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- Vergleiche bei jeder Reihe zunächst die Änderungen von einem Schritt zum nächsten. - Prüfe, ob eher gleiche Differenzen oder gleiche Quotienten auftreten.

1. Bei A sind die aufeinanderfolgenden Differenzen \(17-12=5\) und \(22-17=5\) gleich. Eine konstante Differenz kennzeichnet eine lineare Entwicklung. 2. Bei B sind die aufeinanderfolgenden Quotienten \(18:12=1{,}5\) und \(27:18=1{,}5\) gleich. Ein konstanter Wachstumsfaktor kennzeichnet eine exponentielle Entwicklung.

A: linear, weil die Differenz jeweils \(5\) beträgt. B: exponentiell, weil der Wachstumsfaktor jeweils \(1{,}5\) beträgt.

- Welche Zahl multipliziert den aktuellen Wert bei einer Zunahme um \(2\,\%\)? - Wie oft wird dieser Faktor nach \(n\) Jahren angewendet? - Vergleiche „immer denselben Faktor multiplizieren“ mit „immer denselben Betrag addieren“.

1. Der Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}02\). Daher gilt \(K_n=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^n\). 2. \(K_1=4500\,\text{€}\cdot1{,}02=4590{,}00\,\text{€}\). 3. \(K_2=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^2=4681{,}80\,\text{€}\). 4. \(K_3=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^3=4775{,}436\,\text{€}\approx4775{,}44\,\text{€}\). 5. Der Wert wird in jedem Schritt mit demselben Faktor \(1{,}02\) multipliziert. Bei linearem Wachstum würde stattdessen in jedem Schritt derselbe absolute Betrag addiert.

a) \(K_n=4500\,\text{€}\cdot1{,}02^n\) b) \(K_1=4590{,}00\,\text{€}\), \(K_2=4681{,}80\,\text{€}\), \(K_3\approx4775{,}44\,\text{€}\) c) Exponentiell, weil in jedem Jahr mit demselben Faktor \(1{,}02\) multipliziert wird.

- Was bleibt bei Modell L von Jahr zu Jahr gleich: ein Betrag oder ein Faktor? - Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(3\,\%\)? - Formuliere beide Modelle zuerst allgemein für \(n\) Jahre und setze erst danach \(n=3\) ein.

1. Für Modell L gilt \(L(n)=2500\,\text{€}+75\,\text{€}\cdot n\). 2. Für Modell E ist der Wachstumsfaktor \(1{,}03\), also \(E(n)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^n\). 3. Nach drei Jahren gilt \(L(3)=2725{,}00\,\text{€}\). 4. Für Modell E gilt \(E(3)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^3=2731{,}8175\,\text{€}\approx2731{,}82\,\text{€}\). 5. Modell L ist linear, weil pro Jahr derselbe absolute Betrag addiert wird. Modell E ist exponentiell, weil pro Jahr mit demselben Faktor multipliziert wird.

a) \(L(n)=2500\,\text{€}+75\,\text{€}\cdot n\), \(E(n)=2500\,\text{€}\cdot1{,}03^n\) b) \(L(3)=2725{,}00\,\text{€}\), \(E(3)\approx2731{,}82\,\text{€}\) c) Modell L wächst linear, Modell E exponentiell.

- Vergleiche bei jeder Folge sowohl die Abstände als auch die Verhältnisse aufeinanderfolgender Werte. - Welche Rechenvorschrift führt bei jeder Folge zuverlässig vom aktuellen zum nächsten Glied? - Überlege bei der Behauptung in c), welches Merkmal exponentielles Wachstum wirklich von linearem Wachstum unterscheidet.

1. Bei Folge \(A\) sind die Differenzen konstant: \(14-10=4\), \(18-14=4\) und \(22-18=4\). Deshalb liegt lineares Wachstum vor. 2. Bei Folge \(B\) sind die Quotienten konstant: \(15:10=1{,}5\), \(22{,}5:15=1{,}5\) und \(33{,}75:22{,}5=1{,}5\). Deshalb liegt exponentielles Wachstum vor. 3. Folge \(A\) wird jeweils um \(4\) erhöht. Die nächsten Glieder sind \(26\) und \(30\). 4. Folge \(B\) wird jeweils mit \(1{,}5\) multipliziert. Die nächsten Glieder sind \(50{,}625\) und \(75{,}9375\). 5. Dass Werte größer werden, reicht nicht als Kennzeichen für exponentielles Wachstum. Entscheidend ist ein konstanter Multiplikationsfaktor; bei Folge \(A\) ist stattdessen die absolute Zunahme konstant.

a) Folge \(A\): lineares Wachstum mit konstanter Differenz \(4\); Folge \(B\): exponentielles Wachstum mit konstantem Faktor \(1{,}5\). b) Folge \(A\): \(26; 30\), jeweils \(+4\). Folge \(B\): \(50{,}625; 75{,}9375\), jeweils \(\cdot 1{,}5\). c) Größer werdende Werte allein kennzeichnen kein exponentielles Wachstum. Dafür muss der Faktor zwischen aufeinanderfolgenden Werten konstant sein; bei Folge \(A\) ist die Differenz konstant.

- Prüfe zuerst, ob die Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden bekannten Werten konstant sein können. - Prüfe alternativ, ob ein fester Quotient zu allen bekannten Werten passt. - Nutze auch den späteren bekannten Wert in jeder Tabelle, um deine Vermutung zu kontrollieren.

1. In Tabelle a ist \(240:200=1{,}2\). Der bekannte Wert bei \(t=3\) bestätigt den Faktor, denn \(240\cdot1{,}2^2=345{,}6\). Damit liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Für Tabelle a folgen \(240\cdot1{,}2=288\) bei \(t=2\) und \(345{,}6\cdot1{,}2=414{,}72\) bei \(t=4\). 3. In Tabelle b ist \(240-200=40\). Der Endwert bestätigt die konstante Differenz, denn \(200+4\cdot40=360\). Damit liegt lineares Wachstum vor. 4. Für Tabelle b sind die fehlenden Werte \(280\) bei \(t=2\) und \(320\) bei \(t=3\).

a) Exponentielles Wachstum; \(288\) für \(t=2\) und \(414{,}72\) für \(t=4\). b) Lineares Wachstum; \(280\) für \(t=2\) und \(320\) für \(t=3\).

- Unterscheide zwischen einer jährlichen Zunahme um einen festen Geldbetrag und einer Zunahme um einen festen Prozentsatz. - Übersetze die prozentuale Zunahme in einen Multiplikationsfaktor. - Verwende für beide Modelle dieselbe Zeitspanne, bevor du die Ergebnisse vergleichst.

1. Modell 1 beschreibt lineares Wachstum, weil jedes Jahr derselbe absolute Betrag von \(25\,\text{€}\) hinzukommt. 2. Nach \(5\) Jahren gilt \(K_1(5)=500+5\cdot25=625\). Das Kapital beträgt \(625{,}00\,\text{€}\). 3. Modell 2 beschreibt exponentielles Wachstum. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(1+\frac{4}{100}=1{,}04\). 4. Nach \(5\) Jahren gilt \(K_2(5)=500\cdot1{,}04^5\approx608{,}33\). Das Kapital beträgt \(608{,}33\,\text{€}\).

Modell 1: lineares Wachstum; nach \(5\) Jahren \(625{,}00\,\text{€}\). Modell 2: exponentielles Wachstum; nach \(5\) Jahren \(608{,}33\,\text{€}\).

- Prüfe, ob die jährliche Zunahme als fester Eurobetrag oder als Anteil des jeweils aktuellen Kapitals beschrieben ist. - Stelle für jedes Modell zuerst eine Rechenvorschrift für den Kapitalstand nach \(t\) Jahren auf. - Vergleiche in c) beide Modelle am selben Zeitpunkt und runde erst das Endergebnis.

1. Für Modell A gilt \(K_A(t)=10\,000+320t\). Daher sind \(K_A(1)=10\,320\), \(K_A(2)=10\,640\) und \(K_A(5)=11\,600\). 2. Für Modell B gilt \(K_B(t)=10\,000\cdot1{,}03^t\). Daher sind \(K_B(1)=10\,300\), \(K_B(2)=10\,609\) und \(K_B(5)\approx11\,592{,}74\). 3. Modell A ist linear, weil jedes Jahr genau \(320\,\text{€}\) hinzukommen. Modell B ist exponentiell, weil in jedem Jahr derselbe Faktor \(1{,}03\) wirkt und dadurch die absoluten Zuwächse wachsen. 4. Nach \(20\) Jahren gilt \(K_A(20)=10\,000+20\cdot320=16\,400\) und \(K_B(20)=10\,000\cdot1{,}03^{20}\approx18\,061{,}11\). Modell B liefert den höheren Kapitalstand.

a) Modell A: \(10\,320{,}00\,\text{€}\), \(10\,640{,}00\,\text{€}\), \(11\,600{,}00\,\text{€}\). Modell B: \(10\,300{,}00\,\text{€}\), \(10\,609{,}00\,\text{€}\), \(11\,592{,}74\,\text{€}\). b) Modell A ist linear; Modell B ist exponentiell. c) Nach \(20\) Jahren: Modell A \(16\,400{,}00\,\text{€}\), Modell B \(18\,061{,}11\,\text{€}\). Modell B ist lukrativer.

- Prüfe, ob die Quotienten aufeinanderfolgender Tabellenwerte konstant sind. - Was sagt ein konstanter Quotient über den Wachstumsfaktor aus? - Verwende den Startwert und den gefundenen Faktor für die Prognose und runde erst den Endwert.

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind \(600:400=1{,}5\), \(900:600=1{,}5\) und \(1350:900=1{,}5\). Deshalb liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Der Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}5\). Damit beträgt die Zunahme \((1{,}5-1)\cdot100\,%=50\,%\) pro Stunde. 3. Mit \(N(t)=400\cdot1{,}5^t\) ergibt sich \(N(6)=400\cdot1{,}5^6=4556{,}25\approx4556\). Nach \(6\) Stunden werden nach dem Modell etwa \(4556\) Personen erreicht.

a) Ja. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind konstant \(1{,}5\). b) \(a=1{,}5\); Zunahme \(50\,%\) pro Stunde. c) Etwa \(4556\) Personen.

- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn man sie dividiert oder subtrahiert? - Was bedeutet es für die Änderung von Schritt zu Schritt, wenn ein Modell „linear“ genannt wird? - Welche Rechenoperation gehört zu einem Wachstumsfaktor? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten im Verhältnis zum ursprünglichen Wert?

1. Berechnung der Quotienten: \(\frac{300}{200} = 1{,}5\); \(\frac{450}{300} = 1{,}5\); \(\frac{675}{450} = 1{,}5\). Da alle Quotienten gleich sind, liegt ein exponentielles Modell mit dem Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\) vor. 2. Bestimmung von \(d\) aus Woche 0 und 1: \(d = A_1 - A_0 = 300 - 200 = 100\). Das lineare Modell lautet \(L_{n+1} = L_n + 100\). 3. Berechnung für Woche 3: \(L_3 = 200 + 3 \cdot 100 = 500\). Die absolute Abweichung beträgt \(675 - 500 = 175\). Die prozentuale Abweichung bezogen auf den realen Wert beträgt \(\frac{175}{675} \approx 25{,}9\,\%\).

1. \(a = 1{,}5\) 2. \(d = 100\) 3. \(L_3 = 500\); Abweichung ca. \(25{,}9\,\%\)

- Trenne zuerst die Geraden von den gekrümmten Exponentialgraphen. - Vergleiche anschließend die Steilheit der beiden Geraden mithilfe der sichtbaren Achsenwerte. - Vergleiche bei den Exponentialkurven, welche Kurve für positive \(x\)-Werte schneller wächst.

1. Die Graphen p und r sind Geraden und beschreiben lineare Funktionen. Die Graphen q und s sind gekrümmte Exponentialgraphen. 2. Graph p ist die steilere Gerade. Deshalb gehört p zu (a) \(y=1{,}5x+1\) und r zu (b) \(y=0{,}5x+1\). 3. Graph q wächst deutlich schneller als Graph s. Deshalb gehört q zu (d) \(y=2^x\) und s zu (c) \(y=1{,}2^x\).

p \(\rightarrow\) (a), q \(\rightarrow\) (d), r \(\rightarrow\) (b), s \(\rightarrow\) (c).

- Vergleiche zuerst die absoluten Änderungen zwischen benachbarten Werten. - Prüfe anschließend, ob dieselbe absolute Änderung auch immer denselben prozentualen Anteil des jeweiligen Ausgangswerts darstellt. - Welche Größe muss bei linearem Wachstum konstant sein, welche bei exponentiellem Wachstum?

1. Die absoluten Zunahmen sind jeweils gleich: \(144-120=24\), \(168-144=24\) und \(192-168=24\). Daher ist die Entwicklung linear. 2. Die prozentualen Zunahmen betragen \(\frac{24}{120}\cdot100\,\%=20{,}0\,\%\), \(\frac{24}{144}\cdot100\,\%\approx16{,}7\,\%\) und \(\frac{24}{168}\cdot100\,\%\approx14{,}3\,\%\). 3. Noah betrachtet nur das erste Intervall. Bei exponentiellem Wachstum müsste in jedem gleich langen Zeitintervall derselbe relative Faktor beziehungsweise dieselbe prozentuale Änderung gelten. Hier bleibt stattdessen die absolute Zunahme konstant.

a) Die Entwicklung ist linear, nicht exponentiell. b) \(20{,}0\,\%\), etwa \(16{,}7\,\%\), etwa \(14{,}3\,\%\) c) Eine einmal beobachtete prozentuale Zunahme reicht nicht für exponentielles Wachstum; dafür müsste der relative Faktor in jedem Intervall gleich sein.

- Bestimme zuerst den Endwert des exponentiellen Modells nach vier Jahren. - Wie groß ist dessen gesamter Zuwachs gegenüber dem Anfangswert? - Im linearen Modell ist der jährliche absolute Zuwachs viermal gleich groß. Setze die Gesamtzuwächse gleich.

1. Für Modell E gilt nach vier Jahren \(E(4)=2000\,\text{€}\cdot1{,}03^4=2251{,}01762\,\text{€}\). 2. Der gesamte Zuwachs gegenüber dem Anfangswert beträgt \(251{,}01762\,\text{€}\). 3. Modell L erhält viermal denselben Zuwachs \(2000\,\text{€}\cdot\frac{x}{100}=20x\,\text{€}\). Insgesamt sind das \(80x\,\text{€}\). 4. Aus \(80x\,\text{€}=251{,}01762\,\text{€}\) folgt \(x=3{,}13772025\).

\(x=3{,}13772025\,\%\), gerundet \(x\approx3{,}14\,\%\).

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Im Intervall \([0;2]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \((59-75):(2-0)=-8\,^\circ\text{C/min}\). Im Intervall \([2;4]\) beträgt sie \((47-59):(4-2)=-6\,^\circ\text{C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Zu Beginn kühlt der Kakao schneller ab; später wird die Abkühlung langsamer. Zwischen Minute 10 und Minute 15 beträgt die durchschnittliche Änderungsrate nur noch \((23-28):(15-10)=-1\,^\circ\text{C/min}\). 3. Die Zimmertemperatur muss unter \(23\,^\circ\text{C}\) liegen, weil der Kakao bei der letzten Messung noch abkühlt. Ein Wert von etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\) ist plausibel. Aus endlich vielen Messwerten lässt sich die genaue Zimmertemperatur ohne ein zusätzliches Abkühlungsmodell jedoch nicht eindeutig bestimmen.

a) Die Zuordnung ist nicht linear, weil die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist, zum Beispiel \(-8\,^\circ\text{C/min}\) am Anfang und \(-1\,^\circ\text{C/min}\) im letzten Intervall. b) Der Kakao kühlt anfangs schnell und später immer langsamer ab. c) Eine plausible Schätzung liegt bei etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\). Der genaue Wert ist aus den Messdaten allein nicht eindeutig bestimmbar.

- Prüfe zuerst, welche konstante Schrittweite eine lineare Entwicklung zwischen dem gemeinsamen Anfangs- und Endwert haben müsste. - Vergleiche anschließend den ersten Schritt der anderen Messreihe mit ihrem Endwert nach drei Schritten. - Für Teil c) kommt es auf die Art der Änderung zwischen den Zeitpunkten an, nicht nur auf die beiden Randwerte.

1. Für eine lineare Entwicklung von \(1\) auf \(64\) in drei gleich langen Schritten muss die konstante Differenz \((64-1):3=21\) betragen. Damit wäre der Wert bei \(t=1\) gleich \(1+21=22\). Das passt zu Messreihe A. Also ist A linear. 2. Bei Messreihe A ist der Wert bei \(t=2\) daher \(22+21=43\). 3. Messreihe B startet bei \(1\) und hat bei \(t=1\) den Wert \(4\). Der Wachstumsfaktor ist also \(a=4\). Mit demselben Faktor erhält man bei \(t=2\) den Wert \(4\cdot4=16\) und bei \(t=3\) den Wert \(16\cdot4=64\). Damit ist B exponentiell. 4. Gleiche Anfangs- und Endwerte legen den Verlauf zwischen diesen Zeitpunkten nicht fest. Eine lineare Entwicklung besitzt konstante absolute Änderungen, eine exponentielle Entwicklung konstante relative Änderungen.

a) A ist linear; B ist exponentiell. b) A: \(43\); B: \(16\) c) Gleiche Anfangs- und Endwerte bestimmen den Verlauf dazwischen nicht. Linear bedeutet konstante Differenzen, exponentiell einen konstanten Wachstumsfaktor.

- Unterscheide zwischen einem festen Geldbetrag pro Jahr und einem festen Prozentsatz des jeweils aktuellen Werts. - Nutze bei der Mitte des Zeitraums, dass beim linearen Modell die absolute Änderung gleichmäßig verteilt ist. - Beim exponentiellen Modell ist für die halbe Zeitspanne der Faktor gesucht, dessen Quadrat den Gesamtfaktor ergibt. - Prüfe bei c), welche Annahme über die Art der jährlichen Änderung jedes Modell macht.

1. Beim exponentiellen Modell erfüllt der Wachstumsfaktor über \(10\) Jahre die Gleichung \(a^{10}=\frac{50000}{20000}=2{,}5\). Für \(5\) Jahre gilt daher \(a^5=\sqrt{2{,}5}\). 2. Der Wert nach \(5\) Jahren beträgt \(20\,000\cdot\sqrt{2{,}5}\approx31\,622{,}78\,\text{€}\). 3. Beim linearen Modell beträgt die Gesamtzunahme \(30\,000\,\text{€}\) in \(10\) Jahren, also \(3000\,\text{€}\) pro Jahr. Nach \(5\) Jahren ergibt sich \(20\,000+5\cdot3000=35\,000\,\text{€}\). 4. Das lineare Modell liefert zur Mitte des Zeitraums den höheren Wert. Ein exponentielles Modell ist passend, wenn eine konstante jährliche prozentuale Wertänderung bezogen auf den jeweils aktuellen Wert angenommen wird.

a) \(31\,622{,}78\,\text{€}\) b) \(35\,000{,}00\,\text{€}\) c) Das lineare Modell liefert nach \(5\) Jahren den höheren Wert. Das exponentielle Modell setzt eine konstante jährliche prozentuale Änderung des jeweils aktuellen Werts voraus.

- Untersuche, ob die Differenz oder der Quotient zwischen aufeinanderfolgenden Werten konstant bleibt. - Was kennzeichnet lineares Wachstum, und was kennzeichnet exponentielles Wachstum? - Nutze für die Fortsetzung jeweils genau die Rechenregel, die zu deinem Modell gehört.

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind \(\frac{x_1}{x_0}=\frac{150}{100}=1{,}5\) und \(\frac{x_2}{x_1}=\frac{225}{150}=1{,}5\). Damit ist der Wachstumsfaktor \(a=1{,}5\) konstant; es liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Die Differenzen sind dagegen \(x_1-x_0=50\) und \(x_2-x_1=75\). Da die absolute Zunahme nicht konstant ist, liegt kein lineares Wachstum vor. 3. Beim linearen Modell mit der konstanten Differenz \(d=x_1-x_0=50\) wäre \(x_2=x_1+50=200\). 4. Für das lineare Modell gilt nach fünf Stunden \(x_5=x_0+5d=100+5\cdot50=350\). 5. Für das exponentielle Modell gilt \(x_5=x_0\cdot a^5=100\cdot1{,}5^5=759{,}375\).

a) Es liegt exponentielles Wachstum mit dem konstanten Wachstumsfaktor \(a=1{,}5\) vor. Lineares Wachstum liegt nicht vor, weil die Differenzen \(50\) und \(75\) verschieden sind. b) Bei linearem Wachstum wäre \(x_2=200\). c) Nach \(5\) Stunden wäre \(x_5=350\) (linear) bzw. \(x_5=759{,}375\) (exponentiell).

- Welche Grundformen beschreiben lineares und exponentielles Wachstum? - Nutze den gemeinsamen Endwert nach zwei Jahren, um die jeweils fehlenden Parameter zu bestimmen. - Vergleiche anschließend beide Modelle bei \(t=1\).

1. Für das lineare Modell gilt \(K_1(t)=800+dt\). Für das exponentielle Modell gilt \(K_2(t)=800\cdot a^t\). 2. Aus \(800+2d=1800\) folgt \(2d=1000\) und damit \(d=500\). Also ist \(K_1(t)=800+500t\). 3. Aus \(800\cdot a^2=1800\) folgt \(a^2=2{,}25\). Da der Wachstumsfaktor positiv ist, gilt \(a=1{,}5\). Also ist \(K_2(t)=800\cdot1{,}5^t\). 4. Für \(t=1\) erhält man \(K_1(1)=1300\,\text{€}\) und \(K_2(1)=1200\,\text{€}\). 5. Die lineare Anlage \(K_1\) liegt damit nach einem Jahr um \(100\,\text{€}\) höher.

a) \(K_1(t)=800+500t\); \(K_2(t)=800\cdot1{,}5^t\) b) Die lineare Anlage \(K_1\) ist nach einem Jahr um \(100\,\text{€}\) höher als die exponentielle Anlage \(K_2\).

- Prüfe, ob pro Jahr ein fester Betrag addiert oder mit einem festen Faktor multipliziert wird. - Übersetze die prozentuale Änderung in Modell B in einen Wachstumsfaktor. - Für c) genügt eine Wertetabelle in der Nähe des Zeitpunkts, an dem sich die beiden Kapitalwerte annähern.

1. Modell A hat den konstanten jährlichen Zuwachs \(150\,\text{€}\). Daher gilt \(f(t)=2000+150t\); das Wachstum ist linear. 2. Modell B hat den jährlichen Faktor \(1{,}05\). Daher gilt \(g(t)=1500\cdot1{,}05^t\); das Wachstum ist exponentiell. 3. Nach \(10\) Jahren ist \(f(10)=2000+150\cdot10=3500\), also \(3500{,}00\,\text{€}\). Für Modell B ist \(g(10)=1500\cdot1{,}05^{10}\approx2443{,}34\), also \(2443{,}34\,\text{€}\). 4. Für \(t=30\) gilt \(f(30)=6500\) und \(g(30)\approx6482{,}91\); Modell B liegt noch darunter. 5. Für \(t=31\) gilt \(f(31)=6650\) und \(g(31)\approx6807{,}06\); Modell B liegt nun darüber. Eine Tabelle für die vorherigen Jahre bestätigt, dass dies erstmals bei \(t=31\) geschieht.

a) Modell A: \(f(t)=2000+150t\), lineares Wachstum. Modell B: \(g(t)=1500\cdot1{,}05^t\), exponentielles Wachstum. b) Modell A: \(3500{,}00\,\text{€}\); Modell B: \(2443{,}34\,\text{€}\). c) Nach \(31\) vollen Jahren.

- Achte darauf, ob jede Woche derselbe absolute Flächenbetrag hinzukommt oder derselbe Faktor wirkt. - Beurteile die Wachstumsart anhand der ungerundeten Werte; Rundung kann Quotienten leicht verändern. - Wenn Kultur 2 bis Woche \(5\) noch kleiner ist, führe beide Rechenregeln in einer Tabelle weiter.

1. Kultur 1 wächst jede Woche um \(200\,\text{cm}^2\). Für \(t=0\) bis \(t=5\) erhält man \(500;700;900;1100;1300;1500\). 2. Kultur 2 wird jede Woche mit \(1{,}5\) multipliziert. Ungerundet ergeben sich \(50;75;112{,}5;168{,}75;253{,}125;379{,}6875\). Auf ganze \(\text{cm}^2\) gerundet sind das \(50;75;113;169;253;380\). 3. Kultur 1 wächst linear, weil die Differenz aufeinanderfolgender ungerundeter Werte konstant \(200\) ist. Kultur 2 wächst exponentiell, weil der Faktor der ungerundeten Werte konstant \(1{,}5\) ist. 4. Für Woche \(9\) gilt für Kultur 1 \(500+9\cdot200=2300\) und für Kultur 2 \(50\cdot1{,}5^9\approx1922\). Kultur 2 ist noch kleiner. 5. Für Woche \(10\) gilt für Kultur 1 \(2500\) und für Kultur 2 \(50\cdot1{,}5^{10}\approx2883\). Damit ist Kultur 2 nach \(10\) vollen Wochen erstmals größer.

a) Kultur 1: \(500;700;900;1100;1300;1500\). Kultur 2: \(50;75;113;169;253;380\). b) Kultur 1 wächst linear, weil die absolute Zunahme konstant ist. Kultur 2 wächst exponentiell, weil der Faktor der ungerundeten Werte konstant \(1{,}5\) ist. c) Nach \(10\) vollen Wochen.

- Überlege dir, wie sich der Betrag von einem Tag zum nächsten verändert. Wird immer derselbe Betrag addiert oder wird mit derselben Zahl multipliziert? - Stelle eine kleine Liste für die ersten drei Tage auf, um ein Muster zu erkennen. - Wie schreibt man eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl mathematisch kurz auf? - Achte darauf, dass beim ersten Tag (\(n=1\)) noch keine Erhöhung bzw. Verdopplung stattgefunden hat.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 1: Da der Betrag täglich um einen festen Wert steigt, handelt es sich um eine arithmetische Folge bzw. lineares Wachstum. Mit dem Startwert \(30\) am ersten Tag ergibt sich \(f_1(n) = 30 + (n-1) \cdot 15\) oder vereinfacht \(f_1(n) = 15n + 15\). 2. Berechnung für Tag 14 in Modell 1: \(f_1(14) = 15 \cdot 14 + 15 = 225{,}00\,\text{€}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 2: Da sich der Betrag täglich verdoppelt (Wachstumsfaktor \(2\)), liegt exponentielles Wachstum vor. Mit dem Startwert \(0{,}02\) ergibt sich \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). 4. Berechnung für Tag 14 in Modell 2: \(f_2(14) = 0{,}02 \cdot 2^{13} = 0{,}02 \cdot 8192 = 163{,}84\,\text{€}\). 5. Vergleich: Am 14. Tag ist Modell 1 mit \(225{,}00\,\text{€}\) lukrativer als Modell 2 mit \(163{,}84\,\text{€}\). 6. Begründung der Wachstumstypen: Modell 1 ist linear, da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(+15\,\text{€}\)). Modell 2 ist exponentiell, da der Quotient (bzw. der Wachstumsfaktor) zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(\cdot 2\)).

a) Modell 1: \(225{,}00\,\text{€}\); Modell 2: \(163{,}84\,\text{€}\). Modell 1 ist am 14. Tag lukrativer. b) Modell 1: \(f_1(n) = 15n + 15\); Modell 2: \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). c) Modell 1 ist lineares Wachstum (konstante Differenz bzw. Zunahme pro Tag), Modell 2 ist exponentielles Wachstum (konstanter Faktor pro Tag).

- Was bedeutet eine Zunahme um \(15\,\%\) für den Wachstumsfaktor? Mit welcher Zahl musst du den aktuellen Wert multiplizieren? - Unterscheide zwischen einer festen Anzahl (absolut) und einem Prozentsatz (relativ). - Setze die entsprechenden Zeitwerte in deine Formeln ein und achte auf die Einheiten.

1. Funktionsgleichung Verein A: Da monatlich eine feste Anzahl an Mitgliedern hinzukommt, liegt lineares Wachstum vor. Die Gleichung lautet \(M_A(t) = 200 + 40t\). 2. Funktionsgleichung Verein B: Ein prozentuales Wachstum entspricht einem exponentiellen Wachstum. Ein Zuwachs von \(15\,\%\) bedeutet einen Wachstumsfaktor von \(1{,}15\). Die Gleichung lautet \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). 3. Berechnung für \(t=12\): Verein A hat \(M_A(12) = 200 + 40 \cdot 12 = 680\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(12) = 50 \cdot 1{,}15^{12} \approx 50 \cdot 5{,}350 \approx 268\) Mitglieder. 4. Berechnung für \(t=24\): Verein A hat \(M_A(24) = 200 + 40 \cdot 24 = 1160\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(24) = 50 \cdot 1{,}15^{24} \approx 50 \cdot 28{,}625 \approx 1431\) Mitglieder. 5. Einordnung: Verein A zeigt lineares Wachstum, da die absolute Änderung pro Monat konstant ist. Verein B zeigt exponentielles Wachstum, da die relative Änderung (Prozentsatz) pro Monat konstant ist.

a) \(M_A(t) = 40t + 200\); \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). b) Nach 12 Monaten: Verein A: \(680\), Verein B: ca. \(268\). Nach 24 Monaten: Verein A: \(1160\), Verein B: ca. \(1431\). c) Verein A: lineares Wachstum; Verein B: exponentielles Wachstum.

- Entscheide zuerst, welcher Prozess einen festen Summanden und welcher einen festen Faktor verwendet. - Berechne die Bestände zunächst ungerundet und runde erst die geforderten Endwerte. - Vergleiche für c) nicht nur die Bestände, sondern die absoluten Änderungen von einer Stunde zur nächsten.

1. Für Kultur 1 gilt wegen des Faktors \(1{,}15\) die Exponentialfunktion \(N_1(t)=800\cdot1{,}15^t\). Für Kultur 2 gilt wegen des konstanten Zuwachses die lineare Funktion \(N_2(t)=800+150t\). 2. Nach \(3\) Stunden ist \(N_1(3)=800\cdot1{,}15^3=1216{,}7\approx1217\) und \(N_2(3)=800+150\cdot3=1250\). 3. Nach \(8\) Stunden ist \(N_1(8)=800\cdot1{,}15^8\approx2447{,}18\approx2447\) und \(N_2(8)=800+150\cdot8=2000\). 4. Bei Kultur 2 beträgt der absolute Zuwachs immer \(150\) Individuen pro Stunde. Bei Kultur 1 sind es jeweils \(15\,\%\) des aktuellen Bestands; deshalb werden die absoluten Zuwächse mit wachsendem Bestand größer. Langfristig übertrifft das exponentielle Wachstum das lineare.

a) \(N_1(t)=800\cdot1{,}15^t\); \(N_2(t)=800+150t\). b) Nach \(3\) Stunden: Kultur 1 \(1217\), Kultur 2 \(1250\). Nach \(8\) Stunden: Kultur 1 \(2447\), Kultur 2 \(2000\). c) Kultur 2 hat den konstanten absoluten Zuwachs \(150\). Bei Kultur 1 wächst der absolute Zuwachs mit dem Bestand, weil stets \(15\,\%\) des aktuellen Werts hinzukommen; deshalb überholt sie langfristig die lineare Kultur.

- Vergleiche bei gleichen Zeitabständen zuerst die Differenzen und anschließend die Quotienten der Kapitalwerte. - Beachte, dass die angegebenen Messpunkte jeweils \(2\) Jahre auseinanderliegen, während in b) ein jährlicher Wert gesucht ist. - Stelle für c) mit dem gefundenen jährlichen Zuwachs beziehungsweise Faktor jeweils ein Modell ab \(t=0\) auf.

1. Bei Angebot 1 betragen die Zunahmen in jeweils \(2\) Jahren konstant \(1440\,\text{€}\). Deshalb liegt lineares Wachstum vor. Der jährliche Zuwachs ist \(1440\,\text{€}:2=720\,\text{€}\). 2. Bei Angebot 2 ist der Faktor über jeweils \(2\) Jahre ungefähr konstant: \(13\,483{,}20:12\,000=1{,}1236\) und \(15\,149{,}72:13\,483{,}20\approx1{,}1236\). Für den jährlichen Faktor gilt \(a^2=1{,}1236\), also \(a=1{,}06\). Das entspricht \(6\,\%\) pro Jahr. 3. Für Angebot 1 gilt nach \(10\) Jahren \(12\,000+10\cdot720=19\,200\), also \(19\,200{,}00\,\text{€}\). 4. Für Angebot 2 gilt \(12\,000\cdot1{,}06^{10}\approx21\,490{,}17\), also \(21\,490{,}17\,\text{€}\).

a) Angebot 1 ist linear; Angebot 2 ist exponentiell. b) Angebot 1: \(720\,\text{€}\) pro Jahr. Angebot 2: \(6\,\%\) pro Jahr. c) Angebot 1: \(19\,200{,}00\,\text{€}\). Angebot 2: \(21\,490{,}17\,\text{€}\).

- Prüfe, ob pro Stunde dieselbe Länge oder derselbe prozentuale Anteil verloren geht. - Übersetze die Abnahme um \(10\,\%\) in den verbleibenden Faktor pro Stunde. - Für b) genügt beim linearen Modell die Frage, wann die Höhe den Wert \(0\) erreicht.

1. Für Kerze A gilt \(h_A(5)=25\,\text{cm}-5\cdot2\,\text{cm}=15\,\text{cm}\). 2. Bei Kerze B ist der Faktor \(1-0{,}10=0{,}9\). Daher gilt \(h_B(5)=25\cdot0{,}9^5\,\text{cm}=14{,}76225\,\text{cm}\approx14{,}76\,\text{cm}\). 3. Für Kerze A ist \(0=25-2t\). Daraus folgt \(t=12{,}5\,\text{Stunden}\), also \(12\) Stunden und \(30\) Minuten. 4. Kerze A nimmt linear ab, weil pro Stunde konstant \(2\,\text{cm}\) verloren gehen. Kerze B nimmt exponentiell ab, weil jede Stunde derselbe relative Anteil von \(10\,\%\) verloren geht, also der Faktor \(0{,}9\) wirkt.

a) Kerze A: \(15\,\text{cm}\). Kerze B: \(14{,}76\,\text{cm}\). b) Nach \(12{,}5\,\text{Stunden}\). c) Kerze A zeigt lineare Abnahme mit konstantem absoluten Verlust; Kerze B exponentielle Abnahme mit konstantem Faktor \(0{,}9\).

- Überlege dir, wie sich die Temperaturdifferenz von einer Minute zur nächsten verändert. - Welchen Wert strebt die Temperatur langfristig an? - Kannst du den Term für den Anteil bestimmen, der nach einer Minute von der Differenz übrig bleibt? - Berechne die Folgenglieder nacheinander, bis die Zieltemperatur erstmals unterschritten wird.

1. Rekursive Vorschrift: \(T_{n+1} = T_n - 0{,}12(T_n - 21) = 0{,}88T_n + 2{,}52\) mit \(T_0 = 80\). 2. Explizite Formel: Die Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt anfangs \(59\) und wird pro Minute mit \(0{,}88\) multipliziert. Daher gilt \(T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n\). 3. Für den ersten Zeitpunkt unter \(45^\circ\text{C}\) werden die Folgenglieder schrittweise berechnet: \(T_7 \approx 45{,}112^\circ\text{C}\) \(T_8 \approx 42{,}218^\circ\text{C}\) Somit ist der Kaffee nach \(8\) Minuten zum ersten Mal kälter als \(45^\circ\text{C}\).

a) \( T_{n+1} = 0{,}88T_n + 2{,}52 \) mit \( T_0 = 80 \) b) \( T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n \) c) Nach \( 8 \) Minuten.

- Welche geometrische Form hat der Graph einer linearen Funktion? - Nutze die \(y\)-Achsenabschnitte, um die beiden Exponentialterme zu unterscheiden. - Vergleiche bei den abnehmenden Graphen eine konstante absolute Änderung mit einer konstanten relativen Änderung.

1. Graph \(q\) ist eine Gerade. Er schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\) und die \(x\)-Achse bei \(6\). Die Steigung ist \(m=\frac{0-3}{6-0}=-0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y=-0{,}5x+3\). 2. Graph \(p\) zeigt exponentielle Abnahme mit \(a<1\) und schneidet die \(y\)-Achse bei \(2\), also ist der Anfangswert \(b=2\). Dies passt zu \(g(x)=2\cdot0{,}7^x\). Graph \(r\) zeigt exponentielle Zunahme mit \(a>1\) und schneidet die \(y\)-Achse bei \(0{,}5\). Dies passt zu \(f(x)=0{,}5\cdot1{,}4^x\). 3. Die lineare Funktion sinkt pro Schritt immer um denselben absoluten Wert \(0{,}5\). Die abnehmende Exponentialfunktion sinkt dagegen jeweils um denselben relativen Anteil; deshalb wird ihre Kurve für größere \(x\) immer flacher und nähert sich der \(x\)-Achse an.

a) Graph \(q\) ist linear mit \(y=-0{,}5x+3\). b) Graph \(p\) gehört zu \(g(x)=2\cdot0{,}7^x\). Graph \(r\) gehört zu \(f(x)=0{,}5\cdot1{,}4^x\). c) Bei linearer Abnahme ist die absolute Änderung konstant; bei exponentieller Abnahme ist der relative Änderungsfaktor konstant und der Graph nähert sich der \(x\)-Achse an.

- Betrachte zunächst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Umgebung. - Welche Restquote bleibt nach einer Verringerung um \(12\,\%\) jeweils übrig? - Was geschieht langfristig mit einem positiven Wert, der in jedem Schritt mit einem Faktor zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert wird?

1. Zu Beginn beträgt der Temperaturunterschied \(90\,^{\circ}\text{C}-18\,^{\circ}\text{C}=72\,^{\circ}\text{C}\). 2. Jede Minute bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Unterschieds bestehen. Der Wachstumsfaktor für die Temperaturdifferenz ist daher \(a=0{,}88\). 3. Die Temperatur wird durch \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) beschrieben. 4. Nach \(5\) Minuten gilt \(T(5)=18+72\cdot0{,}88^5\approx56{,}0\,^{\circ}\text{C}\). 5. Nach \(10\) Minuten gilt \(T(10)=18+72\cdot0{,}88^{10}\approx38{,}1\,^{\circ}\text{C}\). 6. Für große \(x\) wird \(72\cdot0{,}88^x\) immer kleiner und nähert sich \(0\). Daher nähert sich \(T(x)\) der Umgebungstemperatur \(18\,^{\circ}\text{C}\).

a) Nach \(5\) Minuten etwa \(56{,}0\,^{\circ}\text{C}\); nach \(10\) Minuten etwa \(38{,}1\,^{\circ}\text{C}\) b) \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) c) Die Temperatur nähert sich \(18\,^{\circ}\text{C}\), also der Umgebungstemperatur.

- Woran erkennst du eine Gerade im Koordinatensystem? Welches Wachstum passt dazu? - Schau dir die Stellen an, an denen sich die beiden Graphen kreuzen. - Vergleiche die Lage der Graphen: Welcher liegt in dem gesuchten Bereich „weiter oben“?

1. Identifikation der Typen: Der rote Graph ist eine Gerade, was einem linearen Wachstum entspricht. Der blaue Graph ist eine gekrümmte Kurve, die für große \(x\) immer steiler wird, was charakteristisch für exponentielles Wachstum ist. 2. Bestimmung der Schnittpunkte: Durch Ablesen oder Einsetzen der Werte in die Funktionen \(f(x) = 3^x\) und \(g(x) = 2x + 1\) erkennt man die gemeinsamen Punkte: - Bei \(x = 0\) gilt \(f(0) = 3^0 = 1\) und \(g(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1\). - Bei \(x = 1\) gilt \(f(1) = 3^1 = 3\) und \(g(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\). 3. Vergleich im Intervall: Zwischen den Schnittpunkten \(x = 0\) und \(x = 1\) verläuft die Gerade (rot) oberhalb der Kurve (blau). Zum Beispiel gilt bei \(x = 0{,}5\): \(g(0{,}5) = 2\) und \(f(0{,}5) = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). 4. Ergebnis: Das lineare Modell \(g\) liefert im Intervall \((0; 1)\) höhere Werte.

a) Der rote Graph \(g\) beschreibt lineares Wachstum, der blaue Graph \(f\) beschreibt exponentielles Wachstum. b) Im Intervall \(0 < x < 1\) (oder kurz \((0; 1)\)) ist das lineare Modell höher als das exponentielle.

- Übersetze jede der beiden Zeitbedingungen in eine Gleichung zwischen den beiden Modellen. - Drücke den konstanten linearen Zuwachs \(d\) mithilfe des Wachstumsfaktors \(a\) aus und nutze dann die zweite Bedingung. - Achte darauf, dass sich „doppelt so groß“ nach zwei Stunden auf den gesamten Wert von Population \(A\) bezieht. - Prüfe am Ende beide Bedingungen mit deinen gefundenen Funktionen.

1. Für die Modelle gilt \(A(t)=100+dt\) und \(B(t)=100\cdot a^t\). 2. Aus der Bedingung nach einer Stunde folgt \(100a=100+d+50\), also \(d=100a-150\). 3. Aus der Bedingung nach zwei Stunden folgt \(100a^2=2(100+2d)\). 4. Einsetzen von \(d=100a-150\) ergibt \(100a^2=200+4(100a-150)\), also \(a^2-4a+4=0\). 5. Damit gilt \((a-2)^2=0\) und somit \(a=2\). 6. Für den linearen Zuwachs folgt \(d=100\cdot2-150=50\). 7. Die Funktionsgleichungen sind \(A(t)=100+50t\) und \(B(t)=100\cdot2^t\). 8. Nach zwei Stunden gilt \(A(2)=200\) und \(B(2)=400\).

\(A(t)=100+50t\) und \(B(t)=100\cdot2^t\). Nach zwei Stunden umfasst Population \(A\) \(200\) Individuen und Population \(B\) \(400\) Individuen.