Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Eigenschaft haben die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Welches Verhältnis beschreibt der Sinussatz zwischen Seiten und Winkeln?

1. Berechnung der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\): Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ\). 2. Aufstellen des Sinussatzes: \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\). 3. Umstellen nach \(a\): \(a = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\). 4. Einsetzen der Werte: \(a = \frac{8{,}4 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}\). 5. Berechnung: \(a \approx \frac{8{,}4 \cdot 0{,}9511}{0{,}5878} \approx 13{,}59\,\text{cm}\). 6. Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(b = a \approx 13{,}59\,\text{cm}\).

Die Schenkel \(a\) und \(b\) sind jeweils ca. \(13{,}59\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Welches mathematische Gesetz setzt Seitenlängen und die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel in Beziehung? - Überprüfe, welche Seite welchem Winkel gegenüberliegt.

1. Berechnung von \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme: \(\gamma = 180^\circ - 42^\circ - 75^\circ = 63^\circ\). 2. Berechnung der Seite \(b\) mit dem Sinussatz: \(b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}5 \cdot \sin(75^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 12{,}27\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Seite \(c\) mit dem Sinussatz: \(c = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}5 \cdot \sin(63^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 11{,}32\,\text{cm}\).

\(\gamma = 63^\circ\), \(b \approx 12{,}27\,\text{cm}\) und \(c \approx 11{,}32\,\text{cm}\).

1. Erklärung: Die Angabe entspricht dem Fall SSW. Da die Seite \(c\), die dem Winkel \(\gamma\) gegenüberliegt, kürzer ist als die benachbarte Seite \(a\) (\(4,5 < 6,4\)), kann die Seite \(c\) in zwei verschiedenen Positionen auf die Grundlinie treffen. 2. Berechnung von \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{6,4 \cdot \sin(35^\circ)}{4,5} \approx \frac{6,4 \cdot 0,5736}{4,5} \approx 0,8158\). \(\alpha_1 = \arcsin(0,8158) \approx 54,67^\circ\). \(\alpha_2 = 180^\circ - 54,67^\circ = 125,33^\circ\). 3. Fall 1: \(\beta_1 = 180^\circ - 35^\circ - 54,67^\circ = 90,33^\circ\). \(b_1 = \frac{c \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\gamma)} = \frac{4,5 \cdot \sin(90,33^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 7,84 \text{ cm}\). 4. Fall 2: \(\beta_2 = 180^\circ - 35^\circ - 125,33^\circ = 19,67^\circ\). \(b_2 = \frac{c \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\gamma)} = \frac{4,5 \cdot \sin(19,67^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 2,64 \text{ cm}\).

Die Lösung ist nicht eindeutig, da die dem Winkel gegenüberliegende Seite kürzer als die andere gegebene Seite ist. Dreieck 1: \(\alpha_1 \approx 54,67^\circ\), \(\beta_1 \approx 90,33^\circ\), \(b_1 \approx 7,84 \text{ cm}\). Dreieck 2: \(\alpha_2 \approx 125,33^\circ\), \(\beta_2 \approx 19,67^\circ\), \(b_2 \approx 2,64 \text{ cm}\).

1. Prüfung der Eindeutigkeit: Der gegebene Winkel \(\gamma\) liegt der Seite \(c\) gegenüber. Da \(c < b\) ist, ist die Konstruktion nicht eindeutig. 2. Berechnung von \(\beta\): \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{9,5 \cdot \sin(42^\circ)}{7,2} \approx \frac{9,5 \cdot 0,6691}{7,2} \approx 0,8828\). \(\beta_1 = \arcsin(0,8828) \approx 61,98^\circ\). \(\beta_2 = 180^\circ - 61,98^\circ = 118,02^\circ\). 3. Lösung 1: \(\alpha_1 = 180^\circ - 42^\circ - 61,98^\circ = 76,02^\circ\). \(a_1 = \frac{c \cdot \sin(\alpha_1)}{\sin(\gamma)} = \frac{7,2 \cdot \sin(76,02^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 10,44 \text{ cm}\). 4. Lösung 2: \(\alpha_2 = 180^\circ - 42^\circ - 118,02^\circ = 19,98^\circ\). \(a_2 = \frac{c \cdot \sin(\alpha_2)}{\sin(\gamma)} = \frac{7,2 \cdot \sin(19,98^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 3,68 \text{ cm}\).

Es gibt zwei Lösungen, da \(c < b\) und der Sinuswert von \(\beta\) zwei mögliche Winkel zulässt. Lösung 1: \(\beta_1 \approx 61,98^\circ\), \(\alpha_1 \approx 76,02^\circ\), \(a_1 \approx 10,44 \text{ cm}\). Lösung 2: \(\beta_2 \approx 118,02^\circ\), \(\alpha_2 \approx 19,98^\circ\), \(a_2 \approx 3,68 \text{ cm}\).

1. Begründung: Es handelt sich um den Kongruenzsatz SSW (Seite-Seite-Winkel), wobei der gegebene Winkel der kürzeren der beiden Seiten gegenüberliegt (\(a < b\)). Da \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a}\), gibt es zwei mögliche Winkel für \(\beta\) im Bereich bis \(180^\circ\), sofern der Sinuswert kleiner als 1 ist. 2. Berechnung von \(\beta\): \(\sin(\beta) = \frac{12,0 \cdot \sin(30^\circ)}{8,0} = \frac{12,0 \cdot 0,5}{8,0} = 0,75\). Daraus folgt \(\beta_1 = \arcsin(0,75) \approx 48,59^\circ\) und \(\beta_2 = 180^\circ - 48,59^\circ = 131,41^\circ\). 3. Lösung 1 (spitzwinkliges \(\beta\)): \(\gamma_1 = 180^\circ - 30^\circ - 48,59^\circ = 101,41^\circ\). \(c_1 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_1)}{\sin(\alpha)} = \frac{8,0 \cdot \sin(101,41^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 15,68 \text{ cm}\). 4. Lösung 2 (stumpfwinkliges \(\beta\)): \(\gamma_2 = 180^\circ - 30^\circ - 131,41^\circ = 18,59^\circ\). \(c_2 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_2)}{\sin(\alpha)} = \frac{8,0 \cdot \sin(18,59^\circ)}{\sin(30^\circ)} \approx 5,10 \text{ cm}\).

Zwei Lösungen existieren, da der Winkel \(\alpha\) der kürzeren Seite gegenüberliegt. Dreieck 1: \(\beta_1 \approx 48,59^\circ\), \(\gamma_1 \approx 101,41^\circ\), \(c_1 \approx 15,68 \text{ cm}\). Dreieck 2: \(\beta_2 \approx 131,41^\circ\), \(\gamma_2 \approx 18,59^\circ\), \(c_2 \approx 5,10 \text{ cm}\).

- Überlege, wie das Verhältnis von Seiten und gegenüberliegenden Winkeln im Dreieck zusammenhängt. - Denke an den Einheitskreis oder den Graphen der Sinusfunktion: Gibt es mehrere Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\), die denselben Sinuswert haben? - Prüfe immer, ob die Summe der berechneten Winkel mit dem gegebenen Winkel unter \(180^\circ\) bleibt.

1. Anwendung des Sinussatzes: \(\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\). Umstellen nach \(\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{9{,}5 \cdot \sin(42^\circ)}{7{,}2} \approx 0{,}8828\). 2. Die Gleichung \(\sin(\alpha) \approx 0{,}8828\) hat im Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\) zwei Lösungen: \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}8828) \approx 62{,}0^\circ\) und \(\alpha_2 = 180^\circ - 62{,}0^\circ = 118{,}0^\circ\). Da in beiden Fällen die Summe der gegebenen Winkel (\(\gamma + \alpha_1 = 42^\circ + 62{,}0^\circ = 104{,}0^\circ\) und \(\gamma + \alpha_2 = 42^\circ + 118{,}0^\circ = 160{,}0^\circ\)) kleiner als \(180^\circ\) ist, sind beide Winkel für ein Dreieck zulässig. 3. Berechnung von \(\beta\) über die Innenwinkelsumme: Fall 1: \(\beta_1 = 180^\circ - 42^\circ - 62{,}0^\circ = 76{,}0^\circ\). Fall 2: \(\beta_2 = 180^\circ - 42^\circ - 118{,}0^\circ = 20{,}0^\circ\).

1. \(\alpha_1 \approx 62{,}0^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 118{,}0^\circ\). 2. Es gibt zwei Lösungen, da \(\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)\) gilt und beide resultierenden Winkelsummen kleiner als \(180^\circ\) sind. 3. \(\beta_1 \approx 76{,}0^\circ\) und \(\beta_2 \approx 20{,}0^\circ\).

- Verwende den Sinussatz, um den fehlenden Winkel zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Sinuswert größer als 1 ist – was würde das bedeuten? - Addiere den berechneten Winkel zum gegebenen Winkel und vergleiche das Ergebnis mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks.

a) Berechnung des Winkels \(\gamma\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5{,}0 \cdot \sin(100^\circ)}{8{,}0} \approx 0{,}6155\). Mögliche Winkel: \(\gamma_1 \approx 38{,}0^\circ\) und \(\gamma_2 \approx 142{,}0^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\beta + \gamma_1 = 100^\circ + 38{,}0^\circ = 138{,}0^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\beta + \gamma_2 = 100^\circ + 142{,}0^\circ = 242{,}0^\circ > 180^\circ\) (nicht möglich). Es existiert genau ein Dreieck. b) Berechnung des Winkels \(\beta\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{6{,}0 \cdot \sin(35^\circ)}{4{,}5} \approx 0{,}7648\). Mögliche Winkel: \(\beta_1 \approx 49{,}9^\circ\) und \(\beta_2 \approx 130{,}1^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\alpha + \beta_1 = 35^\circ + 49{,}9^\circ = 84{,}9^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\alpha + \beta_2 = 35^\circ + 130{,}1^\circ = 165{,}1^\circ < 180^\circ\) (möglich). Es existieren zwei verschiedene Dreiecke.

a) Genau ein Dreieck, da die zweite rechnerische Lösung die Winkelsumme von \(180^\circ\) überschreitet. b) Zwei verschiedene Dreiecke, da beide rechnerischen Lösungen für den Winkel \(\beta\) zusammen mit \(\alpha\) weniger als \(180^\circ\) ergeben.

- Skizziere die Höhe im Dreieck. Welche Teilseiten entstehen dabei? - Welche Winkelfunktion verbindet Ankathete und Hypotenuse? - Wie hängen der Winkel an der Spitze und die Basiswinkel zusammen? - Nutze den Sinussatz als Ausgangspunkt für den zweiten Weg.

1. Weg a (Rechtwinkliges Dreieck): Die Höhe \(h_c\) halbiert die Basis \(c\) im Punkt \(M\). Im rechtwinkligen Dreieck \(AMC\) ist \(\frac{c}{2}\) die Ankathete zu \(\alpha\) und \(a\) die Hypotenuse. Es gilt \(\cos(\alpha) = \frac{c/2}{a}\). Umstellen ergibt \(c/2 = a \cdot \cos(\alpha)\) bzw. \(c = 2 \cdot a \cdot \cos(\alpha)\). 2. Weg b (Sinussatz): Es gilt \(\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}\). Da \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\), ist \(\sin(\gamma) = \sin(2\alpha)\). Also \(c = a \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\alpha)}\). Mit \(\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\) folgt \(c = a \cdot \frac{2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 2 \cdot a \cdot \cos(\alpha)\). 3. Vergleich: Beide Methoden beschreiben dieselben geometrischen Verhältnisse. Der Sinussatz ist eine Verallgemeinerung der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, weshalb die Ergebnisse konsistent sein müssen.

Beide Herleitungen führen zur identischen Formel \(c = 2 \cdot a \cdot \cos(\alpha)\). In Weg a) nutzt man die Definition des Kosinus im halbierten Dreieck (\(\cos(\alpha) = \frac{c/2}{a}\)), in Weg b) nutzt man den Sinussatz (\(\frac{c}{\sin(2\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}\)) und vereinfacht diesen durch eine trigonometrische Identität.

- Kannst du zuerst den dritten Winkel im Dreieck bestimmen? - Welcher Satz hilft dir, eine Seite zu finden, wenn du gegenüberliegende Paare von Winkeln und Seiten hast? - Kennst du eine Formel für den Flächeninhalt, die zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel nutzt?

1. Berechnung des fehlenden Winkels \(\beta\): \(\beta = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). 2. Berechnung der Seite \(c\) mit dem Sinussatz: \(\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow c = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7{,}17\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts mit der trigonometrischen Flächenformel: \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha\). 4. Einsetzen der Werte: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7{,}1726 \cdot \sin 45^\circ \approx 20{,}29\,\text{cm}^2\).

a) Die Seite \(c\) ist ca. \(7{,}17\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ca. \(20{,}29\,\text{cm}^2\).

- Wenn du den Sinuswert eines Winkels berechnest, gibt es im Bereich bis \(180^\circ\) oft zwei mögliche Winkelweiten. - Überprüfe, ob beide möglichen Winkel zusammen mit dem gegebenen Winkel eine Summe von weniger als \(180^\circ\) ergeben. - Beachte das Längenverhältnis der Seiten: Ist die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel kürzer oder länger als die andere gegebene Seite?

1. Anwendung des Sinussatzes zur Bestimmung von \(\beta\): \(\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} \Rightarrow \sin(\beta) = \frac{7{,}2 \cdot \sin(38^\circ)}{5{,}4} \approx 0{,}8209\). 2. Da \(\sin(\beta) < 1\) und die gegenüberliegende Seite \(c\) kürzer ist als \(b\), gibt es zwei mögliche Winkel: \(\beta_1 = \arcsin(0{,}8209) \approx 55{,}17^\circ\) und \(\beta_2 = 180^\circ - 55{,}17^\circ = 124{,}83^\circ\). 3. Prüfung der Winkelsumme für beide Fälle: Fall 1: \(\beta_1 + \gamma = 55{,}17^\circ + 38^\circ = 93{,}17^\circ < 180^\circ\) (möglich). Fall 2: \(\beta_2 + \gamma = 124{,}83^\circ + 38^\circ = 162{,}83^\circ < 180^\circ\) (möglich). 4. Berechnung der verbleibenden Winkel \(\alpha\): \(\alpha_1 = 180^\circ - 38^\circ - 55{,}17^\circ = 86{,}83^\circ\). \(\alpha_2 = 180^\circ - 38^\circ - 124{,}83^\circ = 17{,}17^\circ\).

Es existieren zwei verschiedene Dreiecke. 1. Fall: \(\beta_1 \approx 55{,}17^\circ\) und \(\alpha_1 \approx 86{,}83^\circ\). 2. Fall: \(\beta_2 \approx 124{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 17{,}17^\circ\).

- Was ist der Wert von \(\sin(90^\circ)\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen umformen, um eine Variable zu isolieren? - Wenn zwei Winkel gleich sind, was weißt du dann über ihre Sinuswerte?

1. Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(90^\circ)}\) folgt mit \(\sin(90^\circ) = 1\) die Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = c\). Umgestellt nach \(\sin(\alpha)\) ergibt sich \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). 2. Der Sinussatz ist eine allgemeinere Form. Im Spezialfall eines rechten Winkels reduziert er sich exakt auf die Definition am rechtwinkligen Dreieck. Er widerspricht ihr nicht, sondern schließt sie als Sonderfall ein. 3. Wenn \(\alpha = \beta\), dann ist \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\). Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\) folgt dann direkt \(a = b\). Dies entspricht der Eigenschaft, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Schenkel gleich lang sind.

1. \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) 2. Der Sinussatz ist die Verallgemeinerung; für \(\gamma = 90^\circ\) liefert er dieselbe Beziehung wie die Definition im rechtwinkligen Dreieck. 3. Für \(\alpha = \beta\) gilt \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\), woraus \(a = b\) folgt (Gleichschenkligkeit).

- Stelle dir vor, du zeichnest die Seite \(c\) und den Winkel \(\alpha\). Wie weit ist der Punkt \(B\) von der Linie entfernt, auf der die Seite \(b\) liegen muss? - Überlege, was die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden ist. - Welche Winkel entstehen, wenn eine Seite genau senkrecht auf einer anderen steht?

1. Damit ein Dreieck existiert, muss die Seite \(a\) mindestens so lang sein wie die Höhe \(h_b\) auf die Seite \(b\), die vom Punkt \(B\) ausgeht. In dem rechtwinkligen Teildreieck aus \(c\), \(h_b\) und dem Winkel \(\alpha\) gilt: \(\sin(\alpha) = \frac{h_b}{c}\). Daraus folgt \(h_b = c \cdot \sin(\alpha) = 12{,}0 \cdot \sin(40^\circ) \approx 7{,}71\,\text{cm}\). Die Seite \(a\) muss also mindestens \(7{,}71\,\text{cm}\) lang sein. 2. Wenn \(a = h_b\) ist, fällt der Punkt \(C\) mit dem Fußpunkt der Höhe zusammen. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\). Der Winkel \(\beta\) berechnet sich dann zu \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

1. Die Seite \(a\) muss mindestens eine Länge von ca. \(7{,}71\,\text{cm}\) haben. 2. Es liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\) vor. Der Winkel \(\beta\) beträgt dann \(50^\circ\).

- Wie kannst du das Längenverhältnis der Seiten als Dezimalzahl ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(\sin(180^\circ - x)\) und \(\sin(x)\). - Welche Formel hilft dir, einen Bruch mit \(\sin(2\alpha)\) im Nenner zu vereinfachen? - Wie kommst du vom Kosinuswert zum eigentlichen Winkel?

1. Bestimmung des Verhältnisses \(\frac{a}{c}\): Wenn \(a\) um \(20\,\%\) kürzer als \(c\) ist, gilt \(a = 0{,}8 \cdot c\), also \(\frac{a}{c} = 0{,}8\). 2. Winkelbeziehung: In einem gleichschenkligen Dreieck ist \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\), woraus folgt \(\sin(\gamma) = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)\). 3. Einsetzen in den Sinussatz: \(\frac{a}{c} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(2\alpha)}\). 4. Anwendung der Identität: \(\frac{a}{c} = \frac{\sin(\alpha)}{2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{1}{2 \cdot \cos(\alpha)}\). 5. Gleichung lösen: \(0{,}8 = \frac{1}{2 \cdot \cos(\alpha)} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{1}{2 \cdot 0{,}8} = \frac{1}{1{,}6} = 0{,}625\). 6. Winkel berechnen: \(\alpha = \arccos(0{,}625) \approx 51{,}32^\circ\). 7. Da \(\alpha = \beta\), ist \(\beta \approx 51{,}32^\circ\). 8. Spitzenwinkel berechnen: \(\gamma = 180^\circ - 2 \cdot 51{,}32^\circ = 77{,}36^\circ\).

Die Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) betragen jeweils ca. \(51{,}32^\circ\), der Winkel an der Spitze \(\gamma\) beträgt ca. \(77{,}36^\circ\).

- Erinnere dich an das Verhältnis von Seiten und Winkeln im Dreieck. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen einem Sinuswert und zwei möglichen Winkeln zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\)? - Überprüfe, ob die Innenwinkelsumme in beiden Fällen eingehalten wird. - Welche Rolle spielt die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite im Vergleich zur anderen Seite?

1. Anwendung des Sinussatzes zur Bestimmung von \(\sin \beta\): \(\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \Rightarrow \sin \beta = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{6} \approx 0{,}8604\). 2. Bestimmung des ersten möglichen Winkels \(\beta_1\): \(\beta_1 = \arcsin(0{,}8604) \approx 59{,}36^\circ\). 3. Bestimmung des zweiten möglichen Winkels \(\beta_2\): Da \(\sin(180^\circ - \beta) = \sin \beta\), ist \(\beta_2 = 180^\circ - 59{,}36^\circ = 120{,}64^\circ\). 4. Prüfung der Existenz: Da in beiden Fällen die Summe \(\alpha + \beta < 180^\circ\) ist (\(35^\circ + 59{,}36^\circ = 94{,}36^\circ\) und \(35^\circ + 120{,}64^\circ = 155{,}64^\circ\)), existieren zwei gültige Dreiecke. Dies liegt daran, dass die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite \(a\) kürzer ist als die anliegende Seite \(b\) (\(a < b\)).

Es gibt zwei Lösungen, da \(\sin \beta \approx 0{,}8604 < 1\) ist und die Seite \(a\) kürzer als \(b\) ist, wobei die Innenwinkelsumme in beiden Fällen unterschritten wird. Die Winkel sind \(\beta_1 \approx 59{,}36^\circ\) und \(\beta_2 \approx 120{,}64^\circ\).

- Welchen mathematischen Satz kennst du, der Seiten und Winkel in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt? - Gibt es beim Sinus für einen bestimmten Wert im Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) vielleicht mehr als eine Lösung? - Überlege, welche Bedingung die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck erfüllen muss. - Was passiert bei der Konstruktion, wenn die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel kürzer ist als die andere gegebene Seite?

1. Anwendung des Sinussatzes zur Bestimmung von \(\gamma\): \(\frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{\sin(\alpha)}{a} \Rightarrow \sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{a}\). 2. Einsetzen der Werte: \(\sin(\gamma) = \frac{7 \cdot \sin(40^\circ)}{5} \approx \frac{7 \cdot 0{,}6428}{5} \approx 0{,}8999\). 3. Bestimmung des ersten möglichen Winkels: \(\gamma_1 = \arcsin(0{,}8999) \approx 64{,}1^\circ\). 4. Bestimmung des zweiten möglichen Winkels (Supplementwinkel): \(\gamma_2 = 180^\circ - 64{,}1^\circ = 115{,}9^\circ\). 5. Überprüfung der Winkelsumme für beide Fälle: \(\alpha + \gamma_1 = 40^\circ + 64{,}1^\circ = 104{,}1^\circ < 180^\circ\) (möglich) und \(\alpha + \gamma_2 = 40^\circ + 115{,}9^\circ = 155{,}9^\circ < 180^\circ\) (ebenfalls möglich). 6. Da beide Werte für \(\gamma\) zu einer gültigen Winkelsumme führen und die Seite \(a\) kürzer ist als die Seite \(c\), existieren zwei verschiedene Dreiecke.

a) Die möglichen Werte für \(\gamma\) sind ca. \(64{,}1^\circ\) und \(115{,}9^\circ\). b) Es existieren zwei Dreiecke, da für beide berechneten Winkel \(\gamma\) die Summe mit \(\alpha\) kleiner als \(180^\circ\) ist. Dies tritt ein, weil die dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegende Seite \(a\) kürzer ist als die Seite \(c\).

- Skizziere die Situation. Warum könnte der Endpunkt der kürzeren Seite an zwei verschiedenen Stellen auf der Trägergeraden der dritten Seite liegen? - Welche Bedingung muss für die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel gelten, damit ein Dreieck eindeutig ist? - Berechne zuerst alle möglichen fehlenden Winkel, bevor du die dritte Seite bestimmst.

1. Sei \(a = 80\,\text{m}\), \(b = 120\,\text{m}\) und \(\alpha = 35^\circ\). Da \(\alpha\) der kürzeren Seite gegenüberliegt (\(a < b\)), tritt der mehrdeutige Fall des Sinussatzes ein. 2. Berechnung von \(\beta\) über den Sinussatz: \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{120 \cdot \sin(35^\circ)}{80} \approx 0{,}8604\). 3. Bestimmung der zwei möglichen Winkel: \(\beta_1 \approx 59{,}36^\circ\) und \(\beta_2 = 180^\circ - 59{,}36^\circ = 120{,}64^\circ\). 4. Berechnung der zugehörigen Winkel \(\gamma\): \(\gamma_1 = 180^\circ - 35^\circ - 59{,}36^\circ = 85{,}64^\circ\). \(\gamma_2 = 180^\circ - 35^\circ - 120{,}64^\circ = 24{,}36^\circ\). 5. Berechnung der möglichen Längen der dritten Seite \(c\): \(c_1 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_1)}{\sin(\alpha)} = \frac{80 \cdot \sin(85{,}64^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 139{,}07\,\text{m}\). \(c_2 = \frac{a \cdot \sin(\gamma_2)}{\sin(\alpha)} = \frac{80 \cdot \sin(24{,}36^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 57{,}52\,\text{m}\).

Die dritte Seite ist nicht eindeutig, da der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt, was zu zwei möglichen Dreieckskonstruktionen führt. Die möglichen Längen sind \(c_1 \approx 139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2 \approx 57{,}52\,\text{m}\).