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- Welche Zahl ergibt hoch \(3\) den Wert \(125\)? - Wie viele reelle Lösungen kann eine Gleichung \(x^3=c\) haben?

1. Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz \(125\) ergibt. Da \(5^3=125\), ist \(x=5\). 2. Bei einer ungeraden dritten Potenz gibt es zu diesem rechten Wert genau eine reelle Lösung.

\(x=5\)

- Welche positive Zahl hat die vierte Potenz \(16\)? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl bei einer geraden Potenz?

1. Weil der Exponent gerade ist und die rechte Seite positiv ist, können zwei entgegengesetzte reelle Zahlen Lösungen sein. 2. Es gilt \(2^4=16\) und \((-2)^4=16\). Daher sind \(x=2\) und \(x=-2\) die reellen Lösungen.

\(x\in\{-2,2\}\)

- Welches Vorzeichen kann eine gerade Potenz einer reellen Zahl haben? - Vergleiche diese Möglichkeit mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl \(x\) gilt \(x^4\ge0\), weil der Exponent gerade ist. 2. Daher kann \(x^4\) nicht den negativen Wert \(-16\) annehmen. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Basis im Bruch? - Isoliere zuerst den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Denke daran, dass es beim Quadrieren oft zwei verschiedene Zahlen gibt, die zum selben Ergebnis führen.

1. Umschreiben der Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{a^2} \cdot 25 = 4\), was \(\frac{25}{a^2} = 4\) ergibt. 2. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(25 = 4a^2 \implies a^2 = \frac{25}{4}\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\) 4. Berechnung der Ergebnisse: \(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\)

\(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\) (bzw. \(a = \frac{5}{2}\) oder \(a = -\frac{5}{2}\))

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Prüfe, ob der Wert auf der rechten Seite positiv, negativ oder Null ist. - Wie viele Schnittpunkte hat der Graph der Funktion \(f(x) = x^n\) mit einer waagerechten Geraden?

1. Gleichung \(x^2 = 144\): Da der Exponent gerade und die rechte Seite positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = \sqrt{144} = 12\) und \(x_2 = -\sqrt{144} = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Gleichung \(x^3 = -125\): Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung für jede reelle Zahl auf der rechten Seite. Es gilt \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). Somit ist \(L = \{-5\}\). 3. Gleichung \(x^4 = 0\): Eine Potenz ist genau dann Null, wenn die Basis Null ist. Es gibt genau eine Lösung \(x = 0\). Somit ist \(L = \{0\}\). 4. Gleichung \(x^6 = -64\): Da der Exponent gerade ist, kann das Ergebnis einer Potenz mit reeller Basis nie negativ sein. Es gibt keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{-12; 12\}\) (zwei Lösungen) b) \(L = \{-5\}\) (eine Lösung) c) \(L = \{0\}\) (eine Lösung) d) \(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Entscheide vor dem Wurzelziehen, wie viele reelle Lösungen aufgrund von Exponent und Vorzeichen möglich sind. - Unterscheide gerade und ungerade Exponenten bei negativer rechter Seite. - Prüfe nach einer exakten Wurzelform, ob sie sich vollständig auswerten lässt. - Achte darauf, auch exakte ganzzahlige Ergebnisse in der verlangten Dezimalgenauigkeit anzugeben.

1. Für \(x^4=150\) gibt es wegen des geraden Exponenten und der positiven rechten Seite zwei Lösungen: \(x=\pm\sqrt[4]{150}\approx\pm3{,}50\). 2. Für \(x^3=-200\) gibt es genau eine reelle Lösung: \(x=\sqrt[3]{-200}=-\sqrt[3]{200}\approx-5{,}85\). 3. Für \(x^6=-10\) gibt es keine reelle Lösung, weil \(x^6\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. 4. Für \(x^5=32\) gilt exakt \(x=\sqrt[5]{32}=2\); auf zwei Dezimalstellen ist das \(x\approx2{,}00\).

a) \(x=\pm\sqrt[4]{150}\approx\pm3{,}50\) b) \(x=-\sqrt[3]{200}\approx-5{,}85\) c) keine reelle Lösung, da \(x^6\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt d) \(x=2\approx2{,}00\)

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) maximal haben? - Kann das Ergebnis einer Potenz mit geradem Exponenten negativ sein? - Was passiert, wenn die Basis einer Potenz Null ist?

1. Bei \(x^4 = 625\) führt das Ziehen der vierten Wurzel zu \(x = \pm \sqrt[4]{625}\). Da \(5^4 = 625\), ergibt sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 2. Bei \(x^3 = -64\) ergibt die dritte Wurzel \(x = \sqrt[3]{-64}\). Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung: \(x = -4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4\}\). 3. Bei \(x^8 = 1\) ergibt die achte Wurzel \(x = \pm \sqrt[8]{1}\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1; 1\}\). 4. Bei \(x^5 = 0\) ist die einzige Lösung die Basis \(x = 0\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{0\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) \(L = \{-4\}\) c) \(L = \{-1; 1\}\) d) \(L = \{0\}\)

- Denke bei Dezimalzahlen wie \(0{,}125\) an Brüche oder an Potenzen von \(0{,}5\). - Wenn der Exponent gerade ist, denke an beide möglichen Vorzeichen für die Basis. - Welche Zahl hoch 4 ergibt 81? Das hilft dir beim Bruch in Teilaufgabe a). - Bei Teilaufgabe d) musst du zuerst die Konstante auf die andere Seite bringen und dann teilen.

1. \(x^4 = \frac{1}{81}\): Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}\). Da \(3^4 = 81\), ist \(x = \pm \frac{1}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\). 2. \(x^6 = 729\): Da \(3^6 = 729\), liefert die sechste Wurzel \(x = \pm 3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; 3\}\). 3. \(x^3 = -0{,}125\): Da \(0{,}5^3 = 0{,}125\), ergibt die dritte Wurzel \(x = -0{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\). 4. \(2x^5 + 64 = 0\): Umformung zu \(x^5 = -32\). Da \((-2)^5 = -32\), ist \(x = -2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2\}\).

a) \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\) b) \(L = \{-3; 3\}\) c) \(L = \{-0{,}5\}\) d) \(L = \{-2\}\)

- Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn der Exponent gerade ist? - Wie verläuft der Graph einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten durch das Koordinatensystem? - Stelle dir eine waagerechte Gerade auf der Höhe des rechten Gleichungswerts vor. Wie oft trifft sie den Graphen? - Welche Funktionswerte kann eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten niemals annehmen?

1. Bei \(x^6=10\) ist der Exponent gerade und die rechte Seite positiv. Die Gerade \(y=10\) schneidet den achsensymmetrischen Graphen von \(y=x^6\) zweimal. Es gibt zwei Lösungen. 2. Bei \(x^3=-8\) ist der Exponent ungerade. Der Graph von \(y=x^3\) nimmt jeden reellen Funktionswert genau einmal an. Es gibt eine Lösung. 3. Bei \(x^4=-5\) ist der Exponent gerade, während \(x^4\ge0\) für alle reellen \(x\) gilt. Es gibt keine Lösung. 4. Bei \(x^5=0\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse nur im Punkt \((0|0)\). Es gibt eine Lösung.

a) zwei Lösungen b) eine Lösung c) keine Lösung d) eine Lösung

- Bringe zuerst die Masse in die Einheit, die im Modell verwendet wird. - Isoliere anschließend die dritte Potenz der gesuchten Höhe. - Welche Umkehroperation macht die dritte Potenz rückgängig?

1. Die Masse beträgt \(3{,}2\,\text{kg}=3200\,\text{g}\). 2. Einsetzen in das Modell ergibt \(3200=0{,}05h^3\). 3. Division durch \(0{,}05\) liefert \(h^3=64\,000\). 4. Durch Ziehen der dritten Wurzel folgt \(h=\sqrt[3]{64\,000}=40\). 5. Das Modell ist \(40\,\text{cm}\) hoch.

\(40\,\text{cm}\)

- Bringe Masse und Dichte zunächst auf zueinander passende Einheiten. - Stelle die angegebene Dichtebeziehung nach dem Volumen um und bestimme daraus die Würfelkante. - Überlege für b), um welchen Faktor sich ein Würfelvolumen ändert, wenn jede Kante verdoppelt wird.

1. Die Masse beträgt \(20\,\text{kg}=20\,000\,\text{g}\). 2. Aus \(\rho=\frac{m}{V}\) folgt \(V=\frac{m}{\rho}=\frac{20000}{7{,}87}\,\text{cm}^3\approx2541{,}30\,\text{cm}^3\). 3. Für die Kantenlänge gilt \(a=\sqrt[3]{V}\approx13{,}6464\,\text{cm}\), also gerundet \(a\approx13{,}65\,\text{cm}\). 4. Bei doppelter Kantenlänge wächst das Volumen und damit bei gleicher Dichte die Masse um den Faktor \(2^3=8\). 5. Die neue Masse beträgt \(8\cdot20\,\text{kg}=160\,\text{kg}\).

a) \(a\approx13{,}65\,\text{cm}\) b) \(160\,\text{kg}\)

- Forme die Gleichung zuerst so weit wie möglich allgemein nach \(x^n\) um. - Setze dann die Werte für \(n\) ein. - Was weißt du über die Symmetrie von Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden Exponenten?

1. Umformung der Grundgleichung: \(2(x^n - 4) = 120 \Rightarrow x^n - 4 = 60 \Rightarrow x^n = 64\). 2. Fall a (\(n=3\)): \(x^3 = 64\). Die 3. Wurzel aus \(64\) ist \(4\). Da der Exponent ungerade ist, gibt es nur die Lösung \(x = 4\). 3. Fall b (\(n=6\)): \(x^6 = 64\). Die 6. Wurzel aus \(64\) ist \(2\). Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Begründung: Bei ungeraden Exponenten ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend und nimmt jeden Wert genau einmal an. Bei geraden Exponenten ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wodurch positive Werte (außer der Null) zwei Urbilder haben.

a) \(x = 4\) (eine Lösung) b) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) (zwei Lösungen) Begründung: Bei ungeradem \(n\) gibt es für \(x^n = a\) genau eine Lösung; bei geradem \(n\) und \(a > 0\) gibt es zwei Lösungen (\(x = \pm \sqrt[n]{a}\)).

- Welche Zahl besitzt die dritte Potenz \(-8\)? - Welche Bedeutung hat strenge Monotonie dafür, wie oft ein bestimmter Funktionswert angenommen wird? - Wie muss ein positiver Koeffizient im Vergleich zu \(1\) gewählt sein, damit die Beträge der Funktionswerte kleiner werden?

1. Aus \(x^3=-8\) folgt durch Ziehen der dritten Wurzel \(x=-2\). 2. Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend und nimmt daher jeden Funktionswert genau einmal an. Die Gerade \(y=5\) hat mit dem Graphen genau einen Schnittpunkt. 3. Für denselben ungeraden Exponenten und einen positiven Koeffizienten mit \(0<a<1\) sind die Funktionswerte betragsmäßig kleiner als bei \(f\). Ein Beispiel ist \(g(x)=0{,}5x^3\).

a) \(x=-2\) b) Genau ein Schnittpunkt. c) Zum Beispiel \(g(x)=0{,}5x^3\); allgemein ist jedes \(a\) mit \(0<a<1\) möglich.

- Wie viele Schnittpunkte siehst du und auf welchen Seiten der \(y\)-Achse liegen sie? - Welche der beiden möglichen Exponenten passt zur Symmetrie des Potenzgraphen? - An welchem \(y\)-Wert verläuft die waagerechte Gerade?

1. Die beiden Graphen schneiden sich an zwei Stellen, einmal links und einmal rechts der \(y\)-Achse. Daher gibt es zwei reelle Lösungen, eine negative und eine positive. 2. Der Potenzgraph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat die Form einer geraden Potenz. Von den vorgegebenen Exponenten passt daher \(n=4\). 3. Die waagerechte Gerade liegt bei \(y=5\), also ist \(c=5\). 4. Die dargestellte Gleichung lautet somit \(x^4=5\).

a) Zwei reelle Lösungen: eine negative und eine positive. b) \(n=4\) und \(c=5\). c) \(x^4=5\)

- Versuche zuerst, die Potenz \(x^n\) allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche Rechenoperationen musst du nacheinander anwenden, um die Gleichung zu isolieren? - Denk an die Regeln für das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen. - Achte darauf, ob bei geraden Exponenten zwei Lösungen möglich sind.

1. Gleichung \(3x^4 - 25 = 218\): Zuerst \(25\) addieren: \(3x^4 = 243\). Dann durch \(3\) dividieren: \(x^4 = 81\). Da der Exponent gerade ist, folgt exakt \(x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(x \approx \pm 3{,}00\). 2. Gleichung \(10 - \frac{1}{2}x^3 = 50\): Zuerst \(10\) subtrahieren: \(-\frac{1}{2}x^3 = 40\). Dann mit \(-2\) multiplizieren: \(x^3 = -80\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[3]{-80} = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\). 3. Gleichung \(0{,}2x^5 + 7 = 5\): Zuerst \(7\) subtrahieren: \(0{,}2x^5 = -2\). Dann durch \(0{,}2\) dividieren: \(x^5 = -10\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\).

a) exakt \(x = \pm 3\), gerundet \(x \approx \pm 3{,}00\) b) \(x = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\) c) \(x = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\)

- Gehe bei Teil a Schritt für Schritt vor, um \(x\) zu isolieren. - Überlege dir für Teil b, was mit der rechten Seite der Gleichung passieren muss, wenn \(x\) den Wert \(0\) annehmen soll. - Bei Teil c hilft es, die Klammer zuerst aufzulösen oder direkt durch den Faktor vor der Klammer zu teilen.

1. Teil a): Gleichung \(5x^6 - 20 = 100\). Umformen: \(5x^6 = 120 \Rightarrow x^6 = 24\). Da der Exponent gerade ist: \(x = \pm\sqrt[6]{24} \approx \pm 1{,}70\). 2. Teil b): Damit \(x=0\) die einzige Lösung ist, muss nach dem Isolieren \(x^6 = 0\) gelten. Aus \(5x^6 - 20 = c\) folgt \(5x^6 = c + 20\). Damit \(x^6 = 0\), muss \(c + 20 = 0\) sein, also \(c = -20\). 3. Teil c): Gleichung \(2(x^3 - 5) = 40\). Durch \(2\) dividieren: \(x^3 - 5 = 20\). Dann \(5\) addieren: \(x^3 = 25\). Die exakte Lösung ist \(x = \sqrt[3]{25}\).

a) \(x \approx \pm 1{,}70\) b) \(c = -20\) c) \(x = \sqrt[3]{25}\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Nutze Äquivalenzumformungen, um die Gleichung in die Form \(x^n = c\) zu bringen. - Achte beim Wurzelziehen darauf, ob du ein positives oder negatives Vorzeichen berücksichtigen musst.

1. Für \(2x^4 - 32 = 0\) wird die Gleichung zu \(x^4 = 16\) umgeformt. Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm \sqrt[4]{16}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. 2. Für \(\frac{1}{3}x^3 + 10 = 1\) subtrahiert man 10 und erhält \(\frac{1}{3}x^3 = -9\). Multiplikation mit 3 ergibt \(x^3 = -27\). Die dritte Wurzel liefert die einzige Lösung \(x = -3\). 3. Für \(5x^6 + 12 = 7\) subtrahiert man 12 und erhält \(5x^6 = -5\). Division durch 5 führt zu \(x^6 = -1\). Da eine Potenz mit geradem Exponenten niemals negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 2; x_2 = -2\) b) \(x = -3\) c) Keine reelle Lösung

- Vergleiche zunächst einige konkrete positive Basen größer als \(1\): Wie ändern sich ihre Potenzwerte, wenn du den Exponenten erhöhst? - Formuliere daraus, was mit der Basis geschehen muss, wenn der Potenzwert fest bei \(100\) bleiben soll. - Teste in c) aufeinanderfolgende positive gerade Exponenten und beobachte, wann die positive Lösung in das vorgegebene Intervall eintritt und es wieder verlässt.

1. Für \(n=2\) gilt \(x=\pm\sqrt{100}=\pm10\). Für \(n=4\) gilt \(x=\pm\sqrt[4]{100}=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}16\). 2. Für eine positive Basis größer als \(1\) erzeugt ein größerer Exponent schneller große Potenzwerte. Damit der Potenzwert weiterhin \(100\) beträgt, muss deshalb die positive Basis kleiner werden. Die positive Lösung nähert sich bei wachsenden Exponenten dem Wert \(1\) an. 3. Für \(n=6\) ist die positive Lösung ungefähr \(2{,}15\), für \(n=8\) ungefähr \(1{,}78\), für \(n=10\) ungefähr \(1{,}58\) und für \(n=12\) ungefähr \(1{,}47\). Damit liegen genau bei \(n=8\) und \(n=10\) die positiven Lösungen zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}0\).

a) Für \(n=2\): \(x=\pm10\); für \(n=4\): \(x\approx\pm3{,}16\) b) Die positive Lösung wird mit wachsendem \(n\) kleiner und nähert sich \(1\) an. c) Getestet: \(n=6\Rightarrow x\approx2{,}15\), \(n=8\Rightarrow x\approx1{,}78\), \(n=10\Rightarrow x\approx1{,}58\), \(n=12\Rightarrow x\approx1{,}47\). Daher: \(n=8\) und \(n=10\).

- Wann hat eine Potenzgleichung mit natürlichem Exponenten genau eine und wann zwei reelle Lösungen? - Welche Rolle spielt die Parität von \(n\) bei den Lösungen \(2\) und \(-2\)? - Isoliere in c) zuerst den Term mit der Potenz, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Für a) muss \(n\) ungerade sein. Zwei mögliche Paare sind \(n=1,c=-3\) und \(n=3,c=-27\). 2. In b) muss \(n\) gerade sein und \(c=2^n\) gelten. Ein mögliches Beispiel ist \(n=2,c=4\). 3. Für c) gilt \(0{,}5x^3+10=510\Rightarrow0{,}5x^3=500\Rightarrow x^3=1000\Rightarrow x=10\).

a) Zum Beispiel \((n=1,c=-3)\) und \((n=3,c=-27)\). b) \(n\) muss gerade sein und \(c=2^n\) gelten; zum Beispiel \(n=2,c=4\). c) \(x=10\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Verwende die Umkehroperationen (Punkt- vor Strichrechnung in umgekehrter Reihenfolge), um die Gleichung schrittweise zu vereinfachen. - Achte am Ende darauf, ob die Wurzel aus einer positiven oder negativen Zahl gezogen wird.

1. Division durch \(3\) ergibt \(x^4 = 16\). Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm 2\). 2. Subtraktion von \(32\) ergibt \(4x^3 = -32\). Division durch \(4\) ergibt \(x^3 = -8\). Ziehen der dritten Wurzel liefert \(x = -2\). 3. Addition von \(12\) ergibt \(\frac{1}{2}x^5 = 16\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel liefert \(x = 2\). 4. Subtraktion von \(100\) ergibt \(-x^2 = -81\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 = 81\). Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x = \pm 9\).

a) \(x = \pm 2\) b) \(x = -2\) c) \(x = 2\) d) \(x = \pm 9\)

- Welche Wertemenge besitzt \(x^4\)? - Wie oft kann eine waagerechte Gerade den Graphen einer geraden Potenzfunktion schneiden? - Was unterscheidet den Verlauf von \(x^7\) davon?

1. Für \(n=4\) ist die Wertemenge von \(f(x)=x^4\) gleich \([0;\infty[\). 2. Für \(c<0\) gibt es keine Lösung, weil \(c\) nicht in der Wertemenge liegt. 3. Für \(c=0\) gibt es genau eine Lösung, nämlich \(x=0\). 4. Für \(c>0\) gibt es wegen der Achsensymmetrie genau zwei Lösungen. 5. Für \(n=7\) ist \(f(x)=x^7\) streng monoton steigend und nimmt jeden reellen Wert genau einmal an. 6. Daher besitzt \(x^7=c\) für jedes \(c\in\mathbb{R}\) genau eine reelle Lösung.

a) Keine Lösung für \(c<0\); eine Lösung für \(c=0\); zwei Lösungen für \(c>0\). b) Für jedes \(c\in\mathbb{R}\) gibt es genau eine reelle Lösung.

- Isoliere in Teil a) zunächst \(v^3\), bevor du die Umkehroperation verwendest. - Vergleiche in Teil b) die beiden Terme \(P(v)\) und \(P(0{,}5v)\), ohne einen konkreten Windwert einzusetzen. - Ein Faktor bei der Basis wird beim Kubieren ebenfalls mit der dritten Potenz wirksam.

1. Aus \(500=0{,}2v^3\) folgt durch Division durch \(0{,}2\): \(v^3=2500\). 2. Daher ist \(v=\sqrt[3]{2500}\approx13{,}572\,\text{m/s}\), gerundet also \(13{,}6\,\text{m/s}\). 3. Bei halbierter Windgeschwindigkeit gilt \(v_{\text{neu}}=0{,}5v\). 4. Dann ist \(P_{\text{neu}}=0{,}2(0{,}5v)^3=0{,}125\cdot0{,}2v^3=0{,}125P_{\text{alt}}\). 5. Die neue Leistung beträgt \(12{,}5\,\%\) der alten, also sinkt sie um \(87{,}5\,\%\).

a) \(v\approx13{,}6\,\text{m/s}\) b) Die Modellleistung sinkt um \(87{,}5\,\%\).

- Bestimme zuerst das Ausgangsvolumen und nutze die angegebene Dichtebeziehung für die Masse. - Addiere die zusätzliche Goldmasse, bevor du das neue Volumen berechnest. - Verwende für die prozentuale Änderung den ungerundeten Wert der neuen Kantenlänge.

1. Das Ausgangsvolumen ist \(V_1=(5{,}0\,\text{cm})^3=125\,\text{cm}^3\). 2. Aus \(m=\rho V\) folgt \(m_1=19{,}3\,\text{g/cm}^3\cdot125\,\text{cm}^3=2412{,}5\,\text{g}\). 3. Die neue Gesamtmasse ist \(m_2=2412{,}5\,\text{g}+500\,\text{g}=2912{,}5\,\text{g}\). 4. Das neue Volumen ist \(V_2=\frac{m_2}{\rho}=\frac{2912{,}5}{19{,}3}\,\text{cm}^3\approx150{,}9067\,\text{cm}^3\). 5. Die neue Kantenlänge ist \(a_2=\sqrt[3]{V_2}\approx5{,}32398\,\text{cm}\), also \(a_2\approx5{,}32\,\text{cm}\). 6. Mit dem ungerundeten Zwischenwert beträgt die Zunahme \(\frac{5{,}32398-5{,}0}{5{,}0}\cdot100\,\%\approx6{,}48\,\%\), gerundet \(6{,}5\,\%\).

a) \(2412{,}5\,\text{g}\) b) neue Kantenlänge: \(5{,}32\,\text{cm}\); Zunahme: \(6{,}5\,\%\)

- Setze die Bedingung für die Höhe direkt in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein. - Bringe das Fassungsvermögen vor dem Einsetzen in Kubikzentimeter. - Isoliere anschließend \(r^3\) und verwende die passende Umkehroperation. - Vergleiche in Teil c) \(\pi(3r)^3\) mit \(\pi r^3\).

1. Für einen Zylinder gilt \(V=\pi r^2h\). Mit \(h=r\) folgt \(V=\pi r^3\). 2. Es gilt \(1000\,\text{Liter}=1\,000\,000\,\text{cm}^3\). 3. Aus \(1\,000\,000=\pi r^3\) folgt \(r^3=\frac{1000000}{\pi}\,\text{cm}^3\approx318\,309{,}89\,\text{cm}^3\). 4. Daher ist \(r=\sqrt[3]{\frac{1000000}{\pi}}\,\text{cm}\approx68{,}28\,\text{cm}\). 5. Bei \(r\mapsto3r\) gilt \(V_{\text{neu}}=\pi(3r)^3=27\pi r^3=27V_{\text{alt}}\). Das Volumen wird also 27-mal so groß.

a) \(V=\pi r^3\) b) \(r\approx68{,}28\,\text{cm}\) c) Das Volumen wird 27-mal so groß.

- Wenn du das Volumen kennst und die Kantenlänge suchst, welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit 3 um? - Was bedeutet es mathematisch für den Faktor vor dem \(a\), wenn das gesamte Volumen verdoppelt wird? - Schreibe die Bedingungen als Gleichungen auf, in denen die neue Kantenlänge als Vielfaches der alten Kantenlänge erscheint.

1. Zu Teil a): Gesucht ist \(a'\) mit \((a')^3 = \frac{1}{8} a^3\). Durch Ziehen der Kubikwurzel folgt \(a' = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}a = \frac{1}{2} a\). Die Kantenlänge muss halbiert werden (Faktor \(0{,}5\)). 2. Zu Teil b): Gesucht ist \(k\) mit \((ka)^3 = 2a^3\). Es folgt \(k^3 = 2\), also \(k = \sqrt[3]{2}\). 3. Zu Teil c): Ein Volumen von \(50\,\%\) entspricht \(V' = 0{,}5V\). Es gilt \((a')^3 = 0{,}5a^3\), woraus \(a' = \sqrt[3]{0{,}5}a\) folgt. Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\), kann dies auch als \(a' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}a\) geschrieben werden.

a) Die Kantenlänge muss mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) multipliziert werden. b) Der Faktor ist \(\sqrt[3]{2}\). c) Die Kantenlänge schrumpft auf das \(\sqrt[3]{0{,}5}\)-fache (oder \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)-fache) der ursprünglichen Länge.

- Vereinfache Zähler und Nenner zunächst getrennt mit den Potenzgesetzen. - Welcher Exponent sorgt bei jeder von Null verschiedenen Basis für den Wert \(1\)? - Setze die konkreten Werte erst nach der allgemeinen Vereinfachung ein.

1. Der Zähler ist \((y^n)^2=y^{2n}\). Der Nenner ist \(y^4\cdot y^2=y^6\). Somit gilt \(T=\frac{y^{2n}}{y^6}=y^{2n-6}\). 2. Damit \(y^{2n-6}=1\) für jedes \(y\ne0\) gilt, muss der Exponent \(0\) sein. Also \(2n-6=0\) und damit \(n=3\). 3. Für \(n=4\) ist \(T=y^{8-6}=y^2\). Mit \(y=3\) ergibt sich \(T=9\).

a) \(T=y^{2n-6}\) b) \(n=3\) c) \(T=9\)

- Suche einen gut ablesbaren Gitterpunkt auf dem mit \(f\) bezeichneten Graphen und setze seine Koordinaten in \(f(x)=ax^4\) ein. - Welchen konstanten Funktionswert besitzt die waagerechte Gerade \(g\)? - Für Schnittpunkte müssen beide Funktionen denselben Funktionswert haben. - Denke bei einer Gleichung \(x^4=c\) mit \(c>0\) an beide Vorzeichen der Lösungen.

1. Der Graph von \(f\) verläuft durch \((2|8)\). Einsetzen in \(f(x)=ax^4\) ergibt \(8=16a\), also \(a=0{,}5\). Damit ist \(f(x)=0{,}5x^4\). 2. Die waagerechte Gerade hat den Funktionsterm \(g(x)=3\). Für Schnittpunkte gilt daher \(0{,}5x^4=3\). 3. Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x\approx-1{,}6\) und \(x\approx1{,}6\) ab. 4. Rechnerisch folgt \(x^4=6\), also \(x=\pm\sqrt[4]{6}\). Gerundet sind die Lösungen \(x\approx-1{,}565\) und \(x\approx1{,}565\).

a) \(a=0{,}5\), also \(f(x)=0{,}5x^4\) b) \(0{,}5x^4=3\) c) \(x\approx-1{,}6\) und \(x\approx1{,}6\) d) \(x=\pm\sqrt[4]{6}\approx\pm1{,}565\)

- Nutze einen gut ablesbaren Punkt auf Graph \(f\), um den Koeffizienten \(a\) zu bestimmen. - Welchen konstanten \(y\)-Wert besitzt die waagerechte Gerade \(g\)? - Wie lässt sich eine Gleichung mit einer dritten Potenz rückgängig machen?

1. Der Graph von \(f\) verläuft durch \((2|4)\). Einsetzen in \(f(x)=ax^3\) ergibt \(4=8a\), also \(a=0{,}5\). Die Gerade liegt bei \(g(x)=-2\). 2. Für den Schnittpunkt gilt \(0{,}5x^3=-2\), also \(x^3=-4\). 3. Grafisch liegt der Schnittpunkt bei etwa \(x\approx-1{,}6\). Rechnerisch ist \(x=-\sqrt[3]{4}\approx-1{,}587\).

a) \(a=0{,}5\) und \(g(x)=-2\) b) grafisch \(x\approx-1{,}6\); rechnerisch \(x\approx-1{,}587\)

- Lies aus der Abbildung einen gut erkennbaren Punkt des Potenzgraphen und die Höhe der waagerechten Geraden ab. - Setze die abgelesenen Daten in die beiden gegebenen Funktionsformen ein. - Für die Schnittpunkte müssen beide Funktionsterme denselben Wert besitzen; prüfe anschließend, wie viele reelle Lösungen die entstehende gerade Potenzgleichung hat.

1. Aus der Abbildung lässt sich für \(f\) der Punkt \((2\mid-4)\) ablesen. Einsetzen in \(f(x)=ax^4\) ergibt \(-4=16a\) und damit \(a=-0{,}25\). Die waagerechte Gerade liegt bei \(y=-2\), also ist \(c=-2\). 2. Für die Schnittpunkte gilt \(-0{,}25x^4=-2\), also \(x^4=8\). 3. Da der Exponent gerade und die rechte Seite positiv ist, folgen zwei reelle Lösungen: \(x=\pm\sqrt[4]{8}\approx\pm1{,}682\).

a) \(a=-0{,}25\), \(c=-2\) b) \(x\approx-1{,}682\) und \(x\approx1{,}682\)

- Welche Symmetrie des Potenzgraphen erkennst du in jeder Skizze? - Liegt die waagerechte Gerade oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Die Anzahl der reellen Lösungen entspricht der Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen.

1. In Skizze a) ist der Potenzgraph zur \(y\)-Achse symmetrisch, also ist \(n\) gerade. Die Gerade liegt oberhalb der \(x\)-Achse, also ist \(c>0\). Es gibt zwei Schnittpunkte und damit zwei reelle Lösungen. 2. In Skizze b) ist der Potenzgraph punktsymmetrisch zum Ursprung, also ist \(n\) ungerade. Die Gerade liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also ist \(c<0\). Es gibt genau einen Schnittpunkt und damit eine reelle Lösung. 3. In Skizze c) ist der Potenzgraph zur \(y\)-Achse symmetrisch, also ist \(n\) gerade. Die Gerade liegt unterhalb der \(x\)-Achse, also ist \(c<0\). Die Graphen schneiden sich nicht; die Gleichung hat keine reelle Lösung.

a) \(n\) gerade, \(c>0\), zwei reelle Lösungen b) \(n\) ungerade, \(c<0\), eine reelle Lösung c) \(n\) gerade, \(c<0\), keine reelle Lösung

- Prüfe die Vermutung mit je einem einfachen geraden und ungeraden Exponenten. - Vergleiche für denselben Exponenten eine positive und eine negative rechte Seite. - Welche Funktionswerte können gerade beziehungsweise ungerade Potenzfunktionen überhaupt annehmen?

1. Für einen geraden Exponenten kann sich die Anzahl ändern. Beispiel: \(x^2=4\) hat die beiden Lösungen \(x=\pm2\), während \(x^2=-4\) keine reelle Lösung besitzt. 2. Für einen ungeraden Exponenten ändert sich die Anzahl nicht. Beispiel: \(x^3=8\) hat genau die Lösung \(x=2\), und \(x^3=-8\) hat genau die Lösung \(x=-2\). 3. Damit ist die Aussage im Allgemeinen falsch: Bei ungeraden Exponenten besitzt \(x^n=c\) für jedes reelle \(c\) genau eine reelle Lösung.

Die Behauptung ist falsch. Bei geraden Exponenten kann sich die Anzahl der Lösungen beim Vorzeichenwechsel von \(c\) ändern; bei ungeraden Exponenten bleibt sie bei genau einer reellen Lösung.

- Welche Information über die Steigung liefert ein weiterer Punkt einer Ursprungsgeraden? - Welche Bedingung müssen die Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an einem Schnittpunkt erfüllen? - Welche Struktur entsteht, wenn du die Schnittpunktgleichung auf eine Seite bringst, und wie kannst du daraus mehrere mögliche Lösungen gewinnen?

1. Die Gerade geht durch den Ursprung und den Punkt \((1|3)\), hat also die Steigung \(3\). Somit ist \(g(x)=3x\). 2. Für Schnittpunkte gilt \(x^3=3x\). 3. Grafisch erkennt man die Lösungen \(x=0\) sowie näherungsweise \(x\approx\pm1{,}7\). 4. Rechnerisch gilt \(x^3-3x=0\Rightarrow x(x^2-3)=0\). Daraus folgen \(x_1=0\) und \(x_{2,3}=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}732\).

a) \(g(x)=3x\) b) \(x^3=3x\) c) grafisch \(x\approx-1{,}7\), \(x=0\), \(x\approx1{,}7\); rechnerisch \(x=0\) und \(x\approx\pm1{,}732\)