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- Vergleiche zuerst, welche Elemente in beiden Mengen vorkommen. - Nimm für die zweite gesuchte Menge jedes passende Element nur einmal auf.

1. Das einzige Element von \(A\) ist \(A\), und dieses liegt auch in \(B\). 2. Daher ist \(A\cap B=\{A\}\). 3. Alle Elemente aus mindestens einer der beiden Mengen sind \(K,L,A\). 4. Somit ist \(A\cup B=\{K,L,A\}\).

\(A\cap B=\{A\}\) und \(A\cup B=\{K,L,A\}\).

- Schreibe beide Ereignisse zunächst als Mengen auf. - Prüfe anschließend jedes Würfelergebnis auf die beiden Verknüpfungen.

1. Es gilt \(A=\{2,4,6\}\) und \(B=\{4,5,6\}\). 2. Gemeinsame Ergebnisse sind \(4\) und \(6\), also \(A\cap B=\{4,6\}\). 3. Ergebnisse in mindestens einer Menge sind \(2,4,5,6\), also \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\).

\(A\cap B=\{4,6\}\), \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\).

- Kannst du die Informationen in einem Diagramm (z. B. mit überlappenden Kreisen) darstellen? - Was passiert, wenn man die Zahlen für Französisch und Italienisch einfach addiert? Warum ist das Ergebnis noch nicht die Lösung? - Wie viele Kinder sind insgesamt an der Schule und wie viele davon lernen mindestens eine der beiden Sprachen?

1. Berechnung der Kinder, die mindestens eine Fremdsprache lernen (Vereinigungsmenge): \(94 + 66 - 25 = 135\) 2. Berechnung der Kinder, die keine Sprache lernen (Komplementärmenge): \(255 - 135 = 120\)

\(120\) Kinder lernen keine zusätzliche Fremdsprache.

- Welche Information aus dem Text gibt die Gesamtzahl der Fußballspieler an? - Was bedeutet es mathematisch, wenn jemand in beiden Sportgruppen gleichzeitig ist? - Wie hängen die Gruppe der „Nur-Fußballer“ und die Gruppe derjenigen, die Fußball und Tennis spielen, mit der Gesamtgruppe der Fußballspieler zusammen?

1. Bestimmung der gegebenen Werte: Die Anzahl der Fußballspieler ist \(H(F) = 75\). Die Anzahl derer, die sowohl Fußball als auch Tennis spielen, entspricht der Schnittmenge, also \(H(F \cap T) = 18\). 2. Anwendung der Differenzmenge: Die Menge der Personen, die Fußball, aber kein Tennis spielen, wird durch \(F \setminus T\) beschrieben. 3. Berechnung der absoluten Häufigkeit: Da \(F \cap T\) eine Teilmenge von \(F\) ist, gilt \(H(F \setminus T) = H(F) - H(F \cap T)\). 4. Einsetzen der Werte: \(H(F \setminus T) = 75 - 18 = 57\).

Es spielen \(57\) Mitglieder Fußball, aber kein Tennis. Die Berechnung lautet: \(H(F \setminus T) = H(F) - H(F \cap T) = 75 - 18 = 57\).

- Was bedeutet es für die Überlappung zweier Kreise im Venn-Diagramm, wenn sie disjunkt sind? - Überlege dir, welche Elemente weggenommen werden, wenn man eine Menge von einer anderen abzieht. - Was genau befindet sich im Bereich „nicht \(N\)“ (\(\bar{N}\)), wenn \(N\) keine gemeinsamen Elemente mit \(M\) hat?

1. Definition der Schnittmenge bei Disjunktheit: Da \(M\) und \(N\) keine gemeinsamen Elemente haben, ist die Schnittmenge die leere Menge: \(M \cap N = \emptyset\). 2. Vereinfachung der Differenzmenge: \(M \setminus N\) enthält alle Elemente, die in \(M\), aber nicht in \(N\) sind. Da kein Element aus \(M\) in \(N\) liegt, bleiben alle Elemente von \(M\) erhalten: \(M \setminus N = M\). 3. Untersuchung der Teilmengenbeziehung: Das Komplement \(\bar{N}\) enthält alle Elemente der Grundmenge \(G\), die nicht in \(N\) liegen. Da \(M\) und \(N\) disjunkt sind, liegt jedes Element von \(M\) per Definition nicht in \(N\). Somit ist jedes Element von \(M\) ein Element von \(\bar{N}\), woraus folgt: \(M \subseteq \bar{N}\). Die Aussage ist korrekt.

a) \(M \cap N = \emptyset\) b) \(M \setminus N = M\), da keine Elemente von \(N\) aus \(M\) entfernt werden können. c) Die Aussage ist korrekt, da alle Elemente von \(M\) außerhalb von \(N\) liegen müssen.

- Schreibe zuerst alle Zahlen auf, die in die jeweilige Menge gehören. - Überlege dir, was das Symbol für die Schnittmenge grafisch bedeuten könnte. - Was passiert bei der Vereinigung mit Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen? - Gibt es eine systematische Art, alle Teiler einer Zahl zu finden?

1. Bestimmung der Elemente von \(A\): \(A = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\). 2. Bestimmung der Elemente von \(B\): \(B = \{4; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\). 3. Ermittlung der Schnittmenge durch Identifikation gemeinsamer Elemente: \(A \cap B = \{4; 8; 12; 24\}\). 4. Ermittlung der Vereinigungsmenge durch Zusammenfassen aller eindeutigen Elemente beider Mengen: \(A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\).

\(A \cap B = \{4; 8; 12; 24\}\) \(A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 20; 24; 28\}\)

- Überlege dir für jede Beschreibung, welche Fälle (A tritt ein, B tritt ein, beide, keines) abgedeckt sind. - Das Wort „oder“ deutet in der Mathematik oft auf eine Vereinigung hin. - Das Wort „und“ deutet auf eine Schnittmenge hin. - Erinnere dich daran, was der Überstrich über einem Ereignis bedeutet.

1. Die Beschreibung „beide treten gleichzeitig ein“ verlangt, dass sowohl \(A\) als auch \(B\) eintreten, was der Schnittmenge \(A \cap B\) entspricht. Ergebnis: \(P(A \cap B)\). 2. „Mindestens eines“ bedeutet \(A\) oder \(B\) (oder beide), was die Vereinigungsmenge \(A \cup B\) beschreibt. Ergebnis: \(P(A \cup B)\). 3. „Keines der beiden“ bedeutet, dass weder \(A\) noch \(B\) eintritt, also das Komplement der Vereinigung \(\overline{A \cup B}\), was nach De Morgan \(\bar{A} \cap \bar{B}\) entspricht. Ergebnis: \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\). 4. „Höchstens eines“ ist das Gegenereignis zu „beide treten ein“. Dies entspricht \(\overline{A \cap B}\), was nach De Morgan \(\bar{A} \cup \bar{B}\) ist. Ergebnis: \(P(\bar{A} \cup \bar{B})\).

1. \(P(A \cap B)\) 2. \(P(A \cup B)\) 3. \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\) 4. \(P(\bar{A} \cup \bar{B})\)

- Überlege dir zuerst alle Paare, deren Summe 8 ergibt. - Was bedeutet das mathematische Zeichen für die Schnittmenge zweier Ereignisse? - Welche Ergebnisse aus der ersten Liste enthalten die Zahl 5? - Wenn du etwas aus einer Menge abziehst, was bleibt dann übrig?

1. Bestimmung von \(A\): Die Paare mit der Summe 8 sind \((2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3)\) und \((6; 2)\). Somit ist \(A = \{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\). 2. Bestimmung von \(A \cap B\): Gesucht sind Ergebnisse aus \(A\), die mindestens eine 5 enthalten. Dies trifft auf \((3; 5)\) und \((5; 3)\) zu. Also \(A \cap B = \{(3; 5); (5; 3)\}\). 3. Bestimmung von \(A \setminus B\): Es werden alle Ergebnisse aus \(A\) entfernt, die eine 5 enthalten. Übrig bleiben \((2; 6); (4; 4)\) und \((6; 2)\). In Worten bedeutet dies: „Die Augensumme ist 8 und es wurde keine 5 gewürfelt“.

a) \(A = \{(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)\}\) b) \(A \cap B = \{(3; 5); (5; 3)\}\) c) Beschreibung: Die Augensumme ist 8, aber es wurde keine 5 gewürfelt. Ergebnisse: \(\{(2; 6); (4; 4); (6; 2)\}\).

- Liste die beiden Mengen vollständig und geordnet auf. - Achte darauf, gemeinsame Elemente in der Vereinigung nicht doppelt zu schreiben.

1. \(A=\{4,8,12,16,20\}\). 2. \(B=\{1,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}\). 3. Gemeinsam sind \(12\) und \(16\), also \(A\cap B=\{12,16\}\). 4. Zusammengefasst ergibt sich \(A\cup B=\{1,4,8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}\).

\(A\cap B=\{12,16\}\) und \(A\cup B=\{1,4,8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}\).

- Überlege, welche Bedeutung „oder“ und welche Bedeutung „und“ bei Mengen haben. - Prüfe, ob in Miras Ergebnis Elemente fehlen, die nur in einer Menge liegen.

1. Die Menge \(\{3,5\}\) enthält nur die gemeinsamen Elemente und ist daher die Schnittmenge. 2. Es gilt \(A\cap B=\{3,5\}\). 3. Für die Vereinigungsmenge werden alle Elemente aus \(A\) oder \(B\) aufgenommen. 4. Somit ist \(A\cup B=\{1,3,4,5,6,7\}\).

Mira hat Schnitt- und Vereinigungsmenge verwechselt. Richtig sind \(A\cap B=\{3,5\}\) und \(A\cup B=\{1,3,4,5,6,7\}\).

- Ordne jeden Film zunächst den beiden Ereignissen zu. - Unterscheide „beide Merkmale“ von „mindestens ein Merkmal“.

1. \(A=\{F_1,F_2,F_5\}\) und \(B=\{F_1,F_3,F_5\}\). 2. In beiden Mengen liegen \(F_1\) und \(F_5\), also \(A\cap B=\{F_1,F_5\}\). 3. Mindestens eines der Merkmale besitzen \(F_1,F_2,F_3,F_5\), also \(A\cup B=\{F_1,F_2,F_3,F_5\}\).

\(A\cap B=\{F_1,F_5\}\) und \(A\cup B=\{F_1,F_2,F_3,F_5\}\).

- Bestimme zuerst sorgfältig alle Primzahlen im Ergebnisraum. - Ordne dann jedes Ergebnis danach, ob es in einer oder in beiden Mengen liegt.

1. \(A=\{2,3,5,7,11\}\) und \(B=\{9,10,11,12\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(11\), also \(A\cap B=\{11\}\). 3. Alle Ergebnisse aus mindestens einer Menge sind \(2,3,5,7,9,10,11,12\). 4. Daher ist \(A\cup B=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\).

\(A\cap B=\{11\}\), \(A\cup B=\{2,3,5,7,9,10,11,12\}\).

- Übersetze beide Aussagen in Ergebnismengen. - Beachte die Reihenfolge der beiden Würfe.

1. \(A=\{KK,KZ\}\) und \(B=\{KZ,ZK\}\). 2. Das gemeinsame Ergebnis ist \(KZ\), also \(A\cap B=\{KZ\}\). 3. In mindestens einem Ereignis liegen \(KK,KZ,ZK\), also \(A\cup B=\{KK,KZ,ZK\}\).

\(A\cap B=\{KZ\}\) und \(A\cup B=\{KK,KZ,ZK\}\).

- Bestimme beide Grundmengen unabhängig voneinander. - Prüfe jede Aussage einzeln statt nur eine auszuwählen.

1. Die Quadratzahlen sind \(A=\{4,9\}\), die ungeraden Zahlen sind \(B=\{3,5,7,9\}\). 2. Gemeinsam ist nur \(9\), daher ist Aussage I richtig. 3. Die Vereinigung ist \(\{3,4,5,7,9\}\), daher ist auch Aussage II richtig. 4. Aussage III ist falsch, weil \(4\) nicht ungerade ist.

Die Aussagen I und II sind richtig; Aussage III ist falsch.

- Übersetze die Zeichen nacheinander in Alltagssprache. - Achte darauf, dass „oder“ in der Mathematik auch den gemeinsamen Fall einschließt.

1. \(A\cap B\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt einen Stern. 2. \(A\cup B\) bedeutet: Das Los ist blau oder trägt einen Stern oder erfüllt beides. 3. \(A\cap \overline{B}\) bedeutet: Das Los ist blau und trägt keinen Stern.

a) blau und mit Stern b) blau oder mit Stern oder beides c) blau und ohne Stern

- Was bedeutet die Information „insgesamt ... an mindestens einer der beiden“ für die Verknüpfung der Mengen? - Wenn du die Mitglieder beider Gruppen addierst, warum ist das Ergebnis größer als die Gesamtzahl der Teilnehmer? - Wie kannst du die Gruppe der Chormitglieder in zwei getrennte Teile zerlegen?

1. Verwendung der Additionsregel für Mengen: Die Anzahl der Schüler in der Vereinigungsmenge berechnet sich durch \(H(A \cup B) = H(A) + H(B) - H(A \cap B)\). 2. Berechnung der Schnittmenge: Umstellen der Formel nach \(H(A \cap B)\) ergibt \(H(A \cap B) = H(A) + H(B) - H(A \cup B)\). Einsetzen der Werte: \(45 + 32 - 60 = 17\). Es sind also \(17\) Schüler in beiden AGs. 3. Berechnung der Differenzmenge: Die Anzahl der Schüler, die nur im Chor sind, berechnet sich durch \(H(B \setminus A) = H(B) - H(A \cap B)\). 4. Einsetzen der Werte: \(32 - 17 = 15\).

Es sind \(17\) Schüler in beiden AGs (\(H(A \cap B) = 17\)). Die Anzahl der Schüler, die ausschließlich im Chor sind, beträgt \(15\) (\(H(B \setminus A) = 15\)).

- Kannst du dir drei Mengen vorstellen, bei denen \(B\) weder \(A\) noch \(C\) schneidet, während sich \(A\) und \(C\) überschneiden? - Was passiert mit einer Menge, wenn man eine andere Menge abzieht, die gar keine gemeinsamen Elemente mit ihr hat? - Erinnere dich an die Definition von paarweise disjunkt.

1. Prüfung der Transitivität: Die Aussage ist falsch. Disjunktheit ist nicht transitiv. Gegenbeispiel: \(A = \{1\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{1\}\). Hier gilt \(A \cap B = \emptyset\) und \(B \cap C = \emptyset\), aber \(A \cap C = \{1\} \neq \emptyset\). 2. Analyse der Menge \((A \cup C) \cap \bar{B}\): Die Menge \(A \cup C\) umfasst alle Elemente in \(A\) oder \(C\). Die Schnittmenge mit \(\bar{B}\) schließt alle Elemente aus, die in \(B\) liegen. Da jedoch \(A \cap B = \emptyset\) und \(C \cap B = \emptyset\) gegeben sind, enthält \(A \cup C\) ohnehin keine Elemente von \(B\). Somit gilt: \((A \cup C) \cap \bar{B} = A \cup C\). 3. Vereinfachung bei paarweiser Disjunktheit: Der Ausdruck \((A \cup B \cup C) \setminus B\) entfernt alle Elemente von \(B\) aus der Vereinigung. Da die Mengen paarweise disjunkt sind, liegen keine Elemente von \(A\) oder \(C\) in \(B\). Es bleibt die Vereinigung der restlichen Mengen übrig: \(A \cup C\).

a) Falsch. \(A\) und \(C\) können eine Schnittmenge haben, solange beide nicht mit \(B\) überlappen. b) Die Menge entspricht der gesamten Vereinigung \(A \cup C\). c) \(A \cup C\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 20 sind Primzahlen? Erinnere dich an die Definition. - Gehe die Dreierreihe durch, um die zweite Menge zu füllen. - Was bedeutet es für ein Ergebnis, wenn es in der Schnittmenge liegt? - Musst du Zahlen, die in beiden Ereignissen vorkommen, doppelt in die Vereinigungsmenge schreiben?

1. Definition der Ergebnismenge von \(E_1\) (Primzahlen bis \(20\)): \(E_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). 2. Definition der Ergebnismenge von \(E_2\) (Vielfache von \(3\) bis \(20\)): \(E_2 = \{3; 6; 9; 12; 15; 18\}\). 3. Bildung der Schnittmenge \(E_1 \cap E_2\): Einzige Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist \(3\). Somit \(E_1 \cap E_2 = \{3\}\). 4. Bildung der Vereinigungsmenge \(E_1 \cup E_2\): Alle Zahlen aus beiden Mengen ohne Dopplungen: \(E_1 \cup E_2 = \{2; 3; 5; 6; 7; 9; 11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\).

\(E_1 \cap E_2 = \{3\}\) \(E_1 \cup E_2 = \{2; 3; 5; 6; 7; 9; 11; 12; 13; 15; 17; 18; 19\}\)

- Skizziere beide Mengen auf einem Zahlenstrahl. Wo überlappen sie sich? - Welchen Bereich decken beide Mengen zusammen ab, wenn man sie vereinigt? - Achte besonders auf die Randpunkte: Gehören sie zur Menge oder nicht? - Wie ändern sich die Klammern in der Intervallschreibweise bei „kleiner“ gegenüber „kleiner gleich“?

1. Analyse von \(M_1\): Das Intervall reicht von \(-2\) (einschließlich) bis \(5\) (ausschließlich), also \([-2; 5)\). 2. Analyse von \(M_2\): Das Intervall reicht von \(3\) (ausschließlich) bis \(8\) (einschließlich), also \((3; 8]\). 3. Bestimmung der Schnittmenge \(M_1 \cap M_2\): Die Zahlen müssen beide Bedingungen erfüllen. Dies gilt für alle \(x\) mit \(3 < x < 5\). In Intervallschreibweise: \((3; 5)\). 4. Bestimmung der Vereinigungsmenge \(M_1 \cup M_2\): Die Zahlen müssen mindestens eine Bedingung erfüllen. Der Bereich erstreckt sich lückenlos von \(-2\) bis \(8\). Dies gilt für alle \(x\) mit \(-2 \leq x \leq 8\). In Intervallschreibweise: \([-2; 8]\).

\(M_1 \cap M_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid 3 < x < 5\}\) (bzw. \((3; 5)\)) \(M_1 \cup M_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 8\}\) (bzw. \([-2; 8]\))

- Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse im Venn-Diagramm nicht zu dem Ereignis gehören dürfen. - Was bedeutet „höchstens“ im mathematischen Sinne? Sind null Ereignisse auch erlaubt? - Wie hängen das Gegenereignis und die ursprüngliche Menge zusammen? - Wann kann ein Ereignis niemals eintreten?

1. Analyse der verbalen Beschreibung: „Höchstens eines“ bedeutet, dass entweder keines der beiden Ereignisse eintritt oder genau eines der beiden (entweder nur \(A\) oder nur \(B\)). Ausgeschlossen ist lediglich der Fall, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. 2. Formale Darstellung (Variante 1): Da nur das gleichzeitige Eintreten beider Ereignisse (\(A \cap B\)) ausgeschlossen ist, lässt sich \(E\) als Komplement der Schnittmenge schreiben: \(E = \overline{A \cap B}\). 3. Formale Darstellung (Variante 2): Alternativ kann man die drei zulässigen Fälle vereinigen: \(E = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\). 4. Bedingung für das sichere Ereignis: Damit \(E = \Omega\) gilt, muss sein Komplement die leere Menge sein. Da \(\overline{E} = A \cap B\), folgt: \(A \cap B = \emptyset\). Die Ereignisse \(A\) und \(B\) müssen also unvereinbar (disjunkt) sein.

a) Zu \(E\) gehören die Fälle: „Nur \(A\) tritt ein“, „Nur \(B\) tritt ein“ und „Weder \(A\) noch \(B\) tritt ein“. b) Mögliche Darstellungen sind \(E = \overline{A \cap B}\) oder \(E = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\). c) Das Ereignis \(E\) ist das sichere Ereignis, wenn \(A\) und \(B\) unvereinbar sind, also \(A \cap B = \emptyset\) gilt.

- Erstelle am besten eine kleine Tabelle oder ein Baumdiagramm, um kein Ergebnis zu vergessen. - Berechne für jedes mögliche Paar sowohl die Summe als auch das Produkt. - Prüfe für jedes Paar einzeln, ob es die Bedingung für \(E\), für \(F\), für beide oder für keines erfüllt. - Wie würdest du jemandem erklären, was in \(F\) drin ist, aber gerade nicht in \(E\)?

1. Ergebnismenge \(S\): Kombinationen aus Rad 1 \(\{1; 2; 3; 4\}\) und Rad 2 \(\{1; 2\}\). \(S = \{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\). 2. Ereignis \(E\) (Summe ungerade): \((1; 2); (2; 1); (3; 2); (4; 1)\). 3. Ereignis \(F\) (Produkt \(> 4\)): Nur \((3; 2)\) mit \(3 \cdot 2 = 6\) und \((4; 2)\) mit \(4 \cdot 2 = 8\) erfüllen dies. \(F = \{(3; 2); (4; 2)\}\). 4. Schnittmenge \(E \cap F\): Nur das Ergebnis \((3; 2)\) liegt in beiden Mengen. 5. Differenzmengen: \(E \setminus F = \{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\). \(F \setminus E = \{(4; 2)\}\). 6. Beschreibung \(F \setminus E\): Das Produkt der Zahlen ist größer als 4, aber ihre Summe ist gerade (nicht ungerade).

a) \(S = \{(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)\}\) b) \(E \cap F = \{(3; 2)\}\) c) \(E \setminus F = \{(1; 2); (2; 1); (4; 1)\}\); \(F \setminus E = \{(4; 2)\}\). Beschreibung für \(F \setminus E\): Das Produkt der Zahlen ist größer als 4 und ihre Summe ist gerade.

- Arbeite getrennt mit Elementen nur aus der Vereinigung und Elementen aus der Schnittmenge. - Prüfe am Ende beide vorgegebenen Gleichungen mit deiner Menge.

1. Die Elemente \(b,d,f\) liegen nicht in \(A\), aber in der Vereinigung; sie müssen daher in \(B\) liegen. 2. Die Elemente \(c,e\) gehören laut Schnittmenge ebenfalls zu \(B\). 3. Die Elemente \(a,g\) dürfen nicht zu \(B\) gehören, sonst wären sie Teil der Schnittmenge. 4. Damit ist eindeutig \(B=\{b,c,d,e,f\}\).

\(B=\{b,c,d,e,f\}\).

- Berechne die Quersumme jedes Codes systematisch. - Halte gemeinsame Elemente beim Zusammenführen nur einmal fest.

1. Gerade Quersumme haben \(A=\{11,13,15,17,19\}\). 2. Durch \(3\) teilbar sind \(B=\{12,15,18\}\). 3. Gemeinsam ist \(15\), also \(A\cap B=\{15\}\). 4. Die Vereinigung lautet \(A\cup B=\{11,12,13,15,17,18,19\}\).

\(A\cap B=\{15\}\), \(A\cup B=\{11,12,13,15,17,18,19\}\).

- Lege für jedes Merkmal eine Menge an. - Für „genau eines“ musst du die gemeinsamen Titel ausschließen.

1. Mit \(A=\{T_1,T_4,T_6\}\) und \(B=\{T_2,T_4,T_5,T_6\}\) gilt \(A\cap B=\{T_4,T_6\}\). 2. Die Vereinigung ist \(A\cup B=\{T_1,T_2,T_4,T_5,T_6\}\). 3. Genau ein Merkmal besitzen die Elemente der Vereinigung ohne die Schnittmenge: \(\{T_1,T_2,T_5\}\).

a) \(T_4,T_6\) b) \(T_1,T_2,T_4,T_5,T_6\) c) \(T_1,T_2,T_5\)

- Überlege dir alle Paarkombinationen, die möglich sind, wenn mindestens zwei Dinge passieren sollen. - Gibt es eine Situation, in der zwei Ereignisse eintreten, aber das dritte nicht? Was bedeutet das für die Behauptung in Teil b)? - Wie kann man aus der Menge „mindestens zwei“ den Fall „alle drei“ entfernen?

1. Darstellung von „Mindestens zwei“: Das Ereignis tritt ein, wenn entweder \(A\) und \(B\), \(A\) und \(C\) oder \(B\) und \(C\) (oder alle drei) eintreten. Formal: \(E = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\). 2. Prüfung der Behauptung: Die Behauptung ist falsch. Damit \(E\) eintritt, reicht es, wenn zum Beispiel nur \(A\) und \(B\) eintreten, \(C\) jedoch nicht. In diesem Fall tritt \(E\) ein, aber \(F = A \cap B \cap C\) tritt nicht ein, da \(C\) nicht eingetreten ist. \(F\) ist eine Teilmenge von \(E\), aber nicht umgekehrt. 3. Darstellung von „Genau zwei“: Man nimmt das Ereignis „Mindestens zwei“ (\(E\)) und schließt den Fall aus, dass alle drei eintreten. Formal: \(G = E \setminus (A \cap B \cap C)\) bzw. \(G = ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \setminus (A \cap B \cap C)\).

a) \(E = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\). b) Die Behauptung ist falsch. Wenn beispielsweise nur \(A\) und \(B\) eintreten, aber \(C\) nicht, ist \(E\) erfüllt, aber \(A \cap B \cap C\) nicht. c) \(G = ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \setminus (A \cap B \cap C)\).

- Halte zuerst fest, welche Elemente zwingend in beiden Mengen liegen. - Verteile die übrigen Elemente der Vereinigung so, dass keines zusätzlich gemeinsam wird.

1. Die Elemente \(2\) und \(6\) müssen in beiden Mengen liegen. 2. Die Elemente \(1,4,7\) müssen jeweils in mindestens einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. 3. Eine Möglichkeit ist \(A=\{1,2,4,6\}\), \(B=\{2,6,7\}\). 4. Eine zweite Möglichkeit ist \(A=\{1,2,6,7\}\), \(B=\{2,4,6\}\). 5. Weitere Aufteilungen von \(1,4,7\) auf genau eine der beiden Mengen sind ebenfalls möglich.

Zum Beispiel \(A=\{1,2,4,6\}\), \(B=\{2,6,7\}\) und \(A=\{1,2,6,7\}\), \(B=\{2,4,6\}\).