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- Was passiert, wenn du die Koordinaten des ersten Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du den Koeffizienten \(a\) nutzen, um mit dem zweiten Punkt den Exponenten \(n\) zu bestimmen? - Welche Eigenschaft des Exponenten entscheidet über die Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse?

1. Einsetzen des Punktes \(P(1 | -2)\) in \(f(x) = a \cdot x^n\): \(-2 = a \cdot 1^n\), woraus direkt \(a = -2\) folgt. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(2 | -32)\) und des Wertes für \(a\) in die Gleichung: \(-32 = -2 \cdot 2^n\). 3. Auflösen nach \(n\): \(16 = 2^n\), woraus sich \(n = 4\) ergibt. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x^4\). 4. Da der Exponent \(n = 4\) eine gerade natürliche Zahl ist, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4\). Da der Exponent \(n = 4\) gerade ist, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Wie testet man, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^n = c\) bei geraden Exponenten zwei Lösungen existieren können. - Was bedeutet der Begriff „Stelle“ im Zusammenhang mit Funktionen?

1. Punktprobe für \(P(-2 | 4)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 2. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten für \(f(x) = 64\): Ansatz \(\frac{1}{4}x^4 = 64\). Multiplikation mit \(4\) führt zu \(x^4 = 256\). Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 3. Berechnung für \(x = -3\): Einsetzen ergibt \(f(-3) = \frac{1}{4} \cdot (-3)^4 = \frac{1}{4} \cdot 81 = 20{,}25\).

a) Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(f(-2) = 4\). b) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x = 4\) und \(x = -4\). c) Der Funktionswert ist \(20{,}25\).

- Setze zuerst die bekannte Zahl in die Formel ein und vereinfache den Ausdruck in der Klammer. - Wie lässt sich die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Erinnere dich: Eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Quadratwurzel.

1. Einsetzen des gegebenen Wertes \(O = 54\) in die Formel: \(V = \left(\frac{54}{6}\right)^{1{,}5}\). 2. Vereinfachen des Bruchs in der Klammer: \(V = 9^{1{,}5}\). 3. Umwandeln des dezimalen Exponenten in einen Bruch: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(V = 9^{\frac{3}{2}}\). 4. Anwendung der Definition rationaler Exponenten: \(V = (\sqrt{9})^3\) oder \(V = \sqrt{9^3}\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(\sqrt{9} = 3\), dann \(3^3 = 27\). 6. Das Volumen beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, in welcher Potenz die Kantenlänge \(a\) in der Volumenformel vorkommt. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren mit einer Zahl multipliziert und dann potenziert wird? - Erinnere dich daran, wie man einen Wachstumsfaktor in eine prozentuale Zunahme umrechnet.

1. Berechnung des Volumenverhältnisses für Teil a): Da das Volumen proportional zur dritten Potenz der Kantenlänge ist (\(V \propto a^3\)), gilt für das Verhältnis der Volumina \(\frac{V_{neu}}{V_{alt}} = \left(\frac{a_{neu}}{a_{alt}}\right)^3\). 2. Einsetzen der Werte: \(\left(\frac{12}{10}\right)^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728\). 3. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}728\) entspricht einer Steigerung um \(72{,}8\,\%\). 4. Analyse für Teil b): Bei einer Verdreifachung der Kantenlänge (\(a' = 3a\)) ergibt sich das neue Volumen zu \(V' = \frac{\sqrt{2}}{12} (3a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 27a^3 = 27 \cdot V\). Das Volumen versiebenundzwanzigfacht sich also.

a) Das Volumen nimmt um \(72{,}8\,\%\) zu. b) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(27\), da \(3^3 = 27\) ist.

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du die Gleichung nach der Potenz freistellen? - Welche Zahl hoch 3 ergibt 8?

1. Einsetzen des Punktes \(P(4 | 32)\) in die Funktionsgleichung: \(32 = \frac{1}{2} \cdot 4^n\). 2. Multiplikation mit 2 ergibt \(64 = 4^n\). Da \(4^3 = 64\) ist, folgt \(n = 3\). 3. Ansatz für Teil b) mit \(n = 3\): \(f(a) = \frac{1}{2} a^3 = 4\). 4. Multiplikation mit 2 ergibt \(a^3 = 8\). 5. Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(n = 3\) b) \(a = 2\)

- Kannst du die Potenz mit dem Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben? - Was ist der Kehrwert des Exponenten, um die Variable zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchtest? - Überprüfe dein Ergebnis aus Teil c) mit deiner Rechnung aus Teil a).

1. Einsetzen von \(V = 125\) in die Formel: \(m = 0{,}4 \cdot 125^{2/3}\). 2. Berechnung der Potenz: \(125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25\). 3. Multiplikation: \(m = 0{,}4 \cdot 25 = 10\). Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). 4. Umstellen der Formel nach \(V\): Zuerst Division durch \(0{,}4\) ergibt \(\frac{m}{0{,}4} = V^{2/3}\), was \(2{,}5m = V^{2/3}\) entspricht. 5. Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{3}{2}\): \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{(2{,}5m)^3}\). 6. Für \(m = 10\) ergibt sich \(V = (2{,}5 \cdot 10)^{3/2} = 25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125\). Das Volumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

a) Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). b) \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{15{,}625 \cdot m^3}\). c) Das Innenvolumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie hoch drei nimmt? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben x-Wert. Siehst du ein Muster? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsensymmetrie (\(f(-x) = f(x)\)) und Punktsymmetrie (\(f(-x) = -f(x)\)). - Wie wirkt sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem aus?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(f(x) = x^3\): \(f(-2) = -8\), \(f(-1) = -1\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 8\). 2. Berechnung der Tabellenwerte für \(g(x) = -x^3\): \(g(-2) = 8\), \(g(-1) = 1\), \(g(0) = 0\), \(g(1) = -1\), \(g(2) = -8\). 3. Geometrische Abbildung: Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse. Wegen der Punktsymmetrie von \(f\) zum Ursprung führt hier auch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse zu demselben Graphen. 4. Prüfung auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(g(-x) = -(-x)^3 = x^3\), aber \(g(x) = -x^3\). Somit gilt im Allgemeinen \(g(-x) \ne g(x)\); der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Prüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(-g(x) = -(-x^3) = x^3\). Daher gilt \(g(-x) = -g(x)\), also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Werte für \(f(x)\): \(-8; -1; 0; 1; 8\); Werte für \(g(x)\): \(8; 1; 0; -1; -8\). b) Spiegelung an der \(x\)-Achse; bei dieser speziellen Funktion liefert auch die Spiegelung an der \(y\)-Achse denselben Graphen. c) Der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, aber punktsymmetrisch zum Ursprung, denn \(g(-x) = -g(x)\).

- Kannst du die Terme so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie quadrierst oder hoch vier rechnest? - Unterscheide bei den Ungleichungen zwischen Zahlen, deren Betrag größer als 1 ist, und Zahlen zwischen -1 und 1. - Gibt es eine reelle Zahl, deren vierte Potenz negativ ist?

1. Umstellen der Gleichung zu \(x^4 - x^2 = 0\) und Faktorisieren zu \(x^2(x-1)(x+1) = 0\): Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist der Ausdruck positiv, wenn \(x^2 - 1 > 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| > 1\), also \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Der Ausdruck ist negativ, wenn \(x^2 - 1 < 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| < 1\) ohne die Null, also \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\). 4. Anwendung der Potenzgesetze für gerade Exponenten: Da \((-1)^2 = 1\), gilt die Identität \((-x)^2 = x^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Prüfung der Wertebereiche gerader Potenzen: Da \(x^4 = (x^2)^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist die Ungleichung \(x^4 < 0\) für kein \(x\) erfüllt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) 3) \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\) 4) alle \(x \in \mathbb{R}\) 5) keine Lösung

- Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit drei um? - Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, wie kommst du auf die Maße seiner Seiten? - Überlege, wie sich die Seite verändert, wenn sich das gesamte Volumen verachtfacht.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) für \(V_1 = 216\,\text{dm}^3\): \(a = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a_2\) für \(V_2 = 1728\,\text{dm}^3\): \(a_2 = \sqrt[3]{1728} = 12\,\text{dm}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses der Kantenlängen: \(a_2 : a = 12 : 6 = 2\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da das Volumen um den Faktor \(8\) größer ist (\(1728 : 216 = 8\)), vergrößert sich die Kantenlänge um den Faktor \(\sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(6\,\text{dm}\) b) \(12\,\text{dm}\) c) Das Verhältnis ist \(2\). Da das Volumen achtmal so groß ist, ist die Kantenlänge \(\sqrt[3]{8} = 2\)-mal so groß.

- Welche Rolle spielt es, ob die Zahl oben an der Wurzel gerade oder ungerade ist? - Wann darf man eine Zahl nicht unter eine Wurzel schreiben? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den Bereich für \(x\) einzugrenzen? - Überlege dir bei der letzten Teilaufgabe, ob der Ausdruck unter der Wurzel jemals negativ werden kann.

1. Für Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten muss der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) größer oder gleich Null sein. 2. Bei \(f(x) = \sqrt[4]{5x - 20}\) gilt \(5x - 20 \ge 0\). Daraus folgt \(5x \ge 20\) und somit \(x \ge 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\). 3. Bei \(g(x) = \sqrt[5]{x + 12}\) ist der Wurzelexponent ungerade. Wurzeln mit ungeradem Exponenten sind für alle reellen Zahlen definiert. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 4. Bei \(h(x) = \sqrt[6]{18 - 3x}\) gilt \(18 - 3x \ge 0\) aufgrund des geraden Exponenten. Dies führt zu \(18 \ge 3x\) bzw. \(6 \ge x\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\). 5. Bei \(k(x) = \sqrt{x^2 + 9}\) muss \(x^2 + 9 \ge 0\) gelten. Da \(x^2\) für alle reellen Zahlen mindestens \(0\) ist, ist \(x^2 + 9\) immer mindestens \(9\). Die Bedingung ist für alle \(x\) erfüllt, also \(D = \mathbb{R}\).

1) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\) 2) \(D = \mathbb{R}\) 3) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\) 4) \(D = \mathbb{R}\)

- Was passiert mit einer Zahl zwischen 0 und 1, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? Wird sie größer oder kleiner? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Exponenten (gerade oder ungerade) und der Symmetrie des Graphen. - Um zwei Funktionen gleichzusetzen, kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite Null steht, und dann ausklammern.

1. Vergleich der Funktionswerte bei \(x = 0{,}5\): Da \(0 < 0{,}5 < 1\), führt ein höherer Exponent zu einem kleineren Ergebnis. Es gilt \(0{,}5^4 < 0{,}5^3 < 0{,}5^2\), also \(h(0{,}5) < g(0{,}5) < f(0{,}5)\). Konkret: \(0{,}0625 < 0{,}125 < 0{,}25\). 2. Untersuchung der Symmetrie: Funktionen mit geradzahligen Exponenten sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, solche mit ungeradzahligen Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit sind \(f(x) = x^2\) und \(h(x) = x^4\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. \(g(x) = x^3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung \((0|0)\). 3. Lösung der Gleichung \(f(x) = h(x)\): \(x^2 = x^4 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). An diesen Stellen schneiden sich die Graphen von \(f\) und \(h\).

a) \(h(0{,}5) < g(0{,}5) < f(0{,}5)\), da bei einer Basis zwischen 0 und 1 der Wert mit steigendem Exponenten abnimmt. b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f\) und \(h\); punktsymmetrisch zum Ursprung: \(g\). c) Die Graphen schneiden sich an den Stellen \(x \in \{-1; 0; 1\}\).

- Welche Information liefert dir die Punktsymmetrie über den Exponenten \(n\)? - Was kannst du über das Vorzeichen von \(a\) sagen, wenn du den Punkt \(P(2 | 8)\) betrachtest? - Wie beeinflussen das Vorzeichen von \(a\) und die Art des Exponenten den Verlauf (steigend oder fallend) des Graphen?

1. Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt, dass der Exponent \(n\) eine ungerade natürliche Zahl sein muss (\(n \in \{1, 3, 5, \dots\}\)). 2. Da der Graph durch \(P(2 | 8)\) verläuft, gilt \(a \cdot 2^n = 8\). Da \(2^n\) für alle ungeraden \(n \ge 1\) positiv ist, muss auch \(a\) positiv sein (\(a = \frac{8}{2^n} > 0\)). 3. Eine Potenzfunktion \(f(x) = a \cdot x^n\) mit positivem Koeffizienten \(a > 0\) und ungeradem Exponenten \(n\) ist jedoch im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. 4. Dies steht im Widerspruch zur Forderung, dass die Funktion streng monoton fallend sein soll. Eine solche Funktion existiert daher nicht.

Eine solche Funktion existiert nicht. Aus der Punktsymmetrie und dem Punkt \(P(2 | 8)\) folgt, dass der Koeffizient \(a\) positiv und der Exponent \(n\) ungerade sein muss. Solche Funktionen sind jedoch streng monoton wachsend, nicht fallend.

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Welche Symmetrieeigenschaften haben Potenzfunktionen mit geraden bzw. ungeraden Exponenten? - Wie verändert sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie mit einer geraden oder ungeraden Zahl potenziert?

1. Berechnung für \(n = 4\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^4\), also \(-16 = 16a\). Daraus folgt \(a = -1\). 2. Berechnung für \(n = 3\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^3\), also \(-16 = 8a\). Daraus folgt \(a = -2\). 3. Überprüfung von \(R(-2 | 16)\): Für Fall a) gilt \(g(-2) = -1 \cdot (-2)^4 = -16 \neq 16\). Für Fall b) gilt \(g(-2) = -2 \cdot (-2)^3 = -2 \cdot (-8) = 16\). Somit verläuft der Graph der Funktion aus b) (\(g(x) = -2x^3\)) durch den Punkt \(R\). Begründung: Funktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wodurch sich das Vorzeichen des Funktionswertes bei negativem \(x\) umkehrt.

a) \(a = -1\) b) \(a = -2\) c) Der Graph aus Aufgabenteil b) mit \(g(x) = -2x^3\), da \(g(-2) = 16\).

- Welche Variable kommt in beiden Grundformeln vor? - Wie kannst du eine der Formeln so umstellen, dass du diese gemeinsame Variable ersetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Auflösen der Oberflächenformel \(O = 6a^2\) nach der Kantenlänge \(a\): \(a^2 = \frac{O}{6} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{O}{6}}\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(a\) in die Volumenformel \(V = a^3\): \(V = \left(\sqrt{\frac{O}{6}}\right)^3\). 3. Umwandeln der Wurzel in die Potenzschreibweise: \(\sqrt{\frac{O}{6}} = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\). 4. Anwenden der Potenzgesetze \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\): \(V = \left(\left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). 5. Vergleich mit der Zielformel ergibt \(k = 6\) und \(n = \frac{3}{2}\) (oder \(n = 1{,}5\)).

Die hergeleitete Formel lautet \(V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\) (oder \(V = \sqrt{\left(\frac{O}{6}\right)^3}\)).

- Wenn du das Volumen kennst und die Kantenlänge suchst, welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit 3 um? - Was bedeutet es mathematisch für den Faktor vor dem \(a\), wenn das gesamte Volumen verdoppelt wird? - Schreibe die Bedingungen als Gleichungen auf, in denen die neue Kantenlänge als Vielfaches der alten Kantenlänge erscheint.

1. Zu Teil a): Gesucht ist \(a'\) mit \((a')^3 = \frac{1}{8} a^3\). Durch Ziehen der Kubikwurzel folgt \(a' = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \cdot a = \frac{1}{2} a\). Die Kantenlänge muss halbiert werden (Faktor \(0{,}5\)). 2. Zu Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((k \cdot a)^3 = 2 \cdot a^3\). Es folgt \(k^3 = 2\), also \(k = \sqrt[3]{2}\). 3. Zu Teil c): Ein Volumen von \(50\,\%\) entspricht \(V' = 0{,}5 \cdot V\). Es gilt \((a')^3 = 0{,}5 \cdot a^3\), woraus \(a' = \sqrt[3]{0{,}5} \cdot a\) folgt. Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\), kann dies auch als \(a' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot a\) geschrieben werden.

a) Die Kantenlänge muss durch den Faktor \(2\) geteilt (bzw. mit \(0{,}5\) multipliziert) werden. b) Der Faktor ist \(\sqrt[3]{2}\). c) Die Kantenlänge schrumpft auf das \(\sqrt[3]{0{,}5}\)-fache (oder \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)-fache) der ursprünglichen Länge.

- Setze die Koordinaten von \(P\) in die allgemeine Form ein und löse nach \(k\) auf. - Überlege dir, welches Vorzeichen eine negative Zahl hat, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert. - Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, damit das Gesamtergebnis der Rechnung positiv (\(y=4\)) wird?

1. Für \(n = 2\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^2\), also \(4 = 4k\). Daraus folgt \(k = 1\). 2. Für \(n = 3\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^3\), also \(4 = -8k\). Daraus folgt \(k = -0{,}5\). 3. Analyse für gerade \(n\): Da \((-2)^{\text{gerade}}\) stets positiv ist, muss \(k\) positiv sein, damit das Ergebnis \(y = 4\) (positiv) ist. 4. Analyse für ungerade \(n\): Da \((-2)^{\text{ungerade}}\) stets negativ ist, muss \(k\) negativ sein, damit das Produkt \(k \cdot (-2)^n\) positiv (\(y = 4\)) wird.

a) Für \(n = 2\) ist \(k = 1\). Für \(n = 3\) ist \(k = -0{,}5\). b) Wenn \(n\) gerade ist, muss \(k > 0\) (positiv) sein. Wenn \(n\) ungerade ist, muss \(k < 0\) (negativ) sein. Begründung: \((-2)^n\) ist positiv für gerade \(n\) und negativ für ungerade \(n\); \(k\) muss das Vorzeichen so anpassen, dass \(y = 4\) resultiert.

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch darstellen? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn ein Produkt in der Klammer steht und potenziert wird? - Wenn du eine Gleichung nach einer Basis auflösen willst, mit welchem Exponenten musst du beide Seiten potenzieren?

1. Einsetzen von \(x = 16\): \(y = 3 \cdot 16^{0{,}75} = 3 \cdot 16^{3/4}\). 2. Berechnung der Potenz: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). 3. Ergebnis für a): \(y = 3 \cdot 8 = 24\). 4. Umformen nach \(x\): Division durch 3 liefert \(\frac{y}{3} = x^{3/4}\). 5. Potenzieren mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\). 6. Untersuchung der Änderung: Ersetzt man \(x\) durch \(81x\), folgt \(y_{neu} = 3 \cdot (81x)^{3/4} = 3 \cdot 81^{3/4} \cdot x^{3/4}\). 7. Da \(81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27\), gilt \(y_{neu} = 27 \cdot (3 \cdot x^{3/4}) = 27y\). Der Wert vergrößert sich um den Faktor 27.

a) \(y = 24\) b) \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\) c) Der Wert von \(y\) vergrößert sich um den Faktor 27, da \((81 \cdot x)^{3/4} = 81^{3/4} \cdot x^{3/4} = 27 \cdot x^{3/4}\).

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Potenziere zuerst die Zahl, bevor du sie mit dem Parameter multiplizierst. - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche \(k(x)\) direkt mit \(h(x)\), indem du \(k(x) = c \cdot h(x)\) schreibst.

1. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(P(2 | 4)\) in \(4 = a \cdot 2^3\). Dies ergibt \(4 = 8a\), woraus \(a = 0{,}5\) folgt. 2. Berechnung von \(h(-3)\): \(h(-3) = 0{,}5 \cdot (-3)^3 = 0{,}5 \cdot (-27) = -13{,}5\). 3. Analyse von \(k(x)\): Einsetzen von \(Q(1 | -2)\) ergibt \(-2 = b \cdot 1^3\), also \(b = -2\). 4. Vergleich der Graphen: Es gilt \(k(x) = -2x^3 = -4 \cdot 0{,}5x^3 = -4h(x)\). Der Graph von \(k\) entsteht daher aus dem Graphen von \(h\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Er verläuft, abgesehen vom Ursprung, im II. und IV. Quadranten.

a) \(a = 0{,}5\). b) \(h(-3) = -13{,}5\). c) Es gilt \(k(x) = -4h(x)\). Der Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\); er verläuft im II. und IV. Quadranten sowie durch den Ursprung.

- Kannst du die Quadratwurzel aus einem Produkt ziehen, indem du die Exponenten der Faktoren betrachtest? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Seitenlänge der Grundfläche bekannt ist? - Erinnere dich an das Gesetz zur Potenzierung von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Berechnung der Seitenlänge \(s\) durch Wurzelziehen: \(s = \sqrt{2^8 \cdot 5^2} = (2^8 \cdot 5^2)^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze: \(s = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) des Würfels: \(V = s^3 = 80^3 = 512\,000\,\text{m}^3\). 4. Darstellung als Potenzprodukt: \(V = (2^4 \cdot 5)^3 = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{1 \cdot 3} = 2^{12} \cdot 5^3\).

a) \(s = 80\,\text{m}\) b) \(V = 512\,000\,\text{m}^3\) c) \(V = 2^{12} \cdot 5^3\)

- Überlege dir, welche Zahlen man in eine vierte Wurzel einsetzen darf und welche in eine dritte Wurzel. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie hoch 3 oder hoch 4 nimmt? - Bei Teilaufgabe c) hilft es, den Ausdruck unter der Wurzel durch eine andere Variable zu ersetzen. - Welche Zahlen ergeben denselben Wert, egal ob man die dritte oder die vierte Wurzel zieht?

1. Untersuchung von \(f(x)\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade. Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\). Also \(D_f = [3; \infty[\). 2. Untersuchung von \(g(x)\): Der Wurzelexponent \(3\) ist ungerade. Eine ungerade Wurzel ist für alle reellen Zahlen definiert, auch für negative Radikanden. Also \(D_g = \mathbb{R}\). 3. Vergleich: Der Unterschied liegt darin, dass Potenzen mit geraden Exponenten niemals negativ sind (im Reellen), weshalb die Umkehrung (die Wurzel) nur für nicht-negative Werte definiert ist. Ungerade Potenzen hingegen erhalten das Vorzeichen, weshalb ihre Umkehrung für alle Werte existiert. 4. Gleichung lösen: \(\sqrt[4]{x - 3} = \sqrt[3]{x - 3}\). Zuerst muss \(x\) im Definitionsbereich beider Funktionen liegen, also \(x \ge 3\). 5. Setze \(u = x - 3\). Die Gleichung lautet \(\sqrt[4]{u} = \sqrt[3]{u}\) bzw. \(u^{\frac{1}{4}} = u^{\frac{1}{3}}\). 6. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die Basis \(0\) oder \(1\) ist. 7. Fall 1: \(u = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{0} = 0\) und \(\sqrt[3]{0} = 0\). 8. Fall 2: \(u = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{1} = 1\) und \(\sqrt[3]{1} = 1\). 9. Für andere Werte \(u > 0\) und \(u \neq 1\) sind die Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten niemals gleich.

a) \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\); \(D_g = \mathbb{R}\). b) Bei geraden Wurzelexponenten muss der Radikand \(\ge 0\) sein; bei ungeraden darf er beliebig sein. c) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\).

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen eines Würfels und eines Quaders. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Größen „gleich“ sein sollen? - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Überlege dir, wie sich die Werte von \(x^2\) und \(x^3\) verändern, wenn \(x\) sehr groß wird.

1. Aufstellen der Volumenformeln: \(V_{\text{W}}(x) = x^3\) und \(V_{\text{Q}}(x) = x^2 \cdot 4 = 4x^2\). 2. Gleichsetzen der Volumina zur Bestimmung von \(x\): \(x^3 = 4x^2\). 3. Umformen der Gleichung: \(x^3 - 4x^2 = 0 \implies x^2(x - 4) = 0\). 4. Da \(x > 0\) gefordert ist, entfällt die Lösung \(x = 0\). Es bleibt \(x - 4 = 0\), also \(x = 4\,\text{m}\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = 4^3 = 64\,\text{m}^3\) (oder \(4 \cdot 4^2 = 64\,\text{m}^3\)). 6. Begründung für große \(x\): Da die Potenz \(x^3\) schneller wächst als \(4x^2\), wird der Würfel für alle \(x > 4\) ein größeres Volumen haben.

a) \(V_{\text{W}} = x^3\) und \(V_{\text{Q}} = 4x^2\). b) Die Kantenlänge beträgt \(x = 4\,\text{m}\). c) Das Volumen beträgt \(64\,\text{m}^3\). d) Das Volumen des Würfels wächst kubisch (\(x^3\)), während das des Quaders nur quadratisch (\(4x^2\)) wächst. Ab dem Schnittpunkt bei \(x=4\) steigt \(x^3\) steiler an.

- Schreibe die Funktionen mit negativen Exponenten als Brüche um, um sie besser analysieren zu können. - Überlege dir, welche Vorzeichen das Ergebnis haben kann, wenn du eine negative Zahl für \(x\) einsetzt. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? Und was passiert, wenn der Nenner sehr klein (nahe Null) wird? - Um den Schnittpunkt zu finden, setze die Funktionsterme gleich und löse nach \(x\) auf.

1. Definitionsbereich und Quadranten: Da durch Null nicht dividiert werden darf, ist für beide Funktionen \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Der Graph von \(f(x) = \frac{1}{x}\) verläuft im I. und III. Quadranten. Der Graph von \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) verläuft im I. und II. Quadranten. 2. Vergleich bei \(x = 0{,}1\): \(f(0{,}1) = 10\) und \(g(0{,}1) = 100\). Für \(x \to 0^+\) wächst \(g(x)\) schneller gegen unendlich als \(f(x)\). 3. Für \(x \to \infty\) nähern sich beide Funktionswerte \(0\). Die Graphen nähern sich der \(x\)-Achse, also der waagerechten Asymptote \(y=0\). 4. Schnittpunktberechnung: \(x^{-1} = x^{-2}\). Für \(x \ne 0\) führt die Multiplikation mit \(x^2\) zu \(x=1\). Der zugehörige Funktionswert ist \(1\), also \(S(1|1)\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). \(f\) verläuft im I. und III. Quadranten, \(g\) im I. und II. Quadranten. b) \(f(0{,}1)=10\), \(g(0{,}1)=100\); für \(x \to 0^+\) wächst \(g\) schneller gegen unendlich. c) Beide Funktionswerte nähern sich \(0\); die Graphen nähern sich der Geraden \(y=0\). d) \(S(1|1)\).

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um Schnittpunkte zu finden? - Überprüfe für den Vergleich der Graphen Werte, die größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegen. - Was muss für den Exponenten \(n\) und den Koeffizienten \(a\) gelten, damit der Wertebereich nur aus nicht-negativen Zahlen besteht? - Kannst du für Teilaufgabe c) verschiedene gerade Zahlen für \(n\) ausprobieren?

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^2 = x^4 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). 2. Vergleich der Funktionswerte: Für \(|x| > 1\) (z. B. \(x=2\)) gilt \(2^4 = 16 > 2^2 = 4\). Für \(|x| < 1\) (z. B. \(x=0{,}5\)) gilt \(0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}5^2 = 0{,}25\). Der Graph von \(g\) liegt also für \(x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\) oberhalb von \(f\). 3. Wertebereich von \(f(x) = x^2\) ist \(W = [0; \infty[\). Damit \(h(x) = a \cdot x^n\) denselben Wertebereich hat, muss \(n\) gerade und \(a > 0\) sein. 4. Punkt \(S(2 | 16)\) einsetzen: \(16 = a \cdot 2^n\). - Möglichkeit 1: Wähle \(n=2\). Dann ist \(16 = a \cdot 4\), also \(a = 4\). Term: \(h(x) = 4x^2\). - Möglichkeit 2: Wähle \(n=4\). Dann ist \(16 = a \cdot 16\), also \(a = 1\). Term: \(h(x) = x^4\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). b) Der Graph von \(g\) verläuft für \(x < -1\) und für \(x > 1\) oberhalb von \(f\). c) Zwei mögliche Funktionsterme sind \(h(x) = 4x^2\) und \(h(x) = x^4\).

- Erinnere dich an die Definition von negativen Exponenten: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). - Überlege, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) für beliebige reelle Zahlen annehmen kann. - Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn die Basis verdoppelt wird und der Exponent \(2\) ist?

1. Lösung der Gleichung \(3x^{-2} = \frac{1}{12}\): Umschreiben zu \(3 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{12}\). Multiplikation mit \(x^2\) und \(12\) ergibt \(36 = x^2\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Begründung der positiven Funktionswerte: Der Term \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer als Null ist. Da der Koeffizient \(3\) ebenfalls positiv ist, ist das Produkt \(3 \cdot \frac{1}{x^2}\) immer positiv. 3. Untersuchung der Verdopplung: Ersetzt man \(x\) durch \(2x\), erhält man \(k(2x) = 3(2x)^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{(2x)^2} = 3 \cdot \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4} \cdot (3x^{-2}) = \frac{1}{4} k(x)\). Der Funktionswert viertelt sich also.

a) \(x = 6\) und \(x = -6\). b) Da \(x^2\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, ist auch \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) positiv. Die Multiplikation mit \(3\) ändert das Vorzeichen nicht. c) Der Funktionswert wird durch \(4\) geteilt (er viertelt sich).

- Wie verändert sich der Term in der Formel, wenn du das Volumen durch das Achtfache des Volumens ersetzt? - Welches Gesetz erlaubt es dir, ein Produkt in der Klammer einzeln zu potenzieren? - Was bedeutet ein Exponent wie \(\frac{2}{3}\) konkret als Wurzel und Potenz? - Musst du die ursprüngliche Größe des Tanks kennen, um das Verhältnis zu bestimmen?

1. Sei \(V_1\) das ursprüngliche Volumen und \(O_1 = 6 \cdot V_1^{\frac{2}{3}}\) die zugehörige Oberfläche. 2. Das neue Volumen ist \(V_2 = 8 \cdot V_1\). 3. Einsetzen von \(V_2\) in die Formel: \(O_2 = 6 \cdot (8 \cdot V_1)^{\frac{2}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(O_2 = 6 \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot V_1^{\frac{2}{3}}\). 5. Berechnung des Faktors \(8^{\frac{2}{3}}\): \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\) (oder \((\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)). 6. Vergleich der Oberflächen: \(O_2 = 4 \cdot (6 \cdot V_1^{\frac{2}{3}}) = 4 \cdot O_1\). 7. Der Materialbedarf vervierfacht sich.

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Wie hängt die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge ab? - Wenn eine Länge um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, welcher Dezimalfaktor bleibt dann übrig? - Denke daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor quadriert werden muss.

1. Zu Teil a): Sei \(A_1 = s_1^2\) die ursprüngliche Fläche. Die neue Fläche soll \(A_2 = 2 \cdot A_1\) sein. Mit \(A_2 = s_2^2\) ergibt sich \(s_2^2 = 2 \cdot s_1^2\). Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(s_2 = \sqrt{2} \cdot s_1\). Die Seitenlänge muss also mit \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. 2. Zu Teil b): Eine Reduktion der Seitenlänge um \(20\,\%\) bedeutet \(s_{neu} = 0{,}8 \cdot s_{alt}\). 3. Berechnung der neuen Fläche: \(A_{neu} = (0{,}8 \cdot s_{alt})^2 = 0{,}8^2 \cdot s_{alt}^2 = 0{,}64 \cdot A_{alt}\). 4. Die neue Fläche beträgt noch \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche. Der Verlust beträgt somit \(100\,\% - 64\,\% = 36\,\%\).

a) Die Seitenlänge muss mit dem Faktor \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. b) Es gehen \(36\,\%\) der ursprünglichen Fläche verloren.

- Setze zuerst die bekannten Werte ein, um die unbekannte Konstante zu finden. - Wie kannst du eine Potenz mit einem Bruch-Exponenten „rückgängig“ machen? - Kannst du die Division in der Klammer zuerst vereinfachen, bevor du die Potenz berechnest?

1. Bestimmung von \(c\): Einsetzen der Werte in \(24 = c \cdot 16^{3/4}\). 2. Berechnung der Potenz: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). 3. Auflösen nach \(c\): \(24 = c \cdot 8 \Rightarrow c = 3\). 4. Umstellen der Formel nach \(M\): Division durch \(c\) ergibt \(\frac{R}{c} = M^{3/4}\). 5. Potenzieren mit \(\frac{4}{3}\) ergibt \(M = (\frac{R}{c})^{4/3}\). 6. Berechnung für \(R = 81\) und \(c = 3\): \(M = (\frac{81}{3})^{4/3} = 27^{4/3}\). 7. Ausrechnen der Potenz: \(27^{4/3} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81\). Die Masse beträgt \(81\,\text{kg}\).

a) \(c = 3\) b) \(M = (\frac{R}{c})^{4/3}\) c) Die Körpermasse beträgt \(81\,\text{kg}\).

- Versuche, den Ausdruck \(x^5 - x^3\) zu faktorisieren, um die kritischen Stellen zu finden. - Wie ändert sich das Verhalten von Potenzen, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, im Vergleich zu einer Basis größer als 1? - Überlege dir für negative Basen, ob der Wert der Potenz bei einem höheren ungeraden Exponenten kleiner oder größer wird. - Ein Test mit Beispielwerten aus den Intervallen (z. B. \(2\), \(0{,}5\) oder \(-2\)) kann dir helfen, deine Vermutung zu prüfen.

1. Lösen der Gleichung \(x^5 - x^3 = 0\) durch Ausklammern: \(x^3(x^2-1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Durchführung einer Vorzeichenanalyse für das Produkt \(x^3(x-1)(x+1)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: Das Produkt ist positiv für \(x \in (-1; 0)\) und \(x \in (1; \infty)\). 3. Vergleich der Werte in den spezifischen Intervallen: - Für \(x > 1\): \(x^5 > x^3\), da bei Basen größer als 1 die Potenz mit dem höheren Exponenten größer ist. - Für \(0 < x < 1\): \(x^3 > x^5\), da bei Basen zwischen 0 und 1 höhere Potenzen kleinere Werte liefern. - Für \(x < -1\): \(x^3 > x^5\), da beide Potenzen negativ sind und \(|x^5| > |x^3|\) gilt, wodurch \(x^5\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(L = (-1; 0) \cup (1; \infty)\) 3) a) \(x^5 > x^3\); b) \(x^3 > x^5\); c) \(x^3 > x^5\)