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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Satz des Pythagoras (inkl. Umkehrung)

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4100799
Ein Quader hat die Kantenlängen \(1 \text{ cm}, 2 \text{ cm}\) und \(3 \text{ cm}\). Bestimme die Länge seiner Raumdiagonale (siehe Abbildung).
Abbildung zur Aufgabe 410079

Denkanstöße

- Kannst du die Diagonale Schritt für Schritt berechnen (erst die Diagonale der Grundfläche, dann die Raumdiagonale)? - Welchen Satz benutzt man typischerweise für Längen in rechtwinkligen Strukturen? - Gibt es eine direkte Formel für die Diagonale in einem Quader?

Lösung

1. Anwendung der Formel für die Raumdiagonale im Quader: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 2. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9}\) 3. Ergebnis: \(\sqrt{14}\)

Antwort

\(\sqrt{14}\)
4101339
Ein Gärtner möchte ein rechtwinkliges Blumenbeet anlegen und hat dafür drei verschiedene Sätze von Begrenzungshölzern vorbereitet. Welche der folgenden Sätze bilden ein rechtwinkliges Dreieck? Satz 1: \(11\text{ cm}, 60\text{ cm}, 61\text{ cm}\) Satz 2: \(10\text{ cm}, 24\text{ cm}, 25\text{ cm}\) Satz 3: \(20\text{ cm}, 21\text{ cm}, 29\text{ cm}\)

Lösung

1. Überprüfung Satz 1: Längste Seite: \(61\). \(11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721\). \(61^2 = 3721\). Gleichheit gilt (\(3721 = 3721\)), also rechtwinklig. 2. Überprüfung Satz 2: Längste Seite: \(25\). \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\). \(25^2 = 625\). Keine Gleichheit (\(676 \neq 625\)), also nicht rechtwinklig. 3. Überprüfung Satz 3: Längste Seite: \(29\). \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). \(29^2 = 841\). Gleichheit gilt (\(841 = 841\)), also rechtwinklig.

Antwort

Die Sätze 1 und 3 bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Satz 2 bildet kein rechtwinkliges Dreieck.
4101359
Ein Tischler fertigt eine dreieckige Tischplatte an. Die drei Seiten der Platte messen \(24\text{ cm}\), \(7\text{ cm}\) und \(25\text{ cm}\). Überprüfe mithilfe des Satzes von Pythagoras, ob die Tischplatte an einer Ecke einen exakten rechten Winkel aufweist.

Lösung

1. Identifiziere die längste Seite als potenzielle Hypotenuse: \(c = 25\text{ cm}\). 2. Wende den Kehrsatz des Pythagoras an: Überprüfe, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist (\(a^2 + b^2 = c^2\)). 3. Berechne die Quadrate: \(a^2 = 7^2 = 49\) \(b^2 = 24^2 = 576\) \(c^2 = 25^2 = 625\) 4. Addiere die Quadrate der kürzeren Seiten: \(49 + 576 = 625\). 5. Da \(625 = 625\) gilt, ist die Gleichung erfüllt.

Antwort

Ja, die Tischplatte ist rechtwinklig, da \(7^2 + 24^2 = 25^2\) gilt.
4149989
Gegeben sind vier Gleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke beschreiben. Bestimme für jede Gleichung, welche der Variablen die Hypotenuse darstellt, und begründe deine Entscheidung kurz. 1. \(p^2 = q^2 - r^2\) 2. \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 3. \(x^2 + x^2 = y^2\) 4. \(s^2 - t^2 - u^2 = 0\)

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Grundform des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Welche Seite ist dabei immer die längste? - Versuche, jede Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite nur ein einzelnes Quadrat steht. - Was bedeutet die Wurzel in diesem Zusammenhang für die Beziehung der Quadrate?

Lösung

1. Umstellung zu \(q^2 = p^2 + r^2\). Da die Summe der Quadrate zweier Seiten das Quadrat der dritten Seite ergibt, ist \(q\) die Hypotenuse. 2. Quadrieren ergibt \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat die Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\) ist. 3. Die Gleichung hat die Form \(a^2 + b^2 = c^2\) mit \(a=b=x\). Somit ist \(y\) die Hypotenuse. 4. Umstellung zu \(s^2 = t^2 + u^2\). \(s\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

Antwort

1. \(q\) ist die Hypotenuse. 2. \(c\) ist die Hypotenuse. 3. \(y\) ist die Hypotenuse. 4. \(s\) ist die Hypotenuse.
4150019
In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck hat eine der beiden Katheten eine Länge von \(5\,\text{cm}\). Berechne die Länge der Hypotenuse. Gib das Ergebnis exakt und auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

Denkanstöße

- Welche Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck sind bei der Eigenschaft „gleichschenklig“ einander gleich? - Wie hängen die Katheten und die Hypotenuse mathematisch zusammen? - Was bedeutet es, ein Ergebnis „exakt“ anzugeben, im Gegensatz zu einem gerundeten Wert?

Lösung

1. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck sind beide Katheten \(a\) gleich lang: \(a = 5\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(a^2 + a^2 = c^2\), also \(5^2 + 5^2 = c^2\). 3. Berechnung: \(25 + 25 = 50\), daraus folgt \(c = \sqrt{50}\,\text{cm}\). 4. Vereinfachung und Rundung: \(c = 5\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 7{,}07\,\text{cm}\).

Antwort

Die Hypotenuse ist exakt \(5\sqrt{2}\,\text{cm}\) (bzw. \(\sqrt{50}\,\text{cm}\)) lang, was gerundet etwa \(7{,}07\,\text{cm}\) entspricht.
4150049
Berechne die Länge der Diagonale \(d\) eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(a = 1{,}2\,\text{m}\) und \(b = 3{,}5\,\text{m}\).

Denkanstöße

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man eine Diagonale in ein Rechteck einzeichnet? - Welche Seiten des entstandenen Dreiecks sind gegeben und welche wird gesucht? - Achte darauf, dass die Einheiten während der Rechnung konsistent bleiben.

Lösung

1. Identifikation des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Seiten \(a\), \(b\) und die Diagonale \(d\) gebildet wird. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(d^2 = (1{,}2\,\text{m})^2 + (3{,}5\,\text{m})^2 = 1{,}44\,\text{m}^2 + 12{,}25\,\text{m}^2 = 13{,}69\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Diagonale durch Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{13{,}69\,\text{m}^2} = 3{,}7\,\text{m}\).

Antwort

Die Diagonale des Rechtecks ist \(3{,}7\,\text{m}\) lang.
4150109
Von einem Rechteck sind die Länge der Diagonale \(d = 17\,\text{cm}\) und die Länge einer Seite \(a = 15\,\text{cm}\) gegeben. Berechne den Flächeninhalt \(A\) und den Umfang \(U\) dieses Rechtecks.

Denkanstöße

- Welche Seite fehlt dir, um den Flächeninhalt und den Umfang berechnen zu können? - Wie kannst du die fehlende Seite mithilfe der Diagonale und der gegebenen Seite bestimmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck.

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Seitenlänge \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (15 + 8) = 2 \cdot 23 = 46\,\text{cm}\).

Antwort

Der Flächeninhalt beträgt \(120\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(46\,\text{cm}\).
4150139
Prüfe, ob die Dreiecke mit den folgenden Seitenlängen rechtwinklig sind. Achte dabei auf die Einheiten. a) \(a = 4{,}5\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\), \(c = 7{,}5\,\text{cm}\) b) \(a = 12\,\text{m}\), \(b = 15\,\text{m}\), \(c = 20\,\text{m}\) c) \(a = 15\,\text{mm}\), \(b = 36\,\text{mm}\), \(c = 3{,}9\,\text{cm}\)

Denkanstöße

- Achte darauf, dass alle Seitenlängen in derselben Einheit angegeben sind, bevor du rechnest. - Identifiziere zuerst die längste Seite des Dreiecks. - Überprüfe, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist.

Lösung

Zunächst wird für jedes Dreieck die längste Seite identifiziert und die Gültigkeit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras geprüft. In Teilaufgabe a) ist \(c\) die längste Seite; die Rechnung \(4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25\) ergibt denselben Wert wie \(7{,}5^2 = 56{,}25\), womit das Dreieck rechtwinklig ist. In b) ist \(c = 20\,\text{m}\) die längste Seite; da \(12^2 + 15^2 = 144 + 225 = 369\) ungleich \(20^2 = 400\) ist, liegt kein rechter Winkel vor. In c) wird \(c\) in \(39\,\text{mm}\) umgerechnet; die Summe der Quadrate \(15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521\) entspricht genau \(39^2 = 1521\), was die Rechtwinkligkeit bestätigt.

Antwort

a) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig. b) Nein, das Dreieck ist nicht rechtwinklig. c) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig.
4150499
Ein Quadrat hat die Seitenlänge \(a\). a) Bestimme den Flächeninhalt eines neuen Quadrats, dessen Seitenlänge genau der Länge der Diagonalen des ursprünglichen Quadrats entspricht. Drücke das Ergebnis in Abhängigkeit von \(a\) aus. b) Ein weiteres Quadrat soll den dreifachen Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats besitzen. Erkläre mithilfe des Satzes von Pythagoras, wie man die benötigte Seitenlänge für dieses Quadrat geometrisch aus der Seite \(a\) und der Diagonale \(d\) des ersten Quadrats konstruieren kann.

Denkanstöße

- Wie hängen die Seiten und die Diagonale in einem Quadrat zusammen? - Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats aus seiner Seite? - Kannst du die Zahl 3 als Summe von zwei Zahlen schreiben, die bereits Quadrate von bekannten Längen in der Figur sind? - Überlege, wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet wird.

Lösung

1. Berechnung der Diagonalen des ersten Quadrats: Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Diagonale \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(d = a\sqrt{2}\). 2. Berechnung des neuen Flächeninhalts: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(d\) hat den Flächeninhalt \(A_{neu} = d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2\). Das neue Quadrat hat also den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats. 3. Konstruktion für die dreifache Fläche: Das Zielquadrat benötigt den Flächeninhalt \(3a^2\), also die Seitenlänge \(s = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\). 4. Anwendung des Satzes von Pythagoras: Es gilt \((a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 2a^2 + a^2\). Da \(2a^2 = d^2\) ist, folgt \((a\sqrt{3})^2 = d^2 + a^2\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die gesuchte Seitenlänge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Originalseite \(a\) und die Originaldiagonale \(d\) sind.

Antwort

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2a^2\). b) Die Seitenlänge für die dreifache Fläche entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Seite \(a\) und die Diagonale \(d = a\sqrt{2}\) des ursprünglichen Quadrats sind, da \(a^2 + d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\).
4152449
In einem Dreieck \(RST\) befindet sich der rechte Winkel am Eckpunkt \(S\). a) Benenne die Katheten und die Hypotenuse dieses Dreiecks unter Verwendung der Seitenbezeichnungen \(r\), \(s\) und \(t\). b) Stelle die Formel für den Satz des Pythagoras für dieses spezifische Dreieck auf. c) Erkläre kurz, warum die allgemeine Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) nicht ohne zusätzliche Informationen für jedes rechtwinklige Dreieck übernommen werden kann.

Denkanstöße

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel direkt gegenüber? - Wie hießen noch einmal die Seiten, die den rechten Winkel bilden? - Was passiert mit der Formel, wenn man die Buchstaben an den Ecken des Dreiecks vertauscht?

Lösung

1. Identifikation der Seiten: Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Da der rechte Winkel bei \(S\) liegt, ist die Seite \(s\) die Hypotenuse. Die Seiten \(r\) (gegenüber von \(R\)) und \(t\) (gegenüber von \(T\)) schließen den rechten Winkel ein und sind somit die Katheten. 2. Aufstellen der Gleichung: Nach dem Satz des Pythagoras entspricht die Summe der Quadrate der Katheten dem Quadrat der Hypotenuse. Daraus folgt: \(r^2 + t^2 = s^2\). 3. Begründung zur allgemeinen Formel: Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) setzt voraus, dass \(c\) die Hypotenuse ist. In der Mathematik können Variablen jedoch frei gewählt werden. Ohne Definition, welche Variable die längste Seite beschreibt, führt die blinde Anwendung der Formel zu falschen Ergebnissen, wie im Beispiel mit \(s\) als Hypotenuse ersichtlich ist.

Antwort

a) Die Hypotenuse ist \(s\), die Katheten sind \(r\) und \(t\). b) Die Formel lautet \(r^2 + t^2 = s^2\). c) Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) ist nur korrekt, wenn \(c\) die Hypotenuse ist. Da Buchstaben variabel vergeben werden können, muss man immer zuerst prüfen, welche Seite die Hypotenuse ist.
4154489
Ein quadratisches Verkehrsschild hat eine Diagonallänge von genau \(60\,\text{cm}\). Berechne den Flächeninhalt dieses Schildes in Quadratzentimetern.

Denkanstöße

- Wie hängen die Diagonale und die Seitenlängen in einem Quadrat zusammen? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. - Musst du die Seitenlänge einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt zu finden? - Was ist die Definition des Flächeninhalts eines Quadrats?

Lösung

1. Sei \(a\) die Seitenlänge des Quadrats und \(d\) die Diagonale. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem Quadrat \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 2. Setze den gegebenen Wert \(d = 60\,\text{cm}\) in die Gleichung ein: \(60^2 = 2a^2\). 3. Berechne das Quadrat der Diagonale: \(3\,600 = 2a^2\). 4. Löse nach dem Flächeninhalt \(A = a^2\) auf, indem du beide Seiten durch \(2\) dividierst: \(a^2 = 1\,800\). 5. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt somit \(1\,800\,\text{cm}^2\).

Antwort

Der Flächeninhalt des Schildes beträgt \(1\,800\,\text{cm}^2\).
4155899
Ein Tablet hat ein Display mit den Seitenlängen \(18\,\text{cm}\) und \(24\,\text{cm}\). Ein Hersteller bietet eine Schutzhülle an, die für Geräte bis zu einer Bildschirmdiagonale von maximal \(28\,\text{cm}\) ausgelegt ist. Begründe rechnerisch, ob das Tablet in diese Schutzhülle passt.

Denkanstöße

- Welche geometrische Form hat das Display? - Wie hängen die Seitenlängen und die Diagonale in dieser Form zusammen? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem Grenzwert aus der Aufgabenstellung.

Lösung

1. Modellierung des Displays als Rechteck mit den Katheten \(a = 18\,\text{cm}\) und \(b = 24\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Diagonalen \(d\): \(d^2 = 18^2 + 24^2\). 3. Berechnung der Quadrate: \(d^2 = 324 + 576 = 900\). 4. Bestimmung der Länge der Diagonalen durch Wurzelziehen: \(d = \sqrt{900} = 30\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Maximalgröße der Hülle: Da \(30\,\text{cm} > 28\,\text{cm}\) ist, passt das Tablet nicht in die Schutzhülle.

Antwort

Das Tablet passt nicht in die Schutzhülle, da seine Diagonale \(30\,\text{cm}\) lang ist und damit die maximal zulässige Bildschirmdiagonale von \(28\,\text{cm}\) überschreitet.
4155939
Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Segel hat eine Hypotenuse der Länge \(c\). Für ein größeres Boot soll ein neues Segel hergestellt werden, bei dem beide Katheten doppelt so lang sind wie beim ursprünglichen Segel. Untersuche mithilfe des Satzes von Pythagoras, wie sich die Länge der Hypotenuse und der Flächeninhalt des Segels durch diese Verdoppelung verändern.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Was bedeutet „gleichschenklig-rechtwinklig“ für die Längen der Katheten? - Stelle eine Gleichung für die Hypotenuse vor und nach der Änderung auf. - Wie verändert sich ein Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

Lösung

1. Im ursprünglichen Dreieck mit Kathete \(a\) gilt nach Pythagoras: \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(c = a \cdot \sqrt{2}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot a^2\). 3. Im neuen Dreieck ist die Kathete \(a' = 2a\). 4. Die neue Hypotenuse ist \(c' = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a \cdot \sqrt{2}\). Da \(c = a \cdot \sqrt{2}\) ist, gilt \(c' = 2c\). Die Hypotenuse verdoppelt sich. 5. Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2a)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 = 2a^2\). Im Vergleich zu \(A = 0{,}5a^2\) ist dies das Vierfache: \(A' = 4A\).

Antwort

Die Länge der Hypotenuse verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt des Segels vervierfacht.
4101349
Untersuche, ob die Dreiecke mit den folgenden Seitenlängen rechtwinklig sind. Achte dabei auf die Einheiten und wandle sie gegebenenfalls um: a) \(a = 0,9\text{ m}\), \(b = 40\text{ cm}\), \(c = 80\text{ cm}\) b) \(x = 1,2\text{ cm}\), \(y = 3,5\text{ cm}\), \(z = 3,7\text{ cm}\)

Lösung

1. Teilaufgabe a): Wandle alle Maße in die gleiche Einheit um (z. B. cm): \(a = 90\text{ cm}\), \(b = 40\text{ cm}\), \(c = 80\text{ cm}\). Die längste Seite ist \(a = 90\text{ cm}\). Prüfe: \(b^2 + c^2 = a^2\) \(40^2 + 80^2 = 1600 + 6400 = 8000\) \(a^2 = 90^2 = 8100\) Da \(8000 \neq 8100\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Teilaufgabe b): Die längste Seite ist \(z = 3,7\text{ cm}\). Prüfe: \(x^2 + y^2 = z^2\) \(1,2^2 + 3,5^2 = 1,44 + 12,25 = 13,69\) \(z^2 = 3,7^2 = 13,69\) Da \(13,69 = 13,69\), ist das Dreieck rechtwinklig.

Antwort

a) Nicht rechtwinklig. b) Rechtwinklig.
4101499
Gegeben ist ein Kreis \(k\) mit dem Mittelpunkt \(M\) und einem Radius von \(r = 3 \text{ cm}\). Ein Punkt \(Q\) befindet sich im Abstand von \(8 \text{ cm}\) zum Mittelpunkt \(M\). Konstruiere die beiden Tangenten, die vom Punkt \(Q\) an den Kreis \(k\) verlaufen. Berechne zusätzlich die Länge der Tangentenabschnitte (die Entfernung von \(Q\) zu den Berührpunkten \(T_1\) und \(T_2\)) mithilfe des Satzes von Pythagoras.

Lösung

1. Zeichne den Kreis \(k\) mit \(r = 3 \text{ cm}\) um den Mittelpunkt \(M\). 2. Markiere den Punkt \(Q\) im Abstand von \(8 \text{ cm}\) zu \(M\) und zeichne die Strecke \(MQ\). 3. Konstruiere den Mittelpunkt \(K\) der Strecke \(MQ\) mithilfe einer Mittelsenkrechten. 4. Zeichne den Thaleskreis um \(K\) mit dem Radius \(|KM| = 4 \text{ cm}\). 5. Die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis \(k\) sind die Berührpunkte \(T_1\) und \(T_2\). 6. Zeichne die Geraden durch \(Q\) und \(T_1\) sowie durch \(Q\) und \(T_2\). 7. Berechnung der Länge: Im rechtwinkligen Dreieck \(M T_1 Q\) gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(|MT_1|^2 + |T_1Q|^2 = |MQ|^2\). 8. Einsetzen der Werte: \(3^2 + |T_1Q|^2 = 8^2 \Rightarrow 9 + |T_1Q|^2 = 64 \Rightarrow |T_1Q|^2 = 55\). 9. \(|T_1Q| = \sqrt{55} \approx 7,42 \text{ cm}\).

Antwort

Die Konstruktion erfolgt mithilfe des Thaleskreises über der Strecke \(MQ\). Die rechnerische Länge der Tangentenabschnitte beträgt \(\sqrt{55} \text{ cm} \approx 7,42 \text{ cm}\).
4149999
Ein Dreieck hat die Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\). Die Beziehung zwischen den Seiten wird durch die Gleichung \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) beschrieben. a) Welcher Winkel im Dreieck \(\triangle ABC\) muss der rechte Winkel sein? Benenne ihn mit dem entsprechenden griechischen Buchstaben. b) Berechne die Länge der Seite \(b\), wenn \(a = 8\,\text{cm}\) und \(c = 17\,\text{cm}\) gegeben sind. c) Wie verändert sich die ursprüngliche Gleichung, wenn das Dreieck zusätzlich gleichschenklig ist und \(c\) weiterhin die längste Seite bleibt? Gib die neue Gleichung in Abhängigkeit von \(c\) und einer Kathete an.

Denkanstöße

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel in einem Standard-Dreieck \(\triangle ABC\) normalerweise gegenüber? - Überlege, welche Seite die Hypotenuse sein muss, wenn du die Gleichung nach dem Schema \(...^2 + ...^2 = ...^2\) sortierst. - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Längen der Katheten?

Lösung

1. Analyse der Gleichung: Quadrieren von \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) ergibt \(b^2 = c^2 - a^2\), was umgeformt \(a^2 + b^2 = c^2\) entspricht. 2. Da \(c\) die Hypotenuse ist, liegt der rechte Winkel gegenüber der Seite \(c\). Ergebnis: \(\gamma = 90^\circ\). 3. Einsetzen der Werte in die Gleichung: \(b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225}\). Ergebnis: \(b = 15\,\text{cm}\). 4. Bedingung gleichschenklig-rechtwinklig: Die Katheten müssen gleich lang sein (\(a = b\)). In die Pythagoras-Formel eingesetzt: \(a^2 + a^2 = c^2\), also \(2a^2 = c^2\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}\) oder nach \(a\) aufgelöst \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

Antwort

a) Der rechte Winkel ist \(\gamma\). b) \(b = 15\,\text{cm}\). c) \(c^2 = 2a^2\) (oder \(c = a\sqrt{2}\)).
4150059
In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis \(c = 16\,\text{cm}\) lang. Die Höhe auf dieser Basis beträgt \(h_c = 15\,\text{cm}\). Berechne den Umfang des Dreiecks.

Denkanstöße

- Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. Wo findest du ein rechtwinkliges Dreieck? - Wie lang ist die Teilstrecke der Basis in dem rechtwinkligen Dreieck? - Welche Information fehlt dir noch, um den gesamten Umfang berechnen zu können?

Lösung

1. Die Höhe \(h_c\) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke. Eine Kathete entspricht der halben Basis \(\frac{c}{2} = 8\,\text{cm}\), die andere Kathete ist die Höhe \(h_c = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Schenkellänge \(a\) (Hypotenuse) mit dem Satz von Pythagoras: \(a^2 = (8\,\text{cm})^2 + (15\,\text{cm})^2\). 3. Ausrechnen: \(a^2 = 64\,\text{cm}^2 + 225\,\text{cm}^2 = 289\,\text{cm}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(a = \sqrt{289\,\text{cm}^2} = 17\,\text{cm}\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind beide Schenkel \(17\,\text{cm}\) lang. 6. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2 \cdot a = 16\,\text{cm} + 2 \cdot 17\,\text{cm} = 16\,\text{cm} + 34\,\text{cm} = 50\,\text{cm}\).

Antwort

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(50\,\text{cm}\).
4150079
Ein Dreieck hat die Seitenlängen \(a = 15\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\) und \(c = 24\,\text{cm}\). a) Begründe rechnerisch, warum dieses Dreieck nicht rechtwinklig ist. b) Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der Seite \(c\) größer oder kleiner als \(90^\circ\) ist. c) Bestimme die Länge der Seite \(c\) so, dass bei gleichbleibenden Seiten \(a\) und \(b\) ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, in dem \(c\) die Hypotenuse ist.

Denkanstöße

- Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras über die Beziehung der Seitenlängen? - Vergleiche die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Was passiert mit der Seite gegenüber einem Winkel, wenn dieser Winkel vergrößert oder verkleinert wird?

Lösung

1. Prüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). Die längste Seite im Quadrat ist \(24^2 = 576\). Da \(625 \neq 576\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Bestimmung der Art des Winkels: Da \(c^2 < a^2 + b^2\) (\(576 < 625\)), ist der Winkel gegenüber der Seite \(c\) kleiner als \(90^\circ\); damit ist das Dreieck spitzwinklig. 3. Berechnung der neuen Seite \(c\): Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c\) muss gelten \(c^2 = 15^2 + 20^2 = 625\). Daraus folgt \(c = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\).

Antwort

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(15^2 + 20^2 = 625 \neq 576 = 24^2\). b) Der Winkel ist kleiner als \(90^\circ\), da \(c^2 < a^2 + b^2\). c) Die Seite \(c\) müsste \(25\,\text{cm}\) lang sein.
4150089
Ein Zimmermann baut einen Holzrahmen und möchte prüfen, ob die Ecke rechtwinklig ist. Die beiden anliegenden Balken haben die Längen \(1{,}20\,\text{m}\) und \(1{,}60\,\text{m}\). Er misst die Diagonale zwischen den Endpunkten der Balken und erhält \(2{,}05\,\text{m}\). a) Zeige durch Rechnung, dass der Rahmen nicht exakt rechtwinklig ist. b) Berechne, wie lang die Diagonale sein müsste, damit der Rahmen rechtwinklig wäre. c) Angenommen, der Zimmermann möchte die Diagonale von \(2{,}05\,\text{m}\) und den Balken von \(1{,}60\,\text{m}\) beibehalten. Wie lang müsste der andere Balken sein, damit ein rechter Winkel zwischen den Balken entsteht?

Denkanstöße

- Stelle dir die Balken als Katheten und die Diagonale als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks vor. - Welche Formel hilft dir, die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen? - Achte darauf, welche Seite die Hypotenuse sein soll.

Lösung

1. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: \(1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 1{,}44 + 2{,}56 = 4{,}00\). Das Quadrat der gemessenen Diagonale ist \(2{,}05^2 = 4{,}2025\). Da \(4{,}00 \neq 4{,}2025\), ist der Rahmen nicht rechtwinklig. 2. Berechnung der idealen Diagonale \(d\): \(d^2 = 1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 4\), also \(d = \sqrt{4} = 2{,}00\,\text{m}\). 3. Berechnung der neuen Balkenlänge \(a\) bei fixierter Diagonale: Es muss gelten \(a^2 + 1{,}60^2 = 2{,}05^2\). Umstellen ergibt \(a^2 = 4{,}2025 - 2{,}56 = 1{,}6425\). Die Länge ist \(a = \sqrt{1{,}6425} \approx 1{,}2816\,\text{m}\).

Antwort

a) Nicht rechtwinklig, da \(1{,}20^2 + 1{,}60^2 = 4 \neq 2{,}05^2 = 4{,}2025\). b) Die Diagonale müsste genau \(2{,}00\,\text{m}\) lang sein. c) Der andere Balken müsste etwa \(1{,}28\,\text{m}\) lang sein.
4150129
Ein rechteckiges Holztor mit einer Breite von \(1{,}20\,\text{m}\) hat einen Flächeninhalt von \(1{,}92\,\text{m}^2\). Um das Tor zu stabilisieren, soll eine diagonale Holzstrebe montiert werden. Wie lang muss diese Strebe sein?

Denkanstöße

- Welches Maß des Tores musst du zuerst berechnen, um die Länge der Diagonale bestimmen zu können? - Wie hängen Breite, Höhe und Flächeninhalt bei einem Rechteck zusammen? - Wenn du Breite und Höhe kennst, wie findest du dann die Länge der Schrägverbindung?

Lösung

1. Berechnung der Höhe \(h\) des Tores aus dem Flächeninhalt und der Breite: \(h = \frac{A}{b} = \frac{1{,}92}{1{,}20} = 1{,}60\,\text{m}\). 2. Berechnung der Länge der diagonalen Strebe \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{1{,}20^2 + 1{,}60^2} = \sqrt{1{,}44 + 2{,}56} = \sqrt{4{,}00} = 2{,}00\,\text{m}\).

Antwort

Die diagonale Strebe muss \(2{,}00\,\text{m}\) lang sein.
4150149
Man kann den Typ eines Dreiecks bestimmen, indem man die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten (\(a^2 + b^2\)) mit dem Quadrat der längsten Seite (\(c^2\)) vergleicht. Ist \(a^2 + b^2 > c^2\), ist das Dreieck spitzwinklig. Ist \(a^2 + b^2 = c^2\), ist das Dreieck rechtwinklig. Ist \(a^2 + b^2 < c^2\), ist das Dreieck stumpfwinklig. Klassifiziere die folgenden Dreiecke: a) \(7\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 12\,\text{cm}\) b) \(9\,\text{cm}, 40\,\text{cm}, 41\,\text{cm}\) c) \(6\,\text{cm}, 7\,\text{cm}, 9\,\text{cm}\)

Denkanstöße

- Welche Seite ist in jedem Fall die längste? - Berechne für jedes Dreieck die drei Quadrate der Seitenlängen. - Vergleiche das größte Quadrat mit der Summe der beiden anderen.

Lösung

Für jedes Dreieck wird das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten verglichen. In a) ist \(12^2 = 144\) und \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\); da \(113 < 144\), ist das Dreieck stumpfwinklig. In b) ist \(41^2 = 1681\) und \(9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681\); wegen der Gleichheit ist das Dreieck rechtwinklig. In c) ist \(9^2 = 81\) und \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\); da \(85 > 81\), ist das Dreieck spitzwinklig.

Antwort

a) Stumpfwinklig b) Rechtwinklig c) Spitzwinklig
4150209
Ein Gärtner legt ein dreieckiges Beet an. Er misst die drei Seitenlängen mit \(a = 9\,\text{m}\), \(b = 12\,\text{m}\) und \(c = 16\,\text{m}\). a) Überprüfe, ob das Beet an der Ecke zwischen den Seiten \(a\) und \(b\) einen rechten Winkel besitzt. b) Begründe, ob der Winkel an dieser Ecke größer oder kleiner als \(90^\circ\) ist, indem du die Summe \(a^2 + b^2\) mit \(c^2\) vergleichst.

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Quadrate aller drei Seitenlängen. - Vergleiche die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Überlege dir: Wenn die längste Seite noch länger wird, während die anderen gleich bleiben, was passiert dann mit dem gegenüberliegenden Winkel?

Lösung

1. Prüfung auf Rechtwinkligkeit: Es wird untersucht, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. 2. Berechnung der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). 3. Berechnung des Quadrats der längsten Seite: \(16^2 = 256\). 4. Vergleich: Da \(225 \neq 256\), ist das Beet nicht rechtwinklig. 5. Bestimmung der Winkelart: Da \(c^2 > a^2 + b^2\) gilt (\(256 > 225\)), ist die Seite \(c\) länger als sie in einem rechtwinkligen Dreieck wäre. Der gegenüberliegende Winkel (zwischen \(a\) und \(b\)) muss daher größer als \(90^\circ\) sein (stumpfwinklig).

Antwort

a) Nein, das Beet ist nicht rechtwinklig, da \(9^2 + 12^2 = 225\) und \(16^2 = 256\) gilt. b) Der Winkel ist größer als \(90^\circ\), da das Quadrat der gegenüberliegenden Seite (\(256\)) größer ist als die Summe der Quadrate der einschließenden Seiten (\(225\)).
4150229
Vier verschiedene Seile mit Markierungen werden auf ihre Eignung zum Abstecken von Beeten untersucht. Die Zahlen geben die Längen der Teilstücke zwischen den Markierungen (in Einheiten) an, die als Seiten eines Dreiecks verwendet werden sollen: Seil A: \(9\), \(12\), \(15\) Seil B: \(7\), \(10\), \(18\) Seil C: \(10\), \(10\), \(14\) Seil D: \(5\), \(12\), \(13\) a) Bei einem der Seile ist es physikalisch unmöglich, überhaupt ein Dreieck zu spannen. Identifiziere dieses Seil und begründe deine Entscheidung mathematisch. b) Mit welchen der verbleibenden Seile lässt sich ein exakt rechtwinkliges Beet abstecken? Weise dies durch eine entsprechende Rechnung nach.

Denkanstöße

- Kannst du die Bedingung nennen, unter der drei Längen überhaupt ein geschlossenes Dreieck bilden können? - Was muss für die Quadrate der Seitenlängen gelten, damit ein Winkel genau \(90^{\circ}\) groß ist? - Reicht es aus, wenn zwei Seiten zusammen genauso lang sind wie die dritte? - Welche Seite eines Dreiecks muss im Satz des Pythagoras immer alleine auf einer Seite der Gleichung stehen?

Lösung

1. Überprüfung der Dreiecksungleichung für Seil B: Da \(7 + 10 = 17\) und \(17 < 18\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner als die längste Seite. Ein Dreieck kann nicht gebildet werden. 2. Überprüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras (\(a^2 + b^2 = c^2\)): - Seil A: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Da \(15^2 = 225\), ist das Dreieck rechtwinklig. - Seil C: \(10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\). Da \(14^2 = 196 \neq 200\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. - Seil D: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\), ist das Dreieck rechtwinklig. Ergebnis: Seil B bildet kein Dreieck; Seil A und Seil D bilden rechtwinklige Dreiecke.

Antwort

a) Seil B (\(7, 10, 18\)) kann kein Dreieck bilden, da \(7 + 10 < 18\) (Verletzung der Dreiecksungleichung). b) Mit Seil A (\(9, 12, 15\)) und Seil D (\(5, 12, 13\)) lassen sich rechtwinklige Beete abstecken, da \(9^2 + 12^2 = 15^2\) und \(5^2 + 12^2 = 13^2\) gilt.
4150239
Ein Gärtner besitzt ein \(60\,\text{m}\) langes Seil und möchte damit ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Wiese abstecken. Das Seil soll dabei in voller Länge für den Umfang des Dreiecks genutzt werden. Er möchte, dass alle drei Seitenlängen (\(a\), \(b\) und \(c\)) ganze Zahlen in Metern sind. Finde zwei verschiedene Möglichkeiten für die Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) und zeige rechnerisch, dass beide ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Denkanstöße

- Erinnerst du dich an einfache Zahlenkombinationen, die den Satz des Pythagoras erfüllen? - Was passiert mit der Eigenschaft der Rechtwinkligkeit, wenn du alle Seiten eines solchen Dreiecks mit derselben Zahl multiplizierst? - Die Summe der drei gesuchten Zahlen muss genau \(60\) ergeben. - Probiere aus, bekannte kleine Tripel wie \((3, 4, 5)\) oder \((5, 12, 13)\) so zu vergrößern, dass ihr Umfang passt.

Lösung

1. Suche nach pythagoreischen Tripeln \((a, b, c)\), deren Summe \(a + b + c = 60\) ergibt. 2. Erste Möglichkeit: Vielfaches des Standardtripels \((3, 4, 5)\). Die Summe ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Da \(60 : 12 = 5\), ist das fünffache Tripel \((15, 20, 25)\) eine Lösung. Überprüfung: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2\). 3. Zweite Möglichkeit: Vielfaches des Tripels \((5, 12, 13)\). Die Summe ist \(5 + 12 + 13 = 30\). Da \(60 : 30 = 2\), ist das zweifache Tripel \((10, 24, 26)\) eine Lösung. Überprüfung: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\). 4. Beide Sätze von Seitenlängen erfüllen \(a + b + c = 60\) und \(a^2 + b^2 = c^2\).

Antwort

Zwei Möglichkeiten für die Seitenlängen sind: 1. \(15\,\text{m}\), \(20\,\text{m}\) und \(25\,\text{m}\) (denn \(15 + 20 + 25 = 60\) und \(15^2 + 20^2 = 25^2\)). 2. \(10\,\text{m}\), \(24\,\text{m}\) und \(26\,\text{m}\) (denn \(10 + 24 + 26 = 60\) und \(10^2 + 24^2 = 26^2\)).
4150289
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basis der Länge \(b = 10\,\text{cm}\). Bestimme den Bereich für die Länge der Schenkel \(s\), damit das Dreieck an der Spitze einen stumpfen Winkel (größer als \(90^\circ\)) besitzt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, ab welcher Länge der Schenkel überhaupt ein Dreieck entstehen kann. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras: Welches Verhältnis zwischen den Seiten gilt bei einem rechten Winkel? - Wie verändert sich die Basis im Verhältnis zu den Schenkeln, wenn der Winkel an der Spitze größer als \(90^\circ\) wird?

Lösung

1. Für die Existenz eines Dreiecks muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein: \(s + s > 10\), also \(2s > 10\) bzw. \(s > 5\,\text{cm}\). 2. Ein stumpfer Winkel an der Spitze tritt auf, wenn das Quadrat der Basis größer ist als die Summe der Quadrate der Schenkel: \(b^2 > s^2 + s^2\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(10^2 > 2s^2 \implies 100 > 2s^2 \implies 50 > s^2\). 4. Daraus folgt \(s < \sqrt{50}\). Mit \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\). 5. Der gültige Bereich für die Schenkellänge \(s\) liegt somit zwischen \(5\,\text{cm}\) und \(5\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Antwort

Die Schenkellänge \(s\) muss im Bereich \(5\,\text{cm} < s < 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) (ca. \(5\,\text{cm} < s < 7{,}07\,\text{cm}\)) liegen.
4150309
Zwei gleichschenklige Dreiecke haben jeweils Schenkel der Länge \(s = 10\,\text{cm}\). Beim ersten Dreieck beträgt der Basiswinkel \(\alpha_1 = 30^\circ\), beim zweiten \(\alpha_2 = 60^\circ\). Vergleiche die Flächeninhalte der beiden Dreiecke. Nutze zur Berechnung der benötigten Längen den Satz des Pythagoras (Hinweis: Ein rechtwinkliges Dreieck mit einem \(30^\circ\)-Winkel ist ein halbes gleichseitiges Dreieck).

Denkanstöße

- Was weißt du über die Seitenverhältnisse in einem halben gleichseitigen Dreieck? - Teile die Dreiecke durch ihre Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke auf. - Berechne für jedes Dreieck separat die Grundseite und die Höhe.

Lösung

1. Dreieck 1 (\(\alpha = 30^\circ\)): Da es gleichschenklig ist, sind die Winkel \(30^\circ, 30^\circ, 120^\circ\). Die Höhe \(h_1\) auf die Basis bildet mit einem Schenkel ein rechtwinkliges Dreieck mit \(30^\circ\) und \(60^\circ\). Die Seite gegenüber von \(30^\circ\) ist halb so lang wie die Hypotenuse: \(h_1 = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}\). 2. Die halbe Basis \(x_1\) berechnet sich zu \(x_1 = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\). Die Basis ist \(b_1 = 10\sqrt{3}\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\). 4. Dreieck 2 (\(\alpha = 60^\circ\)): Das Dreieck ist gleichseitig (\(60^\circ, 60^\circ, 60^\circ\)), also \(b_2 = 10\,\text{cm}\). 5. Die Höhe \(h_2\) berechnet sich zu \(h_2 = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\,\text{cm}\). 6. Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\). 7. Ergebnis: Beide Dreiecke haben exakt denselben Flächeninhalt.

Antwort

Beide Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt von \(25\sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 43{,}30\,\text{cm}^2\).
4150319
Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel der Länge \(s = 12\,\text{cm}\) und eine Basis der Länge \(c = 17\,\text{cm}\). a) Überprüfe rechnerisch mithilfe der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck rechtwinklig ist. b) Entscheide, ob der Winkel an der Spitze (gegenüber der Basis) spitz- oder stumpfwinklig ist. Begründe deine Antwort. c) Berechne die Höhe \(h_c\) auf die Basis des Dreiecks.

Denkanstöße

- Wie lautet der Satz des Pythagoras und wann gilt seine Umkehrung? - Was sagt das Verhältnis zwischen \(a^2 + b^2\) und \(c^2\) über die Art des Winkels aus? - Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. Welche rechtwinkligen Teilfiguren entstehen dabei?

Lösung

1. Überprüfung auf Rechtwinkligkeit: Die Quadrate der Schenkel werden addiert und mit dem Quadrat der Basis verglichen. Berechnung: \(12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\) und \(17^2 = 289\). Da \(288 \neq 289\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Bestimmung der Winkelart: Da die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite (\(288 < 289\)), ist der gegenüberliegende Winkel an der Spitze stumpf. 3. Berechnung der Höhe \(h_c\): Die Höhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke mit der Hypotenuse \(s = 12\,\text{cm}\) und der Kathete \(\frac{c}{2} = 8{,}5\,\text{cm}\). Nach Pythagoras gilt: \(h_c = \sqrt{12^2 - 8{,}5^2} = \sqrt{144 - 72{,}25} = \sqrt{71{,}75} \approx 8{,}47\,\text{cm}\).

Antwort

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(12^2 + 12^2 = 288 \neq 17^2 = 289\). b) Der Winkel an der Spitze ist stumpfwinklig, da \(s^2 + s^2 < c^2\). c) Die Höhe beträgt \(h_c \approx 8{,}47\,\text{cm}\).
4150329
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkeln der Länge \(s = 10\,\text{cm}\). a) Bestimme den Bereich aller möglichen Längen für die Basis \(b\), sodass überhaupt ein Dreieck konstruiert werden kann. b) Berechne die exakte Länge der Basis \(b\), für die das Dreieck rechtwinklig wäre (rechter Winkel an der Spitze). c) Angenommen, die Basis wird auf \(b = 14{,}1\,\text{cm}\) festgesetzt. Ist das Dreieck in diesem Fall spitzwinklig oder stumpfwinklig? Begründe rechnerisch.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Bedingung, unter der drei Strecken ein Dreieck bilden können. - Welche Gleichung muss für ein rechtwinkliges Dreieck erfüllt sein? - Vergleiche das Quadrat der Basis mit der Summe der Quadrate der Schenkel, um die Winkelart zu bestimmen.

Lösung

1. Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Es muss gelten \(b < 10 + 10\), also \(0 < b < 20\,\text{cm}\). 2. Rechtwinkligkeit: Für einen rechten Winkel an der Spitze muss gelten \(s^2 + s^2 = b^2\). Berechnung: \(10^2 + 10^2 = 200\), also \(b = \sqrt{200} \approx 14{,}14\,\text{cm}\). 3. Klassifizierung für \(b = 14{,}1\,\text{cm}\): Vergleich von \(s^2 + s^2 = 200\) mit \(b^2 = 14{,}1^2 = 198{,}81\). Da \(200 > 198{,}81\), ist die Summe der Quadrate der Schenkel größer als das Quadrat der Basis. Daraus folgt, dass der Winkel an der Spitze spitz und das Dreieck damit spitzwinklig ist.

Antwort

a) Die Basis muss im Bereich \(0 < b < 20\,\text{cm}\) liegen. b) Für \(b = \sqrt{200} \approx 14{,}14\,\text{cm}\) ist das Dreieck rechtwinklig. c) Das Dreieck ist spitzwinklig, da \(10^2 + 10^2 = 200 > 14{,}1^2 = 198{,}81\).
4154499
Ein quadratisches Gartenbeet hat einen Flächeninhalt von \(18\,\text{m}^2\). In diesem Beet soll ein kreisförmiges Blumenrad so angelegt werden, dass es alle vier Seiten des Quadrats genau in der Mitte berührt. Berechne die Länge der Diagonalen des Quadrats und bestimme anschließend den Flächeninhalt des kreisförmigen Blumenrads. Runde deine Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Skizziere die Situation: Ein Kreis in einem Quadrat. - Welches Maß des Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises? - Wie kannst du von der Fläche des Quadrats auf seine Diagonale schließen? - Welche Formel benötigst du für den Flächeninhalt eines Kreises?

Lösung

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\): Aus \(A_{\text{Quadrat}} = a^2 = 18\,\text{m}^2\) folgt \(a = \sqrt{18} \approx 4{,}24\,\text{m}\). 2. Berechnung der Diagonalen \(d\): Mit dem Satz des Pythagoras gilt \(d^2 = a^2 + a^2 = 2 \cdot 18 = 36\). Daraus folgt \(d = \sqrt{36} = 6{,}00\,\text{m}\). 3. Bestimmung des Kreisradius \(r\): Da der Kreis die Seiten berührt, entspricht sein Durchmesser der Seitenlänge \(a\). Also ist \(r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2} \approx 2{,}12\,\text{m}\). 4. Berechnung des Kreisflächeninhalts \(A_{\text{Kreis}}\): \(A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{18}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{18}{4} = 4{,}5 \cdot \pi \approx 14{,}14\,\text{m}^2\).

Antwort

Die Diagonale des Quadrats ist \(6{,}00\,\text{m}\) lang. Der Flächeninhalt des Blumenrads beträgt ca. \(14{,}14\,\text{m}^2\).
4155409
In einem Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\) gilt die Beziehung \(a^2 + c^2 = b^2\). a) Welcher der drei Eckpunkte (\(A\), \(B\) oder \(C\)) ist der Scheitelpunkt des rechten Winkels? b) Stell dir vor, du vergrößerst die Länge der Seite \(a\) immer weiter, während die Länge von \(c\) gleich bleibt. Wenn das Dreieck dabei immer rechtwinklig bleiben soll, was passiert dann mit der Hypotenuse und dem rechten Winkel? Erkläre kurz.

Denkanstöße

- Schau dir die Struktur der Gleichung an. Welche Seite übernimmt die Rolle der längsten Seite? - Wo liegt ein Eckpunkt im Verhältnis zu der Seite, die nach ihm benannt ist? - Wenn zwei Seiten einen rechten Winkel einschließen, verändert sich dieser Winkel, wenn man eine Seite länger macht, solange die Verbindung der Endpunkte (die Hypotenuse) angepasst wird?

Lösung

1. Analyse der Gleichung: In der Formel \(a^2 + c^2 = b^2\) steht die Seite \(b\) allein auf einer Seite der Gleichung. Dies kennzeichnet \(b\) als die Hypotenuse. 2. Lage des rechten Winkels: Der rechte Winkel liegt immer gegenüber der Hypotenuse. Gegenüber der Seite \(b\) liegt der Eckpunkt \(B\). Somit befindet sich der rechte Winkel bei \(B\). 3. Dynamische Betrachtung: Wenn \(a\) vergrößert wird und \(c\) konstant bleibt, muss sich auch die Länge der Hypotenuse \(b\) ändern, damit die Gleichung \(a^2 + c^2 = b^2\) weiterhin erfüllt ist. 4. Da \(a\) und \(c\) die Katheten bleiben (sie bilden den rechten Winkel), bleibt \(b\) die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Die Form des Dreiecks wird dabei „flacher“ bzw. gestreckter.

Antwort

a) Der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(B\). b) Die Seite \(b\) bleibt weiterhin die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt bei Eckpunkt \(B\). Da \(a\) und \(c\) den rechten Winkel einschließen, muss die Seite \(b\) (nach Pythagoras) ebenfalls länger werden, damit das Dreieck rechtwinklig bleibt.
4155909
Ein quaderförmiger Versandkarton hat die Innenmaße \(20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\). Ein Künstler möchte einen \(62\,\text{cm}\) langen, sehr dünnen Glasstab in diesem Karton verschicken. Überprüfe durch eine Rechnung, ob der Stab vollständig in den Karton passt, wenn er entlang der Raumdiagonalen platziert wird. Runde dein Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Was ist die längstmögliche Strecke innerhalb eines Quaders? - Kannst du die Diagonale berechnen, indem du den Satz des Pythagoras nacheinander auf die Grundfläche und dann in die Höhe anwendest? - Skizziere den Quader und die Lage des Stabes.

Lösung

1. Identifikation der Maße des Quaders: \(a = 20\,\text{cm}\), \(b = 30\,\text{cm}\), \(c = 50\,\text{cm}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras im Raum zur Berechnung der Raumdiagonalen \(d\): \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{20^2 + 30^2 + 50^2} = \sqrt{400 + 900 + 2500} = \sqrt{3800}\). 4. Berechnung der Länge: \(d \approx 61{,}6\,\text{cm}\). 5. Vergleich mit der Stablänge: Da \(61{,}6\,\text{cm} < 62\,\text{cm}\) ist, ist der Karton selbst an der längsten Stelle zu kurz.

Antwort

Nein, der Stab passt nicht in den Karton. Die Raumdiagonale des Kartons beträgt nur ca. \(61{,}6\,\text{cm}\), was kürzer ist als der \(62\,\text{cm}\) lange Stab.
4155929
Ein quadratisches Beet hat eine Diagonale der Länge \(d\). Ein Gärtner möchte das Beet so vergrößern, dass der Flächeninhalt genau das Neunfache des ursprünglichen Flächeninhalts beträgt. Untersuche, um welchen Faktor sich dabei die Seitenlänge und die Länge der Diagonalen verändern. Begründe deine Ergebnisse allgemein.

Denkanstöße

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Was passiert mit der Seitenlänge, wenn sich der Flächeninhalt verneunfacht? - Überlege, wie sich die Diagonale verändert, wenn die Seitenlänge mit einem Faktor multipliziert wird. - Versuche, die Größen mit Variablen wie \(s\) und \(d\) auszudrücken.

Lösung

1. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats: \(A = s^2\). 2. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Diagonale \(d\): \(d = s \cdot \sqrt{2}\). 3. Für den neuen Flächeninhalt gilt: \(A_{neu} = 9 \cdot A_{alt}\), also \(s_{neu}^2 = 9 \cdot s_{alt}^2\). 4. Daraus folgt durch Wurzelziehen für die Seitenlänge: \(s_{neu} = \sqrt{9 \cdot s_{alt}^2} = 3 \cdot s_{alt}\). Die Seitenlänge verdreifacht sich. 5. Für die neue Diagonale gilt: \(d_{neu} = s_{neu} \cdot \sqrt{2} = (3 \cdot s_{alt}) \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot (s_{alt} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot d_{alt}\). Auch die Diagonale verdreifacht sich.

Antwort

Sowohl die Seitenlänge als auch die Diagonale des Quadrats verdreifachen sich.
4280829
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über einer Kathete \(144\,\text{cm}^2\) groß. Das Quadrat über der Hypotenuse hat einen Flächeninhalt von \(169\,\text{cm}^2\). a) Bestimme die Längen der beiden gegebenen Seiten. b) Berechne den Flächeninhalt des Quadrats über der zweiten Kathete. c) Berechne die Länge der zweiten Kathete.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung des Satzes von Pythagoras: Was sagen die Quadrate über den Seiten aus? - Wie hängen die Flächeninhalte der drei Quadrate direkt zusammen? - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn der Flächeninhalt bekannt ist? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne zuerst die Seitenlängen zu berechnen?

Lösung

1. Berechnung der Seitenlängen aus den Flächeninhalten: Die Kathete ist \(a = \sqrt{144\,\text{cm}^2} = 12\,\text{cm}\), die Hypotenuse ist \(c = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). 2. Anwendung der geometrischen Interpretation des Satzes von Pythagoras: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate entspricht der Fläche des Hypotenusenquadrats (\(A_a + A_b = A_c\)). 3. Berechnung der Fläche des zweiten Kathetenquadrats: \(A_b = 169\,\text{cm}^2 - 144\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Länge der zweiten Kathete: \(b = \sqrt{25\,\text{cm}^2} = 5\,\text{cm}\).

Antwort

a) Die Kathete ist \(12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Quadrats über der zweiten Kathete beträgt \(25\,\text{cm}^2\). c) Die zweite Kathete ist \(5\,\text{cm}\) lang.
4100779
Gegeben ist ein Viereck mit zwei rechten Winkeln und den Seitenlängen 10, 5 und 2 (siehe Abbildung). Bestimme die Länge der vierten Seite.
Abbildung zur Aufgabe 410077

Denkanstöße

- Hilft es dir, eine Diagonale in die Figur einzuzeichnen, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten? - Wie hängen die beiden Dreiecke über diese Diagonale zusammen? - Kannst du den Satz des Pythagoras zweimal nacheinander anwenden?

Lösung

1. Zerlegung des Vierecks in zwei rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonale \(d\) zwischen den rechten Winkeln 2. Berechnung des Quadrats der Diagonale im ersten Dreieck (Seiten 5 und 10): \(d^2 = 5^2 + 10^2 = 125\) 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras im zweiten Dreieck (Seite 2 und unbekannte Seite \(x\)): \(x^2 + 2^2 = d^2\) 4. Einsetzen und Lösen: \(x^2 + 4 = 125 \Rightarrow x^2 = 121 \Rightarrow x = 11\)

Antwort

11
4150009
Betrachte die Gleichung \(z^2 = (3x)^2 + (4x)^2\), wobei \(x\) eine positive reelle Zahl ist. a) Vereinfache die rechte Seite der Gleichung so weit wie möglich. b) Bestimme das Verhältnis \(\frac{z}{x}\). c) Wenn dieses Dreieck den Flächeninhalt \(A = 54\,\text{cm}^2\) besitzt, berechne den Wert von \(x\) in Zentimetern und die Länge der Hypotenuse \(z\).

Denkanstöße

- Denke beim Vereinfachen an die Potenzgesetze, insbesondere wie man ein Produkt quadriert. - Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn man die beiden Seiten kennt, die den rechten Winkel einschließen? - Das Verhältnis \(\frac{z}{x}\) bedeutet, wie oft \(x\) in \(z\) passt.

Lösung

1. Vereinfachung der Quadrate: \((3x)^2 = 9x^2\) und \((4x)^2 = 16x^2\). 2. Addition der Terme: \(z^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2\). 3. Ziehen der Wurzel (da \(x, z > 0\)): \(z = \sqrt{25x^2} = 5x\). 4. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{z}{x} = \frac{5x}{x} = 5\). 5. Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Kathete}_1 \cdot \text{Kathete}_2 = \frac{1}{2} \cdot 3x \cdot 4x = 6x^2\). 6. Gleichung lösen: \(6x^2 = 54 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\,\text{cm}\). 7. Berechnung von \(z\): \(z = 5 \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(z^2 = 25x^2\) b) Das Verhältnis ist \(5\). c) \(x = 3\,\text{cm}\) und \(z = 15\,\text{cm}\).
4150039
Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(32\,\text{cm}^2\). Berechne die Längen aller drei Seiten dieses Dreiecks.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn die beiden Seiten am rechten Winkel bekannt sind? - Kannst du aus dem Flächeninhalt zuerst die Längen der Katheten bestimmen? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte?

Lösung

1. Die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\). Da es gleichschenklig ist, gilt \(a = b\), also \(A = \frac{1}{2}a^2\). 2. Einsetzen des Flächeninhalts: \(32 = \frac{1}{2}a^2\). 3. Auflösen nach \(a\): \(64 = a^2\), woraus \(a = 8\,\text{cm}\) folgt. Die beiden Katheten sind also jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. 4. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit Pythagoras: \(c^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\). 5. Ergebnis: \(c = \sqrt{128}\,\text{cm} = 8\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 11{,}31\,\text{cm}\).

Antwort

Die beiden Katheten sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang, die Hypotenuse ist etwa \(11{,}31\,\text{cm}\) (exakt \(8\sqrt{2}\,\text{cm}\)) lang.
4150069
Ein Wanderer möchte von einer Ecke eines rechteckigen Feldes zur diagonal gegenüberliegenden Ecke gelangen. Das Feld ist \(120\,\text{m}\) breit und \(160\,\text{m}\) lang. Er hat zwei Möglichkeiten: Entweder er geht direkt quer über das Feld oder er läuft außen an den beiden Kanten entlang. Um wie viele Meter ist der direkte Weg kürzer als der Weg an den Kanten?

Denkanstöße

- Stelle dir die beiden Wege bildlich vor. Welcher Weg bildet die Hypotenuse eines Dreiecks? - Berechne zuerst die Länge beider Wege separat. - Was ist der Unterschied zwischen der Summe der Katheten und der Länge der Hypotenuse?

Lösung

1. Berechnung der Wegstrecke entlang der Kanten: \(120\,\text{m} + 160\,\text{m} = 280\,\text{m}\). 2. Berechnung der direkten Wegstrecke (Hypotenuse \(d\)) quer über das Feld mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = (120\,\text{m})^2 + (160\,\text{m})^2\). 3. Ausrechnen: \(d^2 = 14\,400\,\text{m}^2 + 25\,600\,\text{m}^2 = 40\,000\,\text{m}^2\). 4. Wurzel ziehen: \(d = \sqrt{40\,000\,\text{m}^2} = 200\,\text{m}\). 5. Differenz der beiden Wege berechnen: \(280\,\text{m} - 200\,\text{m} = 80\,\text{m}\).

Antwort

Der direkte Weg ist um \(80\,\text{m}\) kürzer.
4150099
Die Seitenlängen eines Dreiecks sind durch die Terme \(x\), \(x+2\) und die feste Länge \(10\) gegeben (Angaben in Zentimetern). a) Bestimme den Wert für \(x\), für den das Dreieck rechtwinklig ist, wenn die Seite mit der Länge \(10\) die Hypotenuse bildet. b) Untersuche, ob es einen Wert für \(x\) gibt, bei dem die Seite mit der Länge \(x+2\) die Hypotenuse ist und die Seite mit der Länge \(10\) eine Kathete. Berechne diesen Wert.

Denkanstöße

- Stelle für jeden Fall eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras auf. - Denke beim Lösen der Gleichungen an binomische Formeln. - Beachte, dass \(x\) eine positive Zahl sein muss, da es eine Länge beschreibt.

Lösung

1. Fall a (Hypotenuse ist 10): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + (x+2)^2 = 10^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100\), also \(2x^2 + 4x - 96 = 0\). Dividiert durch 2: \(x^2 + 2x - 48 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x = 6\) und \(x = -8\). Da eine Länge positiv sein muss, ist \(x = 6\). 2. Fall b (Hypotenuse ist \(x+2\)): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + 10^2 = (x+2)^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4\). Subtraktion von \(x^2\) führt auf \(100 = 4x + 4\). Umstellen ergibt \(96 = 4x\), also \(x = 24\).

Antwort

a) Für \(x = 6\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)). b) Ja, für \(x = 24\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(24\,\text{cm}\), \(26\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)).
4150119
Ein Rechteck hat eine Diagonale von \(d = 26\,\text{cm}\) und eine Seitenlänge von \(a = 10\,\text{cm}\). Ein Quadrat hat ebenfalls eine Diagonale der Länge \(d = 26\,\text{cm}\). Welches der beiden Vierecke besitzt den größeren Flächeninhalt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks. Was musst du dafür zuerst finden? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats mit seiner Diagonale zusammen? - Kannst du den Flächeninhalt eines Quadrats direkt aus der Länge seiner Diagonale bestimmen? - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Seite \(b\) des Rechtecks: \(b = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 10 \cdot 24 = 240\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats über die Diagonale: Da im Quadrat \(d^2 = s^2 + s^2 = 2s^2\) gilt, ist der Flächeninhalt \(A_{\text{Quadrat}} = s^2 = \frac{d^2}{2} = \frac{26^2}{2} = \frac{676}{2} = 338\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: \(338\,\text{cm}^2 > 240\,\text{cm}^2\). Das Quadrat hat den größeren Flächeninhalt.

Antwort

Das Quadrat hat mit \(338\,\text{cm}^2\) einen größeren Flächeninhalt als das Rechteck mit \(240\,\text{cm}^2\).
4150159
Überprüfe rechnerisch mithilfe der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, ob die Dreiecke mit den folgenden Seitenlängen rechtwinklig sind: a) \(a = \sqrt{7}\), \(b = \sqrt{18}\), \(c = 5\) b) \(a = 3\), \(b = \sqrt{10}\), \(c = \sqrt{19}\) c) \(a = \sqrt{6}\), \(b = \sqrt{8}\), \(c = 4\)

Denkanstöße

- Verwende die Eigenschaft, dass das Quadrat einer Wurzel die Zahl unter der Wurzel selbst ist. - Achte darauf, welche Seite die längste ist (beachte dabei, dass \(5 = \sqrt{25}\) und \(4 = \sqrt{16}\) ist). - Stelle die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) auf und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

Lösung

Die Rechtwinkligkeit wird durch Quadrieren der Seitenlängen und Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras geprüft. Bei a) sind die Quadrate \(7\), \(18\) und \(5^2 = 25\); da \(7 + 18 = 25\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei b) ergeben die Quadrate \(3^2 = 9\), \(10\) und \(19\); da \(9 + 10 = 19\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei c) sind die Quadrate \(6\), \(8\) und \(4^2 = 16\); da \(6 + 8 = 14\) und \(14 \neq 16\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Antwort

a) Rechtwinklig b) Rechtwinklig c) Nicht rechtwinklig
4150219
Ein Fahnenmast soll senkrecht auf einem ebenen Schulhof stehen. Zur Kontrolle befestigt eine Lehrkraft ein \(5{,}20\,\text{m}\) langes Seil an einer Markierung, die entlang des Mastes genau \(4{,}00\,\text{m}\) vom Fußpunkt entfernt ist. Das Seil wird straff gespannt und am Boden fixiert. Der Abstand vom Befestigungspunkt am Boden bis zum Fußpunkt des Mastes beträgt \(3{,}30\,\text{m}\). Stelle fest, ob der Mast exakt senkrecht steht. Falls nicht, berechne, wie lang das Seil exakt sein müsste, damit der Mast bei gleichem Bodenabstand (\(3{,}30\,\text{m}\)) und gleichem Abstand zwischen Fußpunkt und Markierung (\(4{,}00\,\text{m}\)) perfekt senkrecht stünde.

Denkanstöße

- Welches geometrische Gebilde entsteht durch den Mast, den Boden und das gespannte Seil? - Welche Seite dieses Gebildes entspricht der Hypotenuse, wenn der Mast senkrecht stehen soll? - Wie kannst du die Länge der dritten Seite berechnen, wenn du davon ausgehst, dass der Winkel \(90^\circ\) beträgt?

Lösung

1. Prüfung der Rechtwinkligkeit zwischen Mast und Boden: Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras mit dem Mastabschnitt \(a = 4{,}00\), dem Bodenabstand \(b = 3{,}30\) und dem Seil \(c = 5{,}20\). 2. Berechnung von \(a^2 + b^2\): \(4{,}00^2 + 3{,}30^2 = 16{,}00 + 10{,}89 = 26{,}89\). 3. Berechnung von \(c^2\): \(5{,}20^2 = 27{,}04\). 4. Vergleich: Da \(26{,}89 \neq 27{,}04\), steht der Mast nicht exakt senkrecht. 5. Berechnung der idealen Seillänge \(c_{\text{ideal}}\) für einen rechten Winkel: \(c_{\text{ideal}} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{26{,}89}\). 6. Ergebnis der Wurzelberechnung: \(\sqrt{26{,}89} \approx 5{,}1855\ldots\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(5{,}19\,\text{m}\).

Antwort

Der Mast steht nicht exakt senkrecht, da \(4{,}00^2 + 3{,}30^2 = 26{,}89\) ungleich \(5{,}20^2 = 27{,}04\) ist. Damit der Mast senkrecht steht, müsste das Seil eine Länge von etwa \(5{,}19\,\text{m}\) (exakt \(\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\)) haben.
4150249
Das berühmte „Zwölfknotenseil“ der alten Ägypter hat 12 gleich große Teilstücke und kann ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen \(3\), \(4\) und \(5\) Einheiten bilden. Stell dir vor, du hast Seile mit einer anderen Anzahl an Teilstücken. a) Ein Handwerker behauptet, er könne mit einem Seil von insgesamt \(10\) Teilstücken ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen legen. Erkläre rechnerisch, warum dies unmöglich ist. b) Ein anderes Seil hat insgesamt \(30\) Teilstücke. Zeige, dass man damit ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen bilden kann, dessen Seitenverhältnis nicht dem klassischen \(3:4:5\) entspricht.

Denkanstöße

- Welche maximale Länge kann die längste Seite eines Dreiecks haben, wenn der Gesamtumfang \(10\) ist? - Kannst du alle Möglichkeiten für drei ganze Zahlen aufschreiben, die zusammen \(10\) ergeben, und sie prüfen? - Suche für den zweiten Teil nach einem pythagoreischen Tripel, das keine Vergrößerung von \((3, 4, 5)\) ist. - Wie erkennst du, ob zwei Dreiecke dasselbe Seitenverhältnis haben?

Lösung

1. Für Teil a) seien die ganzzahligen Seiten so geordnet, dass \(a \le b \le c\) gilt. Aus \(a+b+c=10\) und der Dreiecksungleichung \(a+b>c\) folgt \(10-c>c\), also \(c<5\). Da \(c\) die größte der drei positiven ganzzahligen Seiten ist, gilt außerdem \(3c\ge 10\), also \(c\ge 4\). Somit bleibt nur \(c=4\). Dann ist \(a+b=6\); mit \(a\le b\le 4\) sind nur \((a,b)=(2,4)\) und \((3,3)\) möglich. Es gilt jedoch \(2^2+4^2=20\ne16\) und \(3^2+3^2=18\ne16\). Daher gibt es kein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck mit Umfang \(10\). 2. Für Teil b) suchen wir ein Tripel mit \(a+b+c=30\). Das Tripel \((5,12,13)\) erfüllt dies, da \(5+12+13=30\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). 4. Das Verhältnis \(5:12:13\) ist keine Vergrößerung von \(3:4:5\), denn die entsprechenden Quotienten sind nicht gleich.

Antwort

a) Bei geordneten positiven ganzzahligen Seiten gilt wegen der Dreiecksungleichung \(c<5\) und wegen \(a,b\le c\) zugleich \(c\ge4\). Also ist \(c=4\). Aus \(a+b=6\) folgen nur \((2,4)\) und \((3,3)\); beide erfüllen \(a^2+b^2=c^2\) nicht. Somit gibt es keine ganzzahlige Lösung. b) Das Dreieck mit den Seiten \(5\), \(12\) und \(13\) hat Umfang \(30\) und ist rechtwinklig, weil \(5^2+12^2=13^2\). Sein Seitenverhältnis ist nicht \(3:4:5\).
4150299
In einem Kreis mit dem Radius \(r = 6\,\text{cm}\) ist ein gleichschenkliges Dreieck so einbeschrieben, dass seine Basis eine Sehne der Länge \(b = 10\,\text{cm}\) ist. Es gibt zwei mögliche solcher Dreiecke (eines, das den Kreismittelpunkt einschließt, und eines, das ihn nicht einschließt). Berechne für beide Fälle die Länge der Schenkel \(s\).

Denkanstöße

- Skizziere einen Kreis und eine Sehne, die nicht durch den Mittelpunkt geht. Wo kann die dritte Ecke des gleichschenkligen Dreiecks auf dem Kreis liegen? - Nutze den Radius und die halbe Sehnenlänge, um den Abstand der Sehne zum Mittelpunkt zu finden. - Wie berechnet man die Gesamthöhe des Dreiecks in beiden Fällen mithilfe des Radius?

Lösung

1. Die Basis \(b = 10\,\text{cm}\) wird durch die Höhe des Dreiecks halbiert (\(5\,\text{cm}\)). 2. Der Abstand \(d\) des Kreismittelpunkts von der Sehne wird mit Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck (Radius, halbe Sehne, Abstand) berechnet: \(d = \sqrt{r^2 - (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \approx 3{,}317\,\text{cm}\). 3. Fall 1 (Mittelpunkt innerhalb): Die Höhe des Dreiecks ist \(h_1 = r + d = 6 + \sqrt{11} \approx 9{,}317\,\text{cm}\). 4. Schenkellänge \(s_1 = \sqrt{h_1^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{(6+\sqrt{11})^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 12\sqrt{11} + 11 + 25} = \sqrt{72 + 12\sqrt{11}} \approx 10{,}57\,\text{cm}\). 5. Fall 2 (Mittelpunkt außerhalb): Die Höhe des Dreiecks ist \(h_2 = r - d = 6 - \sqrt{11} \approx 2{,}683\,\text{cm}\). 6. Schenkellänge \(s_2 = \sqrt{h_2^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{(6-\sqrt{11})^2 + 5^2} = \sqrt{36 - 12\sqrt{11} + 11 + 25} = \sqrt{72 - 12\sqrt{11}} \approx 5{,}67\,\text{cm}\).

Antwort

Im ersten Fall beträgt die Schenkellänge \(s_1 \approx 10{,}57\,\text{cm}\), im zweiten Fall \(s_2 \approx 5{,}67\,\text{cm}\).
4150339
Ein Konstrukteur entwirft gleichschenklige Stützelemente mit einer Schenkellänge von jeweils \(s = 7\,\text{cm}\). Die Basis \(x\) soll variabel sein. a) Untersuche, für welche Werte von \(x\) das Stützelement spitzwinklig und für welche es stumpfwinklig ist (bezogen auf den Winkel an der Spitze). Bestimme dazu zuerst den Grenzwert für \(x\), bei dem ein rechter Winkel entsteht. b) Ein Mitarbeiter behauptet, dass bei einer Basis von \(x = 15\,\text{cm}\) ein besonders stabiles stumpfwinkliges Dreieck entsteht. Erkläre, warum diese Behauptung mathematisch nicht möglich ist.

Denkanstöße

- Suche zuerst den Grenzwert zwischen spitz- und stumpfwinklig. Welcher besondere Winkel liegt dort vor? - Gibt es eine Obergrenze für die Länge einer Dreiecksseite, wenn die anderen beiden Seiten feststehen? - Überprüfe die Dreiecksungleichung für den Fall \(x = 15\,\text{cm}\).

Lösung

1. Grenzwert für Rechtwinkligkeit: Anwendung des Satzes von Pythagoras \(s^2 + s^2 = x^2\). Berechnung: \(7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98\). Der Grenzwert liegt bei \(x = \sqrt{98} \approx 9{,}90\,\text{cm}\). 2. Winkelbereiche: Für \(0 < x < \sqrt{98}\) ist das Dreieck spitzwinklig (da \(s^2 + s^2 > x^2\)). Für \(\sqrt{98} < x < 14\) ist es stumpfwinklig (da \(s^2 + s^2 < x^2\)). 3. Überprüfung der Behauptung \(x = 15\,\text{cm}\): Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe der Schenkel größer als die Basis sein (\(7 + 7 = 14\)). Da \(14 < 15\), kann mit diesen Maßen kein Dreieck gebildet werden.

Antwort

a) Das Dreieck ist rechtwinklig bei \(x=\sqrt{98}\,\text{cm}\approx9{,}90\,\text{cm}\). Es ist spitzwinklig für \(0<x<\sqrt{98}\,\text{cm}\) und stumpfwinklig für \(\sqrt{98}\,\text{cm}<x<14\,\text{cm}\). b) Ein Dreieck mit \(x=15\,\text{cm}\) ist unmöglich, da die Basis länger als die Summe der Schenkel \((14\,\text{cm})\) wäre.
4150519
Man kann neue Quadratflächen erzeugen, indem man die Seitenlängen bereits existierender Quadrate als Katheten in rechtwinkligen Dreiecken verwendet. Gegeben ist ein Basisquadrat \(Q_1\) mit der Seitenlänge \(s\). Daraus wurden bereits zwei weitere Quadrate konstruiert: - Quadrat \(Q_2\) mit dem doppelten Flächeninhalt von \(Q_1\). - Quadrat \(Q_3\) mit dem dreifachen Flächeninhalt von \(Q_1\). Zeige rechnerisch unter Verwendung des Satzes von Pythagoras, dass ein Quadrat, dessen Seitenlänge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen von \(Q_2\) und \(Q_3\) als Katheten entspricht, genau den fünffachen Flächeninhalt von \(Q_1\) besitzt.

Denkanstöße

- Notiere dir zuerst die Flächeninhalte der Quadrate \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). - Wie hängen die Seitenlängen dieser Quadrate mit ihren Flächen zusammen? - Was sagt der Satz von Pythagoras über das Quadrat der Hypotenuse aus? - Setze die Ausdrücke für die quadrierten Seitenlängen in die Pythagoras-Gleichung ein.

Lösung

1. Bestimmung der Flächeninhalte: \(A_1 = s^2\), \(A_2 = 2s^2\), \(A_3 = 3s^2\). 2. Bestimmung der Seitenlängen: Die Seitenlänge von \(Q_2\) ist \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und die von \(Q_3\) ist \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras für die neue Seite \(s_{neu}\): \(s_{neu}^2 = s_2^2 + s_3^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{neu}^2 = (\sqrt{2s^2})^2 + (\sqrt{3s^2})^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). 5. Vergleich der Flächeninhalte: Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(A_{neu} = s_{neu}^2\) ist, folgt \(A_{neu} = 5s^2 = 5 \cdot A_1\). Dies entspricht exakt dem Fünffachen des Inhalts von \(Q_1\).

Antwort

Die Seitenlängen von \(Q_2\) und \(Q_3\) sind \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). Für das neue Quadrat mit der Seite \(c\) gilt nach Pythagoras \(c^2 = s_2^2 + s_3^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(c^2\) ist, ist er mit \(5s^2\) genau fünfmal so groß wie der Flächeninhalt \(s^2\) von \(Q_1\).
4152469
In einem Dreieck \(ABC\) gilt die Beziehung \(b^2 = c^2 - a^2\). a) Forme die Gleichung so um, dass kein Minuszeichen mehr vorkommt. Welcher Winkel des Dreiecks ist demnach der rechte Winkel? b) In einem anderen Dreieck sind die Seitenlängen \(x = 5\), \(y = 12\) und \(z = 13\). Untersuche rechnerisch, ob dieses Dreieck rechtwinklig ist. c) Jemand behauptet: „Wenn man alle Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks verdoppelt, ist das neue Dreieck nicht mehr rechtwinklig, weil sich die Quadrate der Seiten vervierfachen.“ Beurteile diese Aussage.

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass sie wie der bekannte Satz des Pythagoras aussieht? - Welcher Buchstabe in der Formel steht normalerweise für die längste Seite, und welcher Winkel liegt ihr gegenüber? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du jeden Term mit derselben Zahl (zum Beispiel 4) multiplizierst?

Lösung

1. Umformung und Winkelbestimmung: Durch Addition von \(a^2\) auf beiden Seiten ergibt sich \(a^2 + b^2 = c^2\). In dieser Standardform ist \(c\) die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, also ist der Winkel \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)) der rechte Winkel. 2. Überprüfung der Seitenlängen: Es wird geprüft, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\) ist, gilt \(5^2 + 12^2 = 13^2\). Das Dreieck ist rechtwinklig. 3. Beurteilung der Verdoppelung: Seien \(a, b, c\) die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit \(a^2 + b^2 = c^2\). Bei Verdoppelung sind die neuen Seiten \(2a, 2b, 2c\). Die neue Prüfung lautet \((2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)\). Da \(a^2 + b^2 = c^2\), ist dies gleich \(4c^2\), was genau \((2c)^2\) entspricht. Die Aussage ist falsch; das Dreieck bleibt rechtwinklig, da das Verhältnis der Quadrate gewahrt bleibt.

Antwort

a) Die Gleichung lautet \(a^2 + b^2 = c^2\). Der rechte Winkel ist \(\gamma\) (am Punkt \(C\)). b) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig, da \(5^2 + 12^2 = 13^2\) (\(169 = 169\)) gilt. c) Die Aussage ist falsch. Wenn alle Seiten verdoppelt werden, werden alle Quadrate vervierfacht. Da \(4a^2 + 4b^2 = 4c^2\) immer noch eine gültige pythagoreische Gleichung ist, bleibt das Dreieck rechtwinklig.
4154449
Ein Dreieck hat die Seitenlängen \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 15\,\text{cm}\) und \(c = 17\,\text{cm}\). a) Weise rechnerisch nach, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist. b) Angenommen, die Seite \(c\) wird auf \(16\,\text{cm}\) verkürzt, während \(a\) und \(b\) unverändert bleiben. Entscheide mithilfe einer Rechnung, ob der Winkel \(\gamma\) (gegenüber von Seite \(c\)) nun spitz oder stumpf ist.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. - Was muss für die Seitenlängen gelten, damit ein rechter Winkel vorliegt? - Überlege dir, was mit einem Winkel passiert, wenn man die gegenüberliegende Seite verkürzt, die anderen beiden Seiten aber festbleiben. - Vergleiche den Wert von \(c^2\) mit der Summe \(a^2 + b^2\).

Lösung

1. Überprüfung für Teil a): Es wird geprüft, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). Da \(17^2 = 289\), ist die Gleichung erfüllt und das Dreieck rechtwinklig bei \(\gamma = 90^\circ\). 2. Analyse für Teil b): Die Summe der Quadrate der Seiten \(a\) und \(b\) bleibt \(a^2 + b^2 = 289\). Das Quadrat der neuen Seite \(c\) ist \(c^2 = 16^2 = 256\). 3. Da \(c^2 < a^2 + b^2\) gilt (\(256 < 289\)), ist die Seite \(c\) „zu kurz“ für einen rechten Winkel, was bedeutet, dass der gegenüberliegende Winkel \(\gamma\) kleiner als \(90^\circ\) sein muss. Somit ist der Winkel spitz.

Antwort

a) Da \(8^2 + 15^2 = 17^2\) (\(289 = 289\)), ist das Dreieck rechtwinklig. b) Da \(16^2 < 8^2 + 15^2\) (\(256 < 289\)), ist der Winkel \(\gamma\) spitz.
4154509
Bei einem speziellen Quadrat ist die Diagonale genau \(5\,\text{cm}\) länger als die Seitenlänge. Berechne die Seitenlänge \(a\) dieses Quadrats. Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen genau an.

Denkanstöße

- Stelle eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen Diagonale und Seite beschreibt. - Nutze den Satz des Pythagoras, um eine zweite Beziehung zwischen diesen Größen herzustellen. - Du wirst eine quadratische Gleichung erhalten. Denke an die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung. - Überlege am Ende, ob beide mathematischen Lösungen im Sachkontext sinnvoll sind.

Lösung

1. Sei \(a\) die Seitenlänge und \(d\) die Diagonale. Es gilt die Beziehung \(d = a + 5\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im Quadrat \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 3. Ersetze \(d\) durch den Ausdruck \(a + 5\): \((a + 5)^2 = 2a^2\). 4. Wende die erste binomische Formel an: \(a^2 + 10a + 25 = 2a^2\). 5. Stelle die quadratische Gleichung in die Normalform um: \(a^2 - 10a - 25 = 0\). 6. Nutze die p-q-Formel: \(a_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - (-25)} = 5 \pm \sqrt{50}\). 7. Da eine Seitenlänge positiv sein muss, gilt \(a = 5 + \sqrt{50} = 5 + 5\sqrt{2} \approx 12{,}07\,\text{cm}\).

Antwort

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt ca. \(12{,}07\,\text{cm}\).
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Ein gleichschenkliges Trapez hat eine Grundseite \(a = 12\,\text{cm}\), eine dazu parallele Seite \(c = 6\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(h = 4\,\text{cm}\). Berechne die Länge der Diagonalen \(e\) dieses Trapezes. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke. - Wie lang ist die Strecke auf der Grundseite von einer unteren Ecke bis zum gegenüberliegenden Höhenfußpunkt? - Suche nach einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Diagonale die längste Seite (Hypotenuse) darstellt.

Lösung

1. Berechnung des Abschnitts \(x\) auf der Grundseite \(a\), der durch das Fällen des Lots von der Ecke der Seite \(c\) entsteht: \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Basis \(b_{diag}\) des rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Diagonale \(e\) die Hypotenuse bildet: \(b_{diag} = c + x = 6 + 3 = 9\,\text{cm}\) (oder \(a - x = 12 - 3 = 9\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) und der Basis \(9\,\text{cm}\): \(e^2 = 9^2 + 4^2\). 4. Berechnung der Werte: \(e^2 = 81 + 16 = 97\). 5. Berechnung der Länge: \(e = \sqrt{97} \approx 9{,}85\,\text{cm}\).

Antwort

Die Diagonale des Trapezes ist etwa \(9{,}85\,\text{cm}\) lang.

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