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- Was passiert, wenn du die Multiplikation innerhalb der Klammer zuerst ausführst? - Gibt es eine Regel, wie man eine Potenz, die selbst wieder potenziert wird, vereinfachen kann? - Wie kann man eine Potenz eines Produkts auf die einzelnen Faktoren verteilen?

1. Berechnung von a) über die Basis: Zuerst das Produkt in der Klammer berechnen (\(4 \cdot 5 = 20\)), anschließend die Potenz bilden (\(20^3 = 8000\)). 2. Berechnung von a) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) ergibt \(4^3 \cdot 5^3 = 64 \cdot 125 = 8000\). 3. Berechnung von b) über die innere Potenz: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen (\(2^3 = 8\)), danach quadrieren (\(8^2 = 64\)). 4. Berechnung von b) über Potenzgesetze: Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\).

a) \(8000\) b) \(64\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst. - Welche Regel gilt für das Potenzieren von Potenzen bezüglich der Exponenten? - Spielt die Reihenfolge der Exponenten beim Gesetz \((a^m)^n\) eine Rolle für das Endergebnis?

1. Berechnung von \(A\): Innere Potenz \((-2)^2 = 4\), dann \(4^3 = 64\). 2. Berechnung von \(B\): Innere Potenz \((-2)^3 = -8\), dann \((-8)^2 = 64\). 3. Anwendung der Potenzgesetze: Das Gesetz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) auf beide Terme anwenden. 4. Umformung von \(A\): \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\). 5. Umformung von \(B\): \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). 6. Vergleich: Da beide Terme den identischen Ausdruck \((-2)^6\) ergeben, müssen ihre Werte gleich sein.

a) \(A = 64\); \(B = 64\) b) \(A = (-2)^{2 \cdot 3} = (-2)^6\) und \(B = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6\). Da beide Ausdrücke zu \((-2)^6\) vereinfacht werden können, sind sie gleich.

- Was geschieht mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst nochmals potenziert wird? - Wie verändert sich ein negatives Vorzeichen, wenn der äußere Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich daran, dass bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten subtrahiert werden. - Achte darauf, den äußeren Exponenten auf jeden einzelnen Faktor innerhalb der Klammer anzuwenden.

1. Anwendung der Potenz eines Produkts: Jeder Faktor in der Klammer wird mit dem Exponenten \(4\) potenziert. Es ergibt sich \((-3)^{4} \cdot (a^{2})^{4} \cdot (b^{k})^{4}\). Mit \((-3)^{4} = 81\), \((a^{2})^{4} = a^{8}\) und \((b^{k})^{4} = b^{4k}\) folgt \(81 a^{8} b^{4k}\). 2. Zähler und Nenner werden mit \(3\) potenziert: \(\frac{2^3 \cdot (x^n)^3}{(y^3)^3} = \frac{8x^{3n}}{y^9}\). 3. Zuerst wird der Zähler potenziert: \((m^{4}q^{2})^{p} = m^{4p}q^{2p}\). Anschließend werden bei der Division die Exponenten der Basis \(m\) subtrahiert: \(m^{4p-3p}q^{2p} = m^p q^{2p}\).

1. \(81 a^{8} b^{4k}\) 2. \(\frac{8 x^{3n}}{y^{9}}\) 3. \(m^{p} q^{2p}\)

- Wie gehst du vor, wenn ein Produkt in einer Klammer potenziert wird? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit derselben Basis dividierst? - Überlege, welcher Wert herauskommt, wenn eine Basis mit dem Exponenten Null potenziert wird.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte im Zähler: \( (2a^n \cdot b^{2m})^5 = 2^5 \cdot (a^n)^5 \cdot (b^{2m})^5 \) 2. Potenzieren von Potenzen im Zähler: \( 32 \cdot a^{5n} \cdot b^{10m} \) 3. Potenzieren von Potenzen im Nenner: \( (b^m)^{10} = b^{10m} \) 4. Zusammenfassen des gesamten Bruchs: \( \frac{32a^{5n}b^{10m}}{8a^{3n}b^{10m}} \) 5. Division der Koeffizienten: \( \frac{32}{8} = 4 \) 6. Division der Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \( a^{5n-3n} = a^{2n} \) und \( b^{10m-10m} = b^0 = 1 \) 7. Endergebnis: \( 4a^{2n} \)

\( 4a^{2n} \)

- Vereinfache jeden Term einzeln, bis er in der Form \(a \cdot x^n\) vorliegt. - Unterscheide genau zwischen der Addition von Termen und der Multiplikation von Potenzen. - Beachte, dass eine Potenz außerhalb der Klammer für jeden Faktor in der Klammer gilt.

1. Überprüfung von A: \((2x^2)^4 = 2^4 \cdot (x^2)^4 = 16x^8\). (Äquivalent) 2. Überprüfung von B: \(8x^4 + 8x^4 = 16x^4\). (Nicht äquivalent, da Exponenten bei der Addition gleich bleiben) 3. Überprüfung von C: \(32x^9 {:} (2x) = (32 {:} 2) \cdot x^{9-1} = 16x^8\). (Äquivalent) 4. Überprüfung von D: \((4x^4)^2 = 4^2 \cdot (x^4)^2 = 16x^8\). (Äquivalent) 5. Überprüfung von E: \(2 \cdot (2x^2)^3 = 2 \cdot 8x^6 = 16x^6\). (Nicht äquivalent)

Die Terme A, C und D sind äquivalent zu \(16x^8\).

- Welches Gesetz hilft dir, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Wie gehst du vor, wenn Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden? - Achte beim Ausmultiplizieren der hinteren Klammer genau auf die Vorzeichen, insbesondere beim Multiplizieren von \(-3x\) mit \(-2\).

1. Vereinfachen des Bruchs: Zuerst wird die Potenz in der Klammer berechnet: \((2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Division: \(\frac{4x^6}{x^4} = 4x^{6-4} = 4x^2\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Termteils: \(-3x \cdot (x - 2) = -3x^2 + 6x\). 4. Zusammenführen und Vereinfachen der Teilergebnisse: \(4x^2 - 3x^2 + 6x = x^2 + 6x\).

\(x^2 + 6x\)

- Kannst du die Klammern im Zähler und Nenner zuerst einzeln auflösen? - Welche Regel gilt, wenn du ein Produkt wie \( (ab)^n \) potenzierst? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst? - Überlege dir, wie du die Zahlenkoeffizienten und die Variablen getrennt voneinander behandeln kannst.

1. Auflösen der Klammern im Zähler unter Anwendung der Potenzgesetze für Produkte und Potenzen: \( (4x^3 y)^2 = 16x^6 y^2 \) und \( (3z^2)^3 = 27z^6 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Variablen: \( 16 \cdot 27 \cdot x^6 \cdot y^2 \cdot z^6 = 432x^6 y^2 z^6 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (yz)^2 = y^2 z^2 \). Der gesamte Nenner lautet somit \( 12x^4 y^2 z^2 \). 4. Division des Zählers durch den Nenner: Kürzen der Koeffizienten \( \frac{432}{12} = 36 \) und Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis: \( x^{6-4} = x^2 \), \( y^{2-2} = y^0 = 1 \), \( z^{6-2} = z^4 \). 5. Zusammenführen zum Endergebnis: \( 36x^2 z^4 \).

\( 36x^2 z^4 \)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert wird. - Potenziere zuerst die Ausdrücke in den inneren Klammern. - Verwende die Regel \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). - Überprüfe am Ende, ob alle Summanden die gleiche Potenz von \( x \) enthalten, damit du sie addieren oder subtrahieren kannst.

1. Berechnung des ersten Glieds: \( [(-2x)^2]^3 = [4x^2]^3 = 64x^6 \) 2. Berechnung des zweiten Glieds: \( (-4x^3)^2 = 16x^6 \) 3. Berechnung des dritten Glieds: \( [-(2x)^3]^2 = [-8x^3]^2 = 64x^6 \) 4. Berechnung des vierten Glieds: \( 2(-2x^2)^3 = 2(-8x^6) = -16x^6 \) 5. Zusammenfassen aller Glieder: \( 64x^6 - 16x^6 + 64x^6 - (-16x^6) = 48x^6 + 64x^6 + 16x^6 = 128x^6 \)

\( 128x^6 \)

- Vereinfache zuerst den Zähler und den Nenner getrennt voneinander, bevor du den Bruch kürzt. - Erinnere dich an die Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). - Beim Einsetzen einer negativen Zahl für \( a \) solltest du Klammern setzen, um Rechenfehler beim Quadrieren zu vermeiden.

1. Vereinfachung des Zählers: Innerhalb der eckigen Klammer ergibt sich \( (-a)^2 = a^2 \) und \( (-2a)^2 = 4a^2 \). Das Produkt ist \( a^2 \cdot 4a^2 = 4a^4 \). Das Quadrat davon ist \( (4a^4)^2 = 16a^8 \). 2. Vereinfachung des Nenners: \( (-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8a^6 \). 3. Division von Zähler durch Nenner: \( \frac{16a^8}{-8a^6} = -2a^{8-6} = -2a^2 \). 4. Einsetzen von \( a = -2 \) in den vereinfachten Term: \( -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8 \).

a) \( -2a^2 \) b) \( -8 \)

- Kannst du die Bestandteile des Ergebnisses einzeln betrachten (Zahl, Variable \(x\), Variable \(y\)) und überlegen, welche Basis hoch 3 dieses Ergebnis liefert? - Nutze die Potenzgesetze, um den Zähler im zweiten Aufgabenteil schrittweise zu vereinfachen, bis du kürzen kannst. - Überlege im dritten Teil, wie sich das Vorzeichen bei verschiedenen Werten für \(k\) (zum Beispiel 1, 2, 3, 4) verhält.

1. Um \(T\) zu finden, muss die Kubikwurzel aus dem Ergebnisterm gezogen werden: \(\sqrt[3]{-8} = -2\), \(\sqrt[3]{x^{6}} = x^{6 {:} 3} = x^{2}\) und \(\sqrt[3]{y^{3n}} = y^{3n {:} 3} = y^{n}\). Somit ist \(T = -2x^{2}y^{n}\). 2. Umformung der linken Seite: \(\frac{(a^{n} \cdot b)^{m}}{a^{nm}} = \frac{(a^{n})^{m} \cdot b^{m}}{a^{nm}}\) (Potenz eines Produkts). Weiter gilt \((a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}\) (Potenz einer Potenz). Einsetzen ergibt \(\frac{a^{nm} \cdot b^{m}}{a^{nm}}\). Durch Kürzen von \(a^{nm}\) erhält man \(b^{m}\). Die Gleichung ist somit allgemein gültig. 3. Der Term \((-x^{2})^{k}\) kann als \((-1 \cdot x^{2})^{k}\) geschrieben werden, was nach den Potenzgesetzen \((-1)^{k} \cdot (x^{2})^{k} = (-1)^{k} \cdot x^{2k}\) entspricht. Damit dies gleich \(x^{2k}\) ist, muss \((-1)^{k} = 1\) gelten. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Exponent \(k\) eine gerade Zahl ist.

1. \(T = -2x^{2}y^{n}\) 2. Die Gleichung ist wahr, da die linke Seite zu \(b^{m}\) vereinfacht werden kann. 3. Die Gleichung gilt genau dann, wenn \(k\) eine gerade Zahl ist, da \((-1)^{k}\) nur für gerade \(k\) positiv ist.

- Bearbeite zuerst die eckigen Klammern, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Faktor im Inneren anwendest. - Achte darauf, dass Ausdrücke wie \( (x+y) \) als eine einzige Basis behandelt werden können. - Kannst du den ersten Bruch vereinfachen, bevor du ihn mit dem zweiten Teil des Terms multiplizierst? - Was ergibt das Produkt zweier Potenzen mit gleicher Basis, wenn sich deren Exponenten zu Null addieren?

1. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Zähler): \( 5^3 \cdot ((x+y)^{2k})^3 \cdot (z^n)^3 = 125 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{3n} \) 2. Potenzieren der Produkte im ersten Bruch (Nenner): \( 25^2 \cdot ((x+y)^{3k})^2 \cdot (z^{2n})^2 = 625 \cdot (x+y)^{6k} \cdot z^{4n} \) 3. Kürzen des ersten Bruchs: \( \frac{125}{625} \cdot \frac{(x+y)^{6k}}{(x+y)^{6k}} \cdot \frac{z^{3n}}{z^{4n}} = \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot z^{3n-4n} = \frac{1}{5} z^{-n} \) 4. Multiplikation mit dem zweiten Term: \( \frac{1}{5} z^{-n} \cdot \frac{125 z^n}{(x+y)^k} \) 5. Verrechnung der Koeffizienten: \( \frac{1}{5} \cdot 125 = 25 \) 6. Verrechnung der Potenzen von \( z \): \( z^{-n} \cdot z^n = z^0 = 1 \) 7. Verbleibender Ausdruck: \( \frac{25}{(x+y)^k} \) oder \( 25(x+y)^{-k} \)

\( \frac{25}{(x+y)^k} \)