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- Welche Eigenschaft haben die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Welches Verhältnis beschreibt der Sinussatz zwischen Seiten und Winkeln?

1. Berechnung der Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\): Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ\). 2. Aufstellen des Sinussatzes: \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\). 3. Umstellen nach \(a\): \(a = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\). 4. Einsetzen der Werte: \(a = \frac{8{,}4 \cdot \sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}\). 5. Berechnung: \(a \approx \frac{8{,}4 \cdot 0{,}9511}{0{,}5878} \approx 13{,}59\,\text{cm}\). 6. Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(b = a \approx 13{,}59\,\text{cm}\).

Die Schenkel \(a\) und \(b\) sind jeweils ca. \(13{,}59\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Welches mathematische Gesetz setzt Seitenlängen und die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel in Beziehung? - Überprüfe, welche Seite welchem Winkel gegenüberliegt.

1. Berechnung von \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme: \(\gamma = 180^\circ - 42^\circ - 75^\circ = 63^\circ\). 2. Berechnung der Seite \(b\) mit dem Sinussatz: \(b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}5 \cdot \sin(75^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 12{,}27\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Seite \(c\) mit dem Sinussatz: \(c = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} = \frac{8{,}5 \cdot \sin(63^\circ)}{\sin(42^\circ)} \approx 11{,}32\,\text{cm}\).

\(\gamma = 63^\circ\), \(b \approx 12{,}27\,\text{cm}\) und \(c \approx 11{,}32\,\text{cm}\).

- Wenn zwei Winkel gegeben sind, kannst du den dritten immer berechnen. - Welchen Winkel benötigst du für den Sinussatz, um die Seite \(a\) mit der gegebenen Seite \(c\) in Beziehung zu setzen?

1. Winkelsumme im Dreieck: \(\gamma = 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) = 30^\circ\). 2. Sinussatz: \(\frac{x}{\sin(45^\circ)} = \frac{2}{\sin(30^\circ)}\). 3. Umstellen: \(x = \frac{2 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\). 4. Einsetzen: \(x = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0{,}5} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\).

\(x = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\)

- Skizziere das Dreieck mit den bekannten Seiten und dem bekannten Winkel grob. - Achte darauf, dass die gegebene Lage der Seite gegenüber dem Winkel zwei Formen erlauben kann. - Wenn du einen Winkel gefunden hast, prüfe auch die zweite mögliche Lage im Dreieck. - Berechne die fehlenden Stücke für beide möglichen Skizzen getrennt.

1. Erklärung: Die Angabe entspricht dem Fall SSW. Hier gilt \(a \cdot \sin(\gamma) < c < a\). Deshalb liefert der SSW-Fall zwei mögliche Dreiecke. 2. Berechnung von \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{6{,}4 \cdot \sin(35^\circ)}{4{,}5} \approx 0{,}81575\). \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}81575) \approx 54{,}66^\circ\). \(\alpha_2 = 180^\circ - 54{,}66^\circ = 125{,}34^\circ\). 3. Fall 1: \(\beta_1 = 180^\circ - 35^\circ - 54{,}66^\circ = 90{,}34^\circ\). \(b_1 = \frac{c \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\gamma)} \approx 7{,}85\,\text{cm}\). 4. Fall 2: \(\beta_2 = 180^\circ - 35^\circ - 125{,}34^\circ = 19{,}66^\circ\). \(b_2 = \frac{c \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\gamma)} \approx 2{,}64\,\text{cm}\).

Die Lösung ist nicht eindeutig, weil \(a \cdot \sin(\gamma) < c < a\) gilt und der SSW-Fall daher zwei Dreiecke zulässt. Dreieck 1: \(\alpha_1 \approx 54{,}66^\circ\), \(\beta_1 \approx 90{,}34^\circ\), \(b_1 \approx 7{,}85\,\text{cm}\). Dreieck 2: \(\alpha_2 \approx 125{,}34^\circ\), \(\beta_2 \approx 19{,}66^\circ\), \(b_2 \approx 2{,}64\,\text{cm}\).

- Verwende den Sinussatz, um den fehlenden Winkel zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Sinuswert größer als 1 ist – was würde das bedeuten? - Addiere den berechneten Winkel zum gegebenen Winkel und vergleiche das Ergebnis mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks.

a) Berechnung des Winkels \(\gamma\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{5{,}0 \cdot \sin(100^\circ)}{8{,}0} \approx 0{,}6155\). Mögliche Winkel: \(\gamma_1 \approx 38{,}0^\circ\) und \(\gamma_2 \approx 142{,}0^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\beta + \gamma_1 = 100^\circ + 38{,}0^\circ = 138{,}0^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\beta + \gamma_2 = 100^\circ + 142{,}0^\circ = 242{,}0^\circ > 180^\circ\) (nicht möglich). Es existiert genau ein Dreieck. b) Berechnung des Winkels \(\beta\) mit dem Sinussatz: \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{6{,}0 \cdot \sin(35^\circ)}{4{,}5} \approx 0{,}7648\). Mögliche Winkel: \(\beta_1 \approx 49{,}9^\circ\) und \(\beta_2 \approx 130{,}1^\circ\). Prüfung der Winkelsumme: \(\alpha + \beta_1 = 35^\circ + 49{,}9^\circ = 84{,}9^\circ < 180^\circ\) (möglich). \(\alpha + \beta_2 = 35^\circ + 130{,}1^\circ = 165{,}1^\circ < 180^\circ\) (möglich). Es existieren zwei verschiedene Dreiecke.

a) Genau ein Dreieck, da die zweite rechnerische Lösung die Winkelsumme von \(180^\circ\) überschreitet. b) Zwei verschiedene Dreiecke, da beide rechnerischen Lösungen für den Winkel \(\beta\) zusammen mit \(\alpha\) weniger als \(180^\circ\) ergeben.

- Kannst du zuerst den dritten Winkel im Dreieck bestimmen? - Welcher Satz hilft dir, eine Seite zu finden, wenn du gegenüberliegende Paare von Winkeln und Seiten hast? - Kennst du eine Formel für den Flächeninhalt, die zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel nutzt?

1. Berechnung des fehlenden Winkels \(\beta\): \(\beta = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). 2. Berechnung der Seite \(c\) mit dem Sinussatz: \(\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow c = \frac{8\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7{,}17\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts mit der trigonometrischen Flächenformel: \(A = \frac{1}{2}bc\sin \alpha\). 4. Einsetzen der Werte: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7{,}1726 \cdot \sin 45^\circ \approx 20{,}29\,\text{cm}^2\).

a) Die Seite \(c\) ist ca. \(7{,}17\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ca. \(20{,}29\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Höhe \(h = b\sin(\gamma)\). Für welche Lage von \(c\) zwischen \(h\) und \(b\) entstehen zwei Dreiecke? - Wenn du den Sinuswert eines Winkels berechnest, gibt es im Bereich bis \(180^\circ\) oft zwei mögliche Winkelweiten. - Überprüfe, ob beide möglichen Winkel zusammen mit dem gegebenen Winkel eine Summe von weniger als \(180^\circ\) ergeben.

1. Zunächst wird die Höhenbedingung des mehrdeutigen SsW-Falls geprüft. Für den spitzen Winkel \(\gamma\) gibt es genau zwei Dreiecke, wenn \(b\sin(\gamma) < c < b\). Hier gilt \(7{,}2\sin(38^\circ) \approx 4{,}43 < 5{,}4 < 7{,}2\). Daher sind zwei Lösungen möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\), also \(\sin(\beta) = \frac{7{,}2\sin(38^\circ)}{5{,}4} \approx 0{,}8209\). 3. Daraus folgen zwei mögliche Winkel: \(\beta_1 = \arcsin(0{,}8209) \approx 55{,}17^\circ\) und \(\beta_2 = 180^\circ - 55{,}17^\circ = 124{,}83^\circ\). 4. Beide Fälle sind zulässig: \(55{,}17^\circ + 38^\circ = 93{,}17^\circ < 180^\circ\) und \(124{,}83^\circ + 38^\circ = 162{,}83^\circ < 180^\circ\). 5. Die verbleibenden Winkel sind \(\alpha_1 = 180^\circ - 38^\circ - 55{,}17^\circ = 86{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 = 180^\circ - 38^\circ - 124{,}83^\circ = 17{,}17^\circ\).

Es existieren zwei verschiedene Dreiecke, weil \(b\sin(\gamma) < c < b\) gilt: \(7{,}2\sin(38^\circ) \approx 4{,}43 < 5{,}4 < 7{,}2\). 1. Fall: \(\beta_1 \approx 55{,}17^\circ\) und \(\alpha_1 \approx 86{,}83^\circ\). 2. Fall: \(\beta_2 \approx 124{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 17{,}17^\circ\).

- Welchen Winkel kannst du direkt berechnen, wenn zwei andere Winkel bereits bekannt sind? - Wenn du einen Winkel und die gegenüberliegende Seite kennst, kannst du das Verhältnis für den Sinussatz nutzen. - Achte darauf, dein Rechengerät auf Gradmaß (DEG) einzustellen.

1. Berechnung des dritten Winkels \(\gamma\) über die Innenwinkelsumme: \(\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ\). 2. Anwendung des Sinussatzes zur Berechnung der Seite \(a\): \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \implies a = \frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma}\). 3. Einsetzen der Werte: \(a = \frac{9 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 5{,}9\,\text{cm}\). 4. Anwendung des Sinussatzes zur Berechnung der Seite \(b\): \(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \implies b = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin \gamma}\). 5. Einsetzen der Werte: \(b = \frac{9 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 7{,}9\,\text{cm}\).

\(\gamma = 80^\circ\), \(a \approx 5{,}9\,\text{cm}\) und \(b \approx 7{,}9\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst den dritten Winkel im Dreieck. - Erinnere dich an den Sinussatz für allgemeine Dreiecke. - Achte darauf, welche Seite gesucht ist und welcher Winkel ihr gegenüberliegt. - Nutze die bekannte Standlinie und den gegenüberliegenden Winkel für das Verhältnis im Sinussatz.

1. Berechnung des Winkels \(\gamma\) an der Berghütte \(P\): \(\gamma = 180^\circ - 42^\circ - 105^\circ = 33^\circ\) 2. Anwendung des Sinussatzes zur Berechnung der Entfernung \(a = BP\): \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{s}{\sin(\gamma)}\) 3. Auflösen nach \(a\): \(a = s \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = 80\,\text{m} \cdot \frac{\sin(42^\circ)}{\sin(33^\circ)}\) 4. Numerische Berechnung: \(a \approx 80\,\text{m} \cdot \frac{0{,}6691}{0{,}5446} \approx 98{,}29\,\text{m}\) Die Entfernung vom Punkt \(B\) zur Hütte beträgt etwa \(98{,}3\,\text{m}\).

Die Berghütte ist etwa \(98{,}3\,\text{m}\) vom Punkt \(B\) entfernt.

- Welche Eigenschaft haben die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wie groß ist die Winkelsumme in jedem Dreieck? - Nutze den Sinussatz, um eine Beziehung zwischen der Basis und einem der Schenkel herzustellen.

1. Zuerst die Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\) berechnen: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ\). 2. Den Sinussatz anwenden, um die Basis \(c\) zu finden: \(\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{s}{\sin(\alpha)}\). 3. Nach \(c\) auflösen: \(c = \frac{s \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}\). 4. Werte einsetzen: \(c = \frac{10 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}\). 5. Ergebnis berechnen: \(c \approx \frac{10 \cdot 0{,}6428}{0{,}9397} \approx 6{,}84\,\text{cm}\).

Die Basis \(c\) ist etwa \(6{,}84\,\text{cm}\) lang.

- Was ist der Wert von \(\sin(90^\circ)\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen umformen, um eine Variable zu isolieren? - Wenn zwei Winkel gleich sind, was weißt du dann über ihre Sinuswerte?

1. Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(90^\circ)}\) folgt mit \(\sin(90^\circ) = 1\) die Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = c\). Umgestellt nach \(\sin(\alpha)\) ergibt sich \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). 2. Der Sinussatz ist eine allgemeinere Form. Im Spezialfall eines rechten Winkels reduziert er sich exakt auf die Definition am rechtwinkligen Dreieck. Er widerspricht ihr nicht, sondern schließt sie als Sonderfall ein. 3. Wenn \(\alpha = \beta\), dann ist \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\). Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\) folgt dann direkt \(a = b\). Dies entspricht der Eigenschaft, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Schenkel gleich lang sind.

1. \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) 2. Der Sinussatz ist die Verallgemeinerung; für \(\gamma = 90^\circ\) liefert er dieselbe Beziehung wie die Definition im rechtwinkligen Dreieck. 3. Für \(\alpha = \beta\) gilt \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\), woraus \(a = b\) folgt (Gleichschenkligkeit).

- Stelle dir vor, du zeichnest die Seite \(c\) und den Winkel \(\alpha\). Wie weit ist der Punkt \(B\) von der Linie entfernt, auf der die Seite \(b\) liegen muss? - Überlege, was die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden ist. - Welche Winkel entstehen, wenn eine Seite genau senkrecht auf einer anderen steht?

1. Damit ein Dreieck existiert, muss die Seite \(a\) mindestens so lang sein wie die Höhe \(h_b\) auf die Seite \(b\), die vom Punkt \(B\) ausgeht. In dem rechtwinkligen Teildreieck aus \(c\), \(h_b\) und dem Winkel \(\alpha\) gilt: \(\sin(\alpha) = \frac{h_b}{c}\). Daraus folgt \(h_b = c\sin(\alpha) = 12{,}0 \cdot \sin(40^\circ) \approx 7{,}71\,\text{cm}\). Die Seite \(a\) muss also mindestens \(7{,}71\,\text{cm}\) lang sein. 2. Wenn \(a = h_b\) ist, fällt der Punkt \(C\) mit dem Fußpunkt der Höhe zusammen. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\).

1. Die Seite \(a\) muss mindestens eine Länge von ca. \(7{,}71\,\text{cm}\) haben. 2. Es liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90^\circ\) vor.

- Welchen mathematischen Satz kennst du, der Seiten und Winkel in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt? - Berechne zuerst die Höhe \(h = c\sin(\alpha)\). Für welche Lage von \(a\) zwischen \(h\) und \(c\) entstehen zwei Dreiecke? - Gibt es beim Sinus für einen bestimmten Wert im Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) mehr als eine Lösung? - Überprüfe für beide Winkelwerte die Winkelsumme.

1. Zunächst wird die Höhenbedingung des mehrdeutigen SsW-Falls geprüft. Für einen spitzen Winkel \(\alpha\) gibt es genau zwei Dreiecke, wenn \(c\sin(\alpha) < a < c\). Hier gilt \(7\sin(40^\circ) \approx 4{,}50 < 5 < 7\). Daher sind zwei Lösungen möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{\sin(\gamma)}{c} = \frac{\sin(\alpha)}{a}\), also \(\sin(\gamma) = \frac{c\sin(\alpha)}{a}\). 3. Einsetzen ergibt \(\sin(\gamma) = \frac{7\sin(40^\circ)}{5} \approx 0{,}8999\). 4. Der erste mögliche Winkel ist \(\gamma_1 = \arcsin(0{,}8999) \approx 64{,}1^\circ\). 5. Der zweite mögliche Winkel ist der Supplementwinkel \(\gamma_2 = 180^\circ - 64{,}1^\circ = 115{,}9^\circ\). 6. Beide Fälle sind zulässig: \(40^\circ + 64{,}1^\circ = 104{,}1^\circ < 180^\circ\) und \(40^\circ + 115{,}9^\circ = 155{,}9^\circ < 180^\circ\). Somit entstehen zwei nicht-kongruente Dreiecke.

a) Die möglichen Werte sind \(\gamma_1 \approx 64{,}1^\circ\) und \(\gamma_2 \approx 115{,}9^\circ\). b) Es gibt zwei Dreiecke, weil die vollständige Bedingung \(c\sin(\alpha) < a < c\) erfüllt ist: \(7\sin(40^\circ) \approx 4{,}50 < 5 < 7\). Beide Winkelwerte ergeben zusammen mit \(\alpha\) eine Winkelsumme unter \(180^\circ\).

- Berechne zuerst die Höhe \(h = b\sin(\alpha)\). Wie liegt \(a\) im Vergleich zu \(h\) und \(b\)? - Skizziere die Situation. Warum kann der Endpunkt der Seite \(a\) an zwei verschiedenen Stellen liegen? - Berechne zuerst beide möglichen Winkel \(\beta\), bevor du die dritte Seite bestimmst.

1. Sei \(a = 80\,\text{m}\), \(b = 120\,\text{m}\) und \(\alpha = 35^\circ\). Für den mehrdeutigen SsW-Fall mit spitzem \(\alpha\) müssen die Seiten die Höhenbedingung \(b\sin(\alpha) < a < b\) erfüllen. Hier gilt \(120\sin(35^\circ) \approx 68{,}83 < 80 < 120\). Daher sind zwei Dreiecke möglich. 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\sin(\beta) = \frac{b\sin(\alpha)}{a} = \frac{120\sin(35^\circ)}{80} \approx 0{,}8604\). 3. Daraus folgen die beiden möglichen Winkel \(\beta_1 \approx 59{,}36^\circ\) und \(\beta_2 = 180^\circ - 59{,}36^\circ = 120{,}64^\circ\). 4. Die zugehörigen dritten Winkel sind \(\gamma_1 = 180^\circ - 35^\circ - 59{,}36^\circ = 85{,}64^\circ\) und \(\gamma_2 = 180^\circ - 35^\circ - 120{,}64^\circ = 24{,}36^\circ\). 5. Mit dem Sinussatz erhält man \(c_1 = \frac{80\sin(85{,}64^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2 = \frac{80\sin(24{,}36^\circ)}{\sin(35^\circ)} \approx 57{,}52\,\text{m}\).

Die dritte Seite ist nicht eindeutig festgelegt, weil die vollständige Bedingung \(b\sin(\alpha) < a < b\) erfüllt ist: \(120\sin(35^\circ) \approx 68{,}83 < 80 < 120\). Die beiden möglichen Längen sind \(c_1 \approx 139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2 \approx 57{,}52\,\text{m}\).