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- Liste alle möglichen Ergebnisse auf. - Streiche daraus genau die Ergebnisse des gegebenen Ereignisses.

1. \(A=\{2,4,6\}\). 2. Alle übrigen Ergebnisse aus \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) bilden das Gegenereignis. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{1,3,5\}\).

\(\overline{A}=\{1,3,5\}\).

- Überlege, wie groß die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten ist. - Das Gegenereignis umfasst alles, was nicht zu dem Ereignis gehört.

1. Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen die Wahrscheinlichkeit \(1\). 2. \(P(\overline{A})=1-0{,}37=0{,}63\).

\(P(\overline{A})=0{,}63\), also \(63\,\%\).

- Formuliere die Verneinung der Eigenschaft, ohne alle Ergebnisse einzeln aufzulisten. - Achte darauf, den vorgegebenen Zahlenbereich beizubehalten.

1. Das Gegenereignis enthält alle Zahlen des Ergebnisraums, die nicht zu \(A\) gehören. 2. Das sind genau die Zahlen von \(1\) bis \(50\), die nicht durch \(5\) teilbar sind.

\(\overline{A}\): „Die gewählte Zahl ist kein Vielfaches von \(5\).“

- Ordne die beiden Aussagen als Ereignis und Gegenereignis ein. - Vergleiche die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Ganzen.

1. „Es regnet nicht“ ist das Gegenereignis zu „Es regnet“. 2. \(P(\text{kein Regen})=100\,\%-28\,\%=72\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit für keinen Regen beträgt \(72\,\%\).

- Nutze, dass Ereignis und Gegenereignis alle Möglichkeiten abdecken. - Prüfe, ob beide Wahrscheinlichkeiten zusammen das Ganze ergeben.

1. \(P(A)+P(\overline{A})=1\). 2. \(P(A)=1-0{,}62=0{,}38\).

\(P(A)=0{,}38\), also \(38\,\%\).

- Bestimme, welche Möglichkeiten durch das Ereignis bereits erfasst sind. - Fasse alle übrigen Möglichkeiten in einer Aussage zusammen.

1. \(A\) enthält alle roten und blauen Karten. 2. Das Gegenereignis enthält die übrigen Farben Grün und Gelb. 3. Daher lautet \(\overline{A}\): „Grün oder Gelb“.

\(\overline{A}\): „Die Karte ist grün oder gelb.“

- Prüfe, welche Summe die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben müssen. - Vergleiche beide Vorschläge mit diesem Gesamtwert.

1. Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen \(100\,\%\) ergeben. 2. \(100\,\%-35\,\%=65\,\%\). 3. Jule hat recht. 4. Das Kontrollkriterium ist \(P(A)+P(\overline{A})=1\).

Jule hat recht: \(P(\overline{A})=65\,\%\). Kontrolle: Beide Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen \(100\,\%\).

- Nutze die Angabe, dass es keine dritte Antwortmöglichkeit gibt. - Bestimme den fehlenden Anteil am Ganzen.

1. Wegen der zwei möglichen Antworten ist \(\overline{A}\) das Ereignis „Nein“. 2. \(P(\overline{A})=100\,\%-84\,\%=16\,\%\).

\(\overline{A}\) ist „Nein“ mit \(P(\overline{A})=16\,\%\).

- Was weißt du über die Summe der Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis und seinem Gegenereignis? - Es hilft, wenn du beide Zahlen im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahl) vergleichst. - Was müsste passieren, damit eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten „möglich“ ist?

1. Umrechnung des Bruchs in einen Dezimalbruch: \(P(B) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 2. Anwendung der Regel für Gegenereignisse: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses muss genau \(1\) (bzw. \(100\,\%\)) ergeben: \(P(B) + P(\bar{B}) = 1\). 3. Berechnung der Summe der gegebenen Werte: \(0{,}375 + 0{,}65 = 1{,}025\). 4. Vergleich mit dem Sollwert: Da \(1{,}025 \neq 1\), ist die Summe größer als \(100\,\%\). Die Behauptung ist somit mathematisch nicht möglich.

Nein, die Behauptung kann nicht wahr sein. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis müssen zusammen genau \(1\) ergeben. Hier ist die Summe jedoch \(0{,}375 + 0{,}65 = 1{,}025\), was größer als \(1\) ist.

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Zufallsexperiment mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen? - Überlege dir, was das Wort „Gegenereignis“ im Alltag bedeutet – was passiert, wenn das Hauptereignis nicht eintritt? - Wie viele Pralinen bleiben übrig, wenn man die Nougat-Pralinen beiseite legt?

1. Berechnung von \(P(N)\): Es gibt \(10\) günstige von \(25\) möglichen Ergebnissen. \(P(N) = \frac{10}{25} = 0{,}4\) (oder \(40\,\%\)). 2. Beschreibung des Gegenereignisses: Das Gegenereignis \(\bar{N}\) bedeutet, dass eine Praline gezogen wird, die keine Nougatfüllung hat. 3. Berechnung von \(P(\bar{N})\): \(P(\bar{N}) = 1 - P(N) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) (oder \(60\,\%\)). Alternativ über die Anzahl: \(25 - 10 = 15\) andere Pralinen, also \(\frac{15}{25} = 0{,}6\). 4. Erklärung des Zusammenhangs: Da alle Pralinen, die kein Nougat enthalten, zusammen das Gegenereignis bilden, müssen ihre Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen genau den Rest zu \(100\,\%\) ergeben. Man nutzt die Formel \(P(\text{andere}) = 1 - P(\text{Nougat})\).

a) \(P(N) = 0{,}4\) (oder \(40\,\%\) oder \(\frac{2}{5}\)). b) Das Gegenereignis \(\bar{N}\) ist: „Die gezogene Praline hat keine Nougatfüllung“. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\bar{N}) = 0{,}6\) (oder \(60\,\%\)). c) Da alle anderen Pralinen zusammen das Gegenereignis zu „Nougat“ bilden, ergänzen sie die Wahrscheinlichkeit von \(P(N)\) zu \(1\). Man muss also nur \(1 - P(N)\) rechnen.

- Überlege, wann die Aussage „mindestens einmal“ gerade nicht erfüllt ist. - Beachte beide Würfe gleichzeitig.

1. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Kopf“ ist „kein Kopf“. 2. Bei zwei Würfen bedeutet das „zweimal Zahl“. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{ZZ\}\).

\(\overline{A}\) lautet „zweimal Zahl“ und ist \(\{ZZ\}\).

- Prüfe jedes Element darauf, ob es die ursprüngliche Bedingung erfüllt. - Ereignis und Gegenereignis dürfen kein gemeinsames Ergebnis haben.

1. \(A=\{5,6\}\). 2. Das Gegenereignis darf kein Ergebnis aus \(A\) enthalten. 3. Die \(5\) gehört daher nicht zu \(\overline{A}\). 4. Richtig ist \(\overline{A}=\{1,2,3,4\}\).

Der Fehler ist die enthaltene \(5\). Richtig: \(\overline{A}=\{1,2,3,4\}\).

- Achte genau auf die Grenze, die noch zum Ereignis gehört. - Formuliere die vollständige Verneinung der Aussage.

1. „Höchstens \(2\) Minuten“ umfasst \(0\), \(1\) oder \(2\) Minuten Verspätung. 2. Das Gegenereignis beginnt daher erst oberhalb von \(2\) Minuten. 3. Aussage II ist richtig.

Aussage II: „Der Bus ist mehr als \(2\) Minuten verspätet.“

- Bestimme zuerst, wie viele Möglichkeiten nicht zum Ereignis gehören. - Setze diese Anzahl ins Verhältnis zur Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Felder.

1. Nicht grün sind \(10-3=7\) Felder. 2. Damit ist \(P(\overline{A})=\frac{7}{10}=0{,}7\).

Zu \(\overline{A}\) gehören \(7\) Felder; \(P(\overline{A})=\frac{7}{10}=70\,\%\).

- Achte darauf, ob der Grenzwert zum Ereignis gehört. - Übersetze die verneinte Ungleichung anschließend in einzelne Ergebnisse.

1. \(A\) umfasst \(X\leq 2\). 2. Die Verneinung ist \(X>2\). 3. Im Ergebnisraum ergibt sich \(\overline{A}=\{3,4,5,6\}\).

\(\overline{A}: X>2\) und \(\overline{A}=\{3,4,5,6\}\).

- Verneine die gesamte Aussage „beide“, nicht nur einen Teil davon. - Prüfe, ob deine Formulierung alle Fälle außerhalb des Ereignisses umfasst.

1. Das Ereignis \(A\) tritt nur ein, wenn der erste und der zweite Sensor reagieren. 2. Die Verneinung lautet: Mindestens einer der beiden Sensoren reagiert nicht. 3. Dies schließt die Fälle „nur erster nicht“, „nur zweiter nicht“ und „beide nicht“ ein.

\(\overline{A}\): „Mindestens einer der beiden Sensoren reagiert nicht.“

- Vergleiche jeden Vorschlag mit dem gesamten Ergebnisraum. - Prüfe sowohl Überschneidungsfreiheit als auch vollständige Abdeckung.

1. Ein Gegenereignis enthält genau alle Elemente aus \(\Omega\), die nicht in \(A\) liegen. 2. Das sind \(b,d,e\). 3. Nur \(B_1=\{b,d,e\}\) ist das Gegenereignis. 4. \(B_2\) enthält zusätzlich \(c\), \(B_3\) enthält zusätzlich \(a\) und \(f\).

Nur \(B_1=\{b,d,e\}\) ist \(\overline{A}\).

- Achte darauf, dass der Ergebnisraum bei \(0\) beginnt. - Bestimme erst die übrigen Ergebnisse und danach ihren Anteil.

1. \(A=\{0,1,2,3,4,5,6\}\). 2. Das Gegenereignis ist \(\overline{A}=\{7,8,9\}\). 3. Bei \(10\) gleich wahrscheinlichen Zahlen gilt \(P(\overline{A})=\frac{3}{10}=0{,}3\).

\(\overline{A}=\{7,8,9\}\) und \(P(\overline{A})=30\,\%\).

- Schreibe das Ganze mit demselben Nenner wie die gegebene Wahrscheinlichkeit. - Prüfe, ob sich dein Ergebnis noch kürzen lässt.

1. \(P(\overline{A})=1-\frac{7}{20}\). 2. \(1=\frac{20}{20}\), daher \(P(\overline{A})=\frac{20}{20}-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}\).

\(P(\overline{A})=\frac{13}{20}\).

- Bestimme zuerst die Anzahl außerhalb des Ereignisses. - Beziehe diese Anzahl anschließend auf den gesamten Stichprobenumfang.

1. Nicht bestanden haben \(250-187=63\) Bauteile. 2. Der relative Anteil ist \(\frac{63}{250}=0{,}252\). 3. Das entspricht \(25{,}2\,\%\).

Zum Gegenereignis gehören \(63\) Bauteile; der relative Anteil beträgt \(25{,}2\,\%\).

- Ermittle die Anzahl der Lose außerhalb des Ereignisses. - Wandle den Anteil in die beiden verlangten Darstellungen um.

1. Nieten gibt es \(200-46=154\). 2. \(P(\overline{A})=\frac{154}{200}=0{,}77\). 3. Das entspricht \(77\,\%\).

\(P(\overline{A})=0{,}77=77\,\%\).

- Beachte, ob die Zahl \(10\) zur ursprünglichen Aussage gehört. - Beschränke deine Menge auf die tatsächlich möglichen Feldzahlen.

1. \(A=\{10,11,12\}\). 2. Die Verneinung von „mindestens \(10\)“ ist „kleiner als \(10\)“. 3. Daher ist \(\overline{A}=\{6,7,8,9\}\).

\(\overline{A}\): „Die Feldzahl ist kleiner als \(10\)“; \(\overline{A}=\{6,7,8,9\}\).

- Denke an alle Möglichkeiten, in denen „beide erfüllt“ nicht stimmt. - Prüfe, ob eine Antwort auch den Fall umfasst, dass beide Bedingungen scheitern.

1. \(A\) verlangt die gleichzeitige Erfüllung beider Bedingungen. 2. Das Gegenereignis umfasst jeden Fall, in dem mindestens eine Bedingung scheitert. 3. Dazu gehört auch, dass beide Bedingungen scheitern. 4. Daher ist Aussage II korrekt.

Aussage II ist korrekt.

- Betrachte beide Möglichkeiten als vollständige Aufteilung. - Achte beim Umwandeln in Prozent auf die Stellenverschiebung.

1. „Das Gerät startet nicht fehlerfrei“ ist das Gegenereignis zu „Das Gerät startet fehlerfrei“. 2. \(P(\text{nicht fehlerfreier Start})=1-0{,}905=0{,}095\). 3. Das entspricht \(9{,}5\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}095=9{,}5\,\%\).

- Prüfe besonders den Grenzwert zwischen den beiden Aussagen. - Gegenereignisse müssen zusammen alle Möglichkeiten erfassen.

1. Die Zahl \(5\) erfüllt weder \(A\) noch \(B\). 2. Damit decken die beiden Aussagen nicht alle ganzen Zahlen ab und sind keine Gegenereignisse. 3. Das Gegenereignis zu „größer als \(5\)“ lautet „kleiner oder gleich \(5\)“. 4. Korrekt ist \(B\): „Die Zahl ist kleiner oder gleich \(5\)“.

Nein. Korrekt wäre \(B\): „Die Zahl ist kleiner oder gleich \(5\)“.

- Bestimme zunächst vollständig, welche Zahlen zum Ereignis gehören. - Nimm danach alle übrigen Elemente des Ergebnisraums.

1. Durch \(2\) teilbar sind \(2,4,6,8\), durch \(3\) teilbar sind \(3,6,9\). 2. Damit ist \(A=\{2,3,4,6,8,9\}\). 3. Die übrigen Ergebnisse sind \(1,5,7\). 4. Somit ist \(\overline{A}=\{1,5,7\}\).

\(\overline{A}=\{1,5,7\}\).

- Deute beide Mengengleichungen getrennt. - Suche beim Würfel nach zwei Gruppen, die zusammen alle Ergebnisse enthalten.

1. Die leere Schnittmenge bedeutet, dass kein Ergebnis gleichzeitig in beiden Ereignissen liegt. 2. Die Vereinigung \(\Omega\) bedeutet, dass jedes Ergebnis in mindestens einem der Ereignisse liegt. 3. Die Ereignisse teilen den Ergebnisraum vollständig und ohne Überschneidung auf. 4. Beim Würfeln passt zum Beispiel \(A=\{1,3,5\}\) und \(B=\{2,4,6\}\).

Die Ereignisse überschneiden sich nicht und decken zusammen den ganzen Ergebnisraum ab, zum Beispiel „ungerade Augenzahl“ und „gerade Augenzahl“.

- Was bedeutet der Überstrich über einem Ereignis? - Wenn du weißt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt? - Überlege dir, welche Elementarereignisse im Ereignis „mindestens eines tritt ein“ enthalten sind und welche im Ereignis „keines tritt ein“.

1. Identifikation des Ereignisses \(A \cup B\): Es tritt mindestens eines der Ereignisse \(A\) oder \(B\) ein. 2. Identifikation des Gegenereignisses: Das Gegenteil von „mindestens eines tritt ein“ ist „keines von beiden tritt ein“. 3. Anwendung der Komplementärregel: \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\). 4. Anwendung der De-Morgan-Regel: Das Komplement der Vereinigung \(\overline{A \cup B}\) ist gleich dem Schnitt der Komplemente \(\bar{A} \cap \bar{B}\). 5. Schlussfolgerung: Somit ist \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)\). 6. Sprachliche Bedeutung: Die linke Seite beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass weder \(A\) noch \(B\) eintritt. Die rechte Seite beschreibt die Wahrscheinlichkeit für „nicht (mindestens eines tritt ein)“, was logisch dasselbe ist.

Die Gleichung ist wahr, da \(\bar{A} \cap \bar{B}\) das Gegenereignis zu \(A \cup B\) ist. Nach den De-Morgan-Regeln gilt \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\). Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses immer \(1\) ergibt, folgt \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)\). Sprachlich bedeuten beide Seiten: „Die Wahrscheinlichkeit, dass keines der beiden Ereignisse eintritt“.