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- Überlege dir, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck durch die Entfernung zum Turm gegeben ist. - Vergiss nicht, dass die Messung nicht am Boden, sondern in einer bestimmten Höhe startet. - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Modellierung der Situation als rechtwinkliges Dreieck, wobei die Ankathete der Entfernung zum Turm (\(32\,\text{m}\)) entspricht und die Gegenkathete dem Höhenunterschied zwischen Augenhöhe und Turmspitze. 2. Berechnung des Höhenunterschieds \(h_{\text{Differenz}}\) mittels der Tangensfunktion: \(\tan(38^\circ) = \frac{h_{\text{Differenz}}}{32\,\text{m}}\). Daraus folgt \(h_{\text{Differenz}} = 32\,\text{m} \cdot \tan(38^\circ) \approx 25{,}00\,\text{m}\). 3. Ermittlung der Gesamthöhe \(H\) durch Addition der Augenhöhe: \(H = 25{,}00\,\text{m} + 1{,}60\,\text{m} = 26{,}60\,\text{m}\).

Der Kirchturm ist etwa \(26{,}60\,\text{m}\) hoch.

- Wie hängen die Steigung in Prozent und der Tangens eines Winkels zusammen? - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck vor: Welche Katheten entsprechen dem Höhenunterschied und der waagerechten Entfernung? - Überlege, wie man einen Tangenswert in einen Winkel umrechnet und umgekehrt.

1. Berechnung des Neigungswinkels zu \(15\,\%\) Steigung: Da die Steigung dem Tangens des Winkels entspricht, gilt \(\tan(\alpha) = 0{,}15\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}53^\circ\). 2. Berechnung der Steigung für \(10^\circ\): Es gilt \(m = \tan(10^\circ) \approx 0{,}1763\). In Prozent ausgedrückt entspricht dies einer Steigung von ca. \(17{,}63\,\%\).

a) Der Neigungswinkel beträgt ca. \(8{,}53^\circ\). b) Ein Neigungswinkel von \(10^\circ\) entspricht einer Steigung von ca. \(17{,}63\,\%\).

- Was gibt der Maßstab über die wirkliche Entfernung in der Ebene an? - Stelle dir die Situation als rechtwinkliges Dreieck vor. Welche Seiten sind gegeben? - Welche mathematische Beziehung hilft dir, die Seite gegenüber dem rechten Winkel zu finden? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft die Gegenkathete mit der Ankathete?

1. Berechnung der horizontalen Entfernung in der Realität: \(5{,}4\,\text{cm} \cdot 10\,000 = 54\,000\,\text{cm} = 540\,\text{m}\). 2. Anwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung der Weglänge (Hypotenuse): \(L = \sqrt{(540\,\text{m})^2 + (380\,\text{m})^2} \approx 660{,}30\,\text{m}\). 3. Berechnung des Steigungswinkels \(\alpha\) mit dem Tangens: \(\tan(\alpha) = \frac{380}{540} \approx 0{,}7037\). 4. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arctan(0{,}7037) \approx 35{,}14^\circ\).

Die tatsächliche Länge des Wanderwegs beträgt ca. \(660{,}3\,\text{m}\) und der durchschnittliche Steigungswinkel liegt bei etwa \(35{,}1^\circ\).

- Kannst du das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen? - Welcher Satz hilft dir, wenn zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind? - Welche trigonometrische Funktion setzt Gegenkathete und Ankathete in Beziehung?

1. Berechnung der Schenkellänge \(s\): Da die Höhe die Basis halbiert, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(4{,}00\,\text{m}\) und \(3{,}00\,\text{m}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s = \sqrt{(4{,}00\,\text{m})^2 + (3{,}00\,\text{m})^2} = \sqrt{16 + 9}\,\text{m} = 5{,}00\,\text{m}\). 2. Berechnung des Basiswinkels \(\alpha\): Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{3{,}00}{4{,}00} = 0{,}75\). Daraus folgt \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\): \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 8{,}00\,\text{m} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 12{,}00\,\text{m}^2\).

a) \(s = 5{,}00\,\text{m}\) b) \(\alpha \approx 36{,}87^\circ\) c) \(A = 12{,}00\,\text{m}^2\)

- Welche Seite im Dreieck stellt die tatsächliche Fahrbahn der Rampe dar? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit (z. B. Meter) verwendet werden. - Wenn der Winkel kleiner werden soll, muss die Rampe dann länger oder kürzer werden?

1. Identifikation der gegebenen Größen: Gegenkathete (Höhe \(h = 45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\)) und der maximale Neigungswinkel (\(\alpha = 3{,}5^\circ\)). Gesucht ist die Hypotenuse (Länge der Fahrfläche \(L\)). 2. Anwendung der Sinus-Funktion: \(\sin(3{,}5^\circ) = \frac{0{,}45\,\text{m}}{L}\). 3. Umstellen der Formel nach \(L\): \(L = \frac{0{,}45\,\text{m}}{\sin(3{,}5^\circ)}\). 4. Berechnung des Wertes: \(L \approx 7{,}3711\,\text{m}\). Um den Winkel nicht zu überschreiten, wird auf zwei Dezimalstellen aufgerundet.

Die schräge Fahrfläche der Rampe muss mindestens \(7{,}38\,\text{m}\) lang sein.

- Was bedeutet eine Steigung von \(8\,\%\) für das Verhältnis von Höhe zu waagerechter Strecke? - Rechne zuerst die Kartenmaße in reale waagerechte Entfernungen um. - Die tatsächliche Straße bildet die längste Seite in einem gedachten Steigungsdreieck.

1. Berechnung der waagerechten Entfernung \(d_w\) im Gelände: \(d_w = 5{,}6\,\text{cm} \cdot 25\,000 = 140\,000\,\text{cm} = 1\,400\,\text{m}\). 2. Berechnung des Höhenunterschieds \(h\) mithilfe der Steigungsprozentangabe (\(8\,\% = 0{,}08\)): \(h = 1\,400\,\text{m} \cdot 0{,}08 = 112\,\text{m}\). 3. Berechnung der tatsächlichen Fahrstrecke \(L\) mit dem Satz des Pythagoras: \(L = \sqrt{1\,400^2 + 112^2}\). 4. Berechnung der Werte: \(L = \sqrt{1\,960\,000 + 12\,544} = \sqrt{1\,972\,544}\). 5. Ergebnis: \(L \approx 1\,404{,}47\,\text{m}\).

Der Höhenunterschied beträgt \(112\,\text{m}\) und die tatsächliche Länge der Fahrbahn beträgt ca. \(1\,404{,}47\,\text{m}\).

- Skizziere die Seitenansicht der Überdachung als rechtwinkliges Dreieck und beschrifte die gegebenen Größen. - Welche trigonometrische Funktion verbindet den Winkel mit der Ankathete und der Gegenkathete? - Welche Seite des Dreiecks stellt die tatsächliche Länge der Glasfläche dar?

1. Berechnung des Höhenunterschieds \(h\): Mit der waagerechten Kathete \(b = 4{,}50\,\text{m}\) gilt \(\tan(20^\circ) = \frac{h}{4{,}50}\), woraus \(h = 4{,}50 \cdot \tan(20^\circ) \approx 1{,}64\,\text{m}\) folgt. 2. Berechnung der Sparrenlänge \(l\): Die Sparrenlänge entspricht der Hypotenuse. Es gilt \(\cos(20^\circ) = \frac{4{,}50}{l}\), also \(l = \frac{4{,}50}{\cos(20^\circ)} \approx 4{,}79\,\text{m}\). Alternativ über den Satz des Pythagoras: \(\sqrt{4{,}50^2 + 1{,}6378^2} \approx 4{,}79\,\text{m}\). 3. Überprüfung der Steigung: Die Steigung beträgt \(\tan(20^\circ) \cdot 100 \approx 36{,}40\,\%\). Da \(36{,}40\,\% \le 40\,\%\), ist die Vorschrift erfüllt.

a) Der Höhenunterschied beträgt ca. \(1{,}64\,\text{m}\). b) Die Sparren müssen ca. \(4{,}79\,\text{m}\) lang sein. c) Ja, mit einer Steigung von ca. \(36{,}40\,\%\) wird die Vorschrift von maximal \(40\,\%\) eingehalten.

- Was bedeutet eine Prozentangabe bei einer Steigung mathematisch für das Verhältnis der Seiten? - Welche Seite im Dreieck entspricht der tatsächlichen Fahrbahnlänge? - Welche Winkelfunktion nutzt die Hypotenuse und die gesuchte Höhe?

1. Definition der Steigung: Eine Steigung von \(12\,\%\) bedeutet \(\tan(\alpha) = 0{,}12\). 2. Berechnung des Neigungswinkels: \(\alpha = \arctan(0{,}12) \approx 6{,}84^\circ\). 3. Die Straßenlänge ist die Hypotenuse \(c = 850\,\text{m}\). Der Höhenunterschied \(h\) ist die Gegenkathete. 4. Berechnung der Höhe mit dem Sinus: \(h = 850\,\text{m} \cdot \sin(6{,}84^\circ) \approx 101{,}27\,\text{m}\). Alternativ über \(\cos(\alpha)\) die Ankathete \(b\) berechnen und dann Pythagoras nutzen oder direkt über das Verhältnis: \(h^2 + (\frac{h}{0{,}12})^2 = 850^2\).

a) Der Höhenunterschied beträgt ca. \(101{,}3\,\text{m}\). b) Der Neigungswinkel beträgt etwa \(6{,}8^\circ\).

- Skizziere die Situation für beide Sonnenstände. Wo liegt der Winkel im Dreieck? - Welche Größe bleibt bei beiden Rechnungen gleich? - Wie verändert sich die Schattenlänge, wenn der Winkel kleiner wird?

1. Berechnung der Masthöhe \(H\) im ersten Fall: \(\tan(52^\circ) = \frac{H}{28\,\text{m}}\), daraus folgt \(H = 28\,\text{m} \cdot \tan(52^\circ) \approx 35{,}84\,\text{m}\). 2. Berechnung der neuen Schattenlänge \(s_2\) bei \(30^\circ\): \(\tan(30^\circ) = \frac{35{,}84\,\text{m}}{s_2}\), daraus folgt \(s_2 = \frac{35{,}84\,\text{m}}{\tan(30^\circ)} \approx 62{,}08\,\text{m}\). 3. Differenz der Schattenlängen berechnen: \(\Delta s = 62{,}08\,\text{m} - 28\,\text{m} = 34{,}08\,\text{m}\).

Der Sendemast ist ca. \(35{,}8\,\text{m}\) hoch. Wenn die Sonne auf einen Winkel von \(30^\circ\) sinkt, verlängert sich der Schatten um ca. \(34{,}1\,\text{m}\).

- Skizziere einen Querschnitt der Pyramide durch die Mitte. Welches rechtwinklige Dreieck hilft dir, den Neigungswinkel der Seitenfläche zu finden? - Überlege dir, welche Kathete für die Höhe und welche für die horizontale Entfernung steht.

1. Für den Neigungswinkel \(\alpha\) betrachten wir das rechtwinklige Dreieck aus der Höhe \(h\), der halben Grundseite \(\frac{a}{2}\) und der Seitenhöhe. Es gilt \(\tan(\alpha)=\frac{h}{a/2}\). 2. Einsetzen: \(\tan(\alpha)=\frac{146{,}6}{115{,}2}\approx1{,}2726\). Daher ist \(\alpha=\arctan(1{,}2726)\approx51{,}84^\circ\). 3. Der Seked \(S\) ist das Verhältnis von horizontalem Rücksprung zu vertikalem Anstieg, skaliert auf sieben Handbreiten pro Elle: \(S=\frac{a/2}{h}\cdot7\). 4. Einsetzen: \(S=\frac{115{,}2}{146{,}6}\cdot7\approx5{,}5007\). Der Seked beträgt gerundet \(5{,}5\) Handbreiten.

a) Der Neigungswinkel beträgt ca. \(51{,}84^\circ\). b) Der Seked beträgt ca. \(5{,}5\) Handbreiten.

- Wie rechnet man eine Prozentangabe in eine Dezimalzahl für die Steigung um? - Welche Strecke im Grundriss entspricht der horizontalen Entfernung von der Mitte einer Grundkante bis zum Mittelpunkt der Grundfläche? - Welchen mathematischen Satz kannst du verwenden, um die Länge einer schrägen Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen?

1. Die Steigung \(m\) ist definiert als \(\frac{\text{Höhe}}{\text{horizontale Entfernung}}\). Hier: \(m = \frac{h}{a/2}\). 2. Da die Steigung \(140\,\%\) beträgt, gilt \(1{,}4 = \frac{h}{9}\). Daraus folgt \(h = 9 \cdot 1{,}4 = 12{,}6\,\text{m}\). 3. Der Neigungswinkel \(\alpha\) ergibt sich aus \(\tan(\alpha) = 1{,}4\). Somit ist \(\alpha = \arctan(1{,}4) \approx 54{,}46^\circ\). 4. Die Länge \(h_s\) des Glaselements (Höhe der Seitenfläche) wird mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck aus \(h\), \(\frac{a}{2}\) und \(h_s\) berechnet: \(h_s = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}\). 5. Einsetzen: \(h_s = \sqrt{12{,}6^2 + 9^2} = \sqrt{158{,}76 + 81} = \sqrt{239{,}76} \approx 15{,}48\,\text{m}\).

a) Die Höhe der Pyramide beträgt \(12{,}6\,\text{m}\). b) Der Neigungswinkel beträgt ca. \(54{,}46^\circ\). c) Das Glaselement muss ca. \(15{,}48\,\text{m}\) lang sein.

- Welche trigonometrische Funktion setzt die Gegenkathete und die Ankathete in Beziehung? - Überlege, welche Seite im Dreieck gegeben ist und welche gesucht wird. - Skizziere den Verlauf der Tangensfunktion für Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\).

1. Berechnung der Breite für \(\gamma = 72^\circ\): In dem rechtwinkligen Dreieck gilt \(\tan(\gamma) = \frac{AB}{AC}\). Für den ersten Messwert ergibt sich \(AB_1 = 25\,\text{m} \cdot \tan(72^\circ) \approx 76{,}94\,\text{m}\). 2. Berechnung der Breite für \(\gamma = 73^\circ\): \(AB_2 = 25\,\text{m} \cdot \tan(73^\circ) \approx 81{,}77\,\text{m}\). 3. Differenz berechnen: \(81{,}77\,\text{m} - 76{,}94\,\text{m} = 4{,}83\,\text{m}\). 4. Analyse für \(\gamma \to 90^\circ\): Da die Tangensfunktion für Winkel gegen \(90^\circ\) gegen Unendlich strebt, wächst die Breite \(AB\) bei festem Abstand \(AC\) extrem schnell an. Kleine Winkeländerungen führen dann zu gewaltigen Unterschieden in der berechneten Entfernung.

a) Die Breite des Flusses beträgt ca. \(76{,}94\,\text{m}\). b) Die Breite unterscheidet sich um ca. \(4{,}83\,\text{m}\). c) Wenn \(\gamma\) gegen \(90^\circ\) geht, strebt die Breite \(AB\) gegen Unendlich.

- Skizziere die Situation für beide Zeitpunkte. Was bleibt gleich, was ändert sich? - Wie hängen die Höhe des Turms, die Schattenlänge und der Höhenwinkel der Sonne zusammen? - Du musst zwei separate Berechnungen durchführen, bevor du die Differenz ermitteln kannst.

1. Berechnung der ersten Schattenlänge \(s_1\) am Vormittag unter Verwendung des Tangens: \(\tan(22^\circ) = \frac{42\,\text{m}}{s_1} \implies s_1 = \frac{42\,\text{m}}{\tan(22^\circ)} \approx 103{,}95\,\text{m}\). 2. Berechnung der zweiten Schattenlänge \(s_2\) am Mittag: \(\tan(58^\circ) = \frac{42\,\text{m}}{s_2} \implies s_2 = \frac{42\,\text{m}}{\tan(58^\circ)} \approx 26{,}24\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Differenz \(\Delta s = s_1 - s_2 = 103{,}95\,\text{m} - 26{,}24\,\text{m} = 77{,}71\,\text{m}\).

Der Schatten des Turms verkürzt sich um etwa \(77{,}71\,\text{m}\).

- Nutze die Definition des Tangens, um Winkel aus Gegenkathete und Ankathete zu berechnen. - Vergiss nicht, die Kartenlänge von Bahn B zuerst in die reale horizontale Länge umzurechnen. - Welche Seite im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Fahrstrecke der Seilbahn?

1. Analyse Bahn A: Horizontale Kathete \(a_A = 1\,200\,\text{m}\), Vertikale Kathete \(b_A = 450\,\text{m}\). 2. Steigungswinkel Bahn A: \(\tan(\alpha) = \frac{450}{1200} = 0{,}375 \implies \alpha \approx 20{,}56^\circ\). 3. Bahnlänge A: \(L_A = \sqrt{1200^2 + 450^2} = \sqrt{1\,440\,000 + 202\,500} = \sqrt{1\,642\,500} \approx 1\,281{,}60\,\text{m}\). 4. Analyse Bahn B: Horizontale Kathete \(a_B = 2{,}5\,\text{cm} \cdot 50\,000 = 125\,000\,\text{cm} = 1\,250\,\text{m}\), Vertikale Kathete \(b_B = 450\,\text{m}\). 5. Steigungswinkel Bahn B: \(\tan(\beta) = \frac{450}{1250} = 0{,}36 \implies \beta \approx 19{,}80^\circ\). 6. Bahnlänge B: \(L_B = \sqrt{1250^2 + 450^2} = \sqrt{1\,562\,500 + 202\,500} = \sqrt{1\,765\,000} \approx 1\,328{,}53\,\text{m}\). 7. Vergleich: Bahn B legt die längere Strecke zurück, da die horizontale Entfernung bei gleicher Höhe größer ist.

a) Der Steigungswinkel von Bahn A beträgt ca. \(20{,}56^\circ\), der von Bahn B ca. \(19{,}80^\circ\). b) Bahn B ist mit ca. \(1\,328{,}53\,\text{m}\) länger als Bahn A mit ca. \(1\,281{,}60\,\text{m}\).

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit (z. B. Meter) umzurechnen, bevor du rechnest. - Was passiert mit dem Winkel, wenn die waagerechte Strecke bei gleichbleibender Höhe kürzer wird? - Wie kannst du aus einem gegebenen Verhältnis von Höhenunterschied zu Länge den Winkel bestimmen?

1. Berechnung der waagerechten Länge \(x\): Gegeben ist die Gegenkathete \(h = 0{,}72\,\text{m}\) und der Winkel \(\alpha = 3{,}5^\circ\). Es gilt \(\tan(3{,}5^\circ) = \frac{0{,}72}{x}\), also \(x = \frac{0{,}72}{\tan(3{,}5^\circ)} \approx 11{,}77\,\text{m}\). 2. Berechnung der Steigung: \(\tan(3{,}5^\circ) \cdot 100 \approx 6{,}12\,\%\). 3. Untersuchung der 10-Meter-Variante: Der neue Winkel \(\alpha_{\text{neu}}\) berechnet sich aus \(\tan(\alpha_{\text{neu}}) = \frac{0{,}72}{10} = 0{,}072\). Somit ist \(\alpha_{\text{neu}} = \arctan(0{,}072) \approx 4{,}12^\circ\). Da \(4{,}12^\circ > 3{,}5^\circ\), ist diese Rampe nicht zulässig.

a) Es wird eine waagerechte Länge von mindestens \(11{,}77\,\text{m}\) benötigt. b) Die Steigung beträgt ca. \(6{,}12\,\%\). c) Der Neigungswinkel würde ca. \(4{,}12^\circ\) betragen. Dies ist nicht zulässig, da der Maximalwert von \(3{,}5^\circ\) überschritten wird.

- Erinnere dich an die Definition von Tangens als Gegenkathete durch Ankathete. - Überlege dir, welche Größe beim Seked im Zähler und welche im Nenner steht (horizontal vs. vertikal). - Was passiert mit einem Bruch, wenn man den Nenner vergrößert, während der Zähler gleich bleibt?

1. Der Seked \(S\) ist das Verhältnis der horizontalen Kathete (\(x\)) zur vertikalen Kathete (\(y\)), wobei die vertikale Kathete auf \(1\) Elle (\(7\) Handbreiten) normiert wird: \(S = \frac{x}{y} \cdot 7\). 2. Der Tangens des Winkels \(\alpha\) ist definiert als \(\tan(\alpha) = \frac{y}{x}\). 3. Aus \(S = \frac{x}{y} \cdot 7\) folgt \(\frac{y}{x} = \frac{7}{S}\). Durch Ersetzen erhält man \(\tan(\alpha) = \frac{7}{S}\). 4. Für \(S = 5{,}25\) gilt: \(\tan(\alpha) = \frac{7}{5{,}25} = \frac{7}{21/4} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}\). 5. Berechnung des Winkels: \(\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Der Seked ist definiert als \(S = \frac{a/2}{h} \cdot 7\). Wenn die Grundseite \(a\) gleich bleibt und die Höhe \(h\) verdoppelt wird (\(h_{neu} = 2h\)), dann halbiert sich der Seked: \(S_{neu} = \frac{a/2}{2h} \cdot 7 = \frac{1}{2} \cdot S\).

a) Da \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Höhe}}{\text{horizontaler Rücksprung}}\) und \(S = \frac{\text{horizontaler Rücksprung}}{\text{Höhe}} \cdot 7\), folgt durch Einsetzen \(\tan(\alpha) = \frac{7}{S}\). b) Der Winkel beträgt ca. \(53{,}13^\circ\). c) Der Seked halbiert sich, da er umgekehrt proportional zur Höhe \(h\) ist.

- Skizziere das Dreieck und beschrifte die Hypotenuse sowie die Katheten in Bezug auf den Winkel \(\beta\). - Welche Seite ist die Hypotenuse, wenn der rechte Winkel bei \(A\) liegt? - Was bedeutet die Angabe \(d = 50 \cdot s\) für das Verhältnis der Seiten?

1. Formel herleiten: Im rechtwinkligen Dreieck \(ABP\) mit rechtem Winkel bei \(A\) ist \(AB\) die Ankathete zu \(\beta\) und \(BP\) die Hypotenuse \(d\). Es gilt \(\cos(\beta) = \frac{s}{d}\). Umgestellt nach \(d\) ergibt sich \(d = \frac{s}{\cos(\beta)}\). 2. Berechnung für \(\beta = 88^\circ\): \(d = \frac{10\,\text{km}}{\cos(88^\circ)} \approx \frac{10}{0{,}034899} \approx 286{,}54\,\text{km}\). 3. Berechnung des Winkels für \(d = 50 \cdot s\): Das Verhältnis \(\frac{s}{d}\) ist \(\frac{s}{50s} = \frac{1}{50} = 0{,}02\). Es gilt \(\cos(\beta) = 0{,}02\). Daraus folgt \(\beta = \arccos(0{,}02) \approx 88{,}85^\circ\).

a) Die Formel lautet \(d = \frac{s}{\cos(\beta)}\). b) Die Entfernung beträgt ca. \(286{,}54\,\text{km}\). c) Der Peilwinkel müsste ca. \(88{,}85^\circ\) betragen.