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- Erinnere dich an den Einheitskreis oder die Definition des Kosinus. - Was passiert mit einem Produkt, wenn einer der Faktoren Null ist? - Welche berühmte Formel kennst du, die Quadrate von Seitenlängen in Beziehung setzt?

1. Der Funktionswert von \(\cos(90^\circ)\) beträgt \(0\). 2. Setzt man diesen Wert in den Kosinussatz ein, ergibt sich \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot 0\), was zu \(c^2 = a^2 + b^2\) vereinfacht wird. Dies ist der Satz des Pythagoras. 3. Da \(\gamma\) der Winkel ist, der der Seite \(c\) gegenüberliegt, ist \(c\) im Falle von \(\gamma = 90^\circ\) die Hypotenuse. Die Formel beschreibt somit korrekt den Zusammenhang zwischen Hypotenuse und Katheten im rechtwinkligen Dreieck.

1. \(\cos(90^\circ) = 0\) 2. Es ergibt sich der Satz des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten; der Kosinussatz ist somit eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Winkel.

- Welche Seiten und welcher Winkel sind gegeben? - Überlege, welcher mathematische Satz eine Beziehung zwischen zwei Seiten, ihrem Zwischenwinkel und der gegenüberliegenden Seite herstellt. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Seite \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(c^2 = 8{,}5^2 + 12^2 - 2 \cdot 8{,}5 \cdot 12 \cdot \cos(42^\circ)\) 3. Berechnung der Quadrate und des Produkts: \(c^2 = 72{,}25 + 144 - 204\cos(42^\circ)\) 4. Numerische Berechnung mit \(\cos(42^\circ) \approx 0{,}7431\): \(c^2 \approx 216{,}25 - 151{,}60 \approx 64{,}65\) 5. Ziehen der Wurzel: \(c = \sqrt{64{,}65} \approx 8{,}04\)

Die Länge der Seite \(c\) beträgt ca. \(8{,}04\,\text{cm}\).

- Welcher Satz hilft dir, wenn alle drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind und ein Winkel gesucht wird? - Die Seite, die dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, steht in der Formel alleine auf einer Seite der Gleichung (vor dem Gleichheitszeichen).

1. Verwende den Kosinussatz in der Form: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\). 2. Einsetzen der Werte: \(7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\gamma)\). 3. Ausrechnen: \(49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\gamma)\). 4. Zusammenfassen: \(49 = 89 - 80 \cdot \cos(\gamma)\). 5. Umstellen: \(-40 = -80 \cdot \cos(\gamma)\). 6. Ergebnis: \(\cos(\gamma) = \frac{40}{80} = 0{,}5\).

Der Kosinus des Winkels \(\gamma\) beträgt \(0{,}5\).

- Wenn drei Seiten gegeben sind, ist der Kosinussatz die Standardmethode zur Winkelberechnung. - Ein negativer Kosinuswert deutet auf einen stumpfen Winkel hin.

1. Anwendung des Kosinussatzes: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\). 2. Umstellen nach \(\cos(\gamma)\): \(\cos(x) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen: \(\cos(x) = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -0{,}5\). 4. Bestimmung des Winkels: \(x = \arccos(-0{,}5) = 120^\circ\).

\(x = 120^\circ\)

- Wie hängen der Kosinuswert eines Winkels und die Art des Winkels (spitz, stumpf, recht) zusammen? - Erinnere dich an den Einheitskreis oder den Verlauf der Kosinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\). - Was passiert im Kosinussatz, wenn die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite?

1. Aufstellen des Kosinussatzes nach \(\cos(\gamma)\) aufgelöst: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 2. Einsetzen der Werte: \(\cos(\gamma) = \frac{6^2 + 9^2 - 13^2}{2 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{36 + 81 - 169}{108}\) 3. Berechnung des Zählers: \(117 - 169 = -52\) 4. Berechnung des Kosinuswerts: \(\cos(\gamma) = \frac{-52}{108} = -\frac{13}{27} \approx -0{,}4815\) 5. Da der Kosinuswert negativ ist, muss der Winkel \(\gamma\) stumpf sein (\(90^\circ < \gamma < 180^\circ\)).

Der Wert ist \(\cos(\gamma)=-\frac{13}{27}\approx-0{,}4815\). Da \(\cos(\gamma)<0\) ist, ist \(\gamma\) stumpf.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Variablen in deiner Formel? - Kannst du in der allgemeinen Formel Variablen zusammenfassen, wenn zwei Seiten gleich lang sind? - Achte beim Rechnen besonders auf das Vorzeichen, wenn der Winkel größer als \(90^\circ\) ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Basis \(a\) mit \(b = s\) und \(c = s\): \(a^2 = s^2 + s^2 - 2 \cdot s \cdot s \cdot \cos(\alpha)\) 2. Vereinfachung der Formel: \(a^2 = 2s^2 - 2s^2\cos(\alpha) = 2s^2(1 - \cos(\alpha))\) 3. Einsetzen der Werte für Teil a): \(a^2 = 2 \cdot 10^2 \cdot (1 - \cos(110^\circ))\) 4. Berechnung mit \(\cos(110^\circ) \approx -0{,}3420\): \(a^2 \approx 200 \cdot (1 - (-0{,}3420)) = 200 \cdot 1{,}3420 = 268{,}4\) 5. Ziehen der Wurzel: \(a \approx 16{,}38\,\text{cm}\) 6. Für Teil b): Durch Ausklammern von \(2s^2\) ergibt sich die Formel \(a = \sqrt{2s^2(1 - \cos(\alpha))}\) oder \(a = s \sqrt{2(1 - \cos(\alpha))}\).

a) Die Basis ist ca. \(16{,}38\,\text{cm}\) lang. b) Die Formel vereinfacht sich zu \(a^2 = 2s^2(1 - \cos(\alpha))\).

- Welcher Seite liegt der größte Winkel immer gegenüber? - Welches Werkzeug hilft dir, einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten bekannt sind? - Wie ist ein stumpfwinkliges Dreieck definiert? - Überlege, was das Vorzeichen des Kosinuswerts über die Art des Winkels aussagt.

1. Identifikation des größten Winkels: Der größte Winkel \(\gamma\) liegt der längsten Seite \(c = 20\,\text{cm}\) gegenüber. 2. Anwendung des Kosinussatzes: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) \Rightarrow \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\cos(\gamma) = \frac{12^2 + 15^2 - 20^2}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \frac{144 + 225 - 400}{360} = \frac{-31}{360} \approx -0{,}0861\). 4. Berechnung des Winkels: \(\gamma = \arccos(-0{,}0861) \approx 94{,}94^\circ\). 5. Klassifizierung: Da \(\gamma > 90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Der größte Innenwinkel beträgt \(\gamma \approx 94{,}94^\circ\). Da dieser Winkel größer als \(90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

- Berechne zuerst die Längen der drei Seiten des Dreiecks mithilfe der Koordinaten. - Welcher mathematische Satz verknüpft drei Seitenlängen mit einem Winkel? - Achte darauf, die Gleichung korrekt nach dem Kosinuswert umzustellen.

1. Bestimmung der Seitenlängen: \(c=AB=5\). 2. \(b=AC=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5\). 3. \(a=BC=\sqrt{(3-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\). 4. Mit dem Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\) gilt: \(20=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos(\alpha)\). 5. Also \(20=50-50\cos(\alpha)\), somit \(30=50\cos(\alpha)\). 6. Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{30}{50}=0{,}6\).

Der Kosinus des Winkels \(\alpha\) beträgt \(0{,}6\).

- Skizziere das Parallelogramm und zeichne die Diagonale ein. Welches Dreieck entsteht? - Der Kosinus von \(60^\circ\) ist genau \(0{,}5\). - Nutze den Kosinussatz für das Dreieck aus den beiden Seiten und der gesuchten Diagonale.

1. In einem Parallelogramm bildet die kürzere Diagonale mit zwei Seiten ein Dreieck, in dem der Winkel \(60^\circ\) eingeschlossen ist. 2. Anwendung des Kosinussatzes: \(f^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)\). 3. Einsetzen: \(f^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0{,}5\). 4. Ausrechnen: \(f^2 = 64 + 25 - 40 = 49\). 5. Wurzel ziehen: \(f = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\).

Die kürzere Diagonale des Parallelogramms ist \(7\,\text{cm}\) lang.

- Achte besonders auf das Vorzeichen des Kosinuswertes bei stumpfen Winkeln (über \(90^\circ\)). - Der Kosinus von \(120^\circ\) ist negativ.

1. Gegeben sind zwei Seiten \(a=3\), \(b=5\) und der Winkel \(\gamma=120^\circ\). 2. Der Kosinussatz lautet: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ)\). 3. Da \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\), ergibt sich: \(c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-0{,}5)\). 4. Ausrechnen: \(c^2 = 9 + 25 + 15 = 49\). 5. Ergebnis: \(c = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\).

Die dritte Seite ist \(7\,\text{cm}\) lang.

- Nutze den Kosinussatz für die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel. - Denke daran, dass \((\sqrt{2})^2 = 2\) ist. - Der Wert von \(\cos(45^\circ)\) lässt sich exakt angeben.

1. Anwendung des Kosinussatzes: \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\). 2. Einsetzen: \(x^2 = (4\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)\). 3. Berechnung: \(x^2 = 32 + 49 - 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81 - 56 = 25\). 4. Lösung: \(x = 5\).

\(x = 5\)

- Finde zuerst die Länge der Seite \(b\). - Was fällt dir an den Seitenlängen auf? Hat das Dreieck eine besondere Form?

1. Kosinussatz für \(b\): \(b^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)\). 2. \(b^2 = 9 + 27 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 - 27 = 9\). Also \(b = 3\). 3. Da \(a = b = 3\) ist, ist das Dreieck gleichschenklig mit den Basiswinkeln \(\alpha\) und \(\beta\). 4. Somit ist \(x = \beta = 30^\circ\).

\(x = 30^\circ\)

- Nutze die Diagonale \(f\), um das Viereck in zwei Dreiecke zu zerlegen, in denen jeweils drei Seiten bekannt sind. - Welcher trigonometrische Satz ist am besten geeignet, um Winkel aus bekannten Seitenlängen zu berechnen? - Wie setzen sich die Winkel an den Ecken \(B\) und \(D\) aus den Winkeln der Teildreiecke zusammen? - Eine Skizze kann dir helfen, die Lage der Winkel und Seiten richtig zuzuordnen.

1. Berechnung von \(\alpha\) im \(\triangle ABD\) mit dem Kosinussatz: \(\cos(\alpha) = \frac{a^2 + d^2 - f^2}{2ad} = \frac{15^2 + 13^2 - 14^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{198}{390} \Rightarrow \alpha \approx 59{,}5^\circ\). 2. Berechnung von \(\gamma\) im \(\triangle BCD\) mit dem Kosinussatz: \(\cos(\gamma) = \frac{b^2 + c^2 - f^2}{2bc} = \frac{12^2 + 10^2 - 14^2}{2 \cdot 12 \cdot 10} = \frac{48}{240} = 0{,}2 \Rightarrow \gamma \approx 78{,}5^\circ\). 3. Berechnung der Teilwinkel von \(\beta\): \(\angle ABD\) im \(\triangle ABD\): \(\cos(\angle ABD) = \frac{15^2 + 14^2 - 13^2}{2 \cdot 15 \cdot 14} \Rightarrow \angle ABD \approx 53{,}1^\circ\). \(\angle DBC\) im \(\triangle BCD\): \(\cos(\angle DBC) = \frac{12^2 + 14^2 - 10^2}{2 \cdot 12 \cdot 14} \Rightarrow \angle DBC \approx 44{,}4^\circ\). \(\beta = \angle ABD + \angle DBC \approx 97{,}5^\circ\). 4. Berechnung der Teilwinkel von \(\delta\): \(\angle ADB\) im \(\triangle ABD\): \(\angle ADB = 180^\circ - 59{,}5^\circ - 53{,}1^\circ = 67{,}4^\circ\). \(\angle BDC\) im \(\triangle BCD\): \(\angle BDC = 180^\circ - 78{,}5^\circ - 44{,}4^\circ = 57{,}1^\circ\). \(\delta = \angle ADB + \angle BDC \approx 124{,}5^\circ\).

Die Winkel des Vierecks sind \(\alpha \approx 59{,}5^\circ\), \(\beta \approx 97{,}5^\circ\), \(\gamma \approx 78{,}5^\circ\) und \(\delta \approx 124{,}5^\circ\).

- Wenn der gegebene Winkel nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt, führt der Kosinussatz auf eine quadratische Gleichung. - Prüfe die Bedingung am Ende, um die richtige Lösung auszuwählen.

1. Kosinussatz: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\). 2. Einsetzen: \(7^2 = x^2 + 8^2 - 2 \cdot x \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\). 3. \(49 = x^2 + 64 - 8x \implies x^2 - 8x + 15 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}\). 5. Es ergeben sich \(x = 5\) oder \(x = 3\). Da \(x > 4\), ist \(x = 5\).

\(x = 5\)

- Bestimme zuerst die dritte Seite mit dem Kosinussatz. - Nutze dann den Sinussatz, um den Sinus des gesuchten Winkels zu finden. - Vergleiche \(a\) und \(c\), um die passende Arkussinus-Lösung auszuwählen.

1. Berechnung der Seite \(c\) mit dem Kosinussatz: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)\). 2. \(c^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot 0{,}5 = 4 + (4+2\sqrt{3}) - 2 - 2\sqrt{3} = 6\). Also ist \(c = \sqrt{6}\). 3. Mit dem Sinussatz gilt \(\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \gamma}{c}\). 4. Daher ist \(\sin \alpha = \frac{2 \cdot \sin(60^\circ)}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). 5. Hieraus folgen zunächst \(\alpha = 45^\circ\) oder \(\alpha = 135^\circ\). Da \(a=2<c=\sqrt{6}\), gilt für die gegenüberliegenden Winkel \(\alpha<\gamma=60^\circ\). Somit ist die supplementäre Lösung ausgeschlossen und \(\alpha=45^\circ\).

\(x = 45^\circ\)