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- Welche Seite liegt dem gegebenen Winkel gegenüber? - Welche beiden Seiten schließen den Winkel \(\gamma\) ein? - Ordne die Größen zuerst der allgemeinen Form des Kosinussatzes zu.

1. Der Winkel \(\gamma\) liegt zwischen den gegebenen Seiten \(a\) und \(b\); ihm gegenüber liegt \(c\). 2. Daher lautet der passende Ansatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 3. Mit den gegebenen Werten ergibt sich \(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(60^\circ)\).

\(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(60^\circ)\)

- Ordne zuerst die drei Seiten zur markierten Ecke \(C\) zu. - Welche Seite liegt dem Winkel \(\gamma\) gegenüber, und welche beiden Seiten schließen ihn ein?

1. Der Winkel \(\gamma\) liegt am Punkt \(C\). Dort treffen die Seiten \(a=BC\) und \(b=CA\) zusammen. 2. Die gegenüberliegende Seite ist \(AB=c\). 3. Im Kosinussatz zu \(\gamma\) stehen daher \(a\) und \(b\) im Produktterm; links steht \(c^2\).

Im Produktterm stehen \(a\) und \(b\); links steht \(c^2\).

- Prüfe bei jeder Angabe zuerst, ob zwei Seitenlängen bekannt sind. - Liegt der gegebene Winkel genau zwischen diesen beiden Seiten, sodass der Kosinussatz direkt die dritte Seite verknüpft?

1. Für einen unmittelbaren Kosinussatz-Ansatz zur dritten Seite müssen zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sein. 2. Bei B) sind \(a\) und \(c\) bekannt. Sie treffen sich am Punkt \(B\); ihr eingeschlossener Winkel ist daher \(\beta\). 3. Damit kann der Kosinussatz unmittelbar für die gesuchte Seite \(b\) angesetzt werden. 4. Bei A) ist nur eine Seite bekannt. Bei C) ist \(\alpha\) nicht der eingeschlossene Winkel zwischen \(a\) und \(b\).

B)

- Erinnere dich an den Einheitskreis oder die Definition des Kosinus. - Was passiert mit einem Produkt, wenn einer der Faktoren Null ist? - Welche berühmte Formel kennst du, die Quadrate von Seitenlängen in Beziehung setzt?

1. Der Funktionswert von \(\cos(90^\circ)\) beträgt \(0\). 2. Setzt man diesen Wert in den Kosinussatz ein, ergibt sich \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot 0\), was zu \(c^2 = a^2 + b^2\) vereinfacht wird. Dies ist der Satz des Pythagoras. 3. Da \(\gamma\) der Winkel ist, der der Seite \(c\) gegenüberliegt, ist \(c\) im Falle von \(\gamma = 90^\circ\) die Hypotenuse. Die Formel beschreibt somit korrekt den Zusammenhang zwischen Hypotenuse und Katheten im rechtwinkligen Dreieck.

1. \(\cos(90^\circ) = 0\) 2. Es ergibt sich der Satz des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten; der Kosinussatz ist somit eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Winkel.

- Welche Seiten und welcher Winkel sind gegeben? - Überlege, welcher mathematische Satz eine Beziehung zwischen zwei Seiten, ihrem Zwischenwinkel und der gegenüberliegenden Seite herstellt. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Seite \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(c^2 = 8{,}5^2 + 12^2 - 2 \cdot 8{,}5 \cdot 12 \cdot \cos(42^\circ)\) 3. Berechnung der Quadrate und des Produkts: \(c^2 = 72{,}25 + 144 - 204\cos(42^\circ)\) 4. Numerische Berechnung mit \(\cos(42^\circ) \approx 0{,}7431\): \(c^2 \approx 216{,}25 - 151{,}60 \approx 64{,}65\) 5. Ziehen der Wurzel: \(c = \sqrt{64{,}65} \approx 8{,}04\)

Die Länge der Seite \(c\) beträgt ca. \(8{,}04\,\text{cm}\).

- Welcher Satz verbindet drei bekannte Seiten mit einem gesuchten Winkel? - Welche Seite liegt dem Winkel \(\gamma\) gegenüber? - Stelle die Kosinussatz-Gleichung nach \(\cos(\gamma)\) um.

1. Nach dem Kosinussatz gilt \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 2. Einsetzen ergibt \(7^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos(\gamma)\). 3. Damit ist \(49=89-80\cos(\gamma)\), also \(\cos(\gamma)=\frac{40}{80}=0{,}5\).

\(\cos(\gamma)=0{,}5\)

- Welche Angabenform liegt vor: zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel oder ein Seite-Winkel-Paar? - Beachte das Vorzeichen von \(\cos(120^\circ)\). - Prüfe nach der Rechnung, ob die Seitenlänge die Dreiecksungleichung erfüllt.

1. Mit \(a=3\,\text{cm}\), \(b=5\,\text{cm}\) und \(\gamma=120^\circ\) gilt nach dem Kosinussatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 2. Wegen \(\cos(120^\circ)=-\frac12\) folgt \(c^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\frac12\right)=49\). 3. Somit ist \(c=7\,\text{cm}\).

\(c=7\,\text{cm}\)

- Welche Seite liegt dem gegebenen Winkel \(\beta\) gegenüber? - Welche beiden bekannten Seiten bilden den Produktterm im Kosinussatz? - Ziehe erst nach dem vollständigen Einsetzen die Quadratwurzel und runde am Ende.

1. Für die dem Winkel \(\beta\) gegenüberliegende Seite gilt \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\). 2. Eingesetzt ist \(x^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos52^\circ\). 3. Daraus folgt \(x\approx5{,}77\,\text{cm}\).

\(x^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos52^\circ\), daher \(x\approx5{,}77\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung kann aus drei bekannten Seiten direkt einen Winkel bestimmen? - Ordne den gesuchten Winkel seiner gegenüberliegenden Seite zu. - Was sagt ein negativer Kosinuswert über die Größe des Winkels zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) aus?

1. Für den Winkel \(\gamma\) gilt nach dem Kosinussatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 2. Umgestellt ist \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen liefert \(\cos(\gamma)=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac12\). 4. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(-\frac12\right)=120^\circ\).

\(x=120^\circ\)

- Welche Art von Angaben liegt vor: Seiten, Winkel oder vollständige Seite-Winkel-Paare? - Welcher allgemeine Dreieckssatz kann mit drei bekannten Seiten direkt starten? - Forme erst die allgemeine Gleichung nach dem gesuchten Kosinus um.

1. Gegeben sind drei Seitenlängen und kein Winkel. Damit ist der Kosinussatz direkt geeignet. 2. Für den Sinussatz fehlt zu Beginn ein bekanntes Seite-Winkel-Paar. 3. Aus \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\) folgt \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 4. Eingesetzt lautet der Ansatz \(\cos(\gamma)=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}\).

Kosinussatz; \(\cos(\gamma)=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}\)

- Welche Seite soll mit dem Kosinussatz berechnet werden? - Welche beiden anderen Seiten stehen dann im Produktterm? - Welcher Winkel liegt geometrisch zwischen genau diesen beiden Seiten?

1. Im Kosinussatz für \(c\) muss der Kosinus des Winkels stehen, der zwischen den Seiten \(a\) und \(b\) liegt. 2. Dieser eingeschlossene Winkel ist \(\gamma\), nicht \(\alpha\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber. 3. Tims Ansatz verwendet deshalb den falschen Winkel. Für einen direkten Ansatz müsste \(\gamma\) bekannt sein: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\).

Der Ansatz ist falsch, weil \(50^\circ=\alpha\) nicht der zwischen \(a\) und \(b\) eingeschlossene Winkel ist. Zusätzlich müsste \(\gamma\) bekannt sein.

- Vergleiche die Kosinuswerte der drei Winkel, bevor du die drei Ausdrücke vollständig ausrechnest. - Wie verändert das Vorzeichen von \(\cos(\gamma)\) den Korrekturterm? - Was bleibt vom Kosinussatz übrig, wenn dieser Korrekturterm null wird?

1. Für \(\gamma=60^\circ\) gilt \(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\frac12=39\,\text{cm}^2\). 2. Für \(\gamma=90^\circ\) gilt \(\cos(90^\circ)=0\), also \(c^2=5^2+7^2=74\,\text{cm}^2\). 3. Für \(\gamma=120^\circ\) gilt \(\cos(120^\circ)=-\frac12\), also \(c^2=5^2+7^2+35=109\,\text{cm}^2\). 4. Daher gilt \(c_{60^\circ}<c_{90^\circ}<c_{120^\circ}\). 5. Beim rechten Winkel verschwindet der Korrekturterm, weil der Kosinus null ist. Dann bleibt genau \(c^2=a^2+b^2\), der Satz des Pythagoras.

\(c_{60^\circ}^2=39\,\text{cm}^2\), \(c_{90^\circ}^2=74\,\text{cm}^2\), \(c_{120^\circ}^2=109\,\text{cm}^2\); daher \(c_{60^\circ}<c_{90^\circ}<c_{120^\circ}\). Bei \(90^\circ\) ist \(\cos(90^\circ)=0\), sodass der Korrekturterm verschwindet und Pythagoras entsteht.

- Wie hängen der Kosinuswert eines Winkels und die Art des Winkels (spitz, stumpf, recht) zusammen? - Erinnere dich an den Einheitskreis oder den Verlauf der Kosinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\). - Was passiert im Kosinussatz, wenn die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite?

1. Aufstellen des Kosinussatzes nach \(\cos(\gamma)\) aufgelöst: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 2. Einsetzen der Werte: \(\cos(\gamma) = \frac{6^2 + 9^2 - 13^2}{2 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{36 + 81 - 169}{108}\) 3. Berechnung des Zählers: \(117 - 169 = -52\) 4. Berechnung des Kosinuswerts: \(\cos(\gamma) = \frac{-52}{108} = -\frac{13}{27} \approx -0{,}4815\) 5. Da der Kosinuswert negativ ist, muss der Winkel \(\gamma\) stumpf sein (\(90^\circ < \gamma < 180^\circ\)).

Der Wert ist \(\cos(\gamma)=-\frac{13}{27}\approx-0{,}4815\). Da \(\cos(\gamma)<0\) ist, ist \(\gamma\) stumpf.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die beiden Schenkel in der Formel? - Welche Terme lassen sich zusammenfassen, wenn \(b=c=s\) gilt? - Beachte beim Einsetzen, dass der Kosinus eines stumpfen Winkels negativ ist.

1. Mit \(b=c=s\) lautet der Kosinussatz für die Basis \(a\): \(a^2=s^2+s^2-2s^2\cos(\alpha)\). 2. Zusammenfassen ergibt \(a^2=2s^2(1-\cos(\alpha))\) und damit \(a=s\sqrt{2(1-\cos(\alpha))}\). 3. Für \(s=10\,\text{cm}\) und \(\alpha=110^\circ\) folgt \(a=10\,\text{cm}\sqrt{2(1-\cos(110^\circ))}\approx16{,}3830\,\text{cm}\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(a\approx16{,}38\,\text{cm}\).

a) \(a\approx16{,}38\,\text{cm}\) b) \(a^2=2s^2(1-\cos(\alpha))\), also \(a=s\sqrt{2(1-\cos(\alpha))}\)

- Welcher Seite liegt der größte Winkel gegenüber? - Welcher Satz erlaubt es, einen Winkel aus drei bekannten Seiten zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen des berechneten Kosinuswerts über die Winkelart aus?

1. Der größte Winkel \(\gamma\) liegt der längsten Seite \(c=20\,\text{cm}\) gegenüber. 2. Nach dem Kosinussatz gilt \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen ergibt \(\cos(\gamma)=\frac{12^2+15^2-20^2}{2\cdot12\cdot15}=-\frac{31}{360}\). 4. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(-\frac{31}{360}\right)\approx94{,}94^\circ\). 5. Weil der größte Innenwinkel größer als \(90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Der größte Innenwinkel beträgt \(\gamma\approx94{,}94^\circ\). Das Dreieck ist stumpfwinklig.

- Bestimme jede Seitenlänge aus den Koordinatendifferenzen. - Welche der drei Seiten liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber? - Setze die drei Seiten erst in den Kosinussatz ein und stelle dann nach \(\cos(\alpha)\) um.

1. Es gilt \(AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\), also \(c=\sqrt{17}\). 2. Weiter ist \(AC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\), also \(b=\sqrt{26}\). 3. Für \(BC\) gilt \(a=\sqrt{(1-4)^2+(5-1)^2}=5\). 4. Mit dem Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\) ergibt sich \(25=26+17-2\sqrt{26}\sqrt{17}\cos(\alpha)\). 5. Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{18}{2\sqrt{442}}=\frac{9}{\sqrt{442}}\approx0{,}4281\).

\(a=5\), \(b=\sqrt{26}\), \(c=\sqrt{17}\). Aus \(25=26+17-2\sqrt{26}\sqrt{17}\cos(\alpha)\) folgt \(\cos(\alpha)=\frac{9}{\sqrt{442}}\approx0{,}4281\).

- Eine eigene Skizze kann dir zeigen, welches Dreieck die kürzere Diagonale mit den beiden Seiten bildet. - Welcher Winkel liegt in diesem Dreieck zwischen den beiden bekannten Seiten? - Wende den Kosinussatz auf dieses Dreieck an.

1. Die kürzere Diagonale bildet mit den beiden Seiten ein Dreieck, in dem der Winkel \(60^\circ\) eingeschlossen ist. 2. Nach dem Kosinussatz gilt \(f^2=a^2+b^2-2ab\cos(60^\circ)\). 3. Einsetzen ergibt \(f^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot0{,}5=49\). 4. Daher ist \(f=7\,\text{cm}\).

\(f=7\,\text{cm}\)

- Setze den gegebenen Kosinuswert direkt in den Kosinussatz für \(b\) ein. - Vergleiche danach die berechnete Seite \(b\) mit \(a\). - Welche Winkelbeziehung folgt aus zwei gleich langen Seiten, und wie erhältst du den Zahlenwert von \(\beta\)?

1. Mit dem Kosinussatz gilt \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\). 2. Eingesetzt ergibt sich \(b^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot0{,}7=25\), also \(b=5\,\text{cm}\). 3. Damit ist \(a=b\), also sind auch die gegenüberliegenden Winkel gleich: \(\alpha=\beta\). 4. Aus \(\cos\beta=0{,}7\) folgt \(\beta=\arccos(0{,}7)\approx45{,}57^\circ\). Daher ist \(\alpha\approx45{,}57^\circ\).

\(b^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot0{,}7=25\), also \(b=5\,\text{cm}\). Somit \(a=b\) und \(\alpha=\beta=\arccos(0{,}7)\approx45{,}57^\circ\).

- Ordne die vorhandenen Angaben nach Seiten und Winkeln, statt sofort eine Formel einzusetzen. - Gibt es bereits eine bekannte Seite zusammen mit ihrem Gegenwinkel? - Prüfe auch, welche Angaben der Kosinussatz zu Beginn verlangen würde.

1. Gegeben sind ein vollständiges Seite-Winkel-Paar \((a,\alpha)\) und ein weiterer Winkel \(\beta\). Damit kann der Sinussatz unmittelbar verwendet werden. 2. Für den Kosinussatz fehlen zu Beginn entweder drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel. 3. Die passende Gleichung lautet \(\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}\), also \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\).

Sinussatz; \(\frac{7}{\sin(40^\circ)}=\frac{b}{\sin(65^\circ)}\)

- Ordne in beiden Fällen zuerst die gegebenen Seiten und Winkel, bevor du eine Formel auswählst. - Prüfe, ob ein vollständiges Seite-Winkel-Paar bekannt ist oder ob zwei Seiten mit ihrem eingeschlossenen Winkel gegeben sind. - Die gesuchte Seite \(b\) liegt dem Winkel \(\beta\) gegenüber.

1. In a) ist mit \((a,\alpha)\) bereits ein vollständiges Seite-Winkel-Paar bekannt; zusätzlich ist der Gegenwinkel \(\beta\) zur gesuchten Seite \(b\) gegeben. Daher ist der Sinussatz direkt geeignet. 2. Der Ansatz lautet \(\frac{6}{\sin(35^\circ)}=\frac{b}{\sin(70^\circ)}\). 3. In b) sind zwei Seiten \(a\) und \(c\) sowie ihr eingeschlossener Winkel \(\beta\) gegeben. Daher ist der Kosinussatz direkt geeignet. 4. Der Ansatz lautet \(b^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos(70^\circ)\).

a) Sinussatz; \(\frac{6}{\sin(35^\circ)}=\frac{b}{\sin(70^\circ)}\) b) Kosinussatz; \(b^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos(70^\circ)\)

- Welche drei Größen des Dreiecks sind gegeben, und wo liegt die gesuchte Seite? - Prüfe, ob der bekannte Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegt. - Kontrolliere nach der Rechnung, ob die Entfernung zur Größenordnung der beiden Wege passt.

1. Gesucht ist die Seite gegenüber dem eingeschlossenen Winkel \(58^\circ\); die beiden anliegenden Seiten sind bekannt. 2. Mit dem Kosinussatz gilt \(AB^2=(650\,\text{m})^2+(420\,\text{m})^2-2\cdot650\,\text{m}\cdot420\,\text{m}\cos(58^\circ)\). 3. Daraus folgt \(AB\approx556{,}3848\,\text{m}\). 4. Auf ganze Meter gerundet beträgt die direkte Entfernung \(556\,\text{m}\).

\(AB\approx556\,\text{m}\)

- Überlege, ob sich die Form des Kosinussatzes mit der Winkelart ändert oder ob die Winkelart bereits im Kosinuswert steckt. - Welches Vorzeichen hat der Kosinus eines stumpfen Winkels? - Vergleiche \(c^2\) mit \(a^2+b^2\), bevor du eine Wurzel ziehst.

1. Im Kosinussatz steht unabhängig von der Winkelart immer \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). Das Vorzeichen von \(\cos(\gamma)\) berücksichtigt bereits, ob \(\gamma\) spitz oder stumpf ist. 2. Richtig ist \(c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos(120^\circ)\). 3. Mit \(\cos(120^\circ)=-\frac12\) folgt \(c^2=49+81-126\left(-\frac12\right)=193\). 4. Daher ist \(c=\sqrt{193}\,\text{cm}\). 5. Weil \(\cos(120^\circ)<0\), ist der Term \(-2ab\cos(120^\circ)\) positiv. Somit gilt \(c^2>a^2+b^2\) und deshalb \(c>\sqrt{a^2+b^2}\).

a) Das Minuszeichen im Kosinussatz wird bei einem stumpfen Winkel nicht geändert; der negative Kosinuswert bewirkt den größeren Wert von \(c^2\). b) \(c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos(120^\circ)=193\), also \(c=\sqrt{193}\,\text{cm}\). c) Da \(\cos(120^\circ)<0\), ist \(-2ab\cos(120^\circ)>0\). Deshalb ist \(c^2>a^2+b^2\) und damit \(c>\sqrt{a^2+b^2}\).

- Welche beiden senkrechten Komponenten verbinden die Endpunkte der Seite \(c\)? - Wende Pythagoras zunächst auf diese beiden Komponenten an, ohne sofort zu vereinfachen. - Welche bekannte trigonometrische Identität fasst die beiden Quadratterme mit \(a^2\) zusammen?

1. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten zur Seite \(c\) die Längen \(b-a\cos(\gamma)\) und \(a\sin(\gamma)\). 2. Nach Pythagoras gilt \(c^2=(b-a\cos(\gamma))^2+(a\sin(\gamma))^2\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(c^2=b^2-2ab\cos(\gamma)+a^2\cos^2(\gamma)+a^2\sin^2(\gamma)\). 4. Mit \(\sin^2(\gamma)+\cos^2(\gamma)=1\) folgt \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\).

\(c^2=(b-a\cos(\gamma))^2+(a\sin(\gamma))^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\)

- Welche Seite liegt dem gegebenen eingeschlossenen Winkel gegenüber? - Welche Form des Kosinussatzes passt zu zwei bekannten Seiten und ihrem eingeschlossenen Winkel? - Vergleiche die berechnete Entfernung erst nach der Rechnung mit der Reichweitengrenze.

1. Die direkte Route liegt dem eingeschlossenen Winkel \(112^\circ\) gegenüber. Daher gilt nach dem Kosinussatz \(AB^2=(1{,}8\,\text{km})^2+(2{,}3\,\text{km})^2-2\cdot1{,}8\,\text{km}\cdot2{,}3\,\text{km}\cos(112^\circ)\). 2. Daraus folgt \(AB\approx3{,}41\,\text{km}\). 3. Da \(3{,}41\,\text{km}<3{,}50\,\text{km}\), reicht die angegebene Reichweite aus.

\(AB\approx3{,}41\,\text{km}\); die Reichweite von \(3{,}50\,\text{km}\) reicht aus.

- Nutze die Diagonale \(BD\), um das Viereck in zwei Dreiecke mit jeweils drei bekannten Seiten zu zerlegen. - Welcher Satz eignet sich, um aus drei Seiten einen Winkel zu bestimmen? - Die Innenwinkel bei \(B\) und \(D\) setzen sich jeweils aus zwei Teilwinkeln zusammen. - Runde die Teilwinkel erst nach dem Zusammensetzen der Innenwinkel.

1. Im Dreieck \(ABD\) gilt \(\cos(\alpha)=\frac{15^2+13^2-14^2}{2\cdot15\cdot13}=\frac{198}{390}\), also \(\alpha\approx59{,}4898^\circ\). 2. Im Dreieck \(BCD\) gilt \(\cos(\gamma)=\frac{12^2+10^2-14^2}{2\cdot12\cdot10}=0{,}2\), also \(\gamma\approx78{,}4630^\circ\). 3. Für die Teilwinkel bei \(B\) erhält man \(\angle ABD\approx53{,}1301^\circ\) und \(\angle DBC\approx44{,}4153^\circ\). Daher ist \(\beta\approx97{,}5454^\circ\). 4. Für die Teilwinkel bei \(D\) erhält man \(\angle ADB\approx67{,}3801^\circ\) und \(\angle BDC\approx57{,}1217^\circ\). Daher ist \(\delta\approx124{,}5018^\circ\). 5. Gerundet ergeben sich \(\alpha\approx59{,}5^\circ\), \(\beta\approx97{,}5^\circ\), \(\gamma\approx78{,}5^\circ\) und \(\delta\approx124{,}5^\circ\).

\(\alpha\approx59{,}5^\circ\), \(\beta\approx97{,}5^\circ\), \(\gamma\approx78{,}5^\circ\), \(\delta\approx124{,}5^\circ\)

- Stelle den Kosinussatz für die Seite auf, die dem gegebenen Winkel \(\alpha\) gegenüberliegt. - Löse die entstehende quadratische Gleichung vollständig. - Welche der positiven Lösungen erfüllt die Zusatzbedingung \(x>4\)?

1. Für den Winkel \(\alpha\) gilt nach dem Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\). 2. Einsetzen ergibt \(7^2=x^2+8^2-2\cdot x\cdot8\cos(60^\circ)\). 3. Daraus folgt \(x^2-8x+15=0\), also \(x=5\) oder \(x=3\). 4. Wegen der Zusatzbedingung \(x>4\) bleibt \(x=5\).

\(x=5\)

- Welche zusätzliche Seite kannst du aus den beiden Seiten und dem eingeschlossenen Winkel zuerst eindeutig bestimmen? - Welcher allgemeine Dreieckssatz wird danach für \(\alpha\) direkt nutzbar? - Prüfe bei der inversen Sinusrechnung beide Winkelmöglichkeiten mit der Seiten-Winkel-Ordnung.

1. Zunächst wird die dritte Seite bestimmt. Mit dem Kosinussatz gilt \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(60^\circ)\). 2. Einsetzen ergibt \(c^2=2^2+(1+\sqrt3)^2-2\cdot2(1+\sqrt3)\cdot\frac12=6\), also \(c=\sqrt6\). 3. Mit dem Sinussatz gilt anschließend \(\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{c}\). Damit ist \(\sin(\alpha)=\frac{2\sin(60^\circ)}{\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2}\). 4. Rechnerisch kommen \(45^\circ\) und \(135^\circ\) infrage. Weil \(a=2<c=\sqrt6\), muss \(\alpha<\gamma=60^\circ\) gelten. Daher ist \(\alpha=45^\circ\).

\(x=45^\circ\)

- Welche Angabenform liegt im ersten Dreieck vor, und welcher Satz kann damit direkt starten? - Welche neu berechnete Größe wird anschließend Teil des zweiten Dreiecks? - Ordne im zweiten Dreieck die gemeinsame Seite und \(BD\) ihren jeweiligen Gegenwinkeln zu.

1. Im Dreieck \(ABC\) sind zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt. Daher wird zuerst \(BC\) mit dem Kosinussatz bestimmt: \(BC^2=12^2+9^2-2\cdot12\cdot9\cos(70^\circ)\). 2. Daraus folgt \(BC\approx12{,}2932\,\text{m}\). 3. Im Dreieck \(BCD\) ist nun ein Seite-Winkel-Paar bekannt: \(BC\) liegt dem Winkel \(62^\circ\) gegenüber; \(BD\) liegt dem Winkel \(48^\circ\) gegenüber. 4. Mit dem Sinussatz gilt \(BD=BC\cdot\frac{\sin(48^\circ)}{\sin(62^\circ)}\approx10{,}3468\,\text{m}\). 5. Gerundet ist \(BD\approx10{,}3\,\text{m}\). Der Kosinussatz erzeugt zuerst die gemeinsame Seite; erst dadurch wird im zweiten Dreieck der Sinussatz direkt anwendbar.

\(BD\approx10{,}3\,\text{m}\); zuerst Kosinussatz für \(BC\), danach Sinussatz im Dreieck \(BCD\).