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- Welche Seite liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber und welche liegt an? - Kannst du eine der Katheten durch die andere ausdrücken, um das Verhältnis zu vereinfachen? - Wie ist der Tangens als Verhältnis von Katheten definiert?

1. Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck: \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}\) und \(\tan \beta = \frac{b}{a}\). 2. Einsetzen der gegebenen Beziehung \(b = 2a\). 3. Berechnung von \(\tan \alpha = \frac{a}{2a} = 0{,}5\). 4. Berechnung von \(\tan \beta = \frac{2a}{a} = 2\).

\(\tan \alpha = 0{,}5\) und \(\tan \beta = 2\)

- Was bedeutet eine Prozentangabe für das Verhältnis von Höhe zu horizontaler Länge? - Welche trigonometrische Funktion beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete? - Achte darauf, dass die Einheiten Zentimeter und Meter zusammenpassen. - Überprüfe die Behauptung mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a).

1. Eine Steigung von \(6\,\%\) entspricht einem Steigungsfaktor von \(m = 0{,}06\). Der Zusammenhang zum Steigungswinkel \(\alpha\) ist \(\tan(\alpha) = m\). Daher gilt \(\alpha = \arctan(0{,}06) \approx 3{,}43^\circ\). 2. Für die horizontale Gesamtlänge \(l\) gilt bei einer Höhe \(h = 42\,\text{cm} = 0{,}42\,\text{m}\): \(m = \frac{h}{l}\). Umgestellt nach \(l\) ergibt sich \(l = \frac{0{,}42\,\text{m}}{0{,}06} = 7\,\text{m}\). 3. Bei einer Verdopplung des Winkels gilt \(2 \cdot 3{,}4336^\circ \approx 6{,}8672^\circ\). Die neue Steigung ist \(m_{\text{neu}} = \tan(6{,}8672^\circ) \approx 0{,}1204\), also etwa \(12{,}04\,\%\). Da \(12{,}04\,\% \neq 12\,\%\), ist die Aussage falsch, auch wenn sie für sehr kleine Winkel eine gute Näherung darstellt.

a) Der Winkel beträgt etwa \(3{,}43^\circ\). b) Die geneigten Rampenabschnitte benötigen insgesamt eine horizontale Länge von \(7\,\text{m}\). c) Die Aussage ist falsch; bei einer Verdopplung des Winkels auf etwa \(6{,}87^\circ\) beträgt die Steigung ungefähr \(12{,}04\,\%\).

- Wie hängen die Steigung einer linearen Funktion und der Steigungswinkel zusammen? - Stell dir die Winkel im Koordinatensystem vor. Wie findet man den kleineren Winkel zwischen zwei Strahlen, wenn man ihre Winkel zur positiven \(x\)-Achse kennt? - Was geschieht mit der Gradzahl, wenn ein Winkel halbiert wird? Wie kommst du anschließend von der Gradzahl zurück zur Steigung?

1. Für den Steigungswinkel gilt \(\tan(\alpha) = m\). Für \(g\) erhält man \(\alpha_g = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}57^\circ\). Für \(h\) erhält man \(\alpha_h = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ\). 2. Da beide Steigungswinkel zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen, ist der kleinere Schnittwinkel ihre Differenz: \(\gamma = \alpha_h - \alpha_g = 63{,}4349^\circ - 26{,}5651^\circ \approx 36{,}87^\circ\). 3. Die Gerade \(k\) halbiert den Winkel \(\alpha_h\). Daher gilt \(\alpha_k = \frac{63{,}4349^\circ}{2} \approx 31{,}7175^\circ\). Somit ist \(m_k = \tan(31{,}7175^\circ) \approx 0{,}618\).

a) \(\alpha_g \approx 26{,}57^\circ\) und \(\alpha_h \approx 63{,}43^\circ\). b) Der kleinere Schnittwinkel beträgt \(\gamma \approx 36{,}87^\circ\). c) Die Steigung der winkelhalbierenden Geraden beträgt \(m_k \approx 0{,}62\).

- Betrachte die Höhe \(h_c\) als Kathete in einem der kleineren Teildreiecke. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Höhe und den Hypotenusenabschnitten in einem rechtwinkligen Dreieck? - Versuche, alle benötigten Längen durch eine einzige Variable (zum Beispiel \(q\)) auszudrücken.

1. Verwendung des Höhensatzes des Euklid: \(h_c^2 = p \cdot q\). 2. Substitution von \(p = 4q\) ergibt \(h_c^2 = 4q \cdot q = 4q^2\), woraus \(h_c = 2q\) folgt. 3. Im rechtwinkligen Teildreieck \(ADC\) (wobei \(D\) der Höhenfußpunkt ist) gilt \(\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{h_c}{p}\). 4. Einsetzen der Ausdrücke in Abhängigkeit von \(q\): \(\tan \alpha = \frac{2q}{4q} = \frac{2}{4} = 0{,}5\).

\(\tan \alpha = 0{,}5\)

- Skizziere ein gleichseitiges Dreieck und teile es in der Mitte. Welche Winkel entstehen dabei? - Nutze den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu berechnen. - Setze die Seitenlängen in die Definition des Tangens ein und vereinfache die Brüche.

1. Berechnung der Höhe \(h\): Im halbierten gleichseitigen Dreieck bilden \(h\), \(\frac{a}{2}\) und \(a\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach Pythagoras: \(h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2 \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). 2. Berechnung von \(\tan 30^\circ\): Der Winkel an der Spitze des halbierten Dreiecks ist \(30^\circ\). \(\tan 30^\circ = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a/2}{h} = \frac{a/2}{\sqrt{3}a/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 3. Berechnung von \(\tan 60^\circ\): Der Basiswinkel ist \(60^\circ\). \(\tan 60^\circ = \frac{h}{a/2} = \frac{\sqrt{3}a/2}{a/2} = \sqrt{3}\). 4. Überprüfung der Formel: Für \(\alpha = 30^\circ\) ist \(90^\circ - \alpha = 60^\circ\). Die Formel besagt \(\tan 60^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ}\). Einsetzen ergibt \(\sqrt{3} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}\). Die Gleichung ist erfüllt.

a) \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a\). b) \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (oder \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)) und \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). c) Da \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) und \(\frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}\), ist die Gleichung erfüllt.