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- Zeichne die Lichtstrahlen, die von der Spitze und dem Fuß des Hauses durch das Loch zur Rückwand der Kamera verlaufen. - Welche Strecken in der Kamera entsprechen welchen Strecken in der Wirklichkeit? - Vergleiche in den ähnlichen Dreiecken jeweils die Höhe mit der zugehörigen Entfernung beziehungsweise Kameratiefe. - Überlege dir die Formel für die Bildhöhe und schaue, was passiert, wenn man einen Wert im Nenner oder Zähler ändert.

1. Strahlensatz/Ähnlichkeit: Bei der Lochkamera bilden Gegenstandshöhe \(G\), Gegenstandsweite \(g\), Bildhöhe \(h\) und Bildweite (Kameratiefe) \(b\) zwei ähnliche Dreiecke (X-Figur). Es gilt \(\frac{h}{b} = \frac{G}{g}\). 2. Berechnung zu a): Gegeben sind \(G = 12\,\text{m}\), \(h = 0{,}15\,\text{m}\), \(b = 0{,}25\,\text{m}\). \(\frac{0{,}15}{0{,}25} = \frac{12}{g} \implies 0{,}6 = \frac{12}{g} \implies g = \frac{12}{0{,}6} = 20\,\text{m}\). 3. Berechnung zu b): Neue Entfernung \(g_2 = 2 \cdot 20\,\text{m} = 40\,\text{m}\). Bildhöhe \(h = 0{,}15\,\text{m}\) und \(b = 0{,}25\,\text{m}\) bleiben gleich. \(\frac{0{,}15}{0{,}25} = \frac{G_2}{40} \implies 0{,}6 = \frac{G_2}{40} \implies G_2 = 0{,}6 \cdot 40 = 24\,\text{m}\). 4. Erklärung zu c): Da \(h = \frac{G \cdot b}{g}\), führt eine Verkleinerung von \(b\) bei konstanten \(G\) und \(g\) zu einer proportionalen Verkleinerung der Bildhöhe \(h\). Das Bild wird kleiner.

a) Die Kamera steht \(20\,\text{m}\) vom Haus entfernt. b) Der Baum muss \(24\,\text{m}\) hoch sein. c) Die Bildgröße wird kleiner, da die Bildhöhe proportional zur Kameratiefe \(b\) ist.

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Skizziere den Strahlengang durch das Loch der Kamera. Welche Figur erkennst du? - Was passiert mit der Bildgröße, wenn man sich vom Baum entfernt? - Welche Werte sind in der Formel für den zweiten Teil der Aufgabe gegeben und was ist gesucht?

1. Anwendung des Strahlensatzes für die Lochkamera (X-Figur): \(\frac{B}{b} = \frac{G}{g}\) bzw. \(\frac{\text{Bildhöhe}}{\text{Bildweite}} = \frac{\text{Gegenstandshöhe}}{\text{Gegenstandsweite}}\). 2. Umrechnung der Einheiten für Teil a): \(12\,\text{m}\) und \(30\,\text{m}\) sowie \(25\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{m}\). 3. Berechnung der Bildhöhe \(B\): \(B = \frac{12\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{m}}{30\,\text{m}} = \frac{3\,\text{m}^2}{30\,\text{m}} = 0{,}1\,\text{m} = 10\,\text{cm}\). 4. Berechnung der neuen Gegenstandsweite \(g\) für Teil b) mit \(B = 0{,}08\,\text{m}\): \(g = \frac{G \cdot b}{B} = \frac{12\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{m}}{0{,}08\,\text{m}} = \frac{3\,\text{m}^2}{0{,}08\,\text{m}} = 37{,}5\,\text{m}\).

a) Das Abbild des Baumes ist \(10\,\text{cm}\) hoch. b) Die Kamera ist \(37{,}5\,\text{m}\) vom Baum entfernt.

- Skizziere die Situation grob auf einem Blatt Papier. Wo liegen die rechten Winkel? - Welche zwei rechtwinkligen Dreiecke entstehen? - Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, was weißt du dann über ihre Form? - Nutze das Verhältnis von entsprechenden Seitenlängen.

1. Identifikation der Dreiecke: Betrachte das kleine Dreieck \(BED\) und das große Dreieck \(BAC\). 2. Begründung der Ähnlichkeit: Beide Dreiecke haben bei \(E\) bzw. \(A\) einen rechten Winkel. Zudem sind die Winkel \(\angle EBD\) und \(\angle ABC\) Scheitelwinkel und daher gleich groß. Nach dem Ähnlichkeitssatz WW sind \(\triangle BED\) und \(\triangle BAC\) ähnlich. 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung: Da die Dreiecke ähnlich sind, verhalten sich entsprechende Seiten proportional: \(\frac{AC}{ED} = \frac{AB}{EB}\). 4. Einsetzen der bekannten Werte: \(AB = 20\,\text{m}\), \(EB = 5\,\text{m}\), \(ED = 4\,\text{m}\). 5. Berechnung von \(AC\): \(\frac{AC}{4} = \frac{20}{5} \implies \frac{AC}{4} = 4 \implies AC = 16\,\text{m}\).

Die Breite des Flusses beträgt \(16\,\text{m}\). Die Dreiecke \(BED\) und \(BAC\) sind ähnlich, da sie jeweils einen rechten Winkel besitzen und die Winkel bei \(B\) als Scheitelwinkel gleich groß sind (WW-Satz).

- Stelle dir eine Skizze der Situation von der Seite vor. - Wo befindet sich das Zentrum der Strahlensatzfigur? - Beachte, dass der Strahlensatz hier die Höhenunterschiede ausgehend von der Augenhöhe betrachtet. - Wie weit ist der Beobachter insgesamt vom Haus entfernt?

1. Festlegen der gegebenen Größen: Augenhöhe \(h_A = 1{,}60\,\text{m}\), Zaunhöhe \(h_Z = 2\,\text{m}\), Abstand Beobachter-Zaun \(d_1 = 3\,\text{m}\), Abstand Zaun-Haus \(d_2 = 12\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Gesamtabstands vom Beobachter zum Haus: \(d_{ges} = d_1 + d_2 = 3\,\text{m} + 12\,\text{m} = 15\,\text{m}\). 3. Anwendung des Strahlensatzes (Zentrum im Auge des Beobachters): Das Verhältnis der Höhenunterschiede zur jeweiligen Entfernung ist konstant. 4. Aufstellen der Gleichung für die verdeckte Höhe \(h_H\): \(\frac{h_Z - h_A}{d_1} = \frac{h_H - h_A}{d_{ges}}\). 5. Einsetzen der Werte: \(\frac{2 - 1{,}6}{3} = \frac{h_H - 1{,}6}{15}\). 6. Berechnung: \(\frac{0{,}4}{3} = \frac{h_H - 1{,}6}{15} \implies 0{,}4 \cdot 5 = h_H - 1{,}6 \implies 2 = h_H - 1{,}6\). 7. Ergebnis: \(h_H = 3{,}6\,\text{m}\).

Das Haus wird bis zu einer Höhe von \(3{,}6\,\text{m}\) verdeckt.

- Zeichne die Situation aus der Vogelperspektive. - Die Sichtlinien des Beobachters bilden mit den Radien der Säulen ähnliche rechtwinklige Dreiecke. - Welches Verhältnis besteht zwischen den Radien und den Entfernungen zum Beobachter?

1. Bestimmung der Radien der Säulen: \(r_1 = 0{,}6\,\text{m}\) und \(r_2 = 0{,}9\,\text{m}\). 2. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten ist \(D = 6\,\text{m}\). 3. Sei \(x\) der gesuchte Abstand vom Beobachter zum Mittelpunkt der kleineren Säule. Der Abstand zum Mittelpunkt der größeren Säule ist dann \(x + 6\). 4. Anwendung des ersten Strahlensatzes für die ähnlichen Dreiecke, die durch die Sichtlinien (Tangenten) gebildet werden: \(\frac{x}{r_1} = \frac{x + D}{r_2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(\frac{x}{0{,}6} = \frac{x + 6}{0{,}9}\). 6. Auflösen nach \(x\): \(0{,}9x = 0{,}6(x + 6) \implies 0{,}9x = 0{,}6x + 3{,}6 \implies 0{,}3x = 3{,}6\). 7. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 12\,\text{m}\).

Der Beobachter muss \(12\,\text{m}\) vom Mittelpunkt der kleineren Säule entfernt stehen.

- Kannst du eine Skizze zeichnen, in der die Lichtquelle, das Lineal und der Schatten vorkommen? - Welche geometrische Form bilden die Lichtstrahlen von der Quelle bis zur Wand? - Gibt es in deiner Zeichnung Linien, die parallel zueinander verlaufen? - Wie verhält sich die Größe des Schattens zur Entfernung von der Lichtquelle?

1. Identifikation der gegebenen Größen: Höhe des Objekts \(h = 20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}\), Höhe des Schattens \(H = 1\,\text{m}\), Abstand Objekt-Wand \(d = 2\,\text{m}\). 2. Sei \(x\) der gesuchte Abstand der Lichtquelle zum Lineal. Der Gesamtabstand zur Wand beträgt somit \(x + 2\). 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung nach dem ersten Strahlensatz (Zentrum Taschenlampe): \(\frac{h}{x} = \frac{H}{x + 2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\frac{0{,}2}{x} = \frac{1}{x + 2}\). 5. Umstellen und Lösen der Gleichung: \(0{,}2 \cdot (x + 2) = x \Rightarrow 0{,}2x + 0{,}4 = x \Rightarrow 0{,}8x = 0{,}4 \Rightarrow x = 0{,}5\). Der Abstand beträgt \(0{,}5\,\text{m}\). 6. Begründung: Die Lichtstrahlen gehen von einem Punkt (Zentrum) aus. Da das Lineal und die Wand beide senkrecht auf dem Tisch stehen, sind sie parallel zueinander. Dies erfüllt die Voraussetzung für den Strahlensatz.

a) Der Abstand der Taschenlampe vom Lineal beträgt \(0{,}5\,\text{m}\) (bzw. \(50\,\text{cm}\)). b) Die Strahlensätze sind anwendbar, da das Lineal und die Wand parallel zueinander stehen und die Lichtstrahlen von einer punktförmigen Lichtquelle ausgehen, was eine zentrische Streckung darstellt.

- Erinnere dich an den Physikunterricht: Wie verhält sich Licht, wenn es auf einen Spiegel trifft? - Was weißt du über die Winkel in den beiden Dreiecken, die am Spiegel entstehen? - Wann sind zwei Dreiecke zueinander ähnlich? - Stell dir vor, der Spiegel läge in einer Mulde oder auf einem Hügel – was würde das für die Winkel bedeuten?

1. Skizze der Situation: Zwei rechtwinklige Dreiecke, die sich an der Spiegelmitte berühren. Das erste Dreieck wird durch Lukas (Höhe \(h_L = 1{,}70\)), den Boden (Länge \(d_L = 2{,}50\)) und den Sehstrahl gebildet. Das zweite durch den Turm (Höhe \(h_T\)), den Boden (Länge \(d_T = 45\)) und den reflektierten Strahl. 2. Begründung der Ähnlichkeit: Nach dem Reflexionsgesetz ist der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel. Da beide Personen/Objekte senkrecht auf dem Boden stehen (rechte Winkel), stimmen die Dreiecke in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich. 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung: \(\frac{h_T}{d_T} = \frac{h_L}{d_L}\). 4. Berechnung der Turmhöhe: \(h_T = \frac{1{,}70}{2{,}50} \cdot 45 = 0{,}68 \cdot 45 = 30{,}6\,\text{m}\). 5. Geländeannahme: Das Gelände muss vollkommen eben sein, damit die Höhenmessungen und die horizontalen Distanzen in einer Flucht liegen und die Winkelbeziehungen korrekt bleiben.

a) Der Kirchturm ist \(30{,}6\,\text{m}\) hoch. b) Das Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) garantiert zusammen mit dem rechten Winkel zum Boden, dass die Dreiecke ähnlich sind. c) Das Gelände muss zwischen allen Messpunkten eben (horizontal) sein.

- Welche Rolle spielt der Spiegel für die Winkel der Sichtlinien? - Kannst du zwei ähnliche Dreiecke in der Skizze identifizieren? - Wie hängen die Augenhöhe, der Abstand zum Spiegel und die Baumhöhe zusammen? - Bleibt die Höhe des Baumes für den zweiten Teil der Aufgabe gleich?

1. Aufstellen der Ähnlichkeitsbeziehung für Lukas (zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke durch Reflexionsgesetz): \(\frac{H_{\text{Baum}}}{4{,}50\,\text{m}} = \frac{1{,}60\,\text{m}}{2{,}00\,\text{m}}\). 2. Berechnung der Baumhöhe: \(H_{\text{Baum}} = 0{,}8 \cdot 4{,}50\,\text{m} = 3{,}60\,\text{m}\). 3. Aufstellen der Ähnlichkeitsbeziehung für Sarah mit der bekannten Baumhöhe: \(\frac{3{,}60\,\text{m}}{4{,}50\,\text{m}} = \frac{1{,}50\,\text{m}}{x}\). 4. Berechnung des Abstands \(x\): \(x = \frac{1{,}50\,\text{m} \cdot 4{,}50\,\text{m}}{3{,}60\,\text{m}} = \frac{1{,}50\,\text{m}}{0{,}8} = 1{,}875\,\text{m}\).

a) Der Baum ist \(3{,}60\,\text{m}\) hoch. b) Sarah muss in einer Entfernung von \(1{,}875\,\text{m}\) zur Spiegelmitte stehen.

- Kannst du eine Skizze zeichnen, in der sich zwei Geraden in einem Punkt kreuzen? - Welche Strecken liegen auf derselben Geraden und welche sind parallel zueinander? - Das Verhältnis der parallelen Seiten ist gleich dem Verhältnis der Entfernungen zum Kreuzungspunkt.

1. Identifikation der Strahlensatzfigur: Es handelt sich um eine X-Figur, bei der die Geraden durch \(A, S, C\) und \(B, S, D\) verlaufen. Da \(AB \parallel CD\), gilt der zweite Strahlensatz. 2. Aufstellen der Verhältnisgleichung: Das Verhältnis der parallelen Seiten entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Strahlenabschnitte vom Scheitelpunkt aus: \(\frac{AB}{CD} = \frac{SA}{SC}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{x}{6} = \frac{24}{8}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{24}{8} \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18\,\text{m}\).

Die Breite des Flusses beträgt \(18\,\text{m}\).

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit (z. B. Zentimeter) umzurechnen, bevor du rechnest. - Der Strahlensatz setzt die Objektgröße ins Verhältnis zur Entfernung von der Kamera. - Überlege für Aufgabenteil b), ob das Modellauto näher an die Kamera oder weiter weg gerückt werden muss, wenn das reale Objekt weiter entfernt ist.

1. Teil a: Umrechnung der Einheiten: Modelllänge \(L_m = 12\,\text{cm}\), Autolänge \(L_a = 480\,\text{cm}\), Abstand Modell \(d_m = 80\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Strahlensatzes: \(\frac{d_m}{L_m} = \frac{d_a}{L_a}\). 3. Einsetzen: \(\frac{80}{12} = \frac{d_a}{480} \implies d_a = \frac{80 \cdot 480}{12} = 80 \cdot 40 = 3200\,\text{cm}\). Das Auto ist \(32\,\text{m}\) entfernt. 4. Teil b: Neuer Abstand des Autos \(d_{a,neu} = 32\,\text{m} + 10\,\text{m} = 42\,\text{m} = 4200\,\text{cm}\). 5. Berechnung des neuen Modellabstands \(d_{m,neu}\): \(\frac{d_{m,neu}}{12} = \frac{4200}{480}\). 6. Auflösen: \(d_{m,neu} = \frac{4200 \cdot 12}{480} = \frac{4200}{40} = 105\,\text{cm}\). 7. Berechnung der Verschiebung: \(\Delta d = 105\,\text{cm} - 80\,\text{cm} = 25\,\text{cm}\).

a) Das echte Auto muss \(32\,\text{m}\) entfernt stehen. b) Das Modellauto muss um \(25\,\text{cm}\) (weiter weg von der Kamera) verschoben werden.

- Stelle dir vor, wie lang der Schatten ohne die Wand wäre. - Welche geometrische Figur entsteht durch den Pfosten, den Boden und die Sonnenstrahlen? - Kannst du ein Verhältnis zwischen der Höhe eines Objekts und seiner Schattenlänge aufstellen? - Betrachte den Randstrahl des Schattens: In welcher Höhe schneidet er die Wand?

1. Berechnung des Verhältnisses von Objekthöhe zu Schattenlänge auf dem Boden: \(k = \frac{6{,}0\,\text{m}}{9{,}0\,\text{m}} = \frac{2}{3}\). 2. Bestimmung des Teilstücks der theoretischen Schattenlänge, das durch die Wand „abgeschnitten“ wird: \(9{,}0\,\text{m} - 6{,}0\,\text{m} = 3{,}0\,\text{m}\). 3. Anwendung des Strahlensatzes (V-Figur) zur Bestimmung der Schattenhöhe \(h_w\) an der Wand: \(\frac{h_w}{3{,}0\,\text{m}} = \frac{6{,}0\,\text{m}}{9{,}0\,\text{m}}\). 4. Berechnung der Höhe: \(h_w = 3{,}0\,\text{m} \cdot \frac{2}{3} = 2{,}0\,\text{m}\).

Der Schatten des Pfostens endet in einer Höhe von \(2{,}0\,\text{m}\) an der Wand.

- Zeichne die Laterne, die Person und den Lichtstrahl auf. Wo entstehen ähnliche Dreiecke? - Der Schatten beginnt an den Füßen der Person und endet dort, wo der Lichtstrahl den Boden berührt. - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Schattenlänge an zwei Stellen vorkommt. - Was passiert mit dem Winkel des Lichteinfalls, wenn man sich der Lichtquelle nähert?

1. Skizzieren der Situation als rechtwinklige, ähnliche Dreiecke. Das große Dreieck wird durch die Laterne (\(H = 5{,}00\,\text{m}\)) und die Gesamtlänge aus Abstand \(d\) und Schatten \(s\) gebildet. Das kleine Dreieck wird durch die Person (\(h = 1{,}60\,\text{m}\)) und den Schatten \(s\) gebildet. 2. Anwendung des Strahlensatzes: \(\frac{H}{d+s} = \frac{h}{s}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{5}{4{,}25 + s} = \frac{1{,}6}{s}\). 4. Über Kreuz multiplizieren: \(5 \cdot s = 1{,}6 \cdot (4{,}25 + s)\). 5. Klammer auflösen: \(5s = 6{,}8 + 1{,}6s\). 6. Nach \(s\) auflösen: \(3{,}4s = 6{,}8 \Rightarrow s = 2\,\text{m}\). 7. Zu Teil b): Wenn die Person näher zur Laterne geht, wird der Lichtwinkel von oben steiler. Dadurch verkürzt sich die Projektion auf den Boden, der Schatten wird also kürzer.

a) Der Schatten ist \(2\,\text{m}\) lang. b) Der Schatten wird kürzer, da der Lichtstrahl in einem steileren Winkel auf die Person trifft.