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- Untersuche, ob die Differenz oder das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlen gleich bleibt. - Erinnere dich an die Formeln für das allgemeine Glied und die Summe bei linearen Mustern. - Bei exponentiellen Mustern wird jedes Glied mit einem festen Faktor multipliziert, um das nächste zu erhalten.

1. Analyse der Wachstumsarten: Folge \(A\): Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant (\(d = 4\)). Es handelt sich um lineares Wachstum (arithmetische Folge). Folge \(B\): Der Quotient zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant (\(q = \frac{15}{10} = 1{,}5\)). Es handelt sich um exponentielles Wachstum (geometrische Folge). 2. Summe der ersten \(30\) Glieder von Folge \(A\): \(a_1 = 10\), \(d = 4\), \(n = 30\). \(a_{30} = 10 + (30-1) \cdot 4 = 10 + 29 \cdot 4 = 10 + 116 = 126\). \(S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (10 + 126) = 15 \cdot 136 = 2\,040\). 3. Das \(10.\) Glied von Folge \(B\): \(b_1 = 10\), \(q = 1{,}5\), \(n = 10\). \(b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = 10 \cdot 1{,}5^9\). \(b_{10} = 10 \cdot 38{,}443359375 \approx 384{,}43\).

a) Folge \(A\) wächst linear (konstante Differenz \(4\)). Folge \(B\) wächst exponentiell (konstanter Faktor \(1{,}5\)). b) Die Summe der ersten \(30\) Glieder von Folge \(A\) ist \(2\,040\). c) Das \(10.\) Glied von Folge \(B\) ist ca. \(384{,}43\).

- Welche Grundformeln beschreiben lineares und exponentielles Wachstum? - Wie kannst du den Endwert nach zwei Jahren nutzen, um die fehlenden Wachstumsraten zu bestimmen? - Was passiert, wenn du für die Zeit den Wert 1 in deine Modelle einsetzt?

1. Aufstellen der allgemeinen Wachstumsmodelle: Lineares Wachstum \(K_1(t) = K_0 + d \cdot t\) und exponentielles Wachstum \(K_2(t) = K_0 \cdot q^t\) mit \(K_0 = 800\). 2. Bestimmung der Parameter für \(t=2\): Für \(K_1\) gilt \(800 + 2d = 1800\), woraus \(2d = 1000\) und somit \(d = 500\) folgt. Die Gleichung lautet \(K_1(t) = 800 + 500t\). 3. Für \(K_2\) gilt \(800 \cdot q^2 = 1800\), woraus \(q^2 = 2{,}25\) und \(q = 1{,}5\) folgt. Die Gleichung lautet \(K_2(t) = 800 \cdot 1{,}5^t\). 4. Berechnung der Werte für \(t=1\): \(K_1(1) = 800 + 500 = 1300\,\text{€}\) und \(K_2(1) = 800 \cdot 1{,}5 = 1200\,\text{€}\). 5. Vergleich und Differenz: Die lineare Anlage \(K_1\) ist um \(1300 - 1200 = 100\,\text{€}\) höher.

a) \(K_1(t) = 800 + 500t\); \(K_2(t) = 800 \cdot 1{,}5^t\) (mit \(t\) in Jahren und \(K\) in \(\text{€}\)) b) Die lineare Anlage \(K_1\) ist nach einem Jahr um \(100\,\text{€}\) höher als die exponentielle Anlage \(K_2\).

- Überlege dir, ob in jedem Jahr der gleiche Euro-Betrag dazukommt oder ob sich der Zuwachs auf den jeweils neuen Betrag bezieht. - Wie berechnet man den Wert nach mehreren Jahren, ohne jeden Zwischenschritt einzeln aufzuschreiben? - Vergleiche die Differenzen zwischen den Jahren bei beiden Modellen. - Was bedeutet es für das Wachstum, wenn die Basis der Verzinsung immer größer wird?

1. Berechnung Modell A (lineares Wachstum): Kapital nach \(n\) Jahren: \(K_n = 10\,000 + n \cdot 320\). Nach 1 Jahr: \(10\,320\,\text{€}\). Nach 2 Jahren: \(10\,640\,\text{€}\). Nach 5 Jahren: \(11\,600\,\text{€}\). Nach 20 Jahren: \(10\,000 + 20 \cdot 320 = 16\,400\,\text{€}\). 2. Berechnung Modell B (exponentielles Wachstum): Kapital nach \(n\) Jahren: \(K_n = 10\,000 \cdot 1{,}03^n\). Nach 1 Jahr: \(10\,000 \cdot 1{,}03 = 10\,300\,\text{€}\). Nach 2 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^2 = 10\,609\,\text{€}\). Nach 5 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^5 \approx 11\,592{,}74\,\text{€}\). Nach 20 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061{,}11\,\text{€}\). 3. Begründung: Modell A ist linear, da die absolute Zunahme jedes Jahr konstant \(320\,\text{€}\) beträgt. Modell B ist exponentiell, da die Zunahme proportional zum aktuellen Kapitalstand ist (fester Wachstumsfaktor \(1{,}03\)), wodurch die absoluten Zunahmen von Jahr zu Jahr größer werden. 4. Vergleich nach 20 Jahren: Modell B (\(18\,061{,}11\,\text{€}\)) ist deutlich lukrativer als Modell A (\(16\,400\,\text{€}\)).

a) Modell A: \(10\,320\,\text{€}\) (1 J.), \(10\,640\,\text{€}\) (2 J.), \(11\,600\,\text{€}\) (5 J.). Modell B: \(10\,300\,\text{€}\) (1 J.), \(10\,609\,\text{€}\) (2 J.), \(11\,592{,}74\,\text{€}\) (5 J.). b) Modell A ist linear (konstante Differenz), Modell B ist exponentiell (konstanter Faktor/Zinseszins). c) Nach 20 Jahren: Modell A hat \(16\,400\,\text{€}\), Modell B hat ca. \(18\,061{,}11\,\text{€}\). Modell B ist lukrativer.

- Was muss für die Verhältnisse (Quotienten) aufeinanderfolgender Werte gelten, damit ein Wachstum exponentiell ist? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und der Prozentsatz der Zunahme zusammen? - Nutze die Wachstumsfunktion, um Werte für Zeitpunkte zu berechnen, die nicht in der Tabelle stehen.

1. Prüfung auf exponentielles Wachstum: Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(600 : 400 = 1{,}5\); \(900 : 600 = 1{,}5\); \(1\,350 : 900 = 1{,}5\). Da der Quotient zwischen den Stunden konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Bestimmung der Wachstumsrate: Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(q = 1{,}5\). Dies entspricht einer Zunahme von \(50\,\%\) pro Stunde (\(1{,}5 - 1 = 0{,}5\)). 3. Prognose für 6 Stunden: Berechnung mit der Formel \(N(t) = N_0 \cdot q^t\). Es ergibt sich \(N(6) = 400 \cdot 1{,}5^6 = 400 \cdot 11{,}390625 = 4\,556{,}25\). Es werden etwa \(4\,556\) Personen erreicht.

a) Ja, da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte konstant \(1{,}5\) sind. b) \(q = 1{,}5\); Zunahme von \(50\,\%\) pro Stunde. c) Es werden ca. \(4\,556\) Personen erreicht.

- Wie berechnet man die Schrittweite \(d\) bei einer arithmetischen Folge, wenn Start und Ende bekannt sind? - Wie berechnet man den Faktor \(q\) bei einer geometrischen Folge über drei Schritte? - Was musst du berechnen, bevor du die Summen bilden kannst?

1. Berechnung für Folge A (arithmetisch): \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Es gilt \(a_4 = a_1 + 3d\). Einsetzen: \(64 = 1 + 3d \implies 63 = 3d \implies d = 21\). Glieder: \(a_2 = 1 + 21 = 22\), \(a_3 = 22 + 21 = 43\). Summe der mittleren Glieder: \(22 + 43 = 65\). 2. Berechnung für Folge B (geometrisch): \(b_1, b_2, b_3, b_4\). Es gilt \(b_4 = b_1 \cdot q^3\). Einsetzen: \(64 = 1 \cdot q^3 \implies q = \sqrt[3]{64} = 4\). Glieder: \(b_2 = 1 \cdot 4 = 4\), \(b_3 = 4 \cdot 4 = 16\). Summe der mittleren Glieder: \(4 + 16 = 20\). 3. Vergleich: Die Summe der mittleren Glieder ist bei der arithmetischen Folge (\(65\)) deutlich größer als bei der geometrischen Folge (\(20\)).

Bei Folge A beträgt die Summe der mittleren Glieder \(65\). Bei Folge B beträgt sie \(20\). Die Summe der beiden mittleren Glieder der arithmetischen Folge ist somit größer.

- Untersuche, ob die Differenz oder der Quotient zwischen den Werten konstant bleibt. - Was ist das Kennzeichen für lineares Wachstum im Vergleich zu exponentiellem Wachstum? - Nutze die allgemeine Form für das \(n\)-te Glied: \(x_n = x_0 + n \cdot d\) für lineares und \(x_n = x_0 \cdot q^n\) für exponentielles Wachstum.

1. Nachweis des exponentiellen Wachstums: Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{x_1}{x_0} = \frac{150}{100} = 1{,}5\) und \(\frac{x_2}{x_1} = \frac{225}{150} = 1{,}5\). Da der Quotient \(q = 1{,}5\) konstant ist, handelt es sich um exponentielles Wachstum. 2. Ausschluss linearen Wachstums: Berechnung der Differenzen: \(x_1 - x_0 = 50\), aber \(x_2 - x_1 = 75\). Da die absolute Zunahme nicht konstant ist, liegt kein lineares Wachstum vor. 3. Lineares Modell für b): Mit der konstanten Differenz \(d = x_1 - x_0 = 50\) ergibt sich \(x_2 = x_1 + 50 = 150 + 50 = 200\). 4. Berechnung von \(x_5\) bei linearem Wachstum: \(x_5 = x_0 + 5 \cdot d = 100 + 5 \cdot 50 = 350\). 5. Berechnung von \(x_5\) bei exponentiellem Wachstum: \(x_5 = x_0 \cdot q^5 = 100 \cdot 1{,}5^5 = 100 \cdot 7{,}59375 = 759{,}375\).

a) Es liegt exponentielles Wachstum vor, da der Quotient \(q = 1{,}5\) konstant ist. Lineares Wachstum liegt nicht vor, da die Differenzen (\(50\) und \(75\)) unterschiedlich sind. b) Bei linearem Wachstum wäre \(x_2 = 200\). c) Nach 5 Stunden wäre \(x_5 = 350\) (linear) bzw. \(x_5 = 759{,}375\) (exponentiell).

- Überlege, bei welchem Modell immer der gleiche Betrag addiert wird und bei welchem Modell ein Prozentsatz auf den aktuellen Wert berechnet wird. - Wie verändert sich ein Wert, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz wächst? Welchen Faktor nutzt man zur Multiplikation? - Um den Zeitpunkt zu finden, an dem ein Modell das andere überholt, kannst du eine Tabelle erstellen und Werte für \(t\) einsetzen, bis sich das Verhältnis der Ergebnisse umkehrt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Modell A ergibt sich bei einem Startwert von \(2000\) und einer konstanten Zunahme von \(150\) die lineare Funktion \(f(t) = 2000 + 150 \cdot t\). Für Modell B ergibt sich bei einem Startwert von \(1500\) und einem Wachstumsfaktor von \(1{,}05\) (da \(100\,\% + 5\,\% = 105\,\%\)) die Exponentialfunktion \(g(t) = 1500 \cdot 1{,}05^t\). 2. Berechnung für \(t = 10\): Modell A: \(f(10) = 2000 + 150 \cdot 10 = 3500\). Das Kapital beträgt \(3500\,\text{€}\). Modell B: \(g(10) = 1500 \cdot 1{,}05^{10} \approx 2443{,}42\). Das Kapital beträgt ca. \(2443{,}42\,\text{€}\). 3. Bestimmung des Schnittpunkts durch systematisches Probieren: Für \(t = 30\): \(f(30) = 6500\); \(g(30) \approx 6482{,}81\). (Modell A ist noch vorn) Für \(t = 31\): \(f(31) = 6650\); \(g(31) \approx 6806{,}95\). (Modell B ist nun größer) Nach \(31\) Jahren ist das Kapital in Modell B zum ersten Mal höher.

a) Modell A: \(f(t) = 2000 + 150 \cdot t\) (lineares Wachstum); Modell B: \(g(t) = 1500 \cdot 1{,}05^t\) (exponentielles Wachstum). b) Modell A: \(3500\,\text{€}\); Modell B: ca. \(2443{,}42\,\text{€}\). c) Nach \(31\) Jahren.

- Achte darauf, ob jede Woche der gleiche absolute Wert addiert wird oder ob der Wert mit einem festen Faktor multipliziert wird. - Schreibe dir die Rechenvorschrift für jede Zeile der Tabelle auf, um Fehler zu vermeiden. - Wenn die Tabelle bei Woche 5 noch keinen Sieger zeigt, rechne einfach für die weiteren Wochen 6, 7, 8 usw. im gleichen Muster weiter.

1. Vervollständigen der Tabelle: Kultur 1 (linearer Zuwachs von \(200\)): \(500, 700, 900, 1100, 1300, 1500\). Kultur 2 (exponentieller Zuwachs mit Faktor \(1{,}5\)): \(50, 75, 113, 169, 253, 380\). 2. Begründung: Kultur 1 wächst linear, da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Wochen konstant ist (\(d = 200\)). Kultur 2 wächst exponentiell, da das Verhältnis aufeinanderfolgender Werte konstant ist (\(q = 1{,}5\)) bzw. die Zunahme proportional zum aktuellen Bestand ist. 3. Suche nach dem Überschneidungspunkt: Woche 9: Kultur 1: \(500 + 9 \cdot 200 = 2300\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^9 \approx 1922\). Woche 10: Kultur 1: \(500 + 10 \cdot 200 = 2500\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^{10} \approx 2883\). In der 10. Woche überholt Kultur 2 die Kultur 1.

a) Kultur 1: \(500, 700, 900, 1100, 1300, 1500\); Kultur 2: \(50, 75, 113, 169, 253, 380\). b) Kultur 1 wächst linear (konstante Summanden), Kultur 2 wächst exponentiell (konstanter Wachstumsfaktor). c) Nach \(10\) Wochen.

- Untersuche, ob die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Werten immer gleich ist. - Prüfe, ob das Verhältnis (der Quotient) zwischen einem Wert und seinem Vorgänger konstant bleibt. - Überlege, welche Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) dich von einem Schritt zum nächsten führt. - Nutze die vorhandenen Werte am Ende der Tabelle, um deine Vermutung über das Wachstumsmuster zu bestätigen.

1. Analyse von Tabelle a: Berechnung des Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{240}{200} = 1{,}2\). Prüfung mit dem dritten bekannten Wert: \(240 \cdot 1{,}2^2 = 345{,}6\). Da der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}2\) konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Berechnung der Lücken für Tabelle a: \(t=2 \Rightarrow 240 \cdot 1{,}2 = 288\); \(t=4 \Rightarrow 345{,}6 \cdot 1{,}2 = 414{,}72\). 3. Analyse von Tabelle b: Berechnung der Differenz aufeinanderfolgender Werte: \(240 - 200 = 40\). Prüfung mit dem Endwert: \(200 + 4 \cdot 40 = 360\). Da die absolute Zunahme \(d = 40\) konstant ist, liegt lineares Wachstum vor. 4. Berechnung der Lücken für Tabelle b: \(t=2 \Rightarrow 240 + 40 = 280\); \(t=3 \Rightarrow 280 + 40 = 320\).

a) Exponentielles Wachstum; Werte: \(288\) (für \(t=2\)) und \(414{,}72\) (für \(t=4\)). b) Lineares Wachstum; Werte: \(280\) (für \(t=2\)) und \(320\) (für \(t=3\)).

- Unterscheide zwischen einer Zunahme um einen festen Betrag und einer Zunahme um einen festen Prozentsatz. - Welche Funktionsart beschreibt eine gleichmäßige absolute Änderung pro Zeiteinheit? - Welche Funktionsart beschreibt eine Änderung, die vom aktuellen Wert abhängt? - Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn ein Wert um einen bestimmten Prozentsatz steigt?

1. Modell 1: Da die jährliche Änderung ein fester absoluter Betrag (\(25\,\text{€}\)) ist, handelt es sich um lineares Wachstum. 2. Berechnung für Modell 1 nach \(5\) Jahren: \(K(5) = 500 + 5 \cdot 25 = 500 + 125 = 625\,\text{€}\). 3. Modell 2: Da die jährliche Änderung ein fester Prozentsatz (\(4\,\%\)) ist, handelt es sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{4}{100} = 1{,}04\). 4. Berechnung für Modell 2 nach \(5\) Jahren: \(K(5) = 500 \cdot 1{,}04^5 = 500 \cdot 1{,}2166529... \approx 608{,}33\,\text{€}\).

Modell 1: Lineares Wachstum; Kapital nach \(5\) Jahren: \(625\,\text{€}\). Modell 2: Exponentielles Wachstum; Kapital nach \(5\) Jahren: \(608{,}33\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie sich der Betrag von einem Tag zum nächsten verändert. Wird immer derselbe Betrag addiert oder wird mit derselben Zahl multipliziert? - Stelle eine kleine Liste für die ersten drei Tage auf, um ein Muster zu erkennen. - Wie schreibt man eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl mathematisch kurz auf? - Achte darauf, dass beim ersten Tag (\(n=1\)) noch keine Erhöhung bzw. Verdopplung stattgefunden hat.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 1: Da der Betrag täglich um einen festen Wert steigt, handelt es sich um eine arithmetische Folge bzw. lineares Wachstum. Mit dem Startwert \(30\) am ersten Tag ergibt sich \(f_1(n) = 30 + (n-1) \cdot 15\) oder vereinfacht \(f_1(n) = 15n + 15\). 2. Berechnung für Tag 14 in Modell 1: \(f_1(14) = 15 \cdot 14 + 15 = 225{,}00\,\text{€}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 2: Da sich der Betrag täglich verdoppelt (Wachstumsfaktor \(2\)), liegt exponentielles Wachstum vor. Mit dem Startwert \(0{,}02\) ergibt sich \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). 4. Berechnung für Tag 14 in Modell 2: \(f_2(14) = 0{,}02 \cdot 2^{13} = 0{,}02 \cdot 8192 = 163{,}84\,\text{€}\). 5. Vergleich: Am 14. Tag ist Modell 1 mit \(225{,}00\,\text{€}\) lukrativer als Modell 2 mit \(163{,}84\,\text{€}\). 6. Begründung der Wachstumstypen: Modell 1 ist linear, da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(+15\,\text{€}\)). Modell 2 ist exponentiell, da der Quotient (bzw. der Wachstumsfaktor) zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(\cdot 2\)).

a) Modell 1: \(225{,}00\,\text{€}\); Modell 2: \(163{,}84\,\text{€}\). Modell 1 ist am 14. Tag lukrativer. b) Modell 1: \(f_1(n) = 15n + 15\); Modell 2: \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). c) Modell 1 ist lineares Wachstum (konstante Summe pro Tag), Modell 2 ist exponentielles Wachstum (konstanter Faktor pro Tag).

- Was bedeutet eine Zunahme um \(15\,\%\) für den Wachstumsfaktor? Mit welcher Zahl musst du den aktuellen Wert multiplizieren? - Unterscheide zwischen einer festen Anzahl (absolut) und einem Prozentsatz (relativ). - Setze die entsprechenden Zeitwerte in deine Formeln ein und achte auf die Einheiten.

1. Funktionsgleichung Verein A: Da monatlich eine feste Anzahl an Mitgliedern hinzukommt, liegt lineares Wachstum vor. Die Gleichung lautet \(M_A(t) = 200 + 40t\). 2. Funktionsgleichung Verein B: Ein prozentuales Wachstum entspricht einem exponentiellen Wachstum. Ein Zuwachs von \(15\,\%\) bedeutet einen Wachstumsfaktor von \(1{,}15\). Die Gleichung lautet \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). 3. Berechnung für \(t=12\): Verein A hat \(M_A(12) = 200 + 40 \cdot 12 = 680\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(12) = 50 \cdot 1{,}15^{12} \approx 50 \cdot 5{,}350 \approx 268\) Mitglieder. 4. Berechnung für \(t=24\): Verein A hat \(M_A(24) = 200 + 40 \cdot 24 = 1160\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(24) = 50 \cdot 1{,}15^{24} \approx 50 \cdot 28{,}625 \approx 1431\) Mitglieder. 5. Einordnung: Verein A zeigt lineares Wachstum, da die absolute Änderung pro Monat konstant ist. Verein B zeigt exponentielles Wachstum, da die relative Änderung (Prozentsatz) pro Monat konstant ist.

a) \(M_A(t) = 40t + 200\); \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). b) Nach 12 Monaten: Verein A: \(680\), Verein B: ca. \(268\). Nach 24 Monaten: Verein A: \(1160\), Verein B: ca. \(1431\). c) Verein A: lineares Wachstum; Verein B: exponentielles Wachstum.

- Stelle für beide Fälle fest: Wird ein fester Wert addiert oder mit einem festen Faktor multipliziert? - Erinnere dich an die allgemeine Form für lineares Wachstum \(y = m \cdot x + b\) und exponentielles Wachstum \(y = a \cdot q^x\). - Untersuche, wie sich der absolute Zuwachs (die Differenz zum Vorwert) von Stunde zu Stunde verändert. - Schau dir die Ergebnisse nach 3 und 8 Stunden genau an – was fällt dir im Vergleich der beiden Kulturen auf?

1. Funktionsgleichungen: Kultur 1 (exponentiell): \(N_1(t) = 800 \cdot 1{,}15^t\). Kultur 2 (linear): \(N_2(t) = 800 + 150 \cdot t\). 2. Bestandsberechnungen: Nach 3 Stunden: \(N_1(3) = 800 \cdot 1{,}15^3 = 1216{,}7 \approx 1217\) Individuen. \(N_2(3) = 800 + 150 \cdot 3 = 1250\) Individuen. Nach 8 Stunden: \(N_1(8) = 800 \cdot 1{,}15^8 \approx 2447{,}2 \approx 2447\) Individuen. \(N_2(8) = 800 + 150 \cdot 8 = 2000\) Individuen. 3. Analyse der Zuwachsraten: Bei Kultur 2 ist die Zuwachsrate konstant bei \(150\) Individuen pro Stunde. Bei Kultur 1 ist der Zuwachs proportional zum Bestand (\(15\,\%\)). Da der Bestand bei Kultur 1 wächst, vergrößert sich auch der absolute stündliche Zuwachs immer weiter. Während der lineare Zuwachs gleichbleibt, beschleunigt sich das exponentielle Wachstum ständig selbst, was dazu führt, dass es jeden linearen Prozess langfristig übertrifft.

a) \(N_1(t) = 800 \cdot 1{,}15^t\); \(N_2(t) = 800 + 150 \cdot t\). b) Nach 3 Std.: Kultur 1 \(\approx 1217\), Kultur 2 \(= 1250\). Nach 8 Std.: Kultur 1 \(\approx 2447\), Kultur 2 \(= 2000\). c) Bei Kultur 2 ist der Zuwachs konstant (\(150\)), bei Kultur 1 steigt der absolute Zuwachs stündlich an, da \(15\,\%\) von einem immer größeren Wert berechnet werden.

- Überlege dir, wie man erkennt, ob ein Wert immer um den gleichen Betrag oder um den gleichen Faktor wächst. - Berechne die Differenzen zwischen den aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Was bedeutet es, wenn diese gleich sind? - Berechne die Quotienten der aufeinanderfolgenden Werte. Welches Wachstum liegt vor, wenn diese konstant sind? - Achte darauf, dass die Zeitabstände in den Daten zwei Jahre betragen, du aber nach dem jährlichen Wachstum gefragt wirst.

1. Überprüfung von Angebot 1: Die Differenzen zwischen den Werten nach jeweils 2 Jahren betragen \(13\,440\,\text{€} - 12\,000\,\text{€} = 1\,440\,\text{€}\), \(14\,880\,\text{€} - 13\,440\,\text{€} = 1\,440\,\text{€}\) und \(16\,320\,\text{€} - 14\,880\,\text{€} = 1\,440\,\text{€}\). Da die absolute Zunahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist, liegt lineares Wachstum vor. Der jährliche Zuwachs beträgt \(1\,440\,\text{€} : 2 = 720\,\text{€}\). 2. Überprüfung von Angebot 2: Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte (alle 2 Jahre) betragen \(13\,483{,}20 : 12\,000 = 1{,}1236\) und \(15\,149{,}72 : 13\,483{,}20 \approx 1{,}1236\). Da das Kapital in gleichen Zeitintervallen um denselben Faktor wächst, liegt exponentielles Wachstum vor. Der jährliche Wachstumsfaktor \(q\) berechnet sich aus \(q^2 = 1{,}1236\) zu \(q = 1{,}06\), was einem Zinssatz von \(6\,\%\) entspricht. 3. Berechnung nach 10 Jahren: Für Angebot 1 ergibt sich \(12\,000\,\text{€} + 10 \cdot 720\,\text{€} = 19\,200\,\text{€}\). Für Angebot 2 ergibt sich \(12\,000\,\text{€} \cdot 1{,}06^{10} \approx 21\,490{,}17\,\text{€}\).

a) Angebot 1 ist linear, Angebot 2 ist exponentiell. b) Angebot 1: \(720\,\text{€}\) pro Jahr; Angebot 2: \(6\,\%\) Zinsen pro Jahr. c) Angebot 1: \(19\,200\,\text{€}\); Angebot 2: ca. \(21\,490{,}17\,\text{€}\).

- Überlege dir, ob die Abnahme in jedem Schritt den gleichen festen Wert hat oder von der aktuellen Menge abhängt. - Wie berechnet man den neuen Wert, wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz kleiner wird? - Bei welchem Modell wird die Abnahme im Laufe der Zeit immer kleiner? - Kannst du für beide Prozesse eine Funktionsgleichung aufstellen?

1. Berechnung der Höhen nach \(5\,\text{h}\): Für Kerze A gilt die lineare Abnahme \(h_A(5) = 25\,\text{cm} - 5 \cdot 2\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\). Für Kerze B gilt die exponentielle Abnahme mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 - 0{,}10 = 0{,}9\). Somit ist \(h_B(5) = 25\,\text{cm} \cdot 0{,}9^5 = 25\,\text{cm} \cdot 0{,}59049 \approx 14{,}76\,\text{cm}\). 2. Zeitpunkt für das vollständige Abbrennen von Kerze A: Es gilt der Ansatz \(0 = 25 - 2 \cdot t\). Umstellen nach \(t\) ergibt \(2t = 25\), also \(t = 12{,}5\,\text{Stunden}\) (entspricht \(12\,\text{Stunden}\) und \(30\,\text{Minuten}\)). 3. Klassifizierung: Der Abbau von Kerze A ist linear, da die Änderung pro Zeiteinheit mit \(2\,\text{cm}\) absolut konstant ist. Der Abbau von Kerze B ist exponentiell, da die Änderung pro Zeiteinheit proportional zur aktuellen Höhe ist (konstanter Prozentsatz bzw. relativer Anteil von \(10\,\%\)).

a) Nach \(5\,\text{Stunden}\) ist Kerze A noch \(15\,\text{cm}\) hoch und Kerze B etwa \(14{,}76\,\text{cm}\). b) Kerze A ist nach \(12{,}5\,\text{Stunden}\) vollständig abgebrannt. c) Kerze A zeigt eine lineare Abnahme, da der Subtrahent pro Stunde konstant ist (\(2\,\text{cm}\)). Kerze B zeigt eine exponentielle Abnahme, da die Höhe pro Stunde um einen konstanten Faktor (\(0{,}9\)) abnimmt.

- Erstelle am besten eine Tabelle für die Jahre, um die Werte beider Modelle direkt vergleichen zu können. - Denk daran, dass Zinsen beim exponentiellen Wachstum im nächsten Jahr mitverzinst werden. - Welches Modell wird langfristig vermutlich immer schneller wachsen?

1. Berechnung nach \(3\,\text{Jahren}\): Modell 1 ist lineares Wachstum: \(K_1(3) = 2\,000\,\text{€} + 3 \cdot 120\,\text{€} = 2\,360\,\text{€}\). Modell 2 ist exponentielles Wachstum mit \(q = 1{,}05\): \(K_2(3) = 2\,000\,\text{€} \cdot 1{,}05^3 = 2\,000\,\text{€} \cdot 1{,}157625 = 2\,315{,}25\,\text{€}\). 2. Vergleich der Kapitalentwicklung: Nach \(8\,\text{Jahren}\): \(K_1(8) = 2\,000 + 8 \cdot 120 = 2\,960\,\text{€}\); \(K_2(8) = 2\,000 \cdot 1{,}05^8 \approx 2\,954{,}91\,\text{€}\) (\(K_1\) ist noch höher). Nach \(9\,\text{Jahren}\): \(K_1(9) = 2\,000 + 9 \cdot 120 = 3\,080\,\text{€}\); \(K_2(9) = 2\,000 \cdot 1{,}05^9 \approx 3\,102{,}66\,\text{€}\) (\(K_2\) ist nun höher). Ergebnis: Nach \(9\,\text{Jahren}\) übersteigt das Kapital in Modell 2 das in Modell 1.

a) Nach \(3\,\text{Jahren}\) beträgt das Kapital in Modell 1 genau \(2\,360\,\text{€}\) und in Modell 2 genau \(2\,315{,}25\,\text{€}\). b) Nach \(9\,\text{Jahren}\) ist das Kapital in Modell 2 (\(3\,102{,}66\,\text{€}\)) zum ersten Mal höher als in Modell 1 (\(3\,080\,\text{€}\)).

- Stelle für jeden Zeitpunkt eine Gleichung auf, die die Beziehung zwischen Population A und B beschreibt. - Kannst du eine Variable (z.B. die Wachstumsrate des linearen Modells) durch die andere ausdrücken und in die zweite Gleichung einsetzen? - Achte beim Aufstellen der zweiten Gleichung darauf, die gesamte Formel für Population A mit dem Faktor 2 zu multiplizieren. - Erinnerst du dich an eine Methode, um quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen?

1. Definition der Modelle: \(A(t) = 100 + d \cdot t\) und \(B(t) = 100 \cdot q^t\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: I. \(B(1) = A(1) + 50 \Rightarrow 100q = 100 + d + 50 \Rightarrow d = 100q - 150\). II. \(B(2) = 2 \cdot A(2) \Rightarrow 100q^2 = 2 \cdot (100 + 2d)\). 3. Substitution von \(d\) in Gleichung II: \(100q^2 = 200 + 4(100q - 150) \Rightarrow 100q^2 = 200 + 400q - 600\). 4. Vereinfachen der quadratischen Gleichung: \(100q^2 - 400q + 400 = 0 \Rightarrow q^2 - 4q + 4 = 0\). 5. Lösung mittels binomischer Formel: \((q-2)^2 = 0 \Rightarrow q = 2\). 6. Berechnung von \(d\): \(d = 100 \cdot 2 - 150 = 50\). 7. Funktionsgleichungen: \(A(t) = 100 + 50t\) und \(B(t) = 100 \cdot 2^t\). 8. Endbestände bei \(t=2\): \(A(2) = 100 + 100 = 200\) und \(B(2) = 100 \cdot 4 = 400\).

Funktionsgleichungen: \(A(t) = 100 + 50t\) und \(B(t) = 100 \cdot 2^t\). Nach zwei Stunden hat Population \(A\) eine Größe von \(200\) Individuen und Population \(B\) eine Größe von \(400\) Individuen.