Kostenlose Arbeitsblätter

- Kannst du den Exponenten als Bruch schreiben? - Es hilft oft, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. - Kommst du weiter, wenn du die Dezimalzahlen in Brüche umwandelst?

1. Umwandlung von \(27^{\frac{4}{3}}\) in eine Wurzelform: \(\sqrt[3]{27^4} = (\sqrt[3]{27})^4\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^4 = 81\). 2. Anwendung des Gesetzes \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[3]{10^9} = 10^{\frac{9}{3}} = 10^3 = 1000\). 3. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen Bruch oder direkte Berechnung: \(0{,}09^{1{,}5} = 0{,}09^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{0{,}09})^3\). Da \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\), folgt \(0{,}3^3 = 0{,}027\). 4. Direkte Berechnung der 4. Wurzel: Da \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), ist \(\sqrt[4]{0{,}0016} = 0{,}2\).

a) \(81\) b) \(1000\) c) \(0{,}027\) d) \(0{,}2\)

- Wandle Dezimalzahlen im Exponenten zuerst in Brüche um. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich, welche Wurzel aus der Basis gezogen werden muss, wenn der Nenner des Bruchexponenten eine bestimmte Zahl ist? - Es ist oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung von \(144^{0{,}5}\): Der Exponent \(0{,}5\) entspricht \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(144^{0{,}5} = \sqrt{144} = 12\). 2. Umwandlung von \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}\): Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der Basis. Es gilt \(\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\). 3. Umwandlung von \(32^{0{,}4}\): Der Exponent \(0{,}4\) entspricht \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Es gilt \(32^{0{,}4} = \sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4\). 4. Umwandlung von \(1\,000^{-\frac{2}{3}}\): Der negative Exponent führt zum Kehrwert \(\frac{1}{1\,000^{\frac{2}{3}}}\). Dies entspricht \(\frac{1}{\sqrt[3]{1\,000^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

a) \(\sqrt{144} = 12\) b) \(\sqrt[3]{27} = 3\) c) \((\sqrt[5]{32})^2 = 4\) d) \(\frac{1}{(\sqrt[3]{1\,000})^2} = 0{,}01\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Was bedeutet ein Minuszeichen im Exponenten für die Position des Terms? - Überlege, wie man eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten als Wurzel schreibt. - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer potenziert wird?

1. Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) anwenden. 2. Für a): \(x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}\). 3. Für b): \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{y^3}\). 4. Für c): Negativer Exponent bedeutet Kehrwert, \(z^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{z^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{z}}\). 5. Für d): \((4a)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(4a)^3} = \sqrt[4]{64a^3}\).

a) \(\sqrt[3]{x^2}\) b) \(\sqrt{y^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt{z}}\) d) \(\sqrt[4]{64a^3}\)

- Versuche, die Zahlen unter der Wurzel als Potenzen zur Basis 2 zu schreiben. - Wie hängen die Wurzelexponenten mit den Exponenten in der Potenzschreibweise zusammen? - Rechne die Werte der Ausdrücke Schritt für Schritt aus.

1. Term von Lukas umformen: \(\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Ursprünglichen Term umformen: \(\sqrt[6]{64} = 64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 3. Vergleich: Da beide Terme den Wert \(2^1\) bzw. \(2\) ergeben, haben sowohl Lukas als auch Marie recht.

Beide haben recht. Es gilt \(\sqrt[6]{64} = 2\), \(\sqrt[3]{8} = 2\) und \(2^1 = 2\).

- Was bedeutet der Wurzelexponent für den Nenner eines Bruchs im Exponenten? - Wie kannst du Brüche im Exponenten genauso behandeln wie normale Brüche? - Gibt es eine Regel, wie man einen Bruch im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreibt?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten unter Verwendung von \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): a) \(\sqrt[12]{b^3} = b^{\frac{3}{12}}\) b) \(\sqrt[10]{z^{15}} = z^{\frac{15}{10}}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[6]{y^4}} = y^{-\frac{4}{6}}\) 2. Kürzen der Brüche in den Exponenten: a) \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) b) \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) c) \(-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\) 3. Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise: a) \(b^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{b}\) b) \(z^{\frac{3}{2}} = \sqrt{z^3}\) c) \(y^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

a) \(\sqrt[4]{b}\) b) \(\sqrt{z^3}\) c) \(\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\)

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kann man eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

1. Umwandlung in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Berechnung für a): \(\sqrt[4]{20} = 20^{\frac{1}{4}} = 20^{0{,}25} \approx 2{,}115\). 3. Berechnung für b): \(\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\). 4. Berechnung für c): \(\frac{1}{\sqrt[5]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{5}}} = 10^{-\frac{1}{5}} = 10^{-0{,}2} \approx 0{,}631\). 5. Berechnung für d): \(\sqrt[3]{-27} = (-27)^{\frac{1}{3}} = -3\).

a) \(20^{\frac{1}{4}} \approx 2{,}115\) b) \(5^{\frac{2}{3}} \approx 2{,}924\) c) \(10^{-\frac{1}{5}} \approx 0{,}631\) d) \((-27)^{\frac{1}{3}} = -3\)

- Könntest du versuchen, alle Basen als Potenzen der Zahl 2 zu schreiben? - Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Erinnerst du dich an die Regel für das Potenzieren einer Potenz?

1. Berechnung von \(A\): \(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8\). 2. Berechnung von \(B\): \(\sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = ((2^3)^2)^{\frac{1}{3}} = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^2 = 4\). 3. Berechnung von \(C\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1{,}5} = (4^{-1})^{-1{,}5} = 4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^{2 \cdot 1{,}5} = 2^3 = 8\). 4. Berechnung von \(D\): \(\sqrt{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 = 8\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Die Terme \(A\), \(C\) und \(D\) haben denselben Wert.

Die Werte sind: \(A = 8\), \(B = 4\), \(C = 8\), \(D = 8\). Somit gilt: \(A = C = D\).

- Kannst du alle Terme so umschreiben, dass sie dieselbe Basis haben? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Wurzeln und Brüchen im Exponenten? - Wie kannst du eine Potenz, die selbst in einer Klammer steht, weiter vereinfachen?

1. Umwandlung aller Terme in Potenzen mit der Basis \(5\) und rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). 2. Für \(T_1\): \(\sqrt[4]{5^6} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 3. Für \(T_2\): \(\sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}\). 4. Für \(T_3\): Da \(25 = 5^2\), gilt \(25^{\frac{3}{4}} = (5^2)^{\frac{3}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{4}} = 5^{\frac{6}{4}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 5. Für \(T_4\): Da \(125 = 5^3\), gilt \(125^{\frac{1}{2}} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}\). 6. Alle Terme lassen sich auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (bzw. \(5^{1{,}5}\)) bringen und sind somit wertgleich.

Durch Anwendung der Potenzgesetze lassen sich alle vier Terme auf die Form \(5^{\frac{3}{2}}\) (oder \(5^{1{,}5}\)) vereinfachen. Da die Basis und der Exponent jeweils identisch sind, besitzen die Terme denselben Wert.

- Was bedeutet das Wurzelsymbol, wenn man es als Exponenten schreibt? - Gibt es eine Regel, wie man Potenzen innerhalb einer Wurzel behandelt? - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Exponenten, wenn eine Potenz vom Nenner in den Zähler rückt? - Kannst du Brüche im Exponenten kürzen?

1. Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Teilaufgabe a): \(\sqrt[3]{x^9} = x^{\frac{9}{3}} = x^3\). 3. Teilaufgabe b): \((a^{10} \cdot b^{20})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{5}} \cdot b^{\frac{20}{5}} = a^2 \cdot b^4\). 4. Teilaufgabe c): \(\frac{1}{y^{\frac{12}{4}}} = \frac{1}{y^3} = y^{-3}\). 5. Teilaufgabe d): \(z^{\frac{5k}{k}} = z^5\).

a) \(x^3\) b) \(a^2 \cdot b^4\) c) \(y^{-3}\) oder \(\frac{1}{y^3}\) d) \(z^5\)

- Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Kannst du einen Term in der Klammer einzeln potenzieren? - Achte darauf, Brüche bei der Addition oder Subtraktion auf den gleichen Nenner zu bringen.

1. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 3^1 = 3\) 2. Anwendung des Gesetzes \(a^m {:} a^n = a^{m-n}\) mit Hauptnenner \(6\): \(x^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}\) (oder \(\sqrt{x}\)) 3. Anwendung des Gesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(4^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot y^1 = 2y\) 4. Umwandlung der Wurzeln in Potenzen und Addition der Exponenten: \(a^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = a^1 = a\)

a) \(3\) b) \(x^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{x}\) c) \(2y\) d) \(a\)

- Wie lässt sich eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du die Basis 27 als Potenz einer kleineren Zahl schreiben? - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis.

1. Umwandlung von Term \(A\): \(\sqrt[3]{27^2} = (27^2)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}\). Da \(27 = 3^3\), folgt \((3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\). 2. Umwandlung von Term \(B\): \((\sqrt[3]{27})^2 = (27^{\frac{1}{3}})^2 = 27^{\frac{2}{3}} = 9\). 3. Vergleich \(A\) und \(B\): Beide Terme ergeben \(9\), sie sind äquivalent. 4. Umwandlung von Term \(C\): \(\sqrt[4]{x^{12}} = (x^{12})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}} = x^3\). 5. Umwandlung von Term \(D\): \(x^2 \cdot \sqrt{x^2} = x^2 \cdot (x^2)^{\frac{1}{2}} = x^2 \cdot x^1 = x^3\). 6. Vergleich \(C\) und \(D\): Beide Terme ergeben \(x^3\), sie sind äquivalent.

a) Ja, beide Terme sind äquivalent und haben den Wert \(9\). b) Ja, beide Terme sind äquivalent und lassen sich zu \(x^3\) vereinfachen.

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen schreiben? - Welche Rechenregeln gelten für Potenzen mit der gleichen Basis? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? - Könnte es helfen, Brüche in den Exponenten zuerst zu kürzen?

1. Teilaufgabe a: Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{2}{6}}\). Da \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) ist, ergibt die Addition der Exponenten \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). 2. Teilaufgabe b: Darstellung als Potenzen führt zu \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{2}{4}}\). Kürzen des zweiten Exponenten ergibt \(a^{\frac{5}{2}} : a^{\frac{1}{2}}\). Die Subtraktion der Exponenten liefert \(a^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{2}} = a^2\). 3. Teilaufgabe c: Anwendung der dritten binomischen Formel \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) auf die Wurzelterme ergibt \((\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2\). Durch das Quadrieren der Wurzeln erhält man das Ergebnis \(b - a\).

a) \(x\) b) \(a^2\) c) \(b - a\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz schreiben? - Welches Gesetz gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Kannst du den Bruch im Exponenten kürzen?

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[4]{x^6} = x^{\frac{6}{4}} = x^{\frac{3}{2}}\). 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes für die Multiplikation bei gleicher Basis: \(x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}\). 3. Addition der Exponenten: \(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1\). 4. Endergebnis: \(x^1 = x\).

\(x\)

- Setze zuerst die bekannte Zahl in die Formel ein und vereinfache den Ausdruck in der Klammer. - Wie lässt sich die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Erinnere dich: Eine Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) entspricht einer Quadratwurzel.

1. Einsetzen des gegebenen Wertes \(O = 54\) in die Formel: \(V = \left(\frac{54}{6}\right)^{1{,}5}\). 2. Vereinfachen des Bruchs in der Klammer: \(V = 9^{1{,}5}\). 3. Umwandeln des dezimalen Exponenten in einen Bruch: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\), also \(V = 9^{\frac{3}{2}}\). 4. Anwendung der Definition rationaler Exponenten: \(V = (\sqrt{9})^3\) oder \(V = \sqrt{9^3}\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(\sqrt{9} = 3\), dann \(3^3 = 27\). 6. Das Volumen beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\).

- Kannst du die Wurzel als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn du durch eine Potenz dividierst? - Achte darauf, alle Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) 2. Anwendung des ersten Potenzgesetzes im Zähler bzw. in der Klammer: \(a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 3. Anwendung des zweiten Potenzgesetzes für die Division: \(a^{\frac{7}{6}} {:} a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6} - (-\frac{1}{2})}\) 4. Berechnung des Exponenten: \(\frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\) 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{3}}\)

\(a^{\frac{5}{3}}\)

- Kannst du die Potenz mit dem Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben? - Was ist der Kehrwert des Exponenten, um die Variable zu isolieren? - Wie gehst du vor, wenn du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen möchtest? - Überprüfe dein Ergebnis aus Teil c) mit deiner Rechnung aus Teil a).

1. Einsetzen von \(V = 125\) in die Formel: \(m = 0{,}4 \cdot 125^{2/3}\). 2. Berechnung der Potenz: \(125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25\). 3. Multiplikation: \(m = 0{,}4 \cdot 25 = 10\). Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). 4. Umstellen der Formel nach \(V\): Zuerst Division durch \(0{,}4\) ergibt \(\frac{m}{0{,}4} = V^{2/3}\), was \(2{,}5m = V^{2/3}\) entspricht. 5. Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{3}{2}\): \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{(2{,}5m)^3}\). 6. Für \(m = 10\) ergibt sich \(V = (2{,}5 \cdot 10)^{3/2} = 25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125\). Das Volumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

a) Die Masse beträgt \(10\,\text{kg}\). b) \(V = (2{,}5m)^{3/2}\) oder \(V = \sqrt{15{,}625 \cdot m^3}\). c) Das Innenvolumen beträgt \(125\,\text{dm}^3\).

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Achte darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch kürzen oder vereinfachen?

1. Umwandlung in Potenzen mit rationalen Exponenten: \(\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}\) und \(\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation: \(7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{5}{6}}\). Rückführung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[6]{7^5}\). 2. Umwandlung: \(x^{\frac{3}{4}} {:} x^{\frac{1}{8}}\). Anwendung des Potenzgesetzes für die Division: \(x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{6}{8} - \frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[8]{x^5}\). 3. Umwandlung: \(a^{\frac{2}{5}} \cdot a^{\frac{1}{10}}\). Addition der Exponenten: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(a^{\frac{1}{2}}\), was \(\sqrt{a}\) entspricht.

1) \(\sqrt[6]{7^5}\) (oder \(\sqrt[6]{16\,807}\)) 2) \(\sqrt[8]{x^5}\) 3) \(\sqrt{a}\)

- Welche Rolle spielen der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden beim Schreiben als Bruch? - Was bedeutet ein Minuszeichen in einem Exponenten für die Position des Terms (Zähler oder Nenner)? - Kannst du eine Summe in Klammern wie eine einzelne Variable behandeln?

1. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}\). 2. Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\) und Berücksichtigung des negativen Exponenten (\(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\)): \(a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\). 3. Umschreiben der Wurzel im Nenner als Potenz: \(\frac{1}{y^{\frac{1}{4}}}\). Anwendung der Regel für negative Exponenten: \(y^{-\frac{1}{4}}\). 4. Interpretation der Summe als Basis und Anwendung der Definition: \((m+n)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(m+n)^3}\).

1) \(x^{\frac{3}{5}}\) 2) \(\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\) oder \(\sqrt[3]{a^{-2}}\) 3) \(y^{-\frac{1}{4}}\) 4) \(\sqrt[4]{(m+n)^3}\)

- Wie hängen der Wurzelexponent und der Nenner im Exponenten zusammen? - Kannst du die Dezimalzahl im Exponenten zuerst als Bruch schreiben? - Überlege bei der Berechnung, ob es einfacher ist, zuerst die Wurzel zu ziehen oder zuerst zu potenzieren. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten?

1. Umwandlung von a): Anwendung der Definition \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\) ergibt \(\sqrt[5]{y^2} = y^{2/5}\) oder \(y^{0{,}4}\). 2. Berechnung von b): Umwandlung in \(\sqrt[3]{27^2}\) oder \((\sqrt[3]{27})^2\). Da \(\sqrt[3]{27} = 3\), folgt \(3^2 = 9\). 3. Umwandlung von c): Umschreiben des Dezimalbruchs \(0{,}75\) als \(\frac{3}{4}\). Anwendung der Definition für negative Exponenten \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und Umwandlung in eine Wurzel ergibt \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\).

a) \(y^{2/5}\) b) \(9\) c) \(\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}\)

- Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welches Gesetz wendest du an, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Überlege, was passiert, wenn der Wurzelexponent und der äußere Exponent gleich sind.

1. Wahr: Nach der Definition der \( n \)-ten Wurzel gilt \( (\sqrt[n]{a})^n = a \), also \( (\sqrt[5]{15})^5 = 15 \). 2. Wahr: Umformung in Potenzschreibweise ergibt \( (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \). 3. Falsch: Die Berechnung ergibt \( (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9 \). Die korrekte Aussage lautet \( (\sqrt[3]{3})^6 = 9 \). 4. Wahr: Umformung ergibt \( (5^8)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25 \).

1. Wahr 2. Wahr 3. Falsch (Korrektur: \( 9 \)) 4. Wahr

- Überlege dir, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben kann. - Was passiert mit einem negativen Vorzeichen, wenn der Exponent eine gerade Zahl ist? - Erinnere dich an die Regel für das Potenzieren von Produkten: Jeder Faktor in der Klammer muss potenziert werden.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Wurzeln \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \) oder Umwandlung in rationale Exponenten \( (a^{\frac{1}{n}})^m = a^{\frac{m}{n}} \). 2. Teil a): \( (\sqrt[6]{x^4})^3 = \sqrt[6]{x^{12}} = x^{\frac{12}{6}} = x^2 \). 3. Teil b): Der negative Koeffizient wird mit potenziert: \( (-2)^4 \cdot (\sqrt[4]{y^3})^4 = 16 \cdot y^3 = 16y^3 \). 4. Teil c): Potenzieren des Vorfaktors und der Wurzel: \( (0{,}5)^3 \cdot (\sqrt[3]{2a^2})^3 = 0{,}125 \cdot 2a^2 = 0{,}25a^2 \).

a) \( x^2 \) b) \( 16y^3 \) c) \( 0{,}25a^2 \)

- Denk an das Gesetz für das Potenzieren eines Produkts. - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Potenzen mit der gleichen Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v)^n = u^n \cdot v^n\): \((5a^2 \sqrt{a})^2 = 5^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (\sqrt{a})^2\). 2. Berechnung der Teilterme: \(25 \cdot a^4 \cdot a\). 3. Zusammenfassen der Potenzen: \(25 a^5\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes auf den zweiten Term: \((b^3 \sqrt[3]{b})^2 = (b^3)^2 \cdot (\sqrt[3]{b})^2\). 5. Berechnung: \(b^6 \cdot b^{2/3}\). 6. Umwandlung in Wurzelschreibweise: \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\).

1) \(25a^5\) 2) \(b^6 \sqrt[3]{b^2}\)

- Kannst du die Wurzeln schrittweise von innen nach außen in Potenzen umschreiben? - Welche Rechenregel gilt für das Produkt von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie wird eine Potenz potenziert, wenn man eine Wurzel als Exponenten schreibt? - Hilft es dir, Zahlen wie \(8\) zuerst als Potenz einer kleineren Zahl zu schreiben?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/4}}\). Addition der Exponenten in der Klammer: \(2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((a^{9/4})^{1/3} = a^{9/12} = a^{3/4}\). 2. Teilaufgabe b): Darstellung aller Faktoren zur Basis \(2\): \(\sqrt{2^3 \cdot 2^{1/3}}\). Addition der Exponenten: \(3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Anwendung der Quadratwurzel: \((2^{10/3})^{1/2} = 2^{5/3}\).

a) \(a^{3/4}\) b) \(2^{5/3}\)

- Kannst du die Wurzeln als Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten umschreiben? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf einen Bruch aus? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der Klammer zuerst vereinfachen, bevor du den äußeren Exponenten anwendest?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Wurzel als Potenz ergibt \((7^{\frac{1}{2}})^{-2}\). Anwendung des Potenzgesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(7^{\frac{1}{2} \cdot (-2)} = 7^{-1}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{7}\). 2. Teilaufgabe b): Vereinfachung des inneren Terms ergibt \(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\). Die äußere Potenz liefert \((a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^1 = a\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst wird die Kubikwurzel berechnet: \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\), da \((\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}\). Anwendung des negativen Exponenten ergibt \((\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 16\).

a) \(\frac{1}{7}\) b) \(a\) c) \(16\)

- Wie kannst du eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst? - Denke daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(a\)) immer den Exponenten 1 hat.

1. Teilaufgabe a): \(\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}\). Daher gilt \(x^3 {:} x^{\frac{2}{5}} = x^{3-\frac{2}{5}} = x^{\frac{15}{5}-\frac{2}{5}} = x^{\frac{13}{5}}\). 2. Teilaufgabe b): \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-1} = a^{-\frac{1}{6}}\).

a) \(x^{\frac{13}{5}}\) b) \(a^{-\frac{1}{6}}\)

- Hilft es dir, die Wurzeln als rationale Exponenten zu schreiben? - Wie verrechnet man Potenzen mit der gleichen Basis, wenn sie multipliziert werden? - Kannst du am Ende ganze Potenzen aus der Wurzel herausziehen?

1. Umwandlung der Wurzeln in rationale Potenzen: \(a^{4/3}b^{5/3} \cdot a^{4/6}b^{3/6}\) 2. Multiplikation der Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^{4/3 + 2/3} = a^2\) und \(b^{10/6 + 3/6} = b^{13/6}\) 3. Vereinfachung des b-Exponenten und Rückumwandlung in Wurzelform: \(b^{13/6} = b^{12/6} \cdot b^{1/6} = b^2 \sqrt[6]{b}\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(a^2 b^2 \sqrt[6]{b}\)

d) \(a^2b^2 \cdot \sqrt[6]{b}\)

- Schreibe die Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst? - Ein Exponentenvergleich ist möglich, wenn die Basen auf beiden Seiten identisch sind.

1. Zu a): Umformung der Wurzel in eine Potenz mit rationalem Exponenten ergibt \(x^{\frac{n}{2}} = x^7\). Durch Exponentenvergleich folgt \(\frac{n}{2} = 7\), also \(n = 14\). 2. Zu b): Darstellung von \(81\) als Potenz zur Basis \(3\) ergibt \(81 = 3^4\). Die Gleichung lautet \(3^{\frac{n}{2}} = 3^4\). Exponentenvergleich liefert \(\frac{n}{2} = 4\), also \(n = 8\). 3. Zu c): Anwendung der Regel für Wurzeln mit dem Wurzelexponenten \(k\), \(\sqrt[k]{x^m} = x^{\frac{m}{k}}\), ergibt \(x^{\frac{12}{3}} = x^4\). Somit ist \(n = 4\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter der Wurzel mit dem ersten Potenzgesetz ergibt \(\sqrt{x^{4+n}} = x^{\frac{4+n}{2}}\). Gleichsetzen des Exponenten mit \(5\) führt zu \(\frac{4+n}{2} = 5\), woraus \(4+n = 10\) und somit \(n = 6\) folgt.

a) \(n = 14\) b) \(n = 8\) c) \(n = 4\) d) \(n = 6\)

- Schreibe alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Nutze die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Beachte die Bedingung \(a > 0\), die Vereinfachungen wie \(\sqrt{a^2} = a\) ermöglicht.

1. Term 1: \(\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Term 2: \(\sqrt{a} = a^{0{,}5}\). Multiplikation: \(a^{0{,}5} \cdot a^{1{,}5} = a^{0{,}5 + 1{,}5} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Term 3: Nach dem Potenzgesetz \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) gilt \((a^4)^{1/4} = a^{4 \cdot 1/4} = a^1 = a\). Dieser Term ist nicht äquivalent. 4. Term 4: Da \(a > 0\), ist \(\sqrt{a^2} = a\). Die Division ergibt \(\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2\). Dieser Term ist äquivalent. Zusammenfassend sind die Terme 1, 2 und 4 äquivalent zu \(a^2\).

Die Terme 1, 2 und 4 sind äquivalent zu \(a^2\). Term 3 hingegen entspricht \(a\).

- Wie verändern sich die Exponenten, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert oder dividiert werden? - Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit Brüchen im Exponenten schreiben. - Gibt es eine Basis, die sowohl für die Zahl unter der Wurzel als auch für den Divisor passt?

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addition der Exponenten \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x^1 = x\). 2. Division von Wurzeln mit gleichem Index: Zusammenfassung unter eine Wurzel ergibt \(\sqrt[3]{\frac{y^5}{y^2}} = \sqrt[3]{y^3} = y\). 3. Umrechnung in Potenzen: \(\sqrt[4]{(3^4)^3} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27\). Division durch \(3^2 = 9\) ergibt \(27 {:} 9 = 3\).

a) \(x\) b) \(y\) c) \(3\)

- Berechne für jeden Term den exakten Zahlenwert, um sie vergleichen zu können. - Wandle alle Potenzen mit rationalen Exponenten in die entsprechende Wurzelschreibweise um. - Achte besonders auf das Vorzeichen der Exponenten und wie es die Basis beeinflusst.

1. Berechnung von \(A\): \(16^{0{,}25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-0{,}5} = 9^{0{,}5} = \sqrt{9} = 3\). 3. Berechnung von \(C\): \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\). 4. Berechnung von \(D\): \(25^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\). Daraus folgt die Reihenfolge \(D < A < B < C\).

Die aufsteigende Reihenfolge ist: \(D < A < B < C\) (entspricht \(0{,}2 < 2 < 3 < 9\)).

- Wandle zuerst alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Welche Rechenregeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Denk daran, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du den Bruch im Exponenten am Ende noch kürzen?

1. Umwandlung in Potenzen: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\), \(\sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{5}{12}}\). 2. Zähler zusammenfassen mit \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\): \(a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{12} + \frac{3}{12}} = a^{\frac{11}{12}}\). 3. Division durch Nenner mit \(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\): \(a^{\frac{11}{12} - \frac{5}{12}} = a^{\frac{6}{12}}\). 4. Exponenten kürzen: \(a^{\frac{1}{2}}\). 5. Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\).

Potenzschreibweise: \(a^{\frac{1}{2}}\) Wurzelschreibweise: \(\sqrt{a}\)

- Wandle alle Wurzeln in eine einheitliche Schreibweise mit Exponenten um. - Wenn die Basis gleich ist, worauf musst du dann schauen, um die Gleichheit zu prüfen? - Erinnere dich an die Bedeutung von negativen Exponenten.

1. Umformung beider Seiten in Potenzen: a) Linke Seite: \(\sqrt[6]{x^9} = x^{\frac{9}{6}} = x^{\frac{3}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr. b) Linke Seite: \(\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[8]{x^6} = x^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{3}{4}}\). Da \(\frac{1}{2} \neq \frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch. c) Linke Seite: \(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Rechte Seite: \(\sqrt[6]{x^{-2}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}}\). Die Exponenten sind identisch. Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Welche Zahl bietet sich hier als gemeinsame Basis an? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}5\) als Potenz? - Wenn die Basis größer als 1 ist, wie hängen dann die Größe der Potenz und der Exponent zusammen? - Kannst du eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch im Exponenten umwandeln?

1. Umformung von \(T_1\): \(\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{0{,}5}\). 2. Umformung von \(T_2\): \(0{,}5^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1\). 3. Umformung von \(T_3\): \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0{,}5}} = 2^{-0{,}5}\). 4. Umformung von \(T_4\): \(4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \approx 2^{0{,}67}\). 5. Vergleich der Exponenten bei gleicher Basis 2: \(-0{,}5 < 0{,}5 < \frac{2}{3} < 1\). 6. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\).

Die richtige Reihenfolge ist: \(T_3 < T_1 < T_4 < T_2\). In der Form \(2^n\) lauten die Terme: \(T_3 = 2^{-0{,}5}\), \(T_1 = 2^{0{,}5}\), \(T_4 = 2^{\frac{2}{3}}\), \(T_2 = 2^1\).

- Kannst du alle Teile des Ausdrucks zuerst in Potenzen mit der Basis \(x\) umschreiben? - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Was passiert mit den Exponenten bei einer Division? - Wie rechnet man mit Brüchen im Exponenten? Denke an den gemeinsamen Nenner.

1. Umschreiben der Wurzeln als Potenzen: \(\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze im Zähler (Multiplikation bei gleicher Basis): \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}\). 3. Anwendung der Potenzgesetze für den Bruch (Division bei gleicher Basis): \(\frac{x^{\frac{7}{6}}}{x^1} = x^{\frac{7}{6} - 1} = x^{\frac{1}{6}}\). 4. Überprüfung mit \(x = 64\): Ursprünglicher Term: \(\frac{\sqrt[3]{64^2} \cdot \sqrt{64}}{64} = \frac{\sqrt[3]{4096} \cdot 8}{64} = \frac{16 \cdot 8}{64} = \frac{128}{64} = 2\). Vereinfachtes Ergebnis: \(64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^1 = 2\). 5. Die Ergebnisse stimmen überein.

Der vereinfachte Term lautet \(x^{\frac{1}{6}}\). Die Überprüfung für \(x = 64\) ergibt in beiden Fällen den Wert \(2\).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Erinnere dich daran, wie man einen Bruchstrich durch einen negativen Exponenten ersetzen kann. - Wenn die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben der Gleichung zur Basis \(2\). Es gilt \(8 = 2^3\) und \(\sqrt[x]{2^{15}} = 2^{\frac{15}{x}}\). Gleichsetzen der Exponenten: \(\frac{15}{x} = 3\), woraus \(x = 5\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Potenzgesetze für Division und Wurzeln. \(\frac{7^{\frac{5}{3}}}{7^k} = 7^{\frac{2}{3}}\) führt zu \(7^{\frac{5}{3} - k} = 7^{\frac{2}{3}}\). Exponentenvergleich: \(\frac{5}{3} - k = \frac{2}{3}\), also \(k = \frac{3}{3} = 1\). 3. Teilaufgabe c): Umschreiben der rechten Seite zur Basis \(10\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{100}} = \frac{1}{(10^2)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{2}{4}}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(k = -0{,}5\).

a) \(x = 5\) b) \(k = 1\) c) \(k = -0{,}5\) (oder \(k = -\frac{1}{2}\))

- Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise um, um sie besser verrechnen zu können. - Überlege, welche Zahl hoch drei \(27\) ergibt. - Was ist der Wert einer Potenz, wenn der Exponent null ergibt?

1. Anwendung des Gesetzes \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(z^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = z^{-1} = \frac{1}{z}\) 2. Umwandlung aller Wurzeln in Potenzen mit der Basis \(x\): \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{5}{6}}\). Addition der Exponenten mit Hauptnenner \(6\): \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = 0\). Ergebnis: \(x^0 = 1\) 3. Potenzieren der einzelnen Faktoren in der Klammer: \(27^{\frac{1}{3}} \cdot (a^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot a^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 3a^2\)

a) \(z^{-1}\) oder \(\frac{1}{z}\) b) \(1\) c) \(3a^2\)

- Achte bei Binomen darauf, auch die Koeffizienten vor den Wurzeln zu quadrieren. - Kannst du Brüche in den Exponenten auf den gleichen Nenner bringen, um sie zu addieren oder zu subtrahieren? - Wie verrechnet man Exponenten im Zähler und Nenner eines Bruches?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \((2\sqrt{a})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{a}) \cdot (3\sqrt{b}) + (3\sqrt{b})^2\). Das Quadrieren der einzelnen Faktoren und das Zusammenfassen des mittleren Terms ergibt \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{8}}\). Da \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) ist, addieren sich die Exponenten zu \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\). Das Ergebnis ist \(x\). 3. Teilaufgabe c: Darstellung als Potenzen ergibt \(\frac{y^2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2}{3}}}\). Die Verrechnung der Exponenten lautet \(2 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3}\). Mit dem Hauptnenner 6 ergibt dies \(\frac{12}{6} + \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6}\). Das Ergebnis ist \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\).

a) \(4a + 12\sqrt{ab} + 9b\) b) \(x\) c) \(y^{\frac{11}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{y^{11}}\)

- Beginne damit, den Ausdruck von innen nach außen zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(a\) dasselbe ist wie \(a^1\). - Wie verrechnet man eine Potenz, die nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}\). 2. Vereinfachung des Terms unter der äußeren Wurzel: \(a \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{1 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}\). 3. Anwendung der äußeren Wurzel auf das Zwischenergebnis: \(\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}} = (a^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen (Multiplikation der Exponenten): \(\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9}\). 5. Endergebnis: \(a^{\frac{5}{9}}\).

\(a^{\frac{5}{9}}\)

- Welche Variable kommt in beiden Grundformeln vor? - Wie kannst du eine der Formeln so umstellen, dass du diese gemeinsame Variable ersetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt. - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Auflösen der Oberflächenformel \(O = 6a^2\) nach der Kantenlänge \(a\): \(a^2 = \frac{O}{6} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{O}{6}}\). 2. Einsetzen des Ausdrucks für \(a\) in die Volumenformel \(V = a^3\): \(V = \left(\sqrt{\frac{O}{6}}\right)^3\). 3. Umwandeln der Wurzel in die Potenzschreibweise: \(\sqrt{\frac{O}{6}} = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\). 4. Anwenden der Potenzgesetze \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\): \(V = \left(\left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). 5. Vergleich mit der Zielformel ergibt \(k = 6\) und \(n = \frac{3}{2}\) (oder \(n = 1{,}5\)).

Die hergeleitete Formel lautet \(V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\) (oder \(V = \sqrt{\left(\frac{O}{6}\right)^3}\)).

- Probiere einfache Zahlenbeispiele aus, um ein Gefühl für die Aussagen zu bekommen. - Was passiert, wenn die Basis eine Zahl zwischen 0 und 1 ist? - Überlege dir, wie sich der Wert einer Potenz verändert, wenn der Exponent verändert wird. - Denke an die Bedeutung von Exponenten wie \(0{,}5\).

1. Analyse zu a): Die Aussage behauptet \(a^{2n} = 2 \cdot a^n\). Dies ist im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 3\) und \(n = 1\). Dann ist \(3^1 = 3\). Verdoppelt man den Exponenten auf \(n = 2\), erhält man \(3^2 = 9\). Da \(9 \neq 2 \cdot 3 = 6\), ist die Aussage widerlegt. 2. Analyse zu b): Die Aussage behauptet \(a^x < a\) für \(0 < x < 1\). Dies ist nur für Basen \(a > 1\) wahr. Für Basen zwischen 0 und 1 ist die Aussage falsch. Ein Gegenbeispiel: Sei \(a = 0{,}25\) und \(x = 0{,}5\). Es gilt \(0{,}25^{0{,}5} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\), ist das Ergebnis größer als die Basis, womit die Aussage widerlegt ist.

a) Falsch. Gegenbeispiel: \(3^1 = 3\), aber \(3^{2 \cdot 1} = 9\). Der Wert hat sich verdreifacht, nicht verdoppelt. b) Falsch. Dies gilt nur für \(a > 1\). Gegenbeispiel: \(0{,}25^{0{,}5} = 0{,}5\). Hier ist das Ergebnis \(0{,}5\) größer als die Basis \(0{,}25\).

- Erinnere dich daran, dass \(x^0 = 1\) gilt (für \(x \neq 0\)). - Wie addiert man Brüche im Exponenten? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Variablen im Bruch?

1. Anwendung des Distributivgesetzes und Addition der Exponenten bei gleicher Basis. 2. Teilaufgabe a): \(x^{-3} \cdot x^5 - x^{-3} \cdot 2x^3 + x^{-3} \cdot 4x^2 = x^2 - 2x^0 + 4x^{-1} = x^2 - 2 + 4x^{-1}\). 3. Teilaufgabe b): \(z^{\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{3}{2}} - z^{\frac{1}{2}} \cdot 5z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{4}{2}} - 5z^0 = z^2 - 5\). 4. Teilaufgabe c): \(2a^2b^{-2} \cdot ab^2 - 2a^2b^{-2} \cdot 3b^3 = 2a^3b^0 - 6a^2b^1 = 2a^3 - 6a^2b\).

a) \(x^2 - 2 + 4x^{-1}\) (oder \(x^2 - 2 + \frac{4}{x}\)) b) \(z^2 - 5\) c) \(2a^3 - 6a^2b\)

- Wie lassen sich Dezimalzahlen im Exponenten als Brüche schreiben? - Welche Regeln gelten für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen im Exponenten? - Könnte es helfen, alle Wurzeln einheitlich als Potenzen mit rationalen Exponenten darzustellen?

1. Umwandlung des Dezimalbruchs in einen echten Bruch: \(1{,}25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\). Somit gilt \(x^{1{,}25} = x^{5/4} = \sqrt[4]{x^5}\). 2. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(a^{2/3} \cdot a^{1/3}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(a^{2/3 + 1/3} = a^1 = a\). 3. Umwandlung des Exponenten: \(-0{,}25 = -\frac{1}{4}\). Berechnung: \(16^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Umwandlung beider Terme in Potenzen: \(\frac{z^{3/2}}{z^{2/4}} = \frac{z^{1{,}5}}{z^{0{,}5}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(z^{1{,}5 - 0{,}5} = z^1 = z\).

a) \(\sqrt[4]{x^5}\) b) \(a\) c) \(0{,}5\) d) \(z\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch darstellen? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn ein Produkt in der Klammer steht und potenziert wird? - Wenn du eine Gleichung nach einer Basis auflösen willst, mit welchem Exponenten musst du beide Seiten potenzieren?

1. Einsetzen von \(x = 16\): \(y = 3 \cdot 16^{0{,}75} = 3 \cdot 16^{3/4}\). 2. Berechnung der Potenz: \(16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\). 3. Ergebnis für a): \(y = 3 \cdot 8 = 24\). 4. Umformen nach \(x\): Division durch 3 liefert \(\frac{y}{3} = x^{3/4}\). 5. Potenzieren mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\). 6. Untersuchung der Änderung: Ersetzt man \(x\) durch \(81x\), folgt \(y_{neu} = 3(81x)^{3/4} = 3 \cdot 81^{3/4} \cdot x^{3/4}\). 7. Da \(81^{3/4} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27\), gilt \(y_{neu} = 27 \cdot (3x^{3/4}) = 27y\). Der Wert vergrößert sich um den Faktor 27.

a) \(y = 24\) b) \(x = (\frac{y}{3})^{4/3}\) c) Der Wert von \(y\) vergrößert sich um den Faktor 27, da \((81 \cdot x)^{3/4} = 81^{3/4} \cdot x^{3/4} = 27x^{3/4}\).

- Schreibe alle Wurzeln zuerst in die Potenzschreibweise mit Brüchen um. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzel in eine Potenz \(\sqrt{x} = x^{0{,}5}\). Anwendung des Gesetzes \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\): \(x^{0{,}5} \cdot x^2 = x^{2{,}5}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung \(\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}\). Anwendung des Gesetzes \(\frac{y^m}{y^n} = y^{m-n}\): \(y^{\frac{2}{3}} {:} y^1 = y^{\frac{2}{3} - 1} = y^{-\frac{1}{3}}\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen in der Klammer \(a^{0{,}5} \cdot a^{0{,}25} = a^{0{,}75}\). Potenzieren einer Potenz \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \((a^{0{,}75})^2 = a^{1{,}5}\). 4. Teilaufgabe d): Umwandlung des Nenners \(\sqrt{z^3} = (z^3)^{0{,}5} = z^{1{,}5}\). Der Bruch ergibt \(\frac{z^{1{,}5}}{z^{1{,}5}} = 1\), was als Potenz \(z^0\) geschrieben werden kann.

a) \(x^{2{,}5}\) b) \(y^{-\frac{1}{3}}\) c) \(a^{1{,}5}\) d) \(z^0\) oder \(1\)

- Kannst du die Quadratwurzel aus einem Produkt ziehen, indem du die Exponenten der Faktoren betrachtest? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Seitenlänge der Grundfläche bekannt ist? - Erinnere dich an das Gesetz zur Potenzierung von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Berechnung der Seitenlänge \(s\) durch Wurzelziehen: \(s = \sqrt{2^8 \cdot 5^2} = (2^8 \cdot 5^2)^{\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze: \(s = 2^{8 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) des Würfels: \(V = s^3 = 80^3 = 512\,000\,\text{m}^3\). 4. Darstellung als Potenzprodukt: \(V = (2^4 \cdot 5)^3 = 2^{4 \cdot 3} \cdot 5^{1 \cdot 3} = 2^{12} \cdot 5^3\).

a) \(s = 80\,\text{m}\) b) \(V = 512\,000\,\text{m}^3\) c) \(V = 2^{12} \cdot 5^3\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel in eine Potenz mit einem Bruch als Exponenten umschreibt. - Kannst du die Brüche in den Exponenten der drei Terme kürzen? - Was fällt dir auf, wenn du die gekürzten Brüche miteinander vergleichst?

1. Umwandlung der Wurzelterme in die Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten unter Verwendung der Regel \(\sqrt[n]{y^m} = y^{\frac{m}{n}}\). 2. Term A: \(y^{\frac{3}{6}} = y^{\frac{1}{2}}\). 3. Term B: \(y^{\frac{2}{4}} = y^{\frac{1}{2}}\). 4. Term C: \(y^{\frac{5}{10}} = y^{\frac{1}{2}}\). 5. Da alle drei Terme nach dem Kürzen der Brüche im Exponenten den gleichen Exponenten \(\frac{1}{2}\) besitzen, sind sie für alle \(y \ge 0\) äquivalent. 6. Die einfachste Form ist \(y^{\frac{1}{2}}\) oder \(\sqrt{y}\).

Alle Terme sind äquivalent zu \(y^{\frac{1}{2}}\) bzw. \(\sqrt{y}\), da sich die rationalen Exponenten \(\frac{3}{6}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{5}{10}\) alle auf \(\frac{1}{2}\) kürzen lassen.

- Was bedeutet ein Bruchstrich für die Verrechnung der Exponenten? - Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist (Zähler größer als Nenner), kannst du einen Teil vor die Wurzel ziehen. - Vergiss nicht, Brüche im Exponenten so weit wie möglich zu kürzen.

1. Umwandlung aller Terme in die Potenzschreibweise: \(y^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{-\frac{1}{2}}\). Zusammenfassen der Exponenten durch Addition und Subtraktion: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Das Ergebnis ist \(y^1 = y\). 2. Umwandlung in rationale Exponenten: \(k^{\frac{2}{3}} \cdot k^{\frac{3}{4}} {:} k^{\frac{1}{12}}\). Berechnung des Gesamtexponenten: \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). In Wurzelschreibweise: \(\sqrt[3]{k^4} = k \cdot \sqrt[3]{k}\). 3. Umwandlung: \(z^{\frac{4}{5}} {:} z^{\frac{2}{15}}\). Subtraktion der Exponenten: \(\frac{4}{5} - \frac{2}{15} = \frac{12}{15} - \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Das Ergebnis in Wurzelschreibweise ist \(\sqrt[3]{z^2}\).

1) \(y\) 2) \(k \cdot \sqrt[3]{k}\) 3) \(\sqrt[3]{z^2}\)

- Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben, um bekannte Rechenregeln für Potenzen zu nutzen? - Was passiert mit den Exponenten, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden? - Wie rechnet man, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Kannst du den Wert einer Potenz mit rationalem Exponenten schrittweise berechnen (zuerst die Wurzel, dann der Exponent oder umgekehrt)?

1. Aussage a): Umwandlung in Potenzen ergibt \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\). Anwendung des Potenzgesetzes \(x^p \cdot x^q = x^{p+q}\) führt zu \(x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^1 = x\). Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b): Die linke Seite wird zu \(a^{\frac{1}{6}}\), die rechte Seite ist \(a^{\frac{1}{5}}\). Die Gleichung gilt nicht für alle \(a \ge 0\). Zum Beispiel ergibt \(a=64\) links \(64^{\frac{1}{6}}=2\), rechts jedoch \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\), da \(2^5=32\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Aussage c): Umwandlung ergibt \(\frac{1}{16^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}}\). Da \(2^4 = 16\), ist \(\sqrt[4]{16} = 2\). Somit gilt \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, da \(x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^1\). b) Falsch; zum Beispiel ist für \(a=64\) die linke Seite \(2\), während \(64^{\frac{1}{5}} \neq 2\) gilt. c) Wahr, da \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

- Erinnere dich, wie man Brüche mit Wurzeln im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten schreibt. - Welche Zahl hoch vier ergibt 16? - Welches Potenzgesetz gilt, wenn zwei Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert werden? - Denke daran, dass \(x\) auch als \(x^1\) geschrieben werden kann.

1. Darstellung als Potenz: Der Ausdruck \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht \(x^{3/4}\). Da dieser im Nenner steht, gilt \(T = x^{-3/4}\). 2. Berechnung für \(x = 16\): Einsetzen ergibt \(16^{-3/4} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}\). Mit \(\sqrt[4]{16} = 2\) folgt \(\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Nachweis der Identität: Multiplikation \(x^{-3/4} \cdot x^1\). Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \(x^{-3/4 + 1} = x^{1/4}\). Rückumwandlung in die Wurzelschreibweise ergibt \(\sqrt[4]{x}\).

a) \(T = x^{-3/4}\) b) \(0{,}125\) c) \(x^{-3/4} \cdot x^1 = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}\)

- Wenn ein Produkt in der Klammer steht, muss jeder Faktor einzeln potenziert werden. - Nutze die Regel \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \), um Wurzeln und Potenzen zusammenzufassen. - Brüche im Exponenten lassen sich oft kürzen, bevor man das Endergebnis berechnet. - Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für ein Produkt: \( 3^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54 \). 2. Verrechnung der Exponenten: \( \frac{5^{\frac{12}{6}}}{5} = \frac{5^2}{5} = 5^1 = 5 \). 3. Umformung in Potenzschreibweise: \( (4^{\frac{1}{4}})^2 = 4^{\frac{2}{4}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \). 4. Vereinfachung des Zählers und Division: \( \frac{y^{\frac{9}{3}}}{y^2} = \frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y \).

1. \( 54 \) 2. \( 5 \) 3. \( 2 \) 4. \( y \)

- Überlege zuerst, wie du Wurzeln als Potenzen schreiben kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Teilen von Potenzen mit der gleichen Basis. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Exponenten, wenn er vom Nenner in den Zähler wandert? - Versuche, alle Terme auf die Form \(x^a y^b\) zu bringen.

1. Umwandlung der Wurzel im Nenner in eine Potenz mit rationalem Exponenten: \((x \cdot y^{-1})^{\frac{1}{4}}\) 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) auf Zähler und Nenner: \(\frac{x^{\frac{2}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{4}}}\) 3. Anwendung des Potenzgesetzes für Quotienten \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für die Basen \(x\) und \(y\): \(x^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{3}{4} - (-\frac{1}{4})}\) 4. Berechnung der Exponenten: \(x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{4}{4}} = x^{\frac{1}{4}} \cdot y^1\) 5. Rückführung des rationalen Exponenten in die Wurzelschreibweise: \(y\sqrt[4]{x}\)

\(y\sqrt[4]{x}\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird. - Schreibe die Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten, um die Gesetze leichter anwenden zu können. - Überlege dir für die Begründung, welche Vorzeichen die einzelnen Faktoren des vereinfachten Terms haben, wenn \(x\) positiv ist.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \((u \cdot v \cdot w)^n = u^n \cdot v^n \cdot w^n\): \(T = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (\sqrt[5]{x^2})^3\). 2. Berechnung der Koeffizienten und Potenzen: \(-8 \cdot x^3 \cdot (x^{2/5})^3 = -8 \cdot x^3 \cdot x^{6/5}\). 3. Addition der Exponenten: \(3 + \frac{6}{5} = \frac{15}{5} + \frac{6}{5} = \frac{21}{5}\). 4. Umwandlung in gemischte Schreibweise: \(\frac{21}{5} = 4 + \frac{1}{5}\), also \(-8 x^4 \sqrt[5]{x}\). 5. Begründung des Vorzeichens: Für \(x > 0\) ist \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\). Da der Koeffizient \(-8\) negativ ist, ist das Produkt aus einer negativen und zwei positiven Zahlen stets negativ.

1) \(-8x^4 \sqrt[5]{x}\) 2) Ja, der Term ist für alle \(x > 0\) negativ, da \(-8 < 0\), \(x^4 > 0\) und \(\sqrt[5]{x} > 0\) gilt.

- Überlege, wie du den Ausdruck in der Klammer zuerst vereinfachen kannst oder ob es leichter ist, die äußere Potenz zuerst anzuwenden. - Kannst du die Wurzel in eine andere Schreibweise umwandeln, um besser mit den Exponenten zu rechnen? - Welche Regeln kennst du für das Potenzieren von Produkten und Brüchen? - Wie verhalten sich eine dritte Wurzel und eine dritte Potenz zueinander?

1. Anwendung der Potenzregel \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \) auf die Klammer: \( \left( \frac{a^2}{b} \right)^3 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{b^2}{a^3}} \right)^3 \) 2. Potenzieren des ersten Bruchs: \( \frac{(a^2)^3}{b^3} = \frac{a^6}{b^3} \) 3. Auflösen der dritten Wurzel durch den Exponenten 3 beim zweiten Faktor: \( \frac{b^2}{a^3} \) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \( \frac{a^6}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^6 \cdot b^2}{b^3 \cdot a^3} \) 5. Kürzen der Variablen unter Verwendung der Potenzgesetze für die Division: \( a^{6-3} \cdot b^{2-3} = a^3 \cdot b^{-1} = \frac{a^3}{b} \)

\( \frac{a^3}{b} \)

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Könnte es helfen, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen? - Welches Potenzgesetz wendest du an, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird?

1. Umwandlung der Wurzeln in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) und \( \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} \). 2. Zusammenfassen des Zählers durch Addition der Exponenten: \( a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{2 + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \). 3. Vereinfachen des Bruchs innerhalb der Klammer durch Subtraktion der Exponenten: \( \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{4}{6}} = a^{\frac{11}{6}} \). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für das Potenzieren von Potenzen: \( \left( a^{\frac{11}{6}} \right)^6 = a^{\frac{11}{6} \cdot 6} = a^{11} \).

\( a^{11} \)

- Beginne damit, die Klammer im Zähler aufzulösen. Welches Gesetz hilft dir dabei? - Wie verrechnet man Exponenten, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was bedeutet ein negativer Exponent beim Subtrahieren im Nenner? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten 0.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte auf den Zähler: \((x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{-\frac{1}{2}})^4 = (x^{\frac{1}{4}})^4 \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^4\). 2. Multiplikation der Exponenten im Zähler: \(x^{\frac{1}{4} \cdot 4} \cdot y^{-\frac{1}{2} \cdot 4} = x^1 \cdot y^{-2}\). 3. Einsetzen in den ursprünglichen Bruch: \(\frac{x^1 \cdot y^{-2}}{x^1 \cdot y^{-3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division bei gleicher Basis: \(x^{1-1} \cdot y^{-2 - (-3)}\). 5. Verrechnung der Exponenten: \(x^0 \cdot y^1\). 6. Da \(x^0 = 1\) (für \(x \neq 0\)), ergibt sich als Endergebnis \(y\).

\(y\)

- Wie hängen Wurzeln und Brüche im Exponenten zusammen? - Was passiert mit dem Exponenten einer Zahl, wenn man sie unter eine Quadratwurzel zieht? - Welche Regel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie vereinfacht man einen Ausdruck, bei dem eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht?

1. Umwandlung in rationale Exponenten: Der Term wird als \((p^5 \cdot p^{1/2})^{1/2}\) geschrieben. Anwendung des Gesetzes \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ergibt \((p^{5{,}5})^{1/2}\). Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) führt zu \(p^{2{,}75}\). Da \(2{,}75 = \frac{11}{4}\), entspricht dies \(\sqrt[4]{p^{11}}\). 2. Einziehen unter die Wurzel: Der Faktor \(p^5\) wird als \(\sqrt{(p^5)^2} = \sqrt{p^{10}}\) unter die innere Wurzel gezogen, was zu \(\sqrt{\sqrt{p^{10} \cdot p}}\) führt. Mit \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}\) ergibt sich \(\sqrt[4]{p^{11}}\). Beide Wege bestätigen die Aussage.

Die Aussage ist korrekt. Beide Rechenwege führen zum Ergebnis \(\sqrt[4]{p^{11}}\).

- Überlege dir, wie man das Produkt zweier Potenzen mit derselben Basis zusammenfasst. - Hilft es dir, die Zahlen in der Basis (wie die 16) zuerst als Potenzen kleinerer Zahlen zu schreiben? - Kannst du die Terme so umformen, dass du sie ohne Taschenrechner direkt vergleichen kannst? - Achte bei Teilaufgabe a) darauf, die Brüche im Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der Wurzeln in Potenzen ergibt \((3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{6}})^{-3}\). Addition der Exponenten bei gleicher Basis: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Multiplikation mit dem äußeren Exponenten: \((3^{\frac{2}{3}})^{-3} = 3^{\frac{2}{3} \cdot (-3)} = 3^{-2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung von Term A: \(\sqrt[4]{16} = 2\), somit ist \(A = 2^3 = 8\). Berechnung von Term B: Umwandlung in Potenzen ergibt \((16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). Da \(8 > 4\), ist Term A größer als Term B.

a) \(\frac{1}{9}\) b) Term \(A\) ist größer (da \(8 > 4\)).

- Versuche zuerst, alle Wurzeln in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Nutze die Potenzgesetze, um die Exponenten im Zähler zu addieren und anschließend den Exponenten des Nenners zu subtrahieren. - Um den Wert für eine Zahl zu berechnen, ist es oft einfacher, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren.

1. Umwandlung aller Terme in Potenzschreibweise: \(\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}\), \(y^2\) bleibt, \(\sqrt{y^3} = y^{\frac{3}{2}}\). 2. Zusammenfassen des Zählers mittels Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}\). Der Zähler ist \(y^{\frac{7}{3}}\). 3. Division durch den Nenner mittels Subtraktion der Exponenten: \(\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{5}{6}\). Der vereinfachte Term lautet \(y^{\frac{5}{6}}\). Somit ist \(k = \frac{5}{6}\). 4. Einsetzen von \(y = 64\): \(T = 64^{\frac{5}{6}}\). Berechnung über die 6. Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\). Potenzieren des Ergebnisses: \(2^5 = 32\).

a) \(y^{\frac{5}{6}}\); b) \(32\)

- Kannst du die Differenz in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel für den Nenner? - Wie lassen sich Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzeln schreiben? - Versuche zuerst, den gesamten Term algebraisch zu vereinfachen, bevor du die Zahlenwerte einsetzt.

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Differenz in der Klammer: \((x^n - 1)(x^n + 1) = x^{2n} - 1\). 2. Erweiterung der Brüche und Subtraktion der Zähler: \(x^n(x^n + 1) - x^n(x^n - 1) = x^{2n} + x^n - x^{2n} + x^n = 2x^n\). 3. Vereinfachung des Klammerausdrucks zu \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1}\). 4. Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(\frac{2x^n}{x^{2n} - 1} \cdot \frac{x^{2n} - 1}{2} = x^n\). 5. Einsetzen der Werte \(x = 16\) und \(n = 0{,}75 = \frac{3}{4}\): \(16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8\).

1. \(T = x^n\) 2. \(8\)

- Versuche, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, um die Wurzeln leichter zu ziehen. - Erinnere dich daran, wie man Potenzen potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Zahl im Bruch? - Überlege, welche Zahl hoch Null welches Ergebnis liefert.

1. Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}125\) in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Berechnung der Potenz: \((2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^1 = 2\). 2. Berechnung des zweiten Faktors: \((0{,}25)^{0{,}5} = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\). Das Produkt des ersten Terms ergibt \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze auf den zweiten Summanden: \((3^2)^{1{,}5} = 3^{2 \cdot 1{,}5} = 3^3 = 27\). 4. Umwandlung der Wurzel in eine Potenz: \(\sqrt[4]{81^3} = (81^3)^{\frac{1}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3 = 3^3 = 27\). 5. Bestimmung des letzten Summanden: Jede Zahl ungleich Null hoch Null ergibt \(1\), also \((5{,}7)^0 = 1\). 6. Zusammenführung der Teilergebnisse: \(1 + 27 - 27 + 1 = 2\).

\(2\)

- Erinnere dich daran, wie man negative Exponenten in positive umwandelt. - Kannst du Terme im Zähler erst zusammenfassen, bevor du die Wurzel ziehst oder dividierst? - Behandle Ausdrücke in Klammern wie eine einzelne Basis. - Wie geht man vor, wenn im Exponenten einer Potenz eine Variable steht?

1. Teilaufgabe a): Umschreiben des Nenners \(\frac{1}{x^{-6}} = x^6\), dann \(\sqrt[3]{3^3 \cdot x^6} = 3 \cdot x^2\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der Wurzel im Nenner zu \((a^{3n} \cdot b^{2n})^{\frac{1}{n}} = a^3 \cdot b^2\), dann Invertierung zu \(a^{-3} \cdot b^{-2}\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation im Zähler ergibt \(\sqrt[3]{x^{2+7}} = \sqrt[3]{x^9} = x^3\). Division durch den Nenner \(x^3 : x^2 = x^1 = x\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung der Regel für rationale Exponenten auf die Differenz \((a-b)^{\frac{12}{4}} = (a-b)^3\).

a) \(3x^2\) b) \(a^{-3} \cdot b^{-2}\) oder \(\frac{1}{a^3 \cdot b^2}\) c) \(x\) d) \((a-b)^3\)

- Arbeite dich bei geschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du die Zahl \(8\) als eine Potenz mit der Basis \(2\) schreiben, um den Bruch im Exponenten zu vereinfachen? - Vergiss nicht, dass eine Variable im Nenner ohne sichtbaren Exponenten den Exponenten \(1\) hat. - Schreibe alle Faktoren als Potenzen derselben Basis und fasse die Exponenten zusammen.

1. Innere Wurzel als Potenz schreiben: \(\sqrt{a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{4}{3}}}\). Äußere Wurzel anwenden: \((a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}\) (oder \(\sqrt[3]{a^2}\)). 2. Zähler vereinfachen: \(8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 \cdot x^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\). Gesamter Bruch: \(\frac{4x^2}{4x} = x\). 3. Alle Terme als Potenzen zur Basis \(z\) schreiben: \(z^{-\frac{1}{2}} \cdot z^{\frac{6}{4}} \cdot z^{-1}\). Exponenten addieren: \(-\frac{2}{4} + \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = 0\). Ergebnis: \(z^0 = 1\).

a) \(a^{\frac{2}{3}}\) oder \(\sqrt[3]{a^2}\) b) \(x\) c) \(1\)

- Wie geht man vor, wenn eine Wurzel in einer anderen Wurzel steht? - Was passiert mit den Exponenten, wenn man eine Potenz nochmals potenziert? - Denke bei der binomischen Formel daran, wie sich Potenzen mit entgegengesetzten Vorzeichen im Exponenten beim Multiplizieren verhalten. - Hilft es dir, alle Terme auf eine gemeinsame Basis mit einem einzigen Exponenten zu bringen?

1. Teilaufgabe a: Die innere Wurzel wird als Potenz geschrieben: \(\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}\). Zusammenfassen unter der äußeren Wurzel ergibt \(\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}\). Die Anwendung der Regel für geschachtelte Wurzeln (oder Potenzieren von Potenzen) führt zu \((x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}\), was \(\sqrt[4]{x^3}\) entspricht. 2. Teilaufgabe b: Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \((y^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot y^{\frac{1}{3}} \cdot y^{-\frac{1}{3}} + (y^{-\frac{1}{3}})^2\). Durch Verrechnung der Exponenten erhält man \(y^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot y^0 + y^{-\frac{2}{3}}\). Da \(y^0 = 1\) ist, lautet das Ergebnis \(y^{\frac{2}{3}} + 2 + y^{-\frac{2}{3}}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung aller Terme in Potenzen ergibt \(z^{\frac{4}{3}} \cdot z^{-1} \cdot z^{-\frac{1}{6}}\). Die Addition der Exponenten mit dem Hauptnenner 6 führt zu \(\frac{8}{6} - \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}\). Das Ergebnis ist \(z^{\frac{1}{6}}\) bzw. \(\sqrt[6]{z}\).

a) \(x^{\frac{3}{4}}\) oder \(\sqrt[4]{x^3}\) b) \(y^{\frac{2}{3}} + 2 + y^{-\frac{2}{3}}\) c) \(z^{\frac{1}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{z}\)

- Es hilft oft, zuerst alle Wurzeln in Brüche im Exponenten umzuwandeln. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du einen negativen Exponenten im Nenner subtrahierst. - Bringe die Brüche in den Exponenten auf einen gemeinsamen Hauptnenner, um sie leichter verrechnen zu können.

1. Umwandlung beider Wurzeln in Potenzschreibweise: Zähler \((x^2 y)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}\), Nenner \((x y^{-1})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}\). 2. Trennung der Variablen nach Basen: \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{2}}}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes für die Division (Subtraktion der Exponenten): Für \(x\): \(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\). Für \(y\): \(\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(x^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{5}{6}}\).

\(x^{\frac{1}{6}} y^{\frac{5}{6}}\) oder \(\sqrt[6]{x \cdot y^5}\)

- Wie verändert sich der Term in der Formel, wenn du das Volumen durch das Achtfache des Volumens ersetzt? - Welches Gesetz erlaubt es dir, ein Produkt in der Klammer einzeln zu potenzieren? - Was bedeutet ein Exponent wie \(\frac{2}{3}\) konkret als Wurzel und Potenz? - Musst du die ursprüngliche Größe des Tanks kennen, um das Verhältnis zu bestimmen?

1. Sei \(V_1\) das ursprüngliche Volumen und \(O_1 = 6V_1^{\frac{2}{3}}\) die zugehörige Oberfläche. 2. Das neue Volumen ist \(V_2 = 8V_1\). 3. Einsetzen von \(V_2\) in die Formel: \(O_2 = 6 \cdot (8V_1)^{\frac{2}{3}}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(O_2 = 6 \cdot 8^{\frac{2}{3}} \cdot V_1^{\frac{2}{3}}\). 5. Berechnung des Faktors \(8^{\frac{2}{3}}\): \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\) (oder \((\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)). 6. Vergleich der Oberflächen: \(O_2 = 4 \cdot (6V_1^{\frac{2}{3}}) = 4O_1\). 7. Der Materialbedarf vervierfacht sich.

Der Oberflächeninhalt vergrößert sich um den Faktor \(4\).

- Kannst du Wurzeln in eine Potenzschreibweise umwandeln, um die Rechenregeln besser anwenden zu können? - Überlege dir, welche Potenzregel zuerst angewendet werden muss, wenn eine Klammer selbst noch eine Potenz hat. - Multipliziere Brüche, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Potenz der Klammer auflösen: \((xy^2)^3 = x^3y^6\). Dann ausmultiplizieren: \(x^3y^6 \cdot x^{-2}y^{-4} + x^3y^6 \cdot 3x^{-3}y^{-6} = x^1y^2 + 3x^0y^0 = xy^2 + 3\). 2. Teilaufgabe b): Wurzeln als Potenzen schreiben: \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) und \(\sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}}\). Ausmultiplizieren: \(a^{\frac{1}{2}} \cdot 2a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \cdot 4a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{4}{2}} - 4a^0 + a^0 = 2a^2 - 4 + 1 = 2a^2 - 3\). 3. Teilaufgabe c): Koeffizienten und Variablen getrennt verrechnen: \(\frac{2}{3} \cdot 6 u^0 v - \frac{2}{3} \cdot 9 u^2 v^0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^3 v^3 = 4v - 6u^2 + u^3v^3\).

a) \(xy^2 + 3\) b) \(2a^2 - 3\) c) \(4v - 6u^2 + u^3v^3\)

- Arbeite dich bei verschachtelten Wurzeln von innen nach außen vor. - Kannst du den Term unter der großen Wurzel zuerst vereinfachen? - Versuche bei Gleichungen mit Potenzen, beide Seiten auf dieselbe Basis zu bringen. - Wie hängen der Wurzelexponent und der Exponent im Radikanden mit dem Bruch im Exponenten der Potenz zusammen?

1. Schrittweise Auflösung von innen nach außen: \(\sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}}\). Anwendung der Regel \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\): \((x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}\). 2. Vereinfachung der inneren Wurzel: \(\sqrt[3]{y^6} = y^{6/3} = y^2\). Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(\sqrt[6]{y^4 \cdot y^2} = \sqrt[6]{y^6}\). Das Ergebnis ist \(y\). 3. Umwandlung beider Seiten in Potenzen zur Basis 5: \(5^{k/3} = 5^2\). Exponentenvergleich liefert die Gleichung \(\frac{k}{3} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(k = 6\).

a) \(x^{3/4}\) b) \(y\) c) \(k = 6\)

- Erinnere dich daran, dass \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) gilt. - Bei verschachtelten Wurzeln ist es oft hilfreich, von innen nach außen zu arbeiten. - Welche Rechenregel gilt für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Kannst du einen Wurzelexponenten und einen Potenzexponenten wie einen Bruch kürzen?

1. In Aufgabenteil a) wird die innere Wurzel als Potenz geschrieben: \(b \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{1 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}\). Die äußere Quadratwurzel entspricht dem Exponenten \(\frac{1}{2}\), also \((b^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{6}} = b^{\frac{2}{3}}\). Als einzelne Wurzel geschrieben ergibt dies \(\sqrt[3]{b^2}\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Radikand als Quadrat geschrieben: \(49p^2 = (7p)^2\). Der Ausdruck \(\sqrt[4]{(7p)^2}\) kann als Potenz \((7p)^{\frac{2}{4}}\) dargestellt werden. Kürzen des Bruchs im Exponenten führt zu \((7p)^{\frac{1}{2}}\), was der Quadratwurzel \(\sqrt{7p}\) entspricht. 3. In Aufgabenteil c) werden die Wurzeln der linken Seite als Potenzen geschrieben: \(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}\). Nach den Potenzgesetzen werden die Exponenten addiert: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Somit gilt \(2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\), was der rechten Seite der Gleichung entspricht.

a) \(\sqrt[3]{b^2}\) b) \(\sqrt{7p}\) c) Der Nachweis erfolgt über die Addition der Exponenten: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

- Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie lässt sie sich auf Terme mit Exponenten anwenden? - Wie hängen die Exponenten \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\) zusammen? - Kannst du die Wurzeln im zweiten Teil direkt im Kopf ziehen? - Was bedeutet ein rationaler Exponent wie \(\frac{1}{3}\) als Wurzel geschrieben?

1. Umschreiben des Zählers unter Ausnutzung der Potenzgesetze: \(x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2\) und \(y^{\frac{2}{3}} = (y^{\frac{1}{3}})^2\) 2. Anwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) auf den Zähler mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})\) im Bruch führt zum vereinfachten Term \(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\) 4. Einsetzen der Werte \(x = 27\) und \(y = 8\): \(27^{\frac{1}{3}} - 8^{\frac{1}{3}}\) 5. Berechnung der dritten Wurzeln: \(3 - 2 = 1\)

a) \( E = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}} \) (oder \( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} \)) b) \( 1 \)

- Es ist oft einfacher, verschachtelte Wurzeln von innen nach außen in Potenzen umzuwandeln. - Achte beim Vereinfachen der Brüche im Exponenten auf den Hauptnenner. - Prüfe im zweiten Teil, ob du die Zahl \(64\) als Potenz einer kleineren Basis (wie zum Beispiel \(2\)) schreiben kannst, um das Rechnen mit dem Bruch im Exponenten zu erleichtern.

1. Umschreiben des Terms mit rationalen Exponenten: \(T = \frac{(a^3 \cdot b^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{(a \cdot b)^{\frac{1}{3}}}\) 2. Auflösen der Klammern im Zähler und Nenner: \(T = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}}\) 3. Kürzen des Faktors \(b^{\frac{1}{3}}\) und Verrechnen der Exponenten von \(a\): \(a^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{7}{6}}\) 4. Einsetzen von \(a = 64\) in den vereinfachten Term: \(64^{\frac{7}{6}}\) 5. Berechnung des Werts: \(64 = 2^6\), also \((2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)

a) \(a^{\frac{7}{6}}\) (oder \(a\sqrt[6]{a}\)); b) \(128\)

- Es hilft oft, alle Wurzeln zuerst in Potenzen mit rationalen Exponenten umzuwandeln. - Wie lassen sich geschachtelte Ausdrücke (Wurzel in einer Wurzel) von innen nach außen auflösen? - Kannst du den Zähler und den Nenner zuerst separat zu jeweils einer Potenz zusammenfassen? - Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit derselben Basis dividiert.

1. Umwandlung aller Wurzeln im Zähler in Potenzen mit rationalen Exponenten: \( \sqrt{x \cdot x^{2/3}} = (x^{1 + 2/3})^{1/2} = (x^{5/3})^{1/2} \) 2. Vereinfachung des Zählers durch Multiplikation der Exponenten: \( x^{5/6} \) 3. Umwandlung des Nenners in eine Potenz: \( x^1 \cdot x^{1/6} = x^{1 + 1/6} = x^{7/6} \) 4. Anwendung der Divisionsregel für Potenzen (\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)): \( x^{5/6} {:} x^{7/6} = x^{5/6 - 7/6} = x^{-2/6} \) 5. Kürzen des Bruchs im Exponenten und Umwandlung in die Wurzelschreibweise: \( x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

\( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

- Kannst du den äußeren Exponenten auf die einzelnen Faktoren in der Klammer verteilen? - Erinnere dich daran, dass \( (\sqrt[3]{k})^6 \) dasselbe ist wie \( k^{\frac{6}{3}} \). - Wie gehst du vor, wenn du Brüche miteinander multiplizierst, in denen Potenzen vorkommen? - Achte darauf, Potenzen mit der gleichen Basis (wie \( x \) oder \( x-y \)) am Ende zusammenzufassen.

1. Anwendung des Potenzgesetzes \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) auf den gesamten Ausdruck: \( \left( \frac{x-y}{x} \right)^6 \cdot \left( \sqrt[3]{\frac{x^2}{x-y}} \right)^6 \). 2. Vereinfachen des ersten Teils: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \). 3. Vereinfachen des zweiten Teils durch Umwandlung der Wurzel in eine Potenz und Multiplikation der Exponenten: \( \left( \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{1}{3}} \right)^6 = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^{\frac{6}{3}} = \left( \frac{x^2}{x-y} \right)^2 \). 4. Quadrieren des Bruchs: \( \frac{(x^2)^2}{(x-y)^2} = \frac{x^4}{(x-y)^2} \). 5. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \( \frac{(x-y)^6}{x^6} \cdot \frac{x^4}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)^6 \cdot x^4}{x^6 \cdot (x-y)^2} \). 6. Kürzen gleicher Basen durch Subtraktion der Exponenten: \( (x-y)^{6-2} \cdot x^{4-6} = (x-y)^4 \cdot x^{-2} = \frac{(x-y)^4}{x^2} \).

\( \frac{(x-y)^4}{x^2} \)

- Könnte es helfen, alle Wurzeln zuerst in Potenzen umzuwandeln? - Wie gehst du vor, wenn du Potenzen mit unterschiedlichen Basen, aber verschachtelten Klammern hast? - Erinnere dich an das Gesetz für Potenzen von Potenzen. - Um am Ende eine einzige Wurzel zu erhalten, müssen die Exponenten den gleichen Nenner haben.

1. Darstellung mit rationalen Exponenten: \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot (b \cdot a^{-1})^{1/2} \right)^{1/3}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\): \(Q = \left( a^2 \cdot b^{-1} \cdot b^{1/2} \cdot a^{-1/2} \right)^{1/3}\). 3. Zusammenfassen der Exponenten mit \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(Q = \left( a^{2 - 1/2} \cdot b^{-1 + 1/2} \right)^{1/3} = \left( a^{3/2} \cdot b^{-1/2} \right)^{1/3}\). 4. Anwendung von \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \(Q = a^{1/2} \cdot b^{-1/6}\). 5. Angleichen der Nenner im Exponenten: \(a^{3/6} \cdot b^{-1/6} = \left( \frac{a^3}{b} \right)^{1/6}\). 6. Ergebnis als einzige Wurzel: \(\sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\). Alternativ kann dies als \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[6]{b}}\) geschrieben werden.

\(Q = \sqrt[6]{\frac{a^3}{b}}\)

- Versuche, alle Terme auf die gleiche Basis (hier die Basis 2) zu bringen. - Wie gehst du vor, wenn Brüche im Spiel sind? Kann man diese als Potenzen mit negativen Exponenten schreiben? - Vergleiche am Ende die Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung.

1. Teilaufgabe a): Umformung der linken Seite zur Basis 2: \(\sqrt{2 \cdot (2^2)^{1/3}} = \sqrt{2^1 \cdot 2^{2/3}} = \sqrt{2^{5/3}} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{5/6}\). Umformung der rechten Seite zur Basis 2: \(\sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[3]{2^{5/2}} = (2^{5/2})^{1/3} = 2^{5/6}\). Da beide Seiten den Wert \(2^{5/6}\) ergeben, ist die Gleichheit gezeigt. 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). Einsetzen in den Term: \(\sqrt[3]{2^{-1} \cdot \sqrt{2^{-1}}} = \sqrt[3]{2^{-1} \cdot 2^{-1/2}}\). Zusammenfassen der Exponenten unter der Wurzel: \(-1 + (-1/2) = -3/2\). Anwendung der äußeren Wurzel: \((2^{-3/2})^{1/3} = 2^{-1/2}\). Vergleich mit \(2^k\) ergibt \(k = -1/2\) bzw. \(k = -0{,}5\).

a) Beide Seiten ergeben nach Umformung \(2^{5/6}\). b) \(k = -\frac{1}{2}\) (also \(k = -0{,}5\)).

- Versuche, beide Seiten der Gleichung in die Form \(a^{\text{Bruch}}\) zu bringen. - Was bedeutet ein Bruchstrich für die Exponenten der Potenzen? - Gehe Schritt für Schritt vor, indem du zuerst den Ausdruck unter der großen Wurzel vereinfachst.

1. Linke Seite der Gleichung schrittweise umformen: \(\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}\). 2. Multiplikation unter der Quadratwurzel: \(a^1 \cdot a^{3/4} = a^{7/4}\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \((a^{7/4})^{1/2} = a^{7/8}\). 4. Vergleich mit der rechten Seite: \(\sqrt[8]{a^7} = a^{7/8}\). Die Gleichung ist wahr. 5. Vereinfachung des zweiten Terms: Den Bruch unter der vierten Wurzel vereinfachen: \(\frac{z}{z^{1/2}} = z^{1 - 1/2} = z^{1/2}\). 6. Anwendung der vierten Wurzel auf das Ergebnis: \((z^{1/2})^{1/4} = z^{1/8}\). 7. Endergebnis als Wurzel: \(\sqrt[8]{z}\).

Die Gleichung ist wahr, da beide Seiten vereinfacht \(a^{7/8}\) ergeben. Der zweite Term vereinfacht sich zu \(\sqrt[8]{z}\).

- Wie lassen sich negative Exponenten als Brüche darstellen? - Kannst du den Nenner des großen Bruchs als einen einzigen Bruch schreiben? - Was passiert, wenn man eine Potenz mit einem weiteren Exponenten potenziert? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn die Basis ein Produkt wie \((x \cdot y)\) ist?

1. Den Nenner des großen Bruchs umschreiben: \(x^{-k} + y^{-k} = \frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k}\). 2. Die Brüche im Nenner addieren: \(\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} = \frac{y^k + x^k}{x^k \cdot y^k}\). 3. Den Doppelbruch vereinfachen: \(\frac{x^k + y^k}{\frac{x^k + y^k}{x^k y^k}} = (x^k + y^k) \cdot \frac{x^k y^k}{x^k + y^k} = x^k y^k\). 4. Den äußeren Exponenten auf das Ergebnis \((xy)^k\) anwenden: \(((xy)^k)^{-\frac{1}{k}} = (xy)^{k \cdot \left(-\frac{1}{k}\right)} = (xy)^{-1} = \frac{1}{xy}\). 5. Die Werte \(x = 0{,}25\) und \(y = 8\) einsetzen: \(\frac{1}{0{,}25 \cdot 8} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Vereinfachter Term: \(\frac{1}{xy}\). Numerischer Wert: \(0{,}5\).

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Darstellung als Bruch? - Kannst du innerhalb der Klammer einen gemeinsamen Nenner finden? - Achte darauf, wie sich Ausdrücke kürzen lassen, wenn du Faktoren außerhalb der Klammer einbeziehst. - Wie hängen \(x^{0{,}5}\) und die Quadratwurzel zusammen?

1. Zusammenfassen der Brüche in der Klammer durch den Hauptnenner \((a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) = a^{-2n} - b^{-2n}\). 2. Berechnung des Zählers: \(a^{-n}(a^{-n} + b^{-n}) - a^{-n}(a^{-n} - b^{-n}) = a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} - a^{-2n} + a^{-n}b^{-n} = 2a^{-n}b^{-n}\). 3. Multiplikation des Ergebnisses \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}\) mit dem Faktor \((a^{-n} + b^{-n})\) ergibt \(\frac{2a^{-n}b^{-n}}{a^{-n} - b^{-n}}\). 4. Umformung negativer Exponenten in Brüche: \(\frac{2 \cdot \frac{1}{a^n b^n}}{\frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n}} = \frac{\frac{2}{a^n b^n}}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}}\). 5. Kürzen des Terms zu \(\frac{2}{b^n - a^n}\). 6. Einsetzen der Werte \(a = 4, b = 25, n = 0{,}5\): \(\frac{2}{25^{0{,}5} - 4^{0{,}5}} = \frac{2}{\sqrt{25} - \sqrt{4}} = \frac{2}{5 - 2} = \frac{2}{3}\).

Vereinfachter Term: \(\frac{2}{b^n - a^n}\); Wert: \(\frac{2}{3}\)

- Kannst du den Ausdruck \(x - y\) so umschreiben, dass er wie eine Differenz von dritten Potenzen aussieht? - Vergleiche die Struktur des Zählers mit der des Nenners. Gibt es dort Gemeinsamkeiten, wenn du \(x\) als \((x^{1/3})^3\) betrachtest? - Vereinfache zuerst den gesamten Inhalt der Klammer, bevor du den äußeren Faktor einbeziehst. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst?

1. Den Zähler \(x - y\) als Differenz von Kubikzahlen auffassen: \(x - y = (x^{\frac{1}{3}})^3 - (y^{\frac{1}{3}})^3\). 2. Anwendung der Faktorformel für die Differenz zweier Kuben \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) mit \(a = x^{\frac{1}{3}}\) und \(b = y^{\frac{1}{3}}\): \(x - y = (x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})\). 3. Einsetzen in den Bruch und Kürzen: Der Nenner entspricht genau dem zweiten Faktor des Zählers, woraus folgt: \(\frac{x - y}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}} = x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks in der Klammer: \((x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) + y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}}\). 5. Abschließende Multiplikation: \(x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} = x^0 = 1\).

\(1\)