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- Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten für die Basis? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen zur Basis gehört (in Klammern steht) oder vor der gesamten Potenz steht. - Es hilft oft, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln. - Wie geht man vor, wenn ein Bruch mit einer negativen Zahl potenziert wird?

1. Berechnung von \(6^{-2}\): Anwendung der Definition \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) ergibt \(\frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\). 2. Berechnung von \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\): Kehrbruch bilden und positiv potenzieren: \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}\). 3. Berechnung von \((-0{,}2)^{-2}\): Umwandlung in einen Bruch: \(\left(-\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Kehrbruch bilden: \((-5)^2 = 25\). 4. Berechnung von \(-4^{-2}\): Das Minuszeichen steht vor der Potenz. \(-\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}\). 5. Berechnung von \(24 \cdot 2^{-4}\): Multiplikation mit dem Kehrwert: \(24 \cdot \frac{1}{2^4} = 24 \cdot \frac{1}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

a) \(\frac{1}{36}\) b) \(\frac{27}{8}\) c) \(25\) d) \(-\frac{1}{16}\) e) \(\frac{3}{2}\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, wie man eine Potenz nochmals potenziert. - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Achte bei Termen wie \((-3a)^2\) darauf, ob sich das Quadrat auch auf das Vorzeichen und die Zahl bezieht.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Potenzen von Potenzen bei a): \((x^3)^4 = x^{12}\). Multiplikation mit \(x^{-5}\) ergibt \(x^{12 + (-5)} = x^7\). 2. Division der Koeffizienten und Subtraktion der Exponenten bei b): \(24 : 3 = 8\) und \(y^{6-2} = y^4\). Ergebnis: \(8y^4\). 3. Auflösen der Klammer bei c): \((-3a)^2 = (-3)^2 \cdot a^2 = 9a^2\). Multiplikation mit \(a^3\) ergibt \(9a^{2+3} = 9a^5\). 4. Bestimmung von \(z^0 = 1\) bei d). Division ergibt \(z^{7-3} = z^4\).

a) \(x^7\) b) \(8y^4\) c) \(9a^5\) d) \(z^4\)

- Überlege dir, welchen Einfluss ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis hat. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb einer Klammer steht. - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz?

1. Teilaufgabe a): Da der Exponent \(10\) gerade ist, gilt \((-1)^{10} = 1\). Da der Exponent \(11\) ungerade ist, gilt \((-1)^{11} = -1\). Wegen \(1 > -1\) ist das Zeichen \(>\) korrekt. 2. Teilaufgabe b): Der Term \(-4^2\) bedeutet \(-(4 \cdot 4) = -16\). Der Term \((-4)^2\) bedeutet \((-4) \cdot (-4) = 16\). Da eine negative Zahl kleiner als eine positive Zahl ist, gilt \(<\). 3. Teilaufgabe c): Der Term \(3^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). Der Term \((-3)^{-2}\) ist gleich \(\frac{1}{(-3)^2}\). Da \((-3)^2 = 9\) ist, ergibt sich ebenfalls \(\frac{1}{9}\). Die Terme sind also gleich, das Zeichen ist \(=\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(=\)

- Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen mit quadriert wird oder nicht. - Wie verändert sich der Exponent, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst oder dividierst? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch oder Dezimalzahl bedeutet. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird?

1. Unterscheidung von Basis und Vorzeichen: \((-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\), während \(-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). 2. Anwendung der Produktregel im Nenner: \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\). Anschließend Division durch Subtraktion der Exponenten: \(x^6 : x^5 = x^{6-5} = x^1 = x\). 3. Anwendung der Potenzregel auf ein Produkt und eine Potenz: \((2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16 \cdot a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}\). 4. Multiplikation von Potenzen gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(10^{3 + (-5)} = 10^{-2}\). Umwandlung in einen Dezimalbruch: \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

a) \(25\) und \(-25\) b) \(x\) c) \(16a^{12}\) d) \(0{,}01\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Wie kannst du eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch umschreiben? - Achte bei negativen Basen darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Kannst du den Term innerhalb einer Klammer zuerst vereinfachen?

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^{4 + (-6)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) 2. Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(y^{-2 - 3} = y^{-5} = \frac{1}{y^5}\) 3. Auflösen der Klammer mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{(-2z)^3} = \frac{1}{(-2)^3 \cdot z^3} = -\frac{1}{8z^3}\) 4. Zusammenfassen in der Klammer und anschließendes Potenzieren: \((a^{-1})^2 = a^{-1 \cdot 2} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)

a) \(\frac{1}{x^2}\) b) \(\frac{1}{y^5}\) c) \(-\frac{1}{8z^3}\) d) \(\frac{1}{a^2}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn du den Kehrwert der Basis bildest? - Wie multipliziert man Potenzen, die die gleiche Basis haben? - Kannst du Dezimalzahlen wie \(0{,}1\) als Brüche oder Potenzen von 10 schreiben?

1. Anwendung des Gesetzes für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: \(2^{4 + (-2)} = 2^2 = 4\). 2. Umformung des ersten Faktors mittels negativer Exponenten: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3\). Multiplikation: \(3^3 \cdot 3^{-2} = 3^{3-2} = 3^1 = 3\). 3. Umwandlung der Dezimalzahl in eine Zehnerpotenz: \(0{,}1 = 10^{-1}\). Einsetzen und Potenzgesetz anwenden: \(10^{-2} \cdot (10^{-1})^{-3} = 10^{-2} \cdot 10^3 = 10^{-2+3} = 10^1 = 10\).

1) \(4\) 2) \(3\) 3) \(10\)

- Welchen Wert hat eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Es hilft oft, alle Zahlen im Ausdruck auf dieselbe Basis (z. B. 5 oder 10) zu bringen. - Wie kannst du eine Division durch einen Bruch mit negativem Exponenten vereinfachen?

1. Berechnung des Terms in der Klammer: Da jede Zahl ungleich Null hoch Null eins ergibt, gilt \(\left( \frac{17}{5} \right)^0 = 1\). Der Ausdruck in der Klammer wird zu \(6 - 2 \cdot 1 = 4\). Anwendung des negativen Exponenten: \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Darstellung aller Terme als Potenzen zur Basis 5: \(5^{-1}\) bleibt, \(25^2 = (5^2)^2 = 5^4\), und \(0{,}2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (5^{-1})^{-2} = 5^2\). Berechnung des Zählers: \(5^{-1} \cdot 5^4 = 5^3 = 125\). Division durch den Nenner: \(\frac{125}{5^2} = \frac{125}{25} = 5\).

1) \(\frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) 2) \(5\)

- Überlege dir, was mit dem Vorzeichen passiert, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie hängen negative Exponenten mit Brüchen zusammen? - Kannst du eine Potenz eines Produkts in ein Produkt von Potenzen umwandeln? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf den ersten Term: \((-1 \cdot x^{-4})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-4})^{-2}\). Da \((-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1\) und \((x^{-4})^{-2} = x^{(-4) \cdot (-2)} = x^8\), ergibt sich \(x^8\). 2. Division von Potenzen mit gleicher Basis durch Subtraktion der Exponenten: \((-1)^{(k+2)-k} = (-1)^2\). Da das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist, ergibt sich \(1\). 3. Zuerst wird der innere Bruch vereinfacht: \(\frac{2a^2}{3b^{-1}} = \frac{2a^2 \cdot b}{3}\). Anwendung des negativen Exponenten durch Kehrwertbildung: \(\left( \frac{3}{2a^2 b} \right)^3\). Potenzieren von Zähler und Nenner führt zu \(\frac{3^3}{2^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3} = \frac{27}{8a^6b^3}\).

a) \(x^8\) b) \(1\) c) \(\frac{27}{8a^6b^3}\)

- Gehe bei Aufgaben mit mehreren Variablen schrittweise vor und betrachte jede Basis einzeln. - Achte bei der Subtraktion von negativen Exponenten im Nenner besonders auf die Vorzeichenregeln. - Bei Variablen im Exponenten kannst du genauso rechnen wie mit Zahlen. - Rechne Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, um die Multiplikation zu vereinfachen.

1. Getrennte Betrachtung der Basen bei a): \(a^{4 - (-1)} = a^5\) und \(b^{-2 - 3} = b^{-5}\). Ergebnis: \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\). 2. Potenzieren des Produkts bei b): \((0{,}2)^3 \cdot (x^2)^3 = 0{,}008x^6\). Multiplikation mit \(125x^{-6}\) ergibt \((0{,}008 \cdot 125) \cdot x^{6-6} = 1 \cdot x^0 = 1\). 3. Subtraktion der Exponenten bei c): \((n+3) - (n-1) = n + 3 - n + 1 = 4\). Ergebnis: \(x^4\).

a) \(a^5 b^{-5}\) oder \(\frac{a^5}{b^5}\) b) \(1\) c) \(x^4\)

- Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass das Ergebnis negativ ist. Was bewirkt er stattdessen? - Kannst du die Zahl \(32\) als eine Potenz von \(2\) schreiben? - Gibt es ein Gesetz, das dir erlaubt, die Division zweier Potenzen mit demselben Exponenten zu vereinfachen, bevor du die dritte Potenz berechnest?

1. Berechnung der Werte: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). Der Wert \(-2^3\) ergibt \(-(2 \cdot 2 \cdot 2) = -8\). Vergleich: Der negative Exponent führt zu einem positiven Kehrwert, während das Vorzeichen vor der Basis ein negatives Ergebnis bewirkt. Da \(0{,}125 > -8\), gilt \(2^{-3} > -2^3\). 2. Vereinfachung des Zählers: \((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\). Vereinfachung des Nenners: \(x^4 \cdot x^{-1} = x^{4-1} = x^3\). Division: \(x^6 : x^3 = x^{6-3} = x^3\). 3. Anwendung des Gesetzes für gleiche Exponenten: \(\frac{15^3}{5^3} = \left(\frac{15}{5}\right)^3 = 3^3 = 27\). 4. Umformung der rechten Seite: \(\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(x = -5\).

a) \(2^{-3} = 0{,}125 > -8 = -2^3\) b) \(x^3\) c) \(27\) d) \(x = -5\)

- Welchen Einfluss hat ein negativer Exponent auf einen Bruch in der Klammer? - Denke daran, dass sich ein Exponent außerhalb der Klammer auf alle Faktoren im Inneren bezieht. - In welcher Reihenfolge solltest du vorgehen: erst die Klammern auflösen oder erst innerhalb der Klammern kürzen?

1. Division der Koeffizienten und Verrechnung der Exponenten der Basis \(a\): \(5 \cdot a^{4-7-(-2)} = 5 \cdot a^{-1} = \frac{5}{a}\) 2. Potenzieren der Klammern und Multiplikation: \(8b^{-6} \cdot b^4 = 8b^{-6+4} = 8b^{-2} = \frac{8}{b^2}\) 3. Kehrbruch bilden und Quadrieren, dann Multiplikation: \(\frac{y^4}{x^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{y^4}{x^{2+1}} = \frac{y^4}{x^3}\)

a) \(\frac{5}{a}\) b) \(\frac{8}{b^2}\) c) \(\frac{y^4}{x^3}\)

- Wie gehst du vor, wenn im Exponenten Variablen wie \(n\) stehen? - Gibt es eine Regel für das Potenzieren von Produkten innerhalb einer Klammer? - Welchen Einfluss hat ein gerader oder ungerader Exponent auf das Vorzeichen der Basis? - Was ist das Ergebnis, wenn der gesamte Exponent nach der Verrechnung null ergibt?

1. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \((2n+1) + (n-2) = 3n-1\). Division durch Subtraktion der Exponenten: \((3n-1) - (3n-1) = 0\). Da \(a^0 = 1\) (für \(a \neq 0\)), ist das Ergebnis \(1\). 2. Potenzieren des Produkts in der Klammer: \(2^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = \frac{1}{4} \cdot b^{-6}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot b^{-6} \cdot b^6 = 1 \cdot b^0 = 1\). 3. Bestimmung des Vorzeichens: \((-x)^4 = x^4\), da der Exponent gerade ist. Zusammenfassen des Zählers: \(x^{4 + (-2)} = x^2\). Division durch Subtraktion: \(x^{2-5} = x^{-3}\). Darstellung ohne negativen Exponenten: \(\frac{1}{x^3}\).

a) \(1\) b) \(1\) c) \(\frac{1}{x^3}\)

- Fasse Potenzen mit der gleichen Basis zusammen, indem du die Exponenten addierst oder subtrahierst. - Potenzen in Klammern werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Bei Teilaufgabe c) hilft es, die Zahlen und die Zehnerpotenzen getrennt voneinander zu betrachten.

1. Vereinfachung von Ausdruck a): Anwendung der Regel \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) im Zähler ergibt \(x^{8+(-5)} = x^3\). Division durch \(x^2\) ergibt \(x^{3-2} = x^1 = x\). 2. Vereinfachung von Ausdruck b): Zuerst die Klammer auflösen mit \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^3)^2 \cdot (b^{-2})^2 = a^6 \cdot b^{-4}\). Der gesamte Bruch lautet \(\frac{a^6 \cdot b^{-4}}{a^4 \cdot b^{-4}}\). Kürzen von \(b^{-4}\) (bzw. \(b^{-4-(-4)} = b^0 = 1\)) ergibt \(\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2\). 3. Berechnung von Ausdruck c): Sortieren der Faktoren: \((4 \cdot 0{,}25) \cdot (10^5 \cdot 10^{-8})\). Es ergibt sich \(1 \cdot 10^{5-8} = 10^{-3}\). Ohne negativen Exponenten geschrieben ist dies \(\frac{1}{10^3}\) oder \(\frac{1}{1\,000}\).

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(\frac{1}{1\,000}\) (oder \(0{,}001\))

- Wende zuerst die Potenzgesetze für das Potenzieren von Produkten und Potenzen an, um die Klammern aufzulösen. - Fasse anschließend gleiche Basen im Zähler und Nenner zusammen. - Denke daran, dass \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) gilt. - Beachte beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis, dass die Exponenten subtrahiert werden.

1. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner des ersten Bruchs: \((x^2 y^{-3})^2 = x^4 y^{-6}\), \((x^4 z^2)^3 = x^{12} z^6\) und \((x^2 y z)^4 = x^8 y^4 z^4\). 2. Zusammenfassen des Zählers im ersten Bruch: \(x^4 y^{-6} \cdot x^{12} z^6 = x^{16} y^{-6} z^6\). 3. Kürzen des ersten Bruchs: \(\frac{x^{16} y^{-6} z^6}{x^8 y^4 z^4} = x^{16-8} \cdot y^{-6-4} \cdot z^{6-4} = x^8 y^{-10} z^2\). 4. Umschreiben des zweiten Faktors: \(\frac{y^2}{z^{-1}} = y^2 z^1\). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \(x^8 y^{-10} z^2 \cdot y^2 z = x^8 \cdot y^{-10+2} \cdot z^{2+1} = x^8 y^{-8} z^3\). 6. Umwandlung in eine Form ohne negative Exponenten: \(\frac{x^8 z^3}{y^8}\).

\(\frac{x^8 z^3}{y^8}\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Wie kannst du Dezimalzahlen als Brüche schreiben, um die Potenzgesetze leichter anzuwenden? - Achte auf die Vorrangregeln, insbesondere Punkt- vor Strichrechnung. - Kannst du einen Bruchterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner getrennt berechnest?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung von \(1{,}5\) in \(\frac{3}{2}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten bei Brüchen ergibt \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). 2. Berechnung der weiteren Terme: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\) und \(4^{-1} = \frac{1}{4}\). 3. Verknüpfung der Ergebnisse: \(\frac{4}{9} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9} + \frac{3}{4} = \frac{16 + 27}{36} = \frac{43}{36}\). 4. Teilaufgabe b): Zähler berechnen durch \(3^{-1} = \frac{1}{3}\) und \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\). Die Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 27}{12} = \frac{31}{12}\). 5. Nenner berechnen durch \(2^2 = 4\) und \(7 \cdot 2^{-1} = \frac{7}{2} = 3{,}5\). Die Differenz ist \(4 - 3{,}5 = 0{,}5 = \frac{1}{2}\). 6. Division des Zählers durch den Nenner: \(\frac{31}{12} : \frac{1}{2} = \frac{31}{12} \cdot 2 = \frac{31}{6}\).

a) \(\frac{43}{36}\) b) \(\frac{31}{6}\)

- Kannst du Potenzen mit der gleichen Basis im Zähler zusammenfassen? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Basis potenziert wird. - Berechne zuerst den Zähler und den Nenner des Hauptbruchs separat. - Erinnerst du dich, wie man durch einen Bruch dividiert?

1. Vereinfachung des Produkts im Zähler mithilfe des Potenzgesetzes für gleiche Basen: \(2^3 \cdot 2^{-5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\). 2. Berechnung der zweiten Potenz im Zähler: \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 3. Addition im Zähler: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 4}{36} = \frac{13}{36}\). 4. Berechnung der Potenzen im Nenner: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) und \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}\). 5. Subtraktion im Nenner: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 9}{36} = -\frac{5}{36}\). 6. Division des Gesamtausdrucks: \(\frac{13}{36} : \left(-\frac{5}{36}\right) = \frac{13}{36} \cdot \left(-\frac{36}{5}\right) = -\frac{13}{5} = -2{,}6\).

\(-\frac{13}{5}\) oder \(-2{,}6\)

- Kannst du Variablen in den Exponenten genauso behandeln wie Zahlen? - Wenn du einen Bruch mit einem negativen Exponenten potenzierst, was passiert mit dem Zähler und dem Nenner? - Achte beim Subtrahieren negativer Exponenten besonders auf die Vorzeichen.

1. Koeffizienten dividieren: \(15 : 3 = 5\). Exponenten der Basis \(a\) subtrahieren: \(2k - k = k\). Exponenten der Basis \(b\) subtrahieren: \((k - 1) - 2k = -k - 1\). Ergebnis: \(5a^k b^{-k-1}\) bzw. \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\). 2. Klammer auflösen mit \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \((\frac{1}{2})^{-2} = 4\), \((x^{-n})^{-2} = x^{2n}\), \((y^2)^{-2} = y^{-4}\). Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(4 \cdot 4 = 16\), \(x^{2n} \cdot x^{-2n} = x^0 = 1\). Übrig bleibt \(16y^{-4}\) bzw. \(\frac{16}{y^4}\).

a) \(5a^k b^{-k-1}\) oder \(\frac{5a^k}{b^{k+1}}\) b) \(16y^{-4}\) oder \(\frac{16}{y^4}\)

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was ergibt eine Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Gehe beim Multiplizieren der Klammern systematisch vor, sodass jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird. - Achte auf die Vorzeichen, besonders wenn ein Minuszeichen vor einem Glied steht.

1. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe a) unter Anwendung der Regel \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\): \(2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-2x^{-2}) + 3x^{-1} \cdot x + 3x^{-1} \cdot (-2x^{-2})\). 2. Vereinfachen der einzelnen Terme: \(2x^3 - 4x^0 + 3x^0 - 6x^{-3}\). 3. Zusammenfassen unter Beachtung von \(x^0 = 1\): \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\). 4. Ausmultiplizieren von Teilaufgabe b): \(3m^2 \cdot m^{-2} + 3m^2 \cdot n - 2n^{-1} \cdot m^{-2} - 2n^{-1} \cdot n\). 5. Vereinfachen der Terme: \(3m^0 + 3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} - 2n^0\). 6. Zusammenfassen der konstanten Terme \(3 - 2 = 1\): \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\).

a) \(2x^3 - 1 - 6x^{-3}\) b) \(3m^2n - 2m^{-2}n^{-1} + 1\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer drei Glieder und die andere zwei Glieder hat? - Welchen Wert hat \(y^0\)? - Achte darauf, Terme mit der gleichen Potenz von \(y\) am Ende zusammenzufassen. - „Nach fallenden Potenzen ordnen“ bedeutet, mit dem höchsten Exponenten zu beginnen.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes des Trinoms mit jedem Glied des Binoms: \(4y^{-2} \cdot y^2 + 4y^{-2} \cdot 2y - 2y^{-1} \cdot y^2 - 2y^{-1} \cdot 2y + 3 \cdot y^2 + 3 \cdot 2y\). 2. Berechnen der Produkte mithilfe der Potenzgesetze: \(4y^0 + 8y^{-1} - 2y^1 - 4y^0 + 3y^2 + 6y\). 3. Vereinfachen der konstanten Terme (\(4y^0 - 4y^0 = 4 - 4 = 0\)). 4. Zusammenfassen der linearen Terme (\(-2y + 6y = 4y\)). 5. Ordnen des Gesamtergebnisses nach absteigenden Exponenten: \(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\).

\(3y^2 + 4y + 8y^{-1}\)

- Kannst du unterschiedliche Basen wie 5 und 25 auf eine gemeinsame Basis zurückführen? - Was weißt du über das Vorzeichen, wenn eine negative Basis mit einer geraden Zahl wie \(2n\) potenziert wird? - Fasse zuerst den Zähler zusammen, bevor du den gesamten Bruch vereinfachst.

1. Da \(3\) eine ungerade Zahl ist, gilt \((-a)^3 = -a^3\). Der Zähler wird zu \(-a^3 \cdot a^{-5} = -a^{3-5} = -a^{-2}\). Division durch den Nenner ergibt \(\frac{-a^{-2}}{a^{-2}} = -1\). 2. Anwendung des Gesetzes für die Potenz einer Potenz: \(\left( -\frac{x}{y} \right)^{-2n}\). Da \(-2n\) für jedes \(n \in \mathbb{Z}\) gerade ist, verschwindet das Minuszeichen: \((\frac{x}{y})^{-2n}\). Durch Kehrwertbildung gilt \((\frac{x}{y})^{-2n} = (\frac{y}{x})^{2n} = \frac{y^{2n}}{x^{2n}}\). 3. Die Basis \(25\) im Nenner lässt sich als \(5^2\) schreiben: \(\frac{5^{2n+1}}{(5^2)^n} = \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}\). Durch Subtraktion der Exponenten bei gleicher Basis erhält man \(5^{(2n+1) - 2n} = 5^1 = 5\).

a) \(-1\) b) \(\frac{y^{2n}}{x^{2n}}\) c) \(5\)

- Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: Die Exponenten werden addiert. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Was bedeutet ein Exponent von \(0\)? - Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen.

1. Multiplikation jedes Gliedes der Klammer mit \(b^3\) unter Addition der Exponenten: \(b^{-4+3} - b^{-2+3} + 1 \cdot b^3 = b^{-1} - b + b^3\). 2. Berücksichtigung von \(x^0 = 1\) und Multiplikation mit \(x^{-2}\): \(15x^{2-2} + 5x^{-2} = 15x^0 + 5x^{-2} = 15 + 5x^{-2}\). 3. Division jedes Gliedes durch \(x^{-5}\) unter Subtraktion der Exponenten: \(ax^{-2-(-5)} - bx^{-3-(-5)} = ax^3 - bx^2\). 4. Division beider Summanden durch den Divisor: \(\frac{2a^{-1}b^2}{2a^{-2}b^{-2}} + \frac{4a^2b^{-1}}{2a^{-2}b^{-2}}\). Anwendung der Potenzgesetze für gleiche Basen (\(a^{m-n}\), \(b^{m-n}\)) ergibt \(a^{-1-(-2)}b^{2-(-2)} + 2a^{2-(-2)}b^{-1-(-2)} = ab^4 + 2a^4b\).

1) \(b^{-1} - b + b^3\) 2) \(15 + 5x^{-2}\) 3) \(ax^3 - bx^2\) 4) \(ab^4 + 2a^4b\)

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du die Summen im Zähler zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Schau dir das Endergebnis an – lässt es sich kompakter schreiben, bevor du die Zahlen einsetzt?

1. Umformung der Summe im Zähler: \(x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}\) 2. Umformung des Nenners: \((x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y}\) 3. Vereinfachung des ersten Bruchs: \(\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{x+y}} = \frac{x+y}{xy} \cdot (x+y) = \frac{(x+y)^2}{xy}\) 4. Einbezug des letzten Faktors: \(\frac{(x+y)^2}{xy} \cdot \frac{1}{xy} = \frac{(x+y)^2}{x^2 y^2} = \left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\) 5. Einsetzen der Werte \(x=2\) und \(y=3\): \(\left(\frac{2+3}{2 \cdot 3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\)

Der vereinfachte Term ist \(\frac{(x+y)^2}{x^2 y^2}\) (oder \((x^{-1} + y^{-1})^2\)). Der Wert für \(x=2, y=3\) ist \(\frac{25}{36}\).

- Kannst du im Nenner des Bruchs eine binomische Formel erkennen? - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einer Zahl oder einem Bruch? - Wie lassen sich Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren? - Versuche, den Term schrittweise von innen nach außen zu vereinfachen.

1. Faktorisieren des Nenners im ersten Bruch mithilfe der dritten binomischen Formel: \( x^{-2} - y^{-2} = (x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1}) \) 2. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Faktor \( (x^{-1} - y^{-1}) \), woraus \( \frac{1}{x^{-1} + y^{-1}} \) resultiert 3. Anwenden des negativen Exponenten auf den gekürzten Bruch (Bildung des Kehrwerts): \( ( (x^{-1} + y^{-1})^{-1} )^{-1} = x^{-1} + y^{-1} \) 4. Umschreiben der Potenzen mit negativen Exponenten und Zusammenfassen auf den Hauptnenner \( xy \): \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy} \) 5. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor \( (x+y)^{-1} = \frac{1}{x+y} \): \( \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{x+y} = \frac{1}{xy} \) 6. Einsetzen der numerischen Werte \( x=2 \) und \( y=5 \): \( \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \)

\( \frac{1}{xy} \); Wert: \( 0{,}1 \)

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen und zusammenfassen? - Was bewirkt ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Ist es einfacher, die Zahlen sofort einzusetzen oder erst den Term zu vereinfachen? - Erinnere dich an die Definition von \(x^{-n}\).

1. Den Ausdruck innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \(2a^n\) bringen: \(\frac{a^n + b^n - 2a^n}{2a^n} = \frac{b^n - a^n}{2a^n}\). 2. Den negativen Exponenten anwenden, indem der Kehrwert des Bruches gebildet wird: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\). 3. Die gegebenen Werte \(a = 2\), \(b = 4\) und \(n = 2\) einsetzen: \(a^n = 2^2 = 4\) und \(b^n = 4^2 = 16\). 4. Den Wert innerhalb der Klammer berechnen: \(\frac{2 \cdot 4}{16 - 4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 5. Den resultierenden Bruch potenzieren: \(\left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}\).

Vereinfachter Term: \(\left( \frac{2a^n}{b^n - a^n} \right)^3\) (oder \(\frac{8a^{3n}}{(b^n - a^n)^3}\)). Numerischer Wert: \(\frac{8}{27}\).

- Versuche bei Aufgabe c), alle Basen auf die kleinste gemeinsame Basis (hier \(2\)) zurückzuführen. - Erinnere dich daran, dass man einen Term mit negativem Exponenten in den Nenner schreiben kann, um den Exponenten positiv zu machen. - Kannst du \(125\) als Potenz einer Primzahl ausdrücken?

1. Vereinfachung des Terms in a): Nenner auflösen zu \(3 \cdot a^2 \cdot b^2\). Koeffizienten dividieren: \(18 : 3 = 6\). Potenzen verrechnen: \(a^{5-2} = a^3\) und \(b^{-2-2} = b^{-4}\). Umwandlung in positive Exponenten ergibt \(\frac{6a^3}{b^4}\). 2. Lösung der Gleichung in b): Da \(125 = 5^3\), lautet die Gleichung \(5^{8-n} = 5^3\). Exponentenvergleich liefert \(8 - n = 3\), woraus \(n = 5\) folgt. 3. Vereinfachung in c): Zähler zusammenfassen zu \(2^{k + k + 1} = 2^{2k+1}\). Nenner umschreiben: \(4^k = (2^2)^k = 2^{2k}\). Division der Potenzen: \(2^{2k+1} : 2^{2k} = 2^{2k+1-2k} = 2^1 = 2\). Der Wert ist immer \(2\).

a) \(\frac{6a^3}{b^4}\) b) \(n = 5\) c) \(2\)

- Was ergibt eine Potenz mit dem Exponenten \(0\)? - Wie verhält sich das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden negativen Exponenten potenziert wird? - Manchmal ist es hilfreich, negative Exponenten zuerst in positive umzuwandeln, indem man die Position im Bruch wechselt. - Kannst du Terme im Zähler und Nenner entdecken, die sich gegenseitig aufheben?

1. Zähler potenzieren und anschließend durch den Nenner dividieren: \(\frac{9p^{-4}q^2}{9p^{-4}q^3} = 1 \cdot p^{-4 - (-4)} \cdot q^{2-3} = p^0 \cdot q^{-1} = \frac{1}{q}\) 2. Potenzieren der negativen Basis und Verrechnung aller Exponenten: \(\frac{(-1)^{-3} \cdot x^{-6} \cdot x^8}{x^{-2}} = -1 \cdot \frac{x^2}{x^{-2}} = -1 \cdot x^{2 - (-2)} = -x^4\) 3. Ersten Faktor durch Kehrbruchbildung vereinfachen und multiplizieren: \(\frac{2^{-2} a^6}{b^{-4}} \cdot \frac{a^{-6}}{b^4} = \frac{a^6 b^4}{4} \cdot \frac{1}{a^6 b^4} = \frac{1}{4}\)

a) \(\frac{1}{q}\) b) \(-x^4\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Es ist oft hilfreich, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor man den äußeren Exponenten anwendet. - Erinnere dich daran, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert. - Was passiert mit einer Basis, wenn ihr Exponent \(0\) ergibt? - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten beim Subtrahieren negativer Zahlen.

1. Vereinfachung des Ausdrucks innerhalb der großen Klammer: Zähler: \(a^3 \cdot (b^2 c^{-1})^2 = a^3 b^4 c^{-2}\). Nenner: \((a^{-1} b)^3 = a^{-3} b^3\). Bruch: \(\frac{a^3 b^4 c^{-2}}{a^{-3} b^3} = a^{3 - (-3)} \cdot b^{4-3} \cdot c^{-2} = a^6 b^1 c^{-2}\). 2. Anwendung des äußeren Exponenten \(-2\): \((a^6 b c^{-2})^{-2} = a^{-12} b^{-2} c^4\). 3. Division durch den zweiten Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(a^{-12} b^{-2} c^4 \cdot \frac{a^{10} b^2}{c^4}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \(a^{-12+10} \cdot b^{-2+2} \cdot c^{4-4} = a^{-2} \cdot b^0 \cdot c^0\). 5. Da \(b^0 = 1\) und \(c^0 = 1\) für \(b, c \neq 0\), bleibt \(a^{-2}\) bzw. \(\frac{1}{a^2}\) übrig. Das Ergebnis ist unabhängig von \(b\) und \(c\).

\(\frac{1}{a^2}\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Potenz in der Klammer selbst einen negativen Exponenten hat? - Kannst du die Terme im Zähler erst vollständig zusammenfassen, bevor du den Bruch kürzt? - Was musst du beachten, wenn du beim Dividieren einen negativen Exponenten subtrahierst? - Erinnere dich an die Bedeutung von Potenzen mit dem Exponenten 0.

1. Auflösen der Klammern im Zähler: \( (5a^2 b^{-1})^2 = 25a^4 b^{-2} \) und \( (2a^{-2} c)^3 = 8a^{-6} c^3 \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Multiplikation der Koeffizienten und Addition der Exponenten: \( 25 \cdot 8 = 200 \), \( a^{4 + (-6)} = a^{-2} \), also \( 200a^{-2} b^{-2} c^3 \). 3. Auflösen der Klammer im Nenner: \( (10a^{-1} b^{-2} c^2)^2 = 100a^{-2} b^{-4} c^4 \). 4. Division der Terme durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{200}{100} = 2 \), \( a^{-2 - (-2)} = a^0 = 1 \), \( b^{-2 - (-4)} = b^2 \), \( c^{3-4} = c^{-1} \). 5. Endergebnis: \( 2b^2 c^{-1} \).

\( 2b^2 c^{-1} \)

- Zerlege den großen Ausdruck in zwei Teile (links und rechts vom Doppelpunkt) und vereinfache diese einzeln. - Achte beim Subtrahieren von Brüchen im Nenner auf das Vorzeichen, wenn du Terme wie \((a-b)\) und \((b-a)\) kürzen möchtest. - Nutze die Regel für die Division von Brüchen. - Kannst du im letzten Schritt Binomische Formeln erkennen, um die Berechnung zu vereinfachen?

1. Vereinfachung des linken Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a+b}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{a+b} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a+b)^2}\) 2. Vereinfachung des rechten Teilterms: \(\frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a-b}}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{ab}{(a-b)(b-a)} = -\frac{ab}{(a-b)^2}\) 3. Division der Teilterme: \(\frac{ab}{(a+b)^2} : \left(-\frac{ab}{(a-b)^2}\right) = \frac{ab}{(a+b)^2} \cdot \left(-\frac{(a-b)^2}{ab}\right) = -\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\) 4. Einsetzen der Werte \(a=5, b=3\): \(-\frac{(5-3)^2}{(5+3)^2} = -\frac{2^2}{8^2} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}\)

Der vereinfachte Term ist \(-\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\). Der Wert für \(a=5, b=3\) ist \(-\frac{1}{16}\).

- Wie kannst du eine ganze Zahl und einen Bruch innerhalb einer Klammer verrechnen? - Überlege, was die Potenz \( -1 \) für die Struktur eines Bruches bedeutet. - Kannst du den resultierenden Bruch in zwei einzelne Brüche zerlegen, um ihn leichter zu bearbeiten? - Erinnere dich an die Regel für das Verschieben von Potenzen zwischen Zähler und Nenner bei Vorzeichenwechsel des Exponenten.

1. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer auf den Hauptnenner \( a^{-n} - b^{-n} \): \( \frac{a^{-n} + b^{-n} - (a^{-n} - b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = \frac{2b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}} \) 2. Bildung des Kehrwerts des gesamten Klammerausdrucks aufgrund des Exponenten \( -1 \): \( \frac{a^{-n} - b^{-n}}{2b^{-n}} \) 3. Aufteilen des Bruchs in zwei separate Brüche: \( \frac{a^{-n}}{2b^{-n}} - \frac{b^{-n}}{2b^{-n}} \) 4. Anwendung der Potenzgesetze für negative Exponenten (\( \frac{x^{-n}}{y^{-n}} = \frac{y^n}{x^n} \)) zur Beseitigung negativer Exponenten: \( \frac{b^n}{2a^n} - \frac{1}{2} = \frac{b^n - a^n}{2a^n} \) 5. Berechnung des Werts durch Einsetzen von \( a=2, b=6, n=2 \): \( \frac{6^2 - 2^2}{2 \cdot 2^2} = \frac{36 - 4}{8} = \frac{32}{8} = 4 \)

\( \frac{b^n - a^n}{2a^n} \); Wert: \( 4 \)