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- Was bedeutet es für die Berechnung, wenn ein Gerät beide Fehler gleichzeitig hat? - Wie hängen die Mengen der einzelnen Fehler und die Menge der Geräte mit mindestens einem Fehler zusammen? - Überlege, ob du die Geräte, die beide Fehler haben, doppelt gezählt hast.

1. Definition der Ereignisse: \(A\): Tablet hat Pixelfehler, \(B\): Tablet hat Gehäusemängel. 2. Gegebene Werte: \(|A| = 35\), \(|B| = 20\), \(|A \cap B| = 8\), Gesamtzahl \(N = 2\,500\). 3. Anwendung des Additionssatzes für die Anzahl der mangelhaften Geräte: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\). 4. Berechnung: \(|A \cup B| = 35 + 20 - 8 = 47\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(A \cup B) = \frac{47}{2\,500} = 0{,}0188\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{47}{2\,500}\) (oder \(1{,}88\,\%\)).

- Kannst du bestimmen, wie viele Jugendliche insgesamt mindestens eines der beiden Hobbys haben? - Wie hängen die Gesamtzahl der Leser, die Gesamtzahl der Sportler und die Anzahl derer, die beides tun, zusammen? - Was bedeutet das Wort „weder ... noch“ für die Verteilung in einer Tabelle? - Überlege dir, welches Feld in der Tabelle genau die Jugendlichen beschreibt, die zwar regelmäßig lesen, aber nicht regelmäßig Sport treiben.

1. Bestimmung der Anzahl der Jugendlichen, die mindestens eine der Tätigkeiten ausüben: Von den \(120\) Jugendlichen fallen \(25\) weg, also \(120 - 25 = 95\). Es gilt somit \(|L \cup S| = 95\). 2. Berechnung der Schnittmenge (Jugendliche, die beides tun) mit der Formel für die Mächtigkeit von Mengen: \(|L \cap S| = |L| + |S| - |L \cup S| = 65 + 48 - 95 = 18\). 3. Erstellung der Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(L\)</td><td>\(\bar{L}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(18\)</td><td>\(30\)</td><td>\(48\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(47\)</td><td>\(25\)</td><td>\(72\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(65\)</td><td>\(55\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(L \cap \bar{S}\): Aus der Tabelle entnimmt man \(47\) Jugendliche, die regelmäßig lesen, aber nicht regelmäßig Sport treiben. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(L \cap \bar{S}) = \frac{47}{120} \approx 0{,}392\).

a) Es sind \(18\) Jugendliche. b) Die Vierfeldertafel enthält die Werte: \(L \cap S = 18\), \(\bar{L} \cap S = 30\), \(L \cap \bar{S} = 47\), \(\bar{L} \cap \bar{S} = 25\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{47}{120}\).

- Überlege, was es für die Berechnung bedeutet, wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, ihrer Vereinigung und ihrer Schnittmenge zusammen? - Was ist der größtmögliche Wert, den die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung annehmen kann, wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten feststehen?

1. Berechnung für unvereinbare Ereignisse: Da \(A \cap B = \emptyset\), gilt der einfache Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Einsetzen der Werte ergibt \(0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8\). 2. Berechnung der Schnittmenge: Mit dem allgemeinen Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) folgt durch Umstellen \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\). Einsetzen ergibt \(0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}1\). 3. Begründung der Unmöglichkeit: Die maximale Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung \(P(A \cup B)\) wird erreicht, wenn die Ereignisse unvereinbar sind (\(P(A \cap B) = 0\)). In diesem Fall ist \(P(A \cup B) = 0{,}8\). Da \(0{,}9 > 0{,}8\) ist, kann dieser Wert nicht angenommen werden, da sonst \(P(A \cap B)\) negativ sein müsste, was unmöglich ist.

a) \(P(A \cup B) = 0{,}8\) b) \(P(A \cap B) = 0{,}1\) c) Der Maximalwert für \(P(A \cup B)\) ist bei Unvereinbarkeit \(0{,}8\). Da \(0{,}9 > 0{,}8\), ist dieser Wert nicht erreichbar.

- Welche Zahlen zwischen 1 und 40 erfüllen die erste Bedingung? - Welche Zahlen erfüllen die zweite Bedingung? - Gibt es Zahlen, die in beiden Listen vorkommen? - Wie oft würdest du diese gemeinsamen Zahlen zählen, wenn du die Listen einfach addierst?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: Es gibt insgesamt \(|\Omega| = 40\) mögliche Ergebnisse. 2. Ereignis \(A\) (durch 4 teilbar): Die Vielfachen von 4 bis 40 sind \(\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40\}\). Somit ist \(|A| = 10\). 3. Ereignis \(B\) (durch 10 teilbar): Die Vielfachen von 10 bis 40 sind \(\{10, 20, 30, 40\}\). Somit ist \(|B| = 4\). 4. Schnittmenge \(A \cap B\) (durch 4 und 10 teilbar): Dies sind die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 4 und 10, also von 20. Dies sind \(\{20, 40\}\), also \(|A \cap B| = 2\). 5. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{10}{40} + \frac{4}{40} - \frac{2}{40} = \frac{12}{40}\). 6. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{3}{10}\) (oder \(0{,}3\) bzw. \(30\,\%\)).

- Was bedeutet die Formulierung „mindestens eines von beiden“ mathematisch für die Verknüpfung der Ereignisse? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Schnittmenge mit der Vereinigungsmenge zusammen? - Überlege, was das Gegenereignis zu „mindestens eines von beiden“ ist.

1. Gegeben sind \(P(S) = 0{,}6\), \(P(M) = 0{,}5\) und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung \(P(S \cup M) = 0{,}8\). 2. Zur Berechnung von \(P(S \cap M)\) wird der Additionssatz verwendet: \(P(S \cup M) = P(S) + P(M) - P(S \cap M)\). 3. Umstellen der Formel ergibt \(P(S \cap M) = P(S) + P(M) - P(S \cup M) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8 = 0{,}3\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für „weder noch“ entspricht dem Gegenereignis der Vereinigung: \(P(\bar{S} \cap \bar{M}) = 1 - P(S \cup M)\). 5. Berechnung: \(P(\bar{S} \cap \bar{M}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3\) (oder \(30\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2\) (oder \(20\,\%\)).

- Eine Tabelle kann helfen, den Überblick über die verschiedenen Gruppen (nur Aufbau, nur Verkauf, beides, keine der beiden Aufgaben) zu behalten. - Achte darauf, dass die Randsummen in der Tabelle mit den Werten aus dem Text übereinstimmen. - Was passiert mit Personen, die zwei Aufgaben übernehmen, wenn man die Aufgabenlisten einfach addiert?

1. Erstellung der Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Verkauf (\(V\))</td><td>kein Verkauf (\(\bar{V}\))</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>Aufbau (\(A\))</td><td>10</td><td>14</td><td>24</td></tr> <tr><td>kein Aufbau (\(\bar{A}\))</td><td>8</td><td>8</td><td>16</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>18</td><td>22</td><td>40</td></tr> </table> 2. Bestimmung der Anzahl derer, die weder noch helfen: Aus der Tabelle ergibt sich \(|\bar{A} \cap \bar{V}| = 8\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für b): \(P(\bar{A} \cap \bar{V}) = \frac{8}{40} = 0{,}2\). 4. Erklärung für c): In der Summe \(24 + 18 = 42\) werden die \(10\) Personen, die beides machen, zweifach gezählt. Die Anzahl der Personen, die bei mindestens einer der beiden Aufgaben helfen, ist \(24 + 18 - 10 = 32\).

a) Die Tabelle zeigt: \(10\) helfen bei beidem, \(14\) nur Aufbau, \(8\) nur Verkauf, \(8\) helfen bei keiner der beiden Aufgaben. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2\) (oder \(20\,\%\)). c) Die Personen, die bei beiden Aufgaben helfen, werden in der Summe doppelt gezählt.

- Wie berechnet man eine Wahrscheinlichkeit aus einer absoluten Häufigkeit in der Tabelle? - Welche Zahl in der Tabelle steht für die Schnittmenge \(A \cap B\)? - Überlege dir, welche Teilbereiche (Zellen der Tabelle) zur Menge \(A \cup B\) gehören. - Berechne die linke und die rechte Seite der Gleichung getrennt voneinander.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten aus der Tabelle (\(N = 400\)): - \(P(A) = \frac{160}{400} = 0{,}4\) - \(P(B) = \frac{200}{400} = 0{,}5\) - \(P(A \cap B) = \frac{60}{400} = 0{,}15\) 2. Berechnung der rechten Seite des Additionssatzes: - \(P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}75\) 3. Berechnung der linken Seite über die günstigen Fälle für \(A \cup B\): - \(|A \cup B| = |A \cap B| + |A \cap \bar{B}| + |\bar{A} \cap B| = 60 + 100 + 140 = 300\) - \(P(A \cup B) = \frac{300}{400} = 0{,}75\) 4. Vergleich: Da \(0{,}75 = 0{,}75\), ist die Gleichung bestätigt.

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich für beide Seiten der Gleichung der Wert \(0{,}75\). Damit ist der Additionssatz bestätigt.

- Welche Formel verknüpft die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen und deren Vereinigung? - Was bedeutet „genau eine“ im Vergleich zu „mindestens eine“? - Was passiert mit Schülern, die in beiden Gruppen sind, wenn man einfach die Prozentzahlen der Gruppen zusammenzählt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für beide AGs (\(P(T \cap I)\)) mit dem Additionssatz: \(P(T \cup I) = P(T) + P(I) - P(T \cap I)\). Umgestellt ergibt sich \(P(T \cap I) = 0{,}3 + 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}1\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „genau eine AG“: Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für mindestens eine AG abzüglich der Wahrscheinlichkeit für beide AGs. \(P(\text{genau eine}) = P(T \cup I) - P(T \cap I) = 0{,}45 - 0{,}1 = 0{,}35\). Alternativ: \(P(T \setminus I) + P(I \setminus T) = (0{,}3 - 0{,}1) + (0{,}25 - 0{,}1) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35\). 3. Erklärung des Denkfehlers: Die einfache Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten (\(0{,}55\)) vernachlässigt, dass Schüler, die in beiden AGs sind, doppelt gezählt werden. Da die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für mindestens eine AG (\(0{,}45\)) kleiner als \(0{,}55\) ist, gibt es Überschneidungen (die \(0{,}1\), die doppelt gezählt wurden).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(T \cap I) = 0{,}1\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}35\). c) Der Schüler hat die Schnittmenge doppelt gezählt; man darf Einzelwahrscheinlichkeiten nur addieren, wenn die Ereignisse unvereinbar sind.

- Was bedeutet die Information, dass jeder Befragte mindestens einen Dienst nutzt, für die Gesamtanzahl der berücksichtigten Personen? - Wie kannst du die Gruppe der Streaming-Nutzer aufteilen, um diejenigen zu finden, die keine sozialen Medien nutzen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen absoluter Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit bei einer Zufallsauswahl.

1. Bestimmung der Schnittmenge: Da jede Person mindestens einen Dienst nutzt, ist die absolute Häufigkeit der Vereinigung gleich der Gesamtzahl, also \(H(S \cup T) = 100\). Aus \(100 = 75 + 40 - H(S \cap T)\) folgt \(H(S \cap T) = 15\). 2. Überprüfung des Additionssatzes: Einsetzen der Werte ergibt \(100 = 75 + 40 - 15\). Da \(115 - 15 = 100\) ist, ist die Gleichung erfüllt. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „nur Streaming“: Die Anzahl der Personen, die nur Streaming nutzen, ist \(H(T) - H(S \cap T) = 40 - 15 = 25\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(\text{nur } T) = \frac{25}{100} = 0{,}25\) bzw. \(25\,\%\).

a) \(H(S \cap T) = 15\) b) Der Additionssatz ist mit \(100 = 75 + 40 - 15\) korrekt erfüllt. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}25\) (oder \(25\,\%\)).

- Erinnere dich an den allgemeinen Additionssatz für beliebige Ereignisse. - Eine Vierfeldertafel kann helfen, die Wahrscheinlichkeiten von verknüpften Ereignissen mit Komplementen zu bestimmen. - Wann nennt man zwei Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitsrechnung „unvereinbar“?

1. Berechnung von \(P(A \cup B)\) mit dem Additionssatz: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{8} + \frac{4}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 2. Berechnung von \(P(\bar{A} \cup B)\): Es gilt \(P(\bar{A} \cup B) = 1 - P(A \cap \bar{B})\). 3. Zuerst \(P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}\). 4. Dann \(P(\bar{A} \cup B) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). 5. Alternativer Weg für b): \(P(\bar{A} \cup B) = P(\bar{A}) + P(B) - P(\bar{A} \cap B) = \frac{5}{8} + \frac{4}{8} - \frac{2}{8} = \frac{7}{8}\), wobei \(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{8} - \frac{2}{8} = \frac{2}{8}\). 6. Prüfung auf Unvereinbarkeit: Ereignisse sind unvereinbar, wenn \(P(A \cap B) = 0\). Da \(P(A \cap B) = \frac{1}{4} \neq 0\), sind sie vereinbar (nicht disjunkt).

a) \(P(A \cup B) = \frac{5}{8}\). b) \(P(\bar{A} \cup B) = \frac{7}{8}\). c) Die Ereignisse sind nicht unvereinbar, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{4} \neq 0\) gilt.

- Schreibe dir zuerst alle Zahlen von 1 bis 12 auf und markiere diejenigen, die zu den jeweiligen Ereignissen gehören. - Achte darauf, welche Zahlen in beiden Ereignissen gleichzeitig vorkommen. - Wie viele Zahlen sind insgesamt in der Liste für „A oder B“, wenn du keine Zahl doppelt zählst?

1. Ergebnismengen aufstellen: \(A = \{3; 6; 9; 12\}\), \(B = \{8; 9; 10; 11; 12\}\). 2. Schnittmenge bestimmen: \(A \cap B = \{9; 12\}\). 3. Vereinigungsmenge bestimmen: \(A \cup B = \{3; 6; 8; 9; 10; 11; 12\}\). 4. Wahrscheinlichkeiten berechnen (Anzahl günstiger durch Anzahl möglicher Ergebnisse, \(n=12\)): \(P(A) = \frac{4}{12}\), \(P(B) = \frac{5}{12}\), \(P(A \cap B) = \frac{2}{12}\). 5. Wahrscheinlichkeit der Vereinigung direkt bestimmen: \(P(A \cup B) = \frac{7}{12}\). 6. Überprüfung des Additionssatzes: \(\frac{4}{12} + \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\). Die Gleichung ist erfüllt.

a) \(A = \{3; 6; 9; 12\}\), \(B = \{8; 9; 10; 11; 12\}\), \(A \cap B = \{9; 12\}\), \(A \cup B = \{3; 6; 8; 9; 10; 11; 12\}\). b) \(P(A) = \frac{4}{12}\), \(P(B) = \frac{5}{12}\), \(P(A \cap B) = \frac{2}{12}\). Rechnung: \(\frac{4}{12} + \frac{5}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} = P(A \cup B)\).

- Erinnere dich an die Formel, die die Wahrscheinlichkeiten von \(A\), \(B\), deren Schnittmenge und deren Vereinigung verbindet. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen „mindestens eines“ und „keines von beiden“? - Wie berechnet man den Anteil eines Kreises im Venn-Diagramm, der nicht vom anderen Kreis überlappt wird?

1. Berechnung von \(P(A \cup B)\) mit der Additionsregel: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}35 + 0{,}55 - 0{,}15 = 0{,}75\) 2. Berechnung von \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\) über das Gegenereignis: \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\) 3. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten für den Vergleich: - Wahrscheinlichkeit für \(B\) ohne \(A\): \(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}55 - 0{,}15 = 0{,}40\) - Wahrscheinlichkeit für \(A\) ohne \(B\): \(P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}20\) 4. Vergleich: \(0{,}40 > 0{,}20\), also ist die Aussage wahr.

a) \(P(A \cup B) = 0{,}75\) b) \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}25\) c) Die Aussage ist wahr, da \(P(\bar{A} \cap B) = 0{,}40\) und \(P(A \cap \bar{B}) = 0{,}20\).

- Wie viele dreistellige Zahlen gibt es insgesamt? Denke daran, dass die 100 die erste und die 999 die letzte ist. - Wie findet man die kleinste und größte durch 25 teilbare dreistellige Zahl? - Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 25 und 40? - Warum darf man die Schnittmenge nicht doppelt zählen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl dreistelliger Zahlen: Von \(100\) bis \(999\) gibt es \(999 - 100 + 1 = 900\) Zahlen. 2. Ereignis \(A\) (durch \(25\) teilbar): Die kleinste Zahl ist \(100\) (\(4 \cdot 25\)), die größte \(975\) (\(39 \cdot 25\)). Anzahl: \(39 - 4 + 1 = 36\). 3. Ereignis \(B\) (durch \(40\) teilbar): Die kleinste Zahl ist \(120\) (\(3 \cdot 40\)), die größte \(960\) (\(24 \cdot 40\)). Anzahl: \(24 - 3 + 1 = 22\). 4. Schnittmenge \(A \cap B\): Zahlen müssen durch \(kgV(25, 40) = 200\) teilbar sein. Dies sind \(\{200, 400, 600, 800\}\). Anzahl: \(4\). 5. Additionssatz: \(P(A \cup B) = \frac{36}{900} + \frac{22}{900} - \frac{4}{900} = \frac{54}{900}\). 6. Ergebnis berechnen: \(\frac{54}{900} = \frac{6}{100} = 0{,}06\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}06\) (oder \(6\,\%\)).

- Wie viel Prozent der Haushalte lesen insgesamt mindestens eine Zeitung? - Nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Kannst du aus den gegebenen Werten berechnen, wie groß der Anteil der Haushalte sein muss, die beide Zeitungen lesen?

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(\text{keine}) = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zeitung gelesen wird: \(P(A \cup B) = 1 - P(\text{keine}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 3. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). 4. Einsetzen und nach der Schnittmenge auflösen: \(0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}5 - P(A \cap B)\). 5. \(0{,}8 = 1{,}1 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 1{,}1 - 0{,}8 = 0{,}3\). 6. Vergleich: Da \(P(A \cap B) = 0{,}3\) (also \(30\,\%\)) sein muss, ist die Behauptung von \(40\,\%\) falsch.

Nein, das ist nicht möglich. Unter den gegebenen Bedingungen müssen genau \(30\,\%\) der Haushalte beide Zeitungen lesen, da \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8 = 0{,}3\) gilt.

- Was ist der maximale Wert, den eine Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis (wie die Vereinigung) annehmen kann? - Nutze den Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) und überlege, was passiert, wenn man für die linke Seite den größtmöglichen Wert einsetzt. - Wenn ein Kreis in einem Diagramm komplett innerhalb eines anderen Kreises liegt, was ist dann ihre gemeinsame Fläche?

1. Begründung zur Unvereinbarkeit: Wären \(A\) und \(B\) unvereinbar, müsste \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) gelten. Hier wäre \(0{,}75 + 0{,}4 = 1{,}15\). Da eine Wahrscheinlichkeit niemals größer als \(1\) sein kann, muss es eine Schnittmenge geben (\(P(A \cap B) > 0\)). 2. Bestimmung des Minimums von \(P(A \cap B)\): Da \(P(A \cup B) \le 1\) gilt und \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), folgt \(P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1\). Einsetzen ergibt \(0{,}75 + 0{,}4 - 1 = 0{,}15\). Der kleinstmögliche Wert ist \(0{,}15\). 3. Fall \(B \subset A\): Wenn \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist, dann ist das gemeinsame Eintreten \(A \cap B\) identisch mit dem Eintreten von \(B\). Somit gilt \(P(A \cap B) = P(B) = 0{,}4\). Die Vereinigung \(A \cup B\) ist in diesem Fall identisch mit \(A\), also \(P(A \cup B) = P(A) = 0{,}75\).

a) Da \(P(A) + P(B) = 1{,}15 > 1\) ist, muss es eine Schnittmenge geben, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) nicht überschreitet. b) Der kleinstmögliche Wert ist \(P(A \cap B) = 0{,}15\). c) In diesem Fall ist \(P(A \cap B) = 0{,}4\) und \(P(A \cup B) = 0{,}75\).

- Denke an die grundlegenden Axiome der Wahrscheinlichkeit: Was ist der maximale Wert einer Wahrscheinlichkeit? - Was sind die zwei Bedingungen, damit eine Menge von Ereignissen eine „Zerlegung“ des gesamten Raums darstellt? - Betrachte die Formel für die Vereinigung und überlege, was passiert, wenn man einen Teil (die Schnittmenge) weglässt.

1. Analyse Aussage a: Die Aussage ist wahr. Bei unvereinbaren Ereignissen gilt \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Da eine Wahrscheinlichkeit niemals größer als \(1\) sein kann, müsste bei \(P(A) + P(B) > 1\) auch \(P(A \cup B) > 1\) gelten, was ein Widerspruch ist. Folglich muss \(P(A \cap B) > 0\) sein. 2. Analyse Aussage b: Die Aussage ist wahr. Eine Zerlegung von \(\Omega\) erfordert, dass die Mengen disjunkt sind (\(A \cap B = \emptyset\)) und ihre Vereinigung die gesamte Ergebnismenge ergibt (\(A \cup B = \Omega\)). Dies entspricht genau der Definition eines Ereignisses und seines Gegenereignisses \(\overline{A}\). 3. Analyse Aussage c: Die Aussage ist wahr. Für die absoluten Häufigkeiten in einer Stichprobe gilt nach dem Additionssatz \(H(A \cup B) = H(A) + H(B) - H(A \cap B)\). Da absolute Häufigkeiten nicht negativ sein können (\(H(A \cap B) \ge 0\)), ist die Summe der Einzelhäufigkeiten immer mindestens so groß wie die Häufigkeit der Vereinigung.

a) Wahr, da sonst \(P(A \cup B) > 1\) wäre, was unmöglich ist. b) Wahr, da eine Zerlegung Disjunktheit und Vollständigkeit (\(A \cup B = \Omega\)) verlangt. c) Wahr, da \(H(A \cup B) = H(A) + H(B) - H(A \cap B)\) und \(H(A \cap B) \ge 0\).

- Wie viele Herzkarten gibt es in einem Spiel mit 32 Karten? - Wie viele Buben, Damen und Könige gibt es insgesamt? - Gibt es Karten, die du in beiden Gruppen gezählt hast? - Was passiert mit der Gesamtsumme, wenn bestimmte Elemente mehrfach gezählt werden?

1. Grundgesamtheit: Ein Skatspiel hat \(|\Omega| = 32\) Karten. 2. Wahrscheinlichkeit Herzkarte: Es gibt 4 Farben mit je 8 Karten. \(|H| = 8\), also \(P(H) = \frac{8}{32}\). 3. Wahrscheinlichkeit Bildkarte: Es gibt pro Farbe 3 Bilder (Bube, Dame, König). Bei 4 Farben sind das \(4 \cdot 3 = 12\) Karten. \(|B| = 12\), also \(P(B) = \frac{12}{32}\). 4. Schnittmenge bestimmen: Es gibt Karten, die sowohl Herz als auch Bild sind (Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König). Das sind \(|H \cap B| = 3\) Karten. 5. Additionssatz anwenden: \(P(H \cup B) = \frac{8}{32} + \frac{12}{32} - \frac{3}{32} = \frac{17}{32}\). 6. Begründung für b): Die einfache Addition \(P(H) + P(B)\) zählt die Karten, die zu beiden Kategorien gehören (die Herz-Bilder), doppelt. Um die korrekte Wahrscheinlichkeit zu erhalten, muss die Schnittmenge einmal subtrahiert werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{17}{32}\). b) Die einfache Addition ist falsch, da die Herz-Bildkarten (Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König) in beiden Mengen enthalten sind und somit doppelt gezählt würden.

- Kannst du zuerst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Zahl durch mindestens eine der beiden Zahlen teilbar ist? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6? - Wie hängen das gesuchte Ereignis und das Ereignis „durch 4 oder 6 teilbar“ zusammen? - Vergiss nicht, die Zahlen abzuziehen, die in beiden Gruppen vorkommen, bevor du das Gegenereignis bildest.

1. Grundraum: \(n = 100\). 2. Ereignis \(A\) (durch \(4\) teilbar): \(100 : 4 = 25\) Zahlen. 3. Ereignis \(B\) (durch \(6\) teilbar): Das größte Vielfache von \(6\) bis \(100\) ist \(96 = 16 \cdot 6\). Es gibt also \(16\) solche Zahlen. 4. Schnittmenge \(A \cap B\) (durch \(kgV(4, 6) = 12\) teilbar): Das größte Vielfache von \(12\) bis \(100\) ist \(96 = 8 \cdot 12\). Es gibt also \(8\) solche Zahlen. 5. Wahrscheinlichkeit für „durch 4 oder 6 teilbar“: \(P(A \cup B) = \frac{25 + 16 - 8}{100} = \frac{33}{100} = 0{,}33\). 6. Berechnung des Gegenereignisses („weder noch“): \(P(\text{weder } A \text{ noch } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}33 = 0{,}67\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}67\) (oder \(67\,\%\)).