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- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? Das ist die Hypotenuse. - Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. - Erinnere dich an die Grundformel: \(\text{Kathete}^2 + \text{Kathete}^2 = \text{Hypotenuse}^2\).

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. 1. Dreieck a): Die Katheten sind \(u\) und \(v\), die Hypotenuse ist \(w\). Die Gleichung lautet: \(u^2 + v^2 = w^2\). 2. Dreieck b): Die Katheten sind \(y\) und \(z\), die Hypotenuse ist \(x\). Die Gleichung lautet: \(y^2 + z^2 = x^2\). 3. Dreieck c): Die Katheten sind \(h\) und \(i\), die Hypotenuse ist \(g\). Die Gleichung lautet: \(h^2 + i^2 = g^2\).

a) \(u^2 + v^2 = w^2\) b) \(y^2 + z^2 = x^2\) c) \(h^2 + i^2 = g^2\)

- Überlege zuerst, ob die gesuchte Seite eine Kathete oder die Hypotenuse ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenquadraten in einem rechtwinkligen Dreieck. - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?

1. Identifikation der gegebenen Seiten: Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\). Die Hypotenuse \(x\) ist gesucht. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x = \sqrt{169} = 13\). Die gesuchte Länge beträgt \(13\,\text{cm}\).

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Identifiziere zuerst die Hypotenuse (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) und die beiden Katheten. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Quadraten der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, ob du die Hypotenuse oder eine Kathete suchst.

1. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). 2. Setze die Längen der Katheten ein: \(4{,}8^2 + 3{,}6^2 = x^2\). 3. Berechne die Quadrate: \(23{,}04 + 12{,}96 = x^2\). 4. Addiere die Werte: \(x^2 = 36\). 5. Ziehe die Quadratwurzel: \(x = \sqrt{36} = 6\). Die Seite \(x\) ist \(6\,\text{cm}\) lang.

\(x = 6\,\text{cm}\)

- Welcher berühmte Satz hilft dir, die dritte Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen? - Wenn das Dreieck gleichschenklig ist, wie lang ist dann die zweite Kathete?

1. Da das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist, sind beide Katheten \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 5^2\). 3. Rechnung: \(c^2 = 25 + 25 = 50\). 4. Ergebnis: \(c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\).

Die Hypotenuse ist \(\sqrt{50}\,\text{cm}\) (oder \(5\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 7{,}07\,\text{cm}\)) lang.

- Welchen besonderen Winkel haben die Ecken eines Rechtecks? - Erinnere dich an einen Satz, der Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken verbindet. - Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei gleiche Dreiecke.

1. In einem Rechteck bilden zwei benachbarte Seiten und die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(AC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\). 4. Ziehen der Wurzel: \(AC = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\).

Die Diagonale \(AC\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du die Diagonale Schritt für Schritt berechnen (erst die Diagonale der Grundfläche, dann die Raumdiagonale)? - Welchen Satz benutzt man typischerweise für Längen in rechtwinkligen Strukturen? - Gibt es eine direkte Formel für die Diagonale in einem Quader?

1. Anwendung der Formel für die Raumdiagonale im Quader: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 2. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9}\) 3. Ergebnis: \(\sqrt{14}\)

\(\sqrt{14}\)

- Betrachte in jedem Satz zuerst die längste Stablänge. - Für einen rechten Winkel muss die längste Seite auf besondere Weise zu den beiden anderen passen. - Prüfe alle drei Sätze getrennt, statt aus dem Aussehen der Zahlen zu raten. - Kontrolliere auch, ob die Seiten überhaupt ein Dreieck bilden könnten.

1. Überprüfung Satz 1: Längste Seite: \(61\). \(11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721\). \(61^2 = 3721\). Gleichheit gilt (\(3721 = 3721\)), also rechtwinklig. 2. Überprüfung Satz 2: Längste Seite: \(25\). \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\). \(25^2 = 625\). Keine Gleichheit (\(676 \neq 625\)), also nicht rechtwinklig. 3. Überprüfung Satz 3: Längste Seite: \(29\). \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). \(29^2 = 841\). Gleichheit gilt (\(841 = 841\)), also rechtwinklig.

Die Sätze 1 und 3 bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Satz 2 bildet kein rechtwinkliges Dreieck.

- Sortiere die drei Seiten nach ihrer Länge. - Überlege, welche Seite bei einem rechten Winkel gegenüberliegen müsste. - Vergleiche die Quadrate der Seiten, statt nur die Längen direkt zu vergleichen. - Deine Antwort sollte klar sagen, ob es einen exakten rechten Winkel gibt oder nicht.

1. Identifiziere die längste Seite als potenzielle Hypotenuse: \(c = 25\,\text{cm}\). 2. Wende den Kehrsatz des Pythagoras an: Überprüfe, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite ist (\(a^2 + b^2 = c^2\)). 3. Berechne die Quadrate: \(a^2 = 7^2 = 49\) \(b^2 = 24^2 = 576\) \(c^2 = 25^2 = 625\) 4. Addiere die Quadrate der kürzeren Seiten: \(49 + 576 = 625\). 5. Da \(625 = 625\) gilt, ist die Gleichung erfüllt.

Ja, die Tischplatte ist rechtwinklig, da \(7^2 + 24^2 = 25^2\) gilt.

- Erinnere dich an die Grundform des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Welche Seite ist dabei immer die längste? - Versuche, jede Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite nur ein einzelnes Quadrat steht. - Was bedeutet die Wurzel in diesem Zusammenhang für die Beziehung der Quadrate?

1. Umstellung zu \(q^2 = p^2 + r^2\). Da die Summe der Quadrate zweier Seiten das Quadrat der dritten Seite ergibt, ist \(q\) die Hypotenuse. 2. Quadrieren ergibt \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat die Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\) ist. 3. Die Gleichung hat die Form \(a^2 + b^2 = c^2\) mit \(a=b=x\). Somit ist \(y\) die Hypotenuse. 4. Umstellung zu \(s^2 = t^2 + u^2\). \(s\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

1. \(q\) ist die Hypotenuse. 2. \(c\) ist die Hypotenuse. 3. \(y\) ist die Hypotenuse. 4. \(s\) ist die Hypotenuse.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel direkt gegenüber? - Wie hießen noch einmal die Seiten, die den rechten Winkel bilden? - Was passiert mit der Formel, wenn man die Buchstaben an den Ecken des Dreiecks vertauscht?

1. Identifikation der Seiten: Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Da der rechte Winkel bei \(S\) liegt, ist die Seite \(s\) die Hypotenuse. Die Seiten \(r\) (gegenüber von \(R\)) und \(t\) (gegenüber von \(T\)) schließen den rechten Winkel ein und sind somit die Katheten. 2. Aufstellen der Gleichung: Nach dem Satz des Pythagoras entspricht die Summe der Quadrate der Katheten dem Quadrat der Hypotenuse. Daraus folgt: \(r^2 + t^2 = s^2\). 3. Begründung zur allgemeinen Formel: Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) setzt voraus, dass \(c\) die Hypotenuse ist. In der Mathematik können Variablen jedoch frei gewählt werden. Ohne Definition, welche Variable die längste Seite beschreibt, führt die blinde Anwendung der Formel zu falschen Ergebnissen, wie im Beispiel mit \(s\) als Hypotenuse ersichtlich ist.

a) Die Hypotenuse ist \(s\), die Katheten sind \(r\) und \(t\). b) Die Formel lautet \(r^2 + t^2 = s^2\). c) Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) ist nur korrekt, wenn \(c\) die Hypotenuse ist. Da Buchstaben variabel vergeben werden können, muss man immer zuerst prüfen, welche Seite die Hypotenuse ist.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Was bedeutet „gleichschenklig-rechtwinklig“ für die Längen der Katheten? - Stelle eine Gleichung für die Hypotenuse vor und nach der Änderung auf. - Wie verändert sich ein Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Im ursprünglichen Dreieck mit Kathete \(a\) gilt nach Pythagoras: \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(c = a \cdot \sqrt{2}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot a^2\). 3. Im neuen Dreieck ist die Kathete \(a' = 2a\). 4. Die neue Hypotenuse ist \(c' = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a \cdot \sqrt{2}\). Da \(c = a \cdot \sqrt{2}\) ist, gilt \(c' = 2c\). Die Hypotenuse verdoppelt sich. 5. Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2a)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 = 2a^2\). Im Vergleich zu \(A = 0{,}5a^2\) ist dies das Vierfache: \(A' = 4A\).

Die Länge der Hypotenuse verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt des Segels vervierfacht.

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung des Satzes von Pythagoras: Was sagen die Quadrate über den Seiten aus? - Wie hängen die Flächeninhalte der drei Quadrate direkt zusammen? - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn der Flächeninhalt bekannt ist? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne zuerst die Seitenlängen zu berechnen?

1. Berechnung der Seitenlängen aus den Flächeninhalten: Die Kathete ist \(a = \sqrt{144\,\text{cm}^2} = 12\,\text{cm}\), die Hypotenuse ist \(c = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). 2. Anwendung der geometrischen Interpretation des Satzes von Pythagoras: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate entspricht der Fläche des Hypotenusenquadrats (\(A_a + A_b = A_c\)). 3. Berechnung der Fläche des zweiten Kathetenquadrats: \(A_b = 169\,\text{cm}^2 - 144\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Länge der zweiten Kathete: \(b = \sqrt{25\,\text{cm}^2} = 5\,\text{cm}\).

a) Die Kathete ist \(12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Quadrats über der zweiten Kathete beträgt \(25\,\text{cm}^2\). c) Die zweite Kathete ist \(5\,\text{cm}\) lang.

- Erstelle gedanklich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Flugstrecke als Hypotenuse. - Achte beim Subtrahieren der Koordinaten auf die Vorzeichen. - Die Länge einer Kathete ist immer der absolute Betrag der Differenz der Koordinaten.

1. Berechnung der horizontalen Differenz: \(\Delta x = 6 - (-6) = 12\). 2. Berechnung der vertikalen Differenz: \(\Delta y = 1 - (-4) = 5\). 3. Berechnung der Streckenlänge \(l\) mit dem Satz des Pythagoras: \(l^2 = 12^2 + 5^2\). 4. \(l^2 = 144 + 25 = 169\). 5. \(l = \sqrt{169} = 13\). Die Flugstrecke ist \(13\,\text{Längeneinheiten}\) lang.

Die Flugstrecke beträgt \(13\,\text{Längeneinheiten}\).

- Suche zuerst den rechten Winkel in jedem der beiden kleineren Dreiecke. - Bestimme für jedes Dreieck einzeln, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist. - Beachte, dass die Seite \(h\) zu beiden rechtwinkligen Dreiecken gehört.

1. Linkes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(s\). Die Hypotenuse ist die Seite \(b\). Die Gleichung lautet: \(s^2 + h^2 = b^2\). 2. Rechtes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(r\). Die Hypotenuse ist die Seite \(a\). Die Gleichung lautet: \(r^2 + h^2 = a^2\).

Linkes Dreieck: \(s^2 + h^2 = b^2\) Rechtes Dreieck: \(r^2 + h^2 = a^2\)

- Achte darauf, welche Seite die Hypotenuse ist. Sie steht alleine auf einer Seite der Gleichung. - Wenn eine Kathete gesucht ist, musst du die Gleichung umstellen. - Subtrahiere das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse.

1. Identifikation der Seiten: Hypotenuse \(c = 25\,\text{cm}\), bekannte Kathete \(a = 7\,\text{cm}\), gesuchte Kathete \(x\). 2. Satz des Pythagoras: \(x^2 + 7^2 = 25^2\). 3. Umstellen nach \(x^2\): \(x^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{576} = 24\). Die fehlende Kathete ist \(24\,\text{cm}\) lang.

\(x = 24\,\text{cm}\)

- Bevor du rechnest, solltest du alle Längenangaben auf die gleiche Einheit bringen. - Welche Einheit bietet sich hier an, um Kommazahlen zu vermeiden? - Stelle die Formel so um, dass das Quadrat der gesuchten Seite isoliert ist.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Hypotenuse ist \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\) lang. Die Kathete ist \(6\,\text{cm}\) lang. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{64} = 8\). Die Länge beträgt \(8\,\text{cm}\).

\(x = 8\,\text{cm}\)

- Überprüfe, ob alle Längen in der gleichen Einheit vorliegen. - Welche Seite ist die längste im Dreieck? - Addiere die Quadrate der kürzeren Seiten, um das Quadrat der längsten Seite zu erhalten.

1. Einheiten vereinheitlichen: \(0{,}7\,\text{m} = 7\,\text{dm}\). Die Katheten sind somit \(7\,\text{dm}\) und \(24\,\text{dm}\). 2. Pythagoras anwenden: \(x^2 = 7^2 + 24^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 49 + 576 = 625\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{625} = 25\). Die Hypotenuse ist \(25\,\text{dm}\) lang.

\(x = 25\,\text{dm}\)

- Überlege, ob man bei einer Summe unter der Wurzel einfach die Wurzel aus jedem Teil einzeln ziehen darf. - Berechne zuerst die Werte der Quadrate und addiere sie, bevor du die Wurzel ziehst. - In einem Dreieck ist jede Seite kürzer als die Summe der beiden anderen Seiten. Passt Leons Ergebnis dazu?

1. Fehleranalyse: Leon hat die Wurzel aus den einzelnen Summanden gezogen (\(\sqrt{a^2+b^2} = a+b\)), anstatt zuerst die Summe der Quadrate zu bilden. Das ist mathematisch nicht korrekt. 2. Aufstellen des Satzes des Pythagoras: \(d^2 = 12^2 + 9^2\) 3. Quadrieren der Seitenlängen: \(d^2 = 144 + 81 = 225\) 4. Ziehen der Quadratwurzel aus der Summe: \(d = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\)

Leon hat den Fehler gemacht, die Wurzel aus den einzelnen Quadraten zu ziehen (\(\sqrt{12^2+9^2} \neq 12+9\)). Man muss zuerst die Quadrate addieren und dann aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen. Die richtige Länge der Diagonale beträgt \(d = 15\,\text{cm}\).

- Überlege, wie du die Längen der waagerechten und senkrechten Linien direkt aus den Koordinaten ablesen kannst. - Welcher bekannte mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite zu berechnen? - Achte darauf, die Koordinatenwerte korrekt voneinander abzuziehen.

1. Bestimmung der Kathetenlängen durch Differenzbildung der Koordinaten: \(|\overline{AC}| = 13 - 1 = 12\) \(|\overline{BC}| = 6 - 1 = 5\) 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Dreieck \(ABC\): \(|\overline{AB}|^2 = 12^2 + 5^2\) \(|\overline{AB}|^2 = 144 + 25 = 169\) 3. Berechnung der Wurzel: \(|\overline{AB}| = \sqrt{169} = 13\)

a) \(|\overline{AC}| = 12\); \(|\overline{BC}| = 5\) b) \(|\overline{AB}| = 13\)

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat entlang einer Diagonalen teilst? - Welchen Satz kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden, um die Seitenlängen in Beziehung zu setzen? - Versuche, die Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. In einem Quadrat bilden zwei benachbarte Seiten und die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Diagonale \(d\): \(d^2 = a^2 + a^2\). 3. Zusammenfassen der Terme ergibt: \(d^2 = 2a^2\). 4. Durch Ziehen der Wurzel erhält man: \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

\(d = a\sqrt{2}\)

- Welche Längen bilden in der Raute die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks? - Achte darauf, mit den halbierten Werten der Diagonalen zu rechnen. - Nutze den Satz des Pythagoras.

1. In einer Raute bilden die halben Diagonalen mit einer Seite ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Die Katheten sind \(\frac{e}{2} = 2{,}4\,\text{cm}\) und \(\frac{f}{2} = 0{,}7\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Hypotenuse \(s\): \(s^2 = 2{,}4^2 + 0{,}7^2 = 5{,}76 + 0{,}49 = 6{,}25\). 4. Ziehen der Wurzel: \(s = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(2{,}5\,\text{cm}\).

- Kannst du das Trapez in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen? - Wie lang ist die kurze Seite des so entstandenen Dreiecks? - Welcher mathematische Satz hilft dir, die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, wenn zwei andere Seiten bekannt sind?

1. Zerlegung des Trapezes in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck durch Einzeichnen der Höhe auf die längere Grundseite \(a\). 2. Die Katheten des Dreiecks sind die Höhe \(h = 4\,\text{m}\) und der Abschnitt \(x = a - c = 5\,\text{m} - 2\,\text{m} = 3\,\text{m}\). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(s^2 = h^2 + x^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\). 4. Berechnung der Seite \(s\): \(s = \sqrt{25} = 5\,\text{m}\).

Die Länge der schrägen Seite \(s\) beträgt \(5\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du das Trapez durch Einzeichnen einer Höhe in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen kannst. - Wie lang ist das kleine Teilstück auf der Grundseite, das durch die Höhe abgetrennt wird? - Welchen bekannten Satz für Seitenlängen kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes.

1. In einem gleichschenkligen Trapez wird die Grundseite \(a\) durch die Höhen in drei Teile zerlegt: zwei gleich lange Abschnitte \(x\) außen und ein Mittelstück der Länge \(c\). Die Länge eines Abschnitts \(x\) berechnet sich zu: \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{15\,\text{m} - 9\,\text{m}}{2} = 3\,\text{m}\). 2. Die Höhe \(h\), der Schenkel \(s\) und der Abschnitt \(x\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(h^2 + x^2 = s^2\) \(h^2 + (3\,\text{m})^2 = (5\,\text{m})^2\) \(h^2 + 9\,\text{m}^2 = 25\,\text{m}^2\) \(h^2 = 16\,\text{m}^2 \Rightarrow h = 4\,\text{m}\). 3. Der Flächeninhalt \(A\) eines Trapezes berechnet sich mit der Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\): \(A = \frac{15\,\text{m} + 9\,\text{m}}{2} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\).

Die Höhe des Beets beträgt \(4\,\text{m}\) und der Flächeninhalt ist \(48\,\text{m}^2\).

- In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. - Die Höhe landet genau in der Mitte der Grundseite. - Welcher berühmte Satz hilft dir, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite zu berechnen?

1. In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge \(a = 9\,\text{cm}\) teilt die Höhe \(h\) die Basis in zwei Hälften der Länge \(\frac{a}{2} = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Teildreieck: \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\). 3. Umstellen nach \(h\): \(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 - 4{,}5^2}\). 4. Berechnung: \(h = \sqrt{81 - 20{,}25} = \sqrt{60{,}75} \approx 7{,}79\,\text{cm}\).

Die Höhe \(h\) des gleichseitigen Dreiecks beträgt etwa \(7{,}79\,\text{cm}\).

- Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. - Wie lang ist die Strecke von einer Ecke der Basis bis zum Fußpunkt der Höhe? - Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu bestimmen.

1. Die Höhe \(h\) halbiert die Basis \(c\). Die Kathete im rechtwinkligen Teildreieck ist somit \(\frac{c}{2} = 5\,\text{cm}\) lang. 2. Die Schenkellänge \(a = 13\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse dieses Teildreiecks. 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(h^2 + 5^2 = 13^2\). 4. Umstellen: \(h^2 = 169 - 25 = 144\). 5. Wurzel ziehen: \(h = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\).

Die Höhe \(h\) des Dreiecks beträgt genau \(12\,\text{cm}\).

- Überlege, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem berechnen kannst. - Betrachte für die schräge Strecke die horizontalen und vertikalen Koordinatendifferenzen als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. - Vergleiche die berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Berechnung der Länge der Strecke \(AB\): Da beide Punkte den gleichen \(y\)-Wert haben, ist die Länge die Differenz der \(x\)-Werte: \(|5 - 1| = 4\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(AC\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). 3. Vergleich der Werte: \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da \(4 > 3{,}61\), ist \(AB\) länger als \(AC\).

Die Strecke \(AB\) ist länger als die Strecke \(AC\).

- Berechne für beide Strecken die Kathetenlängen ihrer rechtwinkligen Hilfsdreiecke. - Vergleiche die Ergebnisse der Pythagoras-Rechnung.

1. Für die Strecke \(AB\) gilt: \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = 3\). Daher ist \(AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\). 2. Für die Strecke \(CD\) gilt: \(\Delta x = 7 - 4 = 3\) und \(\Delta y = 3 - 1 = 2\). Daher ist \(CD = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\). 3. Somit haben beide Strecken dieselbe Länge.

Ja, beide Strecken haben die Länge \(\sqrt{13}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen den Seiten und der Diagonale in einem Rechteck? - Kannst du die Gleichung des Satzes des Pythagoras so umstellen, dass die unbekannte Seite alleine steht?

1. Die Diagonale \(d\), die gegebene Seite \(a\) und die gesuchte Seite \(b\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Es gilt: \(d^2 = a^2 + b^2\). 3. Umstellen nach der gesuchten Seite: \(b^2 = d^2 - a^2\). 4. Einsetzen: \(b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\). 5. Ergebnis: \(b = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\).

Die andere Seite des Rechtecks ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- In welchem Winkel trifft ein Radius auf eine Tangente an seinem Endpunkt? - Skizziere die Situation: Kreis, Radius zum Berührpunkt und die Tangente.

1. Der Radius \(MT\) steht senkrecht auf der Tangente im Berührpunkt \(T\). 2. Das Dreieck \(MTP\) ist also rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(T\). 3. Die Hypotenuse ist die Strecke \(MP\). 4. Es gilt: \(MP^2 = MT^2 + TP^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 5. Ergebnis: \(MP = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\).

Der Punkt \(P\) ist \(13\,\text{cm}\) vom Mittelpunkt \(M\) entfernt.

- Wie findest du die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck? - Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten?

1. Berechne die zweite Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechne den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\).

- In einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe die Basis genau in der Mitte. - Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu finden.

1. Die Höhe \(h\) halbiert die Basis: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(48\,\text{cm}^2\).

- Bringe in jeder Teilaufgabe zuerst alle Seitenlängen in dieselbe Einheit. - Bestimme danach die längste Seite, denn sie ist der entscheidende Kandidat. - Vergleiche die längste Seite mit den beiden kürzeren Seiten über ihre Quadrate. - Achte darauf, dass kleine Umrechnungsfehler das Ergebnis komplett verändern können.

1. Teilaufgabe a): Wandle alle Maße in die gleiche Einheit um (z. B. cm): \(a = 90\,\text{cm}\), \(b = 40\,\text{cm}\), \(c = 80\,\text{cm}\). Die längste Seite ist \(a = 90\,\text{cm}\). Prüfe: \(b^2 + c^2 = a^2\) \(40^2 + 80^2 = 1600 + 6400 = 8000\) \(a^2 = 90^2 = 8100\) Da \(8000 \neq 8100\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Teilaufgabe b): Die längste Seite ist \(z = 3{,}7\,\text{cm}\). Prüfe: \(x^2 + y^2 = z^2\) \(1{,}2^2 + 3{,}5^2 = 1{,}44 + 12{,}25 = 13{,}69\) \(z^2 = 3{,}7^2 = 13{,}69\) Da \(13{,}69 = 13{,}69\), ist das Dreieck rechtwinklig.

a) Nicht rechtwinklig. b) Rechtwinklig.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel in einem Standard-Dreieck \(\triangle ABC\) normalerweise gegenüber? - Überlege, welche Seite die Hypotenuse sein muss, wenn du die Gleichung nach dem Schema \(...^2 + ...^2 = ...^2\) sortierst. - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Längen der Katheten?

1. Analyse der Gleichung: Quadrieren von \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) ergibt \(b^2 = c^2 - a^2\), was umgeformt \(a^2 + b^2 = c^2\) entspricht. 2. Da \(c\) die Hypotenuse ist, liegt der rechte Winkel gegenüber der Seite \(c\). Ergebnis: \(\gamma = 90^\circ\). 3. Einsetzen der Werte in die Gleichung: \(b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225}\). Ergebnis: \(b = 15\,\text{cm}\). 4. Bedingung gleichschenklig-rechtwinklig: Die Katheten müssen gleich lang sein (\(a = b\)). In die Pythagoras-Formel eingesetzt: \(a^2 + a^2 = c^2\), also \(2a^2 = c^2\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}\) oder nach \(a\) aufgelöst \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

a) Der rechte Winkel ist \(\gamma\). b) \(b = 15\,\text{cm}\). c) \(c^2 = 2a^2\) (oder \(c = a\sqrt{2}\)).

- Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras über die Beziehung der Seitenlängen? - Vergleiche die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Was passiert mit der Seite gegenüber einem Winkel, wenn dieser Winkel vergrößert oder verkleinert wird?

1. Prüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). Die längste Seite im Quadrat ist \(24^2 = 576\). Da \(625 \neq 576\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Bestimmung der Art des Winkels: Da \(c^2 < a^2 + b^2\) (\(576 < 625\)), ist der Winkel gegenüber der Seite \(c\) kleiner als \(90^\circ\); damit ist das Dreieck spitzwinklig. 3. Berechnung der neuen Seite \(c\): Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c\) muss gelten \(c^2 = 15^2 + 20^2 = 625\). Daraus folgt \(c = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\).

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(15^2 + 20^2 = 625 \neq 576 = 24^2\). b) Der Winkel ist kleiner als \(90^\circ\), da \(c^2 < a^2 + b^2\). c) Die Seite \(c\) müsste \(25\,\text{cm}\) lang sein.

- Welche Seite ist in jedem Fall die längste? - Berechne für jedes Dreieck die drei Quadrate der Seitenlängen. - Vergleiche das größte Quadrat mit der Summe der beiden anderen.

Für jedes Dreieck wird das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten verglichen. In a) ist \(12^2 = 144\) und \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\); da \(113 < 144\), ist das Dreieck stumpfwinklig. In b) ist \(41^2 = 1681\) und \(9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681\); wegen der Gleichheit ist das Dreieck rechtwinklig. In c) ist \(9^2 = 81\) und \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\); da \(85 > 81\), ist das Dreieck spitzwinklig.

a) Stumpfwinklig b) Rechtwinklig c) Spitzwinklig

- Berechne zuerst die Quadrate aller drei Seitenlängen. - Vergleiche die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Überlege dir: Wenn die längste Seite noch länger wird, während die anderen gleich bleiben, was passiert dann mit dem gegenüberliegenden Winkel?

1. Prüfung auf Rechtwinkligkeit: Es wird untersucht, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. 2. Berechnung der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). 3. Berechnung des Quadrats der längsten Seite: \(16^2 = 256\). 4. Vergleich: Da \(225 \neq 256\), ist das Beet nicht rechtwinklig. 5. Bestimmung der Winkelart: Da \(c^2 > a^2 + b^2\) gilt (\(256 > 225\)), ist die Seite \(c\) länger als sie in einem rechtwinkligen Dreieck wäre. Der gegenüberliegende Winkel (zwischen \(a\) und \(b\)) muss daher größer als \(90^\circ\) sein (stumpfwinklig).

a) Nein, das Beet ist nicht rechtwinklig, da \(9^2 + 12^2 = 225\) und \(16^2 = 256\) gilt. b) Der Winkel ist größer als \(90^\circ\), da das Quadrat der gegenüberliegenden Seite (\(256\)) größer ist als die Summe der Quadrate der einschließenden Seiten (\(225\)).

- Kannst du die Bedingung nennen, unter der drei Längen überhaupt ein geschlossenes Dreieck bilden können? - Was muss für die Quadrate der Seitenlängen gelten, damit ein Winkel genau \(90^{\circ}\) groß ist? - Reicht es aus, wenn zwei Seiten zusammen genauso lang sind wie die dritte? - Welche Seite eines Dreiecks muss im Satz des Pythagoras immer alleine auf einer Seite der Gleichung stehen?

1. Überprüfung der Dreiecksungleichung für Seil B: Da \(7 + 10 = 17\) und \(17 < 18\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner als die längste Seite. Ein Dreieck kann nicht gebildet werden. 2. Überprüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras (\(a^2 + b^2 = c^2\)): - Seil A: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Da \(15^2 = 225\), ist das Dreieck rechtwinklig. - Seil C: \(10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\). Da \(14^2 = 196 \neq 200\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. - Seil D: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\), ist das Dreieck rechtwinklig. Ergebnis: Seil B bildet kein Dreieck; Seil A und Seil D bilden rechtwinklige Dreiecke.

a) Seil B (\(7, 10, 18\)) kann kein Dreieck bilden, da \(7 + 10 < 18\) (Verletzung der Dreiecksungleichung). b) Mit Seil A (\(9, 12, 15\)) und Seil D (\(5, 12, 13\)) lassen sich rechtwinklige Beete abstecken, da \(9^2 + 12^2 = 15^2\) und \(5^2 + 12^2 = 13^2\) gilt.

- Erinnerst du dich an einfache Zahlenkombinationen, die den Satz des Pythagoras erfüllen? - Was passiert mit der Eigenschaft der Rechtwinkligkeit, wenn du alle Seiten eines solchen Dreiecks mit derselben Zahl multiplizierst? - Die Summe der drei gesuchten Zahlen muss genau \(60\) ergeben. - Probiere aus, bekannte kleine Tripel wie \((3, 4, 5)\) oder \((5, 12, 13)\) so zu vergrößern, dass ihr Umfang passt.

1. Suche nach pythagoreischen Tripeln \((a, b, c)\), deren Summe \(a + b + c = 60\) ergibt. 2. Erste Möglichkeit: Vielfaches des Standardtripels \((3, 4, 5)\). Die Summe ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Da \(60 : 12 = 5\), ist das fünffache Tripel \((15, 20, 25)\) eine Lösung. Überprüfung: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2\). 3. Zweite Möglichkeit: Vielfaches des Tripels \((5, 12, 13)\). Die Summe ist \(5 + 12 + 13 = 30\). Da \(60 : 30 = 2\), ist das zweifache Tripel \((10, 24, 26)\) eine Lösung. Überprüfung: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2\). 4. Beide Sätze von Seitenlängen erfüllen \(a + b + c = 60\) und \(a^2 + b^2 = c^2\).

Zwei Möglichkeiten für die Seitenlängen sind: 1. \(15\,\text{m}\), \(20\,\text{m}\) und \(25\,\text{m}\) (denn \(15 + 20 + 25 = 60\) und \(15^2 + 20^2 = 25^2\)). 2. \(10\,\text{m}\), \(24\,\text{m}\) und \(26\,\text{m}\) (denn \(10 + 24 + 26 = 60\) und \(10^2 + 24^2 = 26^2\)).

- In welche zwei kleineren Dreiecke wird das große Dreieck durch die Höhe geteilt? - Was weißt du über die Katheten dieser Teildreiecke? - Wie kannst du die Umkehrung des Satzes von Pythagoras nutzen, um auf die Rechtwinkligkeit des gesamten Dreiecks zu schließen?

1. Die Höhe \(h_c\) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische, rechtwinklige Teildreiecke. 2. Die Katheten eines solchen Teildreiecks sind die Höhe \(h_c = 6\,\text{cm}\) und die halbe Basis \(\frac{c}{2} = 6\,\text{cm}\). 3. Da beide Katheten im Teildreieck gleich lang sind, betragen die Basiswinkel des großen Dreiecks jeweils \(45^\circ\). 4. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Der Winkel an der Spitze berechnet sich zu \(180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\). 5. Alternativ über den Satz von Pythagoras: Die Schenkellänge \(s\) berechnet sich durch \(s^2 = 6^2 + 6^2 = 72\). 6. Prüfung der Umkehrung des Satzes von Pythagoras für das große Dreieck: \(s^2 + s^2 = 72 + 72 = 144\). 7. Da die Basis im Quadrat \(c^2 = 12^2 = 144\) ergibt und somit \(s^2 + s^2 = c^2\) gilt, ist das Dreieck rechtwinklig. 8. Der rechte Winkel liegt der Basis gegenüber (an der Spitze).

Da die Höhe genauso lang ist wie die halbe Basis (\(6\,\text{cm}\)), bilden die Schenkel mit der Basis Winkel von \(45^\circ\). Somit beträgt der Winkel an der Spitze \(90^\circ\). Rechnerisch gilt mit den Schenkelquadraten \(72 + 72 = 12^2\), was die Rechtwinkligkeit an der Spitze bestätigt.

- Wie lautet der Satz des Pythagoras und wann gilt seine Umkehrung? - Was sagt das Verhältnis zwischen \(a^2 + b^2\) und \(c^2\) über die Art des Winkels aus? - Skizziere das Dreieck und zeichne die Höhe ein. Welche rechtwinkligen Teilfiguren entstehen dabei?

1. Überprüfung auf Rechtwinkligkeit: Die Quadrate der Schenkel werden addiert und mit dem Quadrat der Basis verglichen. Berechnung: \(12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\) und \(17^2 = 289\). Da \(288 \neq 289\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Bestimmung der Winkelart: Da die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite (\(288 < 289\)), ist der gegenüberliegende Winkel an der Spitze stumpf. 3. Berechnung der Höhe \(h_c\): Die Höhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke mit der Hypotenuse \(s = 12\,\text{cm}\) und der Kathete \(\frac{c}{2} = 8{,}5\,\text{cm}\). Nach Pythagoras gilt: \(h_c = \sqrt{12^2 - 8{,}5^2} = \sqrt{144 - 72{,}25} = \sqrt{71{,}75} \approx 8{,}47\,\text{cm}\).

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(12^2 + 12^2 = 288 \neq 17^2 = 289\). b) Der Winkel an der Spitze ist stumpfwinklig, da \(s^2 + s^2 < c^2\). c) Die Höhe beträgt \(h_c \approx 8{,}47\,\text{cm}\).

- Wie hängen die Seiten und die Diagonale in einem Quadrat zusammen? - Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats aus seiner Seite? - Kannst du die Zahl 3 als Summe von zwei Zahlen schreiben, die bereits Quadrate von bekannten Längen in der Figur sind? - Überlege, wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet wird.

1. Berechnung der Diagonalen des ersten Quadrats: Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Diagonale \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(d = a\sqrt{2}\). 2. Berechnung des neuen Flächeninhalts: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(d\) hat den Flächeninhalt \(A_{neu} = d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2\). Das neue Quadrat hat also den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats. 3. Konstruktion für die dreifache Fläche: Das Zielquadrat benötigt den Flächeninhalt \(3a^2\), also die Seitenlänge \(s = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\). 4. Anwendung des Satzes von Pythagoras: Es gilt \((a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 2a^2 + a^2\). Da \(2a^2 = d^2\) ist, folgt \((a\sqrt{3})^2 = d^2 + a^2\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die gesuchte Seitenlänge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Originalseite \(a\) und die Originaldiagonale \(d\) sind.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2a^2\). b) Die Seitenlänge für die dreifache Fläche entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Seite \(a\) und die Diagonale \(d = a\sqrt{2}\) des ursprünglichen Quadrats sind, da \(a^2 + d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\).

- Schau dir die Struktur der Gleichung an. Welche Seite übernimmt die Rolle der längsten Seite? - Wo liegt ein Eckpunkt im Verhältnis zu der Seite, die nach ihm benannt ist? - Wenn zwei Seiten einen rechten Winkel einschließen, verändert sich dieser Winkel, wenn man eine Seite länger macht, solange die Verbindung der Endpunkte (die Hypotenuse) angepasst wird?

1. Analyse der Gleichung: In der Formel \(a^2 + c^2 = b^2\) steht die Seite \(b\) allein auf einer Seite der Gleichung. Dies kennzeichnet \(b\) als die Hypotenuse. 2. Lage des rechten Winkels: Der rechte Winkel liegt immer gegenüber der Hypotenuse. Gegenüber der Seite \(b\) liegt der Eckpunkt \(B\). Somit befindet sich der rechte Winkel bei \(B\). 3. Dynamische Betrachtung: Wenn \(a\) vergrößert wird und \(c\) konstant bleibt, muss sich auch die Länge der Hypotenuse \(b\) ändern, damit die Gleichung \(a^2 + c^2 = b^2\) weiterhin erfüllt ist. 4. Da \(a\) und \(c\) die Katheten bleiben (sie bilden den rechten Winkel), bleibt \(b\) die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Die Form des Dreiecks wird dabei „flacher“ bzw. gestreckter.

a) Der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(B\). b) Die Seite \(b\) bleibt weiterhin die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Da \(a\) und \(c\) den rechten Winkel einschließen, muss die Seite \(b\) (nach Pythagoras) ebenfalls länger werden, damit das Dreieck rechtwinklig bleibt.

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Was passiert mit der Seitenlänge, wenn sich der Flächeninhalt verneunfacht? - Überlege, wie sich die Diagonale verändert, wenn die Seitenlänge mit einem Faktor multipliziert wird. - Versuche, die Größen mit Variablen wie \(s\) und \(d\) auszudrücken.

1. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats: \(A = s^2\). 2. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Diagonale \(d\): \(d = s\sqrt{2}\). 3. Für den neuen Flächeninhalt gilt: \(A_{neu} = 9A_{alt}\), also \(s_{neu}^2 = 9s_{alt}^2\). 4. Daraus folgt durch Wurzelziehen für die Seitenlänge: \(s_{neu} = \sqrt{9s_{alt}^2} = 3s_{alt}\). Die Seitenlänge verdreifacht sich. 5. Für die neue Diagonale gilt: \(d_{neu} = s_{neu}\sqrt{2} = (3s_{alt})\sqrt{2} = 3(s_{alt}\sqrt{2}) = 3d_{alt}\). Auch die Diagonale verdreifacht sich.

Sowohl die Seitenlänge als auch die Diagonale des Quadrats verdreifachen sich.

- Nutze das im Diagramm dargestellte rechtwinklige Hilfsdreieck, um die schräge Strecke zu berechnen. - Wie lang sind die waagerechte und die senkrechte Seite dieses Dreiecks in Längeneinheiten? - Welcher berühmte mathematische Satz hilft dir, bei bekannten Katheten die Hypotenuse zu berechnen? - Achte darauf, am Ende die Längeneinheiten der Karte korrekt in die realen Meter umzurechnen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Längen der beiden Katheten kennt?

1. Bestimmung der Längen der beiden Katheten im Koordinatensystem: Die horizontale Kathete \(PR\) verläuft von \(x = -4\) bis \(x = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-4) = 8\,\text{LE}\) Die vertikale Kathete \(RQ\) verläuft von \(y = -2\) bis \(y = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-2) = 6\,\text{LE}\) 2. Berechnung der Hypotenuse \(PQ\) mit dem Satz des Pythagoras: \(PQ^2 = PR^2 + RQ^2\) \(PQ^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\) \(PQ = \sqrt{100} = 10\,\text{LE}\) 3. Umrechnung der Entfernung in Meter: Da eine Längeneinheit \(10\,\text{m}\) entspricht, beträgt die tatsächliche Entfernung: \(10 \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}\) 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(PQR\): Die tatsächlichen Längen der Katheten in Metern sind: \(g = 8 \cdot 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\) (Grundseite) \(h = 6 \cdot 10\,\text{m} = 60\,\text{m}\) (Höhe) Der Flächeninhalt \(A\) eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich durch: \(A = \frac{1}{2}gh\) \(A = \frac{1}{2} \cdot 80\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 2400\,\text{m}^2\)

a) Die tatsächliche Entfernung (Luftlinie) zwischen Mia und Ben beträgt \(100\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) beträgt \(2400\,\text{m}^2\).

- Überlege dir zuerst, wie weit die Punkte in x-Richtung und in y-Richtung voneinander entfernt sind. - Betrachte ein achsenparalleles Hilfsdreieck, um die Lage von \(P\) zu bestimmen. - Nutze für die schräge Seite die Formel \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). - Achte darauf, am Ende die richtigen Einheiten (\(\text{km}\) und \(\text{km}^2\)) anzugeben.

1. Bestimmung der Differenzen der Koordinaten: \(\Delta x = |2 - (-4)| = 6\) und \(\Delta y = |-1 - 3| = 4\). 2. Berechnung der direkten Entfernung \(MN\) mit dem Satz des Pythagoras: \(MN = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,\text{km}\). 3. Ein möglicher Punkt \(P\), um ein rechtwinkliges Dreieck mit achsenparallelen Katheten zu bilden, ist \(P(2 \mid 3)\) (oder alternativ \(P(-4 \mid -1)\)). 4. Die Kathetenlängen sind \(a = 6\,\text{km}\) und \(b = 4\,\text{km}\). 5. Berechnung des Umfangs: \(U = 6 + 4 + \sqrt{52} \approx 17{,}21\,\text{km}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\,\text{km}^2\).

a) \(MN = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,\text{km}\) b) Möglicher Punkt: \(P(2 \mid 3)\) (oder \(P(-4 \mid -1)\)) c) \(U \approx 17{,}21\,\text{km}\); \(A = 12\,\text{km}^2\)

- Wandle die Einheiten so um, dass sie zueinander passen. - Achte darauf, dass hier eine Seite am rechten Winkel gesucht ist. - Denke daran, am Ende die Wurzel zu ziehen.

1. Umrechnung in Meter: \(10\,\text{dm} = 1\,\text{m}\). Die Hypotenuse ist \(2{,}6\,\text{m}\) lang. 2. Pythagoras für die Kathete \(x\): \(x^2 + 1^2 = 2{,}6^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 2{,}6^2 - 1^2 = 6{,}76 - 1 = 5{,}76\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\). Die Kathete ist \(2{,}4\,\text{m}\) lang.

\(x = 2{,}4\,\text{m}\)

- Ist \(x\) eine Kathete oder die Hypotenuse? - Rechne zuerst alle Angaben in Millimeter um. - Nutze den Taschenrechner für die Quadrate und die Wurzel, falls nötig.

1. Einheiten angleichen: \(1{,}5\,\text{cm} = 15\,\text{mm}\). Die Hypotenuse ist \(39\,\text{mm}\). 2. Pythagoras: \(x^2 + 15^2 = 39^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 39^2 - 15^2 = 1521 - 225 = 1296\). 4. Ergebnis: \(x = \sqrt{1296} = 36\). Die gesuchte Länge beträgt \(36\,\text{mm}\).

\(x = 36\,\text{mm}\)

- Skizziere die Situation: Wo ist der rechte Winkel? Welche Seite stellt die Leiter dar? - Vergleiche Mias Ergebnis mit der Länge der Leiter. Fällt dir etwas auf? - Wenn du die Seite am rechten Winkel suchst, musst du dann addieren oder subtrahieren?

1. Logikprüfung: Die Leiter bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Eine Kathete (die Höhe \(h\)) kann niemals länger sein als die Hypotenuse (\(10\,\text{m}\)). 2. Fehleranalyse: Mia hat die Quadrate addiert, statt das Quadrat der Kathete vom Quadrat der Hypotenuse zu subtrahieren. 3. Korrekte Rechnung: \(h^2 = 10^2 - 6^2\) 4. Ausrechnen: \(h^2 = 100 - 36 = 64\) 5. Ergebnis: \(h = \sqrt{64} = 8\,\text{m}\)

Das Ergebnis ist unlogisch, da die Höhe an der Wand nicht länger sein kann als die Leiter selbst. Mia hat fälschlicherweise die Quadrate addiert. Die korrekte Höhe beträgt \(h = 8\,\text{m}\).

- Stell dir die direkte Verbindung zwischen den Steinen als die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck vor. - Wie berechnet man die Längen der Katheten, wenn die Koordinaten der Endpunkte bekannt sind? - Vergiss nicht, am Ende die Wurzel zu ziehen und das Ergebnis wie gefordert zu runden.

1. Berechnung der Koordinatendifferenzen: \(\Delta x = 3 - (-2) = 5\) \(\Delta y = 5 - 1 = 4\) 2. Berechnung des Abstands \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{41} \approx 6{,}4031...\) 4. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \(6{,}40\).

Die beiden Steine sind ca. \(6{,}40\) Einheiten voneinander entfernt.

- Welche geometrische Figur wird durch den Radius, den Abstand und die Sehne gebildet? - Erinnere dich daran, dass der Abstand eines Punktes zu einer Geraden immer senkrecht gemessen wird. - Wie teilt das Lot vom Mittelpunkt auf die Sehne diese Sehne auf? - Nutze den Satz des Pythagoras in dem entstehenden Teildreieck.

1. Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks: Der Radius \(r\), der Abstand \(d\) und die halbe Sehnenlänge \(\frac{s}{2}\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Der Radius \(r\) ist die Hypotenuse (\(13\,\text{cm}\)). Der Abstand \(d\) ist eine Kathete (\(5\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(r^2 = d^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\). 4. Umstellen nach der unbekannten Kathete: \(\left(\frac{s}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 5. Wurzel ziehen: \(\frac{s}{2} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 6. Berechnung der vollen Sehnenlänge: \(s = 2 \cdot 12\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\).

Die Sehne hat eine Länge von \(s = 24\,\text{cm}\).

- Zeichne dir zuerst die Situation auf. Wo liegt der rechte Winkel? - Überlege dir, wie lang die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks sind, das du zur Berechnung nutzt. - Welcher Wert im Dreieck entspricht dem Radius des Kreises? - Achte darauf, dass du für die Rechnung nur die halbe Länge der Sehne verwendest.

1. Ein rechtwinkliges Dreieck wird gebildet aus dem Radius \(r\), dem Abstand \(d\) und der halben Sehne \(\frac{s}{2}\). 2. Gegebene Werte: \(r = 17\,\text{cm}\) und \(s = 30\,\text{cm}\). Daraus folgt \(\frac{s}{2} = 15\,\text{cm}\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck ist der Radius \(r\) die Hypotenuse. 4. Satz des Pythagoras: \(d^2 + 15^2 = 17^2\). 5. Berechnung: \(d^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). 6. Wurzel ziehen: \(d = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\).

Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt beträgt \(d = 8\,\text{cm}\).

- Welche Information fehlt dir, um den Flächeninhalt direkt zu berechnen? - Kannst du die fehlende Diagonale mithilfe der Seitenlänge und der anderen Diagonale bestimmen? - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt einer Raute?

1. Um den Flächeninhalt mit der Formel \(A = \frac{e \cdot f}{2}\) zu berechnen, wird die zweite Diagonale \(e\) benötigt. 2. Berechnung der halben Diagonale \(\frac{e}{2}\) im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse \(s = 10\,\text{m}\) und Kathete \(\frac{f}{2} = 6\,\text{m}\). 3. Pythagoras: \(\left(\frac{e}{2}\right)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\), also \(\frac{e}{2} = 8\,\text{m}\). 4. Die volle Diagonale ist \(e = 16\,\text{m}\). 5. Flächeninhalt: \(A = \frac{16\,\text{m} \cdot 12\,\text{m}}{2} = 96\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{m}^2\).

- Überlege dir, wie du das Trapez in bekannte Formen zerlegen kannst. - Wie hängen die Grundseiten \(a\) und \(c\) mit dem Rest der Figur zusammen? - Welchen Teil der unteren Seite kannst du direkt mit dem Satz des Pythagoras berechnen?

1. Identifikation des rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse \(s = 13\,\text{cm}\) und der Kathete \(h = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des fehlenden Abschnitts \(x\) der Grundseite \(a\) mit dem Satz des Pythagoras: \(x^2 = s^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\). 3. Daraus folgt \(x = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\). 4. Die Gesamtlänge der Grundseite \(a\) ergibt sich aus \(a = c + x = 7\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\).

Die Länge der Grundseite \(a\) beträgt \(12\,\text{cm}\).

- Wie oft musst du den durch den Satz des Pythagoras berechneten Abschnitt zur oberen Seite addieren, um die untere Seite zu erhalten? - Zeichne dir die Figur auf und markiere die bekannten Größen. - Achte darauf, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die längste ist (die Hypotenuse).

1. Im rechtwinkligen Teildreieck ist ein Schenkel mit \(10\,\text{m}\) die Hypotenuse und die Höhe \(h = 8\,\text{m}\) eine Kathete. 2. Für den Abschnitt \(x\) auf der Grundseite gilt \(x^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\). 3. Daher ist \(x = \sqrt{36} = 6\,\text{m}\). 4. Da das Trapez gleichschenklig ist, kommt dieser Abschnitt auf beiden Seiten vor: \(a = c + 2x = 5\,\text{m} + 2 \cdot 6\,\text{m} = 17\,\text{m}\).

Die Länge der unteren Grundseite \(a\) beträgt \(17\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die Höhe des Dreiecks einzeichnen kannst, um ein rechtwinkliges Teildreieck zu erhalten. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? - Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Setze deinen Term für den Flächeninhalt mit dem gegebenen Zahlenwert gleich.

1. Einzeichnen der Höhe \(h\) auf die Grundseite \(10x\). Diese halbiert die Grundseite in zwei Abschnitte der Länge \(5x\). 2. Berechnung der Höhe \(h\) mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck: \(h = \sqrt{(13x)^2 - (5x)^2} = \sqrt{169x^2 - 25x^2} = \sqrt{144x^2} = 12x\). 3. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 10x \cdot 12x = 60x^2\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(60x^2 = 240\). 5. Auflösen nach \(x\): \(x^2 = 4 \implies x = 2\,\text{cm}\) (da \(x > 0\)).

a) \(A = 60x^2\) b) \(x = 2\,\text{cm}\)

- Zeichne eine Hilfslinie für die Höhe ein, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erzeugen. - Wie lang ist die kurze Kathete dieses Dreiecks? Du kannst sie aus den Längen der parallelen Seiten bestimmen. - Nutze den Satz des Pythagoras, um die fehlende Höhe \(h\) zu berechnen. - Benutze die Trapezformel, um mit den gegebenen und berechneten Werten den Flächeninhalt zu finden.

1. Durch das Einzeichnen der Höhe \(h\) entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(b = 10\,\text{m}\). Die Katheten sind die Höhe \(h\) und ein Abschnitt \(x\) auf der Grundseite \(a\). 2. Die Länge des Abschnitts \(x\) ergibt sich aus der Differenz der parallelen Seiten: \(x = a - c = 14\,\text{m} - 8\,\text{m} = 6\,\text{m}\). 3. Mit dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck: \(h^2 + x^2 = b^2\) \(h^2 + (6\,\text{m})^2 = (10\,\text{m})^2\) \(h^2 + 36\,\text{m}^2 = 100\,\text{m}^2\) \(h^2 = 64\,\text{m}^2 \Rightarrow h = 8\,\text{m}\). 4. Der Flächeninhalt \(A\) des Trapezes wird berechnet durch: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{14\,\text{m} + 8\,\text{m}}{2} \cdot 8\,\text{m} = 11\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 88\,\text{m}^2\).

Die Höhe des Grundstücks beträgt \(8\,\text{m}\) und der Flächeninhalt ist \(88\,\text{m}^2\).

- Finde die Länge der gemeinsamen Kathete der beiden ineinander liegenden Dreiecke. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Im inneren rechtwinkligen Dreieck ist die vertikale Kathete \(h\). Es gilt: \(h^2 = 12{,}5^2 - 3{,}5^2 = 156{,}25 - 12{,}25 = 144\). Also ist \(h = 12\). 2. Das große rechtwinklige Dreieck hat die Katheten \(h = 12\) und die Basis \(3{,}5 + 1{,}5 = 5\). 3. Die Hypotenuse \(x\) berechnet sich durch: \(x^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\). 4. \(x = \sqrt{169} = 13\). Die Strecke \(x\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Die Figur besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich eine Seite teilen. - Kannst du die Länge der gemeinsamen Seite (die Höhe) berechnen? - Welcher mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite zu finden? - Wenn du die Höhe kennst, kannst du sie im zweiten Dreieck verwenden, um \(x\) zu bestimmen.

1. Das große Dreieck wird durch die Höhe \(h\) in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. 2. Im linken Teildreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(h^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Daraus berechnet man das Quadrat der Höhe: \(h^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Im rechten Teildreieck gilt ebenfalls der Satz des Pythagoras: \(x^2 = h^2 + 15^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 64 + 225 = 289\). 6. Durch Ziehen der Wurzel erhält man die gesuchte Länge: \(x = \sqrt{289} = 17\). Die Strecke \(x\) ist \(17\,\text{cm}\) lang.

\(x = 17\,\text{cm}\)

- Betrachte zuerst das innere rechtwinklige Dreieck, um die unbekannte Höhe zu finden. - Der rechte Winkel gilt für beide Dreiecke, die die vertikale Seite gemeinsam haben. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor, die sich die vertikale Kathete \(h\) teilen. 2. Für das kleinere Dreieck gilt: \(h^2 + 7^2 = 25^2\). 3. Das Quadrat der Kathete berechnet sich zu: \(h^2 = 625 - 49 = 576\). 4. Die Grundseite des großen Dreiecks setzt sich aus den beiden Teilstücken zusammen: \(7 + 3 = 10\). 5. Für das große Dreieck gilt nun: \(x^2 = h^2 + 10^2\). 6. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 576 + 100 = 676\). 7. Wurzelziehen liefert: \(x = \sqrt{676} = 26\). Die Strecke \(x\) ist \(26\,\text{cm}\) lang.

\(x = 26\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen, weil \(BD\) eine Höhe ist? - Welche Seiten der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang oder gemeinsam? - Nutze die Kongruenz, um die beiden Basisabschnitte zu vergleichen. - Wende anschließend den Satz des Pythagoras an.

1. Da \(BD\) eine Höhe auf \(AC\) ist, gilt \(\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ\). 2. Die Hypotenusen der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang: \(AB = BC = 10\,\text{cm}\). Außerdem ist \(BD\) eine gemeinsame Kathete. 3. Damit sind die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) nach dem Kongruenzsatz SsW für rechtwinklige Dreiecke kongruent. Folglich gilt \(AD = CD\). 4. Wegen \(AC = 12\,\text{cm}\) ist \(AD = CD = 6\,\text{cm}\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt \(BD^2 = AB^2 - AD^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\). 6. Daher ist \(BD = 8\,\text{cm}\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) sind nach SsW kongruent. Die Höhe beträgt \(BD = 8\,\text{cm}\).

- Zerlege die Figur gedanklich in ein inneres Quadrat und vier äußere Dreiecke. - Wie lang sind die Abschnitte auf den Seiten des großen Quadrats? - Welchen Satz kannst du anwenden, um die Seitenlänge des inneren Quadrats zu finden?

1. Durch die Punkte entstehen an den Ecken des großen Quadrats vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. 2. Jedes Dreieck hat die Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Die Hypotenuse dieser Dreiecke entspricht der Seitenlänge \(s\) des inneren Quadrats. Nach Pythagoras gilt: \(s^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\). 4. Der Flächeninhalt des Quadrats \(PQRS\) ist genau \(s^2\), also \(40\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(40\,\text{cm}^2\).

- Nutze den Satz des Pythagoras für das Steigungsdreieck des Pfeils. - Addiere die Verschiebungen zum Startpunkt.

1. Die Länge \(L\) berechnet sich aus der Verschiebung in x (\(\Delta x\)) und y (\(\Delta y\)) durch \(L^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\). 2. Gegeben sind \(L = 5\) und \(\Delta x = 3\). 3. Einsetzen: \(5^2 = 3^2 + \Delta y^2 \Rightarrow 25 = 9 + \Delta y^2 \Rightarrow \Delta y^2 = 16\). 4. Da der Pfeil nach oben zeigt, ist \(\Delta y = 4\). 5. Endpunkt \(B\): \(x_B = 1 + 3 = 4\), \(y_B = 2 + 4 = 6\). Also \(B(4 \mid 6)\).

Der Pfeil geht um \(4\) Einheiten nach oben. Der Endpunkt ist \(B(4 \mid 6)\).

- Welcher besondere Satz gilt für Dreiecke, deren eine Seite der Durchmesser eines Kreises ist? - Wie lang ist die längste Seite des Dreiecks?

1. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig, da eine Seite der Durchmesser ist. Die Hypotenuse ist \(c = 2R = 10\,\text{cm}\). 2. Berechne die fehlende Kathete \(b = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\).

- Bestimme aus den Koordinatendifferenzen die Kathetenlängen geeigneter rechtwinkliger Hilfsdreiecke. - Überlege, welcher Zusammenhang zwischen den Quadraten der Seitenlängen in einem besonderen Dreieck besteht. - Was sagt dir die Tatsache, dass zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sind, über die Winkel aus?

1. Berechnung der Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras im Gitter: - \(OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\) - \(OB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) - \(AB = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\) 2. Überprüfung der Art des Dreiecks: Da \(OB^2 + AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = OA^2\) gilt, ist das Dreieck nach dem Kehrsatz des Pythagoras rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei Punkt \(B\). 3. Da die Katheten \(OB\) und \(AB\) beide die Länge \(\sqrt{5}\) haben, ist das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig. 4. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck sind die Basiswinkel jeweils \(45^\circ\). Somit ist \(\gamma = 45^\circ\).

a) \(OA = \sqrt{10}\), \(OB = \sqrt{5}\), \(AB = \sqrt{5}\) b) \(\gamma = 45^\circ\)

- Was weißt du über Winkel in einem Kreis, die über einem Durchmesser liegen? - Überlege dir, wie groß der Winkel \(\angle ADC\) sein muss, wenn er sich aus den Winkeln \(\angle ADB\) und \(\angle BDC\) zusammensetzt. - Wenn die Punkte \(A\), \(D\) und \(C\) auf einer Linie liegen, kannst du die Gesamtlänge einfach durch Addition der Teilstrecken finden. - In welchen Teilfiguren kannst du den Satz des Pythagoras anwenden?

1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel \(\angle ADB = 90^\circ\), da der Punkt \(D\) auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(AB\) liegt. 2. Ebenso ist der Winkel \(\angle BDC = 90^\circ\), da \(D\) auch auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(BC\) liegt. 3. Da die Summe der Winkel \(\angle ADB + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) ergibt, liegen die Punkte \(A\), \(D\) und \(C\) auf einer gemeinsamen Geraden. 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) wird die Kathete \(AD\) mit dem Satz des Pythagoras berechnet: \(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\,\text{cm}\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) wird die Kathete \(DC\) ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnet: \(DC = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). 6. Die Gesamtlänge der Strecke \(AC\) ist die Summe der Teilstrecken: \(AC = AD + DC = 6\,\text{cm} + 15\,\text{cm} = 21\,\text{cm}\).

\(AC = 21\,\text{cm}\)

- Hilft es dir, eine Diagonale in die Figur einzuzeichnen, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten? - Wie hängen die beiden Dreiecke über diese Diagonale zusammen? - Kannst du den Satz des Pythagoras zweimal nacheinander anwenden?

1. Zerlegung des Vierecks in zwei rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonale \(d\) zwischen den rechten Winkeln 2. Berechnung des Quadrats der Diagonale im ersten Dreieck (Seiten 5 und 10): \(d^2 = 5^2 + 10^2 = 125\) 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras im zweiten Dreieck (Seite 2 und unbekannte Seite \(x\)): \(x^2 + 2^2 = d^2\) 4. Einsetzen und Lösen: \(x^2 + 4 = 125 \Rightarrow x^2 = 121 \Rightarrow x = 11\)

11

- Stelle für jeden Fall eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras auf. - Denke beim Lösen der Gleichungen an binomische Formeln. - Beachte, dass \(x\) eine positive Zahl sein muss, da es eine Länge beschreibt.

1. Fall a (Hypotenuse ist 10): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + (x+2)^2 = 10^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100\), also \(2x^2 + 4x - 96 = 0\). Dividiert durch 2: \(x^2 + 2x - 48 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x = 6\) und \(x = -8\). Da eine Länge positiv sein muss, ist \(x = 6\). 2. Fall b (Hypotenuse ist \(x+2\)): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + 10^2 = (x+2)^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4\). Subtraktion von \(x^2\) führt auf \(100 = 4x + 4\). Umstellen ergibt \(96 = 4x\), also \(x = 24\).

a) Für \(x = 6\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)). b) Ja, für \(x = 24\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(24\,\text{cm}\), \(26\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)).

- Verwende die Eigenschaft, dass das Quadrat einer Wurzel die Zahl unter der Wurzel selbst ist. - Achte darauf, welche Seite die längste ist (beachte dabei, dass \(5 = \sqrt{25}\) und \(4 = \sqrt{16}\) ist). - Stelle die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) auf und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

Die Rechtwinkligkeit wird durch Quadrieren der Seitenlängen und Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras geprüft. Bei a) sind die Quadrate \(7\), \(18\) und \(5^2 = 25\); da \(7 + 18 = 25\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei b) ergeben die Quadrate \(3^2 = 9\), \(10\) und \(19\); da \(9 + 10 = 19\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei c) sind die Quadrate \(6\), \(8\) und \(4^2 = 16\); da \(6 + 8 = 14\) und \(14 \neq 16\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

a) Rechtwinklig b) Rechtwinklig c) Nicht rechtwinklig

- Welches geometrische Gebilde entsteht durch den Mast, den Boden und das gespannte Seil? - Welche Seite dieses Gebildes entspricht der Hypotenuse, wenn der Mast senkrecht stehen soll? - Wie kannst du die Länge der dritten Seite berechnen, wenn du davon ausgehst, dass der Winkel \(90^\circ\) beträgt?

1. Prüfung der Rechtwinkligkeit zwischen Mast und Boden: Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras mit dem Mastabschnitt \(a = 4{,}00\), dem Bodenabstand \(b = 3{,}30\) und dem Seil \(c = 5{,}20\). 2. Berechnung von \(a^2 + b^2\): \(4{,}00^2 + 3{,}30^2 = 16{,}00 + 10{,}89 = 26{,}89\). 3. Berechnung von \(c^2\): \(5{,}20^2 = 27{,}04\). 4. Vergleich: Da \(26{,}89 \neq 27{,}04\), steht der Mast nicht exakt senkrecht. 5. Berechnung der idealen Seillänge \(c_{\text{ideal}}\) für einen rechten Winkel: \(c_{\text{ideal}} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{26{,}89}\). 6. Ergebnis der Wurzelberechnung: \(\sqrt{26{,}89} \approx 5{,}1855\ldots\). Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(5{,}19\,\text{m}\).

Der Mast steht nicht exakt senkrecht, da \(4{,}00^2 + 3{,}30^2 = 26{,}89\) ungleich \(5{,}20^2 = 27{,}04\) ist. Damit der Mast senkrecht steht, müsste das Seil eine Länge von etwa \(5{,}19\,\text{m}\) (exakt \(\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\)) haben.

- Welche maximale Länge kann die längste Seite eines Dreiecks haben, wenn der Gesamtumfang \(10\) ist? - Kannst du alle Möglichkeiten für drei ganze Zahlen aufschreiben, die zusammen \(10\) ergeben, und sie prüfen? - Suche für den zweiten Teil nach einem pythagoreischen Tripel, das keine Vergrößerung von \((3, 4, 5)\) ist. - Wie erkennst du, ob zwei Dreiecke dasselbe Seitenverhältnis haben?

1. Für Teil a) seien die ganzzahligen Seiten so geordnet, dass \(a \le b \le c\) gilt. Aus \(a+b+c=10\) und der Dreiecksungleichung \(a+b>c\) folgt \(10-c>c\), also \(c<5\). Da \(c\) die größte der drei positiven ganzzahligen Seiten ist, gilt außerdem \(3c\ge 10\), also \(c\ge 4\). Somit bleibt nur \(c=4\). Dann ist \(a+b=6\); mit \(a\le b\le 4\) sind nur \((a,b)=(2,4)\) und \((3,3)\) möglich. Es gilt jedoch \(2^2+4^2=20\ne16\) und \(3^2+3^2=18\ne16\). Daher gibt es kein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck mit Umfang \(10\). 2. Für Teil b) suchen wir ein Tripel mit \(a+b+c=30\). Das Tripel \((5,12,13)\) erfüllt dies, da \(5+12+13=30\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). 4. Das Verhältnis \(5:12:13\) ist keine Vergrößerung von \(3:4:5\), denn die entsprechenden Quotienten sind nicht gleich.

a) Bei geordneten positiven ganzzahligen Seiten gilt wegen der Dreiecksungleichung \(c<5\) und wegen \(a,b\le c\) zugleich \(c\ge4\). Also ist \(c=4\). Aus \(a+b=6\) folgen nur \((2,4)\) und \((3,3)\); beide erfüllen \(a^2+b^2=c^2\) nicht. Somit gibt es keine ganzzahlige Lösung. b) Das Dreieck mit den Seiten \(5\), \(12\) und \(13\) hat Umfang \(30\) und ist rechtwinklig, weil \(5^2+12^2=13^2\). Sein Seitenverhältnis ist nicht \(3:4:5\).

- Überlege zuerst, ab welcher Länge der Schenkel überhaupt ein Dreieck entstehen kann. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras: Welches Verhältnis zwischen den Seiten gilt bei einem rechten Winkel? - Wie verändert sich die Basis im Verhältnis zu den Schenkeln, wenn der Winkel an der Spitze größer als \(90^\circ\) wird?

1. Für die Existenz eines Dreiecks muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein: \(s + s > 10\), also \(2s > 10\) bzw. \(s > 5\,\text{cm}\). 2. Ein stumpfer Winkel an der Spitze tritt auf, wenn das Quadrat der Basis größer ist als die Summe der Quadrate der Schenkel: \(b^2 > s^2 + s^2\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(10^2 > 2s^2 \implies 100 > 2s^2 \implies 50 > s^2\). 4. Daraus folgt \(s < \sqrt{50}\). Mit \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\). 5. Der gültige Bereich für die Schenkellänge \(s\) liegt somit zwischen \(5\,\text{cm}\) und \(5\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Die Schenkellänge \(s\) muss im Bereich \(5\,\text{cm} < s < 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) (ca. \(5\,\text{cm} < s < 7{,}07\,\text{cm}\)) liegen.

- Erinnere dich an die Bedingung, unter der drei Strecken ein Dreieck bilden können. - Welche Gleichung muss für ein rechtwinkliges Dreieck erfüllt sein? - Vergleiche das Quadrat der Basis mit der Summe der Quadrate der Schenkel, um die Winkelart zu bestimmen.

1. Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Es muss gelten \(b < 10 + 10\), also \(0\,\text{cm} < b < 20\,\text{cm}\). 2. Rechtwinkligkeit: Für einen rechten Winkel an der Spitze muss gelten \(s^2 + s^2 = b^2\). Berechnung: \(10^2 + 10^2 = 200\), also \(b = \sqrt{200}\,\text{cm} = 10\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 14{,}14\,\text{cm}\). 3. Klassifizierung für \(b = 14{,}1\,\text{cm}\): Vergleich von \(s^2 + s^2 = 200\) mit \(b^2 = 14{,}1^2 = 198{,}81\). Da \(200 > 198{,}81\), ist die Summe der Quadrate der Schenkel größer als das Quadrat der Basis. Daraus folgt, dass der Winkel an der Spitze spitz und das Dreieck damit spitzwinklig ist.

a) Die Basis muss im Bereich \(0\,\text{cm} < b < 20\,\text{cm}\) liegen. b) Für \(b = 10\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 14{,}14\,\text{cm}\) ist das Dreieck rechtwinklig. c) Das Dreieck ist spitzwinklig, da \(10^2 + 10^2 = 200 > 14{,}1^2 = 198{,}81\).

- Notiere dir zuerst die Flächeninhalte der Quadrate \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). - Wie hängen die Seitenlängen dieser Quadrate mit ihren Flächen zusammen? - Was sagt der Satz von Pythagoras über das Quadrat der Hypotenuse aus? - Setze die Ausdrücke für die quadrierten Seitenlängen in die Pythagoras-Gleichung ein.

1. Bestimmung der Flächeninhalte: \(A_1 = s^2\), \(A_2 = 2s^2\), \(A_3 = 3s^2\). 2. Bestimmung der Seitenlängen: Die Seitenlänge von \(Q_2\) ist \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und die von \(Q_3\) ist \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras für die neue Seite \(s_{neu}\): \(s_{neu}^2 = s_2^2 + s_3^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{neu}^2 = (\sqrt{2s^2})^2 + (\sqrt{3s^2})^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). 5. Vergleich der Flächeninhalte: Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(A_{neu} = s_{neu}^2\) ist, folgt \(A_{neu} = 5s^2 = 5A_1\). Dies entspricht exakt dem Fünffachen des Inhalts von \(Q_1\).

Die Seitenlängen von \(Q_2\) und \(Q_3\) sind \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). Für das neue Quadrat mit der Seite \(c\) gilt nach Pythagoras \(c^2 = s_2^2 + s_3^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(c^2\) ist, ist er mit \(5s^2\) genau fünfmal so groß wie der Flächeninhalt \(s^2\) von \(Q_1\).

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass sie wie der bekannte Satz des Pythagoras aussieht? - Welcher Buchstabe in der Formel steht normalerweise für die längste Seite, und welcher Winkel liegt ihr gegenüber? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du jeden Term mit derselben Zahl (zum Beispiel 4) multiplizierst?

1. Umformung und Winkelbestimmung: Durch Addition von \(a^2\) auf beiden Seiten ergibt sich \(a^2 + b^2 = c^2\). In dieser Standardform ist \(c\) die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, also ist der Winkel \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)) der rechte Winkel. 2. Überprüfung der Seitenlängen: Es wird geprüft, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\) ist, gilt \(5^2 + 12^2 = 13^2\). Das Dreieck ist rechtwinklig. 3. Beurteilung der Verdoppelung: Seien \(a, b, c\) die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit \(a^2 + b^2 = c^2\). Bei Verdoppelung sind die neuen Seiten \(2a, 2b, 2c\). Die neue Prüfung lautet \((2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)\). Da \(a^2 + b^2 = c^2\), ist dies gleich \(4c^2\), was genau \((2c)^2\) entspricht. Die Aussage ist falsch; das Dreieck bleibt rechtwinklig, da das Verhältnis der Quadrate gewahrt bleibt.

a) Die Gleichung lautet \(a^2 + b^2 = c^2\). Der rechte Winkel ist \(\gamma\) (am Punkt \(C\)). b) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig, da \(5^2 + 12^2 = 13^2\) (\(169 = 169\)) gilt. c) Die Aussage ist falsch. Wenn alle Seiten verdoppelt werden, werden alle Quadrate vervierfacht. Da \(4a^2 + 4b^2 = 4c^2\) immer noch eine gültige pythagoreische Gleichung ist, bleibt das Dreieck rechtwinklig.

- Erinnere dich an die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. - Was muss für die Seitenlängen gelten, damit ein rechter Winkel vorliegt? - Überlege dir, was mit einem Winkel passiert, wenn man die gegenüberliegende Seite verkürzt, die anderen beiden Seiten aber festbleiben. - Vergleiche den Wert von \(c^2\) mit der Summe \(a^2 + b^2\).

1. Überprüfung für Teil a): Es wird geprüft, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). Da \(17^2 = 289\), ist die Gleichung erfüllt und das Dreieck rechtwinklig bei \(\gamma = 90^\circ\). 2. Analyse für Teil b): Die Summe der Quadrate der Seiten \(a\) und \(b\) bleibt \(a^2 + b^2 = 289\). Das Quadrat der neuen Seite \(c\) ist \(c^2 = 16^2 = 256\). 3. Da \(c^2 < a^2 + b^2\) gilt (\(256 < 289\)), ist die Seite \(c\) „zu kurz“ für einen rechten Winkel, was bedeutet, dass der gegenüberliegende Winkel \(\gamma\) kleiner als \(90^\circ\) sein muss. Somit ist der Winkel spitz.

a) Da \(8^2 + 15^2 = 17^2\) (\(289 = 289\)), ist das Dreieck rechtwinklig. b) Da \(16^2 < 8^2 + 15^2\) (\(256 < 289\)), ist der Winkel \(\gamma\) spitz.

- Zerlege das Trapez gedanklich so, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst. - Überlege, wie du die Länge des kleinen Abschnitts auf der Grundseite direkt unter den Schenkeln aus \(a\) und \(c\) berechnen kannst. - Welche Teilstrecke der Grundseite \(a\) bildet zusammen mit der Höhe \(h\) und der Diagonale \(e\) ein rechtwinkliges Dreieck? - Erinnere dich an den Kehrsatz des Pythagoras, um zu prüfen, ob ein Dreieck einen rechten Winkel besitzt.

1. Berechnung des Abschnitts \(x\) auf der Grundseite: Da das Trapez gleichschenklig ist, berechnet sich der Abschnitt \(x\) zu \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{14\,\text{cm} - 4\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h\): Im rechtwinkligen Dreieck mit dem Schenkel \(b\) als Hypotenuse und \(x\) als Kathete gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(h = \sqrt{b^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Diagonale \(e\): Die Diagonale bildet mit der Höhe \(h\) und dem Abschnitt \(a - x = 9\,\text{cm}\) ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt: \(e = \sqrt{(a - x)^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). 4. Flächeninhalt von \(\triangle ABC\): Mit der Grundseite \(a = 14\,\text{cm}\) und der Höhe \(h = 12\,\text{cm}\) ergibt sich \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 14\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 84\,\text{cm}^2\). 5. Überprüfung auf Rechtwinkligkeit: Die Seitenlängen im Dreieck \(ABC\) sind \(13\,\text{cm}\), \(14\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\). Die längste Seite ist \(15\,\text{cm}\). Es gilt \(13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365\) und \(15^2 = 225\). Da \(365 \neq 225\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

a) \(h = 12\,\text{cm}\); \(e = 15\,\text{cm}\) b) \(A_{ABC} = 84\,\text{cm}^2\) c) Nein, das Dreieck \(ABC\) ist nicht rechtwinklig, da \(13^2 + 14^2 \neq 15^2\) gilt.

- Wie teilen die Diagonalen eine Raute auf? - Ersetze in der allgemeinen Formel für die Seitenlänge der Raute die Variable \(f\) durch den gegebenen Ausdruck \(2e\). - Denke daran, dass du im rechtwinkligen Dreieck mit den halben Längen der Diagonalen arbeitest.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Die halben Diagonalen sind \(\frac{e}{2}\) und \(\frac{f}{2}\). 2. Da \(f = 2e\), gilt für die halbe Diagonale: \(\frac{f}{2} = \frac{2e}{2} = e\). 3. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt nach Pythagoras: \(s^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + e^2\). 4. Umformung: \(s^2 = \frac{e^2}{4} + \frac{4e^2}{4} = \frac{5}{4}e^2\). 5. Wurzel ziehen: \(s = \sqrt{\frac{5}{4}e^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}e\).

\(s = \frac{\sqrt{5}}{2}e\)

- Welche rechtwinkligen Teildreiecke entstehen durch die senkrechten Diagonalen? - Berechne zunächst den Teil der Diagonale \(f\), der zum Dreieck mit der Seite \(a\) gehört. - Wie kannst du den verbleibenden Teil von \(f\) nutzen, um die gesuchte Seite \(b\) zu bestimmen?

1. Die Diagonalen eines Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander. Da \(f\) die Symmetrieachse ist, halbiert sie die Diagonale \(e = 16\,\text{cm}\). Daher ist die halbe Länge \(8\,\text{cm}\). 2. Im oberen rechtwinkligen Dreieck ist die Seite \(a = 10\,\text{cm}\) die Hypotenuse. Der erste Teil der Diagonale \(f\) ist \(f_1 = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\,\text{cm}\). 3. Der zweite Teil der Diagonale \(f\) ist \(f_2 = f - f_1 = 21\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\). 4. Im unteren rechtwinkligen Dreieck ist die Seite \(b\) die Hypotenuse mit den Katheten \(8\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\): \(b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). 5. Somit ist \(b = \sqrt{289} = 17\,\text{cm}\).

Die Länge der Seite \(b\) beträgt \(17\,\text{cm}\).

- Zeichne beide Diagonalen ein. Welche wird halbiert? - Die gesuchte Diagonale setzt sich aus den Höhen zweier rechtwinkliger Dreiecke zusammen. - Berechne diese beiden Teilstrecken einzeln mit dem Satz des Pythagoras.

1. Die gegebene Diagonale (\(24\,\text{cm}\)) wird durch die Symmetrieachse rechtwinklig halbiert. Die halbe Länge ist \(12\,\text{cm}\). 2. Die gesuchte Diagonale \(d\) besteht aus zwei Teilen \(d_1\) und \(d_2\), die jeweils Katheten in rechtwinkligen Dreiecken sind. 3. Erster Teil: \(d_1^2 = a^2 - 12^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \implies d_1 = 5\,\text{cm}\). 4. Zweiter Teil: \(d_2^2 = b^2 - 12^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256 \implies d_2 = 16\,\text{cm}\). 5. Die Gesamtlänge der Diagonale ist \(d = d_1 + d_2 = 5\,\text{cm} + 16\,\text{cm} = 21\,\text{cm}\).

Die Länge der Diagonale \(d\) beträgt \(21\,\text{cm}\).

- Kannst du in das Trapez eine Höhe so einzeichnen, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht? - Wie lang ist die kurze Kathete des entstandenen Dreiecks? Nutze dafür die Längen der parallelen Seiten. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Wenn du einen Term für den Flächeninhalt hast, kannst du ihn mit dem gesuchten Wert gleichsetzen.

1. Zerlegung des Trapezes in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck durch Einzeichnen der Höhe \(h\). 2. Bestimmung der Kathete des Dreiecks auf der Basis: \(12k - 7k = 5k\). 3. Berechnung der Höhe \(h\) mit dem Satz des Pythagoras: \(h = \sqrt{(13k)^2 - (5k)^2} = \sqrt{169k^2 - 25k^2} = \sqrt{144k^2} = 12k\). 4. Aufstellen der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{12k + 7k}{2} \cdot 12k = 19k \cdot 6k = 114k^2\). 5. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt: \(114k^2 = 456\). 6. Auflösen nach \(k\): \(k^2 = 4 \implies k = 2\,\text{cm}\) (da \(k > 0\)).

a) \(A = 114k^2\) b) \(k = 2\,\text{cm}\)

- Kannst du ein rechtwinkliges Dreieck finden, dessen Hypotenuse die eingezeichnete Strecke ist? - Du musst den Satz des Pythagoras eventuell zweimal anwenden oder die Formel für die Diagonale im Raum nutzen. - Überlege dir zuerst, wie weit der Punkt \(M\) in der Grundfläche von der Ecke \(A\) entfernt wäre, wenn er am Boden läge. - Der Oberflächeninhalt setzt sich aus den Flächen aller sechs Seiten des Quaders zusammen.

1. Der Punkt \(M\) liegt in der Mitte der hinteren oberen Kante. Seine Koordinaten relativ zu \(A(0|0|0)\) sind \((\frac{a}{2} | b | c)\), also \((3 | 4 | 12)\). 2. Die Länge der Strecke \(AM\) lässt sich durch zweifache Anwendung des Satzes des Pythagoras (oder direkt über die Raumdiagonale zum Punkt \(M\)) berechnen: \(d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}\). 3. Berechnung: \(d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Oberflächeninhalts: \(O = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c) = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 12 + 6 \cdot 12) = 2 \cdot (24 + 48 + 72) = 2 \cdot 144 = 288\,\text{cm}^2\).

a) Die eingezeichnete Strecke ist \(13\,\text{cm}\) lang. b) Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt \(288\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie lang die Teilstrecken auf der Seite \(AB\) im Vergleich zu \(CD\) sind. - Welche besondere Eigenschaft hat ein Dreieck, wenn die Seitenhalbierende zu einer Seite genau halb so lang ist wie diese Seite selbst? - Skizziere die Situation und markiere alle Strecken, die gleich lang sind. - Welchen Satz kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden, um eine fehlende Seitenlänge zu berechnen?

1. Da \(M\) der Mittelpunkt von \(AB\) ist und \(AB = 2 \cdot CD\) gilt, sind die Teilstrecken \(AM\) und \(MB\) jeweils so lang wie \(CD\). Also ist \(AM = MB = CD = 7{,}5\,\text{cm}\). 2. Da laut Aufgabenstellung \(DM = CD\) gilt, folgt \(DM = 7{,}5\,\text{cm}\). 3. Im Dreieck \(ADB\) ist die Strecke \(DM\) die Seitenhalbierende zur Seite \(AB\). 4. Die Länge der Seitenhalbierenden beträgt \(DM = 7{,}5\,\text{cm}\), während die Seite \(AB = AM + MB = 7{,}5\,\text{cm} + 7{,}5\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\) lang ist. Es gilt also \(DM = \frac{1}{2} \cdot AB\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes des Thales ist ein Dreieck, in dem die Seitenhalbierende zu einer Seite halb so lang wie diese Seite ist, rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt bei \(D\), also \(\angle ADB = 90^\circ\). 6. Anwendung des Satzes des Pythagoras im Dreieck \(ADB\): \(AD^2 + BD^2 = AB^2\). 7. Einsetzen der Werte: \(9^2 + BD^2 = 15^2 \Rightarrow 81 + BD^2 = 225 \Rightarrow BD^2 = 144\). 8. Die Länge der Diagonale \(BD\) beträgt somit \(\sqrt{144} = 12\,\text{cm}\).

Die Diagonale \(BD\) ist \(12\,\text{cm}\) lang.

- Zeichne eine Hilfslinie ein, die parallel zu einem der Schenkel verläuft und durch einen Eckpunkt der kürzeren Grundseite geht. - Was lässt sich über ein Dreieck aussagen, in dem die Seitenhalbierende zu einer Seite genau so lang ist wie die Hälften dieser Seite? - Identifiziere ein rechtwinkliges Dreieck in der Figur, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. - Nutze die Information \(AB = 2 \cdot CD\), um den Mittelpunkt von \(AB\) als strategischen Punkt für eine Hilfskonstruktion zu verwenden.

1. Sei \(M\) der Mittelpunkt der Grundseite \(AB\). Dann gilt \(AM = MB = \frac{1}{2} AB\). Da \(AB = 2 \cdot CD\), folgt \(AM = MB = CD\). 2. Da \(AM \parallel CD\) und \(AM = CD\), ist das Viereck \(AMCD\) ein Parallelogramm. Daraus folgt \(MC = AD\). 3. Da laut Aufgabenstellung \(AD = CD\) gilt, folgt durch Einsetzen \(MC = CD\). Somit ist \(MC = AM = MB = \frac{1}{2} AB\). 4. Im Dreieck \(ABC\) ist \(MC\) die Seitenhalbierende zur Seite \(AB\). Da ihre Länge genau die Hälfte der Seite \(AB\) beträgt, ist das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig mit \(\angle ACB = 90^\circ\). 5. Anwendung des Satzes des Pythagoras im Dreieck \(ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). 6. Einsetzen der gegebenen Werte: \(15^2 + 20^2 = AB^2 \Rightarrow 225 + 400 = AB^2 \Rightarrow 625 = AB^2\). 7. Daraus ergibt sich \(AB = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\). 8. Da \(CD = \frac{1}{2} AB\), folgt \(CD = 12{,}5\,\text{cm}\).

Die Grundseite \(AB\) ist \(25\,\text{cm}\) lang und die Seite \(CD\) ist \(12{,}5\,\text{cm}\) lang.

- Bestimme aus dem Flächeninhalt zunächst die Seitenlänge des äußeren Quadrats. - Drücke diese Seitenlänge durch \(a\) und \(b\) aus. - Nutze den Satz des Pythagoras mit \(c = 5\,\text{cm}\). - Löse das entstehende Gleichungssystem beziehungsweise die quadratische Gleichung.

1. Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist \(A = 49\,\text{cm}^2\). Daraus folgt für die Seitenlänge \(s = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\). 2. Da die Dreiecke kongruent sind, setzt sich die Seite des großen Quadrats aus den Katheten \(a\) und \(b\) zusammen: \(a + b = 7\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Da \(c = 5\,\text{cm}\) ist, gilt \(a^2 + b^2 = 5^2 = 25\). 4. Wir haben ein Gleichungssystem: (I) \(b = 7 - a\) und (II) \(a^2 + b^2 = 25\). 5. Einsetzen von (I) in (II): \(a^2 + (7 - a)^2 = 25 \Rightarrow a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 \Rightarrow 2a^2 - 14a + 24 = 0\). 6. Division durch 2 ergibt: \(a^2 - 7a + 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(a_1 = 3\) und \(a_2 = 4\). 7. Wenn \(a = 3\), dann ist \(b = 4\) (und umgekehrt). Die Kathetenlängen sind somit \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

Die Längen der Katheten betragen \(a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\) (oder umgekehrt).