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- Was passiert, wenn du die Koordinaten des ersten Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du den Koeffizienten \(a\) nutzen, um mit dem zweiten Punkt den Exponenten \(n\) zu bestimmen? - Welche Eigenschaft des Exponenten entscheidet über die Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse?

1. Einsetzen des Punktes \(P(1 | -2)\) in \(f(x) = ax^n\): \(-2 = a \cdot 1^n\), woraus direkt \(a = -2\) folgt. 2. Einsetzen des Punktes \(Q(2 | -32)\) und des Wertes für \(a\) in die Gleichung: \(-32 = -2 \cdot 2^n\). 3. Auflösen nach \(n\): \(16 = 2^n\), woraus sich \(n = 4\) ergibt. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -2x^4\). 4. Da der Exponent \(n = 4\) eine gerade natürliche Zahl ist, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4\). Da der Exponent \(n = 4\) gerade ist, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Wie testet man, ob ein Punkt die Bedingung einer Gleichung erfüllt? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen der Form \(x^n = c\) bei geraden Exponenten zwei Lösungen existieren können. - Was bedeutet der Begriff „Stelle“ im Zusammenhang mit Funktionen?

1. Punktprobe für \(P(-2 | 4)\): Einsetzen von \(x = -2\) in die Gleichung ergibt \(f(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). Da der berechnete Wert mit der \(y\)-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen. 2. Bestimmung der \(x\)-Koordinaten für \(f(x) = 64\): Ansatz \(\frac{1}{4}x^4 = 64\). Multiplikation mit \(4\) führt zu \(x^4 = 256\). Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 3. Berechnung für \(x = -3\): Einsetzen ergibt \(f(-3) = \frac{1}{4} \cdot (-3)^4 = \frac{1}{4} \cdot 81 = 20{,}25\).

a) Ja, der Punkt liegt auf dem Graphen, da \(f(-2) = 4\). b) Die \(x\)-Koordinaten sind \(x = 4\) und \(x = -4\). c) Der Funktionswert ist \(20{,}25\).

- Überlege dir, welche Vorzeichen die Funktionswerte von \(f(x)\) und \(g(x)\) für beliebige \(x\)-Werte annehmen können. - Können eine positive und eine negative Zahl (außer der Null) jemals gleich sein? - Wenn du die Gleichung löst, achte auf Terme wie \(x^2 + 1\). Können diese null werden?

1. Argumentation für a): Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x\), gilt \(f(x) \geq 0\). Da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x\), gilt \(g(x) = -2x^6 \leq 0\). Ein gemeinsamer Punkt kann nur existieren, wenn beide Funktionswerte gleich \(0\) sind. Dies ist nur bei \(x=0\) der Fall, da für alle \(x \neq 0\) gilt: \(f(x) > 0\) und \(g(x) < 0\). 2. Rechnung für b): \(2x^4 = -2x^6 \Rightarrow 2x^4 + 2x^6 = 0\). 3. Faktorisieren: \(2x^4(1 + x^2) = 0\). 4. Nullstellen finden: \(2x^4 = 0\) liefert \(x = 0\). Der Faktor \((1 + x^2) = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -1\) im Bereich der reellen Zahlen unmöglich ist. 5. Einziger Schnittpunkt ist somit \(S(0 | 0)\).

a) Da \(f(x)\) für alle \(x\) stets größer oder gleich Null ist und \(g(x)\) stets kleiner oder gleich Null, können sie nur beim Wert Null (also im Ursprung) übereinstimmen. b) Die Rechnung \(2x^4(1 + x^2) = 0\) zeigt, dass nur \(x=0\) eine reelle Lösung ist, da \(1 + x^2\) niemals Null wird. Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 | 0)\).

- Überlege dir, in welcher Potenz die Kantenlänge \(a\) in der Volumenformel vorkommt. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren mit einer Zahl multipliziert und dann potenziert wird? - Erinnere dich daran, wie man einen Wachstumsfaktor in eine prozentuale Zunahme umrechnet.

1. Berechnung des Volumenverhältnisses für Teil a): Da das Volumen proportional zur dritten Potenz der Kantenlänge ist (\(V \propto a^3\)), gilt für das Verhältnis der Volumina \(\frac{V_{neu}}{V_{alt}} = \left(\frac{a_{neu}}{a_{alt}}\right)^3\). 2. Einsetzen der Werte: \(\left(\frac{12}{10}\right)^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728\). 3. Bestimmung der prozentualen Zunahme: Ein Faktor von \(1{,}728\) entspricht einer Steigerung um \(72{,}8\,\%\). 4. Analyse für Teil b): Bei einer Verdreifachung der Kantenlänge (\(a' = 3a\)) ergibt sich das neue Volumen zu \(V' = \frac{\sqrt{2}}{12} (3a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 27a^3 = 27V\). Das Volumen versiebenundzwanzigfacht sich also.

a) Das Volumen nimmt um \(72{,}8\,\%\) zu. b) Das Volumen vergrößert sich um den Faktor \(27\), da \(3^3 = 27\) ist.

- Was passiert, wenn du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du die Gleichung nach der Potenz freistellen? - Welche Zahl hoch 3 ergibt 8?

1. Einsetzen des Punktes \(P(4 | 32)\) in die Funktionsgleichung: \(32 = \frac{1}{2} \cdot 4^n\). 2. Multiplikation mit 2 ergibt \(64 = 4^n\). Da \(4^3 = 64\) ist, folgt \(n = 3\). 3. Ansatz für Teil b) mit \(n = 3\): \(f(a) = \frac{1}{2} a^3 = 4\). 4. Multiplikation mit 2 ergibt \(a^3 = 8\). 5. Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(n = 3\) b) \(a = 2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie hoch drei nimmt? - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Funktionen für denselben x-Wert. Siehst du ein Muster? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsensymmetrie (\(f(-x) = f(x)\)) und Punktsymmetrie (\(f(-x) = -f(x)\)). - Wie wirkt sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem aus?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(f(x) = x^3\): \(f(-2) = -8\), \(f(-1) = -1\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 8\). 2. Berechnung der Tabellenwerte für \(g(x) = -x^3\): \(g(-2) = 8\), \(g(-1) = 1\), \(g(0) = 0\), \(g(1) = -1\), \(g(2) = -8\). 3. Geometrische Abbildung: Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse. Wegen der Punktsymmetrie von \(f\) zum Ursprung führt hier auch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse zu demselben Graphen. 4. Prüfung auf Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(g(-x) = -(-x)^3 = x^3\), aber \(g(x) = -x^3\). Somit gilt im Allgemeinen \(g(-x) \ne g(x)\); der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Prüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(-g(x) = -(-x^3) = x^3\). Daher gilt \(g(-x) = -g(x)\), also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) Werte für \(f(x)\): \(-8; -1; 0; 1; 8\); Werte für \(g(x)\): \(8; 1; 0; -1; -8\). b) Spiegelung an der \(x\)-Achse; bei dieser speziellen Funktion liefert auch die Spiegelung an der \(y\)-Achse denselben Graphen. c) Der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, aber punktsymmetrisch zum Ursprung, denn \(g(-x) = -g(x)\).

- Kannst du die Terme so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie quadrierst oder hoch vier rechnest? - Unterscheide bei den Ungleichungen zwischen Zahlen, deren Betrag größer als 1 ist, und Zahlen zwischen -1 und 1. - Gibt es eine reelle Zahl, deren vierte Potenz negativ ist?

1. Umstellen der Gleichung zu \(x^4 - x^2 = 0\) und Faktorisieren zu \(x^2(x-1)(x+1) = 0\): Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist der Ausdruck positiv, wenn \(x^2 - 1 > 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| > 1\), also \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(x^2(x^2-1)\): Der Ausdruck ist negativ, wenn \(x^2 - 1 < 0\) und \(x \neq 0\). Dies gilt für \(|x| < 1\) ohne die Null, also \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\). 4. Anwendung der Potenzgesetze für gerade Exponenten: Da \((-1)^2 = 1\), gilt die Identität \((-x)^2 = x^2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Prüfung der Wertebereiche gerader Potenzen: Da \(x^4 = (x^2)^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen gilt, ist die Ungleichung \(x^4 < 0\) für kein \(x\) erfüllt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)\) 3) \(x \in (-1; 0) \cup (0; 1)\) 4) alle \(x \in \mathbb{R}\) 5) keine Lösung

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt? - Wie kannst du eine Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) in der fünften Potenz steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Dezimalzahlen und Brüchen, falls dir das Rechnen mit Kommazahlen schwerfällt.

1. Für Punkt \(A\): Einsetzen von \(x = 3\) in \(y = x^5\) ergibt \(y = 3^5 = 243\). Somit ist \(A(3; 243)\). 2. Für Punkt \(B\): Einsetzen von \(y = -32\) ergibt \(-32 = x^5\). Ziehen der 5. Wurzel liefert \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(B(-2; -32)\). 3. Für Punkt \(C\): Einsetzen von \(x = -0{,}1\) ergibt \(y = (-0{,}1)^5 = -0{,}00001\). Somit ist \(C(-0{,}1; -0{,}00001)\). 4. Für Punkt \(D\): Einsetzen von \(y = 0\) ergibt \(0 = x^5\), woraus direkt \(x = 0\) folgt. Somit ist \(D(0; 0)\). 5. Für Punkt \(E\): Einsetzen von \(x = 0{,}5\) ergibt \(y = (0{,}5)^5 = 0{,}03125\). Somit ist \(E(0{,}5; 0{,}03125)\).

a) \(A(3; 243)\) b) \(B(-2; -32)\) c) \(C(-0{,}1; -0{,}00001)\) d) \(D(0; 0)\) e) \(E(0{,}5; 0{,}03125)\)

- Überlege dir, wie sich ein Faktor vor dem \(x^3\) auf die \(y\)-Werte auswirkt. - Welcher Graph steigt bei positiven \(x\)-Werten am schnellsten an? - Vergleiche die Lage der Graphen zueinander bei einem festen Wert, zum Beispiel bei \(x = 1\).

1. Analyse des Parameters \(a\): In der Funktionsgleichung \(y = ax^3\) bewirkt ein größerer Wert von \(a\), dass der Graph für denselben \(x\)-Wert steiler verläuft (stärkere Streckung in \(y\)-Richtung). 2. Vergleich der Werte: Es gilt \(2{,}5 > 1 > 0{,}4\). 3. Zuordnung: * Graph \(1\) ist der steilste Graph, er gehört zu Gleichung A: \(y = 2{,}5x^3\). * Graph \(2\) liegt zwischen den beiden anderen, er gehört zu Gleichung B: \(y = x^3\). * Graph \(3\) verläuft am flachsten, er gehört zu Gleichung C: \(y = 0{,}4x^3\).

1 \(\rightarrow\) A, 2 \(\rightarrow\) B, 3 \(\rightarrow\) C

- Wo liegt der tiefste Punkt der ursprünglichen Funktion \(x^4\)? - Vergleiche die Position des Minimums im Bild mit der Position des Minimums von \(x^4\). - Wie ändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt?

1. Identifikation des charakteristischen Punktes (Scheitelpunkt bzw. Minimum): Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass das Minimum der Funktion bei \(S(1 \mid 1)\) liegt. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Da der Graph von \(g(x) = x^4\) seinen tiefsten Punkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) hat, lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion \(f(x) = (x - 1)^4 + 1\). 3. Beschreibung der Transformation: Der Graph von \(g\) wurde um eine Einheit nach rechts (in positive \(x\)-Richtung) und um eine Einheit nach oben (in positive \(y\)-Richtung) verschoben.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = (x - 1)^4 + 1\). Der Graph entstand durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben.

- Achte auf die Symmetrie der Graphen. Welche Funktionen sind achsensymmetrisch, welche punktsymmetrisch? - Überprüfe, ob der Graph durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verläuft. - Was passiert mit den y-Werten, wenn die x-Werte sehr groß werden oder gegen Null gehen?

1. Graph \(g\) ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft und nur nichtnegative \(y\)-Werte annimmt. Dies entspricht der Gleichung \(y = x^2\). 2. Graph \(h\) verläuft durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Er verläuft vom III. in den I. Quadranten. Dies entspricht der Gleichung \(y = x^3\). 3. Graph \(f\) besteht aus zwei Ästen im I. und III. Quadranten und nähert sich den Koordinatenachsen an, ohne sie zu berühren. Dies ist eine Hyperbel und entspricht der Gleichung \(y = \frac{1}{x}\).

\(f: y = \frac{1}{x}\); \(g: y = x^2\); \(h: y = x^3\)

- Was passiert mit den \(y\)-Werten, wenn man den gesamten Term mit einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert? - Setze den Wert \(x = 2\) einfach in die Funktionsgleichung von \(g\) ein.

1. Interpretation des Faktors: Der Faktor \(a = 0{,}5\) bewirkt eine Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Jeder Funktionswert von \(g\) ist genau halb so groß wie der entsprechende Wert von \(f\) an derselben Stelle \(x\). 2. Berechnung des Funktionswerts: \(g(2) = 0{,}5 \cdot 2^3 = 0{,}5 \cdot 8 = 4\). Der Punkt auf dem Graphen ist \(P(2 \mid 4)\).

a) Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem Graphen von \(f\) in \(y\)-Richtung gestaucht (flacherer Verlauf). b) \(g(2) = 4\). Der Punkt ist \(P(2 \mid 4)\).

- Vergleiche die \(y\)-Werte der Punkte \(A\) und \(B\). Was fällt dir auf? - Welche Art von Symmetrie liegt vor, wenn \(f(x) = f(-x)\) gilt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Exponenten einer Potenzfunktion und ihrer Symmetrie. - Setze einen Punkt in die allgemeine Form ein, um den Parameter \(a\) zu berechnen.

1. Da die Punkte \(A(2 \mid 16)\) und \(B(-2 \mid 16)\) dieselbe \(y\)-Koordinate für entgegengesetzte \(x\)-Werte haben, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Dies ist bei Potenzfunktionen der Form \(ax^n\) der Fall, wenn der Exponent \(n\) gerade ist. 2. Die kleinstmögliche positive gerade natürliche Zahl ist \(n = 2\). 3. Setze den Punkt \(A(2 \mid 16)\) in den Ansatz \(f(x) = ax^2\) ein: \(16 = a \cdot 2^2\), also \(16 = 4a\). 4. Daraus folgt \(a = 4\). Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 4x^2\).

a) Da \(f(2) = f(-2) = 16\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher muss der Exponent \(n\) gerade sein. b) Die kleinstmögliche positive gerade natürliche Zahl ist \(n = 2\). Durch Einsetzen von \(A(2 \mid 16)\) ergibt sich \(a = 4\), also \(f(x) = 4x^2\).

- Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für das Aussehen des Graphen? - Erinnere dich an die Nummerierung der Quadranten (gegen den Uhrzeigersinn, beginnend oben rechts). - Teste einen positiven und einen negativen \(x\)-Wert für \(g(x)\), um die Lage im Koordinatensystem zu prüfen.

1. Geometrische Abbildung: Der Term \(-x^3\) entspricht \(-(x^3)\). Dies bedeutet, dass jeder Funktionswert von \(f\) negiert wird. Somit entsteht der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der x-Achse. (Alternativ: Spiegelung an der y-Achse, da \((-x)^3 = -x^3\)). 2. Quadranten: Der Graph von \(f(x) = x^3\) verläuft im I. und III. Quadranten. Durch die Spiegelung an der x-Achse verläuft der Graph von \(g(x) = -x^3\) im II. Quadranten (für negative \(x\)-Werte sind die \(y\)-Werte positiv) und im IV. Quadranten (für positive \(x\)-Werte sind die \(y\)-Werte negativ).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der x-Achse (oder an der y-Achse). b) Der Graph von \(g\) verläuft im II. und IV. Quadranten.

- Wo startet eine normale Wurzelfunktion ohne Verschiebung im Koordinatensystem? - Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse an. - Überlege, wie sich eine Zahl, die außerhalb der Wurzel addiert wird, auf die Lage des Graphen auswirkt.

1. Identifikation eines markanten Punktes: Der Graph einer einfachen Wurzelfunktion \(y = \sqrt{x}\) beginnt im Ursprung \((0 \mid 0)\). 2. Bestimmung der vertikalen Verschiebung: Der gezeichnete Graph beginnt auf der \(y\)-Achse beim Punkt \((0 \mid 3)\). 3. Bestimmung von \(c\): Da der Funktionswert bei \(x = 0\) genau \(f(0) = \sqrt{0} + c = c\) ist, folgt direkt \(c = 3\). 4. Aufstellen der Gleichung: Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \sqrt{x} + 3\).

Der Wert der Konstante ist \(c = 3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \sqrt{x} + 3\).

- Welche Werte für \(x\) und \(y\) kannst du an der Stelle des Punktes \(Q\) ablesen? - Was musst du tun, wenn du einen Punkt und eine Funktionsgleichung mit einem unbekannten Parameter hast? - Denke daran, zuerst die Potenz zu berechnen, bevor du nach \(a\) auflöst.

1. Koordinaten ablesen: Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((2 \mid 1)\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: Wir setzen \(x = 2\) und \(f(x) = 1\) in \(f(x) = ax^2\) ein: \(1 = a \cdot 2^2\). 3. Berechnung: - \(1 = a \cdot 4\) - \(a = \frac{1}{4} = 0{,}25\) 4. Die Funktion lautet somit \(f(x) = 0{,}25x^2\).

Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((2 \mid 1)\). Der Streckfaktor ist \(a = 0{,}25\).

- Welche Information liefert dir die Punktsymmetrie über den Exponenten \(n\)? - Was kannst du über das Vorzeichen von \(a\) sagen, wenn du den Punkt \(P(2 | 8)\) betrachtest? - Wie beeinflussen das Vorzeichen von \(a\) und die Art des Exponenten den Verlauf (steigend oder fallend) des Graphen?

1. Aus der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt, dass der Exponent \(n\) eine ungerade natürliche Zahl sein muss (\(n \in \{1, 3, 5, \dots\}\)). 2. Da der Graph durch \(P(2 | 8)\) verläuft, gilt \(a \cdot 2^n = 8\). Da \(2^n\) für alle ungeraden \(n \ge 1\) positiv ist, muss auch \(a\) positiv sein (\(a = \frac{8}{2^n} > 0\)). 3. Eine Potenzfunktion \(f(x) = ax^n\) mit positivem Koeffizienten \(a > 0\) und ungeradem Exponenten \(n\) ist jedoch im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. 4. Dies steht im Widerspruch zur Forderung, dass die Funktion streng monoton fallend sein soll. Eine solche Funktion existiert daher nicht.

Eine solche Funktion existiert nicht. Aus der Punktsymmetrie und dem Punkt \(P(2 | 8)\) folgt, dass der Koeffizient \(a\) positiv und der Exponent \(n\) ungerade sein muss. Solche Funktionen sind jedoch streng monoton wachsend, nicht fallend.

- Wie gehst du vor, wenn du herausfinden willst, wo zwei Graphen die gleichen Punkte haben? - Kannst du den Term so umformen, dass du ein Produkt erhältst, das Null ergibt? - Überlege, was es grafisch bedeutet, wenn ein Funktionswert kleiner als ein anderer ist. - Prüfe die Bereiche zwischen den berechneten Stellen durch das Einsetzen von Testwerten.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme zur Bestimmung der Schnittpunkte: \(\frac{1}{2}x^4 = 8x^2\). 2. Umformen der Gleichung: \(\frac{1}{2}x^4 - 8x^2 = 0 \Rightarrow x^2 \cdot (\frac{1}{2}x^2 - 8) = 0\). 3. Nullstellen bestimmen: \(x_1 = 0\) oder \(\frac{1}{2}x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 4\). 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(0) = 0\), \(f(4) = 128\), \(f(-4) = 128\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(4 | 128)\) und \(S_3(-4 | 128)\). 5. Untersuchung der Ungleichung \(f(x) < g(x)\): \(\frac{1}{2}x^4 < 8x^2\). Für \(x \neq 0\) ergibt Division durch \(\frac{1}{2}x^2\): \(x^2 < 16\). Dies gilt für \(-4 < x < 4\). Da bei \(x = 0\) ein Berührpunkt vorliegt (\(f(0)=g(0)\)), verläuft \(G_f\) in den Intervallen \((-4; 0)\) und \((0; 4)\) unterhalb von \(G_g\).

Schnittpunkte: \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(4 | 128)\), \(S_3(-4 | 128)\). \(G_f\) verläuft unterhalb von \(G_g\) in den Intervallen \((-4; 0)\) und \((0; 4)\).

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in der Gleichung, den du ausklammern kannst? - Welchen Einfluss hat der Exponent auf das Wachstum einer Funktion bei sehr großen Zahlen? - Setze eine Zahl ein, die deutlich größer als deine größte Schnittstelle ist, um das Verhalten zu testen.

1. Gemeinsame Stellen durch Gleichsetzen ermitteln: \(x^3 = 0{,}01x^5\). 2. Umstellen und Faktorisieren: \(0{,}01x^5 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (0{,}01x^2 - 1) = 0\). 3. Lösungen der Gleichung: \(x_1 = 0\) oder \(0{,}01x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 10\). Die gesuchten Stellen sind \(x \in \{-10; 0; 10\}\). 4. Vergleich für große \(x\): Da \(g\) eine Potenzfunktion mit einem höheren Grad (\(n=5\)) als \(f\) (\(n=3\)) ist, wächst \(g(x)\) für \(x \to \infty\) schneller als \(f(x)\). Rechts von der letzten Schnittstelle \(x = 10\) gilt für alle \(x > 10\), dass \(g(x) > f(x)\). Beispielsweise ist \(g(20) = 0{,}01 \cdot 3\,200\,000 = 32\,000\) und \(f(20) = 8000\).

a) Die Stellen sind \(x_1 = -10\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 10\). b) Für sehr große \(x\) liefert \(g(x) = 0{,}01x^5\) die größeren Werte, da die Potenz mit dem höheren Exponenten (\(x^5\)) das Wachstum dominiert. Für \(x > 10\) gilt dauerhaft \(g(x) > f(x)\).

- Achte darauf, dass \(x^2\) für alle reellen \(x\) nicht negativ ist. Wie beeinflusst das das Vorzeichen des gesamten Terms? - Was passiert mit den Funktionswerten von \(x^3\), wenn \(x\) eine negative Zahl ist? - Überprüfe die Intervalle links von \(0\), zwischen \(0\) und \(4\) sowie rechts von \(4\).

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^3 = 4x^2 \Rightarrow x^3 - 4x^2 = 0\). 2. Ausklammern: \(x^2 \cdot (x - 4) = 0\). 3. Nullstellen: \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle/Berührpunkt) und \(x_2 = 4\). 4. Koordinaten: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_1(0 | 0)\); \(f(4) = 4 \cdot 4^2 = 64 \Rightarrow S_2(4 | 64)\). 5. Analyse der Lage: \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 4x^2 > x^3 \Leftrightarrow x^2(4 - x) > 0\). Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x\), ist die Bedingung erfüllt, wenn \(4 - x > 0\) und \(x \neq 0\). Das bedeutet \(x < 4\). Für \(x < 0\) ist \(x^2 > 0\) und \(x^3 < 0\), also liegt die Parabel \(f\) dort immer über der kubischen Funktion \(g\). 6. Ergebnis: Der Graph von \(f\) liegt im Intervall \((-\infty; 0)\) und im Intervall \((0; 4)\) oberhalb von \(g\).

Schnittpunkte: \(S_1(0 | 0)\) und \(S_2(4 | 64)\). Der Graph von \(f\) liegt in den Intervallen \((-\infty; 0)\) und \((0; 4)\) oberhalb des Graphen von \(g\).

- Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Welche Symmetrieeigenschaften haben Potenzfunktionen mit geraden bzw. ungeraden Exponenten? - Wie verändert sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert?

1. Berechnung für \(n = 4\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^4\), also \(-16 = 16a\). Daraus folgt \(a = -1\). 2. Berechnung für \(n = 3\): Einsetzen von \(Q(2 | -16)\) ergibt \(-16 = a \cdot 2^3\), also \(-16 = 8a\). Daraus folgt \(a = -2\). 3. Überprüfung von \(R(-2 | 16)\): Für Fall a) gilt \(g(-2) = -1 \cdot (-2)^4 = -16 \neq 16\). Für Fall b) gilt \(g(-2) = -2 \cdot (-2)^3 = -2 \cdot (-8) = 16\). Somit verläuft der Graph der Funktion aus b) (\(g(x) = -2x^3\)) durch den Punkt \(R\). Begründung: Funktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wodurch sich das Vorzeichen des Funktionswertes bei negativem \(x\) umkehrt.

a) \(a = -1\) b) \(a = -2\) c) Der Graph aus Aufgabenteil b) mit \(g(x) = -2x^3\), da \(g(-2) = 16\).

- Erinnere dich an die Definition von negativen Exponenten: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\). - Überlege, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) für beliebige reelle Zahlen annehmen kann. - Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn die Basis verdoppelt wird und der Exponent \(2\) ist?

1. Lösung der Gleichung \(3x^{-2} = \frac{1}{12}\): Umschreiben zu \(3 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{12}\). Multiplikation mit \(x^2\) und \(12\) ergibt \(36 = x^2\). Die Lösungen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Begründung der positiven Funktionswerte: Der Term \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv, da das Quadrat einer reellen Zahl stets größer als Null ist. Da der Koeffizient \(3\) ebenfalls positiv ist, ist das Produkt \(3 \cdot \frac{1}{x^2}\) immer positiv. 3. Untersuchung der Verdopplung: Ersetzt man \(x\) durch \(2x\), erhält man \(k(2x) = 3(2x)^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{(2x)^2} = 3 \cdot \frac{1}{4x^2} = \frac{1}{4} \cdot (3x^{-2}) = \frac{1}{4} k(x)\). Der Funktionswert viertelt sich also.

a) \(x = 6\) und \(x = -6\). b) Da \(x^2\) für alle \(x \neq 0\) positiv ist, ist auch \(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) positiv. Die Multiplikation mit \(3\) ändert das Vorzeichen nicht. c) Der Funktionswert wird durch \(4\) geteilt (er viertelt sich).

- Wenn du das Volumen kennst und die Kantenlänge suchst, welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit 3 um? - Was bedeutet es mathematisch für den Faktor vor dem \(a\), wenn das gesamte Volumen verdoppelt wird? - Schreibe die Bedingungen als Gleichungen auf, in denen die neue Kantenlänge als Vielfaches der alten Kantenlänge erscheint.

1. Zu Teil a): Gesucht ist \(a'\) mit \((a')^3 = \frac{1}{8} a^3\). Durch Ziehen der Kubikwurzel folgt \(a' = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}a = \frac{1}{2} a\). Die Kantenlänge muss halbiert werden (Faktor \(0{,}5\)). 2. Zu Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((ka)^3 = 2a^3\). Es folgt \(k^3 = 2\), also \(k = \sqrt[3]{2}\). 3. Zu Teil c): Ein Volumen von \(50\,\%\) entspricht \(V' = 0{,}5V\). Es gilt \((a')^3 = 0{,}5a^3\), woraus \(a' = \sqrt[3]{0{,}5}a\) folgt. Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\), kann dies auch als \(a' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}a\) geschrieben werden.

a) Die Kantenlänge muss mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) multipliziert werden. b) Der Faktor ist \(\sqrt[3]{2}\). c) Die Kantenlänge schrumpft auf das \(\sqrt[3]{0{,}5}\)-fache (oder \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)-fache) der ursprünglichen Länge.

- Wie hängt die Fläche eines Quadrats von seiner Seitenlänge ab? - Wenn eine Länge um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, welcher Dezimalfaktor bleibt dann übrig? - Denke daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor quadriert werden muss.

1. Zu Teil a): Sei \(A_1 = s_1^2\) die ursprüngliche Fläche. Die neue Fläche soll \(A_2 = 2A_1\) sein. Mit \(A_2 = s_2^2\) ergibt sich \(s_2^2 = 2s_1^2\). Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man \(s_2 = \sqrt{2}s_1\). Die Seitenlänge muss also mit \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. 2. Zu Teil b): Eine Reduktion der Seitenlänge um \(20\,\%\) bedeutet \(s_{neu} = 0{,}8s_{alt}\). 3. Berechnung der neuen Fläche: \(A_{neu} = (0{,}8s_{alt})^2 = 0{,}8^2s_{alt}^2 = 0{,}64A_{alt}\). 4. Die neue Fläche beträgt noch \(64\,\%\) der ursprünglichen Fläche. Der Verlust beträgt somit \(100\,\% - 64\,\% = 36\,\%\).

a) Die Seitenlänge muss mit dem Faktor \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. b) Es gehen \(36\,\%\) der ursprünglichen Fläche verloren.

- Setze die Koordinaten von \(P\) in die allgemeine Form ein und löse nach \(k\) auf. - Überlege dir, welches Vorzeichen eine negative Zahl hat, wenn man sie mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert. - Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, damit das Gesamtergebnis der Rechnung positiv (\(y=4\)) wird?

1. Für \(n = 2\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^2\), also \(4 = 4k\). Daraus folgt \(k = 1\). 2. Für \(n = 3\): Einsetzen von \(P(-2 | 4)\) ergibt \(4 = k \cdot (-2)^3\), also \(4 = -8k\). Daraus folgt \(k = -0{,}5\). 3. Analyse für gerade \(n\): Für gerades \(n\) ist \((-2)^n\) positiv. Daher muss \(k\) positiv sein, damit das Ergebnis \(y = 4\) ist. 4. Analyse für ungerade \(n\): Für ungerades \(n\) ist \((-2)^n\) negativ. Daher muss \(k\) negativ sein, damit das Produkt \(k \cdot (-2)^n\) positiv wird und \(y = 4\) ergibt.

a) Für \(n = 2\) ist \(k = 1\). Für \(n = 3\) ist \(k = -0{,}5\). b) Wenn \(n\) gerade ist, muss \(k > 0\) (positiv) sein. Wenn \(n\) ungerade ist, muss \(k < 0\) (negativ) sein. Begründung: \((-2)^n\) ist positiv für gerade \(n\) und negativ für ungerade \(n\); \(k\) muss das Vorzeichen so anpassen, dass \(y = 4\) resultiert.

- Wenn ein Punkt auf einem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Wie hilft dir das, \(a\) zu finden? - Nachdem du \(a\) kennst, kannst du die Graphen wie gewohnt gleichsetzen. - Gibt es Symmetrien bei geraden Exponenten, die dir helfen könnten, weitere Punkte zu finden?

1. Bestimmung von \(a\): Punkt \(P(2 | 4)\) in \(f(x) = ax^4\) einsetzen: \(4 = a \cdot 2^4 \implies 4 = 16a \implies a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 2. Gleichsetzen der Funktionen mit \(a = 0{,}25\): \(0{,}25x^4 = x^2\). 3. Lösen der Gleichung: \(0{,}25x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(0{,}25x^2 - 1) = 0\). 4. Nullstellen der Faktoren: - \(x^2 = 0 \implies x_1 = 0\) - \(0{,}25x^2 - 1 = 0 \implies 0{,}25x^2 = 1 \implies x^2 = 4 \implies x_2 = 2, x_3 = -2\). 5. \(y\)-Koordinaten berechnen: - \(g(0) = 0^2 = 0 \implies S_1(0 | 0)\) - \(g(2) = 2^2 = 4 \implies P(2 | 4)\) (bereits gegeben) - \(g(-2) = (-2)^2 = 4 \implies S_2(-2 | 4)\).

a) Der Parameter ist \(a = 0{,}25\). b) Die weiteren Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\) und \(S_2(-2 | 4)\).

- Gehe die Funktionsgleichung von links nach rechts durch und bestimme für jeden Parameter seine geometrische Bedeutung. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Term? - Unterscheide zwischen Faktoren, die den Graphen steiler oder flacher machen, und Summanden, die ihn verschieben. - Wie erkennst du an der Gleichung, ob der Graph nach links oder rechts verschoben wurde?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Streckungsfaktor. 2. Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), wodurch der Graph flacher verläuft als der von \(f\). 3. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts). 4. Verschiebung um \(3\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben). 5. Der Graph ist nach unten geöffnet (wegen der Spiegelung) und im Vergleich zur Grundfunktion „gestaucht“ bzw. weiter geöffnet.

Der Graph von \(h\) entsteht aus \(f(x) = x^4\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben. Der Graph ist nach unten geöffnet und verläuft flacher (ist weiter) als die Grundfunktion.

- Überlege dir zuerst, wie du den Ausdruck in der Klammer, also das \((x+2)\), zu einem einfachen \(x\) umwandeln kannst. - Wie kannst du den Faktor \(0{,}25\) vor der Klammer „neutralisieren“, damit dort eine \(1\) steht? - Welcher letzte Schritt ist nötig, um die Konstante \(-5\) am Ende der Gleichung zu erhalten? - Die Reihenfolge von Streckungen und Verschiebungen in \(y\)-Richtung ist wichtig – probiere aus, was zuerst passieren muss.

1. Verschiebung des Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts), um den Term \((x+2)^3\) zu \(x^3\) zu transformieren: \(f_1(x) = f(x-2) = 0{,}25x^3\). 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), um den Vorfaktor \(0{,}25\) zu eliminieren: \(f_2(x) = 4f_1(x) = x^3\). 3. Verschiebung um \(5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten), um die Zielvorgabe zu erreichen: \(g(x) = f_2(x) - 5 = x^3 - 5\).

Man erhält den Graphen von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) durch: 1. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 2. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 3. Verschiebung um \(5\) Einheiten nach unten.

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes nutzen, um eine Unbekannte in einer Gleichung zu finden? - Potenziere zuerst die Zahl, bevor du sie mit dem Parameter multiplizierst. - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Vergleiche \(k(x)\) direkt mit \(h(x)\), indem du \(k(x) = ch(x)\) schreibst.

1. Bestimmung von \(a\): Einsetzen von \(P(2 | 4)\) in \(4 = a \cdot 2^3\). Dies ergibt \(4 = 8a\), woraus \(a = 0{,}5\) folgt. 2. Berechnung von \(h(-3)\): \(h(-3) = 0{,}5 \cdot (-3)^3 = 0{,}5 \cdot (-27) = -13{,}5\). 3. Analyse von \(k(x)\): Einsetzen von \(Q(1 | -2)\) ergibt \(-2 = b \cdot 1^3\), also \(b = -2\). 4. Vergleich der Graphen: Es gilt \(k(x) = -2x^3 = -4 \cdot 0{,}5x^3 = -4h(x)\). Der Graph von \(k\) entsteht daher aus dem Graphen von \(h\) durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Er verläuft, abgesehen vom Ursprung, im II. und IV. Quadranten.

a) \(a = 0{,}5\). b) \(h(-3) = -13{,}5\). c) Es gilt \(k(x) = -4h(x)\). Der Graph entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\); er verläuft im II. und IV. Quadranten sowie durch den Ursprung.

- Versuche, den Ausdruck \(x^5 - x^3\) zu faktorisieren, um die kritischen Stellen zu finden. - Wie ändert sich das Verhalten von Potenzen, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, im Vergleich zu einer Basis größer als 1? - Überlege dir für negative Basen, ob der Wert der Potenz bei einem höheren ungeraden Exponenten kleiner oder größer wird. - Ein Test mit Beispielwerten aus den Intervallen (z. B. \(2\), \(0{,}5\) oder \(-2\)) kann dir helfen, deine Vermutung zu prüfen.

1. Lösen der Gleichung \(x^5 - x^3 = 0\) durch Ausklammern: \(x^3(x^2-1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 2. Durchführung einer Vorzeichenanalyse für das Produkt \(x^3(x-1)(x+1)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: Das Produkt ist positiv für \(x \in (-1; 0)\) und \(x \in (1; \infty)\). 3. Vergleich der Werte in den spezifischen Intervallen: - Für \(x > 1\): \(x^5 > x^3\), da bei Basen größer als 1 die Potenz mit dem höheren Exponenten größer ist. - Für \(0 < x < 1\): \(x^3 > x^5\), da bei Basen zwischen 0 und 1 höhere Potenzen kleinere Werte liefern. - Für \(x < -1\): \(x^3 > x^5\), da beide Potenzen negativ sind und \(|x^5| > |x^3|\) gilt, wodurch \(x^5\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt.

1) \(x \in \{-1; 0; 1\}\) 2) \(L = (-1; 0) \cup (1; \infty)\) 3) a) \(x^5 > x^3\); b) \(x^3 > x^5\); c) \(x^3 > x^5\)

- Erinnere dich an die Formeln für das Volumen eines Würfels und eines Quaders. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Größen „gleich“ sein sollen? - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Überlege dir, wie sich die Werte von \(x^2\) und \(x^3\) verändern, wenn \(x\) sehr groß wird.

1. Aufstellen der Volumenformeln: \(V_{\text{W}}(x) = x^3\) und \(V_{\text{Q}}(x) = x^2 \cdot 4 = 4x^2\). 2. Gleichsetzen der Volumina zur Bestimmung von \(x\): \(x^3 = 4x^2\). 3. Umformen der Gleichung: \(x^3 - 4x^2 = 0 \implies x^2(x - 4) = 0\). 4. Da \(x > 0\) gefordert ist, entfällt die Lösung \(x = 0\). Es bleibt \(x - 4 = 0\), also \(x = 4\,\text{m}\). 5. Berechnung des Volumens: \(V = 4^3 = 64\,\text{m}^3\) (oder \(4 \cdot 4^2 = 64\,\text{m}^3\)). 6. Begründung für große \(x\): Da die Potenz \(x^3\) schneller wächst als \(4x^2\), wird der Würfel für alle \(x > 4\) ein größeres Volumen haben.

a) \(V_{\text{W}} = x^3\) und \(V_{\text{Q}} = 4x^2\). b) Die Kantenlänge beträgt \(x = 4\,\text{m}\). c) Das Volumen beträgt \(64\,\text{m}^3\). d) Das Volumen des Würfels wächst kubisch (\(x^3\)), während das des Quaders nur quadratisch (\(4x^2\)) wächst. Ab dem Schnittpunkt bei \(x=4\) steigt \(x^3\) steiler an.

- Schreibe die Funktionen mit negativen Exponenten als Brüche um, um sie besser analysieren zu können. - Überlege dir, welche Vorzeichen das Ergebnis haben kann, wenn du eine negative Zahl für \(x\) einsetzt. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? Und was passiert, wenn der Nenner sehr klein (nahe Null) wird? - Um den Schnittpunkt zu finden, setze die Funktionsterme gleich und löse nach \(x\) auf.

1. Definitionsbereich und Quadranten: Da durch Null nicht dividiert werden darf, ist für beide Funktionen \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Der Graph von \(f(x) = \frac{1}{x}\) verläuft im I. und III. Quadranten. Der Graph von \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) verläuft im I. und II. Quadranten. 2. Vergleich bei \(x = 0{,}1\): \(f(0{,}1) = 10\) und \(g(0{,}1) = 100\). Für \(x \to 0^+\) wächst \(g(x)\) schneller gegen unendlich als \(f(x)\). 3. Für \(x \to \infty\) nähern sich beide Funktionswerte \(0\). Die Graphen nähern sich der \(x\)-Achse, also der waagerechten Asymptote \(y = 0\). 4. Schnittpunktberechnung: \(x^{-1} = x^{-2}\). Für \(x \ne 0\) führt die Multiplikation mit \(x^2\) zu \(x = 1\). Der zugehörige Funktionswert ist \(1\), also \(S(1 | 1)\).

a) \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). \(f\) verläuft im I. und III. Quadranten, \(g\) im I. und II. Quadranten. b) \(f(0{,}1) = 10\), \(g(0{,}1) = 100\); für \(x \to 0^+\) wächst \(g\) schneller gegen unendlich. c) Beide Funktionswerte nähern sich \(0\); die Graphen nähern sich der Geraden \(y = 0\). d) \(S(1 | 1)\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man eine Potenz selbst noch einmal potenziert. - Wie hängen Quadratwurzeln und Quadrate zusammen? Das könnte beim Rechnen mit \(\sqrt{2}\) helfen. - Achte beim Einsetzen von Termen wie \(2a\) darauf, den gesamten Ausdruck zu potenzieren.

1. Berechnung der Werte für \(x=0{,}5\): \(f(0{,}5) = (0{,}5)^4 = 0{,}0625\) und \(g(0{,}5) = (0{,}5)^6 = 0{,}015625\). 2. Berechnung der Werte für \(x=2\): \(f(2) = 2^4 = 16\) und \(g(2) = 2^6 = 64\). 3. Bestimmung von \(f(-3)\) und \(g(-1{,}5)\): \(f(-3) = (-3)^4 = 81\) und \(g(-1{,}5) = (-1{,}5)^6 = 11{,}390625\). 4. Berechnung mit Wurzeln: \(g(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8\). 5. Einsetzen von Variablen: \(f(2a) = (2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4\) und \(g(a^2) = (a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}\).

a) \(f(0{,}5) = 0{,}0625\); \(g(0{,}5) = 0{,}015625\); \(f(2) = 16\); \(g(2) = 64\) b) \(f(-3) = 81\); \(g(-1{,}5) = 11{,}390625\) c) \(g(\sqrt{2}) = 8\) d) \(f(2a) = 16a^4\); \(g(a^2) = a^{12}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis bei einem ungeraden Exponenten hat, wenn die Basis negativ ist. - Was bedeutet die fünfte Wurzel mathematisch, wenn sie mit 5 potenziert wird? - Nutze die Potenzgesetze, um Ausdrücke wie \((a^3b)^5\) zu vereinfachen. - Kannst du ein Muster bei den Werten von \(x\) und \(-x\) erkennen?

1. Berechnung der ganzzahligen Werte: \(f(-2) = (-2)^5 = -32\); \(f(-1) = (-1)^5 = -1\); \(f(0) = 0^5 = 0\); \(f(1) = 1^5 = 1\); \(f(2) = 2^5 = 32\). 2. Dezimalzahlen einsetzen: \(f(0{,}2) = (0{,}2)^5 = 0{,}00032\) und \(f(-0{,}4) = (-0{,}4)^5 = -0{,}01024\). 3. Anwendung der Definition der \(n\)-ten Wurzel: \(f(\sqrt[5]{12}) = (\sqrt[5]{12})^5 = 12\). 4. Rechnen mit Variablen unter Beachtung des ungeraden Exponenten: \(f(-a) = (-a)^5 = -a^5\) und \(f(a^3b) = (a^3b)^5 = (a^3)^5 \cdot b^5 = a^{15}b^5\).

a) \(f(-2) = -32\); \(f(-1) = -1\); \(f(0) = 0\); \(f(1) = 1\); \(f(2) = 32\) b) \(f(0{,}2) = 0{,}00032\); \(f(-0{,}4) = -0{,}01024\) c) \(f(\sqrt[5]{12}) = 12\) d) \(f(-a) = -a^5\); \(f(a^3b) = a^{15}b^5\)

- Welchen Einfluss hat ein gerader Exponent auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Wenn \(x^6\) einen positiven Wert ergibt, wie viele Möglichkeiten gibt es dann für den Wert von \(x\)? - Überlege dir bei großen Zahlen wie \(1\,000\,000\), ob du sie als Zehnerpotenz schreiben kannst. - Wie verhält sich die Funktion an der Stelle \(x = 0\)?

1. Für \(P_1\): Berechne \(y = (-2)^6 = 64\). Das Ergebnis ist positiv, da der Exponent gerade ist. 2. Für \(P_2\): Löse \(1 = x^6\). Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x = 1\) oder \(x = -1\). 3. Für \(P_3\): Berechne \(y = (0{,}5)^6 = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} = 0{,}015625\). 4. Für \(P_4\): Löse \(1\,000\,000 = x^6\). Die 6. Wurzel aus \(10^6\) ist \(10\). Wegen des geraden Exponenten sind \(x = 10\) und \(x = -10\) Lösungen. 5. Für \(P_5\): Löse \(0 = x^6\). Hier gibt es nur die Lösung \(x = 0\).

a) \(P_1(-2; 64)\) b) \(P_2(1; 1)\) oder \(P_2(-1; 1)\) c) \(P_3(0{,}5; 0{,}015625)\) d) \(P_4(10; 1000000)\) oder \(P_4(-10; 1000000)\) e) \(P_5(0; 0)\)

- Betrachte den charakteristischen Punkt (den sogenannten Sattelpunkt oder Terrassenpunkt) der ursprünglichen Funktion \(f(x) = x^3\). Wo liegt dieser normalerweise und wo liegt er bei den verschobenen Graphen? - Wie wirken sich Verschiebungen in \(x\)- und \(y\)-Richtung auf die Parameter \(d\) und \(e\) in der allgemeinen Form \(y = a(x - d)^3 + e\) aus? - Wenn du die Verschiebungen bestimmt hast, wie kannst du einen weiteren gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen nutzen, um den verbleibenden Parameter \(a\) zu berechnen? - Achte beim roten Graphen darauf, ob er im Vergleich zur Grundfunktion gespiegelt oder gestreckt ist. Welches Vorzeichen und welchen Betrag erwartest du für den Faktor \(a\)?

1. Bestimmung von \(g(x)\): Der Sattelpunkt von \(g\) liegt bei \((2 \mid 1)\). Dies liefert \(d = 2\) und \(e = 1\) in der Form \(g(x) = a(x - 2)^3 + 1\). Durch Einsetzen des ablesbaren Punktes \(P(3 \mid 2)\) erhält man \(2 = a \cdot (3 - 2)^3 + 1 \implies 2 = a + 1 \implies a = 1\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = (x - 2)^3 + 1\). 2. Bestimmung von \(h(x)\): Der Sattelpunkt von \(h\) liegt bei \((-1 \mid 3)\). Dies liefert \(d = -1\) und \(e = 3\) in der Form \(h(x) = a(x + 1)^3 + 3\). Durch Einsetzen des ablesbaren Punktes \(Q(1 \mid -1)\) erhält man \(-1 = a \cdot (1 + 1)^3 + 3 \implies -1 = 8a + 3 \implies -4 = 8a \implies a = -0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}5(x + 1)^3 + 3\).

\(g(x) = (x - 2)^3 + 1\) und \(h(x) = -0{,}5(x + 1)^3 + 3\)

- Überlege dir, wie sich die Graphen für sehr kleine Werte nahe \(0\) oder sehr große Werte verhalten. - Berechne für jede Funktion den Funktionswert an einfachen Stellen wie \(x = 1\), \(x = 2\) oder \(x = 4\) und vergleiche sie mit den Punkten auf den Graphen. - Achte auf das Krümmungsverhalten: Verläuft der Graph degressiv (wird flacher) oder progressiv (wird steiler)? - Welche Funktion ist für \(x > 0\) streng monoton fallend?

Die Zuordnung erfolgt durch Analyse der charakteristischen Eigenschaften der Graphen (Monotonie, Krümmung, Grenzverhalten und markante Punkte): 1. Der Graph \(C\) fällt als einziger streng monoton für \(x > 0\) und strebt für \(x \to 0\) gegen unendlich. Dies entspricht der Hyperbel \(f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}\). Somit gehört Funktion 1) zu Graph \(C\). 2. Für die Wurzelfunktion \(g(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\) gilt \(g(1) = 1\) und \(g(4) = 2\). Der Graph verläuft degressiv steigend (rechtsgekrümmt), da der Exponent kleiner als \(1\) ist. Dies trifft exakt auf Graph \(A\) zu. Somit gehört Funktion 2) zu Graph \(A\). 3. Die Funktion \(h(x) = x^{\frac{3}{2}}\) hat einen Exponenten größer als \(1\) und verläuft daher progressiv steigend (linksgekrümmt). Sie verläuft durch die Punkte \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\). Für \(x > 1\) steigt sie schneller als die Wurzelfunktion, aber langsamer als die Parabel. Dies entspricht Graph \(B\). Somit gehört Funktion 3) zu Graph \(B\). 4. Die quadratische Funktion \(k(x) = \frac{1}{4}x^2\) ist eine gestauchte Parabel. Sie verläuft durch die Punkte \((0 \mid 0)\), \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 4)\). Dies entspricht Graph \(D\). Somit gehört Funktion 4) zu Graph \(D\).

1) \(\rightarrow C\), 2) \(\rightarrow A\), 3) \(\rightarrow B\), 4) \(\rightarrow D\)

- Schau dir zuerst die Koordinaten der markierten Punkte \(P(4 \mid 3)\), \(Q(4 \mid 4)\) und \(R(2 \mid 1)\) an. - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt? Setze die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsterme ein. - Überlege, wie sich die Graphen für sehr große oder sehr kleine x-Werte verhalten. Welche Funktion fällt für größere x-Werte ab? - Achte auf das Krümmungsverhalten: Wächst der Graph immer schneller oder immer langsamer? Wie hängt das mit der Größe des Exponenten zusammen?

1. Zuordnung über Punktprobe (rechnerische Begründung): - Für die Funktion \(f(x) = 1{,}5x^{0{,}5}\) setzen wir \(x = 4\) ein: \(f(4) = 1{,}5 \cdot 4^{0{,}5} = 1{,}5 \cdot 2 = 3\). Da \(f(4) = 3\), gehört der Punkt \(P(4 \mid 3)\) zum Graphen von \(f\). Der rote Graph (I) gehört also zur Funktion (A). - Für die Funktion \(g(x) = 0{,}5x^{1{,}5}\) setzen wir \(x = 4\) ein: \(g(4) = 0{,}5 \cdot 4^{1{,}5} = 0{,}5 \cdot 8 = 4\). Da \(g(4) = 4\), gehört der Punkt \(Q(4 \mid 4)\) zum Graphen von \(g\). Der blaue Graph (II) gehört also zur Funktion (B). - Für die Funktion \(h(x) = 2x^{-1}\) setzen wir \(x = 2\) ein: \(h(2) = 2 \cdot 2^{-1} = 2 \cdot 0{,}5 = 1\). Da \(h(2) = 1\), gehört der Punkt \(R(2 \mid 1)\) zum Graphen von \(h\). Der orangefarbene Graph (III) gehört also zur Funktion (C). 2. Zuordnung über den Verlauf der Graphen (qualitative Begründung): - Der Graph III (orange) nähert sich für \(x \to 0\) der y-Achse und für \(x \to \infty\) der x-Achse an (hyperbolischer Verlauf). Dies ist charakteristisch für Potenzfunktionen mit negativen Exponenten wie \(h(x) = 2x^{-1}\). - Der Graph I (rot) ist für \(x > 0\) degressiv steigend (rechtsgekrümmt). Dies ist charakteristisch für Potenzfunktionen mit einem Exponenten zwischen \(0\) und \(1\) wie \(f(x) = 1{,}5x^{0{,}5}\). - Der Graph II (blau) ist für \(x > 0\) progressiv steigend (linksgekrümmt). Dies ist charakteristisch für Potenzfunktionen mit einem Exponenten größer als \(1\) wie \(g(x) = 0{,}5x^{1{,}5}\).

a) (A) \(\rightarrow\) I, (B) \(\rightarrow\) II, (C) \(\rightarrow\) III b) 1. Rechnerisch: \(f(4)=3\), \(g(4)=4\) und \(h(2)=1\), also liegen \(P\), \(Q\) und \(R\) jeweils auf den zugeordneten Graphen. 2. Anschaulich: I wächst degressiv, II progressiv und III fällt hyperbelartig.

- Achte beim Potenzieren negativer Zahlen auf das Vorzeichen des Ergebnisses bei ungeraden Exponenten. - Um \(x\) aus \(x^3 = c\) zu berechnen, benötigst du die dritte Wurzel. - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Koeffizienten vor dem \(x^3\) auf den Verlauf des Graphen auswirkt. - Was bedeutet es geometrisch für einen Graphen, wenn \(h(a) + h(-a) = 0\) gilt? Denke an die Punktspiegelung.

1. Einsetzen der Werte in die Funktionsgleichung: \(h(3) = -0{,}2 \cdot 3^3 = -0{,}2 \cdot 27 = -5{,}4\) \(h(-3) = -0{,}2 \cdot (-3)^3 = -0{,}2 \cdot (-27) = 5{,}4\) 2. Lösen der Gleichung für \(x\): \(-0{,}2x^3 = -25 \Leftrightarrow x^3 = 125\) Durch Ziehen der Kubikwurzel erhält man \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Prüfung der Aussagen: (1) Wahr. Da der Exponent \(3\) ungerade und der Koeffizient \(-0{,}2\) negativ ist, gilt für den Grenzwert: \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). Der Graph fällt streng monoton. (2) Wahr. Die Funktion \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da der Exponent ungerade ist. Es gilt \(h(-a) = -h(a)\), woraus direkt \(h(a) + h(-a) = h(a) - h(a) = 0\) folgt.

a) \(h(3) = -5{,}4\) und \(h(-3) = 5{,}4\) b) \(x = 5\) c) (1) Wahr; (2) Wahr

- Wo befindet sich die Lücke im Definitionsbereich (die senkrechte Asymptote, der sich die Kurve nähert)? - Welcher Geraden nähert sich die Kurve für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte an? - Erinnere dich an den Term für die Verschiebung in der Klammer des Quadrats.

1. Asymptoten finden: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). 2. Bestimmung der Parameter: Die Polstelle bei \(x = -1\) bedeutet eine Verschiebung um 1 nach links. Der Grenzwert für große \(x\) ist \(-3\), also eine Verschiebung um 3 nach unten. 3. Funktionsterm formulieren: \(g(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} - 3\). 4. Kontrolle: Für \(x=0\) ergibt sich \(g(0) = \frac{1}{1^2} - 3 = -2\). Der Punkt \((0 \mid -2)\) liegt auf dem Graphen.

Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\). Der Funktionsterm lautet \(g(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} - 3\).

- Setze für Teilaufgabe a) einfach die Zahl \(2\) für \(x\) in die Formel ein. - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn er zu \((x \mid -y)\) wird? - Wenn du die \(y\)-Werte verdoppelst oder vervierfachst, wird die Kurve dann breiter oder schmaler?

1. Funktionswert berechnen: \(f(2) = 0{,}5 \cdot 2^4 = 0{,}5 \cdot 16 = 8\). 2. Änderung des Vorzeichens: Wenn \(a\) von \(0{,}5\) zu \(-0{,}5\) wird, werden alle \(y\)-Werte negativ. Dies entspricht einer Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse. Der Graph ist dann nach unten geöffnet. 3. Änderung des Betrags von \(a\): Ein größerer Faktor (\(a = 2\)) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung. Für jedes \(x \neq 0\) ist der neue Funktionswert viermal so groß wie der alte. Der Graph verläuft somit steiler nach oben und liegt „innerhalb“ des ursprünglichen Graphen.

a) Der Funktionswert ist \(f(2) = 8\). b) Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und öffnet sich nach unten. c) Der Graph wird in \(y\)-Richtung gestreckt, verläuft steiler und liegt „innerhalb“ der ursprünglichen Kurve.

- Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? Was sagt das über die Verschiebung aus? - Nutze den markierten Punkt \(P\), um den fehlenden Faktor zu berechnen. - Überlege, ob der Graph im Vergleich zur Grundfunktion „flacher“ oder „steiler“ verläuft.

1. Bestimmung der vertikalen Verschiebung \(c\): Der Graph verläuft durch den Punkt \((0 \mid -2)\). Da \(a \cdot 0^3 + c = -2\), folgt direkt \(c = -2\). 2. Bestimmung des Streckfaktors \(a\): Ein weiterer Punkt auf dem Graphen ist \(P(1 \mid -1{,}5)\). Einsetzen in \(h(x) = ax^3 - 2\) ergibt: \(-1{,}5 = a \cdot 1^3 - 2 \Rightarrow -1{,}5 = a - 2 \Rightarrow a = 0{,}5\). 3. Beschreibung der Transformation: Der Graph von \(f(x) = x^3\) wurde mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht und anschließend um \(2\) Einheiten nach unten verschoben.

Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = -2\), also \(h(x) = 0{,}5x^3 - 2\). Der Graph wurde mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo zwei Graphen sich treffen? - Was passiert mit einer Zahl zwischen 0 und 1, wenn man sie quadriert? Wird sie größer oder kleiner? - Berücksichtige bei deiner Antwort ausdrücklich das vorgegebene Intervall.

1. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(x^4 = x^2\). Umformen führt zu \(x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen im Intervall \([0; 1{,}5]\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte liegen bei \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\). 2. Vergleich der Funktionswerte: Für \(x > 1\) ist \(x^2 > 1\). Multipliziert man diese Ungleichung mit \(x^2 > 0\), erhält man \(x^4 > x^2\). Innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegt der Graph von \(g\) daher für \(1 < x \le 1{,}5\) oberhalb des Graphen von \(f\). 3. Für \(0 < x < 1\) gilt dagegen \(x^2 < 1\), also \(x^4 < x^2\). Dort liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\).

a) Die Schnittpunkte sind \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\). b) Im vorgegebenen Intervall verläuft der Graph von \(g\) für \(1 < x \le 1{,}5\) oberhalb des Graphen von \(f\).

- Überlege dir für jeden Graphen den Definitionsbereich. Für welche x-Werte ist die Funktion definiert? - Betrachte das Vorzeichen der y-Werte. Welche Graphen liegen nur oberhalb der x-Achse? - Punkt- oder Achsensymmetrie kann dir helfen, zwischen den gebrochen-rationalen Funktionen zu unterscheiden.

1. Graph \(f_3\) ist für nichtnegative x-Werte definiert und beginnt im Ursprung. Das ist typisch für die Wurzelfunktion, also \(f_3(x) = \sqrt{x} = c(x)\). 2. Graph \(f_1\) verläuft nur im positiven y-Bereich und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Das passt zur Funktion \(a(x) = \frac{1}{x^2}\). 3. Graph \(f_2\) verläuft im II. und IV. Quadranten. Eine normale Hyperbel \(y = \frac{1}{x}\) läge im I. und III. Quadranten. Durch das Minuszeichen wird sie an der x-Achse gespiegelt. Also gehört \(f_2(x) = -\frac{1}{x} = b(x)\) zu diesem Graphen.

\(f_1: a(x) = \frac{1}{x^2}\); \(f_2: b(x) = -\frac{1}{x}\); \(f_3: c(x) = \sqrt{x}\)

- Denke daran, dass das Vorzeichen beim Potenzieren mit 3 erhalten bleibt. - Wenn du den Funktionswert kennst, stelle die Gleichung so um, dass die Potenz alleine auf einer Seite steht. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie oft der Graph einer solchen Funktion die x-Achse schneiden kann.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2)^3 = 0{,}5 \cdot (-8) = -4\). Für den zweiten Wert gilt \(f(3) = 0{,}5 \cdot 3^3 = 0{,}5 \cdot 27 = 13{,}5\). 2. Auflösen der Gleichung \(0{,}5x^3 = 108\): Durch Division durch \(0{,}5\) erhält man \(x^3 = 216\). Das Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 6\). 3. Bewertung der Aussagen: (1) Wahr, da bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (hier 3) stets Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt. (2) Wahr, da \(0{,}5x^3 = 0\) nur für \(x = 0\) erfüllt ist.

a) \(f(-2) = -4\) und \(f(3) = 13{,}5\) b) \(x = 6\) c) (1) wahr, da der Exponent ungerade ist; (2) wahr, die einzige Lösung ist \(x = 0\)

- Der Startpunkt einer Wurzelfunktion verrät dir sofort, wie sie entlang der Achsen verschoben wurde. - Erinnere dich an die allgemeine Form \(f(x) = a \cdot \sqrt{x - d} + e\). Welche Werte haben \(d\) und \(e\) hier? - Um den Parameter \(a\) zu finden, kannst du die Koordinaten eines weiteren Punktes auf dem Graphen verwenden.

1. Der Startpunkt der Wurzelfunktion \(S(1 \mid 2)\) gibt die Verschiebungen direkt an: \(x_0 = 1\) und \(y_0 = 2\). 2. Der Ansatz für die Funktion ist damit \(f(x) = a \cdot \sqrt{x - 1} + 2\). 3. Setze den Punkt \(P(5 \mid 4)\) in die Gleichung ein: \(4 = a \cdot \sqrt{5 - 1} + 2\). 4. Vereinfache die Gleichung: \(4 = a \cdot \sqrt{4} + 2 \Rightarrow 4 = 2a + 2\). 5. Löse nach \(a\) auf: \(2 = 2a \Rightarrow a = 1\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \sqrt{x - 1} + 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \sqrt{x - 1} + 2\).

- Suche den „Tiefpunkt“ der Funktion, also die Stelle, an der sie ihren tiefsten Wert annimmt. - Wie verändern die Werte \(x_0\) und \(y_0\) in der Form \((x-x_0)^n + y_0\) die Lage des Graphen im Vergleich zum Ursprung? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Verschiebung in \(x\)-Richtung.

1. Bestimmung des tiefsten Punktes (Tiefpunkt): Aus der Grafik lässt sich der Tiefpunkt bei \(S(-2 \mid -1)\) ablesen. 2. Einsetzen der Koordinaten in die verschobene Form: - Die Verschiebung in \(x\)-Richtung beträgt \(x_0 = -2\). Im Term wird daraus \((x - (-2)) = (x + 2)\). - Die Verschiebung in \(y\)-Richtung beträgt \(y_0 = -1\). 3. Aufstellen des Terms: \(g(x) = (x + 2)^4 - 1\). 4. Überprüfung mit einem weiteren Punkt: Für \(x = -1\) ergibt sich \(g(-1) = (-1 + 2)^4 - 1 = 1^4 - 1 = 0\). Dies stimmt mit dem Graphen überein.

Der Funktionsterm lautet \(g(x) = (x + 2)^4 - 1\).

- Wo liegt der Punkt, an dem der Graph der ursprünglichen Funktion \(x^3\) den Ursprung \((0 \mid 0)\) schneidet? Suche diesen Punkt im verschobenen Graphen. - Wie liest du die Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung ab? - Teste dein Ergebnis, indem du einen Punkt vom Graphen in deinen gefundenen Term einsetzt.

1. Identifikation des Symmetriezentrums (Terrassenpunkt): Der Punkt, in dem der Graph „flach“ wird und seine Krümmung ändert, liegt bei \(P(1 \mid 2)\). 2. Bestimmung der Parameter: - Eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts bedeutet \(x_0 = 1\). - Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben bedeutet \(y_0 = 2\). 3. Aufstellen der Gleichung: Durch Einsetzen erhält man \(h(x) = (x - 1)^3 + 2\). 4. Punktprobe: Für \(x = 0\) ist \(h(0) = (0 - 1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1\). Der Punkt \((0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen.

Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = (x - 1)^3 + 2\).

- Schau dir an, welchen Funktionswert die verschiedenen Terme für \(x = 1\) liefern. - Überlege, ob die Funktion für größer werdende \(x\)-Werte steigt oder fällt. Was sagt der Exponent darüber aus? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, hilft es, einen weiteren Punkt, zum Beispiel bei \(x = 2\) oder \(x = 4\), zu berechnen. - Achte auf die Form: Handelt es sich um eine Parabel, eine Hyperbel oder eine Wurzelfunktion?

1. Untersuche den Wert bei \(x = 1\): Graph (1) hat den Wert \(y = 3\), was zu \(f(1) = 3 \cdot 1^{0{,}5} = 3\) passt. 2. Graph (3) fällt für steigende \(x\)-Werte. Da \(h(1) = \frac{4}{1} = 4\) ist und der Graph durch \((1 \mid 4)\) verläuft, gehört (3) zu \(h\). 3. Die Graphen (2) und (4) schneiden sich im Punkt \((2 \mid 4)\). Für \(x = 1\) verläuft Graph (2) durch \((1 \mid 1)\), was zu \(g(1) = 1^2 = 1\) passt. Graph (4) verläuft durch \((1 \mid 0{,}5)\), was zu \(k(1) = 0{,}5 \cdot 1^3 = 0{,}5\) passt. 4. Der Term \(m(x) = x^{-2}\) bleibt übrig. Er würde bei \(x = 1\) den Wert \(1\) und bei \(x = 2\) den Wert \(0{,}25\) annehmen, was auf keinen der Graphen zutrifft. Ergebnis: (1) gehört zu \(f\), (2) zu \(g\), (3) zu \(h\) und (4) zu \(k\).

(1) \(\rightarrow f\), (2) \(\rightarrow g\), (3) \(\rightarrow h\), (4) \(\rightarrow k\); \(m\) bleibt übrig.

- Achte auf das Vorzeichen des Vorfaktors. Bei negativem Vorfaktor liegt der Graph für positive \(x\)-Werte unterhalb der \(x\)-Achse. - Funktionen mit negativen Exponenten fallen für positive \(x\)-Werte. - Setze einfache Werte wie \(x = 1\) oder \(x = 4\) in die Terme ein und vergleiche die Ergebnisse mit den Punkten auf den Graphen. - Denke daran, dass \(x^{0{,}5}\) dasselbe ist wie \(\sqrt{x}\).

1. Graph (4) verläuft durch den Ursprung und liegt für \(x > 0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Nur der Term \(s(x) = -0{,}2x^2\) besitzt dieses Verhalten. 2. Graph (2) fällt für steigende \(x\)-Werte. Dies deutet auf einen negativen Exponenten hin. Da der Graph durch \((1 \mid 1)\) und \((4 \mid 0{,}5)\) verläuft, passt \(q(x) = x^{-0{,}5}\), denn \(4^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{4}} = 0{,}5\). 3. Graph (3) verläuft durch \((1 \mid 1{,}5)\) und \((4 \mid 3)\). Dies passt zu \(r(x) = 1{,}5\sqrt{x}\), da \(1{,}5 \cdot \sqrt{4} = 1{,}5 \cdot 2 = 3\). 4. Graph (1) verläuft durch \((1 \mid 1)\) und erreicht bei \(x \approx 4\) etwa den Wert \(1{,}6\). Da \(\sqrt[3]{1} = 1\) und \(\sqrt[3]{4} \approx 1{,}587\), gehört dieser Graph zu \(p(x) = \sqrt[3]{x}\). 5. Der Term \(t(x) = 2x^{-1}\) würde durch \((1 \mid 2)\) verlaufen, was auf keinen Graphen zutrifft. Ergebnis: (1) gehört zu \(p\), (2) zu \(q\), (3) zu \(r\) und (4) zu \(s\).

(1) \(\rightarrow p\), (2) \(\rightarrow q\), (3) \(\rightarrow r\), (4) \(\rightarrow s\); \(t\) bleibt übrig.

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um Schnittpunkte zu finden? - Überprüfe für den Vergleich der Graphen Werte, die größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegen. - Was muss für den Exponenten \(n\) und den Koeffizienten \(a\) gelten, damit der Wertebereich nur aus nicht-negativen Zahlen besteht? - Kannst du für Teilaufgabe c) verschiedene gerade Zahlen für \(n\) ausprobieren?

1. Schnittpunkte berechnen: \(x^2 = x^4 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). 2. Vergleich der Funktionswerte: Für \(|x| > 1\) (z. B. \(x=2\)) gilt \(2^4 = 16 > 2^2 = 4\). Für \(|x| < 1\) (z. B. \(x=0{,}5\)) gilt \(0{,}5^4 = 0{,}0625 < 0{,}5^2 = 0{,}25\). Der Graph von \(g\) liegt also für \(x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; \infty[\) oberhalb von \(f\). 3. Wertebereich von \(f(x) = x^2\) ist \(W = [0; \infty[\). Damit \(h(x) = ax^n\) denselben Wertebereich hat, muss \(n\) gerade und \(a > 0\) sein. 4. Punkt \(S(2 | 16)\) einsetzen: \(16 = a \cdot 2^n\). - Möglichkeit 1: Wähle \(n=2\). Dann ist \(16 = a \cdot 4\), also \(a = 4\). Term: \(h(x) = 4x^2\). - Möglichkeit 2: Wähle \(n=4\). Dann ist \(16 = a \cdot 16\), also \(a = 1\). Term: \(h(x) = x^4\).

a) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 | 0)\), \(S_2(1 | 1)\) und \(S_3(-1 | 1)\). b) Der Graph von \(g\) verläuft für \(x < -1\) und für \(x > 1\) oberhalb von \(f\). c) Zwei mögliche Funktionsterme sind \(h(x) = 4x^2\) und \(h(x) = x^4\).

- Beginne damit, den Punkt mit \(x=1\) zu finden. Warum ist dieser Punkt besonders hilfreich, um den Parameter \(a\) zu bestimmen? - Wenn du \(a\) kennst, kannst du einen zweiten Punkt nutzen, um eine Gleichung für den Exponenten \(n\) aufzustellen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze: Wie kann man einen Bruch wie \(\frac{1}{2}\) als Potenz zur Basis \(2\) schreiben?

1. Lies die markierten Punkte aus dem Koordinatensystem ab: \(P(1 \mid 2)\) und \(Q(2 \mid 1)\). 2. Setze den Punkt \(P(1 \mid 2)\) in die Funktionsgleichung \(f(x) = ax^n\) ein: \(2 = a \cdot 1^n\). Da \(1^n = 1\) für alle \(n\) gilt, folgt daraus direkt \(a = 2\). 3. Setze den Punkt \(Q(2 \mid 1)\) und den gefundenen Wert \(a=2\) ein: \(1 = 2 \cdot 2^n\). 4. Löse nach \(n\) auf: \(\frac{1}{2} = 2^n \implies 2^{-1} = 2^n \implies n = -1\). 5. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 2x^{-1}\) oder \(f(x) = \frac{2}{x}\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x) = 2x^{-1}\) (oder \(f(x) = \frac{2}{x}\)).

- Setze zuerst den Punkt mit dem \(x\)-Wert \(1\) ein, um den Vorfaktor \(a\) direkt zu berechnen. - Nutze den zweiten Punkt, um eine Gleichung für den Exponenten \(n\) zu erhalten. - Kannst du die Zahlen in deiner Gleichung so umschreiben, dass sie dieselbe Basis haben? Das macht das Lösen einfacher.

1. Setze \(P(1 \mid 0{,}5)\) ein: \(0{,}5 = a \cdot 1^n \implies a = 0{,}5\). 2. Setze \(Q(4 \mid 4)\) und \(a = 0{,}5\) ein: \(4 = 0{,}5 \cdot 4^n\). 3. Multipliziere mit 2: \(8 = 4^n\). 4. Schreibe beide Seiten als Potenzen zur Basis 2: \(2^3 = (2^2)^n = 2^{2n}\). 5. Durch Exponentenvergleich folgt: \(3 = 2n \implies n = 1{,}5\). 6. Der Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5x^{1{,}5}\).

Die Werte sind \(a = 0{,}5\) und \(n = 1{,}5\). Der Funktionsterm lautet \(g(x) = 0{,}5x^{1{,}5}\).