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- Wie viele Mitglieder betreiben mindestens eine der beiden Sportarten? - Wenn du die Jogger und die Schwimmer einfach addierst, welche Gruppe zählst du dann doppelt? - Wie hängen die Anzahl der Jogger, die Anzahl der Schwimmer, die Anzahl der Mitglieder mit mindestens einer der beiden Sportarten und die Anzahl der Mitglieder mit beiden Sportarten zusammen?

1. Bestimmung der Anzahl der Mitglieder, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben: \(150 - 30 = 120\). 2. Anwendung des Additionssatzes für Mengen (oder Ereignisse): \(|J \cup S| = |J| + |S| - |J \cap S|\). 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(120 = 90 + 75 - |J \cap S|\). 4. Berechnung der Anzahl der Mitglieder, die beides tun: \(|J \cap S| = 165 - 120 = 45\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(J \cap S) = \frac{45}{150} = 0{,}3\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3\) (oder \(30\,\%\)).

- Achte darauf, dass Gäste mit beiden Angeboten in beiden Einzelzahlen vorkommen. - Bestimme den Rest erst nach der Anzahl mit mindestens einem Angebot.

1. Mindestens eines wählen \(n(V\cup D)=96+74-38=132\) Gäste. 2. Keines wählen \(180-132=48\) Gäste.

\(132\) Gäste wählen mindestens eines; \(48\) wählen keines.

- Suche nach einer Gruppe, die in beiden genannten Anzahlen steckt. - Vergleiche das korrigierte Ergebnis mit der Gesamtzahl.

1. Die Summe \(44+53=97\) zählt die \(21\) Bestellungen mit beidem doppelt. 2. Richtig ist \(n(S\cup F)=44+53-21=76\). 3. Damit enthalten \(90-76=14\) Bestellungen keines der beiden Angebote.

Die Behauptung ist falsch. \(76\) Bestellungen enthalten mindestens eines, \(14\) keines.

- Ordne die drei Fragen jeweils passenden Bereichen zu. - Verwende für den Außenbereich die Gesamtzahl.

1. Genau eines enthalten \(19+13=32\) Aufträge. 2. Mindestens eines enthalten \(19+8+13=40\) Aufträge. 3. Keines enthalten \(48-40=8\) Aufträge.

Genau eines: \(32\); mindestens eines: \(40\); keines: \(8\) Aufträge.

- Setze die drei angegebenen Anzahlen in die Beziehung für „mindestens eines“ ein. - Vergleiche das Ergebnis direkt mit der Behauptung.

1. Nach dem Additionssatz gilt \(n(A\cup B)=175+92-54=213\). 2. Die genannte Anzahl stimmt.

Die Aussage stimmt: \(213\) Sendungen erfüllen mindestens eines der beiden Merkmale.

- Wandle zuerst die Prozentangaben in absolute Stückzahlen um. - Was bedeutet „genau ein Fehler“ im Gegensatz zu „mindestens ein Fehler“? - Kannst du die Menge der Bauteile mit Fehlern in verschiedene, sich nicht überschneidende Bereiche aufteilen?

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten: \(H(F_1) = 0{,}08 \cdot 500 = 40\); \(H(F_2) = 0{,}12 \cdot 500 = 60\); \(H(F_1 \cap F_2) = 0{,}02 \cdot 500 = 10\). 2. Identifikation der gesuchten Menge: „Genau ein Fehler“ bedeutet, dass das Bauteil in \(F_1\), aber nicht in \(F_2\) liegt oder in \(F_2\), aber nicht in \(F_1\). Dies entspricht der Menge \((F_1 \setminus F_2) \cup (F_2 \setminus F_1)\). 3. Berechnung der Teilmengen: \(H(F_1 \setminus F_2) = H(F_1) - H(F_1 \cap F_2) = 40 - 10 = 30\). 4. Berechnung der zweiten Teilmenge: \(H(F_2 \setminus F_1) = H(F_2) - H(F_1 \cap F_2) = 60 - 10 = 50\). 5. Addition der disjunkten Teilmengen: \(30 + 50 = 80\).

Es weisen \(80\) Bauteile genau einen der beiden Fehler auf. Rechnung: \(H(F_1) = 40\), \(H(F_2) = 60\), \(H(F_1 \cap F_2) = 10\). Nur \(F_1\): \(H(F_1 \setminus F_2) = 40 - 10 = 30\). Nur \(F_2\): \(H(F_2 \setminus F_1) = 60 - 10 = 50\). Gesamt: \(30 + 50 = 80\).

- Wie viele Jugendliche üben mindestens eine der beiden genannten Aktivitäten aus? Nutze die Information über die Personen, die keine der beiden Aktivitäten ausüben. - Wenn du die Anzahl der Jugendlichen, die Sport treiben, und die Anzahl der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, addierst, welche Gruppe hast du dann zu oft gezählt? - Was bedeutet „genau eine Aktivität“ im Vergleich zu „mindestens eine Aktivität“?

1. Definition der Ereignisse: \(S\): Sport im Verein, \(M\): Musikinstrument. Gesamtzahl \(N = 120\). 2. Anzahl der Jugendlichen mit mindestens einer Aktivität: \(|S \cup M| = 120 - 25 = 95\). 3. Bestimmung der Schnittmenge mit dem Additionssatz: \(|S \cup M| = |S| + |M| - |S \cap M|\) führt zu \(95 = 65 + 50 - |S \cap M|\). 4. Berechnung der Schnittmenge: \(|S \cap M| = 65 + 50 - 95 = 20\). 5. Anzahl der Jugendlichen mit genau einer Aktivität: \((|S| - |S \cap M|) + (|M| - |S \cap M|) = (65 - 20) + (50 - 20) = 45 + 30 = 75\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau eine Aktivität: \(P = \frac{75}{120} = \frac{5}{8} = 0{,}625\).

a) Es sind \(20\) Jugendliche. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) (oder \(62{,}5\,\%\)).

- Versuche zuerst herauszufinden, wie viel Prozent der Kunden überhaupt etwas kaufen (Brot oder Kuchen). - Wie hängen die Ereignisse „mindestens eins“ und „keines von beiden“ zusammen? - Wenn jemand Brot kauft, gehört er entweder zur Gruppe „nur Brot“ oder zur Gruppe „Brot und Kuchen“.

1. Definition der Ereignisse: \(B\): Kauf von Brot, \(K\): Kauf von Kuchen. 2. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(B) = 0{,}80\), \(P(K) = 0{,}45\), \(P(B \cap K) = 0{,}30\). 3. Wahrscheinlichkeit für den Kauf von mindestens einem Produkt (Additionssatz): \(P(B \cup K) = P(B) + P(K) - P(B \cap K) = 0{,}80 + 0{,}45 - 0{,}30 = 0{,}95\). 4. Wahrscheinlichkeit für keines der Produkte: \(P(\text{keines}) = 1 - P(B \cup K) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\). 5. Wahrscheinlichkeit für nur Brot: \(P(B \setminus K) = P(B) - P(B \cap K) = 0{,}80 - 0{,}30 = 0{,}50\). 6. Erwartete Anzahl bei \(400\) Kunden: \(400 \cdot 0{,}50 = 200\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(5\,\%\) (oder \(0{,}05\)). b) Es werden \(200\) Kunden erwartet, die nur Brot kaufen.

- Bestimme zuerst die tatsächliche Anzahl der Personen für jede Kategorie aus den Prozentangaben. - Wie viele Personen besitzen insgesamt mindestens eines der Geräte? - Wenn du die Gesamtzahl der Tablet-Besitzer kennst und weißt, wie viele davon auch einen Laptop haben, wie findest du den Rest?

1. Umrechnung der Prozentangaben in absolute Häufigkeiten: - Gesamtzahl \(n = 500\) - \(n(T) = 0{,}80 \cdot 500 = 400\) - \(n(L) = 0{,}60 \cdot 500 = 300\) - \(n(\bar{T} \cap \bar{L}) = 50\) (weder Tablet noch Laptop) 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen, die mindestens ein Gerät besitzen: \(n(T \cup L) = 500 - 50 = 450\) 3. Berechnung der Schnittmenge (beide Geräte) mithilfe der Additionsregel: \(n(T \cap L) = n(T) + n(L) - n(T \cup L) = 400 + 300 - 450 = 250\) 4. Berechnung der Anzahl „Tablet, aber kein Laptop“: \(n(T \cap \bar{L}) = n(T) - n(T \cap L) = 400 - 250 = 150\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(T \cap \bar{L}) = \frac{150}{500} = 0{,}3\)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3\) (oder \(30\,\%\)).

- Berechne zuerst den Anteil für mindestens eines der Merkmale. - Übertrage den Anteil anschließend auf die Gesamtzahl der Reservierungen.

1. \(P(A\cup E)=0{,}45+0{,}35-0{,}20=0{,}60\). 2. Die zugehörige Anzahl ist \(0{,}60\cdot 240=144\).

\(P(A\cup E)=0{,}60\); das entspricht \(144\) Reservierungen.

- Ziehe die gemeinsame Gruppe aus beiden Einzelgruppen heraus. - Der Außenbereich ergibt sich aus dem Rest zur Gesamtzahl.

1. Nur Kanu: \(29-17=12\). 2. Beide: \(17\). 3. Nur Nachtwanderung: \(36-17=19\). 4. Mindestens einen Wunsch nennen \(12+17+19=48\). 5. Keinen Wunsch nennen \(64-48=16\).

Nur \(K\): \(12\), beide: \(17\), nur \(N\): \(19\), keines: \(16\).

- Bestimme die beiden reinen Bereiche getrennt. - Setze ihre Summe anschließend ins Verhältnis zur Gesamtzahl.

1. Nur Bus: \(420-260=160\). 2. Nur Regionalbahn: \(310-260=50\). 3. Genau eines: \(160+50=210\) Karten. 4. Der Anteil ist \(\frac{210}{500}=0{,}42=42\,\%\).

\(210\) Karten, also \(42\,\%\), gelten in genau einem der beiden Verkehrsmittel.

- Zähle die drei inneren Bereiche des Mengendiagramms zusammen. - Beziehe den verbleibenden Außenbereich auf alle Geräte.

1. Mindestens einen der beiden Fehler haben \(28+19+11=58\) Geräte. 2. Keinen der beiden Fehler haben \(75-58=17\) Geräte. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{17}{75}\approx 0{,}227\). 4. Das entspricht gerundet \(22{,}7\,\%\).

\(P(\text{weder mechanischer noch elektrischer Fehler})=\frac{17}{75}\approx 22{,}7\,\%\).

- Übertrage die Prozentwerte wegen der Gesamtzahl \(100\) direkt in Anzahlen. - Ziehe den gemeinsamen Bereich aus den beiden Einzelgruppen heraus.

1. Beide Merkmale: \(27\) Projekte. 2. Nur \(A\): \(58-27=31\). 3. Nur \(B\): \(46-27=19\). 4. Mindestens eines: \(31+27+19=77\). 5. Keines: \(100-77=23\).

Nur \(A\): \(31\), beide: \(27\), nur \(B\): \(19\), keines: \(23\).

- Bestimme zuerst die Zahl der Gäste innerhalb der Vereinigung. - Vergleiche sie mit der Summe der beiden Einzelgruppen.

1. Mindestens eines nutzen \(150-22=128\) Gäste. 2. Der Additionssatz für Anzahlen liefert \(128=83+61-n(A\cap B)\). 3. Damit ist \(n(A\cap B)=144-128=16\).

\(16\) Gäste nutzen Sportbecken und Rutsche.

- Berechne zuerst die Anzahl innerhalb der beiden Angebote. - Vergleiche das Ergebnis mit der Gesamtzahl und bestimme den Rest.

1. Mindestens eines besuchen \(210+165-95=280\) Personen. 2. Dieser Wert ist kleiner als die Gesamtzahl \(320\), also sind die Angaben möglich. 3. Weder Ausstellung noch Führung besuchen \(320-280=40\) Personen.

Die Angaben sind widerspruchsfrei; \(40\) Personen besuchen weder Ausstellung noch Führung.

- Stelle die Beziehung für „mindestens eine Bedingung“ nach dem gemeinsamen Anteil um. - Übersetze den berechneten Anteil zurück in den Sachzusammenhang.

1. \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\). 2. \(P(A\cap B)=0{,}52+0{,}36-0{,}71=0{,}17\). 3. Damit erfüllen \(17\,\%\) der Touren beide Bedingungen.

\(P(A\cap B)=0{,}17\). Also sind \(17\,\%\) der Touren länger als \(10\,\text{km}\) und haben mehr als \(500\,\text{m}\) Höhenunterschied.

- Bestimme zuerst die Zahl mit mindestens einem der beiden Angebote. - Setze die verbleibende Zahl ins Verhältnis zu allen Ständen.

1. Bücher oder Kleidung verkaufen \(54+67-29=92\) Stände. 2. Weder noch verkaufen \(120-92=28\) Stände. 3. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{28}{120}=\frac{7}{30}\approx 0{,}233\).

\(P(\text{weder Bücher noch Kleidung})=\frac{7}{30}\approx 23{,}3\,\%\).

- Bestimme die Überschneidung aus den beiden Einzelzahlen und der Vereinigung. - Leite danach die drei übrigen Bereiche nacheinander ab.

1. Beide: \(74+58-103=29\). 2. Nur \(A\): \(74-29=45\). 3. Nur \(B\): \(58-29=29\). 4. Keines: \(160-103=57\).

Beide: \(29\), nur \(A\): \(45\), nur \(B\): \(29\), keines: \(57\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aus allen vier Bereichen. - Ordne die beiden Ereignisse der inneren Vereinigung und dem Außenbereich zu.

1. Insgesamt gibt es \(48+27+39+16=130\) Personen. 2. Mindestens eine Show besuchen \(48+27+39=114\) Personen, also \(P(M\cup S)=\frac{114}{130}=\frac{57}{65}\approx 0{,}877\). 3. Keine Show besuchen \(16\) Personen, also \(P(\overline{M}\cap\overline{S})=\frac{16}{130}=\frac{8}{65}\approx 0{,}123\).

\(P(M\cup S)=\frac{57}{65}\approx 87{,}7\,\%\), \(P(\overline{M}\cap\overline{S})=\frac{8}{65}\approx 12{,}3\,\%\).

- Bestimme die Zahl verschiedener Personen, nicht die Zahl der Schichtanmeldungen. - Vergleiche das Ergebnis mit dem Bedarf.

1. Mindestens eine Schicht übernehmen \(n(A\cup B)=39+46-15=70\) verschiedene Personen. 2. Benötigt werden mindestens \(75\) Personen. 3. Es fehlen \(75-70=5\) Zusagen.

Nein. Nur \(70\) verschiedene Personen übernehmen mindestens eine Schicht; es fehlen \(5\) Zusagen.

- Bestimme die beiden reinen Ereignisbereiche getrennt. - Addiere anschließend nur diese beiden Bereiche.

1. Nur Code: \(0{,}64-0{,}37=0{,}27\). 2. Nur Puzzle: \(0{,}58-0{,}37=0{,}21\). 3. Genau eine Aufgabe: \(0{,}27+0{,}21=0{,}48\).

Die Wahrscheinlichkeit für genau eine Bonusaufgabe beträgt \(0{,}48=48\,\%\).

- Du kannst die Wahrscheinlichkeiten direkt wie Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel behandeln (die Gesamtsumme ist dann 1). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Überlege dir bei Teilaufgabe c) mit den De-Morgan-Regeln oder einer Skizze, welche Personen genau gemeint sind. - „Nicht (\(S\) und \(T\))“ ist dasselbe wie „Nicht \(S\) oder nicht \(T\)“.

1. Berechnung von \(P(S \cap T)\): - Es gilt \(P(S) = P(S \cap T) + P(S \cap \bar{T})\). - Einsetzen: \(0{,}84 = P(S \cap T) + 0{,}52 \implies P(S \cap T) = 0{,}84 - 0{,}52 = 0{,}32\). 2. Berechnung von \(P(\bar{S} \cap \bar{T})\): - Zuerst \(P(\bar{S} \cap T)\) bestimmen: \(P(T) = P(S \cap T) + P(\bar{S} \cap T) \implies 0{,}42 = 0{,}32 + P(\bar{S} \cap T) \implies P(\bar{S} \cap T) = 0{,}10\). - Dann \(P(\bar{S})\) bestimmen: \(P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0{,}84 = 0{,}16\). - Schließlich: \(P(\bar{S} \cap \bar{T}) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap T) = 0{,}16 - 0{,}10 = 0{,}06\). 3. Analyse von \(\bar{S} \cup \bar{T}\): - Bedeutung: Die Person besitzt kein Smartphone oder kein Tablet (das ist das logische Gegenteil von „besitzt beides“). - Berechnung: \(P(\bar{S} \cup \bar{T}) = 1 - P(S \cap T) = 1 - 0{,}32 = 0{,}68\). - Alternativ über Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S \cap \bar{T}) + P(\bar{S} \cap T) + P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0{,}52 + 0{,}10 + 0{,}06 = 0{,}68\).

a) \(P(S \cap T) = 0{,}32\). b) \(P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0{,}06\). c) Das Ereignis bedeutet, dass eine Person mindestens eines der beiden Geräte nicht besitzt. \(P(\bar{S} \cup \bar{T}) = 0{,}68\).