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Wahrscheinlichkeiten aus Vierfeldertafeln bestimmen

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4147439
In einem Sportverein mit \(400\) Mitgliedern wurde eine Umfrage zur Nutzung des vereinseigenen Fitnessraums (\(F\)) und zur Teilnahme an Gruppenkursen (\(G\)) durchgeführt. Es ergaben sich folgende Daten: - \(220\) Mitglieder nutzen den Fitnessraum. - \(150\) Mitglieder nehmen an Gruppenkursen teil. - \(90\) Mitglieder nutzen sowohl den Fitnessraum als auch die Gruppenkurse. a) Übertrage die Informationen in eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten und vervollständige sie. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass ein zufällig ausgewähltes Mitglied weder den Fitnessraum nutzt noch an Gruppenkursen teilnimmt. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(F \cup G)\).

Denkanstöße

- Kannst du die gegebenen Zahlen in die entsprechenden Felder einer Tabelle eintragen? - Wie hängen die inneren Felder mit den Randsummen zusammen? - Was bedeutet das Symbol für die Vereinigung zweier Mengen im Sachzusammenhang? - Überlege, welche Personen zur Gruppe „weder Fitnessraum noch Gruppenkurs“ gehören.

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel mit den gegebenen Werten: \(n = 400\), \(|F| = 220\), \(|G| = 150\), \(|F \cap G| = 90\). 2. Berechnung der restlichen Felder durch Subtraktion: - \(|F \cap \bar{G}| = 220 - 90 = 130\) - \(|\bar{F} \cap G| = 150 - 90 = 60\) - \(|\bar{F}| = 400 - 220 = 180\) - \(|\bar{G}| = 400 - 150 = 250\) - \(|\bar{F} \cap \bar{G}| = 180 - 60 = 120\) (oder \(250 - 130 = 120\)). 3. Zu b): Die absolute Häufigkeit für „weder noch“ ist \(|\bar{F} \cap \bar{G}| = 120\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\bar{F} \cap \bar{G}) = \frac{120}{400} = 0{,}3 = 30\,\%\). 4. Zu c): Anwendung des Additionssatzes oder Summe der Teilereignisse: \(P(F \cup G) = \frac{90 + 130 + 60}{400} = \frac{280}{400} = 0{,}7 = 70\,\%\).

Antwort

a) Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><td></td><td>\(G\)</td><td>\(\bar{G}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>90</td><td>130</td><td>220</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>60</td><td>120</td><td>180</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>150</td><td>250</td><td>400</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(30\,\%\). c) \(P(F \cup G) = 0{,}7\) (oder \(70\,\%\)).
4147499
An einem Gymnasium wurde eine Umfrage unter \(120\) Jugendlichen der 9. Klasse zur Mitgliedschaft in Sportvereinen durchgeführt. Dabei wurde erfasst, ob sie Fußball (\(F\)) spielen oder Leichtathletik (\(L\)) betreiben. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>\(F\)</td> <td>\(\bar{F}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(L\)</td> <td>\(15\)</td> <td>\(25\)</td> <td>\(40\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{L}\)</td> <td>\(35\)</td> <td>\(45\)</td> <td>\(80\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(50\)</td> <td>\(70\)</td> <td>\(120\)</td> </tr> </table> Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Beschreibe die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten durch \(P(F \cap L)\) und \(P(F \cup L)\) berechnet werden, in eigenen Worten. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P(F \cap \bar{L})\) und \(P(\bar{F} \cap L)\). c) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(F \cup L)\). d) Addiere die Wahrscheinlichkeiten für „nur Fußball“, „nur Leichtathletik“ und „beides“. Mit welchem Ereignis stimmt diese Summe überein?

Denkanstöße

- Was bedeutet das Symbol \(\cap\) im Vergleich zu \(\cup\)? - Schau dir an, welche Zahlen in der Tabelle für die Schnittmengen stehen und welche für die Gesamtsummen. - Wie hängen die Felder im Inneren der Tabelle mit der Gesamtsumme der „Oder“-Verknüpfung zusammen? - Überlege dir, welche Personen genau gemeint sind, wenn man von „nur einer“ Sportart spricht.

Lösung

1. Beschreibung der Ereignisse: \(P(F \cap L)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sowohl Fußball spielt als auch Leichtathletik betreibt. \(P(F \cup L)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Fußball spielt oder Leichtathletik betreibt (oder beides). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeiten: Aus der Tabelle ergibt sich \(P(F \cap \bar{L}) = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}\) und \(P(\bar{F} \cap L) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24}\). 3. Berechnung der Vereinigungswahrscheinlichkeit: \(P(F \cup L) = P(F) + P(L) - P(F \cap L) = \frac{50}{120} + \frac{40}{120} - \frac{15}{120} = \frac{75}{120} = \frac{5}{8} = 0{,}625\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - P(\bar{F} \cap \bar{L}) = 1 - \frac{45}{120} = \frac{75}{120}\). 4. Summe der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(F \cap \bar{L}) + P(\bar{F} \cap L) + P(F \cap L) = \frac{35}{120} + \frac{25}{120} + \frac{15}{120} = \frac{75}{120}\). Diese Summe entspricht genau \(P(F \cup L)\), also der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(F \cup L\).

Antwort

a) \(P(F \cap L)\): Person spielt Fußball und betreibt Leichtathletik. \(P(F \cup L)\): Person spielt Fußball oder betreibt Leichtathletik oder beides. b) \(P(F \cap \bar{L}) = \frac{7}{24} \approx 0{,}292\); \(P(\bar{F} \cap L) = \frac{5}{24} \approx 0{,}208\). c) \(P(F \cup L) = \frac{5}{8} = 0{,}625\). d) Die Summe ist \(\frac{75}{120} = 0{,}625\). Sie entspricht \(P(F \cup L)\).
4153499
In einer Schulklasse mit 30 Jugendlichen wurde eine Umfrage zu ihren Freizeitaktivitäten durchgeführt. Es wurde erfasst, wer regelmäßig Sport treibt (\(S\)) und wer ein Musikinstrument spielt (\(M\)). Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel dargestellt: <table> <tr> <td></td> <td>\(M\)</td> <td>\(\bar{M}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(S\)</td> <td>6</td> <td>14</td> <td>20</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{S}\)</td> <td>4</td> <td>6</td> <td>10</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>10</td> <td>20</td> <td>30</td> </tr> </table> Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person aus dieser Klasse Sport treibt oder ein Instrument spielt (oder beides). Gib das Ergebnis als Bruch und in Prozent an.

Denkanstöße

- Was bedeutet das Wort „oder“ in der Mathematik genau? - Welche Felder in der Tabelle enthalten Personen, auf die mindestens eine der beiden Bedingungen zutrifft? - Gibt es eine Möglichkeit, das Ergebnis über das Gegenereignis (weder Sport noch Instrument) zu berechnen?

Lösung

1. Identifikation der relevanten Häufigkeiten aus der Tabelle: \(n(S \cap M) = 6\), \(n(S \cap \bar{M}) = 14\), \(n(\bar{S} \cap M) = 4\). 2. Berechnung der Anzahl der Personen, die mindestens eine der Tätigkeiten ausüben: \(n(S \cup M) = 6 + 14 + 4 = 24\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Gesamtzahl \(N = 30\): \(P(S \cup M) = \frac{24}{30}\). 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{24}{30} = \frac{4}{5}\). 5. Umrechnung in Prozent: \(\frac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(S \cup M) = \frac{4}{5} = 80\,\%\).
4147449
Gegeben ist eine unvollständige Vierfeldertafel der relativen Häufigkeiten für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\). <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar{B}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td></td><td></td><td>\(0{,}65\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td></td><td></td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td></td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> a) Vervollständige die Tabelle in deinem Heft. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{A} \cap \bar{B})\). c) Berechne \(P(A \cup B)\) und erkläre kurz den Rechenweg.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, dass die Summe der relativen Häufigkeiten in der gesamten Tabelle immer 1 ergeben muss. - Wie kannst du aus einer Zeilen- oder Spaltensumme und einem Wert darin den fehlenden Wert bestimmen? - Was bedeutet das Zeichen für die Schnittmenge im Vergleich zum Zeichen für die Vereinigungsmenge?

Lösung

1. Berechnung der fehlenden Randsummen und Felder: - \(P(\bar{A}) = 1{,}00 - 0{,}65 = 0{,}35\) - \(P(\bar{B}) = 1{,}00 - 0{,}40 = 0{,}60\) - \(P(A \cap B) = P(B) - P(\bar{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}25\) - \(P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}65 - 0{,}25 = 0{,}40\) - \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) - P(\bar{A} \cap B) = 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}20\) 2. Zu b): Das Ergebnis ist direkt aus der Tabelle ablesbar: \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}20\). 3. Zu c): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}65 + 0{,}40 - 0{,}25 = 0{,}80\). Alternativ: Summe der drei Felder \(P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0{,}25 + 0{,}40 + 0{,}15 = 0{,}80\).

Antwort

a) Vervollständigte Tabelle: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar{B}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}65\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}35\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> b) \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}20\) c) \(P(A \cup B) = 0{,}80\). Man addiert die Wahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\) und subtrahiert die Schnittmenge, um Doppelzählungen zu vermeiden.
4147459
An einer Schule mit \(250\) Jugendlichen in der 9. Klasse wurde gefragt, wer die Fächer Mathematik (\(M\)) und Musik (\(S\)) mag. \(150\) Jugendliche gaben an, Mathematik zu mögen. \(100\) nannten Musik. \(60\) Befragte mögen beide Fächer. a) Erstelle eine Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten. b) Vergleiche: Ist es wahrscheinlicher, dass eine zufällig gewählte Person genau eines der beiden Fächer mag oder dass sie keines der beiden Fächer mag? Begründe durch Rechnung. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(M \cup S)\) und gib das Ergebnis in Prozent an.

Denkanstöße

- Was bedeutet „genau ein Fach“ für die Felder in deiner Tabelle? Welche Felder musst du kombinieren? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung zweier Ereignisse, wenn man die Schnittmenge kennt? - Überprüfe am Ende, ob alle deine Teilwerte in der Tabelle wieder die Gesamtzahl 250 ergeben.

Lösung

1. Erstellung der Vierfeldertafel (absolute Häufigkeiten): - Gegeben: \(n = 250\), \(|M| = 150\), \(|S| = 100\), \(|M \cap S| = 60\). - \(|M \cap \bar{S}| = 150 - 60 = 90\) (nur Mathematik) - \(|\bar{M} \cap S| = 100 - 60 = 40\) (nur Musik) - \(|\bar{M}| = 250 - 150 = 100\) - \(|\bar{M} \cap \bar{S}| = 100 - 40 = 60\) (keines von beiden) 2. Zu b): „Genau eines“ bedeutet \((M \cap \bar{S})\) oder \((\bar{M} \cap S)\). Absolute Häufigkeit: \(90 + 40 = 130\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{130}{250} = 0{,}52\). „Keines“ bedeutet \((\bar{M} \cap \bar{S})\). Absolute Häufigkeit: \(60\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{60}{250} = 0{,}24\). Vergleich: Da \(0{,}52 > 0{,}24\), ist „genau eines“ wahrscheinlicher. 3. Zu c): \(P(M \cup S) = \frac{150 + 100 - 60}{250} = \frac{190}{250} = \frac{76}{100} = 76\,\%\).

Antwort

a) Tabelle: <table> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(M\)</td><td>60</td><td>90</td><td>150</td></tr> <tr><td>\(\bar{M}\)</td><td>40</td><td>60</td><td>100</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>100</td><td>150</td><td>250</td></tr> </table> b) Es ist wahrscheinlicher, dass eine Person genau eines der Fächer mag (\(52\,\%\)), als dass sie keines mag (\(24\,\%\)). c) \(P(M \cup S) = 76\,\%\).
4147479
An einer Schule wurden \(120\) Jugendliche zu ihren Essgewohnheiten in der Mittagspause befragt. Von den Befragten sind \(70\) Mädchen. Insgesamt gaben \(40\) Personen an, sich selbst eine Lunchbox von zu Hause mitzubringen, während der Rest in der Mensa isst. Von den Jungen bringen \(15\) eine Lunchbox mit. a) Vervollständige eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit isst ein zufällig ausgewähltes Mädchen in der Mensa?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Jungen an der Umfrage teilgenommen haben. - Kannst du aus der Gesamtzahl der Jugendlichen mit Lunchbox und der Anzahl der Jungen mit Lunchbox darauf schließen, wie viele Mädchen eine Lunchbox nutzen? - Achte darauf, dass sich die Frage in Teil b) nur auf die Gruppe der Mädchen bezieht.

Lösung

1. Merkmale festlegen: \(M\): Mädchen, \(\bar{M}\): Jungen, \(L\): Lunchbox, \(\bar{L}\): Mensa. 2. Gegebene Häufigkeiten: Gesamtzahl \(n = 120\), \(|M| = 70\), \(|L| = 40\), \(|\bar{M} \cap L| = 15\). 3. Berechnungen für die Tabelle: - Anzahl Jungen: \(|\bar{M}| = 120 - 70 = 50\). - Jungen in der Mensa: \(|\bar{M} \cap \bar{L}| = 50 - 15 = 35\). - Mädchen mit Lunchbox: \(|M \cap L| = 40 - 15 = 25\). - Mädchen in der Mensa: \(|M \cap \bar{L}| = 70 - 25 = 45\). - Insgesamt essen \(120 - 40 = 80\) Personen in der Mensa. 4. Für Teil b) wird nur die Gruppe der \(70\) Mädchen betrachtet. Der gesuchte Anteil beträgt \(\frac{45}{70} = \frac{9}{14} \approx 0{,}6429\), also etwa \(64{,}3\,\%\).

Antwort

a) Die Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>Lunchbox (\(L\))</td><td>Mensa (\(\bar{L}\))</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Mädchen (\(M\))</td><td>\(25\)</td><td>\(45\)</td><td>\(70\)</td></tr> <tr><td>Jungen (\(\bar{M}\))</td><td>\(15\)</td><td>\(35\)</td><td>\(50\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> b) Unter den Mädchen beträgt der Anteil der Mensa-Gäste \(\frac{45}{70} = \frac{9}{14} \approx 64{,}3\,\%\).
4147519
Eine Umfrage unter \(200\) Schülern untersuchte die Nutzung des Fahrrads (\(B\)) und des öffentlichen Nahverkehrs (\(Ö\)) für den Schulweg. <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\bar{B}\)</td> <td>Gesamt</td> </tr> <tr> <td>\(Ö\)</td> <td>\(30\)</td> <td>\(90\)</td> <td>\(120\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{Ö}\)</td> <td>\(50\)</td> <td>\(30\)</td> <td>\(80\)</td> </tr> <tr> <td>Gesamt</td> <td>\(80\)</td> <td>\(120\)</td> <td>\(200\)</td> </tr> </table> a) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(B \cup Ö)\). b) Vergleiche den Wert von \(P(B) + P(Ö)\) mit \(P(B \cup Ö)\). Erkläre die Ursache für die Differenz. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nutzt ein Schüler höchstens eines der beiden Verkehrsmittel?

Denkanstöße

- Was passiert mit den Personen, die in der Mitte der Tabelle bei beiden Merkmalen stehen, wenn man die Randsummen einfach addiert? - „Höchstens eines“ bedeutet: Alles außer „beide gleichzeitig“. - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „\(B\) oder \(Ö\)“ auf zwei verschiedene Arten berechnen?

Lösung

1. Berechnung \(P(B \cup Ö)\): \(P(B \cup Ö) = \frac{30 + 90 + 50}{200} = \frac{170}{200} = 0{,}85\). 2. Vergleich: \(P(B) = \frac{80}{200} = 0{,}4\); \(P(Ö) = \frac{120}{200} = 0{,}6\). Die Summe ist \(P(B) + P(Ö) = 1{,}0\). Die Differenz zu \(0{,}85\) beträgt \(0{,}15\). Diese Differenz entspricht genau \(P(B \cap Ö) = \frac{30}{200} = 0{,}15\), da diese Personen in der einfachen Summe doppelt gezählt werden. 3. Höchstens ein Verkehrsmittel: Dies bedeutet „keines“ oder „genau eines“. Das ist das Gegenereignis zu „beide“. \(P(\text{höchstens eines}) = 1 - P(B \cap Ö) = 1 - \frac{30}{200} = \frac{170}{200} = 0{,}85\).

Antwort

a) \(P(B \cup Ö) = 0{,}85\). b) \(P(B) + P(Ö) = 1{,}0\). Die Summe ist um \(0{,}15\) größer, da die Schnittmenge \(P(B \cap Ö)\) doppelt gezählt wurde. c) \(P(\text{höchstens eines}) = 0{,}85\).

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