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- Wie viele Mitglieder betreiben mindestens eine der beiden Sportarten? - Wenn du die Jogger und die Schwimmer einfach addierst, welche Gruppe zählst du dann doppelt? - Wie hängen die Anzahl der Jogger, die Anzahl der Schwimmer, die Anzahl der Mitglieder mit mindestens einer der beiden Sportarten und die Anzahl der Mitglieder mit beiden Sportarten zusammen?

1. Bestimmung der Anzahl der Mitglieder, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben: \(150 - 30 = 120\). 2. Anwendung des Additionssatzes für Mengen (oder Ereignisse): \(|J \cup S| = |J| + |S| - |J \cap S|\). 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(120 = 90 + 75 - |J \cap S|\). 4. Berechnung der Anzahl der Mitglieder, die beides tun: \(|J \cap S| = 165 - 120 = 45\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(J \cap S) = \frac{45}{150} = 0{,}3\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3\) (oder \(30\,\%\)).

- Wandle zuerst die Prozentangaben in absolute Stückzahlen um. - Was bedeutet „genau ein Fehler“ im Gegensatz zu „mindestens ein Fehler“? - Kannst du die Menge der Bauteile mit Fehlern in verschiedene, sich nicht überschneidende Bereiche aufteilen?

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten: \(H(F_1) = 0{,}08 \cdot 500 = 40\); \(H(F_2) = 0{,}12 \cdot 500 = 60\); \(H(F_1 \cap F_2) = 0{,}02 \cdot 500 = 10\). 2. Identifikation der gesuchten Menge: „Genau ein Fehler“ bedeutet, dass das Bauteil in \(F_1\), aber nicht in \(F_2\) liegt oder in \(F_2\), aber nicht in \(F_1\). Dies entspricht der Menge \((F_1 \setminus F_2) \cup (F_2 \setminus F_1)\). 3. Berechnung der Teilmengen: \(H(F_1 \setminus F_2) = H(F_1) - H(F_1 \cap F_2) = 40 - 10 = 30\). 4. Berechnung der zweiten Teilmenge: \(H(F_2 \setminus F_1) = H(F_2) - H(F_1 \cap F_2) = 60 - 10 = 50\). 5. Addition der disjunkten Teilmengen: \(30 + 50 = 80\).

Es weisen \(80\) Bauteile genau einen der beiden Fehler auf. Rechnung: \(H(F_1) = 40\), \(H(F_2) = 60\), \(H(F_1 \cap F_2) = 10\). Nur \(F_1\): \(H(F_1 \setminus F_2) = 40 - 10 = 30\). Nur \(F_2\): \(H(F_2 \setminus F_1) = 60 - 10 = 50\). Gesamt: \(30 + 50 = 80\).

- Wie viele Jugendliche üben mindestens eine der beiden genannten Aktivitäten aus? Nutze die Information über die Personen, die keine der beiden Aktivitäten ausüben. - Wenn du die Anzahl der Jugendlichen, die Sport treiben, und die Anzahl der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, addierst, welche Gruppe hast du dann zu oft gezählt? - Was bedeutet „genau eine Aktivität“ im Vergleich zu „mindestens eine Aktivität“?

1. Definition der Ereignisse: \(S\): Sport im Verein, \(M\): Musikinstrument. Gesamtzahl \(N = 120\). 2. Anzahl der Jugendlichen mit mindestens einer Aktivität: \(|S \cup M| = 120 - 25 = 95\). 3. Bestimmung der Schnittmenge mit dem Additionssatz: \(|S \cup M| = |S| + |M| - |S \cap M|\) führt zu \(95 = 65 + 50 - |S \cap M|\). 4. Berechnung der Schnittmenge: \(|S \cap M| = 65 + 50 - 95 = 20\). 5. Anzahl der Jugendlichen mit genau einer Aktivität: \((|S| - |S \cap M|) + (|M| - |S \cap M|) = (65 - 20) + (50 - 20) = 45 + 30 = 75\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau eine Aktivität: \(P = \frac{75}{120} = \frac{5}{8} = 0{,}625\).

a) Es sind \(20\) Jugendliche. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) (oder \(62{,}5\,\%\)).

- Versuche zuerst herauszufinden, wie viel Prozent der Kunden überhaupt etwas kaufen (Brot oder Kuchen). - Wie hängen die Ereignisse „mindestens eins“ und „keines von beiden“ zusammen? - Wenn jemand Brot kauft, gehört er entweder zur Gruppe „nur Brot“ oder zur Gruppe „Brot und Kuchen“.

1. Definition der Ereignisse: \(B\): Kauf von Brot, \(K\): Kauf von Kuchen. 2. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(B) = 0{,}80\), \(P(K) = 0{,}45\), \(P(B \cap K) = 0{,}30\). 3. Wahrscheinlichkeit für den Kauf von mindestens einem Produkt (Additionssatz): \(P(B \cup K) = P(B) + P(K) - P(B \cap K) = 0{,}80 + 0{,}45 - 0{,}30 = 0{,}95\). 4. Wahrscheinlichkeit für keines der Produkte: \(P(\text{keines}) = 1 - P(B \cup K) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\). 5. Wahrscheinlichkeit für nur Brot: \(P(B \setminus K) = P(B) - P(B \cap K) = 0{,}80 - 0{,}30 = 0{,}50\). 6. Erwartete Anzahl bei \(400\) Kunden: \(400 \cdot 0{,}50 = 200\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(5\,\%\) (oder \(0{,}05\)). b) Es werden \(200\) Kunden erwartet, die nur Brot kaufen.

- Bestimme zuerst die tatsächliche Anzahl der Personen für jede Kategorie aus den Prozentangaben. - Wie viele Personen besitzen insgesamt mindestens eines der Geräte? - Wenn du die Gesamtzahl der Tablet-Besitzer kennst und weißt, wie viele davon auch einen Laptop haben, wie findest du den Rest?

1. Umrechnung der Prozentangaben in absolute Häufigkeiten: - Gesamtzahl \(n = 500\) - \(n(T) = 0{,}80 \cdot 500 = 400\) - \(n(L) = 0{,}60 \cdot 500 = 300\) - \(n(\bar{T} \cap \bar{L}) = 50\) (weder Tablet noch Laptop) 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen, die mindestens ein Gerät besitzen: \(n(T \cup L) = 500 - 50 = 450\) 3. Berechnung der Schnittmenge (beide Geräte) mithilfe der Additionsregel: \(n(T \cap L) = n(T) + n(L) - n(T \cup L) = 400 + 300 - 450 = 250\) 4. Berechnung der Anzahl „Tablet, aber kein Laptop“: \(n(T \cap \bar{L}) = n(T) - n(T \cap L) = 400 - 250 = 150\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(T \cap \bar{L}) = \frac{150}{500} = 0{,}3\)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3\) (oder \(30\,\%\)).

- Du kannst die Wahrscheinlichkeiten direkt wie Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel behandeln (die Gesamtsumme ist dann 1). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Überlege dir bei Teilaufgabe c) mit den De-Morgan-Regeln oder einer Skizze, welche Personen genau gemeint sind. - „Nicht (\(S\) und \(T\))“ ist dasselbe wie „Nicht \(S\) oder nicht \(T\)“.

1. Berechnung von \(P(S \cap T)\): - Es gilt \(P(S) = P(S \cap T) + P(S \cap \bar{T})\). - Einsetzen: \(0{,}84 = P(S \cap T) + 0{,}52 \implies P(S \cap T) = 0{,}84 - 0{,}52 = 0{,}32\). 2. Berechnung von \(P(\bar{S} \cap \bar{T})\): - Zuerst \(P(\bar{S} \cap T)\) bestimmen: \(P(T) = P(S \cap T) + P(\bar{S} \cap T) \implies 0{,}42 = 0{,}32 + P(\bar{S} \cap T) \implies P(\bar{S} \cap T) = 0{,}10\). - Dann \(P(\bar{S})\) bestimmen: \(P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0{,}84 = 0{,}16\). - Schließlich: \(P(\bar{S} \cap \bar{T}) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap T) = 0{,}16 - 0{,}10 = 0{,}06\). 3. Analyse von \(\bar{S} \cup \bar{T}\): - Bedeutung: Die Person besitzt kein Smartphone oder kein Tablet (das ist das logische Gegenteil von „besitzt beides“). - Berechnung: \(P(\bar{S} \cup \bar{T}) = 1 - P(S \cap T) = 1 - 0{,}32 = 0{,}68\). - Alternativ über Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S \cap \bar{T}) + P(\bar{S} \cap T) + P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0{,}52 + 0{,}10 + 0{,}06 = 0{,}68\).

a) \(P(S \cap T) = 0{,}32\). b) \(P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0{,}06\). c) Das Ereignis bedeutet, dass eine Person mindestens eines der beiden Geräte nicht besitzt. \(P(\bar{S} \cup \bar{T}) = 0{,}68\).