Kostenlose Arbeitsblätter

- Erinnere dich an den Einheitskreis oder die Definition des Kosinus. - Was passiert mit einem Produkt, wenn einer der Faktoren Null ist? - Welche berühmte Formel kennst du, die Quadrate von Seitenlängen in Beziehung setzt?

1. Der Funktionswert von \(\cos(90^\circ)\) beträgt \(0\). 2. Setzt man diesen Wert in den Kosinussatz ein, ergibt sich \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot 0\), was zu \(c^2 = a^2 + b^2\) vereinfacht wird. Dies ist der Satz des Pythagoras. 3. Da \(\gamma\) der Winkel ist, der der Seite \(c\) gegenüberliegt, ist \(c\) im Falle von \(\gamma = 90^\circ\) die Hypotenuse. Die Formel beschreibt somit korrekt den Zusammenhang zwischen Hypotenuse und Katheten im rechtwinkligen Dreieck.

1. \(\cos(90^\circ) = 0\) 2. Es ergibt sich der Satz des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten; der Kosinussatz ist somit eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Winkel.

- Welche Seiten und welcher Winkel sind gegeben? - Überlege, welcher mathematische Satz eine Beziehung zwischen zwei Seiten, ihrem Zwischenwinkel und der gegenüberliegenden Seite herstellt. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Seite \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(c^2 = 8{,}5^2 + 12^2 - 2 \cdot 8{,}5 \cdot 12 \cdot \cos(42^\circ)\) 3. Berechnung der Quadrate und des Produkts: \(c^2 = 72{,}25 + 144 - 204 \cdot \cos(42^\circ)\) 4. Numerische Berechnung mit \(\cos(42^\circ) \approx 0{,}7431\): \(c^2 \approx 216{,}25 - 151{,}60 \approx 64{,}65\) 5. Ziehen der Wurzel: \(c = \sqrt{64{,}65} \approx 8{,}04\)

Die Länge der Seite \(c\) beträgt ca. \(8{,}04\,\text{cm}\).

- Wie hängen der Kosinuswert eines Winkels und die Art des Winkels (spitz, stumpf, recht) zusammen? - Erinnere dich an den Einheitskreis oder den Verlauf der Kosinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\). - Was passiert im Kosinussatz, wenn die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite?

1. Aufstellen des Kosinussatzes nach \(\cos(\gamma)\) aufgelöst: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 2. Einsetzen der Werte: \(\cos(\gamma) = \frac{6^2 + 9^2 - 13^2}{2 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{36 + 81 - 169}{108}\) 3. Berechnung des Zählers: \(117 - 169 = -52\) 4. Berechnung des Kosinuswerts: \(\cos(\gamma) = \frac{-52}{108} \approx -0{,}4815\) 5. Da der Kosinuswert negativ ist, muss der Winkel \(\gamma\) stumpf sein (\(90^\circ < \gamma < 180^\circ\)).

Der Wert ist \(\cos(\gamma)=-\frac{13}{27}\approx-0{,}4815\). Da \(\cos(\gamma)<0\) ist, ist \(\gamma\) stumpf.

- Welcher Seite liegt der größte Winkel immer gegenüber? - Welches Werkzeug hilft dir, einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten bekannt sind? - Wie ist ein stumpfwinkliges Dreieck definiert? - Überlege, was das Vorzeichen des Kosinuswerts über die Art des Winkels aussagt.

1. Identifikation des größten Winkels: Der größte Winkel \(\gamma\) liegt der längsten Seite \(c = 20\,\text{cm}\) gegenüber. 2. Anwendung des Kosinussatzes: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\cos \gamma = \frac{12^2 + 15^2 - 20^2}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \frac{144 + 225 - 400}{360} = \frac{-31}{360} \approx -0{,}0861\). 4. Berechnung des Winkels: \(\gamma = \arccos(-0{,}0861) \approx 94{,}94^\circ\). 5. Klassifizierung: Da \(\gamma > 90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Der größte Innenwinkel beträgt \(\gamma \approx 94{,}94^\circ\). Da dieser Winkel größer als \(90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Variablen in deiner Formel? - Kannst du in der allgemeinen Formel Variablen zusammenfassen, wenn zwei Seiten gleich lang sind? - Achte beim Rechnen besonders auf das Vorzeichen, wenn der Winkel größer als \(90^\circ\) ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Basis \(a\) mit \(b = s\) und \(c = s\): \(a^2 = s^2 + s^2 - 2 \cdot s \cdot s \cdot \cos(\alpha)\) 2. Vereinfachung der Formel: \(a^2 = 2s^2 - 2s^2 \cdot \cos(\alpha) = 2s^2(1 - \cos(\alpha))\) 3. Einsetzen der Werte für Teil a): \(a^2 = 2 \cdot 10^2 \cdot (1 - \cos(110^\circ))\) 4. Berechnung mit \(\cos(110^\circ) \approx -0{,}3420\): \(a^2 \approx 200 \cdot (1 - (-0{,}3420)) = 200 \cdot 1{,}3420 = 268{,}4\) 5. Ziehen der Wurzel: \(a \approx 16{,}38\,\text{cm}\) 6. Für Teil b): Durch Ausklammern von \(2s^2\) ergibt sich die Formel \(a = \sqrt{2s^2(1 - \cos(\alpha))}\) oder \(a = s \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))}\).

a) Die Basis ist ca. \(16{,}38\,\text{cm}\) lang. b) Die Formel vereinfacht sich zu \(a^2 = 2s^2(1 - \cos(\alpha))\).