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- Welche Rolle spielt die Zahl im Exponenten für die Symmetrie? - Wie beeinflusst das Vorzeichen der Zahl vor der Potenz den Verlauf des Graphen? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine sehr große Zahl für \(x\) einsetzt?

1. Untersuchung von \(f(x) = -5x^8\): Der Exponent \(n=8\) ist eine gerade Zahl, daraus folgt eine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Da der Koeffizient \(a=-5\) negativ ist, verläuft der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) und für \(x \to -\infty\) ebenfalls gegen \(-\infty\). 2. Untersuchung von \(g(x) = 0{,}4x^3\): Der Exponent \(n=3\) ist eine ungerade Zahl, daraus folgt eine Punktsymmetrie zum Ursprung. Da der Koeffizient \(a=0{,}4\) positiv ist, verläuft der Graph für \(x \to \infty\) gegen \(\infty\) und für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\).

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; für \(x \to \infty\): \(f(x) \to -\infty\); für \(x \to -\infty\): \(f(x) \to -\infty\). b) Punktsymmetrisch zum Ursprung; für \(x \to \infty\): \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\): \(g(x) \to -\infty\).

- Überlege zuerst, welche Symmetrieeigenschaften die Graphen von Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden Exponenten haben. - Welcher der Graphen verläuft sowohl im ersten als auch im dritten Quadranten? Zu welchem Exponententyp passt das? - Vergleiche für positive \(x\)-Werte das Verhalten der Graphen im Bereich \(0 < x < 1\) und im Bereich \(x > 1\). - Welcher Funktionswert ist bei \(x = 1{,}2\) größer: \(1{,}2^4\) oder \(1{,}2^6\)? Was bedeutet das für den Verlauf der Graphen?

1. **Identifikation von Graph C**: Die Funktionsgleichung (1) \(y = x^3\) besitzt einen ungeraden Exponenten. Der zugehörige Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Da Graph C im III. Quadranten für negative \(x\)-Werte verläuft und im I. Quadranten für positive \(x\)-Werte, zeigt er dieses punktsymmetrische Verhalten. Die Graphen A und B hingegen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da sie nur nichtnegative Funktionswerte annehmen. Somit gehört Graph C zur Gleichung (1). 2. **Unterscheidung von Graph A und Graph B**: Die Funktionsgleichungen (2) \(y = x^4\) und (3) \(y = x^6\) haben beide gerade Exponenten, sind also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x > 1\) wächst eine Potenzfunktion umso steiler, je größer ihr Exponent ist. Da \(6 > 4\) ist, verläuft der Graph von \(y = x^6\) für \(x > 1\) oberhalb des Graphen von \(y = x^4\). Graph A verläuft im Bereich \(x > 1\) steiler und liegt über Graph B. Zudem verläuft für \(0 < x < 1\) der Graph mit dem größeren Exponenten flacher (näher an der \(x\)-Achse), da dort \(x^6 < x^4\) gilt. Auch dies ist bei Graph A im Vergleich zu Graph B der Fall. Somit gehört Graph A zur Gleichung (3) und Graph B zur Gleichung (2).

(1) entspricht Graph C, (2) entspricht Graph B, (3) entspricht Graph A.

- Betrachte die Symmetrie der beiden Kurven. - Überlege, in welche Quadranten die Graphen verlaufen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen vor der Potenz den Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt.

1. Der rote Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was charakteristisch für Potenzfunktionen mit geradem Exponenten ist. Der blaue Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, was auf einen ungeraden Exponenten hinweist. 2. Da beide Koeffizienten negativ sind, streben beide Funktionen für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\). 3. Da der rote Graph eine nach unten geöffnete, zur y-Achse symmetrische Form zeigt, sind mögliche Gleichungen zum Beispiel \(f(x) = -x^2\), \(f(x) = -0{,}5x^4\) oder \(f(x) = -2x^6\).

1. Roter Graph: gerader Exponent (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse). Blauer Graph: ungerader Exponent (Punktsymmetrie zum Ursprung). 2. Für \(x \to \infty\) gilt bei beiden: \(f(x) \to -\infty\) und \(g(x) \to -\infty\). 3. Mögliche Beispiele: \(f(x) = -x^2\), \(f(x) = -x^4\), \(f(x) = -x^6\).

- Welche \(x\)-Werte darfst du einsetzen? Gibt es Einschränkungen? - Schau dir die \(y\)-Werte an: Können sie negativ werden? - Wie verhält sich der Graph, wenn du ihn an einer Achse oder am Ursprung spiegelst?

1. Definitionsbereich: Beide Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert, also \(D_f = \mathbb{R}\) und \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Wertebereich: Da \(x^6\) immer nichtnegativ ist, gilt für \(g\): \(W_g = \mathbb{R}_0^+\) (alle Werte \(\ge 0\)). Für \(f(x) = x^3\) können alle reellen Werte angenommen werden, also \(W_f = \mathbb{R}\). 3. Symmetrie: Der Graph von \(g(x) = x^6\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da der Exponent gerade ist (\(g(-x) = (-x)^6 = x^6 = g(x)\)). Der Graph von \(f(x) = x^3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da der Exponent ungerade ist (\(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\)).

Für \(f(x) = x^3\): \(D = \mathbb{R}\), \(W = \mathbb{R}\), punktsymmetrisch zum Ursprung. Für \(g(x) = x^6\): \(D = \mathbb{R}\), \(W = \mathbb{R}_0^+\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Setze einen Wert zwischen 0 und 1 in beide Funktionsgleichungen ein und vergleiche die Ergebnisse mit der Zeichnung. - Überlege dir, wie sich das Quadrieren einer Zahl im Vergleich zum Potenzieren mit 4 auswirkt, wenn die Zahl größer als 1 ist. - Schau dir genau an, welcher Graph nach dem Punkt \((1 \mid 1)\) steiler ansteigt.

1. Berechnung der Funktionswerte für \(x = 0{,}5\): \(f(0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25\) \(g(0{,}5) = 0{,}5^4 = 0{,}0625\) Da \(0{,}25 > 0{,}0625\), gehört der blaue Graph (der bei \(x = 0{,}5\) höher liegt) zu \(f(x) = x^2\) und der rote Graph zu \(g(x) = x^4\). 2. Verlauf für \(x > 1\): Für Werte größer als 1 wachsen höhere Potenzen schneller. Es gilt \(x^4 > x^2\) für \(x > 1\). Daher liegt der rote Graph von \(g\) oberhalb des blauen Graphen von \(f\).

a) Der blaue Graph gehört zu \(f(x) = x^2\) und der rote Graph zu \(g(x) = x^4\), da \(0{,}5^2 > 0{,}5^4\). b) Für \(x > 1\) liegt der rote Graph (\(g\)) oberhalb des blauen Graphen (\(f\)), da höhere Potenzen für Werte größer als 1 schneller anwachsen.

- Wie kannst du die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen? - Was bedeutet Achsensymmetrie für die Wahl des Exponenten \(n\)? - Überlege, welche Potenz bei großen \(x\)-Werten schneller wächst.

1. Ansatz \(f(x) = ax^2\) mit Punkt \(P(2 | -8)\): \(-8 = a \cdot 2^2 \Rightarrow -8 = 4a \Rightarrow a = -2\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -2x^2\). 2. Ansatz \(g(x) = ax^4\) mit Punkt \(P(2 | -8)\): \(-8 = a \cdot 2^4 \Rightarrow -8 = 16a \Rightarrow a = -0{,}5\). Der Funktionsterm lautet \(g(x) = -0{,}5x^4\). 3. Vergleich: Es gilt \(a_f = -2\) und \(a_g = -0{,}5\). Für \(x > 2\) ist \(\frac{|g(x)|}{|f(x)|} = \frac{0{,}5x^4}{2x^2} = \frac{x^2}{4} > 1\). Mit wachsendem \(x\) wächst dieses Verhältnis; daher nimmt der Betrag von \(g(x)\) stärker zu.

1. \(f(x) = -2x^2\) 2. \(g(x) = -0{,}5x^4\) 3. Es gilt \(a_f = -2\) und \(a_g = -0{,}5\). Für \(x > 2\) wächst der Betrag von \(g(x)\) stärker.

- Wie berechnest du den Wert einer Funktion an einer bestimmten Stelle? Was musst du für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich daran, wie man Gleichungen mit höheren Potenzen wie \(x^4\) löst. Gibt es eventuell mehr als eine Lösung im reellen Bereich? - Welche Rolle spielt der Exponent einer Potenzfunktion bei der Symmetrie des Graphen? Vergleiche dazu \(f(x)\) und \(f(-x)\). - Überlege, welche Werte eine Potenzfunktion mit einem geraden Exponenten annehmen kann. Können diese Werte jemals negativ sein?

Berechnen der Funktionswerte durch Einsetzen: \(f(-2) = 0{,}25 \cdot (-2)^4 = 4\) und \(f(3) = 0{,}25 \cdot 3^4 = 20{,}25\). Aufstellen und Lösen der Gleichung \(0{,}25x^4 = 64\). Umformen zu \(x^4 = 256\) liefert die beiden reellen Lösungen \(x = 4\) und \(x = -4\). Überprüfen der ersten Aussage: Die Aussage ist wahr, da die Funktion \(f\) wegen \(f(-x) = f(x)\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (gerade Potenzfunktion). Überprüfen der zweiten Aussage: Die Aussage ist wahr, da \(x^4 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(f(x) \ge 0\). Ein negativer Funktionswert wie \(-2\) kann daher nicht angenommen werden.

a) \(f(-2) = 4\) und \(f(3) = 20{,}25\) b) \(x = 4\) und \(x = -4\) c) (1) Wahr (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da der Exponent gerade ist) (2) Wahr (Der Wertebereich umfasst nur nichtnegative Zahlen, da \(x^4 \ge 0\))

- Wie wirkt sich ein gerader oder ungerader Exponent auf die Symmetrie des Graphen aus? - Welche Rolle spielt das Vorzeichen des Faktors vor der Potenz für das Verhalten des Graphen im Unendlichen? - Betrachte Graph I: Ist dieser symmetrisch zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung? Welche der Funktionen kommen dafür infrage? - Betrachte Graph II: Geht der Graph von links unten nach rechts oben oder von links oben nach rechts unten? Was bedeutet das für das Vorzeichen des Faktors? - Überlege für den Aufgabenteil b), welche Funktionswerte bei den übrigen Funktionen überhaupt angenommen werden können, um die Wertemenge zu bestimmen.

1. **Zuordnung für Graph I:** - Graph I ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und verläuft für \(x \to \pm\infty\) gegen \(-\infty\). - Ein gerader Exponent bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, was auf \(f_1\) und \(f_2\) zutrifft. - Da der Graph nach unten verläuft, muss der Koeffizient negativ sein. Dies trifft nur auf \(f_2(x) = -0{,}5x^6\) zu. - **Ergebnis:** Graph I gehört zu \(f_2\). 2. **Zuordnung für Graph II:** - Graph II ist punktsymmetrisch zum Ursprung und verläuft von links unten nach rechts oben. - Ein ungerader Exponent bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung, was auf \(f_3\) und \(f_4\) zutrifft. - Da der Graph steigt, muss der Koeffizient positiv sein. Dies trifft nur auf \(f_3(x) = 0{,}2x^5\) zu. - **Ergebnis:** Graph II gehört zu \(f_3\). 3. **Beschreibung der übrigen Funktionen:** - Für \(f_1(x) = 1{,}5x^4\): achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, nach oben geöffneter parabelähnlicher Verlauf; für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f_1(x) \to \infty\). Die Wertemenge ist \(W_{f_1} = [0; \infty[\). - Für \(f_4(x) = -3x^3\): punktsymmetrisch zum Ursprung und streng monoton fallend; für \(x \to -\infty\) gilt \(f_4(x) \to \infty\), für \(x \to \infty\) gilt \(f_4(x) \to -\infty\). Die Wertemenge ist \(W_{f_4} = \mathbb{R}\).

a) Graph I gehört zu \(f_2(x) = -0{,}5x^6\). Graph II gehört zu \(f_3(x) = 0{,}2x^5\). b) Für die übrigen Funktionen gilt: - \(f_1(x) = 1{,}5x^4\): achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, nach oben geöffneter parabelähnlicher Verlauf, \(W_{f_1} = [0; \infty[\). - \(f_4(x) = -3x^3\): punktsymmetrisch zum Ursprung, streng monoton fallender Verlauf, \(W_{f_4} = \mathbb{R}\).

- Was bedeutet es, den Funktionswert an einer bestimmten Stelle zu berechnen? Welchen Wert musst du dafür in den Funktionsterm einsetzen? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(ax^3 = b\) schrittweise nach \(x\) auflösen? Welcher Rechenschritt macht das Potenzieren rückgängig? - Welche Symmetrieeigenschaften haben Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten allgemein? - Versuche bei der zweiten Aussage in Teil c), eine Gleichung aufzustellen und zu prüfen, ob sie eine reelle Lösung besitzt.

1. Berechnung der Funktionswerte durch Einsetzen der \(x\)-Werte in den Funktionsterm: \(f(-2) = 0{,}25 \cdot (-2)^3 = 0{,}25 \cdot (-8) = -2\) \(f(2) = 0{,}25 \cdot 2^3 = 0{,}25 \cdot 8 = 2\) 2. Bestimmung der Stelle \(x\) für \(f(x) = 54\): \(0{,}25x^3 = 54 \quad \mid \cdot 4\) \(x^3 = 216 \quad \mid \sqrt[3]{\phantom{x}}\) \(x = 6\) 3. Überprüfung der Aussagen: (1) Wahr. Da für alle reellen Zahlen \(x\) die Beziehung \(f(-x) = 0{,}25(-x)^3 = -0{,}25x^3 = -f(x)\) gilt, ist die Funktion ungerade. Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. (2) Falsch. Es existiert eine solche Stelle \(x\). Durch Umformen von \(0{,}25x^3 = -128\) erhält man \(x^3 = -512\), was die reelle Lösung \(x = -8\) besitzt.

a) \(f(-2) = -2\) und \(f(2) = 2\) b) \(x = 6\) c) (1) Wahr, da \(f(-x) = -f(x)\) gilt (ungerade Potenzfunktion). (2) Falsch, da für \(x = -8\) der Funktionswert \(f(-8) = -128\) ist.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie hoch 4 oder hoch 3 nimmt? - Achsensymmetrie tritt bei geraden Exponenten auf, Punktsymmetrie bei ungeraden. - Überlege, ob die Funktionswerte nach unten oder oben begrenzt sind.

1. Der Graph von \(f(x) = -0{,}25x^4\) ist eine nach unten geöffnete Kurve mit dem Scheitelpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\). Er ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten vorkommen. 2. Da der Koeffizient negativ ist und der Exponent gerade, nimmt die Funktion nur Werte kleiner oder gleich Null an. Die Wertemenge ist \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 0\}\) oder \(]-\infty; 0]\). 3. Bei \(g(x) = 0{,}25x^3\) ist der Exponent ungerade. Dadurch ändert sich die Symmetrie von Achsensymmetrie zu Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs. Da ungerade Potenzen auch negative Ergebnisse liefern können, umfasst die Wertemenge nun alle reellen Zahlen: \(W_g = \mathbb{R}\). Der Graph verläuft im III. und I. Quadranten.

1. Nach unten geöffnet, Scheitelpunkt \((0 \mid 0)\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. \(W = ]-\infty; 0]\). 3. Symmetrie: Wechselt zu Punktsymmetrie zum Ursprung. Wertemenge: Erweitert sich auf alle reellen Zahlen (\(W = \mathbb{R}\)).

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) bei beiden Funktionen zum selben Ergebnis führen. - Setze für Teilaufgabe b) einfach mal einen Testwert wie \(x = 0{,}5\) in beide Funktionsgleichungen ein. - Vergleiche die „Steilheit“ der Kurven direkt am Koordinatenursprung.

1. Schnittpunkte bestimmen: Durch Gleichsetzen von \(x^3 = x^5\) erhält man \(x^3 \cdot (1 - x^2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 1\). Die zugehörigen Punkte sind \(P_1(-1 \mid -1)\), \(P_2(0 \mid 0)\) und \(P_3(1 \mid 1)\). 2. Verlauf im Intervall \(]0; 1[\): In diesem Bereich gilt für höhere Exponenten \(x^5 < x^3\). Daher verläuft der Graph von \(g(x) = x^5\) unterhalb von \(f(x) = x^3\) und somit näher an der \(x\)-Achse. 3. Allgemeiner Verlauf: Je größer der Exponent \(n\) ist, desto „flacher“ schmiegt sich der Graph in der Nähe des Ursprungs an die \(x\)-Achse an. Außerhalb des Intervalls \([-1; 1]\) verläuft der Graph mit größerem \(n\) hingegen steiler.

a) Die Schnittpunkte sind \((-1 \mid -1)\), \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\). b) Der Graph von \(g(x) = x^5\) (rot) liegt näher an der \(x\)-Achse, da für \(0 < x < 1\) gilt: \(x^5 < x^3\). c) Der Graph wird im Bereich zwischen \(-1\) und \(1\) immer flacher und schmiegt sich stärker an die \(x\)-Achse an.

- Vergleiche die Werte der Funktionen für eine kleine Zahl wie \(x = 0{,}5\). Welche Funktion liefert das kleinste Ergebnis? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Wo starten die Graphen auf der \(y\)-Achse und in welche Richtung verlaufen sie?

1. Zuordnung: Je höher der Exponent bei Potenzfunktionen der Form \(x^n\) ist, desto flacher verläuft der Graph zwischen \(-1\) und \(1\). Daher gehört der flachste Graph (orange) zu \(h(x) = x^6\), der mittlere (blau) zu \(g(x) = x^4\) und der steilste (grün) zu \(f(x) = x^2\). 2. Punktprobe für \(Q(-1 \mid 1)\): \(f(-1) = (-1)^2 = 1\) \(g(-1) = (-1)^4 = 1\) \(h(-1) = (-1)^6 = 1\) Der Punkt liegt somit auf allen Graphen. 3. Wertebereich: Alle Funktionswerte sind größer oder gleich Null, da jede reelle Zahl, die mit einem geraden Exponenten potenziert wird, ein nichtnegatives Ergebnis liefert. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}\).

a) Grün: \(f(x) = x^2\); Blau: \(g(x) = x^4\); Orange: \(h(x) = x^6\). Je höher der Exponent, desto flacher ist der Verlauf nahe am Ursprung. b) Da \((-1)^2 = 1\), \((-1)^4 = 1\) und \((-1)^6 = 1\) gilt, liegt der Punkt auf allen drei Graphen. c) Der Wertebereich ist \(W = [0; \infty[\). Da die Exponenten gerade sind, sind gerade Potenzen stets nichtnegativ.

- Achte auf die Symmetrie der Graphen: Ist ein Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? - Überlege, was ein negativer Exponent für den Verlauf des Graphen in der Nähe der \(y\)-Achse bedeutet. - Gehen alle Graphen durch den Ursprung \((0 \mid 0)\)? Was sagt das über den Exponenten aus? - Prüfe die Funktionswerte an der Stelle \(x = -1\).

1. Graph **s** (blau) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das bedeutet, der Exponent \(n\) muss ungerade sein. Von den gegebenen Termen passt nur \(m(x) = x^3\). 2. Graph **r** (schwarz) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und verläuft durch den Ursprung. Der Exponent muss gerade und positiv sein. Dies passt zu \(k(x) = x^4\). 3. Graph **t** (rot) ist ebenfalls achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, nähert sich aber für \(x \to 0\) der \(y\)-Achse an (Asymptote). Der Exponent muss gerade und negativ sein. Dies passt zu \(n(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\).

a) Graph **r**: gerade; Graph **s**: ungerade; Graph **t**: gerade. b) Graph **r** gehört zu \(k(x) = x^4\); Graph **s** gehört zu \(m(x) = x^3\); Graph **t** gehört zu \(n(x) = x^{-2}\).