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Ein Baum und ein senkrechter Messstab werfen zur gleichen Zeit Schatten auf ebenen Boden. Bezeichne die Baumhöhe mit \(H\), die Länge des Baumschattens mit \(b\), die Stabhöhe mit \(h\) und die Länge des Stabschattens mit \(s\). Welche Verhältnisgleichung beschreibt das passende Strahlensatzmodell? A: \(\frac{H}{b}=\frac{h}{s}\) B: \(\frac{H}{h}=\frac{s}{b}\) C: \(\frac{H}{s}=\frac{h}{b}\)

Bei einer geometrischen Vermessung wird ein Bodenpunkt \(S\) als gemeinsamer Scheitelpunkt des Strahlenmodells verwendet. In \(3\,\text{m}\) Entfernung von \(S\) steht senkrecht ein \(2\,\text{m}\) hoher Peilstab. Die Spitze des Peilstabs, der Punkt \(S\) und die Spitze eines Aussichtsturms liegen auf einer Geraden. Der Fußpunkt des Turms ist \(24\,\text{m}\) von \(S\) entfernt. Berechne die Höhe \(h\) des Aussichtsturms.

Ein \(12\,\text{cm}\) hoher Gegenstand wird mit einer Lochkamera abgebildet. Der Gegenstand steht \(20\,\text{cm}\) vor dem Loch \(Z\); der Schirm befindet sich \(15\,\text{cm}\) hinter dem Loch. Berechne die Bildhöhe \(B\).

Drei Skizzen zeigen mögliche Aufbauten, mit denen die Höhe eines Mastes mithilfe eines Peilstabs bestimmt werden soll. Welche Skizze bildet eine geeignete Strahlensatzfigur? Begründe deine Wahl mit den geometrischen Voraussetzungen.

Mit einem senkrechten Messstab soll die Höhe eines Baumes über die gleichzeitig entstehenden Schatten bestimmt werden. Bekannt sind bereits die Stabhöhe und die Länge des Baumschattens. Welche zusätzliche Messung wird für eine Strahlensatzrechnung benötigt? A: der Abstand zwischen Baum und Messstab B: die Länge des Stabschattens C: der Stammumfang des Baumes Begründe kurz.

Eine gerade Laderampe beginnt am Bodenpunkt \(S\). In \(2\,\text{m}\) waagerechter Entfernung von \(S\) stützt ein senkrechter Pfosten die Rampe in \(0{,}60\,\text{m}\) Höhe. Ein zweiter senkrechter Pfosten soll \(5\,\text{m}\) waagerecht von \(S\) entfernt aufgestellt werden. Wie hoch muss der zweite Pfosten sein, damit er die gerade Rampe genau erreicht?

Ein Vermessungstechniker möchte die Breite eines Flusses bestimmen, ohne ihn zu überqueren. Er markiert an einem Ufer zwei Punkte \(A\) und \(B\) im Abstand von \(20\,\text{m}\). Direkt gegenüber von Punkt \(A\) am anderen Ufer befindet sich ein markanter Baum (Punkt \(C\)), sodass die Strecke \(AC\) senkrecht auf \(AB\) steht. Um die Breite \(AC\) zu berechnen, steckt er auf der Verlängerung der Strecke \(AB\) über \(B\) hinaus einen Punkt \(E\) in \(5\,\text{m}\) Entfernung von \(B\) ab. Dann geht er von \(E\) aus senkrecht zur Strecke \(AB\) so weit vom Fluss weg, bis er an einem Punkt \(D\) den Baum \(C\) und den Punkt \(B\) genau in einer Flucht sieht. Die Strecke \(ED\) misst er mit \(4\,\text{m}\). Berechne die Breite des Flusses \(AC\). Begründe kurz, warum die verwendete Verhältnisrechnung geometrisch zulässig ist.

In einer Camera obscura (Lochkamera) mit einer Tiefe von \(b=25\,\text{cm}\) wird ein \(12\,\text{m}\) hohes Haus abgebildet. Das Bild auf der Rückwand der Kamera ist \(15\,\text{cm}\) hoch. a) Bestimme die Entfernung \(g\) der Kamera vom Haus. b) Das Haus wird durch einen Baum ersetzt, der doppelt so weit von der Kamera entfernt steht. Wie groß muss der Baum sein, damit sein Bild ebenfalls \(15\,\text{cm}\) hoch ist? c) Erkläre allgemein, wie sich die Bildhöhe verändert, wenn die Kameratiefe \(b\) verkleinert wird und Gegenstandsgröße sowie Gegenstandsentfernung unverändert bleiben.

Ein \(2\,\text{m}\) hoher Zaun steht \(12\,\text{m}\) vor einer Hauswand. Ein Beobachter steht \(3\,\text{m}\) vor dem Zaun; seine Augen befinden sich \(1{,}60\,\text{m}\) über dem Boden. Aus dieser Perspektive verdeckt der Zaun einen Teil der Hauswand. Bestimme, bis zu welcher Höhe \(H\) die Hauswand verdeckt wird.

Zwei zylindrische Litfaßsäulen stehen hintereinander auf einem Platz. Die vordere Säule hat einen Durchmesser von \(1{,}20\,\text{m}\), die hintere einen Durchmesser von \(1{,}80\,\text{m}\). Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Säulen beträgt genau \(6\,\text{m}\). Betrachtet wird die Draufsicht. Ein Beobachter bewegt sich auf der Geraden durch die beiden Mittelpunkte. Bestimme, in welcher Entfernung vom Mittelpunkt der kleineren Säule er stehen muss, damit die kleinere Säule die größere in der Draufsicht exakt verdeckt.

Ein Fotograf möchte ein Modellauto mit einer Länge von \(12\,\text{cm}\) so vor seiner Kamera platzieren, dass es auf dem Foto exakt die gleiche Länge einnimmt wie ein echtes Auto mit einer Länge von \(4{,}80\,\text{m}\), das im Hintergrund steht. Beide Autos stehen quer zur Blickrichtung; ihre Längsachsen sind parallel zueinander und parallel zur Bildebene. a) Das Modellauto steht \(80\,\text{cm}\) vom Objektiv entfernt. Bestimme die Entfernung des echten Autos vom Objektiv. b) Das echte Auto wird anschließend um \(10\,\text{m}\) weiter vom Objektiv entfernt. Bestimme, um wie viele Zentimeter das Modellauto verschoben werden muss, damit beide auf dem Bild weiterhin deckungsgleich erscheinen.

Eine Taschenlampe wird auf einem Tisch platziert; ihre punktförmig angenommene Lichtquelle befindet sich auf Höhe der Tischoberfläche. Sie beleuchtet ein \(20\,\text{cm}\) hohes Lineal, das senkrecht auf dem Tisch steht. Das Lineal wirft auf einer senkrechten Wand einen \(1\,\text{m}\) hohen Schatten, gemessen ab der Tischoberfläche. Die Wand ist genau \(2\,\text{m}\) vom Lineal entfernt. a) Berechne den Abstand der Lichtquelle vom Lineal. b) Begründe unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe, warum in dieser Situation die Strahlensätze angewendet werden dürfen.

Lukas möchte die Höhe eines Kirchturms bestimmen. Er legt einen kleinen Taschenspiegel flach auf den Boden und entfernt sich so weit vom Spiegel, bis er die Spitze des Turms genau in der Mitte des Spiegels reflektiert sieht. Gegeben sind seine Augenhöhe \(1{,}70\,\text{m}\), die Entfernung seiner Füße zur Spiegelmitte \(2{,}50\,\text{m}\) und die Entfernung der Spiegelmitte zum Fußpunkt des Turms \(45\,\text{m}\). a) Begründe, warum die beiden entstehenden rechtwinkligen Dreiecke ähnlich sind, und berechne die Höhe des Kirchturms. b) Welche Annahme über das Gelände ist für diese Modellierung nötig?

Ein senkrechter Pfosten von \(6{,}0\,\text{m}\) Höhe wirft auf einer horizontalen, ebenen Fläche einen \(9{,}0\,\text{m}\) langen Schatten. In einem Abstand von \(6{,}0\,\text{m}\) vom Pfosten steht eine senkrechte Wand, die parallel zum Pfosten verläuft und den Schattenwurf vorzeitig unterbricht. Berechne die Höhe \(h_w\), in der der Schatten des Pfostens an der Wand endet.

Um die Breite \(x\) eines Flusses zu bestimmen, markiert eine Vermesserin zwei direkt gegenüberliegende Punkte \(A\) und \(B\) an den Ufern. Durch weitere Markierungen entsteht eine X-Figur: \(A,S,C\) liegen auf einer Geraden, \(B,S,D\) auf einer zweiten, und es gilt \(AB\parallel CD\). Gegeben sind \(SA=24\,\text{m}\), \(SC=8\,\text{m}\) und \(CD=6\,\text{m}\). Berechne die Flussbreite \(x=AB\).

Eine \(5{,}00\,\text{m}\) hohe Straßenlaterne wirft nachts den Schatten einer \(1{,}60\,\text{m}\) großen Person. Die Person steht \(4{,}25\,\text{m}\) vom Mast entfernt. a) Berechne die Schattenlänge \(s\). b) Begründe ohne weitere Rechnung, wie sich die Schattenlänge verändert, wenn die Person auf die Laterne zugeht.

Ein Baugerüst wird zur Stabilisierung mit zwei sich kreuzenden Streben versehen. Die horizontalen Balken \(AB\) und \(CD\) verlaufen parallel zueinander. Es sind \(ZA=1{,}2\,\text{m}\), \(ZB=1{,}0\,\text{m}\) und \(ZC=2{,}4\,\text{m}\) bekannt. 1. Berechne \(ZD\). 2. Berechne \(CD\), wenn \(AB=0{,}8\,\text{m}\) ist.

Ein Fahnenmast wirft an einem sonnigen Tag einen Schatten auf den ebenen Boden. Noah ist \(1{,}60\,\text{m}\) groß und stellt sich so auf, dass die Spitze seines Schattens genau auf die Spitze des Mastschattens fällt. Noah ist \(2\,\text{m}\) von dieser Schattenspitze entfernt. Sein Abstand zum Fußpunkt des Fahnenmasts beträgt \(7\,\text{m}\). Berechne die Höhe \(h\) des Fahnenmasts.

Zwei senkrechte Stäbe stehen auf einer ebenen Fläche. Ein kleinerer Stab \(AB\) hat die Höhe \(2\,\text{m}\), ein größerer Stab \(CD\) die Höhe \(5\,\text{m}\). Von einem Beobachtungspunkt \(S\) auf dem Boden aus liegen die Spitzen \(B\) und \(D\) genau auf einer Sichtlinie. Der Abstand vom Punkt \(S\) zum Fußpunkt \(A\) des ersten Stabes beträgt \(3\,\text{m}\). a) Begründe kurz, warum die Höhen der beiden Stäbe mit ihren Entfernungen vom Beobachtungspunkt proportional verglichen werden dürfen. b) Berechne die Entfernung \(AC\) zwischen den beiden Stäben.

Eine punktförmige Lichtquelle steht auf Bodenhöhe. In \(3\,\text{m}\) Entfernung befindet sich eine senkrechte, \(1{,}5\,\text{m}\) hohe Tafel. Weitere \(5\,\text{m}\) dahinter steht eine senkrechte Wand. Kai rechnet für die Schattenhöhe an der Wand: \(1{,}5\,\text{m}\cdot\frac{5}{3}=2{,}5\,\text{m}\). Erkläre Kais Modellierungsfehler. Berechne anschließend die richtige Schattenhöhe \(h\).

Bei einer Geländevermessung soll die Länge einer unzugänglichen geraden Begrenzung \(AB\) bestimmt werden. Vom Messpunkt \(S\) führen Sichtstrahlen durch \(C\) nach \(A\) und durch \(D\) nach \(B\). Die zugängliche Messstrecke \(CD\) wurde parallel zu \(AB\) abgesteckt. Es gilt \(SC=7{,}5\,\text{m}\), \(SA=30\,\text{m}\), \(SD=9\,\text{m}\) und \(CD=6\,\text{m}\). Berechne \(AB\) und \(DB\).

Zur Höhenbestimmung eines senkrechten Turms verwendet Nele einen \(1{,}50\,\text{m}\) langen Messstab und die Schattenmethode. Der Messstab steckt jedoch deutlich schräg im Boden. Nele misst trotzdem seine volle Länge und seinen Schatten und setzt diese Werte wie bei einem senkrechten Vergleichsstab in eine Verhältnisgleichung ein. Beurteile, ob dieses Modell gültig ist. Nenne die verletzte geometrische Voraussetzung und eine Möglichkeit, die Messung zu korrigieren.

Zwei vertikale Pfosten mit den Höhen \(h_1=4\,\text{m}\) und \(h_2=12\,\text{m}\) stehen auf ebenem Boden. Von der Spitze jedes Pfostens ist ein Seil zum Fußpunkt des jeweils anderen Pfostens straff gespannt. In welcher Höhe über dem Boden kreuzen sich die beiden Seile?

Mila möchte die Höhe eines Baumes bestimmen. Ihre Augen befinden sich \(1{,}60\,\text{m}\) über dem ebenen Boden. Ein senkrechter Peilstab ist \(2{,}20\,\text{m}\) hoch und steht \(3\,\text{m}\) von dem Punkt am Boden entfernt, der senkrecht unter Milas Augen liegt. Der Baum steht auf derselben Geraden \(18\,\text{m}\) von diesem Punkt entfernt. Mila richtet ihren Blick so aus, dass ihr Auge, die Spitze des Peilstabs und die Baumspitze auf einer Geraden liegen. Berechne die Baumhöhe \(H\). Erkläre außerdem, warum nicht die volle Peilstabhöhe \(2{,}20\,\text{m}\) als entsprechende Höhenstrecke eingesetzt werden darf.