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1. Aus der Tabelle ablesen: Weder Hund noch Katze entspricht \(H(\bar{H} \cap \bar{K}) = 55\). 2. Tabelle ausfüllen: - \(H(K) = 200 - 110 = 90\). - \(H(\bar{H}) = 200 - 85 = 115\). - \(H(\bar{H} \cap K) = 115 - 55 = 60\). - \(H(H \cap \bar{K}) = 110 - 55 = 55\). - Überprüfung: \(H(H \cap K) = 85 - 55 = 30\) (stimmt mit Vorgabe überein). 3. \(\bar{H} \cap K\): Personen, die keinen Hund, aber eine Katze besitzen. 4. Vereinigungen berechnen: - \(H(H \cup K) = H(H) + H(K) - H(H \cap K) = 85 + 90 - 30 = 145\). (Oder: \(200 - H(\bar{H} \cap \bar{K}) = 200 - 55 = 145\)). - \(H(H \cup \bar{K}) = H(H) + H(\bar{K}) - H(H \cap \bar{K}) = 85 + 110 - 55 = 140\).

a) 55 Personen besitzen weder Hund noch Katze. b) Die Tabelle: <table> <tr><td></td><td>\(H\)</td><td>\(\bar{H}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(K\)</td><td>30</td><td>60</td><td>90</td></tr> <tr><td>\(\bar{K}\)</td><td>55</td><td>55</td><td>110</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>85</td><td>115</td><td>200</td></tr> </table> c) \(\bar{H} \cap K\) bedeutet: Besitzt keinen Hund, besitzt aber eine Katze. d) \(H(H \cup K) = 145\) und \(H(H \cup \bar{K}) = 140\).

1. Vervollständigung der Tabelle: - \(H(\bar{M}) = 500 - 300 = 200\). - \(H(\bar{M} \cap P) = 250 - 120 = 130\). - \(H(M \cap \bar{P}) = 300 - 120 = 180\). - \(H(\bar{P}) = 500 - 250 = 250\). - Überprüfung: \(H(\bar{M} \cap \bar{P}) = 200 - 130 = 70\) (stimmt mit Vorgabe überein). 2. Bedeutung der Zahlen: - 120: Anzahl der Schüler, die sowohl Mathematik als auch Physik mögen. Ereignis: \(M \cap P\). - 70: Anzahl der Schüler, die weder Mathematik noch Physik mögen. Ereignis: \(\bar{M} \cap \bar{P}\). 3. \(M \cap \bar{P}\): Das Ereignis, dass ein Schüler Mathematik mag, aber Physik nicht mag. 4. Berechnungen der Vereinigungen: - \(H(M \cup P) = H(M) + H(P) - H(M \cap P) = 300 + 250 - 120 = 430\). (Alternativ: \(500 - H(\bar{M} \cap \bar{P}) = 500 - 70 = 430\)). - \(H(\bar{M} \cup P) = H(\bar{M}) + H(P) - H(\bar{M} \cap P) = 200 + 250 - 130 = 320\).

a) Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(P\)</td><td>120</td><td>130</td><td>250</td></tr> <tr><td>\(\bar{P}\)</td><td>180</td><td>70</td><td>250</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>300</td><td>200</td><td>500</td></tr> </table> b) 120 ist die Häufigkeit von \(M \cap P\) (mag beides). 70 ist die Häufigkeit von \(\bar{M} \cap \bar{P}\) (mag keines von beiden). c) \(M \cap \bar{P}\) bedeutet: Mag Mathematik, aber nicht Physik. d) \(H(M \cup P) = 430\) und \(H(\bar{M} \cup P) = 320\).

- Was ist die Gesamtzahl der befragten Personen? - Welche Informationen stehen für die Zeilen- und Spaltensummen zur Verfügung? - Wie kannst du die inneren Felder berechnen, wenn du eine Randsumme und einen Teilwert kennst? - Achte bei der Prozentrechnung darauf, welche Teilgruppe genau betrachtet wird.

1. Gesamtzahl bestimmen: \(n = 25\). Gegebene Häufigkeiten eintragen: \(H(M) = 12\), \(H(S) = 15\), \(H(\bar{M} \cap \bar{S}) = 4\). 2. Fehlende Randsummen berechnen: \(H(\bar{M}) = 25 - 12 = 13\) und \(H(\bar{S}) = 25 - 15 = 10\). 3. Innere Felder berechnen: - \(H(\bar{M} \cap S) = H(\bar{M}) - H(\bar{M} \cap \bar{S}) = 13 - 4 = 9\). - \(H(M \cap S) = H(S) - H(\bar{M} \cap S) = 15 - 9 = 6\). - \(H(M \cap \bar{S}) = H(M) - H(M \cap S) = 12 - 6 = 6\). 4. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(M\)</td><td>6</td><td>6</td><td>12</td></tr> <tr><td>\(\bar{M}\)</td><td>9</td><td>4</td><td>13</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>15</td><td>10</td><td>25</td></tr> </table> 5. Zu b): Die Anzahl ist \(H(M \cap S) = 6\). 6. Zu c): Gesucht ist die relative Häufigkeit von \(\bar{M} \cap S\). Rechnung: \(\frac{9}{25} = 0{,}36 = 36\,\%\).

a) Die Tabelle enthält die Werte: \(H(M \cap S) = 6\), \(H(M \cap \bar{S}) = 6\), \(H(\bar{M} \cap S) = 9\), \(H(\bar{M} \cap \bar{S}) = 4\). b) 6 Jugendliche treiben Sport und spielen ein Instrument. c) \(36\,\%\) der Jugendlichen treiben Sport, spielen aber kein Instrument.

- Welche Zahl steht in der Zelle, in der sich „Hund“ und „Katze“ überschneiden? - Wie viele Haushalte haben einen Hund, aber zählen nicht zu denen, die auch eine Katze haben? - In einer Vierfeldertafel müssen die inneren Felder addiert die Randwerte ergeben.

1. Identifikation der gegebenen Werte: Gesamtzahl \(n = 100\). Mit \(H\): „Haushalt mit Hund“ und \(K\): „Haushalt mit Katze“ gilt \(|H| = 40\), \(|K| = 30\) und \(|H \cap K| = 15\). 2. Berechnung „Hund, aber keine Katze“: \(40 - 15 = 25\). 3. Berechnung „Katze, aber kein Hund“: \(30 - 15 = 15\). 4. Berechnung der Haushalte ohne Hund: \(100 - 40 = 60\). 5. Berechnung der Haushalte ohne Katze: \(100 - 30 = 70\). 6. Berechnung „Weder Hund noch Katze“: \(60 - 15 = 45\) (oder über die Differenz der Gesamtzahl zur Vereinigung: \(100 - (25 + 15 + 15) = 45\)).

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Katze</td><td>keine Katze</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Hund</td><td>15</td><td>25</td><td>40</td></tr> <tr><td>kein Hund</td><td>15</td><td>45</td><td>60</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>30</td><td>70</td><td>100</td></tr> </table> b) Es gibt 45 Haushalte, die weder einen Hund noch eine Katze besitzen.

- Kannst du die gegebenen Zahlen in die entsprechenden Felder einer Tabelle eintragen? - Wie hängen die Randfelder (Summen) mit den inneren Feldern zusammen? - Welche Informationen fehlen dir noch, um die Zeile der „Jungen“ zu vervollständigen? - Überlege, was die Grundgesamtheit ist, wenn nur nach dem Anteil innerhalb der Gruppe der Jungen gefragt wird.

1. Bestimmung der Anzahl der Jungen: \(120 - 64 = 56\). 2. Berechnung der Anzahl der Mädchen, die kein Instrument spielen: \(64 - 28 = 36\). 3. Berechnung der Anzahl der Jungen, die ein Instrument spielen: \(40 - 28 = 12\). 4. Berechnung der Anzahl der Jungen, die kein Instrument spielen: \(56 - 12 = 44\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Jugendlichen, die kein Instrument spielen: \(36 + 44 = 80\). 6. Überprüfung der Gesamtsumme: \(40 + 80 = 120\). 7. Berechnung des Prozentsatzes der Jungen, die ein Instrument spielen: \(\frac{12}{56} \approx 0{,}2143\), also ca. \(21{,}4\,\%\).

a) Die Vierfeldertafel sieht wie folgt aus: <table> <tr><td></td><td>Instrument</td><td>Kein Instrument</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Mädchen</td><td>28</td><td>36</td><td>64</td></tr> <tr><td>Jungen</td><td>12</td><td>44</td><td>56</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>40</td><td>80</td><td>120</td></tr> </table> b) \(44\) Jungen spielen kein Instrument. c) Etwa \(21{,}4\,\%\) der Jungen spielen ein Instrument.

- Was bedeutet es für die Anzahl der Personen, wenn man weiß, wie viele insgesamt Geige spielen und wie viele davon zusätzlich Querflöte spielen? - Kannst du die Gesamtzahl der Befragten nutzen, um die fehlenden Felder in der Tabelle durch Subtraktion zu finden? - Überlege genau, welche Felder der Tabelle die Bedingung „genau ein Instrument“ erfüllen.

1. Bestimmung der absoluten Häufigkeiten für die Vierfeldertafel: - \(n(V \cap F) = 20\) (Geige und Querflöte) - \(n(V) = 75 \Rightarrow n(V \cap \bar{F}) = 75 - 20 = 55\) (nur Geige) - \(n(F) = 50 \Rightarrow n(\bar{V} \cap F) = 50 - 20 = 30\) (nur Querflöte) - \(n(\text{Gesamt}) = 120\) - \(n(\bar{V}) = 120 - 75 = 45\) - \(n(\bar{F}) = 120 - 50 = 70\) - \(n(\bar{V} \cap \bar{F}) = 45 - 30 = 15\) (keines der beiden) 2. Die resultierende Tabelle: <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar{F}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(20\)</td><td>\(55\)</td><td>\(75\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(30\)</td><td>\(15\)</td><td>\(45\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> 3. Das Ereignis „genau ein Instrument“ umfasst die Fälle „nur Geige“ (\(V \cap \bar{F}\)) und „nur Querflöte“ (\(\bar{V} \cap F\)): \(n(\text{genau eines}) = 55 + 30 = 85\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{genau eines}) = \frac{85}{120} = \frac{17}{24} \approx 0{,}7083\)

Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar{F}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(20\)</td><td>\(55\)</td><td>\(75\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(30\)</td><td>\(15\)</td><td>\(45\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> Die Wahrscheinlichkeit, genau eines der beiden Instrumente zu spielen, beträgt \(\frac{85}{120} = \frac{17}{24} \approx 70{,}8\,\%\).

1. Erstellung der Tabelle: - \(H(S \cap G) = 400\) (gegeben). - \(H(S) = 600 \implies H(S \cap \bar{G}) = 600 - 400 = 200\). - \(H(G) = 550 \implies H(\bar{S} \cap G) = 550 - 400 = 150\). - \(N = 1000\). - \(H(\bar{S}) = 1000 - 600 = 400\). - \(H(\bar{S} \cap \bar{G}) = 400 - 150 = 250\). - \(H(\bar{G}) = 1000 - 550 = 450\) (Probe: \(200 + 250 = 450\)). 2. Bedeutung: - \(S \cap G\): Treibt Sport UND ernährt sich gesund. - \(\bar{S} \cap \bar{G}\): Treibt KEINEN Sport UND ernährt sich NICHT gesund. 3. Sport oder gesunde Ernährung (\(S \cup G\)): - Formel: \(H(S \cup G) = H(S) + H(G) - H(S \cap G) = 600 + 550 - 400 = 750\). - Alternativ über das Gegenereignis: \(1000 - H(\bar{S} \cap \bar{G}) = 1000 - 250 = 750\). 4. \(H(\bar{S} \cup G) = H(\bar{S}) + H(G) - H(\bar{S} \cap G) = 400 + 550 - 150 = 800\).

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>400</td><td>150</td><td>550</td></tr> <tr><td>\(\bar{G}\)</td><td>200</td><td>250</td><td>450</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>600</td><td>400</td><td>1000</td></tr> </table> b) \(S \cap G\) bedeutet, beides zu tun; \(\bar{S} \cap \bar{G}\) bedeutet, keines von beiden zu tun. c) \(H(S \cup G) = 750\). d) \(H(\bar{S} \cup G) = 800\).

- Wie berechnet man eine absolute Zahl aus einer Prozentangabe, die sich auf eine Teilgruppe bezieht? - Achte darauf, dass die Summe der Zeilen und Spalten immer stimmen muss. - Kannst du die Angabe „\(70\,\%\) der Käufer eines Android-Smartphones“ direkt einem Feld oder einer Summe zuordnen?

1. Gesamtzahl \(n = 200\). Gegeben: \(H(A) = 120\) und \(H(F) = 90\). 2. Berechnung von \(H(A \cap \bar{F})\): \(70\,\%\) von \(120\) Android-Käufern haben keine Folie. Rechnung: \(0{,}7 \cdot 120 = 84\). 3. Berechnung von \(H(A \cap F)\): \(H(A) - H(A \cap \bar{F}) = 120 - 84 = 36\). Dies beantwortet Teil a). 4. Restliche Felder der Tafel: - \(H(\bar{A}) = 200 - 120 = 80\). - \(H(\bar{F}) = 200 - 90 = 110\). - \(H(\bar{A} \cap F) = H(F) - H(A \cap F) = 90 - 36 = 54\). - \(H(\bar{A} \cap \bar{F}) = H(\bar{A}) - H(\bar{A} \cap F) = 80 - 54 = 26\). 5. Die fertige Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar{F}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>36</td><td>84</td><td>120</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>54</td><td>26</td><td>80</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>90</td><td>110</td><td>200</td></tr> </table> 6. Zu c): Die Anzahl der Kunden ohne Android-Gerät, aber mit Schutzfolie ist \(H(\bar{A} \cap F) = 54\).

a) 36 Käufer haben ein Android-Gerät mit Schutzfolie gekauft. b) Die Tafel ist: \(H(A \cap F)=36\), \(H(A \cap \bar{F})=84\), \(H(\bar{A} \cap F)=54\), \(H(\bar{A} \cap \bar{F})=26\). c) 54 Kunden haben kein Android-Gerät, aber eine Schutzfolie gekauft.

- Überlege dir zuerst, welche Werte direkt im Text stehen und wo sie in der Tabelle hingehören. - Achte genau darauf, worauf sich die Prozentangabe bezieht: auf alle Jugendlichen oder nur auf die Fußballspieler? - Die Summen der Zeilen und Spalten müssen immer mit den Randwerten übereinstimmen. - Was ist die Grundmenge bei der Berechnung in Aufgabenteil b)?

1. Berechnung der Anzahl der Mädchen, die Fußball spielen: \(90 \cdot 0{,}4 = 36\). 2. Bestimmung der Anzahl der Jungen, die Fußball spielen: \(90 - 36 = 54\). 3. Berechnung der Gesamtzahl der Mädchen: \(36 + 30 = 66\). 4. Berechnung der Gesamtzahl der Jungen: \(150 - 66 = 84\). 5. Bestimmung der Anzahl der Jungen, die nicht Fußball spielen: \(84 - 54 = 30\). 6. Berechnung der Gesamtzahl der Jugendlichen, die nicht Fußball spielen: \(30 + 30 = 60\). 7. Berechnung des prozentualen Anteils der Fußball spielenden Jungen an der Gesamtzahl der Jungen: \(\frac{54}{84} \approx 0{,}642857\ldots\), also ca. \(64{,}3\,\%\).

a) Die Vierfeldertafel sieht wie folgt aus: <table> <tr><td></td><td>Fußball</td><td>spielt nicht Fußball</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Mädchen</td><td>36</td><td>30</td><td>66</td></tr> <tr><td>Jungen</td><td>54</td><td>30</td><td>84</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>90</td><td>60</td><td>150</td></tr> </table> b) Ungefähr \(64{,}3\,\%\) der Jungen spielen Fußball.

- Beginne damit, die Gesamtzahlen für Maschine A und Maschine B festzulegen. - Berechne dann die Anzahl der defekten Stücke für jede Maschine einzeln. - Wie viele Bauteile sind insgesamt defekt? - Um den Gesamtanteil zu finden, teile die Summe aller defekten Teile durch die Gesamtzahl der Bauteile.

1. Anzahl der Bauteile von Maschine B: \(200 - 120 = 80\). 2. Anzahl der defekten Bauteile von Maschine A: \(120 \cdot 0{,}05 = 6\). 3. Anzahl der einwandfreien Bauteile von Maschine A: \(120 - 6 = 114\). 4. Anzahl der defekten Bauteile von Maschine B: \(80 \cdot 0{,}10 = 8\). 5. Anzahl der einwandfreien Bauteile von Maschine B: \(80 - 8 = 72\). 6. Gesamtzahl der defekten Bauteile: \(6 + 8 = 14\). 7. Gesamtzahl der einwandfreien Bauteile: \(114 + 72 = 186\). 8. Anteil der Defekten an der Gesamtmenge: \(\frac{14}{200} = 0{,}07 = 7\,\%\).

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>defekt</td><td>einwandfrei</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Maschine A</td><td>6</td><td>114</td><td>120</td></tr> <tr><td>Maschine B</td><td>8</td><td>72</td><td>80</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>14</td><td>186</td><td>200</td></tr> </table> b) Der Anteil der defekten Bauteile an der Gesamtmenge beträgt \(7\,\%\).

- Achte genau darauf, welche Kombinationen im Text beschrieben werden (z. B. "einen Fehler, aber nicht den anderen"). - Wie kannst du die Anzahl der Bauteile mit Formfehler aus den Teilmengen berechnen? - Was ist das Gegenereignis zu "beide Fehler gleichzeitig"?

1. Grunddaten: Gesamtzahl \(N = 1000\). Gegeben sind \(H(\bar{M}) = 920\), \(H(F \cap \bar{M}) = 35\) und \(H(M \cap F) = 20\). 2. Berechnung der Randsummen und Felder: - \(H(M) = 1000 - 920 = 80\) - \(H(F) = H(F \cap M) + H(F \cap \bar{M}) = 20 + 35 = 55\) - \(H(M \cap \bar{F}) = H(M) - H(M \cap F) = 80 - 20 = 60\) - \(H(\bar{M} \cap \bar{F}) = H(\bar{M}) - H(\bar{M} \cap F) = 920 - 35 = 885\) - \(H(\bar{F}) = 1000 - 55 = 945\) 3. Anzahl der Bauteile mit Formfehler: \(H(F) = 55\). 4. Berechnung von \(H(\bar{M} \cup \bar{F})\): \(H(\bar{M} \cup \bar{F}) = H(\bar{M}) + H(\bar{F}) - H(\bar{M} \cap \bar{F}) = 920 + 945 - 885 = 980\). Alternativ: \(1000 - H(M \cap F) = 1000 - 20 = 980\). 5. Interpretation: Es gibt \(980\) Bauteile, die nicht beide Fehler gleichzeitig haben (sie haben also maximal einen Fehler).

a) Die Tabelle lautet: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>\(20\)</td><td>\(35\)</td><td>\(55\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>\(60\)</td><td>\(885\)</td><td>\(945\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(80\)</td><td>\(920\)</td><td>\(1000\)</td></tr> </table> b) Es haben insgesamt \(55\) Bauteile einen Formfehler. c) \(H(\bar{M} \cup \bar{F}) = 980\). Das bedeutet, dass \(980\) Bauteile höchstens einen der beiden Fehler haben (also nicht "doppelt fehlerhaft" sind).

- Rechne zuerst alle Prozentangaben in absolute Personenzahlen um. - Achte darauf, auf welche Gruppe sich die Prozentangabe bezieht (auf alle Befragten oder nur auf die Mädchen?). - Wie viele regelmäßig Lesende gibt es insgesamt, wenn du die regelmäßig lesenden Jungen und die regelmäßig lesenden Mädchen addierst?

1. Berechnung der Anzahl der Jungen: \(0{,}45 \cdot 500 = 225\). 2. Berechnung der Anzahl der Mädchen: \(500 - 225 = 275\). 3. Berechnung der regelmäßig lesenden Mädchen: \(0{,}60 \cdot 275 = 165\). 4. Berechnung der nicht regelmäßig lesenden Mädchen: \(275 - 165 = 110\). 5. Berechnung der regelmäßig lesenden Jungen: \(225 - 120 = 105\). 6. Berechnung der Gesamtzahl der regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(165 + 105 = 270\). 7. Berechnung der Gesamtzahl der nicht regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(110 + 120 = 230\). 8. Berechnung des Gesamtanteils der regelmäßig lesenden Jugendlichen: \(\frac{270}{500} = 0{,}54 = 54\,\%\).

a) Die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten: <table> <tr><td></td><td>Liest regelmäßig</td><td>Liest nicht regelmäßig</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Mädchen</td><td>165</td><td>110</td><td>275</td></tr> <tr><td>Jungen</td><td>105</td><td>120</td><td>225</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>270</td><td>230</td><td>500</td></tr> </table> b) Insgesamt lesen \(54\,\%\) der Jugendlichen regelmäßig Bücher.

- Wie kannst du die Anzahl der Schüler berechnen, die in der Schnittmenge beider Gruppen liegen? - Was bedeutet der Begriff „Mehrheit“ mathematisch in Bezug auf einen Anteil? - Schau dir nur die Gruppe der Vegetarier an, um die letzte Teilaufgabe zu lösen.

1. Anwendung des Inklusions-Exklusions-Prinzips für absolute Häufigkeiten: \(H(V \cup P) = H(V) + H(P) - H(V \cap P)\). 2. Einsetzen der Werte: \(190 = 80 + 150 - H(V \cap P)\). 3. Auflösen nach der Schnittmenge: \(H(V \cap P) = 230 - 190 = 40\). 4. Ausfüllen der Vierfeldertafel: - \(H(V \cap \bar{P}) = 80 - 40 = 40\) - \(H(\bar{V} \cap P) = 150 - 40 = 110\) - \(H(\bar{V} \cap \bar{P}) = 200 - 190 = 10\) <table> <tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\bar{P}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>40</td><td>40</td><td>80</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>110</td><td>10</td><td>120</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>150</td><td>50</td><td>200</td></tr> </table> 5. Prüfung der Behauptung: Anteil der Pizza-Liebhaber unter den Vegetariern ist \(\frac{H(V \cap P)}{H(V)} = \frac{40}{80} = 0{,}5\) (oder \(50\,\%\)). 6. Da eine „Mehrheit“ mehr als \(50\,\%\) erfordert, ist die Aussage nicht korrekt, da es genau die Hälfte ist.

a) Es sind 40 Schüler. b) Die Tabelle hat die inneren Werte 40, 40, 110 und 10. c) Die Aussage ist nicht korrekt. Genau \(50\,\%\) der Vegetarier essen gerne Pizza, was keine Mehrheit (mehr als \(50\,\%\)) darstellt.

- Berechne zuerst die absoluten Zahlen aus den Prozentangaben. - Achte darauf, dass sich die Prozentangaben jeweils nur auf die jeweilige Klassenstufe beziehen. - Bei Teilaufgabe c) hilft es, den Ausdruck in der Klammer erst einzeln zu übersetzen und dann zusammenzuführen. - Was passiert, wenn man alle Schüler, die das vegetarische Gericht gewählt haben, zusammenzählt?

1. Berechnung der Häufigkeiten: - Stufe 9 (\(K_9\)): \(90\) Schüler. Vegetarisch (\(V\)): \(0{,}60 \cdot 90 = 54\). Nicht vegetarisch (\(\bar{V}\)): \(90 - 54 = 36\). - Stufe 10 (\(K_{10}\)): \(110\) Schüler. Vegetarisch (\(V\)): \(0{,}40 \cdot 110 = 44\). Nicht vegetarisch (\(\bar{V}\)): \(110 - 44 = 66\). - Gesamtsummen: \(|V| = 54 + 44 = 98\), \(|\bar{V}| = 36 + 66 = 102\). 2. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: - \(P(K_9 \cap V) = \frac{54}{200} = 0{,}27\). - \(P(K_{10} \cap V) = \frac{44}{200} = 0{,}22\). - Das Ereignis „Neuntklässler und vegetarisches Gericht“ ist wahrscheinlicher (\(27\,\%\)) als das Ereignis „Zehntklässler und vegetarisches Gericht“ (\(22\,\%\)). 3. Analyse von \(E = (K_9 \cap V) \cup (K_{10} \cap V)\): - Vereinfachung: Da \(K_9\) und \(K_{10}\) die gesamte Gruppe bilden, ist \(E\) das Ereignis, dass ein Schüler das vegetarische Gericht gewählt hat (unabhängig von der Klassenstufe). - Rechnung: \(P(E) = P(V) = \frac{98}{200} = 0{,}49\).

a) Vierfeldertafel: \(K_9 \cap V = 54\), \(K_9 \cap \bar{V} = 36\), \(K_{10} \cap V = 44\), \(K_{10} \cap \bar{V} = 66\). b) \(P(K_9 \cap V) = 0{,}27\) ist größer als \(P(K_{10} \cap V) = 0{,}22\). c) \(E\) ist das Ereignis, dass ein Schüler das vegetarische Gericht gewählt hat. \(P(E) = 0{,}49\).

- Was bedeutet es für die Felder der Tabelle, wenn ein Bauteil "keinen der beiden Defekte" hat? - Überlege genau, welche Kombinationen von Defekten unter den Begriff "genau ein Defekt" fallen. - Kannst du die Informationen Schritt für Schritt von außen nach innen in die Tabelle eintragen?

1. Gegeben sind: \(n = 500\), \(H(\bar{D_1} \cap \bar{D_2}) = 465\), \(H(D_1) = 20\), \(H(D_2) = 25\). 2. Bestimmung der Randsummen: \(H(\bar{D_1}) = 500 - 20 = 480\) und \(H(\bar{D_2}) = 500 - 25 = 475\). 3. Innere Felder berechnen: - \(H(D_1 \cap \bar{D_2}) = H(\bar{D_2}) - H(\bar{D_1} \cap \bar{D_2}) = 475 - 465 = 10\). - \(H(D_1 \cap D_2) = H(D_1) - H(D_1 \cap \bar{D_2}) = 20 - 10 = 10\). - \(H(\bar{D_1} \cap D_2) = H(D_2) - H(D_1 \cap D_2) = 25 - 10 = 15\). 4. Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(D_2\)</td><td>\(\bar{D_2}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(D_1\)</td><td>10</td><td>10</td><td>20</td></tr> <tr><td>\(\bar{D_1}\)</td><td>15</td><td>465</td><td>480</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>25</td><td>475</td><td>500</td></tr> </table> 5. Zu b): Die Anzahl der Bauteile mit beiden Defekten ist \(H(D_1 \cap D_2) = 10\). 6. Zu c): „Genau ein Defekt“ bedeutet entweder \((D_1 \cap \bar{D_2})\) oder \((\bar{D_1} \cap D_2)\). Summe: \(10 + 15 = 25\).

a) Die Tafel enthält die Werte: \(10\) (beide), \(10\) (nur \(D_1\)), \(15\) (nur \(D_2\)), \(465\) (keiner). b) 10 Bauteile haben beide Defekte. c) 25 Bauteile sind leicht beschädigt.

- Beginne damit, die Belegschaft in Raucher und Nichtraucher aufzuteilen. - Nutze dann die Information über die \(20\,\%\), um das Feld innerhalb der Gruppe der Raucher zu füllen. - Um Gruppen zu vergleichen, solltest du nicht die absoluten Zahlen, sondern die relativen Anteile innerhalb der jeweiligen Gruppe betrachten. - Was bedeutet „Teilnahmequote“ in Bezug auf die jeweilige Teilgruppe?

1. Berechnung der Anzahl der Raucher: \(0{,}25 \cdot 800 = 200\). 2. Anzahl der Nichtraucher: \(800 - 200 = 600\). 3. Anzahl der Raucher im Programm: \(0{,}20 \cdot 200 = 40\). 4. Anzahl der Raucher nicht im Programm: \(200 - 40 = 160\). 5. Anzahl der Nichtraucher im Programm: \(600 - 320 = 280\). 6. Gesamtzahl Programmteilnehmer: \(40 + 280 = 320\). 7. Gesamtzahl Nicht-Teilnehmer: \(160 + 320 = 480\). 8. Vergleich der Quoten: Quote Raucher = \(20\,\%\) (gegeben). Quote Nichtraucher = \(\frac{280}{600} \approx 0{,}4667 = 46{,}7\,\%\). 9. Ergebnis: Die Teilnahmequote ist bei den Nichtrauchern deutlich höher (\(46{,}7\,\%\) gegenüber \(20\,\%\)).

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Programm</td><td>Kein Programm</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Raucher</td><td>40</td><td>160</td><td>200</td></tr> <tr><td>Nichtraucher</td><td>280</td><td>320</td><td>600</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>320</td><td>480</td><td>800</td></tr> </table> b) Bei den Rauchern nehmen \(20\,\%\) teil. Bei den Nichtrauchern liegt die Quote bei \(\frac{280}{600} \approx 46{,}7\,\%\). Die Teilnahmequote ist somit bei den Nichtrauchern mehr als doppelt so hoch wie bei den Rauchern.

- Achte auf den Unterschied zwischen absoluten Zahlen und relativen Anteilen. - Was bedeutet „genau ein Defekt“ für die Kombination der Ereignisse? - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der absoluten Anzahl und der Gesamtzahl?

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten: \(H(A \cap B) = 5\), \(H(A \cap \bar{B}) = 25 - 5 = 20\), \(H(\bar{A} \cap B) = 15 - 5 = 10\). 2. Berechnung der Anzahl fehlerfreier Bauteile: \(H(\bar{A} \cap \bar{B}) = 500 - (20 + 10 + 5) = 465\). 3. Umrechnung in relative Häufigkeiten (\(N = 500\)): - \(h(A \cap B) = \frac{5}{500} = 0{,}01\) - \(h(A \cap \bar{B}) = \frac{20}{500} = 0{,}04\) - \(h(\bar{A} \cap B) = \frac{10}{500} = 0{,}02\) - \(h(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{465}{500} = 0{,}93\) 4. Vierfeldertafel (relativ): <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}01\)</td><td>\(0{,}04\)</td><td>\(0{,}05\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>\(0{,}02\)</td><td>\(0{,}93\)</td><td>\(0{,}95\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}03\)</td><td>\(0{,}97\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> 5. Wahrscheinlichkeit für genau einen Defekt: \(P = h(A \cap \bar{B}) + h(\bar{A} \cap B) = 0{,}04 + 0{,}02 = 0{,}06\). 6. Wahrscheinlichkeit für fehlerfrei: \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}93\).

a) Die relativen Häufigkeiten sind: \(h(A \cap B) = 1\,\%\), \(h(A \cap \bar{B}) = 4\,\%\), \(h(\bar{A} \cap B) = 2\,\%\), \(h(\bar{A} \cap \bar{B}) = 93\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}06\) (oder \(6\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}93\) (oder \(93\,\%\)).