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Trigonometrische Beziehungen begründen

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4101239
Vereinfache den Term für \(0 < \alpha < 90^\circ\). a) \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha}\) b) \(\tan \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Lösung

a) 1. Nutze den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), um \(1 - \cos^2 \alpha\) als \(\sin^2 \alpha\) zu schreiben. 2. Der Bruch vereinfacht sich zu \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Durch Kürzen erhält man \(\sin \alpha\). b) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der Term wird zu \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Da sich alle Faktoren im Zähler und Nenner gegenseitig kürzen, ist das Ergebnis \(1\).

Antwort

a) \(\sin \alpha\) b) \(1\)
4101209
Vereinfache den Term für \(0 < \alpha < 90^\circ\). a) \(\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}\) b) \(\tan \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha\)

Lösung

a) 1. Nutze die Identität \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) (trigonometrischer Pythagoras). 2. Ersetze den Nenner: \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Der Wert des Bruchs ist \(1\). b) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der erste Summand wird zu \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\). 3. Kürze \(\cos \alpha\): \(\sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha\). 4. Addiere den zweiten Summanden: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\). 5. Das Ergebnis ist \(1\).

Antwort

a) \(1\) b) \(1\)
4101219
Vereinfache den Term für \(0 < \alpha < 90^\circ\). a) \(\tan \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha}\) b) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\)

Lösung

a) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Multipliziere die Brüche: \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha}\). 3. Kürze \(\sin \alpha\), sodass \(\frac{1}{\cos \alpha}\) übrig bleibt. b) 1. Wende die erste binomische Formel auf den ersten Teil an: \(\sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha\). 2. Subtrahiere den zweiten Teil des Terms: \(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha\). 3. Die gemischten Terme heben sich auf: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\). 4. Dies ist nach dem trigonometrischen Pythagoras gleich \(1\).

Antwort

a) \(\frac{1}{\cos \alpha}\) b) \(1\)
4101229
Vereinfache den Term für \(0 < \alpha < 90^\circ\). a) \(\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\tan \alpha}\) b) \((1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha)\)

Lösung

a) 1. Setze \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) in den Nenner ein. 2. Der Term wird zu \(\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Kürze \(\sin \alpha\), es bleibt \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha\). b) 1. Wende die dritte binomische Formel an: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). 2. Damit ergibt sich \(1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\). 3. Nach dem trigonometrischen Pythagoras entspricht dies \(\sin^2 \alpha\).

Antwort

a) \(\cos^2 \alpha\) b) \(\sin^2 \alpha\)
4101249
Vereinfache den Term für \(0 < \alpha < 90^\circ\). a) \(\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\) b) \(\cos^2 \alpha \cdot (1 + \tan^2 \alpha)\)

Lösung

a) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Damit ergibt sich \(\frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Durch Kürzen von \(\sin \alpha\) erhält man \(\cos \alpha\). b) 1. Multipliziere die Klammer aus: \(\cos^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha\). 2. Ersetze \(\tan^2 \alpha\) durch \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Der Term lautet nun \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 4. Nach dem Kürzen von \(\cos^2 \alpha\) bleibt \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\). 5. Gemäß dem trigonometrischen Pythagoras ist dies gleich \(1\).

Antwort

a) \(\cos \alpha\) b) \(1\)
4150709
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel von \(\alpha = 25^\circ\). 1. Begründe geometrisch, warum der Wert von \(\sin(25^\circ)\) identisch mit dem Wert von \(\cos(65^\circ)\) sein muss. 2. Berechne den Wert von \(\tan(25^\circ)\) auf vier Nachkommastellen genau, wenn gegeben ist, dass \(\sin(25^\circ) \approx 0{,}4226\) und \(\cos(25^\circ) \approx 0{,}9063\) gilt.

Denkanstöße

- Wie groß ist die Winkelsumme in einem Dreieck? - Welche Seiten des Dreiecks werden für den Sinus eines Winkels und welche für den Kosinus des anderen Winkels verwendet? - Gibt es eine Formel, die Sinus, Kosinus und Tangens desselben Winkels verbindet?

Lösung

1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 25^\circ\) ist der zweite spitze Winkel \(\beta = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\). Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Da \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) definiert sind, folgt \(\sin(25^\circ) = \cos(65^\circ)\). 2. Verwendung der Beziehung \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\tan(25^\circ) \approx \frac{0{,}4226}{0{,}9063} \approx 0{,}4663\).

Antwort

1. Da die Gegenkathete von \(25^\circ\) die Ankathete von \(65^\circ\) im selben rechtwinkligen Dreieck ist, sind die Verhältnisse zur Hypotenuse gleich. 2. \(\tan(25^\circ) \approx 0{,}4663\)
4150739
Zwei rechtwinklige Dreiecke besitzen jeweils einen Winkel von \(30^\circ\). a) Begründe die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke. b) In jedem rechtwinkligen Dreieck mit einem \(30^\circ\)-Winkel ist die Gegenkathete dieses Winkels genau halb so lang wie die Hypotenuse. Bestimme den Wert des Verhältnisses \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) für diesen Winkel. c) Erkläre, warum dieses Verhältnis für alle rechtwinkligen Dreiecke mit \(\alpha = 30^\circ\) gleich bleibt, auch wenn man die Seitenlängen des Dreiecks verdoppelt.

Denkanstöße

- Was weißt du über die Summe der Winkel in einem Dreieck? - Wann nennt man zwei geometrische Figuren „ähnlich“? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl multipliziert?

Lösung

1. Da beide Dreiecke rechtwinklig sind (\(90^\circ\)) und einen weiteren Winkel von \(30^\circ\) besitzen, muss der dritte Winkel aufgrund der Innenwinkelsumme in beiden Fällen \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) betragen. 2. Nach dem Ähnlichkeitssatz (WW) sind Dreiecke mit übereinstimmenden Winkeln ähnlich zueinander. 3. Aus der Angabe folgt für das Verhältnis: \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{0{,}5 \cdot c}{c} = 0{,}5\). 4. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten konstant. Eine Verdoppelung der Seitenlängen (Streckung mit Faktor \(k=2\)) ändert das Verhältnis nicht, da sich der Faktor im Bruch \(\frac{2 \cdot a}{2 \cdot c}\) kürzt.

Antwort

a) Die Dreiecke sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln (\(90^\circ\), \(30^\circ\), \(60^\circ\)) übereinstimmen (WW-Satz). b) Das Verhältnis beträgt \(0{,}5\). c) Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse fest; eine Skalierung ändert den Wert des Quotienten nicht.
4150829
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c = 15\,\text{cm}\) lang. Für einen der spitzen Winkel \(\alpha\) gilt \(\sin(\alpha) = 0{,}6\). 1. Berechne die Länge der Gegenkathete von \(\alpha\). 2. Erkläre allgemein, welche Bedeutung der Wert \(0{,}6\) für das Verhältnis der Seiten in diesem Dreieck hat.

Denkanstöße

- Welche Seiten des Dreiecks werden durch den Sinus eines Winkels zueinander in Beziehung gesetzt? - Wie kannst du die Formel für den Sinus umstellen, um die gesuchte Seite zu isolieren? - Was sagt ein Dezimalbruch wie \(0{,}6\) über den Anteil einer Größe an einer anderen aus?

Lösung

1. Berechnung der Gegenkathete \(a\): Aus der Definition \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) folgt \(a = c \cdot \sin(\alpha)\). Einsetzen der Werte ergibt \(a = 15\,\text{cm} \cdot 0{,}6 = 9\,\text{cm}\). 2. Bedeutung des Wertes: Der Sinuswert \(0{,}6\) gibt das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an. Das bedeutet, die Gegenkathete macht genau \(60\,\%\) der Länge der Hypotenuse aus bzw. das Verhältnis steht fest als \(3:5\).

Antwort

1. Die Gegenkathete ist \(9\,\text{cm}\) lang. 2. Der Wert \(0{,}6\) bedeutet, dass die Gegenkathete \(\frac{6}{10}\) (oder \(\frac{3}{5}\)) so lang ist wie die Hypotenuse.
4150889
Ein Quadrat hat die Seitenlänge \(a\). Durch das Einzeichnen einer Diagonale entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Bestimme mithilfe eines dieser Dreiecke die exakten Werte für \(\sin(45^\circ)\), \(\cos(45^\circ)\) und \(\tan(45^\circ)\). Erläutere dabei die einzelnen Schritte deiner Herleitung und gib die Ergebnisse in vereinfachter Form an.

Denkanstöße

- Welche geometrische Form entsteht, wenn du ein Quadrat entlang der Diagonale teilst? - Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge \(a\)? - Wie groß sind die Innenwinkel in dem Dreieck, das durch die Diagonale entsteht? - Erinnere dich an die Definitionen der Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Lösung

1. Berechnung der Diagonalenlänge \(d\) im Quadrat mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). 2. Identifikation der Winkel: Die Diagonale halbiert den \(90^\circ\)-Winkel des Quadrats, sodass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln \(45^\circ\), \(45^\circ\) und \(90^\circ\) entsteht. 3. Bestimmung von \(\sin(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung von \(\cos(45^\circ)\): Das Verhältnis von Ankathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt ebenfalls \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Bestimmung von \(\tan(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Ankathete \(a\) ergibt \(\frac{a}{a} = 1\).

Antwort

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45^\circ) = 1\)
4151039
Gegeben ist ein spitzer Winkel \(\alpha\). a) Drücke die Terme für \(\sin \alpha\) und \(\tan \alpha\) ausschließlich unter Verwendung von \(\cos \alpha\) aus. b) Berechne die exakten Werte für \(\sin \alpha\) und \(\tan \alpha\), wenn \(\cos \alpha = 0{,}6\) gilt.

Denkanstöße

- Welche grundlegende Gleichung verknüpft Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens über Sinus und Kosinus definiert? - Achte darauf, dass bei einem spitzen Winkel die Wurzelwerte positiv bleiben.

Lösung

1. Verwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): Umstellen nach \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Sinus positiv). 2. Verwendung der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): Einsetzen des Ausdrucks für \(\sin \alpha\) ergibt \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\). 3. Einsetzen von \(\cos \alpha = 0{,}6\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 4. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3} = 1{,}\bar{3}\).

Antwort

a) \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\) b) \(\sin \alpha = 0{,}8\) und \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)
4151069
Gegeben ist ein spitzer Winkel \(\alpha\) mit \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\). Bestimme die exakten Werte für \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\). Überprüfe anschließend durch Einsetzen der Werte, ob die Identität \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) für diesen Winkel erfüllt ist.

Denkanstöße

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Denk an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis.

Lösung

1. Berechnung von \(\cos\alpha\) über den trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Da \(\alpha\) spitz ist, folgt \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). 2. Berechnung von \(\tan\alpha\) über das Verhältnis: \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}\). 3. Überprüfung der Identität: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1\). Die Gleichung ist erfüllt.

Antwort

\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) \(\tan\alpha = \frac{4}{3}\) Die Identität \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) ist erfüllt, da \(\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1\).
4151099
Vereinfache die folgenden trigonometrischen Terme für \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\): a) \(\frac{\tan \alpha}{\sin \alpha} \cdot \cos \alpha\) b) \(\frac{1}{\tan \alpha} \cdot \sin \alpha\) c) \(1 - \cos^2 \alpha\)

Denkanstöße

- Kannst du den Tangens mithilfe von Sinus und Kosinus ausdrücken? - Gibt es eine grundlegende Gleichung, die Sinus und Kosinus miteinander verbindet? - Versuche, Brüche durch Kürzen zu vereinfachen, nachdem du alle Funktionen auf Sinus und Kosinus zurückgeführt hast.

Lösung

1. Für Teil a) wird \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) ersetzt. Der Ausdruck vereinfacht sich zu \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} \cdot \cos \alpha\). Durch Kürzen von \(\sin \alpha\) und \(\cos \alpha\) ergibt sich das Resultat \(1\). 2. Für Teil b) wird \(\frac{1}{\tan \alpha}\) als \(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) geschrieben. Multipliziert mit \(\sin \alpha\) ergibt sich nach Kürzen von \(\sin \alpha\) der Wert \(\cos \alpha\). 3. Für Teil c) wird der trigonometrische Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) nach \(\sin^2 \alpha\) umgestellt. Somit ist \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\).

Antwort

a) \(1\) b) \(\cos \alpha\) c) \(\sin^2 \alpha\)
4151129
Für einen spitzen Winkel \(\alpha\) ist der Kosinuswert \(\cos \alpha = \frac{15}{17}\) bekannt. Berechne ohne Verwendung eines Taschenrechners die exakten Werte für \(\sin \alpha\) und \(\tan \alpha\).

Denkanstöße

- Gibt es eine Formel, die Sinus und Kosinus direkt miteinander verbindet? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Achte darauf, Brüche zu quadrieren, indem du Zähler und Nenner einzeln quadrierst.

Lösung

1. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \(\sin^2 \alpha + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1\) 3. Berechnung von \(\sin^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}\) 4. Da \(\alpha\) ein spitzer Winkel ist, gilt \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}\) 5. Berechnung des Tangens: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{8/17}{15/17} = \frac{8}{15}\)

Antwort

\(\sin \alpha = \frac{8}{17}\) und \(\tan \alpha = \frac{8}{15}\)
4151159
Gegeben ist ein spitzer Winkel \(\beta\) mit \(0^\circ < \beta < 90^\circ\) und \(\sin \beta = \frac{2}{3}\). Bestimme die exakten Werte der folgenden Terme ohne Verwendung eines Taschenrechners: a) \(\cos \beta\) b) \(\tan \beta\) c) \(\sin(90^\circ - \beta)\)

Denkanstöße

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete von \(\beta\) ist und welche Rolle sie für den Winkel \(90^\circ - \beta\) spielt.

Lösung

1. Berechnung von \(\cos \beta\) über den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Da \(\beta\) spitz ist, gilt \(\cos \beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). 2. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\tan \beta = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). 3. Anwendung der Komplementärbeziehung \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\): \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Antwort

a) \(\cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{3}\) b) \(\tan \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) (oder \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)) c) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
4151219
Zeige die Gültigkeit der folgenden Gleichung durch Termumformung: \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\)

Denkanstöße

- Kannst du eine der binomischen Formeln auf den Term auf der linken Seite anwenden? - Gibt es eine grundlegende Identität, die Sinus und Kosinus eines Winkels miteinander verknüpft, wenn beide quadriert werden? - Versuche, die linke Seite so weit wie möglich zu vereinfachen, bis sie wie die rechte Seite aussieht.

Lösung

1. Ausmultiplizieren der linken Seite mit der ersten binomischen Formel ergibt \(\sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha\). 2. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), um die beiden quadrierten Terme zusammenzufassen. 3. Das Ergebnis \(1 + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\) entspricht der rechten Seite der Gleichung.

Antwort

Die Gültigkeit wird durch Anwendung der ersten binomischen Formel auf die linke Seite und anschließende Vereinfachung mit dem trigonometrischen Pythagoras (\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)) gezeigt: \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\).
4151249
Lina behauptet: „Wenn man in einem rechtwinkligen Dreieck bei gleichbleibender Hypotenuse den Winkel \(\alpha\) verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Länge der Gegenkathete \(a\).“ Überprüfe diese Aussage mithilfe eines Beispiels (z. B. mit einer Hypotenuse von \(10\,\text{cm}\) und einem Startwinkel von \(30^\circ\)) und nimm begründet Stellung dazu.

Denkanstöße

- Welche trigonometrische Funktion setzt die Gegenkathete und die Hypotenuse in Beziehung? - Rechne die Längen für zwei verschiedene Winkel konkret aus. - Vergleiche das Ergebnis der Verdopplung des Winkels mit dem Doppelten des ersten Ergebnisses.

Lösung

1. Berechnung der Gegenkathete \(a_1\) für \(\alpha = 30^\circ\) und \(c = 10\,\text{cm}\): \(a_1 = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm}\). 2. Verdopplung des Winkels: \(2 \cdot \alpha = 60^\circ\). 3. Berechnung der neuen Gegenkathete \(a_2\) für \(60^\circ\): \(a_2 = 10 \cdot \sin(60^\circ) \approx 10 \cdot 0{,}866 = 8{,}66\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Werte: Das Doppelte von \(a_1\) wäre \(10\,\text{cm}\). Da \(8{,}66\,\text{cm} \neq 10\,\text{cm}\), ist Linas Aussage falsch. 5. Fazit: Der Sinuswert (und damit die Gegenkathete) wächst nicht proportional zum Winkel.

Antwort

Linas Aussage ist falsch. Bei einer Hypotenuse von \(10\,\text{cm}\) beträgt die Gegenkathete für \(30^\circ\) genau \(5\,\text{cm}\). Verdoppelt man den Winkel auf \(60^\circ\), so beträgt die Gegenkathete etwa \(8{,}66\,\text{cm}\). Das ist nicht das Doppelte von \(5\,\text{cm}\) (\(10\,\text{cm}\)).
4151279
In einer Hausaufgabe soll der Term \(T = \frac{\cos \alpha}{\tan \alpha} \cdot \sin \alpha\) vereinfacht werden. Leon rechnet wie folgt: 1. \(T = \frac{\cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \cdot \sin \alpha\) 2. \(T = \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha\) 3. \(T = 1\) Überprüfe, ob Leons Rechnung korrekt ist. Falls nicht, beschreibe den Fehler und berechne das richtige Ergebnis für den Term \(T\).

Denkanstöße

- Wie dividiert man einen Wert durch einen Bruch? - Überprüfe den Übergang von Zeile 1 zu Zeile 2 genau auf die Regeln der Bruchrechnung. - Welche Faktoren lassen sich im korrekten Kehrwert-Ausdruck kürzen?

Lösung

1. Der erste Schritt ist korrekt: Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Die Division durch einen Bruch erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert. Leon hat fälschlicherweise \(\cos \alpha\) gekürzt, obwohl im Nenner durch \(\cos \alpha\) dividiert wird. 3. Korrekte Rechnung: \(\frac{\cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha\). 4. Kürzen von \(\sin \alpha\) ergibt: \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha\).

Antwort

Leons Rechnung ist falsch. Der Fehler liegt in Schritt 2 bei der Division durch den Bruch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Richtig gerechnet ergibt sich: \(T = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos^2 \alpha\).
4152089
In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel bei \(C\) ist der Winkel \(\alpha = 10^\circ\) gegeben. 1. Berechne die Seitenverhältnisse \(\frac{a}{c}\) und \(\frac{b}{c}\). 2. Bestimme, wie sich diese Verhältnisse ändern (Faktor der Zunahme oder Abnahme), wenn der Winkel auf \(\alpha' = 20^\circ\) verdoppelt wird.

Denkanstöße

- Welche trigonometrische Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse? - Welche Funktion beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse? - Berechne die Werte für beide Winkel getrennt und vergleiche sie anschließend. - Denke daran, deinen Taschenrechner auf „DEG“ zu stellen.

Lösung

1. Die Verhältnisse entsprechen den Definitionen von Sinus und Kosinus: \(\frac{a}{c} = \sin(10^\circ) \approx 0{,}1736\) \(\frac{b}{c} = \cos(10^\circ) \approx 0{,}9848\) 2. Für \(\alpha' = 20^\circ\) ergeben sich: \(\frac{a'}{c} = \sin(20^\circ) \approx 0{,}3420\) \(\frac{b'}{c} = \cos(20^\circ) \approx 0{,}9397\) Vergleich durch Division: Änderung bei \(\frac{a}{c}\): \(\frac{0{,}3420}{0{,}1736} \approx 1{,}97\) (nahezu Verdopplung) Änderung bei \(\frac{b}{c}\): \(\frac{0{,}9397}{0{,}9848} \approx 0{,}95\) (leichte Abnahme um ca. \(5\,\%\))

Antwort

1. \(\frac{a}{c} \approx 0{,}1736\); \(\frac{b}{c} \approx 0{,}9848\) 2. Das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) vergrößert sich etwa um den Faktor \(1{,}97\) (fast das Doppelte), während das Verhältnis \(\frac{b}{c}\) auf das etwa \(0{,}95\)-fache sinkt.
4154669
Vereinfache den folgenden trigonometrischen Term so weit wie möglich: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \cos^2 \beta + \sin^4 \beta\)

Denkanstöße

- Gibt es in dem Term einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Erinnerst du dich an die grundlegende Beziehung zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis? - Kannst du einen Teil des Terms durch eine Konstante ersetzen?

Lösung

1. Ausklammern von \(\sin^2 \beta\) aus den letzten beiden Summanden: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta)\) 2. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot 1\) 3. Erneute Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)

Antwort

1
4156009
Ein quadratisches Verkehrsschild hat eine Diagonale der Länge \(d = 12\,\text{cm}\). Berechne die Seitenlänge \(s\) des Quadrats auf zwei verschiedene Arten: 1. Verwende den Satz des Pythagoras. 2. Verwende die trigonometrische Beziehung mit dem exakten Wert \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Gib das Ergebnis sowohl exakt als auch auf zwei Dezimalstellen gerundet an.

Denkanstöße

- Welche Form hat das Dreieck, das durch die Diagonale im Quadrat entsteht? - Welche Winkel treten in diesem speziellen Dreieck auf? - Wie hängen die Katheten in diesem speziellen Dreieck zusammen?

Lösung

1. Weg (Pythagoras): Im Quadrat gilt \(s^2 + s^2 = d^2\). Einsetzen: \(2s^2 = 12^2 = 144\). Daraus folgt \(s^2 = 72\) und \(s = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Weg (Trigonometrie): In einem halben Quadrat (rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck) beträgt der Winkel \(\alpha = 45^\circ\). Es gilt \(\sin(45^\circ) = \frac{s}{d}\). 3. Umstellen nach \(s\): \(s = d \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 4. Numerische Berechnung: \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

Antwort

Die exakte Seitenlänge beträgt \(s = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).
4150749
Betrachte das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) (Gegenkathete zu Hypotenuse) in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel \(\alpha\). a) Beschreibe, wie sich der Wert des Verhältnisses verändert, wenn der Winkel \(\alpha\) immer kleiner wird und gegen \(0^\circ\) geht. Gehe davon aus, dass die Hypotenuse \(c\) konstant bleibt. b) Begründe geometrisch, warum das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) für jeden spitzen Winkel \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)) stets kleiner als 1 sein muss.

Denkanstöße

- Stell dir vor, du klappst die Hypotenuse langsam nach unten in Richtung der Ankathete. Was passiert dabei mit der Höhe des Dreiecks? - Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste? - Was bedeutet es für einen Bruch, wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner?

Lösung

1. Wenn der Winkel \(\alpha\) kleiner wird, verringert sich bei gleichbleibender Hypotenuse \(c\) die Länge der Gegenkathete \(a\). 2. Nähert sich \(\alpha\) dem Wert \(0^\circ\) an, strebt die Länge von \(a\) gegen 0, wodurch auch das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) gegen 0 strebt. 3. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c\) die Seite, die dem größten Winkel (\(90^\circ\)) gegenüberliegt. 4. Da in einem Dreieck der größten Seite der größte Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse immer die längste Seite. 5. Da \(a < c\) gilt, muss der Quotient \(\frac{a}{c}\) immer kleiner als 1 sein.

Antwort

a) Das Verhältnis wird immer kleiner und strebt gegen 0. b) Da die Hypotenuse \(c\) im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, gilt stets \(a < c\), woraus \(\frac{a}{c} < 1\) folgt.
4151049
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete für einen Winkel \(\alpha\) als \(\tan \alpha = \frac{5}{12}\) gegeben. Bestimme die Werte für \(\sin \alpha\) und \(\cos \alpha\), ohne den Winkel \(\alpha\) selbst zu berechnen. Begründe dein Vorgehen mithilfe des Satzes von Pythagoras.

Denkanstöße

- Was sagt das Seitenverhältnis des Tangens über die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte Seite? - Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Lösung

1. Da \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{5}{12}\), können die Seitenlängen als \(5k\) und \(12k\) modelliert werden. 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k\). 3. Bestimmung von \(\sin \alpha\): \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}\). 4. Bestimmung von \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}\).

Antwort

\(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) und \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\)
4151079
In einem rechtwinkligen Dreieck hat der spitze Winkel \(\beta\) den Tangenswert \(\tan\beta = \frac{15}{8}\). Bestimme die Werte von \(\sin\beta\) und \(\cos\beta\), ohne den Winkel \(\beta\) selbst zu berechnen. Ermittle darauf aufbauend die Werte für \(\sin(90^\circ - \beta)\) und \(\cos(90^\circ - \beta)\).

Denkanstöße

- Wie sind Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck über die Seitenlängen definiert? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Welche Rolle spielen die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen?

Lösung

1. Interpretation von \(\tan\beta\) im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan\beta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15}{8}\). Wähle Gegenkathete \(b = 15\) und Ankathete \(a = 8\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\). 3. Bestimmung der Verhältnisse: \(\sin\beta = \frac{15}{17}\) und \(\cos\beta = \frac{8}{17}\). 4. Nutzung der Beziehungen für Komplementärwinkel: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos\beta = \frac{8}{17}\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin\beta = \frac{15}{17}\).

Antwort

\(\sin\beta = \frac{15}{17}\) \(\cos\beta = \frac{8}{17}\) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{8}{17}\) \(\cos(90^\circ - \beta) = \frac{15}{17}\)
4151109
Fasse die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)): a) \(\cos^2 \alpha + \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \tan \alpha\) b) \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) c) \(\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha} \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du im ersten Teil den Tangens ersetzt? Fällt etwas weg? - Erkennst du im Zähler des zweiten Teils einen Teil des trigonometrischen Pythagoras wieder? - Kannst du den Term im dritten Teil erst schrittweise vereinfachen, bevor du alles zusammenrechnest?

Lösung

1. In Teil a) wird \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) eingesetzt. Der Term wird zu \(\cos^2 \alpha + \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\). Nach dem trigonometrischen Pythagoras ist dies gleich \(1\). 2. In Teil b) wird der Zähler mithilfe von \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) zu \(\cos^2 \alpha\) vereinfacht. Der Bruch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt nach Kürzen \(\cos \alpha\). 3. In Teil c) wird \(\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\) zu \(\cos \alpha\) vereinfacht (da \(\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha\)). Der Gesamtausdruck lautet dann \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\), was wiederum \(1\) ergibt.

Antwort

a) \(1\) b) \(\cos \alpha\) c) \(1\)
4151139
Von einem spitzen Winkel \(\beta\) ist bekannt, dass \(\tan \beta = \sqrt{3}\) gilt. Bestimme unter Verwendung trigonometrischer Zusammenhänge die exakten Werte für \(\sin \beta\) und \(\cos \beta\).

Denkanstöße

- Du kannst den Tangens als Verhältnis von Sinus zu Kosinus ausdrücken. - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine trigonometrische Funktion vorkommt. - Was passiert, wenn man eine Wurzel quadriert?

Lösung

1. Nutzung der Beziehung \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \sqrt{3} \implies \sin \beta = \sqrt{3} \cdot \cos \beta\) 2. Einsetzen in \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \((\sqrt{3} \cdot \cos \beta)^2 + \cos^2 \beta = 1\) 3. Vereinfachung: \(3 \cdot \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \implies 4 \cdot \cos^2 \beta = 1\) 4. Lösung für \(\cos \beta\): \(\cos^2 \beta = \frac{1}{4} \implies \cos \beta = \frac{1}{2}\) (da \(\beta\) spitz ist) 5. Lösung für \(\sin \beta\): \(\sin \beta = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Antwort

\(\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos \beta = \frac{1}{2}\)
4151169
In einem rechtwinkligen Dreieck ist für einen der spitzen Winkel \(\gamma\) das Verhältnis der Katheten als \(\tan \gamma = \frac{3}{4}\) bekannt. a) Bestimme die Werte von \(\sin \gamma\) und \(\cos \gamma\), ohne den Winkel \(\gamma\) mit dem Taschenrechner zu bestimmen. b) Überprüfe durch Einsetzen deiner Ergebnisse, ob die Identität \(\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1\) für diesen Winkel erfüllt ist.

Denkanstöße

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor und beschrifte die Seiten passend zum gegebenen Tangenswert. - Wie kannst du die Länge der dritten Seite (Hypotenuse) ausdrücken, wenn die Katheten bekannt sind? - Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck (Verhältnisse der Seiten).

Lösung

1. Definition \(\tan \gamma = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}\). Setze Gegenkathete \(a = 3k\) und Ankathete \(b = 4k\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit Pythagoras: \(c = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k\). 3. Bestimmung von Sinus und Kosinus: \(\sin \gamma = \frac{a}{c} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} = 0{,}6\) und \(\cos \gamma = \frac{b}{c} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 4. Überprüfung der Identität: \(\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\). Die Identität ist erfüllt.

Antwort

a) \(\sin \gamma = 0{,}6\); \(\cos \gamma = 0{,}8\) b) Die Identität ist erfüllt, da \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\).
4151199
Betrachte ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) sowie der Hypotenuse \(c\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber. Zeige allgemein durch Einsetzen der Seitenverhältnisse, dass die Gleichung \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras ist.

Denkanstöße

- Wie sind Sinus und Kosinus über die Seitenlängen im Dreieck definiert? - Ersetze die trigonometrischen Begriffe durch die entsprechenden Brüche aus den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\). - Welche Beziehung gilt zwischen den Quadraten der Seitenlängen in jedem rechtwinkligen Dreieck?

Lösung

1. Definition der trigonometrischen Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) 2. Einsetzen dieser Verhältnisse in den Ausdruck \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) ergibt \(\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2\) 3. Anwendung der Potenzgesetze führt zu \(\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}\) 4. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) 5. Ersetzen des Zählers durch \(c^2\) ergibt \(\frac{c^2}{c^2} = 1\), womit die Identität bewiesen ist

Antwort

Durch Einsetzen von \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) in \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) erhält man \(\frac{a^2 + b^2}{c^2}\). Da nach Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, vereinfacht sich der Bruch zu \(\frac{c^2}{c^2} = 1\).
4151229
Beweise, dass für alle Winkel \(\alpha\) (mit \(\cos \alpha \neq 0\)) der folgende Zusammenhang gilt: \(\cos^2 \alpha \cdot (1 - \tan^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du die Klammer auf der linken Seite auflöst? - Wie lässt sich der Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Kannst du im entstandenen Term etwas kürzen, um ihn zu vereinfachen?

Lösung

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite ergibt \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha\). 2. Einsetzen der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) führt zu \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Kürzen des Faktors \(\cos^2 \alpha\) im zweiten Term ergibt \(\sin^2 \alpha\). 4. Der verbleibende Ausdruck \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) ist identisch mit der rechten Seite.

Antwort

Durch Ausmultiplizieren der linken Seite und Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) erhält man: \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\). Damit ist die Gleichung bewiesen.
4151259
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) gilt für den Winkel \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). Untersuche mathematisch, wie sich die Größe des Winkels \(\alpha\) verändert, wenn man die Längen beider Katheten gleichzeitig verdoppelt. Begründe dein Ergebnis sowohl rechnerisch als auch durch eine geometrische Überlegung.

Denkanstöße

- Setze die neuen Seitenlängen (\(2a\) und \(2b\)) in die Formel für den Tangens ein. - Kannst du den entstandenen Bruch vereinfachen? - Was weißt du über die Winkel in Dreiecken, deren Seiten im gleichen Verhältnis stehen? - Erinnere dich an das Thema Ähnlichkeit von Figuren.

Lösung

1. Aufstellen des Tangens-Verhältnisses für die verdoppelten Seiten: \(\tan(\alpha_{neu}) = \frac{2a}{2b}\). 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\). 3. Vergleich: Da \(\tan(\alpha_{neu}) = \frac{a}{b} = \tan(\alpha_{alt})\) gilt, muss auch \(\alpha_{neu} = \alpha_{alt}\) sein. Der Winkel bleibt unverändert. 4. Geometrische Begründung: Durch die Verdopplung beider Katheten entsteht ein zum ursprünglichen Dreieck ähnliches Dreieck (Ähnlichkeitssatz SWS). Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß.

Antwort

Der Winkel \(\alpha\) bleibt unverändert. Rechnerisch ergibt sich \(\tan(\alpha_{neu}) = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\), was dem ursprünglichen Tangenswert entspricht. Geometrisch handelt es sich um eine zentrische Streckung bzw. ähnliche Dreiecke, bei denen die Innenwinkel stets gleich bleiben.
4151289
Vereinfache den folgenden trigonometrischen Ausdruck so weit wie möglich: \[\sin(90^\circ - \beta) \cdot \cos \beta + \cos(90^\circ - \beta) \cdot \sin \beta\] Nutze dabei die Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck sowie den trigonometrischen Pythagoras. Erkläre kurz, welche Identitäten du in jedem Schritt verwendest.

Denkanstöße

- Was weißt du über Sinus und Kosinus von Winkeln, die sich zu \(90^\circ\) ergänzen? - Gibt es eine bekannte Formel, die die Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels verbindet? - Skizziere zur Not ein rechtwinkliges Dreieck und markiere beide spitzen Winkel.

Lösung

1. Anwendung der Komplementärwinkel-Beziehungen: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta\). 2. Einsetzen in den Ausdruck: \((\cos \beta) \cdot \cos \beta + (\sin \beta) \cdot \sin \beta\). 3. Zusammenfassen der Produkte: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta\). 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). 5. Das Endergebnis ist \(1\).

Antwort

Der Ausdruck lässt sich zu \(1\) vereinfachen. Schritte: \(\sin(90^\circ - \beta) \cdot \cos \beta + \cos(90^\circ - \beta) \cdot \sin \beta\) \(= \cos \beta \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \sin \beta\) \(= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)
4151329
Vereinfache den Term für \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) so weit wie möglich: \[\frac{1}{\cos \alpha} - \tan \alpha \cdot \sin \alpha\]

Denkanstöße

- Versuche, alle Teile des Terms nur mit Sinus und Kosinus auszudrücken. - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnere dich an den Zusammenhang \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Lösung

1. Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha\) 2. Zusammenfassen des Produkts: \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 3. Subtraktion der Brüche mit gleichem Nenner: \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras in der Form \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 5. Kürzen des Bruchs \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(\cos \alpha\)

Antwort

\(\cos \alpha\)
4151349
In einem rechtwinkligen Dreieck sind \(\alpha\) und \(\beta\) die beiden spitzen Winkel. a) Zeige allgemein mithilfe der Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck, dass das Produkt der Tangenswerte beider Winkel immer den Wert 1 ergibt, also \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1\). b) Ein Schüler hat für einen Winkel \(\alpha = 22{,}5^\circ\) den Wert \(\tan 22{,}5^\circ \approx 0{,}4142\) ermittelt. Berechne ohne erneute Nutzung der Tangens-Taste deines Taschenrechners den Wert von \(\tan 67{,}5^\circ\).

Denkanstöße

- Betrachte die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Sicht beider spitzen Winkel. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert? - Prüfe, in welcher Beziehung die Winkel \(22{,}5^\circ\) und \(67{,}5^\circ\) zueinander stehen.

Lösung

1. Definition des Tangens: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten \(a\) und \(b\) gilt \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Produktbildung: \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1\). 3. Zusammenhang der Winkel: Da \(22{,}5^\circ + 67{,}5^\circ = 90^\circ\) gilt, sind dies die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Berechnung: Aus \(\tan 22{,}5^\circ \cdot \tan 67{,}5^\circ = 1\) folgt \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(\frac{1}{0{,}4142} \approx 2{,}4143\).

Antwort

a) Da \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\), ist \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\). b) \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ} \approx 2{,}4143\).
4154589
In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenusenlänge \(c = 13\,\text{cm}\) gilt für einen der spitzen Winkel \(\alpha\), dass \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\). a) Berechne den exakten Wert von \(\sin \alpha\). b) Bestimme die Längen der Katheten \(a\) (Gegenkathete zu \(\alpha\)) und \(b\) (Ankathete zu \(\alpha\)). c) Berechne \(\tan \alpha\) auf zwei verschiedene Arten.

Denkanstöße

- Wie hängen Sinus, Kosinus und die Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Kannst du die Definition des Kosinus nutzen, um direkt eine Seitenlänge zu finden? - Welche zwei Formeln kennst du, um den Tangens zu berechnen?

Lösung

1. Berechnung von \(\sin \alpha\): Über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) folgt \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\). 2. Bestimmung der Katheten: Da \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), ist \(b = c \cdot \cos \alpha = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5\,\text{cm}\). Da \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), ist \(a = c \cdot \sin \alpha = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha\): Weg 1 (Seitenverhältnis): \(\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). Weg 2 (Trigonometrische Beziehung): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} = 2{,}4\).

Antwort

a) \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) b) \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) c) \(\tan \alpha = 2{,}4\)
4155989
Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge \(s\). Zeichne eine Höhe ein, die das Dreieck in zwei spiegelsymmetrische Teildreiecke zerlegt. a) Begründe, warum die Innenwinkel in diesen Teildreiecken \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\) betragen. b) Bestimme die Länge der Höhe in Abhängigkeit von \(s\). c) Leite aus deinen Überlegungen die exakten Werte für \(\sin(60^\circ)\) und \(\cos(60^\circ)\) her.

Denkanstöße

- Überlege, welche Eigenschaften ein gleichseitiges Dreieck bezüglich seiner Winkel und Seiten hat. - Was passiert mit der gegenüberliegenden Seite, wenn du die Höhe einzeichnest? - Wie hängen die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Nutze die Definitionen am rechtwinkligen Dreieck: Welches Verhältnis beschreibt den Sinus, welches den Kosinus?

Lösung

1. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Winkel von jeweils \(60^\circ\). Die Höhe steht senkrecht auf der Basis (\(90^\circ\)) und halbiert den Winkel an der Spitze (\(30^\circ\)). 2. Die Höhe \(h\) teilt die Basis in zwei Abschnitte der Länge \(\frac{s}{2}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = s^2\). 3. Auflösen nach \(h\): \(h^2 = s^2 - \frac{s^2}{4} = \frac{3}{4}s^2\), also \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}s\). 4. Definition Sinus für \(60^\circ\): \(\sin(60^\circ) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{h}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}s}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 5. Definition Kosinus für \(60^\circ\): \(\cos(60^\circ) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\frac{s}{2}}{s} = \frac{1}{2}\).

Antwort

a) Winkel sind \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\), da die Höhe den \(60^\circ\)-Winkel halbiert und senkrecht steht. b) \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}s\) c) \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)
4150759
Zwei senkrechte Stäbe werfen auf ebenem Boden Schatten. Stab 1 ist \(1{,}6\,\text{m}\) hoch und sein Schatten ist \(2{,}0\,\text{m}\) lang. Stab 2 ist \(2{,}4\,\text{m}\) hoch. a) Begründe, warum die Dreiecke aus Stab und Schatten (bei gleichem Sonnenstand) zueinander ähnlich sind. b) Berechne die Schattenlänge von Stab 2 mithilfe von Seitenverhältnissen. c) Welches trigonometrische Seitenverhältnis (Sinus, Kosinus oder Tangens) wird durch den Quotienten aus Stabhöhe und Schattenlänge bezogen auf den Höhenwinkel der Sonne (Winkel zwischen Boden und Sonnenstrahl) beschrieben? Begründe.

Denkanstöße

- Warum kann man davon ausgehen, dass die Sonnenstrahlen überall den gleichen Winkel zum Boden einnehmen? - Nutze die Eigenschaft, dass bei ähnlichen Figuren das Verhältnis von Höhe zu Breite konstant ist. - Überlege, welche Rolle der Stab und welche Rolle der Schatten im rechtwinkligen Dreieck in Bezug auf den Winkel am Boden spielen.

Lösung

1. Die Sonnenstrahlen treffen annähernd parallel auf die Erde, weshalb der Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\) bei beiden Stäben gleich ist. Da beide Stäbe senkrecht stehen (\(90^\circ\)), sind die Dreiecke nach dem WW-Satz ähnlich. 2. Aufstellen der Verhältnisgleichung für ähnliche Dreiecke: \(\frac{\text{Höhe}_1}{\text{Schatten}_1} = \frac{\text{Höhe}_2}{\text{Schatten}_2}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\frac{1{,}6}{2{,}0} = \frac{2{,}4}{x}\). 4. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{2{,}4 \cdot 2{,}0}{1{,}6} = 3{,}0\,\text{m}\). 5. Zuordnung: Die Stabhöhe ist die Gegenkathete zum Höhenwinkel der Sonne \(\alpha\), der Schatten ist die Ankathete. Das Verhältnis \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\) definiert den Tangens (\(\tan(\alpha)\)).

Antwort

a) Die Dreiecke stimmen im rechten Winkel und im Höhenwinkel der Sonne überein (WW-Ähnlichkeit). b) Die Schattenlänge von Stab 2 beträgt \(3{,}0\,\text{m}\). c) Es handelt sich um den Tangens, da das Verhältnis von Gegenkathete (Stabhöhe) zu Ankathete (Schattenlänge) betrachtet wird.
4150849
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\). 1. Begründe mithilfe der Seitenverhältnisse (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse), warum stets \(\sin(\alpha) = \cos(\beta)\) gelten muss. 2. In welchem mathematischen Zusammenhang stehen die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) in einem rechtwinkligen Dreieck? Drücke \(\beta\) durch \(\alpha\) aus. 3. Überprüfe die Beziehung \(\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)\) beispielhaft für \(\alpha = 30^\circ\).

Denkanstöße

- Beschrifte ein rechtwinkliges Dreieck und überlege, welche Rolle eine Kathete für den einen und welche für den anderen Winkel spielt. - Wie viel Grad bleiben für die beiden spitzen Winkel übrig, wenn ein Winkel bereits feststeht? - Kannst du eine allgemeine Regel formulieren, wie Sinus und Kosinus zusammenhängen, wenn man die Winkel „vertauscht“?

Lösung

1. Begründung über Verhältnisse: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse \(c\) und Katheten \(a\) (gegenüber \(\alpha\)) und \(b\) (gegenüber \(\beta\)) gilt: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). Die Seite \(a\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Nach Definition des Kosinus gilt \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete von } \beta}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\). Somit ist \(\sin(\alpha) = \cos(\beta)\). 2. Zusammenhang der Winkel: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Da ein Winkel \(90^\circ\) groß ist, gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Daraus folgt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. Überprüfung für \(30^\circ\): Es ist \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\). Der komplementäre Winkel ist \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Es gilt \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\). Die Werte sind identisch.

Antwort

1. Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(\beta\), daher sind die Verhältnisse \(\frac{a}{c}\) für \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\beta)\) identisch. 2. Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\) und \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\); die Gleichung ist erfüllt.
4150909
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel \(\alpha\) im Bereich von \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). a) Begründe mithilfe der Definitionen von Sinus und Tangens am Dreieck, warum für jeden solchen Winkel stets \(\tan(\alpha) > \sin(\alpha)\) gelten muss. b) Ein Mitschüler behauptet, dass der Unterschied zwischen \(\tan(\alpha)\) und \(\sin(\alpha)\) immer kleiner wird, je größer der Winkel \(\alpha\) wird. Untersuche, ob diese Aussage korrekt ist, indem du das Verhalten der Seitenverhältnisse betrachtest, wenn \(\alpha\) gegen \(90^\circ\) strebt.

Denkanstöße

- Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck grundsätzlich die längste? - Vergleiche die Nenner der Brüche für Sinus und Tangens. Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner kleiner wird? - Stell dir vor, der Winkel \(\alpha\) wird sehr steil (fast \(90^\circ\)). Was passiert dann mit der Länge der Ankathete?

Lösung

1. Vergleich der Definitionen: \(\sin(\alpha) = \frac{G}{H}\) und \(\tan(\alpha) = \frac{G}{A}\), wobei \(G\) die Gegenkathete, \(A\) die Ankathete und \(H\) die Hypotenuse ist. 2. Da die Hypotenuse \(H\) in jedem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite ist, gilt stets \(H > A\). 3. Bei gleichem Zähler \(G\) ist ein Bruch größer, wenn der Nenner kleiner ist. Wegen \(A < H\) folgt \(\frac{G}{A} > \frac{G}{H}\), also \(\tan(\alpha) > \sin(\alpha)\). 4. Analyse des Verhaltens bei \(\alpha \to 90^\circ\): Während \(\sin(\alpha)\) sich dem Wert \(1\) annähert (da \(G\) fast so lang wie \(H\) wird), strebt \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich (da die Ankathete \(A\) gegen \(0\) geht). 5. Die Differenz \(\tan(\alpha) - \sin(\alpha)\) wird in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann daher bei wachsendem \(\alpha\) nicht immer kleiner werden. Die Behauptung ist falsch.

Antwort

a) Da \(H > A\) gilt, ist \(\frac{G}{H} < \frac{G}{A}\), folglich \(\sin(\alpha) < \tan(\alpha)\). b) Die Behauptung ist falsch; da \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich strebt und \(\sin(\alpha)\) gegen \(1\) strebt, wird der Abstand in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann nicht immer kleiner werden.
4151119
Zeige durch Termumformungen, dass die folgenden Ausdrücke für \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) jeweils einen konstanten Wert oder einen deutlich einfacheren trigonometrischen Ausdruck ergeben: a) \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha\) b) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\) c) \(\frac{\sin \alpha + \tan \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Denkanstöße

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier nützlich sein. - Wenn Brüche den gleichen Nenner haben, kannst du sie direkt zusammenfassen. - Schau dir den Zähler im letzten Teil genau an – lässt er sich vereinfachen, wenn du eine Funktion ersetzt?

Lösung

1. Für Teil a) wird \(\tan^2 \alpha\) als \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) geschrieben. Die Subtraktion ergibt \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), resultiert \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1\). 2. Für Teil b) wird die erste binomische Formel angewendet: \(\sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\). Die gemischten Glieder heben sich auf, und es bleibt \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). 3. Für Teil c) wird im Zähler \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha = \sin \alpha\) eingesetzt. Der Zähler wird zu \(\sin \alpha + \sin \alpha = 2 \cdot \sin \alpha\). Der Bruch \(\frac{2 \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha}\) vereinfacht sich zu \(2\).

Antwort

a) \(1\) b) \(1\) c) \(2\)
4151149
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse genau dreimal so lang wie die Gegenkathete des Winkels \(\alpha\). Bestimme ohne Verwendung eines Taschenrechners die exakten Werte für \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\) und \(\tan \alpha\).

Denkanstöße

- Kannst du den Sinuswert direkt aus dem beschriebenen Längenverhältnis ablesen? - Skizziere dir zur Not ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit passenden Variablen oder Beispielwerten. - Denke beim Vereinfachen von Wurzeln wie \(\sqrt{8}\) an teilweises Wurzelziehen. - Nenner rational machen: Wie kannst du eine Wurzel im Nenner eines Bruches beseitigen?

Lösung

1. Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) 2. Einsetzen des Verhältnisses: Sei die Gegenkathete \(a\), dann ist die Hypotenuse \(3a\). Somit gilt \(\sin \alpha = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}\) 3. Berechnung von \(\cos \alpha\) über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) 4. Radizieren: \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) 5. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Antwort

\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\)
4151179
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\). a) Begründe mithilfe der Definitionen am rechtwinkligen Dreieck, warum \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt. b) Gegeben ist \(\cos \alpha = 0{,}6\). Welchen Wert hat \(\sin(90^\circ - \alpha)\)? c) Gegeben ist \(\tan \alpha = \frac{5}{12}\). Berechne den Wert von \(\tan(90^\circ - \beta)\), wobei \(\beta\) der zweite spitze Winkel des Dreiecks ist.

Denkanstöße

- Wie hängen die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Was passiert mit den Bezeichnungen „Gegenkathete“ und „Ankathete“, wenn du die Perspektive vom einen zum anderen spitzen Winkel wechselst? - Vereinfache in Teil c) zuerst den Winkel \(90^\circ-\beta\) mithilfe von \(\beta=90^\circ-\alpha\).

Lösung

1. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt \(\beta=90^\circ-\alpha\). Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist zugleich die Ankathete von \(\beta\). Daher ist \(\sin\alpha=\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)\). 2. Wegen \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\) folgt \(\sin(90^\circ-\alpha)=0{,}6\). 3. Da \(\beta=90^\circ-\alpha\) gilt, ist \(90^\circ-\beta=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha\). Daher folgt direkt \(\tan(90^\circ-\beta)=\tan\alpha=\frac{5}{12}\).

Antwort

a) Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(90^\circ-\alpha\); daher sind die beiden Seitenverhältnisse gleich. b) \(\sin(90^\circ-\alpha)=0{,}6\) c) \(\tan(90^\circ-\beta)=\tan\alpha=\frac{5}{12}\)
4151209
Untersuche den Zusammenhang zwischen Tangens und Kosinus. a) Beweise unter Verwendung von \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) und dem trigonometrischen Pythagoras, dass für alle spitzen Winkel \(\alpha\) gilt: \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). b) Ein Steigungswinkel \(\alpha\) hat den Wert \(\tan \alpha = 0{,}75\). Berechne mithilfe der Formel aus Teil a) den Wert von \(\cos \alpha\).

Denkanstöße

- Kannst du den Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Versuche, die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Welchen bekannten Wert hat der Zähler deines resultierenden Bruches? - Nutze für den zweiten Teil das Ergebnis aus dem ersten Teil als Abkürzung.

Lösung

1. Für Teil a): Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Bringen auf den Hauptnenner liefert \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) ist, folgt \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\). 2. Für Teil b): Einsetzen von \(\tan \alpha = 0{,}75\) in die Formel ergibt \(1 + 0{,}75^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Berechnung der linken Seite: \(1 + 0{,}5625 = 1{,}5625\). 3. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1{,}5625} = 0{,}64\). 4. Wurzelziehen liefert \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

Antwort

a) Durch Erweitern von \(1\) zu \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt sich \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). b) \(\cos \alpha = 0{,}8\).
4151239
Zeige durch Umformung der linken Seite, dass die folgende Gleichung eine wahre Aussage ist: \(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\tan^2 \alpha} = 1\) Gehe dabei davon aus, dass \(\sin \alpha \neq 0\) und \(\cos \alpha \neq 0\) gilt.

Denkanstöße

- Wie kannst du den Bruch mit dem Tangens so umschreiben, dass er nur noch Sinus- und Kosinus-Terme enthält? - Erinnerst du dich, wie man Brüche voneinander abzieht, wenn sie bereits denselben Nenner haben? - Gibt es eine Formel, mit der man den Ausdruck \(1 - \cos^2 \alpha\) vereinfachen kann?

Lösung

1. Umschreiben von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) als Kehrwert von \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 2. Subtraktion der beiden Brüche auf der linken Seite, da sie nun den gleichen Nenner haben: \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 3. Nutzung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) in der umgestellten Form \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\). 4. Einsetzen in den Zähler ergibt \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\), was zu \(1\) gekürzt werden kann.

Antwort

Durch Ersetzen von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) durch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) lässt sich die linke Seite als \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) zusammenfassen. Da \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\) gilt, ergibt der Bruch \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1\).
4151299
Gegeben ist der Term \(A = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha \cdot \tan \alpha}\) für spitze Winkel \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). a) Vereinfache den Term \(A\) so weit wie möglich, sodass nur noch eine trigonometrische Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) im Ergebnis vorkommt. b) Ein Schüler behauptet: „Wenn man \(\alpha = 45^\circ\) einsetzt, muss \(A = 1\) ergeben.“ Überprüfe diese Aussage rechnerisch.

Denkanstöße

- Erinnere dich an den trigonometrischen Pythagoras, um den Zähler umzuformen. - Wie lässt sich der Tangens im Nenner durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Setze die Werte für \(45^\circ\) (oder \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)) direkt in den ursprünglichen Term ein, um die Behauptung zu prüfen.

Lösung

1. Mit \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) gilt \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\). 2. Wegen \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) wird der Nenner zu \(\cos \alpha \cdot \tan \alpha = \sin \alpha\). 3. Somit ist zunächst \(A = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}\). Ersetzt man \(\cos^2 \alpha\) erneut durch \(1 - \sin^2 \alpha\), erhält man die verlangte Darstellung mit nur einer trigonometrischen Funktion: \[A = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha.\] 4. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\tan(45^\circ) = 1\). Einsetzen in den Ausgangsterm ergibt \[A = \frac{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707.\] Die Behauptung ist falsch.

Antwort

a) \(A = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha\) b) Die Behauptung ist falsch. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(A = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \neq 1\).
4151959
Betrachte ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(c\) und der Schenkellänge \(s\). a) Berechne die Schenkellänge \(s\) für \(c = 10\,\text{cm}\), wenn der Basiswinkel \(\alpha\) genau doppelt so groß ist wie der Winkel an der Spitze \(\gamma\). b) Untersuche rechnerisch, ob es ein gleichschenkliges Dreieck gibt, bei dem die Höhe \(h_c\) genauso lang ist wie die Basis \(c\). Bestimme für diesen Fall die Größe des Basiswinkels \(\alpha\).

Denkanstöße

- Nutze die Winkelsumme im Dreieck, um die Winkel zuerst absolut zu bestimmen. - Stelle eine Gleichung für das Verhältnis von Höhe zu Basis auf. - Überlege dir, welche Einschränkung für die Summe der Basiswinkel in einem Dreieck gilt.

Lösung

1. Winkelberechnung für Teil a): In einem gleichschenkligen Dreieck gilt \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\). Mit \(\alpha = 2\gamma\) folgt \(2(2\gamma) + \gamma = 180^\circ\), also \(5\gamma = 180^\circ\). Daraus ergibt sich \(\gamma = 36^\circ\) und \(\alpha = 72^\circ\). 2. Berechnung von \(s\): Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\cos(\alpha) = \frac{c/2}{s}\). Mit \(c/2 = 5\,\text{cm}\) folgt \(s = \frac{5}{\cos(72^\circ)} \approx 16{,}18\,\text{cm}\). 3. Untersuchung für Teil b): Die Bedingung lautet \(h_c = c\). Im rechtwinkligen Teildreieck (Katheten \(h_c\) und \(c/2\)) gilt \(\tan(\alpha) = \frac{h_c}{c/2}\). Einsetzen von \(h_c = c\) ergibt \(\tan(\alpha) = \frac{c}{c/2} = 2\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). Da \(2\alpha = 126{,}86^\circ < 180^\circ\) ist, existiert ein solches Dreieck.

Antwort

a) \(s \approx 16{,}18\,\text{cm}\) b) Ja, ein solches Dreieck existiert; der Basiswinkel beträgt \(\alpha \approx 63{,}43^\circ\).
4154599
Betrachte einen spitzen Winkel \(\delta\). a) Vereinfache den Ausdruck \(\frac{\sin \delta}{\cos(90^\circ - \delta)}\). b) Zeige allgemein, dass für jeden spitzen Winkel \(\delta\) gilt: \(\tan \delta \cdot \tan(90^\circ - \delta) = 1\). c) Gegeben ist \(\tan \delta = \sqrt{3}\). Berechne ohne Taschenrechner den Wert von \(\cos \delta\).

Denkanstöße

- Nutze die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus bei Komplementärwinkeln. - Schreibe den Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus um. - Wenn du ein Verhältnis zwischen Sinus und Kosinus hast, wie kannst du dann die Gleichung \(\sin^2 \delta + \cos^2 \delta = 1\) nutzen?

Lösung

1. Vereinfachung: Da \(\cos(90^\circ - \delta) = \sin \delta\), gilt \(\frac{\sin \delta}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\sin \delta}{\sin \delta} = 1\). 2. Beweis der Identität: Es ist \(\tan \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta}\). Für den Komplementärwinkel gilt \(\tan(90^\circ - \delta) = \frac{\sin(90^\circ - \delta)}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\cos \delta}{\sin \delta}\). Das Produkt ist \(\frac{\sin \delta}{\cos \delta} \cdot \frac{\cos \delta}{\sin \delta} = 1\). 3. Berechnung von \(\cos \delta\): Aus \(\tan \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta} = \sqrt{3}\) folgt \(\sin \delta = \sqrt{3} \cdot \cos \delta\). Eingesetzt in \(\sin^2 \delta + \cos^2 \delta = 1\) ergibt dies \((\sqrt{3} \cos \delta)^2 + \cos^2 \delta = 1\), also \(3\cos^2 \delta + \cos^2 \delta = 1\). Daraus folgt \(4\cos^2 \delta = 1\), also \(\cos^2 \delta = \frac{1}{4}\). Da \(\delta\) spitz ist, gilt \(\cos \delta = 0{,}5\).

Antwort

a) \(1\) b) Nachweis über \(\tan(90^\circ - \delta) = \frac{1}{\tan \delta}\) c) \(\cos \delta = 0{,}5\)
4154659
Untersuche die folgenden Behauptungen mathematisch: a) In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Wenn man den Steigungswinkel \(\alpha\) verdoppelt, verdoppelt sich auch die prozentuale Steigung. Überprüfe dies für \(\alpha_1 = 20^\circ\) und \(\alpha_2 = 40^\circ\). b) Für alle spitzen Winkel \(\alpha\) gilt die Beziehung \((\sin(\alpha))^2 + (\cos(\alpha))^2 = 1\).

Denkanstöße

- Verhält sich die Tangensfunktion linear? Probiere es mit konkreten Werten aus. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck. - Wie sind Sinus und Kosinus über die Seitenverhältnisse definiert?

Lösung

1. Zu a): Berechnung der Steigung für \(\alpha_1 = 20^\circ\): \(m_1 = \tan(20^\circ) \approx 0{,}3640\) (entspricht \(36{,}40\,\%\)). 2. Berechnung der Steigung für \(\alpha_2 = 40^\circ\): \(m_2 = \tan(40^\circ) \approx 0{,}8391\) (entspricht \(83{,}91\,\%\)). 3. Vergleich: Das Doppelte von \(36{,}40\,\%\) ist \(72{,}80\,\%\). Da \(83{,}91\,\% \neq 72{,}80\,\%\), ist die Behauptung falsch. Die Steigung wächst schneller als der Winkel. 4. Zu b): Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\). 5. Es ist \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) und \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\). 6. Einsetzen: \((\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1\). Die Aussage ist wahr (Trigonometrischer Pythagoras).

Antwort

a) Falsch. Bei \(\alpha_1 = 20^\circ\) ist die Steigung ca. \(36{,}4\,\%\), bei \(\alpha_2 = 40^\circ\) jedoch ca. \(83{,}9\,\%\), was mehr als das Doppelte ist. b) Wahr. Dies ist der „Trigonometrische Pythagoras“, der aus dem Satz des Pythagoras folgt.

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