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- Kannst du Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten unter eine gemeinsame Wurzel schreiben? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Hilft es dir, die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten zu schreiben? - Überlege, ob du das Ergebnis am Ende wieder als Wurzel schreiben kannst.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Wurzelgesetzes für Produkte mit gleichem Wurzelexponenten \(\sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Wurzelgesetzes für Quotienten \(\sqrt{x^3 : x} = \sqrt{x^2}\). Da \(x > 0\), vereinfacht sich dies zu \(x\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen unter eine gemeinsame dritte Wurzel \(\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}\). Da \(2^3 = 8\), ist das Ergebnis \(2\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten \(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}}\). Addition der Exponenten ergibt \(a^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4}}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{a^3}\).

a) \(6\) b) \(x\) c) \(2\) d) \(\sqrt[4]{a^3}\)

- Kannst du die Wurzeln im Zähler zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Welche Regel erlaubt es dir, zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu dividieren? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Zusammenfassen der Wurzeln im Zähler mithilfe des Produktgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt[4]{b^9 \cdot b^3} = \sqrt[4]{b^{12}}\). 2. Anwendung des Quotientengesetzes für Wurzeln zur Verrechnung mit dem Nenner: \(\sqrt[4]{\frac{b^{12}}{b^4}} = \sqrt[4]{b^8}\). 3. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(b^{\frac{8}{4}} = b^2\).

\(b^2\)

- Kannst du Wurzeln mit gleichem Exponenten unter eine gemeinsame Wurzel schreiben? - Überlege, welche Zahl hoch drei 27 ergibt. - Vereinfache zuerst die einzelnen Teile des Terms, bevor du addierst oder subtrahierst.

1. Multiplikation der ersten beiden Wurzeln: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{64} = 8\). 2. Bestimmung der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{27} = 3\). 3. Division der Quadratwurzeln: \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zusammenfassen der Ergebnisse: \(8 - 3 + 5 = 10\).

10

- Was muss für den Radikanden gelten, damit eine Quadratwurzel definiert ist? - Überlege, wie du Potenzen im Radikanden so aufteilen kannst, dass ein Teil der Potenz den gleichen Exponenten wie der Wurzelexponent hat. - Gibt es Einschränkungen für den Definitionsbereich bei ungeraden Wurzelexponenten wie 3 oder 5?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs für \(\sqrt{a^5}\): Radikand \(a^5 \ge 0 \Rightarrow a \ge 0\). Zerlegung des Radikanden in \(\sqrt{a^4 \cdot a}\). Teilweises Wurzelziehen ergibt \(a^2 \sqrt{a}\). 2. Definitionsbereich für \(\sqrt[3]{(x-2)^4}\): Da der Wurzelexponent ungerade ist, ist der Ausdruck für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Zerlegung des Radikanden in \(\sqrt[3]{(x-2)^3 \cdot (x-2)}\). Teilweises Wurzelziehen ergibt \((x-2) \sqrt[3]{x-2}\). 3. Definitionsbereich für \(\sqrt[5]{(y+3)^5}\): Für ungerade Wurzelexponenten ist der Ausdruck für alle \(y \in \mathbb{R}\) definiert. Da der Exponent des Radikanden dem Wurzelexponenten entspricht, heben sich Wurzel und Potenz auf: Ergebnis \(y+3\).

1) \(a^2 \sqrt{a}\) für \(a \ge 0\) 2) \((x-2) \sqrt[3]{x-2}\) für \(x \in \mathbb{R}\) 3) \(y+3\) für \(y \in \mathbb{R}\)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie unter einer Wurzel denselben Wert behält? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Wurzelziehen? - Achte bei Teil b) genau auf den Wurzelexponenten. - Überlege bei Teil c), wie man Potenzen potenziert.

1. Umformung von \(3\sqrt{7}\): \(3\) wird als \(3^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}\). 2. Umformung von \(5\sqrt{3}\): \(5\) wird als \(5^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). 3. Vergleich a): Da \(75 > 63\), ist \(\sqrt{75} > \sqrt{63}\), also \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{7}\). 4. Umformung von \(2\sqrt[3]{5}\): \(2\) wird als \(2^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\). 5. Umformung von \(3\sqrt[3]{2}\): \(3\) wird als \(3^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}\). 6. Vergleich b): Da \(54 > 40\), ist \(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\), also \(3\sqrt[3]{2} > 2\sqrt[3]{5}\). 7. Umformung c): Der Faktor \(a^2\) wird als \((a^2)^2 = a^4\) unter die Quadratwurzel gezogen. Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer (\(\sqrt{75} > \sqrt{63}\)). b) \(3\sqrt[3]{2}\) ist größer (\(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\)). c) \(a^2 \sqrt{a} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot a} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

- Was musst du mit dem äußeren Teil machen, damit er unter die Wurzel passt? - Überlege, welcher Exponent zum jeweiligen Wurzelgrad passt. - Gibt es Rechenregeln für Brüche und Potenzen, die dir beim anschließenden Vereinfachen helfen? - Kannst du den neuen Ausdruck unter der Wurzel noch weiter zusammenfassen?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(4a\) mit dem Wurzelexponenten 2 potenzieren und unter die Quadratwurzel ziehen: \(\sqrt{(4a)^2 \cdot 3a} = \sqrt{16a^2 \cdot 3a}\). Zusammenfassen der Terme unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{48a^3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Den Bruch \(\frac{x}{y}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{y})^3 \cdot \frac{y^4}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^4}{x^2}}\). Durch Kürzen von \(x^2\) und \(y^3\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\sqrt[3]{x \cdot y}\). 3. Für Teilaufgabe c): Den Faktor \(b^2\) mit dem Wurzelexponenten 5 potenzieren: \(\sqrt[5]{(b^2)^5 \cdot \frac{2}{b^7}} = \sqrt[5]{\frac{b^{10} \cdot 2}{b^7}}\). Durch Anwenden der Potenzgesetze (\(b^{10} {:} b^7 = b^3\)) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\sqrt[5]{2b^3}\).

a) \(\sqrt{48a^3}\) b) \(\sqrt[3]{xy}\) c) \(\sqrt[5]{2b^3}\)

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable als Wurzel schreiben, die denselben Exponenten wie die vorliegende Wurzel hat? - Welche Rechenregel gilt für das Potenzieren einer Potenz, also \((x^a)^b\)? - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? - Überlege dir, wie du den Faktor vor der Wurzel „verpacken“ musst, damit er unter das Wurzelzeichen passt, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern.

1. Um den Faktor \(a^3\) unter die 5. Wurzel zu bringen, wird er mit dem Wurzelexponenten 5 potenziert: \(\sqrt[5]{(a^3)^5 \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{15} \cdot a^2} = \sqrt[5]{a^{17}}\). 2. Die Faktoren vor der \(n\)-ten Wurzel werden mit \(n\) potenziert und in den Radikanden multipliziert: \(\sqrt[n]{x^n \cdot (y^2)^n \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt[n]{x^n \cdot y^{2n} \cdot x^2 \cdot y}\). Durch Zusammenfassen der Potenzen mit gleicher Basis ergibt sich \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\). 3. Der Faktor \(b^k\) wird unter die 3. Wurzel gezogen: \(\sqrt[3]{(b^k)^3 \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k} \cdot b} = \sqrt[3]{b^{3k+1}}\).

1) \(\sqrt[5]{a^{17}}\) 2) \(\sqrt[n]{x^{n+2} \cdot y^{2n+1}}\) 3) \(\sqrt[3]{b^{3k+1}}\)

- Überlege dir, mit welcher Zahl du den Nenner unter der Wurzel multiplizieren musst, damit er eine Quadratzahl (oder Kubikzahl etc.) wird. - Erinnere dich an die Regel \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\). - Wie kannst du den Nenner im Radikanden so ergänzen, dass die Wurzel daraus eine ganze Zahl ergibt? - Manchmal hilft es, den Nenner zuerst in seine Primfaktoren zu zerlegen.

1. Um den Bruch unter der Quadratwurzel zu beseitigen, wird der Bruch so erweitert, dass der Nenner eine Quadratzahl wird: \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\). 2. Bei der dritten Wurzel muss der Nenner eine Kubikzahl werden. Da \(9 = 3^2\), wird mit \(3\) erweitert: \(\sqrt[3]{\frac{2}{3^2}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{3^2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{3^3}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). 3. Bei der vierten Wurzel muss der Nenner eine vierte Potenz werden. Da \(8 = 2^3\), wird mit \(2\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{1}{2^3}} = \sqrt[4]{\frac{1 \cdot 2}{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{2}{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}\). 4. Für die \(n\)-te Wurzel wird der Nenner so erweitert, dass er eine \(n\)-te Potenz bildet. Hier wird mit \(3^{n-1}\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{1}{3}} = \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}}} = \sqrt[n]{\frac{3^{n-1}}{3^n}} = \frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\).

a) \(\frac{\sqrt{15}}{5}\) b) \(\frac{\sqrt[3]{6}}{3}\) c) \(\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\) d) \(\frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\)

- Überlege, welche Faktoren unter der Wurzel Quadratzahlen (oder bei der dritten Wurzel Kubikzahlen) sind. - Du kannst die Wurzel eines Produkts als Produkt der einzelnen Wurzeln schreiben. - Denke daran, dass Potenzen mit geraden Exponenten wie \(x^4\) als Quadrate geschrieben werden können, zum Beispiel \((x^2)^2\).

1. Zerlegung des Radikanden in Quadratfaktoren: \(\sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot x \cdot y^2}\). 2. Anwendung der Wurzelgesetze und teilweises Wurzelziehen: \(5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt{3x}\). 3. Zerlegung des Radikanden des zweiten Terms in Kubikfaktoren: \(\sqrt[3]{\frac{2^3 \cdot a^3 \cdot a}{3^3 \cdot b^3}}\). 4. Anwendung der Wurzelgesetze für die dritte Wurzel: \(\frac{2a}{3b} \cdot \sqrt[3]{a}\).

1) \(5x^2 y \sqrt{3x}\) 2) \(\frac{2a}{3b} \sqrt[3]{a}\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Produkt einer Kubikzahl (wie 8, 27, 64, 125, ...) und einer weiteren Zahl schreiben? - Erinnerst du dich an die Regel, wie man eine Wurzel aus einem Produkt zieht? - Was musst du tun, um Terme mit derselben Wurzel zusammenfassen zu können?

1. Zerlegung der Radikanden in Faktoren, von denen einer eine möglichst große Kubikzahl ist: \(16 = 8 \cdot 2\), \(54 = 27 \cdot 2\), \(250 = 125 \cdot 2\) und \(128 = 64 \cdot 2\). 2. Teilweises Wurzelziehen unter Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\): - \(2\sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}\) - \(\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}\) 3. Einsetzen der vereinfachten Terme: \(4\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{2}\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \((4 + 3 - 5 + 4) \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}\).

\(6\sqrt[3]{2}\)

- Können Wurzeln mit demselben Index direkt zusammengefasst werden? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis kennst du? - Ist es hilfreich, Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen?

1. Anwendung der Divisionsregel für Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten: \(\sqrt[4]{x^5 {:} x} = \sqrt[4]{x^4}\). Da \(x > 0\), ist das Ergebnis \(x\). 2. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Zurückschreiben in Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\). 3. Umwandlung in rationale Exponenten: \(\frac{y^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{4}}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Ergebnis als Wurzel: \(\sqrt[4]{y^5}\).

1) \(x\) 2) \(\sqrt{a}\) 3) \(\sqrt[4]{y^5}\)

- Kannst du eine Zahl oder Variable unter der Wurzel so zerlegen, dass ein Teil davon in beiden Summanden vorkommt? - Erinnere dich daran, dass man eine Variable ohne Wurzel auch als Quadrat einer Wurzel schreiben kann. - Welche Rechenregel erlaubt es dir, eine Wurzel aus einem Produkt in ein Produkt aus zwei Wurzeln aufzuteilen? - Untersuche die Exponenten der Variablen, wenn du sie in der Potenzschreibweise betrachtest.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(\sqrt{5a}\) im ersten Ausdruck: \(\sqrt{15a} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5a}\). Ausklammern ergibt \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\). 2. Umschreiben von \(b\) als \((\sqrt{b})^2\). Ausklammern von \(\sqrt{b}\) führt zu \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\). 3. Zerlegung der Radikanden in Faktoren: \(\sqrt[3]{x \cdot x \cdot y} + \sqrt[3]{x \cdot y \cdot y}\). Anwendung der Wurzelgesetze liefert den gemeinsamen Faktor \(\sqrt[3]{xy}\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\).

1) \(\sqrt{5a}(1 + \sqrt{3})\) 2) \(\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)\) 3) \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\)

- Kannst du die geschachtelten Wurzeln durch eine Multiplikation der Wurzelexponenten zusammenfassen? - Gibt es eine Möglichkeit, den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden zu kürzen, so wie man Brüche kürzt? - Was weißt du über die Quadratwurzel aus einer quadrierten Zahl?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[n \cdot m]{A}\): \(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\). 2. Zusammenfassen der Wurzelexponenten und Kürzen: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^2}} = \sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}\). 3. Multiplikation der Wurzelexponenten: \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{y^{10}}} = \sqrt[15]{y^{10}}\). Kürzen durch \(5\): \(\sqrt[3]{y^2}\).

a) \(2\) b) \(\sqrt[4]{x}\) c) \(\sqrt[3]{y^2}\)

- Womit müsste man die Wurzel im Nenner multiplizieren, damit der Exponent des Radikanden genau dem Wurzelexponenten entspricht? - Erinnere dich an die Potenzgesetze: \( \sqrt[n]{a^k} \cdot \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{k+m}} \). - Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine ganze Zahl entsteht? - Überprüfe am Ende, ob du den Zähler und den neu entstandenen Nenner noch kürzen kannst.

1. Den Bruch mit \( \sqrt[3]{2^2} \) erweitern: \( \frac{4 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{4\sqrt[3]{4}}{2} \). Durch Kürzen mit 2 ergibt sich \( 2\sqrt[3]{4} \). 2. Den Bruch mit \( \sqrt[4]{5^3} \) erweitern: \( \frac{1 \cdot \sqrt[4]{125}}{\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125}} = \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \). 3. Den Bruch mit \( \sqrt[5]{3^3} \) erweitern: \( \frac{3 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^2} \cdot \sqrt[5]{3^3}} = \frac{3\sqrt[5]{27}}{3} \). Durch Kürzen mit 3 ergibt sich \( \sqrt[5]{27} \).

1) \( 2\sqrt[3]{4} \); 2) \( \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \); 3) \( \sqrt[5]{27} \)

- Kannst du den Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Wie kann man eine Zahl vor einer Wurzel in den Bereich unter der Wurzel bringen? - Mit welchem Ausdruck müsste man den Nenner multiplizieren, damit die Wurzel dort verschwindet? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen mit Brüchen im Exponenten.

1. Teilaufgabe a): Den Radikanden als Potenz schreiben: \(27 = 3^3\). Den Term als Potenz mit rationalem Exponenten ausdrücken: \(\sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}}\). Den Exponenten kürzen: \(3^{\frac{1}{2}}\). Zurück in Wurzelschreibweise wandeln: \(\sqrt{3}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(5\) als dritte Wurzel schreiben: \(5 = \sqrt[3]{5^3} = \sqrt[3]{125}\). Die Wurzeln multiplizieren: \(\sqrt[3]{125 \cdot \frac{2}{25}}\). Den Ausdruck unter der Wurzel berechnen: \(\sqrt[3]{5 \cdot 2} = \sqrt[3]{10}\). 3. Teilaufgabe c): Um den Nenner rational zu machen, wird der Bruch so erweitert, dass im Nenner ein Radikand entsteht, der eine perfekte Kubikzahl ist. Erweiterung mit \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}\). Da \(\sqrt[3]{8} = 2\), ergibt sich \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\).

a) \(\sqrt{3}\) b) \(\sqrt[3]{10}\) c) \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\)

- Kannst du die Produkte unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen? - Erinnere dich daran, dass ein Exponent der Form \(\frac{m}{n}\) bedeutet, dass man die \(n\)-te Wurzel zieht und dann mit \(m\) potenziert. - Rechne zuerst die Wurzel aus, bevor du die Zahl hochrechnest, um mit kleineren Werten zu arbeiten.

1. Term \(A\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2\). 2. Term \(B\): Anwendung des Wurzelgesetzes ergibt \(\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\). Da \(4 > 2\), ist \(B > A\). 3. Term \(C\): Umformung zu \((\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Term \(D\): Umformung zu \((\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). Da \(9 > 8\), ist \(C > D\).

a) \(B\) ist größer, da \(B = 4\) und \(A = 2\). b) \(C\) ist größer, da \(C = 9\) und \(D = 8\).

- Gibt es Regeln, um Wurzeln zusammenzufassen, die den gleichen Wurzelexponenten haben? - Wie kann man eine Wurzel aus einer Wurzel umschreiben? - Kannst du die Dezimalzahl als Bruch schreiben, um die Potenz mit negativem Exponenten leichter zu berechnen?

1. Teil a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) ergibt \(\sqrt[3]{\frac{2^7}{2^1}} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\). 2. Teil b): Anwendung der Regel \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\) ergibt \(\sqrt[6]{729}\). Da \(3^6 = 729\), ist das Ergebnis \(3\). 3. Teil c): Anwendung der Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) ergibt \(8^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6\). 4. Teil d): Umformung \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). Also \((\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4\). Die vierte Wurzel aus 16 ist 2. Berechnung: \(4 \cdot 2 = 8\).

a) \(4\) b) \(3\) c) \(6\) d) \(8\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen mit dem gleichen Exponenten wie der Wurzelexponent schreiben? - Wie verhalten sich die Exponenten, wenn man eine Wurzel aus einer Wurzel zieht? - Gibt es ein Gesetz für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teilaufgabe a): Darstellung der Konstanten als Potenz \(81 = 3^4\), dann \((3^4 \cdot a^{12})^{\frac{1}{4}} = 3^1 \cdot a^3 = 3a^3\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation der Wurzelexponenten \(\sqrt[2 \cdot 3]{x^{18}} = \sqrt[6]{x^{18}}\) und Division der Exponenten \(18 : 6 = 3\), Ergebnis \(x^3\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen unter eine Wurzel \(\sqrt[5]{\frac{b^{13}}{b^3}} = \sqrt[5]{b^{10}}\) und Vereinfachen zu \(b^2\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung in Potenzschreibweise \((y^{\frac{1}{3}})^{-6}\) und Multiplikation der Exponenten \(\frac{1}{3} \cdot (-6) = -2\), Ergebnis \(y^{-2}\).

a) \(3a^3\) b) \(x^3\) c) \(b^2\) d) \(y^{-2}\) oder \(\frac{1}{y^2}\)

- Schreibe die Wurzeln zuerst in die Form \(x^{\frac{1}{n}}\) um. - Welches Gesetz kennst du für das Multiplizieren von Potenzen, die denselben Exponenten haben? - Fasse im zweiten Teil zuerst die Zahlen unter einer einzigen Wurzel zusammen.

1. Begründung über Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Exponenten: \(a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k\). Hier ist \(k = \frac{1}{n}\), also \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}\). 3. Rückumwandlung in Wurzelschreibweise: \((a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). 4. Berechnung des Beispiels: \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}\). 5. Bestimmung der 4. Wurzel aus 16: Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\).

a) Die Herleitung erfolgt über \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). b) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} = 2\).

- Wie verhalten sich die Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Kannst du die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was musst du tun, wenn die Wurzelexponenten unterschiedlich sind?

1. Teilaufgabe a): Da die Wurzelexponenten gleich sind, können die Radikanden multipliziert werden: \(\sqrt[n]{x^2 \cdot x^3} = \sqrt[n]{x^{2+3}} = \sqrt[n]{x^5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung in Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} : y^{\frac{1}{6}}\). Subtraktion der Exponenten durch Erweitern auf den Hauptnenner: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung aller Faktoren in Potenzen: \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\). Addition der Exponenten auf dem Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Der Term vereinfacht sich zu \(x^1 = x\).

a) \(\sqrt[n]{x^5}\) b) \(\sqrt{y}\) c) \(x\)

- Versuche zuerst, das Produkt unter einer einzigen Wurzel zusammenzufassen. - Kannst du die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleineren Zahl (z. B. 2) schreiben? - Wann ist eine Potenz wie \(2^x\) eine ganze Zahl, wenn \(x\) ein Bruch ist? - Welche Zahlen teilen die Zahl im Zähler des Exponenten ohne Rest?

1. Zusammenfassen der beiden Faktoren zu einer Wurzel mithilfe des Produktgesetzes: \(\sqrt[n]{128 \cdot 8} = \sqrt[n]{1024}\). 2. Darstellung des Radikanden als Potenz zur Basis 2: \(1024 = 2^{10}\), woraus der Term \(\sqrt[n]{2^{10}}\) resultiert. 3. Umwandlung in die Potenzschreibweise mit rationalem Exponenten: \(2^{\frac{10}{n}}\). 4. Bestimmung der Bedingung für Ganzzahligkeit: Der Exponent \(\frac{10}{n}\) muss eine natürliche Zahl sein, was bedeutet, dass \(n\) ein Teiler von 10 sein muss. 5. Auflistung der Teiler von 10, die größer als 1 sind: \(n \in \{2, 5, 10\}\).

\(n \in \{2, 5, 10\}\)

- Wie verhalten sich die Wurzelexponenten, wenn man eine Wurzel aus einer anderen Wurzel zieht? - Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich. - Nutze die Potenzgesetze, um die Ausdrücke unter den Wurzeln zusammenzufassen, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Vereinfachung von \(T_1\) durch Multiplikation der Wurzelexponenten (Wurzel aus einer Wurzel): \(\sqrt[3 \cdot 2]{a^{18}} = \sqrt[6]{a^{18}}\). 2. Berechnung des Ergebnisses für \(T_1\) durch Division des Exponenten durch den Wurzelexponenten: \(a^{\frac{18}{6}} = a^3\). 3. Vereinfachung des Zählers von \(T_2\) mithilfe des Produktgesetzes für Wurzeln: \(\sqrt{a^5 \cdot a^7} = \sqrt{a^{12}}\). 4. Division durch den Nenner unter der Wurzel: \(\sqrt{\frac{a^{12}}{a^6}} = \sqrt{a^6}\). 5. Berechnung des Ergebnisses für \(T_2\): \(a^{\frac{6}{2}} = a^3\). 6. Vergleich der Resultate: Da beide Terme zu \(a^3\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent.

Ja, beide Terme sind äquivalent, da sie sich jeweils zu \(a^3\) vereinfachen lassen.

- Versuche, den Term von innen nach außen zu vereinfachen. - Was ergibt die Quadratwurzel aus einer Potenz wie \(x^4\)? - Wie kannst du Potenzen mit gleicher Basis unter einer Wurzel zusammenfassen? - Schritt für Schritt: Löse erst die innerste Wurzel auf und schau, was übrig bleibt.

1. Vereinfachung der innersten Wurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\) 2. Zusammenfassen unter der vierten Wurzel: \(x^2 \cdot x^2 = x^4\) 3. Auflösen der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{x^4} = x\) 4. Zusammenfassen unter der äußeren Quadratwurzel: \(x^3 \cdot x = x^4\) 5. Auflösen der äußeren Quadratwurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\)

\(x^2\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in ein Produkt zerlegen, bei dem ein Faktor eine passende Potenz (z. B. eine Hochzahl wie der Wurzelexponent) ist? - Welche Rechenregel für Wurzeln erlaubt es dir, die Wurzel eines Produkts aufzuteilen? - Überlege dir, welche Zahlen oder Terme entstehen, wenn man sie mit sich selbst so oft multipliziert, wie es der Wurzelexponent angibt. - Gibt es bei Variablen unter einer Wurzel mit geradem Exponenten (wie der 4. Wurzel) Einschränkungen für die Werte, die sie annehmen dürfen?

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren mit dem Exponenten 3: \(\sqrt[3]{54 a^4} = \sqrt[3]{27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a}\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(3 a \sqrt[3]{2 a}\). 2. Identifikation von Kubikzahlen und entsprechenden Potenzen: \(\sqrt[3]{16(x+2)^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 2 \cdot (x+2)^3 \cdot (x+2)^2}\). Herausziehen der Faktoren \(2\) und \((x+2)\) führt zu \(2(x+2) \sqrt[3]{2(x+2)^2}\). 3. Zerlegung für die vierte Wurzel: \(\sqrt[4]{80 y^7} = \sqrt[4]{16 \cdot 5 \cdot y^4 \cdot y^3}\). Da der Term definiert ist, muss \(y \ge 0\) gelten. Das Ergebnis lautet \(2 y \sqrt[4]{5 y^3}\).

1) \(3 a \sqrt[3]{2 a}\) 2) \(2(x+2) \sqrt[3]{2(x+2)^2}\) 3) \(2 y \sqrt[4]{5 y^3}\)

- Was passiert mit einem Faktor, wenn er unter eine Wurzel mit dem Exponenten \(n\) gezogen wird? - Denk an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\). - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Quadratwurzel immer? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Umformung a): Der Faktor \(x\) wird mit dem Wurzelexponenten \(4\) potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}\). Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(\sqrt[4]{x^{4+3}} = \sqrt[4]{x^7}\). 2. Überprüfung b): Der Faktor \(2y^2\) muss mit dem Exponenten \(3\) potenziert werden: \((2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3 = 8y^6\). 3. Multiplikation unter der Wurzel: \(8y^6 \cdot 3y = 24y^7\). Die Behauptung \(\sqrt[3]{6y^7}\) ist falsch, da der Faktor \(2\) nicht korrekt potenziert wurde. Richtig ist \(\sqrt[3]{24y^7}\). 4. Erklärung c): Für \(a<0\) und \(b>0\) ist \(a\sqrt{b}<0\), während \(\sqrt{a^2b}>0\) ist. Für \(b=0\) sind zwar beide Seiten gleich \(0\); für negative \(a\) gilt die Regel daher dennoch nicht allgemein.

a) \(\sqrt[4]{x^7}\) b) Die Behauptung ist falsch. Korrekt ist: \(2y^2 \cdot \sqrt[3]{3y} = \sqrt[3]{(2y^2)^3 \cdot 3y} = \sqrt[3]{8y^6 \cdot 3y} = \sqrt[3]{24y^7}\). c) Für \(a < 0\) und \(b>0\) ist die linke Seite \(a\sqrt{b}\) negativ, die rechte Seite \(\sqrt{a^2b}\) jedoch positiv. Deshalb gilt die Regel für negative \(a\) nicht allgemein.

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel als eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten schreiben? - Was passiert mit dem Exponenten eines Terms, wenn du ihn unter eine Wurzel ziehst? - Kannst du im Radikanden der zweiten Aufgabe eine binomische Formel erkennen? - Versuche, die Brüche unter der Wurzel erst zusammenzufassen oder direkt mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2x^2\) als Quadratwurzel schreiben: \(2x^2 = \sqrt{(2x^2)^2} = \sqrt{4x^4}\). Den Faktor unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{4x^4 \cdot \left(\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{2x^4}\right)}\). Ausmultiplizieren: \(\sqrt{\frac{4x^4}{4x^3} + \frac{12x^4}{2x^4}} = \sqrt{x + 6}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{a-b}{a}\) als Kubikwurzel schreiben: \(\sqrt[3]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^3}\). Unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3}{a^3} \cdot \frac{a^4}{a^2 - 2ab + b^2}}\). Den Nenner des zweiten Bruchs als Binom schreiben: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Einsetzen und kürzen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3 \cdot a^4}{a^3 \cdot (a-b)^2}} = \sqrt[3]{(a-b) \cdot a} = \sqrt[3]{a(a-b)}\).

a) \(\sqrt{x+6}\) b) \(\sqrt[3]{a(a-b)}\)

- Wie viele Faktoren von \(a\) fehlen im Nenner noch, um genau \(a^n\) zu erreichen? - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert, wenn der Exponent im Nenner bereits durch den Wurzelexponenten teilbar ist?

1. Um den Bruch unter der \(n\)-ten Wurzel zu beseitigen, wird der Radikand mit \(a^{n-k}\) erweitert, damit der Nenner zu \(a^n\) wird: \(\sqrt[n]{\frac{x \cdot a^{n-k}}{a^k \cdot a^{n-k}}} = \sqrt[n]{\frac{x \cdot a^{n-k}}{a^n}} = \frac{\sqrt[n]{x \cdot a^{n-k}}}{a}\). 2. Anwendung auf \(\sqrt[5]{\frac{2}{a^2}}\): Hier ist \(n=5, k=2, x=2\). Erweiterungsfaktor ist \(a^{5-2} = a^3\). Ergebnis: \(\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\). 3. Wenn \(k = m \cdot n\) für ein \(m \in \mathbb{N}\), dann gilt \(\sqrt[n]{\frac{x}{a^{m \cdot n}}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{(a^m)^n}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{a^m}\). Beispiel: \(\sqrt[3]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{2^2} = \frac{\sqrt[3]{5}}{4}\). Die Aussage ist korrekt, da der Nenner bereits eine perfekte \(n\)-te Potenz ist.

a) \(\frac{\sqrt[n]{x \cdot a^{n-k}}}{a}\) b) \(\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\) c) Die Aussage ist wahr. Beispiel: \(\sqrt[3]{\frac{5}{2^6}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{4}\).

- Kannst du Terme im Nenner des Radikanden faktorisieren, zum Beispiel mit binomischen Formeln? - Achte beim Einbringen von Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit dem Wurzelexponenten zu potenzieren. - Manchmal lässt sich eine Wurzel mit einem höheren Exponenten (wie der vierten Wurzel) nach dem Kürzen in eine einfachere Quadratwurzel umwandeln.

1. In Teilaufgabe a) den Term \((x+y)\) quadrieren und unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner (\(x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\)) und anschließendes Kürzen ergibt sich \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\). 2. In Teilaufgabe b) den Bruch \(\frac{a^2}{b}\) mit dem Wurzelexponenten 3 potenzieren: \(\sqrt[3]{\frac{(a^2)^3}{b^3} \cdot \frac{b^4}{a^5}} = \sqrt[3]{\frac{a^6 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^5}}\). Durch Kürzen der Potenzen erhält man \(\sqrt[3]{ab}\). 3. In Teilaufgabe c) den Term \((m-5)\) mit 4 potenzieren und unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{m^2-10m+25}}\). Den Nenner mithilfe der zweiten binomischen Formel als \((m-5)^2\) umschreiben: \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{(m-5)^2}} = \sqrt[4]{(m-5)^2}\). Durch Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) vereinfacht sich dies zu \((m-5)^{\frac{2}{4}} = (m-5)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m-5}\).

a) \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\) b) \(\sqrt[3]{ab}\) c) \(\sqrt{m-5}\)

- Mit welchem Exponenten musst du eine Variable potenzieren, um sie unter eine \(n\)-te Wurzel zu schreiben? - Welche Gesetze für das Rechnen mit Potenzen kannst du anwenden, wenn Variablen im Zähler und Nenner stehen? - Was passiert mit den Exponenten bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis?

1. Umwandlung von \(x\) in \(\sqrt{x^2}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{x^2 \cdot \frac{3}{x}}\); Kürzen durch \(x\) liefert das Ergebnis \(\sqrt{3x}\). 2. Umwandlung von \(a\) in \(\sqrt[3]{a^3}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[3]{a^3 \cdot \frac{b}{a^2}}\); Kürzen durch \(a^2\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{ab}\). 3. Umwandlung von \(y^2\) in \(\sqrt[4]{(y^2)^4} = \sqrt[4]{y^8}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[4]{y^8 \cdot \frac{1}{y^7}}\); Kürzen durch \(y^7\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[4]{y}\).

a) \(\sqrt{3x}\); b) \(\sqrt[3]{ab}\); c) \(\sqrt[4]{y}\)

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel so umschreiben, dass er als Wurzel mit demselben Exponenten erscheint? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie unter die Wurzel ziehst oder kürzt? - Gibt es unter der Wurzel Quadrat- oder Kubikzahlen, die du teilweise radizieren kannst?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(b^2\) unter die Quadratwurzel ziehen, indem er quadriert wird: \(\sqrt{(b^2)^2 \cdot \frac{18}{b^3}} = \sqrt{b^4 \cdot \frac{18}{b^3}}\). 2. Den Bruch unter der Wurzel kürzen: \(\sqrt{18b}\). 3. Teilweise radizieren durch Zerlegung von \(18\) in \(9 \cdot 2\): \(\sqrt{9 \cdot 2b} = 3\sqrt{2b}\). 4. Für Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{3}\) unter die Kubikwurzel ziehen, indem er mit der dritten Potenz potenziert wird: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{3})^3 \cdot \frac{54}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot \frac{54}{x^2}}\). 5. Den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen: \(\frac{54}{27} = 2\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). 6. Ergebnis für b): \(\sqrt[3]{2x}\).

a) \(3\sqrt{2b}\) b) \(\sqrt[3]{2x}\)

- Welche Potenz erhält ein Faktor, wenn man ihn unter eine Kubikwurzel (3. Wurzel) zieht? - Denke daran, den Faktor mit jedem Teil des Ausdrucks unter der Wurzel zu multiplizieren (Distributivgesetz). - Kannst du Brüche innerhalb der Wurzel kürzen, nachdem du den Faktor hineingezogen hast?

1. Den Faktor \(2x\) als \((2x)^3 = 8x^3\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(8x^3 \cdot (1 + \frac{1}{8x^3}) = 8x^3 + \frac{8x^3}{8x^3} = 8x^3 + 1\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\). 2. Den Faktor \(\frac{a}{b}\) als \((\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}\) unter die Wurzel ziehen. Multiplikation mit dem Radikanden: \(\frac{a^3}{b^3} \cdot (\frac{b^3}{a^2} - \frac{b^4}{a^3}) = \frac{a^3 \cdot b^3}{b^3 \cdot a^2} - \frac{a^3 \cdot b^4}{b^3 \cdot a^3} = a - b\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[3]{a - b}\).

1) \(\sqrt[3]{8x^3 + 1}\) 2) \(\sqrt[3]{a - b}\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren aufteilen, bei denen der Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist? - Überlege, wie man Potenzen aus einer Wurzel zieht, wenn der Exponent und der Wurzelexponent gleich sind. - Welche Teile des Terms vor der Wurzel lassen sich mit den Faktoren aus der Wurzel kürzen?

1. Den Radikanden unter der Wurzel in Faktoren zerlegen, die Potenzen von \(k\) sind: \(\sqrt[k]{x^k \cdot x^3 \cdot (y^2)^k}\) 2. Die Faktoren \(x^k\) und \((y^2)^k\) teilweise aus der Wurzel ziehen: \(x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 3. Den gesamten Ausdruck mit dem Vorfaktor multiplizieren: \(\frac{2}{x \cdot y^2} \cdot x \cdot y^2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\) 4. Die Variablen \(x\) und \(y^2\) kürzen: \(2 \cdot \sqrt[k]{x^3}\)

\(2 \sqrt[k]{x^3}\) (oder \(2 x^{\frac{3}{k}}\))

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable so umschreiben, dass sie als \(n\)-te Wurzel dargestellt wird? - Welches Wurzelgesetz erlaubt es dir, ein Produkt zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenzufassen? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Den Faktor \(a^2\) als \(n\)-te Wurzel ausdrücken: \(a^2 = \sqrt[n]{(a^2)^n} = \sqrt[n]{a^{2n}}\) 2. Die Faktoren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot \frac{b}{a^{2n-1}}}\) 3. Den Bruch unter der Wurzel durch Anwendung der Potenzgesetze \(\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}\) kürzen: \(a^{2n - (2n-1)} = a^1 = a\) 4. Endergebnis notieren: \(\sqrt[n]{a \cdot b}\)

\(\sqrt[n]{ab}\)

- Wann nennt man zwei Wurzelterme gleichartig? - Versuche, die Radikanden so zu zerlegen, dass du Potenzen erhältst, deren Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist. - Kannst du Brüche unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine vollständige Potenz des Wurzelexponenten wird?

1. Teilaufgabe a: \(\sqrt[3]{x^3 \cdot x \cdot y^3 \cdot y^2} = xy \sqrt[3]{xy^2}\). 2. Der zweite Term wird zu \(\sqrt[3]{x \cdot y^6 \cdot y^2} = y^2 \sqrt[3]{xy^2}\). Beide Terme besitzen denselben Wurzelrest und sind gleichartig. 3. Teilaufgabe b: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^3 \cdot b} = a^2 \sqrt[n]{a^3b}\). 4. Beim zweiten Term wird der Bruch unter der Wurzel mit \(b\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{a^2b}{b^n}} = \frac{1}{b}\sqrt[n]{a^2b}\). 5. Die Wurzelreste \(\sqrt[n]{a^3b}\) und \(\sqrt[n]{a^2b}\) sind verschieden; die Terme sind nicht gleichartig.

a) Die Wurzelterme sind gleichartig. b) Die Wurzelterme sind nicht gleichartig.

- Wie kannst du einen Faktor vor einer Wurzel in den Radikanden (das Innere der Wurzel) verschieben? - Suche nach Quadratzahlen oder hohen Potenzen, die du innerhalb einer Summe ausklammern kannst. - Kannst du eine große Zahl im Radikanden als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Überlege, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann und ob man diesen Bruch kürzen kann.

1. In Aufgabenteil a) wird der Faktor \(2y\) unter die vierte Wurzel gezogen, indem er zur vierten Potenz erhoben wird: \(\sqrt[4]{(2y)^4 \cdot \frac{3}{8y^3}} = \sqrt[4]{16y^4 \cdot \frac{3}{8y^3}}\). Durch Kürzen von \(16\) gegen \(8\) und \(y^4\) gegen \(y^3\) ergibt sich im Radikanden \(2y \cdot 3 = 6y\). Das Ergebnis ist \(\sqrt[4]{6y}\). 2. In Aufgabenteil b) wird unter der Wurzel der gemeinsame Faktor \(9a^4\) ausgeklammert: \(\sqrt{9a^4(2a + 3)}\). Durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{9}=3\) und \(\sqrt{a^4}=a^2\)) erhält man \(3a^2\sqrt{2a + 3}\). 3. In Aufgabenteil c) wird die Basis \(64\) als \(2^6\) geschrieben, sodass der Ausdruck zu \(\sqrt[6]{2^6 \cdot x^2}\) wird. Die Wurzel kann auf die Faktoren aufgeteilt werden: \(\sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{x^2} = 2 \cdot \sqrt[6]{x^2}\). Durch Kürzen des Wurzelexponenten mit dem Potenzexponenten (\(x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}\)) ergibt sich \(2\sqrt[3]{x}\).

a) \(\sqrt[4]{6y}\) b) \(3a^2 \sqrt{2a+3}\) c) \(2\sqrt[3]{x}\)

- Kannst du die Potenzen unter der Wurzel so umschreiben, dass die Exponenten Vielfache des Wurzelexponenten sind? - Welche Rechenregel erlaubt es dir, ein Produkt unter einer Wurzel aufzuteilen? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Denk daran, dass \(\sqrt[n]{a^n} = a\) für positive \(a\) gilt.

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren mit Exponenten, die Vielfache von \(n\) sind: \(\sqrt[n]{x^{3n} \cdot y^n \cdot y^2}\). Anwendung der Wurzelgesetze ergibt \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\). 2. Aufspalten der Potenzen im Radikanden: \(\sqrt[k]{a^{2k} \cdot a \cdot b^{k-1}}\). Herausziehen des Faktors \(a^2\) führt zu \(a^2 \sqrt[k]{ab^{k-1}}\). 3. Trennung von Zähler und Nenner: \(\frac{\sqrt[n]{p^n \cdot p^3}}{\sqrt[n]{(q^2)^n}}\). Vereinfachung der Wurzeln ergibt \(\frac{p \sqrt[n]{p^3}}{q^2}\).

1) \(x^3 y \sqrt[n]{y^2}\) 2) \(a^2 \sqrt[k]{a b^{k-1}}\) 3) \(\frac{p}{q^2} \sqrt[n]{p^3}\)

- Überlege, welche Zahlen unter den Wurzeln Kubikzahlen und welche Quadratzahlen sind. - Denk daran, dass man nur Terme zusammenfassen kann, die denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden haben. - Was musst du beim Auflösen der zweiten Klammer beachten?

1. Vereinfachen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{27x} = 3\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{8x} = 2\sqrt[3]{x}\). 2. Vereinfachen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{64y} = 8\sqrt{y}\) und \(\sqrt{4y} = 2\sqrt{y}\). 3. Einsetzen der Ergebnisse in den Gesamtausdruck: \((3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y}) - (2 \cdot 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{y})\). 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y} - 4\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{y}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \((3 - 4)\sqrt[3]{x} + (8 + 2)\sqrt{y} = -1\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\).

\(-\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\)

- Wie kannst du die Klammer auflösen? - Gibt es eine Regel, um zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu multiplizieren oder zu dividieren? - Prüfe, ob die Radikanden nach der Multiplikation oder Division bekannte Kubikzahlen sind.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die Klammer: \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}\). 2. Multiplikation der Wurzeln nach dem Gesetz \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\): - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} = 3\) - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{216} = 6\) 3. Division der Wurzeln im hinteren Teil des Terms nach dem Gesetz \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\): - \(\frac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(3 + 6 - 5 = 4\). 5. Da 4 eine natürliche Zahl ist, ist die Behauptung gezeigt.

Der Wert des Terms ist \(4\), was eine natürliche Zahl ist.

- Hast du eine Vermutung, welche binomische Formel oder Identität hier passen könnte? - Was passiert, wenn du die Klammern probeweise ausmultiplizierst? - Kannst du die Zahlen unter den Wurzeln als Potenzen schreiben? - Schau dir die Struktur des ersten Faktors genau an – wie hängen die Zahlen 49, 14 und 4 mit 7 und 2 zusammen?

1. Struktur des Terms als Produkt der Form \((a^2 + ab + b^2) \cdot (a - b)\) erkennen 2. Identifikation der Werte: \(a = \sqrt[3]{7}\) und \(b = \sqrt[3]{2}\) 3. Überprüfung der Quadrat- und Produktterme: \(a^2 = (\sqrt[3]{7})^2 = \sqrt[3]{49}\), \(b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}\) und \(ab = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{14}\) 4. Anwendung der Formel für die Differenz von Potenzen: \((a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3\) 5. Einsetzen der Werte: \((\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 7 - 2 = 5\)

\( A = 5 \)

- Wie verhalten sich die Wurzelexponenten, wenn Wurzeln ineinander verschachtelt sind? - Kannst du einen Faktor von außerhalb einer Wurzel unter die Wurzel ziehen? - Hilft es dir, den gesamten Ausdruck Schritt für Schritt von innen nach außen in die Potenzschreibweise zu übersetzen? - Kann man Brüche im Exponenten kürzen, bevor man sie wieder als Wurzel schreibt?

1. Anwendung der Regel für verschachtelte Wurzeln: Multiplikation der Wurzelexponenten \(3 \cdot 2 = 6\). Ergebnis: \(\sqrt[6]{b}\). 2. Schrittweise Umwandlung in Potenzen: \((c \cdot c^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}}\). Multiplikation der Exponenten: \(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Ergebnis in Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{c^2}\). 3. Umwandlung des inneren Terms in eine Potenz: \(d^2 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{\frac{5}{2}}\). Anwendung des äußeren Wurzelexponenten: \((d^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = d^{\frac{5}{10}} = d^{\frac{1}{2}}\). Ergebnis: \(\sqrt{d}\).

1) \(\sqrt[6]{b}\) 2) \(\sqrt[3]{c^2}\) 3) \(\sqrt{d}\)

- Gilt die Regel für das Zusammenfassen von Wurzeln auch für dritte Wurzeln oder höhere Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du die Potenzen dividierst? - Könnte es helfen, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du die Wurzel ziehst? - Achte darauf, Faktoren außerhalb der Wurzel und Terme innerhalb der Wurzel strikt getrennt zu behandeln.

1. Anwendung der Quotientenregel für dritte Wurzeln: \(\sqrt[3]{250 {:} 2} = \sqrt[3]{125}\). Da \(5^3 = 125\), ist das Ergebnis \(5\). 2. Zusammenfassen unter der dritten Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{54a^7}{2a}} = \sqrt[3]{27a^6}\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\) und \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\), ergibt sich \(3a^2\). 3. Division der Faktoren vor den Wurzeln: \(10 {:} 2 = 5\). Division der Radikanden unter der Wurzel: \(\sqrt{0{,}2 {:} 5} = \sqrt{0{,}04}\). Da \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), folgt \(5 \cdot 0{,}2 = 1\).

1) \(5\) 2) \(3a^2\) 3) \(1\)

- Siehst du innerhalb einer Wurzel einen Ausdruck, der an eine binomische Formel erinnert? - Kannst du einen Term der Form \(a^2 - b^2\) erkennen, auch wenn die Exponenten Brüche sind oder Wurzeln vorkommen? - Überlege, welcher Faktor in allen Teilen des Terms enthalten ist, indem du Potenzen mit gleicher Basis vergleichst. - Hilft es dir, die Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel unter der ersten Wurzel: \(\sqrt{a^2 - 4} = \sqrt{(a-2)(a+2)}\). Aufteilen der Wurzel ergibt \(\sqrt{a-2} \cdot \sqrt{a+2}\). Ausklammern von \(\sqrt{a+2}\) führt zum Ergebnis \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\). 2. Interpretation des Ausdrucks als Differenz von Quadraten: \((\sqrt[3]{x})^2 - (\sqrt[3]{y})^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\). 3. Ausklammern des Faktors \(z\): \(z(\sqrt{z} - 1)\). Alternativ kann \(\sqrt{z}\) ausgeklammert werden, was zu \(\sqrt{z}(z - \sqrt{z}) = \sqrt{z}(\sqrt{z}^2 - \sqrt{z}) = z(\sqrt{z}-1)\) führt.

1) \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2} - 1)\) 2) \((\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})\) 3) \(z(\sqrt{z} - 1)\)

- Wie lässt sich die Division einer Klammer durch eine Wurzel vereinfachen? - Gibt es eine Regel für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was ist das Ergebnis, wenn man eine Wurzel durch genau dieselbe Wurzel teilt? - Überlege, welche Zahlen zu den natürlichen Zahlen gehören.

1. Anwendung des Distributivgesetzes zur Division jedes Summanden durch \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1}{2}(\sqrt[3]{16} {:} \sqrt[3]{2}) + \frac{1}{3}(\sqrt[3]{54} {:} \sqrt[3]{2}) - (\sqrt[3]{2} {:} \sqrt[3]{2})\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Division (\(\sqrt[n]{a} {:} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a {:} b}\)): \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1}\) 3. Berechnen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{1} = 1\) 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1\) 5. Überprüfung der Zahlenmenge: Da \(1\) eine positive ganze Zahl ohne Nachkommastellen ist, gehört sie zur Menge der natürlichen Zahlen (\(1 \in \mathbb{N}\)).

Der vereinfachte Wert des Ausdrucks ist \(1\). Dies ist eine natürliche Zahl.

- Überlege dir, wie du eine Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten umwandeln kannst, um die Rechenregeln für Potenzen anzuwenden. - Wenn der Exponent unter der Wurzel größer ist als der Wurzelexponent, kannst du Faktoren „vor die Wurzel ziehen“. - Was passiert mit einem Bruch, wenn er mit einer Zahl potenziert wird?

1. \( (\sqrt[4]{a^3})^2 \): Anwendung des Potenzgesetzes ergibt \( \sqrt[4]{a^6} \). Durch Kürzen des Wurzelexponenten und des Potenzexponenten erhält man \( \sqrt{a^3} \). Teilweises Wurzelziehen führt zu \( a\sqrt{a} \). 2. \( (-\sqrt[3]{b^2})^4 \): Da der Exponent 4 gerade ist, wird der Ausdruck positiv. Es ergibt sich \( \sqrt[3]{b^8} \). Da \( 8 = 2 \cdot 3 + 2 \), kann \( b^2 \) vor die Wurzel gezogen werden: \( b^2\sqrt[3]{b^2} \). 3. \( \left(-\frac{2}{3}\sqrt[5]{x^3}\right)^3 \): Der Koeffizient wird zu \( (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27} \) potenziert. Die Wurzel ergibt \( \sqrt[5]{x^9} \). Durch teilweises Wurzelziehen (\( 9 = 5 + 4 \)) erhält man \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \).

a) \( a\sqrt{a} \) b) \( b^2\sqrt[3]{b^2} \) c) \( -\frac{8}{27}x\sqrt[5]{x^4} \)

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Wie verhalten sich Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Versuche die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleinen Basis (wie 2, 3 oder 5) darzustellen.

1. Berechnung der Werte: \(\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt[4]{625} = 5\). Die Werte sind identisch. 2. Begründung über Potenzen: Nach der Definition ist \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Somit gilt \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt \(a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}\), was der Definition von \(\sqrt[4]{a}\) entspricht. 3. Bestimmung von \(n\): Die Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\) lässt sich als \(\sqrt[3 \cdot n]{729} = 3\) schreiben. Da \(729 = 3^6\), folgt \(\sqrt[3n]{3^6} = 3\). Dies entspricht \(3^{\frac{6}{3n}} = 3^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(\frac{6}{3n} = 1\), woraus \(\frac{2}{n} = 1\) und somit \(n = 2\) folgt.

a) Beide Werte ergeben \(5\). b) \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/2 \cdot 1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\). c) \(n = 2\).

- Nutze die Regel \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\), um mehrfache Wurzeln zusammenzufassen. - Es hilft oft, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (z. B. als Potenzen von 2). - Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. Vergleich der Terme: \(A = \sqrt[6]{4096} = \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^2 = 4\). \(B = \sqrt[8]{256} \cdot 2 = \sqrt[8]{2^8} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4\). Ergebnis: \(A = B\). 2. Vereinfachung des Bruchs: Zähler: \(\sqrt[4]{\sqrt{x^{16}}} = \sqrt[8]{x^{16}} = x^{\frac{16}{8}} = x^2\). Nenner: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Division: \(\frac{x^2}{x^{0{,}5}} = x^{2 - 0{,}5} = x^{1{,}5} = \sqrt{x^3}\) (oder \(x\sqrt{x}\)).

a) Die Terme sind gleich groß (\(A = B = 4\)). b) \(\sqrt{x^3}\) oder \(x\sqrt{x}\).

- Versuche zuerst, jeden Term so umzuformen, dass nur noch ein Wurzelzeichen übrig bleibt. - Hilft es dir, die Terme in die Potenzschreibweise mit Brüchen umzuwandeln? - Wie verhalten sich Wurzelwerte bei gleicher Basis, wenn der Wurzelexponent größer wird? - Kannst du die Terme auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten bringen, um die Zahlen unter der Wurzel direkt zu vergleichen?

1. Umformung von \(A\): Den Faktor \(2\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[6]{2^3}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(3\) ergibt \(\sqrt{2}\). 2. Umformung von \(B\): Den Faktor \(2\) unter die dritte Wurzel ziehen ergibt \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{2^4}} = \sqrt[12]{2^4}\). Kürzen des Wurzelexponenten durch \(4\) ergibt \(\sqrt[3]{2}\). 3. Vergleich: \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Da die Basis \(2 > 1\) ist und der Exponent \(\frac{1}{2}\) größer als \(\frac{1}{3}\) ist, gilt \(2^{\frac{1}{2}} > 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(A > B\).

\(A\) ist größer als \(B\), da \(A = \sqrt{2}\) (ca. \(1{,}41\)) und \(B = \sqrt[3]{2}\) (ca. \(1{,}26\)).

- Wie verhalten sich die Exponenten unter der Wurzel beim Multiplizieren von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was muss ergänzt werden, damit die Potenz unter der Wurzel den gleichen Wert wie der Wurzelexponent erreicht? - Achte darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Term zu multiplizieren. - Schau dir das Ergebnis von Teilaufgabe 3 genau an – lässt sich hier eine Variable kürzen?

1. Den Bruch mit \( \sqrt[n]{v^{n-1}} \) erweitern: \( \frac{u \cdot \sqrt[n]{v^{n-1}}}{\sqrt[n]{v} \cdot \sqrt[n]{v^{n-1}}} = \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{\sqrt[n]{v^n}} = \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v} \). 2. Den Bruch mit \( \sqrt[4]{y} \) erweitern: \( \frac{1 \cdot \sqrt[4]{y}}{x\sqrt[4]{y^3} \cdot \sqrt[4]{y}} = \frac{\sqrt[4]{y}}{x\sqrt[4]{y^4}} = \frac{\sqrt[4]{y}}{xy} \). 3. Den Bruch mit \( \sqrt[m]{z} \) erweitern: \( \frac{z \cdot \sqrt[m]{z}}{\sqrt[m]{z^{m-1}} \cdot \sqrt[m]{z}} = \frac{z\sqrt[m]{z}}{\sqrt[m]{z^m}} = \frac{z\sqrt[m]{z}}{z} \). Durch Kürzen von \( z \) ergibt sich \( \sqrt[m]{z} \).

1) \( \frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v} \); 2) \( \frac{\sqrt[4]{y}}{xy} \); 3) \( \sqrt[m]{z} \)

- Um Wurzeln zu vergleichen, ist es oft hilfreich, alles unter ein Wurzelzeichen zu schreiben. - Welchen Exponenten benötigt eine Zahl, um unter eine vierte Wurzel geschoben zu werden? - Wurzeln lassen sich einfacher verrechnen, wenn man sie in die Potenzschreibweise umschreibt. - Welche Rechenregel gilt für Potenzen, die nochmals potenziert werden?

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2\) in die vierte Wurzel einbringen: \(2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16}\). Das Produkt bilden: \(\sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{48}\). Vergleich der Radikanden: Da \(48 < 50\) gilt, ist \(\sqrt[4]{48} < \sqrt[4]{50}\). Somit ist \(\sqrt[4]{50}\) der größere Wert. 2. Teilaufgabe b): Den inneren Ausdruck als Potenz schreiben: \(x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\). Die äußere dritte Wurzel als Exponenten anwenden: \((x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}\). Die Exponenten multiplizieren: \(x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise angeben: \(\sqrt{x}\).

a) \(\sqrt[4]{50}\) ist größer, da \(2\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{48}\). b) \(\sqrt{x}\)

- Achte beim teilweisen Wurzelziehen bei dritten Wurzeln auf Kubikzahlen wie \(8\), \(27\), \(64\) oder \(125\). - Was ist der Unterschied zwischen dem Wurzelexponenten und dem Radikanden? - Können Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten (z. B. Quadratwurzel und Kubikwurzel) jemals gleichartig sein? - Wandle Dezimalzahlen und Brüche in eine einheitliche Form um, um die Koeffizienten besser vergleichen zu können.

1. Analyse von Paar a: \(\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}\) und \(\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}\). Beide Terme haben den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(3\), sie sind gleichartig. 2. Analyse von Paar b: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) (Exponent \(2\)) und \(\sqrt[3]{12}\) (Exponent \(3\)). Da die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, können die Wurzeln nicht gleichartig sein. 3. Analyse von Paar c: \(\frac{3}{5} \sqrt[3]{250} = \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \frac{3}{5} \cdot 5 \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\). Der zweite Term ist \(0{,}5 \sqrt[3]{128} = 0{,}5 \cdot \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 0{,}5 \cdot 4 \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\). Da beide den Exponenten \(3\) und den Radikanden \(2\) haben, sind sie gleichartig.

a) Gleichartig (\(2\sqrt[3]{3}\) und \(3\sqrt[3]{3}\)) b) Nicht gleichartig (unterschiedliche Wurzelexponenten) c) Gleichartig (\(3\sqrt[3]{2}\) und \(2\sqrt[3]{2}\))

- Bearbeite die vier Teilaufgaben getrennt; jede hat eine etwas andere Struktur. - Da die Variablen positiv sind, kannst du Wurzeln und Potenzen ohne Vorzeichenfallen vereinfachen. - In Teil a und d hilft es, Zähler und Nenner gemeinsam zu betrachten. - In Teil c lohnt es sich, die beiden ersten Klammern als zusammengehöriges Paar zu sehen. - Schreibe Wurzeln bei Bedarf als Potenzen, damit die Exponenten vergleichbar werden.

1. Zu a): Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{x^3 y}{x y^3}} = \sqrt{\frac{x^2}{y^2}} = \frac{x}{y}\). 2. Zu b): Umwandlung in Potenzen: \((z^{\frac{2}{3}} \cdot z^{\frac{1}{2}})^6 = (z^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}})^6 = (z^{\frac{7}{6}})^6 = z^{\frac{7}{6} \cdot 6} = z^7\). 3. Zu c): Zuerst die 3. binomische Formel auf die ersten beiden Klammern anwenden: \(((\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2) \cdot (x+y) = (x-y)(x+y)\). Erneute Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(x^2 - y^2\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der 3. Wurzel: \(\sqrt[3]{\frac{x^2 y}{x^{-1} y^4}} = \sqrt[3]{x^{2 - (-1)} y^{1 - 4}} = \sqrt[3]{x^3 y^{-3}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3}} = \frac{x}{y}\).

a) \(\frac{x}{y}\) b) \(z^7\) c) \(x^2 - y^2\) d) \(\frac{x}{y}\)

- Gibt es eine Regel, wie man Wurzeln mit dem gleichen Index dividiert? - Setze dein Ergebnis aus dem ersten Teil ein, um den Wert zu berechnen. - Probiere die Regeländerung Schritt für Schritt am Beispiel aus und vergleiche die Exponenten.

1. Teil a): Anwendung der Rechenregeln für Wurzeln mit gleichem Index: \(\frac{\sqrt[3]{z^7}}{\sqrt[3]{z}} = \sqrt[3]{\frac{z^7}{z}} = \sqrt[3]{z^6}\). Umwandlung in Potenzschreibweise: \(z^{\frac{6}{3}} = z^2\). 2. Teil b): Einsetzen von \(z = 8\) in das Ergebnis \(z^2\): \(8^2 = 64\). 3. Teil c): Der ursprüngliche Term ist \(\sqrt[4]{x^{12}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). Nach der Änderung (Wurzelexponent verdoppelt: \(4 \cdot 2 = 8\); Exponent halbiert: \(12 : 2 = 6\)) lautet der neue Term \(\sqrt[8]{x^6}\). In Potenzschreibweise ist dies \(x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(x^3 \neq x^{\frac{3}{4}}\) für allgemeine \(x\), ist die Aussage falsch.

a) \(z^2\) b) \(64\) c) Die Aussage ist falsch. Beispiel: \(\sqrt[4]{x^{12}} = x^3\), aber \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{3}{4}}\).

- Suche unter der Kubikwurzel nach Faktoren, deren Exponent ein Vielfaches von 3 ist. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen \(\sqrt{x^2}\) und \(\sqrt[3]{x^3}\). - Ist eine Kubikwurzel aus einer negativen Zahl definiert? - Wie verhält sich das Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie erst hoch 3 nimmt und dann die 3. Wurzel zieht?

1. Zerlegung des Radikanden in Faktoren, die Potenzen von 3 sind: \(\frac{(x^2)^3 \cdot y^3 \cdot y}{3^3 \cdot z^3}\). 2. Anwendung der Wurzelgesetze für Kubikwurzeln: \(\frac{\sqrt[3]{(x^2)^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{z^3}}\). 3. Radizieren der Kubikzahlen ergibt \(\frac{x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{y}}{3 \cdot z}\). 4. Gültigkeit für negative Werte: Da der Wurzelexponent 3 ungerade ist, ist die Kubikwurzel für alle reellen Zahlen definiert und es gilt allgemein \(\sqrt[3]{a^3} = a\) für jedes \(a \in \mathbb{R}\). Im Gegensatz zu Quadratwurzeln sind keine Betragsstriche erforderlich, und das Vorzeichen bleibt erhalten. Die Vereinfachung ist somit für alle \(x, y, z \in \mathbb{R}\) mit \(z \neq 0\) gültig.

a) \(A = \frac{x^2 y \sqrt[3]{y}}{3z}\) b) Ja, die Vereinfachung ist auch für negative Werte von \(y\) und \(z\) gültig, da bei ungeraden Wurzelexponenten \(\sqrt[n]{a^n} = a\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt (keine Betragsstriche nötig).

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern unter einer Wurzel zusammenfassen? - Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe oder Differenz unter der Wurzel ausklammern? - Achte darauf, wie sich Potenzen verhalten, wenn man sie radiziert – dividiere den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten. - Hilft es dir, die Ausdrücke als Potenzen mit rationalen Exponenten zu schreiben?

1. Aufteilen der Wurzel auf Zähler und Nenner sowie Zerlegung der Potenzen: \(\sqrt[3]{\frac{2^3 \cdot b^3 \cdot b}{3^3 \cdot (c^2)^3}}\). Radizieren der Faktoren mit dem Exponenten 3 ergibt \(\frac{2 b}{3 c^2} \sqrt[3]{b}\). 2. Zusammenfassen der Brüche unter der Wurzel durch Erweitern auf den Hauptnenner \(a^9\): \(\sqrt[4]{\frac{a+1}{a^9}}\). Umschreiben des Nenners als \(a^8 \cdot a\) ermöglicht das Radizieren von \(a^8\): \(\sqrt[4]{\frac{a+1}{a^8 \cdot a}} = \frac{1}{a^2} \sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\). Im angegebenen Definitionsbereich gilt \(a^2>0\), sodass kein Betrag erforderlich ist. 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(a^6\) unter der Wurzel: \(\sqrt[3]{a^6(b-c)}\). Da \(a^6 = (a^2)^3\) eine Kubikzahl ist, ergibt das teilweise Radizieren \(a^2 \sqrt[3]{b-c}\).

1) \(\frac{2 b}{3 c^2} \sqrt[3]{b}\) 2) \(\frac{1}{a^2} \sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\) 3) \(a^2 \sqrt[3]{b-c}\)

- Kannst du Zahlen im Radikanden in Faktoren zerlegen, von denen einer eine perfekte Potenz (Quadratzahl, Kubikzahl etc.) passend zum Wurzelexponenten ist? - Wie verhält sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl unter einer ungeraden Wurzel betrachtet? - Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel durch Ausklammern faktorisieren, um das teilweise Wurzelziehen zu ermöglichen?

1. Definitionsbereich für \(\sqrt[4]{48(b-2)^5}\): Da der Wurzelexponent gerade ist, muss \(48(b-2)^5 \ge 0\) gelten, woraus \(b \ge 2\) folgt. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt[4]{16 \cdot 3 \cdot (b-2)^4 \cdot (b-2)}\). Teilweises Wurzelziehen: \(2(b-2) \sqrt[4]{3(b-2)}\). 2. Definitionsbereich für \(\sqrt[3]{-24(c+1)^7}\): Ungerader Wurzelexponent, daher für alle \(c \in \mathbb{R}\) definiert. Zerlegung des Radikanden: \(\sqrt[3]{-8 \cdot 3 \cdot (c+1)^6 \cdot (c+1)}\). Teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt[3]{-8} = -2\) und \(\sqrt[3]{((c+1)^2)^3} = (c+1)^2\)): \(-2(c+1)^2 \sqrt[3]{3(c+1)}\). 3. Definitionsbereich für \(\sqrt{x^5 + x^4}\): Faktorisierung des Radikanden zu \(x^4(x+1)\). Bedingung \(x^4(x+1) \ge 0\) führt zu \(x \ge -1\). Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{x^4} \cdot \sqrt{x+1} = x^2 \sqrt{x+1}\). Da \(x^2\) stets nicht-negativ ist, entfällt der Betrag.

1) \(2(b-2) \sqrt[4]{3(b-2)}\) für \(b \ge 2\) 2) \(-2(c+1)^2 \sqrt[3]{3(c+1)}\) für \(c \in \mathbb{R}\) 3) \(x^2 \sqrt{x+1}\) für \(x \ge -1\)

- Prüfe bei negativen Vorfaktoren, ob das Ergebnis das gleiche Vorzeichen wie der Startwert hat. - Welche Eigenschaft haben Ergebnisse von Quadratwurzeln immer? - Kannst du den Term unter der Wurzel durch Kürzen von Zahlen und Variablen noch übersichtlicher machen? - Überlege dir, ob das Vorzeichen des Gesamtausdrucks durch die Umformung erhalten bleibt.

1. Teilaufgabe a): Der Faktor \(\frac{k}{2}\) wird mit 3 potenziert und unter die Wurzel geschrieben: \(\sqrt[3]{\frac{k^3}{2^3} \cdot \frac{24}{k^2}} = \sqrt[3]{\frac{k^3}{8} \cdot \frac{24}{k^2}}\). Das Kürzen der Zahlen (\(24 {:} 8 = 3\)) und der Variablen (\(k^3 {:} k^2 = k\)) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{3k}\). 2. Teilaufgabe b): Die Umformung ist fehlerhaft, da eine Quadratwurzel per Definition niemals negativ ist. Der ursprüngliche Term \(-3 \cdot \sqrt{2}\) ist jedoch negativ. Beim Hineinziehen eines negativen Faktors unter eine Wurzel mit geradem Exponenten muss das negative Vorzeichen vor der Wurzel stehen bleiben. 3. Korrekte Umformung: \(-3 \cdot \sqrt{2} = - \sqrt{3^2 \cdot 2} = - \sqrt{18}\).

a) \(\sqrt[3]{3k}\) b) Die Behauptung ist falsch, da \(-3 \cdot \sqrt{2}\) negativ ist, \(\sqrt{18}\) aber positiv. Korrekt ist: \(- \sqrt{18}\).

- Kannst du den Radikanden in Faktoren zerlegen, deren Exponenten durch den Wurzelexponenten teilbar sind? - Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) gilt. Hilft dir diese Schreibweise beim Vereinfachen? - Wenn im Zähler und Nenner die gleiche Basis steht, wie kannst du die Exponenten verrechnen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Variablen, wenn du sie aus einer \(n\)-ten Wurzel herausziehst?

1. Der Radikand wird so zerlegt, dass Faktoren mit dem Exponenten 4 entstehen: \(\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y^4}\). Durch teilweises Wurzelziehen erhält man \(x^{8/4} \cdot y^{4/4} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\). 2. Der Ausdruck unter der Wurzel wird faktorisiert in Terme, deren Exponent ein Vielfaches von \(n\) ist: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot (b^3)^n}\). Das Herausziehen dieser Faktoren ergibt \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\). 3. Zuerst wird die Wurzel im Zähler teilweise gezogen: \(\sqrt[k]{z^{2k} \cdot z} = z^2 \cdot \sqrt[k]{z}\). Der gesamte Bruch lautet dann \(\frac{z^2 \cdot \sqrt[k]{z}}{z}\). Durch Kürzen mit \(z\) vereinfacht sich der Ausdruck zu \(z \cdot \sqrt[k]{z}\). Alternativ kann der Ausdruck über rationale Exponenten berechnet werden: \(z^{\frac{2k+1}{k}} \cdot z^{-1} = z^{\frac{2k+1-k}{k}} = z^{\frac{k+1}{k}} = z \cdot z^{\frac{1}{k}}\).

1) \(x^2 \cdot y \cdot \sqrt[4]{x}\) 2) \(a \cdot b^3 \cdot \sqrt[n]{a^2}\) 3) \(z \cdot \sqrt[k]{z}\)

- Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für das Einbringen von Faktoren in Wurzeln? - Schau dir in Aufgabenteil a) den Zähler genau an. Kannst du dort schrittweise ausklammern, um den Term zu vereinfachen? - In Aufgabenteil b) hilft es, im Radikanden zuerst \(y^3\) auszuklammern. - Achte darauf, dass der Exponent beim Einziehen unter eine Kubikwurzel eine 3 sein muss.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(\frac{1}{k+1}\) unter die Quadratwurzel ziehen ergibt \(\sqrt{\frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{(k+1)^2}}\). Den Zähler durch Ausklammern oder Erkennen der kubischen Binomialformel faktorisieren: \(k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k+1)^3\). Division durch den Nenner: \(\sqrt{\frac{(k+1)^3}{(k+1)^2}} = \sqrt{k+1}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{y}\) unter die Kubikwurzel ziehen ergibt \(\sqrt[3]{\left(\frac{x}{y}\right)^3 \cdot \left(\frac{y^4 + y^3}{x^2}\right)}\). Den Radikanden umformen: \(\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3} \cdot \frac{y^3(y + 1)}{x^2}}\). Kürzen der Terme \(x^2\) und \(y^3\): \(\sqrt[3]{x \cdot (y + 1)}\).

a) \(\sqrt{k+1}\) b) \(\sqrt[3]{x(y+1)}\)

- Mit welchem Exponenten musst du einen Faktor versehen, um ihn unter eine dritte oder vierte Wurzel zu schreiben? - Nach dem Kürzen steht oft noch eine Zahl im Nenner unter der Wurzel. Mit welcher Zahl musst du den Bruch erweitern, damit im Nenner eine passende Potenz (z. B. eine Kubikzahl) entsteht? - Erinnerst du dich an das Verfahren, den Nenner unter einer Wurzel rational zu machen?

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(m\) als \(m^3\) unter die dritte Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{m^3 \cdot \frac{n}{2m^2}} = \sqrt[3]{\frac{m^3n}{2m^2}}\). 2. Kürzen des Radikanden: \(\frac{m^3n}{2m^2} = \frac{mn}{2}\). 3. Den Nenner im Radikanden rational machen (erweitern mit \(4\), um im Nenner \(8 = 2^3\) zu erhalten): \(\sqrt[3]{\frac{mn \cdot 4}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{4mn}{8}}\). 4. Die Wurzel aus dem Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt[3]{4mn}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{4mn}\). 5. Teilaufgabe b): Den Faktor \(y\) als \(y^4\) unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{y^4 \cdot \frac{x}{8y^3}} = \sqrt[4]{\frac{y^4x}{8y^3}} = \sqrt[4]{\frac{xy}{8}}\). 6. Den Nenner im Radikanden rational machen (erweitern mit \(2\), um im Nenner \(16 = 2^4\) zu erhalten): \(\sqrt[4]{\frac{xy \cdot 2}{8 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{2xy}{16}}\). 7. Die Wurzel aus dem Nenner ziehen: \(\frac{\sqrt[4]{2xy}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}\sqrt[4]{2xy}\).

a) \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{4mn}\) b) \(\frac{1}{2}\sqrt[4]{2xy}\)

- Welchen Exponenten muss ein Faktor haben, damit du ihn unter eine vierte Wurzel ziehen kannst? - Wie kannst du einen Bruch innerhalb einer Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine perfekte vierte Potenz wird? - Achte darauf, erst alle Terme unter einer Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen.

1. Den Faktor vor der Wurzel unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{(\frac{2a^2}{3b})^4 \cdot \frac{27b^5}{8a^6}}\). 2. Potenzieren des Faktors: \((\frac{2a^2}{3b})^4 = \frac{16a^8}{81b^4}\). 3. Multiplikation der Brüche unter der Wurzel: \(\frac{16a^8}{81b^4} \cdot \frac{27b^5}{8a^6} = \frac{16 \cdot 27}{81 \cdot 8} \cdot \frac{a^8}{a^6} \cdot \frac{b^5}{b^4}\). 4. Kürzen der Zahlenkoeffizienten: \(\frac{16}{8} = 2\) und \(\frac{27}{81} = \frac{1}{3}\), woraus der Koeffizient \(\frac{2}{3}\) resultiert. 5. Vereinfachen der Variablenpotenzen: \(a^{8-6} = a^2\) und \(b^{5-4} = b\). 6. Der Term unter der Wurzel lautet nun \(\frac{2a^2b}{3}\). 7. Um den Nenner unter der Wurzel zu eliminieren, wird der Bruch mit \(3^3 = 27\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{2a^2b \cdot 27}{3 \cdot 27}} = \sqrt[4]{\frac{54a^2b}{81}}\). 8. Den Nenner \(81\) aus der Wurzel ziehen: \(\frac{1}{\sqrt[4]{81}} \cdot \sqrt[4]{54a^2b} = \frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\).

\(\frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\)

- Wie verändert sich ein Ausdruck, wenn du ihn unter eine 3. Wurzel schreibst? - Versuche, den Term vor der Wurzel in die Wurzel hineinzuziehen, um die beiden Ausdrücke besser vergleichen zu können. - Achte beim Multiplizieren in der Wurzel auf die Rechenregeln für Brüche und Potenzen.

1. Den Vorfaktor \(\frac{x}{3}\) in die Kubikwurzel ziehen, indem er zur dritten Potenz erhoben wird: \((\frac{x}{3})^3 = \frac{x^3}{27}\). 2. Den neuen Faktor mit dem ursprünglichen Radikanden multiplizieren: \(\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})\). 3. Distributivgesetz anwenden: \(\frac{x^3 \cdot 54}{27 \cdot x^3} + \frac{x^3 \cdot 27}{27 \cdot x^2} = \frac{54}{27} + \frac{x^3}{x^2} = 2 + x\). 4. Der umgeformte Term lautet \(\sqrt[3]{2 + x}\), was identisch mit \(\sqrt[3]{x + 2}\) ist. Die Behauptung ist korrekt.

Die Behauptung ist wahr, da \(A = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot (\frac{54}{x^3} + \frac{27}{x^2})} = \sqrt[3]{2 + x} = B\).

- Gibt es eine Möglichkeit, den Bruch vor der Wurzel zu vereinfachen, bevor du dich mit der Wurzel beschäftigst? - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die hier passen könnte? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten umschreiben? - Welche Rechenregeln gelten für das Dividieren von Potenzen mit der gleichen Basis?

1. Den Bruch vor der Wurzel mithilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen: \(\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} = a-b\) 2. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{(a+b)^n}}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}} = \frac{a+b}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}}\) 3. Die Teilergebnisse multiplizieren: \((a-b) \cdot \frac{a+b}{(a-b)^{\frac{n-1}{n}}}\) 4. Die Potenzen von \((a-b)\) zusammenfassen: \((a-b)^{1 - \frac{n-1}{n}} = (a-b)^{\frac{1}{n}}\) 5. Das Endergebnis als Wurzel schreiben: \((a+b) \cdot \sqrt[n]{a-b}\)

\((a+b) \sqrt[n]{a-b}\)

- Ziel ist es, den Nenner unter der Wurzel zu einer Potenz mit dem Exponenten \(n\) zu machen. - Mit welchem Ausdruck musst du den Nenner \((x+y)^{n-2}\) multiplizieren, um \((x+y)^n\) zu erhalten? - Denke daran, dass du beim Erweitern eines Bruches sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Faktor multiplizieren musst. - Nutze das Wurzelgesetz \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

1. Den Bruch unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine exakte \(n\)-te Potenz bildet: Erweiterung mit \((x+y)^2\), da \((x+y)^{n-2} \cdot (x+y)^2 = (x+y)^n\) 2. Den erweiterten Radikanden aufschreiben: \(\sqrt[n]{\frac{xy^2(x+y)^2}{(x+y)^n}}\) 3. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}}{\sqrt[n]{(x+y)^n}}\) 4. Den Nenner vereinfachen, indem die \(n\)-te Wurzel aus der \(n\)-ten Potenz gezogen wird: \(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

\(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

- Was ändert sich beim Hineinziehen, wenn die Wurzel keine Quadratwurzel, sondern eine dritte oder vierte Wurzel ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln: Wann heben sich eine Potenz und eine Wurzel genau auf? - Überprüfe bei der Aussage des Schülers, ob \(x\sqrt[4]{2}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt[4]{4x \cdot 2}\).

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(3y^2\) zur dritten Potenz erheben, um ihn unter die dritte Wurzel zu ziehen: \(\sqrt[3]{(3y^2)^3 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 2. Potenz anwenden: \(\sqrt[3]{27y^6 \cdot \frac{2}{9y^4}}\). 3. Radikanden berechnen und kürzen: \(\frac{27}{9} = 3\) und \(\frac{y^6}{y^4} = y^2\). Ergebnis: \(\sqrt[3]{6y^2}\). 4. Teilaufgabe b): Korrekte Umformung: \(x \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2x^4}\). 5. Fehleranalyse: Der Schüler verwechselt das Potenzieren mit dem Multiplizieren. Um einen Faktor unter eine \(n\)-te Wurzel zu ziehen, muss er mit \(n\) potenziert werden, nicht mit \(n\) multipliziert werden.

a) \(\sqrt[3]{6y^2}\) b) Korrekte Umformung: \(\sqrt[4]{2x^4}\). Der Fehler liegt darin, dass der Faktor potenziert werden muss (\(x^4\)) und nicht mit dem Wurzelexponenten multipliziert werden darf (\(4 \cdot x\)).

- Überlege zuerst, ob die Terme gleichartig sind, indem du sie auf die einfachste Form bringst. - Was musst du tun, um einen Nenner unter einer vierten Wurzel oder einer Kubikwurzel zu einer vollständigen Potenz zu ergänzen? - Gleichartige Wurzelterme kannst du zusammenfassen, indem du ihre Koeffizienten addierst oder subtrahierst; der gemeinsame Wurzelteil bleibt unverändert.

1. Teil a): Vereinfachung von \(\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}\). Somit ist \(2\sqrt[4]{48} = 4\sqrt[4]{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = 3\sqrt[4]{3}\). Die Differenz ist \(4\sqrt[4]{3} - 3\sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3}\). 2. Teil b): Vereinfachung von \(\sqrt[3]{\frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{27}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). Vereinfachung von \(\sqrt[3]{0{,}75} = \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\frac{6}{8}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}\). Zusammenfassung: \(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{6} = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})\sqrt[3]{6} = \frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\).

a) Ja, Ergebnis: \(\sqrt[4]{3}\) b) Ja, Ergebnis: \(\frac{5}{6}\sqrt[3]{6}\)

- Versuche zuerst, die Brüche innerhalb der Wurzel zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Gibt es im Zähler des neuen Bruchs Faktoren, die Potenzen von 3 sind? - Kannst du Faktoren aus der Wurzel ziehen, die sich mit dem Ausdruck vor der Wurzel verrechnen lassen?

1. Den Ausdruck unter der Wurzel auf den Hauptnenner \(27u^3\) bringen: \(\frac{3uv^7}{27u^3} - \frac{v^6}{27u^3} = \frac{3uv^7 - v^6}{27u^3}\). 2. Im Zähler den gemeinsamen Faktor \(v^6\) ausklammern: \(\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}\). 3. Teilweises Wurzelziehen anwenden: \(\sqrt[3]{\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}} = \frac{\sqrt[3]{v^6}}{\sqrt[3]{27u^3}} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1} = \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 4. Den gesamten Term berechnen: \(\frac{3u}{v^2} \cdot \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 5. Die Brüche vor der verbleibenden Wurzel kürzen sich gegenseitig zu \(1\) weg. 6. Das Endergebnis lautet \(\sqrt[3]{3uv - 1}\).

\(\sqrt[3]{3uv - 1}\)

- Nutze die Regel \(\sqrt[n]{x^n y} = x\sqrt[n]{y}\) für positive Variablen. - Bei Brüchen unter der Wurzel hilft es oft, den Nenner so zu erweitern, dass er eine \(n\)-te Potenz wird. - Behandle den allgemeinen Exponenten \(n\) genauso wie eine feste Zahl wie 2 oder 3.

1. Erster Term: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Zweiter Term: \(a\sqrt[n]{a^2b}\). Dritter Term: \(\frac{1}{a}\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^2 \cdot b} = \frac{1}{a} \cdot a^2\sqrt[n]{a^2b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Alle drei Terme sind identisch und damit gleichartig. 2. Erster Term: Durch Erweitern des Bruchs mit \(y\) erhält man \(\sqrt[4]{\frac{x^4 \cdot x \cdot y}{y^4}} = \frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Zweiter Term: \(\frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Dritter Term: \(\frac{1}{x}\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y} = \frac{1}{x} \cdot x^2 \sqrt[4]{xy} = x\sqrt[4]{xy}\). Alle Terme besitzen denselben Wurzelexponenten \(4\) und denselben Wurzelrest \(\sqrt[4]{xy}\); sie sind gleichartig.

Beide Gruppen bestehen jeweils aus gleichartigen Wurzeltermen.

- Kannst du unter der Wurzel einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten beim Umformen des Radikanden helfen. - Wann lässt sich ein Faktor ganz aus einer dritten Wurzel ziehen? - Vergleiche die Ergebnisse: Haben sie denselben Wurzelexponenten und denselben Ausdruck unter der Wurzel?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{k^3(k-1)}\). Teilweises Wurzelziehen führt zu \(k\sqrt[3]{k-1}\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{125(k-1)}\). Da \(125 = 5^3\), folgt \(5\sqrt[3]{k-1}\). 3. Vereinfachung von \(T_3\): Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\sqrt[3]{(k-1)(k+1)}\). Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen. 4. Vergleich: \(T_1\) und \(T_2\) besitzen denselben Wurzelteil \(\sqrt[3]{k-1}\). \(T_3\) hat einen anderen Radikanden. Somit sind nur \(T_1\) und \(T_2\) gleichartig.

Nur die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind zueinander gleichartig.

- Was muss passieren, damit man eine Variable unter einer \(k\)-ten Wurzel nach vorne ziehen kann? - Wenn unter der Wurzel ein Bruch steht, wie kannst du den Nenner „wurzelfrei“ machen? - Überlege, was mit dem Exponenten im Nenner passiert, wenn du den Bruch geschickt erweiterst.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Der Radikand wird zerlegt in \(x^{2k} \cdot x \cdot y\). Da \(x^{2k} = (x^2)^k\), kann \(x^2\) vor die Wurzel gezogen werden: \(A = x^2 \sqrt[k]{xy}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Um den Nenner aus der Wurzel zu ziehen, wird der Bruch innerhalb der Wurzel mit \(y\) erweitert: \(\frac{x \cdot y}{y^{k-1} \cdot y} = \frac{xy}{y^k}\). 3. Teilweises Wurzelziehen ergibt \(B = \frac{1}{y} \sqrt[k]{xy}\). 4. Vergleich: Beide Terme lassen sich auf ein Vielfaches von \(\sqrt[k]{xy}\) bringen. 5. Schlussfolgerung: Die Aussage des Schülers ist wahr; der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

Die Aussage ist wahr. Der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Könnten sie dir helfen, den Bruch unter der Wurzel zu kürzen? - Kannst du im Radikanden von Term \(A\) in Aufgabenteil b etwas ausklammern? - Was passiert, wenn du bei einem Bruch unter einer Kubikwurzel versuchst, den Nenner oder Zähler teilweise zu radizieren?

1. Vereinfachung von Term \(A\) in Paar a: Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler ergibt \(\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}} = \sqrt{x+y}\). Da dies exakt dem Term \(B\) entspricht, sind sie gleichartig. 2. Umformung von Paar b: Bei Term \(A\) wird \(a^3\) unter der Kubikwurzel ausgeklammert, woraus \(a\sqrt[3]{a-b}\) folgt. Bei Term \(B\) wird der Nenner teilweise radiziert, was \(\frac{1}{a}\sqrt[3]{a-b}\) ergibt. Beide Terme besitzen den Radikanden \(a-b\) und den Wurzelexponenten 3, sie sind also gleichartig.

a) Gleichartig; b) Gleichartig.

- Versuche, die linke Seite der Gleichung schrittweise zu vereinfachen und schaue, ob du beim Ausdruck auf der rechten Seite ankommst. - Wie kannst du eine Potenz wie \(a^{2n+1}\) in ein Produkt aus zwei Potenzen zerlegen, von denen eine durch \(n\) teilbar im Exponenten ist? - Gibt es eine Regel für Wurzeln aus Brüchen?

1. Umformung der linken Seite: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^1 \cdot b^n \cdot b^2}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}\) ergibt \(\sqrt[n]{(a^2)^n} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b^n} \cdot \sqrt[n]{b^2}\). Dies vereinfacht sich zu \(a^2 \cdot \sqrt[n]{a} \cdot b \cdot \sqrt[n]{b^2} = a^2 b \sqrt[n]{a b^2}\). Die Aussage ist korrekt. 2. Umformung der linken Seite: Aufteilen des Bruchs in \(\frac{\sqrt[k+1]{x^{k+1} \cdot x}}{\sqrt[k+1]{y^{k+1}}}\). Da \(x, y > 0\), vereinfacht sich der Zähler zu \(x \sqrt[k+1]{x}\) und der Nenner zu \(y\). Zusammengefasst ergibt dies \(\frac{x}{y} \sqrt[k+1]{x}\). Die Aussage ist korrekt.

Beide Umformungen sind korrekt.

- Welche Auswirkung hat das Quadrieren auf eine vierte Wurzel? - Kannst du den Bruch unter der Wurzel zunächst in einzelne Wurzeln für Zähler und Nenner aufteilen? - Wie geht man vor, um eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruches zu entfernen? - Überprüfe am Ende, ob alle Faktoren und Exponenten mit dem Zielterm übereinstimmen.

1. Das Quadrieren der Faktoren von \( A \) ergibt \( \frac{a^2}{9b^2} \cdot \sqrt{\frac{27b^3}{a}} \). 2. Die Wurzel wird durch teilweises Radizieren zu \( \frac{3b\sqrt{3b}}{\sqrt{a}} \) vereinfacht. 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen durch \( 3b \) führt zu \( \frac{a^2 \sqrt{3b}}{3b \sqrt{a}} \). 4. Rationalmachen des Nenners durch Erweitern mit \( \sqrt{a} \) ergibt \( \frac{a^2 \sqrt{3ab}}{3ab} \). 5. Finales Kürzen durch \( a \) liefert \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \). Da dies exakt Term \( B \) entspricht, ist die Aussage wahr.

Die Aussage \( A = B \) ist wahr. Die schrittweise Vereinfachung von \( A \) ergibt den Term \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \).