Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Teile der beiden Summanden sind gleich? - Was kannst du mit den Vorfaktoren gleichartiger Wurzelterme tun?

1. Beide Summanden enthalten dieselbe Wurzel \(\sqrt{5}\). 2. Deshalb werden nur die Vorfaktoren addiert: \(3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).

\(5\sqrt{5}\)

- Welche Rechenart verbindet die beiden Wurzeln? - Kannst du die beiden Radikanden unter einer gemeinsamen Quadratwurzel zusammenfassen?

1. Für nichtnegative Radikanden dürfen Quadratwurzeln beim Multiplizieren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammengefasst werden. 2. Daher gilt \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{15}\).

\(\sqrt{15}\)

- Suche im Radikanden nach einem möglichst großen Quadratfaktor. - Welcher Faktor kann vollständig aus der Quadratwurzel gezogen werden?

1. Zerlege den Radikanden als \(20=4\cdot5\). 2. Ziehe die vollständige Quadratpotenz aus der Wurzel: \(\sqrt{20}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).

\(2\sqrt{5}\)

- Wie kannst du den positiven Faktor \(3\) selbst als Quadratwurzel schreiben? - Zwei Quadratwurzeln können beim Multiplizieren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammengefasst werden.

1. Für den positiven Faktor gilt \(3=\sqrt{9}\). 2. Daher ist \(3\sqrt{2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=\sqrt{18}\).

\(\sqrt{18}\)

- Vereinfache beide Wurzeln zunächst getrennt. - Suche jeweils nach einem Quadratfaktor im Radikanden. - Vergleiche anschließend Wurzelexponent und Radikand der vereinfachten Terme.

1. Es gilt \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\). 2. Außerdem ist \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\). 3. Beide vereinfachten Terme haben denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden. Sie sind daher gleichartig.

Ja. Es gilt \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) und \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\); die Terme sind gleichartig.

- Prüfe in a), ob Produkte mit demselben Wurzelexponenten unter einer gemeinsamen Wurzel zusammengefasst werden können. - Rechne in b) jeweils zuerst den exakten Wurzelwert und anschließend die äußere Potenz. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten ganzen Zahlen.

1. \(A=\sqrt[3]{2\cdot4}=\sqrt[3]{8}=2\). 2. \(B=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4\). Daher ist \(B>A\). 3. \(C=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9\). 4. \(D=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\). Daher ist \(C>D\).

a) \(B>A\), denn \(B=4\) und \(A=2\). b) \(C>D\), denn \(C=9\) und \(D=8\).

- Gleiche Wurzelexponenten erlauben das Zusammenfassen von Produkten oder Quotienten. - In d) kannst du die Quadratwurzel als vierte Wurzel eines passenden Quadrats schreiben. - Prüfe bei Vereinfachungen von \(\sqrt{x^2}\), welche Vorzeichenbedingung gegeben ist.

1. In a) gilt \(\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6\). 2. In b) gilt \(\sqrt{\frac{x^3}{x}}=\sqrt{x^2}=x\), weil \(x>0\). 3. In c) gilt \(\sqrt[3]{2\cdot4}=\sqrt[3]{8}=2\). 4. In d) ist \(\sqrt a=\sqrt[4]{a^2}\), weil \(a>0\). Daher \(\sqrt a\cdot\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{a^3}\).

a) \(6\) b) \(x\) c) \(2\) d) \(\sqrt[4]{a^3}\)

- Fasse zuerst die beiden vierten Wurzeln im Zähler zusammen. - Nutze danach das Quotientengesetz für Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten. - Prüfe beim letzten Wurzelterm, ob der Radikand eine vollständige vierte Potenz ist.

1. Im Zähler gilt \(\sqrt[4]{b^9}\cdot\sqrt[4]{b^3}=\sqrt[4]{b^{12}}\). 2. Mit dem Nenner folgt \(\sqrt[4]{\frac{b^{12}}{b^4}}=\sqrt[4]{b^8}\). 3. Da \(b^8=(b^2)^4\) und \(b^2\ge0\), gilt \(\sqrt[4]{b^8}=b^2\).

\(b^2\)

- Fasse Produkte und Quotienten von Quadratwurzeln zunächst jeweils zu einer Wurzel zusammen. - Bestimme die dritte Wurzel als exakten ganzzahligen Wert. - Addiere und subtrahiere erst, nachdem alle drei Teilwerte vereinfacht sind.

1. \(\sqrt2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8\). 2. \(\sqrt[3]{27}=3\). 3. \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\). 4. Insgesamt ist \(8-3+5=10\).

\(10\)

- Welche Bedingung muss der Radikand einer Quadratwurzel erfüllen? - Zerlege Potenzen so, dass ein Faktor eine vollständige Potenz zum jeweiligen Wurzelexponenten ist. - Vergleiche die Definitionsbedingungen von Wurzeln mit geradem und ungeradem Wurzelexponenten.

1. Für a) muss \(a^5\ge0\) gelten, also \(a\ge0\). Mit \(a^5=a^4a\) folgt \(\sqrt{a^5}=a^2\sqrt a\). Die Definitionsmenge ist \([0;\infty[\). 2. Die dritte Wurzel ist für jeden reellen Radikanden definiert. Mit \((x-2)^4=(x-2)^3(x-2)\) folgt \(\sqrt[3]{(x-2)^4}=(x-2)\sqrt[3]{x-2}\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\). 3. Bei der fünften Wurzel gilt \(\sqrt[5]{(y+3)^5}=y+3\) für alle \(y\in\mathbb{R}\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\).

a) \(a^2\sqrt a\), Definitionsmenge \([0;\infty[\) b) \((x-2)\sqrt[3]{x-2}\), Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) c) \(y+3\), Definitionsmenge \(\mathbb{R}\)

- Wie kannst du eine Zahl so umschreiben, dass sie unter einer Wurzel denselben Wert behält? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Wurzelziehen? - Achte bei Teil b) genau auf den Wurzelexponenten. - Überlege bei Teil c), wie man Potenzen potenziert.

1. Umformung von \(3\sqrt{7}\): \(3\) wird als \(3^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}\). 2. Umformung von \(5\sqrt{3}\): \(5\) wird als \(5^2\) unter die Quadratwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}\). 3. Vergleich a): Da \(75 > 63\), ist \(\sqrt{75} > \sqrt{63}\), also \(5\sqrt{3} > 3\sqrt{7}\). 4. Umformung von \(2\sqrt[3]{5}\): \(2\) wird als \(2^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}\). 5. Umformung von \(3\sqrt[3]{2}\): \(3\) wird als \(3^3\) unter die Kubikwurzel gezogen, ergibt \(\sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}\). 6. Vergleich b): Da \(54 > 40\), ist \(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\), also \(3\sqrt[3]{2} > 2\sqrt[3]{5}\). 7. Umformung c): Der Faktor \(a^2\) wird als \((a^2)^2 = a^4\) unter die Quadratwurzel gezogen. Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

a) \(5\sqrt{3}\) ist größer (\(\sqrt{75} > \sqrt{63}\)). b) \(3\sqrt[3]{2}\) ist größer (\(\sqrt[3]{54} > \sqrt[3]{40}\)). c) \(a^2 \sqrt{a} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot a} = \sqrt{a^4 \cdot a} = \sqrt{a^5}\).

- Welcher Exponent passt zum jeweiligen Wurzelexponenten, wenn ein positiver Faktor unter die Wurzel gezogen wird? - Potenziere den vollständigen äußeren Faktor, bevor du ihn mit dem Radikanden zusammenfasst. - Vereinfache anschließend Brüche und Potenzen im neuen Radikanden.

1. In a) wird der Faktor \(4a\) quadriert und unter die Quadratwurzel gezogen: \(\sqrt{(4a)^2\cdot3a}=\sqrt{48a^3}\). 2. In b) wird \(\frac{x}{y}\) mit dem Wurzelexponenten \(3\) potenziert: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{y})^3\frac{y^4}{x^2}}=\sqrt[3]{xy}\). 3. In c) wird \(b^2\) mit dem Wurzelexponenten \(5\) potenziert: \(\sqrt[5]{(b^2)^5\frac{2}{b^7}}=\sqrt[5]{2b^3}\).

a) \(\sqrt{48a^3}\) b) \(\sqrt[3]{xy}\) c) \(\sqrt[5]{2b^3}\)

- Ein positiver Faktor vor einer Wurzel kann als passende Potenz unter die Wurzel gezogen werden. - Welche Potenz braucht ein Faktor, damit sie zum jeweiligen Wurzelexponenten passt? - Fasse anschließend Potenzen mit derselben Basis zusammen.

1. In a) wird \(a^3\) mit dem Wurzelexponenten \(5\) potenziert und unter die Wurzel gezogen: \(\sqrt[5]{(a^3)^5a^2}=\sqrt[5]{a^{17}}\). 2. In b) werden die Faktoren vor der \(n\)-ten Wurzel mit \(n\) potenziert: \(\sqrt[n]{x^ny^{2n}x^2y}=\sqrt[n]{x^{n+2}y^{2n+1}}\). 3. In c) wird \(b^k\) mit dem Wurzelexponenten \(3\) potenziert: \(\sqrt[3]{(b^k)^3b}=\sqrt[3]{b^{3k+1}}\).

a) \(\sqrt[5]{a^{17}}\) b) \(\sqrt[n]{x^{n+2}y^{2n+1}}\) c) \(\sqrt[3]{b^{3k+1}}\)

- Überlege dir, mit welcher Zahl du den Nenner unter der Wurzel multiplizieren musst, damit er eine Quadratzahl (oder Kubikzahl etc.) wird. - Erinnere dich an die Regel \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\). - Wie kannst du den Nenner im Radikanden so ergänzen, dass die Wurzel daraus eine ganze Zahl ergibt? - Manchmal hilft es, den Nenner zuerst in seine Primfaktoren zu zerlegen.

1. Um den Bruch unter der Quadratwurzel zu beseitigen, wird der Bruch so erweitert, dass der Nenner eine Quadratzahl wird: \(\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\). 2. Bei der dritten Wurzel muss der Nenner eine Kubikzahl werden. Da \(9 = 3^2\), wird mit \(3\) erweitert: \(\sqrt[3]{\frac{2}{3^2}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 3}{3^2 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{6}{3^3}} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}\). 3. Bei der vierten Wurzel muss der Nenner eine vierte Potenz werden. Da \(8 = 2^3\), wird mit \(2\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{1}{2^3}} = \sqrt[4]{\frac{1 \cdot 2}{2^3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{\frac{2}{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}\). 4. Für die \(n\)-te Wurzel wird der Nenner so erweitert, dass er eine \(n\)-te Potenz bildet. Hier wird mit \(3^{n-1}\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{1}{3}} = \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3^{n-1}}{3 \cdot 3^{n-1}}} = \sqrt[n]{\frac{3^{n-1}}{3^n}} = \frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\).

a) \(\frac{\sqrt{15}}{5}\) b) \(\frac{\sqrt[3]{6}}{3}\) c) \(\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\) d) \(\frac{\sqrt[n]{3^{n-1}}}{3}\)

- Mit welchem Exponenten musst du eine Variable potenzieren, um sie unter eine \(n\)-te Wurzel zu schreiben? - Welche Gesetze für das Rechnen mit Potenzen kannst du anwenden, wenn Variablen im Zähler und Nenner stehen? - Was passiert mit den Exponenten bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis?

1. Umwandlung von \(x\) in \(\sqrt{x^2}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt{x^2 \cdot \frac{3}{x}}\); Kürzen durch \(x\) liefert das Ergebnis \(\sqrt{3x}\). 2. Umwandlung von \(a\) in \(\sqrt[3]{a^3}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[3]{a^3 \cdot \frac{b}{a^2}}\); Kürzen durch \(a^2\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[3]{ab}\). 3. Umwandlung von \(y^2\) in \(\sqrt[4]{(y^2)^4} = \sqrt[4]{y^8}\) und Multiplikation mit dem Radikanden ergibt \(\sqrt[4]{y^8 \cdot \frac{1}{y^7}}\); Kürzen durch \(y^7\) liefert das Ergebnis \(\sqrt[4]{y}\).

a) \(\sqrt{3x}\) b) \(\sqrt[3]{ab}\) c) \(\sqrt[4]{y}\)

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel so umschreiben, dass er als Wurzel mit demselben Exponenten erscheint? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie unter die Wurzel ziehst oder kürzt? - Gibt es unter der Wurzel Quadrat- oder Kubikzahlen, die du teilweise radizieren kannst?

1. Für Teilaufgabe a): Den Faktor \(b^2\) unter die Quadratwurzel ziehen, indem er quadriert wird: \(\sqrt{(b^2)^2 \cdot \frac{18}{b^3}} = \sqrt{b^4 \cdot \frac{18}{b^3}}\). 2. Den Bruch unter der Wurzel kürzen: \(\sqrt{18b}\). 3. Teilweise radizieren durch Zerlegung von \(18\) in \(9 \cdot 2\): \(\sqrt{9 \cdot 2b} = 3\sqrt{2b}\). 4. Für Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{x}{3}\) unter die Kubikwurzel ziehen, indem er mit der dritten Potenz potenziert wird: \(\sqrt[3]{(\frac{x}{3})^3 \cdot \frac{54}{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{27} \cdot \frac{54}{x^2}}\). 5. Den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen: \(\frac{54}{27} = 2\) und \(\frac{x^3}{x^2} = x\). 6. Ergebnis für b): \(\sqrt[3]{2x}\).

a) \(3\sqrt{2b}\) b) \(\sqrt[3]{2x}\)

- Suche im ersten Radikanden nach vollständigen Quadraten und im zweiten nach vollständigen dritten Potenzen. - Zerlege Variablenpotenzen so, dass ein möglichst großer vollständiger Potenzfaktor sichtbar wird. - Ziehe nur Faktoren aus der Wurzel, deren Exponent zum jeweiligen Wurzelexponenten passt.

1. Zerlege den ersten Radikanden in vollständige Quadratfaktoren: \(75x^5y^2=25\cdot3\cdot x^4\cdot x\cdot y^2\). 2. Ziehe die vollständigen Quadrate aus der Wurzel: \(\sqrt{75x^5y^2}=5x^2y\sqrt{3x}\). 3. Zerlege den zweiten Radikanden in vollständige Kubikfaktoren: \(\frac{8a^4}{27b^3}=\frac{2^3a^3\cdot a}{3^3b^3}\). 4. Ziehe die vollständigen dritten Potenzen aus der Kubikwurzel: \(\sqrt[3]{\frac{8a^4}{27b^3}}=\frac{2a}{3b}\sqrt[3]{a}\).

a) \(5x^2y\sqrt{3x}\) b) \(\frac{2a}{3b}\sqrt[3]{a}\)

- Überlege, welche Zahlen unter den Wurzeln Kubikzahlen und welche Quadratzahlen sind. - Denk daran, dass man nur Terme zusammenfassen kann, die denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden haben. - Was musst du beim Auflösen der zweiten Klammer beachten?

1. Vereinfachen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{27x} = 3\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{8x} = 2\sqrt[3]{x}\). 2. Vereinfachen der Quadratwurzeln: \(\sqrt{64y} = 8\sqrt{y}\) und \(\sqrt{4y} = 2\sqrt{y}\). 3. Einsetzen der Ergebnisse in den Gesamtausdruck: \((3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y}) - (2 \cdot 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt{y})\). 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(3\sqrt[3]{x} + 8\sqrt{y} - 4\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{y}\). 5. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Radikanden: \((3 - 4)\sqrt[3]{x} + (8 + 2)\sqrt{y} = -1\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\).

\(-\sqrt[3]{x} + 10\sqrt{y}\)

- Suche in jedem Radikanden nach einem möglichst großen Faktor, der eine vollständige dritte Potenz ist. - Vereinfache zunächst jeden Wurzelterm einzeln durch teilweises Radizieren. - Prüfe erst danach, welche Wurzelterme denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden besitzen.

1. Zerlege die Radikanden so, dass jeweils eine möglichst große dritte Potenz sichtbar wird: \(16=8\cdot2\), \(54=27\cdot2\), \(250=125\cdot2\) und \(128=64\cdot2\). 2. Durch teilweises Radizieren erhält man \(2\sqrt[3]{16}=4\sqrt[3]{2}\), \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\), \(\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\) und \(\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2}\). 3. Damit wird der Term zu \(4\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}-5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{2}\). 4. Die gleichartigen Wurzelterme lassen sich zusammenfassen: \((4+3-5+4)\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}\).

\(6\sqrt[3]{2}\)

- Prüfe zuerst, welche Wurzeln bereits denselben Wurzelexponenten besitzen. - Wenn die Wurzelexponenten verschieden sind, suche einen gemeinsamen Wurzelexponenten, zu dem sich beide Darstellungen erweitern lassen. - Nutze anschließend Produkt- oder Quotientengesetze für Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten.

1. Bei a) haben beide Wurzeln denselben Wurzelexponenten: \(\sqrt[4]{x^5}:\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x^4}=x\), weil \(x>0\). 2. Bei b) gilt \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[6]{a^2}\). Daher ist \(\sqrt[6]{a^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3}=\sqrt a\). 3. Bei c) gilt \(\sqrt{y^3}=\sqrt[4]{y^6}\). Somit folgt \(\frac{\sqrt[4]{y^6}}{\sqrt[4]{y}}=\sqrt[4]{y^5}\).

a) \(x\) b) \(\sqrt a\) c) \(\sqrt[4]{y^5}\)

- Prüfe bei jedem Quotienten, ob die Wurzeln denselben Wurzelexponenten besitzen und sich deshalb zusammenfassen lassen. - Suche in b) nach vollständigen dritten Potenzen im vereinfachten Radikanden. - Behandle in c) die Faktoren außerhalb der Wurzeln und die Radikanden zunächst getrennt.

1. Bei a) gilt \(\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{125}=5\). 2. Bei b) ist \(\sqrt[3]{54a^7}:\sqrt[3]{2a}=\sqrt[3]{27a^6}=3a^2\). 3. Bei c) gilt \(10:2=5\) und \(\sqrt{0{,}2}:\sqrt5=\sqrt{0{,}04}=0{,}2\). Daher ist der Wert \(5\cdot0{,}2=1\).

a) \(5\) b) \(3a^2\) c) \(1\)

- Suche in jedem Ausdruck nach einem Wurzelfaktor, der in beiden Summanden vorkommt. - Eine Variable ohne Wurzel kann gegebenenfalls als Potenz einer Wurzel dargestellt werden. - Prüfe bei c), welcher gemeinsame Faktor in beiden Radikanden steckt.

1. Bei a) gilt \(\sqrt{15a}=\sqrt3\sqrt{5a}\). Daher ist \(\sqrt{5a}+\sqrt{15a}=\sqrt{5a}(1+\sqrt3)\). 2. Bei b) kann \(b=(\sqrt b)^2\) geschrieben werden. Ausklammern von \(\sqrt b\) ergibt \(\sqrt b(\sqrt b-1)\). 3. Bei c) ist \(\sqrt[3]{x^2y}=\sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{xy^2}=\sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{y}\). Damit folgt \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\).

a) \(\sqrt{5a}(1+\sqrt3)\) b) \(\sqrt b(\sqrt b-1)\) c) \(\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\)

- Wie lässt sich die Division einer Klammer durch eine Wurzel vereinfachen? - Gibt es eine Regel für die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten? - Was ist das Ergebnis, wenn man eine Wurzel durch genau dieselbe Wurzel teilt? - Überlege, welche Zahlen zu den natürlichen Zahlen gehören.

1. Anwendung des Distributivgesetzes zur Division jedes Summanden durch \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1}{2}(\sqrt[3]{16} {:} \sqrt[3]{2}) + \frac{1}{3}(\sqrt[3]{54} {:} \sqrt[3]{2}) - (\sqrt[3]{2} {:} \sqrt[3]{2})\) 2. Anwendung des Wurzelgesetzes für Division (\(\sqrt[n]{a} {:} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a {:} b}\)): \(\frac{1}{2}\sqrt[3]{8} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1}\) 3. Berechnen der Kubikwurzeln: \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{1} = 1\) 4. Einsetzen und Zusammenfassen: \(\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1\) 5. Überprüfung der Zahlenmenge: Da \(1\) eine positive ganze Zahl ohne Nachkommastellen ist, gehört sie zur Menge der natürlichen Zahlen (\(1 \in \mathbb{N}\)).

Der vereinfachte Wert des Ausdrucks ist \(1\). Dies ist eine natürliche Zahl.

- Wie kannst du geschachtelte Wurzeln zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Haben Wurzelexponent und Potenzexponent anschließend einen gemeinsamen Teiler? - Beachte, dass die Variablen positiv sind; dadurch entstehen beim Kürzen keine Vorzeichenprobleme.

1. In a) werden die Wurzelexponenten multipliziert: \(\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2\). 2. In b) gilt \(\sqrt[4]{\sqrt{x^2}}=\sqrt[8]{x^2}\). Da \(x>0\), kann Wurzelexponent und Potenzexponent durch \(2\) gekürzt werden: \(\sqrt[8]{x^2}=\sqrt[4]{x}\). 3. In c) folgt \(\sqrt[3]{\sqrt[5]{y^{10}}}=\sqrt[15]{y^{10}}\). Kürzen von Wurzel- und Potenzexponent durch \(5\) ergibt \(\sqrt[3]{y^2}\).

a) \(2\) b) \(\sqrt[4]{x}\) c) \(\sqrt[3]{y^2}\)

- Überlege für jeden Nenner, welche Potenz im Radikanden noch fehlt, damit eine vollständige Potenz zum Wurzelexponenten entsteht. - Erweitere Zähler und Nenner mit demselben passenden Wurzelterm. - Prüfe nach dem Rationalmachen, ob sich außerhalb der Wurzel noch Faktoren kürzen lassen.

1. Bei a) erweitere mit \(\sqrt[3]{2^2}\): \(\frac{4\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4\sqrt[3]{4}}{2}=2\sqrt[3]{4}\). 2. Bei b) erweitere mit \(\sqrt[4]{5^3}\): \(\frac{\sqrt[4]{125}}{\sqrt[4]{5^4}}=\frac{\sqrt[4]{125}}{5}\). 3. Bei c) erweitere mit \(\sqrt[5]{3^3}\): \(\frac{3\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^5}}=\sqrt[5]{27}\).

a) \(2\sqrt[3]{4}\) b) \(\frac{\sqrt[4]{125}}5\) c) \(\sqrt[5]{27}\)

- Haben Wurzelexponent und Potenzexponent in a) einen gemeinsamen Teiler? - Wie kannst du den Faktor \(5\) in b) als Kubikwurzel schreiben? - Welcher Wurzelfaktor ergänzt den Nenner in c) zu einer vollständigen dritten Potenz?

1. In a) ist \(27=3^3\). Daher kann Wurzel- und Potenzexponent durch \(3\) gekürzt werden: \(\sqrt[6]{3^3}=\sqrt{3}\). 2. In b) gilt \(5=\sqrt[3]{125}\). Damit ist \(5\sqrt[3]{\frac{2}{25}}=\sqrt[3]{125\cdot\frac{2}{25}}=\sqrt[3]{10}\). 3. In c) erweitere mit \(\sqrt[3]{2}\): \(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\).

a) \(\sqrt{3}\) b) \(\sqrt[3]{10}\) c) \(\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\)

- Wie kannst du den Faktor \(2\) in a) unter eine vierte Wurzel bringen? - Kannst du \(x\) in b) mithilfe von \(\sqrt{x}\) schreiben? - Welcher vollständige Kubus entsteht dadurch unter der äußeren Kubikwurzel?

1. In a) gilt \(2=\sqrt[4]{16}\). Daher ist \(2\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{48}\). Weil \(48<50\), ist \(\sqrt[4]{50}\) größer. 2. In b) ist \(x=(\sqrt{x})^2\) für \(x\ge0\). Somit gilt \(x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^3\). Daher ist \(\sqrt[3]{x\sqrt{x}}=\sqrt{x}\).

a) \(\sqrt[4]{50}\) ist größer, da \(2\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{48}\). b) \(\sqrt{x}\)

- Vereinfache jeden Wurzelterm vollständig, bevor du die beiden Terme eines Paares vergleichst. - Suche bei Kubikwurzeln nach vollständigen dritten Potenzen, die sich durch teilweises Radizieren herausziehen lassen. - Gleichartige Wurzelterme müssen nach der Vereinfachung denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden besitzen.

1. Bei a) ist \(\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}\) und \(\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\). Die Terme sind gleichartig. 2. Bei b) ist \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), während \(\sqrt[3]{12}\) den Wurzelexponenten \(3\) besitzt. Die Terme sind nicht gleichartig. 3. Bei c) gilt \(\frac35\sqrt[3]{250}=3\sqrt[3]{2}\) und \(0{,}5\sqrt[3]{128}=2\sqrt[3]{2}\). Die Terme sind gleichartig.

a) Gleichartig: \(2\sqrt[3]{3}\) und \(3\sqrt[3]{3}\) b) Nicht gleichartig c) Gleichartig: \(3\sqrt[3]{2}\) und \(2\sqrt[3]{2}\)

- Berechne die linke und die rechte Seite der behaupteten Gleichung getrennt. - Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage „für alle“ zu widerlegen. - Welche Rechenarten kommen in den bekannten Wurzelgesetzen tatsächlich vor?

1. Die linke Seite ist \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). 2. Die rechte Seite ist \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\). 3. Da \(5\ne7\), ist die Behauptung falsch. Die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten lassen sich nicht auf Summen übertragen.

Die Behauptung ist falsch: \(\sqrt{9+16}=5\), aber \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\).

- Mit welchem Wurzelfaktor kannst du den Nenner zu einer rationalen Zahl machen? - Erweitere einen Bruch immer in Zähler und Nenner mit demselben Faktor. - Was ergibt das Produkt einer positiven Quadratwurzel mit sich selbst?

1. Erweitere Zähler und Nenner mit \(\sqrt{5}\): \(\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}\). 2. Im Nenner gilt \(\sqrt{5}\sqrt{5}=5\). 3. Damit ergibt sich \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

- Prüfe die behauptete Gleichheit zunächst am angegebenen Zahlenbeispiel. - Schreibe beide Wurzeln anschließend als rationale Exponenten. - Was passiert mit Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Die linke Seite ist \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt{4}=2\). 2. Die fünfte Wurzel aus \(64\) ist nicht \(2\), denn \(2^5=32\). Maras Gleichung ist also falsch. 3. In Potenzschreibweise gilt \(\sqrt{\sqrt[3]{x}}=(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{6}}\). 4. Daher lautet die richtige Regel \(\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[6]{x}\). Die Wurzelexponenten werden bei geschachtelten Wurzeln multipliziert.

Die Behauptung ist falsch. Richtig ist \(\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[6]{x}\) für \(x\ge0\).

- Bearbeite die vier Teilaufgaben getrennt; die geeignete Struktur ist jeweils unterschiedlich. - In a) und d) kannst du gleichartige Wurzeln als einen gemeinsamen Bruch betrachten. - In b) hilft es, die sechste Potenz auf die beiden Faktoren zu verteilen und die Wurzelwerte über passende ganzzahlige Potenzen zu prüfen. - In c) bilden die ersten beiden Klammern ein bekanntes algebraisches Muster.

1. In a) gilt \(\sqrt{\frac{x^3y}{xy^3}}=\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=\frac{x}{y}\), da \(x,y>0\). 2. In b) wird die sechste Potenz auf beide Faktoren verteilt. Für \(u=\sqrt[3]{z^2}\) gilt \(u^3=z^2\), also \(u^6=z^4\). Außerdem ist \((\sqrt z)^6=((\sqrt z)^2)^3=z^3\). Daher ergibt sich \(z^4\cdot z^3=z^7\). 3. In c) gilt \((\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y\). Mit \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) folgt das Ergebnis. 4. In d) gilt \(\sqrt[3]{\frac{x^2y}{x^{-1}y^4}}=\sqrt[3]{x^3y^{-3}}=\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3}}=\frac{x}{y}\).

a) \(\frac{x}{y}\) b) \(z^7\) c) \(x^2-y^2\) d) \(\frac{x}{y}\)

- Welche bekannte Termstruktur erkennst du in a), b) und d)? - In c) kannst du nach dem Ausmultiplizieren Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenfassen. - Nutze bei Wurzelprodukten, dass die Variablen positiv sind und die Terme deshalb im angegebenen Bereich definiert sind.

1. Zu a): Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich \((\sqrt{a})^2 - 2\cdot\sqrt{a}\cdot 3\sqrt{b} + (3\sqrt{b})^2 = a - 6\sqrt{ab} + 9b\). 2. Zu b): Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \((\sqrt[4]{x})^2 - 2^2 = \sqrt{x} - 4\). 3. Zu c): Nach dem Distributivgesetz gilt \(\sqrt[3]{x^3} - \sqrt[3]{x\cdot x^{-1}} = x - 1\). 4. Zu d): Mit der ersten binomischen Formel gilt \(x + 2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}\).

a) \(a - 6\sqrt{ab} + 9b\) b) \(\sqrt{x} - 4\) c) \(x - 1\) d) \(x + 2 + \frac{1}{x}\)

- Bei demselben Wurzelexponenten kannst du Quotienten oder Produkte unter einer gemeinsamen Wurzel betrachten. - Eine Wurzel aus einer Wurzel lässt sich zu einer Wurzel zusammenfassen, deren Wurzelexponent das Produkt der beiden Wurzelexponenten ist. - Schreibe die Dezimalzahl in d) als Bruch, bevor du den negativen ganzzahligen Exponenten auswertest.

1. In a) gilt \(\frac{\sqrt[3]{2^7}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4\). 2. In b) werden die Wurzelexponenten \(2\) und \(3\) miteinander multipliziert: \(\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[6]{729}=3\), weil \(3^6=729\). 3. In c) gilt \(\sqrt[3]{8\cdot27}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6\). 4. In d) ist \(0{,}5=\frac12\), also \((\frac12)^{-2}=4\). Außerdem ist \(\sqrt[4]{16}=2\). Damit ergibt sich \(4\cdot2=8\).

a) \(4\) b) \(3\) c) \(6\) d) \(8\)

- Suche in a) unter der vierten Wurzel nach einer vollständigen vierten Potenz. - Bei einer Wurzel aus einer Wurzel kannst du die beiden Wurzelexponenten miteinander multiplizieren. - Nutze in c) das Quotientengesetz für Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten. - In d) hilft ein eigener Name für den Wurzelwert, damit nur ganzzahlige Exponenten vorkommen.

1. In a) ist \(81a^{12}=3^4a^{12}=(3a^3)^4\). Da \(a>0\), gilt \(\sqrt[4]{(3a^3)^4}=3a^3\). 2. In b) werden die Wurzelexponenten multipliziert: \(\sqrt{\sqrt[3]{x^{18}}}=\sqrt[6]{x^{18}}=x^3\), da \(x>0\). 3. In c) gilt \(\sqrt[5]{\frac{b^{13}}{b^3}}=\sqrt[5]{b^{10}}=b^2\). 4. Setze in d) \(u=\sqrt[3]{y}\). Dann ist \(u^3=y\). Daher \(u^{-6}=\frac1{u^6}=\frac1{(u^3)^2}=\frac1{y^2}\).

a) \(3a^3\) b) \(x^3\) c) \(b^2\) d) \(\frac1{y^2}\)

- Schreibe die Wurzeln zuerst in die Form \(x^{\frac{1}{n}}\) um. - Welches Gesetz kennst du für das Multiplizieren von Potenzen, die denselben Exponenten haben? - Fasse im zweiten Teil zuerst die Zahlen unter einer einzigen Wurzel zusammen.

1. Begründung über Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Exponenten: \(a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k\). Hier ist \(k = \frac{1}{n}\), also \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}}\). 3. Rückumwandlung in Wurzelschreibweise: \((a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). 4. Berechnung des Beispiels: \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}\). 5. Bestimmung der 4. Wurzel aus 16: Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\).

a) Die Herleitung erfolgt über \(a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b}\). b) \(\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{16} = 2\).

- Bei a) kannst du die Radikanden direkt zusammenfassen, weil die Wurzelexponenten übereinstimmen. - Für b) und c) suche einen gemeinsamen Wurzelexponenten, der zu allen vorkommenden Wurzelexponenten passt. - Nach dem Erweitern lassen sich Produkte und Quotienten von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten direkt zusammenfassen.

1. In a) sind die Wurzelexponenten gleich: \(\sqrt[n]{x^2x^3}=\sqrt[n]{x^5}\). 2. In b) wird die dritte Wurzel auf den Wurzelexponenten \(6\) erweitert: \(\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[6]{y^4}\). Damit gilt \(\frac{\sqrt[6]{y^4}}{\sqrt[6]{y}}=\sqrt[6]{y^3}=\sqrt y\), da \(y>0\). 3. In c) gilt \(\sqrt{x}=\sqrt[6]{x^3}\) und \(\sqrt[3]{x}=\sqrt[6]{x^2}\). Daher wird das Produkt zu \(\sqrt[6]{x^3x^2x}=\sqrt[6]{x^6}=x\), weil \(x>0\).

a) \(\sqrt[n]{x^5}\) b) \(\sqrt y\) c) \(x\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander und vergleiche erst die Endergebnisse. - Eine Wurzel aus einer Wurzel kann als eine Wurzel mit einem Wurzelexponenten geschrieben werden, der sich aus den beiden vorhandenen Wurzelexponenten ergibt. - Suche unter den verbleibenden Wurzeln nach vollständigen Potenzen, deren Vorzeichen durch \(a>0\) eindeutig ist.

1. Für \(T_1\) gilt \(\sqrt[3]{\sqrt{a^{18}}}=\sqrt[6]{a^{18}}=\sqrt[6]{(a^3)^6}=a^3\), weil \(a>0\). 2. Im Zähler von \(T_2\) gilt \(\sqrt{a^5}\cdot\sqrt{a^7}=\sqrt{a^{12}}\). 3. Damit ist \(T_2=\sqrt{\frac{a^{12}}{a^6}}=\sqrt{a^6}=\sqrt{(a^3)^2}=a^3\), ebenfalls wegen \(a>0\). 4. Beide Terme vereinfachen sich zu \(a^3\), also sind sie für alle \(a>0\) gleich.

Ja. Für alle \(a>0\) gilt \(T_1=T_2=a^3\).

- Versuche, den Term von innen nach außen zu vereinfachen. - Was ergibt die Quadratwurzel aus einer Potenz wie \(x^4\)? - Wie kannst du Potenzen mit gleicher Basis unter einer Wurzel zusammenfassen? - Schritt für Schritt: Löse erst die innerste Wurzel auf und schau, was übrig bleibt.

1. Vereinfachung der innersten Wurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\) 2. Zusammenfassen unter der vierten Wurzel: \(x^2 \cdot x^2 = x^4\) 3. Auflösen der vierten Wurzel: \(\sqrt[4]{x^4} = x\) 4. Zusammenfassen unter der äußeren Quadratwurzel: \(x^3 \cdot x = x^4\) 5. Auflösen der äußeren Quadratwurzel: \(\sqrt{x^4} = x^2\)

\(x^2\)

- Suche unter der Kubikwurzel nach Faktoren, deren Exponent ein Vielfaches von \(3\) ist. - Vergleiche die Wirkung von Potenzieren und anschließendem Wurzelziehen bei geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Prüfe für b), ob eine Kubikwurzel auch bei einem negativen Radikanden reell definiert ist.

1. Der Radikand lässt sich schreiben als \(\frac{(x^2)^3y^3y}{3^3z^3}\). 2. Daher gilt \(A=\frac{\sqrt[3]{(x^2)^3}\sqrt[3]{y^3}\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{z^3}}=\frac{x^2y\sqrt[3]{y}}{3z}\). 3. Bei ungeradem Wurzelexponenten gilt \(\sqrt[3]{u^3}=u\) für jedes \(u\in\mathbb{R}\). Deshalb sind keine Betragsstriche nötig und das Vorzeichen bleibt erhalten. 4. Die Vereinfachung gilt somit für alle reellen \(x,y,z\) mit \(z\ne0\).

a) \(A=\frac{x^2y\sqrt[3]{y}}{3z}\) b) Ja. Die Vereinfachung gilt auch für negative Werte von \(y\) oder \(z\), solange \(z\ne0\).

- Zerlege den Radikanden so, dass mindestens ein Faktor eine vollständige Potenz zum jeweiligen Wurzelexponenten ist. - Welche Produktregel für Wurzeln erlaubt es, einen solchen Faktor vor das Wurzelzeichen zu ziehen? - Prüfe bei der vierten Wurzel zusätzlich, welche Vorzeichenbedingung aus der reellen Definiertheit folgt.

1. \(\sqrt[3]{54a^4}=\sqrt[3]{27\cdot2\cdot a^3\cdot a}=3a\sqrt[3]{2a}\). 2. \(\sqrt[3]{16(x+2)^5}=\sqrt[3]{8\cdot2\cdot(x+2)^3\cdot(x+2)^2}=2(x+2)\sqrt[3]{2(x+2)^2}\). 3. \(\sqrt[4]{80y^7}=\sqrt[4]{16\cdot5\cdot y^4\cdot y^3}\). Da der Term definiert ist, gilt \(y\ge0\). Somit ergibt sich \(2y\sqrt[4]{5y^3}\).

a) \(3a\sqrt[3]{2a}\) b) \(2(x+2)\sqrt[3]{2(x+2)^2}\) c) \(2y\sqrt[4]{5y^3}\)

- Bestimme bei jeder geraden Wurzel zuerst, wann der Radikand nichtnegativ ist. - Suche anschließend im Radikanden nach vollständigen Potenzen zum jeweiligen Wurzelexponenten. - Bei der dritten Wurzel sind auch negative Radikanden zulässig. - In c) hilft es, den Radikanden zuerst zu faktorisieren.

1. In a) muss \(48(b-2)^5\ge0\) gelten, also \(b\ge2\). Mit \(48(b-2)^5=16\cdot3\cdot(b-2)^4(b-2)\) folgt \(\sqrt[4]{48(b-2)^5}=2(b-2)\sqrt[4]{3(b-2)}\). Die Definitionsmenge ist \([2;\infty[\). 2. Die dritte Wurzel ist für alle reellen Radikanden definiert. Mit \(-24(c+1)^7=-8\cdot3\cdot(c+1)^6(c+1)\) folgt \(\sqrt[3]{-24(c+1)^7}=-2(c+1)^2\sqrt[3]{3(c+1)}\). Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{R}\). 3. In c) ist \(x^5+x^4=x^4(x+1)\). Für die Quadratwurzel muss \(x^4(x+1)\ge0\) gelten; dies ist genau für \(x\ge-1\) erfüllt. Daher gilt \(\sqrt{x^5+x^4}=x^2\sqrt{x+1}\). Die Definitionsmenge ist \([-1;\infty[\).

a) \(2(b-2)\sqrt[4]{3(b-2)}\), Definitionsmenge \([2;\infty[\) b) \(-2(c+1)^2\sqrt[3]{3(c+1)}\), Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) c) \(x^2\sqrt{x+1}\), Definitionsmenge \([-1;\infty[\)

- Beim Hineinziehen eines positiven Faktors unter eine Wurzel muss der Wurzelexponent beim Potenzieren des Faktors berücksichtigt werden. - Prüfe in b), ob wirklich der gesamte Vorfaktor korrekt mitpotenziert wurde. - Vergleiche in c) die Vorzeichen der beiden Seiten für einen negativen Wert von \(a\) und einen positiven Wert von \(b\).

1. In a) wird \(x\) als vierte Potenz unter die vierte Wurzel gebracht: \(x\sqrt[4]{x^3}=\sqrt[4]{x^4x^3}=\sqrt[4]{x^7}\). 2. In b) muss der gesamte Vorfaktor beim Hineinziehen unter die dritte Wurzel kubiert werden: \((2y^2)^3=8y^6\). Daher gilt \(2y^2\sqrt[3]{3y}=\sqrt[3]{8y^6\cdot3y}=\sqrt[3]{24y^7}\). Die Behauptung ist falsch. 3. Für \(a<0\) und \(b>0\) ist \(a\sqrt b<0\), während \(\sqrt{a^2b}>0\) ist. Für \(b=0\) sind beide Seiten \(0\), aber die Gleichung gilt für negative \(a\) nicht allgemein.

a) \(\sqrt[4]{x^7}\) b) falsch; korrekt ist \(\sqrt[3]{24y^7}\) c) Für \(a<0\) und \(b>0\) haben die beiden Seiten unterschiedliche Vorzeichen.

- Prüfe beim Hineinziehen eines Vorfaktors, mit welcher Potenz er unter die jeweilige Wurzel gelangen muss. - Behalte in b) besonders das Vorzeichen des gesamten Ausdrucks im Blick. - Eine definierte Quadratwurzel liefert einen nichtnegativen Wert; vergleiche das mit dem Ausgangsterm.

1. In a) gilt \(\frac{k}{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{24}{k^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{k}{2}\right)^3\frac{24}{k^2}}\). 2. Unter der Wurzel vereinfacht sich \(\frac{k^3}{8}\cdot\frac{24}{k^2}=3k\). Daher ist das Ergebnis \(\sqrt[3]{3k}\). 3. In b) ist der Ausgangsterm negativ, während die Quadratwurzel \(\sqrt{18}\) positiv ist. Beim Hineinziehen eines negativen Faktors unter eine gerade Wurzel darf das Minuszeichen daher nicht verloren gehen. 4. Korrekt ist \(-3\sqrt2=-\sqrt{3^2\cdot2}=-\sqrt{18}\).

a) \(\sqrt[3]{3k}\) b) Die Behauptung ist falsch; korrekt ist \(-\sqrt{18}\).

- Zerlege jeden Radikanden in einen vollständigen Potenzfaktor zum jeweiligen Wurzelexponenten und einen Rest. - Bei variablen Wurzelexponenten kannst du Exponenten als Vielfache von \(n\) oder \(k\) aufteilen. - Kürze in c) erst nach dem teilweisen Radizieren und beachte die Positivitätsbedingung für \(z\).

1. Es ist \(x^9y^4=(x^2)^4xy^4\). Daher gilt \(\sqrt[4]{x^9y^4}=x^2y\sqrt[4]{x}\). 2. Es ist \(a^{n+2}b^{3n}=a^na^2(b^3)^n\). Wegen der positiven Basen folgt \(\sqrt[n]{a^{n+2}b^{3n}}=ab^3\sqrt[n]{a^2}\). 3. Im Zähler gilt \(z^{2k+1}=(z^2)^kz\). Daher ist \(\sqrt[k]{z^{2k+1}}=z^2\sqrt[k]{z}\). Nach dem Kürzen mit \(z>0\) ergibt sich \(z\sqrt[k]{z}\).

a) \(x^2y\sqrt[4]{x}\) b) \(ab^3\sqrt[n]{a^2}\) c) \(z\sqrt[k]{z}\)

- Kannst du den Faktor vor der Wurzel als eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten schreiben? - Was passiert mit dem Exponenten eines Terms, wenn du ihn unter eine Wurzel ziehst? - Kannst du im Radikanden der zweiten Aufgabe eine binomische Formel erkennen? - Versuche, die Brüche unter der Wurzel erst zusammenzufassen oder direkt mit dem Faktor zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Den Faktor \(2x^2\) als Quadratwurzel schreiben: \(2x^2 = \sqrt{(2x^2)^2} = \sqrt{4x^4}\). Den Faktor unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt{4x^4 \cdot \left(\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{2x^4}\right)}\). Ausmultiplizieren: \(\sqrt{\frac{4x^4}{4x^3} + \frac{12x^4}{2x^4}} = \sqrt{x + 6}\). 2. Teilaufgabe b): Den Faktor \(\frac{a-b}{a}\) als Kubikwurzel schreiben: \(\sqrt[3]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^3}\). Unter die Wurzel ziehen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3}{a^3} \cdot \frac{a^4}{a^2 - 2ab + b^2}}\). Den Nenner des zweiten Bruchs als Binom schreiben: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Einsetzen und kürzen: \(\sqrt[3]{\frac{(a-b)^3 \cdot a^4}{a^3 \cdot (a-b)^2}} = \sqrt[3]{(a-b) \cdot a} = \sqrt[3]{a(a-b)}\).

a) \(\sqrt{x+6}\) b) \(\sqrt[3]{a(a-b)}\)

- Beim Hineinziehen eines positiven Faktors muss er mit dem jeweiligen Wurzelexponenten potenziert werden. - Suche in a) nach einer algebraischen Struktur, die sich nach dem Hineinziehen mit dem Nenner kürzen lässt. - Fasse in b) die beiden Brüche zunächst zu einem gemeinsamen Radikanden zusammen und suche dann nach gemeinsamen Faktoren.

1. In a) wird der positive Faktor \(\frac1{k+1}\) unter die Quadratwurzel gebracht: \(\sqrt{\frac{k^3+3k^2+3k+1}{(k+1)^2}}\). 2. Der Zähler ist \((k+1)^3\). Daher folgt \(\sqrt{\frac{(k+1)^3}{(k+1)^2}}=\sqrt{k+1}\). 3. In b) ergibt das Hineinziehen von \(\frac{x}{y}\) den Ausdruck \(\sqrt[3]{(\frac{x}{y})^3(\frac{y^4+y^3}{x^2})}\). 4. Unter der Wurzel ist \(y^4+y^3=y^3(y+1)\). Nach dem Kürzen bleibt \(x(y+1)\), also \(\sqrt[3]{x(y+1)}\).

a) \(\sqrt{k+1}\) b) \(\sqrt[3]{x(y+1)}\)

- Welche zusätzliche Potenz von \(a\) macht den Nenner in a) zu einer vollständigen \(n\)-ten Potenz? - Wende dieselbe Idee in b) mit den konkreten Exponenten an. - Prüfe in c), was mit einem Nenner geschieht, dessen Exponent bereits ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.

1. Erweitere den Radikanden mit \(a^{n-k}\). Dann gilt \(\sqrt[n]{\frac{x}{a^k}}=\sqrt[n]{\frac{xa^{n-k}}{a^n}}=\frac{\sqrt[n]{xa^{n-k}}}{a}\), weil \(a>0\). 2. Für \(n=5\) und \(k=2\) folgt \(\sqrt[5]{\frac{2}{a^2}}=\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\). 3. Ist \(k=mn\), dann ist der Nenner bereits eine vollständige \(n\)-te Potenz: \(\sqrt[n]{a^{mn}}=a^m\). Zum Beispiel gilt \(\sqrt[3]{\frac5{2^6}}=\frac{\sqrt[3]{5}}{2^2}=\frac{\sqrt[3]{5}}4\). Sofias Aussage ist richtig.

a) \(\frac{\sqrt[n]{xa^{n-k}}}{a}\) b) \(\frac{\sqrt[5]{2a^3}}{a}\) c) Die Aussage ist richtig; zum Beispiel \(\sqrt[3]{\frac5{2^6}}=\frac{\sqrt[3]{5}}4\).

- Beim Hineinziehen eines positiven Faktors wird dieser mit dem jeweiligen Wurzelexponenten potenziert. - Suche nach dem Hineinziehen nach algebraischen Faktoren, die sich kürzen lassen. - In c) liefert die gegebene Bedingung das Vorzeichen von \(m-5\); nutze anschließend eine Potenzprobe statt rationaler Exponenten.

1. In a) wird \(x+y>0\) unter die Quadratwurzel gebracht: \(\sqrt{\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}}\). Mit \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\) folgt \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\). 2. In b) wird \(\frac{a^2}{b}\) unter die dritte Wurzel gebracht: \(\sqrt[3]{\frac{a^6}{b^3}\cdot\frac{b^4}{a^5}}=\sqrt[3]{ab}\). 3. In c) ist \(m^2-10m+25=(m-5)^2\). Nach dem Hineinziehen entsteht \(\sqrt[4]{\frac{(m-5)^4}{(m-5)^2}}=\sqrt[4]{(m-5)^2}\). 4. Wegen \(m>5\) ist \(m-5>0\). Der positive Wert \(\sqrt{m-5}\) hat die vierte Potenz \((m-5)^2\). Daher ist \(\sqrt[4]{(m-5)^2}=\sqrt{m-5}\).

a) \(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\) b) \(\sqrt[3]{ab}\) c) \(\sqrt{m-5}\)

- Mit welcher Potenz musst du einen positiven Faktor versehen, um ihn unter die jeweilige Wurzel zu ziehen? - Wenn nach dem Kürzen noch ein Bruch unter der Wurzel steht, ergänze den Nenner zu einer vollständigen Potenz zum Wurzelexponenten. - Ziehe diese vollständige Potenz anschließend aus der Wurzel heraus.

1. In a) wird \(m\) als \(m^3\) unter die dritte Wurzel gezogen: \(\sqrt[3]{m^3\frac{n}{2m^2}}=\sqrt[3]{\frac{mn}{2}}\). 2. Erweitere den Bruch unter der dritten Wurzel mit \(4\), sodass im Nenner \(8=2^3\) steht: \(\sqrt[3]{\frac{4mn}{8}}=\frac12\sqrt[3]{4mn}\). 3. In b) wird \(y\) als \(y^4\) unter die vierte Wurzel gezogen: \(\sqrt[4]{y^4\frac{x}{8y^3}}=\sqrt[4]{\frac{xy}{8}}\). 4. Erweitere den Bruch unter der vierten Wurzel mit \(2\), sodass im Nenner \(16=2^4\) steht: \(\sqrt[4]{\frac{2xy}{16}}=\frac12\sqrt[4]{2xy}\).

a) \(\frac12\sqrt[3]{4mn}\) b) \(\frac12\sqrt[4]{2xy}\)

- Welchen Exponenten muss ein Faktor haben, damit du ihn unter eine vierte Wurzel ziehen kannst? - Wie kannst du einen Bruch innerhalb einer Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine perfekte vierte Potenz wird? - Achte darauf, erst alle Terme unter einer Wurzel zusammenzufassen und dann zu kürzen.

1. Den Faktor vor der Wurzel unter die vierte Wurzel ziehen: \(\sqrt[4]{(\frac{2a^2}{3b})^4 \cdot \frac{27b^5}{8a^6}}\). 2. Potenzieren des Faktors: \((\frac{2a^2}{3b})^4 = \frac{16a^8}{81b^4}\). 3. Multiplikation der Brüche unter der Wurzel: \(\frac{16a^8}{81b^4} \cdot \frac{27b^5}{8a^6} = \frac{16 \cdot 27}{81 \cdot 8} \cdot \frac{a^8}{a^6} \cdot \frac{b^5}{b^4}\). 4. Kürzen der Zahlenkoeffizienten: \(\frac{16}{8} = 2\) und \(\frac{27}{81} = \frac{1}{3}\), woraus der Koeffizient \(\frac{2}{3}\) resultiert. 5. Vereinfachen der Variablenpotenzen: \(a^{8-6} = a^2\) und \(b^{5-4} = b\). 6. Der Term unter der Wurzel lautet nun \(\frac{2a^2b}{3}\). 7. Um den Nenner unter der Wurzel zu eliminieren, wird der Bruch mit \(3^3 = 27\) erweitert: \(\sqrt[4]{\frac{2a^2b \cdot 27}{3 \cdot 27}} = \sqrt[4]{\frac{54a^2b}{81}}\). 8. Den Nenner \(81\) aus der Wurzel ziehen: \(\frac{1}{\sqrt[4]{81}} \cdot \sqrt[4]{54a^2b} = \frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\).

\(\frac{1}{3} \sqrt[4]{54a^2b}\)

- Überlege, als welche dritte Potenz sich der jeweilige positive Vorfaktor schreiben lässt. - Bringe diese dritte Potenz unter die Kubikwurzel und multipliziere sie mit dem gesamten Radikanden. - Vereinfache den neuen Radikanden erst nach dem Hineinziehen des Faktors.

1. Für a) wird der positive Faktor \(2x\) als dritte Potenz unter die Kubikwurzel gebracht: \((2x)^3=8x^3\). 2. Damit ist \(2x\sqrt[3]{1+\frac{1}{8x^3}}=\sqrt[3]{8x^3\left(1+\frac{1}{8x^3}\right)}=\sqrt[3]{8x^3+1}\). 3. Für b) wird der positive Faktor \(\frac{a}{b}\) als dritte Potenz unter die Kubikwurzel gebracht: \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}\). 4. Im Radikanden gilt \(\frac{a^3}{b^3}\left(\frac{b^3}{a^2}-\frac{b^4}{a^3}\right)=a-b\). Daher ergibt sich \(\sqrt[3]{a-b}\).

a) \(\sqrt[3]{8x^3+1}\) b) \(\sqrt[3]{a-b}\)

- Suche eine Umformung, durch die Vorfaktor und Kubikwurzel zu einem einzigen Wurzelausdruck werden. - Vereinfache den neuen Radikanden erst nach dieser strukturellen Umformung. - Nutze die Bedingung \(x>0\), wenn du den Vorfaktor unter die Wurzel bringst.

1. Der positive Vorfaktor \(\frac{x}{3}\) wird unter die dritte Wurzel gebracht: \(\left(\frac{x}{3}\right)^3=\frac{x^3}{27}\). 2. Damit gilt \(A=\sqrt[3]{\frac{x^3}{27}\left(\frac{54}{x^3}+\frac{27}{x^2}\right)}\). 3. Im Radikanden ergibt das Ausmultiplizieren \(\frac{54}{27}+\frac{x^3}{x^2}=2+x\). 4. Also ist \(A=\sqrt[3]{x+2}=B\). Karims Behauptung ist richtig.

Die Behauptung ist wahr; \(A=\sqrt[3]{x+2}=B\).

- Zerlege die Potenzen im Radikanden in vollständige \(k\)-te Potenzen und einen verbleibenden Rest. - Ziehe nur die vollständigen \(k\)-ten Potenzfaktoren aus der Wurzel. - Prüfe danach, welche Faktoren sich mit dem Vorfaktor kürzen.

1. Zerlege den Radikanden als \(x^k\cdot x^3\cdot(y^2)^k\). 2. Wegen \(x,y>0\) können die vollständigen \(k\)-ten Potenzen herausgezogen werden: \(\sqrt[k]{x^{k+3}y^{2k}}=xy^2\sqrt[k]{x^3}\). 3. Mit dem Vorfaktor ergibt sich \(\frac{2}{xy^2}\cdot xy^2\sqrt[k]{x^3}=2\sqrt[k]{x^3}\).

\(2\sqrt[k]{x^3}\)

- Wie kannst du eine Zahl oder Variable so umschreiben, dass sie als \(n\)-te Wurzel dargestellt wird? - Welches Wurzelgesetz erlaubt es dir, ein Produkt zweier Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenzufassen? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Den Faktor \(a^2\) als \(n\)-te Wurzel ausdrücken: \(a^2 = \sqrt[n]{(a^2)^n} = \sqrt[n]{a^{2n}}\) 2. Die Faktoren unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot \frac{b}{a^{2n-1}}}\) 3. Den Bruch unter der Wurzel durch Anwendung der Potenzgesetze \(\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}\) kürzen: \(a^{2n - (2n-1)} = a^1 = a\) 4. Endergebnis notieren: \(\sqrt[n]{a \cdot b}\)

\(\sqrt[n]{ab}\)

- Ziel ist es, den Nenner unter der Wurzel zu einer Potenz mit dem Exponenten \(n\) zu machen. - Mit welchem Ausdruck musst du den Nenner \((x+y)^{n-2}\) multiplizieren, um \((x+y)^n\) zu erhalten? - Denke daran, dass du beim Erweitern eines Bruches sowohl den Zähler als auch den Nenner mit demselben Faktor multiplizieren musst. - Nutze das Wurzelgesetz \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\).

1. Den Bruch unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine exakte \(n\)-te Potenz bildet: Erweiterung mit \((x+y)^2\), da \((x+y)^{n-2} \cdot (x+y)^2 = (x+y)^n\) 2. Den erweiterten Radikanden aufschreiben: \(\sqrt[n]{\frac{xy^2(x+y)^2}{(x+y)^n}}\) 3. Die Wurzel auf Zähler und Nenner aufteilen: \(\frac{\sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}}{\sqrt[n]{(x+y)^n}}\) 4. Den Nenner vereinfachen, indem die \(n\)-te Wurzel aus der \(n\)-ten Potenz gezogen wird: \(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

\(\frac{1}{x+y} \sqrt[n]{xy^2(x+y)^2}\)

- Überlege für jede Wurzel, welche Potenz ein Vorfaktor beim Hineinziehen erhalten muss. - Prüfe in a) nach dem Hineinziehen, welche Zahlen- und Variablenpotenzen sich kürzen. - Vergleiche in b) die vierte Potenz des Vorfaktors mit einer bloßen Multiplikation durch \(4\).

1. In a) wird der positive Vorfaktor \(3y^2\) unter die dritte Wurzel gebracht: \(\sqrt[3]{(3y^2)^3\cdot\frac{2}{9y^4}}\). 2. Unter der Wurzel ergibt sich \(27y^6\cdot\frac{2}{9y^4}=6y^2\). Daher ist das Ergebnis \(\sqrt[3]{6y^2}\). 3. In b) muss der Faktor beim Hineinziehen unter die vierte Wurzel zur vierten Potenz erhoben werden: \(x\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{x^4}\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{2x^4}\). 4. Kenjis Fehler besteht darin, Potenzieren mit Multiplizieren zu verwechseln.

a) \(\sqrt[3]{6y^2}\) b) Korrekt ist \(\sqrt[4]{2x^4}\); der Faktor muss potenziert, nicht mit \(4\) multipliziert werden.

- Vereinfache jede Wurzel zunächst separat und prüfe erst danach, ob derselbe Wurzelteil entsteht. - In a) suche in den Radikanden nach vollständigen vierten Potenzen als Faktoren. - In b) kannst du die rationalen Radikanden so erweitern, dass im Nenner vollständige dritte Potenzen entstehen und derselbe verbleibende Kubikwurzelteil sichtbar wird.

1. In a) ist \(\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot3}=2\sqrt[4]{3}\), also \(2\sqrt[4]{48}=4\sqrt[4]{3}\). Außerdem ist \(\sqrt[4]{243}=\sqrt[4]{81\cdot3}=3\sqrt[4]{3}\). Die Differenz ist \(\sqrt[4]{3}\). 2. In b) gilt \(\sqrt[3]{\frac{2}{9}}=\sqrt[3]{\frac{6}{27}}=\frac{\sqrt[3]{6}}{3}\) und \(\sqrt[3]{0{,}75}=\sqrt[3]{\frac34}=\sqrt[3]{\frac68}=\frac{\sqrt[3]{6}}2\). 3. Die beiden Terme sind damit gleichartig. Es folgt \(\frac13\sqrt[3]{6}+\frac12\sqrt[3]{6}=\frac56\sqrt[3]{6}\).

a) \(\sqrt[4]{3}\) b) \(\frac56\sqrt[3]{6}\)

- Versuche zuerst, die Brüche innerhalb der Wurzel zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. - Gibt es im Zähler des neuen Bruchs Faktoren, die Potenzen von 3 sind? - Kannst du Faktoren aus der Wurzel ziehen, die sich mit dem Ausdruck vor der Wurzel verrechnen lassen?

1. Den Ausdruck unter der Wurzel auf den Hauptnenner \(27u^3\) bringen: \(\frac{3uv^7}{27u^3} - \frac{v^6}{27u^3} = \frac{3uv^7 - v^6}{27u^3}\). 2. Im Zähler den gemeinsamen Faktor \(v^6\) ausklammern: \(\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}\). 3. Teilweises Wurzelziehen anwenden: \(\sqrt[3]{\frac{v^6(3uv - 1)}{27u^3}} = \frac{\sqrt[3]{v^6}}{\sqrt[3]{27u^3}} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1} = \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 4. Den gesamten Term berechnen: \(\frac{3u}{v^2} \cdot \frac{v^2}{3u} \cdot \sqrt[3]{3uv - 1}\). 5. Die Brüche vor der verbleibenden Wurzel kürzen sich gegenseitig zu \(1\) weg. 6. Das Endergebnis lautet \(\sqrt[3]{3uv - 1}\).

\(\sqrt[3]{3uv - 1}\)

- Nutze die Regel \(\sqrt[n]{x^n y} = x\sqrt[n]{y}\) für positive Variablen. - Bei Brüchen unter der Wurzel hilft es oft, den Nenner so zu erweitern, dass er eine \(n\)-te Potenz wird. - Behandle den allgemeinen Exponenten \(n\) genauso wie eine feste Zahl wie 2 oder 3.

1. Erster Term: \(\sqrt[n]{a^n \cdot a^2 \cdot b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Zweiter Term: \(a\sqrt[n]{a^2b}\). Dritter Term: \(\frac{1}{a}\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^2 \cdot b} = \frac{1}{a} \cdot a^2\sqrt[n]{a^2b} = a\sqrt[n]{a^2b}\). Alle drei Terme sind identisch und damit gleichartig. 2. Erster Term: Durch Erweitern des Bruchs mit \(y\) erhält man \(\sqrt[4]{\frac{x^4 \cdot x \cdot y}{y^4}} = \frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Zweiter Term: \(\frac{x}{y}\sqrt[4]{xy}\). Dritter Term: \(\frac{1}{x}\sqrt[4]{x^8 \cdot x \cdot y} = \frac{1}{x} \cdot x^2 \sqrt[4]{xy} = x\sqrt[4]{xy}\). Alle Terme besitzen denselben Wurzelexponenten \(4\) und denselben Wurzelrest \(\sqrt[4]{xy}\); sie sind gleichartig.

Beide Gruppen bestehen jeweils aus gleichartigen Wurzeltermen.

- Kannst du unter der Wurzel einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten beim Umformen des Radikanden helfen. - Wann lässt sich ein Faktor vollständig durch teilweises Radizieren aus einer dritten Wurzel herausziehen? - Vergleiche die Ergebnisse: Haben sie denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{k^3(k-1)}\). Teilweises Radizieren führt zu \(k\sqrt[3]{k-1}\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausklammern unter der Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{125(k-1)}\). Da \(125=5^3\), folgt \(5\sqrt[3]{k-1}\). 3. Vereinfachung von \(T_3\): Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\sqrt[3]{(k-1)(k+1)}\). Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen. 4. \(T_1\) und \(T_2\) besitzen denselben Wurzelteil \(\sqrt[3]{k-1}\). \(T_3\) hat einen anderen Radikanden. Somit sind nur \(T_1\) und \(T_2\) gleichartig.

Nur die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind zueinander gleichartig.

- Wann nennt man zwei Wurzelterme gleichartig? - Versuche, die Radikanden so zu zerlegen, dass du Potenzen erhältst, deren Exponent ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist. - Kannst du Brüche unter der Wurzel so erweitern, dass der Nenner eine vollständige Potenz des Wurzelexponenten wird?

1. Teilaufgabe a: \(\sqrt[3]{x^3 \cdot x \cdot y^3 \cdot y^2} = xy \sqrt[3]{xy^2}\). 2. Der zweite Term wird zu \(\sqrt[3]{x \cdot y^6 \cdot y^2} = y^2 \sqrt[3]{xy^2}\). Beide Terme besitzen denselben Wurzelrest und sind gleichartig. 3. Teilaufgabe b: \(\sqrt[n]{a^{2n} \cdot a^3 \cdot b} = a^2 \sqrt[n]{a^3b}\). 4. Beim zweiten Term wird der Bruch unter der Wurzel mit \(b\) erweitert: \(\sqrt[n]{\frac{a^2b}{b^n}} = \frac{1}{b}\sqrt[n]{a^2b}\). 5. Die Wurzelreste \(\sqrt[n]{a^3b}\) und \(\sqrt[n]{a^2b}\) sind verschieden; die Terme sind nicht gleichartig.

a) Die Wurzelterme sind gleichartig. b) Die Wurzelterme sind nicht gleichartig.

- Zerlege in \(A\) den Exponenten von \(x\) so, dass eine vollständige \(k\)-te Potenz sichtbar wird. - Forme in \(B\) den Nenner unter der Wurzel zu einer vollständigen \(k\)-ten Potenz um. - Vergleiche nach dem teilweisen Radizieren nur die verbleibenden Wurzelteile, nicht die Vorfaktoren.

1. Für \(A\) gilt \(x^{2k+1}y=(x^2)^kxy\). Daher ist \(A=x^2\sqrt[k]{xy}\). 2. Bei \(B\) wird der Radikand mit \(y\) erweitert: \(\frac{x}{y^{k-1}}=\frac{xy}{y^k}\). 3. Wegen \(y>0\) folgt \(B=\frac1y\sqrt[k]{xy}\). 4. Beide Terme besitzen damit denselben Wurzelrest \(\sqrt[k]{xy}\). Priyas Aussage ist richtig.

Die Aussage ist wahr. Der gemeinsame Wurzelrest ist \(\sqrt[k]{xy}\).

- Welche Faktoren lassen sich vollständig aus einer Wurzel herausziehen oder in eine Wurzel hineinziehen? - Suche in b) nach einem gemeinsamen Faktor, der selbst eine Quadratzahl beziehungsweise ein Quadrat enthält. - Welche sechste Potenz steckt in der Zahl \(64\), und wie kannst du den verbleibenden Wurzelterm ohne Bruchpotenzen deuten?

1. In a) wird der Faktor \(2y\) unter die vierte Wurzel gezogen: \(2y\sqrt[4]{\frac{3}{8y^3}}=\sqrt[4]{(2y)^4\cdot\frac{3}{8y^3}}=\sqrt[4]{6y}\). 2. In b) wird unter der Wurzel \(9a^4\) ausgeklammert: \(\sqrt{18a^5+27a^4}=\sqrt{9a^4(2a+3)}=3a^2\sqrt{2a+3}\). 3. In c) gilt \(64=2^6\). Daher ist \(\sqrt[6]{64x^2}=2\sqrt[6]{x^2}\). Da \(x>0\), ist \(\sqrt[6]{x^2}\) die positive Zahl, deren dritte Potenz \(x\) ist, also \(\sqrt[3]{x}\). Damit ergibt sich \(2\sqrt[3]{x}\).

a) \(\sqrt[4]{6y}\) b) \(3a^2\sqrt{2a+3}\) c) \(2\sqrt[3]{x}\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Könnten sie dir helfen, den Bruch unter der Wurzel zu kürzen? - Kannst du im Radikanden von Term \(A\) in Aufgabenteil b etwas ausklammern? - Was passiert, wenn du bei einem Bruch unter einer Kubikwurzel versuchst, den Nenner oder Zähler teilweise zu radizieren?

1. Vereinfachung von Term \(A\) in Paar a: Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler ergibt \(\sqrt{\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}} = \sqrt{x+y}\). Da dies exakt dem Term \(B\) entspricht, sind sie gleichartig. 2. Umformung von Paar b: Bei Term \(A\) wird \(a^3\) unter der Kubikwurzel ausgeklammert, woraus \(a\sqrt[3]{a-b}\) folgt. Bei Term \(B\) wird der Nenner teilweise radiziert, was \(\frac{1}{a}\sqrt[3]{a-b}\) ergibt. Beide Terme besitzen den Radikanden \(a-b\) und den Wurzelexponenten 3, sie sind also gleichartig.

a) Gleichartig b) Gleichartig

- Welche Exponenten im Radikanden enthalten ganze Vielfache des jeweiligen Wurzelexponenten? - Zerlege eine Potenz so, dass ein vollständiges Potenzpaket zum jeweiligen Wurzelexponenten entsteht und ein Rest im Radikanden bleibt. - Prüfe beim Bruch in c), welche vollständigen \(n\)-ten Potenzen im Zähler und Nenner stecken.

1. Für a) zerlege den Radikanden als \(x^{3n}y^ny^2\). Dann ist \(\sqrt[n]{x^{3n}y^{n+2}}=x^3y\sqrt[n]{y^2}\). 2. Für b) schreibe \(a^{2k+1}=a^{2k}a\). Damit folgt \(\sqrt[k]{a^{2k+1}b^{k-1}}=a^2\sqrt[k]{ab^{k-1}}\). 3. Für c) gilt im Zähler \(p^{n+3}=p^np^3\) und im Nenner \(q^{2n}=(q^2)^n\). Daher ist \(\sqrt[n]{\frac{p^{n+3}}{q^{2n}}}=\frac{p}{q^2}\sqrt[n]{p^3}\).

a) \(x^3y\sqrt[n]{y^2}\) b) \(a^2\sqrt[k]{ab^{k-1}}\) c) \(\frac{p}{q^2}\sqrt[n]{p^3}\)

- Zerlege die Exponenten so, dass vollständige Potenzen zum jeweiligen Wurzelexponenten sichtbar werden. - Prüfe bei jeder Gleichung unabhängig, ob die linke Seite tatsächlich zur rechten Seite vereinfacht werden kann. - Nutze die Positivität der Variablen, wenn vollständige Potenzen aus den Wurzeln gezogen werden.

1. Für a) zerlege die linke Seite zu \(\sqrt[n]{a^{2n}\cdot a\cdot b^n\cdot b^2}\). 2. Da alle Variablen positiv sind, lassen sich die vollständigen \(n\)-ten Potenzen herausziehen: \(\sqrt[n]{a^{2n+1}b^{n+2}}=a^2b\sqrt[n]{ab^2}\). Die Umformung ist korrekt. 3. Für b) gilt \(x^{k+2}=x^{k+1}x\). Daher ist \(\sqrt[k+1]{\frac{x^{k+2}}{y^{k+1}}}=\frac{\sqrt[k+1]{x^{k+1}x}}{\sqrt[k+1]{y^{k+1}}}\). 4. Wegen \(x,y>0\) folgt \(\frac{x}{y}\sqrt[k+1]{x}\). Auch die zweite Umformung ist korrekt.

a) Die Umformung ist korrekt. b) Die Umformung ist korrekt.

- Wie kannst du die Klammer auflösen? - Gibt es eine Regel, um zwei Wurzeln mit dem gleichen Wurzelexponenten zu multiplizieren oder zu dividieren? - Prüfe, ob die Radikanden nach der Multiplikation oder Division bekannte Kubikzahlen sind.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die Klammer: \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}\). 2. Multiplikation der Wurzeln nach dem Gesetz \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\): - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{27} = 3\) - \(\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{216} = 6\) 3. Division der Wurzeln im hinteren Teil des Terms nach dem Gesetz \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\): - \(\frac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{375}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(3 + 6 - 5 = 4\). 5. Da 4 eine natürliche Zahl ist, ist die Behauptung gezeigt.

Der Wert des Terms ist \(4\), was eine natürliche Zahl ist.

- Betrachte die beiden Faktoren als zusammengehörige algebraische Struktur statt die Kubikwurzeln näherungsweise auszurechnen. - Kannst du die wiederkehrenden Kubikwurzeln vorübergehend durch zwei einfache Symbole ersetzen? - Welche Identität zu dritten Potenzen könnte zu einem Quadrat-, einem Produkt- und einem weiteren Quadratterm passen?

1. Setze \(a=\sqrt[3]{7}\) und \(b=\sqrt[3]{2}\). Dann sind \(a^2=\sqrt[3]{49}\), \(ab=\sqrt[3]{14}\) und \(b^2=\sqrt[3]{4}\). 2. Der Term hat damit die Form \((a^2+ab+b^2)(a-b)\). 3. Mit \((a^2+ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3\) folgt \(A=a^3-b^3\). 4. Daher ist \(A=(\sqrt[3]{7})^3-(\sqrt[3]{2})^3=7-2=5\).

\(A=5\)

- Überlege bei verschachtelten Wurzeln, wie sich die Wurzelexponenten zu einem einzigen Wurzelexponenten verbinden lassen. - Forme in b) den Faktor \(c\) so um, dass er sich mit der Kubikwurzel zusammenfassen lässt. - Forme in c) den Faktor \(d^2\) so um, dass im Inneren zunächst nur noch eine Quadratwurzel steht.

1. Bei a) werden die Wurzelexponenten der verschachtelten Wurzeln multipliziert: \(\sqrt[3]{\sqrt b}=\sqrt[6]{b}\). 2. Bei b) schreibe \(c=\sqrt[3]{c^3}\). Dann ist \(c\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{c^4}\) und damit \(\sqrt{c\sqrt[3]{c}}=\sqrt[6]{c^4}=\sqrt[3]{c^2}\). 3. Bei c) schreibe \(d^2=\sqrt{d^4}\). Dann ist \(d^2\sqrt d=\sqrt{d^5}\), also \(\sqrt[5]{d^2\sqrt d}=\sqrt[10]{d^5}=\sqrt d\).

a) \(\sqrt[6]{b}\) b) \(\sqrt[3]{c^2}\) c) \(\sqrt d\)

- Welche bekannte Faktorisierung passt zu \(a^2-4\), und welcher Wurzelfaktor wird dadurch gemeinsam? - Kannst du die beiden Kubikwurzeln in b) als Quadrate einfacherer Terme auffassen? - Welcher Faktor steht in c) in beiden Summanden unmittelbar vor?

1. Für a) zerlege \(a^2-4=(a-2)(a+2)\). Wegen \(a\ge2\) gilt \(\sqrt{a^2-4}=\sqrt{a-2}\sqrt{a+2}\). Ausklammern liefert \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2}-1)\). 2. Für b) schreibe \(\sqrt[3]{x^2}=(\sqrt[3]{x})^2\) und entsprechend für \(y\). Mit der Differenz zweier Quadrate folgt \((\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\). 3. Für c) klammere \(z\) aus: \(z\sqrt z-z=z(\sqrt z-1)\).

a) \(\sqrt{a+2}(\sqrt{a-2}-1)\) b) \((\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\) c) \(z(\sqrt z-1)\)

- Überlege, wie sich der äußere Potenzexponent auf die Potenz im Radikanden auswirkt. - Suche anschließend nach vollständigen Potenzen, die sich durch teilweises Radizieren herausziehen lassen. - Behandle in c) den Zahlenfaktor und den Wurzelterm zunächst getrennt.

1. Bei a) gilt \((\sqrt[4]{a^3})^2=\sqrt[4]{a^6}=\sqrt{a^3}=a\sqrt a\). 2. Bei b) verschwindet das Minuszeichen wegen des geraden Exponenten. Es folgt \((\sqrt[3]{b^2})^4=\sqrt[3]{b^8}=b^2\sqrt[3]{b^2}\). 3. Bei c) ist \(\left(-\frac23\right)^3=-\frac8{27}\). Außerdem gilt \((\sqrt[5]{x^3})^3=\sqrt[5]{x^9}=x\sqrt[5]{x^4}\). Insgesamt ergibt sich \(-\frac8{27}x\sqrt[5]{x^4}\).

a) \(a\sqrt a\) b) \(b^2\sqrt[3]{b^2}\) c) \(-\frac8{27}x\sqrt[5]{x^4}\)

- Welches Potenzgesetz erlaubt dir, die äußere sechste Potenz auf die Faktoren in der Klammer zu verteilen? - Wie verhalten sich Kubikwurzel und dritte Potenz zueinander, und was bleibt bei einer sechsten Potenz übrig? - Welche gleichen Basen kannst du nach der Multiplikation im Zähler und Nenner kürzen?

1. Verteile die sechste Potenz auf die beiden Faktoren: \(\left(\frac{x-y}{x}\right)^6\left(\sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}}\right)^6\). 2. Der erste Faktor ist \(\frac{(x-y)^6}{x^6}\). 3. Für jede reelle Zahl \(u\) gilt \((\sqrt[3]{u})^6=((\sqrt[3]{u})^3)^2=u^2\). Daher wird der zweite Faktor zu \(\left(\frac{x^2}{x-y}\right)^2=\frac{x^4}{(x-y)^2}\). 4. Multiplizieren und Kürzen ergibt \(\frac{(x-y)^6x^4}{x^6(x-y)^2}=\frac{(x-y)^4}{x^2}\).

\(\frac{(x-y)^4}{x^2}\)

- Welche Auswirkung hat das Quadrieren auf eine vierte Wurzel? - Kannst du den Bruch unter der Wurzel zunächst in einzelne Wurzeln für Zähler und Nenner aufteilen? - Wie geht man vor, um eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruches zu entfernen? - Überprüfe am Ende, ob alle Faktoren und Exponenten mit dem Zielterm übereinstimmen.

1. Das Quadrieren der Faktoren von \( A \) ergibt \( \frac{a^2}{9b^2} \cdot \sqrt{\frac{27b^3}{a}} \). 2. Die Wurzel wird durch teilweises Radizieren zu \( \frac{3b\sqrt{3b}}{\sqrt{a}} \) vereinfacht. 3. Multiplikation der Brüche und Kürzen durch \( 3b \) führt zu \( \frac{a^2 \sqrt{3b}}{3b \sqrt{a}} \). 4. Rationalmachen des Nenners durch Erweitern mit \( \sqrt{a} \) ergibt \( \frac{a^2 \sqrt{3ab}}{3ab} \). 5. Finales Kürzen durch \( a \) liefert \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \). Da dies exakt Term \( B \) entspricht, ist die Aussage wahr.

Die Aussage \( A = B \) ist wahr. Die schrittweise Vereinfachung von \( A \) ergibt den Term \( \frac{a \sqrt{3ab}}{3b} \).

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Wie verhalten sich Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Versuche die Zahl unter der Wurzel als Potenz einer kleinen Basis (wie 2, 3 oder 5) darzustellen.

1. Berechnung der Werte: \(\sqrt{\sqrt{625}} = \sqrt{25} = 5\) und \(\sqrt[4]{625} = 5\). Die Werte sind identisch. 2. Begründung über Potenzen: Nach der Definition ist \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\). Somit gilt \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) folgt \(a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}\), was der Definition von \(\sqrt[4]{a}\) entspricht. 3. Bestimmung von \(n\): Die Gleichung \(\sqrt[3]{\sqrt[n]{729}} = 3\) lässt sich als \(\sqrt[3 \cdot n]{729} = 3\) schreiben. Da \(729 = 3^6\), folgt \(\sqrt[3n]{3^6} = 3\). Dies entspricht \(3^{\frac{6}{3n}} = 3^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(\frac{6}{3n} = 1\), woraus \(\frac{2}{n} = 1\) und somit \(n = 2\) folgt.

a) Beide Werte ergeben \(5\). b) \(\sqrt{\sqrt{a}} = (a^{1/2})^{1/2} = a^{1/2 \cdot 1/2} = a^{1/4} = \sqrt[4]{a}\). c) \(n = 2\).

- Wie kannst du mehrere ineinanderliegende Wurzeln zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Welche bekannten Potenzen stecken in \(4096\) und \(256\)? - Kannst du in b) nach dem Vereinfachen des Zählers die Beziehung \(x=(\sqrt{x})^2\) nutzen?

1. Für a) gilt \(A=\sqrt[6]{4096}=\sqrt[6]{2^{12}}=4\), denn \(4^6=4096\). 2. Außerdem ist \(B=\sqrt[8]{256}\cdot2=2\cdot2=4\). Damit gilt \(A=B\). 3. Für b) ist \(\sqrt[4]{\sqrt{x^{16}}}=\sqrt[8]{x^{16}}=x^2\), da \(x>0\). Somit erhält man \(\frac{x^2}{\sqrt{x}}\). 4. Wegen \(x=(\sqrt{x})^2\) gilt \(\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\). Daher ist \(\frac{x^2}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}\).

a) \(A=B=4\) b) \(x\sqrt{x}\)

- Wie kannst du jeden Term so umformen, dass nur noch ein Wurzelzeichen übrig bleibt? - Auf welchen gemeinsamen Wurzelexponenten kannst du \(\sqrt{2}\) und \(\sqrt[3]{2}\) erweitern? - Bei gleichem Wurzelexponenten genügt ein Vergleich der positiven Radikanden.

1. Für \(A\) kann der Faktor \(2\) in die Quadratwurzel gezogen werden: \(A=\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt{2}\). 2. Für \(B\) kann der Faktor \(2\) in die Kubikwurzel gezogen werden: \(B=\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^4}}=\sqrt[12]{2^4}=\sqrt[3]{2}\). 3. Erweitere beide Wurzeln auf den gemeinsamen Wurzelexponenten \(6\): \(\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}\) und \(\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{4}\). Da \(8>4\), gilt \(A>B\).

\(A>B\)

- Welche Potenz fehlt im Radikanden des jeweiligen Nenners bis zu einer vollständigen Potenz zum Wurzelexponenten? - Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben geeigneten Wurzelterm. - Prüfe anschließend, ob sich außerhalb der Wurzel noch Faktoren kürzen lassen.

1. Bei a) erweitere mit \(\sqrt[n]{v^{n-1}}\): \(\frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{\sqrt[n]{v^n}}=\frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v}\). 2. Bei b) erweitere mit \(\sqrt[4]{y}\): \(\frac{\sqrt[4]{y}}{x\sqrt[4]{y^4}}=\frac{\sqrt[4]{y}}{xy}\). 3. Bei c) erweitere mit \(\sqrt[m]{z}\): \(\frac{z\sqrt[m]{z}}{\sqrt[m]{z^m}}=\sqrt[m]{z}\).

a) \(\frac{u\sqrt[n]{v^{n-1}}}{v}\) b) \(\frac{\sqrt[4]{y}}{xy}\) c) \(\sqrt[m]{z}\)

- Fasse in a) die gleichartigen dritten Wurzeln zunächst zu einem Quotienten unter einer Wurzel zusammen. - Nutze in c) wirklich denselben konkreten positiven Wert in beiden zu vergleichenden Termen. - Schreibe \(16\) als Potenz einer kleinen ganzen Zahl, damit beide Wurzeln exakt ausgewertet werden können.

1. In a) gilt \(T=\sqrt[3]{\frac{z^7}{z}}=\sqrt[3]{z^6}=z^2\), weil \(z>0\) und \((z^2)^3=z^6\). 2. Für \(z=8\) ergibt sich \(T=8^2=64\). 3. Für \(x=16\) hat der Ausgangsterm den Wert \(\sqrt[4]{16^{12}}=16^3=4096\), denn \((16^3)^4=16^{12}\). 4. Nach Amirs Änderung entsteht \(\sqrt[8]{16^6}\). Mit \(16=2^4\) ist \(16^6=2^{24}\), also \(\sqrt[8]{2^{24}}=2^3=8\). 5. Da \(4096\ne8\), ist die Behauptung falsch.

a) \(z^2\) b) \(64\) c) Die Behauptung ist falsch; für \(x=16\) ergeben sich \(4096\) und \(8\).

- Forme das Produkt so um, dass die Frage „ganze Zahl oder nicht?“ an einem einzigen Wurzelterm untersucht werden kann. - Welche Bedingung muss ein Radikand erfüllen, damit seine \(n\)-te Wurzel eine ganze Zahl ist? - Wie kannst du begründen, dass deine Liste möglicher Werte von \(n\) vollständig ist?

1. Das Produkt ist \(\sqrt[n]{128\cdot8}=\sqrt[n]{1024}=\sqrt[n]{2^{10}}\). 2. Angenommen, der Wurzelwert ist eine positive ganze Zahl \(m\). Dann gilt \(m^n=2^{10}\). Da die rechte Seite nur den Primfaktor \(2\) besitzt, muss \(m=2^k\) mit einer natürlichen Zahl \(k\) gelten. 3. Damit folgt \(2^{kn}=2^{10}\), also \(kn=10\). Somit muss \(n\) ein Teiler von \(10\) sein. 4. Die Teiler von \(10\), die größer als \(1\) sind, lauten \(2\), \(5\) und \(10\). Alle drei liefern tatsächlich ganzzahlige Wurzelwerte.

\(n\in\{2;5;10\}\)

- Suche in jedem Radikanden nach Faktoren, die vollständige Potenzen zum jeweiligen Wurzelexponenten sind. - Bei einer Summe von Brüchen unter einer Wurzel musst du zuerst eine gemeinsame algebraische Form herstellen. - In c) ist eine gemeinsame Potenz in beiden Summanden verborgen; identifiziere sie vor dem Radizieren. - Prüfe bei geraden Wurzeln, welche Vorzeichen- und Definitionsbedingungen gegeben sind.

1. In a) gilt \(\frac{8b^4}{27c^6}=\frac{2^3b^3b}{3^3(c^2)^3}\). Daher ergibt sich \(\frac{2b}{3c^2}\sqrt[3]{b}\). 2. In b) ist \(\frac1{a^8}+\frac1{a^9}=\frac{a+1}{a^9}\). Mit \(a^9=a^8a\) folgt \(\sqrt[4]{\frac{a+1}{a^8a}}=\frac1{a^2}\sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\). Im angegebenen Bereich ist \(a^2>0\). 3. In c) ist \(a^6b-a^6c=a^6(b-c)=(a^2)^3(b-c)\). Daher ergibt sich \(a^2\sqrt[3]{b-c}\).

a) \(\frac{2b}{3c^2}\sqrt[3]{b}\) b) \(\frac1{a^2}\sqrt[4]{\frac{a+1}{a}}\) c) \(a^2\sqrt[3]{b-c}\)

- Vereinfache zuerst den Bruch vor der Wurzel mit einer algebraischen Faktorisierung. - Nutze die Positivitätsbedingungen, um vollständige \(n\)-te Potenzen aus der Wurzel zu ziehen. - Der verbleibende Faktor \(a-b\) kann selbst als \(n\)-te Wurzel einer vollständigen \(n\)-ten Potenz geschrieben und anschließend mit dem Wurzelquotienten zusammengefasst werden.

1. Vor der Wurzel gilt \(\frac{a^2-b^2}{a+b}=a-b\), weil \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). 2. Wegen \(a+b>0\) ist \(\sqrt[n]{(a+b)^n}=a+b\). Damit wird der Ausdruck zu \((a-b)\cdot\frac{a+b}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}}\). 3. Wegen \(a-b>0\) gilt \(a-b=\sqrt[n]{(a-b)^n}\). Daher ist \(\frac{a-b}{\sqrt[n]{(a-b)^{n-1}}}=\sqrt[n]{\frac{(a-b)^n}{(a-b)^{n-1}}}=\sqrt[n]{a-b}\). 4. Insgesamt ergibt sich \((a+b)\sqrt[n]{a-b}\).

\((a+b)\sqrt[n]{a-b}\)

- Behandle beim Kubieren den rationalen Faktor und den Wurzelfaktor zunächst getrennt. - Zerlege die Potenzen unter der Wurzel so, dass möglichst große Quadrate sichtbar werden. - Nutze die Positivitätsbedingungen, wenn du Quadratfaktoren aus der Wurzel ziehst.

1. Beim Kubieren bleibt das Minuszeichen erhalten: \(\left(-\frac{x}{y}\sqrt{\frac{2y}{x^3}}\right)^3=-\frac{x^3}{y^3}\sqrt{\frac{8y^3}{x^9}}\). 2. Für \(x,y>0\) gilt \(\sqrt{8y^3}=2y\sqrt{2y}\) und \(\sqrt{x^9}=x^4\sqrt{x}\). Damit folgt \(-\frac{2\sqrt{2y}}{xy^2\sqrt{x}}\). 3. Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{x}\) liefert \(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\).

\(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\)