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Im Koordinatensystem ist der Graph \(f\) einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\) dargestellt. Welcher der folgenden Terme beschreibt den Graphen? a) \(f(x)=x^2\) b) \(f(x)=2x^2\) c) \(f(x)=-2x^2\) d) \(f(x)=2x^3\)

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f(x)=-2x^3\). Berechne \(f(1)\).

Im Bild sind zwei Graphen von Potenzfunktionen der Form \(f(x)=ax^3\) dargestellt. Welcher Graph gehört zu \(a>0\), welcher zu \(a<0\)? Begründe deine Zuordnung mit dem Verlauf für positive \(x\).

Im Bild sind zwei Graphen von Potenzfunktionen der Form \(f(x)=ax^2\) mit positivem \(a\) dargestellt. Welcher Graph gehört zum größeren Betrag \(|a|\)? Begründe deine Entscheidung anhand der Lage der Graphen für denselben positiven \(x\)-Wert.

Nutze eine dynamische Mathematiksoftware und stelle \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x^6\) im selben Koordinatensystem dar. Betrachte nur den Bereich \(0<x<1\). Welcher Graph liegt dort näher an der \(x\)-Achse? Formuliere daraus einen Satz darüber, wie ein größerer gerader natürlicher Exponent \(n\) die Werte von \(x^n\) für \(0<x<1\) verändert.

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=\frac{1}{4}x^4\). a) Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt \(P(-2|4)\) auf dem Graphen der Funktion liegt. b) Bestimme alle \(x\)-Koordinaten, für die der zugehörige Funktionswert \(64\) beträgt. c) Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x=-3\).

Betrachte die Funktionen \(f(x)=2x^4\) und \(g(x)=-2x^6\). a) Begründe ohne Rechnung, warum der Koordinatenursprung \(O(0|0)\) der einzige gemeinsame Punkt der beiden Graphen sein kann. b) Bestätige deine Überlegung durch das Lösen der Gleichung \(f(x)=g(x)\).

Ein Goldschmied fertigt Schmuckstücke in Form von regelmäßigen Tetraedern an. Für das Volumen \(V\) eines solchen Tetraeders mit der Kantenlänge \(a\) gilt die Formel \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\). a) Ein Kunde möchte ein Modell mit einer Kantenlänge von \(12\,\text{mm}\) anstelle des Standardmodells mit \(10\,\text{mm}\) Kantenlänge. Berechne, um wie viel Prozent das Volumen bei dieser Vergrößerung zunimmt. b) Begründe allgemein, wie sich das Volumen eines Tetraeders verändert, wenn die Kantenlänge verdreifacht wird.

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f(x)=\frac{1}{2}x^n\). a) Der Punkt \(P(4|32)\) liegt auf dem Graphen von \(f\). Bestimme den Exponenten \(n\in\mathbb{N}\). b) Berechne die Stelle \(a\), für die der Funktionswert \(f(a)=4\) gilt, unter Verwendung des in a) gefundenen Exponenten.

Betrachte die Potenzfunktion vierten Grades \(f(x)=x^4\). Der Graph einer Funktion \(h\) ist gegeben durch \(h(x)=-0{,}5(x-2)^4+3\). Beschreibe präzise, welche geometrischen Abbildungen nacheinander auf den Graphen von \(f\) angewendet werden müssen, um den Graphen von \(h\) zu erhalten. Erkläre zudem, wie sich Öffnungsrichtung und Form des Graphen im Vergleich zur Grundfunktion verändern.

Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen \(f\) und \(g\) mit den Funktionsgleichungen \(f(x) = x^3\) und \(g(x) = -x^3\). a) Vervollständige die folgende Wertetabelle für beide Funktionen: <table> <tr> <td>\(x\)</td> <td>\(-2\)</td> <td>\(-1\)</td> <td>\(0\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(2\)</td> </tr> <tr> <td>\(f(x)\)</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> </tr> <tr> <td>\(g(x)\)</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> <td>...</td> </tr> </table> b) Beschreibe, wie man den Graphen von \(g\) durch eine geometrische Abbildung aus dem Graphen von \(f\) erhalten kann. c) Untersuche das Symmetrieverhalten von \(g(x) = -x^3\). Weise rechnerisch nach, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen \(f\) mit \(f(x) = x^4\) und \(g\) mit \(g(x) = x^6\). a) Berechne für beide Funktionen die Funktionswerte an den Stellen \(x = 0{,}5\) und \(x = 2\). b) Bestimme die Funktionswerte \(f(-3)\) und \(g(-1{,}5)\). c) Berechne den Wert der Funktion \(g\) an der Stelle \(x = \sqrt{2}\). d) Ermittle die vereinfachten Terme für die Funktionswerte \(f(2a)\) und \(g(a^2)\).

Betrachte die Potenzfunktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = x^5\). a) Berechne die Funktionswerte für die Stellen \(x \in \{-2; -1; 0; 1; 2\}\). b) Berechne \(f(0{,}2)\) und \(f(-0{,}4)\). c) Bestimme den exakten Funktionswert an der Stelle \(x = \sqrt[5]{12}\). d) Berechne die Terme für \(f(-a)\) und \(f(a^3b)\).

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=x^5\). Die folgenden Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion. Berechne die jeweils fehlende Koordinate. a) \(A(3|\square)\) b) \(B(\square|-32)\) c) \(C(-0{,}1|\square)\) d) \(D(\square|0)\) e) \(E(0{,}5|\square)\)

Die Punkte \(P_1\) bis \(P_5\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g(x)=x^6\). Bestimme die fehlenden Werte. Beachte, dass es bei der Suche nach \(x\)-Koordinaten gegebenenfalls zwei Lösungen geben kann. a) \(P_1(-2|\square)\) b) \(P_2(\square|1)\) c) \(P_3(0{,}5|\square)\) d) \(P_4(\square|1000000)\) e) \(P_5(\square|0)\)

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) (gestrichelt). Der Graph \(g\) hat dieselbe Grundform, wurde aber im Koordinatensystem verschoben. Gib die Gleichung der senkrechten Asymptote an und bestimme den Funktionsterm von \(g\).

Im Koordinatensystem siehst du die Graphen von drei Funktionen der Form \(f(x)=ax^3\). Ordne die Funktionsgleichungen den Graphen \(a\), \(b\) und \(c\) ohne weitere Rechnung zu. Gleichungen: A: \(y=0{,}4x^3\) B: \(y=2{,}5x^3\) C: \(y=x^3\) Begründe deine Zuordnung kurz durch den Vergleich der Steilheit der Graphen.

Gegeben ist der Graph einer Funktion \(f\), die durch Verschiebung aus der Funktion \(g(x)=x^4\) entstanden ist. Bestimme die Funktionsgleichung von \(f\) und beschreibe die Verschiebung in Worten.

Der Graph der Funktion \(h\) ist durch Transformationen aus der Funktion \(f(x)=x^3\) hervorgegangen. Er hat die Form \(h(x)=ax^3+c\). Bestimme die Parameter \(a\) und \(c\) mithilfe der Zeichnung. Beschreibe anschließend, wie der Graph von \(h\) aus dem Graphen von \(f\) entsteht.

Ordne den Graphen \(f\), \(g\) und \(h\) die jeweils richtige Funktionsgleichung zu: 1. \(y=x^2\) 2. \(y=x^3\) 3. \(y=-0{,}5x^4\) Begründe deine Zuordnung jeweils mit einer charakteristischen Eigenschaft des Graphen.

Vergleiche die Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=0{,}5x^3\). a) Beschreibe die Auswirkung des Faktors \(0{,}5\) auf den Verlauf des Graphen von \(g\) im Vergleich zu \(f\). b) Berechne den Funktionswert \(g(1{,}5)\) und gib die Koordinaten des zugehörigen Punktes auf dem Graphen von \(g\) an.

In der Abbildung sind zwei Punkte \(A\) und \(B\) markiert, die auf dem Graphen einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\) liegen. a) Lies die Koordinaten der beiden Punkte ab und begründe damit, warum der Exponent \(n\) eine gerade Zahl sein muss. b) Bestimme die Funktionsgleichung für den Fall, dass \(n\) die kleinstmögliche positive natürliche Zahl ist, die diese Bedingung erfüllt.

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=-x^3\). a) Beschreibe, durch welche geometrische Abbildung der Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) hervorgeht. b) In welchen Quadranten des Koordinatensystems verläuft der Graph von \(g\)?

Der abgebildete Graph stellt eine Funktion \(h\) dar, die durch Verschiebung aus der Grundfunktion \(f(x)=x^3\) entstanden ist. Gib den Funktionsterm in der Form \(h(x)=(x-x_0)^3+y_0\) an und beschreibe die Verschiebung.

Der Graph der Funktion \(f(x)=ax^2\) verläuft durch den markierten Punkt \(Q\). Bestimme den Wert des Koeffizienten \(a\).

Gegeben ist der Term \(T=\sqrt{\frac14\cdot2^4}\). a) Vereinfache den Term schrittweise und berechne seinen Wert. b) Der abgebildete Graph gehört zur Funktion \(f(x)=\sqrt{x}\). Lies die Koordinaten des markierten Punktes \(P\) ab. Vergleiche anschließend \(T\) mit dem Funktionswert von \(P\).

Eine Potenzfunktion hat die Form \(f(x)=ax^3\). Ein Funktionswert und ein fehlender Tabellenwert sind gegeben. <table><tr><th>\(x\)</th><th>\(-2\)</th><th>\(2\)</th></tr><tr><th>\(f(x)\)</th><td>\(-4\)</td><td>?</td></tr></table> Bestimme \(a\) aus dem gegebenen Wertepaar und ergänze den fehlenden Tabellenwert.

Der Graph einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\) verläuft durch den Punkt \(P(2|-8)\). a) Bestimme den Funktionsterm für \(n=2\). b) Bestimme den Funktionsterm für \(n=4\). c) Vergleiche die beiden Koeffizienten. Bei welchem Graphen wächst für \(x>2\) der Betrag des Funktionswerts stärker? Begründe.

Bestimme die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\). Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte \(P(1|-2)\) und \(Q(2|-32)\). Untersuche anschließend, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Begründe deine Antwort mithilfe des Exponenten.

Jonas behauptet: „Jede Potenzfunktion \(f(x)=ax^n\) mit \(a\ne0\) und \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist streng monoton steigend.“ Untersuche die Behauptung. Gib ein Gegenbeispiel an, falls sie falsch ist, und formuliere anschließend die korrekte allgemeine Regel für die Monotonie punktsymmetrischer Potenzfunktionen in Abhängigkeit vom Vorzeichen von \(a\).

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit den Funktionsgleichungen \(f(x)=\frac{1}{2}x^4\) und \(g(x)=8x^2\). Berechne die Koordinaten aller Schnittpunkte der Graphen \(G_f\) und \(G_g\). Bestimme anschließend rechnerisch die Intervalle, in denen der Graph von \(f\) unterhalb des Graphen von \(g\) verläuft.

Betrachte die Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=0{,}01x^5\). a) Ermittle alle Stellen \(x\), an denen die Graphen beider Funktionen den gleichen Funktionswert besitzen. b) Vergleiche das Verhalten der Graphen für sehr große positive \(x\)-Werte. Welche Funktion liefert ab einem bestimmten Punkt dauerhaft die größeren Werte? Begründe deine Entscheidung.

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=4x^2\) und \(g(x)=x^3\). Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. Gib an, in welchem Bereich der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\) liegt. Untersuche dabei auch negative \(x\)-Werte.

Der Graph einer Potenzfunktion der Form \(g(x)=ax^n\) verläuft durch den Punkt \(Q(2|-16)\). a) Bestimme den Parameter \(a\) unter der Annahme, dass \(n=4\) ist. b) Bestimme den Parameter \(a\) unter der Annahme, dass \(n=3\) ist. c) Einer der beiden Graphen aus a) oder b) verläuft auch durch den Punkt \(R(-2|16)\). Entscheide begründet, welcher dies ist.

Betrachte die Potenzfunktion \(k(x) = 3x^{-2}\) mit der Definitionsmenge \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). a) Berechne die Stellen \(x\), an denen die Funktion den Wert \(\frac{1}{12}\) annimmt. b) Begründe, warum es keinen Punkt auf dem Graphen von \(k\) gibt, dessen \(y\)-Koordinate negativ ist. c) Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man den \(x\)-Wert verdoppelt? Untersuche dies allgemein oder an einem Beispiel.

Ein Designer entwirft würfelförmige Sitzhocker. Das Volumen eines Würfels ist durch \(V = a^3\) gegeben. a) Mit welchem Faktor muss die Kantenlänge \(a\) multipliziert werden, damit der neue Hocker nur noch ein Achtel des ursprünglichen Volumens besitzt? b) Ein spezielles Modell soll genau das doppelte Volumen eines Standardwürfels mit der Kantenlänge \(a\) haben. Bestimme den exakten Faktor, mit dem die ursprüngliche Kantenlänge multipliziert werden muss, um die neue Kantenlänge zu erhalten. c) Wenn das Volumen eines Würfels um \(50\,\%\) reduziert wird, auf welchen Bruchteil schrumpft dann die Kantenlänge? Gib das Ergebnis unter Verwendung einer Wurzel an.

In einem physikalischen Experiment wird der Flächeninhalt \(A\) quadratischer Platten untersucht. Es gilt \(A = s^2\), wobei \(s\) die Seitenlänge der Platte ist. a) Zeige rechnerisch, wie sich die Seitenlänge \(s\) verändern muss, damit sich die Fläche der Platte verdoppelt. b) Die Seitenlänge einer quadratischen Platte wird um \(20\,\%\) reduziert. Berechne den prozentualen Anteil der Fläche, der nach der Reduktion im Vergleich zur ursprünglichen Fläche verloren geht.

Der Graph einer Funktion der Form \(f(x)=kx^n\) verläuft durch den Punkt \(P(-2|4)\). Dabei ist \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\). a) Bestimme den Koeffizienten \(k\) für den Fall \(n=2\) und für den Fall \(n=3\). b) Untersuche allgemein das Vorzeichen von \(k\): Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, wenn \(n\) gerade ist? Welches Vorzeichen muss \(k\) haben, wenn \(n\) ungerade ist? Begründe deine Antwort mithilfe der Koordinaten von \(P\).

Der Graph einer Potenzfunktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=ax^4\) und der Graph der Funktion \(g(x)=x^2\) schneiden sich unter anderem im Punkt \(P(2|4)\). a) Bestimme den Wert des Parameters \(a\). b) Ermittle rechnerisch die Koordinaten aller weiteren Schnittpunkte der beiden Graphen.

Betrachte die beiden Funktionen \(f\) und \(g\): \(f(x)=0{,}25(x+2)^3\) \(g(x)=x^3-5\) Wie erhält man den Graphen von \(g\), wenn man vom Graphen von \(f\) ausgeht? Gib eine mögliche Abfolge von Transformationen an.

Eine Potenzfunktion hat die Form \(h(x)=ax^3\). Der Graph dieser Funktion verläuft durch den Punkt \(P(2|4)\). a) Bestimme den Wert des Parameters \(a\). b) Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x=-3\). c) Der Graph einer weiteren Funktion \(k\) mit \(k(x)=bx^3\) verläuft durch den Punkt \(Q(1|-2)\). Beschreibe den Verlauf von \(k\) im Vergleich zu \(h\): In welchen Quadranten verläuft der Graph von \(k\), und durch welche Spiegelung und Streckung erhält man ihn aus dem Graphen von \(h\)?

Bestimme alle reellen Zahlen \(x\), für die die folgenden Aussagen wahr sind: a) \(x^4=x^2\) b) \(x^4>x^2\) c) \(x^4<x^2\) d) \((-x)^2=x^2\) e) \(x^4<0\)

Vergleiche die Potenzen \(x^3\) und \(x^5\). a) Gib alle Werte für \(x\) an, für die \(x^5=x^3\) gilt. b) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung \(x^5>x^3\). c) Entscheide für die folgenden Bereiche, welche der beiden Potenzen den größeren Wert liefert, und begründe dies kurz: i) \(x>1\) ii) \(0<x<1\) iii) \(x<-1\)

Ein Künstler entwirft zwei verschiedene Skulpturen. Die erste Skulptur ist ein massiver Würfel mit der Kantenlänge \(x\). Die zweite Skulptur hat die Form eines Quaders mit einer quadratischen Grundfläche der Seitenlänge \(x\) und einer festen Höhe von \(4\,\text{m}\). a) Stelle für beide Körper eine Formel für das Volumen (\(V_{\text{W}}\) für den Würfel, \(V_{\text{Q}}\) für den Quader) in Abhängigkeit von \(x\) auf. b) Berechne die Kantenlänge \(x > 0\), für die beide Skulpturen das gleiche Volumen besitzen. c) Bestimme das Volumen für diesen Fall. d) Begründe, warum für sehr große Werte von \(x\) das Volumen des Würfels das des Quaders immer übertreffen wird.

Betrachte die Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten \(f(x)=x^{-1}\) und \(g(x)=x^{-2}\). a) Bestimme die Definitionsmenge beider Funktionen. In welchen Quadranten verlaufen ihre Graphen jeweils? b) Vergleiche die Funktionswerte bei \(x=0{,}1\). Untersuche zusätzlich den Quotienten \(\frac{g(x)}{f(x)}\) für \(x\to0^+\) und begründe damit, welche Funktion dort stärker anwächst. c) Beschreibe das Verhalten der Funktionswerte für \(x\to+\infty\). Welcher Geraden nähern sich die Graphen an? d) Berechne den Schnittpunkt der beiden Graphen im ersten Quadranten.

Der Graph der Funktion \(f(x)=x^3\) wurde verschoben und gestreckt beziehungsweise gespiegelt. Im Koordinatensystem sind zwei solche transformierten Graphen \(g\) und \(h\) dargestellt. Bestimme für beide Graphen jeweils eine Funktionsgleichung der Form \(y=a(x-d)^3+e\). Gib deine Antwort in der Form \(g(x)=\dots\) und \(h(x)=\dots\) an.

Betrachte die Potenzfunktion \(h\) mit der Funktionsgleichung \(h(x)=-0{,}2x^3\). a) Berechne die Funktionswerte \(h(3)\) und \(h(-3)\). b) Bestimme den Wert von \(x\), für den \(h(x)=-25\) gilt. c) Überprüfe die folgenden Aussagen und begründe deine Entscheidung kurz: (1) Für sehr große positive \(x\)-Werte nimmt \(h(x)\) beliebig große negative Werte an. (2) Die Gleichung \(h(a)+h(-a)=0\) ist für jede reelle Zahl \(a\) erfüllt.

Betrachte die Potenzfunktion \(f(x)=0{,}5x^4\). a) Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x=3\). b) Beschreibe, wie sich der Graph verändert, wenn man den Faktor \(0{,}5\) durch \(-0{,}5\) ersetzt. Welche geometrische Abbildung liegt hier vor? c) Wie verändert sich der Graph, wenn man stattdessen \(a=2\) wählt? Vergleiche für dasselbe \(x\ne0\) die Funktionswerte des neuen Graphen mit denen von \(f\) und beschreibe, welcher Graph steiler verläuft.

Betrachte die Funktionen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x^4\) im Intervall \([0;1{,}5]\). a) Berechne die Schnittpunkte der beiden Graphen in diesem Bereich. b) Für welche Werte von \(x\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb des Graphen von \(f\)? Bestimme den Bereich mathematisch und begründe deine Antwort.

Betrachte die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=0{,}5x^3\). a) Bestimme die Funktionswerte \(f(-2)\) und \(f(3)\). b) Für welchen Wert von \(x\) ist der Funktionswert \(108\)? c) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründe kurz. (1) Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. (2) Die Gleichung \(f(x)=0\) hat genau eine Lösung.

Bestimme den Funktionsterm für den dargestellten Graphen einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\). Der Graph verläuft exakt durch die markierten Gitterpunkte.

Betrachte die beiden Potenzfunktionen \(f(x)=x^2\) und \(g(x)=x^4\). a) Berechne die Koordinaten aller Schnittpunkte der beiden Graphen. b) Bestimme das Intervall (oder die Intervalle), in denen der Graph von \(g\) oberhalb des Graphen von \(f\) verläuft. c) Eine neue Funktion \(h(x)=ax^n\) soll durch den Punkt \(S(2|16)\) verlaufen und dieselbe Wertemenge wie \(f\) besitzen. Gib zwei mögliche Funktionsterme für \(h\) an.

Eine Potenzfunktion \(f(x)=ax^n\) mit \(n\in\mathbb{N}\) verläuft durch die Punkte \(P(2|48)\) und \(Q(4|768)\). Bestimme \(a\) und \(n\). Beschreibe anschließend, wie der Graph von \(f\) aus dem Graphen von \(g(x)=x^n\) entsteht.