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- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? Das ist die Hypotenuse. - Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. - Erinnere dich an die Grundformel: \(\text{Kathete}^2 + \text{Kathete}^2 = \text{Hypotenuse}^2\).

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. 1. Dreieck a): Die Katheten sind \(u\) und \(v\), die Hypotenuse ist \(w\). Die Gleichung lautet: \(u^2 + v^2 = w^2\). 2. Dreieck b): Die Katheten sind \(y\) und \(z\), die Hypotenuse ist \(x\). Die Gleichung lautet: \(y^2 + z^2 = x^2\). 3. Dreieck c): Die Katheten sind \(h\) und \(i\), die Hypotenuse ist \(g\). Die Gleichung lautet: \(h^2 + i^2 = g^2\).

a) \(u^2 + v^2 = w^2\) b) \(y^2 + z^2 = x^2\) c) \(h^2 + i^2 = g^2\)

- Überlege zuerst, ob die gesuchte Seite eine Kathete oder die Hypotenuse ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenquadraten in einem rechtwinkligen Dreieck. - Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?

1. Identifikation der gegebenen Seiten: Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\). Die Hypotenuse \(x\) ist gesucht. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 = a^2 + b^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). 4. Ziehen der Wurzel: \(x = \sqrt{169} = 13\). Die gesuchte Länge beträgt \(13\,\text{cm}\).

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Identifiziere zuerst die Hypotenuse (die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) und die beiden Katheten. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Quadraten der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, ob du die Hypotenuse oder eine Kathete suchst.

1. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). 2. Setze die Längen der Katheten ein: \(4{,}8^2 + 3{,}6^2 = x^2\). 3. Berechne die Quadrate: \(23{,}04 + 12{,}96 = x^2\). 4. Addiere die Werte: \(x^2 = 36\). 5. Ziehe die Quadratwurzel: \(x = \sqrt{36} = 6\). Die Seite \(x\) ist \(6\,\text{cm}\) lang.

\(x = 6\,\text{cm}\)

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die beiden Katheten dieses rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Seite ist die Hypotenuse? - Vereinfache die entstehende Quadratwurzel vollständig.

1. Da das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist, sind beide Katheten \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c^2=5^2+5^2=50\). 3. Daher ist \(c=\sqrt{50}\,\text{cm}=5\sqrt{2}\,\text{cm}\).

\(c=5\sqrt{2}\,\text{cm}\)

- Welchen Winkel bilden zwei benachbarte Seiten eines Rechtecks? - Welche Rolle spielt die Diagonale im dadurch entstehenden Dreieck? - Welche Beziehung verbindet die drei Seitenlängen dieses Dreiecks?

1. Zwei benachbarte Rechteckseiten und die Diagonale bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(AC^2=12^2+5^2=144+25=169\). 3. Somit ist \(AC=13\,\text{cm}\).

Die Diagonale ist \(AC=13\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du die Diagonale Schritt für Schritt berechnen (erst die Diagonale der Grundfläche, dann die Raumdiagonale)? - Welchen Satz benutzt man typischerweise für Längen in rechtwinkligen Strukturen? - Gibt es eine direkte Formel für die Diagonale in einem Quader?

1. Anwendung der Formel für die Raumdiagonale im Quader: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 2. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9}\) 3. Ergebnis: \(\sqrt{14}\)

\(\sqrt{14}\)

- Betrachte in jedem Satz zuerst die längste Stablänge. - Für einen rechten Winkel muss die längste Seite auf besondere Weise zu den beiden anderen passen. - Prüfe alle drei Sätze getrennt, statt aus dem Aussehen der Zahlen zu raten. - Kontrolliere auch, ob die Seiten überhaupt ein Dreieck bilden könnten.

1. Überprüfung Satz 1: Längste Seite: \(61\). \(11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721\). \(61^2 = 3721\). Gleichheit gilt (\(3721 = 3721\)), also rechtwinklig. 2. Überprüfung Satz 2: Längste Seite: \(25\). \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\). \(25^2 = 625\). Keine Gleichheit (\(676 \neq 625\)), also nicht rechtwinklig. 3. Überprüfung Satz 3: Längste Seite: \(29\). \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). \(29^2 = 841\). Gleichheit gilt (\(841 = 841\)), also rechtwinklig.

Die Sätze 1 und 3 bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Satz 2 bildet kein rechtwinkliges Dreieck.

- Sortiere die drei Seiten nach ihrer Länge. - Welche Gleichheit muss zwischen den Seitenlängen gelten, damit die Umkehrung des Satzes von Pythagoras einen rechten Winkel liefert? - Vergleiche die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite.

1. Die längste Seite ist \(25\,\text{cm}\) lang und wäre bei einem rechten Winkel die Hypotenuse. 2. Für die Umkehrung des Satzes von Pythagoras wird geprüft, ob \(7^2+24^2=25^2\) gilt. 3. Es ist \(7^2+24^2=49+576=625\) und \(25^2=625\). 4. Da die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht, ist das Dreieck rechtwinklig.

Ja. Es gilt \(7^2+24^2=25^2\); nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras hat die Tischplatte einen rechten Winkel.

- Welche Gleichung verbindet bei einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten mit der Hypotenuse? - Prüfe nach der Berechnung von \(d^2\), ob der erhaltene Wert eine Quadratzahl ist. - Eine allgemeine „niemals“-Aussage ist bereits durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt.

1. In a) gilt nach dem Satz des Pythagoras \(d^2=1^2+1^2=2\). Daher ist \(d=\sqrt{2}\). Da \(2\) keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{2}\) irrational. 2. In b) gilt \(d^2=3^2+4^2=9+16=25\). Daher ist \(d=5\), also rational. 3. Die Aussage ist falsch. Das Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) ist ein Gegenbeispiel, denn seine Diagonale hat die rationale Länge \(5\).

a) \(d=\sqrt{2}\), also irrational. b) \(d=5\), also rational. Die Aussage ist falsch; ein Rechteck mit Seitenlängen \(3\) und \(4\) hat die rationale Diagonalenlänge \(5\).

- Erinnere dich an die Grundform des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Welche Seite ist dabei immer die längste? - Versuche, jede Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite nur ein einzelnes Quadrat steht. - Was bedeutet die Wurzel in diesem Zusammenhang für die Beziehung der Quadrate?

1. Umstellung zu \(q^2 = p^2 + r^2\). Da die Summe der Quadrate zweier Seiten das Quadrat der dritten Seite ergibt, ist \(q\) die Hypotenuse. 2. Quadrieren ergibt \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat die Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\) ist. 3. Die Gleichung hat die Form \(a^2 + b^2 = c^2\) mit \(a=b=x\). Somit ist \(y\) die Hypotenuse. 4. Umstellung zu \(s^2 = t^2 + u^2\). \(s\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

1. \(q\) ist die Hypotenuse. 2. \(c\) ist die Hypotenuse. 3. \(y\) ist die Hypotenuse. 4. \(s\) ist die Hypotenuse.

- Welche Seite ist in jedem Fall die längste? - Berechne für jedes Dreieck die drei Quadrate der Seitenlängen. - Vergleiche das größte Quadrat mit der Summe der beiden anderen.

Für jedes Dreieck wird das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten verglichen. In a) ist \(12^2 = 144\) und \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\); da \(113 < 144\), ist das Dreieck stumpfwinklig. In b) ist \(41^2 = 1681\) und \(9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681\); wegen der Gleichheit ist das Dreieck rechtwinklig. In c) ist \(9^2 = 81\) und \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\); da \(85 > 81\), ist das Dreieck spitzwinklig.

a) Stumpfwinklig b) Rechtwinklig c) Spitzwinklig

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel direkt gegenüber? - Wie hießen noch einmal die Seiten, die den rechten Winkel bilden? - Was passiert mit der Formel, wenn man die Buchstaben an den Ecken des Dreiecks vertauscht?

1. Identifikation der Seiten: Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Da der rechte Winkel bei \(S\) liegt, ist die Seite \(s\) die Hypotenuse. Die Seiten \(r\) (gegenüber von \(R\)) und \(t\) (gegenüber von \(T\)) schließen den rechten Winkel ein und sind somit die Katheten. 2. Aufstellen der Gleichung: Nach dem Satz des Pythagoras entspricht die Summe der Quadrate der Katheten dem Quadrat der Hypotenuse. Daraus folgt: \(r^2 + t^2 = s^2\). 3. Begründung zur allgemeinen Formel: Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) setzt voraus, dass \(c\) die Hypotenuse ist. In der Mathematik können Variablen jedoch frei gewählt werden. Ohne Definition, welche Variable die längste Seite beschreibt, führt die blinde Anwendung der Formel zu falschen Ergebnissen, wie im Beispiel mit \(s\) als Hypotenuse ersichtlich ist.

a) Die Hypotenuse ist \(s\), die Katheten sind \(r\) und \(t\). b) Die Formel lautet \(r^2 + t^2 = s^2\). c) Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) ist nur korrekt, wenn \(c\) die Hypotenuse ist. Da Buchstaben variabel vergeben werden können, muss man immer zuerst prüfen, welche Seite die Hypotenuse ist.

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung des Satzes von Pythagoras: Was sagen die Quadrate über den Seiten aus? - Wie hängen die Flächeninhalte der drei Quadrate direkt zusammen? - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn der Flächeninhalt bekannt ist? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne zuerst die Seitenlängen zu berechnen?

1. Berechnung der Seitenlängen aus den Flächeninhalten: Die Kathete ist \(a = \sqrt{144\,\text{cm}^2} = 12\,\text{cm}\), die Hypotenuse ist \(c = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). 2. Anwendung der geometrischen Interpretation des Satzes von Pythagoras: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate entspricht der Fläche des Hypotenusenquadrats (\(A_a + A_b = A_c\)). 3. Berechnung der Fläche des zweiten Kathetenquadrats: \(A_b = 169\,\text{cm}^2 - 144\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Länge der zweiten Kathete: \(b = \sqrt{25\,\text{cm}^2} = 5\,\text{cm}\).

a) Die Kathete ist \(12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Quadrats über der zweiten Kathete beträgt \(25\,\text{cm}^2\). c) Die zweite Kathete ist \(5\,\text{cm}\) lang.

- Erstelle gedanklich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Flugstrecke als Hypotenuse. - Achte beim Subtrahieren der Koordinaten auf die Vorzeichen. - Die Länge einer Kathete ist immer der absolute Betrag der Differenz der Koordinaten.

1. Berechnung der horizontalen Differenz: \(\Delta x = 6 - (-6) = 12\). 2. Berechnung der vertikalen Differenz: \(\Delta y = 1 - (-4) = 5\). 3. Berechnung der Streckenlänge \(l\) mit dem Satz des Pythagoras: \(l^2 = 12^2 + 5^2\). 4. \(l^2 = 144 + 25 = 169\). 5. \(l = \sqrt{169} = 13\). Die Flugstrecke ist \(13\,\text{Längeneinheiten}\) lang.

Die Flugstrecke beträgt \(13\,\text{Längeneinheiten}\).

- Suche zuerst den rechten Winkel in jedem der beiden kleineren Dreiecke. - Bestimme für jedes Dreieck einzeln, welche Seiten die Katheten und welche Seite die Hypotenuse ist. - Beachte, dass die Seite \(h\) zu beiden rechtwinkligen Dreiecken gehört.

1. Linkes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(s\). Die Hypotenuse ist die Seite \(b\). Die Gleichung lautet: \(s^2 + h^2 = b^2\). 2. Rechtes Teildreieck: Die Katheten sind die Höhe \(h\) und der Basisabschnitt \(r\). Die Hypotenuse ist die Seite \(a\). Die Gleichung lautet: \(r^2 + h^2 = a^2\).

Linkes Dreieck: \(s^2 + h^2 = b^2\) Rechtes Dreieck: \(r^2 + h^2 = a^2\)

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist damit die Hypotenuse? - Wie hängen in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate der beiden Katheten und der Hypotenuse zusammen? - Welche Größe musst du in dieser Gleichung zuerst isolieren, bevor du die gesuchte Länge bestimmen kannst?

1. Die Hypotenuse ist \(25\,\text{cm}\) lang; die bekannte Kathete ist \(7\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2+7^2=25^2\). 3. Daraus folgt \(x^2=25^2-7^2=625-49=576\). 4. Wegen \(x>0\) ist \(x=\sqrt{576}=24\,\text{cm}\).

\(x=24\,\text{cm}\)

- Bevor du rechnest, solltest du alle Längenangaben auf die gleiche Einheit bringen. - Welche Einheit bietet sich hier an, um Kommazahlen zu vermeiden? - Stelle die Formel so um, dass das Quadrat der gesuchten Seite isoliert ist.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Hypotenuse ist \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\) lang. Die Kathete ist \(6\,\text{cm}\) lang. 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(x^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{64} = 8\). Die Länge beträgt \(8\,\text{cm}\).

\(x = 8\,\text{cm}\)

- Überprüfe, ob alle Längen in der gleichen Einheit vorliegen. - Welche Seite ist die längste im Dreieck? - Addiere die Quadrate der kürzeren Seiten, um das Quadrat der längsten Seite zu erhalten.

1. Einheiten vereinheitlichen: \(0{,}7\,\text{m} = 7\,\text{dm}\). Die Katheten sind somit \(7\,\text{dm}\) und \(24\,\text{dm}\). 2. Pythagoras anwenden: \(x^2 = 7^2 + 24^2\). 3. Berechnung: \(x^2 = 49 + 576 = 625\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{625} = 25\). Die Hypotenuse ist \(25\,\text{dm}\) lang.

\(x = 25\,\text{dm}\)

- Wandle die Einheiten so um, dass sie zueinander passen. - Achte darauf, dass hier eine Seite am rechten Winkel gesucht ist. - Denke daran, am Ende die Wurzel zu ziehen.

1. Umrechnung in Meter: \(10\,\text{dm} = 1\,\text{m}\). Die Hypotenuse ist \(2{,}6\,\text{m}\) lang. 2. Pythagoras für die Kathete \(x\): \(x^2 + 1^2 = 2{,}6^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 2{,}6^2 - 1^2 = 6{,}76 - 1 = 5{,}76\). 4. Wurzel ziehen: \(x = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\). Die Kathete ist \(2{,}4\,\text{m}\) lang.

\(x = 2{,}4\,\text{m}\)

- Ist \(x\) eine Kathete oder die Hypotenuse? - Rechne zuerst alle Angaben in Millimeter um. - Nutze den Taschenrechner für die Quadrate und die Wurzel, falls nötig.

1. Einheiten angleichen: \(1{,}5\,\text{cm} = 15\,\text{mm}\). Die Hypotenuse ist \(39\,\text{mm}\). 2. Pythagoras: \(x^2 + 15^2 = 39^2\). 3. Umstellen: \(x^2 = 39^2 - 15^2 = 1521 - 225 = 1296\). 4. Ergebnis: \(x = \sqrt{1296} = 36\). Die gesuchte Länge beträgt \(36\,\text{mm}\).

\(x = 36\,\text{mm}\)

- Darf man die Quadratwurzel einer Summe auf die beiden Summanden verteilen? - Berechne zuerst die Summe der Quadrate und ziehe erst danach die Wurzel. - Prüfe, ob das Ergebnis zur Größenordnung eines Rechtecks mit Seiten \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) passt.

1. Leon behandelt die Quadratwurzel einer Summe fälschlich wie die Summe der einzelnen Quadratwurzeln. Im Allgemeinen gilt \(\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b\). 2. Für die Rechteckdiagonale gilt nach dem Satz des Pythagoras \(d^2=12^2+9^2\). 3. Damit ist \(d^2=144+81=225\). 4. Also folgt \(d=\sqrt{225}=15\,\text{cm}\).

Leon hat die Wurzel fälschlich auf die beiden Summanden verteilt. Richtig ist \(d=15\,\text{cm}\).

- Überlege, wie du die Längen der waagerechten und senkrechten Linien direkt aus den Koordinaten ablesen kannst. - Welcher bekannte mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite zu berechnen? - Achte darauf, die Koordinatenwerte korrekt voneinander abzuziehen.

1. Bestimmung der Kathetenlängen durch Differenzbildung der Koordinaten: \(|\overline{AC}| = 13 - 1 = 12\) \(|\overline{BC}| = 6 - 1 = 5\) 2. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Dreieck \(ABC\): \(|\overline{AB}|^2 = 12^2 + 5^2\) \(|\overline{AB}|^2 = 144 + 25 = 169\) 3. Berechnung der Wurzel: \(|\overline{AB}| = \sqrt{169} = 13\)

a) \(|\overline{AC}| = 12\); \(|\overline{BC}| = 5\) b) \(|\overline{AB}| = 13\)

- Skizziere die beiden Punkte und ihre direkte Verbindung im Koordinatensystem. - Betrachte getrennt, wie stark sich die Koordinaten in horizontaler und vertikaler Richtung unterscheiden. - Überlege, welcher bekannte geometrische Zusammenhang die direkte Entfernung aus diesen beiden Änderungen liefert.

1. Berechnung der Koordinatendifferenzen: \(\Delta x = 3 - (-2) = 5\) \(\Delta y = 5 - 1 = 4\) 2. Berechnung des Abstands \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(d = \sqrt{41} \approx 6{,}4031\dots\) 4. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \(6{,}40\).

Die beiden Steine sind ca. \(6{,}40\) Einheiten voneinander entfernt.

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat entlang einer Diagonalen teilst? - Welchen Satz kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden, um die Seitenlängen in Beziehung zu setzen? - Versuche, die Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. In einem Quadrat bilden zwei benachbarte Seiten und die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Diagonale \(d\): \(d^2 = a^2 + a^2\). 3. Zusammenfassen der Terme ergibt: \(d^2 = 2a^2\). 4. Durch Ziehen der Wurzel erhält man: \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

\(d = a\sqrt{2}\)

- Welche Eigenschaften haben die Diagonalen einer Raute an ihrem Schnittpunkt? - Mit welchen Teilen der beiden Diagonalen entsteht zusammen mit einer Rautenseite ein rechtwinkliges Dreieck? - Achte darauf, die Diagonalen vor der Rechnung zu halbieren.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Daher sind die Katheten eines entstehenden rechtwinkligen Dreiecks \(2{,}4\,\text{cm}\) und \(0{,}7\,\text{cm}\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=2{,}4^2+0{,}7^2=5{,}76+0{,}49=6{,}25\). 3. Somit ist \(s=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(2{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Längendifferenz der beiden Grundseiten bildet eine Kathete eines rechtwinkligen Teildreiecks? - Welche Strecke bildet die zweite Kathete? - Welche Seite des Teildreiecks ist gesucht?

1. Zerlege das Trapez gedanklich in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. Die waagerechte Kathete des Dreiecks hat die Länge \(x=a-c=5\,\text{m}-2\,\text{m}=3\,\text{m}\). 2. Die zweite Kathete ist die Höhe \(h=4\,\text{m}\), die schräge Seite \(s\) ist die Hypotenuse. 3. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=3^2+4^2=9+16=25\). 4. Daher ist \(s=5\,\text{m}\).

Die schräge Seite ist \(s=5\,\text{m}\) lang.

- Welche besondere Wirkung hat die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite? - Welche Seitenlängen kennst du dadurch in einem rechtwinkligen Teildreieck? - Bestimme die Höhe zunächst exakt und runde erst am Ende.

1. Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks halbiert die gegenüberliegende Seite. Daher ist die halbe Grundseite \(4{,}5\,\text{cm}\) lang. 2. Im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck gilt \(h^2+4{,}5^2=9^2\). 3. Damit ist \(h=\sqrt{81-20{,}25}=\sqrt{\frac{243}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(h\approx7{,}79\,\text{cm}\).

\(h=\frac{9\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}\approx7{,}79\,\text{cm}\)

- Welche Strecke halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Basis? - Welche Seitenlängen kennst du dadurch in einem rechtwinkligen Teildreieck? - Welche Seite dieses Teildreiecks ist die Hypotenuse?

1. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis. Eine Kathete des rechtwinkligen Teildreiecks ist daher \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Ein Schenkel mit \(13\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse. 3. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h^2=13^2-5^2=169-25=144\). 4. Somit ist \(h=12\,\text{cm}\).

Die Höhe beträgt \(h=12\,\text{cm}\).

- Überlege, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem berechnen kannst. - Betrachte für die schräge Strecke die horizontalen und vertikalen Koordinatendifferenzen als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. - Vergleiche die berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Berechnung der Länge der Strecke \(AB\): Da beide Punkte den gleichen \(y\)-Wert haben, ist die Länge die Differenz der \(x\)-Werte: \(|5 - 1| = 4\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(AC\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\). 3. Vergleich der Werte: \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da \(4 > 3{,}61\), ist \(AB\) länger als \(AC\).

Die Strecke \(AB\) ist länger als die Strecke \(AC\).

- Welche drei Längen bilden das rechtwinklige Verschiebungsdreieck des Pfeils? - Welche Vorzeichen muss die vertikale Verschiebung haben, wenn der Pfeil nach rechts oben zeigt? - Wie erhältst du aus den beiden Verschiebungen die Koordinaten des Endpunkts?

1. Die horizontale und die vertikale Verschiebung bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Pfeillänge \(5\) ist die Hypotenuse. 2. Für die vertikale Verschiebung \(\Delta y\) gilt \(5^2=3^2+(\Delta y)^2\). 3. Daraus folgt \((\Delta y)^2=25-9=16\). Da der Pfeil nach oben zeigt, ist \(\Delta y=4\). 4. Der Endpunkt ist daher \(B(1+3\mid2+4)=B(4\mid6)\).

Der Pfeil geht \(4\) Einheiten nach oben. Sein Endpunkt ist \(B(4\mid6)\).

- Berechne für beide Strecken die Kathetenlängen ihrer rechtwinkligen Hilfsdreiecke. - Vergleiche die Ergebnisse der Pythagoras-Rechnung.

1. Für die Strecke \(AB\) gilt: \(\Delta x = 2\) und \(\Delta y = 3\). Daher ist \(AB = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\). 2. Für die Strecke \(CD\) gilt: \(\Delta x = 7 - 4 = 3\) und \(\Delta y = 3 - 1 = 2\). Daher ist \(CD = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\). 3. Somit haben beide Strecken dieselbe Länge.

Ja, beide Strecken haben die Länge \(\sqrt{13}\).

- Welche Strecke ist im rechtwinkligen Dreieck aus zwei Rechteckseiten und der Diagonale die Hypotenuse? - Wie musst du den Satz des Pythagoras umstellen, wenn eine Kathete gesucht ist? - Prüfe, ob deine berechnete Seite kürzer als die Diagonale ist.

1. Die Diagonale und die beiden Rechteckseiten bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Diagonale ist dessen Hypotenuse. 2. Für die gesuchte Seite \(b\) gilt daher \(b^2=17^2-8^2=289-64=225\). 3. Somit ist \(b=15\,\text{cm}\).

Die andere Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Welchen Winkel bildet ein Radius mit der Tangente im Berührpunkt? - Welche Strecke ist im Dreieck \(MTP\) die Hypotenuse? - Welche beiden Kathetenlängen sind gegeben?

1. Der Radius \(MT\) steht im Berührpunkt \(T\) senkrecht auf der Tangente. Daher ist das Dreieck \(MTP\) rechtwinklig. 2. Die Strecke \(MP\) ist die Hypotenuse. Somit gilt \(MP^2=5^2+12^2=25+144=169\). 3. Daher ist \(MP=13\,\text{cm}\).

\(MP=13\,\text{cm}\)

- Welche der drei Seitenlängen fehlt dir noch für die Flächenformel eines rechtwinkligen Dreiecks? - Welche Seite ist die Hypotenuse? - Wie berechnet sich der Flächeninhalt aus den beiden Katheten?

1. Für die zweite Kathete \(b\) gilt nach dem Satz des Pythagoras \(b^2=13^2-5^2=169-25=144\). 2. Damit ist \(b=12\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot5\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}=30\,\text{cm}^2\).

\(A=30\,\text{cm}^2\)

- Welche Wirkung hat die Höhe auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Höhe brauchst du anschließend für die Flächenformel?

1. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis, sodass in einem rechtwinkligen Teildreieck eine Kathete \(6\,\text{cm}\) lang ist. 2. Für die Höhe gilt \(h^2=10^2-6^2=64\), also \(h=8\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot12\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=48\,\text{cm}^2\).

\(A=48\,\text{cm}^2\)

- Vergleiche zuerst nur die beiden äußeren Gesamtflächen. - Welche Teilflächen sind in beiden Zerlegungen identisch und können gedanklich auf beiden Seiten entfernt werden? - Welche Flächen bleiben danach in a) beziehungsweise b) übrig?

1. Die äußeren Quadrate sind gleich groß. 2. Aus beiden äußeren Quadraten werden jeweils dieselben vier kongruenten Dreiecke entfernt. Daher müssen die jeweils verbleibenden Flächen gleich groß sein. 3. In a) beträgt die verbleibende Fläche \(a^2+b^2\). 4. In b) beträgt die verbleibende Fläche \(c^2\). 5. Somit gilt \(a^2+b^2=c^2\).

Da aus zwei gleich großen Gesamtflächen dieselben vier Dreiecksflächen entfernt werden, sind die Restflächen gleich. Daher gilt \(a^2+b^2=c^2\).

- Welche Aussage lässt sich direkt mit Ort und Datierung der Tafel prüfen? - Was zeigen konkrete Zahlentripel tatsächlich über mathematisches Wissen? - Welche zusätzliche logische Reichweite hätte ein allgemeiner Satz gegenüber einer Sammlung passender Beispiele?

1. Aussage I ist mit den Quelleninformationen nicht vereinbar. Plimpton 322 stammt aus Larsa im heutigen Irak und wird auf etwa \(1820\) bis \(1762\) v. Chr. datiert, also ungefähr tausend Jahre vor Pythagoras. 2. Nach der genannten Deutung enthält die Tafel pythagoreische Tripel. Damit ist mathematisches Wissen über konkrete ganzzahlige Seitenbeziehungen belegt, die \(a^2+b^2=c^2\) erfüllen. 3. Aussage II geht dagegen über die Quelleninformation hinaus. Aus dem Auftreten bestimmter Tripel folgt nicht, dass der allgemeine Satz für alle rechtwinkligen Dreiecke formuliert und bewiesen wurde. 4. Kulturhistorisch zeigt der Vergleich daher, dass entsprechende mathematische Kenntnisse älter und kulturübergreifender sind, als der spätere Name „Satz des Pythagoras“ vermuten lassen könnte, ohne daraus einen nicht belegten altbabylonischen Allgemeinbeweis abzuleiten.

I ist falsch: Plimpton 322 stammt aus Larsa im heutigen Irak, etwa \(1820\) bis \(1762\) v. Chr., also ungefähr tausend Jahre vor Pythagoras. Nach der genannten Deutung enthält sie pythagoreische Tripel und belegt damit entsprechendes mathematisches Wissen vor Pythagoras. II ist durch diese Information nicht belegt: Aus einzelnen Tripeln folgt noch kein allgemeiner Satz für alle rechtwinkligen Dreiecke und kein Beweis dieses Satzes. Der Name „Satz des Pythagoras“ darf deshalb nicht mit einem eindeutigen erstmaligen kulturellen Ursprung gleichgesetzt werden.

- Welche Hilfslinie muss den gegebenen senkrechten Abstand der parallelen Seiten tatsächlich darstellen? - Wie verteilt sich bei einem gleichschenkligen Trapez die Differenz der beiden parallelen Seiten? - Erst wenn beide Katheten aus den Angaben bestimmbar sind, ist die Skizze für einen direkten Pythagoras-Ansatz geeignet.

1. In einem gleichschenkligen Trapez verteilt sich die Differenz der parallelen Seiten symmetrisch auf beide Randabschnitte: \(\frac{14-8}{2}=3\,\text{cm}\). 2. Skizze a) zeigt die Senkrechte von \(D\) auf \(AB\). Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) und der Hypotenuse \(x\). 3. Nach Pythagoras gilt \(x^2=3^2+4^2=25\,\text{cm}^2\), also \(x=5\,\text{cm}\).

Skizze a); die Katheten sind \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). Daher \(x^2=3^2+4^2\) und \(x=5\,\text{cm}\).

- Bringe in jeder Teilaufgabe zuerst alle Seitenlängen in dieselbe Einheit. - Bestimme danach die längste Seite, denn sie ist der entscheidende Kandidat. - Vergleiche die längste Seite mit den beiden kürzeren Seiten über ihre Quadrate. - Achte darauf, dass kleine Umrechnungsfehler das Ergebnis komplett verändern können.

1. Teilaufgabe a): Wandle alle Maße in die gleiche Einheit um (z. B. cm): \(a = 90\,\text{cm}\), \(b = 40\,\text{cm}\), \(c = 80\,\text{cm}\). Die längste Seite ist \(a = 90\,\text{cm}\). Prüfe: \(b^2 + c^2 = a^2\) \(40^2 + 80^2 = 1600 + 6400 = 8000\) \(a^2 = 90^2 = 8100\) Da \(8000 \neq 8100\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Teilaufgabe b): Die längste Seite ist \(z = 3{,}7\,\text{cm}\). Prüfe: \(x^2 + y^2 = z^2\) \(1{,}2^2 + 3{,}5^2 = 1{,}44 + 12{,}25 = 13{,}69\) \(z^2 = 3{,}7^2 = 13{,}69\) Da \(13{,}69 = 13{,}69\), ist das Dreieck rechtwinklig.

a) Nicht rechtwinklig. b) Rechtwinklig.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel in einem Standard-Dreieck \(\triangle ABC\) normalerweise gegenüber? - Überlege, welche Seite die Hypotenuse sein muss, wenn du die Gleichung nach dem Schema \(\dots^2 + \dots^2 = \dots^2\) sortierst. - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Längen der Katheten?

1. Analyse der Gleichung: Quadrieren von \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) ergibt \(b^2 = c^2 - a^2\), was umgeformt \(a^2 + b^2 = c^2\) entspricht. 2. Da \(c\) die Hypotenuse ist, liegt der rechte Winkel gegenüber der Seite \(c\). Ergebnis: \(\gamma = 90^\circ\). 3. Einsetzen der Werte in die Gleichung: \(b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225}\). Ergebnis: \(b = 15\,\text{cm}\). 4. Bedingung gleichschenklig-rechtwinklig: Die Katheten müssen gleich lang sein (\(a = b\)). In die Pythagoras-Formel eingesetzt: \(a^2 + a^2 = c^2\), also \(2a^2 = c^2\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}\) oder nach \(a\) aufgelöst \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

a) Der rechte Winkel ist \(\gamma\). b) \(b = 15\,\text{cm}\). c) \(c^2 = 2a^2\) (oder \(c = a\sqrt{2}\)).

- Was besagt die Umkehrung des Satzes des Pythagoras über die Beziehung der Seitenlängen? - Vergleiche die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Was passiert mit der Seite gegenüber einem Winkel, wenn dieser Winkel vergrößert oder verkleinert wird?

1. Prüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras: \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). Die längste Seite im Quadrat ist \(24^2 = 576\). Da \(625 \neq 576\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Bestimmung der Art des Winkels: Da \(c^2 < a^2 + b^2\) (\(576 < 625\)), ist der Winkel gegenüber der Seite \(c\) kleiner als \(90^\circ\); damit ist das Dreieck spitzwinklig. 3. Berechnung der neuen Seite \(c\): Für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(c\) muss gelten \(c^2 = 15^2 + 20^2 = 625\). Daraus folgt \(c = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\).

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(15^2 + 20^2 = 625 \neq 576 = 24^2\). b) Der Winkel ist kleiner als \(90^\circ\), da \(c^2 < a^2 + b^2\). c) Die Seite \(c\) müsste \(25\,\text{cm}\) lang sein.

- Verwende die Eigenschaft, dass das Quadrat einer Wurzel die Zahl unter der Wurzel selbst ist. - Achte darauf, welche Seite die längste ist (beachte dabei, dass \(5 = \sqrt{25}\) und \(4 = \sqrt{16}\) ist). - Stelle die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) auf und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

Die Rechtwinkligkeit wird durch Quadrieren der Seitenlängen und Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras geprüft. Bei a) sind die Quadrate \(7\), \(18\) und \(5^2 = 25\); da \(7 + 18 = 25\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei b) ergeben die Quadrate \(3^2 = 9\), \(10\) und \(19\); da \(9 + 10 = 19\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei c) sind die Quadrate \(6\), \(8\) und \(4^2 = 16\); da \(6 + 8 = 14\) und \(14 \neq 16\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

a) Rechtwinklig b) Rechtwinklig c) Nicht rechtwinklig

- Berechne zuerst die Quadrate aller drei Seitenlängen. - Vergleiche die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite. - Überlege dir: Wenn die längste Seite noch länger wird, während die anderen gleich bleiben, was passiert dann mit dem gegenüberliegenden Winkel?

1. Prüfung auf Rechtwinkligkeit: Es wird untersucht, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. 2. Berechnung der Summe der Quadrate der kürzeren Seiten: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). 3. Berechnung des Quadrats der längsten Seite: \(16^2 = 256\). 4. Vergleich: Da \(225 \neq 256\), ist das Beet nicht rechtwinklig. 5. Bestimmung der Winkelart: Da \(c^2 > a^2 + b^2\) gilt (\(256 > 225\)), ist die Seite \(c\) länger als sie in einem rechtwinkligen Dreieck wäre. Der gegenüberliegende Winkel (zwischen \(a\) und \(b\)) muss daher größer als \(90^\circ\) sein (stumpfwinklig).

a) Nein, das Beet ist nicht rechtwinklig, da \(9^2 + 12^2 = 225\) und \(16^2 = 256\) gilt. b) Der Winkel ist größer als \(90^\circ\), da das Quadrat der gegenüberliegenden Seite (\(256\)) größer ist als die Summe der Quadrate der einschließenden Seiten (\(225\)).

- Welche drei Strecken bilden in der beschriebenen Schnittebene ein Dreieck? - Welche Strecke wäre die Hypotenuse, wenn der Winkel am Mastfuß genau \(90^\circ\) wäre? - Vergleiche zunächst die Quadrate, bevor du eine neue Seillänge berechnest.

1. Für einen rechten Winkel müsste das Seil die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(4{,}00\,\text{m}\) und \(3{,}30\,\text{m}\) sein. 2. Es gilt \(4{,}00^2+3{,}30^2=16{,}00+10{,}89=26{,}89\), aber \(5{,}20^2=27{,}04\). Da die Werte nicht gleich sind, beträgt der Winkel in der betrachteten Schnittebene nicht exakt \(90^\circ\). 3. Für einen rechten Winkel müsste die Seillänge \(c\) die Gleichung \(c^2=26{,}89\) erfüllen. Daher ist \(c=\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\). 4. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(c\approx5{,}19\,\text{m}\).

Der Winkel zwischen Mast und Boden beträgt in der betrachteten Schnittebene nicht exakt \(90^\circ\). Die erforderliche Seillänge wäre exakt \(\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\) und gerundet \(5{,}19\,\text{m}\).

- Kannst du die Bedingung nennen, unter der drei Längen überhaupt ein geschlossenes Dreieck bilden können? - Was muss für die Quadrate der Seitenlängen gelten, damit ein Winkel genau \(90^{\circ}\) groß ist? - Reicht es aus, wenn zwei Seiten zusammen genauso lang sind wie die dritte? - Welche Seite eines Dreiecks muss im Satz des Pythagoras immer alleine auf einer Seite der Gleichung stehen?

1. Überprüfung der Dreiecksungleichung für Seil B: Da \(7 + 10 = 17\) und \(17 < 18\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner als die längste Seite. Ein Dreieck kann nicht gebildet werden. 2. Überprüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras (\(a^2 + b^2 = c^2\)): - Seil A: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Da \(15^2 = 225\), ist das Dreieck rechtwinklig. - Seil C: \(10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\). Da \(14^2 = 196 \neq 200\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. - Seil D: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\), ist das Dreieck rechtwinklig. Ergebnis: Seil B bildet kein Dreieck; Seil A und Seil D bilden rechtwinklige Dreiecke.

a) Seil B (\(7, 10, 18\)) kann kein Dreieck bilden, da \(7 + 10 < 18\) (Verletzung der Dreiecksungleichung). b) Mit Seil A (\(9, 12, 15\)) und Seil D (\(5, 12, 13\)) lassen sich rechtwinklige Beete abstecken, da \(9^2 + 12^2 = 15^2\) und \(5^2 + 12^2 = 13^2\) gilt.

- Welche zwei Bedingungen müssen die drei Seitenlängen gleichzeitig erfüllen? - Kennst du ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke, von denen du ausgehen könntest, ohne dass ihr Umfang schon \(60\) sein muss? - Was geschieht mit Rechtwinkligkeit und Umfang, wenn alle drei Seiten mit demselben Faktor vergrößert werden? - Prüfe jede gefundene Möglichkeit sowohl über den Umfang als auch über die Quadrate der Seiten.

1. Gesucht sind ganzzahlige Seitenlängen mit \(a+b+c=60\) und \(a^2+b^2=c^2\). 2. Eine Möglichkeit erhält man aus dem Tripel \((3,4,5)\). Sein Umfang ist \(12\). Mit dem Faktor \(5\) entsteht \((15,20,25)\). Es gilt \(15+20+25=60\) und \(15^2+20^2=225+400=625=25^2\). 3. Eine zweite Möglichkeit erhält man aus \((5,12,13)\). Sein Umfang ist \(30\). Mit dem Faktor \(2\) entsteht \((10,24,26)\). Es gilt \(10+24+26=60\) und \(10^2+24^2=100+576=676=26^2\). 4. Beide Seitentripel erfüllen damit sowohl die Umfangsbedingung als auch die Bedingung für ein rechtwinkliges Dreieck.

Zwei Möglichkeiten sind: 1. \(15\,\text{m}\), \(20\,\text{m}\), \(25\,\text{m}\). 2. \(10\,\text{m}\), \(24\,\text{m}\), \(26\,\text{m}\). In beiden Fällen ist der Umfang \(60\,\text{m}\) und die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite.

- Welche beiden Längen kennst du in einem der durch die Höhe entstehenden rechtwinkligen Teildreiecke? - Welche drei Seitenlängen hat danach das gesamte gleichschenklige Dreieck? - Für die verlangte Begründung musst du die Quadrate der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite vergleichen.

1. Die Höhe halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Basis. In einem Teildreieck sind die Katheten daher \(6\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=6^2+6^2=72\,\text{cm}^2\), also \(s=6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 3. Für das große Dreieck sind die Seitenlängen \(s\), \(s\) und \(c=12\,\text{cm}\). Es gilt \(s^2+s^2=72+72=144\,\text{cm}^2\). 4. Außerdem ist \(c^2=12^2=144\,\text{cm}^2\). Damit gilt \(s^2+s^2=c^2\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist der Winkel gegenüber der längsten Seite \(c\) ein rechter Winkel. Er liegt an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks.

\(s=6\sqrt{2}\,\text{cm}\). Für das große Dreieck gilt \(s^2+s^2=72+72=144=c^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist deshalb der Winkel gegenüber der Basis \(c\), also der Spitzenwinkel, \(90^\circ\).

- Welche Gleichheit müsste für einen rechten Winkel gegenüber der längsten Seite gelten? - Was sagt ein Vergleich der Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite über den gegenüberliegenden Winkel aus? - Welche Strecke wird von der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks halbiert?

1. Für die Rechtwinkligkeit werden die Quadrate der beiden Schenkel mit dem Quadrat der längsten Seite verglichen: \(12^2+12^2=288\) und \(17^2=289\). Da die Werte nicht gleich sind, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Weil \(12^2+12^2<17^2\) gilt, ist der der Basis gegenüberliegende Spitzenwinkel stumpf. 3. Die Höhe halbiert die Basis. In einem der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke gilt \(h_c^2+8{,}5^2=12^2\). 4. Damit ist \(h_c=\sqrt{144-72{,}25}=\sqrt{\frac{287}{4}}=\frac{\sqrt{287}}{2}\,\text{cm}\approx8{,}47\,\text{cm}\).

a) Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, da \(12^2+12^2=288\neq289=17^2\). b) Der Spitzenwinkel ist stumpf, da \(12^2+12^2<17^2\). c) \(h_c=\frac{\sqrt{287}}{2}\,\text{cm}\approx8{,}47\,\text{cm}\).

- Wie hängen die Seiten und die Diagonale in einem Quadrat zusammen? - Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats aus seiner Seite? - Kannst du die Zahl 3 als Summe von zwei Zahlen schreiben, die bereits Quadrate von bekannten Längen in der Figur sind? - Überlege, wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet wird.

1. Berechnung der Diagonalen des ersten Quadrats: Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Diagonale \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(d = a\sqrt{2}\). 2. Berechnung des neuen Flächeninhalts: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(d\) hat den Flächeninhalt \(A_{neu} = d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2\). Das neue Quadrat hat also den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats. 3. Konstruktion für die dreifache Fläche: Das Zielquadrat benötigt den Flächeninhalt \(3a^2\), also die Seitenlänge \(s = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\). 4. Anwendung des Satzes von Pythagoras: Es gilt \((a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = 2a^2 + a^2\). Da \(2a^2 = d^2\) ist, folgt \((a\sqrt{3})^2 = d^2 + a^2\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die gesuchte Seitenlänge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Originalseite \(a\) und die Originaldiagonale \(d\) sind.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2a^2\). b) Die Seitenlänge für die dreifache Fläche entspricht der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Seite \(a\) und die Diagonale \(d = a\sqrt{2}\) des ursprünglichen Quadrats sind, da \(a^2 + d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2\).

- Notiere dir zuerst die Flächeninhalte der Quadrate \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). - Wie hängen die Seitenlängen dieser Quadrate mit ihren Flächen zusammen? - Was sagt der Satz von Pythagoras über das Quadrat der Hypotenuse aus? - Setze die Ausdrücke für die quadrierten Seitenlängen in die Pythagoras-Gleichung ein.

1. Bestimmung der Flächeninhalte: \(A_1 = s^2\), \(A_2 = 2s^2\), \(A_3 = 3s^2\). 2. Bestimmung der Seitenlängen: Die Seitenlänge von \(Q_2\) ist \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und die von \(Q_3\) ist \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras für die neue Seite \(s_{neu}\): \(s_{neu}^2 = s_2^2 + s_3^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{neu}^2 = (\sqrt{2s^2})^2 + (\sqrt{3s^2})^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). 5. Vergleich der Flächeninhalte: Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(A_{neu} = s_{neu}^2\) ist, folgt \(A_{neu} = 5s^2 = 5A_1\). Dies entspricht exakt dem Fünffachen des Inhalts von \(Q_1\).

Die Seitenlängen von \(Q_2\) und \(Q_3\) sind \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). Für das neue Quadrat mit der Seite \(c\) gilt nach Pythagoras \(c^2 = s_2^2 + s_3^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(c^2\) ist, ist er mit \(5s^2\) genau fünfmal so groß wie der Flächeninhalt \(s^2\) von \(Q_1\).

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass sie wie der bekannte Satz des Pythagoras aussieht? - Welcher Buchstabe in der Formel steht normalerweise für die längste Seite, und welcher Winkel liegt ihr gegenüber? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du jeden Term mit derselben Zahl (zum Beispiel 4) multiplizierst?

1. Umformung und Winkelbestimmung: Durch Addition von \(a^2\) auf beiden Seiten ergibt sich \(a^2 + b^2 = c^2\). In dieser Standardform ist \(c\) die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, also ist der Winkel \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)) der rechte Winkel. 2. Überprüfung der Seitenlängen: Es wird geprüft, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\) ist, gilt \(5^2 + 12^2 = 13^2\). Das Dreieck ist rechtwinklig. 3. Beurteilung der Verdoppelung: Seien \(a, b, c\) die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit \(a^2 + b^2 = c^2\). Bei Verdoppelung sind die neuen Seiten \(2a, 2b, 2c\). Die neue Prüfung lautet \((2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)\). Da \(a^2 + b^2 = c^2\), ist dies gleich \(4c^2\), was genau \((2c)^2\) entspricht. Die Aussage ist falsch; das Dreieck bleibt rechtwinklig, da das Verhältnis der Quadrate gewahrt bleibt.

a) Die Gleichung lautet \(a^2 + b^2 = c^2\). Der rechte Winkel ist \(\gamma\) (am Punkt \(C\)). b) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig, da \(5^2 + 12^2 = 13^2\) (\(169 = 169\)) gilt. c) Die Aussage ist falsch. Wenn alle Seiten verdoppelt werden, werden alle Quadrate vervierfacht. Da \(4a^2 + 4b^2 = 4c^2\) immer noch eine gültige pythagoreische Gleichung ist, bleibt das Dreieck rechtwinklig.

- Erinnere dich an die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. - Was muss für die Seitenlängen gelten, damit ein rechter Winkel vorliegt? - Überlege dir, was mit einem Winkel passiert, wenn man die gegenüberliegende Seite verkürzt, die anderen beiden Seiten aber festbleiben. - Vergleiche den Wert von \(c^2\) mit der Summe \(a^2 + b^2\).

1. Überprüfung für Teil a): Es wird geprüft, ob \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt. \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). Da \(17^2 = 289\), ist die Gleichung erfüllt und das Dreieck rechtwinklig bei \(\gamma = 90^\circ\). 2. Analyse für Teil b): Die Summe der Quadrate der Seiten \(a\) und \(b\) bleibt \(a^2 + b^2 = 289\). Das Quadrat der neuen Seite \(c\) ist \(c^2 = 16^2 = 256\). 3. Da \(c^2 < a^2 + b^2\) gilt (\(256 < 289\)), ist die Seite \(c\) „zu kurz“ für einen rechten Winkel, was bedeutet, dass der gegenüberliegende Winkel \(\gamma\) kleiner als \(90^\circ\) sein muss. Somit ist der Winkel spitz.

a) Da \(8^2 + 15^2 = 17^2\) (\(289 = 289\)), ist das Dreieck rechtwinklig. b) Da \(16^2 < 8^2 + 15^2\) (\(256 < 289\)), ist der Winkel \(\gamma\) spitz.

- Schau dir die Struktur der Gleichung an. Welche Seite übernimmt die Rolle der längsten Seite? - Wo liegt ein Eckpunkt im Verhältnis zu der Seite, die nach ihm benannt ist? - Wenn zwei Seiten einen rechten Winkel einschließen, verändert sich dieser Winkel, wenn man eine Seite länger macht, solange die Verbindung der Endpunkte (die Hypotenuse) angepasst wird?

1. Analyse der Gleichung: In der Formel \(a^2 + c^2 = b^2\) steht die Seite \(b\) allein auf einer Seite der Gleichung. Dies kennzeichnet \(b\) als die Hypotenuse. 2. Lage des rechten Winkels: Der rechte Winkel liegt immer gegenüber der Hypotenuse. Gegenüber der Seite \(b\) liegt der Eckpunkt \(B\). Somit befindet sich der rechte Winkel bei \(B\). 3. Dynamische Betrachtung: Wenn \(a\) vergrößert wird und \(c\) konstant bleibt, muss sich auch die Länge der Hypotenuse \(b\) ändern, damit die Gleichung \(a^2 + c^2 = b^2\) weiterhin erfüllt ist. 4. Da \(a\) und \(c\) die Katheten bleiben (sie bilden den rechten Winkel), bleibt \(b\) die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Die Form des Dreiecks wird dabei „flacher“ bzw. gestreckter.

a) Der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(B\). b) Die Seite \(b\) bleibt weiterhin die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Da \(a\) und \(c\) den rechten Winkel einschließen, muss die Seite \(b\) (nach Pythagoras) ebenfalls länger werden, damit das Dreieck rechtwinklig bleibt.

- Wie hängen die Seitenlänge und der Flächeninhalt eines Quadrats zusammen? - Was passiert mit der Seitenlänge, wenn sich der Flächeninhalt verneunfacht? - Überlege, wie sich die Diagonale verändert, wenn die Seitenlänge mit einem Faktor multipliziert wird. - Versuche, die Größen mit Variablen wie \(s\) und \(d\) auszudrücken.

1. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats: \(A = s^2\). 2. Zusammenhang zwischen Seitenlänge \(s\) und Diagonale \(d\): \(d = s\sqrt{2}\). 3. Für den neuen Flächeninhalt gilt: \(A_{neu} = 9A_{alt}\), also \(s_{neu}^2 = 9s_{alt}^2\). 4. Daraus folgt durch Wurzelziehen für die Seitenlänge: \(s_{neu} = \sqrt{9s_{alt}^2} = 3s_{alt}\). Die Seitenlänge verdreifacht sich. 5. Für die neue Diagonale gilt: \(d_{neu} = s_{neu}\sqrt{2} = (3s_{alt})\sqrt{2} = 3(s_{alt}\sqrt{2}) = 3d_{alt}\). Auch die Diagonale verdreifacht sich.

Sowohl die Seitenlänge als auch die Diagonale des Quadrats verdreifachen sich.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Was bedeutet „gleichschenklig-rechtwinklig“ für die Längen der Katheten? - Stelle eine Gleichung für die Hypotenuse vor und nach der Änderung auf. - Wie verändert sich ein Quadrat einer Zahl, wenn man die Zahl selbst verdoppelt?

1. Im ursprünglichen Dreieck mit Kathete \(a\) gilt nach Pythagoras: \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), also \(c = a \cdot \sqrt{2}\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot a^2\). 3. Im neuen Dreieck ist die Kathete \(a' = 2a\). 4. Die neue Hypotenuse ist \(c' = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a \cdot \sqrt{2}\). Da \(c = a \cdot \sqrt{2}\) ist, gilt \(c' = 2c\). Die Hypotenuse verdoppelt sich. 5. Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2a)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4a^2 = 2a^2\). Im Vergleich zu \(A = 0{,}5a^2\) ist dies das Vierfache: \(A' = 4A\).

Die Länge der Hypotenuse verdoppelt sich, während sich der Flächeninhalt des Segels vervierfacht.

- Nutze das im Diagramm dargestellte rechtwinklige Hilfsdreieck, um die schräge Strecke zu berechnen. - Wie lang sind die waagerechte und die senkrechte Seite dieses Dreiecks in Längeneinheiten? - Welcher berühmte mathematische Satz hilft dir, bei bekannten Katheten die Hypotenuse zu berechnen? - Achte darauf, am Ende die Längeneinheiten der Karte korrekt in die realen Meter umzurechnen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Längen der beiden Katheten kennt?

1. Bestimmung der Längen der beiden Katheten im Koordinatensystem: Die horizontale Kathete \(PR\) verläuft von \(x = -4\) bis \(x = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-4) = 8\,\text{LE}\) Die vertikale Kathete \(RQ\) verläuft von \(y = -2\) bis \(y = 4\). Ihre Länge beträgt: \(4 - (-2) = 6\,\text{LE}\) 2. Berechnung der Hypotenuse \(PQ\) mit dem Satz des Pythagoras: \(PQ^2 = PR^2 + RQ^2\) \(PQ^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\) \(PQ = \sqrt{100} = 10\,\text{LE}\) 3. Umrechnung der Entfernung in Meter: Da eine Längeneinheit \(10\,\text{m}\) entspricht, beträgt die tatsächliche Entfernung: \(10 \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}\) 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(PQR\): Die tatsächlichen Längen der Katheten in Metern sind: \(g = 8 \cdot 10\,\text{m} = 80\,\text{m}\) (Grundseite) \(h = 6 \cdot 10\,\text{m} = 60\,\text{m}\) (Höhe) Der Flächeninhalt \(A\) eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich durch: \(A = \frac{1}{2}gh\) \(A = \frac{1}{2} \cdot 80\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 2400\,\text{m}^2\)

a) Die tatsächliche Entfernung (Luftlinie) zwischen Mia und Ben beträgt \(100\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) beträgt \(2400\,\text{m}^2\).

- Welche horizontalen und vertikalen Abstände haben \(M\) und \(N\)? - Wo muss \(P\) liegen, damit die beiden Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen? - Welche Beziehung verbindet die beiden Kathetenlängen mit der schrägen Strecke \(MN\)? - Prüfe bei Umfang und Fläche, welche Einheit jeweils erforderlich ist.

1. Die Koordinatendifferenzen betragen \(\Delta x=|2-(-4)|=6\) und \(\Delta y=|-1-3|=4\). 2. Für die direkte Entfernung gilt \(MN=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\,\text{km}\approx7{,}21\,\text{km}\). 3. Ein möglicher achsenparalleler Hilfspunkt ist \(P(2\mid3)\); alternativ ist \(P(-4\mid-1)\) möglich. 4. Die beiden Katheten sind \(6\,\text{km}\) und \(4\,\text{km}\) lang. Daher ist \(U=6+4+2\sqrt{13}=(10+2\sqrt{13})\,\text{km}\approx17{,}21\,\text{km}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\,\text{km}^2\).

a) \(MN=2\sqrt{13}\,\text{km}\approx7{,}21\,\text{km}\). b) Zum Beispiel \(P(2\mid3)\); alternativ \(P(-4\mid-1)\). c) \(U=(10+2\sqrt{13})\,\text{km}\approx17{,}21\,\text{km}\); \(A=12\,\text{km}^2\).

- Welche der drei Strecken ist die Hypotenuse? - Kann die gesuchte Höhe länger als die Leiter sein? - Überlege beim Umstellen, ob das Quadrat einer bekannten Kathete addiert oder subtrahiert werden muss.

1. Die Leiter ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Eine Kathete kann daher nicht länger als die \(10\,\text{m}\) lange Hypotenuse sein; \(11{,}7\,\text{m}\) ist bereits aus diesem Grund unmöglich. 2. Mia hat die Quadrate addiert, obwohl eine Kathete gesucht ist. Richtig ist \(h^2=10^2-6^2\). 3. Damit gilt \(h^2=100-36=64\). 4. Also ist \(h=8\,\text{m}\).

Mias Ergebnis ist unmöglich, weil eine Kathete nicht länger als die Hypotenuse sein kann. Sie hat beim Umstellen fälschlich addiert. Die korrekte Höhe ist \(h=8\,\text{m}\).

- Welche geometrische Figur wird durch den Radius, den Abstand und die Sehne gebildet? - Erinnere dich daran, dass der Abstand eines Punktes zu einer Geraden immer senkrecht gemessen wird. - Wie teilt das Lot vom Mittelpunkt auf die Sehne diese Sehne auf? - Nutze den Satz des Pythagoras in dem entstehenden Teildreieck.

1. Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks: Der Radius \(r\), der Abstand \(d\) und die halbe Sehnenlänge \(\frac{s}{2}\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Der Radius \(r\) ist die Hypotenuse (\(13\,\text{cm}\)). Der Abstand \(d\) ist eine Kathete (\(5\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: \(r^2 = d^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\). 4. Umstellen nach der unbekannten Kathete: \(\left(\frac{s}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 5. Wurzel ziehen: \(\frac{s}{2} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 6. Berechnung der vollen Sehnenlänge: \(s = 2 \cdot 12\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\).

Die Sehne hat eine Länge von \(s = 24\,\text{cm}\).

- Welche Eigenschaft hat das Lot vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Dreieck? - Welche dieser Strecken ist die Hypotenuse?

1. Das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne halbiert die Sehne. Eine Kathete des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks ist daher \(15\,\text{cm}\) lang. 2. Der Radius \(17\,\text{cm}\) ist die Hypotenuse. Somit gilt \(d^2+15^2=17^2\). 3. Daraus folgt \(d^2=289-225=64\). 4. Also ist \(d=8\,\text{cm}\).

Der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt beträgt \(d=8\,\text{cm}\).

- Wie teilen die Diagonalen eine Raute auf? - Ersetze in der allgemeinen Formel für die Seitenlänge der Raute die Variable \(f\) durch den gegebenen Ausdruck \(2e\). - Denke daran, dass du im rechtwinkligen Dreieck mit den halben Längen der Diagonalen arbeitest.

1. Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Die halben Diagonalen sind \(\frac{e}{2}\) und \(\frac{f}{2}\). 2. Da \(f = 2e\), gilt für die halbe Diagonale: \(\frac{f}{2} = \frac{2e}{2} = e\). 3. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt nach Pythagoras: \(s^2 = \left(\frac{e}{2}\right)^2 + e^2\). 4. Umformung: \(s^2 = \frac{e^2}{4} + \frac{4e^2}{4} = \frac{5}{4}e^2\). 5. Wurzel ziehen: \(s = \sqrt{\frac{5}{4}e^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}e\).

\(s = \frac{\sqrt{5}}{2}e\)

- Welche zweite Diagonalenlänge fehlt dir für die Flächenformel der Raute? - Welche Eigenschaften der Diagonalen erzeugen ein rechtwinkliges Teildreieck? - Verwende für dieses Teildreieck zunächst nur halbe Diagonalen.

1. Für die Flächenformel \(A=\frac{ef}{2}\) wird zunächst die zweite Diagonale \(e\) benötigt. 2. Die Diagonalen einer Raute halbieren einander und stehen senkrecht aufeinander. Daher gilt in einem rechtwinkligen Teildreieck \(\left(\frac{e}{2}\right)^2+6^2=10^2\). 3. Somit ist \(\left(\frac{e}{2}\right)^2=64\), also \(\frac{e}{2}=8\,\text{m}\) und \(e=16\,\text{m}\). 4. Der Flächeninhalt beträgt \(A=\frac{16\,\text{m}\cdot12\,\text{m}}{2}=96\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{m}^2\).

- Welche drei Strecken bilden an der schrägen Seite ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Länge entspricht dabei der Differenz der beiden Grundseiten? - Wie erhältst du aus dieser Differenz anschließend die längere Grundseite?

1. Die schräge Seite \(s=13\,\text{cm}\), die Höhe \(h=12\,\text{cm}\) und die Differenz \(x=a-c\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(x^2=13^2-12^2=169-144=25\). 3. Somit ist \(x=5\,\text{cm}\). 4. Daher folgt \(a=c+x=7\,\text{cm}+5\,\text{cm}=12\,\text{cm}\).

Die längere Grundseite ist \(a=12\,\text{cm}\) lang.

- Welche zwei kongruenten rechtwinkligen Teildreiecke entstehen an den Seiten eines gleichschenkligen Trapezes? - Welche bekannte Strecke ist in einem solchen Teildreieck die Hypotenuse? - Warum musst du den berechneten waagerechten Abschnitt zweimal zur oberen Grundseite addieren?

1. Senkrechte von den Endpunkten der oberen Grundseite auf die untere Grundseite zerlegen das Trapez in ein Rechteck und zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. 2. In jedem Teildreieck ist der Schenkel \(10\,\text{m}\) die Hypotenuse und die Höhe \(8\,\text{m}\) eine Kathete. 3. Für die waagerechte Kathete \(x\) gilt \(x^2=10^2-8^2=100-64=36\), also \(x=6\,\text{m}\). 4. Wegen der Symmetrie kommt dieser Abschnitt zweimal vor. Daher ist \(a=c+2x=5\,\text{m}+2\cdot6\,\text{m}=17\,\text{m}\).

Die untere Grundseite ist \(a=17\,\text{m}\) lang.

- Welche Strecke halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Grundseite und erzeugt ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche beiden Seiten dieses Teildreiecks kannst du in Vielfachen von \(x\) angeben? - Wie hängt der Flächeninhalt anschließend von Grundseite und Höhe ab? - Welche Bedingung gilt für \(x\), wenn es eine Länge beschreibt?

1. Die Höhe auf die Grundseite halbiert die Grundseite. Im entstehenden rechtwinkligen Teildreieck ist eine Kathete daher \(5x\) lang. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=\sqrt{144x^2}=12x\), da \(x>0\). 3. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\cdot10x\cdot12x=60x^2\). 4. Für \(A=240\,\text{cm}^2\) folgt \(60x^2=240\), also \(x^2=4\). 5. Wegen \(x>0\) ist \(x=2\,\text{cm}\).

a) \(A=60x^2\) b) \(x=2\,\text{cm}\)

- Welche Längendifferenz der parallelen Seiten bildet eine Kathete eines rechtwinkligen Teildreiecks? - Welche Seite dieses Teildreiecks ist die Hypotenuse? - Wie lautet die Flächenformel für ein Trapez? - Welche Bedingung gilt für \(k\), wenn es einen Längenfaktor beschreibt?

1. Die Differenz der parallelen Seiten ist \(12k-7k=5k\). Zusammen mit der Höhe und dem schrägen Schenkel entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=12k\), da \(k>0\). 3. Für den Flächeninhalt folgt \(A=\frac{12k+7k}{2}\cdot12k=114k^2\). 4. Mit \(A=456\,\text{cm}^2\) gilt \(114k^2=456\), also \(k^2=4\). 5. Da \(k>0\), ist \(k=2\,\text{cm}\).

a) \(A=114k^2\) b) \(k=2\,\text{cm}\)

- Wie verteilt sich die Differenz der beiden Grundseiten bei einem gleichschenkligen Trapez auf die beiden Seiten? - Welche drei Strecken bilden dadurch ein rechtwinkliges Teildreieck? - Welche Größe brauchst du nach der Höhenberechnung noch für die Trapezfläche?

1. Wegen der Symmetrie ist jeder der beiden äußeren Abschnitte auf der längeren Grundseite \(x=\frac{a-c}{2}=\frac{15-9}{2}=3\,\text{m}\) lang. 2. Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(h^2+x^2=s^2\). Damit ist \(h^2=5^2-3^2=16\), also \(h=4\,\text{m}\). 3. Für das Trapez gilt \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h=\frac{15\,\text{m}+9\,\text{m}}{2}\cdot4\,\text{m}=48\,\text{m}^2\).

1. \(h=4\,\text{m}\) 2. \(A=48\,\text{m}^2\)

- Welche Längendifferenz der parallelen Seiten gehört zum rechtwinkligen Teildreieck an der schrägen Seite? - Welche Strecke ist in diesem Teildreieck die Hypotenuse? - Welche Größe brauchst du nach der Höhenberechnung noch für die Trapezfläche?

1. Die Differenz der parallelen Seiten ist \(x=a-c=14\,\text{m}-8\,\text{m}=6\,\text{m}\). Sie bildet mit der Höhe und der schrägen Seite ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(h^2=10^2-6^2=64\), also \(h=8\,\text{m}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h=\frac{14\,\text{m}+8\,\text{m}}{2}\cdot8\,\text{m}=88\,\text{m}^2\).

1. \(h=8\,\text{m}\) 2. \(A=88\,\text{m}^2\)

- Finde die Länge der gemeinsamen Kathete der beiden ineinander liegenden Dreiecke. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Im inneren rechtwinkligen Dreieck ist die vertikale Kathete \(h\). Es gilt: \(h^2 = 12{,}5^2 - 3{,}5^2 = 156{,}25 - 12{,}25 = 144\). Also ist \(h = 12\). 2. Das große rechtwinklige Dreieck hat die Katheten \(h = 12\) und die Basis \(3{,}5 + 1{,}5 = 5\). 3. Die Hypotenuse \(x\) berechnet sich durch: \(x^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\). 4. \(x = \sqrt{169} = 13\). Die Strecke \(x\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

\(x = 13\,\text{cm}\)

- Die Figur besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich eine Seite teilen. - Kannst du die Länge der gemeinsamen Seite (die Höhe) berechnen? - Welcher mathematische Satz hilft dir dabei, in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite zu finden? - Wenn du die Höhe kennst, kannst du sie im zweiten Dreieck verwenden, um \(x\) zu bestimmen.

1. Das große Dreieck wird durch die Höhe \(h\) in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. 2. Im linken Teildreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(h^2 + 6^2 = 10^2\). 3. Daraus berechnet man das Quadrat der Höhe: \(h^2 = 100 - 36 = 64\). 4. Im rechten Teildreieck gilt ebenfalls der Satz des Pythagoras: \(x^2 = h^2 + 15^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 64 + 225 = 289\). 6. Durch Ziehen der Wurzel erhält man die gesuchte Länge: \(x = \sqrt{289} = 17\). Die Strecke \(x\) ist \(17\,\text{cm}\) lang.

\(x = 17\,\text{cm}\)

- Betrachte zuerst das innere rechtwinklige Dreieck, um die unbekannte Höhe zu finden. - Der rechte Winkel gilt für beide Dreiecke, die die vertikale Seite gemeinsam haben. - Achte darauf, für das große Dreieck die Gesamtlänge der unteren Seite zu verwenden.

1. Es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor, die sich die vertikale Kathete \(h\) teilen. 2. Für das kleinere Dreieck gilt: \(h^2 + 7^2 = 25^2\). 3. Das Quadrat der Kathete berechnet sich zu: \(h^2 = 625 - 49 = 576\). 4. Die Grundseite des großen Dreiecks setzt sich aus den beiden Teilstücken zusammen: \(7 + 3 = 10\). 5. Für das große Dreieck gilt nun: \(x^2 = h^2 + 10^2\). 6. Einsetzen des Wertes für \(h^2\): \(x^2 = 576 + 100 = 676\). 7. Wurzelziehen liefert: \(x = \sqrt{676} = 26\). Die Strecke \(x\) ist \(26\,\text{cm}\) lang.

\(x = 26\,\text{cm}\)

- Welche Winkel entstehen, weil \(BD\) eine Höhe ist? - Welche Seiten der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang oder gemeinsam? - Welche Folgerung für die beiden Basisabschnitte liefert die Kongruenz? - Welcher Satz bestimmt anschließend die Höhe?

1. Da \(BD\) eine Höhe auf \(AC\) ist, gilt \(\angle ADB=\angle CDB=90^\circ\). 2. Die Hypotenusen der beiden rechtwinkligen Dreiecke sind gleich lang: \(AB=BC=10\,\text{cm}\). Außerdem ist \(BD\) eine gemeinsame Kathete. 3. Damit sind die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) nach dem Kongruenzsatz SsW für rechtwinklige Dreiecke kongruent. Folglich gilt \(AD=CD\). 4. Wegen \(AC=12\,\text{cm}\) ist \(AD=CD=6\,\text{cm}\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt \(BD^2=AB^2-AD^2=10^2-6^2=64\). 6. Daher ist \(BD=8\,\text{cm}\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) sind nach SsW kongruent. Die Höhe beträgt \(BD=8\,\text{cm}\).

- Wie lang ist \(PB\), wenn die ganze Quadratseite \(8\,\text{cm}\) und \(AP=2\,\text{cm}\) sind? - Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck \(PBQ\) die Hypotenuse? - Der verlangte Pythagoras-Ansatz gehört selbst zur Antwort; eine reine Flächenzerlegung reicht deshalb nicht aus.

1. Es gilt \(PB=8\,\text{cm}-2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\) und \(BQ=2\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(PBQ\) ist \(PQ\) die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(PQ^2=PB^2+BQ^2=6^2+2^2=40\,\text{cm}^2\). 3. Damit ist \(PQ=\sqrt{40}\,\text{cm}=2\sqrt{10}\,\text{cm}\). 4. Da \(PQRS\) ein Quadrat ist, gilt \(A_{PQRS}=PQ^2=40\,\text{cm}^2\).

\(PQ^2=6^2+2^2=40\,\text{cm}^2\), also \(PQ=2\sqrt{10}\,\text{cm}\) und \(A_{PQRS}=40\,\text{cm}^2\).

- Welche Aussage macht der Satz des Thales über ein Dreieck über einem Kreisdurchmesser? - Wie lang ist der Durchmesser in Abhängigkeit vom gegebenen Radius? - Welche zwei Katheten brauchst du für die Flächenformel?

1. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig, weil eine Seite ein Durchmesser des Kreises ist. 2. Die Hypotenuse ist der Durchmesser und hat die Länge \(2R=10\,\text{cm}\). 3. Für die fehlende Kathete \(b\) gilt \(b^2=10^2-6^2=64\), also \(b=8\,\text{cm}\). 4. Damit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot6\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\).

\(A=24\,\text{cm}^2\)

- Bestimme die drei Seitenlängen aus den jeweiligen Koordinatendifferenzen. - Welche Seitenlänge ist die größte, und was ergibt der Vergleich der Quadrate? - Was folgt zusätzlich daraus, dass zwei der Seiten gleich lang sind?

1. Mit den Koordinatendifferenzen erhält man \(OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) und \(AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}\). 2. Es gilt \(OB^2+AB^2=5+5=10=OA^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck bei \(B\) rechtwinklig. 3. Außerdem ist \(OB=AB\). Das Dreieck ist daher gleichschenklig-rechtwinklig. 4. Seine beiden spitzen Winkel sind gleich groß und ergeben zusammen \(90^\circ\). Somit ist \(\gamma=45^\circ\).

a) \(OA=\sqrt{10}\), \(OB=\sqrt{5}\), \(AB=\sqrt{5}\) b) \(\gamma=45^\circ\)

- Welche Aussage macht der Satz des Thales über einen Winkel, der über einem Durchmesser liegt? - Betrachte die beiden Winkel bei \(D\). Was folgt aus ihrer Summe für die Lage von \(A\), \(D\) und \(C\)? - In welchen beiden rechtwinkligen Dreiecken kannst du anschließend fehlende Strecken bestimmen?

1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel \(\angle ADB = 90^\circ\), da der Punkt \(D\) auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(AB\) liegt. 2. Ebenso ist der Winkel \(\angle BDC = 90^\circ\), da \(D\) auch auf dem Kreis mit dem Durchmesser \(BC\) liegt. 3. Da \(\angle ADB + \angle BDC = 180^\circ\) gilt, liegen die Punkte \(A\), \(D\) und \(C\) auf einer Geraden. 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt \(AD=\sqrt{10^2-8^2}=6\,\text{cm}\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(DC=\sqrt{17^2-8^2}=15\,\text{cm}\). 6. Daher ist \(AC=AD+DC=21\,\text{cm}\).

\(AC = 21\,\text{cm}\)

- Berechne die Fläche des großen Quadrats auf zwei verschiedene Arten. - Welche Gesamtfläche haben die vier kongruenten Dreiecke? - Welche Fläche bleibt in der Mitte übrig?

1. Die Fläche des äußeren Quadrats ist \((a+b)^2\). 2. Die vier rechtwinkligen Dreiecke haben zusammen die Fläche \(4\cdot\frac{ab}{2}=2ab\). 3. Das innere Quadrat hat die Fläche \(c^2\). Daher gilt \((a+b)^2=2ab+c^2\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\). 5. Nach dem Subtrahieren von \(2ab\) folgt \(a^2+b^2=c^2\). Damit ist der Satz des Pythagoras nachgewiesen.

Aus \((a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2\) folgt \(a^2+b^2=c^2\).

- Prüfe jede Verhältnisgleichung durch Kreuzmultiplikation. - Welche gemeinsame Größe steckt in den beiden korrigierten rechten Seiten? - Nutze am Ende die Zerlegung der Hypotenuse.

1. Aus \(\frac{a}{c}=\frac{p}{a}\) folgt durch Kreuzmultiplikation \(a^2=cp\), nicht \(a^2=p^2\). 2. Aus \(\frac{b}{c}=\frac{q}{b}\) folgt entsprechend \(b^2=cq\). 3. Addieren ergibt \(a^2+b^2=cp+cq=c(p+q)\). 4. Weil \(p+q=c\) gilt, folgt \(a^2+b^2=c^2\).

Noah multipliziert die Verhältnisgleichungen falsch über Kreuz. Richtig ist \(a^2=cp\) und \(b^2=cq\). Damit gilt \(a^2+b^2=c(p+q)=c^2\).

- Hilft es dir, eine Diagonale in die Figur einzuzeichnen, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten? - Wie hängen die beiden Dreiecke über diese Diagonale zusammen? - Kannst du den Satz des Pythagoras zweimal nacheinander anwenden?

1. Zerlegung des Vierecks in zwei rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonale \(d\) zwischen den rechten Winkeln 2. Berechnung des Quadrats der Diagonale im ersten Dreieck (Seiten 5 und 10): \(d^2 = 5^2 + 10^2 = 125\) 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras im zweiten Dreieck (Seite 2 und unbekannte Seite \(x\)): \(x^2 + 2^2 = d^2\) 4. Einsetzen und Lösen: \(x^2 + 4 = 125 \Rightarrow x^2 = 121 \Rightarrow x = 11\)

11

- Stelle für jeden Fall eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras auf. - Denke beim Lösen der Gleichungen an binomische Formeln. - Beachte, dass \(x\) eine positive Zahl sein muss, da es eine Länge beschreibt.

1. Fall a (Hypotenuse ist 10): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + (x+2)^2 = 10^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100\), also \(2x^2 + 4x - 96 = 0\). Dividiert durch 2: \(x^2 + 2x - 48 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x = 6\) und \(x = -8\). Da eine Länge positiv sein muss, ist \(x = 6\). 2. Fall b (Hypotenuse ist \(x+2\)): Aufstellen der Gleichung \(x^2 + 10^2 = (x+2)^2\). Ausmultiplizieren ergibt \(x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4\). Subtraktion von \(x^2\) führt auf \(100 = 4x + 4\). Umstellen ergibt \(96 = 4x\), also \(x = 24\).

a) Für \(x = 6\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)). b) Ja, für \(x = 24\) ist das Dreieck rechtwinklig (Seiten: \(24\,\text{cm}\), \(26\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\)).

- Welche maximale Länge kann die längste Seite eines Dreiecks haben, wenn der Gesamtumfang \(10\) ist? - Kannst du alle Möglichkeiten für drei ganze Zahlen aufschreiben, die zusammen \(10\) ergeben, und sie prüfen? - Suche für den zweiten Teil nach einem pythagoreischen Tripel, das keine Vergrößerung von \((3, 4, 5)\) ist. - Wie erkennst du, ob zwei Dreiecke dasselbe Seitenverhältnis haben?

1. Für Teil a) seien die ganzzahligen Seiten so geordnet, dass \(a \le b \le c\) gilt. Aus \(a+b+c=10\) und der Dreiecksungleichung \(a+b>c\) folgt \(10-c>c\), also \(c<5\). Da \(c\) die größte der drei positiven ganzzahligen Seiten ist, gilt außerdem \(3c\ge 10\), also \(c\ge 4\). Somit bleibt nur \(c=4\). Dann ist \(a+b=6\); mit \(a\le b\le 4\) sind nur \((a,b)=(2,4)\) und \((3,3)\) möglich. Es gilt jedoch \(2^2+4^2=20\ne16\) und \(3^2+3^2=18\ne16\). Daher gibt es kein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck mit Umfang \(10\). 2. Für Teil b) suchen wir ein Tripel mit \(a+b+c=30\). Das Tripel \((5,12,13)\) erfüllt dies, da \(5+12+13=30\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). 4. Das Verhältnis \(5:12:13\) ist keine Vergrößerung von \(3:4:5\), denn die entsprechenden Quotienten sind nicht gleich.

a) Bei geordneten positiven ganzzahligen Seiten gilt wegen der Dreiecksungleichung \(c<5\) und wegen \(a,b\le c\) zugleich \(c\ge4\). Also ist \(c=4\). Aus \(a+b=6\) folgen nur \((2,4)\) und \((3,3)\); beide erfüllen \(a^2+b^2=c^2\) nicht. Somit gibt es keine ganzzahlige Lösung. b) Das Dreieck mit den Seiten \(5\), \(12\) und \(13\) hat Umfang \(30\) und ist rechtwinklig, weil \(5^2+12^2=13^2\). Sein Seitenverhältnis ist nicht \(3:4:5\).

- Überlege zuerst, ab welcher Länge der Schenkel überhaupt ein Dreieck entstehen kann. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras: Welches Verhältnis zwischen den Seiten gilt bei einem rechten Winkel? - Wie verändert sich die Basis im Verhältnis zu den Schenkeln, wenn der Winkel an der Spitze größer als \(90^\circ\) wird?

1. Für die Existenz eines Dreiecks muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein: \(s + s > 10\), also \(2s > 10\) bzw. \(s > 5\,\text{cm}\). 2. Ein stumpfer Winkel an der Spitze tritt auf, wenn das Quadrat der Basis größer ist als die Summe der Quadrate der Schenkel: \(b^2 > s^2 + s^2\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(10^2 > 2s^2 \implies 100 > 2s^2 \implies 50 > s^2\). 4. Daraus folgt \(s < \sqrt{50}\). Mit \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}\). 5. Der gültige Bereich für die Schenkellänge \(s\) liegt somit zwischen \(5\,\text{cm}\) und \(5\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Die Schenkellänge \(s\) muss im Bereich \(5\,\text{cm} < s < 5\sqrt{2}\,\text{cm}\) (ca. \(5\,\text{cm} < s < 7{,}07\,\text{cm}\)) liegen.

- Erinnere dich an die Bedingung, unter der drei Strecken ein Dreieck bilden können. - Welche Gleichung muss für ein rechtwinkliges Dreieck erfüllt sein? - Vergleiche das Quadrat der Basis mit der Summe der Quadrate der Schenkel, um die Winkelart zu bestimmen.

1. Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss größer als die dritte sein. Es muss gelten \(b < 10 + 10\), also \(0\,\text{cm} < b < 20\,\text{cm}\). 2. Rechtwinkligkeit: Für einen rechten Winkel an der Spitze muss gelten \(s^2 + s^2 = b^2\). Berechnung: \(10^2 + 10^2 = 200\), also \(b = \sqrt{200}\,\text{cm} = 10\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 14{,}14\,\text{cm}\). 3. Klassifizierung für \(b = 14{,}1\,\text{cm}\): Vergleich von \(s^2 + s^2 = 200\) mit \(b^2 = 14{,}1^2 = 198{,}81\). Da \(200 > 198{,}81\), ist die Summe der Quadrate der Schenkel größer als das Quadrat der Basis. Daraus folgt, dass der Winkel an der Spitze spitz und das Dreieck damit spitzwinklig ist.

a) Die Basis muss im Bereich \(0\,\text{cm} < b < 20\,\text{cm}\) liegen. b) Für \(b = 10\sqrt{2}\,\text{cm} \approx 14{,}14\,\text{cm}\) ist das Dreieck rechtwinklig. c) Das Dreieck ist spitzwinklig, da \(10^2 + 10^2 = 200 > 14{,}1^2 = 198{,}81\).

- Zerlege das Trapez gedanklich so, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen. - Wie lang ist wegen der Symmetrie jeder der beiden seitlichen Abschnitte der längeren Grundseite? - Welche waagerechte Teilstrecke bildet zusammen mit \(h\) und der Diagonale \(e\) ein rechtwinkliges Dreieck? - Für Teil c): Welche Aussage erlaubt es, aus den drei Seitenlängen auf Rechtwinkligkeit zu schließen?

1. Wegen der Symmetrie des gleichschenkligen Trapezes ist der seitliche Grundseitenabschnitt \(x=\frac{a-c}{2}=\frac{14-4}{2}=5\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Randdreieck gilt \(h^2+5^2=13^2\). Daher ist \(h=\sqrt{169-25}=12\,\text{cm}\). 3. Für die Diagonale \(e=AC\) ist die waagerechte Kathete \(14-5=9\,\text{cm}\) lang. Somit gilt \(e=\sqrt{9^2+12^2}=15\,\text{cm}\). 4. Für das Dreieck \(ABC\) ist \(A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot14\cdot12=84\,\text{cm}^2\). 5. Seine Seiten sind \(13\,\text{cm}\), \(14\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\). Es gilt \(13^2+14^2=365\neq225=15^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck daher nicht rechtwinklig.

a) \(h=12\,\text{cm}\); \(e=15\,\text{cm}\) b) \(A_{ABC}=84\,\text{cm}^2\) c) Nein. Es gilt \(13^2+14^2\neq15^2\), also ist \(ABC\) nicht rechtwinklig.

- Welche Diagonale wird durch die Symmetrieachse halbiert? - Bestimme zuerst den Abschnitt von \(f\), der zusammen mit der halben Diagonale \(e\) und der bekannten Seite \(a\) ein rechtwinkliges Dreieck bildet. - Wie lang ist danach der verbleibende Abschnitt von \(f\)? - Welche beiden Katheten gehören schließlich zur gesuchten Seite \(b\)?

1. Da \(f\) die Symmetrieachse ist, halbiert sie \(e\). Jede Hälfte von \(e\) ist daher \(8\,\text{cm}\) lang. 2. Für den Abschnitt \(f_1\) neben der kürzeren Seite gilt im rechtwinkligen Teildreieck \(f_1^2=10^2-8^2=36\). Somit ist \(f_1=6\,\text{cm}\). 3. Der andere Abschnitt der Symmetrieachse ist \(f_2=21\,\text{cm}-6\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). 4. Für die längere Seite gilt damit \(b^2=8^2+15^2=64+225=289\). 5. Daher ist \(b=17\,\text{cm}\).

Die längere Seite ist \(b=17\,\text{cm}\) lang.

- Welche der beiden Diagonalen wird von der Symmetrieachse halbiert? - Welche Länge hat deshalb jede Hälfte der \(24\,\text{cm}\) langen Diagonale? - Bestimme die zwei Teilstrecken der gesuchten Diagonale in den beiden rechtwinkligen Teildreiecken getrennt. - Wie setzt sich \(d\) anschließend aus diesen Teilstrecken zusammen?

1. Die \(24\,\text{cm}\) lange Diagonale wird von der Symmetrieachse rechtwinklig halbiert. Jede Hälfte ist daher \(12\,\text{cm}\) lang. 2. Die gesuchte Diagonale \(d\) besteht aus zwei Teilstrecken \(d_1\) und \(d_2\). 3. Im Teildreieck mit der Seite \(a\) gilt \(d_1^2=13^2-12^2=25\), also \(d_1=5\,\text{cm}\). 4. Im Teildreieck mit der Seite \(b\) gilt \(d_2^2=20^2-12^2=256\), also \(d_2=16\,\text{cm}\). 5. Somit ist \(d=d_1+d_2=21\,\text{cm}\).

Die andere Diagonale ist \(d=21\,\text{cm}\) lang.

- Welche Hälfte der Breite liegt zwischen \(A\) und dem Mittelpunkt \(M\) in Breitenrichtung? - Welche waagerechte Entfernung in der Grundfläche erhältst du aus Breiten- und Tiefenanteil? - Wie kannst du diese Grundflächenentfernung anschließend mit der Höhe verbinden?

1. Vom Punkt \(A\) bis zum Punkt \(M\) beträgt die Verschiebung in Breitenrichtung \(\frac{a}{2}=3\,\text{cm}\), in Tiefenrichtung \(4\,\text{cm}\) und in Höhenrichtung \(12\,\text{cm}\). 2. Zunächst ist die waagerechte Entfernung in der Grundfläche \(g=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}\). 3. Mit dieser Strecke und der Höhe entsteht ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt \(AM=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,\text{cm}\).

Die Strecke \(AM\) ist \(13\,\text{cm}\) lang.

- Welche Längen haben \(AM\) und \(MB\) aufgrund der Mittelpunkteigenschaft und der Beziehung \(AB=2\cdot CD\)? - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn \(AM\), \(BM\) und \(DM\) gleich lang sind? - Welche Rolle spielt dann die Strecke \(AB\) in diesem Kreis? - Welche Aussage liefert der Satz des Thales für das Dreieck \(ADB\)?

1. Aus \(AB=2\cdot CD\) und der Mittelpunkteigenschaft von \(M\) folgt \(AM=MB=CD=7{,}5\,\text{cm}\). 2. Zusammen mit \(DM=CD\) gilt daher \(AM=BM=DM\). 3. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) liegen somit auf einem Kreis mit Mittelpunkt \(M\). Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, ist \(AB\) ein Durchmesser dieses Kreises. 4. Nach dem Satz des Thales ist \(\angle ADB=90^\circ\). 5. Außerdem ist \(AB=15\,\text{cm}\). Im rechtwinkligen Dreieck \(ADB\) gilt daher \(9^2+BD^2=15^2\). 6. Somit ist \(BD^2=144\) und \(BD=12\,\text{cm}\).

\(BD=12\,\text{cm}\)

- Welche Längenbeziehung erhältst du, wenn du den Mittelpunkt \(M\) von \(AB\) betrachtest? - Was folgt aus \(AM\parallel CD\) und \(AM=CD\) für das Viereck \(AMCD\)? - Welche besondere Aussage kennst du über ein Dreieck, dessen Seitenhalbierende zu einer Seite halb so lang wie diese Seite ist? - In welchem Dreieck kannst du anschließend den Satz des Pythagoras anwenden?

1. Sei \(M\) der Mittelpunkt von \(AB\). Dann gilt \(AM=MB=\frac{1}{2}AB\). Aus \(AB=2\cdot CD\) folgt \(AM=MB=CD\). 2. Weil \(AM\parallel CD\) und \(AM=CD\), ist \(AMCD\) ein Parallelogramm. Daher gilt \(MC=AD\). 3. Mit \(AD=CD\) folgt \(MC=AM=MB=\frac{1}{2}AB\). 4. Im Dreieck \(ABC\) ist \(MC\) damit eine Seitenhalbierende zur Seite \(AB\), deren Länge der halben Seite \(AB\) entspricht. Nach der Umkehrung des Satzes des Thales ist \(\angle ACB=90^\circ\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(AB^2=AC^2+BC^2=15^2+20^2=625\). 6. Daher ist \(AB=25\,\text{cm}\) und wegen \(AB=2\cdot CD\) folgt \(CD=12{,}5\,\text{cm}\).

\(AB=25\,\text{cm}\) und \(CD=12{,}5\,\text{cm}\)

- Bestimme aus dem Flächeninhalt zunächst die Seitenlänge des äußeren Quadrats. - Drücke diese Seitenlänge durch \(a\) und \(b\) aus. - Nutze den Satz des Pythagoras mit \(c = 5\,\text{cm}\). - Löse das entstehende Gleichungssystem beziehungsweise die quadratische Gleichung.

1. Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist \(A = 49\,\text{cm}^2\). Daraus folgt für die Seitenlänge \(s = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\). 2. Da die Dreiecke kongruent sind, setzt sich die Seite des großen Quadrats aus den Katheten \(a\) und \(b\) zusammen: \(a + b = 7\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Da \(c = 5\,\text{cm}\) ist, gilt \(a^2 + b^2 = 5^2 = 25\). 4. Wir haben ein Gleichungssystem: (I) \(b = 7 - a\) und (II) \(a^2 + b^2 = 25\). 5. Einsetzen von (I) in (II): \(a^2 + (7 - a)^2 = 25 \Rightarrow a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25 \Rightarrow 2a^2 - 14a + 24 = 0\). 6. Division durch 2 ergibt: \(a^2 - 7a + 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(a_1 = 3\) und \(a_2 = 4\). 7. Wenn \(a = 3\), dann ist \(b = 4\) (und umgekehrt). Die Kathetenlängen sind somit \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

Die Längen der Katheten betragen \(a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\) (oder umgekehrt).