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- Ordne jeder Seite zuerst ihren gegenüberliegenden Winkel zu. - Im Sinussatz müssen Seite und Sinus ihres Gegenwinkels zusammengehören.

1. Zu \(a\) gehört der Gegenwinkel \(\alpha\), zu \(b\) der Gegenwinkel \(\beta\). 2. Daher lautet die passende Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\).

\(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\)

- Schau im Bild zuerst auf den Scheitelpunkt des markierten Winkels. - Welche Seite des Dreiecks berührt diesen Scheitelpunkt nicht?

1. Der Winkel \(\beta\) liegt am Punkt \(B\). 2. Die Seite, die den Punkt \(B\) nicht berührt, ist \(AC\); sie heißt \(b\). 3. Das zugehörige Seite-Winkel-Paar ist daher \((b,\beta)\).

Gegenüber von \(\beta\) liegt \(b\); das Seite-Winkel-Paar ist \((b,\beta)\).

- Prüfe bei jeder Angabe, ob eine Seite und genau ihr Gegenwinkel gemeinsam bekannt sind. - Ein Winkel allein oder drei Seiten ohne Winkel liefern noch kein vollständiges Seite-Winkel-Paar.

1. Für einen unmittelbaren Sinussatz-Ansatz muss mindestens ein vollständiges Paar aus einer Seite und ihrem Gegenwinkel bekannt sein. 2. Nur bei A) sind \(a\) und der zugehörige Gegenwinkel \(\alpha\) gemeinsam bekannt; zusätzlich ist mit \(\beta\) ein weiterer Winkel gegeben. 3. Daher ist A) geeignet, mit dem bekannten Paar \((a,\alpha)\).

A); bekanntes Seite-Winkel-Paar: \((a,\alpha)\).

- Welche Eigenschaft haben die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks? - Wie groß ist ihre gemeinsame Größe hier? - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar eignet sich im Sinussatz als Bezug?

1. Wegen der Gleichschenkligkeit gilt \(\alpha=\beta=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(72^\circ)}=\frac{8{,}4\,\text{cm}}{\sin(36^\circ)}\). 3. Daher ist \(a=\frac{8{,}4\,\text{cm}\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}\approx13{,}59\,\text{cm}\). 4. Wegen \(a=b\) ist auch \(b\approx13{,}59\,\text{cm}\).

\(a\approx13{,}59\,\text{cm}\) und \(b\approx13{,}59\,\text{cm}\)

- Was weißt du über die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Welches mathematische Gesetz setzt Seitenlängen und die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel in Beziehung? - Überprüfe, welche Seite welchem Winkel gegenüberliegt.

1. Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma=180^\circ-42^\circ-75^\circ=63^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(b=\frac{a\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}=\frac{8{,}5\sin(75^\circ)}{\sin(42^\circ)}\approx12{,}27\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(c=\frac{a\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=\frac{8{,}5\sin(63^\circ)}{\sin(42^\circ)}\approx11{,}32\,\text{cm}\).

\(\gamma=63^\circ\), \(b\approx12{,}27\,\text{cm}\) und \(c\approx11{,}32\,\text{cm}\)

- Welchen Winkel kannst du direkt berechnen, wenn zwei andere Winkel bereits bekannt sind? - Wenn du einen Winkel und die gegenüberliegende Seite kennst, kannst du das Verhältnis für den Sinussatz nutzen. - Achte darauf, dein Rechengerät auf Gradmaß (DEG) einzustellen.

1. Über die Innenwinkelsumme gilt \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(a=\frac{c\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}=\frac{9\sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)}\approx5{,}9\,\text{cm}\). 3. Ebenso gilt \(b=\frac{c\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}=\frac{9\sin(60^\circ)}{\sin(80^\circ)}\approx7{,}9\,\text{cm}\).

\(\gamma=80^\circ\), \(a\approx5{,}9\,\text{cm}\) und \(b\approx7{,}9\,\text{cm}\)

- Welche Eigenschaft haben die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Bestimme zuerst die Basiswinkel aus der Innenwinkelsumme. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du anschließend im Sinussatz verwenden?

1. Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha=\beta=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz folgt \(\frac{c}{\sin(40^\circ)}=\frac{10\,\text{cm}}{\sin(70^\circ)}\). 3. Daher ist \(c=\frac{10\,\text{cm}\sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}\approx6{,}84\,\text{cm}\).

\(c\approx6{,}84\,\text{cm}\)

- Bestimme zunächst den dritten Innenwinkel. - Welches gegebene Seite-Winkel-Paar kannst du mit \(a\) und seinem Gegenwinkel im Sinussatz verbinden? - Verwende die exakten Sinuswerte der Standardwinkel, damit das Ergebnis exakt bleibt.

1. Aus der Innenwinkelsumme folgt \(\gamma=180^\circ-45^\circ-105^\circ=30^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{x}{\sin(45^\circ)}=\frac{2}{\sin(30^\circ)}\). 3. Daher ist \(x=\frac{2\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}=\frac{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=2\sqrt2\).

\(x=2\sqrt2\)

- Welches gegebene Seite-Winkel-Paar kannst du direkt verwenden? - Ordne der gesuchten Seite \(b\) ihren Gegenwinkel zu. - Verwende die exakten Sinuswerte der beiden Standardwinkel.

1. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\). 2. Daher ist \(b=\frac{6\,\text{cm}\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}\). 3. Mit \(\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\) und \(\sin(30^\circ)=\frac12\) folgt \(b=6\sqrt2\,\text{cm}\).

\(b=6\sqrt2\,\text{cm}\)

- Warum dürfen die beiden gegebenen Ausdrücke für \(h_c\) gleichgesetzt werden? - Durch welchen gemeinsamen Faktor kannst du teilen, damit Seitenlängen über Sinuswerten entstehen? - Welche Rolle würde eine entsprechend gewählte weitere Höhe für die dritte Seite spielen?

1. Da beide Ausdrücke dieselbe Höhe beschreiben, gilt \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\). 2. Division durch \(\sin(\alpha)\sin(\beta)\) ergibt \(\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{a}{\sin(\alpha)}\). 3. Fällt man entsprechend eine weitere Höhe und vergleicht die zugehörigen rechtwinkligen Teildreiecke, erhält man ebenso die Gleichheit mit \(\frac{c}{\sin(\gamma)}\). 4. Damit folgt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\).

Aus \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\) folgt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\); analog erhält man \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\).

- Die Höhe \(h\) ist der kleinste Abstand vom festen Punkt \(C\) zur möglichen Grundlinie. - Vergleiche den Kreisradius \(a\) zuerst mit dieser Höhe und dann mit \(b\). - Was bedeutet es geometrisch, wenn der Radius größer als die Höhe, aber kleiner als \(b\) ist?

1. Die Höhe beträgt \(h=10\,\text{cm}\cdot\sin(35^\circ)\approx5{,}74\,\text{cm}\). 2. Es gilt \(h<a<b\), also \(5{,}74<7<10\). 3. Damit schneidet der Kreis mit Radius \(a\) die mögliche Grundlinie in zwei zulässigen Punkten. Es entstehen zwei verschiedene Dreiecke.

\(h\approx5{,}74\,\text{cm}\); weil \(h<a<b\) gilt, sind zwei verschiedene Dreiecke möglich.

- Verwende den Sinussatz, um den fehlenden Winkel zu bestimmen. - Zu demselben positiven Sinuswert können zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Winkel gehören. - Prüfe jede rechnerische Winkelmöglichkeit mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks.

1. Für a) gilt mit dem Sinussatz \(\sin(\gamma)=\frac{5{,}0\sin(100^\circ)}{8{,}0}\approx0{,}6155\). Daraus folgen rechnerisch \(\gamma_1\approx38{,}0^\circ\) und \(\gamma_2\approx142{,}0^\circ\). 2. Nur \(\gamma_1\) ist zulässig, denn \(100^\circ+38{,}0^\circ<180^\circ\), während \(100^\circ+142{,}0^\circ>180^\circ\). Damit existiert in a) genau ein Dreieck. 3. Für b) gilt \(\sin(\beta)=\frac{6{,}0\sin(35^\circ)}{4{,}5}\approx0{,}7648\). Daraus folgen \(\beta_1\approx49{,}9^\circ\) und \(\beta_2\approx130{,}1^\circ\). 4. Beide Werte sind zulässig, weil sowohl \(35^\circ+49{,}9^\circ<180^\circ\) als auch \(35^\circ+130{,}1^\circ<180^\circ\) gilt. Damit existieren in b) zwei verschiedene Dreiecke.

a) Genau ein Dreieck, da die zweite rechnerische Lösung die Winkelsumme von \(180^\circ\) überschreitet. b) Zwei verschiedene Dreiecke, da beide rechnerischen Lösungen für \(\beta\) zusammen mit \(\alpha\) weniger als \(180^\circ\) ergeben.

- Bestimme zuerst den dritten Innenwinkel. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz verwenden? - Welche Flächenformel nutzt zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel? - Verwende für b) den ungerundeten Seitenwert aus a).

1. Der fehlende Winkel ist \(\beta=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(c=\frac{8\,\text{cm}\sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)}\approx7{,}1726\,\text{cm}\), also \(c\approx7{,}17\,\text{cm}\). 3. Für die Fläche wird der ungerundete Wert von \(c\) verwendet: \(A=\frac{1}{2}bc\sin(45^\circ)\approx20{,}2872\,\text{cm}^2\). 4. Gerundet ist \(A\approx20{,}29\,\text{cm}^2\).

a) \(c\approx7{,}17\,\text{cm}\) b) \(A\approx20{,}29\,\text{cm}^2\)

- Bestimme zuerst den dritten Winkel im Dreieck. - Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz verwenden? - Achte darauf, welche Seite der gesuchten Entfernung entspricht und welcher Winkel ihr gegenüberliegt.

1. Der dritte Winkel beträgt \(\gamma=180^\circ-42^\circ-105^\circ=33^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(42^\circ)}=\frac{80\,\text{m}}{\sin(33^\circ)}\). 3. Daher ist \(a=80\,\text{m}\cdot\frac{\sin(42^\circ)}{\sin(33^\circ)}\approx98{,}3\,\text{m}\).

Die Berghütte ist etwa \(98{,}3\,\text{m}\) vom Punkt \(B\) entfernt.

- Drücke im ersten Bild dieselbe Höhe einmal mit \(\alpha\) und einmal mit \(\beta\) aus. - Wiederhole die Idee im zweiten Bild mit einer anderen Höhe und verbinde die beiden erhaltenen Verhältnisgleichungen. - Welche spitze Winkelgröße erscheint im dritten Bild anstelle des stumpfen Winkels \(\alpha\)? - Welche Sinusbeziehung verbindet einen Winkel mit seinem Ergänzungswinkel auf \(180^\circ\)?

1. Im ersten Bild gilt für die Höhe \(h_c\): \(h_c=b\sin(\alpha)\) und zugleich \(h_c=a\sin(\beta)\). 2. Daher ist \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\), also \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\). 3. Im zweiten Bild gilt für die Höhe \(h_a\): \(h_a=c\sin(\beta)\) und zugleich \(h_a=b\sin(\gamma)\). 4. Daher ist \(c\sin(\beta)=b\sin(\gamma)\), also \(\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). Zusammen mit Schritt 2 folgt der Sinussatz für spitzwinklige Dreiecke. 5. Im dritten Bild ist \(\alpha\) stumpf. Im äußeren rechtwinkligen Teildreieck liegt bei \(A\) der spitze Winkel \(180^\circ-\alpha\). Deshalb gilt \(h_c=b\sin(180^\circ-\alpha)=b\sin(\alpha)\). 6. Zugleich gilt weiterhin \(h_c=a\sin(\beta)\). Damit folgt auch im stumpfwinkligen Fall \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\). Ein Dreieck kann höchstens einen stumpfen Winkel besitzen, daher lässt sich das Argument auf den jeweils stumpfen Winkel übertragen. 7. Ist ein Winkel recht, fällt eine der verwendeten Höhen mit einer Dreiecksseite zusammen; mit \(\sin(90^\circ)=1\) bleiben dieselben Verhältnisgleichungen gültig. Damit gilt der Sinussatz für jedes Dreieck.

a) Aus \(b\sin(\alpha)=a\sin(\beta)\) und \(c\sin(\beta)=b\sin(\gamma)\) folgt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). b) Für stumpfes \(\alpha\) gilt \(h_c=b\sin(180^\circ-\alpha)=b\sin(\alpha)\) und zugleich \(h_c=a\sin(\beta)\). Daher bleibt dieselbe Sinussatz-Beziehung gültig.

- Ordne die vorhandenen Angaben nach Seiten und Winkeln, statt sofort eine Formel einzusetzen. - Gibt es bereits eine bekannte Seite zusammen mit ihrem Gegenwinkel? - Prüfe auch, welche Angaben der Kosinussatz zu Beginn verlangen würde.

1. Gegeben sind ein vollständiges Seite-Winkel-Paar \((a,\alpha)\) und ein weiterer Winkel \(\beta\). Damit kann der Sinussatz unmittelbar verwendet werden. 2. Für den Kosinussatz fehlen zu Beginn entweder drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel. 3. Die passende Gleichung lautet \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\), also \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\).

Sinussatz; \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\)

- Bestimme zuerst den dritten Innenwinkel des Vermessungsdreiecks. - Welche Seite kannst du mit der bekannten Standlinie und einem Gegenwinkel bestimmen? - Der gesuchte Uferabstand ist eine Höhe des Dreiecks; nutze danach ein rechtwinkliges Teildreieck.

1. Der dritte Winkel ist \(\gamma=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ\). 2. Mit dem Sinussatz wird zunächst \(b=AC\) bestimmt: \(b=\frac{60\,\text{m}\sin(70^\circ)}{\sin(60^\circ)}\approx65{,}1038\,\text{m}\). 3. Der senkrechte Abstand ist die Höhe auf \(AB\). Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(d=b\sin(50^\circ)\). 4. Daher ist \(d\approx49{,}9\,\text{m}\).

\(d\approx49{,}9\,\text{m}\)

- Bestimme zuerst den dritten Innenwinkel. - Welcher Winkel liegt der bekannten Standlinie gegenüber, und welcher der gesuchten Entfernung? - Vergleiche die ungerundete berechnete Entfernung erst am Ende mit der Reichweitengrenze.

1. Der dritte Winkel ist \(\gamma=180^\circ-52^\circ-71^\circ=57^\circ\). 2. Die Standlinie \(AB=2{,}4\,\text{km}\) liegt \(\gamma\) gegenüber; die gesuchte Seite \(BC\) liegt \(52^\circ\) gegenüber. 3. Mit dem Sinussatz gilt \(BC=2{,}4\,\text{km}\cdot\frac{\sin(52^\circ)}{\sin(57^\circ)}\approx2{,}26\,\text{km}\). 4. Da \(2{,}26\,\text{km}<2{,}30\,\text{km}\), reicht die sichere Reichweite für den direkten Flug.

a) \(BC\approx2{,}26\,\text{km}\) b) Ja, die Drohne kann den Notsender innerhalb der sicheren Reichweite erreichen.

- Ordne jeder Seite zuerst ihren gegenüberliegenden Winkel zu. - Prüfe in Maras Gleichung jedes Seite-Sinus-Paar einzeln. - Stelle erst den korrekten Sinussatz auf und löse ihn anschließend nach \(b\) auf.

1. Im Sinussatz muss jede Seite mit ihrem eigenen Gegenwinkel gepaart werden. Zur Seite \(a=8\,\text{cm}\) gehört \(\alpha=40^\circ\); zur Seite \(b\) gehört \(\beta=65^\circ\). 2. Der richtige Ansatz ist \(\frac{8}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\). 3. Daher ist \(b=8\,\text{cm}\cdot\frac{\sin(65^\circ)}{\sin(40^\circ)}\approx11{,}28\,\text{cm}\).

Mara vertauscht die Gegenwinkel. Richtig ist \(\frac{8}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\), also \(b\approx11{,}28\,\text{cm}\).

- Welches bekannte Seite-Winkel-Paar kannst du im Sinussatz direkt verwenden? - Eine Gleichung der Form \(\sin(x)=k\) kann für Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Lösungen besitzen. - Prüfe für jede Winkelmöglichkeit, ob der dritte Innenwinkel positiv bleibt. - Berechne die verbleibende Seite erst, nachdem du die Winkel des jeweiligen Falls festgelegt hast.

1. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}\). Daher ist \(\sin(\alpha)=\frac{a\sin(\gamma)}{c}\approx0{,}815753\). 2. Daraus entstehen zwei mögliche Winkel: \(\alpha_1\approx54{,}66^\circ\) und \(\alpha_2=180^\circ-\alpha_1\approx125{,}34^\circ\). 3. Im ersten Fall ist \(\beta_1=180^\circ-35^\circ-\alpha_1\approx90{,}34^\circ\). Mit dem Sinussatz folgt \(b_1=\frac{c\sin(\beta_1)}{\sin(35^\circ)}\approx7{,}85\,\text{cm}\). 4. Im zweiten Fall ist \(\beta_2=180^\circ-35^\circ-\alpha_2\approx19{,}66^\circ\). Damit folgt \(b_2=\frac{c\sin(\beta_2)}{\sin(35^\circ)}\approx2{,}64\,\text{cm}\). 5. Die Angaben entsprechen einem SSW-Fall. Weil sowohl \(\alpha_1\) als auch sein Supplementwinkel mit der Winkelsumme vereinbar sind, entstehen zwei verschiedene Dreiecke.

Fall 1: \(\alpha_1\approx54{,}66^\circ\), \(\beta_1\approx90{,}34^\circ\), \(b_1\approx7{,}85\,\text{cm}\) Fall 2: \(\alpha_2\approx125{,}34^\circ\), \(\beta_2\approx19{,}66^\circ\), \(b_2\approx2{,}64\,\text{cm}\) Die SSW-Angaben lassen hier zwei Dreiecke zu.

- Was ist der Wert von \(\sin(90^\circ)\)? - Wie kannst du eine Gleichung mit zwei Brüchen umformen, um eine Variable zu isolieren? - Wenn zwei Winkel gleich sind, was weißt du dann über ihre Sinuswerte?

1. Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(90^\circ)}\) folgt mit \(\sin(90^\circ) = 1\) die Gleichung \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = c\). Umgestellt nach \(\sin(\alpha)\) ergibt sich \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\). 2. Der Sinussatz ist eine allgemeinere Form. Im Spezialfall eines rechten Winkels reduziert er sich exakt auf die Definition am rechtwinkligen Dreieck. Er widerspricht ihr nicht, sondern schließt sie als Sonderfall ein. 3. Wenn \(\alpha = \beta\), dann ist \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\). Aus \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\) folgt dann direkt \(a = b\). Dies entspricht der Eigenschaft, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Schenkel gleich lang sind.

1. \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\) 2. Der Sinussatz ist die Verallgemeinerung; für \(\gamma = 90^\circ\) liefert er dieselbe Beziehung wie die Definition im rechtwinkligen Dreieck. 3. Für \(\alpha = \beta\) gilt \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\), woraus \(a = b\) folgt (Gleichschenkligkeit).

- Welche ist die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden? - Wie lässt sich diese senkrechte Entfernung mit \(c\) und \(\alpha\) ausdrücken? - Was geschieht geometrisch im Grenzfall, wenn \(a\) genau diese Entfernung erreicht?

1. Die kleinste mögliche Länge von \(a\) ist die senkrechte Entfernung von \(B\) zur Geraden durch \(A\) und \(C\). Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt \(\sin(40^\circ)=\frac{a_{\min}}{12\,\text{cm}}\). 2. Daher ist \(a_{\min}=12\,\text{cm}\cdot\sin(40^\circ)\approx7{,}71\,\text{cm}\). 3. Bei genau dieser Länge fällt \(C\) mit dem Lotfuß zusammen. Das Dreieck ist dann rechtwinklig und \(\gamma=90^\circ\).

1. \(a_{\min}\approx7{,}71\,\text{cm}\) 2. Rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma=90^\circ\)

- Welche Beziehung zwischen Seiten und ihren gegenüberliegenden Winkeln hilft hier weiter? - Vergleiche \(a\) mit der Höhe \(c\sin(\alpha)\) und mit \(c\). - Zu einem Sinuswert können zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Winkel gehören; prüfe beide mit der Winkelsumme.

1. Für einen spitzen Winkel \(\alpha\) gibt es im mehrdeutigen SsW-Fall genau zwei Dreiecke, wenn \(c\sin(\alpha)<a<c\). Hier gilt \(7\sin(40^\circ)\approx4{,}50<5<7\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\sin(\gamma)=\frac{c\sin(\alpha)}{a}=\frac{7\sin(40^\circ)}{5}\approx0{,}8999\). 3. Der erste mögliche Winkel ist \(\gamma_1\approx64{,}15^\circ\); der zweite ist der Supplementwinkel \(\gamma_2=180^\circ-\gamma_1\approx115{,}85^\circ\). 4. Beide Fälle sind zulässig, weil jeweils \(\alpha+\gamma<180^\circ\) gilt. Somit entstehen zwei nicht-kongruente Dreiecke.

a) \(\gamma_1\approx64{,}15^\circ\) und \(\gamma_2\approx115{,}85^\circ\) b) Es gibt zwei Dreiecke, weil \(c\sin(\alpha)<a<c\) gilt und beide möglichen Winkel \(\gamma\) zusammen mit \(\alpha\) eine Winkelsumme unter \(180^\circ\) ergeben.

- Vergleiche \(c\) mit der Höhe \(b\sin(\gamma)\) und mit \(b\). - Zu einem Sinuswert können zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) zwei Winkel gehören. - Prüfe beide Winkelmöglichkeiten mit der Innenwinkelsumme und bestimme dann jeweils den dritten Winkel.

1. Für den spitzen Winkel \(\gamma\) gibt es im mehrdeutigen SsW-Fall genau zwei Dreiecke, wenn \(b\sin(\gamma)<c<b\). Hier gilt \(7{,}2\sin(38^\circ)\approx4{,}43<5{,}4<7{,}2\). 2. Mit dem Sinussatz gilt \(\sin(\beta)=\frac{7{,}2\sin(38^\circ)}{5{,}4}\approx0{,}8209\). 3. Daraus folgen \(\beta_1\approx55{,}17^\circ\) und \(\beta_2\approx124{,}83^\circ\). Beide Fälle sind zulässig, weil jeweils \(\beta+\gamma<180^\circ\) gilt. 4. Die verbleibenden Winkel sind \(\alpha_1\approx86{,}83^\circ\) und \(\alpha_2\approx17{,}17^\circ\).

Es existieren zwei verschiedene Dreiecke. 1. Fall: \(\beta_1\approx55{,}17^\circ\) und \(\alpha_1\approx86{,}83^\circ\) 2. Fall: \(\beta_2\approx124{,}83^\circ\) und \(\alpha_2\approx17{,}17^\circ\)

- Vergleiche die kürzere gegebene Seite mit der Höhe zur längeren Seite und mit der längeren Seite selbst. - Welche zwei Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) können denselben Sinuswert besitzen? - Bestimme erst die möglichen Winkel und daraus anschließend jeweils die dritte Seite.

1. Setze \(a=80\,\text{m}\), \(b=120\,\text{m}\) und \(\alpha=35^\circ\). Für den mehrdeutigen SsW-Fall gilt hier \(b\sin(\alpha)<a<b\), denn \(120\sin(35^\circ)\approx68{,}83<80<120\). 2. Mit dem Sinussatz ist \(\sin(\beta)=\frac{b\sin(\alpha)}{a}=\frac{120\sin(35^\circ)}{80}\approx0{,}8604\). 3. Daraus folgen \(\beta_1\approx59{,}36^\circ\) und \(\beta_2\approx120{,}64^\circ\). Die zugehörigen dritten Winkel sind \(\gamma_1\approx85{,}64^\circ\) und \(\gamma_2\approx24{,}36^\circ\). 4. Mit dem Sinussatz erhält man unter Verwendung der ungerundeten Winkelwerte \(c_1\approx139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2\approx57{,}52\,\text{m}\).

Die dritte Seite ist nicht eindeutig festgelegt, weil die SsW-Daten zwei zulässige Dreiecke ergeben. Die beiden möglichen Längen sind \(c_1\approx139{,}07\,\text{m}\) und \(c_2\approx57{,}52\,\text{m}\).