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- In Teil a kannst du den Zähler so umdeuten, dass er zum Nenner passt. - Achte darauf, dass du nur kürzt, wenn ein gemeinsamer Faktor vorliegt. - In Teil b lohnt es sich, den Tangens in andere Grundgrößen umzuschreiben. - Prüfe, ob am Ende wirklich noch eine trigonometrische Größe übrig bleibt oder alles wegfällt.

a) 1. Nutze den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), um \(1 - \cos^2 \alpha\) als \(\sin^2 \alpha\) zu schreiben. 2. Der Bruch vereinfacht sich zu \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Durch Kürzen erhält man \(\sin \alpha\). b) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der Term wird zu \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Da sich alle Faktoren im Zähler und Nenner gegenseitig kürzen, ist das Ergebnis \(1\).

a) \(\sin \alpha\) b) \(1\)

- Der Sinus eines Winkels ist immer das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. - Finde zuerst den rechten Winkel, um die Hypotenuse sicher zu bestimmen.

1. Die Hypotenuse ist die Seite \(z\). 2. Für \(\alpha\): Die Gegenkathete ist \(y\). Also \(\sin \alpha = \frac{y}{z}\). 3. Für \(\gamma\): Die Gegenkathete ist \(x\). Also \(\sin \gamma = \frac{x}{z}\).

\(\sin \alpha = \frac{y}{z}\) \(\sin \gamma = \frac{x}{z}\)

- Der Kosinus ist definiert als Ankathete durch Hypotenuse. - Überprüfe genau, welche Seite am Winkel anliegt (Ankathete) und welche gegenüber vom rechten Winkel liegt (Hypotenuse).

1. Die Hypotenuse ist die Seite \(p\), da sie dem rechten Winkel gegenüberliegt. 2. Für \(\delta\): Die Ankathete ist \(r\). Somit ist \(\cos \delta = \frac{r}{p}\). 3. Für \(\epsilon\): Die Ankathete ist \(q\). Somit ist \(\cos \epsilon = \frac{q}{p}\).

\(\cos \delta = \frac{r}{p}\) \(\cos \epsilon = \frac{q}{p}\)

- Der Tangens nutzt nur die Katheten, nicht die Hypotenuse. - Welche Seite liegt dem Winkel \(\mu\) gegenüber? Das ist der Zähler für \(\tan \mu\).

1. Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. 2. Für \(\mu\): Die Gegenkathete ist \(h\), die Ankathete ist \(g\). Also \(\tan \mu = \frac{h}{g}\). 3. Für \(\nu\): Die Gegenkathete ist \(g\), die Ankathete ist \(h\). Also \(\tan \nu = \frac{g}{h}\).

\(\tan \mu = \frac{h}{g}\) \(\tan \nu = \frac{g}{h}\)

- Finde zuerst die Hypotenuse. - Überlege dann, für welchen der beiden Winkel (\(\sigma\) oder \(\tau\)) die Seite \(e\) die Ankathete ist.

1. Identifikation der Hypotenuse: Die Seite gegenüber dem rechten Winkel bei \(A\) ist \(f\). 2. In der Gleichung steht \(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\). 3. Die Seite \(e\) ist die Ankathete des Winkels \(\tau\). 4. Somit gilt \(\cos \tau = \frac{e}{f}\).

\(\tau\)

- Der Sinus bezieht sich auf die gegenüberliegende Kathete. - Welcher Winkel schaut direkt auf die Seite \(k\)?

1. Die Hypotenuse ist \(m\), da sie dem rechten Winkel bei \(K\) gegenüberliegt. 2. Der Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. 3. Die Seite \(k\) liegt dem Winkel \(\zeta\) gegenüber. 4. Daher gilt \(\sin \zeta = \frac{k}{m}\).

\(\zeta\)

- Schreibe die Ausdrücke so um, dass möglichst gleiche Grundbausteine vorkommen. - In Teil a steckt eine Ergänzung, die den Nenner viel einfacher machen kann. - In Teil b lohnt es sich, den ersten Faktor im Produkt genauer umzuschreiben. - Achte darauf, dass durch die Winkelbedingung keine problematischen Vorzeichen entstehen.

a) 1. Nutze die Identität \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) (trigonometrischer Pythagoras). 2. Ersetze den Nenner: \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Der Wert des Bruchs ist \(1\). b) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der erste Summand wird zu \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\). 3. Kürze \(\cos \alpha\): \(\sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha\). 4. Addiere den zweiten Summanden: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\). 5. Das Ergebnis ist \(1\).

a) \(1\) b) \(1\)

- Versuche in Teil a, den Ausdruck mit Tangens in vertrautere Bestandteile zu zerlegen. - In Teil b hilft es, die Klammer erst vollständig zu betrachten, bevor du vereinfachst. - Suche nach Termen, die sich gegenseitig aufheben oder zu etwas Bekanntem zusammenfassen. - Kontrolliere, ob das Ergebnis einfacher ist als der Ausgangsterm.

a) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Multipliziere die Brüche: \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha}\). 3. Kürze \(\sin \alpha\), sodass \(\frac{1}{\cos \alpha}\) übrig bleibt. b) 1. Wende die erste binomische Formel auf den ersten Teil an: \(\sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha\). 2. Subtrahiere den zweiten Teil des Terms: \(\sin^2 \alpha + 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\). 3. Die gemischten Terme heben sich auf: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\). 4. Dies ist nach dem trigonometrischen Pythagoras gleich \(1\).

a) \(\frac{1}{\cos \alpha}\) b) \(1\)

- Schreibe in Teil a den Nenner so um, dass du gemeinsame Faktoren erkennen kannst. - Achte beim Kürzen darauf, dass du nur ganze Faktoren kürzt. - In Teil b stehen zwei Klammern, die sich nur durch ein Vorzeichen unterscheiden. - Überlege, welcher bekannte Zusammenhang zwischen den beiden trigonometrischen Grundgrößen entsteht.

a) 1. Setze \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) in den Nenner ein. 2. Der Term wird zu \(\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Kürze \(\sin \alpha\), es bleibt \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha\). b) 1. Wende die dritte binomische Formel an: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). 2. Damit ergibt sich \(1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\). 3. Nach dem trigonometrischen Pythagoras entspricht dies \(\sin^2 \alpha\).

a) \(\cos^2 \alpha\) b) \(\sin^2 \alpha\)

- In Teil a wird der Bruch übersichtlicher, wenn alle Größen gleichartig geschrieben sind. - Achte beim Teilen durch einen Bruch auf die Struktur des gesamten Nenners. - In Teil b kannst du zuerst die Klammer mit dem äußeren Faktor verbinden. - Suche nach einer Möglichkeit, die beiden entstehenden Teile zu etwas sehr Einfachem zusammenzufassen.

a) 1. Ersetze \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Damit ergibt sich \(\frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 3. Durch Kürzen von \(\sin \alpha\) erhält man \(\cos \alpha\). b) 1. Multipliziere die Klammer aus: \(\cos^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha\). 2. Ersetze \(\tan^2 \alpha\) durch \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Der Term lautet nun \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 4. Nach dem Kürzen von \(\cos^2 \alpha\) bleibt \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\). 5. Gemäß dem trigonometrischen Pythagoras ist dies gleich \(1\).

a) \(\cos \alpha\) b) \(1\)

- Welche Seite liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber und welche liegt an? - Kannst du eine der Katheten durch die andere ausdrücken, um das Verhältnis zu vereinfachen? - Wie ist der Tangens als Verhältnis von Katheten definiert?

1. Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Einsetzen der gegebenen Beziehung \(b = 2a\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha = \frac{a}{2a} = 0{,}5\). 4. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{2a}{a} = 2\).

\(\tan \alpha = 0{,}5\) und \(\tan \beta = 2\)

- Wie groß ist die Winkelsumme in einem Dreieck? - Welche Seiten des Dreiecks werden für den Sinus eines Winkels und welche für den Kosinus des anderen Winkels verwendet? - Gibt es eine Formel, die Sinus, Kosinus und Tangens desselben Winkels verbindet?

1. In einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 25^\circ\) ist der zweite spitze Winkel \(\beta = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ\). Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Da \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) und \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) definiert sind, folgt \(\sin(25^\circ) = \cos(65^\circ)\). 2. Verwendung der Beziehung \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\tan(25^\circ) \approx \frac{0{,}4226}{0{,}9063} \approx 0{,}4663\).

1. Da die Gegenkathete von \(25^\circ\) die Ankathete von \(65^\circ\) im selben rechtwinkligen Dreieck ist, sind die Verhältnisse zur Hypotenuse gleich. 2. \(\tan(25^\circ) \approx 0{,}4663\)

- Was weißt du über die Summe der Winkel in einem Dreieck? - Wann nennt man zwei geometrische Figuren „ähnlich“? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl multipliziert?

1. Da beide Dreiecke rechtwinklig sind (\(90^\circ\)) und einen weiteren Winkel von \(30^\circ\) besitzen, muss der dritte Winkel aufgrund der Innenwinkelsumme in beiden Fällen \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) betragen. 2. Nach dem Ähnlichkeitssatz (WW) sind Dreiecke mit übereinstimmenden Winkeln ähnlich zueinander. 3. Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge \(c\), entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit einem \(30^\circ\)-Winkel. Die diesem Winkel gegenüberliegende Kathete ist die halbe ursprüngliche Seite, also \(\frac{c}{2}\), während die Hypotenuse die Länge \(c\) hat. Daher gilt \(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{c/2}{c} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten konstant. Eine Verdoppelung der Seitenlängen (Streckung mit Faktor \(k=2\)) ändert das Verhältnis nicht, da sich der Faktor im Bruch \(\frac{2 \cdot a}{2 \cdot c}\) kürzt.

a) Die Dreiecke sind ähnlich, da sie in allen drei Winkeln (\(90^\circ\), \(30^\circ\), \(60^\circ\)) übereinstimmen (WW-Satz). b) Das Verhältnis beträgt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). c) Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse fest; eine Skalierung ändert den Wert des Quotienten nicht.

- Welche Seiten des Dreiecks werden durch den Sinus eines Winkels zueinander in Beziehung gesetzt? - Wie kannst du die Formel für den Sinus umstellen, um die gesuchte Seite zu isolieren? - Was sagt ein Dezimalbruch wie \(0{,}6\) über den Anteil einer Größe an einer anderen aus?

1. Berechnung der Gegenkathete \(a\): Aus der Definition \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) folgt \(a = c \cdot \sin(\alpha)\). Einsetzen der Werte ergibt \(a = 15\,\text{cm} \cdot 0{,}6 = 9\,\text{cm}\). 2. Bedeutung des Wertes: Der Sinuswert \(0{,}6\) gibt das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an. Das bedeutet, die Gegenkathete macht genau \(60\,\%\) der Länge der Hypotenuse aus bzw. das Verhältnis steht fest als \(3:5\).

1. Die Gegenkathete ist \(9\,\text{cm}\) lang. 2. Der Wert \(0{,}6\) bedeutet, dass die Gegenkathete \(\frac{6}{10}\) (oder \(\frac{3}{5}\)) so lang ist wie die Hypotenuse.

- Beschrifte ein rechtwinkliges Dreieck und überlege, welche Rolle eine Kathete für den einen und welche für den anderen Winkel spielt. - Wie viel Grad bleiben für die beiden spitzen Winkel übrig, wenn ein Winkel bereits feststeht? - Kannst du eine allgemeine Regel formulieren, wie Sinus und Kosinus zusammenhängen, wenn man die Winkel „vertauscht“?

1. Begründung über Verhältnisse: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse \(c\) und Katheten \(a\) (gegenüber \(\alpha\)) und \(b\) (gegenüber \(\beta\)) gilt: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). Die Seite \(a\) ist gleichzeitig die Ankathete von \(\beta\). Nach Definition des Kosinus gilt \(\cos(\beta) = \frac{\text{Ankathete von } \beta}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\). Somit ist \(\sin(\alpha) = \cos(\beta)\). 2. Zusammenhang der Winkel: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Da ein Winkel \(90^\circ\) groß ist, gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Daraus folgt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. Überprüfung für \(30^\circ\): Es ist \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\). Der komplementäre Winkel ist \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Es gilt \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\). Die Werte sind identisch.

1. Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(\beta\), daher sind die Verhältnisse \(\frac{a}{c}\) für \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\beta)\) identisch. 2. Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 3. \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\) und \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\); die Gleichung ist erfüllt.

- Welche Beziehung besteht zwischen den beiden spitzen Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck? - Überlege, welche trigonometrische Funktion die Gegenkathete von \(\alpha\) mit der Hypotenuse verbindet. - Welche Funktion setzt die beiden Katheten zueinander in Beziehung? - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Berechnung des Winkels \(\beta\): Da die Winkelsumme im Dreieck \(180^\circ\) beträgt und \(\gamma = 90^\circ\) ist, gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\): Unter Verwendung des Sinus gilt \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). Umgestellt nach \(c\) ergibt sich \(c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}4}{\sin(35^\circ)} \approx 14{,}65\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Kathete \(b\): Unter Verwendung des Tangens gilt \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). Umgestellt nach \(b\) ergibt sich \(b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{8{,}4}{\tan(35^\circ)} \approx 12{,}00\,\text{cm}\).

\(\beta = 55^\circ\), \(b \approx 12{,}00\,\text{cm}\), \(c \approx 14{,}65\,\text{cm}\)

- Welche geometrische Form entsteht, wenn du ein Quadrat entlang der Diagonale teilst? - Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats in Abhängigkeit von der Seitenlänge \(a\)? - Wie groß sind die Innenwinkel in dem Dreieck, das durch die Diagonale entsteht? - Erinnere dich an die Definitionen der Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung der Diagonalenlänge \(d\) im Quadrat mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). 2. Identifikation der Winkel: Die Diagonale halbiert den \(90^\circ\)-Winkel des Quadrats, sodass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln \(45^\circ\), \(45^\circ\) und \(90^\circ\) entsteht. 3. Bestimmung von \(\sin(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Bestimmung von \(\cos(45^\circ)\): Das Verhältnis von Ankathete \(a\) zu Hypotenuse \(a\sqrt{2}\) ergibt ebenfalls \(\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Bestimmung von \(\tan(45^\circ)\): Das Verhältnis von Gegenkathete \(a\) zu Ankathete \(a\) ergibt \(\frac{a}{a} = 1\).

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45^\circ) = 1\)

- Welche grundlegende Gleichung verknüpft Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens über Sinus und Kosinus definiert? - Achte darauf, dass bei einem spitzen Winkel die Wurzelwerte positiv bleiben.

1. Verwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): Umstellen nach \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Sinus positiv). 2. Verwendung der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): Einsetzen des Ausdrucks für \(\sin \alpha\) ergibt \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\). 3. Einsetzen von \(\cos \alpha = 0{,}6\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 4. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3} = 1{,}\overline{3}\).

a) \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\) b) \(\sin \alpha = 0{,}8\) und \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Denk an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis.

1. Berechnung von \(\cos\alpha\) über den trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Da \(\alpha\) spitz ist, folgt \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). 2. Berechnung von \(\tan\alpha\) über das Verhältnis: \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}\). 3. Überprüfung der Identität: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1\). Die Gleichung ist erfüllt.

\(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) \(\tan\alpha = \frac{4}{3}\) Die Identität \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) ist erfüllt, da \(\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1\).

- Welche trigonometrische Funktion setzt die Gegenkathete und die Hypotenuse in Beziehung? - Rechne die Längen für zwei verschiedene Winkel konkret aus. - Vergleiche das Ergebnis der Verdopplung des Winkels mit dem Doppelten des ersten Ergebnisses.

1. Berechnung der Gegenkathete \(a_1\) für \(\alpha = 30^\circ\) und \(c = 10\,\text{cm}\): \(a_1 = 10\sin(30^\circ) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm}\). 2. Verdopplung des Winkels: \(2\alpha = 60^\circ\). 3. Berechnung der neuen Gegenkathete \(a_2\) für \(60^\circ\): \(a_2 = 10\sin(60^\circ) \approx 10 \cdot 0{,}866 = 8{,}66\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Werte: Das Doppelte von \(a_1\) wäre \(10\,\text{cm}\). Da \(8{,}66\,\text{cm} \neq 10\,\text{cm}\), ist Linas Aussage falsch. 5. Fazit: Der Sinuswert (und damit die Gegenkathete) wächst nicht proportional zum Winkel.

Linas Aussage ist falsch. Bei einer Hypotenuse von \(10\,\text{cm}\) beträgt die Gegenkathete für \(30^\circ\) genau \(5\,\text{cm}\). Verdoppelt man den Winkel auf \(60^\circ\), so beträgt die Gegenkathete etwa \(8{,}66\,\text{cm}\). Das ist nicht das Doppelte von \(5\,\text{cm}\) (\(10\,\text{cm}\)).

- Wie dividiert man einen Wert durch einen Bruch? - Überprüfe den Übergang von Zeile 1 zu Zeile 2 genau auf die Regeln der Bruchrechnung. - Welche Faktoren lassen sich im korrekten Kehrwert-Ausdruck kürzen?

1. Der erste Schritt ist korrekt: Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Die Division durch einen Bruch erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert. Leon hat fälschlicherweise \(\cos \alpha\) gekürzt, obwohl im Nenner durch \(\cos \alpha\) dividiert wird. 3. Korrekte Rechnung: \(\frac{\cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha\). 4. Kürzen von \(\sin \alpha\) ergibt: \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha\).

Leons Rechnung ist falsch. Der Fehler liegt in Schritt 2 bei der Division durch den Bruch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Richtig gerechnet ergibt sich: \(T = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos^2 \alpha\).

- Welche trigonometrische Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse? - Welche Funktion beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse? - Berechne die Werte für beide Winkel getrennt und vergleiche sie anschließend. - Denke daran, deinen Taschenrechner auf „DEG“ zu stellen.

1. Die Verhältnisse entsprechen den Definitionen von Sinus und Kosinus: \(\frac{a}{c} = \sin(10^\circ) \approx 0{,}1736\) \(\frac{b}{c} = \cos(10^\circ) \approx 0{,}9848\) 2. Für \(\alpha' = 20^\circ\) ergeben sich: \(\frac{a'}{c} = \sin(20^\circ) \approx 0{,}3420\) \(\frac{b'}{c} = \cos(20^\circ) \approx 0{,}9397\) Vergleich durch Division: Änderung bei \(\frac{a}{c}\): \(\frac{0{,}3420}{0{,}1736} \approx 1{,}97\) (nahezu Verdopplung) Änderung bei \(\frac{b}{c}\): \(\frac{0{,}9397}{0{,}9848} \approx 0{,}95\) (leichte Abnahme um ca. \(5\,\%\))

1. \(\frac{a}{c} \approx 0{,}1736\); \(\frac{b}{c} \approx 0{,}9848\) 2. Das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) vergrößert sich etwa um den Faktor \(1{,}97\) (fast das Doppelte), während das Verhältnis \(\frac{b}{c}\) auf das etwa \(0{,}95\)-fache sinkt.

- Gibt es in dem Term einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Erinnerst du dich an die grundlegende Beziehung zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis? - Kannst du einen Teil des Terms durch eine Konstante ersetzen?

1. Ausklammern von \(\sin^2 \beta\) aus den letzten beiden Summanden: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta)\) 2. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot 1\) 3. Erneute Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)

1

- Welche Form hat das Dreieck, das durch die Diagonale im Quadrat entsteht? - Welche Winkel treten in diesem speziellen Dreieck auf? - Wie hängen die Katheten in diesem speziellen Dreieck zusammen?

1. Weg (Pythagoras): Im Quadrat gilt \(s^2 + s^2 = d^2\). Einsetzen: \(2s^2 = 12^2 = 144\). Daraus folgt \(s^2 = 72\) und \(s = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 2. Weg (Trigonometrie): In einem halben Quadrat (rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck) beträgt der Winkel \(\alpha = 45^\circ\). Es gilt \(\sin(45^\circ) = \frac{s}{d}\). 3. Umstellen nach \(s\): \(s = d \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 4. Numerische Berechnung: \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

Die exakte Seitenlänge beträgt \(s = 6\sqrt{2}\,\text{cm}\). Gerundet ergibt dies \(s \approx 8{,}49\,\text{cm}\).

- Welche Seite liegt dem Winkel gegenüber (Gegenkathete) und welche liegt an ihm an (Ankathete)? - Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. - Überlege dir die Definitionen: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse und Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. - Beachte, dass sich die Rollen von Gegenkathete und Ankathete vertauschen, wenn du den anderen spitzen Winkel betrachtest.

1. Identifikation der Seiten für Winkel \(\alpha\) (gegenüber von Punkt \(A\)): Die Gegenkathete ist \(a = 12\,\text{cm}\), die Ankathete ist \(b = 35\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(c = 37\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Verhältnisse für \(\alpha\): \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{12}{37} \approx 0{,}324\) \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{35}{37} \approx 0{,}946\) \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{12}{35} \approx 0{,}343\) 3. Identifikation der Seiten für Winkel \(\beta\) (gegenüber von Punkt \(B\)): Die Gegenkathete ist \(b = 35\,\text{cm}\), die Ankathete ist \(a = 12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(c = 37\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Verhältnisse für \(\beta\): \(\sin \beta = \frac{35}{37} \approx 0{,}946\) \(\cos \beta = \frac{12}{37} \approx 0{,}324\) \(\tan \beta = \frac{35}{12} \approx 2{,}917\)

a) \(\sin \alpha = \frac{12}{37} \approx 0{,}324\); \(\cos \alpha = \frac{35}{37} \approx 0{,}946\); \(\tan \alpha = \frac{12}{35} \approx 0{,}343\) b) \(\sin \beta = \frac{35}{37} \approx 0{,}946\); \(\cos \beta = \frac{12}{37} \approx 0{,}324\); \(\tan \beta = \frac{35}{12} \approx 2{,}917\)

- Überlege zuerst, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse ist und welche Kathete Gegen- oder Ankathete zum gegebenen Winkel ist. - Welche trigonometrische Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) verknüpft die gesuchte Seite mit den bekannten Werten? - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Identifikation der gegebenen Größen: In dem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c = 14\,\text{cm}\) und der Winkel \(\alpha = 32^\circ\) gegeben. 2. Berechnung der Gegenkathete \(x\): Da \(x\) die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist, wird der Sinus verwendet: \(\sin(32^\circ) = \frac{x}{14\,\text{cm}}\). Umstellen ergibt \(x = 14\,\text{cm} \cdot \sin(32^\circ) \approx 7{,}42\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Ankathete \(y\): Da \(y\) die am Winkel anliegende Seite ist, wird der Kosinus verwendet: \(\cos(32^\circ) = \frac{y}{14\,\text{cm}}\). Umstellen ergibt \(y = 14\,\text{cm} \cdot \cos(32^\circ) \approx 11{,}87\,\text{cm}\).

\(x \approx 7{,}42\,\text{cm}\); \(y \approx 11{,}87\,\text{cm}\)

- Identifiziere zuerst, welche Kathete die Gegenkathete und welche die Ankathete zum Winkel \(40^\circ\) ist. - Wenn die gesuchte Seite im Nenner des Bruchs steht, musst du die Gleichung entsprechend umformen. - Benutze für die Berechnung von \(v\) entweder den Tangens mit der gegebenen Seite oder den Satz des Pythagoras mit der bereits berechneten Hypotenuse \(u\).

1. Gegeben: Die Gegenkathete zum Winkel \(40^\circ\) ist \(9\,\text{cm}\) lang. 2. Berechnung der Hypotenuse \(u\): Es gilt \(\sin(40^\circ) = \frac{9\,\text{cm}}{u}\). Umstellen nach \(u\) ergibt \(u = \frac{9\,\text{cm}}{\sin(40^\circ)} \approx 14{,}00\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Ankathete \(v\): Es gilt \(\tan(40^\circ) = \frac{9\,\text{cm}}{v}\). Umstellen nach \(v\) ergibt \(v = \frac{9\,\text{cm}}{\tan(40^\circ)} \approx 10{,}73\,\text{cm}\).

\(u \approx 14{,}00\,\text{cm}\); \(v \approx 10{,}73\,\text{cm}\)

- Bestimme zunächst, welche Seite die Hypotenuse ist. - Überlege genau, welche Kathete die Gegenkathete und welche die Ankathete zum markierten Winkel von \(50^\circ\) ist. - Wähle dann die passende trigonometrische Funktion aus.

1. Gegeben: Die Hypotenuse des Dreiecks ist \(10\,\text{cm}\) lang. Der Winkel am oberen Scheitelpunkt beträgt \(50^\circ\). 2. Berechnung von \(m\): Da \(m\) die Ankathete zum Winkel \(50^\circ\) ist, verwenden wir den Kosinus: \(\cos(50^\circ) = \frac{m}{10\,\text{cm}} \implies m = 10\,\text{cm} \cdot \cos(50^\circ) \approx 6{,}43\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(k\): Da \(k\) die Gegenkathete zum Winkel \(50^\circ\) ist, verwenden wir den Sinus: \(\sin(50^\circ) = \frac{k}{10\,\text{cm}} \implies k = 10\,\text{cm} \cdot \sin(50^\circ) \approx 7{,}66\,\text{cm}\).

\(k \approx 7{,}66\,\text{cm}\); \(m \approx 6{,}43\,\text{cm}\)

- Überlege dir, welche Seiten des Rechtecks die Gegenkathete und die Ankathete für den Winkel \(\alpha\) bilden. - Wie hängen die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Nutze die Umkehrfunktion des Tangens auf deinem Taschenrechner, um den Winkel aus dem Seitenverhältnis zu bestimmen.

1. Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\). 2. Einsetzen der Werte: Im Dreieck mit der Diagonale als Hypotenuse ist die Höhe des Rechtecks die Gegenkathete von \(\alpha\) und die Breite die Ankathete. Somit ist \(\tan(\alpha) = \frac{8\,\text{cm}}{15\,\text{cm}} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533\). 3. Berechnung von \(\alpha\): Mit der Umkehrfunktion des Tangens ergibt sich \(\alpha = \arctan\left(\frac{8}{15}\right) \approx 28{,}07^\circ\). Gerundet ist \(\alpha \approx 28{,}1^\circ\). 4. Berechnung von \(\beta\): Da die Winkelsumme im rechtwinkligen Teildreieck \(180^\circ\) beträgt, ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu \(90^\circ\). Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 28{,}07^\circ = 61{,}93^\circ\). Gerundet ist \(\beta \approx 61{,}9^\circ\).

a) \(\tan(\alpha) = \frac{8}{15} \approx 0{,}533\) b) \(\alpha \approx 28{,}1^\circ\) und \(\beta \approx 61{,}9^\circ\)

- Bestimme zuerst für jede Teilaufgabe, in welchem der beiden rechtwinkligen Dreiecke du dich befindest. - Identifiziere die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) in dem jeweiligen Dreieck. - Überlege für den gegebenen Winkel, welche Seite die Gegenkathete und welche die Ankathete ist. - Nutze die Definitionen: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.

1. Im Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(B\) ist \(r\) die Hypotenuse. \(\alpha\) liegt am Punkt \(A\). Die Ankathete zu \(\alpha\) ist \(p\), die Gegenkathete ist \(q\). Daraus folgt: \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) und \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\). 2. Im Dreieck \(ACD\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) ist \(t\) die Hypotenuse und \(r\) eine Kathete. \(\beta\) liegt am Punkt \(A\). Die Gegenkathete zu \(\beta\) ist \(s\), die Ankathete ist \(r\). Daraus folgt: \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) und \(\cos \beta = \frac{r}{t}\). Zusammenfassend: a) \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) b) \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) c) \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\) d) \(\cos \beta = \frac{r}{t}\)

a) \(\cos \alpha = \frac{p}{r}\) b) \(\sin \beta = \frac{s}{t}\) c) \(\tan \alpha = \frac{q}{p}\) d) \(\cos \beta = \frac{r}{t}\)

- Überlege zuerst, welche Seiten im rechtwinkligen Dreieck gegeben sind: Katheten oder die Hypotenuse? - Welche trigonometrische Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) verknüpft die gegebenen Seiten mit dem gesuchten Winkel? - Wenn du einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck kennst, wie groß muss dann der andere sein?

1. Gegeben sind die Hypotenuse \(c = 11{,}2\,\text{cm}\) und die Kathete \(b = 6{,}5\,\text{cm}\). 2. Der Winkel \(\beta\) liegt der Kathete \(b\) gegenüber. Mit der Definition des Sinus gilt: \(\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{6{,}5}{11{,}2} \approx 0{,}5804\). 3. Daraus ergibt sich \(\beta = \arcsin\left(\frac{6{,}5}{11{,}2}\right) \approx 35{,}5^\circ\). 4. Der Winkel \(\alpha\) lässt sich über die Innenwinkelsumme berechnen: \(\alpha = 90^\circ - \beta \approx 90^\circ - 35{,}5^\circ = 54{,}5^\circ\).

\(\alpha \approx 54{,}5^\circ\) und \(\beta \approx 35{,}5^\circ\)

- Überlege zuerst, wie groß die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist. - Welche Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks werden durch Sinus, Kosinus oder Tangens verknüpft? - Identifiziere Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete bezogen auf den gegebenen Winkel.

1. Da die Innenwinkelsumme im Dreieck \(180^\circ\) beträgt und ein rechter Winkel (\(90^\circ\)) vorliegt, berechnet sich \(\beta\) zu: \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\). 2. Die Gegenkathete \(a\) zum Winkel \(28^\circ\) berechnet sich über den Sinus: \(\sin(28^\circ) = \frac{a}{12\,\text{cm}} \Rightarrow a = 12\,\text{cm} \cdot \sin(28^\circ) \approx 5{,}63\,\text{cm}\). 3. Die Ankathete \(b\) zum Winkel \(28^\circ\) berechnet sich über den Kosinus: \(\cos(28^\circ) = \frac{b}{12\,\text{cm}} \Rightarrow b = 12\,\text{cm} \cdot \cos(28^\circ) \approx 10{,}60\,\text{cm}\).

\(a \approx 5{,}63\,\text{cm}\) \(b \approx 10{,}60\,\text{cm}\) \(\beta = 62^\circ\)

- Welche Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sind gegeben? - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens. Welche passt hier am besten?

1. Die Diagonale zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. 2. In einem dieser Dreiecke ist die Seite (\(9\,\text{cm}\)) die Ankathete zum Winkel \(\alpha\) und die Diagonale (\(11\,\text{cm}\)) die Hypotenuse. 3. Es gilt die Beziehung: \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{9}{11}\). 4. Mit der Umkehrfunktion des Kosinus berechnet man: \(\alpha = \arccos\left(\frac{9}{11}\right) \approx 35{,}1^\circ\).

\(\alpha \approx 35{,}1^\circ\)

- Beachte, dass sich die Bezeichnungen „Gegenkathete“ und „Ankathete“ ändern, je nachdem, welchen Winkel du betrachtest. - Fällt dir eine Besonderheit bei den Ergebnissen für \(\sin(\beta)\) und \(\cos(\alpha)\) auf? In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich \(\alpha\) und \(\beta\) zu \(90^\circ\).

1. Zuordnung der Seiten: Hypotenuse \(c = 5{,}2\). Für \(\alpha\) ist \(a = 2\) die Gegenkathete und \(b = 4{,}8\) die Ankathete. Für \(\beta\) ist \(b = 4{,}8\) die Gegenkathete und \(a = 2\) die Ankathete. 2. Berechnung von \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{2}{5{,}2} \approx 0{,}385\). 3. Berechnung von \(\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{4{,}8}{5{,}2} \approx 0{,}923\). 4. Berechnung von \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{4{,}8}{5{,}2} \approx 0{,}923\).

\(\sin(\alpha) \approx 0{,}385\); \(\sin(\beta) \approx 0{,}923\); \(\cos(\alpha) \approx 0{,}923\)

- Identifiziere zuerst den rechten Winkel, um die Hypotenuse festzulegen. - Für jeden gesuchten Wert musst du entscheiden, welche Seitenlängen in das jeweilige Verhältnis (Sinus, Kosinus oder Tangens) eingesetzt werden müssen.

1. Bestimmung der Seitenrollen: Die Hypotenuse ist \(t = 4{,}1\). Für \(\sigma\) (bei \(S\)) ist die Gegenkathete \(s = 4\) und die Ankathete \(u = 0{,}9\). Für \(\upsilon\) (bei \(U\)) ist die Ankathete \(s = 4\). 2. \(\sin(\sigma) = \frac{s}{t} = \frac{4}{4{,}1} \approx 0{,}976\). 3. \(\cos(\upsilon) = \frac{s}{t} = \frac{4}{4{,}1} \approx 0{,}976\). 4. \(\tan(\sigma) = \frac{s}{u} = \frac{4}{0{,}9} \approx 4{,}444\).

\(\sin(\sigma) \approx 0{,}976\); \(\cos(\upsilon) \approx 0{,}976\); \(\tan(\sigma) \approx 4{,}444\)

- Überlege zuerst, welche Seite die Hypotenuse ist. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. - Bestimme für jeden Winkel, welche Kathete gegenüberliegt (Gegenkathete) und welche am Winkel anliegt (Ankathete). - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

1. Bestimmung der Hypotenuse: Die Seite \(z\) liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit die Hypotenuse. 2. Bestimmung der Katheten für \(\alpha\): Die Seite \(x\) ist die Gegenkathete zu \(\alpha\), die Seite \(y\) ist die Ankathete zu \(\alpha\). 3. Aufstellen der Verhältnisse für \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{z}\) \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{y}{z}\) \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{x}{y}\) 4. Bestimmung der Katheten für \(\beta\): Die Seite \(y\) ist die Gegenkathete zu \(\beta\), die Seite \(x\) ist die Ankathete zu \(\beta\). 5. Aufstellen der Verhältnisse für \(\beta\): \(\sin(\beta) = \frac{y}{z}\) \(\cos(\beta) = \frac{x}{z}\) \(\tan(\beta) = \frac{y}{x}\)

\(\sin(\alpha) = \frac{x}{z}\), \(\cos(\alpha) = \frac{y}{z}\), \(\tan(\alpha) = \frac{x}{y}\) \(\sin(\beta) = \frac{y}{z}\), \(\cos(\beta) = \frac{x}{z}\), \(\tan(\beta) = \frac{y}{x}\)

- Überlege dir, welche Seiten des Dreiecks in Bezug auf den gegebenen Winkel bekannt oder gesucht sind (Ankathete, Gegenkathete oder Hypotenuse). - Welche trigonometrische Funktion verknüpft die Ankathete mit der Hypotenuse?

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) ist \(AB\) die Ankathete zum Winkel \(\alpha\) und \(AC\) die Hypotenuse. 2. Daher gilt \(\cos(\alpha) = \frac{AB}{AC}\). 3. Umgestellt nach \(AC\) folgt \(x = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\,\text{cm} \approx 5{,}77\,\text{cm}\).

\(x = \frac{10\sqrt{3}}{3}\,\text{cm} \approx 5{,}77\,\text{cm}\)

- Betrachte das Teildreieck \(ADC\). Welche Seite ist dort die Hypotenuse? - Welche Seite liegt am Winkel \(\alpha\) an?

1. Das Dreieck \(ADC\) ist rechtwinklig, da \(CD\) die Höhe ist (\(\angle ADC = 90^\circ\)). 2. In diesem Dreieck ist \(AC\) die Hypotenuse und \(AD\) die Ankathete zum Winkel \(\alpha\). 3. Es gilt: \(\cos(40^\circ) = \frac{AD}{AC} \implies y = 9 \cdot \cos(40^\circ) \approx 6{,}89\,\text{cm}\).

\(y \approx 6{,}89\,\text{cm}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Du kennst eine Seite und den Winkel zur benachbarten Seite. Wie kannst du damit die Höhe bestimmen? - Erinnere dich an die Definition von Sinus im rechtwinkligen Dreieck.

1. Berechnung der Höhe \(h\) des Parallelogramms: Die Höhe \(h\) steht senkrecht auf der Grundseite \(a = 8\,\text{cm}\). Im rechtwinkligen Dreieck, das durch die Höhe, die Seite \(b\) und einen Teil von \(a\) gebildet wird, gilt: \(h = b \cdot \sin(\alpha) = 5 \cdot \sin(45^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): \(A = a \cdot h = 8 \cdot (5 \cdot \sin(45^\circ)) = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2} \approx 28{,}28\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(20\sqrt{2}\,\text{cm}^2 \approx 28{,}28\,\text{cm}^2\).

- Welche Seiten des Dreiecks kennst du bereits (Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse bezüglich \(\alpha\))? - Welche Seite fehlt dir noch für die Berechnung des Cosinus? - Wie kannst du die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen?

1. Berechnung der Ankathete \(AB\) mit dem Satz des Pythagoras: \(AB = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) 2. Anwendung der Cosinus-Definition: \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{4\sqrt{2}}{6}\) 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

- Zeichne die beiden Tangenten und verbinde den Kreismittelpunkt mit den Berührpunkten. - Überlege, wie die Strecke vom Mittelpunkt zum äußeren Punkt die symmetrische Figur teilt. - Suche in einer Hälfte der Figur nach einem rechtwinkligen Dreieck. - Der vorgegebene Winkel zwischen den Tangenten hilft dir, einen Winkel in diesem halben Dreieck zu bestimmen.

1. Skizze: Die Strecke \(MP\) halbiert den Winkel zwischen den Tangenten. In den entstehenden rechtwinkligen Dreiecken \(MPT_1\) und \(MPT_2\) beträgt der Winkel bei \(P\) jeweils \(30^\circ\). 2. Berechnung: Im rechtwinkligen Dreieck \(MPT_1\) gilt \(\sin(30^\circ) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{r}{|MP|}\). 3. Da \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\), folgt: \(0{,}5 = \frac{2}{|MP|} \Rightarrow |MP| = 4\,\text{cm}\). 4. Konstruktion: Zeichne Kreis mit \(r=2\,\text{cm}\). Zeichne \(|MP| = 4\,\text{cm}\). Konstruiere die Tangenten mithilfe des Thaleskreises (Mittelpunkt von \(MP\) ist Zentrum des Thaleskreises mit \(r=2\,\text{cm}\)). 5. Überprüfung: Der Winkel zwischen den Tangenten wird durch die Konstruktion exakt \(60^\circ\) betragen.

Der Abstand \(|MP|\) muss \(4\,\text{cm}\) betragen. Da der Sinus von \(30^\circ\) gleich \(0{,}5\) ist, muss die Hypotenuse \(MP\) doppelt so lang sein wie der Radius (Gegenkathete).

- Wie berechnet man Winkel in einem gleichschenkligen Trapez? Eine Skizze der Höhe kann helfen. - Was muss für die Seitenverhältnisse gelten, damit zwei Figuren ähnlich sind? - Vergleiche die Verhältnisse aller entsprechenden Seitenpaare.

1. Berechnung der Basiswinkel \(\alpha\): In einem gleichschenkligen Trapez gilt \(\cos(\alpha) = \frac{a-c}{2b}\). 2. Für \(T_1\): \(\cos(\alpha_1) = \frac{10 - 6}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha_1 = 60^\circ\). 3. Für \(T_2\): \(\cos(\alpha_2) = \frac{15 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha_2 = 60^\circ\). Die entsprechenden Innenwinkel beider Trapeze sind also gleich (\(60^\circ\) an der längeren Grundseite, \(120^\circ\) an der kürzeren Grundseite). 4. Prüfung der Ähnlichkeit (Seitenverhältnisse): Berechne die Verhältnisse entsprechender Seiten. 5. Verhältnis der Grundseiten \(a\): \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{10} = 1{,}5\). 6. Verhältnis der Grundseiten \(c\): \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{11}{6} \approx 1{,}83\). 7. Da die Seitenverhältnisse nicht übereinstimmen (\(1{,}5 \neq 1{,}83\)), sind die Trapeze nicht ähnlich.

a) Beide Trapeze haben an der längeren Grundseite einen Winkel von \(60^\circ\) (und an der kürzeren Grundseite \(120^\circ\)). Die Innenwinkel sind also identisch. b) Nein, die Trapeze sind nicht ähnlich. Das Verhältnis der Grundseiten \(a\) ist \(1{,}5\), während das Verhältnis der Seiten \(c\) etwa \(1{,}83\) beträgt. Da die Seitenverhältnisse nicht konstant sind, liegt keine Ähnlichkeit vor.

- Welches Verhältnis besteht zwischen der Gegenkathete von \(\alpha\) und der Hypotenuse? - Wie kann man die fehlende Kathete berechnen, wenn zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck bekannt sind? - Es gibt zwei Möglichkeiten, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Nutze diesen Zusammenhang für die Höhe.

1. Berechnung des Winkels \(\alpha\) über den Sinus: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}\). 2. Anwendung der Umkehrfunktion: \(\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22{,}62^\circ\). 3. Berechnung der zweiten Kathete \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) des Dreiecks: \(A = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe \(h_c\) über die Flächenformel mit der Hypotenuse: \(A = \frac{1}{2}ch_c \Rightarrow 30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_c\). 6. Auflösen nach \(h_c\): \(h_c = \frac{60}{13} \approx 4{,}62\,\text{cm}\).

a) Der Winkel \(\alpha\) beträgt etwa \(22{,}62^\circ\). b) Die Höhe \(h_c\) ist etwa \(4{,}62\,\text{cm}\) lang.

- Stell dir vor, du klappst die Hypotenuse langsam nach unten in Richtung der Ankathete. Was passiert dabei mit der Höhe des Dreiecks? - Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste? - Was bedeutet es für einen Bruch, wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner?

1. Wenn der Winkel \(\alpha\) kleiner wird, verringert sich bei gleichbleibender Hypotenuse \(c\) die Länge der Gegenkathete \(a\). 2. Nähert sich \(\alpha\) dem Wert \(0^\circ\) an, strebt die Länge von \(a\) gegen 0, wodurch auch das Verhältnis \(\frac{a}{c}\) gegen 0 strebt. 3. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c\) die Seite, die dem größten Winkel (\(90^\circ\)) gegenüberliegt. 4. Da in einem Dreieck der größten Seite der größte Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse immer die längste Seite. 5. Da \(a < c\) gilt, muss der Quotient \(\frac{a}{c}\) immer kleiner als 1 sein.

a) Das Verhältnis wird immer kleiner und strebt gegen 0. b) Da die Hypotenuse \(c\) im rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, gilt stets \(a < c\), woraus \(\frac{a}{c} < 1\) folgt.

- Wie ist der Sinus im rechtwinkligen Dreieck definiert? - Welche Seitenlängen könntest du wählen, damit ihr Verhältnis genau \(0{,}8\) ergibt? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras, um die dritte Seite für die Zeichnung zu finden. - Welche Taste am Taschenrechner hilft dir, von einem Sinuswert auf den Winkel zu schließen?

1. Da \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = 0{,}8 = \frac{4}{5}\) ist, kann ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Gegenkathete von \(4\,\text{cm}\) und einer Hypotenuse von \(5\,\text{cm}\) gezeichnet werden. Die Ankathete ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu \(\sqrt{5^2 - 4^2} = 3\,\text{cm}\). 2. Die Messung des Winkels \(\alpha\) im gezeichneten Dreieck ergibt etwa \(53^\circ\). 3. Die rechnerische Bestimmung erfolgt über die Umkehrfunktion: \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\).

Der gemessene Winkel sollte bei ca. \(53^\circ\) liegen. Der berechnete Wert ist \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\).

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(2 : 3\) für die Längen der Seiten? Musst du die genauen Längen kennen, um die Winkel zu berechnen? - Welche trigonometrische Funktion nutzt das Verhältnis der beiden Katheten? - Wie hängen die beiden gesuchten Winkel in diesem speziellen Dreieckstyp zusammen?

1. Aufstellen der Beziehung: Das Verhältnis \(a : b = 2 : 3\) bedeutet, dass \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\) gilt. 2. Berechnung von \(\alpha\): In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens von \(\alpha\) definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, also \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). 3. Einsetzen des Verhältnisses: \(\tan(\alpha) = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\). 4. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33{,}69^\circ\). 5. Berechnung von \(\beta\): Da \(\alpha + \beta = 90^\circ\), folgt \(\beta = 90^\circ - 33{,}69^\circ = 56{,}31^\circ\).

\(\alpha \approx 33{,}69^\circ\), \(\beta \approx 56{,}31^\circ\)

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Katheten betrachtet? - Wenn du zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck kennst, wie findest du die dritte? - Welche Winkelfunktion hilft dir, einen Winkel zu finden, wenn du die Längen der Katheten kennst?

1. Berechnung der Kathete \(a\): Die Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck lautet \(A = \frac{1}{2}ab\). Einsetzen der Werte ergibt \(24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8\), woraus \(24 = 4a\) und somit \(a = 6\,\text{cm}\) folgt. 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\): Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Winkels \(\alpha\): Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\). 4. Berechnung des Winkels \(\beta\): Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\).

\(c=10\,\text{cm}\), \(\alpha\approx36{,}87^\circ\), \(\beta\approx53{,}13^\circ\)

- Was sagt das Seitenverhältnis des Tangens über die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte Seite? - Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

1. Da \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{5}{12}\), können die Seitenlängen als \(5k\) und \(12k\) modelliert werden. 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k\). 3. Bestimmung von \(\sin \alpha\): \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}\). 4. Bestimmung von \(\cos \alpha\): \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}\).

\(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) und \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\)

- Wie sind Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck über die Seitenlängen definiert? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Welche Rolle spielen die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen?

1. Interpretation von \(\tan\beta\) im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan\beta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{15}{8}\). Wähle Gegenkathete \(b = 15\) und Ankathete \(a = 8\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit dem Satz des Pythagoras: \(c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\). 3. Bestimmung der Verhältnisse: \(\sin\beta = \frac{15}{17}\) und \(\cos\beta = \frac{8}{17}\). 4. Nutzung der Beziehungen für Komplementärwinkel: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos\beta = \frac{8}{17}\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin\beta = \frac{15}{17}\).

\(\sin\beta = \frac{15}{17}\) \(\cos\beta = \frac{8}{17}\) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{8}{17}\) \(\cos(90^\circ - \beta) = \frac{15}{17}\)

- Erkennst du im Zähler des ersten Teils einen Teil des trigonometrischen Pythagoras wieder? - Kannst du den Term im zweiten Teil erst schrittweise vereinfachen, bevor du alles zusammenrechnest?

1. In Teil a) wird der Zähler mithilfe von \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) zu \(\cos^2 \alpha\) vereinfacht. Der Bruch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt nach Kürzen \(\cos \alpha\). 2. In Teil b) wird \(\frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\) zu \(\cos \alpha\) vereinfacht, da \(\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha\). Der Gesamtausdruck lautet dann \(\cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha\), also \(1\).

a) \(\cos \alpha\) b) \(1\)

- Schreibe den Tangens mithilfe von Sinus und Kosinus und bringe die Terme auf einen gemeinsamen Nenner. - Schau dir den Zähler im zweiten Teil genau an: Lässt er sich vereinfachen, wenn du eine Funktion ersetzt?

1. Für Teil a) wird \(\tan^2 \alpha\) als \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) geschrieben. Die Subtraktion ergibt \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), resultiert \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1\). 2. Für Teil b) wird im Zähler \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha = \sin \alpha\) eingesetzt. Der Zähler wird zu \(\sin \alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha\). Der Bruch \(\frac{2\sin \alpha}{\sin \alpha}\) vereinfacht sich zu \(2\).

a) \(1\) b) \(2\)

- Du kannst den Tangens als Verhältnis von Sinus zu Kosinus ausdrücken. - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine trigonometrische Funktion vorkommt. - Was passiert, wenn man eine Wurzel quadriert?

1. Nutzung der Beziehung \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \sqrt{3} \implies \sin \beta = \sqrt{3}\cos \beta\) 2. Einsetzen in \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \((\sqrt{3}\cos \beta)^2 + \cos^2 \beta = 1\) 3. Vereinfachung: \(3\cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \implies 4\cos^2 \beta = 1\) 4. Lösung für \(\cos \beta\): \(\cos^2 \beta = \frac{1}{4} \implies \cos \beta = \frac{1}{2}\) (da \(\beta\) spitz ist) 5. Lösung für \(\sin \beta\): \(\sin \beta = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos \beta = \frac{1}{2}\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder im rechtwinkligen Dreieck? - Wie ist der Tangens durch Sinus und Kosinus definiert? - Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete von \(\beta\) ist und welche Rolle sie für den Winkel \(90^\circ - \beta\) spielt.

1. Berechnung von \(\cos \beta\) über den trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\): \(\cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Da \(\beta\) spitz ist, gilt \(\cos \beta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). 2. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\): \(\tan \beta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). 3. Anwendung der Komplementärbeziehung \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\): \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

a) \(\cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{3}\) b) \(\tan \beta = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) (oder \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)) c) \(\sin(90^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3}\)

- Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor und beschrifte die Seiten passend zum gegebenen Tangenswert. - Wie kannst du die Länge der dritten Seite (Hypotenuse) ausdrücken, wenn die Katheten bekannt sind? - Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck (Verhältnisse der Seiten).

1. Definition \(\tan \gamma = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}\). Setze Gegenkathete \(a = 3k\) und Ankathete \(b = 4k\). 2. Berechnung der Hypotenuse \(c\) mit Pythagoras: \(c = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = \sqrt{9k^2 + 16k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k\). 3. Bestimmung von Sinus und Kosinus: \(\sin \gamma = \frac{a}{c} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} = 0{,}6\) und \(\cos \gamma = \frac{b}{c} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 4. Überprüfung der Identität: \(\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\). Die Identität ist erfüllt.

a) \(\sin \gamma = 0{,}6\); \(\cos \gamma = 0{,}8\) b) Die Identität ist erfüllt, da \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\).

- Wie sind Sinus und Kosinus über die Seitenlängen im Dreieck definiert? - Ersetze die trigonometrischen Begriffe durch die entsprechenden Brüche aus den Seiten \(a\), \(b\) und \(c\). - Welche Beziehung gilt zwischen den Quadraten der Seitenlängen in jedem rechtwinkligen Dreieck?

1. Definition der trigonometrischen Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) 2. Einsetzen dieser Verhältnisse in den Ausdruck \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) ergibt \(\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2\) 3. Anwendung der Potenzgesetze führt zu \(\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}\) 4. Nach dem Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) 5. Ersetzen des Zählers durch \(c^2\) ergibt \(\frac{c^2}{c^2} = 1\), womit die Identität bewiesen ist

Durch Einsetzen von \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) und \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) in \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\) erhält man \(\frac{a^2 + b^2}{c^2}\). Da nach Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, vereinfacht sich der Bruch zu \(\frac{c^2}{c^2} = 1\).

- Was passiert, wenn du die Klammer auf der linken Seite auflöst? - Wie lässt sich der Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Kannst du im entstandenen Term etwas kürzen, um ihn zu vereinfachen?

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite ergibt \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha\). 2. Einsetzen der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) führt zu \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). 3. Kürzen des Faktors \(\cos^2 \alpha\) im zweiten Term ergibt \(\sin^2 \alpha\). 4. Der verbleibende Ausdruck \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) ist identisch mit der rechten Seite.

Durch Ausmultiplizieren der linken Seite und Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) erhält man: \(\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\). Damit ist die Gleichung bewiesen.

- Setze die neuen Seitenlängen (\(2a\) und \(2b\)) in die Formel für den Tangens ein. - Kannst du den entstandenen Bruch vereinfachen? - Was weißt du über die Winkel in Dreiecken, deren Seiten im gleichen Verhältnis stehen? - Erinnere dich an das Thema Ähnlichkeit von Figuren.

1. Aufstellen des Tangens-Verhältnisses für die verdoppelten Seiten: \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{2a}{2b}\). 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\). 3. Vergleich: Da \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{a}{b} = \tan(\alpha_{\text{alt}})\) gilt, muss auch \(\alpha_{\text{neu}} = \alpha_{\text{alt}}\) sein. Der Winkel bleibt unverändert. 4. Geometrische Begründung: Durch die Verdopplung beider Katheten entsteht ein zum ursprünglichen Dreieck ähnliches Dreieck (Ähnlichkeitssatz SWS). Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß.

Der Winkel \(\alpha\) bleibt unverändert. Rechnerisch ergibt sich \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\), was dem ursprünglichen Tangenswert entspricht. Geometrisch handelt es sich um eine zentrische Streckung bzw. ähnliche Dreiecke, bei denen die Innenwinkel stets gleich bleiben.

- Was weißt du über Sinus und Kosinus von Winkeln, die sich zu \(90^\circ\) ergänzen? - Gibt es eine bekannte Formel, die die Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels verbindet? - Skizziere zur Not ein rechtwinkliges Dreieck und markiere beide spitzen Winkel.

1. Anwendung der Komplementärwinkel-Beziehungen: \(\sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta\) und \(\cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta\). 2. Einsetzen in den Ausdruck: \((\cos \beta) \cdot \cos \beta + (\sin \beta) \cdot \sin \beta\). 3. Zusammenfassen der Produkte: \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta\). 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). 5. Das Endergebnis ist \(1\).

Der Ausdruck lässt sich zu \(1\) vereinfachen. Schritte: \(\sin(90^\circ - \beta) \cdot \cos \beta + \cos(90^\circ - \beta) \cdot \sin \beta\) \(= \cos \beta \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \sin \beta\) \(= \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\)

- Versuche, alle Teile des Terms nur mit Sinus und Kosinus auszudrücken. - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnere dich an den Zusammenhang \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

1. Ersetzung von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha\) 2. Zusammenfassen des Produkts: \(\frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 3. Subtraktion der Brüche mit gleichem Nenner: \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}\) 4. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras in der Form \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 5. Kürzen des Bruchs \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(\cos \alpha\)

\(\cos \alpha\)

- Betrachte die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Sicht beider spitzen Winkel. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert? - Prüfe, in welcher Beziehung die Winkel \(22{,}5^\circ\) und \(67{,}5^\circ\) zueinander stehen.

1. Definition des Tangens: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten \(a\) und \(b\) gilt \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Produktbildung: \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1\). 3. Zusammenhang der Winkel: Da \(22{,}5^\circ + 67{,}5^\circ = 90^\circ\) gilt, sind dies die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. 4. Berechnung: Aus \(\tan 22{,}5^\circ \cdot \tan 67{,}5^\circ = 1\) folgt \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(\frac{1}{0{,}4142} \approx 2{,}4143\).

a) Da \(\tan \alpha = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\), ist \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\). b) \(\tan 67{,}5^\circ = \frac{1}{\tan 22{,}5^\circ} \approx 2{,}4143\).

- Wie groß sind die Basiswinkel, wenn der Spitzenwinkel bekannt ist? - Wenn du die Höhe einzeichnest, wie teilen sich der Spitzenwinkel und die Basis auf? - Ändert sich die Höhe, wenn du den Winkel bei gleichbleibenden Schenkeln vergrößerst?

1. Berechnung der Basis \(c\): Durch die Höhe \(h_c\) wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit dem Winkel \(\frac{\gamma}{2} = 20^\circ\) an der Spitze geteilt. Es gilt \(\sin(20^\circ) = \frac{c/2}{s}\). Somit ist \(c = 2s\sin(20^\circ) = 2 \cdot 12\,\text{cm} \cdot \sin(20^\circ) \approx 8{,}21\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\): Es gilt \(\cos(20^\circ) = \frac{h_c}{s}\), also \(h_c = 12\,\text{cm} \cdot \cos(20^\circ) \approx 11{,}28\,\text{cm}\). 3. Verdoppelung des Winkels: Neuer Winkel \(\gamma' = 80^\circ\). Die neue Basis \(c'\) berechnet sich analog zu \(c' = 2 \cdot 12\,\text{cm} \cdot \sin(40^\circ) \approx 15{,}43\,\text{cm}\).

a) \(c \approx 8{,}21\,\text{cm}\) b) \(h_c \approx 11{,}28\,\text{cm}\) c) \(c \approx 15{,}43\,\text{cm}\)

- Wie hängen die Seitenlängen mit den gegenüberliegenden Winkeln zusammen? - Überlege, welche Kathete bei einem sehr steilen Winkel fast so lang wie die Hypotenuse wird. - Erinnere dich daran, welche Werte Sinus und Kosinus maximal annehmen können. - Was passiert mit dem Tangens, wenn der Winkel gegen \(90^\circ\) geht?

1. Berechnung der Katheten: \(b = c \cdot \sin(\beta) = 15\,\text{cm} \cdot \sin(82^\circ) \approx 14{,}85\,\text{cm}\) \(a = c \cdot \cos(\beta) = 15\,\text{cm} \cdot \cos(82^\circ) \approx 2{,}09\,\text{cm}\) 2. Begründung der Verhältnisse: Da \(\beta = 82^\circ\) sehr groß ist (nahe \(90^\circ\)), muss die Gegenkathete \(b\) fast so lang wie die Hypotenuse \(c\) sein, während die Ankathete \(a\) sehr kurz ist. Das Verhältnis \(\frac{b}{a}\) (Tangens von \(82^\circ\)) setzt eine Seite, die fast so lang wie die Hypotenuse ist, ins Verhältnis zu einer sehr kurzen Seite. Da \(b > a\) und \(b \approx c\), ist \(\frac{b}{a} > 1\), während \(\frac{a}{c}\) und \(\frac{b}{c}\) (Sinus und Kosinus) immer kleiner als \(1\) sind. Somit ist \(\frac{b}{a}\) das größte Verhältnis.

1. \(a \approx 2{,}09\,\text{cm}\); \(b \approx 14{,}85\,\text{cm}\) 2. Das Verhältnis \(\frac{b}{a}\) ist am größten. Da \(\beta\) sehr groß ist, ist die Gegenkathete \(b\) viel länger als die Ankathete \(a\), wodurch der Quotient \(\frac{b}{a}\) deutlich größer als \(1\) wird, während die anderen Quotienten kleiner als \(1\) bleiben.

- Wie hängen Sinus, Kosinus und die Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Kannst du die Definition des Kosinus nutzen, um direkt eine Seitenlänge zu finden? - Welche zwei Formeln kennst du, um den Tangens zu berechnen?

1. Berechnung von \(\sin \alpha\): Über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) folgt \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\). 2. Bestimmung der Katheten: Da \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), ist \(b = c \cdot \cos \alpha = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5\,\text{cm}\). Da \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), ist \(a = c \cdot \sin \alpha = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha\): Weg 1 (Seitenverhältnis): \(\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). Weg 2 (trigonometrische Beziehung): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\).

a) \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) b) \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) c) \(\tan \alpha = 2{,}4\)

- Nutze die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus bei Komplementärwinkeln. - Schreibe den Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus um.

1. Vereinfachung: Da \(\cos(90^\circ - \delta) = \sin \delta\), gilt \(\frac{\sin \delta}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\sin \delta}{\sin \delta} = 1\). 2. Beweis der Identität: Es ist \(\tan \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta}\). Für den Komplementärwinkel gilt \(\tan(90^\circ - \delta) = \frac{\sin(90^\circ - \delta)}{\cos(90^\circ - \delta)} = \frac{\cos \delta}{\sin \delta}\). Das Produkt ist \(\frac{\sin \delta}{\cos \delta} \cdot \frac{\cos \delta}{\sin \delta} = 1\).

a) \(1\) b) \(\tan \delta \cdot \tan(90^\circ - \delta) = 1\), da die beiden Tangenswerte Kehrwerte voneinander sind.

- Verhält sich die Tangensfunktion linear? Probiere es mit konkreten Werten aus. - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck. - Wie sind Sinus und Kosinus über die Seitenverhältnisse definiert?

1. Zu a): Berechnung der Steigung für \(\alpha_1 = 20^\circ\): \(m_1 = \tan(20^\circ) \approx 0{,}3640\) (entspricht \(36{,}40\,\%\)). 2. Berechnung der Steigung für \(\alpha_2 = 40^\circ\): \(m_2 = \tan(40^\circ) \approx 0{,}8391\) (entspricht \(83{,}91\,\%\)). 3. Vergleich: Das Doppelte von \(36{,}40\,\%\) ist \(72{,}80\,\%\). Da \(83{,}91\,\% \neq 72{,}80\,\%\), ist die Behauptung falsch. In diesem Beispiel steigt die prozentuale Steigung auf mehr als das Doppelte. 4. Zu b): Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\). 5. Es ist \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) und \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\). 6. Einsetzen: \(\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1\). Die Aussage ist wahr (trigonometrischer Pythagoras).

a) Falsch. Bei \(\alpha_1 = 20^\circ\) ist die Steigung ca. \(36{,}4\,\%\), bei \(\alpha_2 = 40^\circ\) jedoch ca. \(83{,}9\,\%\), was mehr als das Doppelte ist. b) Wahr. Dies ist der „Trigonometrische Pythagoras“, der aus dem Satz des Pythagoras folgt.

- Überlege, welche Eigenschaften ein gleichseitiges Dreieck bezüglich seiner Winkel und Seiten hat. - Was passiert mit der gegenüberliegenden Seite, wenn du die Höhe einzeichnest? - Wie hängen die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Nutze die Definitionen am rechtwinkligen Dreieck: Welches Verhältnis beschreibt den Sinus, welches den Kosinus?

1. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Winkel von jeweils \(60^\circ\). Die Höhe steht senkrecht auf der Basis (\(90^\circ\)) und halbiert den Winkel an der Spitze (\(30^\circ\)). 2. Die Höhe \(h\) teilt die Basis in zwei Abschnitte der Länge \(\frac{s}{2}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt: \(h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = s^2\). 3. Auflösen nach \(h\): \(h^2 = s^2 - \frac{s^2}{4} = \frac{3}{4}s^2\), also \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}s\). 4. Definition Sinus für \(60^\circ\): \(\sin(60^\circ) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{h}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}s}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 5. Definition Kosinus für \(60^\circ\): \(\cos(60^\circ) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\frac{s}{2}}{s} = \frac{1}{2}\).

a) Winkel sind \(30^\circ\), \(60^\circ\) und \(90^\circ\), da die Höhe den \(60^\circ\)-Winkel halbiert und senkrecht steht. b) \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}s\) c) \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)

- Wie hängen die Steigung einer linearen Funktion und der Steigungswinkel zusammen? - Stell dir die Winkel im Koordinatensystem vor. Wie findet man den kleineren Winkel zwischen zwei Strahlen, wenn man ihre Winkel zur positiven \(x\)-Achse kennt? - Was geschieht mit der Gradzahl, wenn ein Winkel halbiert wird? Wie kommst du anschließend von der Gradzahl zurück zur Steigung?

1. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha) = m\). Für \(g\) erhält man \(\alpha_g = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}57^\circ\). Für \(h\) erhält man \(\alpha_h = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). 2. Da beide Steigungswinkel zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen, ist der kleinere Schnittwinkel ihre Differenz: \(\gamma = \alpha_h - \alpha_g = 63{,}4349^\circ - 26{,}5651^\circ \approx 36{,}87^\circ\). 3. Die Gerade \(k\) halbiert den Winkel \(\alpha_h\). Daher gilt \(\alpha_k = \frac{63{,}4349^\circ}{2} \approx 31{,}7175^\circ\). Somit ist \(m_k = \tan(31{,}7175^\circ) \approx 0{,}618\).

a) \(\alpha_g \approx 26{,}57^\circ\) und \(\alpha_h \approx 63{,}43^\circ\). b) Der kleinere Schnittwinkel beträgt \(\gamma \approx 36{,}87^\circ\). c) Die Steigung der winkelhalbierenden Geraden beträgt \(m_k \approx 0{,}62\).

- In Teil b) und c) musst du den passenden Winkel oder die passende Seite finden, indem du die Definitionen rückwärts anwendest. - Was weißt du über die Winkelsumme im Dreieck?

1. Der rechte Winkel liegt bei \(C\); daher ist \(w\) die Hypotenuse. 2. Für \(\epsilon\) bei \(B\) ist \(v\) die Gegenkathete und \(u\) die Ankathete. Somit gilt \(\sin \epsilon = \frac{v}{w}\). 3. Das Verhältnis \(\frac{v}{w}\) gehört ebenfalls zu \(\sin \epsilon\). 4. Für \(\phi\) bei \(A\) ist \(u\) die Gegenkathete und \(v\) die Ankathete. Daher gilt \(\tan \phi = \frac{u}{v}\) und \(\cos \phi = \frac{v}{w}\). 5. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\).

a) \(\sin \epsilon = \frac{v}{w}\) b) \(\sin \epsilon = \frac{v}{w}\) c) \(\tan \phi = \frac{u}{v}\) d) \(\cos \phi = \frac{v}{w}\) e) \(\epsilon + \phi = 90^\circ\)

- Überlege dir für jeden Teil, ob das Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse oder Gegenkathete/Ankathete darstellt. - Vergleiche das Ergebnis dann mit den Definitionen für die Winkel \(\delta\) und \(\eta\).

1. Der rechte Winkel liegt bei \(A\); daher ist \(f\) die Hypotenuse. 2. Für \(\delta\) bei \(C\) ist \(d\) die Gegenkathete und \(e\) die Ankathete. 3. Für \(\eta\) bei \(B\) ist \(e\) die Gegenkathete. 4. Somit gilt \(\cos \delta = \frac{e}{f}\), \(\sin \eta = \frac{e}{f}\), \(\tan \delta = \frac{d}{e}\) und \(\sin \delta = \frac{d}{f}\).

a) \(\cos \delta = \frac{e}{f}\) b) \(\sin \eta = \frac{e}{f}\) c) \(\tan \delta = \frac{d}{e}\) d) \(\sin \delta = \frac{d}{f}\)

- Du musst zuerst die fehlende Seite des Dreiecks berechnen. Welchen Satz kannst du dafür nutzen? - Bestimme für jeden gesuchten Wert, welche Seiten (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) du ins Verhältnis setzen musst. - Achte darauf, welcher Winkel jeweils betrachtet wird, um die richtige Gegen- oder Ankathete auszuwählen.

1. Berechnung der Hypotenuse \(b\) mit dem Satz des Pythagoras: \(b = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{2{,}4^2 + 0{,}7^2} = \sqrt{5{,}76 + 0{,}49} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\,\text{cm}\). 2. Bestimmung von \(\sin \alpha\): Der Winkel \(\alpha\) liegt bei Punkt \(A\). Die Gegenkathete ist \(a = 2{,}4\,\text{cm}\). \(\sin \alpha = \frac{a}{b} = \frac{2{,}4}{2{,}5} = 0{,}96\). 3. Bestimmung von \(\cos \gamma\): Der Winkel \(\gamma\) liegt bei Punkt \(C\). Die Ankathete ist \(a = 2{,}4\,\text{cm}\). \(\cos \gamma = \frac{a}{b} = \frac{2{,}4}{2{,}5} = 0{,}96\). 4. Bestimmung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha} = \frac{a}{c} = \frac{2{,}4}{0{,}7} \approx 3{,}43\).

a) \(b = 2{,}5\,\text{cm}\) b) \(\sin \alpha = 0{,}96\), \(\cos \gamma = 0{,}96\), \(\tan \alpha \approx 3{,}43\)

- Überlege zuerst, wie die Länge der Hypotenuse \(d\) von der Kathetenlänge \(a\) abhängt. - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck. - Kannst du den Ausdruck für den Sinus so umformen, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht?

1. Berechnung der Hypotenuse \(d\) mithilfe des Satzes von Pythagoras: \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). Daraus folgt durch Wurzelziehen \(d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). 2. Anwendung der Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin 45^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{d}\). 3. Einsetzen von \(d = a\sqrt{2}\): \(\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Durch Erweitern mit \(\sqrt{2}\) ergibt sich der Wert \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 4. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind Gegen- und Ankathete gleich lang. Somit gilt für den Kosinus: \(\cos 45^\circ = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{d} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Die exakten Werte sind \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (oder \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) und \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (oder \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)).

- Bestimme zuerst die Länge der Höhe \(h\) in Abhängigkeit von \(s\) mithilfe des Satzes von Pythagoras. - Welche Seiten des rechtwinkligen Teildreiecks bilden die Gegenkathete und die Ankathete zum \(60^\circ\)-Winkel? - Setze die Längen in die Definition des Tangens ein und kürze den Term so weit wie möglich.

1. In einem der rechtwinkligen Teildreiecke ist die Hypotenuse \(s\) und die Ankathete zum \(60^\circ\)-Winkel ist die halbe Grundseite \(\frac{1}{2}s\). 2. Die Höhe \(h\) entspricht der Gegenkathete zum \(60^\circ\)-Winkel. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(h^2 + (\frac{1}{2}s)^2 = s^2 \Rightarrow h = \sqrt{s^2 - \frac{1}{4}s^2} = \sqrt{\frac{3}{4}s^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}s\). 3. Die Definition des Tangens lautet: \(\tan 60^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\). 4. Einsetzen der Ausdrücke für Gegenkathete (\(h\)) und Ankathete (\(\frac{1}{2}s\)): \(\tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}s}{\frac{1}{2}s}\). 5. Durch Kürzen von \(s\) und dem Faktor \(\frac{1}{2}\) erhält man \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\).

Der exakte Wert ist \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\).

- Wie berechnet man die dritte Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn die beiden Katheten bekannt sind? - Identifiziere zuerst, welche Seite für den Winkel \(\rho\) die Gegenkathete und welche die Ankathete ist. - Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. - Setze die entsprechenden Seitenlängen in die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens ein.

1. Berechnung der Hypotenuse \(q\) mit dem Satz des Pythagoras: \(q^2 = p^2 + r^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\) \(q = \sqrt{841} = 29\,\text{cm}\) 2. Bestimmung der Rollen der Seiten für den Winkel \(\rho\) (bei Punkt \(R\)): Gegenkathete: \(r = 21\,\text{cm}\) Ankathete: \(p = 20\,\text{cm}\) Hypotenuse: \(q = 29\,\text{cm}\) 3. Berechnung der trigonometrischen Verhältnisse: \(\sin \rho = \frac{r}{q} = \frac{21}{29} \approx 0{,}724\) \(\cos \rho = \frac{p}{q} = \frac{20}{29} \approx 0{,}690\) \(\tan \rho = \frac{r}{p} = \frac{21}{20} = 1{,}05\)

a) \(q = 29\,\text{cm}\) b) \(\sin \rho = \frac{21}{29} \approx 0{,}724\); \(\cos \rho = \frac{20}{29} \approx 0{,}690\); \(\tan \rho = \frac{21}{20} = 1{,}05\)

- Erinnere dich an den Satz des Pythagoras, um die Länge der Diagonale in einem Rechteck zu berechnen. - Überlege dir, welche Seite im Hinblick auf den Winkel \(\alpha\) die Gegenkathete und welche die Hypotenuse ist. - Zur Berechnung der Winkel aus den Seitenverhältnissen benötigst du die entsprechenden Umkehrfunktionen (z. B. \(\sin^{-1}\) oder \(\cos^{-1}\)) auf deinem Taschenrechner.

1. Berechnung der Diagonale \(d\) mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{(24\,\text{cm})^2 + (10\,\text{cm})^2} = \sqrt{576 + 100}\,\text{cm} = \sqrt{676}\,\text{cm} = 26\,\text{cm}\). 2. Bestimmung von \(\sin(\alpha)\): Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Hier ist die Gegenkathete \(10\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(d = 26\,\text{cm}\). Also \(\sin(\alpha) = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}\). 3. Berechnung von \(\alpha\): Mit der Arkussinus-Funktion folgt \(\alpha = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22{,}619\ldots^\circ\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(\alpha \approx 22{,}62^\circ\). 4. Berechnung von \(\beta\): In einem rechtwinkligen Dreieck gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 22{,}619\ldots^\circ = 67{,}380\ldots^\circ\). Gerundet ist \(\beta \approx 67{,}38^\circ\).

a) \(d = 26\,\text{cm}\) b) \(\sin(\alpha) = \frac{5}{13}\) c) \(\alpha \approx 22{,}62^\circ\) und \(\beta \approx 67{,}38^\circ\)

- Achte darauf, dass der Winkel \(\alpha\) sowohl im kleinen Dreieck links als auch im großen Gesamtdreieck vorkommt. - Überprüfe bei jedem Bruch, welche Seite als Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse fungiert. - Die Höhe \(h\) steht senkrecht auf der Grundseite \(c\) und bildet dort zwei rechte Winkel.

In der Figur gibt es drei rechtwinklige Dreiecke: \(\triangle ABC\), \(\triangle ADC\) und \(\triangle BDC\). 1. Im Dreieck \(BDC\) ist \(\angle BDC = 90^\circ\). Die Hypotenuse ist \(a\). Für den Winkel \(\beta\) ist \(h\) die Gegenkathete. Also gilt \(\sin \beta = \frac{h}{a}\). 2. Im Dreieck \(ADC\) ist \(\angle ADC = 90^\circ\). Für den Winkel \(\alpha\) ist \(h\) die Gegenkathete und \(p\) die Ankathete. Also gilt \(\tan \alpha = \frac{h}{p}\). 3. Im großen Dreieck \(ABC\) ist \(c\) die Hypotenuse. Für den Winkel \(\alpha\) ist \(b\) die Ankathete. Also gilt \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\). 4. Im großen Dreieck \(ABC\) ist \(a\) die Gegenkathete zu \(\alpha\). Also gilt \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\). Zusammenfassend: a) \(\sin \beta = \frac{h}{a}\) b) \(\tan \alpha = \frac{h}{p}\) c) \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) d) \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)

a) \(\sin \beta = \frac{h}{a}\) b) \(\tan \alpha = \frac{h}{p}\) c) \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) d) \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)

- Überprüfe für jedes Verhältnis, welche Rolle die Seiten (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) für die Winkel \(\delta\) und \(\epsilon\) spielen. - Achte darauf, ob eine Funktion oder ein Winkel gesucht ist.

1. Hypotenuse ist \(h\). 2. \(\frac{g}{h}\) ist das Verhältnis Ankathete von \(\epsilon\) zu Hypotenuse, also \(\cos \epsilon\). 3. \(\frac{g}{h}\) ist auch Gegenkathete von \(\delta\) zu Hypotenuse, also \(\sin \delta\). 4. \(\frac{i}{g}\) ist Gegenkathete von \(\epsilon\) zu Ankathete von \(\epsilon\), also \(\tan \epsilon\). 5. \(\frac{i}{h}\) ist Gegenkathete von \(\epsilon\) zu Hypotenuse, also \(\sin \epsilon\). 6. \(\frac{i}{h}\) ist Ankathete von \(\delta\) zu Hypotenuse, also \(\cos \delta\).

a) \(\cos \epsilon = \frac{g}{h}\) b) \(\sin \delta = \frac{g}{h}\) c) \(\tan \epsilon = \frac{i}{g}\) d) \(\sin \epsilon = \frac{i}{h}\) e) \(\cos \delta = \frac{i}{h}\)

- Bevor du rechnest, müssen alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Welcher Winkel liegt der gegebenen Kathete gegenüber? - Überlege, ob die berechneten Winkelgrößen im Verhältnis zur Zeichnung plausibel sind.

1. Zuerst müssen die Einheiten angeglichen werden: \(5{,}4\,\text{dm} = 54\,\text{cm}\). 2. Gegeben sind die Kathete \(b = 54\,\text{cm}\) und die Hypotenuse \(c = 185\,\text{cm}\). 3. Für den Winkel \(\beta\) gilt: \(\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{54}{185} \approx 0{,}2919\). 4. Daraus folgt \(\beta = \arcsin(0{,}2919) \approx 17{,}0^\circ\). 5. Der Winkel \(\alpha\) berechnet sich zu \(\alpha = 90^\circ - 16{,}97^\circ \approx 73{,}0^\circ\).

\(\alpha \approx 73{,}0^\circ\) und \(\beta \approx 17{,}0^\circ\)

- Welche Seite ist in diesem Dreieck die Hypotenuse? - Du kannst den gesuchten Winkel direkt über die Winkelsumme bestimmen. - Wähle eine trigonometrische Funktion, die die gegebene Seite mit einer gesuchten Seite verbindet.

1. Der fehlende spitze Winkel \(\alpha\) ergibt sich aus der Komplementärwinkel-Beziehung: \(\alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). 2. Die Hypotenuse \(c\) lässt sich über den Kosinus von \(\beta\) berechnen: \(\cos(50^\circ) = \frac{5\,\text{cm}}{c} \Rightarrow c = \frac{5\,\text{cm}}{\cos(50^\circ)} \approx 7{,}78\,\text{cm}\). 3. Die Kathete \(b\) lässt sich über den Tangens von \(\beta\) berechnen: \(\tan(50^\circ) = \frac{b}{5\,\text{cm}} \Rightarrow b = 5\,\text{cm} \cdot \tan(50^\circ) \approx 5{,}96\,\text{cm}\).

\(b \approx 5{,}96\,\text{cm}\) \(c \approx 7{,}78\,\text{cm}\) \(\alpha = 40^\circ\)

- Überlege dir, wie man die Höhe eines Parallelogramms mit Hilfe von Trigonometrie ausdrücken kann. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms: Grundseite mal Höhe. - In welchem rechtwinkligen Dreieck kommt der Winkel \(\alpha\) vor?

1. Einzeichnen der Höhe \(h_a\) vom Punkt \(D\) auf die Grundseite \(a\) (Strecke \(AB\)). Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck \(AFD\) mit der Hypotenuse \(b\). 2. Anwendung der Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{h_a}{b}\). 3. Umstellen nach der Höhe: \(h_a = b \cdot \sin \alpha\). 4. Einsetzen in die allgemeine Flächenformel für Parallelogramme \(A = a \cdot h_a\) ergibt: \(A = a \cdot b \cdot \sin \alpha\).

Die Formel für den Flächeninhalt lautet \(A = a \cdot b \cdot \sin \alpha\).

- Welches Teildreieck enthält genug Informationen, um eine erste Seite zu berechnen? - Achte darauf, welche Seite die Hypotenuse im jeweiligen Dreieck ist. - Überlege, welche trigonometrische Funktion (Sinus, Kosinus oder Tangens) den gegebenen Winkel mit der bekannten und der gesuchten Seite verbindet.

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) (rechter Winkel bei \(C\)): \(\sin(30^\circ) = \frac{BC}{AB} \implies AB = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{0{,}5} = 10\,\text{cm}\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) (rechter Winkel bei \(B\)): \(\sin(40^\circ) = \frac{AB}{AD} \implies AD = \frac{10}{\sin(40^\circ)} \approx \frac{10}{0{,}6428} \approx 15{,}56\,\text{cm}\).

\(x \approx 15{,}56\,\text{cm}\)

- Stell dir ein einfaches rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse genau \(0{,}6\) ergibt. Welche Seitenlängen könnten das sein? - Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, wie findest du die dritte? - Was weißt du über Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen?

1. Interpretation von \(\sin(\alpha) = 0{,}6 = \frac{6}{10}\): In einem Modell-Dreieck ist die Gegenkathete \(a=6\) und die Hypotenuse \(c=10\). 2. Berechnung der Ankathete \(b\) mit Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\). 3. Bestimmung von \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{8}{10} = 0{,}8\). 4. Bestimmung von \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 5. Begründung zur Ähnlichkeit: Alle rechtwinkligen Dreiecke mit einem gemeinsamen Winkel \(\alpha\) sind zueinander ähnlich (WW-Satz). Bei ähnlichen Figuren sind die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen konstant.

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}8\) und \(\tan(\alpha) = 0{,}75\). b) Da alle rechtwinkligen Dreiecke mit dem Winkel \(\alpha\) aufgrund übereinstimmender Winkel ähnlich zueinander sind, sind die Verhältnisse ihrer Seitenlängen (und damit die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte) identisch.

- Betrachte die Höhe \(h_c\) als Kathete in einem der kleineren Teildreiecke. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Höhe und den Hypotenusenabschnitten in einem rechtwinkligen Dreieck? - Versuche, alle benötigten Längen durch eine einzige Variable (zum Beispiel \(q\)) auszudrücken.

1. Verwendung des Höhensatzes des Euklid: \(h_c^2 = pq\). 2. Substitution von \(p = 4q\) ergibt \(h_c^2 = 4q \cdot q = 4q^2\), woraus \(h_c = 2q\) folgt. 3. Im rechtwinkligen Teildreieck \(ADC\) (wobei \(D\) der Höhenfußpunkt ist) gilt \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{h_c}{p}\). 4. Einsetzen der Ausdrücke in Abhängigkeit von \(q\): \(\tan \alpha = \frac{2q}{4q} = \frac{2}{4} = 0{,}5\).

\(\tan \alpha = 0{,}5\)

- Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor. Welche Seite ist immer die längste? - Vergleiche die Brüche für Sinus (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)) und Tangens (\(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)). Wenn der Wert des Bruchs gleich ist, was bedeutet das für die Nenner? - Was passiert mit dem Sinuswert eines Winkels, wenn der Winkel größer wird?

1. Es gilt \(\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\). Da für spitze Winkel \(\cos \beta < 1\) ist, muss \(\sin \beta = \tan \beta \cdot \cos \beta\) kleiner als \(\tan \beta\) sein. Wenn \(\tan \beta = 0{,}3\) ist, dann ist \(\sin \beta < 0{,}3\). Da der Sinus im Bereich von \(0^\circ\) bis \(90^\circ\) mit wachsendem Winkel ansteigt und \(\sin \alpha = 0{,}3\) gilt, muss \(\alpha > \beta\) sein. 2. Berechnung: \(\alpha = \arcsin(0{,}3) \approx 17{,}46^\circ\). \(\beta = \arctan(0{,}3) \approx 16{,}70^\circ\). Damit ist \(\alpha > \beta\) bestätigt.

1. Der Winkel \(\alpha\) ist größer als \(\beta\). 2. \(\alpha \approx 17{,}46^\circ\) und \(\beta \approx 16{,}70^\circ\).

- Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck grundsätzlich die längste? - Vergleiche die Nenner der Brüche für Sinus und Tangens. Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner kleiner wird? - Stell dir vor, der Winkel \(\alpha\) wird sehr steil (fast \(90^\circ\)). Was passiert dann mit der Länge der Ankathete?

1. Vergleich der Definitionen: \(\sin(\alpha) = \frac{G}{H}\) und \(\tan(\alpha) = \frac{G}{A}\), wobei \(G\) die Gegenkathete, \(A\) die Ankathete und \(H\) die Hypotenuse ist. 2. Da die Hypotenuse \(H\) in jedem rechtwinkligen Dreieck die längste Seite ist, gilt stets \(H > A\). 3. Bei gleichem Zähler \(G\) ist ein Bruch größer, wenn der Nenner kleiner ist. Wegen \(A < H\) folgt \(\frac{G}{A} > \frac{G}{H}\), also \(\tan(\alpha) > \sin(\alpha)\). 4. Analyse des Verhaltens bei \(\alpha \to 90^\circ\): Während \(\sin(\alpha)\) sich dem Wert \(1\) annähert (da \(G\) fast so lang wie \(H\) wird), strebt \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich (da die Ankathete \(A\) gegen \(0\) geht). 5. Die Differenz \(\tan(\alpha) - \sin(\alpha)\) wird in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann daher bei wachsendem \(\alpha\) nicht immer kleiner werden. Die Behauptung ist falsch.

a) Da \(H > A\) gilt, ist \(\frac{G}{H} < \frac{G}{A}\), folglich \(\sin(\alpha) < \tan(\alpha)\). b) Die Behauptung ist falsch; da \(\tan(\alpha)\) gegen Unendlich strebt und \(\sin(\alpha)\) gegen \(1\) strebt, wird der Abstand in der Nähe von \(90^\circ\) beliebig groß und kann nicht immer kleiner werden.

- Kannst du den Sinuswert direkt aus dem beschriebenen Längenverhältnis ablesen? - Skizziere dir zur Not ein Dreieck und beschrifte die Seiten mit passenden Variablen oder Beispielwerten. - Denke beim Vereinfachen von Wurzeln wie \(\sqrt{8}\) an teilweises Wurzelziehen. - Nenner rational machen: Wie kannst du eine Wurzel im Nenner eines Bruches beseitigen?

1. Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck: \(\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) 2. Einsetzen des Verhältnisses: Sei die Gegenkathete \(a\), dann ist die Hypotenuse \(3a\). Somit gilt \(\sin \alpha = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}\) 3. Berechnung von \(\cos \alpha\) über \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) 4. Radizieren: \(\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) 5. Berechnung von \(\tan \alpha\): \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) und \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

- Kannst du den Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Versuche, die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Welchen bekannten Wert hat der Zähler deines resultierenden Bruches? - Nutze für den zweiten Teil das Ergebnis aus dem ersten Teil als Abkürzung.

1. Für Teil a): Ersetzen von \(\tan \alpha\) durch \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) ergibt \(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Bringen auf den Hauptnenner liefert \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\). Da \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) ist, folgt \(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\). 2. Für Teil b): Einsetzen von \(\tan \alpha = 0{,}75\) in die Formel ergibt \(1 + 0{,}75^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Berechnung der linken Seite: \(1 + 0{,}5625 = 1{,}5625\). 3. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1{,}5625} = 0{,}64\). 4. Wurzelziehen liefert \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).

a) Durch Erweitern von \(1\) zu \(\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt sich \(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). b) \(\cos \alpha = 0{,}8\).

- Wie kannst du den Bruch mit dem Tangens so umschreiben, dass er nur noch Sinus- und Kosinus-Terme enthält? - Erinnerst du dich, wie man Brüche voneinander abzieht, wenn sie bereits denselben Nenner haben? - Gibt es eine Formel, mit der man den Ausdruck \(1 - \cos^2 \alpha\) vereinfachen kann?

1. Umschreiben von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) als Kehrwert von \(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\) ergibt \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 2. Subtraktion der beiden Brüche auf der linken Seite, da sie nun den gleichen Nenner haben: \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\). 3. Nutzung des trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) in der umgestellten Form \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\). 4. Einsetzen in den Zähler ergibt \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\), was zu \(1\) gekürzt werden kann.

Durch Ersetzen von \(\frac{1}{\tan^2 \alpha}\) durch \(\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) lässt sich die linke Seite als \(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\) zusammenfassen. Da \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\) gilt, ergibt der Bruch \(\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1\).

- Erinnere dich an den trigonometrischen Pythagoras, um den Zähler umzuformen. - Wie lässt sich der Tangens im Nenner durch Sinus und Kosinus ausdrücken? - Setze die Werte für \(45^\circ\) (oder \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)) direkt in den ursprünglichen Term ein, um die Behauptung zu prüfen.

1. Mit \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) gilt \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\). 2. Wegen \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) wird der Nenner zu \(\cos \alpha \cdot \tan \alpha = \sin \alpha\). 3. Somit ist zunächst \(A = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}\). Ersetzt man \(\cos^2 \alpha\) erneut durch \(1 - \sin^2 \alpha\), erhält man die verlangte Darstellung mit nur einer trigonometrischen Funktion: \(A = \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha\). 4. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\tan(45^\circ) = 1\). Einsetzen in den Ausgangsterm ergibt \(A = \frac{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). Die Behauptung ist falsch.

a) \(A = \frac{1}{\sin \alpha} - \sin \alpha\) b) Die Behauptung ist falsch. Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(A = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \neq 1\).

- Skizziere ein gleichseitiges Dreieck und teile es in der Mitte. Welche Winkel entstehen dabei? - Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu berechnen. - Setze die Seitenlängen in die Definition des Tangens ein und vereinfache die Brüche.

1. Berechnung der Höhe \(h\): Im halbierten gleichseitigen Dreieck bilden \(h\), \(\frac{a}{2}\) und \(a\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras: \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). 2. Berechnung von \(\tan 30^\circ\): Der Winkel an der Spitze des halbierten Dreiecks ist \(30^\circ\). \(\tan 30^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 3. Berechnung von \(\tan 60^\circ\): Der Basiswinkel ist \(60^\circ\). \(\tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}\). 4. Überprüfung der Formel: Für \(\alpha = 30^\circ\) ist \(90^\circ - \alpha = 60^\circ\). Die Formel besagt \(\tan 60^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ}\). Einsetzen ergibt \(\sqrt{3} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\). Die Gleichung ist erfüllt.

a) \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). b) \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (oder \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)) und \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). c) Da \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) und \(\frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\), ist die Gleichung erfüllt.

- Wie lässt sich das Verhältnis \(\frac{c}{b}\) durch eine bekannte Winkelfunktion ausdrücken? - Setze die gegebenen Winkel in deine Formel ein und vergleiche die Ergebnisse durch Division. - Was passiert mit dem Kosinus eines Winkels, wenn der Winkel immer näher an \(90^\circ\) rückt? - Denke an die Definition des Kosinus am Einheitskreis.

a) Es gilt \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\), also \(\frac{c}{b} = \frac{1}{\cos(\alpha)}\). \(V = 2 \Rightarrow \frac{1}{\cos(\alpha)} = 2 \Rightarrow \cos(\alpha) = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha = \arccos(0{,}5) = 60^\circ\). b) Berechnung der Verhältnisse: \(V(80^\circ) = \frac{1}{\cos(80^\circ)} \approx 5{,}7588\) \(V(85^\circ) = \frac{1}{\cos(85^\circ)} \approx 11{,}4737\) Vergleich: \(\frac{11{,}4737}{5{,}7588} \approx 1{,}992\). Die Aussage ist korrekt, das Verhältnis verdoppelt sich fast genau. c) Da \(V = \frac{1}{\cos(\alpha)}\) und \(\cos(\alpha)\) für \(\alpha \to 90^\circ\) gegen den Wert \(0\) strebt, wird der Nenner des Bruchs extrem klein. Das Teilen durch eine Zahl nahe Null führt zu einem beliebig großen Ergebnis.

a) \(\alpha = 60^\circ\) b) Da \(\frac{V(85^\circ)}{V(80^\circ)} \approx 1{,}99\), ist die Aussage korrekt. c) Wenn \(\alpha\) gegen \(90^\circ\) geht, geht \(\cos(\alpha)\) gegen \(0\). Da \(\cos(\alpha)\) im Nenner des Verhältnisses steht, strebt der Gesamtwert gegen Unendlich.

- Zeichne die Höhe \(h_a\) ein. Wo liegt sie bei einem stumpfwinkligen Dreieck? - Betrachte den Winkel im rechtwinkligen Dreieck, das durch die Höhe außerhalb des ursprünglichen Dreiecks entsteht. - Wie hängen der Innenwinkel \(\gamma\) und sein Nebenwinkel zusammen?

1. Einzeichnen der Höhe \(h_a\) vom Punkt \(A\) auf die Verlängerung der Grundseite \(a\) (Strecke \(BC\)). Der Fußpunkt der Höhe sei \(F\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(ACF\) ist der Winkel bei \(C\) der Nebenwinkel zu \(\gamma\), also \(180^\circ - \gamma\). 3. Definition des Sinus im Dreieck \(ACF\): \(\sin(180^\circ - \gamma) = \frac{h_a}{b}\). 4. Verwendung der Identität \(\sin(180^\circ - \gamma) = \sin \gamma\) führt zu \(\sin \gamma = \frac{h_a}{b}\) und damit \(h_a = b \cdot \sin \gamma\). 5. Einsetzen in die Flächenformel \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\) ergibt \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma\).

Durch Einzeichnen der Höhe \(h_a\) auf die Verlängerung der Seite \(a\) entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \(180^\circ - \gamma\). Da \(\sin(180^\circ - \gamma) = \sin \gamma\) gilt, kann die Höhe durch \(h_a = b \cdot \sin \gamma\) ersetzt werden, was die Gültigkeit der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma\) auch für stumpfe Winkel zeigt.

- Was weißt du über die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck wie \(ABD\)? - Erinnere dich an den Außenwinkelsatz für Dreiecke. - Nutze die Definitionen von Tangens und Sinus im kleinen rechtwinkligen Dreieck \(BCD\). - Wie setzt sich die lange Kathete \(AC\) des großen Dreiecks zusammen?

1. Da \(|AD| = |BD|\), ist das Dreieck \(ABD\) gleichschenklig. Der Außenwinkel \(\angle BDC = 30^\circ\) ist die Summe der gegenüberliegenden Innenwinkel \(\angle DAB\) und \(\angle DBA\). Diese sind gleich groß, also gilt \(\angle DAB = \alpha = 15^\circ\). 2. Im rechtwinkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(|CD| = \frac{|BC|}{\tan(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\) und \(|BD| = \frac{|BC|}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\). 3. Wegen \(|AD| = |BD| = 2\) ist \(|AC| = |AD| + |CD| = 2 + \sqrt{3}\). 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt \(\tan(15^\circ) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}\). 5. Durch Rationalmachen des Nenners folgt \(\tan(15^\circ) = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}\).

a) Da \(\triangle ABD\) gleichschenklig ist und der Außenwinkel \(30^\circ\) beträgt, ist \(\alpha = 15^\circ\). b) \(|CD| = \sqrt{3}\); \(|BD| = 2\); \(|AC| = 2 + \sqrt{3}\) c) \(\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}\)

- Welche Eigenschaften hat ein rechtwinkliges Dreieck, in dem ein Winkel \(30^\circ\) bekannt ist? - Wie kannst du die Längen im Dreieck \(ADC\) mithilfe von Sinus und Kosinus ausdrücken? - Überlege dir, wie groß die Basiswinkel im Dreieck \(ABC\) sein müssen. - Nutze das Dreieck \(ABD\), um eine trigonometrische Beziehung für einen der Basiswinkel aufzustellen.

1. Im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) gilt mit der Hypotenuse \(AC = 2\): \(|AD| = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) \(|CD| = 2 \cdot \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) 2. Da \(D\) auf der Seite \(BC\) liegt, berechnet sich \(BD\) als: \(|BD| = |BC| - |CD| = 2 - \sqrt{3}\) 3. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt nach Pythagoras: \(|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 = 1^2 + (2 - \sqrt{3})^2 = 1 + 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 8 - 4\sqrt{3}\) \(|AB| = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}\) 4. Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck \(ABC\) betragen \(\frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ\). Somit ist \(\angle ABC = 75^\circ\). 5. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABD\) gilt: \(\sin(75^\circ) = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}\) Durch Umformung (\(2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}\)) ergibt sich der exakte Wert \(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

a) \(|AD| = 1\); \(|CD| = \sqrt{3}\); \(|BD| = 2 - \sqrt{3}\) b) \(|AB| = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}\) (oder \(|AB| = \sqrt{6} - \sqrt{2}\)) c) \(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)