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1. Zeichne Kreis \(k(M; 3,5 \text{ cm})\) und Punkt \(A\) mit \(|MA| = 9 \text{ cm}\). 2. Konstruiere den Mittelpunkt \(K\) von \(MA\) und zeichne den Thaleskreis um \(K\) mit Radius \(4,5 \text{ cm}\). 3. Die Schnittpunkte mit \(k\) sind \(T_1\) und \(T_2\). 4. Zeichne \(AT_1\) und \(AT_2\). 5. Begründung: Ein Punkt \(T_1\) auf dem Thaleskreis über der Strecke \(MA\) bildet mit den Endpunkten \(M\) und \(A\) ein Dreieck \(MT_1A\), bei dem der Winkel \(\angle MT_1A\) nach dem Satz des Thales ein rechter Winkel (\(90^\circ\)) ist. Da eine Gerade genau dann eine Tangente an einen Kreis ist, wenn sie senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist \(AT_1\) die gesuchte Tangente.

Die Konstruktion erfolgt mit dem Thaleskreis. Die Orthogonalität (\(90^\circ\)-Winkel) zwischen Radius und Tangente ist die definierende Eigenschaft, die durch den Satz des Thales erfüllt wird.

1. Maßstab festlegen: \(r = 4 \text{ cm}\), \(|ML| = 10 \text{ cm}\). 2. Zeichne einen Kreis um \(M\) mit \(r = 4 \text{ cm}\). 3. Zeichne die Strecke \(ML = 10 \text{ cm}\). 4. Bestimme den Mittelpunkt \(K\) der Strecke \(ML\). 5. Zeichne den Thaleskreis mit Radius \(|KM| = 5 \text{ cm}\) um \(K\). 6. Die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Inselkreis ergeben die Berührpunkte \(B_1\) und \(B_2\). 7. Zeichne die Strahlen von \(L\) durch \(B_1\) und \(B_2\). 8. Verwendete Sätze: Satz des Thales (jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel), Definition der Tangente (steht senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt).

Die Konstruktion nutzt den Satz des Thales über der Strecke zwischen Leuchtturm und Inselmittelpunkt, um die Punkte zu finden, an denen der Radius senkrecht auf der Sichtlinie steht.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie hängen die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Welche Seiten bilden bei einem rechtwinkligen Dreieck die Grundseite und die Höhe?

1. Einheiten angleichen: \(c = 250\,\text{cm} = 2{,}5\,\text{m}\). 2. Rechtwinkligkeit mit dem Satz des Pythagoras prüfen: \(0{,}7^2 + 2{,}4^2 = 0{,}49 + 5{,}76 = 6{,}25\). 3. Vergleich mit der längsten Seite: \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Da \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, ist das Dreieck rechtwinklig bei \(C\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 0{,}7\,\text{m} \cdot 2{,}4\,\text{m} = 0{,}84\,\text{m}^2\).

Das Dreieck ist rechtwinklig, da \(0{,}7^2 + 2{,}4^2 = 2{,}5^2\) gilt. Der Flächeninhalt beträgt \(0{,}84\,\text{m}^2\) (bzw. \(8400\,\text{cm}^2\)).

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn du ein Quadrat an der Diagonale teilst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Seitenlängen und der Diagonale in einem Quadrat? - Erinnere dich an den Satz über die Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken.

1. Da das Blatt quadratisch ist, bildet die Diagonale zusammen mit zwei Seiten des Quadrats ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck. 2. Die Seitenlängen des Quadrats sind die Katheten des Dreiecks (\(a = 20\,\text{cm}\)), die Diagonale ist die Hypotenuse (\(d\)). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(d^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800\). 5. Berechnung der Wurzel: \(d = \sqrt{800} \approx 28{,}284\ldots\,\text{cm}\). 6. Das Ergebnis gerundet auf eine Dezimalstelle beträgt \(28{,}3\,\text{cm}\).

Die Faltkante ist etwa \(28{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Überlege zuerst, welche Seite (Kathete oder Hypotenuse) gesucht ist. - Stelle sicher, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Quadraten der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung für Spalte a): Gegeben sind die Katheten \(a = 15\,\text{cm}\) und \(b = 20\,\text{cm}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\). 2. Berechnung für Spalte b): Gegeben sind die Kathete \(a = 0{,}8\,\text{dm}\) und die Hypotenuse \(c = 1{,}7\,\text{dm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{1{,}7^2 - 0{,}8^2} = \sqrt{2{,}89 - 0{,}64} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5\,\text{dm}\). 3. Berechnung für Spalte c): Gegeben sind die Kathete \(b = 120\,\text{mm} = 12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(c = 13\,\text{cm}\). Die fehlende Kathete berechnet sich durch \(a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\).

a) \(c = 25\,\text{cm}\) b) \(b = 1{,}5\,\text{dm}\) c) \(a = 5\,\text{cm}\) (oder \(50\,\text{mm}\))

- Welche geometrische Figur entsteht, wenn man ein Rechteck entlang einer Diagonale teilt? - Wie hängen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, wenn beide Seitenlängen bekannt sind?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Rechteck: \(a^2 + b^2 = d^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(5^2 + b^2 = 13^2\), also \(25 + b^2 = 169\). 3. Umstellen nach \(b^2\): \(b^2 = 169 - 25 = 144\). 4. Berechnen der Seitenlänge \(b\): \(b = \sqrt{144} = 12\,\text{m}\). 5. Berechnen des Flächeninhalts: \(A = a \cdot b = 5\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\).

Die zweite Seite ist \(12\,\text{m}\) lang und der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{m}^2\).

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welche Seitenlängen sind in einem dieser Teildreiecke bekannt? - Wie hängen die Grundseite, die Höhe und die Schenkel mathematisch zusammen?

1. Berechnung der halben Basis mithilfe des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Teildreieck: \((\frac{c}{2})^2 = s^2 - h_c^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). 2. Bestimmung der halben Basis durch Radizieren: \(\frac{c}{2} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Berechnung der gesamten Basis: \(c = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120\,\text{cm}^2\).

Die Basis beträgt \(c = 16\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt ist \(A = 120\,\text{cm}^2\).

- Welche geometrische Form bildet der Bildschirm zusammen mit seiner Diagonale? - Erinnere dich an den Zusammenhang der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. - Ein Verhältnis wird wie ein Bruch gekürzt, indem man beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert.

1. Berechnung der Breite \(w\) mit dem Satz des Pythagoras: \(w^2 + 15^2 = 17^2\). 2. Umstellen und Lösen: \(w^2 = 289 - 225 = 64\). Somit ist \(w = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Seitenverhältnisses: Das Verhältnis von Breite zu Höhe ist \(8 : 15\). Da \(8\) und \(15\) keinen gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist dies bereits die gekürzte Form.

a) Die Breite des Bildschirms beträgt \(8\,\text{cm}\). b) Das Seitenverhältnis beträgt \(8 : 15\).

- Welche Seite liegt dem gegebenen Winkel gegenüber und welche liegt an? - Überlege, welche trigonometrische Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) eine Beziehung zwischen einer bekannten Seite und einer gesuchten Seite herstellt. - Stelle die Formel nach der gesuchten Größe um, bevor du die Zahlenwerte einsetzt.

1. Identifikation der gegebenen Stücke im rechtwinkligen Dreieck: Gegenkathete zu \(\beta\) ist \(b\), Ankathete ist \(a\), Hypotenuse ist \(c\). 2. Berechnung der Kathete \(a\) über den Tangens: \(\tan(\beta) = \frac{b}{a} \Rightarrow a = \frac{b}{\tan(\beta)}\). 3. Einsetzen der Werte: \(a = \frac{6{,}5}{\tan(50^\circ)} \approx 5{,}45\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Hypotenuse \(c\) über den Sinus: \(\sin(\beta) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(\beta)}\). 5. Einsetzen der Werte: \(c = \frac{6{,}5}{\sin(50^\circ)} \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

Die Kathete \(a\) ist etwa \(5{,}45\,\text{cm}\) lang und die Hypotenuse \(c\) ist etwa \(8{,}49\,\text{cm}\) lang.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden spitzen Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck? - Überlege, welche trigonometrische Funktion die Gegenkathete von \(\alpha\) mit der Hypotenuse verbindet. - Welche Funktion setzt die beiden Katheten zueinander in Beziehung? - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Berechnung des Winkels \(\beta\): Da die Winkelsumme im Dreieck \(180^\circ\) beträgt und \(\gamma = 90^\circ\) ist, gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\): Unter Verwendung des Sinus gilt \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). Umgestellt nach \(c\) ergibt sich \(c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}4}{\sin(35^\circ)} \approx 14{,}65\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Kathete \(b\): Unter Verwendung des Tangens gilt \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). Umgestellt nach \(b\) ergibt sich \(b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{8{,}4}{\tan(35^\circ)} \approx 12{,}00\,\text{cm}\).

\(\beta = 55^\circ\), \(b \approx 12{,}00\,\text{cm}\), \(c \approx 14{,}65\,\text{cm}\)

- Welche Form hat ein Quadrat und welche Winkel treten dort auf? - Wie hängen die Seiten eines Quadrats zusammen? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die Diagonale als Seite eines Dreiecks betrachten?

1. Ein Quadrat besitzt vier rechte Winkel. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, in denen die Diagonale die Hypotenuse und die Quadratseiten die Katheten bilden. Daher ist der Satz des Pythagoras anwendbar. 2. Ansatz mit dem Satz des Pythagoras: \(a^2 + a^2 = (20\,\text{m})^2\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2a^2 = 400\,\text{m}^2\). 4. Isolieren von \(a^2\): \(a^2 = 200\,\text{m}^2\). 5. Ziehen der Wurzel für den exakten Wert: \(a = \sqrt{200}\,\text{m} = 10\sqrt{2}\,\text{m}\). 6. Numerische Berechnung: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

1. Die Diagonale zerlegt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. 2. Exakt: \(a = \sqrt{200}\,\text{m}\) (bzw. \(10\sqrt{2}\,\text{m}\)); gerundet: \(a \approx 14{,}14\,\text{m}\).

- Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken? - Kannst du die Länge dieser gemeinsamen Seite zuerst bestimmen? - Überlege, welche Seite in den jeweiligen Dreiecken die längste ist (Hypotenuse). - Nutze den Satz des Pythagoras für jedes Dreieck nacheinander.

1. Berechnung der gemeinsamen Kathete \(k\) im ersten Dreieck mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(k^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\). Daraus folgt \(k = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(x\) im zweiten Dreieck unter Verwendung von \(k\): \(x^2 = k^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\). 3. Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\).

Die Hypotenuse des zweiten Dreiecks ist \(25\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, wie die längste Strecke innerhalb eines Quaders verläuft. - Welche drei Kantenlängen bilden zusammen mit der Raumdiagonalen eine mathematische Beziehung? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die Höhe die einzige Unbekannte ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras im Raum für die Raumdiagonale \(e\): \(e^2 = l^2 + b^2 + h^2\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte \(e = 130\,\text{cm}\), \(l = 40\,\text{cm}\) und \(b = 30\,\text{cm}\): \(130^2 = 40^2 + 30^2 + h^2\). 3. Berechnen der Quadrate: \(16\,900 = 1\,600 + 900 + h^2\), also \(16\,900 = 2\,500 + h^2\). 4. Umstellen nach \(h^2\): \(h^2 = 16\,900 - 2\,500 = 14\,400\). 5. Ziehen der Quadratwurzel: \(h = \sqrt{14\,400} = 120\,\text{cm}\).

Der Karton muss mindestens \(120\,\text{cm}\) hoch sein.

- Wie berechnet man den Umfang einer geometrischen Figur, wenn die Längen der Außenkanten bekannt sind? - Welche Eigenschaft muss ein Dreieck erfüllen, um als „gleichschenklig“ zu gelten? - Erinnere dich an die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem. - Hilft es dir, die Punkte kurz in ein Skizzen-Koordinatensystem einzutragen?

1. Berechnung der Seitenlänge \(c = |\overline{AB}|\): Da beide Punkte auf der Geraden \(y = 1\) liegen, ergibt sich die Länge aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(|4 - (-2)| = 6\). Alternativ per Formel: \(\sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6\). 2. Berechnung der Seitenlänge \(a = |\overline{BC}|\): \(|\overline{BC}| = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 3. Berechnung der Seitenlänge \(b = |\overline{AC}|\): \(|\overline{AC}| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 4. Bestimmung des Umfangs: \(U = 6 + 5 + 5 = 16\). 5. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Da die Seiten \(a\) und \(b\) beide die Länge \(5\) besitzen, sind zwei Seiten des Dreiecks gleich lang. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.

a) Der Umfang des Dreiecks beträgt \(16\,\text{Längeneinheiten}\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Seiten \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) mit jeweils \(5\,\text{Längeneinheiten}\) gleich lang sind.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck? - Achte darauf, welche Seite die längste im Dreieck ist. - Wie lässt sich die Formel umstellen, wenn nicht die längste Seite gesucht ist?

1. Anwendung des Satzes von Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) und Umstellung nach der gesuchten Kathete: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). 2. Berechnung für a): \(b = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35\). Die Kathete \(b\) ist \(35\,\text{cm}\) lang. 3. Berechnung für b): \(b = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} = 2\). Die Kathete \(b\) ist \(2\,\text{m}\) lang.

a) \(b = 35\,\text{cm}\) b) \(b = 2\,\text{m}\)

- Kannst du in der Figur ein rechtwinkliges Dreieck identifizieren? - Welche Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sind gegeben, und welche wird gesucht? - Wie hängen die Seiten im Quadrat oder im gleichschenkligen Dreieck zusammen? - Achte darauf, ob du eine Seite erst halbieren musst, bevor du den Satz von Pythagoras anwendest.

1. In einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe die Basis. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(\frac{c}{2} = 6\,\text{cm}\) und \(h_c = 8\,\text{cm}\). Der Schenkel \(a\) ist die Hypotenuse: \(a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(a = b = 10\,\text{cm}\). 2. Im Quadrat gilt für die Diagonale \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Umgestellt nach \(a\) ergibt sich \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\). Einsetzen der Werte: \(a = \frac{12}{\sqrt{2}} \approx 8{,}485\,\text{cm}\). Auf eine Dezimalstelle gerundet: \(a \approx 8{,}5\,\text{cm}\). 3. Die fehlende Rechteckseite \(b\) wird über den Satz von Pythagoras berechnet: \(b = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}\). Der Umfang berechnet sich zu \(U = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 24\,\text{cm}) = 2 \cdot 34\,\text{cm} = 68\,\text{cm}\).

1) \(a = b = 10\,\text{cm}\); 2) \(a \approx 8{,}5\,\text{cm}\); 3) \(U = 68\,\text{cm}\).

- Kannst du eine Skizze der Situation zeichnen? - Welche geometrische Form entsteht durch die beiden Laufwege und die direkte Verbindungslinie? - Berechne zuerst, wie viele Kilometer jeder Wanderer in der gegebenen Zeit geschafft hat. - Gibt es einen bekannten mathematischen Satz für Berechnungen an Dreiecken mit einem rechten Winkel?

1. Berechnung der von Wanderer A zurückgelegten Strecke: \(s_A = 4{,}8\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 7{,}2\,\text{km}\). 2. Berechnung der von Wanderer B zurückgelegten Strecke: \(s_B = 3{,}6\,\text{km/h} \cdot 1{,}5\,\text{h} = 5{,}4\,\text{km}\). 3. Da die Richtungen Norden und Westen rechtwinklig zueinander stehen, bilden die Strecken die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{s_A^2 + s_B^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{7{,}2^2 + 5{,}4^2} = \sqrt{51{,}84 + 29{,}16} = \sqrt{81}\). 6. Ergebnis: \(d = 9\,\text{km}\).

Nach \(1{,}5\) Stunden sind die beiden Wanderer \(9\,\text{km}\) voneinander entfernt.

- In einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe auf die Basis diese genau. - Kannst du ein rechtwinkliges Teildreieck finden, um die Höhe zu berechnen? - Welche Maße benötigst du für die Standardformel des Flächeninhalts eines Dreiecks?

1. Einheiten angleichen: \(a = b = 3{,}7\,\text{cm}\). 2. Höhe \(h_c\) im gleichschenkligen Dreieck bestimmen: Die Höhe teilt die Basis \(c\) in zwei Hälften zu je \(1{,}2\,\text{cm}\). 3. Satz des Pythagoras im Teildreieck anwenden: \(h_c^2 + 1{,}2^2 = 3{,}7^2 \implies h_c^2 + 1{,}44 = 13{,}69\). 4. Höhe berechnen: \(h_c^2 = 12{,}25 \implies h_c = \sqrt{12{,}25} = 3{,}5\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4\,\text{cm} \cdot 3{,}5\,\text{cm} = 4{,}2\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(4{,}2\,\text{cm}^2\).

- In welche zwei kleineren Dreiecke wird das große Dreieck durch die Höhe geteilt? - Was weißt du über die Katheten dieser Teildreiecke? - Wie kannst du die Umkehrung des Satzes von Pythagoras nutzen, um auf die Rechtwinkligkeit des gesamten Dreiecks zu schließen?

1. Die Höhe \(h_c\) teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei spiegelsymmetrische, rechtwinklige Teildreiecke. 2. Die Katheten eines solchen Teildreiecks sind die Höhe \(h_c = 6\,\text{cm}\) und die halbe Basis \(\frac{c}{2} = 6\,\text{cm}\). 3. Da beide Katheten im Teildreieck gleich lang sind, betragen die Basiswinkel des großen Dreiecks jeweils \(45^\circ\). 4. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Der Winkel an der Spitze berechnet sich zu \(180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\). 5. Alternativ über den Satz von Pythagoras: Die Schenkellänge \(s\) berechnet sich durch \(s^2 = 6^2 + 6^2 = 72\). 6. Prüfung der Umkehrung des Satzes von Pythagoras für das große Dreieck: \(s^2 + s^2 = 72 + 72 = 144\). 7. Da die Basis im Quadrat \(c^2 = 12^2 = 144\) ergibt und somit \(s^2 + s^2 = c^2\) gilt, ist das Dreieck rechtwinklig. 8. Der rechte Winkel liegt der Basis gegenüber (an der Spitze).

Da die Höhe genauso lang ist wie die halbe Basis (\(6\,\text{cm}\)), bilden die Schenkel mit der Basis Winkel von \(45^\circ\). Somit beträgt der Winkel an der Spitze \(90^\circ\). Rechnerisch gilt mit den Schenkelquadraten \(72 + 72 = 12^2\), was die Rechtwinkligkeit an der Spitze bestätigt.

- Wie kannst du mit den drei Seitenlängen testen, ob ein rechter Winkel vorliegt? - Was passiert mit einer Wurzel, wenn du sie quadrierst? - Achte darauf, welche Seite die längste ist, wenn du die Formel anwendest.

1. Teilaufgabe a): Prüfung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Es muss gelten \(a^2 + b^2 = c^2\) für die beiden kürzeren Seiten. Rechnung: \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). Vergleich mit dem Quadrat der längsten Seite: \(29^2 = 841\). Da \(841 = 841\), ist das Dreieck rechtwinklig. 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Satzes des Pythagoras mit Wurzelwerten. \(c^2 = a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{23})^2 = 13 + 23 = 36\). Daraus folgt \(c = \sqrt{36} = 6\). 3. Teilaufgabe c): Umstellen der Formel nach der gesuchten Kathete. \(b^2 = c^2 - a^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\). Daraus folgt \(b = \sqrt{144} = 12\).

a) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig, da \(20^2 + 21^2 = 29^2\). b) \(c = 6\) c) \(b = 12\)

- Kannst du zuerst den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen, ohne die Seitenlänge explizit zu berechnen? - Wenn zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, was bedeutet das für die Formeln? - Welche Schritte sind nötig, um von einer bekannten Seite und dem Flächeninhalt zur Diagonalen zu kommen?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats über die Diagonale: \(A = \frac{d_Q^2}{2} = \frac{10^2}{2} = 50\,\text{cm}^2\). 2. Da das Rechteck den gleichen Flächeninhalt hat, gilt \(a_R \cdot b_R = 50\). 3. Berechnung der fehlenden Seite des Rechtecks: \(b_R = \frac{50}{4} = 12{,}5\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Diagonalen des Rechtecks mit Pythagoras: \(d_R = \sqrt{a_R^2 + b_R^2} = \sqrt{4^2 + 12{,}5^2} = \sqrt{16 + 156{,}25} = \sqrt{172{,}25}\). 5. Ergebnis: \(d_R \approx 13{,}12\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist etwa \(13{,}12\,\text{cm}\) lang.

- Welche Information kannst du direkt aus dem Flächeninhalt und der Basis gewinnen? - Erinnere dich daran, dass die Höhe die Basis in zwei gleich große Teile teilt. - Welche drei Seiten bilden in der Figur ein rechtwinkliges Dreieck?

1. Berechnung der Höhe \(h\) aus der Flächenformel: \(48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h \Rightarrow 48 = 6 \cdot h \Rightarrow h = 8\,\text{m}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Schenkellänge \(s\): \(s^2 = h^2 + (\frac{12}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). 3. Bestimmung der Schenkellänge: \(s = \sqrt{100} = 10\,\text{m}\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = c + 2 \cdot s = 12 + 2 \cdot 10 = 32\,\text{m}\).

Die Länge der Dachbalken beträgt jeweils \(10\,\text{m}\) und der Umfang der Giebelfläche ist \(32\,\text{m}\).

- Berücksichtige, dass der Rahmen auf beiden Seiten (links/rechts sowie oben/unten) von den Maßen der Nische abgezogen werden muss. - Überlege, welche Abmessung der Nische (Breite oder Höhe) die Größe des Bildschirms zuerst einschränkt. - Verwende das Seitenverhältnis, um die jeweils andere Seite des Bildschirms auszudrücken. - Wie hängen Breite, Höhe und Diagonale in einem Rechteck zusammen?

1. Bestimmung der maximal möglichen Maße für den Bildschirm (ohne Rahmen): Breite \(w_{\text{max}} = 90\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 85\,\text{cm}\); Höhe \(h_{\text{max}} = 60\,\text{cm} - 2 \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 55\,\text{cm}\). 2. Prüfung des 16:9-Verhältnisses: Bei maximaler Breite \(w = 85\,\text{cm}\) ergibt sich die Höhe zu \(h = 85 \cdot \frac{9}{16} = 47{,}8125\,\text{cm}\). Da \(47{,}8125\,\text{cm} < 55\,\text{cm}\), begrenzt die Breite des Schranks die Größe des Fernsehers. 3. Berechnung der Bildschirmdiagonale \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{85^2 + 47{,}8125^2} \approx \sqrt{7225 + 2286{,}04} \approx 97{,}52\,\text{cm}\). 4. Umrechnung der Diagonale in Zoll: \(97{,}52\,\text{cm} : 2{,}54\,\text{cm/Zoll} \approx 38{,}39\,\text{Zoll}\). 5. Die größte ganze Zollgröße, die noch in die Nische passt, ist somit \(38\,\text{Zoll}\).

Die größte ganze Zollgröße, die in die Nische passt, beträgt \(38\,\text{Zoll}\).

- Welches Verhältnis besteht zwischen der Gegenkathete von \(\alpha\) und der Hypotenuse? - Wie kann man die fehlende Kathete berechnen, wenn zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck bekannt sind? - Es gibt zwei Möglichkeiten, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Nutze diesen Zusammenhang für die Höhe.

1. Berechnung des Winkels \(\alpha\) über den Sinus: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}\). 2. Anwendung der Umkehrfunktion: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22{,}62^\circ\). 3. Berechnung der zweiten Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) des Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe \(h_c\) über die Flächenformel mit der Hypotenuse: \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \Rightarrow 30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_c\). 6. Auflösen nach \(h_c\): \(h_c = \frac{60}{13} \approx 4{,}62\,\text{cm}\).

a) Der Winkel \(\alpha\) beträgt etwa \(22{,}62^\circ\). b) Die Höhe \(h_c\) ist etwa \(4{,}62\,\text{cm}\) lang.

- Wie ist der Sinus im rechtwinkligen Dreieck definiert? - Welche Seitenlängen könntest du wählen, damit ihr Verhältnis genau \(0{,}8\) ergibt? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras, um die dritte Seite für die Zeichnung zu finden. - Welche Taste am Taschenrechner hilft dir, von einem Sinuswert auf den Winkel zu schließen?

1. Da \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = 0{,}8 = \frac{4}{5}\) ist, kann ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Gegenkathete von \(4\,\text{cm}\) und einer Hypotenuse von \(5\,\text{cm}\) gezeichnet werden. Die Ankathete ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu \(\sqrt{5^2 - 4^2} = 3\,\text{cm}\). 2. Die Messung des Winkels \(\alpha\) im gezeichneten Dreieck ergibt etwa \(53^\circ\). 3. Die rechnerische Bestimmung erfolgt über die Umkehrfunktion: \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\).

Der gemessene Winkel sollte bei ca. \(53^\circ\) liegen. Der berechnete Wert ist \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\).

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(2 : 3\) für die Längen der Seiten? Musst du die genauen Längen kennen, um die Winkel zu berechnen? - Welche trigonometrische Funktion nutzt das Verhältnis der beiden Katheten? - Wie hängen die beiden gesuchten Winkel in diesem speziellen Dreieckstyp zusammen?

1. Aufstellen der Beziehung: Das Verhältnis \(a : b = 2 : 3\) bedeutet, dass \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\) gilt. 2. Berechnung von \(\alpha\): In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens von \(\alpha\) definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, also \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). 3. Einsetzen des Verhältnisses: \(\tan(\alpha) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\). 4. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33{,}69^\circ\). 5. Berechnung von \(\beta\): Da \(\alpha + \beta = 90^\circ\), folgt \(\beta = 90^\circ - 33{,}69^\circ = 56{,}31^\circ\).

\(\alpha \approx 33{,}69^\circ\), \(\beta \approx 56{,}31^\circ\)

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Katheten betrachtet? - Wenn du zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck kennst, wie findest du die dritte? - Welche Winkelfunktion hilft dir, einen Winkel zu finden, wenn du die Längen der Katheten kennst?

1. Berechnung der Kathete \(a\): Die Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\). Einsetzen der Werte ergibt \(24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8\), woraus \(24 = 4 \cdot a\) und somit \(a = 6\,\text{cm}\) folgt. 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\): Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\). 4. Berechnung des Winkels \(\beta\): Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\).

\(c=10\,\text{cm}\), \(\alpha\approx36{,}87^\circ\), \(\beta\approx53{,}13^\circ\)

- Wie groß sind die Basiswinkel, wenn der Spitzenwinkel bekannt ist? - Wenn du die Höhe einzeichnest, wie teilen sich der Spitzenwinkel und die Basis auf? - Ändert sich die Höhe, wenn du den Winkel bei gleichbleibenden Schenkeln vergrößerst?

1. Berechnung der Basis \(c\): Durch die Höhe \(h_c\) wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit dem Winkel \(\frac{\gamma}{2} = 20^\circ\) an der Spitze geteilt. Es gilt \(\sin(20^\circ) = \frac{c/2}{s}\). Somit ist \(c = 2 \cdot s \cdot \sin(20^\circ) = 2 \cdot 12\,\text{cm} \cdot \sin(20^\circ) \approx 8{,}21\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\): Es gilt \(\cos(20^\circ) = \frac{h_c}{s}\), also \(h_c = 12\,\text{cm} \cdot \cos(20^\circ) \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 3. Verdoppelung des Winkels: Neuer Winkel \(\gamma' = 80^\circ\). Die neue Basis \(c'\) berechnet sich analog zu \(c' = 2 \cdot 12\,\text{cm} \cdot \sin(40^\circ) \approx 15{,}43\,\text{cm}\).

a) \(c \approx 8{,}21\,\text{cm}\) b) \(h_c \approx 11{,}28\,\text{cm}\) c) \(c \approx 15{,}43\,\text{cm}\)

- Wie hängen die Seitenlängen mit den gegenüberliegenden Winkeln zusammen? - Überlege, welche Kathete bei einem sehr steilen Winkel fast so lang wie die Hypotenuse wird. - Erinnere dich daran, welche Werte Sinus und Kosinus maximal annehmen können. - Was passiert mit dem Tangens, wenn der Winkel gegen \(90^\circ\) geht?

1. Berechnung der Katheten: \(b = c \cdot \sin(\beta) = 15\,\text{cm} \cdot \sin(82^\circ) \approx 14{,}85\,\text{cm}\) \(a = c \cdot \cos(\beta) = 15\,\text{cm} \cdot \cos(82^\circ) \approx 2{,}09\,\text{cm}\) 2. Begründung der Verhältnisse: Da \(\beta = 82^\circ\) sehr groß ist (nahe \(90^\circ\)), muss die Gegenkathete \(b\) fast so lang wie die Hypotenuse \(c\) sein, während die Ankathete \(a\) sehr kurz ist. Das Verhältnis \(\frac{b}{a}\) (Tangens von \(82^\circ\)) setzt eine Seite, die fast so lang wie die Hypotenuse ist, ins Verhältnis zu einer sehr kurzen Seite. Da \(b > a\) und \(b \approx c\), ist \(\frac{b}{a} > 1\), während \(\frac{a}{c}\) und \(\frac{b}{c}\) (Sinus und Kosinus) immer kleiner als \(1\) sind. Somit ist \(\frac{b}{a}\) das größte Verhältnis.

1. \(a \approx 2{,}09\,\text{cm}\); \(b \approx 14{,}85\,\text{cm}\) 2. Das Verhältnis \(\frac{b}{a}\) ist am größten. Da \(\beta\) sehr groß ist, ist die Gegenkathete \(b\) viel länger als die Ankathete \(a\), wodurch der Quotient \(\frac{b}{a}\) deutlich größer als \(1\) wird, während die anderen Quotienten kleiner als \(1\) bleiben.

- Zerlege die Figur gedanklich in ihre zwei Grundformen. - Was musst du wissen, um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen? - Berechne zuerst die Länge der gemeinsamen Trennlinie der beiden Teilflächen. - Wie hängen die Grundseite und die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten zusammen?

1. Berechnung der gemeinsamen Seite \(s\) im ersten Dreieck: \(s^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\). Somit ist \(s = \sqrt{576} = 24\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Dreiecks: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Dreiecks mit der Kathete \(s = 24\,\text{m}\) und der Kathete \(10\,\text{m}\): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120\,\text{m}^2\). 4. Addition der Teilflächen: \(A_{ges} = 84 + 120 = 204\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Grundstücks beträgt \(204\,\text{m}^2\).

- Was bedeutet „quadratische Grundfläche“ für die Variablen in deiner Formel? - Stelle die Formel für die Raumdiagonale so auf, dass nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. - Achte darauf, dass in der Formel zwei Seitenlängen identisch sind.

1. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt für Länge und Breite \(l = b = a\). 2. Die Formel für die Raumdiagonale lautet \(e^2 = a^2 + a^2 + h^2\), vereinfacht \(e^2 = 2a^2 + h^2\). 3. Einsetzen der Werte \(e = 9\) und \(h = 7\): \(9^2 = 2a^2 + 7^2\). 4. Quadrieren der Zahlen: \(81 = 2a^2 + 49\). 5. Umstellen nach \(a^2\): \(2a^2 = 81 - 49 = 32\), also \(a^2 = 16\). 6. Wurzel ziehen: \(a = 4\,\text{cm}\).

Die Kantenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Was bedeutet „Reichweite“ mathematisch für den Abstand zwischen zwei Punkten? - Welche Bedingung muss der Abstand erfüllen, damit eine Verbindung möglich ist? - Achte beim Einsetzen der negativen Koordinaten in die Formel besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen des Ansatzes für den Abstand \(d\) zwischen \(R(2|3)\) und \(L(-2|6)\): \(d = \sqrt{(x_L - x_R)^2 + (y_L - y_R)^2}\). 2. Einsetzen der Koordinaten: \(d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 3)^2}\). 3. Berechnung der Differenzen: \(\Delta x = -4\) und \(\Delta y = 3\). 4. Quadrieren und Summieren: \(d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\). 5. Ergebnis des Abstands: \(d = 5\,\text{m}\). 6. Vergleich mit der Reichweite: Da der berechnete Abstand von \(5\,\text{m}\) exakt der maximalen Reichweite des Routers entspricht, befindet sich der Laptop gerade noch im Empfangsbereich.

Ja, der Laptop kann eine Verbindung herstellen. Der berechnete Abstand zwischen Router und Laptop beträgt genau \(5\,\text{m}\), was exakt der maximalen Reichweite entspricht.

- Berechne zuerst die unbekannte Seite im ursprünglichen Zustand. - Wie lang ist die neue Hypotenuse nach der Änderung? - Führe die Berechnung für das veränderte Dreieck erneut durch und vergleiche die Ergebnisse.

1. Berechnung der Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\,\text{cm}\). 2. Berechnung der neuen Hypotenuse: \(c' = 29\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 35\,\text{cm}\). 3. Berechnung der neuen Kathete \(b'\): \(b' = \sqrt{35^2 - 21^2} = \sqrt{1225 - 441} = \sqrt{784} = 28\,\text{cm}\). 4. Ermittlung der Differenz: \(28\,\text{cm} - 20\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

1. \(b = 20\,\text{cm}\) 2. Die Kathete \(b\) vergrößert sich um \(8\,\text{cm}\).

- Stelle dir die Positionen in einem Koordinatensystem vor, wobei der Leuchtturm im Nullpunkt liegt. - Wo befinden sich die beiden Boote nach zwei Stunden? Achte darauf, dass eines der Boote bereits einen Startvorteil im Norden hatte. - Wie groß ist der horizontale und der vertikale Abstand zwischen den Endpunkten der Boote? - Kannst du aus diesen Abständen ein rechtwinkliges Dreieck bilden, um die Diagonale zu berechnen?

1. Bestimmung der Position des Segelboots nach \(2\) Stunden: Die Ost-Koordinate beträgt \(12\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 24\,\text{km}\). Die Nord-Koordinate bleibt konstant bei \(15\,\text{km}\). 2. Bestimmung der Position des Motorboots nach \(2\) Stunden: Die Nord-Koordinate beträgt \(4\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 8\,\text{km}\). Die Ost-Koordinate ist \(0\,\text{km}\). 3. Berechnung der Differenzen der Koordinaten: In Ost-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta x = 24\,\text{km} - 0\,\text{km} = 24\,\text{km}\). In Nord-Richtung beträgt der Unterschied \(\Delta y = 15\,\text{km} - 8\,\text{km} = 7\,\text{km}\). 4. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Abstands \(d\): \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\). 5. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625}\). 6. Ergebnis: \(d = 25\,\text{km}\).

Der Abstand zwischen den beiden Booten beträgt nach \(2\) Stunden genau \(25\,\text{km}\).

- Untersuche zuerst, ob eines der Dreiecke rechtwinklig ist. - Wenn ein Dreieck nicht rechtwinklig ist, ist es vielleicht gleichschenklig? - Berechne für beide Fälle die notwendige Höhe, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

1. Dreieck 1 prüfen: \(15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521\). Da \(39^2 = 1521\), ist es rechtwinklig. 2. Flächeninhalt Dreieck 1: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 = 270\,\text{cm}^2\). 3. Dreieck 2 ist gleichschenklig. Höhe \(h\) auf die Basis \(14\,\text{cm}\) berechnen: \(h^2 + 7^2 = 25^2 \implies h^2 + 49 = 625\). 4. Höhe berechnen: \(h^2 = 576 \implies h = 24\,\text{cm}\). 5. Flächeninhalt Dreieck 2: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: \(270\,\text{cm}^2 > 168\,\text{cm}^2\). Dreieck 1 hat den größeren Flächeninhalt.

Dreieck 1 hat einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\), Dreieck 2 einen von \(168\,\text{cm}^2\). Somit besitzt Dreieck 1 die größere Fläche.

- Wie hängt die Diagonale des Quadrats mit dem Kreis zusammen, wenn die Ecken auf dem Rand liegen? - Wenn du die Diagonale kennst, wie kannst du dann den Flächeninhalt des Quadrats berechnen? - Musst du die Seitenlänge \(a\) einzeln ausrechnen, um den Flächeninhalt \(a^2\) zu bestimmen?

1. Die Diagonale \(d\) verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte des Quadrats und verläuft durch den Kreismittelpunkt; sie entspricht daher dem Durchmesser des Kreises. 2. Somit gilt: \(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). 3. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit der Seitenlänge \(a\) als Katheten. 4. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(a^2 + a^2 = d^2\). 5. Einsetzen des Wertes für \(d\): \(2a^2 = 10^2 = 100\). 6. Der Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats ist definiert als \(A = a^2\). 7. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(a^2 = \frac{100}{2} = 50\). 8. Der Flächeninhalt beträgt somit \(50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Beziehung zwischen den beiden Katheten mit einer Variablen ausdrücken? - Setze diesen Ausdruck in die bekannte Formel für rechtwinklige Dreiecke ein. - Vergiss beim Quadrieren von Ausdrücken wie \((2a)\) oder \(5\sqrt{5}\) nicht, alle Faktoren zu berücksichtigen.

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Seiten: Sei \(a\) die Länge der ersten Kathete. Dann gilt für die zweite Kathete \(b = 2a\). 2. Einsetzen in den Satz des Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) führt zu \(a^2 + (2a)^2 = (5\sqrt{5})^2\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(a^2 + 4a^2 = 25 \cdot 5\), also \(5a^2 = 125\). 4. Lösen nach \(a\): Division durch 5 ergibt \(a^2 = 25\), woraus durch Wurzelziehen \(a = 5\,\text{cm}\) folgt (da Längen positiv sind). 5. Berechnung von \(b\): Da \(b = 2a\), ergibt sich \(b = 2 \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 10\,\text{cm}\) lang.

- Wie hängen Umfang und Flächeninhalt mit den Seitenlängen zusammen? - Könntest du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Seitenlängen zu finden? - Gibt es eine Verbindung zwischen der Summe der Seiten \((a+b)\), dem Produkt \((a \cdot b)\) und der Summe der Quadrate \((a^2 + b^2)\)? - Erinnere dich an die erste binomische Formel.

Es gibt zwei Lösungswege: Weg 1 (über die Seitenlängen): 1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2(a+b) = 28 \Rightarrow a+b = 14\) und \(a \cdot b = 48\). 2. Einsetzen von \(b = 14 - a\) in die Flächenformel: \(a(14-a) = 48 \Rightarrow a^2 - 14a + 48 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung ergibt \(a = 6\) und \(b = 8\) (oder umgekehrt). 4. Berechnung der Diagonale: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). Weg 2 (direkt über binomische Formeln): 1. \(a+b = 14\) und \(ab = 48\). 2. Nutzen der Formel \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\). 3. Da \(a^2 + b^2 = d^2\), folgt \(14^2 = d^2 + 2 \cdot 48\). 4. \(196 = d^2 + 96 \Rightarrow d^2 = 100\). 5. \(d = 10\,\text{cm}\).

Die Diagonale des Rechtecks ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Wie kannst du die Länge der Schenkel herausfinden, wenn du den gesamten Umfang und die Basis kennst? - Was musst du zuerst berechnen, um den Flächeninhalt bestimmen zu können? - Überlege dir einen Plan, welche Zwischengrößen nacheinander berechnet werden müssen.

1. Berechnung der Schenkellänge \(s\) aus dem Umfang: \(36 = 10 + 2s \Rightarrow 26 = 2s \Rightarrow s = 13\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(h_c^2 = s^2 - (\frac{c}{2})^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\). 3. Bestimmung der Höhe: \(h_c = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(60\,\text{cm}^2 > 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\) und ist somit größer als \(50\,\text{cm}^2\).

- Nutze eine Variable, um die Breite und Höhe durch das gegebene Verhältnis auszudrücken. - Stelle eine Gleichung mithilfe des Satzes des Pythagoras auf, um diese Variable zu berechnen. - Berechne anschließend die Flächeninhalte durch Multiplikation von Breite und Höhe.

1. Berechnung für das 4:3-Format: Mit \(w = 4x\) und \(h = 3x\) gilt nach Pythagoras \((4x)^2 + (3x)^2 = 40^2\), also \(25x^2 = 1600\). Daraus folgt \(x^2 = 64\) bzw. \(x = 8\). Die Breite ist \(32\,\text{cm}\), die Höhe \(24\,\text{cm}\). Die Fläche beträgt \(A_{4:3} = 32\,\text{cm} \cdot 24\,\text{cm} = 768\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für das 16:9-Format: Mit \(w = 16k\) und \(h = 9k\) gilt \((16k)^2 + (9k)^2 = 40^2\), also \(337k^2 = 1600\). Daraus folgt \(k^2 = \frac{1600}{337} \approx 4{,}7478\). Die Fläche beträgt \(A_{16:9} = 16k \cdot 9k = 144 \cdot k^2 = 144 \cdot \frac{1600}{337} \approx 683{,}68\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: Der Bildschirm im 4:3-Format ist größer. Die Differenz beträgt \(768\,\text{cm}^2 - 683{,}68\,\text{cm}^2 = 84{,}32\,\text{cm}^2\).

Der 4:3-Bildschirm ist mit \(768\,\text{cm}^2\) größer als der 16:9-Bildschirm (\(683{,}68\,\text{cm}^2\)). Der Unterschied beträgt \(84{,}32\,\text{cm}^2\).

- Stell dir ein einfaches rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse genau \(0{,}6\) ergibt. Welche Seitenlängen könnten das sein? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Was weißt du über Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen?

1. Interpretation von \(\sin(\alpha) = 0{,}6 = \frac{6}{10}\): In einem Modell-Dreieck ist die Gegenkathete \(a=6\) und die Hypotenuse \(c=10\). 2. Berechnung der Ankathete \(b\) mit Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\). 3. Bestimmung von \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{8}{10} = 0{,}8\). 4. Bestimmung von \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 5. Begründung zur Ähnlichkeit: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit einem gemeinsamen Winkel \(\alpha\) sind zueinander ähnlich (WW-Satz). Bei ähnlichen Figuren sind die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen konstant.

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) und \(\tan(\alpha) = 0{,}75\). b) Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel \(\alpha\) aufgrund übereinstimmender Winkel ähnlich zueinander sind, sind die Verhältnisse ihrer Seitenlängen (und damit die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte) identisch.

- Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor. Welche Seite ist immer die längste? - Vergleiche die Brüche für Sinus (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)) und Tangens (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)). Wenn der Wert des Bruchs gleich ist, was bedeutet das für die Nenner? - Was passiert mit dem Sinuswert eines Winkels, wenn der Winkel größer wird?

1. Es gilt \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\). Da für spitze Winkel \(\cos \beta < 1\) ist, muss \(\sin \beta = \tan \beta \cdot \cos \beta\) kleiner als \(\tan \beta\) sein. Wenn \(\tan \beta = 0{,}3\) ist, dann ist \(\sin \beta < 0{,}3\). Da der Sinus im Bereich von \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) mit wachsendem Winkel ansteigt und \(\sin \alpha = 0{,}3\) gilt, muss \(\alpha > \beta\) sein. 2. Berechnung: \(\alpha = \arcsin(0{,}3) \approx 17{,}46^\circ\). \(\beta = \arctan(0{,}3) \approx 16{,}70^\circ\). Damit ist \(\alpha > \beta\) bestätigt.

1. Der Winkel \(\alpha\) ist größer als \(\beta\). 2. \(\alpha \approx 17{,}46^\circ\) und \(\beta \approx 16{,}70^\circ\).

- Wie kannst du die zweite Kathete ausdrücken, wenn du für die erste eine Variable wählst? - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Auflösen der Klammern. - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Kann eine Seitenlänge negativ sein?

1. Definition der Variablen: Sei \(a\) die Länge der kürzeren Kathete, dann gilt für die längere Kathete \(b = a + 7\). 2. Aufstellen der Gleichung nach Pythagoras: \(a^2 + (a + 7)^2 = 13^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(a^2 + a^2 + 14a + 49 = 169\), was zu \(2a^2 + 14a - 120 = 0\) führt. 4. Normalform der quadratischen Gleichung: \(a^2 + 7a - 60 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(a_{1,2} = -3{,}5 \pm \sqrt{3{,}5^2 + 60} = -3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 60} = -3{,}5 \pm 8{,}5\). 6. Bestimmung der sinnvollen Länge: \(a = 5\,\text{cm}\) (da \(a > 0\)). 7. Berechnung der zweiten Kathete: \(b = 5 + 7 = 12\,\text{cm}\).

Die Katheten sind \(a = 5\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\) lang.

- Skizziere den Quader und zeichne die Diagonale am Boden sowie die Diagonale durch den Raum ein. - Welche Seite verbindet das Dreieck am Boden mit dem stehenden Dreieck im Inneren? - Überlege, welcher Winkel im Inneren des Quaders ein rechter Winkel sein muss. - Gehe schrittweise vor: Erst die Fläche am Boden betrachten, dann in den Raum gehen.

1. Berechnung der Diagonale der Grundfläche \(d_G\) mit den Katheten \(a\) und \(b\): \(d_G^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\). Daraus ergibt sich \(d_G = 15\,\text{cm}\). 2. Im inneren Dreieck ist \(d_G\) eine Kathete, \(h\) die gesuchte Kathete und \(D\) die Hypotenuse. 3. Anwendung des Pythagoras zur Bestimmung von \(h\): \(h^2 = D^2 - d_G^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64\). 4. Die Höhe des Quaders beträgt somit \(h = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\).

Die Höhe des Quaders beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Welche Besonderheit weisen die Kanten eines Würfels auf? - Wie vereinfacht sich die Formel für die Raumdiagonale, wenn alle Kanten gleich lang sind? - Kannst du den Faktor bestimmen, ohne die konkreten Zahlenwerte zu nutzen, indem du nur mit dem Buchstaben \(a\) rechnest?

1. Für einen Würfel gilt \(e^2 = 3a^2\). Einsetzen von \(e = 12\): \(144 = 3a^2\). 2. Berechnen von \(a^2 = \frac{144}{3} = 48\). Kantenlänge \(a = \sqrt{48} \approx 6{,}93\,\text{cm}\). 3. Die Flächendiagonale \(d\) berechnet sich über \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). 4. Einsetzen von \(a^2 = 48\): \(d = \sqrt{2 \cdot 48} = \sqrt{96} \approx 9{,}80\,\text{cm}\). 5. Der Faktor zwischen Raumdiagonale und Kantenlänge ist \(\frac{e}{a} = \frac{\sqrt{3a^2}}{a} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

a) Die Kantenlänge beträgt ca. \(6{,}93\,\text{cm}\). b) Die Flächendiagonale beträgt ca. \(9{,}80\,\text{cm}\). c) Die Raumdiagonale ist \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)-mal so lang wie die Kantenlänge.

- Setze die bekannten Werte in die Abstandsformel ein. Wie kannst du die Wurzel auf einer Seite der Gleichung auflösen? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen entstehen können. - Gibt es vielleicht zwei verschiedene Punkte auf der Höhe \(y = 5\), die denselben Abstand zu \(A\) haben?

1. Anwendung der Abstandsformel: \(5 = \sqrt{(k - 1)^2 + (5 - 2)^2}\). 2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(25 = (k - 1)^2 + 3^2\). 3. Vereinfachen: \(25 = (k - 1)^2 + 9\). 4. Subtraktion von 9: \(16 = (k - 1)^2\). 5. Ziehen der Wurzel (beachte beide Fälle): Fall 1: \(k - 1 = 4 \implies k_1 = 5\). Fall 2: \(k - 1 = -4 \implies k_2 = -3\). 6. Die möglichen Werte für \(k\) sind \(5\) und \(-3\).

Die möglichen Werte für \(k\) sind \(k_1 = 5\) und \(k_2 = -3\).

- Skizziere die Figuren und zeichne die Höhen ein, um rechtwinklige Dreiecke zu finden. - Überlege beim Trapez, wie du die Grundseite aufteilen kannst, um die Höhe zu berechnen. - Welche Teilstrecken der Basis liegen unter der Diagonale eines Trapezes? - Wie teilt die Höhe ein gleichseitiges Dreieck, und wie kannst du danach den Satz des Pythagoras anwenden?

1. Die Höhe halbiert die Grundseite des gleichseitigen Dreiecks. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras: \(a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\). Daraus folgt \(a^2 - \frac{a^2}{4} = h^2\), also \(\frac{3}{4}a^2 = h^2\) und damit \(a = \frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} \approx 10{,}392\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{\sqrt{3}} \cdot 9 = 27 \cdot \sqrt{3}\,\text{cm}^2 \approx 46{,}765\,\text{cm}^2\). Gerundet gilt \(a \approx 10{,}4\,\text{cm}\) und \(A \approx 46{,}8\,\text{cm}^2\). 2. Zur Berechnung der Höhe \(h\) betrachtet man das rechtwinklige Dreieck an einem Schenkel. Die waagerechte Kathete ist \(x = \frac{a - c}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6\,\text{cm}\). Damit ist \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\,\text{cm}\). Für die Diagonale \(e\) nutzt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(h = 8\,\text{cm}\) und \(c + x = 8\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 14\,\text{cm}\): \(e = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260} \approx 16{,}125\,\text{cm}\). Gerundet gilt \(h = 8\,\text{cm}\) und \(e \approx 16{,}1\,\text{cm}\).

1) \(a \approx 10{,}4\,\text{cm}\), \(A \approx 46{,}8\,\text{cm}^2\); 2) \(h = 8\,\text{cm}\), \(e \approx 16{,}1\,\text{cm}\).