \(S\), auf der zweiten entsprechend \(C\) und \(D\). Es gilt \(AC \parallel BD\). Gegeben sind \(AS=3\,\text{cm}\), \(SB=4{,}5\,\text{cm}\), \(CS=2\,\text{cm}\) und \(AC=2{,}4\,\text{cm}\). Bestimme \(u=SD\) und \(v=BD\).

Denkanstöße

- Welche Entfernungen vom Schnittpunkt \(S\) gehören auf den beiden Geraden zusammen? - Welche Verhältnisgleichung liefert der erste Strahlensatz für \(SD\)? - Wie verbindet der zweite Strahlensatz dasselbe Verhältnis mit den parallelen Strecken \(AC\) und \(BD\)?

Lösung

1. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{SA}{SB}=\frac{SC}{SD}\). Damit folgt aus \(\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{u}\), dass \(u=3\,\text{cm}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{SA}{SB}=\frac{AC}{BD}\). Aus \(\frac{3}{4{,}5}=\frac{2{,}4}{v}\) folgt \(v=3{,}6\,\text{cm}\).

Antwort

\(u=3\,\text{cm}\), \(v=3{,}6\,\text{cm}\)
4364199
In der abgebildeten Figur sind die mit \(a\) und \(b\) bezeichneten Querstrecken parallel. Gegeben sind \(a=4{,}5\,\text{cm}\), \(b=7{,}5\,\text{cm}\) und \(e=4{,}5\,\text{cm}\). Außerdem beträgt \(SA+SC=16\,\text{cm}\). Berechne die Längen \(c=SA\) und \(f=BD\).
Abbildung zur Aufgabe 436419

Denkanstöße

- Welches Verhältnis liefern die beiden parallelen Strecken \(a\) und \(b\)? - Welcher Strahlensatz überträgt dieses Verhältnis auf die Abstände vom Scheitelpunkt \(S\)? - Wie kannst du die Bedingung \(SA+SC=16\,\text{cm}\) mit dem Verhältnis \(SC:SA\) verbinden?

Lösung

1. Aus den parallelen Strecken folgt mit dem zweiten Strahlensatz das Verhältnis \(\frac{b}{a}=\frac{7{,}5}{4{,}5}=\frac{5}{3}\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt auf dem zweiten Strahl \(\frac{SD}{SB}=\frac{5}{3}\). Mit \(SB=e=4{,}5\,\text{cm}\) ist \(SD=7{,}5\,\text{cm}\), also \(f=BD=3\,\text{cm}\). 3. Auf dem ersten Strahl gilt ebenfalls \(\frac{SC}{SA}=\frac{5}{3}\). Mit \(SA+SC=16\,\text{cm}\) folgt \(c+\frac{5}{3}c=16\,\text{cm}\). 4. Daher ist \(\frac{8}{3}c=16\,\text{cm}\) und somit \(c=6\,\text{cm}\).

Antwort

\(c=6\,\text{cm}\), \(f=3\,\text{cm}\)
4364219
In einem rechtwinkligen Trapez \(ABCD\) mit den parallelen Seiten \(a = 12\,\text{cm}\) und \(c = 4\,\text{cm}\) schneiden sich die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) im Punkt \(S\). Die Winkel bei \(A\) und \(D\) sind jeweils \(90^\circ\). Berechne den Abstand des Schnittpunktes \(S\) von der Seite \(AD\).
Abbildung zur Aufgabe 436421

Denkanstöße

- Welche Dreiecke in der Figur sind ähnlich zueinander? - In welchem Verhältnis teilen sich die Diagonalen in einem Trapez? - Kannst du den ersten Strahlensatz auf das Dreieck \(ABD\) anwenden? - Überlege, wie sich das Verhältnis der parallelen Seiten auf andere Längen in der Figur überträgt.

Lösung

1. Feststellen der Ähnlichkeit der Dreiecke \(\triangle ABS\) und \(\triangle CDS\) aufgrund der parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) (Wechselwinkel an Parallelen). 2. Für entsprechende Seiten gilt \(\frac{CD}{AB} = \frac{4\,\text{cm}}{12\,\text{cm}} = \frac{1}{3}\). 3. Bestimmung des Teilungsverhältnisses auf der Diagonale \(BD\): Da \(SD : SB = 1 : 3\), folgt für das Verhältnis zum Ganzen \(SD : BD = 1 : (1 + 3) = 1 : 4\). 4. Anwendung des Strahlensatzes im Dreieck \(ABD\): Das Verhältnis des gesuchten Abstands \(x\) zur Seite \(AB\) entspricht dem Verhältnis \(SD\) zu \(BD\). 5. Berechnung des Abstands: \(x = 12\,\text{cm} \cdot \frac{1}{4} = 3\,\text{cm}\).

Antwort

Der Abstand des Schnittpunkts \(S\) von der Seite \(AD\) beträgt \(3\,\text{cm}\).
4364229
In der abgebildeten Figur sind die Strecken \(AB\) und \(DF\) parallel zueinander. Ebenso gilt \(AC \parallel BF\). Gegeben sind die Längen \(|AD| = 4\,\text{cm}\), \(|DC| = 6\,\text{cm}\) und \(|EF| = 5\,\text{cm}\). Berechne die Längen der Strecken \(DE\) und \(AB\).
Abbildung zur Aufgabe 436422

Denkanstöße

- Welche besondere Form hat das Viereck \(ABFD\) aufgrund der gegebenen Parallelitäten? - Wie kannst du die Gesamtlänge der Strecke \(AC\) aus den gegebenen Teilstrecken bestimmen? - Welcher Strahlensatz verbindet das Verhältnis der Parallelstrecken \(DE\) und \(AB\) mit den Abständen vom Scheitelpunkt \(C\)? - Kannst du eine der gesuchten Strecken durch die andere ausdrücken, sodass nur eine Unbekannte bleibt?

Lösung

1. Da \(AB \parallel DF\) und wegen \(D\in AC\) auch \(AD \parallel BF\) gilt, ist \(ABFD\) ein Parallelogramm. Daher gilt \(|AB|=|DF|=|DE|+|EF|=|DE|+5\,\text{cm}\). 2. Wegen \(DE \parallel AB\) gilt in der V-Figur mit Scheitelpunkt \(C\) nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{|DC|}{|AC|}\). 3. Es ist \(|AC|=|AD|+|DC|=4\,\text{cm}+6\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). Somit gilt \(\frac{|DE|}{|AB|}=\frac{6}{10}=0{,}6\). 4. Mit \(|AB|=|DE|+5\,\text{cm}\) folgt \(|DE|=0{,}6(|DE|+5\,\text{cm})\). 5. Auflösen ergibt \(0{,}4|DE|=3\,\text{cm}\), also \(|DE|=7{,}5\,\text{cm}\). 6. Damit ist \(|AB|=7{,}5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12{,}5\,\text{cm}\).

Antwort

Die gesuchten Längen sind \(|DE| = 7{,}5\,\text{cm}\) und \(|AB| = 12{,}5\,\text{cm}\).
4364249
Im Dreieck \(ABC\) wird die Seite \(AB\) über den Punkt \(B\) hinaus bis zu einem Punkt \(D\) verlängert. Die Gerade durch \(D\), die parallel zu \(AC\) verläuft, schneidet die Verlängerung der Seite \(BC\) im Punkt \(E\). Gegeben sind \(AB=8\,\text{cm}\), \(AC=12\,\text{cm}\), \(BC=10\,\text{cm}\) und \(BD=4\,\text{cm}\). Berechne \(BE\) und \(DE\).

Denkanstöße

- Welcher Punkt ist der gemeinsame Scheitelpunkt der beiden sich schneidenden Geraden? - Welche Verhältnisgleichung vergleicht nur Entfernungen vom Scheitelpunkt? - Welche weitere Verhältnisgleichung bezieht die beiden parallelen Querstrecken ein?

Lösung

1. Wegen \(DE\parallel AC\) liegt mit Scheitelpunkt \(B\) eine X-Strahlensatzfigur vor. 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}\). Damit ist \(\frac{BE}{10}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), also \(BE=5\,\text{cm}\). 3. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}\). Damit ist \(\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), also \(DE=6\,\text{cm}\).

Antwort

\(BE=5\,\text{cm}\), \(DE=6\,\text{cm}\)
4364299
Zwei Geraden schneiden sich im Punkt \(S\). Auf der ersten liegen \(A\) und \(C\) auf entgegengesetzten Seiten von \(S\), auf der zweiten entsprechend \(B\) und \(D\). Es gilt \(AB\parallel CD\). Alle Längenangaben sind in Zentimetern. Gegeben sind \(SA=2\), \(SD=7{,}5\), \(AB=2{,}4\) und \(CD=6\). Setze \(SB=x\) und \(SC=y\). a) Berechne \(x\) und \(y\). b) Bestimme, wie oft der Flächeninhalt des Dreiecks \(SAB\) im Flächeninhalt des Dreiecks \(SCD\) enthalten ist.

Denkanstöße

- Welches Verhältnis entsprechender Längen erhältst du direkt aus den beiden parallelen Strecken? - Wie überträgt sich dieses Verhältnis auf die Entfernungen vom Schnittpunkt \(S\)? - Wie hängt bei ähnlichen Figuren das Verhältnis der Flächeninhalte mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

Lösung

1. Für entsprechende Längen der Dreiecke \(SAB\) und \(SCD\) gilt \(\frac{CD}{AB}=\frac{6}{2{,}4}=2{,}5\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{SC}{SA}=\frac{CD}{AB}=2{,}5\). Daher ist \(y=2\cdot2{,}5=5\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(\frac{SD}{SB}=\frac{CD}{AB}=2{,}5\). Daher ist \(x=\frac{7{,}5}{2{,}5}=3\,\text{cm}\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke entspricht dem Quadrat des Verhältnisses entsprechender Längen. Daher ist \(A_{SCD}:A_{SAB}=2{,}5^2:1=6{,}25:1\).

Antwort

a) \(x=3\,\text{cm}\), \(y=5\,\text{cm}\) b) Der Flächeninhalt von \(SCD\) ist \(6{,}25\)-mal so groß wie der von \(SAB\).
4364419
In der abgebildeten Figur gilt \(AB\parallel CD\parallel EF\). Die Punkte \(A,Z,D,F\) liegen auf einer Geraden; ebenso liegen \(B,Z,C,E\) auf einer Geraden. Gegeben sind \(ZA=3\,\text{cm}\), \(ZB=4\,\text{cm}\), \(ZC=6\,\text{cm}\), \(AB=2\,\text{cm}\) und \(ZE=9\,\text{cm}\). Berechne \(ZD\), \(CD\), \(ZF\) und \(EF\).
Abbildung zur Aufgabe 436441

Denkanstöße

- Welche Verhältnisgleichung des ersten Strahlensatzes gehört zuerst zu \(AB\parallel CD\)? - Nutze eine bereits berechnete Länge, bevor du zur nächsten Parallele weitergehst. - Welche zweite Strahlensatzfigur entsteht aus \(CD\parallel EF\)?

Lösung

1. Für \(AB\parallel CD\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{ZA}{ZD}=\frac{ZB}{ZC}\). Damit ist \(\frac{3}{ZD}=\frac{4}{6}\), also \(ZD=4{,}5\,\text{cm}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt außerdem \(\frac{AB}{CD}=\frac{ZA}{ZD}\). Daher ist \(\frac{2}{CD}=\frac{3}{4{,}5}\) und \(CD=3\,\text{cm}\). 3. Für \(CD\parallel EF\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{ZD}{ZF}=\frac{ZC}{ZE}\). Somit ist \(\frac{4{,}5}{ZF}=\frac{6}{9}\) und \(ZF=6{,}75\,\text{cm}\). 4. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt schließlich \(\frac{CD}{EF}=\frac{ZC}{ZE}\). Daher ist \(\frac{3}{EF}=\frac{6}{9}\) und \(EF=4{,}5\,\text{cm}\).

Antwort

\(ZD=4{,}5\,\text{cm}\), \(CD=3\,\text{cm}\), \(ZF=6{,}75\,\text{cm}\), \(EF=4{,}5\,\text{cm}\)
4368709
Von einem Punkt \(Z\) gehen zwei Strahlen aus. Zwei parallele Geraden \(g\) und \(h\) schneiden den ersten Strahl nacheinander in \(A\) und \(B\), den zweiten nacheinander in \(C\) und \(D\). Es gilt \(ZA=3\), \(AB=x\), \(ZC=x\) und \(CD=12\). Berechne die Länge \(x\).

Denkanstöße

- Welche Abschnitte liegen auf den beiden Strahlen jeweils zwischen den parallelen Geraden? - Welche vom Scheitelpunkt \(Z\) aus gemessenen Abschnitte gehören zu diesen Strecken? - Prüfe nach dem Umformen, welche Lösung mit der Bedeutung von \(x\) als Länge vereinbar ist.

Lösung

1. Wegen \(g\parallel h\) gilt für die Abschnitte zwischen den Parallelen und die zugehörigen inneren Abschnitte \(\frac{AB}{ZA}=\frac{CD}{ZC}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{x}{3}=\frac{12}{x}\). 3. Daraus folgt \(x^2=36\). 4. Da \(x\) eine Länge ist, gilt \(x=6\).

Antwort

\(\frac{AB}{ZA}=\frac{CD}{ZC}\), also \(x=6\).
4368729
Von \(Z\) gehen zwei Strahlen aus. Auf dem ersten liegen \(A\) und dahinter \(B\), auf dem zweiten \(C\) und dahinter \(D\). Es gilt \(AC\parallel BD\). Die Gesamtlänge \(ZD\) beträgt \(16\). Außerdem sind \(ZA=5\) und \(AB=3\) gegeben. Setze \(x=ZC\) und \(y=CD\). Berechne \(x\) und \(y\).

Denkanstöße

- Welche zwei Bedingungen müssen \(x\) und \(y\) gleichzeitig erfüllen? - Eine Bedingung folgt aus den entsprechenden Teilstrecken der V-Figur, die andere aus \(ZD=16\). - Drücke zunächst eine Unbekannte durch die andere aus.

Lösung

1. Nach dem Strahlensatz gilt für die entsprechenden inneren und äußeren Abschnitte \(\frac{x}{5}=\frac{y}{3}\). 2. Daraus folgt \(x=\frac{5}{3}y\). 3. Außerdem gilt wegen \(ZD=16\) die Gleichung \(x+y=16\). 4. Einsetzen liefert \(\frac{5}{3}y+y=16\), also \(\frac{8}{3}y=16\). 5. Damit ist \(y=6\) und anschließend \(x=10\).

Antwort

\(x=10\) und \(y=6\)
4370549
Im Dreieck \(ABC\) gilt \(DE\parallel BC\), wobei \(D\) auf \(AB\) und \(E\) auf \(AC\) liegt. Gegeben sind \(AB=x+2\), \(AD=x\), \(AE=6\) und \(AC=10\). Bestimme \(x\).

Denkanstöße

- Welche beiden Verhältnisse von Strecken vom Scheitelpunkt \(A\) sind wegen der Parallelen gleich? - Setze die Terme erst in eine Verhältnisgleichung ein, bevor du die Bruchgleichung löst. - Welche Bedingung muss die Lösung erfüllen, damit \(AB=x+2\) eine positive Länge ist?

Lösung

1. Wegen \(DE\parallel BC\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{x}{x+2}=\frac{6}{10}\). 3. Kreuzmultiplikation liefert \(10x=6(x+2)\). 4. Damit ist \(10x=6x+12\), also \(4x=12\) und \(x=3\).

Antwort

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\); daraus \(x=3\)
4370559
In einem Dreieck \(ABC\) sind \(D\), \(E\) und \(F\) die Mittelpunkte der Seiten \(AB\), \(BC\) bzw. \(CA\). Die Seitenlängen des inneren Dreiecks \(DEF\) sind \(7\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\). Begründe, wie die Seiten von \(DEF\) mit den entsprechenden Seiten von \(ABC\) zusammenhängen, und berechne anschließend den Umfang \(x\) von \(ABC\).
Abbildung zur Aufgabe 437055

Denkanstöße

- Welche Verhältnisse entstehen dadurch, dass \(D\), \(E\) und \(F\) Mittelpunkte sind? - Welche Umkehrung eines Strahlensatzes kann aus zwei gleichen Teilungsverhältnissen eine Parallelität liefern? - Wenn eine innere Strecke parallel zu einer Dreiecksseite ist, wie hängen ihre Länge und die entsprechenden Strahlenabschnitte zusammen?

Lösung

1. Weil \(D\) und \(F\) Mittelpunkte sind, gilt \(\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}\). Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ist daher \(DF \parallel BC\). Entsprechend sind auch \(DE \parallel AC\) und \(EF \parallel AB\). 2. Mit dem zweiten Strahlensatz folgt für jedes Paar entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis \(1:2\): Die Seiten von \(DEF\) sind jeweils halb so lang wie die parallelen Seiten von \(ABC\). 3. Daher sind die Seiten von \(ABC\) \(14\,\text{cm}\), \(16\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\). 4. Der Umfang ist \(x = 14\,\text{cm} + 16\,\text{cm} + 18\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seiten von \(DEF\) sind jeweils halb so lang wie die entsprechenden parallelen Seiten von \(ABC\). Daher ist \(x = 48\,\text{cm}\).
4370829
Zwei parallele Geraden \(g\) und \(h\) haben einen Abstand von \(10\,\text{cm}\). Zwei Transversalen schneiden sich in einem Punkt \(P\), der zwischen den beiden Geraden liegt. Auf der Geraden \(g\) begrenzen die Transversalen eine Strecke der Länge \(12\,\text{cm}\), auf der Geraden \(h\) eine Strecke der Länge \(8\,\text{cm}\). Bestimme den Abstand des Schnittpunktes \(P\) von der Geraden \(h\).
Abbildung zur Aufgabe 437082

Denkanstöße

- Zeichne die Situation auf. Welche beiden Dreiecke entstehen mit der gemeinsamen Spitze \(P\)? - Warum sind diese Dreiecke wegen \(g\parallel h\) ähnlich? - Wie verhalten sich die Abstände des Schnittpunkts zu den Parallelen im Vergleich zu den Längen der von den Parallelen begrenzten Strecken?

Lösung

1. Die beiden durch die parallelen Geraden und die Transversalen gebildeten Dreiecke mit der gemeinsamen Spitze \(P\) sind ähnlich (Wechselwinkel an Parallelen). 2. Sei \(h_g\) der Abstand von \(P\) zu \(g\) und \(h_h\) der Abstand von \(P\) zu \(h\). Es gilt \(h_g + h_h = 10\,\text{cm}\). 3. Das Verhältnis der Höhen entspricht dem Verhältnis der Grundseiten: \(\frac{h_g}{h_h} = \frac{12}{8} = 1{,}5\). 4. Daraus folgt \(h_g = 1{,}5 \cdot h_h\). 5. Einsetzen in die Summe: \(1{,}5 \cdot h_h + h_h = 10 \Rightarrow 2{,}5 \cdot h_h = 10\). 6. Berechnung von \(h_h\): \(h_h = \frac{10}{2{,}5} = 4\,\text{cm}\).

Antwort

Der Abstand des Schnittpunktes \(P\) von der Geraden \(h\) beträgt \(4\,\text{cm}\).
4370849
In einem Trapez \(ABCD\) mit \(AB \parallel CD\) schneiden sich die Diagonalen im Punkt \(S\). Die Längen der parallelen Seiten sind \(AB = 9\,\text{cm}\) und \(CD = 6\,\text{cm}\). Die Teilstrecke der Diagonale \(AC\) vom Eckpunkt \(A\) zum Schnittpunkt \(S\) beträgt \(AS = 6\,\text{cm}\). Bestimme \(SC\).
Abbildung zur Aufgabe 437084

Denkanstöße

- Wo liegt der Scheitelpunkt der X-Figur aus den beiden Diagonalen? - Welche beiden Querstrecken sind parallel? - Welche Verhältnisgleichung des zweiten Strahlensatzes verbindet \(AS,SC,AB\) und \(CD\)?

Lösung

1. Wegen \(AB\parallel CD\) gilt in der X-Figur nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{AS}{SC}=\frac{AB}{CD}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{6}{SC}=\frac{9}{6}=1{,}5\). 3. Daher ist \(SC=\frac{6}{1{,}5}=4\,\text{cm}\).

Antwort

\(SC=4\,\text{cm}\)
4370919
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt \(O\). Auf der einen Geraden liegen \(M,O,L\), auf der anderen \(Q,O,N\). Dabei gilt \(MQ\parallel LN\). Es sind \(MO=15\) und \(OL=9\) gegeben. Außerdem ist \(MQ+LN=32\). Begründe kurz die Ähnlichkeit der Dreiecke \(MOQ\) und \(LON\). Bestimme anschließend \(MQ\) und \(LN\). Berechne zuletzt \(ON\), wenn \(QO=30\) ist.

Denkanstöße

- Welche Winkelgleichheiten folgen aus den Scheitelwinkeln bei \(O\) und aus \(MQ\parallel LN\)? - Welches Verhältnis der beiden Parallelstrecken entspricht dem Verhältnis \(MO:OL\)? - Wie kannst du ein festes Verhältnis zusammen mit der Summe \(MQ+LN\) verwenden?

Lösung

1. Die Dreiecke \(MOQ\) und \(LON\) haben bei \(O\) Scheitelwinkel. Wegen \(MQ\parallel LN\) ist außerdem ein weiteres Paar entsprechender Winkel gleich groß. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Für entsprechende Seiten gilt \(\frac{MQ}{LN}=\frac{MO}{OL}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}\). 3. Setze \(MQ=5t\) und \(LN=3t\). Aus \(5t+3t=32\) folgt \(t=4\). Damit sind \(MQ=20\) und \(LN=12\). 4. Für die zweite Schnittgerade gilt \(\frac{QO}{ON}=\frac{MO}{OL}=\frac{5}{3}\). Daher ist \(\frac{30}{ON}=\frac{5}{3}\), also \(ON=18\).

Antwort

Wegen der Scheitelwinkel bei \(O\) und eines weiteren Paars gleich großer entsprechender Winkel an \(MQ\parallel LN\) gilt \(\triangle MOQ\sim\triangle LON\). Außerdem sind \(MQ=20\), \(LN=12\) und \(ON=18\).
4370949
In dem abgebildeten rechtwinkligen Dreieck ist eine Strecke parallel zur Kathete \(BC\) eingezeichnet. Bestimme die Längen der unbekannten Strecken \(x\) und \(y\).
Abbildung zur Aufgabe 437094

Denkanstöße

- Welche Eigenschaft haben die beiden Dreiecke aufgrund der parallelen Linien? - Kannst du eine Seite im kleineren Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen? - Nutze das Verhältnis entsprechender Seitenlängen in ähnlichen Dreiecken.

Lösung

1. Da die Strecken \(EF\) und \(BC\) parallel zueinander stehen und beide senkrecht auf \(AC\) stehen, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(AEF\) zueinander ähnlich. 2. Im kleinen rechtwinkligen Dreieck \(AEF\) berechnen wir die Kathete \(y\) mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(y = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\,\text{LE}\). 3. Über das Ähnlichkeitsverhältnis der beiden Dreiecke gilt für die Kathete \(x\): \(\frac{x}{12} = \frac{AC}{y}\). 4. Die Gesamtlänge \(AC\) beträgt \(6 + 9 = 15\,\text{LE}\). 5. Damit ergibt sich \(x = 12 \cdot \frac{15}{9} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20\,\text{LE}\).

Antwort

\(x = 20\,\text{LE}\), \(y = 9\,\text{LE}\)
4370989
In einem Trapez \(TFES\) gilt \(TF\parallel SE\). Die Diagonalen \(SF\) und \(TE\) schneiden sich im Punkt \(O\). Gegeben sind \(SE=12\,\text{cm}\), \(SO=8\,\text{cm}\), \(OF=4\,\text{cm}\) und \(OE=10\,\text{cm}\). Berechne \(TF=x\) und \(TO=y\).
Abbildung zur Aufgabe 437098

Denkanstöße

- Welche Strecken auf den beiden Diagonalen beginnen am gemeinsamen Scheitelpunkt \(O\)? - Welche Verhältnisgleichung des ersten Strahlensatzes verbindet \(OF,SO,OT\) und \(OE\)? - Wie verbindet der zweite Strahlensatz anschließend die parallelen Seiten \(TF\) und \(SE\) mit demselben Verhältnis?

Lösung

1. Wegen \(TF\parallel SE\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{OF}{SO}=\frac{OT}{OE}\). Mit \(\frac{OF}{SO}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) folgt \(OT=10\,\text{cm}\cdot\frac{1}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{TF}{SE}=\frac{OF}{SO}=\frac{1}{2}\). 3. Daher ist \(TF=12\,\text{cm}\cdot\frac{1}{2}=6\,\text{cm}\).

Antwort

\(x=6\,\text{cm}\), \(y=5\,\text{cm}\)
4371009
Im Dreieck der Abbildung gilt \(MN\parallel DC\). Alle Längenangaben sind in Längeneinheiten (LE). Bestimme \(x=AN\), \(y=NC\) und \(z=DC\).
Abbildung zur Aufgabe 437100

Denkanstöße

- Welche gesamte Seitenlänge \(AD\) erhältst du aus \(AM\) und \(MD\)? - Welcher Strahlensatz verbindet zunächst \(AN\) mit \(AM\)? - Für \(z\) brauchst du anschließend das Verhältnis der parallelen Strecken \(MN\) und \(DC\).

Lösung

1. Es ist \(AD=AM+MD=10+5=15\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz gilt \(\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{AC}\). Damit ist \(\frac{10}{15}=\frac{x}{18}\), also \(x=12\,\text{LE}\). 3. Daher ist \(y=AC-AN=18-12=6\,\text{LE}\). 4. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{MN}{DC}=\frac{AM}{AD}\). Somit ist \(\frac{14}{z}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\), also \(z=21\,\text{LE}\).

Antwort

\(x=12\,\text{LE}\), \(y=6\,\text{LE}\), \(z=21\,\text{LE}\)
4371099
Im Dreieck \(ABC\) liegt \(D\) auf \(BA\) und \(E\) auf \(BC\). Es gilt \(DE\parallel AC\). Gegeben sind \(AC=25\,\text{cm}\), \(DE=15\,\text{cm}\), \(DA=8\,\text{cm}\) und \(EC=10\,\text{cm}\). Bestimme \(BD=x\) und \(BE=y\).

Denkanstöße

- Welche Verhältnisgleichungen liefern der erste und zweite Strahlensatz wegen \(DE\parallel AC\)? - Drücke die ganzen Seiten \(BA\) und \(BC\) jeweils als Summe aus bekanntem und gesuchtem Teilstück aus. - Löse die beiden entstehenden Bruchgleichungen getrennt.

Lösung

1. Wegen \(DE\parallel AC\) gilt nach dem ersten und zweiten Strahlensatz \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}\). 2. Für \(x=BD\) ist \(BA=x+8\). Damit gilt \(\frac{15}{25}=\frac{x}{x+8}\). 3. Aus \(5x=3(x+8)\) folgt \(2x=24\) und damit \(x=12\,\text{cm}\). 4. Für \(y=BE\) ist \(BC=y+10\). Damit gilt \(\frac{15}{25}=\frac{y}{y+10}\). 5. Aus \(5y=3(y+10)\) folgt \(2y=30\) und damit \(y=15\,\text{cm}\).

Antwort

\(x=12\,\text{cm}\), \(y=15\,\text{cm}\)
4371309
Ein Rechteck \(PQRS\) ist in ein Dreieck \(ABC\) eingeschrieben. Die Seite \(PQ\) liegt auf der Grundseite \(AB\) des Dreiecks. Die Eckpunkte \(S\) und \(R\) liegen auf den Seiten \(AC\) bzw. \(BC\). Das Dreieck \(ABC\) hat die Grundseite \(AB=15\,\text{cm}\) und die zugehörige Höhe \(h_c=10\,\text{cm}\). Das Rechteck hat die Höhe \(x=4\,\text{cm}\). a) Benenne ein zum Dreieck \(ABC\) ähnliches Teildreieck in der Zeichnung. b) Berechne die Breite \(SR\) des Rechtecks.
Abbildung zur Aufgabe 437130

Denkanstöße

- Welche Seite des Rechtecks ist parallel zu \(AB\)? - Welche Winkelpaare entstehen dadurch in dem kleinen und dem großen Dreieck? - Bestimme die Höhe des Dreiecks oberhalb des Rechtecks, bevor du entsprechende Längen vergleichst.

Lösung

1. Da \(SR\parallel AB\) gilt, stimmen die Dreiecke \(SRC\) und \(ABC\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein. Daher ist \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\). 2. Die Höhe des kleinen Dreiecks ist \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 3. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{SR}{AB}=\frac{6}{10}\). 4. Somit ist \(SR=15\,\text{cm}\cdot\frac{6}{10}=9\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\) b) \(SR=9\,\text{cm}\)
4371909
In einem Dreieck \(ABC\) ist \(M\) der Mittelpunkt der Seite \(BC\). Durch \(M\) werden Geraden parallel zu \(AB\) und \(AC\) gezeichnet. Sie schneiden \(AC\) in \(E\) und \(AB\) in \(F\). Gegeben sind \(AB=16\,\text{m}\) und \(AC=20\,\text{m}\). Bestimme den Umfang des Vierecks \(AFME\).
Abbildung zur Aufgabe 437190

Denkanstöße

- Welches Längenverhältnis entsteht auf \(BC\), weil \(M\) der Mittelpunkt ist? - Welcher Punkt ist jeweils der Scheitelpunkt der beiden Strahlensatzfiguren zu \(ME\parallel AB\) und \(MF\parallel AC\)? - Welche der beiden Strahlensatzformen vergleicht nur Entfernungen vom Scheitelpunkt, und welche bezieht die parallelen Querstrecken ein?

Lösung

1. Weil \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\frac{CM}{CB}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\). 2. Für \(ME\parallel AB\) gilt nach dem ersten Strahlensatz \(\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}\) und nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{ME}{AB}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}\). Daher sind \(CE=10\,\text{m}\), \(AE=10\,\text{m}\) und \(ME=8\,\text{m}\). 3. Für \(MF\parallel AC\) gilt entsprechend \(\frac{BF}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\) sowie \(\frac{MF}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\). Somit sind \(BF=8\,\text{m}\), \(AF=8\,\text{m}\) und \(MF=10\,\text{m}\). 4. Der Umfang ist \(U=AF+FM+ME+EA=8\,\text{m}+10\,\text{m}+8\,\text{m}+10\,\text{m}=36\,\text{m}\).

Antwort

\(U_{AFME}=36\,\text{m}\)
4371969
In einem Trapez \(ABCD\) mit den parallelen Grundseiten \(AB=20\,\text{cm}\) und \(CD=8\,\text{cm}\) werden die Schenkel \(AD\) und \(BC\) jeweils durch zwei Punkte in drei gleich lange Abschnitte unterteilt. Die entsprechenden Teilungspunkte sind durch die Strecken \(s_1\) und \(s_2\) verbunden, die parallel zu den Grundseiten verlaufen. Dabei liegt \(s_1\) näher an \(CD\) als \(s_2\). a) Verlängere die Schenkel gedanklich über \(D\) und \(C\) hinaus bis zu ihrem Schnittpunkt \(S\). Bestimme das Verhältnis \(SD:DA\). b) Nutze die entstandene Figur und die Dreiteilung der Schenkel, um \(s_1\) und \(s_2\) zu berechnen.
Abbildung zur Aufgabe 437196

Denkanstöße

- Welche parallelen Strecken begrenzen die beiden Strahlensatzfiguren mit Scheitelpunkt \(S\)? - Welche beiden Längenverhältnisse kannst du mit den Grundseiten \(AB\) und \(CD\) verbinden? - Wie hilft dir die Zerlegung \(SA=SD+DA\), nachdem du dieses Verhältnis bestimmt hast? - Wie wirkt sich anschließend die Dreiteilung von \(AD\) auf die Abstände der parallelen Strecken von \(S\) aus?

Lösung

1. Nach dem Verlängern der Schenkel entstehen wegen \(CD\parallel AB\) ähnliche Strahlensatzdreiecke mit Scheitelpunkt \(S\). Daher gilt \(\frac{SA}{SD}=\frac{AB}{CD}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\). 2. Mit \(SA=SD+DA\) folgt \(\frac{SD+DA}{SD}=\frac{5}{2}\). Somit ist \(\frac{DA}{SD}=\frac{3}{2}\) und daher \(SD:DA=2:3\). 3. Da \(AD\) in drei gleich lange Abschnitte zerlegt wird, entspricht jeder Drittelabschnitt der Hälfte von \(SD\). Vom Scheitelpunkt \(S\) bis zu \(CD,s_1,s_2,AB\) ergeben sich damit die relativen Abstände \(2:3:4:5\). 4. Nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{s_1}{CD}=\frac{3}{2}\). Daher ist \(s_1=8\,\text{cm}\cdot\frac{3}{2}=12\,\text{cm}\). 5. Ebenso gilt \(\frac{s_2}{CD}=\frac{4}{2}=2\). Damit ist \(s_2=16\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(\frac{SA}{SD}=\frac{AB}{CD}=\frac{5}{2}\), daraus \(SD:DA=2:3\) b) \(s_1=12\,\text{cm}\), \(s_2=16\,\text{cm}\)
4372169
Zwei Strahlen gehen von einem gemeinsamen Punkt \(Z\) aus. Sie werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, sodass die in der Zeichnung markierten Strecken entstehen. Berechne die fehlenden Längen \(x\) und \(y\).
Abbildung zur Aufgabe 437216

Denkanstöße

- Welche Verhältnisse von Streckenlängen beschreiben die Strahlensätze bei parallelen Geraden? - Achte darauf, für den ersten Strahlensatz immer Strecken ab dem Scheitelpunkt \(Z\) zu verwenden. - Welcher Strahlensatz stellt eine Verbindung zwischen den parallelen Strecken und den Strecken auf den Strahlen her?

Lösung

1. Anwendung des 1. Strahlensatzes zur Berechnung von \(x\): \(\frac{ZA}{ZC} = \frac{ZB}{ZD}\) \(\frac{5}{5 + 3} = \frac{4}{4 + x}\) \(\frac{5}{8} = \frac{4}{4 + x}\) \(5 \cdot (4 + x) = 32\) \(20 + 5x = 32\) \(5x = 12 \Rightarrow x = 2{,}4\,\text{cm}\) 2. Anwendung des 2. Strahlensatzes zur Berechnung von \(y\): \(\frac{AB}{CD} = \frac{ZA}{ZC}\) \(\frac{6}{y} = \frac{5}{8}\) \(5y = 48 \Rightarrow y = 9{,}6\,\text{cm}\)

Antwort

Die gesuchten Längen sind \(x = 2{,}4\,\text{cm}\) und \(y = 9{,}6\,\text{cm}\).
5531279
Auf zwei Strahlen mit gemeinsamem Scheitelpunkt \(S\) liegen die Punkte \(A,C\) beziehungsweise \(B,D\). Es gilt \(SA=4\), \(SC=10\), \(SB=6\) und \(SD=15\). Die Querstrecken \(AB\) und \(CD\) sind in der Abbildung bewusst nicht eingezeichnet. Jonas behauptet: „\(AB\) und \(CD\) können nicht parallel sein, denn \(\frac{SA}{SC}\neq\frac{SD}{SB}\).“ Erkläre Jonas' Fehler und entscheide rechnerisch, ob \(AB\parallel CD\) gilt.
Abbildung zur Aufgabe 553127

Denkanstöße

- Vergleiche die Reihenfolge der Strecken in Jonas' beiden Brüchen. - Für eine Parallelitätsentscheidung müssen entsprechende Abstände vom Scheitelpunkt gleichartig ins Verhältnis gesetzt werden. - Berechne beide korrekt orientierten Verhältnisse getrennt.

Lösung

1. Jonas vergleicht die beiden Strahlen in unterschiedlicher Reihenfolge: links „nah zu weit“, rechts aber „weit zu nah“. 2. Für die Umkehrung des ersten Strahlensatzes müssen die entsprechenden Verhältnisse gleich orientiert sein. 3. Es gilt \(\frac{SA}{SC}=\frac{4}{10}=0{,}4\) und \(\frac{SB}{SD}=\frac{6}{15}=0{,}4\). 4. Die Verhältnisse stimmen überein. Daher gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes \(AB\parallel CD\).

Antwort

Jonas hat auf dem zweiten Strahl das Verhältnis umgekehrt. Korrekt ist \(\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SD}=0{,}4\). Daher gilt \(AB\parallel CD\).
5565739
In der dargestellten X-Figur gilt \(MQ\parallel LN\). Leo möchte \(ON=x\) berechnen und schreibt \(\frac{OM}{ML}=\frac{OQ}{ON}\). Weil \(ML=10\) ist, erhält er \(x=12{,}5\). Erkläre Leos Fehler und berechne \(x\) mit dem ersten Strahlensatz richtig. Gib die korrekte Verhältnisgleichung an.
Abbildung zur Aufgabe 556573

Denkanstöße

- Wo liegt der gemeinsame Scheitelpunkt der X-Figur? - Beginnen die beiden Strecken in Leos erstem Bruch beide an diesem Punkt? - Suche auf jeder der beiden sich schneidenden Geraden die entsprechenden Abstände von \(O\) zu den Parallelen.

Lösung

1. Leos Nenner \(ML\) ist die gesamte Strecke über den Schnittpunkt \(O\) hinweg. Sie ist kein zu \(ON\) entsprechender Abstand vom Scheitelpunkt \(O\). 2. Nach dem ersten Strahlensatz müssen die Abstände vom Schnittpunkt auf denselben beiden Geraden verglichen werden: \(\frac{OM}{OL}=\frac{OQ}{ON}\). 3. Aus der Abbildung gilt \(\frac{4}{6}=\frac{5}{x}\). 4. Damit ist \(4x=30\) und somit \(x=7{,}5\).

Antwort

Leo verwendet mit \(ML\) eine Strecke, die nicht vom Scheitelpunkt \(O\) ausgeht. Nach dem ersten Strahlensatz ist \(\frac{OM}{OL}=\frac{OQ}{ON}\); daraus folgt \(x=7{,}5\).
4148569
In einem Trapez \(ABCD\) mit den parallelen Seiten \(AB\) und \(CD\) schneiden sich die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) im Punkt \(S\). Es ist bekannt, dass die Seite \(AB\) genau \(1{,}5\)-mal so lang ist wie die Seite \(CD\). Die Diagonale \(AC\) hat eine Gesamtlänge von \(15\,\text{cm}\). a) Erkläre, warum die Teilstrecken der Diagonalen eine Strahlensatzfigur (X-Figur) bilden. b) Berechne die Längen der Teilstrecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{CS}\). c) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) zueinander? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Welche Winkelgleichheiten folgen aus \(AB\parallel CD\)? - Welches Längenverhältnis liefert der Strahlensatz für \(AS\), \(CS\), \(AB\) und \(CD\)? - Wie nutzt du zusätzlich \(AS+CS=15\,\text{cm}\)? - Wie hängt das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke mit dem Verhältnis entsprechender Längen zusammen?

Lösung

1. Da \(AB\parallel CD\), bilden die sich schneidenden Diagonalen eine X-Figur mit Scheitelpunkt \(S\). Die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) stimmen wegen Wechselwinkeln und Scheitelwinkeln in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Nach dem Strahlensatz gilt \(\frac{AS}{CS}=\frac{AB}{CD}=1{,}5\). 3. Mit \(AS+CS=15\,\text{cm}\) und \(AS=1{,}5CS\) folgt \(2{,}5CS=15\,\text{cm}\). 4. Daher ist \(CS=6\,\text{cm}\) und \(AS=9\,\text{cm}\). 5. Entsprechende Längen der ähnlichen Dreiecke stehen im Verhältnis \(1{,}5:1\). Deshalb stehen ihre Flächeninhalte im Verhältnis \(1{,}5^2:1=2{,}25:1=9:4\).

Antwort

a) Es liegt eine X-Figur vor, da \(AB\parallel CD\) und die Diagonalen durch \(S\) verlaufen. b) \(AS=9\,\text{cm}\), \(CS=6\,\text{cm}\) c) \(A_{ABS}:A_{CDS}=9:4\)
4363809
In einer Figur gilt \(PQ\parallel SU\), \(PR\parallel QU\) und \(ST\parallel PQ\). Der Punkt \(S\) liegt auf \(PR\), der Punkt \(T\) auf \(QR\). Gegeben sind \(PQ=15\,\text{cm}\), \(ST=10\,\text{cm}\), \(RS=12\,\text{cm}\) und \(RT=8\,\text{cm}\). Bestimme \(TQ\) und \(QU\).

Denkanstöße

- Welches Viereck entsteht aus den beiden Paaren paralleler Geraden? - Welche Verhältnisgleichung des zweiten Strahlensatzes verbindet \(ST:PQ\) mit \(RT:RQ\)? - Wie erhältst du \(TQ\) aus \(RQ\) und \(RT\)? - Welche Seite des Parallelogramms ist genauso lang wie \(QU\)?

Lösung

1. Wegen \(PQ\parallel SU\) und \(PR\parallel QU\) ist \(PQUS\) ein Parallelogramm. Daher gilt \(QU=PS\). 2. Wegen \(ST\parallel PQ\) gilt nach dem zweiten Strahlensatz \(\frac{ST}{PQ}=\frac{RT}{RQ}\). 3. Mit \(\frac{10}{15}=\frac{8}{RQ}\) erhält man \(RQ=12\,\text{cm}\). Also ist \(TQ=12\,\text{cm}-8\,\text{cm}=4\,\text{cm}\). 4. Ebenfalls nach dem zweiten Strahlensatz gilt \(\frac{RS}{RP}=\frac{ST}{PQ}=\frac{2}{3}\). Mit \(RP=RS+PS\) folgt \(\frac{12}{12+PS}=\frac{2}{3}\). 5. Daraus ergibt sich \(PS=6\,\text{cm}\), also wegen des Parallelogramms \(QU=6\,\text{cm}\).

Antwort

\(TQ=4\,\text{cm}\), \(QU=6\,\text{cm}\)
4363889
Die Abbildung zeigt eine V-Figur. Der Kreis um den Punkt \(C\) schneidet den unteren Strahl in zwei Punkten, \(D_1\) und \(D_2\). Es ist bekannt, dass die Strecke \(AB\) parallel zur Strecke \(CD_1\) verläuft. Erkläre anhand der Zeichnung, warum aus der Gleichheit der Verhältnisse \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CD_2}}\) nicht folgt, dass \(AB\) parallel zu \(CD_2\) sein muss.
Abbildung zur Aufgabe 436388

Denkanstöße

- Was weißt du über alle Punkte, die auf derselben Kreislinie liegen? - Wenn \(AB\) parallel zu \(CD_1\) ist, welches Verhältnis gilt dann sicher nach dem 2. Strahlensatz? - Kannst du in der Gleichung eine Strecke durch eine gleich lange andere Strecke ersetzen? - Schau dir die Richtungen von \(AB\) und \(CD_2\) an. Sind sie gleich?

Lösung

1. Da \(AB \parallel CD_1\) gilt, besagt der 2. Strahlensatz: \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CD_1}}\). 2. Die Punkte \(D_1\) und \(D_2\) liegen beide auf einem Kreis um \(C\). Damit haben die Strecken \(CD_1\) und \(CD_2\) dieselbe Länge: \(\overline{CD_1} = \overline{CD_2}\). 3. Durch Einsetzen dieser Gleichheit in die Verhältnisgleichung des 2. Strahlensatzes ergibt sich: \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CD_2}}\). Die Verhältnisgleichung ist also auch mit der Strecke \(CD_2\) erfüllt. 4. Die Zeichnung zeigt jedoch, dass die Strecke \(CD_2\) einen anderen Winkel zum Strahl hat als \(AB\) und somit nicht parallel zu \(AB\) ist. Dies beweist, dass die Umkehrung des 2. Strahlensatzes nicht allgemeingültig ist.

Antwort

Die Verhältnisgleichung \(\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CD_2}}\) ist zwar erfüllt, da \(\overline{CD_2} = \overline{CD_1}\) gilt und \(AB \parallel CD_1\) ist. Die Strecke \(CD_2\) hat jedoch eine andere Richtung als \(AB\) und ist daher nicht parallel zu \(AB\). Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt somit nicht.
4370929
Ein Trapez \(ABCD\) hat die zueinander parallelen Seiten \(BC=x\) und \(AD=y\). Der Schnittpunkt der Diagonalen wird mit \(O\) bezeichnet. Das Verhältnis der Flächeninhalte der Dreiecke \(BOC\) und \(AOD\) ist \(1:9\). Die Summe \(x+y\) beträgt \(20\,\text{cm}\). Berechne \(x\) und \(y\). Wie lang ist der Diagonalenabschnitt \(OD\), wenn \(BO=4\,\text{cm}\) ist?
Abbildung zur Aufgabe 437092

Denkanstöße

- Warum sind die beiden Dreiecke an den parallelen Seiten des Trapezes ähnlich? - Welches Verhältnis entsprechender Längen gehört zum Verhältnis der Flächeninhalte \(1:9\)? - Wie kannst du dieses Längenverhältnis mit \(x+y=20\,\text{cm}\) verbinden?

Lösung

1. Wegen \(BC\parallel AD\) sind die Dreiecke \(BOC\) und \(DOA\) ähnlich. 2. Aus \(A_{BOC}:A_{AOD}=1:9\) folgt für entsprechende Längen das Verhältnis \(1:3\). 3. Daher gilt \(x:y=1:3\), also \(y=3x\). 4. Mit \(x+y=20\,\text{cm}\) folgt \(4x=20\,\text{cm}\), also \(x=5\,\text{cm}\) und \(y=15\,\text{cm}\). 5. Auch die entsprechenden Diagonalenabschnitte stehen im Verhältnis \(1:3\). Daher ist \(OD=3\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

Antwort

\(x=5\,\text{cm}\), \(y=15\,\text{cm}\), \(OD=12\,\text{cm}\)
5531289
In der dargestellten X-Figur gilt \(AB\parallel CD\). Die Geraden \(AC\) und \(BD\) schneiden sich in \(Z\). Leite die Verhältnisgleichung \(\frac{ZA}{ZC}=\frac{ZB}{ZD}=\frac{AB}{CD}\) aus der Ähnlichkeit geeigneter Dreiecke her. Verwende die Strahlensätze dabei nicht als bereits bekannte Formel.
Abbildung zur Aufgabe 553128

Denkanstöße

- Welche zwei Dreiecke liegen auf den gegenüberliegenden Seiten des Schnittpunkts \(Z\)? - Welche Winkelgleichheiten erhältst du durch Scheitelwinkel und durch die Parallelität? - Was folgt bei ähnlichen Dreiecken für die Verhältnisse entsprechender Seiten?

Lösung

1. Betrachte die Dreiecke \(\triangle ZAB\) und \(\triangle ZCD\). 2. Die Winkel bei \(Z\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. Wegen \(AB\parallel CD\) ist außerdem jeweils ein weiteres Paar entsprechender Winkel gleich groß. 3. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und es gilt \(\triangle ZAB\sim\triangle ZCD\). 4. Aus der Ähnlichkeit folgt für entsprechende Seiten \(\frac{ZA}{ZC}=\frac{ZB}{ZD}=\frac{AB}{CD}\). 5. Genau diese Seitenproportionen sind die Beziehungen, die in der X-Figur als Strahlensätze verwendet werden.

Antwort

Aus \(\triangle ZAB\sim\triangle ZCD\) folgt unmittelbar \(\frac{ZA}{ZC}=\frac{ZB}{ZD}=\frac{AB}{CD}\).
5565749
Im Dreieck \(SAB\) liegt \(C\) auf \(SA\) und \(D\) auf \(SB\). Es gilt \(SC=6\,\text{cm}\), \(CA=3\,\text{cm}\), \(SD=8\,\text{cm}\), \(DB=4\,\text{cm}\) und \(CD=10\,\text{cm}\). a) Begründe, dass \(CD\parallel AB\) gilt. b) Berechne \(AB\). c) Auf \(SC\) liegt ein Punkt \(E\) mit \(SE=3\,\text{cm}\). Durch \(E\) wird die Parallele zu \(AB\) gezeichnet; sie schneidet \(SB\) in \(F\). Bestimme \(SF\) und \(EF\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die ganzen Strahlenlängen \(SA\) und \(SB\). - Für a) musst du aus gleichen Verhältnissen auf Parallelität schließen, nicht umgekehrt. - Sobald die erste Parallelität feststeht, lässt sich \(AB\) über das gemeinsame Verhältnis bestimmen. - Bei der zweiten Parallelen beginnt wieder alles mit einem Verhältnis von Abständen ab \(S\).

Lösung

1. Es ist \(SA=6\,\text{cm}+3\,\text{cm}=9\,\text{cm}\) und \(SB=8\,\text{cm}+4\,\text{cm}=12\,\text{cm}\). 2. Damit gilt \(\frac{SC}{SA}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) und \(\frac{SD}{SB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\). Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes folgt \(CD\parallel AB\). 3. Wegen der Parallelität gilt \(\frac{CD}{AB}=\frac{SC}{SA}=\frac{2}{3}\). Somit ist \(AB=10\,\text{cm}\cdot\frac{3}{2}=15\,\text{cm}\). 4. Für die neue Parallele ist \(\frac{SE}{SA}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\). 5. Daher ist \(SF=\frac{1}{3}\cdot12\,\text{cm}=4\,\text{cm}\) und \(EF=\frac{1}{3}\cdot15\,\text{cm}=5\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(\frac{SC}{SA}=\frac{SD}{SB}=\frac{2}{3}\), daher \(CD\parallel AB\). b) \(AB=15\,\text{cm}\) c) \(SF=4\,\text{cm}\), \(EF=5\,\text{cm}\)
4370679
In einem rechtwinkligen Dreieck \(KNM\) ist eine Strecke \(EF\) parallel zu \(KN\) mit \(EF = NF\). Die Abschnitte auf der Hypotenuse sind \(KE = 40\) und \(EM = 30\). Bestimme den Umfang \(x = U_{KNM}\).
Abbildung zur Aufgabe 437067

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die gesamte Hypotenuse \(KM\). - Nutze die Ähnlichkeit von \(\triangle EFM\) und \(\triangle KNM\), um \(EF\), \(FM\) und \(NF\) auszudrücken. - Verwende anschließend \(EF = NF\) und den Satz des Pythagoras.

Lösung

1. \(KM = 70\). Aus \(\Delta EFM \sim \Delta KNM\) folgt \(\frac{EF}{KN} = \frac{FM}{NM} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\). 2. \(EF = \frac{3}{7} KN\) und \(FM = \frac{3}{7} NM\). 3. \(NF = NM - FM = \frac{4}{7} NM\). 4. \(EF = NF \Rightarrow \frac{3}{7} KN = \frac{4}{7} NM \Rightarrow KN = \frac{4}{3} NM\). 5. \(NM^2 + (\frac{4}{3} NM)^2 = 70^2 \Rightarrow \frac{25}{9} NM^2 = 4900\). 6. \(NM^2 = 1764 \Rightarrow NM = 42\). 7. \(KN = \frac{4}{3} \cdot 42 = 56\). 8. \(U = 42 + 56 + 70 = 168\).

Antwort

\(x = U_{KNM} = 168\)

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter zusammenstellen