Aimathic
Login | English | Deutsch

Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Potenzgesetze anwenden (inkl. rationale Exponenten und Wurzelumwandlung)

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

4148939
Schreibe die folgenden Gleichungen in die jeweils andere Form um. Wenn die Gleichung in Potenzschreibweise gegeben ist, verwende die Wurzelschreibweise, und umgekehrt. Beispiel: \(5^3 = 125 \Rightarrow \sqrt[3]{125} = 5\) a) \(13^2 = 169\) b) \(\sqrt[3]{216} = 6\) c) \(0{,}2^5 = 0{,}00032\) d) \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis ist. - Der Exponent der Potenz wird zum Wurzelexponenten der Wurzel. - Das Ergebnis der Potenzrechnung steht in der Wurzel (als Radikand). - Denk daran, dass man bei der Quadratwurzel den Wurzelexponenten 2 meist weglässt.

Lösung

Der Zusammenhang zwischen einer Potenzgleichung \(b^n = a\) und einer Wurzelgleichung ist durch \(b = \sqrt[n]{a}\) gegeben. 1. Bei \(13^2 = 169\) ist die Basis \(13\), der Exponent \(2\) und das Ergebnis \(169\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt{169} = 13\). 2. Bei \(\sqrt[3]{216} = 6\) ist der Radikand \(216\), der Wurzelexponent \(3\) und der Wert \(6\). In Potenzschreibweise: \(6^3 = 216\). 3. Bei \(0{,}2^5 = 0{,}00032\) ist die Basis \(0{,}2\) und der Exponent \(5\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\). 4. Bei \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}\) ist der Wurzelexponent \(4\). In Potenzschreibweise: \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\).

Antwort

a) \(\sqrt{169} = 13\) b) \(6^3 = 216\) c) \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\) d) \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\)
4245639
Berechne die folgenden Werte und gib das Ergebnis als ganze Zahl oder als vollständig gekürzten Bruch an: a) \(6^{-2}\) b) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\) c) \((-0{,}2)^{-2}\) d) \(-4^{-2}\) e) \(24 \cdot 2^{-4}\)

Denkanstöße

- Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten für die Basis? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen zur Basis gehört (in Klammern steht) oder vor der gesamten Potenz steht. - Es hilft oft, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln. - Wie geht man vor, wenn ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert wird?

Lösung

1. Berechnung von \(6^{-2}\): Anwendung der Definition \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) ergibt \(\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\). 2. Berechnung von \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\): Kehrbruch bilden und positiv potenzieren: \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}\). 3. Berechnung von \((-0{,}2)^{-2}\): Umwandlung in einen Bruch: \(\left(-\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Kehrbruch bilden: \((-5)^2 = 25\). 4. Berechnung von \(-4^{-2}\): Das Minuszeichen steht vor der Potenz. \(-\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}\). 5. Berechnung von \(24 \cdot 2^{-4}\): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(24 \cdot \frac{1}{2^4} = 24 \cdot \frac{1}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

Antwort

a) \(\frac{1}{36}\) b) \(\frac{27}{8}\) c) \(25\) d) \(-\frac{1}{16}\) e) \(\frac{3}{2}\)
4101619
Nutze die Eigenschaft \(\sqrt{10^{2n}} = 10^n\), um die Quadratwurzeln der folgenden Zahlen ohne Taschenrechner zu bestimmen. Wandle die Zahlen dazu zuerst in Zehnerpotenzen um: a) \(100.000.000\) b) \(0,000001\) c) \(\frac{10^3}{10^7}\)

Lösung

1. Begründung der Eigenschaft: \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{1/2} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Zu a): \(100.000.000 = 10^8\). Mit \(2n = 8\) folgt \(n = 4\). Somit ist \(\sqrt{10^8} = 10^4 = 10.000\). 3. Zu b): \(0,000001 = 10^{-6}\). Mit \(2n = -6\) folgt \(n = -3\). Somit ist \(\sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} = 0,001\). 4. Zu c): Nach den Divisionsregeln für Potenzen ist \(\frac{10^3}{10^7} = 10^{3-7} = 10^{-4}\). Mit \(2n = -4\) folgt \(n = -2\). Somit ist \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} = 0,01\).

Antwort

a) \(\sqrt{100.000.000} = 10.000\) b) \(\sqrt{0,000001} = 0,001\) c) \(\sqrt{\frac{10^3}{10^7}} = 0,01\)
4101629
Begründe die Gültigkeit der Gleichung \(\sqrt{5^{2k}} = 5^k\) für \(k \in \mathbb{Z}\) mithilfe der Potenzgesetze. Berechne unter Verwendung dieser Regel die exakten Werte für \(\sqrt{5^6}\), \(\sqrt{5^{-4}}\) und \(\sqrt{\frac{1}{5^2}}\).

Lösung

1. Begründung: Die Quadratwurzel kann als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden. Es gilt \(\sqrt{5^{2k}} = (5^{2k})^{1/2}\). Nach der Regel für das Potenzieren von Potenzen \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt: \(5^{2k \cdot \frac{1}{2}} = 5^k\). 2. Für \(\sqrt{5^6}\) ist \(2k = 6\), also \(k = 3\). Das Ergebnis ist \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). 3. Für \(\sqrt{5^{-4}}\) ist \(2k = -4\), also \(k = -2\). Das Ergebnis ist \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04\). 4. Der Ausdruck \(\sqrt{\frac{1}{5^2}}\) kann als \(\sqrt{5^{-2}}\) geschrieben werden. Hier ist \(2k = -2\), also \(k = -1\). Das Ergebnis ist \(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2\).

Antwort

Begründung: \((5^{2k})^{1/2} = 5^{2k \cdot 1/2} = 5^k\). \(\sqrt{5^6} = 125\) \(\sqrt{5^{-4}} = 0,04\) \(\sqrt{\frac{1}{5^2}} = 0,2\)
4130549
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gehe dabei von \(x \neq 0\), \(y \neq 0\) und \(z \neq 0\) aus: a) \((x^3)^4 \cdot x^{-5}\) b) \(\frac{24y^6}{3y^2}\) c) \((-3a)^2 \cdot a^3\) d) \(\frac{z^0 \cdot z^7}{z^3}\)

Denkanstöße

- Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, wie man eine Potenz nochmals potenziert. - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Achte bei Termen wie \((-3a)^2\) darauf, ob sich das Quadrat auch auf das Vorzeichen und die Zahl bezieht.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Potenzen von Potenzen bei a): \((x^3)^4 = x^{12}\). Multiplikation mit \(x^{-5}\) ergibt \(x^{12 + (-5)} = x^7\). 2. Division der Koeffizienten und Subtraktion der Exponenten bei b): \(24 : 3 = 8\) und \(y^{6-2} = y^4\). Ergebnis: \(8y^4\). 3. Auflösen der Klammer bei c): \((-3a)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 = 9a^2\). Multiplikation mit \(a^3\) ergibt \(9a^{2+3} = 9a^5\). 4. Bestimmung von \(z^0 = 1\) bei d). Division ergibt \(z^{7-3} = z^4\).

Antwort

a) \(x^7\) b) \(8y^4\) c) \(9a^5\) d) \(z^4\)
4131089
Setze das passende Relationszeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Lücke ein. Begründe deine Entscheidung kurz mithilfe der Eigenschaften von Potenzen. a) \((-1)^{10} \text{ \_\_\_ } (-1)^{11}\) b) \(-4^2 \text{ \_\_\_ } (-4)^2\) c) \(3^{-2} \text{ \_\_\_ } (-3)^{-2}\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welchen Einfluss ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis hat. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb einer Klammer steht. - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Da der Exponent \(10\) gerade ist, gilt \((-1)^{10} = 1\). Da der Exponent \(11\) ungerade ist, gilt \((-1)^{11} = -1\). Wegen \(1 > -1\) ist das Zeichen \(>\) korrekt. 2. Teilaufgabe b): Der Term \(-4^2\) bedeutet \(-(4 \cdot 4) = -16\). Der Term \((-4)^2\) bedeutet \((-4) \cdot (-4) = 16\). Da eine negative Zahl kleiner als eine positive Zahl ist, gilt \(<\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(3^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). Der Term \((-3)^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{(-3)^2}\). Da \((-3)^2 = 9\) ist, ergibt sich ebenfalls \(\frac{1}{9}\). Die Terme sind also gleich, das Zeichen ist \(=\).

Antwort

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\)
4139279
Berechne oder vereinfache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich ohne Taschenrechner. Gehe in Teilaufgabe b von \(x \neq 0\) aus: a) \((-5)^2\) und \(-5^2\) b) \(\frac{x^6}{x^2 \cdot x^3}\) c) \((2a^3)^4\) d) \(10^3 \cdot 10^{-5}\)

Denkanstöße

- Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen mit quadriert wird oder nicht. - Wie verändert sich der Exponent, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch oder Dezimalzahl bedeutet. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

Lösung

1. Unterscheidung von Basis und Vorzeichen: \((-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\), während \(-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). 2. Anwendung der Produktregel im Nenner: \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\). Anschließend Division durch Subtraktion der Exponenten: \(x^6 : x^5 = x^{6-5} = x^1 = x\). 3. Anwendung der Potenzregel auf ein Produkt und eine Potenz: \((2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16 \cdot a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}\). 4. Multiplikation von Potenzen gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(10^{3 + (-5)} = 10^{-2}\). Umwandlung in einen Dezimalbruch: \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

Antwort

a) \(25\) und \(-25\) b) \(x\) c) \(16a^{12}\) d) \(0{,}01\)
4148949
Berechne die Werte der folgenden Ausdrücke ohne Taschenrechner. Nutze dabei dein Wissen über den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln sowie Potenzgesetze für rationale Exponenten. a) \(27^{\frac{4}{3}}\) b) \(\sqrt[3]{10^9}\) c) \(0{,}09^{1{,}5}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0016}\)

Denkanstöße

- Kannst du den Exponenten als Bruch schreiben? - Es hilft oft, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Kommst du weiter, wenn du die Dezimalzahlen in Brüche umwandelst?

Lösung

1. Umwandlung von \(27^{\frac{4}{3}}\) in eine Wurzelform: \(\sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^4 = 81\). 2. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[3]{10^9} = 10^{\frac{9}{3}} = 10^3 = 1000\). 3. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen Bruch oder direkte Berechnung: \(0{,}09^{1{,}5} = 0{,}09^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{0{,}09})^3\). Da \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), folgt \(0{,}3^3 = 0{,}027\). 4. Direkte Berechnung der 4. Wurzel: Da \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0016} = 0{,}2\).

Antwort

a) \(81\) b) \(1000\) c) \(0{,}027\) d) \(0{,}2\)
4149389
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich und schreibe das Ergebnis ohne negative Exponenten. Gehe von \(x, y, z, a \neq 0\) aus. a) \(x^4 \cdot x^{-6}\) b) \(\frac{y^{-2}}{y^3}\) c) \((-2z)^{-3}\) d) \((a^2 \cdot a^{-3})^2\)

Denkanstöße

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Wie kannst du eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch umschreiben? - Achte bei negativen Basen darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Kannst du den Term innerhalb einer Klammer zuerst vereinfachen?

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^{4 + (-6)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) 2. Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(y^{-2 - 3} = y^{-5} = \frac{1}{y^5}\) 3. Auflösen der Klammer mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{(-2z)^3} = \frac{1}{(-2)^3 \cdot z^3} = -\frac{1}{8z^3}\) 4. Zusammenfassen in der Klammer und anschließendes Potenzieren: \((a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)

Antwort

a) \(\frac{1}{x^2}\) b) \(\frac{1}{y^5}\) c) \(-\frac{1}{8z^3}\) d) \(\frac{1}{a^2}\)
4149419
Schreibe die folgenden Terme zunächst in Wurzelschreibweise um und berechne anschließend ihren Wert ohne Taschenrechner. a) \(144^{0{,}5}\) b) \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\) c) \(32^{0{,}4}\) d) \(1\,000^{-\frac{2}{3}}\)

Denkanstöße

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich, welche Wurzel aus der Basis gezogen werden muss, wenn der Nenner des Bruchexponenten eine bestimmte Zahl ist? - Es ist oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

Lösung

1. Umwandlung von \(144^{0{,}5}\): Der Exponent \(0{,}5\) entspricht \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(144^{0{,}5} = \sqrt{144} = 12\). 2. Umwandlung von \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\): Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Basis. Es gilt \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\). 3. Umwandlung von \(32^{0{,}4}\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Es gilt \(32^{0{,}4} = \sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 4. Umwandlung von \(1\,000^{-\frac{2}{3}}\): Der negative Exponent führt zum Kehrwert \(1 / 1\,000^{\frac{2}{3}}\). Dies entspricht \(\frac{1}{\sqrt[3]{1\,000^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

Antwort

a) \(\sqrt{144} = 12\) b) \(\sqrt[3]{27} = 3\) c) \((\sqrt[5]{32})^2 = 4\) d) \(\frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = 0{,}01\)
4149449
Schreibe die folgenden Terme als Wurzeln. Vereinfache den Exponenten, falls möglich, bevor du die Wurzelschreibweise wählst. (\(x, y, z, a > 0\)) a) \(x^{\frac{2}{3}}\) b) \(y^{1{,}5}\) c) \(z^{-\frac{1}{2}}\) d) \((4a)^{\frac{3}{4}}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Was bedeutet ein Minuszeichen im Exponenten für die Position des Terms? - Überlege, wie man eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten als Wurzel schreibt. - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer potenziert wird?

Lösung

1. Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) anwenden. 2. Für a): \(x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}\). 3. Für b): \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{y^3}\). 4. Für c): Negativer Exponent bedeutet Kehrwert, \(z^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{z^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{z}}\). 5. Für d): \((4a)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(4a)^3} = \sqrt[4]{64a^3}\).

Antwort

a) \(\sqrt[3]{x^2}\) b) \(\sqrt{y^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt{z}}\) d) \(\sqrt[4]{64a^3}\)
4149479
Vereinfache die folgenden Terme, indem du sie zunächst als Potenz mit einem rationalen Exponenten schreibst. Kürze den Exponenten so weit wie möglich und gib das Ergebnis anschließend wieder in Wurzelschreibweise an. (\(b, z, y > 0\)) a) \(\sqrt[12]{b^3}\) b) \(\sqrt[10]{z^{15}}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[6]{y^4}}\)

Denkanstöße

- Was bedeutet der Wurzelexponent für den Nenner eines Bruchs im Exponenten? - Wie kannst du Brüche im Exponenten genauso behandeln wie normale Brüche? - Gibt es eine Regel, wie man einen Bruch im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreibt?

Lösung

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten unter Verwendung von \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): a) \(\sqrt[12]{b^3} = b^{\frac{3}{12}}\) b) \(\sqrt[10]{z^{15}} = z^{\frac{15}{10}}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[6]{y^4}} = y^{-\frac{4}{6}}\) 2. Kürzen der Brüche in den Exponenten: a) \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) b) \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) c) \(-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\) 3. Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise: a) \(b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b}\) b) \(z^{\frac{3}{2}} = \sqrt{z^3}\) c) \(y^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

Antwort

a) \(\sqrt[4]{b}\) b) \(\sqrt{z^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)
4149509
Schreibe die folgenden Wurzelterme als Potenzen mit rationalen Exponenten und berechne ihren Wert. Runde das Ergebnis, falls nötig, auf drei Nachkommastellen. a) \(\sqrt[4]{20}\) b) \(\sqrt[3]{5^2}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[5]{10}}\) d) \(\sqrt[3]{-27}\)

Denkanstöße

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kann man eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

Lösung

1. Umwandlung in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Berechnung für a): \(\sqrt[4]{20} = 20^{\frac{1}{4}} = 20^{0{,}25} \approx 2{,}115\). 3. Berechnung für b): \(\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\). 4. Berechnung für c): \(\frac{1}{\sqrt[5]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{5}}} = 10^{-\frac{1}{5}} = 10^{-0{,}2} \approx 0{,}631\). 5. Berechnung für d): \(\sqrt[3]{-27} = (-27)^{\frac{1}{3}} = -3\).

Antwort

a) \(20^{\frac{1}{4}} \approx 2{,}115\) b) \(5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\) c) \(10^{-\frac{1}{5}} \approx 0{,}631\) d) \((-27)^{\frac{1}{3}} = -3\)
4149539
Gegeben sind die folgenden mathematischen Terme: \(A = 16^{\frac{3}{4}}\) \(B = \sqrt[3]{8^2}\) \(C = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5}\) \(D = \sqrt{2^6}\) Bestimme für jeden Term seinen Wert als natürliche Zahl und entscheide, welche der Terme den gleichen Wert besitzen.

Denkanstöße

- Könntest du versuchen, alle Basen als Potenzen der Zahl 2 zu schreiben? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz?

Lösung

1. Berechnung von \(A\): \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8\). 2. Berechnung von \(B\): \(\sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = ((2^3)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^2 = 4\). 3. Berechnung von \(C\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = (4^{-1})^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^{2 \cdot 1{,}5} = 2^3 = 8\). 4. Berechnung von \(D\): \(\sqrt{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 = 8\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Die Terme \(A\), \(C\) und \(D\) haben denselben Wert.

Antwort

Die Werte sind: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Somit gilt: \(A = C = D\).
4149569
Gegeben sind die vier Terme \(T_1\) bis \(T_4\). Begründe rechnerisch, warum alle vier Terme denselben Wert besitzen. \(T_1 = \sqrt[4]{5^6}\) \(T_2 = \sqrt{5^3}\) \(T_3 = 25^{\frac{3}{4}}\) \(T_4 = 125^{\frac{1}{2}}\)

Denkanstöße

- Kannst du alle Terme so umschreiben, dass sie dieselbe Basis haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Wurzeln und Brüchen im Exponenten? - Wie kannst du eine Potenz, die selbst in einer Klammer steht, weiter vereinfachen?

Lösung

1. Umwandlung aller Terme in Potenzen mit der Basis \(5\) und rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Für \(T_1\): \(\sqrt[4]{5^6} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 3. Für \(T_2\): \(\sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}\). 4. Für \(T_3\): Da \(25 = 5^2\), gilt \(25^{\frac{3}{4}} = (5^2)^{\frac{3}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{4}} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 5. Für \(T_4\): Da \(125 = 5^3\), gilt \(125^{\frac{1}{2}} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 6. Alle Terme lassen sich auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (bzw. \(5^{1{,}5}\)) bringen und sind somit wertgleich.

Antwort

Durch Anwendung der Potenzgesetze lassen sich alle vier Terme auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (oder \(5^{1{,}5}\)) vereinfachen. Da die Basis und der Exponent jeweils identisch sind, besitzen die Terme denselben Wert.
4149629
Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich. Alle Variablen stehen für positive reelle Zahlen. a) \(3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{3}{4}}\) b) \(x^{\frac{5}{6}} : x^{\frac{1}{3}}\) c) \((4y)^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}\) d) \(\sqrt[5]{a^2} \cdot \sqrt[5]{a^3}\)

Denkanstöße

- Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Kannst du einen Term in der Klammer einzeln potenzieren? - Achte darauf, Brüche bei der Addition oder Subtraktion auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 3^1 = 3\) 2. Anwendung des Gesetzes \(a^m : a^n = a^{m-n}\) mit Hauptnenner \(6\): \(x^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}\) (oder \(\sqrt{x}\)) 3. Anwendung des Gesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(4^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot y^1 = 2y\) 4. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen und Addition der Exponenten: \(a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = a^1 = a\)

Antwort

a) \(3\) b) \(x^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{x}\) c) \(2y\) d) \(a\)
4149659
Zwei verschiedene Schreibweisen können denselben mathematischen Wert ausdrücken. Untersuche die folgenden Paare von Termen. Wandle dazu die Wurzelausdrücke in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten um und vereinfache so weit wie möglich. Entscheide anschließend, ob die Terme eines Paares äquivalent (gleichwertig) sind. a) \(A = \sqrt[3]{27^2}\) und \(B = (\sqrt[3]{27})^2\) b) \(C = \sqrt[4]{x^{12}}\) und \(D = x^2 \cdot \sqrt{x^2}\) (für \(x > 0\))

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du die Basis 27 als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis.

Lösung

1. Umwandlung von Term \(A\): \(\sqrt[3]{27^2} = (27^2)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}\). Da \(27 = 3^3\), folgt \((3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\). 2. Umwandlung von Term \(B\): \((\sqrt[3]{27})^2 = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 27^{\frac{2}{3}} = 9\). 3. Vergleich \(A\) und \(B\): Beide Terme ergeben \(9\), sie sind äquivalent. 4. Umwandlung von Term \(C\): \(\sqrt[4]{x^{12}} = (x^{12})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). 5. Umwandlung von Term \(D\): \(x^2 \cdot \sqrt{x^2} = x^2 \cdot (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^2 \cdot x^1 = x^3\). 6. Vergleich \(C\) und \(D\): Beide Terme ergeben \(x^3\), sie sind äquivalent.

Antwort

a) Ja, beide Terme sind äquivalent und haben den Wert \(9\). b) Ja, beide Terme sind äquivalent und lassen sich zu \(x^3\) vereinfachen.
4149779
Vereinfache den folgenden Term für \(x > 0\) so weit wie möglich und schreibe das Ergebnis ohne Wurzelzeichen: \(x^{-\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[4]{x^6}\)

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Kannst du den Bruch im Exponenten kürzen?

Lösung

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[4]{x^6} = x^{\frac{6}{4}} = x^{\frac{3}{2}}\). 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes für die Multiplikation bei gleicher Basis: \(x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}\). 3. Addition der Exponenten: \(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Endergebnis: \(x^1 = x\).

Antwort

\(x\)
4154189
Vereinfache den folgenden Term für \(a > 0\) und schreibe das Ergebnis als eine Potenz mit der Basis \(a\): \((a^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{a}) : a^{-\frac{1}{2}}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn du durch eine Potenz dividierst? - Achte darauf, alle Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes im Zähler bzw. in der Klammer: \(a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 3. Anwendung des zweiten Potenzgesetzes für die Division: \(a^{\frac{7}{6}} : a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6} - (-\frac{1}{2})}\) 4. Berechnung des Exponenten: \(\frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\) 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{3}}\)

Antwort

\(a^{\frac{5}{3}}\)
4245459
Berechne die folgenden Terme auf zwei verschiedene Arten: einmal, indem du zuerst den Wert in der Klammer bestimmst, und einmal, indem du ein passendes Potenzgesetz anwendest. a) \((4 \cdot 5)^3\) b) \((2^3)^2\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du die Multiplikation innerhalb der Klammer zuerst ausführst? - Gibt es eine Regel, wie man eine Potenz, die selbst wieder potenziert wird, vereinfachen kann? - Wie kann man eine Potenz eines Produkts auf die einzelnen Faktoren verteilen?

Lösung

1. Berechnung von a) über die Basis: Zuerst das Produkt in der Klammer berechnen (\(4 \cdot 5 = 20\)), anschließend die Potenz bilden (\(20^3 = 8000\)). 2. Berechnung von a) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) ergibt \(4^3 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000\). 3. Berechnung von b) über die innere Potenz: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen (\(2^3 = 8\)), danach quadrieren (\(8^2 = 64\)). 4. Berechnung von b) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\).

Antwort

a) \(8000\) b) \(64\)
4245479
Vereinfache die folgenden Terme durch Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich. Es gelten \(k,n,p \in \mathbb{N}_{>0}\); alle Variablenwerte sind so gewählt, dass die Terme definiert sind. 1. \((-3 a^{2} b^{k})^{4}\) 2. \(\left(\frac{2 x^{n}}{y^{3}}\right)^{3}\) 3. \(\frac{(m^{4} q^{2})^{p}}{m^{3p}}\)

Denkanstöße

- Was geschieht mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst nochmals potenziert wird? - Wie verändert sich ein negatives Vorzeichen, wenn der äußere Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich daran, dass bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten subtrahiert werden. - Achte darauf, den äußeren Exponenten auf jeden einzelnen Faktor innerhalb der Klammer anzuwenden.

Lösung

1. Anwendung der Potenz eines Produkts: Jeder Faktor in der Klammer wird mit dem Exponenten \(4\) potenziert. Es ergibt sich \((-3)^{4} \cdot (a^{2})^{4} \cdot (b^{k})^{4}\). Mit \((-3)^{4} = 81\), \((a^{2})^{4} = a^{8}\) und \((b^{k})^{4} = b^{4k}\) folgt \(81 a^{8} b^{4k}\). 2. Zähler und Nenner werden mit \(3\) potenziert: \(\frac{2^3 \cdot (x^n)^3}{(y^3)^3} = \frac{8x^{3n}}{y^9}\). 3. Zuerst wird der Zähler potenziert: \((m^{4}q^{2})^{p} = m^{4p}q^{2p}\). Anschließend werden bei der Division die Exponenten der Basis \(m\) subtrahiert: \(m^{4p-3p}q^{2p} = m^p q^{2p}\).

Antwort

1. \(81 a^{8} b^{4k}\) 2. \(\frac{8 x^{3n}}{y^{9}}\) 3. \(m^{p} q^{2p}\)
4245599
Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich. Es gelten \(m,n \in \mathbb{N}_{>0}\) sowie \(a \ne 0\) und \(b \ne 0\): \[ \frac{(2a^n \cdot b^{2m})^5}{8a^{3n} \cdot (b^m)^{10}} \]

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn ein Produkt in einer Klammer potenziert wird? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit derselben Basis dividierst? - Überlege, welcher Wert herauskommt, wenn eine Basis mit dem Exponenten Null potenziert wird.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte im Zähler: \( (2a^n \cdot b^{2m})^5 = 2^5 \cdot (a^n)^5 \cdot (b^{2m})^5 \) 2. Potenzieren von Potenzen im Zähler: \( 32 \cdot a^{5n} \cdot b^{10m} \) 3. Potenzieren von Potenzen im Nenner: \( (b^m)^{10} = b^{10m} \) 4. Zusammenfassen des gesamten Bruchs: \( \frac{32a^{5n}b^{10m}}{8a^{3n}b^{10m}} \) 5. Division der Koeffizienten: \( \frac{32}{8} = 4 \) 6. Division der Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \( a^{5n-3n} = a^{2n} \) und \( b^{10m-10m} = b^0 = 1 \) 7. Endergebnis: \( 4a^{2n} \)

Antwort

\( 4a^{2n} \)
4245699
Berechne die Werte der folgenden Terme unter Verwendung der Potenzgesetze: 1) \(2^4 \cdot 2^{-2}\) 2) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \cdot 3^{-2}\) 3) \(10^{-2} \cdot 0{,}1^{-3}\)

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn du den Kehrwert der Basis bildest? - Wie multipliziert man Potenzen, die die gleiche Basis haben? - Kannst du Dezimalzahlen wie \(0{,}1\) als Brüche oder Potenzen von 10 schreiben?

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: \(2^{4 + (-2)} = 2^2 = 4\). 2. Umformung des ersten Faktors mittels negativer Exponenten: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3\). Multiplikation: \(3^3 \cdot 3^{-2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3\). 3. Umwandlung der Dezimalzahl in eine Zehnerpotenz: \(0{,}1 = 10^{-1}\). Einsetzen und Potenzgesetz anwenden: \(10^{-2} \cdot (10^{-1})^{-3} = 10^{-2} \cdot 10^3 = 10^{-2+3} = 10^1 = 10\).

Antwort

1) \(4\) 2) \(3\) 3) \(10\)
4245739
Berechne den Wert der folgenden Terme unter Anwendung der Potenzgesetze: a) \((1{,}5)^{-2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 4^{-1}\) b) \(\frac{3^{-1} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}{2^2 - 7 \cdot 2^{-1}}\)

Denkanstöße

- Was bedeutet ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Wie kannst du Dezimalzahlen als Brüche schreiben, um die Potenzgesetze leichter anzuwenden? - Achte auf die Vorrangregeln, insbesondere Punkt- vor Strichrechnung. - Kannst du einen Bruchterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner getrennt berechnest?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umwandlung von \(1{,}5\) in \(\frac{3}{2}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten bei Brüchen ergibt \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). 2. Berechnung der weiteren Terme: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) und \(4^{-1} = \frac{1}{4}\). 3. Verknüpfung der Ergebnisse: \(\frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9} + \frac{3}{4} = \frac{16 + 27}{36} = \frac{43}{36}\). 4. Teilaufgabe b): Zähler berechnen durch \(3^{-1} = \frac{1}{3}\) und \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\). Die Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 27}{12} = \frac{31}{12}\). 5. Nenner berechnen durch \(2^2 = 4\) und \(7 \cdot 2^{-1} = \frac{7}{2} = 3{,}5\). Die Differenz ist \(4 - 3{,}5 = 0{,}5 = \frac{1}{2}\). 6. Division des Zählers durch den Nenner: \(\frac{31}{12} : \frac{1}{2} = \frac{31}{12} \cdot 2 = \frac{31}{6}\).

Antwort

a) \(\frac{43}{36}\) b) \(\frac{31}{6}\)
4246079
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gib das Ergebnis am Ende ohne negative Exponenten an. Dabei gilt \(x,y,a,b \ne 0\). a) \(x^7 \cdot x^{-4}\) b) \(\frac{y^2}{y^{-3}}\) c) \((2a^{-2})^3\) d) \(\frac{12b^5 \cdot b^{-2}}{4b^7}\)

Denkanstöße

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Exponenten, wenn man eine Potenz vom Nenner in den Zähler (oder umgekehrt) verschiebt? - Erinnere dich daran, dass beim Potenzieren einer Potenz die Exponenten multipliziert werden. - Achte darauf, auch die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) wie gewohnt zu verrechnen.

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^{7 + (-4)} = x^3\). 2. Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(y^{2 - (-3)} = y^5\). 3. Potenzieren eines Produkts und einer Potenz: \(2^3 \cdot (a^{-2})^3 = 8 \cdot a^{-6}\). Umwandlung in einen positiven Exponenten ergibt \(\frac{8}{a^6}\). 4. Verrechnung der Koeffizienten \(12 : 4 = 3\). Zusammenfassen der Potenzen im Zähler: \(b^{5 + (-2)} = b^3\). Division durch den Nenner: \(b^3 : b^7 = b^{3-7} = b^{-4}\). Endergebnis: \(\frac{3}{b^4}\).

Antwort

a) \(x^3\); b) \(y^5\); c) \(\frac{8}{a^6}\); d) \(\frac{3}{b^4}\)
4246179
Wende die Potenzgesetze an, um die Klammern aufzulösen, und fasse das Ergebnis so weit wie möglich zusammen. Es gelten \(x,m,n \ne 0\): a) \((2x^2 + 3x^{-1})(x - 2x^{-2})\) b) \((3m^2 - 2n^{-1})(m^{-2} + n)\)

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was ergibt eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Gehe beim Multiplizieren der Klammern systematisch vor, sodass jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird. - Achte auf die Vorzeichen, besonders wenn ein Minuszeichen vor einem Glied steht.

Lösung

1. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe a) unter Anwendung der Regel \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\): \(2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-2x^{-2}) + 3x^{-1} \cdot x + 3x^{-1} \cdot (-2x^{-2})\). 2. Vereinfachen der einzelnen Terme: \(2x^3 - 4x^0 + 3x^0 - 6x^{-3}\). 3. Zusammenfassen unter Beachtung von \(x^0 = 1\): \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\). 4. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe b): \(3m^2 \cdot m^{-2} + 3m^2 \cdot n - 2n^{-1} \cdot m^{-2} - 2n^{-1} \cdot n\). 5. Vereinfachen der Terme: \(3m^0 + 3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} - 2n^0\). 6. Zusammenfassen der konstanten Terme \(3 - 2 = 1\): \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\).

Antwort

a) \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\) b) \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\)
4246199
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gehe davon aus, dass alle Variablen so gewählt sind, dass kein Nenner Null wird. a) \((-x^{-4})^{-2}\) b) \(\frac{(-1)^{k+2}}{(-1)^k}\) für \(k \in \mathbb{Z}\) c) \(\left( \frac{2a^2}{3b^{-1}} \right)^{-3}\)

Denkanstöße

- Überlege dir, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie hängen negative Exponenten mit Brüchen zusammen? - Kannst du eine Potenz eines Produkts in ein Produkt von Potenzen umwandeln? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst?

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf den ersten Term: \((-1 \cdot x^{-4})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-4})^{-2}\). Da \((-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1\) und \((x^{-4})^{-2} = x^{(-4) \cdot (-2)} = x^8\), ergibt sich \(x^8\). 2. Division von Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \((-1)^{(k+2)-k} = (-1)^2\). Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, ergibt sich \(1\). 3. Zuerst wird der innere Bruch vereinfacht: \(\frac{2a^2}{3b^{-1}} = \frac{2a^2 \cdot b}{3}\). Anwendung des negativen Exponenten durch Kehrwertbildung: \(\left( \frac{3}{2a^2 b} \right)^3\). Potenzieren von Zähler und Nenner führt zu \(\frac{3^3}{2^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3} = \frac{27}{8a^6b^3}\).

Antwort

a) \(x^8\) b) \(1\) c) \(\frac{27}{8a^6b^3}\)
4246219
Wende die Potenzgesetze und das Distributivgesetz an, um die folgenden Ausdrücke für \(a,b,x \ne 0\) so weit wie möglich zu vereinfachen. Schreibe das Ergebnis ohne Klammern. 1) \((b^{-4} - b^{-2} + 1) \cdot b^3\) 2) \((15x^2 + 5x^0) \cdot x^{-2}\) 3) \((ax^{-2} - bx^{-3}) : x^{-5}\) 4) \((2a^{-1}b^2 + 4a^2b^{-1}) : (2a^{-2}b^{-2})\)

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: Die Exponenten werden addiert. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen.

Lösung

1. Multiplikation jedes Gliedes der Klammer mit \(b^3\) unter Addition der Exponenten: \(b^{-4+3} - b^{-2+3} + 1 \cdot b^3 = b^{-1} - b + b^3\). 2. Berücksichtigung von \(x^0 = 1\) und Multiplikation mit \(x^{-2}\): \(15x^{2-2} + 5x^{-2} = 15x^0 + 5x^{-2} = 15 + 5x^{-2}\). 3. Division jedes Gliedes durch \(x^{-5}\) unter Subtraktion der Exponenten: \(ax^{-2-(-5)} - bx^{-3-(-5)} = ax^3 - bx^2\). 4. Division beider Summanden durch den Divisor: \(\frac{2a^{-1}b^2}{2a^{-2}b^{-2}} + \frac{4a^2b^{-1}}{2a^{-2}b^{-2}}\). Anwendung der Potenzgesetze für gleiche Basen (\(a^{m-n}\), \(b^{m-n}\)) ergibt \(a^{-1-(-2)}b^{2-(-2)} + 2a^{2-(-2)}b^{-1-(-2)} = ab^4 + 2a^4b\).

Antwort

1) \(b^{-1} - b + b^3\) 2) \(15 + 5x^{-2}\) 3) \(ax^3 - bx^2\) 4) \(ab^4 + 2a^4b\)
4249079
Überführe die folgenden Ausdrücke in die jeweils andere Schreibweise (von der Wurzelschreibweise in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten oder umgekehrt). Gehe davon aus, dass alle Variablen positiv sind. 1) \(\sqrt[5]{x^3}\) 2) \(a^{-\frac{2}{3}}\) 3) \(\frac{1}{\sqrt[4]{y}}\) 4) \((m+n)^{\frac{3}{4}}\)

Denkanstöße

- Welche Rolle spielen der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden beim Schreiben als Bruch? - Was bedeutet ein Minuszeichen in einem Exponenten für die Position des Terms (Zähler oder Nenner)? - Kannst du eine Summe in Klammern wie eine einzelne Variable behandeln?

Lösung

1. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}\). 2. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) und Berücksichtigung des negativen Exponenten (\(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\)): \(a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\). 3. Umschreiben der Wurzel im Nenner als Potenz: \(\frac{1}{y^{\frac{1}{4}}}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten: \(y^{-\frac{1}{4}}\). 4. Interpretation der Summe als Basis und Anwendung der Definition: \((m+n)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(m+n)^3}\).

Antwort

1) \(x^{\frac{3}{5}}\) 2) \(\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\) oder \(\sqrt[3]{a^{-2}}\) 3) \(y^{-\frac{1}{4}}\) 4) \(\sqrt[4]{(m+n)^3}\)
4249099
Wandle die folgenden Ausdrücke in die jeweils andere Schreibweise (Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten oder Wurzelschreibweise) um. Berechne den Wert des Terms, falls möglich. In c) gilt \(b>0\): a) \(\sqrt[5]{y^2}\) b) \(27^{2/3}\) c) \(b^{-0{,}75}\)

Denkanstöße

- Wie hängen der Wurzelexponent und der Nenner im Exponenten zusammen? - Kannst du die Dezimalzahl im Exponenten zuerst als Bruch schreiben? - Überlege bei der Berechnung, ob es einfacher ist, zuerst die Wurzel zu ziehen oder zuerst zu potenzieren. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten?

Lösung

1. Umwandlung von a): Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\) ergibt \(\sqrt[5]{y^2} = y^{2/5}\) oder \(y^{0{,}4}\). 2. Berechnung von b): Umwandlung in \(\sqrt[3]{27^2}\) oder \((\sqrt[3]{27})^2\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^2 = 9\). 3. Umwandlung von c): Umschreiben des Dezimalbruchs \(0{,}75\) als \(\frac{3}{4}\). Anwendung der Definition für negative Exponenten \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und Umwandlung in eine Wurzel ergibt \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\).

Antwort

a) \(y^{2/5}\) b) \(9\) c) \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\)
4249139
Überprüfe die folgenden mathematischen Aussagen. Entscheide jeweils, ob die Gleichung wahr oder falsch ist, und korrigiere die fehlerhaften Ergebnisse. 1. \( (\sqrt[5]{15})^5 = 15 \) 2. \( (\sqrt{2})^6 = 8 \) 3. \( (\sqrt[3]{3})^6 = 6 \) 4. \( \sqrt[4]{5^8} = 25 \)

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Gesetz wendest du an, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Überlege, was passiert, wenn der Wurzelexponent und der äußere Exponent gleich sind.

Lösung

1. Wahr: Nach der Definition der \( n \)-ten Wurzel gilt \( (\sqrt[n]{a})^n = a \), also \( (\sqrt[5]{15})^5 = 15 \). 2. Wahr: Umformung in Potenzschreibweise ergibt \( (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \). 3. Falsch: Die Berechnung ergibt \( (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9 \). Die korrekte Aussage lautet \( (\sqrt[3]{3})^6 = 9 \). 4. Wahr: Umformung ergibt \( (5^8)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25 \).

Antwort

1. Wahr 2. Wahr 3. Falsch (Korrektur: \( 9 \)) 4. Wahr
4249219
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: a) \( (\sqrt[6]{x^4})^3 \) b) \( (-2 \sqrt[4]{y^3})^4 \) c) \( (0{,}5 \sqrt[3]{2a^2})^3 \)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Was passiert mit einem negativen Vorzeichen, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren von Produkten: Jeder Faktor in der Klammer muss potenziert werden.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Wurzeln \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) oder Umwandlung in rationale Exponenten \( (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} \). 2. Teil a): \( (\sqrt[6]{x^4})^3 = \sqrt[6]{x^{12}} = x^{\frac{12}{6}} = x^2 \). 3. Teil b): Der negative Koeffizient wird mit potenziert: \( (-2)^4 \cdot (\sqrt[4]{y^3})^4 = 16 \cdot y^3 = 16y^3 \). 4. Teil c): Potenzieren des Vorfaktors und der Wurzel: \( (0{,}5)^3 \cdot (\sqrt[3]{2a^2})^3 = 0{,}125 \cdot 2a^2 = 0{,}25a^2 \).

Antwort

a) \( x^2 \) b) \( 16y^3 \) c) \( 0{,}25a^2 \)
4249239
Berechne die folgenden Terme und achte dabei besonders auf die Vorzeichen und die Exponenten. In c) gilt \(x \ge 0\): a) \( (-\sqrt[4]{10})^4 \) b) \( (-\sqrt[5]{3})^5 \) c) \( (-2\sqrt{x})^2 \) d) \( (\sqrt[3]{y^2})^6 \)

Denkanstöße

- Welche Rolle spielt es für das Vorzeichen, ob ein Exponent gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich daran, wie sich eine \( n \)-te Wurzel und eine Potenz mit dem gleichen Exponenten \( n \) gegenseitig aufheben. - Kannst du den Wurzelausdruck zuerst in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreiben? - Wie verhält sich ein Koeffizient vor einer Wurzel, wenn der gesamte Ausdruck potenziert wird?

Lösung

1. Bei \( (-\sqrt[4]{10})^4 \) ist der Exponent gerade, wodurch das Minuszeichen entfällt: \( (\sqrt[4]{10})^4 = 10 \). 2. Bei \( (-\sqrt[5]{3})^5 \) ist der Exponent ungerade, weshalb das Minuszeichen erhalten bleibt: \( -(\sqrt[5]{3})^5 = -3 \). 3. Für \( (-2\sqrt{x})^2 \) werden sowohl der Koeffizient als auch die Wurzel quadriert: \( (-2)^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x \). 4. Der Term \( (\sqrt[3]{y^2})^6 \) wird mithilfe von Potenzgesetzen umgeformt: \( (y^{\frac{2}{3}})^6 = y^{\frac{2 \cdot 6}{3}} = y^{\frac{12}{3}} = y^4 \).

Antwort

a) \( 10 \) b) \( -3 \) c) \( 4x \) d) \( y^4 \)
4249259
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gib das Ergebnis ohne rationale Exponenten an (verwende stattdessen Wurzelzeichen). 1) \((5a^2 \sqrt{a})^2\) 2) \((b^3 \sqrt[3]{b})^2\)

Denkanstöße

- Denk an das Gesetz für das Potenzieren eines Produkts. - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Potenzen mit der gleichen Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v)^n = u^n \cdot v^n\): \((5a^2 \sqrt{a})^2 = 5^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (\sqrt{a})^2\). 2. Berechnung der Teilterme: \(25 \cdot a^4 \cdot a\). 3. Zusammenfassen der Potenzen: \(25 a^5\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \((b^3 \sqrt[3]{b})^2 = (b^3)^2 \cdot (\sqrt[3]{b})^2\). 5. Berechnung: \(b^6 \cdot b^{2/3}\). 6. Umwandlung in Wurzelschreibweise: \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\).

Antwort

1) \(25a^5\) 2) \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\)
4249719
Untersuche den Zusammenhang zwischen geschachtelten Wurzeln und löse die folgenden Aufgaben: a) Berechne die Werte von \(\sqrt{\sqrt{625}}\) und \(\sqrt[4]{625}\). Was stellst du fest? b) Begründe allgemein mithilfe der Potenzschreibweise \(a^{\frac{1}{n}}\) und den Potenzgesetzen, warum \(\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}\) für \(a \ge 0\) gilt. c) Bestimme den Wurzelexponenten \(n \in \mathbb{N}\) mit \(n \ge 2\) in der Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\).

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Wie verhalten sich Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Versuche die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleinen Basis (wie 2, 3 oder 5) darzustellen.

Lösung

1. Berechnung der Werte: \(\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt[4]{625} = 5\). Die Werte sind identisch. 2. Begründung über Potenzen: Nach der Definition ist \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Somit gilt \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt \(a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}\), was der Definition von \(\sqrt[4]{a}\) entspricht. 3. Bestimmung von \(n\): Die Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\) lässt sich als \(\sqrt[3 \cdot n]{729} = 3\) schreiben. Da \(729 = 3^6\), folgt \(\sqrt[3n]{3^6} = 3\). Dies entspricht \(3^{\frac{6}{3n}} = 3^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(\frac{6}{3n} = 1\), woraus \(\frac{2}{n} = 1\) und somit \(n = 2\) folgt.

Antwort

a) Beide Werte ergeben \(5\). b) \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/2 \cdot 1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\). c) \(n = 2\).
4249739
Ein Schüler behauptet, dass der Term \(\sqrt{p^5 \cdot \sqrt{p}}\) (für \(p > 0\)) identisch mit \(\sqrt[4]{p^{11}}\) ist. Überprüfe diese Aussage, indem du den Term auf zwei verschiedene Weisen umformst: 1. Wandle alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten um und wende die Potenzgesetze an. 2. Ziehe den Faktor \(p^5\) unter die innere Wurzel und fasse die Wurzeln zusammen.

Denkanstöße

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Zahl, wenn man sie unter eine Quadratwurzel zieht? - Welche Regel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie vereinfacht man einen Ausdruck, bei dem eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht?

Lösung

1. Umwandlung in rationale Exponenten: Der Term wird als \((p^5 \cdot p^{1/2})^{1/2}\) geschrieben. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \((p^{5{,}5})^{1/2}\). Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(p^{2{,}75}\). Da \(2{,}75 = \frac{11}{4}\), entspricht dies \(\sqrt[4]{p^{11}}\). 2. Einziehen unter die Wurzel: Der Faktor \(p^5\) wird als \(\sqrt{(p^5)^2} = \sqrt{p^{10}}\) unter die innere Wurzel gezogen, was zu \(\sqrt{\sqrt{p^{10} \cdot p}}\) führt. Mit \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}\) ergibt sich \(\sqrt[4]{p^{11}}\). Beide Wege bestätigen die Aussage.

Antwort

Die Aussage ist korrekt. Beide Rechenwege führen zum Ergebnis \(\sqrt[4]{p^{11}}\).
4249759
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Schreibe das Ergebnis als eine einzige Wurzel oder als rationale Zahl. Gehe davon aus, dass alle Variablen für positive Werte stehen. a) \(\sqrt[3]{\sqrt{64}}\) b) \(\sqrt[4]{\sqrt{x^2}}\) c) \(\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a}}\) d) \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{y^{10}}}\)

Denkanstöße

- Kannst du die geschachtelten Wurzeln durch eine Multiplikation der Wurzelexponenten zusammenfassen? - Wie kann man eine Zahl oder Variable, die vor einer Wurzel steht, unter das Wurzelzeichen ziehen? - Gibt es eine Möglichkeit, den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden zu kürzen, so wie man Brüche kürzt? - Was weißt du über die Quadratwurzel aus einer quadrierten Zahl?

Lösung

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[n \cdot m]{A}\): \(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\). 2. Zusammenfassen der Wurzelexponenten und Kürzen: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^2}} = \sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}\). 3. Den Faktor unter die innere Wurzel ziehen: \(\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a}} = \sqrt{\sqrt[3]{a^3 \cdot a}} = \sqrt[6]{a^4}\). Kürzen des Wurzelexponenten und des Exponenten durch \(2\): \(\sqrt[3]{a^2}\). 4. Multiplikation der Wurzelexponenten: \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{y^{10}}} = \sqrt[15]{y^{10}}\). Kürzen durch \(5\): \(\sqrt[3]{y^2}\).

Antwort

a) \(2\) b) \(\sqrt[4]{x}\) c) \(\sqrt[3]{a^2}\) d) \(\sqrt[3]{y^2}\)
4249779
Vereinfache die folgenden Ausdrücke und schreibe das Ergebnis als eine einzige Potenz mit einem rationalen Exponenten. In a) gilt \(x \ge 0\), in b) \(a \ge 0\). a) \(\sqrt{x \cdot \sqrt{x}}\) b) \(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[4]{a}}\) c) \(\sqrt{8 \cdot \sqrt[3]{2}}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Wurzeln schrittweise von innen nach außen in Potenzen umschreiben? - Welche Rechenregel gilt für das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie wird eine Potenz potenziert, wenn man eine Wurzel als Exponenten schreibt? - Hilft es dir, Zahlen wie 8 zuerst als Potenz einer kleineren Zahl zu schreiben?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der inneren Wurzel in eine Potenz: \(\sqrt{x \cdot x^{1/2}}\). Zusammenfassen der Basis \(x\) durch Addition der Exponenten: \(\sqrt{x^{3/2}}\). Anwendung der Wurzelregel \((x^m)^n\): \((x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/4}}\). Addition der Exponenten in der Klammer: \(2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((a^{9/4})^{1/3} = a^{9/12} = a^{3/4}\). 3. Teilaufgabe c): Darstellung aller Faktoren zur Basis 2: \(\sqrt{2^3 \cdot 2^{1/3}}\). Addition der Exponenten: \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Anwendung der Quadratwurzel: \((2^{10/3})^{1/2} = 2^{5/3}\).

Antwort

a) \(x^{3/4}\) b) \(a^{3/4}\) c) \(2^{5/3}\)
4249919
Vereinfache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich: a) \((\sqrt{7})^{-2}\) b) \((\sqrt[3]{a^6})^{\frac{1}{2}}\) für \(a \geq 0\) c) \((\sqrt[3]{\frac{1}{64}})^{-2}\)

Denkanstöße

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten umschreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf einen Bruch aus? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der Klammer zuerst vereinfachen, bevor du den äußeren Exponenten anwendest?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \((7^{\frac{1}{2}})^{-2}\). Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(7^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = 7^{-1}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{7}\). 2. Teilaufgabe b): Vereinfachung des inneren Terms ergibt \(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\). Die äußere Potenz liefert \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst wird die Kubikwurzel berechnet: \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\), da \((\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\). Anwendung des negativen Exponenten ergibt \((\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 16\).

Antwort

a) \(\frac{1}{7}\) b) \(a\) c) \(16\)
4249999
Vereinfache die folgenden Terme und schreibe das Ergebnis als eine einzige Potenz mit einem rationalen Exponenten. In a) gilt \(x \ne 0\), in b) \(a>0\): a) \(\frac{x^3}{\sqrt[5]{x^2}}\) b) \(\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{a}\)

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst? - Denke daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(a\)) immer den Exponenten 1 hat.

Lösung

1. Teilaufgabe a): \(\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}\). Daher gilt \(x^3 : x^{\frac{2}{5}} = x^{3-\frac{2}{5}} = x^{\frac{15}{5}-\frac{2}{5}} = x^{\frac{13}{5}}\). 2. Teilaufgabe b): \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-1} = a^{-\frac{1}{6}}\).

Antwort

a) \(x^{\frac{13}{5}}\) b) \(a^{-\frac{1}{6}}\)
4100869
Der Term \(\sqrt[3]{a^4b^5} \cdot \sqrt[6]{a^4b^3}\) ergibt nach Vereinfachung: a) \(a^2b^2\) b) \(a^2b^2 \cdot \sqrt{b}\) c) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[3]{b}\) d) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[6]{b}\)

Denkanstöße

- Hilft es dir, die Wurzeln als Brüche im Hochzahl-Bereich (Exponenten) zu schreiben? - Wie verrechnet man Potenzen mit der gleichen Basis, wenn sie multipliziert werden? - Kannst du am Ende ganze Potenzen aus der Wurzel herausziehen?

Lösung

1. Umwandlung der Wurzeln in rationale Potenzen: \(a^{4/3}b^{5/3} \cdot a^{4/6}b^{3/6}\) 2. Multiplikation der Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^{4/3 + 2/3} = a^2\) und \(b^{10/6 + 3/6} = b^{13/6}\) 3. Vereinfachung des b-Exponenten und Rückumwandlung in Wurzelform: \(b^{13/6} = b^{12/6} \cdot b^{1/6} = b^2 \sqrt[6]{b}\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(a^2 b^2 \sqrt[6]{b}\)

Antwort

d) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[6]{b}\)
4101609
Zeige allgemein, dass für eine positive Zahl \(a\) die Beziehung \(\sqrt{a^{4m}} = a^{2m}\) gilt. Wende diese Regel an, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen bzw. zu berechnen: a) \(\sqrt{3^4}\) b) \(\sqrt{2^{12}}\) c) \(\sqrt{x^{16}}\) (für \(x > 0\))

Lösung

1. Begründung: \(\sqrt{a^{4m}} = (a^{4m})^{1/2}\). Durch Multiplikation der Exponenten erhält man \(a^{4m \cdot \frac{1}{2}} = a^{2m}\). 2. Zu a): Hier ist die Basis \(a=3\) und der Exponent \(4m = 4\), also \(m=1\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 3^{2 \cdot 1} = 3^2 = 9\). 3. Zu b): Hier ist die Basis \(a=2\) und der Exponent \(4m = 12\), also \(m=3\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64\). 4. Zu c): Hier ist die Basis \(x\) und der Exponent \(4m = 16\), also \(m=4\). Das Ergebnis ist \(x^{2 \cdot 4} = x^8\).

Antwort

Allgemein: \(\sqrt{a^{4m}} = a^{2m}\). a) \(\sqrt{3^4} = 9\) b) \(\sqrt{2^{12}} = 64\) c) \(\sqrt{x^{16}} = x^8\)
4101649
Wenden Sie die binomischen Formeln oder das Distributivgesetz an, um die folgenden Terme zu vereinfachen (\(a, b, x > 0\)). a) \((\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2\) b) \((\sqrt[4]{x} + 2) \cdot (\sqrt[4]{x} - 2)\) c) \(\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x^{-1}})\) d) \((\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2\)

Lösung

1. Zu a): Anwendung der 2. binomischen Formel \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): \((\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b} + (3\sqrt{b})^2 = a - 6\sqrt{ab} + 9b\). 2. Zu b): Anwendung der 3. binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\): \((\sqrt[4]{x})^2 - 2^2 = x^{\frac{2}{4}} - 4 = x^{\frac{1}{2}} - 4 = \sqrt{x} - 4\). 3. Zu c): Anwendung des Distributivgesetzes: \(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^{-1}} = \sqrt[3]{x^3} - \sqrt[3]{x^0} = x - 1\). 4. Zu d): Anwendung der 1. binomischen Formel: \((\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}\).

Antwort

a) \(a - 6\sqrt{ab} + 9b\) b) \(\sqrt{x} - 4\) c) \(x - 1\) d) \(x + 2 + \frac{1}{x}\)
4101659
Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. Gehen Sie davon aus, dass alle Variablen positiv sind (\(a, b, x, y > 0\)). a) \(\sqrt[4]{x^5} \cdot \sqrt[4]{x^3}\) b) \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2}\) c) \(\frac{\sqrt[5]{b^4}}{\sqrt[5]{b^{-1}}}\) d) \((y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4}})^2\) e) \(\sqrt{x \cdot \sqrt{x}}\)

Lösung

1. Zu a): Anwendung der Produktregel für Wurzeln: \(\sqrt[4]{x^5 \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^8} = x^{\frac{8}{4}} = x^2\). 2. Zu b): Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\). Dies entspricht \(\sqrt[6]{a^7}\). 3. Zu c): Anwendung der Quotientenregel für Wurzeln: \(\sqrt[5]{\frac{b^4}{b^{-1}}} = \sqrt[5]{b^4 \cdot b^1} = \sqrt[5]{b^5} = b\). 4. Zu d): Zusammenfassen der Potenzen in der Klammer: \((y^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}})^2 = (y^1)^2 = y^2\). 5. Zu e): Schrittweise Auflösung der Wurzeln: \(\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}\). Dies entspricht \(\sqrt[4]{x^3}\).

Antwort

a) \(x^2\) b) \(a^{\frac{7}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{a^7}\) c) \(b\) d) \(y^2\) e) \(x^{\frac{3}{4}}\) oder \(\sqrt[4]{x^3}\)
4130559
Wende die Potenzgesetze an, um die Terme so weit wie möglich zu vereinfachen (\(a, b, x \neq 0\)): a) \(\frac{a^4 \cdot b^{-2}}{a^{-1} \cdot b^3}\) b) \((0{,}2x^2)^3 \cdot 125x^{-6}\) c) \(\frac{x^{n+3}}{x^{n-1}}\)

Denkanstöße

- Gehe bei Aufgaben mit mehreren Variablen schrittweise vor und betrachte jede Basis einzeln. - Achte bei der Subtraktion von negativen Exponenten im Nenner besonders auf die Vorzeichenregeln. - Bei Variablen im Exponenten kannst du genauso rechnen wie mit Zahlen. - Rechne Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, um die Multiplikation zu vereinfachen.

Lösung

1. Getrennte Betrachtung der Basen bei a): \(a^{4 - (-1)} = a^5\) und \(b^{-2 - 3} = b^{-5}\). Ergebnis: \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\). 2. Potenzieren des Produkts bei b): \((0{,}2)^3 \cdot (x^2)^3 = 0{,}008x^6\). Multiplikation mit \(125x^{-6}\) ergibt \((0{,}008 \cdot 125) \cdot x^{6-6} = 1 \cdot x^0 = 1\). 3. Subtraktion der Exponenten bei c): \((n+3) - (n-1) = n + 3 - n + 1 = 4\). Ergebnis: \(x^4\).

Antwort

a) \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\) b) \(1\) c) \(x^4\)
4130569
Welche der folgenden Terme sind für \(x \neq 0\) zum Term \(16x^8\) äquivalent? Begründe deine Auswahl durch Vereinfachung der Terme. A: \((2x^2)^4\) B: \(8x^4 + 8x^4\) C: \(32x^9 : (2x)\) D: \((4x^4)^2\) E: \(2 \cdot (2x^2)^3\)

Denkanstöße

- Vereinfache jeden Term einzeln, bis er in der Form \(a \cdot x^n\) vorliegt. - Unterscheide genau zwischen der Addition von Termen und der Multiplikation von Potenzen. - Beachte, dass eine Potenz außerhalb der Klammer für jeden Faktor in der Klammer gilt.

Lösung

1. Überprüfung von A: \((2x^2)^4 = 2^4 \cdot (x^2)^4 = 16x^8\). (Äquivalent) 2. Überprüfung von B: \(8x^4 + 8x^4 = 16x^4\). (Nicht äquivalent, da Exponenten bei der Addition gleich bleiben) 3. Überprüfung von C: \(32x^9 : (2x) = (32:2) \cdot x^{9-1} = 16x^8\). (Äquivalent) 4. Überprüfung von D: \((4x^4)^2 = 4^2 \cdot (x^4)^2 = 16x^8\). (Äquivalent) 5. Überprüfung von E: \(2 \cdot (2x^2)^3 = 2 \cdot 8x^6 = 16x^6\). (Nicht äquivalent)

Antwort

Die Terme A, C und D sind äquivalent zu \(16x^8\).
4139239
Vereinfache den Term für \(x \neq 0\) unter Anwendung der Potenzgesetze und des Distributivgesetzes: \(\frac{(2x^3)^2}{x^4} - 3x(x - 2)\)

Denkanstöße

- Welches Gesetz hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Wie gehst du vor, wenn Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden? - Achte beim Ausmultiplizieren der hinteren Klammer genau auf die Vorzeichen, insbesondere beim Multiplizieren von \(-3x\) mit \(-2\).

Lösung

1. Vereinfachen des Bruchs: Zuerst wird die Potenz in der Klammer berechnet: \((2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Division: \(\frac{4x^6}{x^4} = 4x^{6-4} = 4x^2\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Termteils: \(-3x \cdot (x - 2) = -3x^2 + 6x\). 4. Zusammenführen und Vereinfachen der Teilergebnisse: \(4x^2 - 3x^2 + 6x = x^2 + 6x\).

Antwort

\(x^2 + 6x\)
4139289
Wende die Potenzgesetze an, um die folgenden Aufgaben zu lösen. Gehe in Teilaufgabe b von \(x \neq 0\) aus: a) Berechne die Werte von \(2^{-3}\) und \(-2^3\) und vergleiche sie. b) Vereinfache den Term \(\frac{(x^2)^3}{x^4 \cdot x^{-1}}\). c) Berechne den Wert von \(\frac{15^3}{5^3}\) mithilfe der Potenzgesetze für Quotienten. d) Bestimme den Wert von \(x\) in der Gleichung \(2^x = \frac{1}{32}\).

Denkanstöße

- Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ ist. Was bewirkt er stattdessen? - Kannst du die Zahl \(32\) als eine Potenz von \(2\) schreiben? - Gibt es ein Gesetz, das dir erlaubt, die Division zweier Potenzen mit demselben Exponenten zu vereinfachen, bevor du die dritte Potenz berechnest?

Lösung

1. Berechnung der Werte: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). Der Wert \(-2^3\) ergibt \(-(2 \cdot 2 \cdot 2) = -8\). Vergleich: Der negative Exponent führt zu einem positiven Kehrwert, während das Vorzeichen vor der Basis ein negatives Ergebnis bewirkt. Da \(0{,}125 > -8\), gilt \(2^{-3} > -2^3\). 2. Vereinfachung des Zählers: \((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\). Vereinfachung des Nenners: \(x^4 \cdot x^{-1} = x^{4-1} = x^3\). Division: \(x^6 : x^3 = x^{6-3} = x^3\). 3. Anwendung des Gesetzes für gleiche Exponenten: \(\frac{15^3}{5^3} = \left(\frac{15}{5}\right)^3 = 3^3 = 27\). 4. Umformung der rechten Seite: \(\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(x = -5\).

Antwort

a) \(2^{-3} = 0{,}125 > -8 = -2^3\) b) \(x^3\) c) \(27\) d) \(x = -5\)
4149009
Untersuche, welche der folgenden Terme für \(a > 0\) äquivalent zum Ausdruck \(a^2\) sind. Begründe deine Entscheidung durch schrittweise Umformung. 1. \(\sqrt[3]{a^6}\) 2. \(\sqrt{a} \cdot a^{1{,}5}\) 3. \((a^4)^{\frac{1}{4}}\) 4. \(\frac{a^3}{\sqrt{a^2}}\)

Denkanstöße

- Schreibe alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Beachte die Bedingung \(a > 0\), die Vereinfachungen wie \(\sqrt{a^2} = a\) ermöglicht.

Lösung

1. Term 1: \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Term 2: \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\). Multiplikation: \(a^{0{,}5} \cdot a^{1{,}5} = a^{0{,}5 + 1{,}5} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Term 3: Nach dem Potenzgesetz \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) gilt \((a^4)^{1/4} = a^{4 \cdot 1/4} = a^1 = a\). Dieser Term ist nicht äquivalent. 4. Term 4: Da \(a > 0\), ist \(\sqrt{a^2} = a\). Die Division ergibt \(\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. Zusammenfassend sind die Terme 1, 2 und 4 äquivalent zu \(a^2\).

Antwort

Die Terme 1, 2 und 4 sind äquivalent zu \(a^2\). Term 3 hingegen entspricht \(a\).
4149249
Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze. Gib das Ergebnis, wenn möglich, ohne Wurzelzeichen oder als eine einzige Potenz an. In Teilaufgabe a gilt \(x \geq 0\), in Teilaufgabe b \(y \neq 0\): a) \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}\) b) \(\frac{\sqrt[3]{y^5}}{\sqrt[3]{y^2}}\) c) \(\sqrt[4]{81^3} : 3^2\)

Denkanstöße

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert oder dividiert werden? - Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben. - Gibt es eine Basis, die sowohl für die Zahl unter der Wurzel als auch für den Divisor passt?

Lösung

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addition der Exponenten \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x^1 = x\). 2. Division von Wurzeln mit gleichem Index: Zusammenfassung unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{\frac{y^5}{y^2}} = \sqrt[3]{y^3} = y\). 3. Umrechnung in Potenzen: \(\sqrt[4]{(3^4)^3} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27\). Division durch \(3^2 = 9\) ergibt \(27 : 9 = 3\).

Antwort

a) \(x\) b) \(y\) c) \(3\)
4149399
Fasse die Terme zusammen und stelle das Ergebnis ohne negative Exponenten dar. Gehe von \(a, b, x, y \neq 0\) aus. a) \(\frac{15a^4 \cdot a^{-7}}{3a^{-2}}\) b) \((2b^{-2})^3 \cdot (b^2)^2\) c) \(\left(\frac{x}{y^2}\right)^{-2} \cdot x^{-1}\)

Denkanstöße

- Welchen Einfluss hat ein negativer Exponent auf einen Bruch in der Klammer? - Denke daran, dass sich ein Exponent außerhalb der Klammer auf alle Faktoren im Inneren bezieht. - In welcher Reihenfolge solltest du vorgehen: erst die Klammern auflösen oder erst innerhalb der Klammern kürzen?

Lösung

1. Division der Koeffizienten und Verrechnung der Exponenten der Basis \(a\): \(5 \cdot a^{4-7-(-2)} = 5 \cdot a^{-1} = \frac{5}{a}\) 2. Potenzieren der Klammern und Multiplikation: \(8b^{-6} \cdot b^4 = 8b^{-6+4} = 8b^{-2} = \frac{8}{b^2}\) 3. Kehrbruch bilden und Quadrieren, dann Multiplikation: \(\frac{y^4}{x^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{y^4}{x^{2+1}} = \frac{y^4}{x^3}\)

Antwort

a) \(\frac{5}{a}\) b) \(\frac{8}{b^2}\) c) \(\frac{y^4}{x^3}\)
4149429
Ordne die folgenden vier Werte der Größe nach. Beginne mit dem kleinsten Wert und begründe deine Anordnung durch Umformung der Terme. \(A = 16^{0{,}25}\) \(B = \left(\frac{1}{9}\right)^{-0{,}5}\) \(C = \sqrt[3]{27^2}\) \(D = 25^{-0{,}5}\)

Denkanstöße

- Berechne für jeden Term den exakten Zahlenwert, um sie vergleichen zu können. - Wandle alle Potenzen mit rationalen Exponenten in die entsprechende Wurzelschreibweise um. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten und wie es die Basis beeinflusst.

Lösung

1. Berechnung von \(A\): \(16^{0{,}25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-0{,}5} = 9^{0{,}5} = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Berechnung von \(D\): \(25^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\). Daraus folgt die Reihenfolge \(D < A < B < C\).

Antwort

Die aufsteigende Reihenfolge ist: \(D < A < B < C\) (entspricht \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\)).
4149459
Zwei Schüler diskutieren über den Wert des Terms \(\sqrt[6]{64}\). Lukas behauptet: „Das ist exakt das Gleiche wie \(\sqrt[3]{8}\).“ Marie sagt: „Man kann das Ergebnis auch einfach als \(2^1\) schreiben.“ Überprüfe beide Aussagen, indem du alle Terme in die Form \(2^n\) bringst. Wer hat recht?

Denkanstöße

- Versuche, die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen zur Basis 2 zu schreiben. - Wie hängen die Wurzelexponenten mit den Exponenten in der Potenzschreibweise zusammen? - Rechne die Werte der Ausdrücke Schritt für Schritt aus.

Lösung

1. Term von Lukas umformen: \(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Ursprünglichen Term umformen: \(\sqrt[6]{64} = 64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 3. Vergleich: Da beide Terme den Wert \(2^1\) bzw. \(2\) ergeben, haben sowohl Lukas als auch Marie recht.

Antwort

Beide haben recht. Es gilt \(\sqrt[6]{64} = 2\), \(\sqrt[3]{8} = 2\) und \(2^1 = 2\).
4149489
Überprüfe, ob die folgenden Aussagen für \(x > 0\) wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung, indem du beide Seiten der Gleichung in Potenzen mit rationalen Exponenten umformst und vergleichst. a) \(\sqrt[6]{x^9} = \sqrt{x^3}\) b) \(\sqrt[4]{x^2} = \sqrt[8]{x^6}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[6]{x^{-2}}\)

Denkanstöße

- Wandle alle Wurzeln in eine einheitliche Schreibweise mit Exponenten um. - Wenn die Basis gleich ist, worauf musst du dann schauen, um die Gleichheit zu prüfen? - Erinnere dich an die Bedeutung von negativen Exponenten.

Lösung

1. Umformung beider Seiten in Potenzen: a) Linke Seite: \(\sqrt[6]{x^9} = x^{\frac{9}{6}} = x^{\frac{3}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr. b) Linke Seite: \(\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(\frac{1}{2} \neq \frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch. c) Linke Seite: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[6]{x^{-2}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr.

Antwort

a) Wahr b) Falsch c) Wahr
4149549
Ordne die folgenden Terme der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten Wert. Begründe deine Anordnung, indem du alle Terme in die Form \(2^n\) bringst. \(T_1 = \sqrt[4]{4}\) \(T_2 = 0{,}5^{-1}\) \(T_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\) \(T_4 = 4^{\frac{1}{3}}\)

Denkanstöße

- Welche Zahl bietet sich hier als gemeinsame Basis an? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl wie 0,5 als Potenz? - Wenn die Basis größer als 1 ist, wie hängen dann die Größe der Potenz und der Exponent zusammen? - Kannst du eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten umwandeln?

Lösung

1. Umformung von \(T_1\): \(\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{0{,}5}\). 2. Umformung von \(T_2\): \(0{,}5^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1\). 3. Umformung von \(T_3\): \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0{,}5}} = 2^{-0{,}5}\). 4. Umformung von \(T_4\): \(4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 2^{0{,}67}\). 5. Vergleich der Exponenten bei gleicher Basis 2: \(-0{,}5 < 0{,}5 < \frac{2}{3} < 1\). 6. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\).

Antwort

Die richtige Reihenfolge ist: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\). In der Form \(2^n\) lauten die Terme: \(T_3 = 2^{-0{,}5}\), \(T_1 = 2^{0{,}5}\), \(T_4 = 2^{\frac{2}{3}}\), \(T_2 = 2^1\).
4149639
Fasse die folgenden Ausdrücke mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich zusammen. Gehe davon aus, dass alle Variablen positiv sind. a) \((z^{\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{2}}\) b) \(\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[6]{x^5}}\) c) \((27 a^6)^{\frac{1}{3}}\)

Denkanstöße

- Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise um, um sie besser verrechnen zu können. - Überlege, welche Zahl hoch drei \(27\) ergibt. - Was ist der Wert einer Potenz, wenn der Exponent null ergibt?

Lösung

1. Anwendung des Gesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(z^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = z^{-1} = \frac{1}{z}\) 2. Umwandlung aller Wurzeln in Potenzen mit der Basis \(x\): \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{5}{6}}\). Addition der Exponenten mit Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = 0\). Ergebnis: \(x^0 = 1\) 3. Potenzieren der einzelnen Faktoren in der Klammer: \(27^{\frac{1}{3}} \cdot (a^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 3a^2\)

Antwort

a) \(z^{-1}\) oder \(\frac{1}{z}\) b) \(1\) c) \(3a^2\)
4149789
Fasse den Term für \(a > 0\) zu einer einzigen Potenz zusammen: \(\sqrt[3]{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}\)

Denkanstöße

- Beginne damit, den Ausdruck von innen nach außen zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(a\) dasselbe ist wie \(a^1\). - Wie verrechnet man eine Potenz, die nochmals potenziert wird?

Lösung

1. Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\). 2. Vereinfachung des Terms unter der äußeren Wurzel: \(a \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{1 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}\). 3. Anwendung der äußeren Wurzel auf das Zwischenergebnis: \(\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}} = (a^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen (Multiplikation der Exponenten): \(\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}\). 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{9}}\).

Antwort

\(a^{\frac{5}{9}}\)
4149939
Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen. Begründe deine Entscheidung jeweils durch eine allgemeine Überlegung oder ein passendes Gegenbeispiel. a) „Wird bei einer Potenz mit positiver Basis \(a\) der Exponent \(n\) verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Wert der Potenz.“ b) „Wenn man eine positive Zahl \(a\) mit einem Exponenten \(x\) potenziert, der zwischen 0 und 1 liegt (\(0 < x < 1\)), dann ist das Ergebnis \(a^x\) stets kleiner als die Basis \(a\).“

Denkanstöße

- Probiere einfache Zahlenbeispiele aus, um ein Gefühl für die Aussagen zu bekommen. - Was passiert, wenn die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist? - Überlege dir, wie sich das Wachstum einer Potenzfunktion von einem linearen Wachstum unterscheidet. - Denke an die Bedeutung von Exponenten wie \(0{,}5\).

Lösung

1. Analyse zu a): Die Aussage behauptet \(a^{2n} = 2 \cdot a^n\). Dies ist im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 3\) und \(n = 1\). Dann ist \(3^1 = 3\). Verdoppelt man den Exponenten auf \(n = 2\), erhält man \(3^2 = 9\). Da \(9 \neq 2 \cdot 3 = 6\), ist die Aussage widerlegt. 2. Analyse zu b): Die Aussage behauptet \(a^x < a\) für \(0 < x < 1\). Dies ist nur für Basen \(a > 1\) wahr. Für Basen zwischen 0 und 1 ist die Aussage falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 0{,}25\) und \(x = 0{,}5\). Es gilt \(0{,}25^{0{,}5} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\), ist das Ergebnis größer als die Basis, womit die Aussage widerlegt ist.

Antwort

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(3^1 = 3\), aber \(3^{2 \cdot 1} = 9\). Der Wert hat sich verdreifacht, nicht verdoppelt. b) Falsch. Dies gilt nur für \(a > 1\). Gegenbeispiel: \(0{,}25^{0{,}5} = 0{,}5\). Hier ist das Ergebnis \(0{,}5\) größer als die Basis \(0{,}25\).
4152879
Vereinfache die folgenden Ausdrücke unter Verwendung der Potenzgesetze für negative und rationale Exponenten. Es gilt \(x \neq 0\), \(z > 0\) und \(b \neq 0\): a) \(x^{-3}(x^5 - 2x^3 + 4x^2)\) b) \(z^{\frac{1}{2}}(z^{\frac{3}{2}} - 5z^{-\frac{1}{2}})\) c) \(2a^2b^{-2}(ab^2 - 3b^3)\)

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass \(x^0 = 1\) gilt (für \(x \neq 0\)). - Wie addiert man Brüche im Exponenten? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Variablen im Bruch?

Lösung

1. Anwendung des Distributivgesetzes und Addition der Exponenten bei gleicher Basis. 2. Teilaufgabe a): \(x^{-3} \cdot x^5 - x^{-3} \cdot 2x^3 + x^{-3} \cdot 4x^2 = x^2 - 2x^0 + 4x^{-1} = x^2 - 2 + 4x^{-1}\). 3. Teilaufgabe b): \(z^{\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{3}{2}} - z^{\frac{1}{2}} \cdot 5z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{4}{2}} - 5z^0 = z^2 - 5\). 4. Teilaufgabe c): \(2a^2b^{-2} \cdot ab^2 - 2a^2b^{-2} \cdot 3b^3 = 2a^3b^0 - 6a^2b^1 = 2a^3 - 6a^2b\).

Antwort

a) \(x^2 - 2 + 4x^{-1}\) (oder \(x^2 - 2 + \frac{4}{x}\)) b) \(z^2 - 5\) c) \(2a^3 - 6a^2b\)
4154139
Stelle die folgenden Ausdrücke in der jeweils geforderten Form dar. Alle Variablen sind positiv. a) Schreibe \(x^{1{,}25}\) als Wurzelausdruck mit ganzzahligem Exponenten im Radikanden und ganzzahligem Wurzelexponenten. b) Vereinfache \(\sqrt[3]{a^2} \cdot a^{1/3}\). c) Berechne den Wert von \(16^{-0{,}25}\) ohne Taschenrechner. d) Vereinfache \(\frac{\sqrt{z^3}}{\sqrt[4]{z^2}}\).

Denkanstöße

- Wie lassen sich Dezimalzahlen im Exponenten als Brüche schreiben? - Welche Regeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Könnte es helfen, alle Wurzeln einheitlich als Potenzen mit rationalen Exponenten darzustellen?

Lösung

1. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen echten Bruch: \(1{,}25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\). Somit gilt \(x^{1{,}25} = x^{5/4} = \sqrt[4]{x^5}\). 2. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(a^{2/3} \cdot a^{1/3}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(a^{2/3 + 1/3} = a^1 = a\). 3. Umwandlung des Exponenten: \(-0{,}25 = -\frac{1}{4}\). Berechnung: \(16^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Umwandlung beider Terme in Potenzen: \(\frac{z^{3/2}}{z^{2/4}} = \frac{z^{1{,}5}}{z^{0{,}5}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(z^{1{,}5 - 0{,}5} = z^1 = z\).

Antwort

a) \(\sqrt[4]{x^5}\) b) \(a\) c) \(0{,}5\) d) \(z\)
4154259
Fasse die folgenden Ausdrücke mithilfe der Potenzgesetze zusammen. Gehe von \(a, b, x \neq 0\) und \(n \in \mathbb{Z}\) aus: a) \(\frac{a^{2n+1} \cdot a^{n-2}}{a^{3n-1}}\) b) \((2b^3)^{-2} \cdot 4b^6\) c) \(\frac{(-x)^4 \cdot x^{-2}}{x^5}\)

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn im Exponenten Variablen wie \(n\) stehen? - Gibt es eine Regel für das Potenzieren von Produkten innerhalb einer Klammer? - Welchen Einfluss hat ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis? - Was ist das Ergebnis, wenn der gesamte Exponent nach der Verrechnung null ergibt?

Lösung

1. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \((2n+1) + (n-2) = 3n-1\). Division durch Subtraktion der Exponenten: \((3n-1) - (3n-1) = 0\). Da \(a^0 = 1\) (für \(a \neq 0\)), ist das Ergebnis \(1\). 2. Potenzieren des Produkts in der Klammer: \(2^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = \frac{1}{4} \cdot b^{-6}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot b^{-6} \cdot b^6 = 1 \cdot b^0 = 1\). 3. Bestimmung des Vorzeichens: \((-x)^4 = x^4\), da der Exponent gerade ist. Zusammenfassen des Zählers: \(x^{4 + (-2)} = x^2\). Division durch Subtraktion: \(x^{2-5} = x^{-3}\). Darstellung ohne negativen Exponenten: \(\frac{1}{x^3}\).

Antwort

a) \(1\) b) \(1\) c) \(\frac{1}{x^3}\)
4155339
Wende die Potenzgesetze an, um die folgenden Terme so weit wie möglich zu vereinfachen. Das Endergebnis soll keine negativen Exponenten mehr enthalten. In a) gilt \(x \neq 0\), in b) \(a, b \neq 0\). a) \(\frac{x^8 \cdot x^{-5}}{x^2}\) b) \(\frac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-4}}\) c) \((4 \cdot 10^5) \cdot (0{,}25 \cdot 10^{-8})\)

Denkanstöße

- Fasse Potenzen mit der gleichen Basis zusammen, indem du die Exponenten addierst oder subtrahierst. - Potenzen in Klammern werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Bei Teilaufgabe c) hilft es, die Zahlen und die Zehnerpotenzen getrennt voneinander zu betrachten.

Lösung

1. Vereinfachung von Ausdruck a): Anwendung der Regel \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) im Zähler ergibt \(x^{8+(-5)} = x^3\). Division durch \(x^2\) ergibt \(x^{3-2} = x^1 = x\). 2. Vereinfachung von Ausdruck b): Zuerst die Klammer auflösen mit \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^3)^2 \cdot (b^{-2})^2 = a^6 \cdot b^{-4}\). Der gesamte Bruch lautet \(\frac{a^6 \cdot b^{-4}}{a^4 \cdot b^{-4}}\). Kürzen von \(b^{-4}\) (bzw. \(b^{-4-(-4)} = b^0 = 1\)) ergibt \(\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2\). 3. Berechnung von Ausdruck c): Sortieren der Faktoren: \((4 \cdot 0{,}25) \cdot (10^5 \cdot 10^{-8})\). Es ergibt sich \(1 \cdot 10^{5-8} = 10^{-3}\). Ohne negativen Exponenten geschrieben ist dies \(\frac{1}{10^3}\) oder \(\frac{1}{1\,000}\).

Antwort

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(\frac{1}{1\,000}\) (oder \(0{,}001\))
4155879
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gib das Endergebnis als Potenz mit einem rationalen Exponenten (als Dezimalzahl oder Bruch) an. Gehe davon aus, dass alle Variablen positiv sind. a) \(\sqrt{x} \cdot x^2\) b) \(\frac{\sqrt[3]{y^2}}{y}\) c) \(\left(a^{0{,}5} \cdot a^{\frac{1}{4}}\right)^2\) d) \(\frac{z^{1{,}5}}{\sqrt{z^3}}\)

Denkanstöße

- Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise mit Brüchen um. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzel in eine Potenz \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\). Anwendung des Gesetzes \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\): \(x^{0{,}5} \cdot x^2 = x^{2{,}5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung \(\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{y^m}{y^n} = y^{m-n}\): \(y^{\frac{2}{3}} : y^1 = y^{\frac{2}{3} - 1} = y^{-\frac{1}{3}}\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen in der Klammer \(a^{0{,}5} \cdot a^{0{,}25} = a^{0{,}75}\). Potenzieren einer Potenz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^{0{,}75})^2 = a^{1{,}5}\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung des Nenners \(\sqrt{z^3} = (z^3)^{0{,}5} = z^{1{,}5}\). Der Bruch ergibt \(\frac{z^{1{,}5}}{z^{1{,}5}} = 1\), was als Potenz \(z^0\) geschrieben werden kann.

Antwort

a) \(x^{2{,}5}\) b) \(y^{-\frac{1}{3}}\) c) \(a^{1{,}5}\) d) \(z^0\) oder \(1\)
4245469
Gegeben sind die Ausdrücke \(A = [(-2)^2]^3\) und \(B = [(-2)^3]^2\). a) Berechne die Werte von \(A\) und \(B\) schrittweise von innen nach außen. b) Zeige durch Anwendung der Potenzgesetze, dass beide Ausdrücke als dieselbe Potenz zur Basis \(-2\) geschrieben werden können und begründe damit ihre Gleichheit.

Denkanstöße

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst. - Welche Regel gilt für das Potenzieren von Potenzen bezüglich der Exponenten? - Spielt die Reihenfolge der Exponenten beim Gesetz \((a^m)^n\) eine Rolle für das Endergebnis?

Lösung

1. Berechnung von \(A\): Innere Potenz \((-2)^2 = 4\), dann \(4^3 = 64\). 2. Berechnung von \(B\): Innere Potenz \((-2)^3 = -8\), dann \((-8)^2 = 64\). 3. Anwendung der Potenzgesetze: Das Gesetz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) auf beide Terme anwenden. 4. Umformung von \(A\): \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\). 5. Umformung von \(B\): \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). 6. Vergleich: Da beide Terme den identischen Ausdruck \((-2)^6\) ergeben, müssen ihre Werte gleich sein.

Antwort

a) \(A = 64\); \(B = 64\) b) \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\) und \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). Da beide Ausdrücke zu \((-2)^6\) vereinfacht werden können, sind sie gleich.
4245519
Vereinfache den folgenden Term mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich. Stelle das Ergebnis so dar, dass keine negativen Exponenten mehr vorkommen. Es gelten \(x,y,z \ne 0\). \[ \frac{(x^2 y^{-3})^2 \cdot (x^4 z^2)^3}{(x^2 y z)^4} \cdot \frac{y^2}{z^{-1}} \]

Denkanstöße

- Wende zuerst die Potenzgesetze für das Potenzieren von Produkten und Potenzen an, um die Klammern aufzulösen. - Fasse anschließend gleiche Basen im Zähler und Nenner zusammen. - Denke daran, dass \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) gilt. - Beachte beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis, dass die Exponenten subtrahiert werden.

Lösung

1. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner des ersten Bruchs: \((x^2 y^{-3})^2 = x^4 y^{-6}\), \((x^4 z^2)^3 = x^{12} z^6\) und \((x^2 y z)^4 = x^8 y^4 z^4\). 2. Zusammenfassen des Zählers im ersten Bruch: \(x^4 y^{-6} \cdot x^{12} z^6 = x^{16} y^{-6} z^6\). 3. Kürzen des ersten Bruchs: \(\frac{x^{16} y^{-6} z^6}{x^8 y^4 z^4} = x^{16-8} \cdot y^{-6-4} \cdot z^{6-4} = x^8 y^{-10} z^2\). 4. Umschreiben des zweiten Faktors: \(\frac{y^2}{z^{-1}} = y^2 z^1\). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \(x^8 y^{-10} z^2 \cdot y^2 z = x^8 \cdot y^{-10+2} \cdot z^{2+1} = x^8 y^{-8} z^3\). 6. Umwandlung in eine Form ohne negative Exponenten: \(\frac{x^8 z^3}{y^8}\).

Antwort

\(\frac{x^8 z^3}{y^8}\)
4245539
Vereinfache den folgenden Term für \(x,y,z \ne 0\) so weit wie möglich: \( \frac{(4x^3 y)^2 \cdot (3z^2)^3}{12x^4 \cdot (yz)^2} \)

Denkanstöße

- Kannst du die Klammern im Zähler und Nenner zuerst einzeln auflösen? - Welche Regel gilt, wenn du ein Produkt wie \( (ab)^n \) potenzierst? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst? - Überlege dir, wie du die Zahlenkoeffizienten und die Variablen getrennt voneinander behandeln kannst.

Lösung

1. Auflösen der Klammern im Zähler unter Anwendung der Potenzgesetze für Produkte und Potenzen: \( (4x^3 y)^2 = 16x^6 y^2 \) und \( (3z^2)^3 = 27z^6 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Variablen: \( 16 \cdot 27 \cdot x^6 \cdot y^2 \cdot z^6 = 432x^6 y^2 z^6 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (yz)^2 = y^2 z^2 \). Der gesamte Nenner lautet somit \( 12x^4 y^2 z^2 \). 4. Division des Zählers durch den Nenner: Kürzen der Koeffizienten \( \frac{432}{12} = 36 \) und Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis: \( x^{6-4} = x^2 \), \( y^{2-2} = y^0 = 1 \), \( z^{6-2} = z^4 \). 5. Zusammenführen zum Endergebnis: \( 36x^2 z^4 \).

Antwort

\( 36x^2 z^4 \)
4245559
Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich durch Anwendung der Potenzgesetze: \( [(-2x)^2]^3 - (-4x^3)^2 + [-(2x)^3]^2 - 2(-2x^2)^3 \)

Denkanstöße

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert wird. - Potenziere zuerst die Ausdrücke in den inneren Klammern. - Verwende die Regel \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). - Überprüfe am Ende, ob alle Summanden die gleiche Potenz von \( x \) enthalten, damit du sie addieren oder subtrahieren kannst.

Lösung

1. Berechnung des ersten Glieds: \( [(-2x)^2]^3 = [4x^2]^3 = 64x^6 \) 2. Berechnung des zweiten Glieds: \( (-4x^3)^2 = 16x^6 \) 3. Berechnung des dritten Glieds: \( [-(2x)^3]^2 = [-8x^3]^2 = 64x^6 \) 4. Berechnung des vierten Glieds: \( 2(-2x^2)^3 = 2(-8x^6) = -16x^6 \) 5. Zusammenfassen aller Glieder: \( 64x^6 - 16x^6 + 64x^6 - (-16x^6) = 48x^6 + 64x^6 + 16x^6 = 128x^6 \)

Antwort

\( 128x^6 \)
4245709
Bestimme den Wert der folgenden Ausdrücke. Achte dabei auf die Vorrangregeln der Mathematik: 1) \(\left[ 6 - 2 \cdot \left( \frac{17}{5} \right)^0 \right]^{-2}\) 2) \(\frac{5^{-1} \cdot 25^2}{0{,}2^{-2}}\)

Denkanstöße

- Welchen Wert hat eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Es hilft oft, alle Zahlen im Ausdruck auf dieselbe Basis (z. B. 5 oder 10) zu bringen. - Wie kannst du eine Division durch einen Bruch mit negativem Exponenten vereinfachen?

Lösung

1. Berechnung des Terms in der Klammer: Da jede Zahl ungleich Null hoch Null eins ergibt, gilt \(\left( \frac{17}{5} \right)^0 = 1\). Der Ausdruck in der Klammer wird zu \(6 - 2 \cdot 1 = 4\). Anwendung des negativen Exponenten: \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Darstellung aller Terme als Potenzen zur Basis 5: \(5^{-1}\) bleibt, \(25^2 = (5^2)^2 = 5^4\), und \(0{,}2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (5^{-1})^{-2} = 5^2\). Berechnung des Zählers: \(5^{-1} \cdot 5^4 = 5^3 = 125\). Division durch den Nenner: \(\frac{125}{5^2} = \frac{125}{25} = 5\).

Antwort

1) \(\frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) 2) \(5\)
4245749
Berechne den Wert des folgenden Terms und gib das Ergebnis als gekürzten Bruch oder Dezimalzahl an: \[\frac{2^3 \cdot 2^{-5} + 3^{-2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2 - (-2)^{-2}}\]

Denkanstöße

- Kannst du Potenzen mit der gleichen Basis im Zähler zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis potenziert wird. - Berechne zuerst den Zähler und den Nenner des Hauptbruchs separat. - Erinnerst du dich, wie man durch einen Bruch dividiert?

Lösung

1. Vereinfachung des Produkts im Zähler mithilfe des Potenzgesetzes für gleiche Basen: \(2^3 \cdot 2^{-5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\). 2. Berechnung der zweiten Potenz im Zähler: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 3. Addition im Zähler: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 4}{36} = \frac{13}{36}\). 4. Berechnung der Potenzen im Nenner: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) und \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}\). 5. Subtraktion im Nenner: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 9}{36} = -\frac{5}{36}\). 6. Division des Gesamtausdrucks: \(\frac{13}{36} : \left(-\frac{5}{36}\right) = \frac{13}{36} \cdot \left(-\frac{36}{5}\right) = -\frac{13}{5} = -2{,}6\).

Antwort

\(-\frac{13}{5}\) oder \(-2{,}6\)
4246189
Multipliziere den folgenden Term für \(y \ne 0\) aus, fasse ihn zusammen und ordne das Ergebnis nach fallenden Potenzen der Variablen \(y\): \((4y^{-2} - 2y^{-1} + 3) \cdot (y^2 + 2y)\)

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer drei Glieder und die andere zwei Glieder hat? - Welchen Wert hat \(y^0\)? - Achte darauf, Terme mit der gleichen Potenz von \(y\) am Ende zusammenzufassen. - „Nach fallenden Potenzen ordnen“ bedeutet, mit dem höchsten Exponenten zu beginnen.

Lösung

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes des Trinoms mit jedem Glied des Binoms: \(4y^{-2} \cdot y^2 + 4y^{-2} \cdot 2y - 2y^{-1} \cdot y^2 - 2y^{-1} \cdot 2y + 3 \cdot y^2 + 3 \cdot 2y\). 2. Berechnen der Produkte mithilfe der Potenzgesetze: \(4y^0 + 8y^{-1} - 2y^1 - 4y^0 + 3y^2 + 6y\). 3. Vereinfachen der konstanten Terme (\(4y^0 - 4y^0 = 4 - 4 = 0\)). 4. Zusammenfassen der linearen Terme (\(-2y + 6y = 4y\)). 5. Ordnen des Gesamtergebnisses nach absteigenden Exponenten: \(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\).

Antwort

\(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\)
4246209
Vereinfache die folgenden Ausdrücke unter Verwendung der Potenzgesetze. Dabei gelten \(a,x,y \ne 0\) und \(n \in \mathbb{Z}\). a) \(\frac{(-a)^3 \cdot a^{-5}}{a^{-2}}\) b) \(\left[ \left( -\frac{x}{y} \right)^{-n} \right]^2\) c) \(\frac{5^{2n+1}}{25^n}\)

Denkanstöße

- Kannst du unterschiedliche Basen wie 5 und 25 auf eine gemeinsame Basis zurückführen? - Was weißt du über das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einer geraden Zahl wie \(2n\) potenziert wird? - Fasse zuerst den Zähler zusammen, bevor du den gesamten Bruch vereinfachst.

Lösung

1. Da \(3\) eine ungerade Zahl ist, gilt \((-a)^3 = -a^3\). Der Zähler wird zu \(-a^3 \cdot a^{-5} = -a^{3-5} = -a^{-2}\). Division durch den Nenner ergibt \(\frac{-a^{-2}}{a^{-2}} = -1\). 2. Anwendung des Gesetzes für die Potenz einer Potenz: \(\left( -\frac{x}{y} \right)^{-2n}\). Da \(-2n\) für jedes \(n \in \mathbb{Z}\) gerade ist, verschwindet das Minuszeichen: \((\frac{x}{y})^{-2n}\). Durch Kehrwertbildung gilt \((\frac{x}{y})^{-2n} = (\frac{y}{x})^{2n} = \frac{y^{2n}}{x^{2n}}\). 3. Die Basis \(25\) im Nenner lässt sich als \(5^2\) schreiben: \(\frac{5^{2n+1}}{(5^2)^n} = \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}\). Durch Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis erhält man \(5^{(2n+1) - 2n} = 5^1 = 5\).

Antwort

a) \(-1\) b) \(\frac{y^{2n}}{x^{2n}}\) c) \(5\)
4246229
Gegeben sind für \(x,y \ne 0\) und \(x \ne y\) die beiden Terme \(A = (x^{-2} - y^{-2}) : (x^{-1} - y^{-1})\) und \(B = x^{-1} + y^{-1}\). Zeige rechnerisch durch Umformung von Term \(A\), dass \(A = B\) gilt.

Denkanstöße

- Gibt es eine bekannte Formel für Ausdrücke der Form \(a^2 - b^2\)? - Wie hängen \(x^{-2}\) und \(x^{-1}\) zusammen? - Alternativ könntest du versuchen, die Potenzen mit negativen Exponenten zuerst in Brüche umzuwandeln und dann die Division durchzuführen. - Kannst du im Zähler etwas ausklammern oder faktorisieren, um gegen den Nenner zu kürzen?

Lösung

1. Faktorisierung des Dividenden \(x^{-2} - y^{-2}\) mithilfe der dritten binomischen Formel: \((x^{-1})^2 - (y^{-1})^2 = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})\). 2. Einsetzen der faktorisierten Form in den Term \(A\): \(A = \frac{(x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1})}{x^{-1} - y^{-1}}\). 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^{-1} - y^{-1})\) führt direkt zum Ergebnis \(x^{-1} + y^{-1}\). 4. Alternativer Weg über Brüche: Umwandlung in \(\frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}\). Hauptnennerbildung im Zähler ergibt \(\frac{y^2-x^2}{x^2y^2}\), im Nenner \(\frac{y-x}{xy}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert und Kürzen von \((y-x)\) sowie \(xy\) ergibt \(\frac{y+x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).

Antwort

Durch Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Dividenden lässt sich der Term \(A\) zu \(x^{-1} + y^{-1}\) vereinfachen, was identisch mit Term \(B\) ist.
4246319
Vereinfache den folgenden Term für \(x,y \ne 0\) und \(x+y \ne 0\) so weit wie möglich: \(A = \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^{-1}} \cdot (xy)^{-1}\) Berechne anschließend seinen Wert für \(x = 2\) und \(y = 3\).

Denkanstöße

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du die Summen im Zähler zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Schau dir das Endergebnis an – lässt es sich kompakter schreiben, bevor du die Zahlen einsetzt?

Lösung

1. Umformung der Summe im Zähler: \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\) 2. Umformung des Nenners: \((x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y}\) 3. Vereinfachung des ersten Bruchs: \(\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{x+y}} = \frac{x+y}{xy} \cdot (x+y) = \frac{(x+y)^2}{xy}\) 4. Einbezug des letzten Faktors: \(\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{xy} = \frac{(x+y)^2}{x^2 y^2} = \left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\) 5. Einsetzen der Werte \(x=2\) und \(y=3\): \(\left(\frac{2+3}{2 \cdot 3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\)

Antwort

Der vereinfachte Term ist \(\frac{(x+y)^2}{x^2 y^2}\) (oder \((x^{-1} + y^{-1})^2\)). Der Wert für \(x=2, y=3\) ist \(\frac{25}{36}\).
4246539
Zeige für \(x,y \ne 0\) und \(x \ne \pm y\), dass der Term \( A = \left( \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} \right)^{-1} \cdot (x+y)^{-1} \) zu \( \frac{1}{xy} \) vereinfacht werden kann. Berechne anschließend den Wert des Terms für \( x = 2 \) und \( y = 5 \).

Denkanstöße

- Kannst du im Nenner des Bruchs eine binomische Formel erkennen? - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einer Zahl oder einem Bruch? - Wie lassen sich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren? - Versuche, den Term schrittweise von innen nach außen zu vereinfachen.

Lösung

1. Faktorisieren des Nenners im ersten Bruch mithilfe der dritten binomischen Formel: \( x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1}) \) 2. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Faktor \( (x^{-1} - y^{-1}) \), woraus \( \frac{1}{x^{-1} + y^{-1}} \) resultiert 3. Anwenden des negativen Exponenten auf den gekürzten Bruch (Bildung des Kehrwerts): \( ( (x^{-1} + y^{-1})^{-1} )^{-1} = x^{-1} + y^{-1} \) 4. Umschreiben der Potenzen mit negativen Exponenten und Zusammenfassen auf den Hauptnenner \( xy \): \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy} \) 5. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor \( (x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y} \): \( \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{x+y} = \frac{1}{xy} \) 6. Einsetzen der numerischen Werte \( x=2 \) und \( y=5 \): \( \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \)

Antwort

\( \frac{1}{xy} \); Wert: \( 0{,}1 \)
4249089
Prüfe die folgenden mathematischen Aussagen auf ihre Richtigkeit. Begründe deine Entscheidung, indem du die Terme mithilfe von Potenzgesetzen umformst. In b) gilt \(a \ge 0\). a) \(\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{x} = x\) b) \(\sqrt{\sqrt[3]{a}} = a^{\frac{1}{5}}\) c) \(16^{-\frac{1}{4}} = 0{,}5\)

Denkanstöße

- Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um bekannte Rechenregeln für Potenzen zu nutzen? - Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Wie rechnet man, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du den Wert einer Potenz mit rationalem Exponenten schrittweise berechnen (zuerst die Wurzel, dann der Exponent oder umgekehrt)?

Lösung

1. Aussage a): Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(x^p \cdot x^q = x^{p+q}\) führt zu \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b): Umwandlung der inneren Wurzel ergibt \(\sqrt{a^{\frac{1}{3}}}\). Umwandlung der äußeren Wurzel ergibt \((a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}\). Anwendung des Potenzgesetzes \((a^p)^q = a^{p \cdot q}\) führt zu \(a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}\). Da \(a^{\frac{1}{6}} \neq a^{\frac{1}{5}}\), ist die Aussage falsch. 3. Aussage c): Umwandlung ergibt \(\frac{1}{16^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}}\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Somit gilt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr.

Antwort

a) Wahr, da \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^1\). b) Falsch, da \((a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}\). c) Wahr, da \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
4249109
Gegeben ist der Term \(T = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}\) für \(x > 0\). a) Stelle den Term \(T\) als Potenz mit einem rationalen Exponenten dar. b) Berechne den Wert des Terms für \(x = 16\). c) Zeige rechnerisch unter Verwendung der Potenzgesetze, dass das Produkt \(T \cdot x\) mit dem Ausdruck \(\sqrt[4]{x}\) identisch ist.

Denkanstöße

- Erinnere dich, wie man Brüche mit Wurzeln im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Zahl hoch vier ergibt 16? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Denke daran, dass \(x\) auch als \(x^1\) geschrieben werden kann.

Lösung

1. Darstellung als Potenz: Der Ausdruck \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht \(x^{3/4}\). Da dieser im Nenner steht, gilt \(T = x^{-3/4}\). 2. Berechnung für \(x = 16\): Einsetzen ergibt \(16^{-3/4} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}\). Mit \(\sqrt[4]{16} = 2\) folgt \(\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Nachweis der Identität: Multiplikation \(x^{-3/4} \cdot x^1\). Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \(x^{-3/4 + 1} = x^{1/4}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{x}\).

Antwort

a) \(T = x^{-3/4}\) b) \(0{,}125\) c) \(x^{-3/4} \cdot x^1 = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}\)
4249149
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Stelle das Endergebnis ohne Wurzelzeichen dar. Gehe davon aus, dass alle Variablen positiv sind. 1. \( (3 \cdot \sqrt[3]{2})^3 \) 2. \( \frac{(\sqrt[6]{5})^{12}}{5} \) 3. \( (\sqrt[4]{4})^2 \) 4. \( \frac{(\sqrt[3]{y})^9}{y^2} \)

Denkanstöße

- Wenn ein Produkt in der Klammer steht, muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. - Nutze die Regel \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \), um Wurzeln und Potenzen zusammenzufassen. - Brüche im Exponenten lassen sich oft kürzen, bevor man das Endergebnis berechnet. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes für ein Produkt: \( 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54 \). 2. Verrechnung der Exponenten: \( \frac{5^{\frac{12}{6}}}{5} = \frac{5^2}{5} = 5^1 = 5 \). 3. Umformung in Potenzschreibweise: \( (4^{\frac{1}{4}})^2 = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \). 4. Vereinfachung des Zählers und Division: \( \frac{y^{\frac{9}{3}}}{y^2} = \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y \).

Antwort

1. \( 54 \) 2. \( 5 \) 3. \( 2 \) 4. \( y \)
4249199
Vereinfache den folgenden Term für \(x,y>0\) so weit wie möglich unter Verwendung von Potenzgesetzen. Gib das Endergebnis in einer Form an, die nur eine Wurzel und keine Brüche in den Exponenten enthält: \[ \frac{(x^2 \cdot y^3)^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[4]{x \cdot y^{-1}}} \]

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Teilen von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn er vom Nenner in den Zähler wandert? - Versuche, alle Terme auf die Form \(x^a \cdot y^b\) zu bringen.

Lösung

1. Umwandlung der Wurzel im Nenner in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \((x \cdot y^{-1})^{\frac{1}{4}}\) 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf Zähler und Nenner: \(\frac{x^{\frac{2}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{4}}}\) 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für die Basen \(x\) und \(y\): \(x^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4})}\) 4. Berechnung der Exponenten: \(x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{4}{4}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot y^1\) 5. Rückführung des rationalen Exponenten in die Wurzelschreibweise: \(y \cdot \sqrt[4]{x}\)

Antwort

\(y \cdot \sqrt[4]{x}\)
4249249
Vereinfache die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich. Nutze dabei das teilweise Wurzelziehen oder schreibe die Terme in der Form \( a \cdot \sqrt[n]{b} \). Gehe davon aus, dass alle Variablen positiv sind. a) \( (\sqrt[4]{a^3})^2 \) b) \( (-\sqrt[3]{b^2})^4 \) c) \( \left(-\frac{2}{3}\sqrt[5]{x^3}\right)^3 \)

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du eine Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten umwandeln kannst, um die Rechenregeln für Potenzen anzuwenden. - Wenn der Exponent unter der Wurzel größer ist als der Wurzelexponent, kannst du Faktoren „vor die Wurzel ziehen“. - Was passiert mit einem Bruch, wenn er mit einer Zahl potenziert wird?

Lösung

1. \( (\sqrt[4]{a^3})^2 \): Anwendung des Potenzgesetzes ergibt \( \sqrt[4]{a^6} \). Durch Kürzen des Wurzelexponenten und des Potenzexponenten erhält man \( \sqrt{a^3} \). Teilweises Wurzelziehen führt zu \( a\sqrt{a} \). 2. \( (-\sqrt[3]{b^2})^4 \): Da der Exponent 4 gerade ist, wird der Ausdruck positiv. Es ergibt sich \( \sqrt[3]{b^8} \). Da \( 8 = 2 \cdot 3 + 2 \), kann \( b^2 \) vor die Wurzel gezogen werden: \( b^2\sqrt[3]{b^2} \). 3. \( \left(-\frac{2}{3}\sqrt[5]{x^3}\right)^3 \): Der Koeffizient wird zu \( (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27} \) potenziert. Die Wurzel ergibt \( \sqrt[5]{x^9} \). Durch teilweises Wurzelziehen (\( 9 = 5 + 4 \)) erhält man \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \).

Antwort

a) \( a\sqrt{a} \) b) \( b^2\sqrt[3]{b^2} \) c) \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \)
4249319
Vereinfache den folgenden Term für \( a, b > 0 \) so weit wie möglich: \( \left( \frac{a^2}{b} \cdot \sqrt[3]{\frac{b^2}{a^3}} \right)^3 \)

Denkanstöße

- Überlege, wie du den Ausdruck in der Klammer zuerst vereinfachen kannst oder ob es leichter ist, die äußere Potenz zuerst anzuwenden. - Kannst du die Wurzel in eine andere Schreibweise umwandeln, um besser mit den Exponenten zu rechnen? - Welche Regeln kennst du für das Potenzieren von Produkten und Brüchen? - Wie verhalten sich eine dritte Wurzel und eine dritte Potenz zueinander?

Lösung

1. Anwendung der Potenzregel \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \) auf die Klammer: \( \left( \frac{a^2}{b} \right)^3 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{b^2}{a^3}} \right)^3 \) 2. Potenzieren des ersten Bruchs: \( \frac{(a^2)^3}{b^3} = \frac{a^6}{b^3} \) 3. Auflösen der dritten Wurzel durch den Exponenten 3 beim zweiten Faktor: \( \frac{b^2}{a^3} \) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \( \frac{a^6}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^6 \cdot b^2}{b^3 \cdot a^3} \) 5. Kürzen der Variablen unter Verwendung der Potenzgesetze für die Division: \( a^{6-3} \cdot b^{2-3} = a^3 \cdot b^{-1} = \frac{a^3}{b} \)

Antwort

\( \frac{a^3}{b} \)
4249399
Vereinfache den folgenden Term für \(a>0\) unter Anwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich: \( \left( \frac{a^2 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^2}} \right)^6 \)

Denkanstöße

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Könnte es helfen, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen? - Welches Potenzgesetz wendest du an, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

Lösung

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) und \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \( a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \). 3. Vereinfachen des Bruchs innerhalb der Klammer durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{4}{6}} = a^{\frac{11}{6}} \). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen: \( \left( a^{\frac{11}{6}} \right)^6 = a^{\frac{11}{6} \cdot 6} = a^{11} \).

Antwort

\( a^{11} \)
4249489
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Gehe davon aus, dass alle Variablenwerte so gewählt sind, dass die Ausdrücke definiert sind. a) \( (3 \cdot \sqrt{y+2})^2 \) b) \( (k^2 \cdot \sqrt[3]{k})^3 \) c) \( \frac{(\sqrt{50})^2 - (\sqrt{2})^2}{(\sqrt[3]{4})^3} \)

Denkanstöße

- Denke an die Potenzgesetze für Produkte: Wie verhält sich die Potenz bei einem Produkt in der Klammer? - Wie verrechnet man Potenzen von Potenzen, wie zum Beispiel \( (k^2)^3 \)? - Kannst du Zähler und Nenner getrennt vereinfachen, bevor du teilst?

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den ersten Term: \( 3^2 \cdot (\sqrt{y+2})^2 = 9 \cdot (y+2) = 9y + 18 \). 2. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \( (k^2)^3 \cdot (\sqrt[3]{k})^3 = k^{2 \cdot 3} \cdot k = k^6 \cdot k = k^7 \). 3. Vereinfachung des Zählers und Nenners im dritten Term durch Aufheben von Wurzel und Potenz: \( \frac{50 - 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 \).

Antwort

a) \( 9y + 18 \) b) \( k^7 \) c) \( 12 \)
4249729
Bearbeite die folgenden Aufgaben zum Vereinfachen und Vergleichen von Wurzelausdrücken: a) Vergleiche die Werte der Terme \(A\) und \(B\). Welcher ist größer? \(A = \sqrt[3]{\sqrt{4096}}\) \(B = \sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}} \cdot \sqrt[3]{8}\) b) Vereinfache den Ausdruck \(\frac{\sqrt[4]{\sqrt{x^{16}}}}{\sqrt{x}}\) für \(x > 0\) so weit wie möglich. c) Bestimme \(x \in \mathbb{N}\) mit \(x \ge 2\) in der Gleichung \(\sqrt[x]{\sqrt[3]{64}} = 2\).

Denkanstöße

- Nutze die Regel \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\), um mehrfache Wurzeln zusammenzufassen. - Es hilft oft, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (z. B. als Potenzen von 2). - Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

Lösung

1. Vergleich der Terme: \(A = \sqrt[6]{4096} = \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^2 = 4\). \(B = \sqrt[8]{256} \cdot 2 = \sqrt[8]{2^8} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4\). Ergebnis: \(A = B\). 2. Vereinfachung des Bruchs: Zähler: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^{16}}} = \sqrt[8]{x^{16}} = x^{\frac{16}{8}} = x^2\). Nenner: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Division: \(\frac{x^2}{x^{0{,}5}} = x^{2 - 0{,}5} = x^{1{,}5} = \sqrt{x^3}\) (oder \(x\sqrt{x}\)). 3. Lösung der Gleichung: \(\sqrt[x]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[3x]{64} = 2\). Da \(64 = 2^6\), gilt \(\sqrt[3x]{2^6} = 2\), also \(2^{\frac{6}{3x}} = 2^1\). Exponentenvergleich: \(\frac{6}{3x} = 1 \implies \frac{2}{x} = 1 \implies x = 2\).

Antwort

a) Die Terme sind gleich groß (\(A = B = 4\)). b) \(\sqrt{x^3}\) oder \(x \cdot \sqrt{x}\). c) \(x = 2\).
4249769
Gegeben sind die beiden Terme \(A = \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt{2}}\) und \(B = \sqrt[4]{2 \cdot \sqrt[3]{2}}\). Entscheide durch Rechnung, welcher der beiden Terme den größeren Wert darstellt. Wandle dazu beide Ausdrücke in eine Form mit einer einzigen Wurzel (z. B. \(\sqrt[n]{2^k}\)) um und vereinfache diese.

Denkanstöße

- Versuche zuerst, jeden Term so umzuformen, dass nur noch ein Wurzelzeichen übrig bleibt. - Hilft es dir, die Terme in die Potenzschreibweise mit Brüchen umzuwandeln? - Wie verhalten sich Wurzelwerte bei gleicher Basis, wenn der Wurzelexponent größer wird? - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten bringen, um die Zahlen unter der Wurzel direkt zu vergleichen?

Lösung

1. Umformung von \(A\): Den Faktor \(2\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[6]{2^3}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(3\) ergibt \(\sqrt{2}\). 2. Umformung von \(B\): Den Faktor \(2\) unter die dritte Wurzel ziehen ergibt \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{2^4}} = \sqrt[12]{2^4}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(4\) ergibt \(\sqrt[3]{2}\). 3. Vergleich: \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Da die Basis \(2 > 1\) ist und der Exponent \(\frac{1}{2}\) größer als \(\frac{1}{3}\) ist, gilt \(2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(A > B\).

Antwort

\(A\) ist größer als \(B\), da \(A = \sqrt{2}\) (ca. \(1{,}41\)) und \(B = \sqrt[3]{2}\) (ca. \(1{,}26\)).
4249929
Wende die Potenzgesetze an, um die folgenden Aufgaben zu lösen: a) Berechne den Wert des Terms: \((\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{3})^{-3}\) b) Vergleiche die Werte der beiden Terme \(A = (\sqrt[4]{16})^3\) und \(B = (\sqrt[3]{16})^{\frac{3}{2}}\). Welcher Term hat den größeren Wert? Begründe deine Antwort durch Umformung.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man das Produkt zweier Potenzen mit derselben Basis zusammenfasst. - Hilft es dir, die Zahlen in der Basis (wie die 16) zuerst als Potenzen kleinerer Zahlen zu schreiben? - Kannst du die Terme so umformen, dass du sie ohne Taschenrechner direkt vergleichen kannst? - Achte bei Teilaufgabe a) darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \((3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})^{-3}\). Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Multiplikation mit dem äußeren Exponenten: \((3^{\frac{2}{3}})^{-3} = 3^{\frac{2}{3} \cdot (-3)} = 3^{-2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung von Term A: \(\sqrt[4]{16} = 2\), somit ist \(A = 2^3 = 8\). Berechnung von Term B: Umwandlung in Potenzen ergibt \((16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Da \(8 > 4\), ist Term A größer als Term B.

Antwort

a) \(\frac{1}{9}\) b) Term \(A\) ist größer (da \(8 > 4\)).
4250009
Betrachte für \(y>0\) den Term \(T = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot y^2}{\sqrt{y^3}}\). a) Vereinfache den Term \(T\) schrittweise und stelle das Ergebnis in der Form \(y^k\) dar. b) Berechne den Zahlenwert des Terms für \(y = 64\).

Denkanstöße

- Versuche zuerst, alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Nutze die Potenzgesetze, um die Exponenten im Zähler zu addieren und anschließend den Exponenten des Nenners zu subtrahieren. - Um den Wert für eine Zahl zu berechnen, ist es oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

Lösung

1. Umwandlung aller Terme in Potenzschreibweise: \(\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}\), \(y^2\) bleibt, \(\sqrt{y^3} = y^{\frac{3}{2}}\). 2. Zusammenfassen des Zählers mittels Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). Der Zähler ist \(y^{\frac{7}{3}}\). 3. Division durch den Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{5}{6}\). Der vereinfachte Term lautet \(y^{\frac{5}{6}}\). Somit ist \(k = \frac{5}{6}\). 4. Einsetzen von \(y = 64\): \(T = 64^{\frac{5}{6}}\). Berechnung über die 6. Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\). Potenzieren des Ergebnisses: \(2^5 = 32\).

Antwort

a) \(y^{\frac{5}{6}}\); b) \(32\)
4250599
Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich. Es gelten \(n \in \mathbb{N}_{>0}\), \(a \ne 0\) und \(a^n \ne b^n\): \(\left( \frac{a^n + b^n}{2a^n} - 1 \right)^{-3}\) Berechne anschließend seinen Wert für \(a = 2\), \(b = 4\) und \(n = 2\).

Denkanstöße

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen und zusammenfassen? - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Ist es einfacher, die Zahlen sofort einzusetzen oder erst den Term zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Definition von \(x^{-n}\).

Lösung

1. Den Ausdruck innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \(2a^n\) bringen: \(\frac{a^n + b^n - 2a^n}{2a^n} = \frac{b^n - a^n}{2a^n}\). 2. Den negativen Exponenten anwenden, indem der Kehrwert des Bruches gebildet wird: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\). 3. Die gegebenen Werte \(a = 2\), \(b = 4\) und \(n = 2\) einsetzen: \(a^n = 2^2 = 4\) und \(b^n = 4^2 = 16\). 4. Den Wert innerhalb der Klammer berechnen: \(\frac{2 \cdot 4}{16 - 4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 5. Den resultierenden Bruch potenzieren: \(\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}\).

Antwort

Vereinfachter Term: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\) (oder \(\frac{8a^{3n}}{(b^n - a^n)^3}\)). Numerischer Wert: \(\frac{8}{27}\).
4250699
Gegeben ist für \(x>0\), \(n \in \mathbb{R}\) und \(x^n \ne 1\) der folgende mathematische Ausdruck: \(T = \left( \frac{x^n}{x^n - 1} - \frac{x^n}{x^n + 1} \right) \cdot \frac{x^{2n} - 1}{2}\) 1. Vereinfache den Ausdruck \(T\) so weit wie möglich. 2. Berechne den numerischen Wert des Ausdrucks für \(x = 16\) und \(n = 0{,}75\).

Denkanstöße

- Kannst du die Differenz in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel für den Nenner? - Wie lassen sich Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben? - Versuche zuerst, den gesamten Term algebraisch zu vereinfachen, bevor du die Zahlenwerte einsetzt.

Lösung

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Differenz in der Klammer: \((x^n - 1)(x^n + 1) = x^{2n} - 1\). 2. Erweiterung der Brüche und Subtraktion der Zähler: \(x^n(x^n + 1) - x^n(x^n - 1) = x^{2n} + x^n - x^{2n} + x^n = 2x^n\). 3. Vereinfachung des Klammerausdrucks zu \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1}\). 4. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1} \cdot \frac{x^{2n} - 1}{2} = x^n\). 5. Einsetzen der Werte \(x = 16\) und \(n = 0{,}75 = \frac{3}{4}\): \(16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\).

Antwort

1. \(T = x^n\) 2. \(8\)
4250879
Berechne den Wert des folgenden numerischen Ausdrucks: \(A = (0{,}125)^{-\frac{1}{3}} \cdot (0{,}25)^{0{,}5} + (3^{2})^{1{,}5} - \sqrt[4]{81^3} + (5{,}7)^0\)

Denkanstöße

- Versuche, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, um die Wurzeln leichter zu ziehen. - Erinnere dich daran, wie man Potenzen potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Zahl im Bruch? - Überlege, welche Zahl hoch Null welches Ergebnis liefert.

Lösung

1. Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}125\) in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Berechnung der Potenz: \((2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Berechnung des zweiten Faktors: \((0{,}25)^{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\). Das Produkt des ersten Terms ergibt \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze auf den zweiten Summanden: \((3^2)^{1{,}5} = 3^{2 \cdot 1{,}5} = 3^3 = 27\). 4. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(\sqrt[4]{81^3} = (81^3)^{\frac{1}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3 = 3^3 = 27\). 5. Bestimmung des letzten Summanden: Jede Zahl ungleich Null hoch Null ergibt \(1\), also \((5{,}7)^0 = 1\). 6. Zusammenführung der Teilergebnisse: \(1 + 27 - 27 + 1 = 2\).

Antwort

\(2\)
4101639
Fassen Sie die Terme unter Berücksichtigung der Potenz- und Wurzelgesetze so weit wie möglich zusammen (\(x, y, z > 0\)). a) \(\frac{\sqrt{x^3 \cdot y}}{\sqrt{x \cdot y^3}}\) b) \((\sqrt[3]{z^2} \cdot \sqrt{z})^6\) c) \((\sqrt{x} + \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot (x + y)\) d) \(\sqrt[3]{x^2 \cdot y} : \sqrt[3]{x^{-1} \cdot y^4}\)

Lösung

1. Zu a): Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{x^3 y}{x y^3}} = \sqrt{\frac{x^2}{y^2}} = \frac{x}{y}\). 2. Zu b): Umwandlung in Potenzen: \((z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{1}{2}})^6 = (z^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}})^6 = (z^{\frac{7}{6}})^6 = z^{\frac{7}{6} \cdot 6} = z^7\). 3. Zu c): Zuerst die 3. binomische Formel auf die ersten beiden Klammern anwenden: \((\sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2) \cdot (x+y) = (x-y)(x+y)\). Erneute Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(x^2 - y^2\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der 3. Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{x^2 y}{x^{-1} y^4}} = \sqrt[3]{x^{2 - (-1)} y^{1 - 4}} = \sqrt[3]{x^3 y^{-3}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3}} = \frac{x}{y}\).

Antwort

a) \(\frac{x}{y}\) b) \(z^7\) c) \(x^2 - y^2\) d) \(\frac{x}{y}\)
4139299
Untersuche und vereinfache die folgenden Ausdrücke unter Verwendung der Potenzgesetze. In Teilaufgabe a gilt \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\): a) Vereinfache \(\frac{18 \cdot a^5 \cdot b^{-2}}{3 \cdot (a \cdot b)^2}\) so weit wie möglich. Das Ergebnis soll keine negativen Exponenten enthalten. b) Bestimme die Zahl \(n\), für die gilt: \(\frac{5^8}{5^n} = 125\). c) Zeige durch Vereinfachung, welchen festen Zahlenwert der Term \(\frac{2^k \cdot 2^{k+1}}{4^k}\) für jede natürliche Zahl \(k\) annimmt.

Denkanstöße

- Versuche bei Aufgabe c), alle Basen auf die kleinste gemeinsame Basis (hier \(2\)) zurückzuführen. - Erinnere dich daran, dass man einen Term mit negativem Exponenten in den Nenner schreiben kann, um den Exponenten positiv zu machen. - Kannst du \(125\) als Potenz einer Primzahl ausdrücken?

Lösung

1. Vereinfachung des Terms in a): Nenner auflösen zu \(3 \cdot a^2 \cdot b^2\). Koeffizienten dividieren: \(18 : 3 = 6\). Potenzen verrechnen: \(a^{5-2} = a^3\) und \(b^{-2-2} = b^{-4}\). Umwandlung in positive Exponenten ergibt \(\frac{6a^3}{b^4}\). 2. Lösung der Gleichung in b): Da \(125 = 5^3\), lautet die Gleichung \(5^{8-n} = 5^3\). Exponentenvergleich liefert \(8 - n = 3\), woraus \(n = 5\) folgt. 3. Vereinfachung in c): Zähler zusammenfassen zu \(2^{k + k + 1} = 2^{2k+1}\). Nenner umschreiben: \(4^k = (2^2)^k = 2^{2k}\). Division der Potenzen: \(2^{2k+1} : 2^{2k} = 2^{2k+1-2k} = 2^1 = 2\). Der Wert ist immer \(2\).

Antwort

a) \(\frac{6a^3}{b^4}\) b) \(n = 5\) c) \(2\)
4149409
Vereinfache die Terme vollständig. Das Endergebnis darf keine negativen Exponenten enthalten. Gehe von \(p, q, x, a, b \neq 0\) aus. a) \(\frac{(3p^{-2}q)^2}{9p^{-4}q^3}\) b) \(\frac{(-x^2)^{-3} \cdot x^8}{x^{-2}}\) c) \(\left(\frac{2a^{-3}}{b^2}\right)^{-2} \cdot \frac{a^{-6}}{b^4}\)

Denkanstöße

- Was ergibt eine Potenz mit dem Exponenten \(0\)? - Wie verhält sich das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden negativen Exponenten potenziert wird? - Manchmal ist es hilfreich, negative Exponenten zuerst in positive umzuwandeln, indem man die Position im Bruch wechselt. - Kannst du Terme im Zähler und Nenner entdecken, die sich gegenseitig aufheben?

Lösung

1. Zähler potenzieren und anschließend durch den Nenner dividieren: \(\frac{9p^{-4}q^2}{9p^{-4}q^3} = 1 \cdot p^{-4 - (-4)} \cdot q^{2-3} = p^0 \cdot q^{-1} = \frac{1}{q}\) 2. Potenzieren der negativen Basis und Verrechnung aller Exponenten: \(\frac{(-1)^{-3} \cdot x^{-6} \cdot x^8}{x^{-2}} = -1 \cdot \frac{x^2}{x^{-2}} = -1 \cdot x^{2 - (-2)} = -x^4\) 3. Ersten Faktor durch Kehrbruchbildung vereinfachen und multiplizieren: \(\frac{2^{-2} a^6}{b^{-4}} \cdot \frac{a^{-6}}{b^4} = \frac{a^6 b^4}{4} \cdot \frac{1}{a^6 b^4} = \frac{1}{4}\)

Antwort

a) \(\frac{1}{q}\) b) \(-x^4\) c) \(\frac{1}{4}\)
4149439
Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich, indem du die Wurzeln und Dezimalzahlen in Potenzen mit rationalen Exponenten umwandelst und die Potenzgesetze anwendest. Das Endergebnis soll keine Wurzeln mehr enthalten. Gehe von \(x > 0\) aus. \[\frac{\sqrt[3]{x^2} \cdot x^{0{,}5}}{x^{\frac{1}{6}}}\]

Denkanstöße

- Ersetze alle Wurzelzeichen durch Brüche im Exponenten. - Verwende die Regeln für das Rechnen mit Potenzen bei gleicher Basis: Wann werden Exponenten addiert, wann subtrahiert? - Bringe die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner, um sie leichter zusammenfassen zu können.

Lösung

1. Umwandlung der Terme in Potenzschreibweise: \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\) und \(x^{0{,}5} = x^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Multiplikationsregel für Potenzen im Zähler: \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}\). 3. Hauptnenner finden und Exponenten addieren: \(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\). Der Term lautet nun \(\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^{\frac{1}{6}}}\). 4. Anwendung der Divisionsregel für Potenzen: \(x^{\frac{7}{6}} : x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}} = x^{\frac{6}{6}}\). 5. Vereinfachung des Ergebnisses: \(x^1 = x\).

Antwort

\(x\)
4149469
Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich. Gib das Endergebnis sowohl in Potenzschreibweise als auch in Wurzelschreibweise an. (\(a > 0\)) \[ \frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[12]{a^5}} \]

Denkanstöße

- Wandle zuerst alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Denk daran, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du den Bruch im Exponenten am Ende noch kürzen?

Lösung

1. Umwandlung in Potenzen: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\), \(\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{5}{12}}\). 2. Zähler zusammenfassen mit \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\): \(a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{12} + \frac{3}{12}} = a^{\frac{11}{12}}\). 3. Division durch Nenner mit \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\): \(a^{\frac{11}{12} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{6}{12}}\). 4. Exponenten kürzen: \(a^{\frac{1}{2}}\). 5. Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\).

Antwort

Potenzschreibweise: \(a^{\frac{1}{2}}\) Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\)
4149499
Gegeben ist der Term \(T = \frac{\sqrt[4]{k^3} \cdot \sqrt[12]{k^3}}{\sqrt[3]{k^2}}\). Vereinfache den Term so weit wie möglich, indem du die Potenzgesetze anwendest. Gib das Endergebnis sowohl als Potenz mit rationalem Exponenten als auch in Wurzelschreibweise an. (\(k > 0\))

Denkanstöße

- Kannst du den gesamten Term so umschreiben, dass nur noch die Basis \(k\) mit verschiedenen Exponenten vorkommt? - Welche Rechenregeln gelten für Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Versuche, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, falls nötig.

Lösung

1. Umwandlung aller Wurzeln in Potenzen: \(\sqrt[4]{k^3} = k^{\frac{3}{4}}\), \(\sqrt[12]{k^3} = k^{\frac{3}{12}} = k^{\frac{1}{4}}\) und \(\sqrt[3]{k^2} = k^{\frac{2}{3}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze für Multiplikation (Exponenten addieren) im Zähler: \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1\). Der Zähler ist also \(k^1\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Division (Exponenten subtrahieren): \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\). 4. Zusammenfassung: Das Ergebnis als Potenz ist \(k^{\frac{1}{3}}\). 5. Umwandlung in Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k}\).

Antwort

Potenzschreibweise: \(k^{\frac{1}{3}}\) Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k}\)
4149559
Vereinfache den folgenden Term für \(x > 0\) so weit wie möglich und schreibe das Ergebnis als Potenz mit einem rationalen Exponenten: \[ \frac{\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}}{x} \] Überprüfe dein Ergebnis anschließend für \(x = 64\), indem du sowohl den ursprünglichen Term als auch dein vereinfachtes Ergebnis berechnest.

Denkanstöße

- Kannst du alle Teile des Ausdrucks zuerst in Potenzen mit der Basis \(x\) umschreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten bei einer Division? - Wie rechnet man mit Brüchen im Exponenten? Denke an den gemeinsamen Nenner.

Lösung

1. Umschreiben der Wurzeln als Potenzen: \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze im Zähler (Multiplikation bei gleicher Basis): \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}\). 3. Anwendung der Potenzgesetze für den Bruch (Division bei gleicher Basis): \(\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^1} = x^{\frac{7}{6} - 1} = x^{\frac{1}{6}}\). 4. Überprüfung mit \(x = 64\): Ursprünglicher Term: \(\frac{\sqrt[3]{64^2} \cdot \sqrt{64}}{64} = \frac{\sqrt[3]{4096} \cdot 8}{64} = \frac{16 \cdot 8}{64} = \frac{128}{64} = 2\). Vereinfachtes Ergebnis: \(64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 5. Die Ergebnisse stimmen überein.

Antwort

Der vereinfachte Term lautet \(x^{\frac{1}{6}}\). Die Überprüfung für \(x = 64\) ergibt in beiden Fällen den Wert \(2\).
4149589
Vereinfache den folgenden Term für \(x > 0\) so weit wie möglich. Gib das Endergebnis als eine einzige Wurzel (ohne Bruchstrich) an. \[\frac{\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[10]{x}}{\sqrt[10]{x^3}}\]

Denkanstöße

- Schreibe zuerst alle Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten. - Welche Rechenregel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Welche Regel nutzt du bei der Division? - Kannst du den Bruch im Exponenten am Ende noch kürzen?

Lösung

1. Umwandlung aller Wurzelterme in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}\), \(\sqrt[10]{x} = x^{\frac{1}{10}}\) und \(\sqrt[10]{x^3} = x^{\frac{3}{10}}\). 2. Zusammenfassen des Zählers mittels Addition der Exponenten: \(x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{10}} = x^{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = x^{\frac{5}{10}}\). 3. Verrechnen mit dem Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(x^{\frac{5}{10} - \frac{3}{10}} = x^{\frac{2}{10}}\). 4. Kürzen des Bruchs im Exponenten: \(x^{\frac{2}{10}} = x^{\frac{1}{5}}\). 5. Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise: \(x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{x}\).

Antwort

\(\sqrt[5]{x}\)
4149649
Vereinfache die Terme unter Verwendung der Potenzgesetze so weit wie möglich (\(a, x, z > 0\)). a) \(\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a}}\) b) \(\frac{(8x^3)^{\frac{2}{3}}}{4x}\) c) \(\frac{z^{-\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[4]{z^6}}{z}\)

Denkanstöße

- Arbeite dich bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du die Zahl \(8\) als eine Potenz mit der Basis \(2\) schreiben, um den Bruch im Exponenten zu vereinfachen? - Vergiss nicht, dass eine Variable im Nenner ohne sichtbaren Exponenten den Exponenten \(1\) hat. - Schreibe alle Faktoren als Potenzen derselben Basis und fasse die Exponenten zusammen.

Lösung

1. Innere Wurzel als Potenz schreiben: \(\sqrt{a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}}\). Äußere Wurzel anwenden: \((a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}\) (oder \(\sqrt[3]{a^2}\)). 2. Zähler vereinfachen: \(8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 \cdot x^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\). Gesamter Bruch: \(\frac{4x^2}{4x} = x\). 3. Alle Terme als Potenzen zur Basis \(z\) schreiben: \(z^{-\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{6}{4}} \cdot z^{-1}\). Exponenten addieren: \(-\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = 0\). Ergebnis: \(z^0 = 1\).

Antwort

a) \(a^{\frac{2}{3}}\) oder \(\sqrt[3]{a^2}\) b) \(x\) c) \(1\)
4152889
Fasse die folgenden komplexen Terme so weit wie möglich zusammen. In a) gilt \(x, y \neq 0\), in b) \(a > 0\) und in c) \(u, v \neq 0\): a) \((xy^2)^3 \cdot (x^{-2}y^{-4} + 3x^{-3}y^{-6})\) b) \(\sqrt{a} \cdot (2\sqrt{a^3} - \frac{4}{\sqrt{a}} + a^{-\frac{1}{2}})\) c) \(\frac{2}{3}u^2v \cdot (6u^{-2} - 9v^{-1} + \frac{3}{2}uv^2)\)

Denkanstöße

- Kannst du Wurzeln in eine Potenzschreibweise umwandeln, um die Rechenregeln besser anwenden zu können? - Überlege dir, welche Potenzregel zuerst angewendet werden muss, wenn eine Klammer selbst noch eine Potenz hat. - Multipliziere Brüche, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Potenz der Klammer auflösen: \((xy^2)^3 = x^3y^6\). Dann ausmultiplizieren: \(x^3y^6 \cdot x^{-2}y^{-4} + x^3y^6 \cdot 3x^{-3}y^{-6} = x^1y^2 + 3x^0y^0 = xy^2 + 3\). 2. Teilaufgabe b): Wurzeln als Potenzen schreiben: \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}}\). Ausmultiplizieren: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot 2a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot 4a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{4}{2}} - 4a^0 + a^0 = 2a^2 - 4 + 1 = 2a^2 - 3\). 3. Teilaufgabe c): Koeffizienten und Variablen getrennt verrechnen: \(\frac{2}{3} \cdot 6 u^0 v - \frac{2}{3} \cdot 9 u^2 v^0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^3 v^3 = 4v - 6u^2 + u^3v^3\).

Antwort

a) \(xy^2 + 3\) b) \(2a^2 - 3\) c) \(4v - 6u^2 + u^3v^3\)
4154149
Bearbeite die folgenden komplexeren Aufgabenstellungen. Gehe davon aus, dass \(x\) und \(y\) positiv sind. a) Schreibe den Term \(\sqrt{x \cdot \sqrt{x}}\) als eine einzige Potenz von \(x\). b) Vereinfache den Term \(\sqrt[6]{y^4 \cdot \sqrt[3]{y^6}}\) so weit wie möglich. c) Bestimme den Wert für \(k\), für den die Gleichung \(\sqrt[3]{5^k} = 25\) wahr ist.

Denkanstöße

- Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du den Term unter der großen Wurzel zuerst vereinfachen? - Versuche bei Gleichungen mit Potenzen, beide Seiten auf dieselbe Basis zu bringen. - Wie hängen der Wurzelexponent und der Exponent im Radikanden mit dem Bruch im Exponenten der Potenz zusammen?

Lösung

1. Schrittweise Auflösung von innen nach außen: \(\sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\): \((x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}\). 2. Vereinfachung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2\). Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(\sqrt[6]{y^4 \cdot y^2} = \sqrt[6]{y^6}\). Das Ergebnis ist \(y\). 3. Umwandlung beider Seiten in Potenzen zur Basis 5: \(5^{k/3} = 5^2\). Exponentenvergleich liefert die Gleichung \(\frac{k}{3} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 6\).

Antwort

a) \(x^{3/4}\) b) \(y\) c) \(k = 6\)
4245489
Bearbeite die folgenden Aufgaben zu den Eigenschaften von Potenzen: 1. Bestimme einen Term \(T\), für den die Gleichung \((T)^{3} = -8 x^{6} y^{3n}\) erfüllt ist. 2. Überprüfe durch Termumformung, ob die folgende Gleichung für alle \(a, b \neq 0\) und \(n, m \in \mathbb{N}\) allgemein gültig ist: \(\frac{(a^{n} \cdot b)^{m}}{a^{nm}} = b^{m}\) 3. Untersuche den Term \((-x^{2})^{k}\). Unter welcher Bedingung für die natürliche Zahl \(k\) gilt die Gleichung \((-x^{2})^{k} = x^{2k}\)? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Kannst du die Bestandteile des Ergebnisses einzeln betrachten (Zahl, Variable \(x\), Variable \(y\)) und überlegen, welche Basis hoch 3 dieses Ergebnis liefert? - Nutze die Potenzgesetze, um den Zähler im zweiten Aufgabenteil schrittweise zu vereinfachen, bis du kürzen kannst. - Überlege im dritten Teil, wie sich das Vorzeichen bei verschiedenen Werten für \(k\) (zum Beispiel 1, 2, 3, 4) verhält.

Lösung

1. Um \(T\) zu finden, muss die Kubikwurzel aus dem Ergebnisterm gezogen werden: \(\sqrt[3]{-8} = -2\), \(\sqrt[3]{x^{6}} = x^{6 : 3} = x^{2}\) und \(\sqrt[3]{y^{3n}} = y^{3n : 3} = y^{n}\). Somit ist \(T = -2x^{2}y^{n}\). 2. Umformung der linken Seite: \(\frac{(a^{n} \cdot b)^{m}}{a^{nm}} = \frac{(a^{n})^{m} \cdot b^{m}}{a^{nm}}\) (Potenz eines Produkts). Weiter gilt \((a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}\) (Potenz einer Potenz). Einsetzen ergibt \(\frac{a^{nm} \cdot b^{m}}{a^{nm}}\). Durch Kürzen von \(a^{nm}\) erhält man \(b^{m}\). Die Gleichung ist somit allgemein gültig. 3. Der Term \((-x^{2})^{k}\) kann als \((-1 \cdot x^{2})^{k}\) geschrieben werden, was nach den Potenzgesetzen \((-1)^{k} \cdot (x^{2})^{k} = (-1)^{k} \cdot x^{2k}\) entspricht. Damit dies gleich \(x^{2k}\) ist, muss \((-1)^{k} = 1\) gelten. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Exponent \(k\) eine gerade Zahl ist.

Antwort

1. \(T = -2x^{2}y^{n}\) 2. Die Gleichung ist wahr, da die linke Seite zu \(b^{m}\) vereinfacht werden kann. 3. Die Gleichung gilt genau dann, wenn \(k\) eine gerade Zahl ist, da \((-1)^{k}\) nur für gerade \(k\) positiv ist.
4245529
Gegeben ist der folgende Term für \(a, b, c \neq 0\): \[ \left( \frac{a^3 \cdot (b^2 c^{-1})^2}{(a^{-1} b)^3} \right)^{-2} : \frac{c^4}{a^{10} b^2} \] Vereinfache den Term und zeige damit, dass das Endergebnis nur von der Variablen \(a\) abhängt.

Denkanstöße

- Es ist oft hilfreich, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor man den äußeren Exponenten anwendet. - Erinnere dich daran, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert. - Was passiert mit einer Basis, wenn ihr Exponent \(0\) ergibt? - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten beim Subtrahieren negativer Zahlen.

Lösung

1. Vereinfachung des Ausdrucks innerhalb der großen Klammer: Zähler: \(a^3 \cdot (b^2 c^{-1})^2 = a^3 b^4 c^{-2}\). Nenner: \((a^{-1} b)^3 = a^{-3} b^3\). Bruch: \(\frac{a^3 b^4 c^{-2}}{a^{-3} b^3} = a^{3 - (-3)} \cdot b^{4-3} \cdot c^{-2} = a^6 b^1 c^{-2}\). 2. Anwendung des äußeren Exponenten \(-2\): \((a^6 b c^{-2})^{-2} = a^{-12} b^{-2} c^4\). 3. Division durch den zweiten Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(a^{-12} b^{-2} c^4 \cdot \frac{a^{10} b^2}{c^4}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \(a^{-12+10} \cdot b^{-2+2} \cdot c^{4-4} = a^{-2} \cdot b^0 \cdot c^0\). 5. Da \(b^0 = 1\) und \(c^0 = 1\) für \(b, c \neq 0\), bleibt \(a^{-2}\) bzw. \(\frac{1}{a^2}\) übrig. Das Ergebnis ist unabhängig von \(b\) und \(c\).

Antwort

\(\frac{1}{a^2}\)
4245549
Fasse den folgenden Ausdruck für \(a,b,c \ne 0\) zusammen und gib das Ergebnis mit Hilfe von Potenzen an: \( \frac{(5a^2 b^{-1})^2 \cdot (2a^{-2} c)^3}{(10a^{-1} b^{-2} c^2)^2} \)

Denkanstöße

- Wie gehst du vor, wenn eine Potenz in der Klammer selbst einen negativen Exponenten hat? - Kannst du die Terme im Zähler erst vollständig zusammenfassen, bevor du den Bruch kürzt? - Was musst du beachten, wenn du beim Dividieren einen negativen Exponenten subtrahierst? - Erinnere dich an die Bedeutung von Potenzen mit dem Exponenten 0.

Lösung

1. Auflösen der Klammern im Zähler: \( (5a^2 b^{-1})^2 = 25a^4 b^{-2} \) und \( (2a^{-2} c)^3 = 8a^{-6} c^3 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Addition der Exponenten: \( 25 \cdot 8 = 200 \), \( a^{4 + (-6)} = a^{-2} \), also \( 200a^{-2} b^{-2} c^3 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (10a^{-1} b^{-2} c^2)^2 = 100a^{-2} b^{-4} c^4 \). 4. Division der Terme durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{200}{100} = 2 \), \( a^{-2 - (-2)} = a^0 = 1 \), \( b^{-2 - (-4)} = b^2 \), \( c^{3-4} = c^{-1} \). 5. Endergebnis: \( 2b^2 c^{-1} \).

Antwort

\( 2b^2 c^{-1} \)
4245569
Gegeben ist für \(a \ne 0\) der Term: \( A = \frac{[(-a)^2 \cdot (-2a)^2]^2}{(-2a^2)^3} \) a) Vereinfache den Term \( A \) so weit wie möglich. b) Berechne den Wert des Terms für \( a = -2 \).

Denkanstöße

- Vereinfache zuerst den Zähler und den Nenner getrennt voneinander, bevor du den Bruch kürzt. - Erinnere dich an die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). - Beim Einsetzen einer negativen Zahl für \( a \) solltest du Klammern setzen, um Rechenfehler beim Quadrieren zu vermeiden.

Lösung

1. Vereinfachung des Zählers: Innerhalb der eckigen Klammer ergibt sich \( (-a)^2 = a^2 \) und \( (-2a)^2 = 4a^2 \). Das Produkt ist \( a^2 \cdot 4a^2 = 4a^4 \). Das Quadrat davon ist \( (4a^4)^2 = 16a^8 \). 2. Vereinfachung des Nenners: \( (-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8a^6 \). 3. Division von Zähler durch Nenner: \( \frac{16a^8}{-8a^6} = -2a^{8-6} = -2a^2 \). 4. Einsetzen von \( a = -2 \) in den vereinfachten Term: \( -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8 \).

Antwort

a) \( -2a^2 \) b) \( -8 \)
4245609
Vereinfache den folgenden komplexen Term unter Anwendung der Potenzgesetze. Es gelten \(k,n \in \mathbb{N}_{>0}\), \(x+y \ne 0\) und \(z \ne 0\): \[ \frac{[5(x+y)^{2k} \cdot z^n]^3}{[25(x+y)^{3k} \cdot z^{2n}]^2} \cdot \frac{125 z^n}{(x+y)^k} \]

Denkanstöße

- Bearbeite zuerst die eckigen Klammern, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Faktor im Inneren anwendest. - Achte darauf, dass Ausdrücke wie \( (x+y) \) als eine einzige Basis behandelt werden können. - Kannst du den ersten Bruch vereinfachen, bevor du ihn mit dem zweiten Teil des Terms multiplizierst? - Was ergibt das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis, wenn sich deren Exponenten zu Null addieren?

Lösung

1. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Zähler): \( 5^3 \cdot ((x+y)^{2k})^3 \cdot (z^n)^3 = 125 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{3n} \) 2. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Nenner): \( 25^2 \cdot ((x+y)^{3k})^2 \cdot (z^{2n})^2 = 625 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{4n} \) 3. Kürzen des ersten Bruchs: \( \frac{125}{625} \cdot \frac{(x+y)^{6k}}{(x+y)^{6k}} \cdot \frac{z^{3n}}{z^{4n}} = \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot z^{3n-4n} = \frac{1}{5} z^{-n} \) 4. Multiplikation mit dem zweiten Term: \( \frac{1}{5} z^{-n} \cdot \frac{125 z^n}{(x+y)^k} \) 5. Verrechnung der Koeffizienten: \( \frac{1}{5} \cdot 125 = 25 \) 6. Verrechnung der Potenzen von \( z \): \( z^{-n} \cdot z^n = z^0 = 1 \) 7. Verbleibender Ausdruck: \( \frac{25}{(x+y)^k} \) oder \( 25(x+y)^{-k} \)

Antwort

\( \frac{25}{(x+y)^k} \)
4246089
Wende die Potenzgesetze an, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen. In a) und b) seien \(k,n \in \mathbb{Z}\); alle Variablenwerte sind so gewählt, dass die Terme definiert sind. a) \(\frac{15a^{2k} \cdot b^{k-1}}{3a^{k} \cdot b^{2k}}\) b) \((\frac{1}{2}x^{-n} y^2)^{-2} \cdot 4x^{-2n}\) c) Zeige rechnerisch, dass der Wert des Terms \(\frac{2^n \cdot 4^{n+1}}{8^n}\) für jede natürliche Zahl \(n\) denselben Wert ergibt. Bestimme diesen Wert.

Denkanstöße

- Kannst du Variablen in den Exponenten genauso behandeln wie Zahlen? - Wenn du einen Bruch mit einem negativen Exponenten potenzierst, was passiert mit dem Zähler und dem Nenner? - Hilft es dir in Teilaufgabe c), alle Zahlen auf dieselbe Basis (hier die 2) zurückzuführen? - Was bedeutet es für einen Term, wenn er „unabhängig von n“ ist?

Lösung

1. Koeffizienten dividieren: \(15 : 3 = 5\). Exponenten der Basis \(a\) subtrahieren: \(2k - k = k\). Exponenten der Basis \(b\) subtrahieren: \((k - 1) - 2k = -k - 1\). Ergebnis: \(5a^k b^{-k-1}\) bzw. \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\). 2. Klammer auflösen mit \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \((\frac{1}{2})^{-2} = 4\), \((x^{-n})^{-2} = x^{2n}\), \((y^2)^{-2} = y^{-4}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(4 \cdot 4 = 16\), \(x^{2n} \cdot x^{-2n} = x^0 = 1\). Übrig bleibt \(16y^{-4}\) bzw. \(\frac{16}{y^4}\). 3. Alle Basen als Potenzen von 2 schreiben: \(4 = 2^2\) und \(8 = 2^3\). Der Term wird zu \(\frac{2^n \cdot (2^2)^{n+1}}{(2^3)^n} = \frac{2^n \cdot 2^{2n+2}}{2^{3n}}\). Zähler zusammenfassen: \(2^{n + 2n + 2} = 2^{3n+2}\). Division durch Nenner: \(2^{3n+2 - 3n} = 2^2 = 4\). Der Wert ist unabhängig von \(n\) immer 4.

Antwort

a) \(5a^k b^{-k-1}\) oder \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\); b) \(16y^{-4}\) oder \(\frac{16}{y^4}\); c) Der Wert ist stets \(4\).
4246329
Vereinfache für \(a,b \ne 0\), \(a \ne b\) und \(a \ne -b\) den Ausdruck: \(B = \frac{(a+b)^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} : \frac{(a-b)^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}}\) Bestimme das Ergebnis für \(a = 5\) und \(b = 3\).

Denkanstöße

- Zerlege den großen Ausdruck in zwei Teile (links und rechts vom Doppelpunkt) und vereinfache diese einzeln. - Achte beim Subtrahieren von Brüchen im Nenner auf das Vorzeichen, wenn du Terme wie \((a-b)\) und \((b-a)\) kürzen möchtest. - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Kannst du im letzten Schritt Binomische Formeln erkennen, um die Berechnung zu vereinfachen?

Lösung

1. Vereinfachung des linken Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a+b)^2}\) 2. Vereinfachung des rechten Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{ab}{(a-b)(b-a)} = -\frac{ab}{(a-b)^2}\) 3. Division der Teilterme: \(\frac{ab}{(a+b)^2} : \left(-\frac{ab}{(a-b)^2}\right) = \frac{ab}{(a+b)^2} \cdot \left(-\frac{(a-b)^2}{ab}\right) = -\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\) 4. Einsetzen der Werte \(a=5, b=3\): \(-\frac{(5-3)^2}{(5+3)^2} = -\frac{2^2}{8^2} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}\)

Antwort

Der vereinfachte Term ist \(-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\). Der Wert für \(a=5, b=3\) ist \(-\frac{1}{16}\).
4246549
Vereinfache den Ausdruck \( T = \left( \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - 1 \right)^{-1} \) so weit wie möglich, sodass das Ergebnis keine negativen Exponenten mehr enthält. Es gelten \(n \in \mathbb{N}_{>0}\), \(a,b \ne 0\) und \(a^n \ne b^n\). Berechne den Wert des Terms für \( a = 2 \), \( b = 6 \) und \( n = 2 \).

Denkanstöße

- Wie kannst du eine ganze Zahl und einen Bruch innerhalb einer Klammer verrechnen? - Überlege, was die Potenz \( -1 \) für die Struktur eines Bruches bedeutet. - Kannst du den resultierenden Bruch in zwei einzelne Brüche zerlegen, um ihn leichter zu bearbeiten? - Erinnere dich an die Regel für das Verschieben von Potenzen zwischen Zähler und Nenner bei Vorzeichenwechsel des Exponenten.

Lösung

1. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \( a^{-n} - b^{-n} \): \( \frac{a^{-n} + b^{-n} - (a^{-n} - b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = \frac{2b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} \) 2. Bildung des Kehrwerts des gesamten Klammerausdrucks aufgrund des Exponenten \( -1 \): \( \frac{a^{-n} - b^{-n}}{2b^{-n}} \) 3. Aufteilen des Bruchs in zwei separate Brüche: \( \frac{a^{-n}}{2b^{-n}} - \frac{b^{-n}}{2b^{-n}} \) 4. Anwendung der Potenzgesetze für negative Exponenten (\( \frac{x^{-n}}{y^{-n}} = \frac{y^n}{x^n} \)) zur Beseitigung negativer Exponenten: \( \frac{b^n}{2a^n} - \frac{1}{2} = \frac{b^n - a^n}{2a^n} \) 5. Berechnung des Werts durch Einsetzen von \( a=2, b=6, n=2 \): \( \frac{6^2 - 2^2}{2 \cdot 2^2} = \frac{36 - 4}{8} = \frac{32}{8} = 4 \)

Antwort

\( \frac{b^n - a^n}{2a^n} \); Wert: \( 4 \)
4248649
Gegeben ist für \(x+y \ne 0\) der Term \( E = \frac{x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} \). a) Vereinfache den Term so weit wie möglich unter Verwendung der Potenzgesetze. b) Berechne den Wert des Terms für \( x = 27 \) und \( y = 8 \).

Denkanstöße

- Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie lässt sie sich auf Terme mit Exponenten anwenden? - Wie hängen die Exponenten \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\) zusammen? - Kannst du die Wurzeln im zweiten Teil direkt im Kopf ziehen? - Was bedeutet ein rationaler Exponent wie \(\frac{1}{3}\) als Wurzel geschrieben?

Lösung

1. Umschreiben des Zählers unter Ausnutzung der Potenzgesetze: \(x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2\) und \(y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) auf den Zähler mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) im Bruch führt zum vereinfachten Term \(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\) 4. Einsetzen der Werte \(x = 27\) und \(y = 8\): \(27^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3}}\) 5. Berechnung der dritten Wurzeln: \(3 - 2 = 1\)

Antwort

a) \( E = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \) (oder \( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \)) b) \( 1 \)
4249209
Gegeben ist der Term \(T = \frac{\sqrt{a^3 \cdot \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{a \cdot b}}\) für \(a,b>0\). a) Vereinfache den Term mithilfe von Potenzgesetzen für rationale Exponenten. b) Berechne den Wert des Terms für \(a = 64\) und \(b = 27\).

Denkanstöße

- Es ist oft einfacher, verschachtelte Wurzeln von innen nach außen in Potenzen umzuwandeln. - Achte beim Vereinfachen der Brüche im Exponenten auf den Hauptnenner. - Prüfe im zweiten Teil, ob du die Zahl \(64\) als Potenz einer kleineren Basis (wie zum Beispiel \(2\)) schreiben kannst, um das Rechnen mit dem Bruch im Exponenten zu erleichtern.

Lösung

1. Umschreiben des Terms mit rationalen Exponenten: \(T = \frac{(a^3 \cdot b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{(a \cdot b)^{\frac{1}{3}}}\) 2. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner: \(T = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}\) 3. Kürzen des Faktors \(b^{\frac{1}{3}}\) und Verrechnen der Exponenten von \(a\): \(a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 4. Einsetzen von \(a = 64\) in den vereinfachten Term: \(64^{\frac{7}{6}}\) 5. Berechnung des Werts: \(64 = 2^6\), also \((2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)

Antwort

a) \(a^{\frac{7}{6}}\) (oder \(a \cdot \sqrt[6]{a}\)); b) \(128\)
4249269
Gegeben ist der Term \(T = (-2x \sqrt[5]{x^2})^3\). 1) Vereinfache den Term so weit wie möglich. 2) Entscheide, ob der Wert des Terms für alle \(x > 0\) negativ ist, und begründe deine Entscheidung kurz.

Denkanstöße

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Zahl potenziert wird. - Schreibe die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten, um die Gesetze leichter anwenden zu können. - Überlege dir für die Begründung, welche Vorzeichen die einzelnen Faktoren des vereinfachten Terms haben, wenn \(x\) positiv ist.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v \cdot w)^n = u^n \cdot v^n \cdot w^n\): \(T = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (\sqrt[5]{x^2})^3\). 2. Berechnung der Koeffizienten und Potenzen: \(-8 \cdot x^3 \cdot (x^{2/5})^3 = -8 \cdot x^3 \cdot x^{6/5}\). 3. Addition der Exponenten: \(3 + \frac{6}{5} = \frac{15}{5} + \frac{6}{5} = \frac{21}{5}\). 4. Umwandlung in gemischte Schreibweise: \(\frac{21}{5} = 4 + \frac{1}{5}\), also \(-8 x^4 \sqrt[5]{x}\). 5. Begründung des Vorzeichens: Für \(x > 0\) ist \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\). Da der Koeffizient \(-8\) negativ ist, ist das Produkt aus einer negativen und zwei positiven Zahlen stets negativ.

Antwort

1) \(-8x^4 \sqrt[5]{x}\) 2) Ja, der Term ist für alle \(x > 0\) negativ, da \(-8 < 0\), \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\) gilt.
4249329
Stelle den folgenden Ausdruck für \( x > 0 \) als eine einzelne Potenz oder eine einfache Wurzel dar und vermeide dabei negative Exponenten: \( \frac{\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}}{x \cdot \sqrt[6]{x}} \)

Denkanstöße

- Es hilft oft, alle Wurzeln zuerst in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Wie lassen sich geschachtelte Ausdrücke (Wurzel in einer Wurzel) von innen nach außen auflösen? - Kannst du den Zähler und den Nenner zuerst separat zu jeweils einer Potenz zusammenfassen? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit derselben Basis dividiert.

Lösung

1. Umwandlung aller Wurzeln im Zähler in Potenzen mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{x \cdot x^{2/3}} = (x^{1 + 2/3})^{1/2} = (x^{5/3})^{1/2} \) 2. Vereinfachung des Zählers durch Multiplikation der Exponenten: \( x^{5/6} \) 3. Umwandlung des Nenners in eine Potenz: \( x^1 \cdot x^{1/6} = x^{1 + 1/6} = x^{7/6} \) 4. Anwendung der Divisionsregel für Potenzen (\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)): \( x^{5/6} : x^{7/6} = x^{5/6 - 7/6} = x^{-2/6} \) 5. Kürzen des Bruchs im Exponenten und Umwandlung in die Wurzelschreibweise: \( x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

Antwort

\( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)
4249409
Vereinfache den folgenden Term für \( x \neq 0 \) und \( x \neq y \): \( \left( \frac{x-y}{x} \sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}} \right)^6 \)

Denkanstöße

- Kannst du den äußeren Exponenten auf die einzelnen Faktoren in der Klammer verteilen? - Erinnere dich daran, dass \( (\sqrt[3]{k})^6 \) dasselbe ist wie \( k^{\frac{6}{3}} \). - Wie gehst du vor, wenn du Brüche miteinander multiplizierst, in denen Potenzen vorkommen? - Achte darauf, Potenzen mit der gleichen Basis (wie \( x \) oder \( x-y \)) am Ende zusammenzufassen.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den gesamten Ausdruck: \( \left( \frac{x-y}{x} \right)^6 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}} \right)^6 \). 2. Vereinfachen des ersten Teils: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \). 3. Vereinfachen des zweiten Teils durch Umwandlung der Wurzel in eine Potenz und Multiplikation der Exponenten: \( \left( \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{1}{3}} \right)^6 = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{6}{3}} = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^2 \). 4. Quadrieren des Bruchs: \( \frac{(x^2)^2}{(x-y)^2} = \frac{x^4}{(x-y)^2} \). 5. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \cdot \frac{x^4}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)^6 \cdot x^4}{x^6 \cdot (x-y)^2} \). 6. Kürzen gleicher Basen durch Subtraktion der Exponenten: \( (x-y)^{6-2} \cdot x^{4-6} = (x-y)^4 \cdot x^{-2} = \frac{(x-y)^4}{x^2} \).

Antwort

\( \frac{(x-y)^4}{x^2} \)
4249509
Vereinfache den folgenden Term für \(x,y>0\) mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich. Das Endergebnis soll keine Klammern mehr enthalten und jede Basis (\(x\) und \(y\)) soll nur noch einmal vorkommen. \[ \frac{(x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{2}})^4}{x \cdot y^{-3}} \]

Denkanstöße

- Beginne damit, die Klammer im Zähler aufzulösen. Welches Gesetz hilft dir dabei? - Wie verrechnet man Exponenten, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was bedeutet ein negativer Exponent beim Subtrahieren im Nenner? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten 0.

Lösung

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte auf den Zähler: \((x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{2}})^4 = (x^{\frac{1}{4}})^4 \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^4\). 2. Multiplikation der Exponenten im Zähler: \(x^{\frac{1}{4} \cdot 4} \cdot y^{-\frac{1}{2} \cdot 4} = x^1 \cdot y^{-2}\). 3. Einsetzen in den ursprünglichen Bruch: \(\frac{x^1 \cdot y^{-2}}{x^1 \cdot y^{-3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division bei gleicher Basis: \(x^{1-1} \cdot y^{-2 - (-3)}\). 5. Verrechnung der Exponenten: \(x^0 \cdot y^1\). 6. Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), ergibt sich als Endergebnis \(y\).

Antwort

\(y\)
4249749
Vereinfache den Term \(Q = \sqrt[3]{\frac{a^2}{b} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}}}\) für positive \(a\) und \(b\) so weit wie möglich. Stelle das Endergebnis als eine einzige Wurzel dar. Gib kurz an, welche Potenzgesetze du beim Zusammenfassen der Variablen genutzt hast.

Denkanstöße

- Könnte es helfen, alle Wurzeln zuerst in Potenzen umzuwandeln? - Wie gehst du vor, wenn du Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber verschachtelten Klammern hast? - Erinnere dich an das Gesetz für Potenzen von Potenzen. - Um am Ende eine einzige Wurzel zu erhalten, müssen die Exponenten den gleichen Nenner haben.

Lösung

1. Darstellung mit rationalen Exponenten: \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot (b \cdot a^{-1})^{1/2} \right)^{1/3}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\): \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot b^{1/2} \cdot a^{-1/2} \right)^{1/3}\). 3. Zusammenfassen der Exponenten mit \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(Q = \left( a^{2 - 1/2} \cdot b^{-1 + 1/2} \right)^{1/3} = \left( a^{3/2} \cdot b^{-1/2} \right)^{1/3}\). 4. Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(Q = a^{1/2} \cdot b^{-1/6}\). 5. Angleichen der Nenner im Exponenten: \(a^{3/6} \cdot b^{-1/6} = \left( \frac{a^3}{b} \right)^{1/6}\). 6. Ergebnis als einzige Wurzel: \(\sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\). Alternativ kann dies als \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[6]{b}}\) geschrieben werden.

Antwort

\(Q = \sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\)
4249789
Untersuche die folgenden mathematischen Zusammenhänge durch Umformung in Potenzen. a) Zeige rechnerisch, dass gilt: \(\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{2}}\). b) Bestimme den Wert von \(k\), für den die folgende Gleichung wahr ist: \[\sqrt[3]{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}} = 2^k\]

Denkanstöße

- Versuche, alle Terme auf die gleiche Basis (hier die Basis 2) zu bringen. - Wie gehst du vor, wenn Brüche im Spiel sind? Kann man diese als Potenzen mit negativen Exponenten schreiben? - Vergleiche am Ende die Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Umformung der linken Seite zur Basis 2: \(\sqrt{2 \cdot (2^2)^{1/3}} = \sqrt{2^1 \cdot 2^{2/3}} = \sqrt{2^{5/3}} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}\). Umformung der rechten Seite zur Basis 2: \(\sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[3]{2^{5/2}} = (2^{5/2})^{1/3} = 2^{5/6}\). Da beide Seiten den Wert \(2^{5/6}\) ergeben, ist die Gleichheit gezeigt. 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt[3]{2^{-1} \cdot \sqrt{2^{-1}}} = \sqrt[3]{2^{-1} \cdot 2^{-1/2}}\). Zusammenfassen der Exponenten unter der Wurzel: \(-1 + (-1/2) = -3/2\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((2^{-3/2})^{1/3} = 2^{-1/2}\). Vergleich mit \(2^k\) ergibt \(k = -1/2\) bzw. \(k = -0{,}5\).

Antwort

a) Beide Seiten ergeben nach Umformung \(2^{5/6}\). b) \(k = -0{,}5\)
4249809
Überprüfe durch Umformung, ob die folgende Gleichung für alle \(a > 0\) eine wahre Aussage ist: \[\sqrt{a \cdot \sqrt[4]{a^3}} = \sqrt[8]{a^7}\] Vereinfache zudem den folgenden Term für \(z > 0\) so weit wie möglich: \[\sqrt[4]{\frac{z}{\sqrt{z}}}\]

Denkanstöße

- Versuche, beide Seiten der Gleichung in die Form \(a^{\text{Bruch}}\) zu bringen. - Was bedeutet ein Bruchstrich für die Exponenten der Potenzen? - Gehe Schritt für Schritt vor, indem du zuerst den Ausdruck unter der großen Wurzel vereinfachst.

Lösung

1. Linke Seite der Gleichung schrittweise umformen: \(\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}\). 2. Multiplikation unter der Quadratwurzel: \(a^1 \cdot a^{3/4} = a^{7/4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \((a^{7/4})^{1/2} = a^{7/8}\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: \(\sqrt[8]{a^7} = a^{7/8}\). Die Gleichung ist wahr. 5. Vereinfachung des zweiten Terms: Den Bruch unter der vierten Wurzel vereinfachen: \(\frac{z}{z^{1/2}} = z^{1 - 1/2} = z^{1/2}\). 6. Anwendung der vierten Wurzel auf das Ergebnis: \((z^{1/2})^{1/4} = z^{1/8}\). 7. Endergebnis als Wurzel: \(\sqrt[8]{z}\).

Antwort

Die Gleichung ist wahr, da beide Seiten vereinfacht \(a^{7/8}\) ergeben. Der zweite Term vereinfacht sich zu \(\sqrt[8]{z}\).
4250609
Vereinfache den Term \(\left( \frac{x^k + y^k}{x^{-k} + y^{-k}} \right)^{-\frac{1}{k}}\) für \(x,y>0\) und \(k \in \mathbb{N}_{>0}\). Bestimme anschließend seinen Wert für \(x = 0{,}25\), \(y = 8\) und \(k = 3\).

Denkanstöße

- Wie lassen sich negative Exponenten als Brüche darstellen? - Kannst du den Nenner des großen Bruchs als einen einzigen Bruch schreiben? - Was passiert, wenn man eine Potenz mit einem weiteren Exponenten potenziert? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn die Basis ein Produkt wie \((x \cdot y)\) ist?

Lösung

1. Den Nenner des großen Bruchs umschreiben: \(x^{-k} + y^{-k} = \frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k}\). 2. Die Brüche im Nenner addieren: \(\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} = \frac{y^k + x^k}{x^k \cdot y^k}\). 3. Den Doppelbruch vereinfachen: \(\frac{x^k + y^k}{\frac{x^k + y^k}{x^k y^k}} = (x^k + y^k) \cdot \frac{x^k y^k}{x^k + y^k} = x^k y^k\). 4. Den äußeren Exponenten auf das Ergebnis \((xy)^k\) anwenden: \(((xy)^k)^{-\frac{1}{k}} = (xy)^{k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right)} = (xy)^{-1} = \frac{1}{xy}\). 5. Die Werte \(x = 0{,}25\) und \(y = 8\) einsetzen: \(\frac{1}{0{,}25 \cdot 8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Antwort

Vereinfachter Term: \(\frac{1}{xy}\). Numerischer Wert: \(0{,}5\).
4250709
Vereinfache für \(a,b>0\), \(n \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(a \ne b\) den Term \(A = \left( \frac{a^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} - \frac{a^{-n}}{a^{-n} + b^{-n}} \right) \cdot (a^{-n} + b^{-n})\) und bestimme anschließend seinen Wert für \(a = 4\), \(b = 25\) und \(n = 0{,}5\).

Denkanstöße

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du innerhalb der Klammer einen gemeinsamen Nenner finden? - Achte darauf, wie sich Ausdrücke kürzen lassen, wenn du Faktoren außerhalb der Klammer einbeziehst. - Wie hängen \(x^{0{,}5}\) und die Quadratwurzel zusammen?

Lösung

1. Zusammenfassen der Brüche in der Klammer durch den Hauptnenner \((a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) = a^{-2n} - b^{-2n}\). 2. Berechnung des Zählers: \(a^{-n}(a^{-n} + b^{-n}) - a^{-n}(a^{-n} - b^{-n}) = a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} - a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} = 2a^{-n}b^{-n}\). 3. Multiplikation des Ergebnisses \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}\) mit dem Faktor \((a^{-n} + b^{-n})\) ergibt \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}}\). 4. Umformung negativer Exponenten in Brüche: \(\frac{2 \cdot \frac{1}{a^n b^n}}{\frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n}} = \frac{\frac{2}{a^n b^n}}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}}\). 5. Kürzen des Terms zu \(\frac{2}{b^n - a^n}\). 6. Einsetzen der Werte \(a = 4, b = 25, n = 0{,}5\): \(\frac{2}{25^{0{,}5} - 4^{0{,}5}} = \frac{2}{\sqrt{25} - \sqrt{4}} = \frac{2}{5 - 2} = \frac{2}{3}\).

Antwort

Vereinfachter Term: \(\frac{2}{b^n - a^n}\); Wert: \(\frac{2}{3}\)
4250889
Vereinfache den folgenden Term für \(x, y > 0\) und \(x \neq y\): \(B = \left( \frac{x - y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} + y^{\frac{1}{3}} \right) \cdot x^{-\frac{1}{3}}\)

Denkanstöße

- Kannst du den Ausdruck \(x - y\) so umschreiben, dass er wie eine Differenz von dritten Potenzen aussieht? - Vergleiche die Struktur des Zählers mit der des Nenners. Gibt es dort Gemeinsamkeiten, wenn du \(x\) als \((x^{1/3})^3\) betrachtest? - Vereinfache zuerst den gesamten Inhalt der Klammer, bevor du den äußeren Faktor einbeziehst. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst?

Lösung

1. Den Zähler \(x - y\) als Differenz von Kubikzahlen auffassen: \(x - y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3\). 2. Anwendung der Faktorformel für die Differenz zweier Kuben \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x - y = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})\). 3. Einsetzen in den Bruch und Kürzen: Der Nenner entspricht genau dem zweiten Faktor des Zählers, woraus folgt: \(\frac{x - y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks in der Klammer: \((x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}\). 5. Abschließende Multiplikation: \(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = x^0 = 1\).

Antwort

\(1\)

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter zusammenstellen