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- Was weißt du über die Summe der Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis und seinem Gegenereignis? - Es hilft, wenn du beide Zahlen im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahl) vergleichst. - Was müsste passieren, damit eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten „möglich“ ist?

1. Umrechnung des Bruchs in einen Dezimalbruch: \(P(B) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 2. Anwendung der Regel für Gegenereignisse: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses muss genau \(1\) (bzw. \(100\,\%\)) ergeben: \(P(B) + P(\bar{B}) = 1\). 3. Berechnung der Summe der gegebenen Werte: \(0{,}375 + 0{,}65 = 1{,}025\). 4. Vergleich mit dem Sollwert: Da \(1{,}025 \neq 1\), ist die Summe größer als \(100\,\%\). Die Behauptung ist somit mathematisch nicht möglich.

Nein, die Behauptung kann nicht wahr sein. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen genau \(1\) ergeben. Hier ist die Summe jedoch \(0{,}375 + 0{,}65 = 1{,}025\), was größer als \(1\) ist.

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Zufallsexperiment mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen? - Überlege dir, was das Wort „Gegenereignis“ im Alltag bedeutet – was passiert, wenn das Hauptereignis nicht eintritt? - Wie viele Pralinen bleiben übrig, wenn man die Nougat-Pralinen beiseite legt?

1. Berechnung von \(P(N)\): Es gibt \(10\) günstige von \(25\) möglichen Ergebnissen. \(P(N) = \frac{10}{25} = 0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). 2. Beschreibung des Gegenereignisses: Das Gegenereignis \(\bar{N}\) bedeutet, dass eine Praline gezogen wird, die keine Nougatfüllung hat. 3. Berechnung von \(P(\bar{N})\): \(P(\bar{N}) = 1 - P(N) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) (oder \(60\,\%\)). Alternativ über die Anzahl: \(25 - 10 = 15\) andere Pralinen, also \(\frac{15}{25} = 0{,}6\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da alle Pralinen, die kein Nougat enthalten, zusammen das Gegenereignis bilden, müssen ihre Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen genau den Rest zu \(100\,\%\) ergeben. Man nutzt die Formel \(P(\text{andere}) = 1 - P(\text{Nougat})\).

a) \(P(N) = 0{,}4\) (oder \(40\,\%\) oder \(\frac{2}{5}\)). b) Das Gegenereignis \(\bar{N}\) ist: „Die gezogene Praline hat keine Nougatfüllung“. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{N}) = 0{,}6\) (oder \(60\,\%\)). c) Da alle anderen Pralinen zusammen das Gegenereignis zu „Nougat“ bilden, ergänzen sie die Wahrscheinlichkeit von \(P(N)\) zu \(1\). Man muss also nur \(1 - P(N)\) rechnen.

- Was bedeutet der Überstrich über einem Ereignis? - Wenn du weißt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt? - Überlege dir, welche Elementarereignisse im Ereignis „mindestens eines tritt ein“ enthalten sind und welche im Ereignis „keines tritt ein“.

1. Identifikation des Ereignisses \(A \cup B\): Es tritt mindestens eines der Ereignisse \(A\) oder \(B\) ein. 2. Identifikation des Gegenereignisses: Das Gegenteil von „mindestens eines tritt ein“ ist „keines von beiden tritt ein“. 3. Anwendung der Komplementärregel: \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\). 4. Anwendung der De-Morgan-Regel: Das Komplement der Vereinigung \(\overline{A \cup B}\) ist gleich dem Schnitt der Komplemente \(\bar{A} \cap \bar{B}\). 5. Schlussfolgerung: Somit ist \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)\). 6. Sprachliche Bedeutung: Die linke Seite beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass weder \(A\) noch \(B\) eintritt. Die rechte Seite beschreibt die Wahrscheinlichkeit für „nicht (mindestens eines tritt ein)“, was logisch dasselbe ist.

Die Gleichung ist wahr, da \(\bar{A} \cap \bar{B}\) das Gegenereignis zu \(A \cup B\) ist. Nach den De-Morgan-Regeln gilt \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\). Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses immer \(1\) ergibt, folgt \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)\). Sprachlich bedeuten beide Seiten: „Die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt“.