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- Überlege dir, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis ist. - Der Exponent der Potenz wird zum Wurzelexponenten der Wurzel. - Das Ergebnis der Potenzrechnung steht in der Wurzel (als Radikand). - Denk daran, dass man bei der Quadratwurzel den Wurzelexponenten 2 meist weglässt.

Der Zusammenhang zwischen einer Potenzgleichung \(b^n = a\) und einer Wurzelgleichung ist durch \(b = \sqrt[n]{a}\) gegeben. 1. Bei \(13^2 = 169\) ist die Basis \(13\), der Exponent \(2\) und das Ergebnis \(169\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt{169} = 13\). 2. Bei \(\sqrt[3]{216} = 6\) ist der Radikand \(216\), der Wurzelexponent \(3\) und der Wert \(6\). In Potenzschreibweise: \(6^3 = 216\). 3. Bei \(0{,}2^5 = 0{,}00032\) ist die Basis \(0{,}2\) und der Exponent \(5\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\). 4. Bei \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}\) ist der Wurzelexponent \(4\). In Potenzschreibweise: \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\).

a) \(\sqrt{169} = 13\) b) \(6^3 = 216\) c) \(\sqrt[5]{0{,}00032} = 0{,}2\) d) \((\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}\)

- Schreibe jede Zahl zuerst als Zehnerpotenz, auch die sehr kleine Zahl. - Achte bei Zahlen kleiner als eins auf negative Exponenten. - Beim Bruch kannst du zuerst die Potenzen im Zähler und Nenner zusammenfassen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis beim Quadrieren wieder zur Ausgangszahl passt.

1. Begründung der Eigenschaft: \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{1/2} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Zu a): \(100\,000\,000 = 10^8\). Mit \(2n = 8\) folgt \(n = 4\). Somit ist \(\sqrt{10^8} = 10^4 = 10\,000\). 3. Zu b): \(0{,}000001 = 10^{-6}\). Mit \(2n = -6\) folgt \(n = -3\). Somit ist \(\sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} = 0{,}001\). 4. Zu c): Nach den Divisionsregeln für Potenzen ist \(\frac{10^3}{10^7} = 10^{3-7} = 10^{-4}\). Mit \(2n = -4\) folgt \(n = -2\). Somit ist \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} = 0{,}01\).

a) \(\sqrt{100\,000\,000} = 10\,000\) b) \(\sqrt{0{,}000001} = 0{,}001\) c) \(\sqrt{\frac{10^3}{10^7}} = 0{,}01\)

- Begründe zuerst die allgemeine Aussage, bevor du die drei Beispiele berechnest. - Achte darauf, dass negative Exponenten zu Brüchen führen. - Schreibe den letzten Ausdruck erst so um, dass er zur allgemeinen Form passt. - Kontrolliere deine exakten Werte, indem du sie gedanklich quadrierst.

1. Begründung: Die Quadratwurzel kann als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) geschrieben werden. Es gilt \(\sqrt{5^{2k}} = (5^{2k})^{\frac{1}{2}}\). Nach der Regel für das Potenzieren von Potenzen \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt: \(5^{2k \cdot \frac{1}{2}} = 5^k\). 2. Für \(\sqrt{5^6}\) ist \(2k = 6\), also \(k = 3\). Das Ergebnis ist \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). 3. Für \(\sqrt{5^{-4}}\) ist \(2k = -4\), also \(k = -2\). Das Ergebnis ist \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\). 4. Der Ausdruck \(\sqrt{\frac{1}{5^2}}\) kann als \(\sqrt{5^{-2}}\) geschrieben werden. Hier ist \(2k = -2\), also \(k = -1\). Das Ergebnis ist \(5^{-1} = \frac{1}{5}\).

Begründung: \((5^{2k})^{\frac{1}{2}} = 5^{2k \cdot \frac{1}{2}} = 5^k\). \(\sqrt{5^6} = 125\) \(\sqrt{5^{-4}} = \frac{1}{25}\) \(\sqrt{\frac{1}{5^2}} = \frac{1}{5}\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert? - Wie verändert sich die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren oder Kubieren einer Dezimalzahl? - Kann das Ergebnis einer Quadratwurzel (oder einer anderen Wurzel mit geradem Exponenten) eine negative Zahl sein? - Versuche, die Umkehroperation der Wurzelbildung anzuwenden, um die Richtigkeit zu prüfen.

1. Überprüfung durch Potenzieren: \((-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung durch Quadrieren: \(0{,}08^2 = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung durch Potenzieren: \(25^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390\,625\). Da \(390\,625 \neq 625\), ist die Aussage falsch. Korrekt wäre \(\sqrt[4]{625} = 5\). 4. Da das Ergebnis einer Quadratwurzel nach Definition niemals negativ ist, gilt \(\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9\). Die Aussage ist falsch. 5. Überprüfung durch Potenzieren: \((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\). Die Aussage ist wahr.

Die Aussagen 1, 2 und 5 sind wahr. Die Aussagen 3 und 4 sind falsch.

- Berechne zuerst den Zahlenwert für jeden Term einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Steht es innerhalb oder außerhalb der Wurzel? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativer Basis berechnet. - Was bewirkt das Quadrat unter einer Wurzel bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung von \(a\): \(\sqrt[3]{-8} = -2\), da \((-2)^3 = -8\). 2. Berechnung von \(b\): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 3. Berechnung von \(c\): \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\). Somit ist \(c = -3\). 4. Berechnung von \(d\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 5. Berechnung von \(e\): \(\sqrt[5]{32} = 2\), da \(2^5 = 32\). 6. Vergleich der Werte: \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\). 7. Zuordnung der Terme: \(c < a < b < e < d\).

Die richtige Reihenfolge lautet: \(c < a < b < e < d\) (bzw. \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\)).

- Überlege dir, welche kleine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen im Vergleich zum Wurzelexponenten. - Kannst du den Radikanden als Potenz einer anderen Zahl schreiben? - Bei Brüchen hilft es oft, Zähler und Nenner getrennt zu betrachten.

1. Bestimmung der dritten Wurzel von \(216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\sqrt[3]{216} = 6\). 2. Berechnung der vierten Wurzel von \(0{,}0625\): Da \(5^4 = 625\) und die Zahl vier Nachkommastellen hat, ergibt sich \((0{,}5)^4 = 0{,}0625\), also \(\sqrt[4]{0{,}0625} = 0{,}5\). 3. Vereinfachung des Radikanden: \(32^{-1} = (2^5)^{-1} = (2^{-1})^5 = (0{,}5)^5\). Somit ist \(\sqrt[5]{32^{-1}} = 0{,}5\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Bruch: \(\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(6\) b) \(0{,}5\) c) \(0{,}5\) d) \(0{,}3\)

- Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umschreiben, um die Wurzeln leichter zu erkennen? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Potenzieren von Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Quadratwurzel: \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{1{,}2^2} = 1{,}2\) 2. Berechnung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{0{,}2^3} = 0{,}2\) 3. Berechnung der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0001} = \sqrt[4]{0{,}1^4} = 0{,}1\) 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(1{,}2 + 0{,}2 - 0{,}1 = 1{,}3\)

\(1{,}3\)

- Überlege dir für jeden Term, welche Zahl mit dem entsprechenden Exponenten potenziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei negativen Vorzeichen darauf, ob der Wurzelexponent (die kleine Zahl an der Wurzel) gerade oder ungerade ist. - Wandle Brüche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Werte: a) \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\), da \((-0{,}5)^3 = -0{,}125\) b) \(\sqrt[5]{243} = 3\), da \(3^5 = 243\) c) \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\), da \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\), da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\) 2. Vergleich der Werte: \(-0{,}75 < -0{,}5 < 0{,}1 < 3\) 3. Zuordnung der Terme: \(c < a < d < b\)

Die berechneten Werte sind: a) \(-0{,}5\); b) \(3\); c) \(-0{,}75\); d) \(0{,}1\). Die Reihenfolge lautet: \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} < \sqrt[3]{-0{,}125} < \sqrt[4]{0{,}0001} < \sqrt[5]{243}\).

- Kannst du die Dezimalzahl als Potenz einer Zehnerpotenz schreiben? - Wie lässt sich ein rationaler Exponent in eine Wurzel mit einer Potenz umschreiben? - Gibt es eine Regel für das Wurzelziehen bei Brüchen? - Überlege, welche Zahl viermal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt.

1. Berechnung der dritten Wurzel aus einer Dezimalzahl: Da \(0{,}1^3 = 0{,}001\), folgt \(\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1\). 2. Anwendung der Potenzgesetze für rationale Exponenten: \(16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Es folgt \(2^3 = 8\). 3. Berechnung der Quadratwurzel eines Bruchs: \(\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}\). 4. Bestimmung der vierten Wurzel: Da \(5^4 = 625\), ergibt sich \(\sqrt[4]{625} = 5\).

1) \(0{,}1\) 2) \(8\) 3) \(\frac{5}{12}\) 4) \(5\)

- Berechne zunächst die Werte auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens getrennt voneinander. - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert. - Was bedeutet ein Exponent von \(\frac{1}{2}\) oder \(\frac{1}{3}\)? - Bei geschachtelten Wurzeln fange am besten von innen nach außen an. - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert?

1. Überprüfung von Aussage a): Linke Seite \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6\). Rechte Seite \(\sqrt[3]{216} = 6\), da \(6^3 = 216\). Die Aussage ist wahr. 2. Überprüfung von Aussage b): \(100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10\). \(64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\). Die Differenz ist \(10 - 4 = 6\). Die Aussage ist falsch; das korrekte Ergebnis ist \(6\). 3. Überprüfung von Aussage c): Innere Wurzel \(\sqrt{16} = 4\). Äußere Wurzel \(\sqrt{4} = 2\). Die Aussage ist wahr. 4. Überprüfung von Aussage d): Da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\). Die Aussage ist falsch; das korrekte Ergebnis ist \(0{,}1\).

a) Wahr b) Falsch (korrektes Ergebnis: \(6\)) c) Wahr d) Falsch (korrektes Ergebnis: \(0{,}1\))

- Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit drei um? - Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, wie kommst du auf die Maße seiner Seiten? - Überlege, wie sich die Seite verändert, wenn sich das gesamte Volumen verachtfacht.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) für \(V_1 = 216\,\text{dm}^3\): \(a = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a_2\) für \(V_2 = 1728\,\text{dm}^3\): \(a_2 = \sqrt[3]{1728} = 12\,\text{dm}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses der Kantenlängen: \(a_2 {:} a = 12 {:} 6 = 2\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da das Volumen um den Faktor \(8\) größer ist (\(1728 {:} 216 = 8\)), vergrößert sich die Kantenlänge um den Faktor \(\sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(6\,\text{dm}\) b) \(12\,\text{dm}\) c) Das Verhältnis ist \(2\). Da das Volumen achtmal so groß ist, ist die Kantenlänge \(\sqrt[3]{8} = 2\)-mal so groß.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? Betrachte dabei eine gerade und eine ungerade Anzahl an Faktoren. - Prüfe bei Termen wie \(\sqrt[n]{x^n}\) zuerst, welchen Wert der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) hat.

1. Untersuchung von \(\sqrt[4]{-81}\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade und der Radikand \(-81\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert. 2. Untersuchung von \(\sqrt[5]{-32}\): Der Wurzelexponent \(5\) ist ungerade. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative Radikanden definiert. Ergebnis: \(-2\). 3. Untersuchung von \(\sqrt[6]{(-2)^6}\): Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-2)^6 = 64\). Da der Radikand positiv ist, ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 4. Untersuchung von \(\sqrt[3]{0{,}008}\): Der Radikand ist positiv, daher ist die Wurzel definiert. Ergebnis: \(0{,}2\). 5. Untersuchung von \(\sqrt[10]{-1}\): Der Wurzelexponent \(10\) ist gerade und der Radikand \(-1\) ist negativ. In \(\mathbb{R}\) ist dieser Term nicht definiert.

Definiert sind: 2) \(\sqrt[5]{-32}\) (ungerader Wurzelexponent) 3) \(\sqrt[6]{(-2)^6}\) (Radikand ist positiv, da \((-2)^6 = 64\)) 4) \(\sqrt[3]{0{,}008}\) (positiver Radikand) Nicht definiert sind: 1) \(\sqrt[4]{-81}\) und 5) \(\sqrt[10]{-1}\) (gerader Wurzelexponent bei negativem Radikanden)

- Welche Rolle spielt es, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist? - Wann darf man eine Zahl nicht unter eine Wurzel schreiben? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den Bereich für \(x\) einzugrenzen? - Überlege dir bei der letzten Teilaufgabe, ob der Ausdruck unter der Wurzel jemals negativ werden kann.

1. Für Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten muss der Radikand (der Ausdruck unter der Wurzel) größer oder gleich Null sein. 2. Bei \(f(x) = \sqrt[4]{5x - 20}\) gilt \(5x - 20 \ge 0\). Daraus folgt \(5x \ge 20\) und somit \(x \ge 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\). 3. Bei \(g(x) = \sqrt[5]{x + 12}\) ist der Wurzelexponent ungerade. Wurzeln mit ungeradem Exponenten sind für alle reellen Zahlen definiert. Somit ist \(D = \mathbb{R}\). 4. Bei \(h(x) = \sqrt[6]{18 - 3x}\) gilt \(18 - 3x \ge 0\) aufgrund des geraden Exponenten. Dies führt zu \(18 \ge 3x\) bzw. \(6 \ge x\). Der Definitionsbereich ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\). 5. Bei \(k(x) = \sqrt{x^2 + 9}\) muss \(x^2 + 9 \ge 0\) gelten. Da \(x^2\) für alle reellen Zahlen mindestens \(0\) ist, ist \(x^2 + 9\) immer mindestens \(9\). Die Bedingung ist für alle \(x\) erfüllt, also \(D = \mathbb{R}\).

1) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 4\}\) 2) \(D = \mathbb{R}\) 3) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 6\}\) 4) \(D = \mathbb{R}\)

- Überlege zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|x|\). - Prüfe für einen beispielhaften Wert aus dem angegebenen Bereich, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert.

1. Für a): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Da \(a \le 8\), ist der Ausdruck \(a-8 \le 0\). Somit ist \(|a-8| = -(a-8) = 8-a\). 2. Für b): Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Da hier \(b+5 \ge 0\) durch die Bedingung gegeben ist, bleibt das Ergebnis \(b+5\). 3. Für c): Es gilt \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\). Da \(c \le 2\), ist \(c-2 \le 0\). Somit ist \(|c-2| = -(c-2) = 2-c\). 4. Für d): Es gilt \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\). Da \(x \ge 1\), ist \(1-x \le 0\). Somit ist \(|1-x| = -(1-x) = x-1\).

a) \(8-a\) b) \(b+5\) c) \(2-c\) d) \(x-1\)

- Kannst du den Wurzelexponenten und den Potenzexponenten durch eine gemeinsame Zahl teilen? - Was passiert, wenn du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibst? - Überlege dir für jeden Teil, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Basis unter der vereinfachten Wurzel ergibt.

1. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}\) zur Vereinfachung der Wurzelexponenten. 2. Für a): \(\sqrt[6]{125^2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 3. Für b): \(\sqrt[4]{2{,}25^2} = \sqrt{2{,}25}\). Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), ist das Ergebnis \(1{,}5\). 4. Für c): \(\sqrt[8]{16^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 5. Für d): \(\sqrt[6]{0{,}001^2} = \sqrt[3]{0{,}001}\). Da \(0{,}1^3 = 0{,}001\), ist das Ergebnis \(0{,}1\).

a) \(5\); b) \(1{,}5\); c) \(2\); d) \(0{,}1\)

- Suche zuerst zwei ganze Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Probiere dann Werte mit einer Nachkommastelle aus. - Wie kannst du sicherstellen, ob du auf- oder abrunden musst?

1. Grobe Eingrenzung durch Potenzen ganzer Zahlen: \(2^5 = 32\) und \(3^5 = 243\). Der Wert liegt zwischen \(2\) und \(3\). 2. Systematisches Testen von Dezimalzahlen: - \(2{,}5^5 = 97{,}65625\) - \(2{,}6^5 = 118{,}81376\) 3. Da \(97{,}65625 < 100 < 118{,}81376\), liegt \(\sqrt[5]{100}\) im Intervall \([2{,}5; 2{,}6]\). 4. Für die Rundung auf eine Dezimalstelle wird die Mitte \(2{,}55\) geprüft: \(2{,}55^5 \approx 107{,}82\). Da \(100 < 107{,}82\), gilt \(\sqrt[5]{100} < 2{,}55\), also wird auf \(2{,}5\) gerundet.

\(\sqrt[5]{100} \approx 2{,}5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Überlege, welche Zahlen man in eine Quadratwurzel einsetzen darf. - Was bewirkt die Betragsfunktion bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung für \(x = 16\): \(A = \sqrt[4]{16^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|16|} = \sqrt{16} = 4\). Beide Werte sind identisch. 2. Berechnung für \(x = -16\): \(A = \sqrt[4]{(-16)^2} = \sqrt[4]{256} = 4\); \(B = \sqrt{|-16|} = \sqrt{16} = 4\). Auch hier sind die Werte identisch. 3. Umformung für \(x > 0\): \(A = \sqrt[4]{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). Da für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\), ist \(B = \sqrt{x}\). Somit \(A = B\). 4. Begründung der Definition: Im Ausdruck \(A\) wird \(x\) zuerst quadriert, wodurch der Radikand \(x^2\) für jede reelle Zahl \(x\) nicht-negativ ist (\(x^2 \geq 0\)). Die vierte Wurzel ist somit immer definiert. Im Ausdruck \(B\) würde ohne Betragsstriche für negative \(x\) eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl entstehen, was im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist. Die Betragsstriche stellen sicher, dass der Radikand stets positiv oder null ist.

a) Für \(x = 16\) und \(x = -16\) ergibt sich jeweils der Wert \(4\). b) Durch die Potenzgesetze gilt \((x^2)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). c) Das Quadrat in \(A\) macht den Radikanden nicht negativ; in \(B\) übernimmt der Betrag diese Funktion, damit die Wurzel auch für negative \(x\) definiert ist.

- Was passiert, wenn man eine negative Zahl quadriert und anschließend die Wurzel zieht? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|a|\). - Wie verhält sich das Vorzeichen eines Terms in der Klammer, wenn die Bedingung (z. B. \(x < 1\)) erfüllt ist? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten nach dem Kürzen.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}\): Der Term \(\sqrt[6]{(b-3)^2}\) wird zu \(\sqrt[3]{|b-3|}\) vereinfacht. 2. Berücksichtigung der Bedingung \(b < 3\): Da \(b-3\) negativ ist, gilt für den Betrag \(|b-3| = -(b-3) = 3-b\). Der vereinfachte Term lautet \(\sqrt[3]{3-b}\). 3. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) für gerade \(n\): Der Term \(\sqrt[10]{(x-1)^{10}}\) wird zu \(|x-1|\) vereinfacht. 4. Berücksichtigung der Bedingung \(x < 1\): Da \(x-1\) negativ ist, gilt \(|x-1| = -(x-1) = 1-x\). Der vereinfachte Term lautet \(1-x\).

1) \(\sqrt[3]{3-b}\) 2) \(1-x\)

- Welche Rolle spielt es für das Vorzeichen, ob ein Exponent gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich daran, wie sich eine \( n \)-te Wurzel und eine Potenz mit dem gleichen Exponenten \( n \) gegenseitig aufheben. - Kannst du den Wurzelausdruck zuerst in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreiben? - Wie verhält sich ein Koeffizient vor einer Wurzel, wenn der gesamte Ausdruck potenziert wird?

1. Bei \( (-\sqrt[4]{10})^4 \) ist der Exponent gerade, wodurch das Minuszeichen entfällt: \( (\sqrt[4]{10})^4 = 10 \). 2. Bei \( (-\sqrt[5]{3})^5 \) ist der Exponent ungerade, weshalb das Minuszeichen erhalten bleibt: \( -(\sqrt[5]{3})^5 = -3 \). 3. Für \( (-2\sqrt{x})^2 \) werden sowohl der Koeffizient als auch die Wurzel quadriert: \( (-2)^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 4x \). 4. Der Term \( (\sqrt[3]{y^2})^6 \) wird mithilfe von Potenzgesetzen umgeformt: \( (y^{\frac{2}{3}})^6 = y^{\frac{2 \cdot 6}{3}} = y^{\frac{12}{3}} = y^4 \).

a) \( 10 \) b) \( -3 \) c) \( 4x \) d) \( y^4 \)

- Was passiert, wenn man eine Quadratwurzel quadriert? - Gibt es eine ähnliche Regel für die dritte Wurzel und die dritte Potenz? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer, bevor du die äußere Potenz betrachtest.

1. Anwendung der Identität \( (\sqrt[n]{a})^n = a \) für den ersten Ausdruck: \( 3{,}5 \cdot 4 + 11 = 14 + 11 = 25 \). 2. Anwendung der Identität auf den zweiten Ausdruck: \( 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \). 3. Anwendung der Identität auf den dritten Ausdruck unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs: \( x + \sqrt{x} \).

a) \( 25 \) b) \( 27 \) c) \( x + \sqrt{x} \)

- Denke an die Potenzgesetze für Produkte: Wie verhält sich die Potenz bei einem Produkt in der Klammer? - Wie verrechnet man Potenzen von Potenzen, wie zum Beispiel \( (k^2)^3 \)? - Kannst du Zähler und Nenner getrennt vereinfachen, bevor du teilst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den ersten Term: \( 3^2 \cdot (\sqrt{y+2})^2 = 9 \cdot (y+2) = 9y + 18 \). 2. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \( (k^2)^3 \cdot (\sqrt[3]{k})^3 = k^{2 \cdot 3} \cdot k = k^6 \cdot k = k^7 \). 3. Vereinfachung des Zählers und Nenners im dritten Term durch Aufheben von Wurzel und Potenz: \( \frac{50 - 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 \).

a) \( 9y + 18 \) b) \( k^7 \) c) \( 12 \)

- Betrachte zuerst allgemein, wie sich eine Wurzel auf einen geraden Exponenten auswirkt. - Achte darauf, dass die positive Voraussetzung Vorzeichenprobleme vermeidet. - Vergleiche in den Teilaufgaben die Exponenten mit der allgemeinen Aussage. - Vereinfache erst die Potenzform und berechne Zahlenwerte erst danach.

1. Begründung: \(\sqrt{a^{4m}} = (a^{4m})^{1/2}\). Durch Multiplikation der Exponenten erhält man \(a^{4m \cdot \frac{1}{2}} = a^{2m}\). 2. Zu a): Hier ist die Basis \(a=3\) und der Exponent \(4m = 4\), also \(m=1\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 3^{2 \cdot 1} = 3^2 = 9\). 3. Zu b): Hier ist die Basis \(a=2\) und der Exponent \(4m = 12\), also \(m=3\). Das Ergebnis ist \(a^{2m} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64\). 4. Zu c): Hier ist die Basis \(x\) und der Exponent \(4m = 16\), also \(m=4\). Das Ergebnis ist \(x^{2 \cdot 4} = x^8\).

Allgemein: \(\sqrt{a^{4m}} = a^{2m}\). a) \(\sqrt{3^4} = 9\) b) \(\sqrt{2^{12}} = 64\) c) \(\sqrt{x^{16}} = x^8\)

- Wie kannst du die Wurzel oder die Potenz auf der linken Seite „rückgängig“ machen? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit demselben Exponenten potenzierst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x\) nicht mehr im Wurzelexponenten steht? - Versuche, die Zahl auf der rechten Seite als Potenz mit einer passenden Basis darzustellen.

1. Um \(x\) in \(\sqrt[4]{x} = 3\) zu isolieren, werden beide Seiten der Gleichung zur vierten Potenz erhoben: \(x = 3^4 = 81\). 2. Bei \(x^{\frac{3}{2}} = 64\) wird die Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenziert: \(x = 64^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16\). 3. Die Gleichung \(\sqrt[x]{243} = 3\) kann in \(3^x = 243\) umgeformt werden. Durch Probieren oder Primfaktorzerlegung (\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\)) ergibt sich \(x = 5\). 4. Um \(x\) in \(x^3 = \frac{27}{1000}\) zu finden, wird die dritte Wurzel gezogen: \(x = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(x = 81\) b) \(x = 16\) c) \(x = 5\) d) \(x = 0{,}3\)

- Könntest du beide Seiten des Vergleichs so umformen, dass sie leichter vergleichbar sind? - Manchmal hilft es, beide Zahlen zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren. - Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Brüchen und Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte.

1. Berechnung von \(\sqrt{0{,}49}\): Da \(0{,}7^2 = 0{,}49\), ist \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Da \(0{,}7 > 0{,}07\), folgt \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\). 2. Berechnung beider Seiten: \(\sqrt[3]{27} = 3\) (da \(3^3 = 27\)) und \(\sqrt{9} = 3\) (da \(3^2 = 9\)). Also gilt \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\). 3. Berechnung von \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\): Da \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\), ist die Wurzel \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\) (was \(\frac{1}{4}\) entspricht), folgt \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\). 4. Vergleich durch Quadrieren: \((\sqrt{20})^2 = 20\) und \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Da \(20 < 20{,}25\), folgt \(\sqrt{20} < 4{,}5\).

a) \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\) b) \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\) c) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\) d) \(\sqrt{20} < 4{,}5\)

- Was passiert mit dem Wert einer Wurzel, wenn der Wurzelexponent größer wird, während die Zahl unter der Wurzel gleich bleibt? - Was passiert, wenn die Zahl unter der Wurzel größer wird, aber der Wurzelexponent gleich bleibt? - Könntest du die Brüche im Exponenten auf einen Hauptnenner bringen, um sie besser vergleichen zu können?

1. Vergleich bei gleicher Basis: Da \(5 > 1\), ist die vierte Wurzel kleiner als die dritte Wurzel, also \(b < a\). Ebenso gilt bei Basis 10: \(d < c\). 2. Vergleich bei gleichem Wurzelexponenten: Da \(10 > 5\), ist \(\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}\) (also \(c > a\)) und \(\sqrt[4]{10} > \sqrt[4]{5}\) (also \(d > b\)). 3. Vergleich von \(a\) und \(d\): Umformung auf den gleichen Wurzelexponenten 12: \(a = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{625}\) und \(d = 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{1000}\). Da \(625 < 1000\), folgt \(a < d\). 4. Gesamtreihenfolge: \(b < a < d < c\). 5. Numerische Überprüfung: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\). Die Reihenfolge stimmt.

Reihenfolge: \(b < a < d < c\). Werte: \(b \approx 1{,}50\); \(a \approx 1{,}71\); \(d \approx 1{,}78\); \(c \approx 2{,}15\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einem ungeraden Exponenten potenziert? - Erinnere dich an die Definition der Wurzel: Ist das Ergebnis einer Wurzeloperation immer eindeutig positiv oder negativ festgelegt? - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten.

1. Wahr: Es gilt \((-5)^3 = -125\). Da der Exponent ungerade ist, ist die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl definiert und ergibt hier \(-5\). 2. Falsch: Nach der Definition ist der Wert einer geraden Wurzel (\(n\)-te Wurzel mit geradem \(n\)) einer reellen Zahl immer größer oder gleich Null. 3. Falsch: Wurzeln mit ungeraden Exponenten (wie \(n=5\)) sind auch für negative Radikanden definiert. Es gilt \(\sqrt[5]{-1} = -1\), da \((-1)^5 = -1\).

1. Wahr, da \((-5)^3 = -125\). 2. Falsch, da Ergebnisse von geraden Wurzeln (\(\sqrt[4]{...}\)) per Definition nicht negativ sind. 3. Falsch, da ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind (hier \(-1\)).

- Berechne zuerst die einzelnen Wurzelwerte, bevor du die Grundrechenarten ausführst. - Erinnere dich daran, welche Bedingung für den Radikanden gelten muss, wenn der Wurzelexponent eine gerade Zahl ist. - Achte bei Subtraktionen besonders auf das Vorzeichen der Ergebnisse.

1. Ausdruck a): \(\sqrt[3]{-125} = -5\) (ungerade Wurzel) und \(\sqrt[4]{16} = 2\). Die Summe ist \(-5 + 2 = -3\). 2. Ausdruck b): \(\sqrt[6]{-64}\) hat einen geraden Wurzelexponenten (6) und einen negativen Radikanden (\(-64\)). Dieser Teil ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, daher hat der gesamte Ausdruck keinen reellen Wert. 3. Ausdruck c): \(\sqrt[5]{-1} = -1\) und \(\sqrt[3]{-1} = -1\). Die Differenz ist \(-1 - (-1) = -1 + 1 = 0\). 4. Ausdruck d): \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\) (da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\)) und \(\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1\) (da \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\)). Der Quotient ist \(\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1\).

a) \(-3\) b) Nicht definiert (gerade Wurzel aus einer negativen Zahl) c) \(0\) d) \(-1\)

- Überlege dir, welche Zahlen man in eine vierte Wurzel einsetzen darf und welche in eine dritte Wurzel. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie hoch 3 oder hoch 4 nimmt? - Bei Teilaufgabe c) hilft es, den Ausdruck unter der Wurzel durch eine andere Variable zu ersetzen. - Welche Zahlen ergeben denselben Wert, egal ob man die dritte oder die vierte Wurzel zieht?

1. Untersuchung von \(f(x)\): Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade. Der Radikand muss nicht-negativ sein: \(x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\). Also \(D_f = [3; \infty[\). 2. Untersuchung von \(g(x)\): Der Wurzelexponent \(3\) ist ungerade. Eine ungerade Wurzel ist für alle reellen Zahlen definiert, auch für negative Radikanden. Also \(D_g = \mathbb{R}\). 3. Vergleich: Der Unterschied liegt darin, dass Potenzen mit geraden Exponenten niemals negativ sind (im Reellen), weshalb die Umkehrung (die Wurzel) nur für nicht-negative Werte definiert ist. Ungerade Potenzen hingegen erhalten das Vorzeichen, weshalb ihre Umkehrung für alle Werte existiert. 4. Gleichung lösen: \(\sqrt[4]{x - 3} = \sqrt[3]{x - 3}\). Zuerst muss \(x\) im Definitionsbereich beider Funktionen liegen, also \(x \ge 3\). 5. Setze \(u = x - 3\). Die Gleichung lautet \(\sqrt[4]{u} = \sqrt[3]{u}\) bzw. \(u^{\frac{1}{4}} = u^{\frac{1}{3}}\). 6. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die Basis \(0\) oder \(1\) ist. 7. Fall 1: \(u = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{0} = 0\) und \(\sqrt[3]{0} = 0\). 8. Fall 2: \(u = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4\). Überprüfung: \(\sqrt[4]{1} = 1\) und \(\sqrt[3]{1} = 1\). 9. Für andere Werte \(u > 0\) und \(u \neq 1\) sind die Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten niemals gleich.

a) \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 3\}\); \(D_g = \mathbb{R}\). b) Bei geraden Wurzelexponenten muss der Radikand \(\ge 0\) sein; bei ungeraden darf er beliebig sein. c) \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\).

- Achte darauf, ob der Wurzelexponent und der Exponent im Inneren gerade oder ungerade sind. - Wenn du Zahlen für die Variablen einsetzt, kannst du prüfen, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert. - Wie verhalten sich Potenzen mit geraden Exponenten im Vergleich zu Potenzen mit ungeraden Exponenten bei negativen Basen?

1. Teilaufgabe a): Es gilt \(\sqrt[4]{(x-y)^4} = |x-y|\). Da \(x < y\), ist die Differenz \(x-y\) negativ. Die Vereinfachung ergibt \(|x-y| = -(x-y) = y-x\). 2. Teilaufgabe b): Der Term lässt sich zu \(((a-b)^{12})^{\frac{1}{6}} = (a-b)^2\) vereinfachen. Für \(a=3, b=5\) ergibt sich \((3-5)^2 = (-2)^2 = 4\). Für \(a=5, b=3\) ergibt sich \((5-3)^2 = 2^2 = 4\). Das Ergebnis bleibt gleich, da das Quadrat einer Zahl und ihres Gegenteils identisch ist. 3. Teilaufgabe c): Es gilt \(\sqrt{(z-10)^6} = |(z-10)^3|\). Da \(z < 10\), ist \(z-10 < 0\). Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten (hier 3) ergibt einen negativen Wert. Um den Betrag aufzulösen, muss mit \(-1\) multipliziert werden: \(-(z-10)^3\) oder \((10-z)^3\).

a) \(y-x\) b) Wert: \(4\). Das Ergebnis ändert sich nicht, da \((a-b)^2 = (b-a)^2\). c) \((10-z)^3\) oder \(-(z-10)^3\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie erst quadriert und dann die Wurzel zieht? - Überlege dir, ob das Ergebnis einer Wurzel (mit geradem Exponenten) jemals negativ sein kann. - Vergleiche die Größen der Zahlen unter der Wurzel, indem du sie beide als Wurzeln schreibst (z. B. \(4 = \sqrt{16}\)). - Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a^2} = |a|\): \(\sqrt{(-13)^2} = |-13| = 13\). 2. Da der Wurzelexponent gerade ist, gilt \(\sqrt[4]{a^4} = |a|\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3\). 3. Es gilt \(\sqrt{(4-\sqrt{17})^2} = |4-\sqrt{17}|\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz \(4-\sqrt{17}\) negativ. Somit ist \(|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4\). 4. Es gilt \(\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^6} = |2-\sqrt{3}|\). Da \(2 = \sqrt{4}\) und \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\), ist die Differenz \(2-\sqrt{3}\) positiv. Somit ist \(|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\).

1) 13; 2) 3; 3) \(\sqrt{17}-4\); 4) \(2-\sqrt{3}\).

- Welche ganze Zahl ergibt hoch drei etwa 30? - Überlege, wie du durch Probieren mit einer Nachkommastelle den Bereich eingrenzen kannst. - Kannst du die beiden Zahlen mit einem festen Wert wie \(3{,}1\) vergleichen?

1. Eingrenzung von \(a = \sqrt[3]{30}\): Da \(3^3 = 27\) und \(4^3 = 64\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 2. Prüfung für \(a\): \(3{,}1^3 = 29{,}791\) und \(3{,}2^3 = 32{,}768\). Somit gilt \(3{,}1 < \sqrt[3]{30} < 3{,}2\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}1; 3{,}2]\). 3. Eingrenzung von \(b = \sqrt[4]{90}\): Da \(3^4 = 81\) und \(4^4 = 256\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 4. Prüfung für \(b\): \(3{,}0^4 = 81\) und \(3{,}1^4 = 92{,}3521\). Somit gilt \(3{,}0 < \sqrt[4]{90} < 3{,}1\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}0; 3{,}1]\). 5. Vergleich: Da \(\sqrt[3]{30} > 3{,}1\) und \(\sqrt[4]{90} < 3{,}1\), folgt \(a > b\).

\(a = \sqrt[3]{30}\) ist größer als \(b = \sqrt[4]{90}\). Intervalle: \(3{,}1 < a < 3{,}2\) und \(3{,}0 < b < 3{,}1\).

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis einer geraden Wurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, welche der beiden Zahlen in der Differenz größer ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert und anschließend die Wurzel gezogen wird? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Die Vereinfachung basiert auf der Regel \(\sqrt[2n]{A^2} = \sqrt[n]{|A|}\). 1. Teilaufgabe a: Kürzen des Exponenten ergibt \(\sqrt{|3-\sqrt{11}|}\). Da \(3 = \sqrt{9}\) und \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist somit \(\sqrt{11}-3\). Ergebnis: \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\). 2. Teilaufgabe b: Kürzen ergibt \(\sqrt[3]{|\sqrt{2}-\sqrt{7}|}\). Da \(\sqrt{2} < \sqrt{7}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\). 3. Teilaufgabe c: Kürzen ergibt \(\sqrt[5]{|4-\sqrt{17}|}\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{17}-4\). Ergebnis: \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\).

a) \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\) b) \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\) c) \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl unter einer Quadratwurzel hast, die kleiner als Null ist? - Untersuche den Definitionsbereich der vorgeschlagenen Vereinfachung. - Wie verhält sich der Ausdruck \((x-5)\), wenn \(x\) kleiner als \(5\) ist? Ist er positiv oder negativ? - Wie löst man Betragsstriche auf, wenn man weiß, dass der Inhalt negativ ist?

1. Berechnung für \(x = 1\): Einsetzen ergibt \(\sqrt[4]{(1-5)^2} = \sqrt[4]{(-4)^2} = \sqrt[4]{16}\). Da \(2^4 = 16\), ist das Ergebnis \(2\). 2. Überprüfung der Behauptung: Setzt man \(x = 1\) in \(\sqrt{x-5}\) ein, erhält man \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\). Dieser Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht existiert. Das Ergebnis \(2\) aus Teil a) widerspricht also der Behauptung. 3. Vereinfachung für \(x < 5\): Allgemein gilt \(\sqrt[4]{(x-5)^2} = \sqrt{|x-5|}\). Wenn \(x < 5\) ist, dann ist die Differenz \((x-5)\) negativ. Um den Betrag aufzulösen, muss das Vorzeichen umgekehrt werden: \(|x-5| = -(x-5) = 5-x\). Somit lautet die vereinfachte Form \(\sqrt{5-x}\).

a) \(2\) b) Für \(x=1\) wäre \(\sqrt{1-5} = \sqrt{-4}\) nicht definiert, während der ursprüngliche Term den Wert \(2\) liefert. c) \(\sqrt{5-x}\)

- Wie kannst du zwei Wurzeln vergleichen, wenn sie nicht denselben Wurzelexponenten haben? - Suche nach einer Möglichkeit, beide Wurzeln so umzuformen, dass sie denselben „Namen“ (Index) haben. - Was passiert mit dem Radikanden (der Zahl unter der Wurzel), wenn du den Wurzelexponenten vergrößerst?

1. Um Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten zu vergleichen, werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten (das kleinste gemeinsame Vielfache der Indizes) gebracht. 2. Teil a): \( \text{kgV}(3, 2) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25} \) und \( \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27} \). Da \( 25 < 27 \), folgt \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \). 3. Teil b): \( \text{kgV}(4, 3) = 12 \). Es gilt \( \sqrt[4]{10} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000} \) und \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256} \). Da \( 1000 > 256 \), folgt \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \). 4. Teil c): \( \text{kgV}(6, 3) = 6 \). Es gilt \( \sqrt[6]{10} \) und \( \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} \). Da \( 10 > 9 \), folgt \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \).

a) \( \sqrt[3]{5} < \sqrt{3} \) b) \( \sqrt[4]{10} > \sqrt[3]{4} \) c) \( \sqrt[6]{10} > \sqrt[3]{3} \)

- Wie kann man Brüche vergleichen, die unterschiedliche Nenner haben? Kannst du dieses Prinzip auf die Wurzelexponenten übertragen? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}\) gilt. - Suche nach einem gemeinsamen Wurzelexponenten für beide Zahlen. - Wenn die Wurzelexponenten gleich sind, musst du nur noch die Zahlen unter der Wurzel (die Radikanden) vergleichen.

1. Um die Wurzeln vergleichen zu können, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 4 ist 12. 2. Umformung von \(u\): \(u = \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}\). 3. Umformung von \(v\): \(v = \sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 3]{8^3} = \sqrt[12]{512}\). 4. Vergleich der Radikanden: Da \(625 > 512\), gilt auch \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\). 5. Ergebnis: Somit ist \(u > v\), also \(\sqrt[3]{5} > \sqrt[4]{8}\).

Die Zahl \(u = \sqrt[3]{5}\) ist größer als \(v = \sqrt[4]{8}\), da \(\sqrt[12]{625} > \sqrt[12]{512}\).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt[n]{a^n}\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Wie ist der Betrag einer Zahl definiert, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Schätze die Werte von \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) grob ab, um das Vorzeichen der Differenz zu bestimmen. - Wann ist der Betrag einer Zahl gleich ihrer Gegenzahl?

1. Bei ungeradem Exponenten gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\), also \(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\). Bei geradem Exponenten gilt \(\sqrt{a^2} = |a|\), also \(\sqrt{(-5)^2} = 5\). Die Summe ist \(-5 + 5 = 0\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{(\sqrt{5}-3)^4} = |\sqrt{5}-3|\). Da \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 < 3\), ist die Basis negativ. Der Betrag ist \(3-\sqrt{5}\). 3. Es gilt \(\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|\). Da \(\pi \approx 3{,}141 > 3\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\pi-3\). 4. Die linke Seite \(\sqrt[8]{x^8}\) entspricht \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = -x\) ist nach der Definition des Betrags genau dann erfüllt, wenn \(x \le 0\).

a) 0; b) \(3-\sqrt{5}\); c) \(\pi-3\); d) \(x \le 0\).

- Rechne zuerst den Wert innerhalb der Wurzel aus (die Potenz). - Beachte den Unterschied im Ergebnis, wenn du eine negative Zahl mit einer geraden oder einer ungeraden Zahl potenzierst. - Ist das Ergebnis einer Wurzelrechnung in der Schule immer positiv oder kann es auch negativ sein? - Wie kannst du mathematisch sicherstellen, dass ein Ergebnis niemals negativ ist, egal welche Zahl du einsetzt?

1. Überprüfung für \(n = 4, a = -3\): \(\sqrt[4]{(-3)^4} = \sqrt[4]{81} = 3\). Da \(3 \neq -3\), ist die Behauptung für negative \(a\) und gerade \(n\) falsch. 2. Überprüfung für \(n = 3, a = -2\): \(\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2\). Hier gilt \(-2 = -2\), die Behauptung ist für ungerade \(n\) korrekt (sofern Wurzeln aus negativen Zahlen definiert sind). 3. Korrektur für gerade \(n\): Das Ergebnis einer Wurzel mit geradem Exponenten ist per Definition stets nicht-negativ. Da \(a^n\) für gerade \(n\) positiv ist, ergibt die Wurzel den Betrag der Basis. Die korrekte Formel lautet: \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).

a) Die Behauptung ist falsch, da \(\sqrt[4]{(-3)^4} = 3\) und nicht \(-3\). b) Die Behauptung ist wahr, da \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\). c) Die korrekte Formel für gerade \(n\) lautet \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).