Ein Reagenzglas enthält eine Lösung mit 400 Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um \(2\,\%\) zu. Welcher Funktionsterm beschreibt die Abhängigkeit der Bakterienanzahl \(N\) von der Zeit \(t\) (in h) korrekt? a) \(N=400^{1{,}02t}\) b) \(N=400t^{0{,}02}\) c) \(N=400\cdot1{,}02^t\) d) \(N=400\cdot0{,}02^t\)

Für eine Restmenge wird das Modell \(M(t)=240\cdot0{,}85^t\) verwendet. Gib ohne weitere Berechnung an: a) den Anfangswert \(b\), b) den Wachstumsfaktor \(a\), c) die pro Zeitschritt auftretende prozentuale Änderung.

Eine Folge von fünf positiven Zahlen \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) ist so aufgebaut, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer denselben Wert \(a\) ergibt. Die Folge ist aufsteigend sortiert. Gegeben sind das erste Glied \(x_1=0{,}5\) und das fünfte Glied \(x_5=8\). Bestimme den Faktor \(a\) und die fehlenden Glieder \(x_2,x_3\) und \(x_4\).

Der Wert eines neuen Elektroautos sinkt jährlich um \(18\,\%\). Der Kaufpreis beträgt \(45\,000\,\text{€}\). Stelle die Funktionsgleichung \(V(t)\) auf, die den Restwert des Autos nach \(t\) Jahren in Euro angibt.

Ein Waldgebiet hat eine Fläche von \(4500\,\text{ha}\). Durch gezielte Aufforstung wächst die Waldfläche jährlich um durchschnittlich \(2{,}4\,\%\). a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Berechne die Waldfläche nach \(3\) Jahren und nach \(10\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Um welchen Gesamtfaktor ist die Waldfläche nach \(5\) Jahren im Vergleich zum ursprünglichen Bestand angewachsen? Runde auf vier Dezimalstellen.

Die Anzahl der Bakterien in einer Laborkultur wächst exponentiell. Die Anzahl \(N(t)\) nach \(t\) Stunden kann mit der Funktionsgleichung \(N(t) = N_0 \cdot a^t\) beschrieben werden. Zu Beginn der Beobachtung (\(t = 0\)) werden \(800\) Bakterien gezählt. Nach einer Stunde (\(t = 1\)) ist die Anzahl auf \(1040\) Bakterien angewachsen. a) Bestimme den stündlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der Bakterien jede Stunde zu? c) Wie viele Bakterien sind nach 6 Stunden vorhanden? Runde dein Ergebnis auf eine ganze Zahl.

In einem Naturschutzgebiet wurde der Bestand einer seltenen Orchideenart untersucht. Im Jahr 2020 zählte man \(1200\) Exemplare. Die Biologen gehen von einer konstanten jährlichen Zunahme von \(5{,}4\,\%\) aus. a) Gib den Wachstumsfaktor \(a\) für die jährliche Entwicklung an. b) Berechne den Bestand für die Jahre 2021, 2022 und 2023. Runde auf ganze Exemplare. c) Berechne den Bestand für das Jahr 2030 auf ganze Exemplare. Welchen Wachstumsfaktor kann man für diesen Zehnjahresschritt verwenden? Runde diesen Faktor auf vier Dezimalstellen. d) Wie viele Orchideen werden laut dieser Prognose im Jahr 2045 im Naturschutzgebiet wachsen? Runde auf ganze Exemplare.

In einem Naturschutzgebiet wird der Bestand einer bedrohten Vogelart aktuell auf \(1200\) Tiere geschätzt. a) Unter optimalen Bedingungen geht man von einem jährlichen Wachstum um \(6\,\%\) aus. Berechne die Anzahl der Vögel nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. b) Durch klimatische Veränderungen verlangsamt sich das Wachstum auf jährlich \(3{,}5\,\%\). Berechne die Bestandsgröße unter diesen Bedingungen ebenfalls nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. c) Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Szenarien nach \(15\) Jahren? Runde Bestandsgrößen und den Unterschied auf ganze Tiere; runde erst am Ende der jeweiligen Rechnung.

Ein Betrag von \(30\,000\,\text{€}\) wird als langfristige Anlage für die Altersvorsorge angelegt. a) Bank A bietet einen festen Zinssatz von \(3{,}2\,\%\) pro Jahr. Berechne das Kapital nach \(10\) und nach \(20\) Jahren. b) Bei Bank B liegt der Zinssatz bei \(2{,}1\,\%\) pro Jahr. Auf welchen Betrag wächst das Kapital dort nach \(10\) und nach \(20\) Jahren an? c) Welchen finanziellen Vorteil bietet Bank A gegenüber Bank B nach \(20\) Jahren? Runde Geldbeträge auf Cent.

Ein Waldstück hat einen Holzvorrat von \(8400\,\text{m}^3\). Durch einen Schädlingsbefall nimmt der Holzbestand jedes Jahr um \(6{,}2\,\%\) ab. a) Gib die Funktionsgleichung für den Holzvorrat \(V(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren an. b) Wie viel Prozent des ursprünglichen Holzvorrats sind nach \(8\) Jahren noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen.

In einem See breiten sich Algen aus. Die von Algen bedeckte Fläche vergrößert sich jede Woche um \(22\,\%\). Zu Beginn der Messung sind \(0{,}5\,\text{m}^2\) der Wasseroberfläche bedeckt. a) Stelle die Funktionsgleichung für die Fläche \(A(t)\) in \(\text{m}^2\) nach \(t\) Wochen auf. b) Welche Fläche ist nach \(5\) Wochen mit Algen bedeckt? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 3^x\). a) Bestimme, um welchen Faktor sich der Funktionswert \(f(x)\) vergrößert, wenn das Argument \(x\) um 5 zunimmt. b) Um wie viel muss man das Argument \(x\) verringern, damit der Funktionswert nur noch ein Neuntel (\(\frac{1}{9}\)) des ursprünglichen Wertes beträgt?

Der Bestand einer geschützten Pflanzenart in einem Biotop wächst so, dass er sich jedes Jahr um den Faktor \(1{,}4\) vergrößert. Zu Beginn der Zählung sind \(250\) Pflanzen vorhanden. Bestimme die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Jahren. Wie viele Pflanzen sind nach \(5\) Jahren und wie viele nach \(10\) Jahren vorhanden? Runde sinnvoll auf ganze Pflanzen.

Vervollständige die folgende Tabelle zu exponentiellen Zu- und Abnahmen der Form \(f(x)=b\cdot a^x\). <table> <thead> <tr> <th>Prozentuale Änderung pro Schritt</th> <th>Wachstumsfaktor \(a\)</th> <th>Anfangswert \(b\)</th> <th>Funktionsterm \(f(x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(+35\,\%\)</td> <td></td> <td>\(120\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td>\(0{,}82\)</td> <td>\(50\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> <td>\(8\cdot1{,}045^x\)</td> </tr> </tbody> </table>

Gegeben sind die Funktionsgleichungen dreier verschiedener Prozesse: \(f(x)=400\cdot1{,}015^x\) \(g(x)=25\cdot0{,}6^x\) \(h(x)=2\cdot3^x\) a) Bestimme für jede Funktion den Anfangswert und die prozentuale Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit. b) Berechne den Funktionswert von \(f\) für \(x=2\).

Der Bestand einer seltenen Orchideenart in einem Naturschutzgebiet verringert sich jährlich um \(6\,\%\). Zu Beginn der Zählung wurden \(450\) Pflanzen registriert. a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Pflanzen \(N(t)\) nach \(t\) Jahren beschreibt. b) Wie viele Pflanzen sind nach \(5\) Jahren und wie viele nach \(10\) Jahren noch vorhanden? Runde deine Ergebnisse auf ganze Zahlen.

Ein neues Smartphone verliert schnell an Wert. Das Diagramm zeigt den geschätzten Wiederverkaufswert \(W(t)\) in Euro in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren. a) Bestimme mithilfe des Graphen den Anfangswert \(b\) und den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(W(t)=b\cdot a^t\) an. b) Um wie viel Prozent sinkt der Wert des Smartphones pro Jahr? c) Nach wie vielen Jahren ist das Smartphone nur noch ein Viertel seines ursprünglichen Preises wert? Bestimme zunächst den zugehörigen Wert in Euro und lies den Zeitpunkt anschließend näherungsweise aus dem Graphen ab. Gib ihn auf eine Dezimalstelle genau an.

Ein Medikament wird nach der Einnahme im Körper abgebaut. Der Graph zeigt die Konzentration \(C\) in \(\text{mg/l}\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden. a) Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) für die Funktionsgleichung \(C(t)=b\cdot a^t\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Konzentration pro Stunde ab?

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=5\cdot1{,}2^x\). a) Bestimme den Faktor, mit dem sich der Funktionswert beim Übergang von \(x\) zu \(x+1\) verändert. b) Bestimme den Faktor beim Übergang von \(x\) zu \(x+2\). c) Formuliere daraus den Faktor für einen allgemeinen Schritt von \(x\) zu \(x+h\).

Das Wachstum einer Bakterienkultur unter idealen Bedingungen wird durch \(N(t)=b\cdot a^t\) beschrieben. Dabei ist \(b\) die Anfangsanzahl, \(t\) die Zeit in Stunden und \(a\) der stündliche Wachstumsfaktor. In einem Experiment erhöht sich die Anzahl der Bakterien innerhalb von \(5\) Stunden von \(1200\) auf \(10\,000\). a) Berechne den Wachstumsfaktor \(a\) auf drei Nachkommastellen genau. b) Ermittle die stündliche Zunahme in Prozent und runde sie auf eine Dezimalstelle.

Ein quadratisches Bild wird in vier aufeinanderfolgenden Schritten verkleinert. In jedem Schritt wird der aktuelle Flächeninhalt mit demselben Wachstumsfaktor \(a\) multipliziert. Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt \(2500\,\text{cm}^2\). Nach dem vierten Verkleinerungsschritt beträgt der Flächeninhalt nur noch \(400\,\text{cm}^2\). a) Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\). Runde das Ergebnis auf vier Dezimalstellen. b) Welchen Flächeninhalt hatte das Bild nach dem zweiten Verkleinerungsschritt?

Eine moderne Produktionsanlage wird für einen Preis von \(54\,000\,\text{€}\) angeschafft. Aufgrund von technischem Fortschritt und Abnutzung verliert die Anlage jährlich \(12\,\%\) ihres Wertes im Vergleich zum Vorjahr. a) Berechne den Restwert der Anlage nach \(5\) Jahren. Runde das Ergebnis auf volle Euro. b) Bestimme, nach wie vielen vollen Jahren der Wert der Anlage erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\) sinkt.

Für die Vermehrung einer Bakterienkultur in einem Labor wird die Funktionsgleichung \(N(t)=200\cdot1{,}5^t\) verwendet, wobei \(t\) die Zeit in Stunden und \(N(t)\) die Anzahl der Bakterien angibt. a) Mit welchem Wachstumsfaktor vervielfacht sich die Anzahl der Bakterien jeweils nach 2 Stunden, nach 3 Stunden und nach 5 Stunden? b) Bestimme die Anzahl der Bakterien (gerundet auf ganze Zahlen) nach einer halben Stunde sowie nach 15 Minuten.

Der Wert eines seltenen Sammlerstücks steigt jährlich um \(6\,\%\). Der Anfangswert beträgt \(500\,\text{€}\). Die Wertentwicklung lässt sich durch eine Funktion der Form \(W(t)=b\cdot a^t\) beschreiben, wobei \(t\) in Jahren gemessen wird. a) Gib die Funktionsgleichung an und bestimme den Faktor, um den der Wert nach \(2\), \(5\) und \(10\) Jahren gegenüber dem Anfangswert gestiegen ist. Runde nicht exakt endende Faktoren auf vier Dezimalstellen. b) Berechne den Wert des Sammlerstücks nach \(3\) Monaten sowie nach \(1{,}5\) Jahren. Runde auf Cent.

Eine moderne Produktionsmaschine hat einen Anschaffungswert von \(12\,500\,\text{€}\). Aufgrund von Abnutzung sinkt ihr Wert jährlich um \(15\,\%\). a) Welcher Wachstumsfaktor \(a\) beschreibt die Wertminderung pro Jahr? b) Berechne den Restwert der Maschine nach \(2\) Jahren und nach \(5\) Jahren. Runde auf Cent. c) Um wie viel Prozent ist der Wert der Maschine nach insgesamt \(3\) Jahren im Vergleich zum Neupreis gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Die Wertentwicklung eines Sparguthabens über einen Zeitraum von drei Jahren ist in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <tr><td>Jahr \(n\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Kapital \(K_n\) in €</td><td>\(5000{,}00\)</td><td>\(5125{,}00\)</td><td>\(5253{,}13\)</td><td>\(5384{,}46\)</td></tr> </table> a) Bestätige durch Division aufeinanderfolgender Tabellenwerte, dass das Kapital jedes Jahr näherungsweise um denselben Wachstumsfaktor \(a\) wächst. b) Gib den jährlichen Zinssatz \(p\) in Prozent an. c) Berechne das Kapital nach insgesamt \(10\) Jahren bei gleichbleibender Verzinsung. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Der jährliche Energieverbrauch einer Kleinstadt liegt aktuell bei \(850\,\text{GWh}\). Durch verschiedene Effizienzmaßnahmen soll der Verbrauch jedes Jahr um \(2{,}1\,\%\) gegenüber dem Vorjahr gesenkt werden. a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Berechne den erwarteten Energieverbrauch nach \(4\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Bestimme den Faktor für den gesamten Zeitraum von \(10\) Jahren und runde ihn auf vier Dezimalstellen. Berechne den Verbrauch nach \(10\) Jahren anschließend mit dem ungerundeten Wachstumsfaktor und runde den Verbrauch auf zwei Dezimalstellen. d) Um wie viel Prozent ist der Energieverbrauch nach diesen \(10\) Jahren insgesamt gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Vervollständige die folgende Tabelle zur Zinseszinsrechnung. Verwende die Formel \(K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\). Runde Geldbeträge auf zwei Dezimalstellen und den Zinssatz auf eine Dezimalstelle. <table> <tr> <td>Anfangskapital \(K_0\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> <td></td> <td>\(2500{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Zinssatz \(p\,\%\)</td> <td>\(3{,}5\,\%\)</td> <td>\(2{,}25\,\%\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>Laufzeit \(n\) in Jahren</td> <td>\(6\)</td> <td>\(10\)</td> <td>\(8\)</td> </tr> <tr> <td>Endkapital \(K_n\)</td> <td></td> <td>\(8000{,}00\,\text{€}\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> </table>

Ein Geldbetrag von \(2500\,\text{€}\) wird für \(15\) Jahre bei einem festen jährlichen Zinssatz von \(1{,}75\,\%\) angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Ende eines Jahres dem Guthaben zugeschlagen und im Folgejahr mitverzinst. a) Berechne das Sparguthaben nach \(5\) Jahren und nach \(10\) Jahren. b) Bestimme den Zinszuwachs, der allein im \(10.\) Jahr, also vom Ende des \(9.\) bis zum Ende des \(10.\) Jahres, erzielt wird. c) Nach wie vielen vollen Jahren hat sich das Startkapital zum ersten Mal um insgesamt mehr als \(500\,\text{€}\) erhöht? Runde Geldbeträge auf Cent.

Zwei verschiedene Sparverträge werden miteinander verglichen: Vertrag A: \(4000\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(3{,}0\,\%\). Vertrag B: \(4500\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(2{,}0\,\%\). Die Zinsen werden in beiden Fällen jährlich mitverzinst. a) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(5\) Jahren. b) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(15\) Jahren. Welcher Vertrag weist nun das höhere Guthaben auf? c) Ermittle durch Probieren oder mithilfe einer Tabelle, nach wie vielen vollen Jahren der Kontostand von Vertrag A zum ersten Mal höher ist als der von Vertrag B. Runde Geldbeträge auf Cent.

In einem See nimmt die Lichtintensität pro Meter Wassertiefe um \(12\,\%\) ab. a) Erkläre den Zusammenhang zwischen der prozentualen Abnahme und dem Wachstumsfaktor \(a\) und gib \(a\) für dieses Beispiel an. b) An der Wasseroberfläche beträgt die Lichtintensität \(100\,\%\). Berechne die verbleibende Intensität in \(2\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) Tiefe. Runde, falls nötig, auf zwei Dezimalstellen. c) Taucher Malik Aydin behauptet: „Wenn die Intensität pro Meter um \(12\,\%\) abnimmt, ist sie in \(5\,\text{m}\) Tiefe um insgesamt \(60\,\%\) gesunken.“ Nimm mathematisch Stellung zu dieser Aussage und runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Ein spezielles Filtersystem reduziert die Konzentration eines Schadstoffs im Abwasser pro Filterschicht um \(18\,\%\). a) Auf wie viel Prozent der ursprünglichen Konzentration ist der Schadstoffgehalt nach \(4\) Filterschichten gesunken? Runde auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme den Wachstumsfaktor für \(1\), \(2\) und \(5\) Filterschichten. Runde den Fünfschichtfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Wie viele Filterschichten sind mindestens erforderlich, damit die Konzentration weniger als \(10\,\%\) des Ausgangswerts beträgt? Bestimme die Anzahl durch systematisches Probieren.

Ein heißer Kakao wird mit einer Temperatur von \(80\,\text{°C}\) in einen Raum gestellt, in dem konstant \(20\,\text{°C}\) herrschen. Der Temperaturunterschied zwischen Getränk und Umgebung nimmt pro Minute um \(12\,\%\) ab. a) Bestimme die Funktionsgleichung \(f(x)\), die den Temperaturunterschied in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten beschreibt. b) Berechne den Temperaturunterschied nach \(5\) und nach \(15\) Minuten. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Welche Temperatur hat der Kakao nach \(10\) Minuten? Runde auf zwei Dezimalstellen. d) Bei Messungen zu vollen Minuten: Nach wie vielen Minuten ist der Temperaturunterschied erstmals kleiner als \(5\,\text{°C}\)? Bestimme den Wert durch Probieren.

Ein Kontrastmittel wird im Körper eines Patienten abgebaut. Unmittelbar nach der Injektion befinden sich \(120\,\text{mg}\) des Stoffes im Blut. Die Menge verringert sich stündlich um \(20\,\%\). a) Wie viel Kontrastmittel ist nach \(3\,\text{Stunden}\) noch im Blut vorhanden? b) Bestimme den Wachstumsfaktor für einen Zeitraum von \(4\,\text{Stunden}\). c) Nach wie vielen vollen Stunden ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel der Anfangsmenge?

Ein künstlicher See ist mit einem Schadstoff belastet. Durch eine Filteranlage wird der Schadstoffgehalt pro Tag um \(12\,\%\) reduziert. Zu Beginn der Messung werden \(250\,\text{mg/l}\) festgestellt. a) Berechne den Schadstoffgehalt nach \(5\) Tagen. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Gib den täglichen Wachstumsfaktor \(a\) sowie den Wachstumsfaktor für eine Woche an. Runde den Wochenfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Umwelttechnikerin Lea Vogt behauptet: „Nach zwei Tagen ist der Gehalt um genau \(24\,\%\) gesunken.“ Zeige durch eine Rechnung, dass diese Aussage falsch ist. Gib die tatsächliche Reduktion auf zwei Dezimalstellen an.

Ein Flummi wird aus einer Höhe von \(2{,}50\,\text{m}\) fallen gelassen. Bei jedem Aufprall auf den Boden erreicht er nur noch \(80\,\%\) der vorherigen Höhe. a) Berechne die Sprunghöhe nach dem \(3.\), \(4.\) und \(6.\) Aufprall. Gib die Ergebnisse in Metern und Zentimetern an. Runde, falls nötig, Meterwerte auf drei Dezimalstellen und Zentimeterwerte auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme durch einen Überschlag die ungefähre Höhe nach dem \(10.\) Aufprall. Nutze hierfür die Näherung \(0{,}8^{10}\approx0{,}1\).

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = 5 \cdot 3^x\). Untersuche, wie sich der Funktionswert \(f(x)\) verändert, wenn die Stelle \(x\) variiert wird. Gib jeweils den Faktor an, mit dem der ursprüngliche Funktionswert multipliziert werden muss, wenn a) \(x\) um \(1\) vergrößert wird; b) \(x\) um \(4\) vergrößert wird; c) \(x\) um \(2\) verkleinert wird; d) \(x\) um \(0{,}5\) vergrößert wird.

Der Bestand einer Algenkultur wächst exponentiell und lässt sich durch die Funktion \(A(t)=A_0\cdot1{,}15^t\) beschreiben, wobei \(t\) die Zeit in Tagen angibt. Bestimme die prozentuale Änderung des Bestandes, wenn a) die Zeit \(t\) um genau einen Tag zunimmt; b) die Zeit \(t\) um zwei Tage zunimmt; c) die Zeit \(t\) um einen halben Tag zunimmt. Runde deine Ergebnisse, falls nötig, auf eine Dezimalstelle.

Betrachte die Funktion \(g\) mit \(g(x)=100\cdot0{,}8^x\). Bestimme die prozentuale Veränderung des Funktionswerts, wenn das Argument \(x\): (1) um \(1\) vergrößert wird; (2) um \(2\) vergrößert wird; (3) um \(1\) verkleinert wird; (4) um \(0{,}5\) vergrößert wird. Runde die Prozentsätze gegebenenfalls auf eine Dezimalstelle.

Betrachte die Exponentialfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 4^x\). 1. Berechne das Verhältnis der Funktionswerte \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) für die Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Was stellst du fest? 2. Bestimme den Faktor, mit dem ein beliebiger Funktionswert \(f(x)\) multipliziert werden muss, wenn das Argument \(x\) um die Schrittweite \(s = 1{,}5\) erhöht wird. 3. Ermittle die Schrittweite \(s\), bei der sich der Funktionswert genau um den Faktor \(32\) vergrößert. 4. Vervollständige den folgenden Satz allgemein für Funktionen der Form \(f(x) = a^x\): „Wenn das Argument \(x\) um eine beliebige Schrittweite \(s\) zunimmt, so wird der zugehörige Funktionswert immer mit dem Faktor ... multipliziert.“

In einem Forstbestand nimmt die Anzahl der Tannen aufgrund einer Umweltbelastung jährlich um \(10\,\%\) ab. 1. Gib den Wachstumsfaktor \(a\) für den Zeitraum von einem Jahr an. 2. Berechne, welcher Prozentsatz des ursprünglichen Bestands nach \(5\) Jahren noch vorhanden ist. Runde auf zwei Dezimalstellen. 3. Bestimme den Wachstumsfaktor, der die Bestandsänderung nach insgesamt \(10\) Jahren beschreibt. Runde auf vier Dezimalstellen. 4. Förster Tobias Neumann behauptet: „Wenn der Bestand nach \(5\) Jahren um einen gewissen Prozentsatz gesunken ist, dann muss der prozentuale Verlust nach \(10\) Jahren genau doppelt so hoch sein.“ Prüfe diese Aussage rechnerisch. Runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) mit \(a>0\) der Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\), deren Graph durch den jeweils angegebenen Punkt verläuft. a) \(P(4;81)\) b) \(Q(-3;0{,}125)\) c) \(R(1{,}5;8)\)

Betrachte die allgemeine Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) und \(a\neq1\). a) Bei einer bestimmten Funktion \(f\) vervierfacht sich der Funktionswert jedes Mal, wenn \(x\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) dieser Funktion. b) Erkläre, warum im Fall \(a=1\) keine exponentielle Zu- oder Abnahme vorliegt. Welches geometrische Gebilde würde der Graph darstellen? c) Untersuche, warum ein negativer Wert wie \(a=-2\) problematisch ist, wenn man die Funktion für alle reellen Zahlen \(x\) definieren möchte. Betrachte dazu beispielhaft die Funktionswerte für \(x=2\) und \(x=0{,}5\).

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x) = 1{,}44^x\). Bestimme die prozentuale Änderung des Funktionswertes \(f(x)\), wenn das Argument \(x\) a) um \(0{,}5\) vergrößert wird; b) um \(2\) vergrößert wird; c) um \(1\) verringert wird (Runde auf eine Dezimalstelle).

Gegeben ist eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=b\cdot a^x\) mit \(b\neq0\), \(a>0\) und \(a\neq1\). 1. Zeige allgemein, dass das Verhältnis \(\frac{f(x-4)}{f(x)}\) unabhängig von \(x\) ist, und drücke diesen konstanten Wert mithilfe des Wachstumsfaktors \(a\) aus. 2. Berechne diesen Wert für \(a=0{,}8\).

Bei einem exponentiellen Prozess vervierfacht sich der Bestand \(f(t)\), wenn die Zeit \(t\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Stelle eine Gleichung auf, die den Bestand zum Zeitpunkt \(t-2\) allein mithilfe des Bestands zum Zeitpunkt \(t\) ausdrückt. Bestimme dabei den konkreten Zahlenfaktor.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(h(x)=5\cdot2^{-3x}\). Das Argument wird jeweils um \(\frac{1}{3}\) vergrößert. a) Bestimme den Faktor, mit dem sich der Funktionswert bei jedem solchen Schritt verändert. b) Interpretiere diesen Faktor als prozentuale Änderung des Funktionswerts pro Schritt. c) Begründe, warum derselbe Faktor unabhängig vom Ausgangswert \(x\) gilt.

Betrachte die Funktion \(g(x)=0{,}75^x\). a) Um welchen Faktor ändert sich der Funktionswert, wenn man \(x\) um \(2\) vergrößert? b) Um wie viel Prozent nimmt der Funktionswert ab, wenn man \(x\) um \(3\) vergrößert? c) Wie verändert sich der Funktionswert \(y\), wenn man das Argument \(x\) verdoppelt? Gib einen allgemeinen Ausdruck in Abhängigkeit von \(y\) an.