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- Beschreibe die Lage jeder Regionsbezeichnung relativ zu beiden Kreisen. - Welche Region liegt in beiden Kreisen gleichzeitig? - Welche Region liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise?

1. I liegt nur im Kreis \(A\). 2. II liegt in der Überlappung und damit in \(A \cap B\). 3. III liegt nur im Kreis \(B\). 4. IV liegt in \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise und damit außerhalb von \(A \cup B\).

I: nur \(A\); II: \(A \cap B\); III: nur \(B\); IV: außerhalb von \(A \cup B\).

- Schreibe die Ergebnisse der beiden Ereignisse als Mengen auf. - Prüfe, ob ein Würfelergebnis gleichzeitig zu \(A\) und \(B\) gehört. - Vergleiche genau diese Eigenschaft mit der Lage der beiden Kreise.

1. Es gilt \(A=\{1;2\}\) und \(B=\{5;6\}\). 2. Kein Würfelergebnis liegt in beiden Ereignissen, also ist \(A\cap B=\emptyset\). 3. Deshalb müssen die Kreise für \(A\) und \(B\) getrennt sein. Das ist in Diagramm b) der Fall.

Diagramm b), weil \(A\cap B=\emptyset\) gilt und die Ereignisse daher durch getrennte Kreise dargestellt werden müssen.

- Für Teil a) suchst du den Bereich, der zu beiden Kreisen gehört. - Für Teil b) ist der Bereich außerhalb beider Kreise entscheidend. - Nutze ausschließlich die Positionen der Namen im Mengendiagramm.

1. Omar steht im Überschneidungsbereich der beiden Kreise. Er nimmt daher am Kletterkurs und am Fotokurs teil. 2. Noah steht innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise. Er nimmt an keinem der beiden Kurse teil.

a) Omar. b) Noah.

- Betrachte nur die Lage der beiden Kreisflächen zueinander. - Liegt ein Teil von \(B\) außerhalb von \(A\)? - Welche Menge bleibt als gemeinsamer Bereich übrig, wenn ein Kreis vollständig im anderen liegt?

1. Im Diagramm liegt der Kreis \(B\) vollständig innerhalb des Kreises \(A\); außerdem ist \(A\) sichtbar größer als \(B\). 2. Deshalb gilt \(B\subsetneq A\). Aussage I ist richtig. 3. Jedes Element von \(B\) liegt damit auch in \(A\), also ist \(A\cap B=B\).

Aussage I: \(B\subsetneq A\). Außerdem gilt \(A\cap B=B\).

- Übersetze den ersten Ausdruck zunächst als „in \(A\), aber nicht in \(B\)“. - Beim zweiten Ausdruck werden die Rollen von \(A\) und \(B\) vertauscht. - Entscheidend ist die tatsächliche Lage der Punkte relativ zu beiden Kreislinien.

1. \(A\cap\overline{B}\) bedeutet: innerhalb von \(A\), aber außerhalb von \(B\). Im Bild liegt dort \(K\). 2. \(\overline{A}\cap B\) bedeutet: außerhalb von \(A\), aber innerhalb von \(B\). Im Bild liegt dort \(M\).

a) \(K\) b) \(M\)

- Ordne die markierten Punkte danach ein, ob sie innerhalb oder außerhalb der beiden Kreise liegen. - Was kannst du aus dem Diagramm über einen gemeinsamen Bereich von \(A\) und \(B\) ablesen? - Prüfe bei c), ob irgendein Ergebnis aus \(A\) zugleich in \(B\) liegen kann.

1. Der Punkt \(R\) liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise. Daher gehört \(R\) zu \(\overline{A \cup B}\). 2. Die Kreise von \(A\) und \(B\) überschneiden sich nicht. Deshalb ist \(A \cap B=\emptyset\); die Ereignisse sind unvereinbar. 3. Weil sich die Kreise nicht überschneiden, liegt jedes Ergebnis aus \(A\) außerhalb von \(B\). Daher gilt \(A \cap \overline{B}=A\).

a) \(R\), denn \(R\) liegt in \(\Omega\), aber außerhalb von \(A\) und \(B\). b) \(A \cap B=\emptyset\) c) \(A \cap \overline{B}=A\)

- Ordne jeder Region zuerst ihre Lage zu: nur \(A\), beide, nur \(B\) oder weder noch. - Bei einer Schnittmenge müssen alle genannten Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Ein Gegenereignis umfasst innerhalb von \(\Omega\) genau die Bereiche, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. \(\overline{A} \cap B\) enthält die Region in \(B\), aber außerhalb von \(A\): III. 2. \(A \cup \overline{B}\) enthält die Regionen I und II von \(A\) sowie die Region IV außerhalb von \(B\). Nur III gehört nicht dazu. 3. \(\overline{A \cup B}\) enthält die Region innerhalb von \(\Omega\), die weder zu \(A\) noch zu \(B\) gehört: IV.

a) III b) I, II, IV c) IV

- Lies jede Zahl an ihrer Position relativ zu den beiden Kreisen ab. - Welche Zahl steht in der Überlappung? - Für die Gesamtzahl muss jeder der vier unvereinbaren Bereiche genau einmal gezählt werden.

1. Die \(11\) im Bereich nur von \(A\) bedeutet: \(11\) Personen singen nur im Chor. 2. Die \(4\) in der Überlappung bedeutet: \(4\) Personen singen im Chor und spielen in der Schulband. 3. Die \(7\) im Bereich nur von \(B\) bedeutet: \(7\) Personen spielen nur in der Schulband. 4. Die \(3\) außerhalb beider Kreise bedeutet: \(3\) Personen gehören zu keiner der beiden Gruppen. 5. Insgesamt sind es \(11+4+7+3=25\) Personen.

Nur Chor: \(11\); beide: \(4\); nur Schulband: \(7\); keine Gruppe: \(3\); insgesamt \(25\) Personen.

- Welche Diagrammbereiche liegen vollständig innerhalb des Kreises \(A\)? - Die Überlappung gehört sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\). - Für \(\Omega\) musst du alle vier unvereinbaren Bereiche berücksichtigen.

1. Zu \(A\) gehören die Bereiche mit \(18\) und \(6\): \(H(A)=18+6=24\). 2. Zu \(B\) gehören die Bereiche mit \(6\) und \(9\): \(H(B)=6+9=15\). 3. Zur Vereinigung gehören die drei inneren Bereiche: \(H(A \cup B)=18+6+9=33\). 4. Zur gesamten Ergebnismenge gehört zusätzlich der Außenbereich: \(H(\Omega)=18+6+9+5=38\).

\(H(A)=24\), \(H(B)=15\), \(H(A \cup B)=33\), \(H(\Omega)=38\).

- Welche zwei Bereiche bilden zusammen die absolute Häufigkeit \(H(A)\)? - Welche zwei Bereiche bilden zusammen \(H(B)\)? - Die Werte in der Überlappung und außerhalb sind bereits direkt im Diagramm angegeben.

1. Nur in \(A\) liegen \(26-7=19\) Elemente. 2. Nur in \(B\) liegen \(19-7=12\) Elemente. 3. In beiden Mengen liegen \(7\) Elemente. 4. Außerhalb beider Mengen liegen \(4\) Elemente.

Nur \(A\): \(19\), beide: \(7\), nur \(B\): \(12\), außerhalb: \(4\).

- Welche Bereiche des Diagramms liegen vollständig innerhalb des Kreises \(A\)? - Gehört die Überlappung ebenfalls zu \(A\)? - Addiere genau die Bereiche, die zum Ereignis \(A\) gehören.

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ mit \(14\) und die Überlappung mit \(6\). 2. Tarek hat die \(6\) Personen aus \(A \cap B\) nicht mitgezählt. 3. Richtig ist \(H(A)=14+6=20\).

Tarek vergisst die Überlappung. Richtig ist \(H(A)=20\).

- Lies für jede Person ab, in welchem Kreis ihr Name steht. - Zur Vereinigung gehören alle Jugendlichen, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen. - Zur Schnittmenge gehören nur Jugendliche, die in beiden Kreisen liegen.

1. Im Kreis \(G\) liegen Lea, Noah und Mina. Daher gilt \(G=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina}\}\). 2. Im Kreis \(L\) liegen Mina, Emil und Sara. Daher gilt \(L=\{\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\). 3. In mindestens einem der beiden Kreise liegen Lea, Noah, Mina, Emil und Sara. Somit ist \(G\cup L=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\). 4. In beiden Kreisen liegt nur Mina. Also ist \(G\cap L=\{\text{Mina}\}\).

\(G=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina}\}\) \(L=\{\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\) \(G\cup L=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\) \(G\cap L=\{\text{Mina}\}\)

- Lies zunächst ab, welche Bereiche zu jedem Ereignis gehören. - Die Überlappung gehört sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\). - Für \(A\cup B\) zählen alle Bereiche innerhalb mindestens eines Kreises genau einmal.

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Daher gilt \(P(A)=0{,}31+0{,}18=0{,}49\). 2. Zum Ereignis \(B\) gehören der Bereich „nur \(B\)“ und die Überlappung. Daher gilt \(P(B)=0{,}27+0{,}18=0{,}45\). 3. Zur Vereinigung gehören alle drei Bereiche innerhalb der Kreise. Also ist \(P(A\cup B)=0{,}31+0{,}18+0{,}27=0{,}76\).

\(P(A)=0{,}49\), \(P(B)=0{,}45\), \(P(A\cup B)=0{,}76\).

- Ordne bei jeder Teilaufgabe zuerst die Lage zum Kreis \(A\) und dann zum Kreis \(B\) ein. - Die Vereinigung umfasst alle Bereiche in mindestens einem Kreis. - Ein Überstrich bedeutet, dass der gesuchte Bereich außerhalb des betreffenden Kreises liegt.

1. Innerhalb mindestens eines Kreises liegen I, II und III; daher umfasst \(A\cup B\) diese drei Regionen. 2. In beiden Kreisen liegt nur II. 3. In \(A\), aber nicht in \(B\), liegt I. 4. Innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, liegt IV.

a) I, II, III b) II c) I d) IV

- Übersetze den Ausdruck in a) zunächst in „in \(A\), aber nicht in \(B\)“. - Überlege für b), welche Bereiche automatisch zu \(\overline{A}\) gehören und welche zusätzlich durch \(B\) hinzukommen. - Achte darauf, jeden Diagrammbereich höchstens einmal zu zählen.

1. \(A\cap\overline{B}\) ist der Bereich innerhalb von \(A\), aber außerhalb von \(B\). Dort steht \(10\). Also gilt \(H(A\cap\overline{B})=10\). 2. Zu \(\overline{A}\cup B\) gehören die Überlappung, der Bereich „nur \(B\)“ und der Außenbereich. Ihre Häufigkeiten sind \(5\), \(7\) und \(2\). 3. Daher gilt \(H(\overline{A}\cup B)=5+7+2=14\).

a) \(H(A\cap\overline{B})=10\) b) \(H(\overline{A}\cup B)=14\); verwendet werden die Überlappung, „nur \(B\)“ und der Außenbereich.

- Prüfe zuerst, ob die vier unvereinbaren Bereiche zusammen die angegebene Gesamtzahl ergeben. - Die drei Werte innerhalb der Kreise sind laut Aufgabe korrekt. - Bestimme den Außenbereich als Rest zur Gesamtzahl.

1. Die vier dargestellten Werte ergeben \(9+8+10+5=32\) und damit nicht die geforderte Gesamtzahl \(30\). 2. Innerhalb der Kreise liegen \(9+8+10=27\) Elemente. 3. Außerhalb beider Kreise müssen deshalb \(30-27=3\) Elemente liegen. 4. Der eingetragene Außenwert \(5\) ist durch \(3\) zu ersetzen.

Die Eintragung ist falsch; außerhalb beider Kreise müssen \(3\) statt \(5\) Elemente stehen.

- Lies die beiden bekannten Teilbereiche innerhalb der Vereinigung aus dem Diagramm ab. - Die drei Bereiche innerhalb der Kreise überschneiden sich untereinander nicht. - Bestimme den fehlenden Teil als Rest zur Häufigkeit von \(A\cup B\).

1. Die Vereinigung besteht aus den drei unvereinbaren Bereichen „nur \(A\)“, „beide“ und „nur \(B\)“. 2. Daher ist die fehlende Häufigkeit \(41-17-14=10\). 3. Somit gilt \(H(A\cap B)=10\).

In der Überlappung stehen \(10\) Elemente, also \(H(A\cap B)=10\).

- Lies die drei Prozentwerte innerhalb der Kreise aus dem Diagramm ab. - Diese drei Bereiche bilden zusammen die Vereinigung \(A\cup B\). - Der Außenbereich ist der Rest zum gesamten Ergebnisraum.

1. Innerhalb der Kreise liegen insgesamt \(23\,\%+17\,\%+28\,\%=68\,\%\). 2. Der Außenbereich ergänzt diese Wahrscheinlichkeit zu \(100\,\%\). Daher liegen dort \(100\,\%-68\,\%=32\,\%\).

Außerhalb beider Mengen liegen \(32\,\%\).

- Prüfe zuerst, welche Summe die vier unvereinbaren Anteile ergeben müssen. - Die Schnittmenge ist im Mengendiagramm der Überlappungsbereich. - Zwei Komplementbedingungen gleichzeitig führen in den Bereich außerhalb beider Kreise.

1. Die vier unvereinbaren Anteile ergeben \(0{,}22+0{,}31+0{,}29+0{,}18=1\). Daher ist die Zuordnung grundsätzlich möglich. 2. Die Schnittmenge entspricht der Überlappung, also gilt \(P(A\cap B)=0{,}31\). 3. Der Bereich außerhalb beider Kreise entspricht \(\overline{A}\cap\overline{B}\). Daher gilt \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}18\).

Die Zuordnung ist möglich. \(P(A\cap B)=0{,}31\) und \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}18\).

- Ordne die Formulierung „genau eines“ den Bereichen des Diagramms zu. - Prüfe besonders, ob die Überlappung diese Bedingung erfüllt. - Addiere anschließend nur die passenden unvereinbaren Bereiche.

1. „Genau eines“ umfasst nur die beiden Bereiche, die jeweils in genau einem der Kreise liegen. 2. Die \(7\) Elemente in der Überlappung erfüllen beide Ereignisse und dürfen deshalb nicht mitgezählt werden. 3. Somit beträgt die richtige Anzahl \(12+15=27\).

Richtig sind \(27\) Elemente; die \(7\) Elemente aus der Überlappung werden nicht mitgezählt.

- Addiere für jeden Kreis die beiden Bereichshäufigkeiten, die innerhalb dieses Kreises liegen. - Vergleiche die beiden so erhaltenen Kreishäufigkeiten mit \(H(A)=21\) und \(H(B)=26\). - Welche Bereiche des Bildes gehören zur Vereinigung der beiden Ereignisse?

1. Kreis I umfasst die Bereiche mit den Häufigkeiten \(12\) und \(9\). Daher hat Kreis I die Häufigkeit \(12+9=21\) und muss \(A\) sein. 2. Kreis II umfasst die Bereiche mit den Häufigkeiten \(9\) und \(17\). Daher hat Kreis II die Häufigkeit \(9+17=26\) und muss \(B\) sein. 3. Zur Vereinigung gehören die drei Bereiche innerhalb mindestens eines Kreises. Deshalb ist \(H(A\cup B)=12+9+17=38\). 4. Die Häufigkeit außerhalb beider Kreise wird im Diagramm mit \(14\) angegeben. Also gilt für „keines“ die Häufigkeit \(14\).

a) Kreis I ist \(A\), Kreis II ist \(B\). b) \(H(A\cup B)=38\); „keines“ hat die Häufigkeit \(14\).

- Vergleiche zuerst, was mit den Bereichen „nur \(A\)“ und „nur \(B\)“ geschieht. - Frage dich, ob die Schnittmenge von der Reihenfolge der Namen \(A\) und \(B\) abhängt. - Prüfe dieselbe Frage für den Bereich außerhalb beider Kreise.

1. In Diagramm II liegt der Bereich „nur \(B\)“ links und der Bereich „nur \(A\)“ rechts. Deshalb gehört \(9\) nach links und \(12\) nach rechts. 2. Die Schnittmenge bleibt dieselbe Region. Daher bleibt \(7\) in der Überlappung. 3. Auch der Bereich außerhalb beider Kreise hängt nicht davon ab, welcher Kreis \(A\) oder \(B\) heißt. Daher bleibt \(4\) außerhalb.

Nur \(B\) links: \(9\); \(A\cap B\): \(7\); nur \(A\) rechts: \(12\); außerhalb: \(4\). \(12\) und \(9\) wechseln die Seiten; \(7\) und \(4\) bleiben in ihren Regionen.

- Prüfe, ob jede Zahl mit der Eigenschaft \(B\) automatisch auch die Eigenschaft \(A\) besitzt. - Entscheide daraus zuerst, wie die beiden Kreise zueinander liegen müssen. - Ordne anschließend jede Zahl aus \(\Omega\) nach ihrer Teilbarkeit ein.

1. Jede durch \(4\) teilbare Zahl ist auch durch \(2\) teilbar. Daher muss der Kreis \(B\) vollständig innerhalb des Kreises \(A\) liegen. 2. In \(A\), aber nicht in \(B\), liegen \(2\) und \(6\). 3. In \(B\) und damit zugleich in \(A\) liegen \(4\) und \(8\). 4. Außerhalb von \(A\) liegen \(1\), \(3\), \(5\) und \(7\). 5. Einen Bereich „nur \(B\)“ gibt es bei der verschachtelten Darstellung nicht.

Der Kreis \(B\) liegt vollständig in \(A\). Nur \(A\): \(\{2;6\}\); in \(B\): \(\{4;8\}\); außerhalb von \(A\): \(\{1;3;5;7\}\).

- Vergleiche die Bedeutungen „in beiden“ und „in mindestens einem“. - Ordne diese beiden Formulierungen den Regionen des Diagramms zu. - Nenne anschließend ausdrücklich alle Regionen der Vereinigung.

1. Die Überlappung II stellt die Schnittmenge \(A\cap B\) dar. 2. Zur Vereinigung gehören alle Ergebnisse, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen. 3. Damit gehören die Regionen I, II und III zu \(A\cup B\). 4. Nur die Region IV innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, gehört nicht zur Vereinigung.

Die Überlappung II ist die Schnittmenge. Die Vereinigung \(A\cup B\) besteht aus den Regionen I, II und III.

- Bestimme für jeden Marker zuerst anhand des Bildes, ob er in \(A\), in \(B\), in beiden oder in keinem Kreis liegt. - Ordne diese Lage danach dem passenden Innenfeld der Vierfeldertafel zu. - Für die Vereinigung zählen die Markerbereiche innerhalb mindestens eines Kreises.

1. Im Bild liegt I innerhalb von \(A\), aber außerhalb von \(B\). Dazu gehört das Tabellenfeld \(A\cap\overline{B}\) mit \(9\). 2. II liegt in der Überlappung \(A\cap B\) und erhält \(6\). 3. III liegt innerhalb von \(B\), aber außerhalb von \(A\). Dazu gehört \(\overline{A}\cap B\) mit \(11\). 4. IV liegt außerhalb beider Kreise. Dazu gehört \(\overline{A}\cap\overline{B}\) mit \(14\). 5. Zur Vereinigung gehören die drei im Bild innerhalb mindestens eines Kreises liegenden Bereiche. Daher ist \(H(A\cup B)=9+6+11=26\).

a) I: \(9\), II: \(6\), III: \(11\), IV: \(14\) b) \(H(A\cup B)=26\)

- Ordne die beiden sprachlichen Ereignisse zuerst den Bereichen des Mengendiagramms zu. - „Genau eines“ besteht aus zwei unvereinbaren Bereichen, „keines“ aus einem Bereich. - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten erst nach dem Zusammenfassen der passenden Bereiche.

1. „Genau eines“ umfasst die Bereiche „nur \(A\)“ und „nur \(B\)“. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(0{,}18+0{,}31=0{,}49=49\,\%\). 2. „Keines“ entspricht dem Bereich außerhalb beider Kreise und hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}27=27\,\%\). 3. Somit ist „genau eines“ wahrscheinlicher. Der Unterschied beträgt \(49\,\%-27\,\%=22\) Prozentpunkte.

„Genau eines“ ist mit \(49\,\%\) wahrscheinlicher als „keines“ mit \(27\,\%\); der Unterschied beträgt \(22\) Prozentpunkte.

- Welche einzige Region gehört zu \(X \cap Y\)? - Welche Regionen liegen außerhalb von \(X\), welche außerhalb von \(Y\)? - Vergleiche anschließend die beiden erhaltenen Regionsmengen.

1. \(X \cap Y\) ist die gemeinsame Region II. Das Gegenereignis \(\overline{X \cap Y}\) umfasst daher innerhalb von \(\Omega\) die übrigen Regionen I, III und IV. 2. \(\overline{X}\) enthält III und IV; \(\overline{Y}\) enthält I und IV. Ihre Vereinigung umfasst damit I, III und IV. 3. Beide Ausdrücke beschreiben dieselben drei Regionen. Daher gilt \(\overline{X \cap Y}=\overline{X} \cup \overline{Y}\).

1. \(\overline{X \cap Y}\): I, III, IV 2. \(\overline{X} \cup \overline{Y}\): I, III, IV Beide Ausdrücke beschreiben dieselben Regionen.

- Liegt irgendein Teil des Kreises \(B\) außerhalb des Kreises \(A\)? - Was bedeutet die sichtbare Kreisbeziehung für die gemeinsamen Elemente von \(A\) und \(B\)? - Prüfe im Bild, ob es überhaupt einen Bereich gibt, der zugleich zu \(B\) und zu \(\overline{A}\) gehört. - Welche Fläche bleibt von \(A\) übrig, wenn du den inneren Bereich \(B\) ausschließt?

1. Im Diagramm liegt der Kreis \(B\) vollständig innerhalb des Kreises \(A\). Daher liegen alle Elemente von \(B\) auch in \(A\). 2. Daher ist \(A \cap B=B\). 3. Die Vereinigung fügt zu \(A\) nichts hinzu, also ist \(A \cup B=A\). 4. Ein Element kann nicht zugleich in \(B\) und außerhalb von \(A\) liegen. Deshalb ist \(\overline{A} \cap B=\emptyset\). 5. \(A \cap \overline{B}\) ist der Bereich innerhalb von \(A\), aber außerhalb des inneren Kreises \(B\).

a) \(B\) b) \(A\) c) \(\emptyset\) d) Der Bereich innerhalb von \(A\), aber außerhalb von \(B\).

- Nutze zuerst, dass die vier Bereiche des Rechtecks zusammen alle \(31\) Elemente enthalten. - Bestimme damit den unbekannten Bereich \(x\). - Lies anschließend ab, aus welchen zwei Bereichen das Ereignis \(A\) besteht.

1. Die vier unvereinbaren Bereiche ergeben zusammen \(31\). Daher gilt \(x+6+9+4=31\). 2. Somit ist \(x=31-19=12\). 3. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Deshalb gilt \(H(A)=12+6=18\).

\(x=12\) und \(H(A)=18\).

- Nutze zuerst, aus welchen zwei Bereichen der Kreis \(A\) besteht. - Ergänze danach die Überlappung um den Bereich „nur \(B\)“. - Für \(H(\Omega)\) müssen alle vier unvereinbaren Bereiche berücksichtigt werden.

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Daher beträgt die Überlappung \(34-23=11\). 2. Zum Ereignis \(B\) gehören die Überlappung und der Bereich „nur \(B\)“. Somit gilt \(H(B)=11+16=27\). 3. Innerhalb der Vereinigung liegen \(23+11+16=50\) Elemente. 4. Mit den \(8\) Elementen außerhalb beider Kreise ergibt sich \(H(\Omega)=50+8=58\).

Überlappung: \(11\), \(H(B)=27\), \(H(\Omega)=58\).

- Lies für jede der beiden gegebenen Häufigkeiten zuerst aus dem Diagramm ab, welche Bereiche dazugehören. - Die beiden Angaben führen auf zwei Beziehungen zwischen denselben unbekannten Größen. - Löse die beiden Beziehungen gemeinsam und prüfe anschließend, ob alle vier Bereichshäufigkeiten nichtnegativ sind. - Unterscheide danach zwischen den drei inneren Bereichen von \(A\cup B\) und der gesamten Ergebnismenge \(\Omega\).

1. Zum Ereignis \(A\) gehören im Diagramm der Bereich „nur \(A\)“ mit \(x+4\) und die Überlappung mit \(y\). Daher gilt \(x+4+y=27\). 2. Das Ereignis \(\overline{A}\cup B\) umfasst alle Bereiche außer „nur \(A\)“. Deshalb gilt \(y+(2x-1)+7=35\). 3. Aus der ersten Gleichung folgt \(y=23-x\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich \(23-x+2x+6=35\), also \(x=6\) und damit \(y=17\). 4. Die vier Bereichshäufigkeiten sind somit: nur \(A\): \(10\), Schnittmenge: \(17\), nur \(B\): \(11\), außerhalb: \(7\). 5. Zur Vereinigung gehören die drei inneren Bereiche. Daher ist \(H(A\cup B)=10+17+11=38\). 6. Die Gesamtzahl ist \(H(\Omega)=38+7=45\).

a) \(x=6\) und \(y=17\). b) \(H(A\cup B)=38\) und \(H(\Omega)=45\).