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- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Basis im Bruch? - Isoliere zuerst den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Denke daran, dass es beim Quadrieren oft zwei verschiedene Zahlen gibt, die zum selben Ergebnis führen.

1. Umschreiben der Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{a^2} \cdot 25 = 4\), was \(\frac{25}{a^2} = 4\) ergibt. 2. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(25 = 4a^2 \implies a^2 = \frac{25}{4}\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\) 4. Berechnung der Ergebnisse: \(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\)

\(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\) (bzw. \(a = \frac{5}{2}\) oder \(a = -\frac{5}{2}\))

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Prüfe, ob der Wert auf der rechten Seite positiv, negativ oder Null ist. - Wie viele Schnittpunkte hat der Graph der Funktion \(f(x) = x^n\) mit einer waagerechten Geraden?

1. Gleichung \(x^2 = 144\): Da der Exponent gerade und die rechte Seite positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = \sqrt{144} = 12\) und \(x_2 = -\sqrt{144} = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Gleichung \(x^3 = -125\): Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung für jede reelle Zahl auf der rechten Seite. Es gilt \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). Somit ist \(L = \{-5\}\). 3. Gleichung \(x^4 = 0\): Eine Potenz ist genau dann Null, wenn die Basis Null ist. Es gibt genau eine Lösung \(x = 0\). Somit ist \(L = \{0\}\). 4. Gleichung \(x^6 = -64\): Da der Exponent gerade ist, kann das Ergebnis einer Potenz mit reeller Basis nie negativ sein. Es gibt keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{-12; 12\}\) (zwei Lösungen) b) \(L = \{-5\}\) (eine Lösung) c) \(L = \{0\}\) (eine Lösung) d) \(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Überlege dir zuerst, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben kann. - Spielt es eine Rolle, ob der Exponent \(n\) gerade oder ungerade ist? - Was passiert, wenn auf der rechten Seite der Gleichung eine negative Zahl steht? - Kannst du die Wurzeln direkt im Taschenrechner ziehen oder gibt es eine einfachere Form?

1. Für \(x^4 = 150\): Da der Exponent gerade und der Wert positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_{1,2} = \pm\sqrt[4]{150}\). Berechnet ergibt dies \(x \approx \pm 3{,}50\). 2. Für \(x^3 = -200\): Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung, auch für negative Werte: \(x = \sqrt[3]{-200} = -\sqrt[3]{200}\). Berechnet ergibt dies \(x \approx -5{,}85\). 3. Für \(x^6 = -10\): Da der Exponent gerade ist, kann die Potenz einer reellen Zahl niemals negativ sein. Es gibt keine reelle Lösung. 4. Für \(x^5 = 32\): Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung: \(x = \sqrt[5]{32} = 2\).

a) \(x = \pm\sqrt[4]{150} \approx \pm 3{,}50\) b) \(x = -\sqrt[3]{200} \approx -5{,}85\) c) keine reelle Lösung, da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) d) \(x = 2\)

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) maximal haben? - Kann das Ergebnis einer Potenz mit geradem Exponenten negativ sein? - Was passiert, wenn die Basis einer Potenz Null ist?

1. Bei \(x^4 = 625\) führt das Ziehen der vierten Wurzel zu \(x = \pm \sqrt[4]{625}\). Da \(5^4 = 625\), ergibt sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 2. Bei \(x^3 = -64\) ergibt die dritte Wurzel \(x = \sqrt[3]{-64}\). Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung: \(x = -4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4\}\). 3. Bei \(x^8 = 1\) ergibt die achte Wurzel \(x = \pm \sqrt[8]{1}\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1; 1\}\). 4. Bei \(x^5 = 0\) ist die einzige Lösung die Basis \(x = 0\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{0\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) \(L = \{-4\}\) c) \(L = \{-1; 1\}\) d) \(L = \{0\}\)

- Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn der Exponent gerade ist? - Wie verläuft der Graph einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten durch das Koordinatensystem? - Stelle dir vor, du zeichnest eine waagerechte Gerade auf der Höhe des Wertes rechts vom Gleichheitszeichen. Wie oft trifft sie die Kurve? - Gibt es Funktionswerte, die eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten niemals annehmen kann?

1. Fall \(x^6 = 10\): Der Exponent \(n=6\) ist gerade, der Graph von \(y=x^6\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und besitzt einen Tiefpunkt im Ursprung. Da \(10 > 0\), schneidet die Gerade \(y=10\) den Graphen an zwei Stellen. Ergebnis: zwei Lösungen. 2. Fall \(x^3 = -8\): Der Exponent \(n=3\) ist ungerade, der Graph von \(y=x^3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und streng monoton steigend von \(-\infty\) bis \(+\infty\). Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen genau einmal. Ergebnis: eine Lösung. 3. Fall \(x^4 = -5\): Der Exponent \(n=4\) ist gerade, alle Funktionswerte von \(y=x^4\) sind größer oder gleich Null. Da \(-5 < 0\), gibt es keinen Schnittpunkt mit der Geraden \(y=-5\). Ergebnis: keine Lösung. 4. Fall \(x^5 = 0\): Der Exponent \(n=5\) ist ungerade, der Graph verläuft durch den Ursprung. Die Gerade \(y=0\) (die \(x\)-Achse) schneidet den Graphen genau im Punkt \((0 | 0)\). Ergebnis: eine Lösung.

a) Zwei Lösungen (gerader Exponent, positiver Wert). b) Eine Lösung (ungerader Exponent). c) Keine Lösung (gerader Exponent, negativer Wert). d) Eine Lösung (Schnittpunkt im Ursprung).

- Achte darauf, dass alle Massenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, die in der dritten Potenz steht?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(3{,}2\,\text{kg} = 3200\,\text{g}\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(3200 = 0{,}05h^3\). 3. Isolation von \(h^3\): Division durch \(0{,}05\) ergibt \(h^3 = \frac{3200}{0{,}05} = 64\,000\). 4. Ziehen der Kubikwurzel: \(h = \sqrt[3]{64\,000}\). 5. Ergebnis: \(h = 40\). Das Modell ist \(40\,\text{cm}\) hoch.

Das Modell hat eine Höhe von \(40\,\text{cm}\).

- Achte auf die Einheiten: Die Dichte ist in \(\text{g/cm}^3\) angegeben, die Masse in \(\text{kg}\). - Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Überlege, wie sich das Volumen ändert, wenn jede Seite eines Körpers verdoppelt wird. Musst du für Teil b) die neue Kantenlänge explizit ausrechnen?

1. Umrechnung der Masse in Gramm: \(m = 20\,\text{kg} = 20\,000\,\text{g}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = \frac{m}{\rho} = \frac{20000}{7{,}87} \approx 2541{,}30\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Kantenlänge \(a\): \(a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{2541{,}30} \approx 13{,}65\,\text{cm}\). 4. Zusammenhang zwischen Kantenlänge und Masse: Bei Verdopplung der Kantenlänge (\(2a\)) vervielfacht sich das Volumen um den Faktor \(2^3 = 8\). 5. Berechnung der neuen Masse: \(m_{neu} = 8 \cdot 20\,\text{kg} = 160\,\text{kg}\).

a) Die Kantenlänge beträgt ca. \(13{,}65\,\text{cm}\). b) Der Würfel wäre \(160\,\text{kg}\) schwer.

- Forme die Gleichung zuerst so weit wie möglich allgemein nach \(x^n\) um. - Setze dann die Werte für \(n\) ein. - Was weißt du über die Symmetrie von Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden Exponenten?

1. Umformung der Grundgleichung: \(2(x^n - 4) = 120 \Rightarrow x^n - 4 = 60 \Rightarrow x^n = 64\). 2. Fall a (\(n=3\)): \(x^3 = 64\). Die 3. Wurzel aus \(64\) ist \(4\). Da der Exponent ungerade ist, gibt es nur die Lösung \(x = 4\). 3. Fall b (\(n=6\)): \(x^6 = 64\). Die 6. Wurzel aus \(64\) ist \(2\). Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Begründung: Bei ungeraden Exponenten ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend und nimmt jeden Wert genau einmal an. Bei geraden Exponenten ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wodurch positive Werte (außer der Null) zwei Urbilder haben.

a) \(x = 4\) (eine Lösung) b) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) (zwei Lösungen) Begründung: Bei ungeradem \(n\) gibt es für \(x^n = a\) genau eine Lösung; bei geradem \(n\) und \(a > 0\) gibt es zwei Lösungen (\(x = \pm \sqrt[n]{a}\)).

- Welche Operation macht eine dritte Wurzel oder einen Exponenten wie \( \frac{1}{3} \) rückgängig? - Denke daran, dass der Ausdruck unter einer Quadratwurzel nicht negativ sein darf. - Wie kannst du eine Gleichung vereinfachen, wenn auf beiden Seiten derselbe Exponent steht?

1. Umformung von Gleichung a) durch Potenzieren beider Seiten mit 3: \( 3x + 10 = 4^3 = 64 \). 2. Subtraktion von 10 und Division durch 3: \( 3x = 54 \Rightarrow x = 18 \). 3. Umformung von Gleichung b) durch Quadrieren beider Seiten: \( 2x - 5 = x + 1 \). 4. Zusammenfassen der Terme mit \( x \): \( x = 6 \). 5. Überprüfung der Definitionsbereiche für b): Für \( x = 6 \) sind beide Radikanden (\( 7 \)) positiv, die Lösung ist somit gültig.

a) \( L = \{18\} \) b) \( L = \{6\} \)

- Was ist die Umkehroperation zum Wurzelziehen? - Denke daran, dass beim Quadrieren einer Gleichung „Scheinlösungen“ entstehen können. Wie kannst du diese am Ende aussortieren? - Welche Vorzeichenbedingungen müssen für die Terme unter der Wurzel und das Ergebnis der Wurzel gelten?

1. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(x+7 = (x+1)^2\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf der rechten Seite: \(x+7 = x^2 + 2x + 1\). 3. Umformen der Gleichung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + x - 6 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(pq\)-Formel): \(x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (-6)} = -0{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt die potenziellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\). 5. Durchführung der Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung: Für \(x=2\): \(\sqrt{2+7} = 2+1 \Rightarrow 3 = 3\) (wahr). Für \(x=-3\): \(\sqrt{-3+7} = -3+1 \Rightarrow 2 = -2\) (falsch). 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{2\}\).

\(L = \{2\}\)

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit die Ausdrücke unter den Wurzeln sinnvoll sind? - Wie kannst du die Wurzelzeichen „eliminieren“, um eine einfachere Gleichung zu erhalten? - Denk daran, dass beim Quadrieren einer Gleichung Lösungen entstehen können, die die ursprüngliche Gleichung nicht lösen. Wie kannst du das am Ende überprüfen?

1. Definitionsbereich bestimmen: Die Radikanden müssen nicht-negativ sein (\(x+2 \ge 0\) und \(x-1 \ge 0\)), woraus \(x \ge 1\) folgt. 2. Gleichung quadrieren: \((x+2)(x-1) = 10\). 3. Klammern auflösen: \(x^2 + x - 2 = 10\). 4. In die Normalform bringen: \(x^2 + x - 12 = 0\). 5. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der pq-Formel): \(x_{1,2} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 12} = -0{,}5 \pm 3{,}5\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -4\). 6. Prüfung mit dem Definitionsbereich: Nur \(x = 3\) erfüllt die Bedingung \(x \ge 1\). 7. Probe für \(x = 3\): \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10}\) (wahr). 8. Ergebnis: \(L = \{3\}\).

\(L = \{3\}\)

- Wie kannst du die beiden Gleichungen kombinieren, um eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten? - Achte beim Ziehen der Wurzel darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn eine Zahl hoch vier genommen wird? - Wie findest du die fehlende Koordinate, wenn du den \(x\)-Wert bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(x^3 = \frac{16}{x}\). 2. Multiplikation mit \(x\) führt auf die Potenzgleichung: \(x^4 = 16\). 3. Bestimmung der reellen Wurzeln: Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen \(x_1 = \sqrt[4]{16} = 2\) und \(x_2 = -\sqrt[4]{16} = -2\). 4. Berechnung der \(y\)-Werte durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen: \(y_1 = 2^3 = 8\) und \(y_2 = (-2)^3 = -8\). 5. Die Schnittpunkte sind \(P_1(2 | 8)\) und \(P_2(-2 | -8)\). 6. Vergleich: Die Gleichung \(x^3 = 8\) aus der Beispielaufgabe hat nur eine reelle Lösung (\(x=2\)), da die vierte Potenz im Gegensatz zur dritten Potenz bei negativem Argument denselben positiven Wert liefert wie bei positivem Argument (Symmetrie zur \(y\)-Achse bei \(x^4\)).

a) Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). b) Die Schnittpunkte lauten \((2 | 8)\) und \((-2 | -8)\). c) Die resultierende Gleichung \(x^4 = 16\) hat zwei reelle Lösungen, da sowohl \(2^4\) als auch \((-2)^4\) den Wert \(16\) ergeben. Im Gegensatz dazu hat \(x^3 = 8\) nur die Lösung \(2\).

- Welches Verfahren eignet sich am besten, um eine Variable zu eliminieren? - Wie kannst du die linke Seite der Gleichung zusammenfassen, wenn du \(2x\) für \(y\) einsetzt? - Erinnere dich an die Eigenschaften von Potenzen mit ungeraden Exponenten. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^3 = a\)?

1. Einsetzen von Gleichung II in Gleichung I: \((2x) \cdot x^2 = 54\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(2x^3 = 54\). 3. Isolieren der Potenz: \(x^3 = 27\). 4. Ziehen der Kubikwurzel: \(x = \sqrt[3]{27} = 3\). 5. Berechnen des zugehörigen \(y\)-Werts mit Gleichung II: \(y = 2 \cdot 3 = 6\). Die Lösung ist das Paar \((3 | 6)\). 6. Begründung der Eindeutigkeit: Da der Exponent \(n = 3\) ungerade ist, besitzt die Gleichung \(x^3 = a\) für jeden reellen Wert \(a\) genau eine reelle Lösung.

Die Lösung des Systems ist \(x = 3\) und \(y = 6\). Es gibt genau eine Lösung, da die resultierende Gleichung \(x^3 = 27\) einen ungeraden Exponenten hat und somit im reellen Bereich eindeutig lösbar ist.

- Wie verhältst du dich, wenn auf einer Seite der Gleichung eine negative Zahl steht? - Was musst du beim Quadrieren einer Gleichung beachten, um sicherzustellen, dass das Ergebnis wirklich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist? - Denk daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Lösungen möglich sind.

1. Gleichung a): Quadrieren beider Seiten ergibt \(2x + 7 = 25\). Subtraktion von \(7\) liefert \(2x = 18\), woraus \(x = 9\) folgt. Die Probe \(\sqrt{2 \cdot 9 + 7} = \sqrt{25} = 5\) bestätigt die Lösung. Somit ist \(L = \{9\}\). 2. Gleichung b): Quadrieren ergibt \(x^2 - 9 = 16\). Addition von \(9\) liefert \(x^2 = 25\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Da für beide Werte \(x^2 - 9 = 16 \ge 0\) gilt, ist \(L = \{-5; 5\}\). 3. Gleichung c): Eine Quadratwurzel ist im Bereich der reellen Zahlen stets größer oder gleich Null. Da die rechte Seite \(-1\) negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. Somit ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{9\}\) b) \(L = \{-5; 5\}\) c) \(L = \emptyset\)

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert \(-8\)? - Schau dir den Graphen an: Kann eine horizontale Linie den Graphen an mehr als einer Stelle treffen? - Überlege, wie ein Faktor vor dem \(x^3\) die Form der Kurve beeinflusst.

1. Potenzgleichung lösen: \(x^3 = -8\). Durch Ziehen der ungeraden Wurzel erhält man \(x = \sqrt[3]{-8} = -2\). 2. Anzahl der Schnittpunkte: Da die Funktion \(f(x) = x^3\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend ist (sie steigt von links unten nach rechts oben ständig an), wird jeder Funktionswert genau einmal angenommen. Die Gerade \(y = 5\) schneidet den Graphen daher in genau einem Punkt. 3. Flacherer Verlauf: Ein Graph mit derselben Orientierung verläuft flacher, wenn der Streckfaktor \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Ein Beispiel ist \(g(x) = 0{,}5x^3\).

a) Die Lösung ist \(x = -2\). b) Es gibt genau einen Schnittpunkt, da der Graph von links nach rechts streng monoton ansteigt. c) Ein mögliches Beispiel ist \(g(x) = 0{,}5x^3\) (allgemein \(0 < a < 1\)).

- Versuche zuerst, die Potenz \(x^n\) allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche Rechenoperationen musst du nacheinander anwenden, um die Gleichung zu isolieren? - Denk an die Regeln für das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen. - Achte darauf, ob bei geraden Exponenten zwei Lösungen möglich sind.

1. Gleichung \(3x^4 - 25 = 218\): Zuerst \(25\) addieren: \(3x^4 = 243\). Dann durch \(3\) dividieren: \(x^4 = 81\). Da der Exponent gerade ist, folgt exakt \(x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(x \approx \pm 3{,}00\). 2. Gleichung \(10 - \frac{1}{2}x^3 = 50\): Zuerst \(10\) subtrahieren: \(-\frac{1}{2}x^3 = 40\). Dann mit \(-2\) multiplizieren: \(x^3 = -80\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[3]{-80} = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\). 3. Gleichung \(0{,}2x^5 + 7 = 5\): Zuerst \(7\) subtrahieren: \(0{,}2x^5 = -2\). Dann durch \(0{,}2\) dividieren: \(x^5 = -10\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\).

a) exakt \(x = \pm 3\), gerundet \(x \approx \pm 3{,}00\) b) \(x = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\) c) \(x = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\)

- Gehe bei Teil a Schritt für Schritt vor, um \(x\) zu isolieren. - Überlege dir für Teil b, was mit der rechten Seite der Gleichung passieren muss, wenn \(x\) den Wert \(0\) annehmen soll. - Bei Teil c hilft es, die Klammer zuerst aufzulösen oder direkt durch den Faktor vor der Klammer zu teilen.

1. Teil a): Gleichung \(5x^6 - 20 = 100\). Umformen: \(5x^6 = 120 \Rightarrow x^6 = 24\). Da der Exponent gerade ist: \(x = \pm\sqrt[6]{24} \approx \pm 1{,}70\). 2. Teil b): Damit \(x=0\) die einzige Lösung ist, muss nach dem Isolieren \(x^6 = 0\) gelten. Aus \(5x^6 - 20 = c\) folgt \(5x^6 = c + 20\). Damit \(x^6 = 0\), muss \(c + 20 = 0\) sein, also \(c = -20\). 3. Teil c): Gleichung \(2(x^3 - 5) = 40\). Durch \(2\) dividieren: \(x^3 - 5 = 20\). Dann \(5\) addieren: \(x^3 = 25\). Die exakte Lösung ist \(x = \sqrt[3]{25}\).

a) \(x \approx \pm 1{,}70\) b) \(c = -20\) c) \(x = \sqrt[3]{25}\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Nutze Äquivalenzumformungen, um die Gleichung in die Form \(x^n = c\) zu bringen. - Achte beim Wurzelziehen darauf, ob du ein positives oder negatives Vorzeichen berücksichtigen musst.

1. Für \(2x^4 - 32 = 0\) wird die Gleichung zu \(x^4 = 16\) umgeformt. Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm \sqrt[4]{16}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. 2. Für \(\frac{1}{3}x^3 + 10 = 1\) subtrahiert man 10 und erhält \(\frac{1}{3}x^3 = -9\). Multiplikation mit 3 ergibt \(x^3 = -27\). Die dritte Wurzel liefert die einzige Lösung \(x = -3\). 3. Für \(5x^6 + 12 = 7\) subtrahiert man 12 und erhält \(5x^6 = -5\). Division durch 5 führt zu \(x^6 = -1\). Da eine Potenz mit geradem Exponenten niemals negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 2; x_2 = -2\) b) \(x = -3\) c) Keine reelle Lösung

- Denke bei Dezimalzahlen wie \(0{,}125\) an Brüche oder an Potenzen von \(0{,}5\). - Wenn der Exponent gerade ist, denke an beide möglichen Vorzeichen für die Basis. - Welche Zahl hoch 4 ergibt 81? Das hilft dir beim Bruch in Teilaufgabe a). - Bei Teilaufgabe d) musst du zuerst die Konstante auf die andere Seite bringen und dann teilen.

1. \(x^4 = \frac{1}{81}\): Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}\). Da \(3^4 = 81\), ist \(x = \pm \frac{1}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\). 2. \(x^6 = 729\): Da \(3^6 = 729\), liefert die sechste Wurzel \(x = \pm 3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; 3\}\). 3. \(x^3 = -0{,}125\): Da \(0{,}5^3 = 0{,}125\), ergibt die dritte Wurzel \(x = -0{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\). 4. \(2x^5 + 64 = 0\): Umformung zu \(x^5 = -32\). Da \((-2)^5 = -32\), ist \(x = -2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2\}\).

a) \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\) b) \(L = \{-3; 3\}\) c) \(L = \{-0{,}5\}\) d) \(L = \{-2\}\)

- Was passiert mit einer Zahl größer als 1, wenn man sie immer öfter mit sich selbst multipliziert? - Nutze die Wurzeltaste oder die Potenzschreibweise \(100^{\frac{1}{n}}\) auf deinem Taschenrechner. - Prüfe die geraden Exponenten der Reihe nach und nutze anschließend, dass \(100^{\frac{1}{n}}\) mit wachsendem \(n\) kleiner wird.

1. Berechnung für a): Für \(n = 2\) ist \(x = \pm\sqrt{100} = \pm 10\). Für \(n = 4\) ist \(x = \pm\sqrt[4]{100} = \pm\sqrt{10} \approx \pm 3{,}16\). 2. Analyse für b): Je größer der Exponent \(n\) bei einer Basis \(x > 1\) ist, desto schneller wächst der Wert der Potenz. Damit das Ergebnis konstant \(100\) bleibt, muss die positive Lösung \(100^{\frac{1}{n}}\) bei steigendem \(n\) kleiner werden. Sie nähert sich für sehr große \(n\) dem Wert \(1\) an. 3. Systematische Prüfung für c): Für positive gerade Exponenten nimmt \(100^{\frac{1}{n}}\) mit wachsendem \(n\) streng ab. - \(n = 2\): \(100^{\frac{1}{2}} = 10\) - \(n = 4\): \(100^{\frac{1}{4}} \approx 3{,}16\) - \(n = 6\): \(100^{\frac{1}{6}} \approx 2{,}15\) - \(n = 8\): \(100^{\frac{1}{8}} \approx 1{,}78\) - \(n = 10\): \(100^{\frac{1}{10}} \approx 1{,}58\) - \(n = 12\): \(100^{\frac{1}{12}} \approx 1{,}47\) Damit sind alle geraden Exponenten bis \(6\) ausgeschlossen, weil die positive Lösung größer als \(2\) ist. Wegen der Monotonie sind auch alle geraden Exponenten ab \(12\) ausgeschlossen, weil die positive Lösung kleiner als \(1{,}5\) ist. Die Bedingung ist daher genau für \(n = 8\) und \(n = 10\) erfüllt.

a) Für \(n = 2\): \(x = \pm 10\); für \(n = 4\): \(x \approx \pm 3{,}16\) b) Die positive Lösung wird immer kleiner und nähert sich der \(1\) an. c) \(n = 8\) und \(n = 10\)

- Wann hat eine Potenzgleichung genau eine Lösung und wann hat sie zwei? - Denke an die Punktsymmetrie und Achsensymmetrie der Graphen. - Isoliere bei der letzten Aufgabe zuerst den Term mit der Potenz, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Damit \(x = -3\) die einzige Lösung ist, muss \(n\) eine ungerade Zahl sein. Paar 1: \(n=1 \Rightarrow x^1 = -3 \Rightarrow c = -3\). Paar 2: \(n=3 \Rightarrow (-3)^3 = -27 \Rightarrow c = -27\). 2. Zwei symmetrische Lösungen \(x = \pm a\) existieren nur, wenn der Exponent \(n\) gerade ist (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)). Dabei muss \(c = 2^n\) sein. Beispiel: \(n=2, c=4\). 3. Umformung der Gleichung: \(0{,}5x^3 + 10 = 510 \quad | -10\) \(0{,}5x^3 = 500 \quad | \cdot 2\) \(x^3 = 1000 \quad | \sqrt[3]{\dots}\) \(x = 10\).

1. z. B. \((n=1, c=-3)\) oder \((n=3, c=-27)\). 2. \(n\) muss gerade sein und \(c = 2^n\). Beispiel: \(n=2, c=4\). 3. \(x = 10\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Verwende die Umkehroperationen (Punkt- vor Strichrechnung in umgekehrter Reihenfolge), um die Gleichung schrittweise zu vereinfachen. - Achte am Ende darauf, ob die Wurzel aus einer positiven oder negativen Zahl gezogen wird.

1. Division durch \(3\) ergibt \(x^4 = 16\). Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm 2\). 2. Subtraktion von \(32\) ergibt \(4x^3 = -32\). Division durch \(4\) ergibt \(x^3 = -8\). Ziehen der dritten Wurzel liefert \(x = -2\). 3. Addition von \(12\) ergibt \(\frac{1}{2}x^5 = 16\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel liefert \(x = 2\). 4. Subtraktion von \(100\) ergibt \(-x^2 = -81\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 = 81\). Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x = \pm 9\).

a) \(x = \pm 2\) b) \(x = -2\) c) \(x = 2\) d) \(x = \pm 9\)

- Skizziere dir grob die Graphen von \(f(x) = x^4\) und \(g(x) = x^7\). - Verschiebe gedanklich eine waagerechte Linie von oben nach unten durch das Koordinatensystem. - Überlege, ob negative Zahlen als Ergebnis einer Potenz mit geradem Exponenten vorkommen können.

1. Untersuchung für \(n=4\): Da der Exponent gerade ist, ist der Wertebereich der Funktion \(f(x)=x^4\) das Intervall \([0; \infty)\). 2. Für \(c < 0\) liegt die Gerade \(y=c\) unterhalb des Graphen: keine Lösung. 3. Für \(c = 0\) berührt die Gerade den Graphen nur im Ursprung: genau eine Lösung (\(x=0\)). 4. Für \(c > 0\) schneidet die Gerade die beiden Äste der Kurve: genau zwei Lösungen. 5. Untersuchung für \(n=7\): Da der Exponent ungerade ist, ist die Funktion \(f(x)=x^7\) streng monoton steigend und nimmt alle reellen Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) genau einmal an. 6. Unabhängig davon, ob \(c > 0\), \(c = 0\) oder \(c < 0\) ist, existiert immer genau ein Schnittpunkt mit der Geraden \(y=c\). Ergebnis: genau eine Lösung für jedes \(c \in \mathbb{R}\).

a) Keine Lösung für \(c < 0\); eine Lösung für \(c = 0\); zwei Lösungen für \(c > 0\). b) Die Gleichung hat für jedes \(c\) (egal ob positiv, negativ oder Null) immer genau eine Lösung.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Potenz, wenn du die Basis mit einem Faktor (hier \(0{,}5\)) multiplizierst? - Überlege für den zweiten Teil, ob du konkrete Zahlen einsetzen musst oder ob ein allgemeiner Vergleich der Terme ausreicht.

1. Teil a: Gleichung aufstellen: \(500 = 0{,}2v^3\). 2. Division durch \(0{,}2\): \(v^3 = \frac{500}{0{,}2} = 2500\). 3. Kubikwurzel ziehen: \(v = \sqrt[3]{2500} \approx 13{,}572\). Gerundet ergibt dies \(13{,}6\,\text{m/s}\). 4. Teil b: Sei die ursprüngliche Geschwindigkeit \(v\). Bei Halbierung ist die neue Geschwindigkeit \(v_{\text{neu}} = 0{,}5v\). 5. Einsetzen in die Formel: \(P_{\text{neu}} = 0{,}2(0{,}5v)^3 = 0{,}2 \cdot 0{,}125v^3 = 0{,}125P_{\text{alt}}\). 6. Interpretation: Die Leistung beträgt nur noch \(12{,}5\,\%\) des ursprünglichen Wertes. 7. Prozentualer Rückgang: \(100\,\% - 12{,}5\,\% = 87{,}5\,\%\).

a) Die benötigte Windgeschwindigkeit beträgt ca. \(13{,}6\,\text{m/s}\). b) Die Leistung sinkt um \(87{,}5\,\%\).

- Berechne zuerst, wie viel der ursprüngliche Würfel wiegt. - Wenn du die neue Gesamtmasse kennst, kannst du über die Dichte das neue Gesamtvolumen bestimmen. - Wie berechnet man die Seite eines Würfels, wenn das Volumen bekannt ist? - Für die prozentuale Zunahme vergleichst du den Zuwachs der Länge mit dem Startwert.

1. Volumen des ursprünglichen Würfels: \(V_1 = (5{,}0\,\text{cm})^3 = 125\,\text{cm}^3\). 2. Masse des ursprünglichen Würfels: \(m_1 = V_1 \cdot \rho = 125 \cdot 19{,}3 = 2412{,}5\,\text{g}\). 3. Gesamtmasse des neuen Würfels: \(m_2 = 2412{,}5 + 500 = 2912{,}5\,\text{g}\). 4. Volumen des neuen Würfels: \(V_2 = \frac{m_2}{\rho} = \frac{2912{,}5}{19{,}3} \approx 150{,}91\,\text{cm}^3\). 5. Kantenlänge des neuen Würfels: \(a_2 = \sqrt[3]{V_2} = \sqrt[3]{150{,}91} \approx 5{,}32398\,\text{cm} \approx 5{,}32\,\text{cm}\). 6. Prozentuale Zunahme mit dem ungerundeten Zwischenwert: \(\frac{5{,}32398 - 5{,}0}{5{,}0} \cdot 100\,\% \approx 6{,}48\,\% \approx 6{,}5\,\%\).

a) Die Masse beträgt \(2412{,}5\,\text{g}\). b) Die neue Kantenlänge beträgt ca. \(5{,}32\,\text{cm}\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(6{,}5\,\%\).

- Setze die gegebene Bedingung für die Höhe direkt in die allgemeine Volumenformel für Zylinder ein. - Denk daran, dass \(1\,\text{Liter}\) genau \(1000\,\text{cm}^3\) entspricht. - Um \(r\) zu isolieren, musst du die Gleichung erst umformen und dann eine Wurzel ziehen. Welchen Grad hat diese Wurzel? - Was passiert mit einem Term wie \((3r)^3\), wenn du die Klammer auflöst?

1. Volumenformel Zylinder: \(V = \pi r^2h\). Mit \(h = r\) folgt: \(V = \pi r^3\). 2. Umrechnung des Volumens: \(1000\,\text{l} = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(1\,000\,000 = \pi r^3\). 4. Lösen nach \(r\): \(r^3 = \frac{1000000}{\pi} \approx 318\,309{,}89 \implies r = \sqrt[3]{318\,309{,}89} \approx 68{,}28\,\text{cm}\). 5. Untersuchung der Skalierung: Wird \(r\) durch \(3r\) ersetzt, ergibt sich \(V_{neu} = \pi(3r)^3 = \pi \cdot 27 \cdot r^3 = 27V_{alt}\). Das Volumen vergrößert sich auf das 27-Fache.

a) \(V = \pi r^3\) b) Der Radius beträgt ca. \(68{,}28\,\text{cm}\). c) Das Volumen vergrößert sich auf das 27-Fache, da im Volumenterm der Radius in der dritten Potenz steht (\(3^3 = 27\)).

- Gehe bei verschachtelten Wurzeln oder Potenzen schrittweise von außen nach innen vor. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert wird? - Kann das Ergebnis einer dritten Wurzel negativ sein? - Überlege dir, wie du den Exponenten \( \frac{2}{3} \) in zwei nacheinander folgende Rechenschritte aufteilen kannst.

1. Gleichung a) durch Quadrieren umformen: \( 11 + \sqrt[3]{x - 5} = 3^2 = 9 \). 2. Isolieren der verbleibenden Wurzel: \( \sqrt[3]{x - 5} = -2 \). 3. Potenzieren mit 3: \( x - 5 = (-2)^3 = -8 \). 4. Finale Lösung für a): \( x = -3 \). 5. Gleichung b) durch Potenzieren mit 3 umformen: \( (x - 4)^2 = 4^3 = 64 \). 6. Ziehen der Quadratwurzel führt zu zwei Fällen: \( x - 4 = 8 \) oder \( x - 4 = -8 \). 7. Lösungen für b): \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -4 \). 8. Begründung: Der Exponent \( \frac{2}{3} \) beinhaltet eine Quadrierung der Basis. Da sowohl positive als auch negative Zahlen im Quadrat dasselbe Ergebnis liefern, gibt es zwei mögliche Werte für den Ausdruck in der Klammer.

a) \( x = -3 \) b) \( L = \{-4; 12\} \); Begründung: Durch die Quadrierung im Zähler des Exponenten \( \frac{2}{3} \) führen sowohl positive als auch negative Werte der Basis \( (x-4) \) zum gleichen Ergebnis.

- Was musst du beachten, damit der Ausdruck unter einer Quadratwurzel definiert ist? - Wie kannst du die Wurzelzeichen auf beiden Seiten der Gleichung entfernen? - Nachdem du die Wurzeln entfernt hast, erhältst du eine Bruchgleichung. Wie löst man solche Gleichungen üblicherweise? - Warum ist es bei Wurzelgleichungen besonders wichtig, das Ergebnis am Ende in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen?

1. Definitionsbereich bestimmen: Die Nenner dürfen nicht null sein (\(x \neq 3, x \neq 1\)) und die Radikanden müssen nicht-negativ sein. Dies führt zu \(x \in (-\infty; -1] \cup (3; \infty)\) für die linke Seite und \(x \in (-\infty; -5] \cup (1; \infty)\) für die rechte Seite. Die Schnittmenge ist \(D = (-\infty; -5] \cup (3; \infty)\). 2. Quadrieren beider Seiten: \(\frac{x+1}{x-3} = \frac{x+5}{x-1}\). 3. Multiplikation mit den Nennern (Über-Kreuz-Multiplizieren): \((x+1)(x-1) = (x+5)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren: \(x^2 - 1 = x^2 + 2x - 15\). 5. Vereinfachen und nach \(x\) auflösen: \(14 = 2x \Rightarrow x = 7\). 6. Prüfung gegen den Definitionsbereich: \(7 \in D\). 7. Probe: \(\sqrt{\frac{7+1}{7-3}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}\) und \(\sqrt{\frac{7+5}{7-1}} = \sqrt{\frac{12}{6}} = \sqrt{2}\).

\(L = \{7\}\)

- Was musst du beachten, wenn du beide Seiten einer Gleichung quadrierst? - Wie lautet die erste binomische Formel? - Kann das Ergebnis einer Quadratwurzel negativ sein? - Überprüfe deine berechneten Werte, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Definitionsbereich bestimmen oder Probe einplanen: Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können Scheinlösungen entstehen. 2. Quadrieren beider Seiten: \(2x^2 - 7 = (x + 1)^2\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel: \(2x^2 - 7 = x^2 + 2x + 1\). 4. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8}\), woraus \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\) folgen. 6. Durchführung der Probe: Für \(x = 4\): \(\sqrt{2 \cdot 4^2 - 7} = \sqrt{25} = 5\) und \(4 + 1 = 5\). Die Gleichung ist erfüllt. Für \(x = -2\): \(\sqrt{2 \cdot (-2)^2 - 7} = \sqrt{1} = 1\), aber \(-2 + 1 = -1\). Da \(1 \neq -1\), ist \(x = -2\) keine Lösung. 7. Ergebnismenge: \(L = \{4\}\).

\(L = \{4\}\). Eine Probe ist nötig, da beim Quadrieren Scheinlösungen entstehen können.

- Bestimme zuerst, für welche \(x\)-Werte die Wurzeln überhaupt definiert sind. - Wie kannst du den Bruch auflösen, um die Gleichung zu vereinfachen? - Denk daran, dass beim Quadrieren einer Gleichung neue „Scheinlösungen“ entstehen können. - Überprüfe deine Ergebnisse am Ende durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung oder den Definitionsbereich.

1. Definitionsbereich bestimmen: Radikanden müssen nicht-negativ sein und der Nenner darf nicht null sein: \(x+1 > 0\) und \(2x+8 \ge 0\), daraus folgt \(x > -1\). 2. Gleichung mit dem Nenner \(\sqrt{x+1}\) multiplizieren: \((\sqrt{x+1})^2 + 3 = \sqrt{2x+8} \cdot \sqrt{x+1}\). 3. Vereinfachen: \(x+1+3 = \sqrt{(2x+8)(x+1)}\) führt zu \(x+4 = \sqrt{2x^2+10x+8}\). 4. Beide Seiten quadrieren (Bedingung \(x+4 \ge 0\)): \((x+4)^2 = 2x^2+10x+8\). 5. Binomische Formel anwenden und umformen: \(x^2+8x+16 = 2x^2+10x+8 \Rightarrow x^2+2x-8 = 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen: \((x+4)(x-2) = 0\) ergibt \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 7. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Da \(x = -4\) nicht im Definitionsbereich \(x > -1\) liegt, ist nur \(x = 2\) eine gültige Lösung.

\(L = \{2\}\)

- Kannst du die linke Seite auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die beim Multiplizieren der Nenner hilfreich sein könnte? - Was passiert mit den Wurzeltermen im Zähler, wenn du alles zusammenfasst? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine gefundenen Werte die Gleichung wirklich lösen.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Ausdruck unter der Wurzel \(x^2+8\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv. Die Nenner sind nie Null, da \(\sqrt{x^2+8} > |x|\) gilt. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 2. Bringen der linken Seite auf einen gemeinsamen Nenner: Der Hauptnenner ist das Produkt der Einzelnenner \((\sqrt{x^2+8}-x)(\sqrt{x^2+8}+x)\). 3. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Nenner: \((\sqrt{x^2+8})^2 - x^2 = x^2+8 - x^2 = 8\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(4(\sqrt{x^2+8}+x) - 4(\sqrt{x^2+8}-x) = 4\sqrt{x^2+8} + 4x - 4\sqrt{x^2+8} + 4x = 8x\). 5. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(\frac{8x}{8} = x^2\), woraus \(x = x^2\) folgt. 6. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). 7. Überprüfung: Beide Werte liegen im Definitionsbereich und erfüllen die ursprüngliche Gleichung.

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\)

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) die Ausdrücke unter den Wurzeln definiert sind. - Wie kannst du die Wurzelzeichen (oder die Hochzahlen \(\frac{1}{2}\)) schrittweise eliminieren? - Denke daran, dass beim Quadrieren einer Gleichung zusätzliche „Scheinlösungen“ entstehen können. - Überprüfe deine berechneten Werte am Ende durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Terme unter den Wurzeln müssen nicht-negativ sein (\(x \ge 0\), \(x-3 \ge 0\), \(2x+1 \ge 0\)), woraus \(x \ge 3\) folgt. 2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(x + (x-3) + 2 \cdot (x \cdot (x-3))^{\frac{1}{2}} = 2x+1\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(2x - 3 + 2 \cdot (x^2 - 3x)^{\frac{1}{2}} = 2x+1\). 4. Isolieren des verbleibenden Wurzelterms: \(2 \cdot (x^2 - 3x)^{\frac{1}{2}} = 4\), vereinfacht zu \((x^2 - 3x)^{\frac{1}{2}} = 2\). 5. Erneutes Quadrieren zur Beseitigung der Wurzel: \(x^2 - 3x = 4\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 4 = 0\): Die Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung ergibt \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -1\). 7. Prüfung der Bedingungen: Der Wert \(x = -1\) liegt außerhalb des Definitionsbereichs (\(x \ge 3\)). 8. Verifizierung durch Probe: Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(4^{\frac{1}{2}} + (4-3)^{\frac{1}{2}} = 2 + 1 = 3\) und \((2 \cdot 4 + 1)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = 3\). Das Ergebnis ist korrekt.

\(L = \{4\}\)

- Womit könntest du die Gleichung multiplizieren, um den Bruch aufzulösen? - Wie kannst du einen Term, der eine Wurzel enthält, so umformen, dass die Wurzel verschwindet? - Denk daran, dass nach dem Quadrieren einer Gleichung eine Probe oder die Überprüfung der Definitionsmenge notwendig ist. - Achte darauf, welche Werte für \(x\) unter der Wurzel stehen dürfen.

1. Definitionsbereich bestimmen: \(x-3 > 0\) und \(x+5 \ge 0\), also \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\}\). 2. Multiplikation mit \(\sqrt{x-3}\): \(x-3 + \sqrt{(x+5)(x-3)} = 8\). 3. Isolieren der Wurzel: \(\sqrt{x^2+2x-15} = 11-x\). Daher muss zusätzlich \(x \le 11\) gelten. 4. Quadrieren: \(x^2+2x-15 = (11-x)^2 = 121-22x+x^2\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(24x = 136\), also \(x = \frac{17}{3}\). 6. Probe: Für \(x=\frac{17}{3}\) gilt \(\sqrt{x-3} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\) und \(\sqrt{x+5} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\). Die linke Seite ist damit \(2\sqrt{6}\). Rechts gilt \(\frac{8}{\sqrt{8/3}} = 2\sqrt{6}\). Der Wert erfüllt die Ausgangsgleichung.

\(L = \left\{\frac{17}{3}\right\}\)

- Gibt es einen Teil des Ausdrucks, der wiederholt vorkommt oder in einer anderen Potenz auftritt? - Was passiert, wenn du einen komplizierteren Teil der Gleichung durch einen einfachen Buchstaben ersetzt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass sie wie eine bekannte quadratische Gleichung aussieht? - Vergiss nicht, am Ende den Schritt der Ersetzung wieder rückgängig zu machen.

1. Substitution von \(u = x^{\frac{1}{3}}\), woraus die quadratische Gleichung \(u^2 - 4u + 3 = 0\) resultiert. 2. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der p-q-Formel oder durch Faktorisieren): \((u - 1)(u - 3) = 0\). Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 3. Rücksubstitution: Für \(u_1 = 1\) ergibt sich \(x^{\frac{1}{3}} = 1\), also \(x_1 = 1^3 = 1\). Für \(u_2 = 3\) ergibt sich \(x^{\frac{1}{3}} = 3\), also \(x_2 = 3^3 = 27\). 4. Die Lösungsmenge ist \(L = \{1; 27\}\).

\(L = \{1; 27\}\)

- Bestimme zunächst den Bereich, in dem die Gleichung überhaupt definiert ist. - Isoliere nach dem ersten Quadrieren den verbliebenen Wurzelterm auf einer Seite der Gleichung. - Betrachte das Vorzeichen auf beiden Seiten der Gleichung, nachdem du die Wurzel isoliert hast. Kann eine Wurzel einen negativen Wert annehmen?

1. Definitionsbereich bestimmen: \(x+3 \ge 0\), \(x+8 \ge 0\) und \(2x+1 \ge 0\). Die Schnittmenge ist \(x \ge -0{,}5\). 2. Gleichung quadrieren: \((\sqrt{x+3} + \sqrt{x+8})^2 = (\sqrt{2x+1})^2\). 3. Linke Seite mit der ersten binomischen Formel ausmultiplizieren: \(x+3 + 2\sqrt{(x+3)(x+8)} + x+8 = 2x+1\). 4. Terme zusammenfassen: \(2x+11 + 2\sqrt{x^2+11x+24} = 2x+1\). 5. Die verbleibende Wurzel isolieren: \(2\sqrt{x^2+11x+24} = -10 \Rightarrow \sqrt{x^2+11x+24} = -5\). 6. Da eine Quadratwurzel in \(\mathbb{R}\) niemals ein negatives Ergebnis liefern kann, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.

Keine Lösung (\(L = \emptyset\))

- Kannst du einen Teil der Gleichung entdecken, der mehrfach oder in ähnlicher Form vorkommt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du den gesamten Wurzelausdruck durch einen neuen Buchstaben ersetzt? - Überlege dir, welche Werte das Ergebnis einer Quadratwurzel annehmen kann, bevor du weiterrechnest. - Vergiss am Ende nicht, von deiner Hilfsvariablen wieder auf die ursprüngliche Variable \(x\) zurückzurechnen.

1. Einführung einer Hilfsvariablen (Substitution): Setze \(u = \sqrt{x^2 + 2x + 8}\). Da eine Quadratwurzel niemals negativ ist, gilt die Bedingung \(u \ge 0\). 2. Umformung des restlichen Terms: Aus \(u = \sqrt{x^2 + 2x + 8}\) folgt \(u^2 = x^2 + 2x + 8\). Damit lässt sich der Term \(x^2 + 2x\) durch \(u^2 - 8\) ersetzen. 3. Aufstellen der neuen Gleichung in \(u\): Durch Einsetzen erhält man \((u^2 - 8) + u = 12\), was zu \(u^2 + u - 20 = 0\) vereinfacht wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): Die Lösungen sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -5\). Aufgrund der Bedingung \(u \ge 0\) entfällt \(u_2\). 5. Rücksubstitution: Setze \(u = 4\) in die Substitutionsgleichung ein: \(\sqrt{x^2 + 2x + 8} = 4\). Quadrieren ergibt \(x^2 + 2x + 8 = 16\), also \(x^2 + 2x - 8 = 0\). 6. Bestimmung von \(x\): Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -4\).

\(L = \{-4; 2\}\)

- Was muss für die Zahlen unter einer Quadratwurzel immer gelten? - Kannst du für die zweite Teilaufgabe Bereiche für \(x\) angeben, in denen die jeweilige Wurzel definiert ist? - Gibt es eine Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt?

1. Zur Lösung der ersten Gleichung werden beide Seiten quadriert: \(4x - 5 = x + 7\). Durch Umstellen erhält man \(3x = 12\) und somit \(x = 4\). Einsetzen in die Terme unter den Wurzeln ergibt \(4 \cdot 4 - 5 = 11\) und \(4 + 7 = 11\). Da \(11 \ge 0\) ist, ist die Lösung \(x = 4\) zulässig. 2. Für die Existenz der Wurzeln müssen die Terme unter den Wurzeln (Radikanden) nicht negativ sein. Für \(\sqrt{x - 10}\) muss \(x \ge 10\) gelten. Für \(\sqrt{4 - x}\) muss \(x \le 4\) gelten. Da keine Zahl gleichzeitig größer oder gleich \(10\) und kleiner oder gleich \(4\) sein kann, ist der gemeinsame Definitionsbereich leer. Die Gleichung ist daher unlösbar.

1. \(x = 4\) 2. Da die Definitionsbereiche der beiden Wurzeln (\(x \ge 10\) und \(x \le 4\)) keine gemeinsamen Werte enthalten, gibt es keine Lösung.

- Kannst du den Bruch eliminieren, indem du die gesamte Gleichung mit einem geeigneten Term multiplizierst? - Überlege dir zuerst, für welche Werte von \(x\) die Wurzeln überhaupt definiert sind. - Nachdem du den Nenner entfernt hast, versuche den Term mit der verbleibenden Wurzel auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um zu prüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt.

1. Definitionsmenge bestimmen: Da Radikanden nicht negativ sein dürfen und der Nenner ungleich Null sein muss, gilt \(x+1 \ge 0\) und \(x+6 > 0\), woraus \(x \ge -1\) folgt. 2. Multiplikation der Gleichung mit \(\sqrt{x+6}\): \(\sqrt{(x+1)(x+6)} + (x+6) = 15\). 3. Isolieren der verbleibenden Wurzel: \(\sqrt{x^2+7x+6} = 9-x\). 4. Quadrieren beider Seiten unter der Bedingung \(9-x \ge 0\): \(x^2+7x+6 = (9-x)^2 = 81-18x+x^2\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(25x = 75 \Rightarrow x = 3\). 6. Überprüfung der Lösung: \(x=3\) liegt im Definitionsbereich und erfüllt die Bedingung \(3 \le 9\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{3\}\).

\(L = \{3\}\)

- Schaue dir den Graphen der blauen Funktion genau an. Gibt es einen Punkt, dessen Koordinaten exakt auf den Kreuzungspunkten des Gitternetzes liegen? - Setze die Koordinaten dieses Punktes in die vorgegebene Form \(f(x) = ax^4\) ein, um den Wert von \(a\) zu berechnen. - Welche Funktionsgleichung beschreibt die waagerechte grüne Linie? - Gleichsetzen der beiden Funktionsterme führt zu der gesuchten Gleichung. - Denke daran, dass eine Gleichung der Form \(x^4 = c\) für positive Werte von \(c\) zwei reelle Lösungen besitzt.

1. **Bestimmung des Koeffizienten \(a\)**: Der Graph der Funktion \(f\) verläuft durch den gut ablesbaren Gitterpunkt \((2 \mid 8)\) (bzw. \((-2 \mid 8)\)). Durch Einsetzen dieses Punktes in die Funktionsgleichung \(f(x) = ax^4\) erhält man: \(8 = a \cdot 2^4 \implies 8 = 16a \implies a = 0{,}5\) Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4\). 2. **Aufstellen der Gleichung**: Die Gerade \(g\) ist eine konstante Funktion mit der Gleichung \(g(x) = 3\). Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzt man die beiden Funktionsterme gleich: \(0{,}5x^4 = 3\) 3. **Grafisches Ablesen**: Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen liegen auf der Höhe \(y = 3\). Aus der Grafik lässt sich ablesen: \(x_1 \approx -1{,}6\) und \(x_2 \approx 1{,}6\) 4. **Rechnerische Lösung**: Wir lösen die Gleichung nach \(x\) auf: \(0{,}5x^4 = 3 \quad \mid \cdot 2\) \(x^4 = 6\) Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[4]{6}\) Gerundet auf drei Nachkommastellen ergibt dies: \(x_1 \approx -1{,}565\) und \(x_2 \approx 1{,}565\)

a) \(a = 0{,}5\), also \(f(x) = 0{,}5x^4\) b) \(0{,}5x^4 = 3\) (oder \(x^4 = 6\)) c) \(x \approx \pm 1{,}6\) (bzw. \(x_1 \approx -1{,}6\) und \(x_2 \approx 1{,}6\)) d) \(x = \pm \sqrt[4]{6} \approx \pm 1{,}565\) (bzw. \(x_1 \approx -1{,}565\) und \(x_2 \approx 1{,}565\))

- Nutze einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, um den Faktor \(a\) zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass man aus negativen Zahlen die dritte Wurzel ziehen kann.

1. Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \((2 \mid 4)\). Einsetzen in \(f(x) = ax^3\) ergibt \(4 = a \cdot 2^3 = 8a\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}5x^3\). Die Gerade \(g\) liegt bei \(g(x) = -2\). 2. Die Gleichung \(0{,}5x^3 = -2\) führt zu \(x^3 = -4\). 3. Grafisch liegt der Schnittpunkt bei etwa \(x \approx -1{,}6\). Rechnerisch ist \(x = -\sqrt[3]{4} \approx -1{,}587\).

Es gilt \(a = 0{,}5\) und \(g(x) = -2\). Die grafische Lösung ist \(x \approx -1{,}6\). Der berechnete Wert ist \(x \approx -1{,}587\).

- Nutze den Punkt \((2 \mid -4)\), um \(a\) zu berechnen. - Setze die Funktionsterme gleich und achte beim Lösen der Gleichung auf beide reellen Lösungen.

1. Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \((2 \mid -4)\). Einsetzen in \(f(x) = ax^4\) ergibt \(-4 = a \cdot 2^4 = 16a\), also \(a = -0{,}25\). Die Gerade liegt bei \(g(x) = -2\), also \(c = -2\). 2. Die Gleichung \(-0{,}25x^4 = -2\) wird zu \(x^4 = 8\). 3. Die Lösungen sind \(x = \pm \sqrt[4]{8} \approx \pm 1{,}682\).

Es gilt \(a = -0{,}25\) und \(c = -2\). Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind \(x \approx \pm 1{,}682\).

- Teste die Behauptung mit einfachen Zahlen wie \(c=1\) und \(c=-1\). - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften: Was passiert bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse (gerade) im Vergleich zu einer Punktspiegelung (ungerade)? - Gibt es einen Exponenten-Typ, bei dem man immer eine Lösung findet, egal wie die Zahl auf der rechten Seite aussieht?

1. Analyse Fall 1 (gerader Exponent): Wähle \(n=2\) und \(c=4\). Die Gleichung \(x^2=4\) hat zwei Lösungen (\(x=2, x=-2\)). Ändert man das Vorzeichen zu \(-4\), hat \(x^2=-4\) keine Lösung. Die Anzahl der Lösungen ändert sich von 2 auf 0. Die Behauptung ist für \(c \neq 0\) in diesem Fall korrekt. 2. Analyse Fall 2 (ungerader Exponent): Wähle \(n=3\) und \(c=8\). Die Gleichung \(x^3=8\) hat eine Lösung (\(x=2\)). Ändert man das Vorzeichen zu \(-8\), hat \(x^3=-8\) ebenfalls genau eine Lösung (\(x=-2\)). 3. Vergleich: Bei ungeraden Exponenten bleibt die Anzahl der Lösungen (immer genau eine) bei einem Vorzeichenwechsel von \(c\) gleich. 4. Schlussfolgerung: Die Behauptung ist im Allgemeinen falsch, da sie für ungerade Exponenten nicht zutrifft.

Die Behauptung ist falsch. Zwar ändert sich die Anzahl der Lösungen bei geraden Exponenten (z. B. von 2 Lösungen bei \(x^2=4\) zu 0 Lösungen bei \(x^2=-4\)), aber bei ungeraden Exponenten bleibt die Anzahl der Lösungen immer gleich (genau eine Lösung, z. B. bei \(x^3=8\) und \(x^3=-8\)).

- Versuche zuerst, den Zähler und den Nenner einzeln mit den Potenzgesetzen zusammenzufassen. - Wann ist eine Potenz (bei einer Basis ungleich Null) immer gleich 1? Welchen Wert muss der Exponent dann haben? - Setze die gegebenen Zahlen erst in die vereinfachte Form des Terms ein, um dir Rechenarbeit zu sparen.

1. Da \(n\in\mathbb Z\) und \(y\neq0\) gilt, dürfen die Potenzgesetze für alle angegebenen Werte verwendet werden. Der Zähler ist \((y^n)^2 = y^{2n}\). Der Nenner ist \(y^4 \cdot y^2 = y^{4+2} = y^6\). Somit ist \(T = \frac{y^{2n}}{y^6} = y^{2n-6}\). 2. Damit \(y^{2n-6} = 1\) für jedes \(y\neq0\) gilt, muss der Exponent null sein. Also gilt \(2n-6=0\), daraus \(2n=6\) und damit \(n=3\). 3. Für \(n=4\) ist \(T=y^{2\cdot4-6}=y^2\). Mit \(y=3\) ergibt sich \(T=3^2=9\).

a) \(T = y^{2n-6}\) b) \(n = 3\), denn dann ist \(2n-6=0\) und für jedes \(y\neq0\) gilt \(y^0=1\). c) \(T=9\)

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit keine Division durch Null entsteht und keine negativen Zahlen unter den Wurzeln stehen? - Quadriere die gesamte Gleichung, um die Wurzeln aufzulösen. - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Brüche durch Multiplikation auflöst? - Prüfe sorgfältig, ob alle gefundenen rechnerischen Lösungen auch tatsächlich die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

1. Definitionsbereich festlegen: \(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\) und \(\frac{x}{x-1} \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0] \cup (1; \infty)\). Unter Berücksichtigung beider Bedingungen und des Nenners \(x-1 \neq 0\) ergibt sich \(D = (-1; 0] \cup (1; \infty)\). 2. Quadrieren der Gleichung: \(\frac{x}{x-1} = \frac{6}{x+1}\). 3. Über-Kreuz-Multiplizieren: \(x(x+1) = 6(x-1)\). 4. Klammern auflösen: \(x^2 + x = 6x - 6\). 5. In Normalform bringen: \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 6. Quadratische Gleichung lösen (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 2\). 7. Prüfung gegen den Definitionsbereich: Beide Werte \(3\) und \(2\) liegen in \(D\). 8. Probe für \(x=3\): \(\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\). Dies stimmt, da \(1{,}5 = \frac{6}{4}\). 9. Probe für \(x=2\): \(\sqrt{\frac{2}{1}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\).

\(L = \{2; 3\}\)

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit alle Ausdrücke unter den Wurzeln definiert sind und der Nenner nicht null wird? - Wie kannst du den Bruch auflösen, um die Wurzeln zusammenzufassen? - Achte beim Lösen darauf, dass die rechte Seite der Gleichung nach dem Quadrieren denselben Vorzeichenbedingungen unterliegt wie die Wurzel selbst. - Eine Probe am Ende hilft dir, Scheinlösungen sicher auszuschließen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Unter den Wurzeln müssen nicht-negative Werte stehen (\(5x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0{,}2\) und \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\)). Zudem darf der Nenner nicht null sein (\(x \neq -2\)). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0{,}2\}\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(\sqrt{x + 2}\): \(\sqrt{(5x - 1)(x + 2)} = 4x - 2\). 3. Quadrieren der Gleichung: \((5x - 1)(x + 2) = (4x - 2)^2\). 4. Ausmultiplizieren beider Seiten: \(5x^2 + 9x - 2 = 16x^2 - 16x + 4\). 5. Zusammenfassen zu einer quadratischen Gleichung: \(11x^2 - 25x + 6 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 11 \cdot 6}}{22} = \frac{25 \pm \sqrt{361}}{22} = \frac{25 \pm 19}{22}\). Dies ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = \frac{3}{11} \approx 0{,}27\). 7. Überprüfung der Lösungen: Da die linke Seite der Gleichung \(\sqrt{5x-1}\) für alle \(x \in D\) nicht-negativ ist, muss auch die rechte Seite \(4x - 2 \ge 0\) sein, also \(x \ge 0{,}5\). Für \(x_1 = 2\): \(2 \ge 0{,}5\) (erfüllt). Für \(x_2 = \frac{3}{11} \approx 0{,}27\): \(0{,}27 < 0{,}5\) (nicht erfüllt; Probe ergibt \(\sqrt{4/11} = 2/\sqrt{11} \neq -2/\sqrt{11}\)). 8. Ergebnis: \(L = \{2\}\).

a) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0{,}2\}\) b) \(L = \{2\}\)

- Was muss für die Zahlen unter der Wurzel gelten, damit der Ausdruck definiert ist? - Wie kannst du die Gleichung umstellen, damit beim ersten Quadrieren eine der Wurzeln direkt wegfällt? - Denke an die binomischen Formeln, wenn du eine Seite quadrierst, die aus einer Summe oder Differenz besteht. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? Warum ist das für das Ergebnis wichtig?

1. Definitionsbereich bestimmen: Die Radikanden müssen nicht negativ sein (\(x+1 \ge 0\) und \(2x+3 \ge 0\)), daraus folgt \(x \ge -1\). 2. Eine Wurzel isolieren: \(\sqrt{2x+3} = 5 - \sqrt{x+1}\). 3. Erstes Quadrieren: \(2x+3 = (5 - \sqrt{x+1})^2 = 25 - 10\sqrt{x+1} + x + 1\). 4. Terme zusammenfassen und verbleibende Wurzel isolieren: \(x - 23 = -10\sqrt{x+1}\). 5. Zweites Quadrieren: \((x - 23)^2 = (-10\sqrt{x+1})^2 \Rightarrow x^2 - 46x + 529 = 100(x + 1)\). 6. Quadratische Gleichung in Normalform bringen: \(x^2 - 146x + 429 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = 73 \pm \sqrt{73^2 - 429} = 73 \pm \sqrt{5329 - 429} = 73 \pm \sqrt{4900} = 73 \pm 70\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 143\). 8. Probe: Für \(x = 3\) gilt \(\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\) (wahr). Für \(x = 143\) gilt \(\sqrt{144} + \sqrt{289} = 12 + 17 = 29 \ne 5\) (falsch). 9. Begründung der Probe: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, da auch negative Werte durch Quadrieren positiv werden (z. B. \((-5)^2 = 5^2\)), wodurch sogenannte Scheinlösungen entstehen können.

Die Lösungsmenge ist \(L = \{3\}\). Die Lösung \(x = 143\) ist eine Scheinlösung. Eine Probe ist notwendig, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist und Scheinlösungen erzeugen kann.

- Es ist oft hilfreich, eine der Wurzeln auf die andere Seite zu bringen, bevor man quadriert. - Kannst du die Gleichung vor dem zweiten Quadrieren durch eine Zahl teilen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Vergiss nicht, am Ende beide gefundenen Werte in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

1. Definitionsbereich festlegen: \(4x+1 \ge 0\) (\(x \ge -0{,}25\)) und \(x-2 \ge 0\) (\(x \ge 2\)). Gemeinsamer Bereich: \(x \ge 2\). 2. Gleichung umstellen: \(\sqrt{4x+1} = 3 + \sqrt{x-2}\). 3. Erstes Quadrieren: \(4x+1 = (3 + \sqrt{x-2})^2 = 9 + 6\sqrt{x-2} + x - 2\). 4. Zusammenfassen: \(4x+1 = x + 7 + 6\sqrt{x-2} \Rightarrow 3x - 6 = 6\sqrt{x-2}\). 5. Vereinfachen (Division durch 3): \(x - 2 = 2\sqrt{x-2}\). 6. Zweites Quadrieren: \((x - 2)^2 = (2\sqrt{x-2})^2 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 4(x - 2) = 4x - 8\). 7. Quadratische Gleichung lösen: \(x^2 - 8x + 12 = 0\). Mittels \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 8. Probe für \(x=2\): \(\sqrt{4 \cdot 2 + 1} - \sqrt{2-2} = \sqrt{9} - 0 = 3\) (wahr). 9. Probe für \(x=6\): \(\sqrt{4 \cdot 6 + 1} - \sqrt{6-2} = \sqrt{25} - \sqrt{4} = 5 - 2 = 3\) (wahr). 10. Beide Werte liegen im Definitionsbereich und erfüllen die Probe.

Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{2; 6\}\).

- Was musst du beachten, wenn eine Variable im Nenner einer Wurzel steht? - Nach dem Multiplizieren mit der Wurzel erhältst du eine Form, die du durch Quadrieren weiter vereinfachen kannst. - Achte darauf, dass die Seite ohne Wurzel nach dem Umformen nicht negativ sein darf, bevor du quadrierst. - Führe unbedingt eine Probe durch oder prüfe die Bedingungen für das Quadrieren.

1. Definitionsbereich festlegen: \(5x-1 > 0\) und \(x \ge 0\), woraus \(x > 0{,}2\) folgt. 2. Multiplikation mit \(\sqrt{5x-1}\): \((\sqrt{5x-1})^2 - 2 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{5x-1}\). 3. Terme zusammenfassen: \(5x-1-2 = \sqrt{5x^2-x} \Rightarrow 5x-3 = \sqrt{5x^2-x}\). 4. Quadrieren der Gleichung unter der Bedingung \(5x-3 \ge 0\) (also \(x \ge 0{,}6\)): \((5x-3)^2 = 5x^2-x\). 5. Ausmultiplizieren und ordnen: \(25x^2-30x+9 = 5x^2-x \Rightarrow 20x^2-29x+9 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = \frac{29 \pm \sqrt{841-720}}{40} = \frac{29 \pm 11}{40}\). 7. Mögliche Werte berechnen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 0{,}45\). 8. Überprüfung: Da \(x_2 = 0{,}45\) die Bedingung \(x \ge 0{,}6\) nicht erfüllt (beim Einsetzen in \(5x-3\) entstünde ein negativer Wert, die Wurzel ist aber positiv definiert), ist nur \(x = 1\) eine Lösung.

\(x = 1\)

- Welche Werte darf \(x\) annehmen, damit die Wurzeln definiert sind und kein Nenner Null wird? - Wie kannst du die Differenz der beiden Brüche vereinfachen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner, den du nach der Vereinfachung kürzen kannst? - Achte darauf, ob dein Ergebnis im zuvor festgelegten Definitionsbereich liegt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Für die Wurzeln muss \(1+x \geq 0\) und \(1-x \geq 0\) gelten, also \(x \in [-1; 1]\). Zudem dürfen die Nenner nicht Null sein. \(\sqrt{1+x} = \sqrt{1-x}\) führt auf \(x=0\). Daher ist \(D = [-1; 1] \setminus \{0\}\). 2. Zusammenfassen der Brüche durch einen gemeinsamen Nenner: Der Hauptnenner ist \((\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\). 3. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((1+x) - (1-x) = 2x\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) - x(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) = x\sqrt{1+x} + x\sqrt{1-x} - x\sqrt{1+x} + x\sqrt{1-x} = 2x\sqrt{1-x}\). 5. Einsetzen in die Gleichung: \(\frac{2x\sqrt{1-x}}{2x} = \frac{1}{2}\). 6. Da \(x \neq 0\), lässt sich \(2x\) kürzen: \(\sqrt{1-x} = \frac{1}{2}\). 7. Quadrieren der Gleichung: \(1-x = \frac{1}{4}\). 8. Berechnung von \(x\): \(x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Da \(\frac{3}{4} \in D\), ist dies die Lösung.

\(L = \{ \frac{3}{4} \}\)

- Es ist oft hilfreich, eine der Wurzeln alleine auf eine Seite der Gleichung zu bringen, bevor man quadriert. - Was passiert, wenn nach dem ersten Quadrieren immer noch eine Wurzel in der Gleichung steht? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine Lösungen im Definitionsbereich liegen und die ursprüngliche Gleichung erfüllen. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Isolieren einer der Wurzeln: \(\sqrt{3x+4} = 3 + \sqrt{x-3}\). 2. Erstes Quadrieren beider Seiten: \(3x+4 = (3 + \sqrt{x-3})^2\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \(3x+4 = 9 + 6\sqrt{x-3} + (x-3)\). 4. Zusammenfassen der Terme ohne Wurzel: \(3x+4 = x+6 + 6\sqrt{x-3}\). 5. Isolieren der verbleibenden Wurzel: \(2x-2 = 6\sqrt{x-3}\). Durch Division durch \(2\) vereinfachen: \(x-1 = 3\sqrt{x-3}\). 6. Zweites Quadrieren: \((x-1)^2 = (3\sqrt{x-3})^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 9(x-3)\). 7. Umformen in die Normalform: \(x^2 - 2x + 1 = 9x - 27 \Rightarrow x^2 - 11x + 28 = 0\). 8. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2}\). Man erhält \(x_1 = 7\) und \(x_2 = 4\). 9. Probe: Für \(x=7\): \(\sqrt{21+4} - \sqrt{7-3} = 5 - 2 = 3\) (wahr). Für \(x=4\): \(\sqrt{12+4} - \sqrt{4-3} = 4 - 1 = 3\) (wahr). 10. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{4; 7\}\).

\(x_1 = 4\), \(x_2 = 7\)

- Es ist oft hilfreich, die Gleichung so umzustellen, dass auf beiden Seiten nur positive Terme stehen, bevor man quadriert. - Welche Einschränkungen ergeben sich für \(x\), damit alle Wurzelterme definiert sind? - Achte darauf, dass eine Quadratwurzel niemals ein negatives Ergebnis liefern kann. Was bedeutet das für Terme auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens? - Führe am Ende unbedingt eine Probe durch, um sicherzustellen, dass dein Ergebnis die Gleichung wirklich löst.

1. Definitionsbereich festlegen: Die Bedingungen \(x+6 \ge 0\), \(x+1 \ge 0\) und \(2x-5 \ge 0\) ergeben zusammengefasst \(x \ge 2{,}5\). 2. Umformen der Gleichung zur Erleichterung des Quadrierens: \((x+6)^{\frac{1}{2}} = (2x-5)^{\frac{1}{2}} + (x+1)^{\frac{1}{2}}\). 3. Beidseitiges Quadrieren: \(x+6 = (2x-5) + (x+1) + 2 \cdot ((2x-5)(x+1))^{\frac{1}{2}}\). 4. Zusammenfassen und Isolieren des Wurzelterms: \(x+6 = 3x - 4 + 2 \cdot (2x^2 - 3x - 5)^{\frac{1}{2}}\) führt nach Subtraktion von \(3x-4\) zu \(10 - 2x = 2 \cdot (2x^2 - 3x - 5)^{\frac{1}{2}}\). 5. Vereinfachen durch Division durch 2: \(5 - x = (2x^2 - 3x - 5)^{\frac{1}{2}}\). Hieraus ergibt sich die zusätzliche Bedingung \(x \le 5\), da eine Wurzel niemals negativ ist. 6. Erneutes Quadrieren: \(25 - 10x + x^2 = 2x^2 - 3x - 5\). 7. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 + 7x - 30 = 0\). 8. Berechnung der Lösungen: Die quadratische Gleichung liefert \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -10\). 9. Abgleich mit den Bedingungen und Probe: Nur \(x = 3\) erfüllt sowohl \(x \ge 2{,}5\) als auch \(x \le 5\). Die Probe \((3+6)^{\frac{1}{2}} - (3+1)^{\frac{1}{2}} = 3 - 2 = 1\) und \((2 \cdot 3 - 5)^{\frac{1}{2}} = 1\) bestätigt die Lösung.

\(x = 3\)

- Welche Einschränkungen ergeben sich für \(x\), damit die Terme unter den Wurzeln nicht negativ werden und der Nenner nicht null ist? - Nachdem du den Nenner beseitigt hast, versuche alle wurzelfreien Terme auf eine Seite und die verbleibende Wurzel auf die andere Seite zu bringen. - Warum muss man bei Wurzelgleichungen am Ende immer prüfen, ob die berechneten Werte wirklich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind? - Erinnere dich an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

1. Definitionsmenge: \(x+1 > 0\) und \(8x+1 \ge 0 \Rightarrow x > -1\) und \(x \ge -0{,}125\). Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -0{,}125\}\). 2. Multiplikation mit \(\sqrt{x+1}\): \(x+1 + 6 = \sqrt{(8x+1)(x+1)}\). 3. Vereinfachen: \(x+7 = \sqrt{8x^2+9x+1}\). 4. Quadrieren: \((x+7)^2 = 8x^2+9x+1 \Rightarrow x^2+14x+49 = 8x^2+9x+1\). 5. Quadratische Gleichung in Normalform: \(7x^2 - 5x - 48 = 0\). 6. Lösung über Mitternachtsformel: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 7 \cdot (-48)}}{14} = \frac{5 \pm 37}{14}\). 7. Potenzielle Lösungen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -\frac{16}{7} \approx -2{,}29\). 8. Abgleich mit \(D\): \(x_1 = 3\) liegt in \(D\). \(x_2 = -\frac{16}{7}\) liegt nicht in \(D\) (und führt zu einem negativen Wert unter der Wurzel), daher ist nur \(3\) eine Lösung.

a) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -0{,}125\}\) b) Potenzielle Lösungen sind \(3\) und \(-\frac{16}{7}\). c) \(L = \{3\}\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Wurzel mehr im Nenner steht? - Was passiert mit dem Definitionsbereich, wenn eine Wurzel im Nenner eines Bruchs vorkommt? - Welche Strategie hilft dir, wenn du eine Gleichung mit Wurzeln in eine Gleichung ohne Wurzeln umwandeln möchtest? - Warum ist es bei diesem Aufgabentyp besonders wichtig, die Probe zu machen oder den Definitionsbereich zu prüfen?

1. Definitionsbereich festlegen: \(3x+1 \ge 0\) (\(x \ge -\frac{1}{3}\)) und \(x-1 > 0\) (\(x > 1\)), also \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}\). 2. Gleichung umformen: Multiplikation mit \(\sqrt{x-1}\) ergibt \(\sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x-1} = x+3\). 3. Quadrieren: \((3x+1)(x-1) = (x+3)^2\). 4. Terme ausmultiplizieren: \(3x^2 - 3x + x - 1 = x^2 + 6x + 9\), vereinfacht \(3x^2 - 2x - 1 = x^2 + 6x + 9\). 5. Gleichung auf Null setzen: \(2x^2 - 8x - 10 = 0\). 6. Durch 2 dividieren: \(x^2 - 4x - 5 = 0\). 7. Quadratische Gleichung lösen: \((x-5)(x+1) = 0\) führt zu \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). 8. Überprüfung: \(x = -1\) liegt nicht im Definitionsbereich (\(-1 < 1\)). Zudem ergibt die Probe für \(x=5\): \(\sqrt{16} = 4\) und \(\frac{5+3}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4\). 9. Ergebnis: \(L = \{5\}\).

\(L = \{5\}\)

- Überlege zuerst, für welche Werte von \(x\) die Ausdrücke unter den Wurzeln definiert sind. - Wie kannst du die Gleichung umformen, um die Wurzelzeichen schrittweise zu entfernen? - Denk an die binomischen Formeln, wenn du eine Summe von Wurzeln quadrierst. - Bei Gleichungen, in denen quadriert wurde, ist eine Probe am Ende besonders wichtig, um Scheinlösungen auszuschließen.

1. Definitionsbereich festlegen: Die Radikanden müssen nicht-negativ sein, also \(x+1 \ge 0\), \(x+6 \ge 0\) und \(5x+10 \ge 0\). Daraus folgt \(x \ge -1\). 2. Potenzschreibweise in Wurzelschreibweise umwandeln: \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = \sqrt{5x+10}\). 3. Beide Seiten der Gleichung quadrieren: \((\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6})^2 = (\sqrt{5x+10})^2\). 4. Anwendung der ersten binomischen Formel auf der linken Seite: \((x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x+6)} + (x+6) = 5x+10\). 5. Zusammenfassen und die verbleibende Wurzel isolieren: \(2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x+6} = 5x+10 \Rightarrow 2\sqrt{x^2+7x+6} = 3x+3\). 6. Erneut quadrieren: \(4(x^2+7x+6) = (3x+3)^2 \Rightarrow 4x^2+28x+24 = 9x^2+18x+9\). 7. Die quadratische Gleichung in die Normalform bringen: \(5x^2-10x-15=0 \Rightarrow x^2-2x-3=0\). 8. Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 9. Überprüfung (Probe): Für \(x=3\) ergibt sich \(\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\) und \(\sqrt{15+10}=5\) (wahr). Für \(x=-1\) ergibt sich \(\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{5}\) und \(\sqrt{-5+10}=\sqrt{5}\) (wahr).

\(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\)

- Wie hängen der Term \(2x^2 - 4x\) und der Ausdruck unter der Wurzel \(x^2 - 2x + 6\) zusammen? - Achte beim Umformen darauf, den Faktor vor dem quadratischen Teil korrekt zu berücksichtigen. - Welche der berechneten Lösungen für die Hilfsvariable \(u\) sind im Kontext der Wurzeldefinition sinnvoll?

1. Zu Teil a): Quadrieren der Substitution ergibt \(u^2 = x^2 - 2x + 6\). Daraus folgt \(x^2 - 2x = u^2 - 6\). Der Term \(2x^2 - 4x\) in der Originalgleichung entspricht \(2(x^2 - 2x)\), also \(2(u^2 - 6)\). Einsetzen ergibt \(2(u^2 - 6) + 3u = 15\). Ausmultipliziert und zusammengefasst: \(2u^2 - 12 + 3u = 15 \iff 2u^2 + 3u - 27 = 0\). 2. Zu Teil b): Lösen von \(2u^2 + 3u - 27 = 0\) mit der Mitternachtsformel ergibt \(u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (-27)}}{4} = \frac{-3 \pm 15}{4}\). Dies liefert \(u_1 = 3\) und \(u_2 = -4{,}5\). 3. Da \(u\) als Wurzelwert definiert ist, muss \(u \ge 0\) gelten. Somit ist nur \(u = 3\) zulässig. 4. Rücksubstitution: \(\sqrt{x^2 - 2x + 6} = 3 \implies x^2 - 2x + 6 = 9 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung für \(x\): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x^2 - 2x = u^2 - 6\) erbracht. b) \(x_1 = 3\); \(x_2 = -1\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Variable unter mehreren Wurzeln und im Nenner steht? - Versuche die Gleichung so umzuformen, dass nur noch eine Wurzel auf einer Seite steht, bevor du quadrierst. - Achte darauf, dass beim Quadrieren einer Gleichung sogenannte Scheinlösungen entstehen können. - Überprüfe, ob dein Ergebnis alle Bedingungen der ursprünglichen Wurzelterme erfüllt.

1. Definitionsbereich festlegen: Aus \(x+3 > 0\) und \(4x+1 \ge 0\) folgt \(x \ge -0{,}25\). 2. Multiplikation mit \(\sqrt{x+3}\): \(2(x+3) - \sqrt{(4x+1)(x+3)} = 3\). 3. Vereinfachen und Isolieren der Wurzel: \(2x+6 - \sqrt{4x^2+13x+3} = 3 \Rightarrow \sqrt{4x^2+13x+3} = 2x+3\). 4. Quadrieren beider Seiten: \(4x^2+13x+3 = (2x+3)^2 = 4x^2+12x+9\). 5. Lösen der resultierenden Gleichung: \(13x + 3 = 12x + 9 \Rightarrow x = 6\). 6. Validierung: \(x=6\) erfüllt die Definitionsbedingung und führt beim Einsetzen zu einer wahren Aussage (\(2 \cdot 3 - 5 = \frac{3}{3}\)). Die Lösung ist \(x = 6\).

\(x = 6\)

- Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden, die durch den Ursprung geht? - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um sie zu lösen. - Kannst du einen Faktor ausklammern?

1. Die Gerade geht durch den Ursprung und den Punkt \((1 \mid 3)\), hat also die Steigung \(m = 3\). Somit ist \(g(x) = 3x\). 2. Die Gleichung für die Schnittpunkte ist \(x^3 = 3x\). 3. Grafisch erkennt man Schnittpunkte bei \(x = 0\) sowie etwa bei \(x \approx \pm 1{,}7\). 4. Rechnerisch: \(x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1{,}732\).

1. \(g(x) = 3x\) 2. \(x^3 = 3x\) 3. Grafisch: \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\), \(x \approx 1{,}7\); rechnerisch: \(x_1 = 0\), \(x_2 \approx 1{,}732\), \(x_3 \approx -1{,}732\)