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- Welche Seiten des Dreiecks kennst du bereits (Gegenkathete, Ankathete oder Hypotenuse bezüglich \(\alpha\))? - Welche Seite fehlt dir noch für die Berechnung des Cosinus? - Wie kannst du die fehlende Seite in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen?

1. Berechnung der Ankathete \(AB\) mit dem Satz des Pythagoras: \(AB = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) 2. Anwendung der Cosinus-Definition: \(\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{4\sqrt{2}}{6}\) 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

- Wie berechnet man Winkel in einem gleichschenkligen Trapez? Eine Skizze der Höhe kann helfen. - Was muss für die Seitenverhältnisse gelten, damit zwei Figuren ähnlich sind? - Vergleiche die Verhältnisse aller entsprechenden Seitenpaare.

1. Berechnung der Basiswinkel \(\alpha\): In einem gleichschenkligen Trapez gilt \(\cos(\alpha) = \frac{a-c}{2b}\). 2. Für \(T_1\): \(\cos(\alpha_1) = \frac{10 - 6}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha_1 = 60^\circ\). 3. Für \(T_2\): \(\cos(\alpha_2) = \frac{15 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha_2 = 60^\circ\). Die entsprechenden Innenwinkel beider Trapeze sind also gleich (\(60^\circ\) an der längeren Grundseite, \(120^\circ\) an der kürzeren Grundseite). 4. Prüfung der Ähnlichkeit (Seitenverhältnisse): Berechne die Verhältnisse entsprechender Seiten. 5. Verhältnis der Grundseiten \(a\): \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{10} = 1{,}5\). 6. Verhältnis der Grundseiten \(c\): \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{11}{6} \approx 1{,}83\). 7. Da die Seitenverhältnisse nicht übereinstimmen (\(1{,}5 \neq 1{,}83\)), sind die Trapeze nicht ähnlich.

a) Beide Trapeze haben an der längeren Grundseite einen Winkel von \(60^\circ\) (und an der kürzeren Grundseite \(120^\circ\)). Die Innenwinkel sind also identisch. b) Nein, die Trapeze sind nicht ähnlich. Das Verhältnis der Grundseiten \(a\) ist \(1{,}5\), während das Verhältnis der Seiten \(c\) etwa \(1{,}83\) beträgt. Da die Seitenverhältnisse nicht konstant sind, liegt keine Ähnlichkeit vor.

- Wie lässt sich das Verhältnis \(\frac{c}{b}\) durch eine bekannte Winkelfunktion ausdrücken? - Setze die gegebenen Winkel in deine Formel ein und vergleiche die Ergebnisse durch Division. - Was passiert mit dem Kosinus eines Winkels, wenn der Winkel immer näher an \(90^\circ\) rückt? - Denke an die Definition des Kosinus am Einheitskreis.

a) Es gilt \(\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\), also \(\frac{c}{b} = \frac{1}{\cos(\alpha)}\). \(V = 2 \Rightarrow \frac{1}{\cos(\alpha)} = 2 \Rightarrow \cos(\alpha) = 0{,}5\). Daraus folgt \(\alpha = \arccos(0{,}5) = 60^\circ\). b) Berechnung der Verhältnisse: \(V(80^\circ) = \frac{1}{\cos(80^\circ)} \approx 5{,}7588\) \(V(85^\circ) = \frac{1}{\cos(85^\circ)} \approx 11{,}4737\) Vergleich: \(\frac{11{,}4737}{5{,}7588} \approx 1{,}992\). Die Aussage ist korrekt, das Verhältnis verdoppelt sich fast genau. c) Da \(V = \frac{1}{\cos(\alpha)}\) und \(\cos(\alpha)\) für \(\alpha \to 90^\circ\) gegen den Wert \(0\) strebt, wird der Nenner des Bruchs extrem klein. Das Teilen durch eine Zahl nahe Null führt zu einem beliebig großen Ergebnis.

a) \(\alpha = 60^\circ\) b) Da \(\frac{V(85^\circ)}{V(80^\circ)} \approx 1{,}99\), ist die Aussage korrekt. c) Wenn \(\alpha\) gegen \(90^\circ\) geht, geht \(\cos(\alpha)\) gegen \(0\). Da \(\cos(\alpha)\) im Nenner des Verhältnisses steht, strebt der Gesamtwert gegen Unendlich.