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- Überlege dir, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis ist. - Der Exponent der Potenz wird zum Wurzelexponenten der Wurzel. - Das Ergebnis der Potenzrechnung steht in der Wurzel (als Radikand). - Denk daran, dass man bei der Quadratwurzel den Wurzelexponenten 2 meist weglässt.

Der Zusammenhang zwischen einer Potenzgleichung \(b^n = a\) und einer Wurzelgleichung ist durch \(b = \sqrt[n]{a}\) gegeben. 1. Bei \(13^2 = 169\) ist die Basis \(13\), der Exponent \(2\) und das Ergebnis \(169\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt{169} = 13\). 2. Bei \(\sqrt[3]{216} = 6\) ist der Radikand \(216\), der Wurzelexponent \(3\) und der Wert \(6\). In Potenzschreibweise: \(6^3 = 216\). 3. Bei \(0{,}2^5 = 0{,}00032\) ist die Basis \(0{,}2\) und der Exponent \(5\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\). 4. Bei \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}\) ist der Wurzelexponent \(4\). In Potenzschreibweise: \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\).

a) \(\sqrt{169} = 13\) b) \(6^3 = 216\) c) \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\) d) \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\)

- Schreibe jede Zahl zuerst als Zehnerpotenz, auch die sehr kleine Zahl. - Achte bei Zahlen kleiner als eins auf negative Exponenten. - Beim Bruch kannst du zuerst die Potenzen im Zähler und Nenner zusammenfassen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis beim Quadrieren wieder zur Ausgangszahl passt.

1. Begründung der Eigenschaft: \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{1/2} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Zu a): \(100\,000\,000 = 10^8\). Mit \(2n = 8\) folgt \(n = 4\). Somit ist \(\sqrt{10^8} = 10^4 = 10\,000\). 3. Zu b): \(0{,}000001 = 10^{-6}\). Mit \(2n = -6\) folgt \(n = -3\). Somit ist \(\sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} = 0{,}001\). 4. Zu c): Nach den Divisionsregeln für Potenzen ist \(\frac{10^3}{10^7} = 10^{3-7} = 10^{-4}\). Mit \(2n = -4\) folgt \(n = -2\). Somit ist \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} = 0{,}01\).

a) \(\sqrt{100\,000\,000} = 10\,000\) b) \(\sqrt{0{,}000001} = 0{,}001\) c) \(\sqrt{\frac{10^3}{10^7}} = 0{,}01\)

- Begründe zuerst die allgemeine Aussage, bevor du die drei Beispiele berechnest. - Achte darauf, dass negative Exponenten zu Brüchen führen. - Schreibe den letzten Ausdruck erst so um, dass er zur allgemeinen Form passt. - Kontrolliere deine exakten Werte, indem du sie gedanklich quadrierst.

1. Begründung: Die Quadratwurzel kann als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden. Es gilt \(\sqrt{5^{2k}} = (5^{2k})^{\frac{1}{2}}\). Nach der Regel für das Potenzieren von Potenzen \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt: \(5^{2k \cdot \frac{1}{2}} = 5^k\). 2. Für \(\sqrt{5^6}\) ist \(2k = 6\), also \(k = 3\). Das Ergebnis ist \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). 3. Für \(\sqrt{5^{-4}}\) ist \(2k = -4\), also \(k = -2\). Das Ergebnis ist \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\). 4. Der Ausdruck \(\sqrt{\frac{1}{5^2}}\) kann als \(\sqrt{5^{-2}}\) geschrieben werden. Hier ist \(2k = -2\), also \(k = -1\). Das Ergebnis ist \(5^{-1} = \frac{1}{5}\).

Begründung: \((5^{2k})^{\frac{1}{2}} = 5^{2k \cdot \frac{1}{2}} = 5^k\). \(\sqrt{5^6} = 125\) \(\sqrt{5^{-4}} = \frac{1}{25}\) \(\sqrt{\frac{1}{5^2}} = \frac{1}{5}\)

- Kannst du den Exponenten als Bruch schreiben? - Es hilft oft, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Kommst du weiter, wenn du die Dezimalzahlen in Brüche umwandelst?

1. Umwandlung von \(27^{\frac{4}{3}}\) in eine Wurzelform: \(\sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^4 = 81\). 2. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[3]{10^9} = 10^{\frac{9}{3}} = 10^3 = 1000\). 3. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen Bruch oder direkte Berechnung: \(0{,}09^{1{,}5} = 0{,}09^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{0{,}09})^3\). Da \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), folgt \(0{,}3^3 = 0{,}027\). 4. Direkte Berechnung der 4. Wurzel: Da \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0016} = 0{,}2\).

a) \(81\) b) \(1000\) c) \(0{,}027\) d) \(0{,}2\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich, welche Wurzel aus der Basis gezogen werden muss, wenn der Nenner des Bruchexponenten eine bestimmte Zahl ist? - Es ist oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung von \(144^{0{,}5}\): Der Exponent \(0{,}5\) entspricht \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(144^{0{,}5} = \sqrt{144} = 12\). 2. Umwandlung von \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\): Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Basis. Es gilt \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\). 3. Umwandlung von \(32^{0{,}4}\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Es gilt \(32^{0{,}4} = \sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 4. Umwandlung von \(1\,000^{-\frac{2}{3}}\): Der negative Exponent führt zum Kehrwert \(1 / 1\,000^{\frac{2}{3}}\). Dies entspricht \(\frac{1}{\sqrt[3]{1\,000^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

a) \(\sqrt{144} = 12\) b) \(\sqrt[3]{27} = 3\) c) \((\sqrt[5]{32})^2 = 4\) d) \(\frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = 0{,}01\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Was bedeutet ein Minuszeichen im Exponenten für die Position des Terms? - Überlege, wie man eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten als Wurzel schreibt. - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer potenziert wird?

1. Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) anwenden. 2. Für a): \(x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}\). 3. Für b): \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{y^3}\). 4. Für c): Negativer Exponent bedeutet Kehrwert, \(z^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{z^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{z}}\). 5. Für d): \((4a)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(4a)^3} = \sqrt[4]{64a^3}\).

a) \(\sqrt[3]{x^2}\) b) \(\sqrt{y^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt{z}}\) d) \(\sqrt[4]{64a^3}\)

- Versuche, die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen zur Basis 2 zu schreiben. - Wie hängen die Wurzelexponenten mit den Exponenten in der Potenzschreibweise zusammen? - Rechne die Werte der Ausdrücke Schritt für Schritt aus.

1. Term von Lukas umformen: \(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Ursprünglichen Term umformen: \(\sqrt[6]{64} = 64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 3. Vergleich: Da beide Terme den Wert \(2^1\) bzw. \(2\) ergeben, haben sowohl Lukas als auch Marie recht.

Beide haben recht. Es gilt \(\sqrt[6]{64} = 2\), \(\sqrt[3]{8} = 2\) und \(2^1 = 2\).

- Was bedeutet der Wurzelexponent für den Nenner eines Bruchs im Exponenten? - Wie kannst du Brüche im Exponenten genauso behandeln wie normale Brüche? - Gibt es eine Regel, wie man einen Bruch im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreibt?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten unter Verwendung von \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): a) \(\sqrt[12]{b^3} = b^{\frac{3}{12}}\) b) \(\sqrt[10]{z^{15}} = z^{\frac{15}{10}}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[6]{y^4}} = y^{-\frac{4}{6}}\) 2. Kürzen der Brüche in den Exponenten: a) \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) b) \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) c) \(-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\) 3. Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise: a) \(b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b}\) b) \(z^{\frac{3}{2}} = \sqrt{z^3}\) c) \(y^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

a) \(\sqrt[4]{b}\) b) \(\sqrt{z^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kann man eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

1. Umwandlung in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Berechnung für a): \(\sqrt[4]{20} = 20^{\frac{1}{4}} = 20^{0{,}25} \approx 2{,}115\). 3. Berechnung für b): \(\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\). 4. Berechnung für c): \(\frac{1}{\sqrt[5]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{5}}} = 10^{-\frac{1}{5}} = 10^{-0{,}2} \approx 0{,}631\). 5. Berechnung für d): \(\sqrt[3]{-27} = (-27)^{\frac{1}{3}} = -3\).

a) \(20^{\frac{1}{4}} \approx 2{,}115\) b) \(5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\) c) \(10^{-\frac{1}{5}} \approx 0{,}631\) d) \((-27)^{\frac{1}{3}} = -3\)

- Könntest du versuchen, alle Basen als Potenzen der Zahl 2 zu schreiben? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz?

1. Berechnung von \(A\): \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8\). 2. Berechnung von \(B\): \(\sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = ((2^3)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^2 = 4\). 3. Berechnung von \(C\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = (4^{-1})^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^{2 \cdot 1{,}5} = 2^3 = 8\). 4. Berechnung von \(D\): \(\sqrt{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 = 8\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Die Terme \(A\), \(C\) und \(D\) haben denselben Wert.

Die Werte sind: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Somit gilt: \(A = C = D\).

- Kannst du alle Terme so umschreiben, dass sie dieselbe Basis haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Wurzeln und Brüchen im Exponenten? - Wie kannst du eine Potenz, die selbst in einer Klammer steht, weiter vereinfachen?

1. Umwandlung aller Terme in Potenzen mit der Basis \(5\) und rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Für \(T_1\): \(\sqrt[4]{5^6} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 3. Für \(T_2\): \(\sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}\). 4. Für \(T_3\): Da \(25 = 5^2\), gilt \(25^{\frac{3}{4}} = (5^2)^{\frac{3}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{4}} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 5. Für \(T_4\): Da \(125 = 5^3\), gilt \(125^{\frac{1}{2}} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 6. Alle Terme lassen sich auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (bzw. \(5^{1{,}5}\)) bringen und sind somit wertgleich.

Durch Anwendung der Potenzgesetze lassen sich alle vier Terme auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (oder \(5^{1{,}5}\)) vereinfachen. Da die Basis und der Exponent jeweils identisch sind, besitzen die Terme denselben Wert.

- Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Kannst du einen Term in der Klammer einzeln potenzieren? - Achte darauf, Brüche bei der Addition oder Subtraktion auf den gleichen Nenner zu bringen.

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 3^1 = 3\) 2. Anwendung des Gesetzes \(a^m : a^n = a^{m-n}\) mit Hauptnenner \(6\): \(x^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}\) (oder \(\sqrt{x}\)) 3. Anwendung des Gesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(4^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot y^1 = 2y\) 4. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen und Addition der Exponenten: \(a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = a^1 = a\)

a) \(3\) b) \(x^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{x}\) c) \(2y\) d) \(a\)

- Wie lässt sich eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du die Basis 27 als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Umwandlung von Term \(A\): \(\sqrt[3]{27^2} = (27^2)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}\). Da \(27 = 3^3\), folgt \((3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\). 2. Umwandlung von Term \(B\): \((\sqrt[3]{27})^2 = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 27^{\frac{2}{3}} = 9\). 3. Vergleich \(A\) und \(B\): Beide Terme ergeben \(9\), sie sind äquivalent. 4. Umwandlung von Term \(C\): \(\sqrt[4]{x^{12}} = (x^{12})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). 5. Umwandlung von Term \(D\): \(x^2 \cdot \sqrt{x^2} = x^2 \cdot (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^2 \cdot x^1 = x^3\). 6. Vergleich \(C\) und \(D\): Beide Terme ergeben \(x^3\), sie sind äquivalent.

a) Ja, beide Terme sind äquivalent und haben den Wert \(9\). b) Ja, beide Terme sind äquivalent und lassen sich zu \(x^3\) vereinfachen.

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Kannst du den Bruch im Exponenten kürzen?

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[4]{x^6} = x^{\frac{6}{4}} = x^{\frac{3}{2}}\). 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes für die Multiplikation bei gleicher Basis: \(x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}\). 3. Addition der Exponenten: \(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Endergebnis: \(x^1 = x\).

\(x\)

- Setze zuerst die bekannte Zahl in die Formel ein und vereinfache den Ausdruck in der Klammer. - Wie lässt sich die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Erinnere dich: Eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Quadratwurzel.

1. Einsetzen des gegebenen Wertes \(O = 54\) in die Formel: \(V = \left(\frac{54}{6}\right)^{1{,}5}\). 2. Vereinfachen des Bruchs in der Klammer: \(V = 9^{1{,}5}\). 3. Umwandeln des dezimalen Exponenten in einen Bruch: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(V = 9^{\frac{3}{2}}\). 4. Anwendung der Definition rationaler Exponenten: \(V = (\sqrt{9})^3\) oder \(V = \sqrt{9^3}\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(\sqrt{9} = 3\), dann \(3^3 = 27\). 6. Das Volumen beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn du durch eine Potenz dividierst? - Achte darauf, alle Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes im Zähler bzw. in der Klammer: \(a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 3. Anwendung des zweiten Potenzgesetzes für die Division: \(a^{\frac{7}{6}} : a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6} - (-\frac{1}{2})}\) 4. Berechnung des Exponenten: \(\frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\) 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{3}}\)

\(a^{\frac{5}{3}}\)

- Kannst du die Potenz mit dem Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben? - Was ist der Kehrwert des Exponenten, um die Variable zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchtest? - Überprüfe dein Ergebnis aus Teil c) mit deiner Rechnung aus Teil a).

1. Einsetzen von \(V = 125\) in die Formel: \(m = 0{,}4 \cdot 125^{2/3}\). 2. Berechnung der Potenz: \(125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25\). 3. Multiplikation: \(m = 0{,}4 \cdot 25 = 10\). Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). 4. Umstellen der Formel nach \(V\): Zuerst Division durch \(0{,}4\) ergibt \(\frac{m}{0{,}4} = V^{2/3}\), was \(2{,}5m = V^{2/3}\) entspricht. 5. Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{3}{2}\): \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{(2{,}5m)^3}\). 6. Für \(m = 10\) ergibt sich \(V = (2{,}5 \cdot 10)^{3/2} = 25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125\). Das Volumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

a) Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). b) \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{15{,}625 \cdot m^3}\). c) Das Innenvolumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

- Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit drei um? - Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, wie kommst du auf die Maße seiner Seiten? - Überlege, wie sich die Seite verändert, wenn sich das gesamte Volumen verachtfacht.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) für \(V_1 = 216\,\text{dm}^3\): \(a = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a_2\) für \(V_2 = 1728\,\text{dm}^3\): \(a_2 = \sqrt[3]{1728} = 12\,\text{dm}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses der Kantenlängen: \(a_2 : a = 12 : 6 = 2\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da das Volumen um den Faktor \(8\) größer ist (\(1728 : 216 = 8\)), vergrößert sich die Kantenlänge um den Faktor \(\sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(6\,\text{dm}\) b) \(12\,\text{dm}\) c) Das Verhältnis ist \(2\). Da das Volumen achtmal so groß ist, ist die Kantenlänge \(\sqrt[3]{8} = 2\)-mal so groß.

- Welche Rolle spielt es, ob die Zahl oben an der Wurzel gerade oder ungerade ist? - Wann darf man eine Zahl nicht unter eine Wurzel schreiben? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den Bereich für \(x\) einzugrenzen? - Überlege dir bei der letzten Teilaufgabe, ob der Ausdruck unter der Wurzel jemals negativ werden kann.

1. Für Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten muss der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) größer oder gleich Null sein. 2. Bei \(f(x) = \sqrt[4]{5x - 20}\) gilt \(5x - 20 \ge 0\). Daraus folgt \(5x \ge 20\) und somit \(x \ge 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\). 3. Bei \(g(x) = \sqrt[5]{x + 12}\) ist der Wurzelexponent ungerade. Wurzeln mit ungeradem Exponenten sind für alle reellen Zahlen definiert. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 4. Bei \(h(x) = \sqrt[6]{18 - 3x}\) gilt \(18 - 3x \ge 0\) aufgrund des geraden Exponenten. Dies führt zu \(18 \ge 3x\) bzw. \(6 \ge x\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\). 5. Bei \(k(x) = \sqrt{x^2 + 9}\) muss \(x^2 + 9 \ge 0\) gelten. Da \(x^2\) für alle reellen Zahlen mindestens \(0\) ist, ist \(x^2 + 9\) immer mindestens \(9\). Die Bedingung ist für alle \(x\) erfüllt, also \(D = \mathbb{R}\).

1) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\) 2) \(D = \mathbb{R}\) 3) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\) 4) \(D = \mathbb{R}\)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie unter einer Wurzel denselben Wert behält? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Wurzelziehen? - Achte bei Teil b) genau auf den Wurzelexponenten. - Überlege bei Teil c), wie man Potenzen potenziert.

1. Umformung von \(3\sqrt{7}\): \(3\) wird als \(3^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}\). 2. Umformung von \(5\sqrt{3}\): \(5\) wird als \(5^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). 3. Vergleich a): Da \(75 > 63\), ist \(\sqrt{75} > \sqrt{63}\), also \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{7}\). 4. Umformung von \(2\sqrt[3]{5}\): \(2\) wird als \(2^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\). 5. Umformung von \(3\sqrt[3]{2}\): \(3\) wird als \(3^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}\). 6. Vergleich b): Da \(54 > 40\), ist \(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\), also \(3\sqrt[3]{2} > 2\sqrt[3]{5}\). 7. Umformung c): Der Faktor \(a^2\) wird als \((a^2)^2 = a^4\) unter die Quadratwurzel gezogen. Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer (\(\sqrt{75} > \sqrt{63}\)). b) \(3\sqrt[3]{2}\) ist größer (\(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\)). c) \(a^2 \sqrt{a} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot a} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

- Was musst du mit dem äußeren Teil machen, damit er unter die Wurzel passt? - Überlege, welcher Exponent zum jeweiligen Wurzelgrad passt. - Gibt es Rechenregeln für Brüche und Potenzen, die dir beim anschließenden Vereinfachen helfen? - Kannst du den neuen Ausdruck unter der Wurzel noch weiter zusammenfassen?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(4a\) mit dem Wurzelexponenten 2 potenzieren und unter die Quadratwurzel ziehen: \(\sqrt{(4a)^2 \cdot 3a} = \sqrt{16a^2 \cdot 3a}\). Zusammenfassen der Terme unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{48a^3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Den Bruch \(\frac{x}{y}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{y})^3 \cdot \frac{y^4}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^4}{x^2}}\). Durch Kürzen von \(x^2\) und \(y^3\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\sqrt[3]{x \cdot y}\). 3. Für Teilaufgabe c): Den Faktor \(b^2\) mit dem Wurzelexponenten 5 potenzieren: \(\sqrt[5]{(b^2)^5 \cdot \frac{2}{b^7}} = \sqrt[5]{\frac{b^{10} \cdot 2}{b^7}}\). Durch Anwenden der Potenzgesetze (\(b^{10} : b^7 = b^3\)) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\sqrt[5]{2b^3}\).

a) \(\sqrt{48a^3}\) b) \(\sqrt[3]{xy}\) c) \(\sqrt[5]{2b^3}\)

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable als Wurzel schreiben, die denselben Exponenten wie die vorliegende Wurzel hat? - Welche Rechenregel gilt für das Potenzieren einer Potenz, also \((x^a)^b\)? - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? - Überlege dir, wie du den Faktor vor der Wurzel „verpacken“ musst, damit er unter das Wurzelzeichen passt, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern.

1. Um den Faktor \(a^3\) unter die 5. Wurzel zu bringen, wird er mit dem Wurzelexponenten 5 potenziert: \(\sqrt[5]{(a^3)^5 \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{15} \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{17}}\). 2. Die Faktoren vor der \(n\)-ten Wurzel werden mit \(n\) potenziert und in den Radikanden multipliziert: \(\sqrt[n]{x^n \cdot (y^2)^n \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt[n]{x^n \cdot y^{2n} \cdot x^2 \cdot y}\). Durch Zusammenfassen der Potenzen mit gleicher Basis ergibt sich \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\). 3. Der Faktor \(b^k\) wird unter die 3. Wurzel gezogen: \(\sqrt[3]{(b^k)^3 \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k} \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k+1}}\).

1) \(\sqrt[5]{a^{17}}\) 2) \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\) 3) \(\sqrt[3]{b^{3k+1}}\)

- Kannst du den Wurzelexponenten und den Potenzexponenten durch eine gemeinsame Zahl teilen? - Was passiert, wenn du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibst? - Überlege dir für jeden Teil, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Basis unter der vereinfachten Wurzel ergibt.

1. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}\) zur Vereinfachung der Wurzelexponenten. 2. Für a): \(\sqrt[6]{125^2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 3. Für b): \(\sqrt[4]{2{,}25^2} = \sqrt{2{,}25}\). Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), ist das Ergebnis \(1{,}5\). 4. Für c): \(\sqrt[8]{16^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 5. Für d): \(\sqrt[6]{0{,}001^2} = \sqrt[3]{0{,}001}\). Da \(0{,}1^3 = 0{,}001\), ist das Ergebnis \(0{,}1\).

a) \(5\); b) \(1{,}5\); c) \(2\); d) \(0{,}1\)

- Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen (oder bei der dritten Wurzel Kubikzahlen) sind. - Du kannst die Wurzel eines Produkts als Produkt der einzelnen Wurzeln schreiben. - Denke daran, dass Potenzen mit geraden Exponenten wie \(x^4\) als Quadrate geschrieben werden können, zum Beispiel \((x^2)^2\).

1. Zerlegung des Radikanden in Quadratfaktoren: \(\sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^2}\). 2. Anwendung der Wurzelgesetze und teilweises Wurzelziehen: \(5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt{3x}\). 3. Zerlegung des Radikanden des zweiten Terms in Kubikfaktoren: \(\sqrt[3]{\frac{2^3 \cdot a^3 \cdot a}{3^3 \cdot b^3}}\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze für die dritte Wurzel: \(\frac{2a}{3b} \cdot \sqrt[3]{a}\).

1) \(5x^2 y \sqrt{3x}\) 2) \(\frac{2a}{3b} \sqrt[3]{a}\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Kubikzahl (wie 8, 27, 64, 125, ...) und einer weiteren Zahl schreiben? - Erinnerst du dich an die Regel, wie man eine Wurzel aus einem Produkt zieht? - Was musst du tun, um Terme mit derselben Wurzel zusammenfassen zu können?

1. Zerlegung der Radikanden in Faktoren, von denen einer eine möglichst große Kubikzahl ist: \(16 = 8 \cdot 2\), \(54 = 27 \cdot 2\), \(250 = 125 \cdot 2\) und \(128 = 64 \cdot 2\). 2. Teilweises Wurzelziehen unter Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\): - \(2\sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) 3. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(4\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2}\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \((4 + 3 - 5 + 4) \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}\).

\(6\sqrt[3]{2}\)

- Können Wurzeln mit demselben Index direkt zusammengefasst werden? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis kennst du? - Ist es hilfreich, Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?

1. Anwendung der Divisionsregel für Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten: \(\sqrt[4]{x^5 : x} = \sqrt[4]{x^4}\). Da \(x > 0\), ist das Ergebnis \(x\). 2. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Zurückschreiben in Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\). 3. Umwandlung in rationale Exponenten: \(\frac{y^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{4}}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Ergebnis als Wurzel: \(\sqrt[4]{y^5}\).

1) \(x\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt[4]{y^5}\)

- Kannst du eine Zahl oder Variable unter der Wurzel so zerlegen, dass ein Teil davon in beiden Summanden vorkommt? - Erinnere dich daran, dass man eine Variable ohne Wurzel auch als Quadrat einer Wurzel schreiben kann. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus zwei Wurzeln aufzuteilen? - Untersuche die Exponenten der Variablen, wenn du sie in der Potenzschreibweise betrachtest.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(\sqrt{5a}\) im ersten Ausdruck: \(\sqrt{15a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5a}\). Ausklammern ergibt \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\). 2. Umschreiben von \(b\) als \((\sqrt{b})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{b}\) führt zu \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\). 3. Zerlegung der Radikanden in Faktoren: \(\sqrt[3]{x \cdot x \cdot y} + \sqrt[3]{x \cdot y \cdot y}\). Anwendung der Wurzelgesetze liefert den gemeinsamen Faktor \(\sqrt[3]{xy}\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\).

1) \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\) 2) \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\) 3) \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Achte darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch kürzen oder vereinfachen?

1. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}\) und \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation: \(7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{5}{6}}\). Rückführung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[6]{7^5}\). 2. Umwandlung: \(x^{\frac{3}{4}} : x^{\frac{1}{8}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Division: \(x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{6}{8} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[8]{x^5}\). 3. Umwandlung: \(a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{1}{10}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(a^{\frac{1}{2}}\), was \(\sqrt{a}\) entspricht.

1) \(\sqrt[6]{7^5}\) (oder \(\sqrt[6]{16\,807}\)) 2) \(\sqrt[8]{x^5}\) 3) \(\sqrt{a}\)

- Welche Rolle spielen der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden beim Schreiben als Bruch? - Was bedeutet ein Minuszeichen in einem Exponenten für die Position des Terms (Zähler oder Nenner)? - Kannst du eine Summe in Klammern wie eine einzelne Variable behandeln?

1. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}\). 2. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) und Berücksichtigung des negativen Exponenten (\(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\)): \(a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\). 3. Umschreiben der Wurzel im Nenner als Potenz: \(\frac{1}{y^{\frac{1}{4}}}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten: \(y^{-\frac{1}{4}}\). 4. Interpretation der Summe als Basis und Anwendung der Definition: \((m+n)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(m+n)^3}\).

1) \(x^{\frac{3}{5}}\) 2) \(\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\) oder \(\sqrt[3]{a^{-2}}\) 3) \(y^{-\frac{1}{4}}\) 4) \(\sqrt[4]{(m+n)^3}\)

- Wie hängen der Wurzelexponent und der Nenner im Exponenten zusammen? - Kannst du die Dezimalzahl im Exponenten zuerst als Bruch schreiben? - Überlege bei der Berechnung, ob es einfacher ist, zuerst die Wurzel zu ziehen oder zuerst zu potenzieren. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten?

1. Umwandlung von a): Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\) ergibt \(\sqrt[5]{y^2} = y^{2/5}\) oder \(y^{0{,}4}\). 2. Berechnung von b): Umwandlung in \(\sqrt[3]{27^2}\) oder \((\sqrt[3]{27})^2\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^2 = 9\). 3. Umwandlung von c): Umschreiben des Dezimalbruchs \(0{,}75\) als \(\frac{3}{4}\). Anwendung der Definition für negative Exponenten \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und Umwandlung in eine Wurzel ergibt \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\).

a) \(y^{2/5}\) b) \(9\) c) \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\)

- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Gesetz wendest du an, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Überlege, was passiert, wenn der Wurzelexponent und der äußere Exponent gleich sind.

1. Wahr: Nach der Definition der \( n \)-ten Wurzel gilt \( (\sqrt[n]{a})^n = a \), also \( (\sqrt[5]{15})^5 = 15 \). 2. Wahr: Umformung in Potenzschreibweise ergibt \( (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \). 3. Falsch: Die Berechnung ergibt \( (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9 \). Die korrekte Aussage lautet \( (\sqrt[3]{3})^6 = 9 \). 4. Wahr: Umformung ergibt \( (5^8)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25 \).

1. Wahr 2. Wahr 3. Falsch (Korrektur: \( 9 \)) 4. Wahr

- Überlege dir, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Was passiert mit einem negativen Vorzeichen, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren von Produkten: Jeder Faktor in der Klammer muss potenziert werden.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Wurzeln \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) oder Umwandlung in rationale Exponenten \( (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} \). 2. Teil a): \( (\sqrt[6]{x^4})^3 = \sqrt[6]{x^{12}} = x^{\frac{12}{6}} = x^2 \). 3. Teil b): Der negative Koeffizient wird mit potenziert: \( (-2)^4 \cdot (\sqrt[4]{y^3})^4 = 16 \cdot y^3 = 16y^3 \). 4. Teil c): Potenzieren des Vorfaktors und der Wurzel: \( (0{,}5)^3 \cdot (\sqrt[3]{2a^2})^3 = 0{,}125 \cdot 2a^2 = 0{,}25a^2 \).

a) \( x^2 \) b) \( 16y^3 \) c) \( 0{,}25a^2 \)

- Welche Rolle spielt es für das Vorzeichen, ob ein Exponent gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich daran, wie sich eine \( n \)-te Wurzel und eine Potenz mit dem gleichen Exponenten \( n \) gegenseitig aufheben. - Kannst du den Wurzelausdruck zuerst in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreiben? - Wie verhält sich ein Koeffizient vor einer Wurzel, wenn der gesamte Ausdruck potenziert wird?

1. Bei \( (-\sqrt[4]{10})^4 \) ist der Exponent gerade, wodurch das Minuszeichen entfällt: \( (\sqrt[4]{10})^4 = 10 \). 2. Bei \( (-\sqrt[5]{3})^5 \) ist der Exponent ungerade, weshalb das Minuszeichen erhalten bleibt: \( -(\sqrt[5]{3})^5 = -3 \). 3. Für \( (-2\sqrt{x})^2 \) werden sowohl der Koeffizient als auch die Wurzel quadriert: \( (-2)^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x \). 4. Der Term \( (\sqrt[3]{y^2})^6 \) wird mithilfe von Potenzgesetzen umgeformt: \( (y^{\frac{2}{3}})^6 = y^{\frac{2 \cdot 6}{3}} = y^{\frac{12}{3}} = y^4 \).

a) \( 10 \) b) \( -3 \) c) \( 4x \) d) \( y^4 \)

- Denk an das Gesetz für das Potenzieren eines Produkts. - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Potenzen mit der gleichen Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v)^n = u^n \cdot v^n\): \((5a^2 \sqrt{a})^2 = 5^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (\sqrt{a})^2\). 2. Berechnung der Teilterme: \(25 \cdot a^4 \cdot a\). 3. Zusammenfassen der Potenzen: \(25 a^5\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \((b^3 \sqrt[3]{b})^2 = (b^3)^2 \cdot (\sqrt[3]{b})^2\). 5. Berechnung: \(b^6 \cdot b^{2/3}\). 6. Umwandlung in Wurzelschreibweise: \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\).

1) \(25a^5\) 2) \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\)

- Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Gibt es eine ähnliche Regel für die dritte Wurzel und die dritte Potenz? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer, bevor du die äußere Potenz betrachtest.

1. Anwendung der Identität \( (\sqrt[n]{a})^n = a \) für den ersten Ausdruck: \( 3{,}5 \cdot 4 + 11 = 14 + 11 = 25 \). 2. Anwendung der Identität auf den zweiten Ausdruck: \( 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \). 3. Anwendung der Identität auf den dritten Ausdruck unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs: \( x + \sqrt{x} \).

a) \( 25 \) b) \( 27 \) c) \( x + \sqrt{x} \)

- Denke an die Potenzgesetze für Produkte: Wie verhält sich die Potenz bei einem Produkt in der Klammer? - Wie verrechnet man Potenzen von Potenzen, wie zum Beispiel \( (k^2)^3 \)? - Kannst du Zähler und Nenner getrennt vereinfachen, bevor du teilst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den ersten Term: \( 3^2 \cdot (\sqrt{y+2})^2 = 9 \cdot (y+2) = 9y + 18 \). 2. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \( (k^2)^3 \cdot (\sqrt[3]{k})^3 = k^{2 \cdot 3} \cdot k = k^6 \cdot k = k^7 \). 3. Vereinfachung des Zählers und Nenners im dritten Term durch Aufheben von Wurzel und Potenz: \( \frac{50 - 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 \).

a) \( 9y + 18 \) b) \( k^7 \) c) \( 12 \)

- Kannst du die geschachtelten Wurzeln durch eine Multiplikation der Wurzelexponenten zusammenfassen? - Gibt es eine Möglichkeit, den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden zu kürzen, so wie man Brüche kürzt? - Was weißt du über die Quadratwurzel aus einer quadrierten Zahl?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[n \cdot m]{A}\): \(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\). 2. Zusammenfassen der Wurzelexponenten und Kürzen: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^2}} = \sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}\). 3. Multiplikation der Wurzelexponenten: \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{y^{10}}} = \sqrt[15]{y^{10}}\). Kürzen durch \(5\): \(\sqrt[3]{y^2}\).

a) \(2\) b) \(\sqrt[4]{x}\) c) \(\sqrt[3]{y^2}\)

- Kannst du die Wurzeln schrittweise von innen nach außen in Potenzen umschreiben? - Welche Rechenregel gilt für das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie wird eine Potenz potenziert, wenn man eine Wurzel als Exponenten schreibt? - Hilft es dir, Zahlen wie \(8\) zuerst als Potenz einer kleineren Zahl zu schreiben?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/4}}\). Addition der Exponenten in der Klammer: \(2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((a^{9/4})^{1/3} = a^{9/12} = a^{3/4}\). 2. Teilaufgabe b): Darstellung aller Faktoren zur Basis \(2\): \(\sqrt{2^3 \cdot 2^{1/3}}\). Addition der Exponenten: \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Anwendung der Quadratwurzel: \((2^{10/3})^{1/2} = 2^{5/3}\).

a) \(a^{3/4}\) b) \(2^{5/3}\)

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten umschreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf einen Bruch aus? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der Klammer zuerst vereinfachen, bevor du den äußeren Exponenten anwendest?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \((7^{\frac{1}{2}})^{-2}\). Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(7^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = 7^{-1}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{7}\). 2. Teilaufgabe b): Vereinfachung des inneren Terms ergibt \(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\). Die äußere Potenz liefert \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst wird die Kubikwurzel berechnet: \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\), da \((\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\). Anwendung des negativen Exponenten ergibt \((\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 16\).

a) \(\frac{1}{7}\) b) \(a\) c) \(16\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst? - Denke daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(a\)) immer den Exponenten 1 hat.

1. Teilaufgabe a): \(\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}\). Daher gilt \(x^3 : x^{\frac{2}{5}} = x^{3-\frac{2}{5}} = x^{\frac{15}{5}-\frac{2}{5}} = x^{\frac{13}{5}}\). 2. Teilaufgabe b): \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-1} = a^{-\frac{1}{6}}\).

a) \(x^{\frac{13}{5}}\) b) \(a^{-\frac{1}{6}}\)

- Kannst du den Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Wie kann man eine Zahl vor einer Wurzel in den Bereich unter der Wurzel bringen? - Mit welchem Ausdruck müsste man den Nenner multiplizieren, damit die Wurzel dort verschwindet? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen mit Brüchen im Exponenten.

1. Teilaufgabe a): Den Radikanden als Potenz schreiben: \(27 = 3^3\). Den Term als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken: \(\sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}}\). Den Exponenten kürzen: \(3^{\frac{1}{2}}\). Zurück in Wurzelschreibweise wandeln: \(\sqrt{3}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(5\) als dritte Wurzel schreiben: \(5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}\). Die Wurzeln multiplizieren: \(\sqrt[3]{125 \cdot \frac{2}{25}}\). Den Ausdruck unter der Wurzel berechnen: \(\sqrt[3]{5 \cdot 2} = \sqrt[3]{10}\). 3. Teilaufgabe c): Um den Nenner rational zu machen, wird der Bruch so erweitert, dass im Nenner ein Radikand entsteht, der eine perfekte Kubikzahl ist. Erweiterung mit \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}\). Da \(\sqrt[3]{8} = 2\), ergibt sich \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\).

a) \(\sqrt{3}\) b) \(\sqrt[3]{10}\) c) \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\)

- Hilft es dir, die Wurzeln als rationale Exponenten zu schreiben? - Wie verrechnet man Potenzen mit der gleichen Basis, wenn sie multipliziert werden? - Kannst du am Ende ganze Potenzen aus der Wurzel herausziehen?

1. Umwandlung der Wurzeln in rationale Potenzen: \(a^{4/3}b^{5/3} \cdot a^{4/6}b^{3/6}\) 2. Multiplikation der Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^{4/3 + 2/3} = a^2\) und \(b^{10/6 + 3/6} = b^{13/6}\) 3. Vereinfachung des b-Exponenten und Rückumwandlung in Wurzelform: \(b^{13/6} = b^{12/6} \cdot b^{1/6} = b^2 \sqrt[6]{b}\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(a^2 b^2 \sqrt[6]{b}\)

d) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[6]{b}\)

- Betrachte zuerst allgemein, wie sich eine Wurzel auf einen geraden Exponenten auswirkt. - Achte darauf, dass die positive Voraussetzung Vorzeichenprobleme vermeidet. - Vergleiche in den Teilaufgaben die Exponenten mit der allgemeinen Aussage. - Vereinfache erst die Potenzform und berechne Zahlenwerte erst danach.

1. Begründung: \(\sqrt{a^{4m}} = (a^{4m})^{1/2}\). Durch Multiplikation der Exponenten erhält man \(a^{4m \cdot \frac{1}{2}} = a^{2m}\). 2. Zu a): Hier ist die Basis \(a=3\) und der Exponent \(4m = 4\), also \(m=1\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 3^{2 \cdot 1} = 3^2 = 9\). 3. Zu b): Hier ist die Basis \(a=2\) und der Exponent \(4m = 12\), also \(m=3\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64\). 4. Zu c): Hier ist die Basis \(x\) und der Exponent \(4m = 16\), also \(m=4\). Das Ergebnis ist \(x^{2 \cdot 4} = x^8\).

Allgemein: \(\sqrt{a^{4m}} = a^{2m}\). a) \(\sqrt{3^4} = 9\) b) \(\sqrt{2^{12}} = 64\) c) \(\sqrt{x^{16}} = x^8\)

- Schreibe die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst? - Ein Exponentenvergleich ist möglich, wenn die Basen auf beiden Seiten identisch sind.

1. Zu a): Umformung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten ergibt \(x^{\frac{n}{2}} = x^7\). Durch Exponentenvergleich folgt \(\frac{n}{2} = 7\), also \(n = 14\). 2. Zu b): Darstellung von \(81\) als Potenz zur Basis \(3\) ergibt \(81 = 3^4\). Die Gleichung lautet \(3^{\frac{n}{2}} = 3^4\). Exponentenvergleich liefert \(\frac{n}{2} = 4\), also \(n = 8\). 3. Zu c): Anwendung der Regel für Wurzeln mit dem Wurzelexponenten \(k\), \(\sqrt[k]{x^m} = x^{\frac{m}{k}}\), ergibt \(x^{\frac{12}{3}} = x^4\). Somit ist \(n = 4\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der Wurzel mit dem ersten Potenzgesetz ergibt \(\sqrt{x^{4+n}} = x^{\frac{4+n}{2}}\). Gleichsetzen des Exponenten mit \(5\) führt zu \(\frac{4+n}{2} = 5\), woraus \(4+n = 10\) und somit \(n = 6\) folgt.

a) \(n = 14\) b) \(n = 8\) c) \(n = 4\) d) \(n = 6\)

- Wie kannst du die Wurzel oder die Potenz auf der linken Seite „rückgängig“ machen? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit demselben Exponenten potenzierst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x\) nicht mehr im Wurzelexponenten steht? - Versuche, die Zahl auf der rechten Seite als Potenz mit einer passenden Basis darzustellen.

1. Um \(x\) in \(\sqrt[4]{x} = 3\) zu isolieren, wird die Gleichung mit \(4\) potenziert: \(x = 3^4 = 81\). 2. Bei \(x^{\frac{3}{2}} = 64\) wird die Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenziert: \(x = 64^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16\). 3. Die Gleichung \(\sqrt[x]{243} = 3\) kann in \(3^x = 243\) umgeformt werden. Durch Probieren oder Primfaktorzerlegung (\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\)) ergibt sich \(x = 5\). 4. Um \(x\) in \(x^3 = \frac{27}{1000}\) zu finden, wird die dritte Wurzel gezogen: \(x = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(x = 81\) b) \(x = 16\) c) \(x = 5\) d) \(x = 0{,}3\)

- Schreibe alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Beachte die Bedingung \(a > 0\), die Vereinfachungen wie \(\sqrt{a^2} = a\) ermöglicht.

1. Term 1: \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Term 2: \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\). Multiplikation: \(a^{0{,}5} \cdot a^{1{,}5} = a^{0{,}5 + 1{,}5} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Term 3: Nach dem Potenzgesetz \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) gilt \((a^4)^{1/4} = a^{4 \cdot 1/4} = a^1 = a\). Dieser Term ist nicht äquivalent. 4. Term 4: Da \(a > 0\), ist \(\sqrt{a^2} = a\). Die Division ergibt \(\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. Zusammenfassend sind die Terme 1, 2 und 4 äquivalent zu \(a^2\).

Die Terme 1, 2 und 4 sind äquivalent zu \(a^2\). Term 3 hingegen entspricht \(a\).

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert oder dividiert werden? - Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben. - Gibt es eine Basis, die sowohl für die Zahl unter der Wurzel als auch für den Divisor passt?

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addition der Exponenten \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x^1 = x\). 2. Division von Wurzeln mit gleichem Index: Zusammenfassung unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{\frac{y^5}{y^2}} = \sqrt[3]{y^3} = y\). 3. Umrechnung in Potenzen: \(\sqrt[4]{(3^4)^3} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27\). Division durch \(3^2 = 9\) ergibt \(27 : 9 = 3\).

a) \(x\) b) \(y\) c) \(3\)

- Berechne für jeden Term den exakten Zahlenwert, um sie vergleichen zu können. - Wandle alle Potenzen mit rationalen Exponenten in die entsprechende Wurzelschreibweise um. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten und wie es die Basis beeinflusst.

1. Berechnung von \(A\): \(16^{0{,}25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-0{,}5} = 9^{0{,}5} = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Berechnung von \(D\): \(25^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\). Daraus folgt die Reihenfolge \(D < A < B < C\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist: \(D < A < B < C\) (entspricht \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\)).

- Wandle zuerst alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Denk daran, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du den Bruch im Exponenten am Ende noch kürzen?

1. Umwandlung in Potenzen: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\), \(\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{5}{12}}\). 2. Zähler zusammenfassen mit \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\): \(a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{12} + \frac{3}{12}} = a^{\frac{11}{12}}\). 3. Division durch Nenner mit \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\): \(a^{\frac{11}{12} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{6}{12}}\). 4. Exponenten kürzen: \(a^{\frac{1}{2}}\). 5. Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\).

Potenzschreibweise: \(a^{\frac{1}{2}}\) Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\)

- Wandle alle Wurzeln in eine einheitliche Schreibweise mit Exponenten um. - Wenn die Basis gleich ist, worauf musst du dann schauen, um die Gleichheit zu prüfen? - Erinnere dich an die Bedeutung von negativen Exponenten.

1. Umformung beider Seiten in Potenzen: a) Linke Seite: \(\sqrt[6]{x^9} = x^{\frac{9}{6}} = x^{\frac{3}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr. b) Linke Seite: \(\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(\frac{1}{2} \neq \frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch. c) Linke Seite: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[6]{x^{-2}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Welche Zahl bietet sich hier als gemeinsame Basis an? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl wie 0,5 als Potenz? - Wenn die Basis größer als 1 ist, wie hängen dann die Größe der Potenz und der Exponent zusammen? - Kannst du eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten umwandeln?

1. Umformung von \(T_1\): \(\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{0{,}5}\). 2. Umformung von \(T_2\): \(0{,}5^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1\). 3. Umformung von \(T_3\): \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0{,}5}} = 2^{-0{,}5}\). 4. Umformung von \(T_4\): \(4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 2^{0{,}67}\). 5. Vergleich der Exponenten bei gleicher Basis 2: \(-0{,}5 < 0{,}5 < \frac{2}{3} < 1\). 6. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\).

Die richtige Reihenfolge ist: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\). In der Form \(2^n\) lauten die Terme: \(T_3 = 2^{-0{,}5}\), \(T_1 = 2^{0{,}5}\), \(T_4 = 2^{\frac{2}{3}}\), \(T_2 = 2^1\).

- Kannst du alle Teile des Ausdrucks zuerst in Potenzen mit der Basis \(x\) umschreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten bei einer Division? - Wie rechnet man mit Brüchen im Exponenten? Denke an den gemeinsamen Nenner.

1. Umschreiben der Wurzeln als Potenzen: \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze im Zähler (Multiplikation bei gleicher Basis): \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}\). 3. Anwendung der Potenzgesetze für den Bruch (Division bei gleicher Basis): \(\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^1} = x^{\frac{7}{6} - 1} = x^{\frac{1}{6}}\). 4. Überprüfung mit \(x = 64\): Ursprünglicher Term: \(\frac{\sqrt[3]{64^2} \cdot \sqrt{64}}{64} = \frac{\sqrt[3]{4096} \cdot 8}{64} = \frac{16 \cdot 8}{64} = \frac{128}{64} = 2\). Vereinfachtes Ergebnis: \(64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 5. Die Ergebnisse stimmen überein.

Der vereinfachte Term lautet \(x^{\frac{1}{6}}\). Die Überprüfung für \(x = 64\) ergibt in beiden Fällen den Wert \(2\).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Erinnere dich daran, wie man einen Bruchstrich durch einen negativen Exponenten ersetzen kann. - Wenn die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Gleichung zur Basis \(2\). Es gilt \(8 = 2^3\) und \(\sqrt[x]{2^{15}} = 2^{\frac{15}{x}}\). Gleichsetzen der Exponenten: \(\frac{15}{x} = 3\), woraus \(x = 5\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Potenzgesetze für Division und Wurzeln. \(\frac{7^{\frac{5}{3}}}{7^k} = 7^{\frac{2}{3}}\) führt zu \(7^{\frac{5}{3} - k} = 7^{\frac{2}{3}}\). Exponentenvergleich: \(\frac{5}{3} - k = \frac{2}{3}\), also \(k = \frac{3}{3} = 1\). 3. Teilaufgabe c): Umschreiben der rechten Seite zur Basis \(10\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{100}} = \frac{1}{(10^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{2}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(k = -0{,}5\).

a) \(x = 5\) b) \(k = 1\) c) \(k = -0{,}5\) (oder \(k = -\frac{1}{2}\))

- Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise um, um sie besser verrechnen zu können. - Überlege, welche Zahl hoch drei \(27\) ergibt. - Was ist der Wert einer Potenz, wenn der Exponent null ergibt?

1. Anwendung des Gesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(z^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = z^{-1} = \frac{1}{z}\) 2. Umwandlung aller Wurzeln in Potenzen mit der Basis \(x\): \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{5}{6}}\). Addition der Exponenten mit Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = 0\). Ergebnis: \(x^0 = 1\) 3. Potenzieren der einzelnen Faktoren in der Klammer: \(27^{\frac{1}{3}} \cdot (a^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 3a^2\)

a) \(z^{-1}\) oder \(\frac{1}{z}\) b) \(1\) c) \(3a^2\)

- Beginne damit, den Ausdruck von innen nach außen zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(a\) dasselbe ist wie \(a^1\). - Wie verrechnet man eine Potenz, die nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\). 2. Vereinfachung des Terms unter der äußeren Wurzel: \(a \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{1 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}\). 3. Anwendung der äußeren Wurzel auf das Zwischenergebnis: \(\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}} = (a^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen (Multiplikation der Exponenten): \(\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}\). 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{9}}\).

\(a^{\frac{5}{9}}\)

- Welche Variable kommt in beiden Grundformeln vor? - Wie kannst du eine der Formeln so umstellen, dass du diese gemeinsame Variable ersetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Auflösen der Oberflächenformel \(O = 6a^2\) nach der Kantenlänge \(a\): \(a^2 = \frac{O}{6} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{O}{6}}\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(a\) in die Volumenformel \(V = a^3\): \(V = \left(\sqrt{\frac{O}{6}}\right)^3\). 3. Umwandeln der Wurzel in die Potenzschreibweise: \(\sqrt{\frac{O}{6}} = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\). 4. Anwenden der Potenzgesetze \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\): \(V = \left(\left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). 5. Vergleich mit der Zielformel ergibt \(k = 6\) und \(n = \frac{3}{2}\) (oder \(n = 1{,}5\)).

Die hergeleitete Formel lautet \(V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\) (oder \(V = \sqrt{\left(\frac{O}{6}\right)^3}\)).

- Probiere einfache Zahlenbeispiele aus, um ein Gefühl für die Aussagen zu bekommen. - Was passiert, wenn die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist? - Überlege dir, wie sich der Wert einer Potenz verändert, wenn der Exponent verändert wird. - Denke an die Bedeutung von Exponenten wie \(0{,}5\).

1. Analyse zu a): Die Aussage behauptet \(a^{2n} = 2 \cdot a^n\). Dies ist im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 3\) und \(n = 1\). Dann ist \(3^1 = 3\). Verdoppelt man den Exponenten auf \(n = 2\), erhält man \(3^2 = 9\). Da \(9 \neq 2 \cdot 3 = 6\), ist die Aussage widerlegt. 2. Analyse zu b): Die Aussage behauptet \(a^x < a\) für \(0 < x < 1\). Dies ist nur für Basen \(a > 1\) wahr. Für Basen zwischen 0 und 1 ist die Aussage falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 0{,}25\) und \(x = 0{,}5\). Es gilt \(0{,}25^{0{,}5} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\), ist das Ergebnis größer als die Basis, womit die Aussage widerlegt ist.

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(3^1 = 3\), aber \(3^{2 \cdot 1} = 9\). Der Wert hat sich verdreifacht, nicht verdoppelt. b) Falsch. Dies gilt nur für \(a > 1\). Gegenbeispiel: \(0{,}25^{0{,}5} = 0{,}5\). Hier ist das Ergebnis \(0{,}5\) größer als die Basis \(0{,}25\).

- Erinnere dich daran, dass \(x^0 = 1\) gilt (für \(x \neq 0\)). - Wie addiert man Brüche im Exponenten? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Variablen im Bruch?

1. Anwendung des Distributivgesetzes und Addition der Exponenten bei gleicher Basis. 2. Teilaufgabe a): \(x^{-3} \cdot x^5 - x^{-3} \cdot 2x^3 + x^{-3} \cdot 4x^2 = x^2 - 2x^0 + 4x^{-1} = x^2 - 2 + 4x^{-1}\). 3. Teilaufgabe b): \(z^{\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{3}{2}} - z^{\frac{1}{2}} \cdot 5z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{4}{2}} - 5z^0 = z^2 - 5\). 4. Teilaufgabe c): \(2a^2b^{-2} \cdot ab^2 - 2a^2b^{-2} \cdot 3b^3 = 2a^3b^0 - 6a^2b^1 = 2a^3 - 6a^2b\).

a) \(x^2 - 2 + 4x^{-1}\) (oder \(x^2 - 2 + \frac{4}{x}\)) b) \(z^2 - 5\) c) \(2a^3 - 6a^2b\)

- Wie lassen sich Dezimalzahlen im Exponenten als Brüche schreiben? - Welche Regeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Könnte es helfen, alle Wurzeln einheitlich als Potenzen mit rationalen Exponenten darzustellen?

1. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen echten Bruch: \(1{,}25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\). Somit gilt \(x^{1{,}25} = x^{5/4} = \sqrt[4]{x^5}\). 2. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(a^{2/3} \cdot a^{1/3}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(a^{2/3 + 1/3} = a^1 = a\). 3. Umwandlung des Exponenten: \(-0{,}25 = -\frac{1}{4}\). Berechnung: \(16^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Umwandlung beider Terme in Potenzen: \(\frac{z^{3/2}}{z^{2/4}} = \frac{z^{1{,}5}}{z^{0{,}5}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(z^{1{,}5 - 0{,}5} = z^1 = z\).

a) \(\sqrt[4]{x^5}\) b) \(a\) c) \(0{,}5\) d) \(z\)

- Versuche zuerst, das Produkt unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen. - Kannst du die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleineren Zahl (z. B. 2) schreiben? - Wann ist eine Potenz wie \(2^x\) eine ganze Zahl, wenn \(x\) ein Bruch ist? - Welche Zahlen teilen die Zahl im Zähler des Exponenten ohne Rest?

1. Zusammenfassen der beiden Faktoren zu einer Wurzel mithilfe des Produktgesetzes: \(\sqrt[n]{128 \cdot 8} = \sqrt[n]{1024}\). 2. Darstellung des Radikanden als Potenz zur Basis 2: \(1024 = 2^{10}\), woraus der Term \(\sqrt[n]{2^{10}}\) resultiert. 3. Umwandlung in die Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten: \(2^{\frac{10}{n}}\). 4. Bestimmung der Bedingung für Ganzzahligkeit: Der Exponent \(\frac{10}{n}\) muss eine natürliche Zahl sein, was bedeutet, dass \(n\) ein Teiler von 10 sein muss. 5. Auflistung der Teiler von 10, die größer als 1 sind: \(n \in \{2, 5, 10\}\).

\(n \in \{2, 5, 10\}\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch darstellen? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn ein Produkt in der Klammer steht und potenziert wird? - Wenn du eine Gleichung nach einer Basis auflösen willst, mit welchem Exponenten musst du beide Seiten potenzieren?

1. Einsetzen von \(x = 16\): \(y = 3 \cdot 16^{0{,}75} = 3 \cdot 16^{3/4}\). 2. Berechnung der Potenz: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). 3. Ergebnis für a): \(y = 3 \cdot 8 = 24\). 4. Umformen nach \(x\): Division durch 3 liefert \(\frac{y}{3} = x^{3/4}\). 5. Potenzieren mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\). 6. Untersuchung der Änderung: Ersetzt man \(x\) durch \(81x\), folgt \(y_{neu} = 3 \cdot (81x)^{3/4} = 3 \cdot 81^{3/4} \cdot x^{3/4}\). 7. Da \(81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27\), gilt \(y_{neu} = 27 \cdot (3 \cdot x^{3/4}) = 27y\). Der Wert vergrößert sich um den Faktor 27.

a) \(y = 24\) b) \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\) c) Der Wert von \(y\) vergrößert sich um den Faktor 27, da \((81 \cdot x)^{3/4} = 81^{3/4} \cdot x^{3/4} = 27 \cdot x^{3/4}\).

- Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise mit Brüchen um. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzel in eine Potenz \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\). Anwendung des Gesetzes \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\): \(x^{0{,}5} \cdot x^2 = x^{2{,}5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung \(\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{y^m}{y^n} = y^{m-n}\): \(y^{\frac{2}{3}} : y^1 = y^{\frac{2}{3} - 1} = y^{-\frac{1}{3}}\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen in der Klammer \(a^{0{,}5} \cdot a^{0{,}25} = a^{0{,}75}\). Potenzieren einer Potenz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^{0{,}75})^2 = a^{1{,}5}\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung des Nenners \(\sqrt{z^3} = (z^3)^{0{,}5} = z^{1{,}5}\). Der Bruch ergibt \(\frac{z^{1{,}5}}{z^{1{,}5}} = 1\), was als Potenz \(z^0\) geschrieben werden kann.

a) \(x^{2{,}5}\) b) \(y^{-\frac{1}{3}}\) c) \(a^{1{,}5}\) d) \(z^0\) oder \(1\)

- Kannst du die Quadratwurzel aus einem Produkt ziehen, indem du die Exponenten der Faktoren betrachtest? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Seitenlänge der Grundfläche bekannt ist? - Erinnere dich an das Gesetz zur Potenzierung von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Berechnung der Seitenlänge \(s\) durch Wurzelziehen: \(s = \sqrt{2^8 \cdot 5^2} = (2^8 \cdot 5^2)^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze: \(s = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) des Würfels: \(V = s^3 = 80^3 = 512\,000\,\text{m}^3\). 4. Darstellung als Potenzprodukt: \(V = (2^4 \cdot 5)^3 = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{1 \cdot 3} = 2^{12} \cdot 5^3\).

a) \(s = 80\,\text{m}\) b) \(V = 512\,000\,\text{m}^3\) c) \(V = 2^{12} \cdot 5^3\)

- Überlege dir, welche Zahlen man in eine vierte Wurzel einsetzen darf und welche in eine dritte Wurzel. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie hoch 3 oder hoch 4 nimmt? - Bei Teilaufgabe c) hilft es, den Ausdruck unter der Wurzel durch eine andere Variable zu ersetzen. - Welche Zahlen ergeben denselben Wert, egal ob man die dritte oder die vierte Wurzel zieht?

1. Untersuchung von \(f(x)\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade. Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\). Also \(D_f = [3; \infty[\). 2. Untersuchung von \(g(x)\): Der Wurzelexponent \(3\) ist ungerade. Eine ungerade Wurzel ist für alle reellen Zahlen definiert, auch für negative Radikanden. Also \(D_g = \mathbb{R}\). 3. Vergleich: Der Unterschied liegt darin, dass Potenzen mit geraden Exponenten niemals negativ sind (im Reellen), weshalb die Umkehrung (die Wurzel) nur für nicht-negative Werte definiert ist. Ungerade Potenzen hingegen erhalten das Vorzeichen, weshalb ihre Umkehrung für alle Werte existiert. 4. Gleichung lösen: \(\sqrt[4]{x - 3} = \sqrt[3]{x - 3}\). Zuerst muss \(x\) im Definitionsbereich beider Funktionen liegen, also \(x \ge 3\). 5. Setze \(u = x - 3\). Die Gleichung lautet \(\sqrt[4]{u} = \sqrt[3]{u}\) bzw. \(u^{\frac{1}{4}} = u^{\frac{1}{3}}\). 6. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die Basis \(0\) oder \(1\) ist. 7. Fall 1: \(u = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{0} = 0\) und \(\sqrt[3]{0} = 0\). 8. Fall 2: \(u = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{1} = 1\) und \(\sqrt[3]{1} = 1\). 9. Für andere Werte \(u > 0\) und \(u \neq 1\) sind die Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten niemals gleich.

a) \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\); \(D_g = \mathbb{R}\). b) Bei geraden Wurzelexponenten muss der Radikand \(\ge 0\) sein; bei ungeraden darf er beliebig sein. c) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\).

- Was passiert mit einem Faktor, wenn er unter eine Wurzel mit dem Exponenten \(n\) gezogen wird? - Denk an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\). - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Quadratwurzel immer? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Umformung a): Der Faktor \(x\) wird mit dem Wurzelexponenten \(4\) potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}\). Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(\sqrt[4]{x^{4+3}} = \sqrt[4]{x^7}\). 2. Überprüfung b): Der Faktor \(2y^2\) muss mit dem Exponenten \(3\) potenziert werden: \((2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3 = 8y^6\). 3. Multiplikation unter der Wurzel: \(8y^6 \cdot 3y = 24y^7\). Die Behauptung \(\sqrt[3]{6y^7}\) ist falsch, da der Faktor \(2\) nicht korrekt potenziert wurde. Richtig ist \(\sqrt[3]{24y^7}\). 4. Erklärung c): Für \(a<0\) und \(b>0\) ist \(a\sqrt{b}<0\), während \(\sqrt{a^2b}>0\) ist. Für \(b=0\) sind zwar beide Seiten gleich \(0\); für negative \(a\) gilt die Regel daher dennoch nicht allgemein.

a) \(\sqrt[4]{x^7}\) b) Die Behauptung ist falsch. Korrekt ist: \(2y^2 \cdot \sqrt[3]{3y} = \sqrt[3]{(2y^2)^3 \cdot 3y} = \sqrt[3]{8y^6 \cdot 3y} = \sqrt[3]{24y^7}\). c) Für \(a < 0\) und \(b>0\) ist die linke Seite \(a\sqrt{b}\) negativ, die rechte Seite \(\sqrt{a^2b}\) jedoch positiv. Deshalb gilt die Regel für negative \(a\) nicht allgemein.

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreibt. - Kannst du die Brüche in den Exponenten der drei Terme kürzen? - Was fällt dir auf, wenn du die gekürzten Brüche miteinander vergleichst?

1. Umwandlung der Wurzelterme in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}\). 2. Term A: \(y^{\frac{3}{6}} = y^{\frac{1}{2}}\). 3. Term B: \(y^{\frac{2}{4}} = y^{\frac{1}{2}}\). 4. Term C: \(y^{\frac{5}{10}} = y^{\frac{1}{2}}\). 5. Da alle drei Terme nach dem Kürzen der Brüche im Exponenten den gleichen Exponenten \(\frac{1}{2}\) besitzen, sind sie für alle \(y \ge 0\) äquivalent. 6. Die einfachste Form ist \(y^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{y}\).

Alle Terme sind äquivalent zu \(y^{\frac{1}{2}}\) bzw. \(\sqrt{y}\), da sich die rationalen Exponenten \(\frac{3}{6}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{5}{10}\) alle auf \(\frac{1}{2}\) kürzen lassen.

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel als eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten schreiben? - Was passiert mit dem Exponenten eines Terms, wenn du ihn unter eine Wurzel ziehst? - Kannst du im Radikanden der zweiten Aufgabe eine binomische Formel erkennen? - Versuche, die Brüche unter der Wurzel erst zusammenzufassen oder direkt mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2x^2\) als Quadratwurzel schreiben: \(2x^2 = \sqrt{(2x^2)^2} = \sqrt{4x^4}\). Den Faktor unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{4x^4 \cdot \left(\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{2x^4}\right)}\). Ausmultiplizieren: \(\sqrt{\frac{4x^4}{4x^3} + \frac{12x^4}{2x^4}} = \sqrt{x + 6}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{a-b}{a}\) als Kubikwurzel schreiben: \(\sqrt[3]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^3}\). Unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3}{a^3} \cdot \frac{a^4}{a^2 - 2ab + b^2}}\). Den Nenner des zweiten Bruchs als Binom schreiben: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Einsetzen und kürzen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3 \cdot a^4}{a^3 \cdot (a-b)^2}} = \sqrt[3]{(a-b) \cdot a} = \sqrt[3]{a(a-b)}\).

a) \(\sqrt{x+6}\) b) \(\sqrt[3]{a(a-b)}\)

- Kannst du Terme im Nenner des Radikanden faktorisieren, zum Beispiel mit binomischen Formeln? - Achte beim Einbringen von Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Wurzelexponenten zu potenzieren. - Manchmal lässt sich eine Wurzel mit einem höheren Exponenten (wie der vierten Wurzel) nach dem Kürzen in eine einfachere Quadratwurzel umwandeln.

1. In Teilaufgabe a) den Term \((x+y)\) quadrieren und unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner (\(x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\)) und anschließendes Kürzen ergibt sich \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\). 2. In Teilaufgabe b) den Bruch \(\frac{a^2}{b}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{\frac{(a^2)^3}{b^3} \cdot \frac{b^4}{a^5}} = \sqrt[3]{\frac{a^6 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^5}}\). Durch Kürzen der Potenzen erhält man \(\sqrt[3]{ab}\). 3. In Teilaufgabe c) den Term \((m-5)\) mit 4 potenzieren und unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{m^2-10m+25}}\). Den Nenner mithilfe der zweiten binomischen Formel als \((m-5)^2\) umschreiben: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{(m-5)^2}} = \sqrt[4]{(m-5)^2}\). Durch Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) vereinfacht sich dies zu \((m-5)^{\frac{2}{4}} = (m-5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m-5}\).

a) \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\) b) \(\sqrt[3]{ab}\) c) \(\sqrt{m-5}\)

- Mit welchem Exponenten musst du eine Variable potenzieren, um sie unter eine \(n\)-te Wurzel zu schreiben? - Welche Gesetze für das Rechnen mit Potenzen kannst du anwenden, wenn Variablen im Zähler und Nenner stehen? - Was passiert mit den Exponenten bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis?

1. Umwandlung von \(x\) in \(\sqrt{x^2}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{x^2 \cdot \frac{3}{x}}\); Kürzen durch \(x\) liefert das Ergebnis \(\sqrt{3x}\). 2. Umwandlung von \(a\) in \(\sqrt[3]{a^3}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[3]{a^3 \cdot \frac{b}{a^2}}\); Kürzen durch \(a^2\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{ab}\). 3. Umwandlung von \(y^2\) in \(\sqrt[4]{(y^2)^4} = \sqrt[4]{y^8}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[4]{y^8 \cdot \frac{1}{y^7}}\); Kürzen durch \(y^7\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[4]{y}\).

a) \(\sqrt{3x}\); b) \(\sqrt[3]{ab}\); c) \(\sqrt[4]{y}\)

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel so umschreiben, dass er als Wurzel mit demselben Exponenten erscheint? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie unter die Wurzel ziehst oder kürzt? - Gibt es unter der Wurzel Quadrat- oder Kubikzahlen, die du teilweise radizieren kannst?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(b^2\) unter die Quadratwurzel ziehen, indem er quadriert wird: \(\sqrt{(b^2)^2 \cdot \frac{18}{b^3}} = \sqrt{b^4 \cdot \frac{18}{b^3}}\). 2. Den Bruch unter der Wurzel kürzen: \(\sqrt{18b}\). 3. Teilweise radizieren durch Zerlegung von \(18\) in \(9 \cdot 2\): \(\sqrt{9 \cdot 2b} = 3\sqrt{2b}\). 4. Für Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{3}\) unter die Kubikwurzel ziehen, indem er mit der dritten Potenz potenziert wird: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{3})^3 \cdot \frac{54}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot \frac{54}{x^2}}\). 5. Den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen: \(\frac{54}{27} = 2\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). 6. Ergebnis für b): \(\sqrt[3]{2x}\).

a) \(3\sqrt{2b}\) b) \(\sqrt[3]{2x}\)

- Welche Potenz erhält ein Faktor, wenn man ihn unter eine Kubikwurzel (3. Wurzel) zieht? - Denke daran, den Faktor mit jedem Teil des Ausdrucks unter der Wurzel zu multiplizieren (Distributivgesetz). - Kannst du Brüche innerhalb der Wurzel kürzen, nachdem du den Faktor hineingezogen hast?

1. Den Faktor \(2x\) als \((2x)^3 = 8x^3\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(8x^3 \cdot (1 + \frac{1}{8x^3}) = 8x^3 + \frac{8x^3}{8x^3} = 8x^3 + 1\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\). 2. Den Faktor \(\frac{a}{b}\) als \((\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(\frac{a^3}{b^3} \cdot (\frac{b^3}{a^2} - \frac{b^4}{a^3}) = \frac{a^3 \cdot b^3}{b^3 \cdot a^2} - \frac{a^3 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^3} = a - b\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{a - b}\).

1) \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\) 2) \(\sqrt[3]{a - b}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren aufteilen, bei denen der Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist? - Überlege, wie man Potenzen aus einer Wurzel zieht, wenn der Exponent und der Wurzelexponent gleich sind. - Welche Teile des Terms vor der Wurzel lassen sich mit den Faktoren aus der Wurzel kürzen?

1. Den Radikanden unter der Wurzel in Faktoren zerlegen, die Potenzen von \(k\) sind: \(\sqrt[k]{x^k \cdot x^3 \cdot (y^2)^k}\) 2. Die Faktoren \(x^k\) und \((y^2)^k\) teilweise aus der Wurzel ziehen: \(x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 3. Den gesamten Ausdruck mit dem Vorfaktor multiplizieren: \(\frac{2}{x \cdot y^2} \cdot x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 4. Die Variablen \(x\) und \(y^2\) kürzen: \(2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\)

\(2 \sqrt[k]{x^3}\) (oder \(2 x^{\frac{3}{k}}\))

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable so umschreiben, dass sie als \(n\)-te Wurzel dargestellt wird? - Welches Wurzelgesetz erlaubt es dir, ein Produkt zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenzufassen? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Den Faktor \(a^2\) als \(n\)-te Wurzel ausdrücken: \(a^2 = \sqrt[n]{(a^2)^n} = \sqrt[n]{a^{2n}}\) 2. Die Faktoren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot \frac{b}{a^{2n-1}}}\) 3. Den Bruch unter der Wurzel durch Anwendung der Potenzgesetze \(\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}\) kürzen: \(a^{2n - (2n-1)} = a^1 = a\) 4. Endergebnis notieren: \(\sqrt[n]{a \cdot b}\)

\(\sqrt[n]{ab}\)

- Wann nennt man zwei Wurzelterme gleichartig? - Versuche, die Radikanden so zu zerlegen, dass du Potenzen erhältst, deren Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist. - Kannst du Brüche unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine vollständige Potenz des Wurzelexponenten wird?

1. Teilaufgabe a: \(\sqrt[3]{x^3 \cdot x \cdot y^3 \cdot y^2} = xy \sqrt[3]{xy^2}\). 2. Der zweite Term wird zu \(\sqrt[3]{x \cdot y^6 \cdot y^2} = y^2 \sqrt[3]{xy^2}\). Beide Terme besitzen denselben Wurzelrest und sind gleichartig. 3. Teilaufgabe b: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^3 \cdot b} = a^2 \sqrt[n]{a^3b}\). 4. Beim zweiten Term wird der Bruch unter der Wurzel mit \(b\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{a^2b}{b^n}} = \frac{1}{b}\sqrt[n]{a^2b}\). 5. Die Wurzelreste \(\sqrt[n]{a^3b}\) und \(\sqrt[n]{a^2b}\) sind verschieden; die Terme sind nicht gleichartig.

a) Die Wurzelterme sind gleichartig. b) Die Wurzelterme sind nicht gleichartig.

- Wie kannst du einen Faktor vor einer Wurzel in den Radikanden (das Innere der Wurzel) verschieben? - Suche nach Quadratzahlen oder hohen Potenzen, die du innerhalb einer Summe ausklammern kannst. - Kannst du eine große Zahl im Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Überlege, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann und ob man diesen Bruch kürzen kann.

1. In Aufgabenteil a) wird der Faktor \(2y\) unter die vierte Wurzel gezogen, indem er mit dem Exponenten 4 potenziert wird: \(\sqrt[4]{(2y)^4 \cdot \frac{3}{8y^3}} = \sqrt[4]{16y^4 \cdot \frac{3}{8y^3}}\). Durch Kürzen von \(16\) gegen \(8\) und \(y^4\) gegen \(y^3\) ergibt sich im Radikanden \(2y \cdot 3 = 6y\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[4]{6y}\). 2. In Aufgabenteil b) wird unter der Wurzel der gemeinsame Faktor \(9a^4\) ausgeklammert: \(\sqrt{9a^4 \cdot (2a + 3)}\). Durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{9}=3\) und \(\sqrt{a^4}=a^2\)) erhält man \(3a^2 \cdot \sqrt{2a + 3}\). 3. In Aufgabenteil c) wird die Basis \(64\) als \(2^6\) geschrieben, sodass der Ausdruck zu \(\sqrt[6]{2^6 \cdot x^2}\) wird. Die Wurzel kann auf die Faktoren aufgeteilt werden: \(\sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{x^2} = 2 \cdot \sqrt[6]{x^2}\). Durch Kürzen des Wurzelexponenten mit dem Potenzexponenten (\(x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}\)) ergibt sich \(2 \cdot \sqrt[3]{x}\).

a) \(\sqrt[4]{6y}\) b) \(3a^2 \sqrt{2a+3}\) c) \(2\sqrt[3]{x}\)

- Kannst du die Potenzen unter der Wurzel so umschreiben, dass die Exponenten Vielfache des Wurzelexponenten sind? - Welche Rechenregel erlaubt es dir, ein Produkt unter einer Wurzel aufzuteilen? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Denk daran, dass \(\sqrt[n]{a^n} = a\) für positive \(a\) gilt.

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren mit Exponenten, die Vielfache von \(n\) sind: \(\sqrt[n]{x^{3n} \cdot y^n \cdot y^2}\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\). 2. Aufspalten der Potenzen im Radikanden: \(\sqrt[k]{a^{2k} \cdot a \cdot b^{k-1}}\). Herausziehen des Faktors \(a^2\) führt zu \(a^2 \sqrt[k]{a \cdot b^{k-1}}\). 3. Trennung von Zähler und Nenner: \(\frac{\sqrt[n]{p^n \cdot p^3}}{\sqrt[n]{(q^2)^n}}\). Vereinfachung der Wurzeln ergibt \(\frac{p \sqrt[n]{p^3}}{q^2}\).

1) \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\) 2) \(a^2 \sqrt[k]{a b^{k-1}}\) 3) \(\frac{p}{q^2} \sqrt[n]{p^3}\)

- Überlege, welche Zahlen unter den Wurzeln Kubikzahlen und welche Quadratzahlen sind. - Denk daran, dass man nur Terme zusammenfassen kann, die denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden haben. - Was musst du beim Auflösen der zweiten Klammer beachten?

1. Vereinfachen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{27x} = 3\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{8x} = 2\sqrt[3]{x}\). 2. Vereinfachen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{64y} = 8\sqrt{y}\) und \(\sqrt{4y} = 2\sqrt{y}\). 3. Einsetzen der Ergebnisse in den Gesamtausdruck: \((3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y}) - (2 \cdot 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{y})\). 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y} - 4\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{y}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \((3 - 4)\sqrt[3]{x} + (8 + 2)\sqrt{y} = -1\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\).

\(-\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\)

- Wie kannst du die Klammer auflösen? - Gibt es eine Regel, um zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu multiplizieren oder zu dividieren? - Prüfe, ob die Radikanden nach der Multiplikation oder Division bekannte Kubikzahlen sind.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die Klammer: \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}\). 2. Multiplikation der Wurzeln nach dem Gesetz \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\): - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} = 3\) - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{216} = 6\) 3. Division der Wurzeln im hinteren Teil des Terms nach dem Gesetz \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\): - \(\frac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(3 + 6 - 5 = 4\). 5. Da 4 eine natürliche Zahl ist, ist die Behauptung gezeigt.

Der Wert des Terms ist \(4\), was eine natürliche Zahl ist.

- Hast du eine Vermutung, welche binomische Formel oder Identität hier passen könnte? - Was passiert, wenn du die Klammern probeweise ausmultiplizierst? - Kannst du die Zahlen unter den Wurzeln als Potenzen schreiben? - Schau dir die Struktur des ersten Faktors genau an – wie hängen die Zahlen 49, 14 und 4 mit 7 und 2 zusammen?

1. Struktur des Terms als Produkt der Form \((a^2 + ab + b^2) \cdot (a - b)\) erkennen 2. Identifikation der Werte: \(a = \sqrt[3]{7}\) und \(b = \sqrt[3]{2}\) 3. Überprüfung der Quadrat- und Produktterme: \(a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{49}\), \(b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}\) und \(ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{14}\) 4. Anwendung der Formel für die Differenz von Potenzen: \((a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3\) 5. Einsetzen der Werte: \((\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 7 - 2 = 5\)

\( A = 5 \)

- Wie verhalten sich die Wurzelexponenten, wenn Wurzeln ineinander verschachtelt sind? - Kannst du einen Faktor von außerhalb einer Wurzel unter die Wurzel ziehen? - Hilft es dir, den gesamten Ausdruck Schritt für Schritt von innen nach außen in die Potenzschreibweise zu übersetzen? - Kann man Brüche im Exponenten kürzen, bevor man sie wieder als Wurzel schreibt?

1. Anwendung der Regel für verschachtelte Wurzeln: Multiplikation der Wurzelexponenten \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(\sqrt[6]{b}\). 2. Schrittweise Umwandlung in Potenzen: \((c \cdot c^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}}\). Multiplikation der Exponenten: \(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Ergebnis in Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{c^2}\). 3. Umwandlung des inneren Terms in eine Potenz: \(d^2 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{\frac{5}{2}}\). Anwendung des äußeren Wurzelexponenten: \((d^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = d^{\frac{5}{10}} = d^{\frac{1}{2}}\). Ergebnis: \(\sqrt{d}\).

1) \(\sqrt[6]{b}\) 2) \(\sqrt[3]{c^2}\) 3) \(\sqrt{d}\)

- Gilt die Regel für das Zusammenfassen von Wurzeln auch für dritte Wurzeln oder höhere Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du die Potenzen dividierst? - Könnte es helfen, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst? - Achte darauf, Faktoren außerhalb der Wurzel und Terme innerhalb der Wurzel strikt getrennt zu behandeln.

1. Anwendung der Quotientenregel für dritte Wurzeln: \(\sqrt[3]{250 : 2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 2. Zusammenfassen unter der dritten Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{54a^7}{2a}} = \sqrt[3]{27a^6}\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\) und \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\), ergibt sich \(3a^2\). 3. Division der Faktoren vor den Wurzeln: \(10 : 2 = 5\). Division der Radikanden unter der Wurzel: \(\sqrt{0{,}2 : 5} = \sqrt{0{,}04}\). Da \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), folgt \(5 \cdot 0{,}2 = 1\).

1) \(5\) 2) \(3a^2\) 3) \(1\)

- Siehst du innerhalb einer Wurzel einen Ausdruck, der an eine binomische Formel erinnert? - Kannst du einen Term der Form \(a^2 - b^2\) erkennen, auch wenn die Exponenten Brüche sind oder Wurzeln vorkommen? - Überlege, welcher Faktor in allen Teilen des Terms enthalten ist, indem du Potenzen mit gleicher Basis vergleichst. - Hilft es dir, die Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel unter der ersten Wurzel: \(\sqrt{a^2 - 4} = \sqrt{(a-2)(a+2)}\). Aufteilen der Wurzel ergibt \(\sqrt{a-2} \cdot \sqrt{a+2}\). Ausklammern von \(\sqrt{a+2}\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\). 2. Interpretation des Ausdrucks als Differenz von Quadraten: \((\sqrt[3]{x})^2 - (\sqrt[3]{y})^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\). 3. Ausklammern des Faktors \(z\): \(z(\sqrt{z} - 1)\). Alternativ kann \(\sqrt{z}\) ausgeklammert werden, was zu \(\sqrt{z}(z - \sqrt{z}) = \sqrt{z}(\sqrt{z}^2 - \sqrt{z}) = z(\sqrt{z}-1)\) führt.

1) \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\) 2) \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\) 3) \(z(\sqrt{z} - 1)\)

- Wie lässt sich die Division einer Klammer durch eine Wurzel vereinfachen? - Gibt es eine Regel für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was ist das Ergebnis, wenn man eine Wurzel durch genau dieselbe Wurzel teilt? - Überlege, welche Zahlen zu den natürlichen Zahlen gehören.

1. Anwendung des Distributivgesetzes zur Division jedes Summanden durch \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1}{2}(\sqrt[3]{16} : \sqrt[3]{2}) + \frac{1}{3}(\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{2}) - (\sqrt[3]{2} : \sqrt[3]{2})\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Division (\(\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}\)): \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1}\) 3. Berechnen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{1} = 1\) 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1\) 5. Überprüfung der Zahlenmenge: Da \(1\) eine positive ganze Zahl ohne Nachkommastellen ist, gehört sie zur Menge der natürlichen Zahlen (\(1 \in \mathbb{N}\)).

Der vereinfachte Wert des Ausdrucks ist \(1\). Dies ist eine natürliche Zahl.

- Was bedeutet ein Bruchstrich für die Verrechnung der Exponenten? - Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner), kannst du einen Teil vor die Wurzel ziehen. - Vergiss nicht, Brüche im Exponenten so weit wie möglich zu kürzen.

1. Umwandlung aller Terme in die Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}\). Zusammenfassen der Exponenten durch Addition und Subtraktion: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Das Ergebnis ist \(y^1 = y\). 2. Umwandlung in rationale Exponenten: \(k^{\frac{2}{3}} \cdot k^{\frac{3}{4}} : k^{\frac{1}{12}}\). Berechnung des Gesamtexponenten: \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k^4} = k \cdot \sqrt[3]{k}\). 3. Umwandlung: \(z^{\frac{4}{5}} : z^{\frac{2}{15}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{4}{5} - \frac{2}{15} = \frac{12}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise ist \(\sqrt[3]{z^2}\).

1) \(y\) 2) \(k \cdot \sqrt[3]{k}\) 3) \(\sqrt[3]{z^2}\)

- Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um bekannte Rechenregeln für Potenzen zu nutzen? - Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Wie rechnet man, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du den Wert einer Potenz mit rationalem Exponenten schrittweise berechnen (zuerst die Wurzel, dann der Exponent oder umgekehrt)?

1. Aussage a): Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(x^p \cdot x^q = x^{p+q}\) führt zu \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b): Die linke Seite wird zu \(a^{\frac{1}{6}}\), die rechte Seite ist \(a^{\frac{1}{5}}\). Die Gleichung gilt nicht für alle \(a \ge 0\). Zum Beispiel ergibt \(a=64\) links \(64^{\frac{1}{6}}=2\), rechts jedoch \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\), da \(2^5=32\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Aussage c): Umwandlung ergibt \(\frac{1}{16^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}}\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Somit gilt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, da \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^1\). b) Falsch; zum Beispiel ist für \(a=64\) die linke Seite \(2\), während \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\) gilt. c) Wahr, da \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

- Erinnere dich, wie man Brüche mit Wurzeln im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Zahl hoch vier ergibt 16? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Denke daran, dass \(x\) auch als \(x^1\) geschrieben werden kann.

1. Darstellung als Potenz: Der Ausdruck \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht \(x^{3/4}\). Da dieser im Nenner steht, gilt \(T = x^{-3/4}\). 2. Berechnung für \(x = 16\): Einsetzen ergibt \(16^{-3/4} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}\). Mit \(\sqrt[4]{16} = 2\) folgt \(\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Nachweis der Identität: Multiplikation \(x^{-3/4} \cdot x^1\). Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \(x^{-3/4 + 1} = x^{1/4}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{x}\).

a) \(T = x^{-3/4}\) b) \(0{,}125\) c) \(x^{-3/4} \cdot x^1 = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}\)

- Wenn ein Produkt in der Klammer steht, muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. - Nutze die Regel \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \), um Wurzeln und Potenzen zusammenzufassen. - Brüche im Exponenten lassen sich oft kürzen, bevor man das Endergebnis berechnet. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für ein Produkt: \( 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54 \). 2. Verrechnung der Exponenten: \( \frac{5^{\frac{12}{6}}}{5} = \frac{5^2}{5} = 5^1 = 5 \). 3. Umformung in Potenzschreibweise: \( (4^{\frac{1}{4}})^2 = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \). 4. Vereinfachung des Zählers und Division: \( \frac{y^{\frac{9}{3}}}{y^2} = \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y \).

1. \( 54 \) 2. \( 5 \) 3. \( 2 \) 4. \( y \)

- Überlege zuerst, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Teilen von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn er vom Nenner in den Zähler wandert? - Versuche, alle Terme auf die Form \(x^a \cdot y^b\) zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel im Nenner in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \((x \cdot y^{-1})^{\frac{1}{4}}\) 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf Zähler und Nenner: \(\frac{x^{\frac{2}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{4}}}\) 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für die Basen \(x\) und \(y\): \(x^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4})}\) 4. Berechnung der Exponenten: \(x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{4}{4}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot y^1\) 5. Rückführung des rationalen Exponenten in die Wurzelschreibweise: \(y \cdot \sqrt[4]{x}\)

\(y \cdot \sqrt[4]{x}\)

- Überlege dir, wie du eine Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten umwandeln kannst, um die Rechenregeln für Potenzen anzuwenden. - Wenn der Exponent unter der Wurzel größer ist als der Wurzelexponent, kannst du Faktoren „vor die Wurzel ziehen“. - Was passiert mit einem Bruch, wenn er mit einer Zahl potenziert wird?

1. \( (\sqrt[4]{a^3})^2 \): Anwendung des Potenzgesetzes ergibt \( \sqrt[4]{a^6} \). Durch Kürzen des Wurzelexponenten und des Potenzexponenten erhält man \( \sqrt{a^3} \). Teilweises Wurzelziehen führt zu \( a\sqrt{a} \). 2. \( (-\sqrt[3]{b^2})^4 \): Da der Exponent 4 gerade ist, wird der Ausdruck positiv. Es ergibt sich \( \sqrt[3]{b^8} \). Da \( 8 = 2 \cdot 3 + 2 \), kann \( b^2 \) vor die Wurzel gezogen werden: \( b^2\sqrt[3]{b^2} \). 3. \( \left(-\frac{2}{3}\sqrt[5]{x^3}\right)^3 \): Der Koeffizient wird zu \( (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27} \) potenziert. Die Wurzel ergibt \( \sqrt[5]{x^9} \). Durch teilweises Wurzelziehen (\( 9 = 5 + 4 \)) erhält man \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \).

a) \( a\sqrt{a} \) b) \( b^2\sqrt[3]{b^2} \) c) \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Zahl potenziert wird. - Schreibe die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten, um die Gesetze leichter anwenden zu können. - Überlege dir für die Begründung, welche Vorzeichen die einzelnen Faktoren des vereinfachten Terms haben, wenn \(x\) positiv ist.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v \cdot w)^n = u^n \cdot v^n \cdot w^n\): \(T = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (\sqrt[5]{x^2})^3\). 2. Berechnung der Koeffizienten und Potenzen: \(-8 \cdot x^3 \cdot (x^{2/5})^3 = -8 \cdot x^3 \cdot x^{6/5}\). 3. Addition der Exponenten: \(3 + \frac{6}{5} = \frac{15}{5} + \frac{6}{5} = \frac{21}{5}\). 4. Umwandlung in gemischte Schreibweise: \(\frac{21}{5} = 4 + \frac{1}{5}\), also \(-8 x^4 \sqrt[5]{x}\). 5. Begründung des Vorzeichens: Für \(x > 0\) ist \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\). Da der Koeffizient \(-8\) negativ ist, ist das Produkt aus einer negativen und zwei positiven Zahlen stets negativ.

1) \(-8x^4 \sqrt[5]{x}\) 2) Ja, der Term ist für alle \(x > 0\) negativ, da \(-8 < 0\), \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\) gilt.

- Überlege, wie du den Ausdruck in der Klammer zuerst vereinfachen kannst oder ob es leichter ist, die äußere Potenz zuerst anzuwenden. - Kannst du die Wurzel in eine andere Schreibweise umwandeln, um besser mit den Exponenten zu rechnen? - Welche Regeln kennst du für das Potenzieren von Produkten und Brüchen? - Wie verhalten sich eine dritte Wurzel und eine dritte Potenz zueinander?

1. Anwendung der Potenzregel \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \) auf die Klammer: \( \left( \frac{a^2}{b} \right)^3 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{b^2}{a^3}} \right)^3 \) 2. Potenzieren des ersten Bruchs: \( \frac{(a^2)^3}{b^3} = \frac{a^6}{b^3} \) 3. Auflösen der dritten Wurzel durch den Exponenten 3 beim zweiten Faktor: \( \frac{b^2}{a^3} \) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \( \frac{a^6}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^6 \cdot b^2}{b^3 \cdot a^3} \) 5. Kürzen der Variablen unter Verwendung der Potenzgesetze für die Division: \( a^{6-3} \cdot b^{2-3} = a^3 \cdot b^{-1} = \frac{a^3}{b} \)

\( \frac{a^3}{b} \)

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Könnte es helfen, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen? - Welches Potenzgesetz wendest du an, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) und \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \( a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \). 3. Vereinfachen des Bruchs innerhalb der Klammer durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{4}{6}} = a^{\frac{11}{6}} \). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen: \( \left( a^{\frac{11}{6}} \right)^6 = a^{\frac{11}{6} \cdot 6} = a^{11} \).

\( a^{11} \)

- Beginne damit, die Klammer im Zähler aufzulösen. Welches Gesetz hilft dir dabei? - Wie verrechnet man Exponenten, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was bedeutet ein negativer Exponent beim Subtrahieren im Nenner? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten 0.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte auf den Zähler: \((x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{2}})^4 = (x^{\frac{1}{4}})^4 \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^4\). 2. Multiplikation der Exponenten im Zähler: \(x^{\frac{1}{4} \cdot 4} \cdot y^{-\frac{1}{2} \cdot 4} = x^1 \cdot y^{-2}\). 3. Einsetzen in den ursprünglichen Bruch: \(\frac{x^1 \cdot y^{-2}}{x^1 \cdot y^{-3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division bei gleicher Basis: \(x^{1-1} \cdot y^{-2 - (-3)}\). 5. Verrechnung der Exponenten: \(x^0 \cdot y^1\). 6. Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), ergibt sich als Endergebnis \(y\).

\(y\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Wie verhalten sich Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Versuche die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleinen Basis (wie 2, 3 oder 5) darzustellen.

1. Berechnung der Werte: \(\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt[4]{625} = 5\). Die Werte sind identisch. 2. Begründung über Potenzen: Nach der Definition ist \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Somit gilt \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt \(a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}\), was der Definition von \(\sqrt[4]{a}\) entspricht. 3. Bestimmung von \(n\): Die Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\) lässt sich als \(\sqrt[3 \cdot n]{729} = 3\) schreiben. Da \(729 = 3^6\), folgt \(\sqrt[3n]{3^6} = 3\). Dies entspricht \(3^{\frac{6}{3n}} = 3^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(\frac{6}{3n} = 1\), woraus \(\frac{2}{n} = 1\) und somit \(n = 2\) folgt.

a) Beide Werte ergeben \(5\). b) \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/2 \cdot 1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\). c) \(n = 2\).

- Nutze die Regel \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\), um mehrfache Wurzeln zusammenzufassen. - Es hilft oft, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (z. B. als Potenzen von 2). - Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. Vergleich der Terme: \(A = \sqrt[6]{4096} = \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^2 = 4\). \(B = \sqrt[8]{256} \cdot 2 = \sqrt[8]{2^8} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4\). Ergebnis: \(A = B\). 2. Vereinfachung des Bruchs: Zähler: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^{16}}} = \sqrt[8]{x^{16}} = x^{\frac{16}{8}} = x^2\). Nenner: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Division: \(\frac{x^2}{x^{0{,}5}} = x^{2 - 0{,}5} = x^{1{,}5} = \sqrt{x^3}\) (oder \(x\sqrt{x}\)).

a) Die Terme sind gleich groß (\(A = B = 4\)). b) \(\sqrt{x^3}\) oder \(x \cdot \sqrt{x}\).

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Zahl, wenn man sie unter eine Quadratwurzel zieht? - Welche Regel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie vereinfacht man einen Ausdruck, bei dem eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht?

1. Umwandlung in rationale Exponenten: Der Term wird als \((p^5 \cdot p^{1/2})^{1/2}\) geschrieben. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \((p^{5{,}5})^{1/2}\). Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(p^{2{,}75}\). Da \(2{,}75 = \frac{11}{4}\), entspricht dies \(\sqrt[4]{p^{11}}\). 2. Einziehen unter die Wurzel: Der Faktor \(p^5\) wird als \(\sqrt{(p^5)^2} = \sqrt{p^{10}}\) unter die innere Wurzel gezogen, was zu \(\sqrt{\sqrt{p^{10} \cdot p}}\) führt. Mit \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}\) ergibt sich \(\sqrt[4]{p^{11}}\). Beide Wege bestätigen die Aussage.

Die Aussage ist korrekt. Beide Rechenwege führen zum Ergebnis \(\sqrt[4]{p^{11}}\).

- Versuche zuerst, jeden Term so umzuformen, dass nur noch ein Wurzelzeichen übrig bleibt. - Hilft es dir, die Terme in die Potenzschreibweise mit Brüchen umzuwandeln? - Wie verhalten sich Wurzelwerte bei gleicher Basis, wenn der Wurzelexponent größer wird? - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten bringen, um die Zahlen unter der Wurzel direkt zu vergleichen?

1. Umformung von \(A\): Den Faktor \(2\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[6]{2^3}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(3\) ergibt \(\sqrt{2}\). 2. Umformung von \(B\): Den Faktor \(2\) unter die dritte Wurzel ziehen ergibt \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{2^4}} = \sqrt[12]{2^4}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(4\) ergibt \(\sqrt[3]{2}\). 3. Vergleich: \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Da die Basis \(2 > 1\) ist und der Exponent \(\frac{1}{2}\) größer als \(\frac{1}{3}\) ist, gilt \(2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(A > B\).

\(A\) ist größer als \(B\), da \(A = \sqrt{2}\) (ca. \(1{,}41\)) und \(B = \sqrt[3]{2}\) (ca. \(1{,}26\)).

- Überlege dir, wie man das Produkt zweier Potenzen mit derselben Basis zusammenfasst. - Hilft es dir, die Zahlen in der Basis (wie die 16) zuerst als Potenzen kleinerer Zahlen zu schreiben? - Kannst du die Terme so umformen, dass du sie ohne Taschenrechner direkt vergleichen kannst? - Achte bei Teilaufgabe a) darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \((3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})^{-3}\). Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Multiplikation mit dem äußeren Exponenten: \((3^{\frac{2}{3}})^{-3} = 3^{\frac{2}{3} \cdot (-3)} = 3^{-2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung von Term A: \(\sqrt[4]{16} = 2\), somit ist \(A = 2^3 = 8\). Berechnung von Term B: Umwandlung in Potenzen ergibt \((16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Da \(8 > 4\), ist Term A größer als Term B.

a) \(\frac{1}{9}\) b) Term \(A\) ist größer (da \(8 > 4\)).

- Versuche zuerst, alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Nutze die Potenzgesetze, um die Exponenten im Zähler zu addieren und anschließend den Exponenten des Nenners zu subtrahieren. - Um den Wert für eine Zahl zu berechnen, ist es oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung aller Terme in Potenzschreibweise: \(\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}\), \(y^2\) bleibt, \(\sqrt{y^3} = y^{\frac{3}{2}}\). 2. Zusammenfassen des Zählers mittels Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). Der Zähler ist \(y^{\frac{7}{3}}\). 3. Division durch den Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{5}{6}\). Der vereinfachte Term lautet \(y^{\frac{5}{6}}\). Somit ist \(k = \frac{5}{6}\). 4. Einsetzen von \(y = 64\): \(T = 64^{\frac{5}{6}}\). Berechnung über die 6. Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\). Potenzieren des Ergebnisses: \(2^5 = 32\).

a) \(y^{\frac{5}{6}}\); b) \(32\)

- Kannst du die Differenz in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel für den Nenner? - Wie lassen sich Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben? - Versuche zuerst, den gesamten Term algebraisch zu vereinfachen, bevor du die Zahlenwerte einsetzt.

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Differenz in der Klammer: \((x^n - 1)(x^n + 1) = x^{2n} - 1\). 2. Erweiterung der Brüche und Subtraktion der Zähler: \(x^n(x^n + 1) - x^n(x^n - 1) = x^{2n} + x^n - x^{2n} + x^n = 2x^n\). 3. Vereinfachung des Klammerausdrucks zu \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1}\). 4. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1} \cdot \frac{x^{2n} - 1}{2} = x^n\). 5. Einsetzen der Werte \(x = 16\) und \(n = 0{,}75 = \frac{3}{4}\): \(16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\).

1. \(T = x^n\) 2. \(8\)

- Versuche, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, um die Wurzeln leichter zu ziehen. - Erinnere dich daran, wie man Potenzen potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Zahl im Bruch? - Überlege, welche Zahl hoch Null welches Ergebnis liefert.

1. Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}125\) in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Berechnung der Potenz: \((2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Berechnung des zweiten Faktors: \((0{,}25)^{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\). Das Produkt des ersten Terms ergibt \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze auf den zweiten Summanden: \((3^2)^{1{,}5} = 3^{2 \cdot 1{,}5} = 3^3 = 27\). 4. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(\sqrt[4]{81^3} = (81^3)^{\frac{1}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3 = 3^3 = 27\). 5. Bestimmung des letzten Summanden: Jede Zahl ungleich Null hoch Null ergibt \(1\), also \((5{,}7)^0 = 1\). 6. Zusammenführung der Teilergebnisse: \(1 + 27 - 27 + 1 = 2\).

\(2\)

- Um Wurzeln zu vergleichen, ist es oft hilfreich, alles unter ein Wurzelzeichen zu schreiben. - Welchen Exponenten benötigt eine Zahl, um unter eine vierte Wurzel geschoben zu werden? - Wurzeln lassen sich einfacher verrechnen, wenn man sie in die Potenzschreibweise umschreibt. - Welche Rechenregel gilt für Potenzen, die nochmals potenziert werden?

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2\) in die vierte Wurzel einbringen: \(2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}\). Das Produkt bilden: \(\sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{48}\). Vergleich der Radikanden: Da \(48 < 50\) gilt, ist \(\sqrt[4]{48} < \sqrt[4]{50}\). Somit ist \(\sqrt[4]{50}\) der größere Wert. 2. Teilaufgabe b): Den inneren Ausdruck als Potenz schreiben: \(x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\). Die äußere dritte Wurzel als Exponenten anwenden: \((x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}\). Die Exponenten multiplizieren: \(x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise angeben: \(\sqrt{x}\).

a) \(\sqrt[4]{50}\) ist größer, da \(2 \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{48}\). b) \(\sqrt{x}\)

- Achte beim teilweisen Wurzelziehen bei dritten Wurzeln auf Kubikzahlen wie \(8\), \(27\), \(64\) oder \(125\). - Was ist der Unterschied zwischen dem Wurzelexponenten und dem Radikanden? - Können Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten (z. B. Quadratwurzel und Kubikwurzel) jemals gleichartig sein? - Wandle Dezimalzahlen und Brüche in eine einheitliche Form um, um die Koeffizienten besser vergleichen zu können.

1. Analyse von Paar a: \(\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}\) und \(\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}\). Beide Terme haben den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(3\), sie sind gleichartig. 2. Analyse von Paar b: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) (Exponent \(2\)) und \(\sqrt[3]{12}\) (Exponent \(3\)). Da die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, können die Wurzeln nicht gleichartig sein. 3. Analyse von Paar c: \(\frac{3}{5} \sqrt[3]{250} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \frac{3}{5} \cdot 5 \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\). Der zweite Term ist \(0{,}5 \sqrt[3]{128} = 0{,}5 \cdot \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 0{,}5 \cdot 4 \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\). Da beide den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(2\) haben, sind sie gleichartig.

a) Gleichartig (\(2\sqrt[3]{3}\) und \(3\sqrt[3]{3}\)) b) Nicht gleichartig (unterschiedliche Wurzelexponenten) c) Gleichartig (\(3\sqrt[3]{2}\) und \(2\sqrt[3]{2}\))

- Bearbeite die vier Teilaufgaben getrennt; jede hat eine etwas andere Struktur. - Da die Variablen positiv sind, kannst du Wurzeln und Potenzen ohne Vorzeichenfallen vereinfachen. - In Teil a und d hilft es, Zähler und Nenner gemeinsam zu betrachten. - In Teil c lohnt es sich, die beiden ersten Klammern als zusammengehöriges Paar zu sehen. - Schreibe Wurzeln bei Bedarf als Potenzen, damit die Exponenten vergleichbar werden.

1. Zu a): Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{x^3 y}{x y^3}} = \sqrt{\frac{x^2}{y^2}} = \frac{x}{y}\). 2. Zu b): Umwandlung in Potenzen: \((z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{1}{2}})^6 = (z^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}})^6 = (z^{\frac{7}{6}})^6 = z^{\frac{7}{6} \cdot 6} = z^7\). 3. Zu c): Zuerst die 3. binomische Formel auf die ersten beiden Klammern anwenden: \(((\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2) \cdot (x+y) = (x-y)(x+y)\). Erneute Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(x^2 - y^2\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der 3. Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{x^2 y}{x^{-1} y^4}} = \sqrt[3]{x^{2 - (-1)} y^{1 - 4}} = \sqrt[3]{x^3 y^{-3}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3}} = \frac{x}{y}\).

a) \(\frac{x}{y}\) b) \(z^7\) c) \(x^2 - y^2\) d) \(\frac{x}{y}\)

- Arbeite dich bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du die Zahl \(8\) als eine Potenz mit der Basis \(2\) schreiben, um den Bruch im Exponenten zu vereinfachen? - Vergiss nicht, dass eine Variable im Nenner ohne sichtbaren Exponenten den Exponenten \(1\) hat. - Schreibe alle Faktoren als Potenzen derselben Basis und fasse die Exponenten zusammen.

1. Innere Wurzel als Potenz schreiben: \(\sqrt{a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}}\). Äußere Wurzel anwenden: \((a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}\) (oder \(\sqrt[3]{a^2}\)). 2. Zähler vereinfachen: \(8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 \cdot x^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\). Gesamter Bruch: \(\frac{4x^2}{4x} = x\). 3. Alle Terme als Potenzen zur Basis \(z\) schreiben: \(z^{-\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{6}{4}} \cdot z^{-1}\). Exponenten addieren: \(-\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = 0\). Ergebnis: \(z^0 = 1\).

a) \(a^{\frac{2}{3}}\) oder \(\sqrt[3]{a^2}\) b) \(x\) c) \(1\)

- Wie verändert sich der Term in der Formel, wenn du das Volumen durch das Achtfache des Volumens ersetzt? - Welches Gesetz erlaubt es dir, ein Produkt in der Klammer einzeln zu potenzieren? - Was bedeutet ein Exponent wie \(\frac{2}{3}\) konkret als Wurzel und Potenz? - Musst du die ursprüngliche Größe des Tanks kennen, um das Verhältnis zu bestimmen?

1. Sei \(V_1\) das ursprüngliche Volumen und \(O_1 = 6 \cdot V_1^{\frac{2}{3}}\) die zugehörige Oberfläche. 2. Das neue Volumen ist \(V_2 = 8 \cdot V_1\). 3. Einsetzen von \(V_2\) in die Formel: \(O_2 = 6 \cdot (8 \cdot V_1)^{\frac{2}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(O_2 = 6 \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot V_1^{\frac{2}{3}}\). 5. Berechnung des Faktors \(8^{\frac{2}{3}}\): \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\) (oder \((\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)). 6. Vergleich der Oberflächen: \(O_2 = 4 \cdot (6 \cdot V_1^{\frac{2}{3}}) = 4 \cdot O_1\). 7. Der Materialbedarf vervierfacht sich.

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Kannst du Wurzeln in eine Potenzschreibweise umwandeln, um die Rechenregeln besser anwenden zu können? - Überlege dir, welche Potenzregel zuerst angewendet werden muss, wenn eine Klammer selbst noch eine Potenz hat. - Multipliziere Brüche, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Potenz der Klammer auflösen: \((xy^2)^3 = x^3y^6\). Dann ausmultiplizieren: \(x^3y^6 \cdot x^{-2}y^{-4} + x^3y^6 \cdot 3x^{-3}y^{-6} = x^1y^2 + 3x^0y^0 = xy^2 + 3\). 2. Teilaufgabe b): Wurzeln als Potenzen schreiben: \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}}\). Ausmultiplizieren: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot 2a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot 4a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{4}{2}} - 4a^0 + a^0 = 2a^2 - 4 + 1 = 2a^2 - 3\). 3. Teilaufgabe c): Koeffizienten und Variablen getrennt verrechnen: \(\frac{2}{3} \cdot 6 u^0 v - \frac{2}{3} \cdot 9 u^2 v^0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^3 v^3 = 4v - 6u^2 + u^3v^3\).

a) \(xy^2 + 3\) b) \(2a^2 - 3\) c) \(4v - 6u^2 + u^3v^3\)

- Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du den Term unter der großen Wurzel zuerst vereinfachen? - Versuche bei Gleichungen mit Potenzen, beide Seiten auf dieselbe Basis zu bringen. - Wie hängen der Wurzelexponent und der Exponent im Radikanden mit dem Bruch im Exponenten der Potenz zusammen?

1. Schrittweise Auflösung von innen nach außen: \(\sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\): \((x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}\). 2. Vereinfachung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2\). Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(\sqrt[6]{y^4 \cdot y^2} = \sqrt[6]{y^6}\). Das Ergebnis ist \(y\). 3. Umwandlung beider Seiten in Potenzen zur Basis 5: \(5^{k/3} = 5^2\). Exponentenvergleich liefert die Gleichung \(\frac{k}{3} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 6\).

a) \(x^{3/4}\) b) \(y\) c) \(k = 6\)

- Prüfe bei negativen Vorfaktoren, ob das Ergebnis das gleiche Vorzeichen wie der Startwert hat. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Kannst du den Term unter der Wurzel durch Kürzen von Zahlen und Variablen noch übersichtlicher machen? - Überlege dir, ob das Vorzeichen des Gesamtausdrucks durch die Umformung erhalten bleibt.

1. Teilaufgabe a): Der Faktor \(\frac{k}{2}\) wird mit 3 potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[3]{\frac{k^3}{2^3} \cdot \frac{24}{k^2}} = \sqrt[3]{\frac{k^3}{8} \cdot \frac{24}{k^2}}\). Das Kürzen der Zahlen (\(24 : 8 = 3\)) und der Variablen (\(k^3 : k^2 = k\)) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{3k}\). 2. Teilaufgabe b): Die Umformung ist fehlerhaft, da eine Quadratwurzel per Definition niemals negativ ist. Der ursprüngliche Term \(-3 \cdot \sqrt{2}\) ist jedoch negativ. Beim Hineinziehen eines negativen Faktors unter eine Wurzel mit geradem Exponenten muss das negative Vorzeichen vor der Wurzel stehen bleiben. 3. Korrekte Umformung: \(-3 \cdot \sqrt{2} = - \sqrt{3^2 \cdot 2} = - \sqrt{18}\).

a) \(\sqrt[3]{3k}\) b) Die Behauptung ist falsch, da \(-3 \cdot \sqrt{2}\) negativ ist, \(\sqrt{18}\) aber positiv. Korrekt ist: \(- \sqrt{18}\).

- Kannst du den Radikanden in Faktoren zerlegen, deren Exponenten durch den Wurzelexponenten teilbar sind? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. Hilft dir diese Schreibweise beim Vereinfachen? - Wenn im Zähler und Nenner die gleiche Basis steht, wie kannst du die Exponenten verrechnen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Variablen, wenn du sie aus einer \(n\)-ten Wurzel herausziehst?

1. Der Radikand wird so zerlegt, dass Faktoren mit dem Exponenten 4 entstehen: \(\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y^4}\). Durch teilweises Wurzelziehen erhält man \(x^{8/4} \cdot y^{4/4} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\). 2. Der Ausdruck unter der Wurzel wird faktorisiert in Terme, deren Exponent ein Vielfaches von \(n\) ist: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot (b^3)^n}\). Das Herausziehen dieser Faktoren ergibt \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\). 3. Zuerst wird die Wurzel im Zähler teilweise gezogen: \(\sqrt[k]{z^{2k} \cdot z} = z^2 \cdot \sqrt[k]{z}\). Der gesamte Bruch lautet dann \(\frac{z^2 \cdot \sqrt[k]{z}}{z}\). Durch Kürzen mit \(z\) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(z \cdot \sqrt[k]{z}\). Alternativ kann der Ausdruck über rationale Exponenten berechnet werden: \(z^{\frac{2k+1}{k}} \cdot z^{-1} = z^{\frac{2k+1-k}{k}} = z^{\frac{k+1}{k}} = z \cdot z^{\frac{1}{k}}\).

1) \(x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\) 2) \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\) 3) \(z \cdot \sqrt[k]{z}\)

- Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für das Einbringen von Faktoren in Wurzeln? - Schau dir in Aufgabenteil a) den Zähler genau an. Kannst du dort schrittweise ausklammern, um den Term zu vereinfachen? - In Aufgabenteil b) hilft es, im Radikanden zuerst \(y^3\) auszuklammern. - Achte darauf, dass der Exponent beim Einziehen unter eine Kubikwurzel eine 3 sein muss.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(\frac{1}{k+1}\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt{\frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{(k+1)^2}}\). Den Zähler durch Ausklammern oder Erkennen der kubischen Binomialformel faktorisieren: \(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k+1)^3\). Division durch den Nenner: \(\sqrt{\frac{(k+1)^3}{(k+1)^2}} = \sqrt{k+1}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{y}\) unter die Kubikwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\left(\frac{x}{y}\right)^3 \cdot \left(\frac{y^4 + y^3}{x^2}\right)}\). Den Radikanden umformen: \(\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^3(y + 1)}{x^2}}\). Kürzen der Terme \(x^2\) und \(y^3\): \(\sqrt[3]{x \cdot (y + 1)}\).

a) \(\sqrt{k+1}\) b) \(\sqrt[3]{x(y+1)}\)

- Wie verändert sich ein Ausdruck, wenn du ihn unter eine 3. Wurzel schreibst? - Versuche, den Term vor der Wurzel in die Wurzel hineinzuziehen, um die beiden Ausdrücke besser vergleichen zu können. - Achte beim Multiplizieren in der Wurzel auf die Rechenregeln für Brüche und Potenzen.

1. Den Vorfaktor \(\frac{x}{3}\) in die Kubikwurzel ziehen, indem er mit 3 potenziert wird: \((\frac{x}{3})^3 = \frac{x^3}{27}\). 2. Den neuen Faktor mit dem ursprünglichen Radikanden multiplizieren: \(\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})\). 3. Distributivgesetz anwenden: \(\frac{x^3 \cdot 54}{27 \cdot x^3} + \frac{x^3 \cdot 27}{27 \cdot x^2} = \frac{54}{27} + \frac{x^3}{x^2} = 2 + x\). 4. Der umgeformte Term lautet \(\sqrt[3]{2 + x}\), was identisch mit \(\sqrt[3]{x + 2}\) ist. Die Behauptung ist korrekt.

Die Behauptung ist wahr, da \(A = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})} = \sqrt[3]{2 + x} = B\).

- Gibt es eine Möglichkeit, den Bruch vor der Wurzel zu vereinfachen, bevor du dich mit der Wurzel beschäftigst? - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die hier passen könnte? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten umschreiben? - Welche Rechenregeln gelten für das Dividieren von Potenzen mit der gleichen Basis?

1. Den Bruch vor der Wurzel mithilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen: \(\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = a-b\) 2. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{(a+b)^n}}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}} = \frac{a+b}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}}\) 3. Die Teilergebnisse multiplizieren: \((a-b) \cdot \frac{a+b}{(a-b)^{\frac{n-1}{n}}}\) 4. Die Potenzen von \((a-b)\) zusammenfassen: \((a-b)^{1 - \frac{n-1}{n}} = (a-b)^{\frac{1}{n}}\) 5. Das Endergebnis als Wurzel schreiben: \((a+b) \cdot \sqrt[n]{a-b}\)

\((a+b) \sqrt[n]{a-b}\)

- Was ändert sich beim Hineinziehen, wenn die Wurzel keine Quadratwurzel, sondern eine dritte oder vierte Wurzel ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln: Wann heben sich eine Potenz und eine Wurzel genau auf? - Überprüfe bei der Aussage des Schülers, ob \(x \cdot \sqrt[4]{2}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt[4]{4x \cdot 2}\).

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(3y^2\) mit dem Exponenten \(3\) potenzieren, um ihn unter die dritte Wurzel zu ziehen: \(\sqrt[3]{(3y^2)^3 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 2. Potenz anwenden: \(\sqrt[3]{27y^6 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 3. Radikanden berechnen und kürzen: \(\frac{27}{9} = 3\) und \(\frac{y^6}{y^4} = y^2\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{6y^2}\). 4. Teilaufgabe b): Korrekte Umformung: \(x \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2x^4}\). 5. Fehleranalyse: Der Schüler verwechselt das Potenzieren mit dem Multiplizieren. Um einen Faktor unter eine \(n\)-te Wurzel zu ziehen, muss er mit \(n\) potenziert werden, nicht mit \(n\) multipliziert werden.

a) \(\sqrt[3]{6y^2}\) b) Korrekte Umformung: \(\sqrt[4]{2x^4}\). Der Fehler liegt darin, dass der Faktor potenziert werden muss (\(x^4\)) und nicht mit dem Wurzelexponenten multipliziert werden darf (\(4 \cdot x\)).

- Überlege zuerst, ob die Terme gleichartig sind, indem du sie auf die einfachste Form bringst. - Was musst du tun, um einen Nenner unter einer vierten Wurzel oder einer Kubikwurzel zu einer vollständigen Potenz zu ergänzen? - Gleichartige Wurzelterme kannst du zusammenfassen, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst; der gemeinsame Wurzelteil bleibt unverändert.

1. Teil a): Vereinfachung von \(\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}\). Somit ist \(2\sqrt[4]{48} = 4\sqrt[4]{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = 3\sqrt[4]{3}\). Die Differenz ist \(4\sqrt[4]{3} - 3\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3}\). 2. Teil b): Vereinfachung von \(\sqrt[3]{\frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{27}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[3]{0{,}75} = \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{6}{8}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\). Zusammenfassung: \(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{6} = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})\sqrt[3]{6} = \frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\).

a) Ja, Ergebnis: \(\sqrt[4]{3}\) b) Ja, Ergebnis: \(\frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\)

- Versuche zuerst, die Brüche innerhalb der Wurzel zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Gibt es im Zähler des neuen Bruchs Faktoren, die Potenzen von 3 sind? - Kannst du Faktoren aus der Wurzel ziehen, die sich mit dem Ausdruck vor der Wurzel verrechnen lassen?

1. Den Ausdruck unter der Wurzel auf den Hauptnenner \(27u^3\) bringen: \(\frac{3u \cdot v^7}{27u^3} - \frac{v^6}{27u^3} = \frac{3uv^7 - v^6}{27u^3}\). 2. Im Zähler den gemeinsamen Faktor \(v^6\) ausklammern: \(\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}\). 3. Teilweises Wurzelziehen anwenden: \(\sqrt[3]{\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}} = \frac{\sqrt[3]{v^6}}{\sqrt[3]{27u^3}} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1} = \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 4. Den gesamten Term berechnen: \(\frac{3u}{v^2} \cdot \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 5. Die Brüche vor der verbleibenden Wurzel kürzen sich gegenseitig zu \(1\) weg. 6. Das Endergebnis lautet \(\sqrt[3]{3uv - 1}\).

\(\sqrt[3]{3uv - 1}\)

- Nutze die Regel \(\sqrt[n]{x^n \cdot y} = x \cdot \sqrt[n]{y}\) für positive Variablen. - Bei Brüchen unter der Wurzel hilft es oft, den Nenner so zu erweitern, dass er eine \(n\)-te Potenz wird. - Behandle den allgemeinen Exponenten \(n\) genauso wie eine feste Zahl wie 2 oder 3.

1. Erster Term: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Zweiter Term: \(a\sqrt[n]{a^2b}\). Dritter Term: \(\frac{1}{a}\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^2 \cdot b} = \frac{1}{a} \cdot a^2\sqrt[n]{a^2b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Alle drei Terme sind identisch und damit gleichartig. 2. Erster Term: Durch Erweitern des Bruchs mit \(y\) erhält man \(\sqrt[4]{\frac{x^4 \cdot x \cdot y}{y^4}} = \frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Zweiter Term: \(\frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Dritter Term: \(\frac{1}{x}\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y} = \frac{1}{x} \cdot x^2 \sqrt[4]{xy} = x\sqrt[4]{xy}\). Alle Terme besitzen denselben Wurzelexponenten \(4\) und denselben Wurzelrest \(\sqrt[4]{xy}\); sie sind gleichartig.

Beide Gruppen bestehen jeweils aus gleichartigen Wurzeltermen.

- Kannst du unter der Wurzel einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten beim Umformen des Radikanden helfen. - Wann lässt sich ein Faktor ganz aus einer dritten Wurzel ziehen? - Vergleiche die Ergebnisse: Haben sie denselben Wurzelexponenten und denselben Ausdruck unter der Wurzel?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{k^3(k-1)}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(k \cdot \sqrt[3]{k-1}\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{125(k-1)}\). Da \(125 = 5^3\), folgt \(5 \cdot \sqrt[3]{k-1}\). 3. Vereinfachung von \(T_3\): Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\sqrt[3]{(k-1)(k+1)}\). Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen. 4. Vergleich: \(T_1\) und \(T_2\) besitzen denselben Wurzelteil \(\sqrt[3]{k-1}\). \(T_3\) hat einen anderen Radikanden. Somit sind nur \(T_1\) und \(T_2\) gleichartig.

Nur die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind zueinander gleichartig.

- Was muss passieren, damit man eine Variable unter einer \(k\)-ten Wurzel nach vorne ziehen kann? - Wenn unter der Wurzel ein Bruch steht, wie kannst du den Nenner „wurzelfrei“ machen? - Überlege, was mit dem Exponenten im Nenner passiert, wenn du den Bruch geschickt erweiterst.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Der Radikand wird zerlegt in \(x^{2k} \cdot x \cdot y\). Da \(x^{2k} = (x^2)^k\), kann \(x^2\) vor die Wurzel gezogen werden: \(A = x^2 \sqrt[k]{xy}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Um den Nenner aus der Wurzel zu ziehen, wird der Bruch innerhalb der Wurzel mit \(y\) erweitert: \(\frac{x \cdot y}{y^{k-1} \cdot y} = \frac{xy}{y^k}\). 3. Teilweises Wurzelziehen ergibt \(B = \frac{1}{y} \sqrt[k]{xy}\). 4. Vergleich: Beide Terme lassen sich auf ein Vielfaches von \(\sqrt[k]{xy}\) bringen. 5. Schlussfolgerung: Die Aussage des Schülers ist wahr; der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

Die Aussage ist wahr. Der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

- Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) gilt. - Bei verschachtelten Wurzeln ist es oft hilfreich, von innen nach außen zu arbeiten. - Welche Rechenregel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Kannst du einen Wurzelexponenten und einen Potenzexponenten wie einen Bruch kürzen?

1. In Aufgabenteil a) wird die innere Wurzel als Potenz geschrieben: \(b \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{1 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}\). Die äußere Quadratwurzel entspricht dem Exponenten \(\frac{1}{2}\), also \((b^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{6}} = b^{\frac{2}{3}}\). Als einzelne Wurzel geschrieben ergibt dies \(\sqrt[3]{b^2}\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Radikand als Quadrat geschrieben: \(49p^2 = (7p)^2\). Der Ausdruck \(\sqrt[4]{(7p)^2}\) kann als Potenz \((7p)^{\frac{2}{4}}\) dargestellt werden. Kürzen des Bruchs im Exponenten führt zu \((7p)^{\frac{1}{2}}\), was der Quadratwurzel \(\sqrt{7p}\) entspricht. 3. In Aufgabenteil c) werden die Wurzeln der linken Seite als Potenzen geschrieben: \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}\). Nach den Potenzgesetzen werden die Exponenten addiert: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Somit gilt \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\), was der rechten Seite der Gleichung entspricht.

a) \(\sqrt[3]{b^2}\) b) \(\sqrt{7p}\) c) Der Nachweis erfolgt über die Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Könnten sie dir helfen, den Bruch unter der Wurzel zu kürzen? - Kannst du im Radikanden von Term \(A\) in Aufgabenteil b etwas ausklammern? - Was passiert, wenn du bei einem Bruch unter einer Kubikwurzel versuchst, den Nenner oder Zähler teilweise zu radizieren?

1. Vereinfachung von Term \(A\) in Paar a: Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler ergibt \(\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}} = \sqrt{x+y}\). Da dies exakt dem Term \(B\) entspricht, sind sie gleichartig. 2. Umformung von Paar b: Bei Term \(A\) wird \(a^3\) unter der Kubikwurzel ausgeklammert, woraus \(a\sqrt[3]{a-b}\) folgt. Bei Term \(B\) wird der Nenner teilweise radiziert, was \(\frac{1}{a}\sqrt[3]{a-b}\) ergibt. Beide Terme besitzen den Radikanden \(a-b\) und den Wurzelexponenten 3, sie sind also gleichartig.

a) Gleichartig; b) Gleichartig.

- Versuche, die linke Seite der Gleichung schrittweise zu vereinfachen und schaue, ob du beim Ausdruck auf der rechten Seite ankommst. - Wie kannst du eine Potenz wie \(a^{2n+1}\) in ein Produkt aus zwei Potenzen zerlegen, von denen eine durch \(n\) teilbar im Exponenten ist? - Gibt es eine Regel für Wurzeln aus Brüchen?

1. Umformung der linken Seite: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^1 \cdot b^n \cdot b^2}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}\) ergibt \(\sqrt[n]{(a^2)^n} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b^n} \cdot \sqrt[n]{b^2}\). Dies vereinfacht sich zu \(a^2 \cdot \sqrt[n]{a} \cdot b \cdot \sqrt[n]{b^2} = a^2 b \sqrt[n]{a b^2}\). Die Aussage ist korrekt. 2. Umformung der linken Seite: Aufteilen des Bruchs in \(\frac{\sqrt[k+1]{x^{k+1} \cdot x}}{\sqrt[k+1]{y^{k+1}}}\). Da \(x, y > 0\), vereinfacht sich der Zähler zu \(x \sqrt[k+1]{x}\) und der Nenner zu \(y\). Zusammengefasst ergibt dies \(\frac{x}{y} \sqrt[k+1]{x}\). Die Aussage ist korrekt.

Beide Umformungen sind korrekt.

- Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie lässt sie sich auf Terme mit Exponenten anwenden? - Wie hängen die Exponenten \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\) zusammen? - Kannst du die Wurzeln im zweiten Teil direkt im Kopf ziehen? - Was bedeutet ein rationaler Exponent wie \(\frac{1}{3}\) als Wurzel geschrieben?

1. Umschreiben des Zählers unter Ausnutzung der Potenzgesetze: \(x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2\) und \(y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) auf den Zähler mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) im Bruch führt zum vereinfachten Term \(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\) 4. Einsetzen der Werte \(x = 27\) und \(y = 8\): \(27^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3}}\) 5. Berechnung der dritten Wurzeln: \(3 - 2 = 1\)

a) \( E = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \) (oder \( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \)) b) \( 1 \)

- Es ist oft einfacher, verschachtelte Wurzeln von innen nach außen in Potenzen umzuwandeln. - Achte beim Vereinfachen der Brüche im Exponenten auf den Hauptnenner. - Prüfe im zweiten Teil, ob du die Zahl \(64\) als Potenz einer kleineren Basis (wie zum Beispiel \(2\)) schreiben kannst, um das Rechnen mit dem Bruch im Exponenten zu erleichtern.

1. Umschreiben des Terms mit rationalen Exponenten: \(T = \frac{(a^3 \cdot b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{(a \cdot b)^{\frac{1}{3}}}\) 2. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner: \(T = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}\) 3. Kürzen des Faktors \(b^{\frac{1}{3}}\) und Verrechnen der Exponenten von \(a\): \(a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 4. Einsetzen von \(a = 64\) in den vereinfachten Term: \(64^{\frac{7}{6}}\) 5. Berechnung des Werts: \(64 = 2^6\), also \((2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)

a) \(a^{\frac{7}{6}}\) (oder \(a \cdot \sqrt[6]{a}\)); b) \(128\)

- Es hilft oft, alle Wurzeln zuerst in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Wie lassen sich geschachtelte Ausdrücke (Wurzel in einer Wurzel) von innen nach außen auflösen? - Kannst du den Zähler und den Nenner zuerst separat zu jeweils einer Potenz zusammenfassen? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit derselben Basis dividiert.

1. Umwandlung aller Wurzeln im Zähler in Potenzen mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{x \cdot x^{2/3}} = (x^{1 + 2/3})^{1/2} = (x^{5/3})^{1/2} \) 2. Vereinfachung des Zählers durch Multiplikation der Exponenten: \( x^{5/6} \) 3. Umwandlung des Nenners in eine Potenz: \( x^1 \cdot x^{1/6} = x^{1 + 1/6} = x^{7/6} \) 4. Anwendung der Divisionsregel für Potenzen (\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)): \( x^{5/6} : x^{7/6} = x^{5/6 - 7/6} = x^{-2/6} \) 5. Kürzen des Bruchs im Exponenten und Umwandlung in die Wurzelschreibweise: \( x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

\( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

- Kannst du den äußeren Exponenten auf die einzelnen Faktoren in der Klammer verteilen? - Erinnere dich daran, dass \( (\sqrt[3]{k})^6 \) dasselbe ist wie \( k^{\frac{6}{3}} \). - Wie gehst du vor, wenn du Brüche miteinander multiplizierst, in denen Potenzen vorkommen? - Achte darauf, Potenzen mit der gleichen Basis (wie \( x \) oder \( x-y \)) am Ende zusammenzufassen.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den gesamten Ausdruck: \( \left( \frac{x-y}{x} \right)^6 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}} \right)^6 \). 2. Vereinfachen des ersten Teils: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \). 3. Vereinfachen des zweiten Teils durch Umwandlung der Wurzel in eine Potenz und Multiplikation der Exponenten: \( \left( \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{1}{3}} \right)^6 = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{6}{3}} = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^2 \). 4. Quadrieren des Bruchs: \( \frac{(x^2)^2}{(x-y)^2} = \frac{x^4}{(x-y)^2} \). 5. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \cdot \frac{x^4}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)^6 \cdot x^4}{x^6 \cdot (x-y)^2} \). 6. Kürzen gleicher Basen durch Subtraktion der Exponenten: \( (x-y)^{6-2} \cdot x^{4-6} = (x-y)^4 \cdot x^{-2} = \frac{(x-y)^4}{x^2} \).

\( \frac{(x-y)^4}{x^2} \)

- Welche Auswirkung hat das Quadrieren auf eine vierte Wurzel? - Kannst du den Bruch unter der Wurzel zunächst in einzelne Wurzeln für Zähler und Nenner aufteilen? - Wie geht man vor, um eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruches zu entfernen? - Überprüfe am Ende, ob alle Faktoren und Exponenten mit dem Zielterm übereinstimmen.

1. Das Quadrieren der Faktoren von \( A \) ergibt \( \frac{a^2}{9b^2} \cdot \sqrt{\frac{27b^3}{a}} \). 2. Die Wurzel wird durch teilweises Radizieren zu \( \frac{3b\sqrt{3b}}{\sqrt{a}} \) vereinfacht. 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen durch \( 3b \) führt zu \( \frac{a^2 \sqrt{3b}}{3b \sqrt{a}} \). 4. Rationalmachen des Nenners durch Erweitern mit \( \sqrt{a} \) ergibt \( \frac{a^2 \sqrt{3ab}}{3ab} \). 5. Finales Kürzen durch \( a \) liefert \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \). Da dies exakt Term \( B \) entspricht, ist die Aussage wahr.

Die Aussage \( A = B \) ist wahr. Die schrittweise Vereinfachung von \( A \) ergibt den Term \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \).

- Könnte es helfen, alle Wurzeln zuerst in Potenzen umzuwandeln? - Wie gehst du vor, wenn du Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber verschachtelten Klammern hast? - Erinnere dich an das Gesetz für Potenzen von Potenzen. - Um am Ende eine einzige Wurzel zu erhalten, müssen die Exponenten den gleichen Nenner haben.

1. Darstellung mit rationalen Exponenten: \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot (b \cdot a^{-1})^{1/2} \right)^{1/3}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\): \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot b^{1/2} \cdot a^{-1/2} \right)^{1/3}\). 3. Zusammenfassen der Exponenten mit \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(Q = \left( a^{2 - 1/2} \cdot b^{-1 + 1/2} \right)^{1/3} = \left( a^{3/2} \cdot b^{-1/2} \right)^{1/3}\). 4. Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(Q = a^{1/2} \cdot b^{-1/6}\). 5. Angleichen der Nenner im Exponenten: \(a^{3/6} \cdot b^{-1/6} = \left( \frac{a^3}{b} \right)^{1/6}\). 6. Ergebnis als einzige Wurzel: \(\sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\). Alternativ kann dies als \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[6]{b}}\) geschrieben werden.

\(Q = \sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\)

- Versuche, alle Terme auf die gleiche Basis (hier die Basis 2) zu bringen. - Wie gehst du vor, wenn Brüche im Spiel sind? Kann man diese als Potenzen mit negativen Exponenten schreiben? - Vergleiche am Ende die Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung.

1. Teilaufgabe a): Umformung der linken Seite zur Basis 2: \(\sqrt{2 \cdot (2^2)^{1/3}} = \sqrt{2^1 \cdot 2^{2/3}} = \sqrt{2^{5/3}} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}\). Umformung der rechten Seite zur Basis 2: \(\sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[3]{2^{5/2}} = (2^{5/2})^{1/3} = 2^{5/6}\). Da beide Seiten den Wert \(2^{5/6}\) ergeben, ist die Gleichheit gezeigt. 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt[3]{2^{-1} \cdot \sqrt{2^{-1}}} = \sqrt[3]{2^{-1} \cdot 2^{-1/2}}\). Zusammenfassen der Exponenten unter der Wurzel: \(-1 + (-1/2) = -3/2\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((2^{-3/2})^{1/3} = 2^{-1/2}\). Vergleich mit \(2^k\) ergibt \(k = -1/2\) bzw. \(k = -0{,}5\).

a) Beide Seiten ergeben nach Umformung \(2^{5/6}\). b) \(k = -\frac{1}{2}\) (also \(k=-0{,}5\)).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung in die Form \(a^{\text{Bruch}}\) zu bringen. - Was bedeutet ein Bruchstrich für die Exponenten der Potenzen? - Gehe Schritt für Schritt vor, indem du zuerst den Ausdruck unter der großen Wurzel vereinfachst.

1. Linke Seite der Gleichung schrittweise umformen: \(\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}\). 2. Multiplikation unter der Quadratwurzel: \(a^1 \cdot a^{3/4} = a^{7/4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \((a^{7/4})^{1/2} = a^{7/8}\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: \(\sqrt[8]{a^7} = a^{7/8}\). Die Gleichung ist wahr. 5. Vereinfachung des zweiten Terms: Den Bruch unter der vierten Wurzel vereinfachen: \(\frac{z}{z^{1/2}} = z^{1 - 1/2} = z^{1/2}\). 6. Anwendung der vierten Wurzel auf das Ergebnis: \((z^{1/2})^{1/4} = z^{1/8}\). 7. Endergebnis als Wurzel: \(\sqrt[8]{z}\).

Die Gleichung ist wahr, da beide Seiten vereinfacht \(a^{7/8}\) ergeben. Der zweite Term vereinfacht sich zu \(\sqrt[8]{z}\).

- Wie lassen sich negative Exponenten als Brüche darstellen? - Kannst du den Nenner des großen Bruchs als einen einzigen Bruch schreiben? - Was passiert, wenn man eine Potenz mit einem weiteren Exponenten potenziert? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn die Basis ein Produkt wie \((x \cdot y)\) ist?

1. Den Nenner des großen Bruchs umschreiben: \(x^{-k} + y^{-k} = \frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k}\). 2. Die Brüche im Nenner addieren: \(\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} = \frac{y^k + x^k}{x^k \cdot y^k}\). 3. Den Doppelbruch vereinfachen: \(\frac{x^k + y^k}{\frac{x^k + y^k}{x^k y^k}} = (x^k + y^k) \cdot \frac{x^k y^k}{x^k + y^k} = x^k y^k\). 4. Den äußeren Exponenten auf das Ergebnis \((xy)^k\) anwenden: \(((xy)^k)^{-\frac{1}{k}} = (xy)^{k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right)} = (xy)^{-1} = \frac{1}{xy}\). 5. Die Werte \(x = 0{,}25\) und \(y = 8\) einsetzen: \(\frac{1}{0{,}25 \cdot 8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Vereinfachter Term: \(\frac{1}{xy}\). Numerischer Wert: \(0{,}5\).

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du innerhalb der Klammer einen gemeinsamen Nenner finden? - Achte darauf, wie sich Ausdrücke kürzen lassen, wenn du Faktoren außerhalb der Klammer einbeziehst. - Wie hängen \(x^{0{,}5}\) und die Quadratwurzel zusammen?

1. Zusammenfassen der Brüche in der Klammer durch den Hauptnenner \((a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) = a^{-2n} - b^{-2n}\). 2. Berechnung des Zählers: \(a^{-n}(a^{-n} + b^{-n}) - a^{-n}(a^{-n} - b^{-n}) = a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} - a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} = 2a^{-n}b^{-n}\). 3. Multiplikation des Ergebnisses \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}\) mit dem Faktor \((a^{-n} + b^{-n})\) ergibt \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}}\). 4. Umformung negativer Exponenten in Brüche: \(\frac{2 \cdot \frac{1}{a^n b^n}}{\frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n}} = \frac{\frac{2}{a^n b^n}}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}}\). 5. Kürzen des Terms zu \(\frac{2}{b^n - a^n}\). 6. Einsetzen der Werte \(a = 4, b = 25, n = 0{,}5\): \(\frac{2}{25^{0{,}5} - 4^{0{,}5}} = \frac{2}{\sqrt{25} - \sqrt{4}} = \frac{2}{5 - 2} = \frac{2}{3}\).

Vereinfachter Term: \(\frac{2}{b^n - a^n}\); Wert: \(\frac{2}{3}\)

- Kannst du den Ausdruck \(x - y\) so umschreiben, dass er wie eine Differenz von dritten Potenzen aussieht? - Vergleiche die Struktur des Zählers mit der des Nenners. Gibt es dort Gemeinsamkeiten, wenn du \(x\) als \((x^{1/3})^3\) betrachtest? - Vereinfache zuerst den gesamten Inhalt der Klammer, bevor du den äußeren Faktor einbeziehst. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst?

1. Den Zähler \(x - y\) als Differenz von Kubikzahlen auffassen: \(x - y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3\). 2. Anwendung der Faktorformel für die Differenz zweier Kuben \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x - y = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})\). 3. Einsetzen in den Bruch und Kürzen: Der Nenner entspricht genau dem zweiten Faktor des Zählers, woraus folgt: \(\frac{x - y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks in der Klammer: \((x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}\). 5. Abschließende Multiplikation: \(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = x^0 = 1\).

\(1\)