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- Welche Bedeutung hat eine fünfte Wurzel? - Welche kleine natürliche Zahl ergibt bei der fünften Potenz \(32\)?

1. Gesucht ist die Zahl, deren fünfte Potenz \(32\) ergibt. Da \(2^5=32\), gilt \(\sqrt[5]{32}=2\).

\(2\)

- Ist der Wurzelexponent \(4\) gerade oder ungerade? - Welche Vorzeichen dürfen reelle Radikanden bei einer geraden Wurzel haben?

1. Der Wurzelexponent \(4\) ist gerade. 2. Eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Daher ist \(\sqrt[4]{-16}\) keine reelle Zahl.

\(\sqrt[4]{-16}\) ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

- Welche nichtnegative Zahl ergibt in der vierten Potenz \(81\)? - Unterscheide den Wert eines Wurzelterms von der Lösungsmenge einer Gleichung. - Das Wurzelzeichen steht bei geradem Wurzelexponenten für den nichtnegativen Wurzelwert.

1. Die vierte Wurzel bezeichnet die nichtnegative Zahl, deren vierte Potenz \(81\) ist. 2. Da \(3^4=81\), gilt \(\sqrt[4]{81}=3\). 3. Die Gleichung \(x^4=81\) besitzt dagegen die beiden Lösungen \(x=3\) und \(x=-3\). Das Wurzelzeichen selbst bezeichnet nur den nichtnegativen Wurzelwert.

\(\sqrt[4]{81}=3\). Die Gleichung \(x^4=81\) hat die Lösungen \(x=\pm3\), aber die vierte Wurzel bezeichnet nur den nichtnegativen Wert.

- Prüfe zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Bei geradem Wurzelexponenten muss der Radikand für eine reelle Wurzel nichtnegativ sein. - Bei ungeradem Wurzelexponenten sind auch negative Radikanden möglich.

1. Bei a) ist der Radikand positiv. Da \(2^4=16\), gilt \(\sqrt[4]{16}=2\). 2. Bei b) ist der Wurzelexponent gerade und der Radikand negativ. Deshalb ist der Term in \(\mathbb{R}\) nicht definiert. 3. Bei c) ist der Wurzelexponent ungerade. Weil \((-2)^3=-8\), gilt \(\sqrt[3]{-8}=-2\).

a) Definiert; \(2\) b) In \(\mathbb{R}\) nicht definiert c) Definiert; \(-2\)

- Schreibe jede Ausgangszahl zunächst als Potenz von \(10\). - Überlege, welche positive Zehnerpotenz beim Quadrieren die jeweilige Ausgangspotenz ergibt. - Bei Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) helfen negative ganzzahlige Exponenten. - Prüfe dein Ergebnis jeweils durch Quadrieren.

1. Für jedes \(n\in\mathbb{Z}\) gilt \((10^n)^2=10^{2n}\). Da \(10^n>0\), ist nach der Definition der Quadratwurzel \(\sqrt{10^{2n}}=10^n\). 2. Es ist \(100\,000\,000=10^8\). Daher \(\sqrt{10^8}=10^4=10\,000\). 3. Es ist \(0{,}000001=10^{-6}\). Daher \(\sqrt{10^{-6}}=10^{-3}=0{,}001\). 4. Es ist \(\frac{10^3}{10^7}=10^{-4}\). Daher \(\sqrt{10^{-4}}=10^{-2}=0{,}01\).

a) \(10\,000\) b) \(0{,}001\) c) \(0{,}01\)

- Suche für die allgemeine Aussage eine positive Zahl, deren Quadrat \(5^{2k}\) ist. - Nutze bei negativen Exponenten die Kehrwertbedeutung. - Forme den letzten Radikanden zunächst als Potenz von \(5\) um.

1. Es gilt \((5^k)^2=5^{2k}\). Da \(5^k>0\) für jedes \(k\in\mathbb{Z}\) ist, folgt aus der Definition der Quadratwurzel \(\sqrt{5^{2k}}=5^k\). 2. Für \(\sqrt{5^6}\) gilt \(2k=6\), also \(k=3\). Damit ist der Wert \(5^3=125\). 3. Für \(\sqrt{5^{-4}}\) gilt \(2k=-4\), also \(k=-2\). Damit ist der Wert \(5^{-2}=\frac1{25}\). 4. Es ist \(\frac1{5^2}=5^{-2}\). Daher gilt \(2k=-2\), also \(k=-1\), und \(\sqrt{\frac1{5^2}}=5^{-1}=\frac15\).

Begründung: \((5^k)^2=5^{2k}\) und \(5^k>0\), daher \(\sqrt{5^{2k}}=5^k\). \(\sqrt{5^6}=125\) \(\sqrt{5^{-4}}=\frac1{25}\) \(\sqrt{\frac1{5^2}}=\frac15\)

- Identifiziere in jeder Gleichung die Zahl, die potenziert beziehungsweise als Wurzelwert verwendet wird. - Achte darauf, welche natürliche Zahl den Zusammenhang zwischen Potenz und Wurzel bestimmt. - Vergleiche deine Umformung mit dem gegebenen Beispiel, ohne die konkreten Zahlen daraus zu übernehmen.

1. Aus \(13^2=169\) wird \(\sqrt{169}=13\). 2. Aus \(\sqrt[3]{216}=6\) wird \(6^3=216\). 3. Aus \(0{,}2^5=0{,}00032\) wird \(\sqrt[5]{0{,}00032}=0{,}2\). 4. Aus \(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac23\) wird \(\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}\).

a) \(\sqrt{169}=13\) b) \(6^3=216\) c) \(\sqrt[5]{0{,}00032}=0{,}2\) d) \(\left(\frac23\right)^4=\frac{16}{81}\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten: \(x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\). - Prüfe, ob du die Radikanden als Potenzen kleinerer Basen (wie 2 oder 3) schreiben kannst. - Fasse Produkte von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten unter einer Wurzel zusammen.

1. Berechnung von \(e\): Die \(n\)-te Wurzel aus \(0\) ist immer \(0\), also \(e = 0\). 2. Berechnung von \(d\): Der Exponent \(0{,}25\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{4}\). Somit ist \(d = \sqrt[4]{16} = 2\), da \(2^4 = 16\). 3. Berechnung von \(a\): Da \(3^4 = 81\), ist \(a = \sqrt[4]{81} = 3\). 4. Berechnung von \(b\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{2}{5}\). Es gilt \(b = (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 5. Berechnung von \(c\): Nach den Wurzelgesetzen gilt \(c = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 6. Vergleich der Ergebnisse: \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\). Die Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist \(e, d, a, b, c\) mit den Werten \(0 < 2 < 3 < 4 < 6\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird? - Kann der Wert einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten negativ sein? - Nutze die passende Potenz als Probe für einen vermuteten Wurzelwert.

1. a) ist wahr, denn \((-0{,}5)^3=-0{,}125\). 2. b) ist wahr, denn \(0{,}08^2=0{,}0064\). 3. c) ist falsch. Es gilt \(5^4=625\), also \(\sqrt[4]{625}=5\). 4. d) ist falsch. \(\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9\), da eine Quadratwurzel nicht negativ ist. 5. e) ist wahr, denn \((-2)^5=-32\).

a) wahr b) wahr c) falsch d) falsch e) wahr

- Könntest du beide Seiten des Vergleichs so umformen, dass sie leichter vergleichbar sind? - Manchmal hilft es, beide Zahlen zu quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren. - Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Brüchen und Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte.

1. Berechnung von \(\sqrt{0{,}49}\): Da \(0{,}7^2 = 0{,}49\), ist \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Da \(0{,}7 > 0{,}07\), folgt \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\). 2. Berechnung beider Seiten: \(\sqrt[3]{27} = 3\) (da \(3^3 = 27\)) und \(\sqrt{9} = 3\) (da \(3^2 = 9\)). Also gilt \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\). 3. Berechnung von \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\): Da \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}\), ist die Wurzel \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\) (was \(\frac{1}{4}\) entspricht), folgt \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\). 4. Vergleich durch Quadrieren: \((\sqrt{20})^2 = 20\) und \(4{,}5^2 = 20{,}25\). Da \(20 < 20{,}25\), folgt \(\sqrt{20} < 4{,}5\).

a) \(\sqrt{0{,}49} > 0{,}07\) b) \(\sqrt[3]{27} = \sqrt{9}\) c) \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} > \frac{1}{4}\) d) \(\sqrt{20} < 4{,}5\)

- Berechne zuerst den Zahlenwert für jeden Term einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Steht es innerhalb oder außerhalb der Wurzel? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativer Basis berechnet. - Was bewirkt das Quadrat unter einer Wurzel bei einer negativen Zahl?

1. Berechnung von \(a\): \(\sqrt[3]{-8} = -2\), da \((-2)^3 = -8\). 2. Berechnung von \(b\): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 3. Berechnung von \(c\): \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\). Somit ist \(c = -3\). 4. Berechnung von \(d\): \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\). 5. Berechnung von \(e\): \(\sqrt[5]{32} = 2\), da \(2^5 = 32\). 6. Vergleich der Werte: \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\). 7. Zuordnung der Terme: \(c < a < b < e < d\).

Die richtige Reihenfolge lautet: \(c < a < b < e < d\) (bzw. \(-3 < -2 < 0{,}5 < 2 < 3\)).

- Überlege dir, welche kleine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen im Vergleich zum Wurzelexponenten. - Kannst du den Radikanden als Potenz einer anderen Zahl schreiben? - Bei Brüchen hilft es oft, Zähler und Nenner getrennt zu betrachten.

1. Bestimmung der dritten Wurzel von \(216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\sqrt[3]{216} = 6\). 2. Berechnung der vierten Wurzel von \(0{,}0625\): Da \(5^4 = 625\) und die Zahl vier Nachkommastellen hat, ergibt sich \((0{,}5)^4 = 0{,}0625\), also \(\sqrt[4]{0{,}0625} = 0{,}5\). 3. Vereinfachung des Radikanden: \(32^{-1} = (2^5)^{-1} = (2^{-1})^5 = (0{,}5)^5\). Somit ist \(\sqrt[5]{32^{-1}} = 0{,}5\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze auf den Bruch: \(\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

a) \(6\) b) \(0{,}5\) c) \(0{,}5\) d) \(0{,}3\)

- Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umschreiben, um die Wurzeln leichter zu erkennen? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Potenzieren von Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Quadratwurzel: \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{1{,}2^2} = 1{,}2\) 2. Berechnung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{0{,}2^3} = 0{,}2\) 3. Berechnung der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0001} = \sqrt[4]{0{,}1^4} = 0{,}1\) 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(1{,}2 + 0{,}2 - 0{,}1 = 1{,}3\)

\(1{,}3\)

- Überlege dir für jeden Term, welche Zahl mit dem entsprechenden Exponenten potenziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Achte bei negativen Vorzeichen darauf, ob der Wurzelexponent (die kleine Zahl an der Wurzel) gerade oder ungerade ist. - Wandle Brüche gegebenenfalls in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Werte: a) \(\sqrt[3]{-0{,}125} = -0{,}5\), da \((-0{,}5)^3 = -0{,}125\) b) \(\sqrt[5]{243} = 3\), da \(3^5 = 243\) c) \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75\), da \(\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{27}{64}\) d) \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\), da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\) 2. Vergleich der Werte: \(-0{,}75 < -0{,}5 < 0{,}1 < 3\) 3. Zuordnung der Terme: \(c < a < d < b\)

a) \(-0{,}5\) b) \(3\) c) \(-0{,}75\) d) \(0{,}1\) Reihenfolge: \(\sqrt[3]{-\frac{27}{64}} < \sqrt[3]{-0{,}125} < \sqrt[4]{0{,}0001} < \sqrt[5]{243}\).

- Unterscheide bei negativen Radikanden zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Welche Werte kann eine Wurzel mit geradem Wurzelexponenten als Ergebnis annehmen? - Eine Aussage über Wurzeln lässt sich oft durch die passende Potenzprobe kontrollieren.

1. a) ist wahr, denn \((-5)^3=-125\). 2. b) ist falsch. Eine reelle vierte Wurzel hat einen nichtnegativen Wert und kann daher nicht \(-2\) sein. 3. c) ist falsch. Bei ungeradem Wurzelexponenten sind negative Radikanden erlaubt; \(\sqrt[5]{-1}=-1\).

a) wahr b) falsch c) falsch

- Suche bei jedem Radikanden nach einer passenden Potenz einer einfachen Zahl. - Rechne in b) zuerst die Wurzel und anschließend die äußere Potenz aus. - Bei einem positiven Bruch kannst du Zähler und Nenner getrennt betrachten, wenn beide passende Wurzelwerte besitzen. - Kontrolliere deine Ergebnisse durch die jeweils passende Potenzprobe.

1. a) \(\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1\), denn \(0{,}1^3=0{,}001\). 2. b) \((\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\). 3. c) \(\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac5{12}\). 4. d) \(\sqrt[4]{625}=5\), denn \(5^4=625\).

a) \(0{,}1\) b) \(8\) c) \(\frac5{12}\) d) \(5\)

- Berechne bei jeder Aussage beide Seiten unabhängig voneinander. - Bei Wurzeln mit gleichem Index kannst du prüfen, ob das Produktgesetz sinnvoll eingesetzt werden kann. - Arbeite bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen. - Nutze bei Dezimalzahlen eine Potenzprobe, um den Wurzelwert zu kontrollieren.

1. In a) gilt links \(2\cdot3=6\) und rechts \(\sqrt[3]{216}=6\). Die Aussage ist wahr. 2. In b) ist \(\sqrt{100}=10\) und \(\sqrt[3]{64}=4\). Die Differenz ist \(6\), nicht \(2\). Die Aussage ist falsch. 3. In c) ist \(\sqrt{16}=4\) und anschließend \(\sqrt4=2\). Die Aussage ist wahr. 4. In d) gilt \(0{,}1^4=0{,}0001\). Daher ist \(\sqrt[4]{0{,}0001}=0{,}1\). Die Aussage ist falsch.

a) wahr b) falsch; korrekt ist \(6\) c) wahr d) falsch; korrekt ist \(0{,}1\)

- Wie hängen das Volumen eines Würfels und seine Kantenlänge mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Potenzieren mit drei um? - Wenn du das Volumen eines Körpers kennst, wie kommst du auf die Maße seiner Seiten? - Überlege, wie sich die Seite verändert, wenn sich das gesamte Volumen verachtfacht.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) für \(V_1 = 216\,\text{dm}^3\): \(a = \sqrt[3]{216} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a_2\) für \(V_2 = 1728\,\text{dm}^3\): \(a_2 = \sqrt[3]{1728} = 12\,\text{dm}\). 3. Bestimmung des Verhältnisses der Kantenlängen: \(a_2 {:} a = 12 {:} 6 = 2\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da das Volumen um den Faktor \(8\) größer ist (\(1728 {:} 216 = 8\)), vergrößert sich die Kantenlänge um den Faktor \(\sqrt[3]{8} = 2\).

a) \(6\,\text{dm}\) b) \(12\,\text{dm}\) c) Das Verhältnis ist \(2\). Da das Volumen achtmal so groß ist, ist die Kantenlänge \(\sqrt[3]{8} = 2\)-mal so groß.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Prüfe bei negativen Radikanden zuerst die Parität des Wurzelexponenten. - Bei Termen wie \(\sqrt[n]{x^n}\) kann es helfen, zunächst die Potenz im Radikanden zu bestimmen.

1. a) ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, weil der Wurzelexponent \(4\) gerade und der Radikand negativ ist. 2. b) ist definiert und hat den Wert \(-2\), denn \((-2)^5=-32\). 3. c) ist definiert. Es gilt \((-2)^6=64\) und \(\sqrt[6]{64}=2\). 4. d) ist definiert und hat den Wert \(0{,}2\), denn \(0{,}2^3=0{,}008\). 5. e) ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, weil der Wurzelexponent \(10\) gerade und der Radikand negativ ist.

a) nicht definiert b) definiert: \(-2\) c) definiert: \(2\) d) definiert: \(0{,}2\) e) nicht definiert

- Berechne zuerst die einzelnen Wurzelwerte, bevor du die Grundrechenarten ausführst. - Erinnere dich daran, welche Bedingung für den Radikanden gelten muss, wenn der Wurzelexponent eine gerade Zahl ist. - Achte bei Subtraktionen besonders auf das Vorzeichen der Ergebnisse.

1. Ausdruck a): \(\sqrt[3]{-125} = -5\) (ungerade Wurzel) und \(\sqrt[4]{16} = 2\). Die Summe ist \(-5 + 2 = -3\). 2. Ausdruck b): \(\sqrt[6]{-64}\) hat einen geraden Wurzelexponenten (6) und einen negativen Radikanden (\(-64\)). Dieser Teil ist in \(\mathbb{R}\) nicht definiert, daher hat der gesamte Ausdruck keinen reellen Wert. 3. Ausdruck c): \(\sqrt[5]{-1} = -1\) und \(\sqrt[3]{-1} = -1\). Die Differenz ist \(-1 - (-1) = -1 + 1 = 0\). 4. Ausdruck d): \(\sqrt[4]{0{,}0001} = 0{,}1\) (da \(0{,}1^4 = 0{,}0001\)) und \(\sqrt[3]{-0{,}001} = -0{,}1\) (da \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\)). Der Quotient ist \(\frac{0{,}1}{-0{,}1} = -1\).

a) \(-3\) b) Nicht definiert (gerade Wurzel aus einer negativen Zahl) c) \(0\) d) \(-1\)

- Welche Bedingung muss ein Radikand bei einem geraden Wurzelexponenten erfüllen? - Bei welchen Wurzelexponenten sind auch negative Radikanden erlaubt? - Stelle für die geraden Wurzeln jeweils eine Ungleichung auf. - Prüfe bei d), ob der Radikand überhaupt negativ werden kann.

1. Für Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten muss der Radikand nichtnegativ sein. 2. Für a) gilt \(5x-20\ge0\), also \(x\ge4\). Damit ist \(D_f=[4;\infty[\). 3. Bei b) ist der Wurzelexponent ungerade. Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\). 4. Für c) gilt \(18-3x\ge0\), also \(x\le6\). Damit ist \(D_h=]-\infty;6]\). 5. Bei d) gilt \(x^2+9\ge9>0\) für jedes reelle \(x\). Daher ist \(D_k=\mathbb{R}\).

a) \(D_f=[4;\infty[\) b) \(D_g=\mathbb{R}\) c) \(D_h=]-\infty;6]\) d) \(D_k=\mathbb{R}\)

- Überlege zuerst, ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden Zahl potenziert? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(|x|\). - Prüfe für einen beispielhaften Wert aus dem angegebenen Bereich, ob dein vereinfachter Term das richtige Vorzeichen liefert.

1. Für a): Es gilt \(\sqrt{x^2} = |x|\). Da \(a \le 8\), ist der Ausdruck \(a-8 \le 0\). Somit ist \(|a-8| = -(a-8) = 8-a\). 2. Für b): Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Da hier \(b+5 \ge 0\) durch die Bedingung gegeben ist, bleibt das Ergebnis \(b+5\). 3. Für c): Es gilt \(\sqrt[4]{x^4} = |x|\). Da \(c \le 2\), ist \(c-2 \le 0\). Somit ist \(|c-2| = -(c-2) = 2-c\). 4. Für d): Es gilt \(\sqrt[6]{x^6} = |x|\). Da \(x \ge 1\), ist \(1-x \le 0\). Somit ist \(|1-x| = -(1-x) = x-1\).

a) \(8-a\) b) \(b+5\) c) \(2-c\) d) \(x-1\)

- Prüfe, ob Wurzelexponent und Potenzexponent einen gemeinsamen positiven Teiler haben. - Achte darauf, dass die hier verwendeten Basen nichtnegativ sind; dadurch entstehen beim Reduzieren keine Vorzeichenprobleme. - Nach dem Reduzieren kannst du die verbleibende Wurzel durch eine passende Potenzprobe bestimmen.

1. Für nichtnegative Radikanden kann ein gemeinsamer positiver Faktor von Wurzelexponent und Potenzexponent gekürzt werden, sofern beide dadurch ganzzahlig bleiben. 2. \(\sqrt[6]{125^2}=\sqrt[3]{125}=5\), weil \(5^3=125\). 3. \(\sqrt[4]{2{,}25^2}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\), weil \(1{,}5^2=2{,}25\). 4. \(\sqrt[8]{16^2}=\sqrt[4]{16}=2\), weil \(2^4=16\). 5. \(\sqrt[6]{0{,}001^2}=\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1\), weil \(0{,}1^3=0{,}001\).

a) \(5\) b) \(1{,}5\) c) \(2\) d) \(0{,}1\)

- Suche zuerst zwei ganze Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Probiere dann Werte mit einer Nachkommastelle aus. - Welchen zusätzlichen Testwert brauchst du, um die Rundungsrichtung auf eine Dezimalstelle sicher zu entscheiden?

1. Zunächst gilt \(2^5=32<100<243=3^5\). Der gesuchte Wert liegt also zwischen \(2\) und \(3\). 2. Es ist \(2{,}5^5=97{,}65625<100<118{,}81376=2{,}6^5\). Damit liegt \(\sqrt[5]{100}\) zwischen \(2{,}5\) und \(2{,}6\). 3. Für die Rundungsentscheidung gilt \(2{,}55^5\approx107{,}82>100\). Daher liegt die fünfte Wurzel unter \(2{,}55\) und wird auf eine Dezimalstelle zu \(2{,}5\) gerundet.

\(2{,}5^5=97{,}65625<100<118{,}81376=2{,}6^5\) und \(2{,}55^5\approx107{,}82>100\). Daher gilt \(\sqrt[5]{100}\approx2{,}5\).

- Bestimme zuerst, welche Ausdrücke wegen gerader Potenzen sicher nichtnegativ sind. - Prüfe in a) durch eine Potenzprobe, welcher einfachere nichtnegative Wurzelterm dieselbe sechste Potenz besitzt. - Löse Beträge erst auf, nachdem du mit den gegebenen Ungleichungen das Vorzeichen des inneren Ausdrucks bestimmt hast.

1. Setze \(c=|b-3|\). Dann ist \((b-3)^2=c^2\). Der nichtnegative Wert \(\sqrt[3]{c}\) besitzt die sechste Potenz \(c^2\), also gilt \(\sqrt[6]{(b-3)^2}=\sqrt[3]{|b-3|}\). Wegen \(b<3\) ist \(|b-3|=3-b\). Daher lautet das Ergebnis \(\sqrt[3]{3-b}\). 2. Für einen geraden Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[10]{(x-1)^{10}}=|x-1|\). Wegen \(x<1\) ist \(|x-1|=1-x\).

a) \(\sqrt[3]{3-b}\) b) \(1-x\)

- Prüfe bei jedem Ausdruck zuerst, ob der äußere Exponent gerade oder ungerade ist. - Nutze bei passenden Wurzel- und Potenzexponenten die jeweilige Potenzprobe. - In d) kann ein neuer Name für den Wurzelwert helfen, damit nur noch ganzzahlige Potenzen vorkommen. - Vergiss in c) nicht, dass der Koeffizient ebenfalls mitpotenziert wird.

1. In a) verschwindet das Minuszeichen durch die gerade vierte Potenz: \((-\sqrt[4]{10})^4=(\sqrt[4]{10})^4=10\). 2. In b) bleibt das Minuszeichen wegen der ungeraden fünften Potenz erhalten: \((-\sqrt[5]{3})^5=-3\). 3. In c) gilt \((-2\sqrt{x})^2=(-2)^2(\sqrt{x})^2=4x\). 4. Setze für d) \(u=\sqrt[3]{y^2}\). Dann gilt \(u^3=y^2\). Also ist \(u^6=(u^3)^2=(y^2)^2=y^4\). Daher \((\sqrt[3]{y^2})^6=y^4\).

a) \(10\) b) \(-3\) c) \(4x\) d) \(y^4\)

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Wurzel und der dazu passenden Potenz? - Prüfe in jedem Teil, ob der Ausdruck unter der Wurzel im reellen Zahlenbereich zulässig ist. - Unterscheide zwischen dem Berechnen eines Zahlenwerts und dem Vereinfachen eines Terms mit einer Variablen.

1. Für a) gilt \((\sqrt{A})^2=A\) für \(A\ge0\). Daher ist \((\sqrt{3{,}5\cdot4+11})^2=3{,}5\cdot4+11=25\). 2. Für b) gilt \((\sqrt[3]{A})^3=A\). Daher ist \((\sqrt[3]{5^2+2})^3=5^2+2=27\). 3. Für c) ist wegen \(x\ge0\) auch \(x+\sqrt{x}\ge0\). Daher gilt \((\sqrt{x+\sqrt{x}})^2=x+\sqrt{x}\).

a) \(25\) b) \(27\) c) \(x+\sqrt{x}\)

- Denke an die Potenzgesetze für Produkte: Wie verhält sich die Potenz bei einem Produkt in der Klammer? - Wie verrechnet man Potenzen von Potenzen, wie zum Beispiel \( (k^2)^3 \)? - Kannst du Zähler und Nenner getrennt vereinfachen, bevor du teilst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den ersten Term: \( 3^2 \cdot (\sqrt{y+2})^2 = 9 \cdot (y+2) = 9y + 18 \). 2. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \( (k^2)^3 \cdot (\sqrt[3]{k})^3 = k^{2 \cdot 3} \cdot k = k^6 \cdot k = k^7 \). 3. Vereinfachung des Zählers und Nenners im dritten Term durch Aufheben von Wurzel und Potenz: \( \frac{50 - 2}{4} = \frac{48}{4} = 12 \).

a) \( 9y + 18 \) b) \( k^7 \) c) \( 12 \)

- Berechne zuerst den vollständigen Radikanden von \(T\). - Lies beim markierten Punkt zuerst den x-Wert und dann den zugehörigen Funktionswert ab. - Vergleiche danach die beiden bereits bestimmten Zahlenwerte.

1. Im Radikanden gilt \(\frac14\cdot2^4=\frac14\cdot16=4\). Daher ist \(T=\sqrt4=2\). 2. Am Graphen ist \(P(9|3)\) ablesbar. Der Funktionswert des Punktes ist also \(3\). 3. Damit gilt \(T=2<3=f(9)\).

a) \(T=2\) b) \(P(9|3)\); \(T<f(9)\)

- Berechne zuerst jeweils die Potenz im Radikanden. - Welches Vorzeichen hat der Wert einer geraden Wurzel immer? - Welche Schreibweise liefert unabhängig vom Vorzeichen von \(x\) dessen nichtnegativen Betrag?

1. Es gilt \(\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7\). 2. Außerdem ist \(\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{81}=3\). 3. Bei geradem \(n\) ist der Wert der \(n\)-ten Wurzel nichtnegativ. Deshalb gilt allgemein \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\).

\(\sqrt{(-7)^2}=7\), \(\sqrt[4]{(-3)^4}=3\) und allgemein \(\sqrt[n]{x^n}=|x|\) für gerades \(n\).

- Suche eine positive Zahl, deren Quadrat genau \(a^{4m}\) ergibt. - Nutze beim Quadrieren einer Potenz das Potenzgesetz für eine Potenz von einer Potenz. - Die Positivitätsbedingung entscheidet, welches Vorzeichen die Quadratwurzel liefert.

1. Es gilt \((a^{2m})^2=a^{4m}\). Weil \(a>0\) ist, ist auch \(a^{2m}>0\). Nach der Definition der Quadratwurzel ist daher \(\sqrt{a^{4m}}=a^{2m}\). 2. Für a) ist \(4m=4\), also \(m=1\). Damit ist \(\sqrt{3^4}=3^2=9\). 3. Für b) ist \(4m=12\), also \(m=3\). Damit ist \(\sqrt{2^{12}}=2^6=64\). 4. Für c) ist \(4m=16\), also \(m=4\). Wegen \(x>0\) folgt \(\sqrt{x^{16}}=x^8\).

Allgemein: \(\sqrt{a^{4m}}=a^{2m}\) a) \(9\) b) \(64\) c) \(x^8\)

- Suche eine exakte Darstellung, in der beide Zahlen nach demselben Vergleichskriterium beurteilt werden können. - Kannst du beide Wurzeln auf denselben Wurzelexponenten bringen, ohne ihren Wert zu verändern? - Welche Radikanden lassen sich danach direkt vergleichen?

1. Zum exakten Vergleich werden beide Wurzeln auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht. Für die Wurzelexponenten \(3\) und \(4\) eignet sich \(12\). 2. \(u=\sqrt[3]{5}=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}\). 3. \(v=\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{8^3}=\sqrt[12]{512}\). 4. Da \(625>512\), folgt \(u>v\).

\(u>v\), also \(\sqrt[3]{5}>\sqrt[4]{8}\).

- Vergleiche zuerst Paare mit gleichem Radikanden und Paare mit gleichem Wurzelexponenten. - Für genau einen Vergleich reichen diese Beobachtungen noch nicht aus. - Kannst du für dieses Paar beide Wurzeln auf denselben Wurzelexponenten bringen?

1. Bei gleichem Radikanden größer als \(1\) ist die vierte Wurzel kleiner als die dritte Wurzel. Daher gilt \(b<a\) und \(d<c\). 2. Bei gleichem Wurzelexponenten führt der größere positive Radikand zum größeren Wurzelwert. Daher gilt \(b<d\) und \(a<c\). 3. Für den noch offenen Vergleich von \(a\) und \(d\) werden beide auf den Wurzelexponenten \(12\) erweitert: \(a=\sqrt[12]{625}\) und \(d=\sqrt[12]{1000}\). Da \(625<1000\), gilt \(a<d\). 4. Insgesamt folgt \(b<a<d<c\). 5. Zur Kontrolle: \(b\approx1{,}50\), \(a\approx1{,}71\), \(d\approx1{,}78\), \(c\approx2{,}15\).

\(b<a<d<c\) Näherungswerte: \(b\approx1{,}50\), \(a\approx1{,}71\), \(d\approx1{,}78\), \(c\approx2{,}15\)

- Bestimme zuerst den gemeinsamen Bereich, in dem beide Wurzelausdrücke reell definiert sind. - Ersetze in c) den gemeinsamen Radikanden durch eine neue nichtnegative Variable. - Wie kannst du die Gleichheit zweier unterschiedlicher Wurzeln desselben nichtnegativen Werts auf eine Potenzgleichung zurückführen?

1. Bei \(f\) ist der Wurzelexponent gerade. Daher muss \(x-3\ge0\) gelten, also \(D_f=[3;\infty[\). 2. Bei \(g\) ist der Wurzelexponent ungerade. Die dritte Wurzel ist für jeden reellen Radikanden definiert, also \(D_g=\mathbb{R}\). 3. Für c) muss wegen der gemeinsamen Definitionsmenge \(x\ge3\) gelten. Setze \(u=x-3\), also \(u\ge0\). 4. Mit \(t=\sqrt[4]{u}\) gilt \(u=t^4\). Aus \(\sqrt[4]{u}=\sqrt[3]{u}\) folgt nach Kubieren \(t^3=t^4\). 5. \(t^3(1-t)=0\) liefert \(t=0\) oder \(t=1\). Daher ist \(u=0\) oder \(u=1\), also \(x=3\) oder \(x=4\).

a) \(D_f=[3;\infty[\), \(D_g=\mathbb{R}\) b) Gerade Wurzeln benötigen einen nichtnegativen Radikanden; ungerade Wurzeln sind auch für negative Radikanden reell definiert. c) \(x=3\) und \(x=4\)

- Bei einer geraden Wurzel aus einer passenden geraden Potenz spielt der Betrag eine Rolle. - Bestimme vor dem Auflösen eines Betrags das Vorzeichen des inneren Ausdrucks aus den gegebenen Bedingungen. - In Teil b) lässt sich der Exponent \(12\) als ein Vielfaches des Wurzelexponenten \(6\) auffassen.

1. Es gilt \(\sqrt[4]{(x-y)^4}=|x-y|\). Wegen \(x<y\) ist \(x-y<0\), also \(|x-y|=y-x\). 2. Für b) gilt \((a-b)^{12}=((a-b)^2)^6\). Daher ist \(\sqrt[6]{(a-b)^{12}}=|(a-b)^2|=(a-b)^2\), weil ein Quadrat nichtnegativ ist. Für \(a=3\), \(b=5\) ergibt sich \((-2)^2=4\); nach dem Vertauschen ergibt sich \(2^2=4\). Das Ergebnis bleibt gleich. 3. Es gilt \(\sqrt{(z-10)^6}=|(z-10)^3|\). Wegen \(z<10\) ist \((z-10)^3<0\), also \(|(z-10)^3|=-(z-10)^3=(10-z)^3\).

a) \(y-x\) b) \(4\); beim Vertauschen bleibt der Wert \(4\). c) \((10-z)^3\)

- Ersetze eine gerade Wurzel aus einer gleich hohen geraden Potenz zunächst durch einen Betrag. - Entscheide bei den Ausdrücken mit Differenzen anschließend, ob der Inhalt des Betrags positiv oder negativ ist. - Vergleiche \(4\) mit \(\sqrt{17}\) und \(2\) mit \(\sqrt3\) durch passende Quadrate.

1. \(\sqrt{(-13)^2}=|-13|=13\). 2. \(\sqrt[4]{(-3)^4}=|-3|=3\). 3. \(\sqrt{(4-\sqrt{17})^2}=|4-\sqrt{17}|\). Da \(4=\sqrt{16}<\sqrt{17}\), ist der innere Ausdruck negativ. Daher ist das Ergebnis \(\sqrt{17}-4\). 4. \(\sqrt[6]{(2-\sqrt3)^6}=|2-\sqrt3|\). Da \(2=\sqrt4>\sqrt3\), ist der innere Ausdruck positiv. Daher ist das Ergebnis \(2-\sqrt3\).

a) \(13\) b) \(3\) c) \(\sqrt{17}-4\) d) \(2-\sqrt3\)

- Welche ganze Zahl ergibt hoch drei etwa 30? - Überlege, wie du durch Probieren mit einer Nachkommastelle den Bereich eingrenzen kannst. - Kannst du die beiden Zahlen mit einem festen Wert wie \(3{,}1\) vergleichen?

1. Eingrenzung von \(a = \sqrt[3]{30}\): Da \(3^3 = 27\) und \(4^3 = 64\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 2. Prüfung für \(a\): \(3{,}1^3 = 29{,}791\) und \(3{,}2^3 = 32{,}768\). Somit gilt \(3{,}1 < \sqrt[3]{30} < 3{,}2\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}1; 3{,}2]\). 3. Eingrenzung von \(b = \sqrt[4]{90}\): Da \(3^4 = 81\) und \(4^4 = 256\), liegt der Wert zwischen \(3\) und \(4\). 4. Prüfung für \(b\): \(3{,}0^4 = 81\) und \(3{,}1^4 = 92{,}3521\). Somit gilt \(3{,}0 < \sqrt[4]{90} < 3{,}1\). Ein mögliches Intervall der Länge \(0{,}1\) ist \([3{,}0; 3{,}1]\). 5. Vergleich: Da \(\sqrt[3]{30} > 3{,}1\) und \(\sqrt[4]{90} < 3{,}1\), folgt \(a > b\).

\(a = \sqrt[3]{30}\) ist größer als \(b = \sqrt[4]{90}\). Intervalle: \(3{,}1 < a < 3{,}2\) und \(3{,}0 < b < 3{,}1\).

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis einer geraden Wurzel jemals negativ sein kann. - Wie kannst du feststellen, welche der beiden Zahlen in der Differenz größer ist, ohne einen Taschenrechner zu benutzen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn sie quadriert und anschließend die Wurzel gezogen wird? - Erinnere dich an die Definition des Betrags \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Die Vereinfachung basiert auf der Regel \(\sqrt[2n]{A^2} = \sqrt[n]{|A|}\). 1. Teilaufgabe a: Kürzen des Exponenten ergibt \(\sqrt{|3-\sqrt{11}|}\). Da \(3 = \sqrt{9}\) und \(\sqrt{9} < \sqrt{11}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist somit \(\sqrt{11}-3\). Ergebnis: \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\). 2. Teilaufgabe b: Kürzen ergibt \(\sqrt[3]{|\sqrt{2}-\sqrt{7}|}\). Da \(\sqrt{2} < \sqrt{7}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\). 3. Teilaufgabe c: Kürzen ergibt \(\sqrt[5]{|4-\sqrt{17}|}\). Da \(4 = \sqrt{16}\) und \(\sqrt{16} < \sqrt{17}\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\sqrt{17}-4\). Ergebnis: \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\).

a) \(\sqrt{\sqrt{11}-3}\) b) \(\sqrt[3]{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\) c) \(\sqrt[5]{\sqrt{17}-4}\)

- Vergleiche in Teil b) den Definitionsstatus beider Ausdrücke am vorgegebenen Wert. - Achte darauf, dass Aussagen über negative Radikanden von der Art der Wurzel abhängen. - Bestimme für \(x<5\) das Vorzeichen von \(x-5\), bevor du einen Betrag auflöst.

1. Für \(x=1\) gilt \(T(1)=\sqrt[4]{(-4)^2}=\sqrt[4]{16}=2\). 2. Die vorgeschlagene Form liefert bei \(x=1\) den Ausdruck \(\sqrt{-4}\). Eine Quadratwurzel mit negativem Radikanden ist über \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Der ursprüngliche Term ist dagegen definiert und hat den Wert \(2\). Die behauptete Vereinfachung ist daher falsch. 3. Allgemein ist \(\sqrt[4]{(x-5)^2}=\sqrt{|x-5|}\). Für \(x<5\) gilt \(|x-5|=5-x\). Somit ist \(T(x)=\sqrt{5-x}\).

a) \(2\) b) Bei \(x=1\) ist \(\sqrt{x-5}=\sqrt{-4}\) über \(\mathbb{R}\) nicht definiert, der ursprüngliche Term aber gleich \(2\). c) \(\sqrt{5-x}\)

- Berechne zunächst beide Ausdrücke an den beiden vorgegebenen Stellen. - Nutze in Teil b) die Verbindung zwischen Wurzelnotation und rationalen Exponenten und kürze den Exponentenbruch, wenn möglich. - Vergleiche in Teil c) die Radikanden \(x^2\) und \(|x|\) hinsichtlich ihres Vorzeichens.

1. Für \(x=16\) gilt \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). Für \(x=-16\) gilt ebenfalls \(A=\sqrt[4]{256}=4\) und \(B=\sqrt{16}=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(A=(x^2)^{\frac14}=x^{\frac24}=x^{\frac12}\). Außerdem ist wegen \(|x|=x\) auch \(B=\sqrt{x}=x^{\frac12}\). Somit ist \(A=B\). 3. Bei \(A\) ist der Radikand \(x^2\) für alle reellen \(x\) nichtnegativ. Bei \(B\) stellt der Betrag sicher, dass auch für negative \(x\) ein nichtnegativer Radikand entsteht.

a) Für \(x=16\) und \(x=-16\) gilt jeweils \(A=B=4\). b) Für \(x>0\): \(A=x^{\frac12}=B\) c) Das Quadrat in \(A\) und der Betrag in \(B\) sorgen jeweils für einen nichtnegativen Radikanden.

- Wie kannst du zwei Wurzeln vergleichen, wenn sie nicht denselben Wurzelexponenten haben? - Suche einen gemeinsamen Wurzelexponenten, zu dem sich beide Ausdrücke äquivalent umformen lassen. - Vergleiche anschließend die Radikanden der Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten.

1. Um Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten zu vergleichen, werden sie auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht. 2. Für a) ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(2\) gleich \(6\). Es gilt \(\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}\) und \(\sqrt3=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[6]{27}\). Da \(25<27\), folgt \(\sqrt[3]{5}<\sqrt3\). 3. Für b) ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(3\) gleich \(12\). Es gilt \(\sqrt[4]{10}=\sqrt[12]{10^3}=\sqrt[12]{1000}\) und \(\sqrt[3]{4}=\sqrt[12]{4^4}=\sqrt[12]{256}\). Da \(1000>256\), folgt \(\sqrt[4]{10}>\sqrt[3]{4}\). 4. Für c) genügt der gemeinsame Wurzelexponent \(6\). Es gilt \(\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}\). Da \(10>9\), folgt \(\sqrt[6]{10}>\sqrt[3]{3}\).

a) \(\sqrt[3]{5}<\sqrt3\) b) \(\sqrt[4]{10}>\sqrt[3]{4}\) c) \(\sqrt[6]{10}>\sqrt[3]{3}\)

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt[n]{a^n}\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Wie ist der Betrag einer Zahl definiert, wenn die Zahl selbst negativ ist? - Schätze die Werte von \(\sqrt{5}\) und \(\pi\) grob ab, um das Vorzeichen der Differenz zu bestimmen. - Wann ist der Betrag einer Zahl gleich ihrer Gegenzahl?

1. Bei ungeradem Exponenten gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\), also \(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\). Bei geradem Exponenten gilt \(\sqrt{a^2} = |a|\), also \(\sqrt{(-5)^2} = 5\). Die Summe ist \(-5 + 5 = 0\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{(\sqrt{5}-3)^4} = |\sqrt{5}-3|\). Da \(\sqrt{5} \approx 2{,}236 < 3\), ist die Basis negativ. Der Betrag ist \(3-\sqrt{5}\). 3. Es gilt \(\sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi|\). Da \(\pi \approx 3{,}141 > 3\), ist die Differenz negativ. Der Betrag ist \(\pi-3\). 4. Die linke Seite \(\sqrt[8]{x^8}\) entspricht \(|x|\). Die Gleichung \(|x| = -x\) ist nach der Definition des Betrags genau dann erfüllt, wenn \(x \le 0\).

a) \(0\) b) \(3-\sqrt{5}\) c) \(\pi-3\) d) \(x \le 0\)

- Prüfe die Behauptung zuerst tatsächlich mit den vorgegebenen negativen Zahlen. - Vergleiche, was bei geraden und ungeraden Potenzen mit dem Vorzeichen geschieht. - Die korrigierte Formel muss sowohl für positive als auch für negative Werte von \(a\) dasselbe nichtnegative Wurzelergebnis beschreiben.

1. Für \(n=4\), \(a=-3\) gilt \(\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{81}=3\ne-3\). Die Behauptung ist in diesem Fall falsch. 2. Für \(n=3\), \(a=-2\) gilt \(\sqrt[3]{(-2)^3}=\sqrt[3]{-8}=-2\). Hier ist die Behauptung richtig. 3. Für gerades \(n\) ist \(a^n\ge0\), und die definierte gerade Wurzel liefert einen nichtnegativen Wert. Deshalb gilt allgemein \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).

a) falsch, denn \(\sqrt[4]{(-3)^4}=3\) b) wahr, denn \(\sqrt[3]{(-2)^3}=-2\) c) Für gerades \(n\) gilt \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).