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- Wie viele Glieder hat die Folge insgesamt, wenn zwischen zwei Zahlen weitere Zahlen eingefügt werden? - Welche allgemeine Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen dem ersten und dem letzten Glied einer arithmetischen Folge? - Wie berechnet man ein Glied aus seinem Vorgänger, wenn die Differenz bekannt ist?

1. Identifikation der Glieder: Die Folge besteht aus \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\). Gegeben sind \(a_1 = -7\) und \(a_6 = 23\). 2. Berechnung der Differenz \(d\): Unter Verwendung der Formel für das \(n\)-te Glied \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ergibt sich \(23 = -7 + (6-1) \cdot d\). 3. Auflösen nach \(d\): \(30 = 5d \implies d = 6\). 4. Bestimmung der Glieder: - \(a_1 = -7\) - \(a_2 = -7 + 6 = -1\) - \(a_3 = -1 + 6 = 5\) - \(a_4 = 5 + 6 = 11\)

Die Differenz beträgt \(d = 6\). Die ersten vier Glieder der Folge sind \(-7\), \(-1\), \(5\) und \(11\).

- Welche Grundformeln beschreiben lineares und exponentielles Wachstum? - Wie kannst du den Endwert nach zwei Jahren nutzen, um die fehlenden Wachstumsraten zu bestimmen? - Was passiert, wenn du für die Zeit den Wert 1 in deine Modelle einsetzt?

1. Aufstellen der allgemeinen Wachstumsmodelle: Lineares Wachstum \(K_1(t) = K_0 + dt\) und exponentielles Wachstum \(K_2(t) = K_0 q^t\) mit \(K_0 = 800\). 2. Bestimmung der Parameter für \(t=2\): Für \(K_1\) gilt \(800 + 2d = 1800\), woraus \(2d = 1000\) und somit \(d = 500\) folgt. Die Gleichung lautet \(K_1(t) = 800 + 500t\). 3. Für \(K_2\) gilt \(800 \cdot q^2 = 1800\), woraus \(q^2 = 2{,}25\) und \(q = 1{,}5\) folgt. Die Gleichung lautet \(K_2(t) = 800 \cdot 1{,}5^t\). 4. Berechnung der Werte für \(t=1\): \(K_1(1) = 800 + 500 = 1300\,\text{€}\) und \(K_2(1) = 800 \cdot 1{,}5 = 1200\,\text{€}\). 5. Vergleich und Differenz: Die lineare Anlage \(K_1\) ist um \(1300 - 1200 = 100\,\text{€}\) höher.

a) \(K_1(t) = 800 + 500t\); \(K_2(t) = 800 \cdot 1{,}5^t\) (mit \(t\) in Jahren und \(K\) in €) b) Die lineare Anlage \(K_1\) ist nach einem Jahr um \(100\,\text{€}\) höher als die exponentielle Anlage \(K_2\).

- Untersuche, ob die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Werten immer gleich ist. - Prüfe, ob das Verhältnis (der Quotient) zwischen einem Wert und seinem Vorgänger konstant bleibt. - Überlege, welche Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) dich von einem Schritt zum nächsten führt. - Nutze die vorhandenen Werte am Ende der Tabelle, um deine Vermutung über das Wachstumsmuster zu bestätigen.

1. Analyse von Tabelle a: Berechnung des Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{240}{200} = 1{,}2\). Prüfung mit dem dritten bekannten Wert: \(240 \cdot 1{,}2^2 = 345{,}6\). Da der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}2\) konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Berechnung der Lücken für Tabelle a: \(t=2 \Rightarrow 240 \cdot 1{,}2 = 288\); \(t=4 \Rightarrow 345{,}6 \cdot 1{,}2 = 414{,}72\). 3. Analyse von Tabelle b: Berechnung der Differenz aufeinanderfolgender Werte: \(240 - 200 = 40\). Prüfung mit dem Endwert: \(200 + 4 \cdot 40 = 360\). Da die absolute Zunahme \(d = 40\) konstant ist, liegt lineares Wachstum vor. 4. Berechnung der Lücken für Tabelle b: \(t=2 \Rightarrow 240 + 40 = 280\); \(t=3 \Rightarrow 280 + 40 = 320\).

a) Exponentielles Wachstum; Werte: \(288\) (für \(t=2\)) und \(414{,}72\) (für \(t=4\)). b) Lineares Wachstum; Werte: \(280\) (für \(t=2\)) und \(320\) (für \(t=3\)).

- Unterscheide zwischen einer Zunahme um einen festen Betrag und einer Zunahme um einen festen Prozentsatz. - Welche Funktionsart beschreibt eine gleichmäßige absolute Änderung pro Zeiteinheit? - Welche Funktionsart beschreibt eine Änderung, die vom aktuellen Wert abhängt? - Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn ein Wert um einen bestimmten Prozentsatz steigt?

1. Modell 1: Da die jährliche Änderung ein fester absoluter Betrag (\(25\,\text{€}\)) ist, handelt es sich um lineares Wachstum. 2. Berechnung für Modell 1 nach \(5\) Jahren: \(K(5) = 500 + 5 \cdot 25 = 500 + 125 = 625\,\text{€}\). 3. Modell 2: Da die jährliche Änderung ein fester Prozentsatz (\(4\,\%\)) ist, handelt es sich um exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{4}{100} = 1{,}04\). 4. Berechnung für Modell 2 nach \(5\) Jahren: \(K(5) = 500 \cdot 1{,}04^5 = 500 \cdot 1{,}2166529\dots \approx 608{,}33\,\text{€}\).

Modell 1: Lineares Wachstum; Kapital nach \(5\) Jahren: \(625\,\text{€}\). Modell 2: Exponentielles Wachstum; Kapital nach \(5\) Jahren: \(608{,}33\,\text{€}\).

- Überlege dir, ob in jedem Jahr der gleiche Euro-Betrag dazukommt oder ob sich der Zuwachs auf den jeweils neuen Betrag bezieht. - Wie berechnet man den Wert nach mehreren Jahren, ohne jeden Zwischenschritt einzeln aufzuschreiben? - Vergleiche die Differenzen zwischen den Jahren bei beiden Modellen. - Was bedeutet es für das Wachstum, wenn die Basis der Verzinsung immer größer wird?

1. Berechnung Modell A (lineares Wachstum): Kapital nach \(n\) Jahren: \(K_n = 10\,000 + n \cdot 320\). Nach 1 Jahr: \(10\,320\,\text{€}\). Nach 2 Jahren: \(10\,640\,\text{€}\). Nach 5 Jahren: \(11\,600\,\text{€}\). Nach 20 Jahren: \(10\,000 + 20 \cdot 320 = 16\,400\,\text{€}\). 2. Berechnung Modell B (exponentielles Wachstum): Kapital nach \(n\) Jahren: \(K_n = 10\,000 \cdot 1{,}03^n\). Nach 1 Jahr: \(10\,000 \cdot 1{,}03 = 10\,300\,\text{€}\). Nach 2 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^2 = 10\,609\,\text{€}\). Nach 5 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^5 \approx 11\,592{,}74\,\text{€}\). Nach 20 Jahren: \(10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061{,}11\,\text{€}\). 3. Begründung: Modell A ist linear, da die absolute Zunahme jedes Jahr konstant \(320\,\text{€}\) beträgt. Modell B ist exponentiell, da die Zunahme proportional zum aktuellen Kapitalstand ist (fester Wachstumsfaktor \(1{,}03\)), wodurch die absoluten Zunahmen von Jahr zu Jahr größer werden. 4. Vergleich nach 20 Jahren: Modell B (\(18\,061{,}11\,\text{€}\)) ist deutlich lukrativer als Modell A (\(16\,400\,\text{€}\)).

a) Modell A: \(10\,320\,\text{€}\) (1 J.), \(10\,640\,\text{€}\) (2 J.), \(11\,600\,\text{€}\) (5 J.). Modell B: \(10\,300\,\text{€}\) (1 J.), \(10\,609\,\text{€}\) (2 J.), \(11\,592{,}74\,\text{€}\) (5 J.). b) Modell A ist linear (konstante Differenz), Modell B ist exponentiell (konstanter Faktor/Zinseszins). c) Nach 20 Jahren: Modell A hat \(16\,400\,\text{€}\), Modell B hat ca. \(18\,061{,}11\,\text{€}\). Modell B ist lukrativer.

- Was muss für die Verhältnisse (Quotienten) aufeinanderfolgender Werte gelten, damit ein Wachstum exponentiell ist? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und der Prozentsatz der Zunahme zusammen? - Nutze die Wachstumsfunktion, um Werte für Zeitpunkte zu berechnen, die nicht in der Tabelle stehen.

1. Prüfung auf exponentielles Wachstum: Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(600 {:} 400 = 1{,}5\); \(900 {:} 600 = 1{,}5\); \(1350 {:} 900 = 1{,}5\). Da der Quotient zwischen den Stunden konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Bestimmung der Wachstumsrate: Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(q = 1{,}5\). Dies entspricht einer Zunahme von \(50\,\%\) pro Stunde (\(1{,}5 - 1 = 0{,}5\)). 3. Prognose für 6 Stunden: Berechnung mit der Formel \(N(t) = N_0 \cdot q^t\). Es ergibt sich \(N(6) = 400 \cdot 1{,}5^6 = 400 \cdot 11{,}390625 = 4556{,}25\). Es werden etwa \(4556\) Personen erreicht.

a) Ja, da die Quotienten aufeinanderfolgender Werte konstant \(1{,}5\) sind. b) \(q = 1{,}5\); Zunahme von \(50\,\%\) pro Stunde. c) Es werden ca. \(4556\) Personen erreicht.

- Wie berechnet man die Schrittweite \(d\) bei einer arithmetischen Folge, wenn Start und Ende bekannt sind? - Wie berechnet man den Faktor \(q\) bei einer geometrischen Folge über drei Schritte? - Was musst du berechnen, bevor du die Summen bilden kannst?

1. Berechnung für Folge A (arithmetisch): \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Es gilt \(a_4 = a_1 + 3d\). Einsetzen: \(64 = 1 + 3d \implies 63 = 3d \implies d = 21\). Glieder: \(a_2 = 1 + 21 = 22\), \(a_3 = 22 + 21 = 43\). Summe der mittleren Glieder: \(22 + 43 = 65\). 2. Berechnung für Folge B (geometrisch): \(b_1, b_2, b_3, b_4\). Es gilt \(b_4 = b_1 \cdot q^3\). Einsetzen: \(64 = 1 \cdot q^3 \implies q = \sqrt[3]{64} = 4\). Glieder: \(b_2 = 1 \cdot 4 = 4\), \(b_3 = 4 \cdot 4 = 16\). Summe der mittleren Glieder: \(4 + 16 = 20\). 3. Vergleich: Die Summe der mittleren Glieder ist bei der arithmetischen Folge (\(65\)) deutlich größer als bei der geometrischen Folge (\(20\)).

Bei Folge A beträgt die Summe der mittleren Glieder \(65\). Bei Folge B beträgt sie \(20\). Die Summe der beiden mittleren Glieder der arithmetischen Folge ist somit größer.

- Wie viele Schritte der Differenz liegen zwischen dem 4. und dem 11. Glied? - Kannst du aus zwei bekannten Gliedern die konstante Differenz der Folge bestimmen? - Wenn du die Differenz kennst, wie kommst du dann zum ersten Glied oder direkt zu einem weit entfernten Glied?

1. Bestimmung der konstanten Differenz \( d \) der Folge durch den Quotienten aus der Differenz der Gliedwerte und der Differenz ihrer Indizes: \( d = \frac{a_{11} - a_4}{11 - 4} = \frac{-11 - 17}{7} = -4 \). 2. Berechnung des ersten Gliedes \( a_1 \) ausgehend von \( a_4 \): \( a_1 = a_4 - 3d = 17 - 3 \cdot (-4) = 29 \). 3. Berechnung des 50. Gliedes mithilfe der expliziten Bildungsformel \( a_n = a_1 + (n-1)d \): \( a_{50} = 29 + 49 \cdot (-4) = -167 \).

\( a_{50} = -167 \)

- Welche Formel verknüpft die Summe einer arithmetischen Folge mit ihrem ersten Glied und der Differenz? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch die Differenz als Unbekannte vorkommt. - Wie berechnet man ein bestimmtes Glied, wenn das Startglied und die Differenz bekannt sind?

1. Verwendung der Summenformel für arithmetische Folgen \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \) mit den gegebenen Werten \( n = 20 \), \( a_1 = 12 \) und \( S_{20} = 1000 \). 2. Aufstellen der Gleichung: \( 1000 = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 12 + 19d) \), was vereinfacht zu \( 1000 = 10 \cdot (24 + 19d) \). 3. Auflösen der Gleichung nach \( d \): \( 100 = 24 + 19d \Rightarrow 76 = 19d \Rightarrow d = 4 \). 4. Berechnung des 15. Gliedes mit der Formel \( a_{15} = a_1 + 14d \): \( a_{15} = 12 + 14 \cdot 4 = 68 \).

\( d = 4 \) und \( a_{15} = 68 \)

- Wie findest du die kleinste und die größte Zahl in diesem Bereich, die die Bedingung erfüllt? - Welche Art von Folge bilden diese Zahlen? - Wie viele Zahlen liegen insgesamt in diesem Bereich? - Gibt es eine Formel, mit der man die Summe einer solchen Zahlenfolge direkt berechnen kann?

1. Identifikation des ersten Gliedes \(a_1\) als kleinstes Vielfaches von 13 oberhalb von 100: \(104 : 13 = 8\), also \(a_1 = 104\). 2. Identifikation des letzten Gliedes \(a_n\) als größtes Vielfaches von 13 unterhalb von 1000: \(1000 : 13 \approx 76{,}92\), also \(76 \cdot 13 = 988\), woraus \(a_n = 988\) folgt. 3. Berechnung der Anzahl der Glieder \(n\) mithilfe der Formel für das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge \(a_n = a_1 + (n-1)d\): \(988 = 104 + (n-1) \cdot 13\). Dies führt zu \(884 = 13 \cdot (n-1)\) und somit \(n-1 = 68\), also \(n = 69\). 4. Berechnung der Gesamtsumme \(S_{69}\) mit der Gaußschen Summenformel: \(S_{69} = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{69}{2} \cdot (104 + 988) = 34{,}5 \cdot 1092 = 37\,674\).

Die Summe beträgt \(37\,674\).

- Wie hängen die verschiedenen Glieder einer arithmetischen Folge voneinander ab? - Kannst du die Differenz zwischen den gegebenen Gliedern nutzen, um den konstanten Zuwachs zu finden? - Welche Informationen benötigst du für die allgemeine Summenformel einer endlichen Reihe? - Überlege, wie du vom dritten Glied zurück zum ersten Glied gelangst.

1. Bestimmung der Differenz \(d\): Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, gilt \(a_7 = a_3 + 4d\). Einsetzen der Werte ergibt \(45 = 17 + 4d\), woraus \(28 = 4d\) und somit \(d = 7\) folgt. 2. Bestimmung des ersten Gliedes \(a_1\): Mit \(a_3 = a_1 + 2d\) folgt \(17 = a_1 + 2 \cdot 7\), also \(17 = a_1 + 14\), woraus sich \(a_1 = 3\) ergibt. 3. Berechnung des 20. Gliedes \(a_{20}\): Es gilt \(a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 19 \cdot 7 = 3 + 133 = 136\). 4. Berechnung der Summe \(S_{20}\): Unter Verwendung der Summenformel für arithmetische Reihen \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) ergibt sich \(S_{20} = \frac{20}{2}(3 + 136) = 10 \cdot 139 = 1390\).

Die Summe der ersten \(20\) Glieder beträgt \(1390\).

- Schreibe dir die ersten Glieder der Folge auf, um ein Muster zu erkennen. - Um welche Art von Folge handelt es sich, wenn der Abstand zwischen den Gliedern immer gleich ist? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Summe der ersten Glieder einer solchen Folge. - Setze dein Ergebnis für das allgemeine Glied in die Summenformel ein und vereinfache den Ausdruck.

1. Die Folge beginnt mit \(3, 7, 11, \dots\). Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied \(a_1 = 3\) und der konstanten Differenz \(d = 4\). Die explizite Bildungsregel lautet \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1\). 2. Die Summe einer arithmetischen Reihe berechnet sich nach der Formel \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (3 + 4n - 1) = \frac{n}{2} \cdot (4n + 2) = n \cdot (2n + 1) = 2n^2 + n\).

1. \(a_n = 4n - 1\) 2. \(S_n = 2n^2 + n\)

- Wie hängen der Startwert, der Endwert und die Anzahl der Schritte mit der Differenz zusammen? - Was bedeutet es für die Gliederanzahl, wenn man von „eingefügten“ Werten spricht? - Welche Formel hilft dir, die Summe einer arithmetischen Reihe effizient zu berechnen?

1. Berechnung der Anzahl der Glieder zwischen \(3\) und \(15\): Aus \(a_k = a_1 + (k-1) \cdot d\) folgt mit \(a_1 = 3\), \(a_k = 15\) und \(d = 1{,}5\) die Gleichung \(15 = 3 + (k-1) \cdot 1{,}5\). Dies ergibt \(12 = (k-1) \cdot 1{,}5\), also \(k-1 = 8\) und \(k = 9\). Da die Randwerte \(3\) und \(15\) mitgezählt werden, müssen \(n = k - 2 = 7\) Werte eingefügt werden. 2. Berechnung der ersten sechs Glieder: Mit \(a_1 = 3\) und \(d = 1{,}5\) ergeben sich \(a_1 = 3\), \(a_2 = 4{,}5\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 7{,}5\), \(a_5 = 9\) und \(a_6 = 10{,}5\). 3. Summe der gesamten Folge bis \(27\): Zuerst Bestimmung der Gesamtzahl der Glieder \(N\). Es gilt \(27 = 3 + (N-1) \cdot 1{,}5\), woraus \(24 = (N-1) \cdot 1{,}5\) und somit \(N-1 = 16\), also \(N = 17\) folgt. Die Summenformel \(S_N = \frac{N}{2}(a_1 + a_N)\) liefert \(S_{17} = \frac{17}{2}(3 + 27) = \frac{17}{2} \cdot 30 = 255\).

1. Es müssen jeweils \(7\) Werte eingefügt werden. 2. Die ersten sechs Glieder lauten \(3; 4{,}5; 6; 7{,}5; 9; 10{,}5\). 3. Die Summe beträgt \(255\).

- Kannst du die Gesamtzahl der Glieder direkt aus der Summe und den Randwerten berechnen? - Beachte den Unterschied zwischen der Gesamtzahl der Glieder und der Anzahl der eingefügten Glieder. - Wie berechnest du die Differenz, wenn du das erste und das letzte Glied sowie deren Position kennst?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Glieder \(k\): Über die Summenformel \(S_k = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)\) erhält man \(275 = \frac{k}{2}(5 + 45)\). Dies vereinfacht sich zu \(275 = 25k\), woraus \(k = 11\) folgt. Die Anzahl der eingefügten Glieder ist \(n = k - 2 = 9\). 2. Berechnung der Differenz \(d\): Aus \(a_k = a_1 + (k-1)d\) folgt mit \(k=11\): \(45 = 5 + 10d\). Dies ergibt \(40 = 10d\) und somit \(d = 4\). 3. Berechnung der Teilsumme \(S_5\): Für die ersten fünf Glieder gilt mit \(a_1 = 5\) und \(d = 4\): \(S_5 = \frac{5}{2}(2 \cdot 5 + (5-1) \cdot 4) = 2{,}5 \cdot (10 + 16) = 2{,}5 \cdot 26 = 65\). Alternativ: Die Glieder sind \(5, 9, 13, 17, 21\). Die Summe ist \(5+9+13+17+21 = 65\).

1. Es wurden \(n = 9\) Glieder eingefügt. 2. Die Differenz beträgt \(d = 4\). 3. Die Summe der ersten fünf Glieder beträgt \(65\).

- Untersuche, ob die Differenz oder das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlen gleich bleibt. - Erinnere dich an die Formeln für das allgemeine Glied und die Summe bei linearen Mustern. - Bei exponentiellen Mustern wird jedes Glied mit einem festen Faktor multipliziert, um das nächste zu erhalten.

1. Analyse der Wachstumsarten: Folge \(A\): Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant (\(d = 4\)). Es handelt sich um lineares Wachstum (arithmetische Folge). Folge \(B\): Der Quotient zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern ist konstant (\(q = \frac{15}{10} = 1{,}5\)). Es handelt sich um exponentielles Wachstum (geometrische Folge). 2. Summe der ersten \(30\) Glieder von Folge \(A\): \(a_1 = 10\), \(d = 4\), \(n = 30\). \(a_{30} = 10 + (30-1) \cdot 4 = 10 + 29 \cdot 4 = 10 + 116 = 126\). \(S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (10 + 126) = 15 \cdot 136 = 2040\). 3. Das \(10.\) Glied von Folge \(B\): \(b_1 = 10\), \(q = 1{,}5\), \(n = 10\). \(b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = 10 \cdot 1{,}5^9\). \(b_{10} = 10 \cdot 38{,}443359375 \approx 384{,}43\).

a) Folge \(A\) wächst linear (konstante Differenz \(4\)). Folge \(B\) wächst exponentiell (konstanter Faktor \(1{,}5\)). b) Die Summe der ersten \(30\) Glieder von Folge \(A\) ist \(2040\). c) Das \(10.\) Glied von Folge \(B\) ist ca. \(384{,}43\).

- Was ist der Unterschied zwischen einem festen Euro-Betrag pro Jahr und einem festen Prozentsatz pro Jahr? - Wie berechnet man den Wert genau in der Mitte eines Zeitraums bei linearem Wachstum? - Wie berechnet man den Wert genau in der Mitte eines Zeitraums bei exponentiellem Wachstum? - Welche Durchschnittsberechnung (Mittelwert) passt zu welcher Wachstumsart?

1. Exponentielles Modell: Gesucht ist das geometrische Mittel von Start- und Endwert. Der Wachstumsfaktor über 10 Jahre erfüllt \(q^{10} = \frac{50000}{20000} = 2{,}5\). Der Faktor für 5 Jahre ist \(q^5 = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811\). Wert nach 5 Jahren: \(20\,000 \cdot \sqrt{2{,}5} \approx 31\,622{,}78\,\text{€}\). 2. Lineares Modell: Gesucht ist das arithmetische Mittel. Die Gesamtzunahme beträgt \(30\,000\,\text{€}\) in 10 Jahren, also \(3000\,\text{€}\) pro Jahr. Wert nach 5 Jahren: \(20\,000 + 5 \cdot 3000 = 35\,000\,\text{€}\). 3. Vergleich: Das lineare Modell liefert mit \(35\,000\,\text{€}\) einen höheren Wert als das exponentielle Modell mit \(31\,622{,}78\,\text{€}\). 4. Begründung: Für Wertanlagen und Zinsen wird typischerweise ein exponentielles Modell verwendet, wenn sich die prozentuale Änderung auf den jeweils aktuellen Wert bezieht.

a) \(31\,622{,}78\,\text{€}\) b) \(35\,000{,}00\,\text{€}\) c) Das lineare Modell liefert zur Mitte des Zeitraums den höheren Wert. Ein exponentielles Modell ist passend, wenn eine konstante jährliche prozentuale Wertänderung angenommen wird; ohne diese Annahme ist es nicht allgemein realistischer.

- Untersuche, ob die Differenz oder der Quotient zwischen den Werten konstant bleibt. - Was ist das Kennzeichen für lineares Wachstum im Vergleich zu exponentiellem Wachstum? - Nutze die allgemeine Form für das \(n\)-te Glied: \(x_n = x_0 + nd\) für lineares und \(x_n = x_0 \cdot q^n\) für exponentielles Wachstum.

1. Nachweis des exponentiellen Wachstums: Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{x_1}{x_0} = \frac{150}{100} = 1{,}5\) und \(\frac{x_2}{x_1} = \frac{225}{150} = 1{,}5\). Da der Quotient \(q = 1{,}5\) konstant ist, handelt es sich um exponentielles Wachstum. 2. Ausschluss linearen Wachstums: Berechnung der Differenzen: \(x_1 - x_0 = 50\), aber \(x_2 - x_1 = 75\). Da die absolute Zunahme nicht konstant ist, liegt kein lineares Wachstum vor. 3. Lineares Modell für b): Mit der konstanten Differenz \(d = x_1 - x_0 = 50\) ergibt sich \(x_2 = x_1 + 50 = 150 + 50 = 200\). 4. Berechnung von \(x_5\) bei linearem Wachstum: \(x_5 = x_0 + 5 \cdot d = 100 + 5 \cdot 50 = 350\). 5. Berechnung von \(x_5\) bei exponentiellem Wachstum: \(x_5 = x_0 \cdot q^5 = 100 \cdot 1{,}5^5 = 100 \cdot 7{,}59375 = 759{,}375\).

a) Es liegt exponentielles Wachstum vor, da der Quotient \(q = 1{,}5\) konstant ist. Lineares Wachstum liegt nicht vor, da die Differenzen (\(50\) und \(75\)) unterschiedlich sind. b) Bei linearem Wachstum wäre \(x_2 = 200\). c) Nach 5 Stunden wäre \(x_5 = 350\) (linear) bzw. \(x_5 = 759{,}375\) (exponentiell).

- Welche Beziehung besteht zwischen Gliedern einer geometrischen Folge, die symmetrisch um ein mittleres Glied liegen? - Wie lautet die allgemeine Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder einer arithmetischen Folge? - Welche Werte aus der Aufgabenstellung kannst du direkt in die Summenformel einsetzen?

1. In einer geometrischen Folge gilt für drei Glieder mit gleichem Indexabstand die Eigenschaft \(b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}\). Hier folgt \(b_3^2 = b_1 \cdot b_5 = 144\). 2. Da alle Glieder positiv sind, ergibt sich \(b_3 = \sqrt{144} = 12\). 3. Das erste Glied der arithmetischen Folge ist somit \(a_1 = 12\). 4. Verwendung der Summenformel für die arithmetische Folge: \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\). 5. Einsetzen der Werte \(n = 10\), \(a_1 = 12\) und \(S_{10} = 255\): \(255 = \frac{10}{2} \cdot [2 \cdot 12 + (10-1)d]\). 6. Vereinfachung: \(255 = 5 \cdot (24 + 9d)\). 7. Division durch 5: \(51 = 24 + 9d\). 8. Subtraktion von 24: \(27 = 9d\). 9. Ergebnis: \(d = 3\).

Die Differenz der arithmetischen Folge beträgt \(d = 3\).

- Überlege, bei welchem Modell immer der gleiche Betrag addiert wird und bei welchem Modell ein Prozentsatz auf den aktuellen Wert berechnet wird. - Wie verändert sich ein Wert, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz wächst? Welchen Faktor nutzt man zur Multiplikation? - Um den Zeitpunkt zu finden, an dem ein Modell das andere überholt, kannst du eine Tabelle erstellen und Werte für \(t\) einsetzen, bis sich das Verhältnis der Ergebnisse umkehrt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichungen: Für Modell A ergibt sich bei einem Startwert von \(2000\) und einer konstanten Zunahme von \(150\) die lineare Funktion \(f(t) = 2000 + 150t\). Für Modell B ergibt sich bei einem Startwert von \(1500\) und einem Wachstumsfaktor von \(1{,}05\) die Exponentialfunktion \(g(t) = 1500 \cdot 1{,}05^t\). 2. Berechnung für \(t = 10\): Modell A: \(f(10) = 2000 + 150 \cdot 10 = 3500\). Das Kapital beträgt \(3500\,\text{€}\). Modell B: \(g(10) = 1500 \cdot 1{,}05^{10} \approx 2443{,}34\). Das Kapital beträgt ca. \(2443{,}34\,\text{€}\). 3. Bestimmung des ersten vollen Jahres, in dem Modell B größer ist: Der jährliche Zuwachs von Modell B vom Jahr \(t\) zum Jahr \(t+1\) beträgt \(0{,}05 \cdot g(t) = 75 \cdot 1{,}05^t\). Bis einschließlich \(t=14\) ist dieser Zuwachs kleiner als \(150\,\text{€}\); ab \(t=15\) ist er größer. Da Modell B anfangs um \(500\,\text{€}\) zurückliegt, vergrößert sich der Abstand zunächst und wird danach nur noch kleiner. Für \(t = 30\): \(f(30) = 6500\); \(g(30) \approx 6482{,}91\). Modell B liegt noch darunter. Für \(t = 31\): \(f(31) = 6650\); \(g(31) \approx 6807{,}06\). Modell B liegt nun darüber. Damit ist \(t=31\) tatsächlich das erste volle Jahr, in dem Modell B größer ist.

a) Modell A: \(f(t) = 2000 + 150t\) (lineares Wachstum); Modell B: \(g(t) = 1500 \cdot 1{,}05^t\) (exponentielles Wachstum). b) Modell A: \(3500\,\text{€}\); Modell B: ca. \(2443{,}34\,\text{€}\). c) Nach \(31\) Jahren.

- Achte darauf, ob jede Woche der gleiche absolute Wert addiert wird oder ob der Wert mit einem festen Faktor multipliziert wird. - Schreibe dir die Rechenvorschrift für jede Zeile der Tabelle auf, um Fehler zu vermeiden. - Wenn die Tabelle bei Woche 5 noch keinen Sieger zeigt, rechne einfach für die weiteren Wochen 6, 7, 8 usw. im gleichen Muster weiter.

1. Vervollständigen der Tabelle: Kultur 1 (linearer Zuwachs von \(200\)): \(500, 700, 900, 1100, 1300, 1500\). Kultur 2 hat vor dem Runden die Werte \(50, 75, 112{,}5, 168{,}75, 253{,}125, 379{,}6875\). Auf ganze Zahlen gerundet ergibt sich \(50, 75, 113, 169, 253, 380\). 2. Begründung: Kultur 1 wächst linear, da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Werten stets \(200\) beträgt. Kultur 2 wächst exponentiell, weil jeder ungerundete Wochenwert aus dem vorherigen durch Multiplikation mit dem festen Faktor \(1{,}5\) entsteht. Die gerundeten Tabellenwerte müssen daher nicht exakt denselben Quotienten besitzen. 3. Suche nach dem Überschneidungspunkt mit einer fortgeführten Tabelle: Woche 6: Kultur 1: \(1700\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^6 \approx 570\). Woche 7: Kultur 1: \(1900\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^7 \approx 854\). Woche 8: Kultur 1: \(2100\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^8 \approx 1281\). Woche 9: Kultur 1: \(2300\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^9 \approx 1922\). Woche 10: Kultur 1: \(2500\); Kultur 2: \(50 \cdot 1{,}5^{10} \approx 2883\). Somit ist die Fläche von Kultur 2 nach \(10\) vollen Wochen erstmals größer als die von Kultur 1.

a) Kultur 1: \(500, 700, 900, 1100, 1300, 1500\); Kultur 2: \(50, 75, 113, 169, 253, 380\). b) Kultur 1 wächst linear (konstante Differenz). Kultur 2 wächst exponentiell, weil die ungerundeten Werte jeweils mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert werden. c) Nach \(10\) Wochen.

- Überlege dir, wie sich der Betrag von einem Tag zum nächsten verändert. Wird immer derselbe Betrag addiert oder wird mit derselben Zahl multipliziert? - Stelle eine kleine Liste für die ersten drei Tage auf, um ein Muster zu erkennen. - Wie schreibt man eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl mathematisch kurz auf? - Achte darauf, dass beim ersten Tag (\(n=1\)) noch keine Erhöhung bzw. Verdopplung stattgefunden hat.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 1: Da der Betrag täglich um einen festen Wert steigt, handelt es sich um eine arithmetische Folge bzw. lineares Wachstum. Mit dem Startwert \(30\) am ersten Tag ergibt sich \(f_1(n) = 30 + (n-1) \cdot 15\) oder vereinfacht \(f_1(n) = 15n + 15\). 2. Berechnung für Tag 14 in Modell 1: \(f_1(14) = 15 \cdot 14 + 15 = 225{,}00\,\text{€}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung für Modell 2: Da sich der Betrag täglich verdoppelt (Wachstumsfaktor \(2\)), liegt exponentielles Wachstum vor. Mit dem Startwert \(0{,}02\) ergibt sich \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). 4. Berechnung für Tag 14 in Modell 2: \(f_2(14) = 0{,}02 \cdot 2^{13} = 0{,}02 \cdot 8192 = 163{,}84\,\text{€}\). 5. Vergleich: Am 14. Tag ist Modell 1 mit \(225{,}00\,\text{€}\) lukrativer als Modell 2 mit \(163{,}84\,\text{€}\). 6. Begründung der Wachstumstypen: Modell 1 ist linear, da die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(+15\,\text{€}\)). Modell 2 ist exponentiell, da der Quotient (bzw. der Wachstumsfaktor) zwischen aufeinanderfolgenden Tagen konstant ist (\(\cdot 2\)).

a) Modell 1: \(225{,}00\,\text{€}\); Modell 2: \(163{,}84\,\text{€}\). Modell 1 ist am 14. Tag lukrativer. b) Modell 1: \(f_1(n) = 15n + 15\); Modell 2: \(f_2(n) = 0{,}02 \cdot 2^{n-1}\). c) Modell 1 ist lineares Wachstum (konstante Differenz bzw. Zunahme pro Tag), Modell 2 ist exponentielles Wachstum (konstanter Faktor pro Tag).

- Was bedeutet eine Zunahme um \(15\,\%\) für den Wachstumsfaktor? Mit welcher Zahl musst du den aktuellen Wert multiplizieren? - Unterscheide zwischen einer festen Anzahl (absolut) und einem Prozentsatz (relativ). - Setze die entsprechenden Zeitwerte in deine Formeln ein und achte auf die Einheiten.

1. Funktionsgleichung Verein A: Da monatlich eine feste Anzahl an Mitgliedern hinzukommt, liegt lineares Wachstum vor. Die Gleichung lautet \(M_A(t) = 200 + 40t\). 2. Funktionsgleichung Verein B: Ein prozentuales Wachstum entspricht einem exponentiellen Wachstum. Ein Zuwachs von \(15\,\%\) bedeutet einen Wachstumsfaktor von \(1{,}15\). Die Gleichung lautet \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). 3. Berechnung für \(t=12\): Verein A hat \(M_A(12) = 200 + 40 \cdot 12 = 680\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(12) = 50 \cdot 1{,}15^{12} \approx 50 \cdot 5{,}350 \approx 268\) Mitglieder. 4. Berechnung für \(t=24\): Verein A hat \(M_A(24) = 200 + 40 \cdot 24 = 1160\) Mitglieder. Verein B hat \(M_B(24) = 50 \cdot 1{,}15^{24} \approx 50 \cdot 28{,}625 \approx 1431\) Mitglieder. 5. Einordnung: Verein A zeigt lineares Wachstum, da die absolute Änderung pro Monat konstant ist. Verein B zeigt exponentielles Wachstum, da die relative Änderung (Prozentsatz) pro Monat konstant ist.

a) \(M_A(t) = 40t + 200\); \(M_B(t) = 50 \cdot 1{,}15^t\). b) Nach 12 Monaten: Verein A: \(680\), Verein B: ca. \(268\). Nach 24 Monaten: Verein A: \(1160\), Verein B: ca. \(1431\). c) Verein A: lineares Wachstum; Verein B: exponentielles Wachstum.

- Stelle für beide Fälle fest: Wird ein fester Wert addiert oder mit einem festen Faktor multipliziert? - Erinnere dich an die allgemeine Form für lineares Wachstum \(y = mx + b\) und exponentielles Wachstum \(y = aq^x\). - Untersuche, wie sich der absolute Zuwachs (die Differenz zum Vorwert) von Stunde zu Stunde verändert. - Schau dir die Ergebnisse nach 3 und 8 Stunden genau an – was fällt dir im Vergleich der beiden Kulturen auf?

1. Funktionsgleichungen: Kultur 1 (exponentiell): \(N_1(t) = 800 \cdot 1{,}15^t\). Kultur 2 (linear): \(N_2(t) = 800 + 150t\). 2. Bestandsberechnungen: Nach 3 Stunden: \(N_1(3) = 800 \cdot 1{,}15^3 = 1216{,}7 \approx 1217\) Individuen. \(N_2(3) = 800 + 150 \cdot 3 = 1250\) Individuen. Nach 8 Stunden: \(N_1(8) = 800 \cdot 1{,}15^8 \approx 2447{,}2 \approx 2447\) Individuen. \(N_2(8) = 800 + 150 \cdot 8 = 2000\) Individuen. 3. Analyse der Zuwachsraten: Bei Kultur 2 ist die Zuwachsrate konstant bei \(150\) Individuen pro Stunde. Bei Kultur 1 ist der Zuwachs proportional zum Bestand (\(15\,\%\)). Da der Bestand bei Kultur 1 wächst, vergrößert sich auch der absolute stündliche Zuwachs immer weiter. Während der lineare Zuwachs gleichbleibt, beschleunigt sich das exponentielle Wachstum ständig selbst, was dazu führt, dass es jeden linearen Prozess langfristig übertrifft.

a) \(N_1(t) = 800 \cdot 1{,}15^t\); \(N_2(t) = 800 + 150t\). b) Nach 3 Std.: Kultur 1 \(\approx 1217\), Kultur 2 \(= 1250\). Nach 8 Std.: Kultur 1 \(\approx 2447\), Kultur 2 \(= 2000\). c) Bei Kultur 2 ist der Zuwachs konstant (\(150\)), bei Kultur 1 steigt der absolute Zuwachs stündlich an, da \(15\,\%\) von einem immer größeren Wert berechnet werden.

- Überlege dir, wie man erkennt, ob ein Wert immer um den gleichen Betrag oder um den gleichen Faktor wächst. - Berechne die Differenzen zwischen den aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Was bedeutet es, wenn diese gleich sind? - Berechne die Quotienten der aufeinanderfolgenden Werte. Welches Wachstum liegt vor, wenn diese konstant sind? - Achte darauf, dass die Zeitabstände in den Daten zwei Jahre betragen, du aber nach dem jährlichen Wachstum gefragt wirst.

1. Überprüfung von Angebot 1: Die Differenzen zwischen den Werten nach jeweils 2 Jahren betragen \(13\,440\,\text{€} - 12\,000\,\text{€} = 1440\,\text{€}\), \(14\,880\,\text{€} - 13\,440\,\text{€} = 1440\,\text{€}\) und \(16\,320\,\text{€} - 14\,880\,\text{€} = 1440\,\text{€}\). Da die absolute Zunahme in gleichen Zeitintervallen konstant ist, liegt lineares Wachstum vor. Der jährliche Zuwachs beträgt \(1440\,\text{€} {:} 2 = 720\,\text{€}\). 2. Überprüfung von Angebot 2: Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte (alle 2 Jahre) betragen \(13\,483{,}20 {:} 12\,000 = 1{,}1236\) und \(15\,149{,}72 {:} 13\,483{,}20 \approx 1{,}1236\). Da das Kapital in gleichen Zeitintervallen um denselben Faktor wächst, liegt exponentielles Wachstum vor. Der jährliche Wachstumsfaktor \(q\) berechnet sich aus \(q^2 = 1{,}1236\) zu \(q = 1{,}06\), was einem Zinssatz von \(6\,\%\) entspricht. 3. Berechnung nach 10 Jahren: Für Angebot 1 ergibt sich \(12\,000\,\text{€} + 10 \cdot 720\,\text{€} = 19\,200\,\text{€}\). Für Angebot 2 ergibt sich \(12\,000\,\text{€} \cdot 1{,}06^{10} \approx 21\,490{,}17\,\text{€}\).

a) Angebot 1 ist linear, Angebot 2 ist exponentiell. b) Angebot 1: \(720\,\text{€}\) pro Jahr; Angebot 2: \(6\,\%\) Zinsen pro Jahr. c) Angebot 1: \(19\,200\,\text{€}\); Angebot 2: ca. \(21\,490{,}17\,\text{€}\).

- Überlege dir, ob die Abnahme in jedem Schritt den gleichen festen Wert hat oder von der aktuellen Menge abhängt. - Wie berechnet man den neuen Wert, wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz kleiner wird? - Bei welchem Modell wird die Abnahme im Laufe der Zeit immer kleiner? - Kannst du für beide Prozesse eine Funktionsgleichung aufstellen?

1. Berechnung der Höhen nach \(5\,\text{h}\): Für Kerze A gilt die lineare Abnahme \(h_A(5) = 25\,\text{cm} - 5 \cdot 2\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\). Für Kerze B gilt die exponentielle Abnahme mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 - 0{,}10 = 0{,}9\). Somit ist \(h_B(5) = 25\,\text{cm} \cdot 0{,}9^5 = 25\,\text{cm} \cdot 0{,}59049 \approx 14{,}76\,\text{cm}\). 2. Zeitpunkt für das vollständige Abbrennen von Kerze A: Es gilt der Ansatz \(0 = 25 - 2t\). Umstellen nach \(t\) ergibt \(2t = 25\), also \(t = 12{,}5\,\text{Stunden}\) (entspricht \(12\,\text{Stunden}\) und \(30\,\text{Minuten}\)). 3. Klassifizierung: Der Abbau von Kerze A ist linear, da die Änderung pro Zeiteinheit mit \(2\,\text{cm}\) absolut konstant ist. Der Abbau von Kerze B ist exponentiell, da die Änderung pro Zeiteinheit proportional zur aktuellen Höhe ist (konstanter Prozentsatz bzw. relativer Anteil von \(10\,\%\)).

a) Nach \(5\,\text{Stunden}\) ist Kerze A noch \(15\,\text{cm}\) hoch und Kerze B etwa \(14{,}76\,\text{cm}\). b) Kerze A ist nach \(12{,}5\,\text{Stunden}\) vollständig abgebrannt. c) Kerze A zeigt eine lineare Abnahme, da der Subtrahent pro Stunde konstant ist (\(2\,\text{cm}\)). Kerze B zeigt eine exponentielle Abnahme, da die Höhe pro Stunde um einen konstanten Faktor (\(0{,}9\)) abnimmt.

- Welche geometrische Form hat der Graph einer linearen Funktion? - Wo schneiden die Graphen die \(y\)-Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Funktionsgleichungen ein. - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große \(x\)-Werte.

1. Lineare Funktion identifizieren: Graph 2 ist eine Gerade. Er schneidet die \(y\)-Achse bei \(3\) und die \(x\)-Achse bei \(6\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 3}{6 - 0} = -0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = -0{,}5x + 3\). 2. Exponentielle Zuordnung: Graph 1 zeigt Zerfall (\(a < 1\)) und schneidet die \(y\)-Achse bei \(2\) (Anfangswert \(c = 2\)). Dies passt zu \(g(x) = 2 \cdot 0{,}7^x\). Graph 3 zeigt Wachstum (\(a > 1\)) und schneidet die \(y\)-Achse bei \(0{,}5\). Dies passt zu \(f(x) = 0{,}5 \cdot 1{,}4^x\). 3. Vergleich der Abnahme: Der lineare Graph 2 sinkt pro Schritt immer um den gleichen absoluten Wert (\(0{,}5\)). Die Exponentialfunktion (1) sinkt anfangs schnell und nähert sich dann immer langsamer der \(x\)-Achse an (prozentuale Abnahme).

a) Graph 2 ist linear mit der Gleichung \(y = -0{,}5x + 3\). b) Graph 1 gehört zu \(g(x) = 2 \cdot 0{,}7^x\). Graph 3 gehört zu \(f(x) = 0{,}5 \cdot 1{,}4^x\). c) Eine lineare Abnahme hat eine konstante Steigung (Gerade), während ein exponentieller Zerfall (Kurve) immer flacher wird, da sich der Wert pro Schritt um einen festen Prozentsatz verringert, aber nie Null erreicht.

- Woran erkennst du im Koordinatensystem, ob ein Wachstum linear oder exponentiell ist? - Vergleiche die Steigung der Geraden untereinander. - Vergleiche die Krümmung und das Ansteigen der Kurven untereinander. - Überlege dir, was bei sehr großen \(x\)-Werten geschieht: Welcher Wachstumstyp überholt den anderen langfristig?

1. Identifikation der Wachstumstypen: Die Graphen (1) und (3) sind Geraden (lineares Wachstum), die Graphen (2) und (4) sind Kurven (exponentielles Wachstum). 2. Vergleich der Geraden: Graph (1) ist steiler als Graph (3). Da \(1{,}5 > 0{,}5\), gehört (1) zu (a) \(y = 1{,}5x + 1\) und (3) zu (b) \(y = 0{,}5x + 1\). 3. Vergleich der Kurven: Graph (2) steigt deutlich schneller an als Graph (4). Da \(2 > 1{,}2\), gehört (2) zu (d) \(y = 2^x\) und (4) zu (c) \(y = 1{,}2^x\).

Die Zuordnung lautet: (1) \(\rightarrow\) (a), (2) \(\rightarrow\) (d), (3) \(\rightarrow\) (b), (4) \(\rightarrow\) (c).

- Überlege zuerst, wie groß der Temperaturunterschied zwischen dem Tee und dem Zimmer am Anfang ist. - Wenn sich ein Unterschied um einen Prozentsatz verringert, welcher Anteil bleibt dann jeweils übrig? - Die Gesamttemperatur setzt sich aus der festen Zimmertemperatur und dem verbleibenden Unterschied zusammen. - Schau dir den Verlauf des Graphen für immer größere Zeitwerte an. Gibt es eine waagerechte Linie, der er sich annähert?

1. Die Temperaturdifferenz zu Beginn beträgt \(90\,\text{°C} - 18\,\text{°C} = 72\,\text{°C}\). 2. Da sich die Differenz jede Minute um \(12\,\%\) verringert, bleibt jeweils \(88\,\%\) der vorherigen Differenz bestehen. Der Abnahmefaktor für die Differenz ist also \(b = 0{,}88\). 3. Die Funktionsgleichung für die Temperatur nach \(x\) Minuten lautet: \(T(x) = 18 + 72 \cdot 0{,}88^x\). 4. Berechnung für \(x = 5\): \(T(5) = 18 + 72 \cdot 0{,}88^5 \approx 18 + 38{,}00 = 56{,}00\,\text{°C}\). 5. Berechnung für \(x = 10\): \(T(10) = 18 + 72 \cdot 0{,}88^{10} \approx 18 + 20{,}05 = 38{,}05\,\text{°C}\). 6. Nach sehr langer Zeit nähert sich der Term \(72 \cdot 0{,}88^x\) dem Wert \(0\) an, da die Basis \(0{,}88\) kleiner als \(1\) ist. Die Temperatur nähert sich somit der Umgebungstemperatur von \(18\,\text{°C}\) an.

a) Nach \(5\) Minuten ist der Tee ca. \(56{,}0\,\text{°C}\) warm, nach \(10\) Minuten ca. \(38{,}1\,\text{°C}\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(T(x) = 18 + 72 \cdot 0{,}88^x\). c) Die Temperatur nähert sich langfristig der Zimmertemperatur von \(18\,\text{°C}\) an, da der Temperaturunterschied zur Umgebung immer weiter abnimmt.

- Woran erkennst du eine Gerade im Koordinatensystem? Welches Wachstum passt dazu? - Schau dir die Stellen an, an denen sich die beiden Graphen kreuzen. - Vergleiche die Lage der Graphen: Welcher liegt in dem gesuchten Bereich „weiter oben“?

1. Identifikation der Typen: Der rote Graph ist eine Gerade, was einem linearen Wachstum entspricht. Der blaue Graph ist eine gekrümmte Kurve, die für große \(x\) immer steiler wird, was charakteristisch für exponentielles Wachstum ist. 2. Bestimmung der Schnittpunkte: Durch Ablesen oder Einsetzen der Werte in die Funktionen \(f(x) = 3^x\) und \(g(x) = 2x + 1\) erkennt man die gemeinsamen Punkte: - Bei \(x = 0\) gilt \(f(0) = 3^0 = 1\) und \(g(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1\). - Bei \(x = 1\) gilt \(f(1) = 3^1 = 3\) und \(g(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3\). 3. Vergleich im Intervall: Zwischen den Schnittpunkten \(x = 0\) und \(x = 1\) verläuft die Gerade (rot) oberhalb der Kurve (blau). Zum Beispiel gilt bei \(x = 0{,}5\): \(g(0{,}5) = 2\) und \(f(0{,}5) = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). 4. Ergebnis: Das lineare Modell \(g\) liefert im Intervall \((0; 1)\) höhere Werte.

a) Der rote Graph \(g\) beschreibt lineares Wachstum, der blaue Graph \(f\) beschreibt exponentielles Wachstum. b) Im Intervall \(0 < x < 1\) (oder kurz \((0; 1)\)) ist das lineare Modell höher als das exponentielle.

- Kannst du die Folge als arithmetische Folge identifizieren? - Welche Formel hilft dabei, die Summe der ersten Glieder einer solchen Folge zu berechnen? - Überlege bei Teilaufgabe 2, wie das letzte Glied der Folge in Abhängigkeit von \(n\) aussieht. - Kannst du die Bedingung in Teilaufgabe 3 als eine Gleichung formulieren?

1. Die ersten \(40\) Vielfachen von \(3\) bilden eine arithmetische Folge mit \(a_1 = 3\) und \(a_{40} = 3 \cdot 40 = 120\). Die Summe berechnet sich nach der Formel \(S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40 = \frac{3 + 120}{2} \cdot 40 = 123 \cdot 20 = 2460\). 2. Die ersten \(n\) ungeraden Zahlen sind \(1, 3, 5, \dots, (2n-1)\). Dies ist eine arithmetische Folge mit \(a_1 = 1\) und dem \(n\)-ten Glied \(a_n = 2n-1\). Die Summe ergibt sich zu \(S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2\). 3. Gesucht ist \(n\) mit \(\frac{n(n+1)}{2} = 1275\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(n^2 + n - 2550 = 0\). Anwendung der Lösungsformel: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-2550)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{10201}}{2} = \frac{-1 \pm 101}{2}\). Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, folgt \(n = \frac{100}{2} = 50\).

1. \(2460\) 2. Nachweis über die Summenformel der arithmetischen Reihe: \(S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = n^2\). 3. \(n = 50\)

- Überlege dir, wie viele Glieder die Summe \(S\) umfasst. - Gibt es eine Eigenschaft bei arithmetischen Folgen bezüglich der Summe von Gliedern, die den gleichen Abstand von den Enden haben? - Versuche, die Summe der Teilfolge durch die Randwerte \(x\) und \(y\) auszudrücken.

1. Darstellung der Glieder: Sei \(a_1 = x\) und \(a_{n+2} = y\). Die eingefügten Glieder sind \(a_2, a_3, \dots, a_{n+1}\). 2. Summe der eingefügten Glieder: Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, ist die Summe der eingefügten Glieder \(S = \frac{n}{2}(a_2 + a_{n+1})\). 3. Symmetrie-Eigenschaft: In einer arithmetischen Folge gilt für die Glieder \(a_1 + a_{n+2} = a_2 + a_{n+1} = \dots = x + y\). 4. Substitution: Ersetze \((a_2 + a_{n+1})\) durch \((x + y)\) in der Summenformel: \(S = \frac{n}{2}(x + y)\). 5. Auflösen nach \(n\): Für \(x+y \ne 0\) erhält man durch Umstellen \(n = \frac{2S}{x + y}\).

Für \(x+y \ne 0\) lautet die Formel für die Anzahl der eingefügten Zahlen \(n = \frac{2S}{x + y}\).

- Welche Formel verknüpft die Summe, das erste Glied, die Anzahl der Glieder und die Differenz? - Könnte eine quadratische Gleichung entstehen? - Betrachte die einzelnen Glieder der Folge ab dem vierten Glied. Was fällt dir an deren Summe auf?

1. Verwendung der Summenformel für arithmetische Folgen \(S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]\). Einsetzen der Werte ergibt \(27 = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 12 + (n-1) \cdot (-3)]\). Umformung führt zur quadratischen Gleichung \(3n^2 - 27n + 54 = 0\) bzw. \(n^2 - 9n + 18 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(n_1 = 3\) und \(n_2 = 6\). 2. Die Glieder der Folge lauten \(a_1=12\), \(a_2=9\), \(a_3=6\), \(a_4=3\), \(a_5=0\), \(a_6=-3\). Die Summe \(S_3 = 12 + 9 + 6 = 27\). Für \(S_6\) kommen die Glieder \(a_4, a_5, a_6\) hinzu. Da \(a_4 + a_5 + a_6 = 3 + 0 + (-3) = 0\), bleibt der Wert der Gesamtsumme unverändert bei \(27\).

1. \(n_1 = 3\) und \(n_2 = 6\) 2. Die Summe der Glieder \(a_4, a_5\) und \(a_6\) ist Null (\(3 + 0 + (-3) = 0\)), weshalb \(S_3 = S_6\) gilt.

- Wie hängen die Partialsumme \(S_n\) und das einzelne Glied \(a_n\) zusammen? - Wie kannst du \(a_1\) direkt aus der Summenformel bestimmen? - Was muss für die Differenz zweier benachbarter Glieder gelten, damit eine Folge arithmetisch ist?

1. Berechnung der Glieder über die Differenz der Partialsummen: \(a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\). \(a_2 = S_2 - S_1 = (2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - 5 = 14 - 5 = 9\). \(a_3 = S_3 - S_2 = (2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3) - 14 = 27 - 14 = 13\). 2. Herleitung von \(a_n\) durch \(S_n - S_{n-1}\): \(a_n = (2n^2 + 3n) - (2(n-1)^2 + 3(n-1))\). Ausmultiplizieren ergibt \(a_n = 2n^2 + 3n - (2n^2 - 4n + 2 + 3n - 3) = 2n^2 + 3n - (2n^2 - n - 1) = 4n + 1\). 3. Nachweis der arithmetischen Eigenschaft durch die Differenz aufeinanderfolgender Glieder: \(a_n - a_{n-1} = (4n + 1) - (4(n-1) + 1) = 4n + 1 - 4n + 4 - 1 = 4\). Da die Differenz konstant \(d = 4\) ist, ist die Folge arithmetisch.

1. \(a_1 = 5\), \(a_2 = 9\), \(a_3 = 13\) 2. \(a_n = 4n + 1\) 3. Die Differenz \(a_n - a_{n-1} = 4\) ist konstant, daher ist die Folge arithmetisch.

- Wie lassen sich die Glieder einer geometrischen Folge allgemein mit einem Startwert und einem Quotienten ausdrücken? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen drei aufeinanderfolgenden Gliedern einer arithmetischen Folge? - Überlege, wie du aus den zwei Bedingungen (Summe und arithmetische Eigenschaft) ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten erstellen kannst. - Was bedeutet die Information „wachsend“ für den Quotienten der geometrischen Folge?

1. Ansatz für die geometrische Folge: \(a\), \(aq\), \(aq^2\) mit \(q > 1\). 2. Summenbedingung aufstellen: \(a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) = 21\). Daraus folgt \(a = \frac{21}{1 + q + q^2}\). 3. Bedingungen für die arithmetische Folge: Die neuen Zahlen sind \(a+2\), \(aq+2\) und \(aq^2-1\). 4. Eigenschaft der arithmetischen Folge nutzen: \(2(aq+2) = (a+2) + (aq^2-1)\). 5. Gleichung vereinfachen: \(2aq + 4 = a + aq^2 + 1 \implies a(q^2 - 2q + 1) = 3 \implies a(q-1)^2 = 3\). 6. Einsetzen von \(a\): \(\frac{21(q-1)^2}{1 + q + q^2} = 3 \implies 7(q^2 - 2q + 1) = 1 + q + q^2\). 7. Quadratische Gleichung lösen: \(7q^2 - 14q + 7 = 1 + q + q^2 \implies 6q^2 - 15q + 6 = 0 \implies 2q^2 - 5q + 2 = 0\). 8. Lösungen für \(q\): \(q_1 = 2\) und \(q_2 = 0{,}5\). Da die Folge wachsend ist, gilt \(q = 2\). 9. \(a\) berechnen: \(a = \frac{3}{(2-1)^2} = 3\). 10. Die Zahlen bestimmen: \(3\), \(3 \cdot 2 = 6\), \(3 \cdot 2^2 = 12\).

Die ursprünglichen Zahlen sind \(3\), \(6\) und \(12\).

- Es ist oft hilfreich, die mittlere Zahl einer arithmetischen Folge als Variable zu wählen, um die Summenbedingung schnell zu vereinfachen. - Was kennzeichnet eine geometrische Folge im Vergleich zu einer arithmetischen Folge? - Gibt es eine Eigenschaft des mittleren Gliedes einer geometrischen Folge bezüglich seiner Nachbarn? - Achte darauf, ob im Text Einschränkungen wie „steigend“ oder „positiv“ stehen – falls nicht, sind oft mehrere Lösungen möglich.

1. Ansatz für die arithmetische Folge: \(a-d\), \(a\), \(a+d\). 2. Summenbedingung: \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 15 \implies a = 5\). Die Glieder sind \(5-d\), \(5\), \(5+d\). 3. Neue Zahlen für die geometrische Folge bilden: \((5-d)-1 = 4-d\), \(5-1 = 4\) und \((5+d)+1 = 6+d\). 4. Eigenschaft der geometrischen Folge nutzen: Das Quadrat des mittleren Gliedes entspricht dem Produkt der äußeren Glieder: \(4^2 = (4-d)(6+d)\). 5. Gleichung lösen: \(16 = 24 + 4d - 6d - d^2 \implies 16 = 24 - 2d - d^2 \implies d^2 + 2d - 8 = 0\). 6. Lösungen für \(d\): Durch Anwendung der p-q-Formel ergeben sich \(d_1 = 2\) und \(d_2 = -4\). 7. Tripel für \(d_1 = 2\): \(5-2=3\), \(5\), \(5+2=7\). Prüfung: \(3, 5, 7\) (arithmetisch), modifiziert: \(2, 4, 8\) (geometrisch mit \(q=2\)). 8. Tripel für \(d_2 = -4\): \(5-(-4)=9\), \(5\), \(5+(-4)=1\). Prüfung: \(9, 5, 1\) (arithmetisch), modifiziert: \(8, 4, 2\) (geometrisch mit \(q=0{,}5\)).

Die möglichen Zahlentripel sind \((3, 5, 7)\) und \((9, 5, 1)\).

- Überlege dir, wie man den Zusammenhang zwischen drei Zahlen in einer geometrischen Folge beschreibt. - Verfahre ebenso für die arithmetische Folge. - Nutze die Informationen über die Summen der Zahlenpaare, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren. - Kannst du eine quadratische Gleichung für eines der Glieder aufstellen?

1. Seien die Zahlen \(a, b, c, d\). Es gilt \(b^2 = ac\) (geometrisch) und \(2c = b + d\) (arithmetisch). 2. Gegeben sind \(b + c = 18\) und \(a + d = 21\). 3. Drücke \(a\) und \(d\) durch \(c\) aus: Mit \(b = 18 - c\) folgt \(a = \frac{(18 - c)^2}{c}\) und \(d = 2c - (18 - c) = 3c - 18\). 4. Einsetzen in \(a + d = 21\): \(\frac{(18 - c)^2}{c} + 3c - 18 = 21\). 5. Multiplikation mit \(c\) ergibt \(324 - 36c + c^2 + 3c^2 - 18c = 21c\). 6. Zusammenfassen führt zu \(4c^2 - 75c + 324 = 0\). 7. Die Diskriminante ist \(D = (-75)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 324 = 5625 - 5184 = 441 = 21^2\). 8. Die Lösungen für \(c\) sind \(c_1 = \frac{75 + 21}{8} = 12\) und \(c_2 = \frac{75 - 21}{8} = 6{,}75\). 9. Da \(c\) eine ganze Zahl ist, gilt \(c = 12\). Daraus folgen \(b = 6\), \(a = 3\) und \(d = 18\).

3, 6, 12, 18

- Stelle die Glieder der geometrischen Folge mithilfe eines Startwerts und eines konstanten Quotienten dar. - Nutze die Eigenschaft einer arithmetischen Folge, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du die Differenzen der neuen Glieder vergleichst. - Prüfe Sonderfälle, bevor du Gleichungen durcheinander dividierst.

1. Sei die geometrische Folge durch \(a, aq, aq^2, aq^3\) gegeben. Die resultierende arithmetische Folge ist \(a-2, aq-3, aq^2-9, aq^3-25\). 2. Die Differenz \(d\) der arithmetischen Folge lässt sich auf drei Arten ausdrücken: \(d = (aq-3) - (a-2) = a(q-1) - 1\) \(d = (aq^2-9) - (aq-3) = aq(q-1) - 6\) \(d = (aq^3-25) - (aq^2-9) = aq^2(q-1) - 16\) 3. Durch Gleichsetzen der ersten beiden Ausdrücke für \(d\) erhält man \(a(q-1)^2 = 5\). 4. Durch Gleichsetzen der letzten beiden Ausdrücke für \(d\) erhält man \(aq(q-1)^2 = 10\). 5. Die Sonderfälle \(a = 0\) und \(q = 1\) erfüllen die Bedingung nicht: In beiden Fällen entstehen nach den Subtraktionen keine konstanten aufeinanderfolgenden Differenzen. Daher gilt \(a \neq 0\) und \(q \neq 1\), sodass die zweite Gleichung durch die erste dividiert werden darf. 6. Aus \(\frac{aq(q-1)^2}{a(q-1)^2} = \frac{10}{5}\) folgt \(q = 2\). 7. Einsetzen von \(q = 2\) in \(a(q-1)^2 = 5\) ergibt \(a = 5\). 8. Die vier Zahlen der geometrischen Folge lauten \(5, 10, 20, 40\).

\(5, 10, 20, 40\)

- Betrachte die Definitionen: Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant, bei einer geometrischen Folge deren Quotient. - Setze im Zweifelsfall einfache Zahlenbeispiele ein (z. B. \(2, 4, 6, \dots\) für AF oder \(2, 4, 8, \dots\) für GF), um eine Vermutung zu prüfen. - Prüfe, ob die Differenz \(b_{n+1} - b_n\) oder der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) noch vom Index \(n\) abhängt.

1. Fall \(b_n = 5a_n\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = 5(a_{n+1} - a_n) = 5d\). Die Folge ist eine AF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5a_{n+1}}{5a_n} = q\). Die Folge ist eine GF. 2. Fall \(b_n = a_n + 5\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + 5) - (a_n + 5) = d\). Die Folge ist eine AF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1} + 5}{a_n + 5} = \frac{a_1 q^n + 5}{a_1 q^{n-1} + 5}\). Dieser Ausdruck ist im Allgemeinen nicht konstant, daher ist die Folge im Allgemeinen keine GF. Außerdem gilt \(b_{n+1} - b_n = a_1 q^{n-1}(q-1)\); auch diese Differenz ist im Allgemeinen nicht konstant. Somit ist \((b_n)\) im Allgemeinen weder eine AF noch eine GF. 3. Fall \(b_n = a_n^2\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n) = d(2a_1 + (2n-1)d)\). Die Differenz hängt von \(n\) ab, also ist \((b_n)\) keine AF. Auch der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \left(\frac{a_n+d}{a_n}\right)^2\) ist im Allgemeinen nicht konstant, also ist \((b_n)\) im Allgemeinen keine GF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = q^2\). Die Folge ist eine GF. 4. Fall \(b_n = \frac{1}{a_n}\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = \frac{1}{a_n+d} - \frac{1}{a_n} = \frac{-d}{a_n(a_n+d)}\) nicht konstant, also ist \((b_n)\) keine AF. Auch der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n}{a_n+d}\) ist im Allgemeinen nicht konstant, also ist \((b_n)\) im Allgemeinen keine GF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{q}\). Die Folge ist eine GF.

1) AF bleibt AF; GF bleibt GF. 2) AF bleibt AF; GF wird im Allgemeinen weder AF noch GF. 3) AF wird im Allgemeinen weder AF noch GF; GF bleibt GF (mit Quotient \(q^2\)). 4) AF wird im Allgemeinen weder AF noch GF; GF bleibt GF (mit Quotient \(\frac{1}{q}\)).

- Stelle die drei Zahlen der arithmetischen Folge so dar, dass ihre Summe leicht berechnet werden kann. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen drei aufeinanderfolgenden Gliedern einer geometrischen Folge (das Quadrat des mittleren Gliedes). - Nutze die Summenformel für arithmetische Reihen, um die Anzahl der Glieder zu bestimmen.

1. Sei die arithmetische Folge \(a-d, a, a+d\). Aus der Summe \( (a-d) + a + (a+d) = 21 \) folgt \( 3a = 21 \), also \( a=7 \). Die Zahlen sind \( 7-d, 7, 7+d \). 2. Die neuen Zahlen sind \( (7-d)+2, 7+3, (7+d)+9 \), also \( 9-d, 10, 16+d \). 3. Da diese eine geometrische Folge bilden, gilt \( 10^2 = (9-d)(16+d) \). Auflösen der Gleichung: \( 100 = 144 + 9d - 16d - d^2 \implies d^2 + 7d - 44 = 0 \). 4. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \( d_1 = 4 \) und \( d_2 = -11 \). 5. Die möglichen arithmetischen Folgen (erste drei Glieder) sind \((3, 7, 11)\) und \((18, 7, -4)\). 6. Für \( d=4 \) und \( a_1=3 \) gilt für die Summe \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4] = 465 \). 7. Dies führt zu \( 2n^2 + n - 465 = 0 \). Die positive Lösung ist \( n = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8 \cdot 465}}{4} = \frac{-1 + 61}{4} = 15 \).

a) Die Folgen sind \((3, 7, 11)\) und \((18, 7, -4)\). b) Es müssen \(15\) Glieder addiert werden.

- Stelle für jeden Zeitpunkt eine Gleichung auf, die die Beziehung zwischen Population A und B beschreibt. - Kannst du eine Variable (z. B. die Wachstumsrate des linearen Modells) durch die andere ausdrücken und in die zweite Gleichung einsetzen? - Achte beim Aufstellen der zweiten Gleichung darauf, die gesamte Formel für Population A mit dem Faktor 2 zu multiplizieren. - Erinnerst du dich an eine Methode, um quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen?

1. Definition der Modelle: \(A(t) = 100 + dt\) und \(B(t) = 100q^t\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: I. \(B(1) = A(1) + 50 \Rightarrow 100q = 100 + d + 50 \Rightarrow d = 100q - 150\). II. \(B(2) = 2 \cdot A(2) \Rightarrow 100q^2 = 2 \cdot (100 + 2d)\). 3. Substitution von \(d\) in Gleichung II: \(100q^2 = 200 + 4(100q - 150) \Rightarrow 100q^2 = 200 + 400q - 600\). 4. Vereinfachen der quadratischen Gleichung: \(100q^2 - 400q + 400 = 0 \Rightarrow q^2 - 4q + 4 = 0\). 5. Lösung mittels binomischer Formel: \((q-2)^2 = 0 \Rightarrow q = 2\). 6. Berechnung von \(d\): \(d = 100 \cdot 2 - 150 = 50\). 7. Funktionsgleichungen: \(A(t) = 100 + 50t\) und \(B(t) = 100 \cdot 2^t\). 8. Endbestände bei \(t=2\): \(A(2) = 100 + 100 = 200\) und \(B(2) = 100 \cdot 4 = 400\).

Funktionsgleichungen: \(A(t) = 100 + 50t\) und \(B(t) = 100 \cdot 2^t\). Nach zwei Stunden hat Population \(A\) eine Größe von \(200\) Individuen und Population \(B\) eine Größe von \(400\) Individuen.

- Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\). - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, speziell \(\log(x) - \log(y) = \log(\frac{x}{y})\). - Um eine Folge als geometrisch nachzuweisen, musst du zeigen, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder unabhängig von \(n\) ist. - Um eine Folge als arithmetisch nachzuweisen, musst du zeigen, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Glieder unabhängig von \(n\) ist.

1. Zu a): Um zu zeigen, dass \((b_n)\) geometrisch ist, berechnen wir den Quotienten \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\). Es gilt \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} = 2^{a_{n+1} - a_n}\). Da \((a_n)\) arithmetisch ist, ist \(a_{n+1} - a_n = d\). Somit ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2^d\). Da \(d\) konstant ist, ist auch der Quotient \(2^d\) konstant. Die Folge ist geometrisch. 2. Zu b): Um zu zeigen, dass \((c_n)\) arithmetisch ist, berechnen wir die Differenz \(c_{n+1} - c_n\). Es gilt \(c_{n+1} - c_n = \log_2(g_{n+1}) - \log_2(g_n) = \log_2\left(\frac{g_{n+1}}{g_n}\right)\). Da \((g_n)\) geometrisch ist, ist \(\frac{g_{n+1}}{g_n} = q\). Somit ist \(c_{n+1} - c_n = \log_2(q)\). Da \(q\) konstant ist, ist auch die Differenz \(\log_2(q)\) konstant. Die Folge ist arithmetisch. 3. Zu c): Wir prüfen den Quotienten \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\). Es gilt \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{u_{n+1} \cdot v_{n+1}}{u_n \cdot v_n} = \frac{u_{n+1}}{u_n} \cdot \frac{v_{n+1}}{v_n}\). Da \((u_n)\) und \((v_n)\) geometrisch sind, gilt \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = q_u\) und \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = q_v\). Der Quotient \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = q_u \cdot q_v\) ist somit konstant, was die geometrische Eigenschaft von \((w_n)\) beweist.

a) Der Quotient ist \(2^d\). b) Die Differenz ist \(\log_2(q)\). c) Die Folge ist geometrisch mit dem Quotienten \(q_w = q_u \cdot q_v\).