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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Wachstumsfaktor und prozentuale Änderung

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41009910
Ein Reagenzglas enthält eine Lösung mit 400 Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um \(2\,\%\) zu. Welcher Funktionsterm beschreibt die Abhängigkeit der Bakterienanzahl \(N\) von der Zeit \(t\) (in h) korrekt? a) \(N=400^{1{,}02t}\) b) \(N=400t^{0{,}02}\) c) \(N=400\cdot1{,}02^t\) d) \(N=400\cdot0{,}02^t\)

Denkanstöße

- Welchen Wert hat der Bestand zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Mit welchem Faktor wird der aktuelle Wert bei einer Zunahme um \(2\,\%\) multipliziert? - In welcher Position stehen Anfangswert und Wachstumsfaktor in einem Term der Form \(b\cdot a^t\)?

Lösung

1. Der Anfangswert ist \(b=400\). 2. Bei einer Zunahme um \(2\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1+\frac{2}{100}=1{,}02\). 3. Damit lautet die Exponentialfunktion \(N(t)=b\cdot a^t=400\cdot1{,}02^t\). 4. Dies ist Antwort c).

Antwort

c) \(N=400\cdot1{,}02^t\)
55660410
Für eine Restmenge wird das Modell \(M(t)=240\cdot0{,}85^t\) verwendet. Gib ohne weitere Berechnung an: a) den Anfangswert \(b\), b) den Wachstumsfaktor \(a\), c) die pro Zeitschritt auftretende prozentuale Änderung.

Denkanstöße

- Vergleiche den Term mit der Form \(b\cdot a^t\). - Wie hängt ein Wachstumsfaktor kleiner als \(1\) mit einer prozentualen Abnahme zusammen?

Lösung

1. In der Form \(M(t)=b\cdot a^t\) ist der Vorfaktor der Anfangswert. Daher ist \(b=240\). 2. Der Wachstumsfaktor ist \(a=0{,}85\). 3. Da \(0{,}85=1-0{,}15\), nimmt die Restmenge pro Zeitschritt um \(15\,\%\) ab.

Antwort

a) \(b=240\) b) \(a=0{,}85\) c) Abnahme um \(15\,\%\) pro Zeitschritt
41493210
Eine Folge von fünf positiven Zahlen \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) ist so aufgebaut, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer denselben Wert \(a\) ergibt. Die Folge ist aufsteigend sortiert. Gegeben sind das erste Glied \(x_1=0{,}5\) und das fünfte Glied \(x_5=8\). Bestimme den Faktor \(a\) und die fehlenden Glieder \(x_2,x_3\) und \(x_4\).

Denkanstöße

- Wie viele gleiche Multiplikationsschritte führen vom ersten zum fünften Glied? - Stelle eine Beziehung zwischen \(x_1\), \(x_5\) und dem konstanten Faktor \(a\) auf. - Welche positive Zahl ergibt in der vierten Potenz \(16\)?

Lösung

1. Zwischen dem ersten und dem fünften Glied liegen vier gleiche Multiplikationsschritte, also gilt \(x_5=x_1\cdot a^4\). 2. Einsetzen ergibt \(8=0{,}5\cdot a^4\) und damit \(a^4=16\). 3. Da die Glieder positiv und aufsteigend sind, gilt \(a=\sqrt[4]{16}=2\). 4. Es folgt \(x_2=0{,}5\cdot2=1\), \(x_3=1\cdot2=2\) und \(x_4=2\cdot2=4\).

Antwort

\(a=2\). Die fehlenden Glieder sind \(x_2=1\), \(x_3=2\) und \(x_4=4\).
42830010
Der Wert eines neuen Elektroautos sinkt jährlich um \(18\,\%\). Der Kaufpreis beträgt \(45\,000\,\text{€}\). Stelle die Funktionsgleichung \(V(t)\) auf, die den Restwert des Autos nach \(t\) Jahren in Euro angibt.

Denkanstöße

- Welcher Wert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Welcher Anteil bleibt nach einer Abnahme um \(18\,\%\) jeweils erhalten? - Setze Anfangswert und Wachstumsfaktor in eine Exponentialfunktion ein.

Lösung

1. Der Anfangswert ist \(b=45\,000\). 2. Bei einer jährlichen Abnahme um \(18\,\%\) bleiben jeweils \(82\,\%\) des aktuellen Wertes erhalten. Daher ist der Wachstumsfaktor \(a=0{,}82\). 3. Somit lautet die Funktionsgleichung \(V(t)=45\,000\cdot0{,}82^t\).

Antwort

\(V(t)=45\,000\cdot0{,}82^t\)
42830310
Ein Waldgebiet hat eine Fläche von \(4500\,\text{ha}\). Durch gezielte Aufforstung wächst die Waldfläche jährlich um durchschnittlich \(2{,}4\,\%\). a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Berechne die Waldfläche nach \(3\) Jahren und nach \(10\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Um welchen Gesamtfaktor ist die Waldfläche nach \(5\) Jahren im Vergleich zum ursprünglichen Bestand angewachsen? Runde auf vier Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche prozentuale Zunahme in den Wachstumsfaktor \(a\). - Für mehrere Jahre wird derselbe Wachstumsfaktor mehrfach angewendet. - Der Gesamtfaktor in c) ist unabhängig von der Anfangsfläche.

Lösung

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(a=1+0{,}024=1{,}024\). 2. Nach \(3\) Jahren gilt \(4500\cdot1{,}024^3\approx4831{,}84\,\text{ha}\). 3. Nach \(10\) Jahren gilt \(4500\cdot1{,}024^{10}\approx5704{,}43\,\text{ha}\). 4. Der Gesamtfaktor nach \(5\) Jahren ist \(1{,}024^5\approx1{,}1259\).

Antwort

a) \(a=1{,}024\) b) Nach \(3\) Jahren \(4831{,}84\,\text{ha}\); nach \(10\) Jahren \(5704{,}43\,\text{ha}\). c) \(1{,}1259\)
42830610
Die Anzahl der Bakterien in einer Laborkultur wächst exponentiell. Die Anzahl \(N(t)\) nach \(t\) Stunden kann mit der Funktionsgleichung \(N(t) = N_0 \cdot a^t\) beschrieben werden. Zu Beginn der Beobachtung (\(t = 0\)) werden \(800\) Bakterien gezählt. Nach einer Stunde (\(t = 1\)) ist die Anzahl auf \(1040\) Bakterien angewachsen. a) Bestimme den stündlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der Bakterien jede Stunde zu? c) Wie viele Bakterien sind nach 6 Stunden vorhanden? Runde dein Ergebnis auf eine ganze Zahl.

Denkanstöße

- Welchen Wert hat die Variable für den Anfangsbestand in der gegebenen Formel? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem der Anfangswert multipliziert wurde, um zum ersten Folgewert zu gelangen? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Wachstumsrate zusammen?

Lösung

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(a\): Da \(N(1) = N_0 \cdot a^1\), gilt \(1040 = 800a\). Daraus folgt \(a = \frac{1040}{800} = 1{,}3\). 2. Berechnung der prozentualen Zunahme: Der Wachstumsfaktor \(a = 1{,}3\) entspricht einer Zunahme von \(30\,\%\), da \(1{,}3 = 1 + 0{,}30\). 3. Berechnung des Bestandes nach 6 Stunden: \(N(6) = 800 \cdot 1{,}3^6 \approx 3861{,}45\). Gerundet ergibt dies \(3861\) Bakterien.

Antwort

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 1{,}3\). b) Die stündliche Zunahme beträgt \(30\,\%\). c) Nach 6 Stunden sind etwa \(3861\) Bakterien vorhanden.
42831010
In einem Naturschutzgebiet wurde der Bestand einer seltenen Orchideenart untersucht. Im Jahr 2020 zählte man \(1200\) Exemplare. Die Biologen gehen von einer konstanten jährlichen Zunahme von \(5{,}4\,\%\) aus. a) Gib den Wachstumsfaktor \(a\) für die jährliche Entwicklung an. b) Berechne den Bestand für die Jahre 2021, 2022 und 2023. Runde auf ganze Exemplare. c) Berechne den Bestand für das Jahr 2030 auf ganze Exemplare. Welchen Wachstumsfaktor kann man für diesen Zehnjahresschritt verwenden? Runde diesen Faktor auf vier Dezimalstellen. d) Wie viele Orchideen werden laut dieser Prognose im Jahr 2045 im Naturschutzgebiet wachsen? Runde auf ganze Exemplare.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Zieljahr zuerst die Anzahl der Jahre seit 2020. - Verwende den jährlichen Wachstumsfaktor als Potenz mit genau dieser Zeitspanne. - Runde Bestände erst nach der Berechnung; der Mehrjahresfaktor wird separat gerundet.

Lösung

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(a=1+0{,}054=1{,}054\). 2. Mit \(N(t)=1200\cdot1{,}054^t\) gilt für 2021 \(N(1)=1264{,}8\approx1265\), für 2022 \(N(2)\approx1333{,}10\approx1333\) und für 2023 \(N(3)\approx1405{,}09\approx1405\). 3. Für 2030 ist \(t=10\). Es gilt \(N(10)\approx2030{,}43\approx2030\). Der Zehnjahresfaktor ist \(1{,}054^{10}\approx1{,}6920\). 4. Für 2045 ist \(t=25\). Es gilt \(N(25)\approx4468{,}86\approx4469\).

Antwort

a) \(a=1{,}054\) b) 2021: \(1265\); 2022: \(1333\); 2023: \(1405\) Exemplare. c) 2030: \(2030\) Exemplare; Zehnjahresfaktor \(1{,}6920\). d) \(4469\) Exemplare.
42832710
In einem Naturschutzgebiet wird der Bestand einer bedrohten Vogelart aktuell auf \(1200\) Tiere geschätzt. a) Unter optimalen Bedingungen geht man von einem jährlichen Wachstum um \(6\,\%\) aus. Berechne die Anzahl der Vögel nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. b) Durch klimatische Veränderungen verlangsamt sich das Wachstum auf jährlich \(3{,}5\,\%\). Berechne die Bestandsgröße unter diesen Bedingungen ebenfalls nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren. c) Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Szenarien nach \(15\) Jahren? Runde Bestandsgrößen und den Unterschied auf ganze Tiere; runde erst am Ende der jeweiligen Rechnung.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Szenario zuerst den jährlichen Wachstumsfaktor. - Verwende für jede gefragte Zeit dieselbe Startpopulation, aber den jeweils passenden Faktor. - Berechne die Differenz in c) mit ungerundeten Modellwerten und runde erst danach.

Lösung

1. Die jährlichen Faktoren sind \(1{,}06\) und \(1{,}035\). 2. Szenario a) liefert nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren ungefähr \(1606\), \(2149\) und \(2876\) Tiere. 3. Szenario b) liefert nach \(5\), \(10\) und \(15\) Jahren ungefähr \(1425\), \(1693\) und \(2010\) Tiere. 4. Für den Unterschied werden die ungerundeten Werte verwendet: \(1200\cdot1{,}06^{15}-1200\cdot1{,}035^{15}\approx865{,}45\). Gerundet beträgt der Unterschied \(865\) Tiere.

Antwort

a) Nach \(5\) Jahren \(1606\), nach \(10\) Jahren \(2149\), nach \(15\) Jahren \(2876\) Tiere. b) Nach \(5\) Jahren \(1425\), nach \(10\) Jahren \(1693\), nach \(15\) Jahren \(2010\) Tiere. c) \(865\) Tiere.
42832810
Ein Betrag von \(30\,000\,\text{€}\) wird als langfristige Anlage für die Altersvorsorge angelegt. a) Bank A bietet einen festen Zinssatz von \(3{,}2\,\%\) pro Jahr. Berechne das Kapital nach \(10\) und nach \(20\) Jahren. b) Bei Bank B liegt der Zinssatz bei \(2{,}1\,\%\) pro Jahr. Auf welchen Betrag wächst das Kapital dort nach \(10\) und nach \(20\) Jahren an? c) Welchen finanziellen Vorteil bietet Bank A gegenüber Bank B nach \(20\) Jahren? Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Bank den jährlichen Zinsfaktor. - Verwende für beide Banken denselben Startbetrag und dieselbe Laufzeit. - Für c) ist die Differenz der beiden ungerundeten Endwerte maßgeblich; runde den Geldbetrag am Ende.

Lösung

1. Die jährlichen Faktoren sind für Bank A \(1{,}032\) und für Bank B \(1{,}021\). 2. Für Bank A gilt \(K_A(10)=30\,000\cdot1{,}032^{10}\approx41\,107{,}23\,\text{€}\) und \(K_A(20)\approx56\,326{,}82\,\text{€}\). 3. Für Bank B gilt \(K_B(10)=30\,000\cdot1{,}021^{10}\approx36\,929{,}95\,\text{€}\) und \(K_B(20)\approx45\,460{,}70\,\text{€}\). 4. Der finanzielle Vorteil nach \(20\) Jahren beträgt \(56\,326{,}82\,\text{€}-45\,460{,}70\,\text{€}=10\,866{,}12\,\text{€}\).

Antwort

a) Nach \(10\) Jahren \(41\,107{,}23\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren \(56\,326{,}82\,\text{€}\). b) Nach \(10\) Jahren \(36\,929{,}95\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren \(45\,460{,}70\,\text{€}\). c) \(10\,866{,}12\,\text{€}\).
42834710
Ein Waldstück hat einen Holzvorrat von \(8400\,\text{m}^3\). Durch einen Schädlingsbefall nimmt der Holzbestand jedes Jahr um \(6{,}2\,\%\) ab. a) Gib die Funktionsgleichung für den Holzvorrat \(V(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren an. b) Wie viel Prozent des ursprünglichen Holzvorrats sind nach \(8\) Jahren noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Bestands bleibt nach einer Abnahme um \(6{,}2\,\%\) jeweils erhalten? - Setze Anfangswert und Wachstumsfaktor in die Exponentialfunktion ein. - Der Mehrjahresfaktor beschreibt direkt den verbleibenden Anteil am Anfangswert.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Abnahme um \(6{,}2\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1-0{,}062=0{,}938\). 2. Mit dem Anfangswert \(b=8400\,\text{m}^3\) gilt \(V(t)=8400\cdot0{,}938^t\). 3. Nach \(8\) Jahren beträgt der verbleibende Anteil \(0{,}938^8\approx0{,}59927\). Das sind etwa \(59{,}93\,\%\) des Anfangswerts.

Antwort

a) \(V(t)=8400\cdot0{,}938^t\) b) \(59{,}93\,\%\)
42834810
In einem See breiten sich Algen aus. Die von Algen bedeckte Fläche vergrößert sich jede Woche um \(22\,\%\). Zu Beginn der Messung sind \(0{,}5\,\text{m}^2\) der Wasseroberfläche bedeckt. a) Stelle die Funktionsgleichung für die Fläche \(A(t)\) in \(\text{m}^2\) nach \(t\) Wochen auf. b) Welche Fläche ist nach \(5\) Wochen mit Algen bedeckt? Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer Zunahme um \(22\,\%\)? - Wo stehen Anfangswert und Wachstumsfaktor in einer Exponentialfunktion? - Setze für Teil b) den gegebenen Zeitwert erst in deine Funktion ein und runde anschließend.

Lösung

1. Der Anfangswert ist \(b=0{,}5\,\text{m}^2\). Bei einer wöchentlichen Zunahme um \(22\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1{,}22\). 2. Damit gilt \(A(t)=0{,}5\cdot1{,}22^t\). 3. Nach \(5\) Wochen ist \(A(5)=0{,}5\cdot1{,}22^5\approx1{,}35\,\text{m}^2\).

Antwort

a) \(A(t)=0{,}5\cdot1{,}22^t\) b) Nach \(5\) Wochen sind etwa \(1{,}35\,\text{m}^2\) bedeckt.
42836310
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 3^x\). a) Bestimme, um welchen Faktor sich der Funktionswert \(f(x)\) vergrößert, wenn das Argument \(x\) um 5 zunimmt. b) Um wie viel muss man das Argument \(x\) verringern, damit der Funktionswert nur noch ein Neuntel (\(\frac{1}{9}\)) des ursprünglichen Wertes beträgt?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man den neuen Funktionswert \(f(x+5)\) mithilfe von Potenzgesetzen umschreiben kann. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „um den Faktor \(n\) größer“ wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen wie \(\frac{1}{9}\) und Potenzen mit negativen Exponenten. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Basis auf beiden Seiten gleich ist?

Lösung

1. Für die Erhöhung um 5 betrachtet man das Verhältnis \(\frac{f(x+5)}{f(x)} = \frac{3^{x+5}}{3^x}\). 2. Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(3^{x+5-x} = 3^5\). 3. Die Berechnung von \(3^5\) ergibt \(243\). Der Funktionswert vergrößert sich also um den Faktor 243. 4. Für die Verringerung auf ein Neuntel setzt man den Ansatz \(\frac{f(x-k)}{f(x)} = \frac{1}{9}\) an. 5. Dies führt auf die Gleichung \(3^{-k} = 3^{-2}\), woraus direkt \(k = 2\) folgt. Das Argument \(x\) muss also um 2 verringert werden.

Antwort

a) Der Funktionswert vergrößert sich um den Faktor 243. b) Das Argument \(x\) muss um 2 verringert werden.
42839810
Der Bestand einer geschützten Pflanzenart in einem Biotop wächst so, dass er sich jedes Jahr um den Faktor \(1{,}4\) vergrößert. Zu Beginn der Zählung sind \(250\) Pflanzen vorhanden. Bestimme die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Jahren. Wie viele Pflanzen sind nach \(5\) Jahren und wie viele nach \(10\) Jahren vorhanden? Runde sinnvoll auf ganze Pflanzen.

Denkanstöße

- Identifiziere den Anfangswert und den Wachstumsfaktor pro Jahr. - Setze beide Größen in eine Exponentialfunktion ein. - Werte die Funktion an den beiden verlangten Zeitpunkten aus und runde erst am Ende.

Lösung

1. Der Anfangswert ist \(b=250\), der Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}4\). Damit gilt \(B(t)=250\cdot1{,}4^t\). 2. Nach \(5\) Jahren ist \(B(5)=250\cdot1{,}4^5=1344{,}56\approx1345\). 3. Nach \(10\) Jahren ist \(B(10)=250\cdot1{,}4^{10}\approx7231{,}37\approx7231\).

Antwort

\(B(t)=250\cdot1{,}4^t\). Nach \(5\) Jahren sind etwa \(1345\) Pflanzen vorhanden, nach \(10\) Jahren etwa \(7231\).
42839910
Vervollständige die folgende Tabelle zu exponentiellen Zu- und Abnahmen der Form \(f(x)=b\cdot a^x\). <table> <thead> <tr> <th>Prozentuale Änderung pro Schritt</th> <th>Wachstumsfaktor \(a\)</th> <th>Anfangswert \(b\)</th> <th>Funktionsterm \(f(x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(+35\,\%\)</td> <td></td> <td>\(120\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td>\(0{,}82\)</td> <td>\(50\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> <td>\(8\cdot1{,}045^x\)</td> </tr> </tbody> </table>

Denkanstöße

- Vergleiche den Wachstumsfaktor mit \(1\): Was bedeutet ein Faktor größer oder kleiner als \(1\)? - Überlege, welcher Anteil des vorherigen Werts bei einer prozentualen Zu- oder Abnahme jeweils erhalten bleibt. - Setze gedanklich \(x=0\). Welcher Parameter bleibt dann als Funktionswert übrig?

Lösung

1. Erste Zeile: Bei einer Zunahme von \(35\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1+\frac{35}{100}=1{,}35\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=120\cdot1{,}35^x\). 2. Zweite Zeile: Weil \(a=0{,}82<1\) gilt, liegt eine exponentielle Abnahme vor. Pro Schritt bleiben \(82\,\%\) des vorherigen Werts erhalten, also beträgt die Abnahme \(18\,\%\). Der Funktionsterm ist \(f(x)=50\cdot0{,}82^x\). 3. Dritte Zeile: Aus \(8\cdot1{,}045^x\) liest man den Anfangswert \(b=8\) und den Wachstumsfaktor \(a=1{,}045\) ab. Damit beträgt die Zunahme pro Schritt \(4{,}5\,\%\).

Antwort

1. Zeile: \(a=1{,}35\); \(f(x)=120\cdot1{,}35^x\) 2. Zeile: Änderung: \(-18\,\%\) bzw. Abnahme um \(18\,\%\); \(f(x)=50\cdot0{,}82^x\) 3. Zeile: Änderung: \(+4{,}5\,\%\) bzw. Zunahme um \(4{,}5\,\%\); \(a=1{,}045\); \(b=8\)
42840010
Gegeben sind die Funktionsgleichungen dreier verschiedener Prozesse: \(f(x)=400\cdot1{,}015^x\) \(g(x)=25\cdot0{,}6^x\) \(h(x)=2\cdot3^x\) a) Bestimme für jede Funktion den Anfangswert und die prozentuale Zu- oder Abnahme pro Zeiteinheit. b) Berechne den Funktionswert von \(f\) für \(x=2\).

Denkanstöße

- Welchen Funktionswert erhältst du bei \(x=0\), und welcher Parameter lässt sich daran ablesen? - Vergleiche jeden Wachstumsfaktor mit \(1\), um zwischen Zu- und Abnahme zu unterscheiden. - Bei Teil b) setzt du den vorgegebenen Wert für \(x\) in den bereits gegebenen Funktionsterm ein.

Lösung

1. Bei \(f(x)=400\cdot1{,}015^x\) ist der Anfangswert \(b=400\). Der Wachstumsfaktor \(a=1{,}015\) entspricht einer Zunahme um \(1{,}5\,\%\) pro Zeiteinheit. 2. Bei \(g(x)=25\cdot0{,}6^x\) ist \(b=25\). Der Wachstumsfaktor \(a=0{,}6\) bedeutet, dass \(60\,\%\) erhalten bleiben; die Abnahme beträgt daher \(40\,\%\) pro Zeiteinheit. 3. Bei \(h(x)=2\cdot3^x\) ist \(b=2\). Der Wachstumsfaktor \(a=3\) bedeutet eine Zunahme um \(200\,\%\) pro Zeiteinheit. 4. Für \(x=2\) gilt \(f(2)=400\cdot1{,}015^2=400\cdot1{,}030225=412{,}09\).

Antwort

a) \(f\): Anfangswert \(400\), Zunahme um \(1{,}5\,\%\); \(g\): Anfangswert \(25\), Abnahme um \(40\,\%\); \(h\): Anfangswert \(2\), Zunahme um \(200\,\%\) b) \(f(2)=412{,}09\)
42840310
Der Bestand einer seltenen Orchideenart in einem Naturschutzgebiet verringert sich jährlich um \(6\,\%\). Zu Beginn der Zählung wurden \(450\) Pflanzen registriert. a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Pflanzen \(N(t)\) nach \(t\) Jahren beschreibt. b) Wie viele Pflanzen sind nach \(5\) Jahren und wie viele nach \(10\) Jahren noch vorhanden? Runde deine Ergebnisse auf ganze Zahlen.

Denkanstöße

- Überlege, welcher Anteil des Bestands nach einer Abnahme um \(6\,\%\) jeweils erhalten bleibt. - Welcher Wert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Für mehrere Jahre wird derselbe Faktor wiederholt angewendet.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Abnahme um \(6\,\%\) bleiben jeweils \(94\,\%\) des vorherigen Bestands erhalten. Daher ist der Wachstumsfaktor \(a=0{,}94\). 2. Mit dem Anfangswert \(b=450\) ergibt sich \(N(t)=450\cdot0{,}94^t\). 3. Nach \(5\) Jahren gilt \(N(5)=450\cdot0{,}94^5\approx330{,}26\). Gerundet sind das \(330\) Pflanzen. 4. Nach \(10\) Jahren gilt \(N(10)=450\cdot0{,}94^{10}\approx242{,}38\). Gerundet sind das \(242\) Pflanzen.

Antwort

a) \(N(t)=450\cdot0{,}94^t\) b) Nach \(5\) Jahren etwa \(330\) Pflanzen; nach \(10\) Jahren etwa \(242\) Pflanzen.
43402710
Ein neues Smartphone verliert schnell an Wert. Das Diagramm zeigt den geschätzten Wiederverkaufswert \(W(t)\) in Euro in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Jahren. a) Bestimme mithilfe des Graphen den Anfangswert \(b\) und den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(W(t)=b\cdot a^t\) an. b) Um wie viel Prozent sinkt der Wert des Smartphones pro Jahr? c) Nach wie vielen Jahren ist das Smartphone nur noch ein Viertel seines ursprünglichen Preises wert? Bestimme zunächst den zugehörigen Wert in Euro und lies den Zeitpunkt anschließend näherungsweise aus dem Graphen ab. Gib ihn auf eine Dezimalstelle genau an.
Abbildung zur Aufgabe 434027

Denkanstöße

- Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse liefert den Anfangswert. - Vergleiche zwei Graphenwerte, deren Zeitpunkte genau ein Jahr auseinanderliegen. - Bestimme für Teil c) zuerst ein Viertel des in Teil a) ermittelten Anfangswerts und suche dann die passende Höhe im Diagramm.

Lösung

1. Der Graph schneidet die vertikale Achse bei \(W(0)=800\,\text{€}\). Daher ist \(b=800\). 2. Nach einem Jahr zeigt der Graph \(600\,\text{€}\). Somit ist \(a=600:800=0{,}75\) und damit \(W(t)=800\cdot0{,}75^t\). 3. Der Wachstumsfaktor \(0{,}75\) bedeutet, dass jedes Jahr \(75\,\%\) des vorherigen Werts erhalten bleiben. Der Wert sinkt also um \(25\,\%\) pro Jahr. 4. Ein Viertel von \(800\,\text{€}\) sind \(200\,\text{€}\). Beim Funktionswert \(200\,\text{€}\) liegt der zugehörige Zeitpunkt im Diagramm bei etwa \(t=4{,}8\) Jahren.

Antwort

a) \(b=800\), \(a=0{,}75\), also \(W(t)=800\cdot0{,}75^t\) b) \(25\,\%\) Wertverlust pro Jahr c) Ein Viertel entspricht \(200\,\text{€}\); der Zeitpunkt liegt bei etwa \(4{,}8\) Jahren.
43449310
Ein Medikament wird nach der Einnahme im Körper abgebaut. Der Graph zeigt die Konzentration \(C\) in \(\text{mg/l}\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden. a) Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) für die Funktionsgleichung \(C(t)=b\cdot a^t\). b) Um wie viel Prozent nimmt die Konzentration pro Stunde ab?
Abbildung zur Aufgabe 434493

Denkanstöße

- Lies zuerst den Anfangswert bei \(t=0\) und einen Wert genau eine Stunde später ab. - Der Wachstumsfaktor beschreibt das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Werte. - Vergleiche den Wachstumsfaktor mit \(1\), um die prozentuale Abnahme zu bestimmen.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man bei \(t=0\) den Anfangswert \(b=20\,\text{mg/l}\) ab. 2. Nach einer Stunde beträgt die Konzentration \(16\,\text{mg/l}\). Daher gilt \(16=20\cdot a\) und somit \(a=16:20=0{,}8\). 3. Beim Wachstumsfaktor \(0{,}8\) bleiben pro Stunde \(80\,\%\) des vorherigen Werts erhalten. Die Konzentration nimmt daher pro Stunde um \(20\,\%\) ab.

Antwort

a) \(a=0{,}8\) b) Die Konzentration nimmt pro Stunde um \(20\,\%\) ab.
55660510
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=5\cdot1{,}2^x\). a) Bestimme den Faktor, mit dem sich der Funktionswert beim Übergang von \(x\) zu \(x+1\) verändert. b) Bestimme den Faktor beim Übergang von \(x\) zu \(x+2\). c) Formuliere daraus den Faktor für einen allgemeinen Schritt von \(x\) zu \(x+h\).

Denkanstöße

- Vergleiche jeweils den neuen Funktionswert mit \(f(x)\), statt beide Werte vollständig auszurechnen. - Welche Potenz des Wachstumsfaktors gehört zu einem Schritt der Länge \(2\)? - Suche in a) und b) nach einem Muster, das sich auf eine beliebige Schrittlänge übertragen lässt.

Lösung

1. Es gilt \(\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{5\cdot1{,}2^{x+1}}{5\cdot1{,}2^x}=1{,}2\). 2. Ebenso ist \(\frac{f(x+2)}{f(x)}=1{,}2^2=1{,}44\). 3. Bei einer Verschiebung um \(h\) wird der Funktionswert mit \(1{,}2^h\) multipliziert. Daher gilt \(f(x+h)=f(x)\cdot1{,}2^h\).

Antwort

a) \(1{,}2\) b) \(1{,}44\) c) Faktor \(1{,}2^h\), also \(f(x+h)=f(x)\cdot1{,}2^h\)
41493110
Das Wachstum einer Bakterienkultur unter idealen Bedingungen wird durch \(N(t)=b\cdot a^t\) beschrieben. Dabei ist \(b\) die Anfangsanzahl, \(t\) die Zeit in Stunden und \(a\) der stündliche Wachstumsfaktor. In einem Experiment erhöht sich die Anzahl der Bakterien innerhalb von \(5\) Stunden von \(1200\) auf \(10\,000\). a) Berechne den Wachstumsfaktor \(a\) auf drei Nachkommastellen genau. b) Ermittle die stündliche Zunahme in Prozent und runde sie auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Vergleiche Endwert und Anfangswert, um den Gesamtfaktor über die \(5\) Stunden zu erhalten. - Welcher stündliche Wachstumsfaktor ergibt nach fünf gleichen Schritten diesen Gesamtfaktor? - Für die Prozentangabe interessiert der Anteil des Wachstumsfaktors, der über \(1\) hinausgeht.

Lösung

1. Aus \(10\,000=1200\cdot a^5\) folgt \(a^5=10\,000:1200=\frac{25}{3}\). 2. Daher ist \(a=\sqrt[5]{\frac{25}{3}}\approx1{,}528\). 3. Die prozentuale Zunahme ergibt sich aus \((a-1)\cdot100\,\%\). Mit dem ungerundeten Faktor erhält man etwa \(52{,}814\,\%\), also gerundet \(52{,}8\,\%\).

Antwort

a) \(a\approx1{,}528\) b) \(52{,}8\,\%\) pro Stunde
41493410
Ein quadratisches Bild wird in vier aufeinanderfolgenden Schritten verkleinert. In jedem Schritt wird der aktuelle Flächeninhalt mit demselben Wachstumsfaktor \(a\) multipliziert. Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt \(2500\,\text{cm}^2\). Nach dem vierten Verkleinerungsschritt beträgt der Flächeninhalt nur noch \(400\,\text{cm}^2\). a) Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\). Runde das Ergebnis auf vier Dezimalstellen. b) Welchen Flächeninhalt hatte das Bild nach dem zweiten Verkleinerungsschritt?

Denkanstöße

- Welche Potenz des Wachstumsfaktors beschreibt vier gleiche Verkleinerungsschritte? - Vergleiche Endfläche und Anfangsfläche, bevor du die vierte Wurzel bestimmst. - Für Teil b) kannst du einen exakten Zusammenhang für zwei Schritte nutzen, ohne mit dem gerundeten Wert aus a) weiterzurechnen.

Lösung

1. Nach vier Schritten gilt \(400=2500\cdot a^4\). 2. Daraus folgt \(a^4=\frac{400}{2500}=0{,}16\). 3. Somit ist \(a=\sqrt[4]{0{,}16}\approx0{,}6325\). 4. Für zwei Schritte gilt \(a^2=\sqrt{0{,}16}=0{,}4\). 5. Daher beträgt der Flächeninhalt nach dem zweiten Schritt \(2500\cdot0{,}4=1000\,\text{cm}^2\).

Antwort

a) \(a\approx0{,}6325\) b) \(1000\,\text{cm}^2\)
42594712
In einer Großstadt verbreitet sich ein Gerücht. Zum Zeitpunkt \(t = 0\) kennt eine Person das Gerücht. In der ersten Stunde erzählt sie es drei Bekannten. Jeder, der das Gerücht neu erfährt, benötigt genau eine Stunde, um es wiederum an drei weitere Personen weiterzugeben, die es noch nicht kennen. a) Wie viele Personen erfahren das Gerücht in der 5. Stunde neu? b) Wie viele Personen kennen das Gerücht insgesamt nach 8 Stunden (einschließlich der ersten Person)? c) Nach wie vielen vollen Stunden haben insgesamt mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Personen in jedem Schritt neu dazukommen. Ist das immer die gleiche Anzahl oder vervielfacht sie sich? - Für die Gesamtzahl musst du alle Personen addieren, die das Gerücht zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits kennen. - Erkennst du ein Muster in der Summenbildung? Es handelt sich um eine geometrische Reihe. - Prüfe für Teilaufgabe c) aufeinanderfolgende ganzzahlige Potenzen von \(3\).

Lösung

1. Die Anzahl der Personen, die das Gerücht in jeder Stunde neu erfahren, bildet eine geometrische Folge. In der \(n\)-ten Stunde erfahren \(3^n\) Personen das Gerücht neu. Für \(n = 5\) ergibt sich \(3^5 = 243\). 2. Die Gesamtzahl nach \(n\) Stunden ist \(N(n) = 1 + \sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\). 3. Für \(n = 8\) gilt \(N(8) = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19683 - 1}{2} = 9841\). 4. Für den Schwellenwert werden aufeinanderfolgende ganze Stunden geprüft: \(N(10) = \frac{3^{11} - 1}{2} = \frac{177147 - 1}{2} = 88\,573 < 250\,000\). \(N(11) = \frac{3^{12} - 1}{2} = \frac{531441 - 1}{2} = 265\,720 > 250\,000\). Damit haben nach \(11\) Stunden erstmals mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört.

Antwort

a) 243 Personen b) \(9841\) Personen c) Nach 11 Stunden
42814510
Eine moderne Produktionsanlage wird für einen Preis von \(54\,000\,\text{€}\) angeschafft. Aufgrund von technischem Fortschritt und Abnutzung verliert die Anlage jährlich \(12\,\%\) ihres Wertes im Vergleich zum Vorjahr. a) Berechne den Restwert der Anlage nach \(5\) Jahren. Runde das Ergebnis auf volle Euro. b) Bestimme, nach wie vielen vollen Jahren der Wert der Anlage erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\) sinkt.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Wertes bleibt nach einer Abnahme um \(12\,\%\) jeweils erhalten? - Formuliere daraus den Wachstumsfaktor und das exponentielle Modell. - Prüfe für b) aufeinanderfolgende volle Jahre in der Nähe des Schwellenwerts.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Abnahme um \(12\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1-0{,}12=0{,}88\). Damit gilt \(W(n)=54\,000\cdot0{,}88^n\). 2. Nach \(5\) Jahren ist \(W(5)=54\,000\cdot0{,}88^5\approx28\,497{,}52\,\text{€}\). Gerundet beträgt der Restwert \(28\,498\,\text{€}\). 3. Für \(n=7\) gilt \(W(7)\approx22\,068{,}48\,\text{€}\), also noch mehr als \(20\,000\,\text{€}\). 4. Für \(n=8\) gilt \(W(8)\approx19\,420{,}26\,\text{€}\), also weniger als \(20\,000\,\text{€}\). Damit wird die Grenze erstmals nach \(8\) vollen Jahren unterschritten.

Antwort

a) \(28\,498\,\text{€}\) b) Nach \(8\) Jahren.
42829510
Für die Vermehrung einer Bakterienkultur in einem Labor wird die Funktionsgleichung \(N(t)=200\cdot1{,}5^t\) verwendet, wobei \(t\) die Zeit in Stunden und \(N(t)\) die Anzahl der Bakterien angibt. a) Mit welchem Wachstumsfaktor vervielfacht sich die Anzahl der Bakterien jeweils nach 2 Stunden, nach 3 Stunden und nach 5 Stunden? b) Bestimme die Anzahl der Bakterien (gerundet auf ganze Zahlen) nach einer halben Stunde sowie nach 15 Minuten.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer Stunde? - Wie hängt der Faktor für ein längeres oder kürzeres Zeitintervall von dessen Länge ab? - Wandle Minuten in Stunden um, bevor du den Zeitwert als Exponenten einsetzt.

Lösung

1. Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}5\). Für ein Zeitintervall \(\Delta t\) ist der zugehörige Faktor \(a^{\Delta t}\). 2. Nach \(2\) Stunden ist der Faktor \(1{,}5^2=2{,}25\). 3. Nach \(3\) Stunden ist der Faktor \(1{,}5^3=3{,}375\). 4. Nach \(5\) Stunden ist der Faktor \(1{,}5^5=7{,}59375\). 5. Eine halbe Stunde entspricht \(t=0{,}5\). Daher ist \(N(0{,}5)=200\cdot1{,}5^{0{,}5}\approx244{,}95\), also gerundet \(245\) Bakterien. 6. \(15\) Minuten entsprechen \(t=0{,}25\). Daher ist \(N(0{,}25)=200\cdot1{,}5^{0{,}25}\approx221{,}34\), also gerundet \(221\) Bakterien.

Antwort

a) Nach \(2\) Stunden: \(2{,}25\); nach \(3\) Stunden: \(3{,}375\); nach \(5\) Stunden: \(7{,}59375\). b) Nach einer halben Stunde etwa \(245\) Bakterien; nach \(15\) Minuten etwa \(221\) Bakterien.
42829610
Der Wert eines seltenen Sammlerstücks steigt jährlich um \(6\,\%\). Der Anfangswert beträgt \(500\,\text{€}\). Die Wertentwicklung lässt sich durch eine Funktion der Form \(W(t)=b\cdot a^t\) beschreiben, wobei \(t\) in Jahren gemessen wird. a) Gib die Funktionsgleichung an und bestimme den Faktor, um den der Wert nach \(2\), \(5\) und \(10\) Jahren gegenüber dem Anfangswert gestiegen ist. Runde nicht exakt endende Faktoren auf vier Dezimalstellen. b) Berechne den Wert des Sammlerstücks nach \(3\) Monaten sowie nach \(1{,}5\) Jahren. Runde auf Cent.

Denkanstöße

- Übersetze die jährliche prozentuale Zunahme in den Wachstumsfaktor \(a\). - Der Faktor für mehrere Jahre ist eine Potenz des Jahresfaktors. - Wandle Monate in Jahre um, bevor du sie als Exponenten einsetzt.

Lösung

1. Der Anfangswert ist \(b=500\), und bei einer jährlichen Zunahme von \(6\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1{,}06\). Damit gilt \(W(t)=500\cdot1{,}06^t\). 2. Nach \(2\) Jahren beträgt der Gesamtfaktor \(1{,}06^2=1{,}1236\). 3. Nach \(5\) Jahren beträgt er \(1{,}06^5\approx1{,}3382\), nach \(10\) Jahren \(1{,}06^{10}\approx1{,}7908\). 4. Drei Monate entsprechen \(t=\frac{3}{12}=0{,}25\) Jahren. Daher ist \(W(0{,}25)=500\cdot1{,}06^{0{,}25}\approx507{,}34\,\text{€}\). 5. Für \(t=1{,}5\) gilt \(W(1{,}5)=500\cdot1{,}06^{1{,}5}\approx545{,}67\,\text{€}\).

Antwort

a) \(W(t)=500\cdot1{,}06^t\). Faktoren: nach \(2\) Jahren \(1{,}1236\), nach \(5\) Jahren \(1{,}3382\), nach \(10\) Jahren \(1{,}7908\). b) Nach \(3\) Monaten \(507{,}34\,\text{€}\); nach \(1{,}5\) Jahren \(545{,}67\,\text{€}\).
42830410
Eine moderne Produktionsmaschine hat einen Anschaffungswert von \(12\,500\,\text{€}\). Aufgrund von Abnutzung sinkt ihr Wert jährlich um \(15\,\%\). a) Welcher Wachstumsfaktor \(a\) beschreibt die Wertminderung pro Jahr? b) Berechne den Restwert der Maschine nach \(2\) Jahren und nach \(5\) Jahren. Runde auf Cent. c) Um wie viel Prozent ist der Wert der Maschine nach insgesamt \(3\) Jahren im Vergleich zum Neupreis gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Wertes bleibt nach einer jährlichen Abnahme um \(15\,\%\) erhalten? - Verwende für mehrere Jahre eine Potenz des Wachstumsfaktors. - Bestimme in c) zunächst den verbleibenden Anteil und daraus den verlorenen Anteil.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Abnahme um \(15\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1-0{,}15=0{,}85\). 2. Nach \(2\) Jahren gilt \(12\,500\cdot0{,}85^2=9031{,}25\,\text{€}\). 3. Nach \(5\) Jahren gilt \(12\,500\cdot0{,}85^5\approx5546{,}32\,\text{€}\). 4. Nach \(3\) Jahren ist der verbleibende Faktor \(0{,}85^3=0{,}614125\). Die gesamte Abnahme beträgt daher \((1-0{,}614125)\cdot100\,\%=38{,}5875\,\%\approx38{,}59\,\%\).

Antwort

a) \(a=0{,}85\) b) Nach \(2\) Jahren \(9031{,}25\,\text{€}\); nach \(5\) Jahren \(5546{,}32\,\text{€}\). c) \(38{,}59\,\%\)
42830510
Die Wertentwicklung eines Sparguthabens über einen Zeitraum von drei Jahren ist in der folgenden Tabelle dargestellt: <table> <tr><td>Jahr \(n\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Kapital \(K_n\) in €</td><td>\(5000{,}00\)</td><td>\(5125{,}00\)</td><td>\(5253{,}13\)</td><td>\(5384{,}46\)</td></tr> </table> a) Bestätige durch Division aufeinanderfolgender Tabellenwerte, dass das Kapital jedes Jahr näherungsweise um denselben Wachstumsfaktor \(a\) wächst. b) Gib den jährlichen Zinssatz \(p\) in Prozent an. c) Berechne das Kapital nach insgesamt \(10\) Jahren bei gleichbleibender Verzinsung. Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Vergleiche jeden Jahreswert mit dem unmittelbar vorhergehenden Wert. - Wie lässt sich aus einem Wachstumsfaktor größer als \(1\) die prozentuale Zunahme bestimmen? - Verwende für die Zehnjahresprognose den Anfangswert und den ungerundeten Wachstumsfaktor.

Lösung

1. Die Quotienten sind \(\frac{5125{,}00}{5000{,}00}=1{,}025\), \(\frac{5253{,}13}{5125{,}00}\approx1{,}025\) und \(\frac{5384{,}46}{5253{,}13}\approx1{,}025\). Damit ist der Wachstumsfaktor näherungsweise \(a=1{,}025\). 2. Aus \(a=1+\frac{p}{100}\) folgt \(p=(1{,}025-1)\cdot100=2{,}5\). Der Zinssatz beträgt \(2{,}5\,\%\). 3. Nach \(10\) Jahren gilt \(K_{10}=5000\cdot1{,}025^{10}\approx6400{,}42\,\text{€}\).

Antwort

a) Die Quotienten ergeben jeweils etwa \(1{,}025\); damit ist \(a\approx1{,}025\). b) \(p=2{,}5\,\%\) c) \(6400{,}42\,\text{€}\)
42830910
Der jährliche Energieverbrauch einer Kleinstadt liegt aktuell bei \(850\,\text{GWh}\). Durch verschiedene Effizienzmaßnahmen soll der Verbrauch jedes Jahr um \(2{,}1\,\%\) gegenüber dem Vorjahr gesenkt werden. a) Bestimme den jährlichen Wachstumsfaktor \(a\). b) Berechne den erwarteten Energieverbrauch nach \(4\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Bestimme den Faktor für den gesamten Zeitraum von \(10\) Jahren und runde ihn auf vier Dezimalstellen. Berechne den Verbrauch nach \(10\) Jahren anschließend mit dem ungerundeten Wachstumsfaktor und runde den Verbrauch auf zwei Dezimalstellen. d) Um wie viel Prozent ist der Energieverbrauch nach diesen \(10\) Jahren insgesamt gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Verbrauchs bleibt nach einer Senkung um \(2{,}1\,\%\) jeweils erhalten? - Der Faktor für einen längeren Zeitraum ist eine Potenz des jährlichen Wachstumsfaktors. - Runde den verlangten Zehnjahresfaktor nur für die Ausgabe; rechne den Verbrauch mit dem ungerundeten Modellwert weiter.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Senkung um \(2{,}1\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=1-0{,}021=0{,}979\). 2. Nach \(4\) Jahren gilt \(850\cdot0{,}979^4\approx780{,}82\,\text{GWh}\). 3. Der Zehnjahresfaktor ist \(0{,}979^{10}\approx0{,}8088\). 4. Für den Verbrauch wird mit dem ungerundeten Modell gerechnet: \(850\cdot0{,}979^{10}\approx687{,}46\,\text{GWh}\). 5. Die gesamte Abnahme beträgt \((1-0{,}979^{10})\cdot100\,\%\approx19{,}12\,\%\).

Antwort

a) \(a=0{,}979\) b) \(780{,}82\,\text{GWh}\) c) Zehnjahresfaktor \(0{,}8088\); Verbrauch \(687{,}46\,\text{GWh}\) d) \(19{,}12\,\%\)
42831510
Vervollständige die folgende Tabelle zur Zinseszinsrechnung. Verwende die Formel \(K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\). Runde Geldbeträge auf zwei Dezimalstellen und den Zinssatz auf eine Dezimalstelle. <table> <tr> <td>Anfangskapital \(K_0\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> <td></td> <td>\(2500{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Zinssatz \(p\,\%\)</td> <td>\(3{,}5\,\%\)</td> <td>\(2{,}25\,\%\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>Laufzeit \(n\) in Jahren</td> <td>\(6\)</td> <td>\(10\)</td> <td>\(8\)</td> </tr> <tr> <td>Endkapital \(K_n\)</td> <td></td> <td>\(8000{,}00\,\text{€}\)</td> <td>\(4000{,}00\,\text{€}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Größe in der jeweiligen Spalte gesucht ist. - Stelle die Zinseszinsformel nach der jeweils gesuchten Größe um. - Wenn der Zinssatz gesucht ist, bestimme zuerst den Wachstumsfaktor \(a\) und übersetze ihn anschließend in Prozent.

Lösung

1. In der ersten Spalte gilt \(K_6=4000\cdot1{,}035^6\approx4917{,}02\,\text{€}\). 2. In der zweiten Spalte folgt \(K_0=\frac{8000}{1{,}0225^{10}}\approx6404{,}08\,\text{€}\). 3. In der dritten Spalte ist der Wachstumsfaktor \(a=\sqrt[8]{\frac{4000}{2500}}=\sqrt[8]{1{,}6}\approx1{,}06051\). 4. Daraus ergibt sich \(p=(a-1)\cdot100\approx6{,}1\,\%\).

Antwort

Spalte 1: \(K_n\approx4917{,}02\,\text{€}\) Spalte 2: \(K_0\approx6404{,}08\,\text{€}\) Spalte 3: \(p\approx6{,}1\,\%\)
42831710
Ein Geldbetrag von \(2500\,\text{€}\) wird für \(15\) Jahre bei einem festen jährlichen Zinssatz von \(1{,}75\,\%\) angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Ende eines Jahres dem Guthaben zugeschlagen und im Folgejahr mitverzinst. a) Berechne das Sparguthaben nach \(5\) Jahren und nach \(10\) Jahren. b) Bestimme den Zinszuwachs, der allein im \(10.\) Jahr, also vom Ende des \(9.\) bis zum Ende des \(10.\) Jahres, erzielt wird. c) Nach wie vielen vollen Jahren hat sich das Startkapital zum ersten Mal um insgesamt mehr als \(500\,\text{€}\) erhöht? Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Stelle zuerst die Zinseszinsfunktion mit dem Wachstumsfaktor \(a\) auf. - Für den Zuwachs eines einzelnen Jahres brauchst du zwei aufeinanderfolgende Kontostände. - Übersetze in c) den geforderten Gesamtzuwachs in einen Zielwert für das Guthaben.

Lösung

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}0175\), also \(K_n=2500\cdot1{,}0175^n\). 2. Es gilt \(K_5\approx2726{,}54\,\text{€}\) und \(K_{10}\approx2973{,}61\,\text{€}\). 3. Der Zuwachs im \(10.\) Jahr ist \(K_{10}-K_9\approx2973{,}61\,\text{€}-2922{,}47\,\text{€}=51{,}14\,\text{€}\). 4. Mehr als \(500\,\text{€}\) Gesamtzuwachs bedeutet \(K_n>3000\,\text{€}\). Es ist \(K_{10}\approx2973{,}61\,\text{€}\) und \(K_{11}\approx3025{,}65\,\text{€}\). Daher wird die Grenze nach \(11\) vollen Jahren erstmals überschritten.

Antwort

a) Nach \(5\) Jahren \(2726{,}54\,\text{€}\); nach \(10\) Jahren \(2973{,}61\,\text{€}\). b) \(51{,}14\,\text{€}\) c) Nach \(11\) vollen Jahren.
42831810
Zwei verschiedene Sparverträge werden miteinander verglichen: Vertrag A: \(4000\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(3{,}0\,\%\). Vertrag B: \(4500\,\text{€}\) Startkapital bei einem jährlichen Zinssatz von \(2{,}0\,\%\). Die Zinsen werden in beiden Fällen jährlich mitverzinst. a) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(5\) Jahren. b) Berechne die Kontostände beider Verträge nach \(15\) Jahren. Welcher Vertrag weist nun das höhere Guthaben auf? c) Ermittle durch Probieren oder mithilfe einer Tabelle, nach wie vielen vollen Jahren der Kontostand von Vertrag A zum ersten Mal höher ist als der von Vertrag B. Runde Geldbeträge auf Cent.

Denkanstöße

- Stelle für beide Verträge eine Zinseszinsfunktion auf. - Vergleiche beide Guthaben stets für denselben Zeitpunkt. - Für c) reicht es, aufeinanderfolgende ganze Jahre in der Nähe des Wechsels zu prüfen.

Lösung

1. Die Modelle lauten \(K_A(n)=4000\cdot1{,}03^n\) und \(K_B(n)=4500\cdot1{,}02^n\). 2. Nach \(5\) Jahren gilt \(K_A(5)\approx4637{,}10\,\text{€}\) und \(K_B(5)\approx4968{,}36\,\text{€}\). 3. Nach \(15\) Jahren gilt \(K_A(15)\approx6231{,}87\,\text{€}\) und \(K_B(15)\approx6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist nun höher. 4. Für \(n=12\) gilt \(K_A(12)\approx5703{,}04\,\text{€}\) und \(K_B(12)\approx5707{,}09\,\text{€}\); Vertrag A liegt noch darunter. 5. Für \(n=13\) gilt \(K_A(13)\approx5874{,}13\,\text{€}\) und \(K_B(13)\approx5821{,}23\,\text{€}\). Daher überholt Vertrag A nach \(13\) vollen Jahren erstmals Vertrag B.

Antwort

a) Vertrag A: \(4637{,}10\,\text{€}\); Vertrag B: \(4968{,}36\,\text{€}\). b) Vertrag A: \(6231{,}87\,\text{€}\); Vertrag B: \(6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist höher. c) Nach \(13\) vollen Jahren.
42834210
In einem See nimmt die Lichtintensität pro Meter Wassertiefe um \(12\,\%\) ab. a) Erkläre den Zusammenhang zwischen der prozentualen Abnahme und dem Wachstumsfaktor \(a\) und gib \(a\) für dieses Beispiel an. b) An der Wasseroberfläche beträgt die Lichtintensität \(100\,\%\). Berechne die verbleibende Intensität in \(2\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) Tiefe. Runde, falls nötig, auf zwei Dezimalstellen. c) Taucher Malik Aydin behauptet: „Wenn die Intensität pro Meter um \(12\,\%\) abnimmt, ist sie in \(5\,\text{m}\) Tiefe um insgesamt \(60\,\%\) gesunken.“ Nimm mathematisch Stellung zu dieser Aussage und runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Anteil der Lichtintensität bleibt nach jedem Meter erhalten? - Wiederholte prozentuale Änderungen beziehen sich jeweils auf den neuen Wert. - Vergleiche in c) den nach fünf Schritten verbleibenden Anteil mit dem Startwert.

Lösung

1. Bei einer Abnahme um \(p\,\%\) bleibt der Wachstumsfaktor \(a=1-\frac{p}{100}\). Hier ist \(a=0{,}88\). 2. Mit \(I(d)=100\,\%\cdot0{,}88^d\) erhält man \(I(2)=77{,}44\,\%\), \(I(5)\approx52{,}77\,\%\) und \(I(10)\approx27{,}85\,\%\). 3. Die Behauptung ist falsch, weil sich die \(12\,\%\) in jedem Schritt auf den jeweils verbleibenden Wert beziehen. Nach \(5\,\text{m}\) sind noch etwa \(52{,}77\,\%\) vorhanden; die gesamte Abnahme beträgt daher etwa \(47{,}23\,\%\), nicht \(60\,\%\).

Antwort

a) \(a=0{,}88\); der Wachstumsfaktor ist der nach jedem Meter verbleibende Anteil. b) \(2\,\text{m}\): \(77{,}44\,\%\); \(5\,\text{m}\): \(52{,}77\,\%\); \(10\,\text{m}\): \(27{,}85\,\%\). c) Die Aussage ist falsch. Nach \(5\,\text{m}\) beträgt die gesamte Abnahme etwa \(47{,}23\,\%\).
42834910
Ein spezielles Filtersystem reduziert die Konzentration eines Schadstoffs im Abwasser pro Filterschicht um \(18\,\%\). a) Auf wie viel Prozent der ursprünglichen Konzentration ist der Schadstoffgehalt nach \(4\) Filterschichten gesunken? Runde auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme den Wachstumsfaktor für \(1\), \(2\) und \(5\) Filterschichten. Runde den Fünfschichtfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Wie viele Filterschichten sind mindestens erforderlich, damit die Konzentration weniger als \(10\,\%\) des Ausgangswerts beträgt? Bestimme die Anzahl durch systematisches Probieren.

Denkanstöße

- Welcher Anteil bleibt nach einer Filterschicht erhalten? - Für mehrere Schichten wird derselbe Wachstumsfaktor mehrfach angewendet. - Prüfe für c) aufeinanderfolgende ganze Schichtzahlen in der Nähe der \(10\,\%\)-Grenze.

Lösung

1. Pro Schicht ist der Wachstumsfaktor \(a=1-0{,}18=0{,}82\). 2. Nach \(4\) Schichten beträgt der Restanteil \(0{,}82^4\approx0{,}4521\), also etwa \(45{,}2\,\%\). 3. Die Faktoren sind für \(1\) Schicht \(0{,}82\), für \(2\) Schichten \(0{,}82^2=0{,}6724\) und für \(5\) Schichten \(0{,}82^5\approx0{,}3707\). 4. Für \(11\) Schichten ist \(0{,}82^{11}\approx0{,}1127\), also noch mehr als \(10\,\%\). Für \(12\) Schichten ist \(0{,}82^{12}\approx0{,}0924\), also weniger als \(10\,\%\). Mindestens \(12\) Schichten sind erforderlich.

Antwort

a) \(45{,}2\,\%\) b) \(1\) Schicht: \(0{,}82\); \(2\) Schichten: \(0{,}6724\); \(5\) Schichten: \(0{,}3707\) c) Mindestens \(12\) Schichten.
42835010
Der Luftdruck nimmt in der Erdatmosphäre mit zunehmender Höhe näherungsweise exponentiell ab. Pro \(1000\,\text{m}\) Höhenzunahme sinkt der Luftdruck in diesem Modell um etwa \(12\,\%\). a) Wie viel Prozent des Luftdrucks auf Meereshöhe sind in \(3000\,\text{m}\) Höhe noch vorhanden? Runde auf eine Dezimalstelle. b) Gib den Wachstumsfaktor für eine Höhendifferenz von \(1000\,\text{m}\), \(500\,\text{m}\) und \(5000\,\text{m}\) an. Runde nicht exakt endende Faktoren auf drei Dezimalstellen. c) In welcher Höhe hat sich der Luftdruck gegenüber dem Wert auf Meereshöhe näherungsweise halbiert? Bestimme die Höhe durch Probieren und gib sie auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau an.

Denkanstöße

- Betrachte die Höhe zunächst in Schritten von \(1000\,\text{m}\). - Wie muss sich ein Faktor für eine halbe oder für mehrere ganze Höheneinheiten zum bekannten Faktor verhalten? - Suche für Teil c) durch systematisches Probieren eine Höhe, bei der ungefähr die Hälfte des Ausgangswerts übrig bleibt.

Lösung

1. Pro \(1000\,\text{m}\) bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Luftdrucks erhalten. Der Wachstumsfaktor für \(1000\,\text{m}\) ist daher \(a=0{,}88\). 2. Für \(3000\,\text{m}\) beträgt der Restanteil \(0{,}88^3=0{,}681472\), also etwa \(68{,}1\,\%\). 3. Für \(500\,\text{m}\) ist der Faktor \(\sqrt{0{,}88}\approx0{,}938\); für \(5000\,\text{m}\) ist er \(0{,}88^5\approx0{,}528\). Für \(1000\,\text{m}\) bleibt er \(0{,}88\). 4. Für \(5{,}4\,\text{km}\) gilt \(0{,}88^{5{,}4}\approx0{,}5014\), für \(5{,}5\,\text{km}\) etwa \(0{,}4951\). Auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau liegt die Halbwertshöhe daher bei etwa \(5{,}4\,\text{km}\).

Antwort

a) Etwa \(68{,}1\,\%\) b) \(1000\,\text{m}\): \(0{,}88\); \(500\,\text{m}\): \(0{,}938\); \(5000\,\text{m}\): \(0{,}528\) c) Etwa \(5{,}4\,\text{km}\), also etwa \(5400\,\text{m}\)
42835310
Ein heißer Kakao wird mit einer Temperatur von \(80\,\text{°C}\) in einen Raum gestellt, in dem konstant \(20\,\text{°C}\) herrschen. Der Temperaturunterschied zwischen Getränk und Umgebung nimmt pro Minute um \(12\,\%\) ab. a) Bestimme die Funktionsgleichung \(f(x)\), die den Temperaturunterschied in Abhängigkeit von der Zeit \(x\) in Minuten beschreibt. b) Berechne den Temperaturunterschied nach \(5\) und nach \(15\) Minuten. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Welche Temperatur hat der Kakao nach \(10\) Minuten? Runde auf zwei Dezimalstellen. d) Bei Messungen zu vollen Minuten: Nach wie vielen Minuten ist der Temperaturunterschied erstmals kleiner als \(5\,\text{°C}\)? Bestimme den Wert durch Probieren.

Denkanstöße

- Modelliert wird zunächst nur der Temperaturunterschied zur Umgebung. - Für die tatsächliche Kakaotemperatur muss die Raumtemperatur zum verbleibenden Unterschied addiert werden. - Prüfe für d) aufeinanderfolgende ganze Minuten in der Nähe der \(5\,\text{°C}\)-Grenze.

Lösung

1. Der Anfangsunterschied ist \(80\,\text{°C}-20\,\text{°C}=60\,\text{°C}\). Mit dem Faktor \(0{,}88\) gilt \(f(x)=60\cdot0{,}88^x\). 2. Es ist \(f(5)\approx31{,}66\,\text{°C}\) und \(f(15)\approx8{,}82\,\text{°C}\). 3. Nach \(10\) Minuten beträgt der Unterschied \(f(10)\approx16{,}71\,\text{°C}\). Die Temperatur ist daher \(20\,\text{°C}+16{,}71\,\text{°C}=36{,}71\,\text{°C}\). 4. Für \(19\) Minuten ist \(f(19)\approx5{,}29\,\text{°C}\) und damit noch größer als \(5\,\text{°C}\). Für \(20\) Minuten ist \(f(20)\approx4{,}65\,\text{°C}\). Die Grenze wird bei vollen Minuten erstmals nach \(20\) Minuten unterschritten.

Antwort

a) \(f(x)=60\cdot0{,}88^x\). b) Nach \(5\) Minuten \(31{,}66\,\text{°C}\); nach \(15\) Minuten \(8{,}82\,\text{°C}\). c) \(36{,}71\,\text{°C}\). d) Nach \(20\) vollen Minuten.
42835910
Ein Kontrastmittel wird im Körper eines Patienten abgebaut. Unmittelbar nach der Injektion befinden sich \(120\,\text{mg}\) des Stoffes im Blut. Die Menge verringert sich stündlich um \(20\,\%\). a) Wie viel Kontrastmittel ist nach \(3\,\text{Stunden}\) noch im Blut vorhanden? b) Bestimme den Wachstumsfaktor für einen Zeitraum von \(4\,\text{Stunden}\). c) Nach wie vielen vollen Stunden ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel der Anfangsmenge?

Denkanstöße

- Welcher Anteil bleibt nach einer stündlichen Abnahme um \(20\,\%\) erhalten? - Für mehrere Stunden wird derselbe Wachstumsfaktor mehrfach angewendet. - Vergleiche für c) aufeinanderfolgende ganze Stunden mit einem Viertel der Anfangsmenge.

Lösung

1. Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(a=1-0{,}20=0{,}8\). Mit dem Anfangswert \(b=120\,\text{mg}\) gilt \(A(t)=120\cdot0{,}8^t\). 2. Nach \(3\) Stunden ist \(A(3)=120\cdot0{,}8^3=61{,}44\,\text{mg}\). 3. Der Wachstumsfaktor für \(4\) Stunden beträgt \(0{,}8^4=0{,}4096\). 4. Ein Viertel der Anfangsmenge sind \(30\,\text{mg}\). Es gilt \(A(6)\approx31{,}46\,\text{mg}>30\,\text{mg}\) und \(A(7)\approx25{,}17\,\text{mg}<30\,\text{mg}\). 5. Damit ist die Menge nach \(7\) vollen Stunden erstmals geringer als ein Viertel der Anfangsmenge.

Antwort

a) \(61{,}44\,\text{mg}\) b) \(0{,}4096\) c) Nach \(7\) Stunden.
42836010
Ein künstlicher See ist mit einem Schadstoff belastet. Durch eine Filteranlage wird der Schadstoffgehalt pro Tag um \(12\,\%\) reduziert. Zu Beginn der Messung werden \(250\,\text{mg/l}\) festgestellt. a) Berechne den Schadstoffgehalt nach \(5\) Tagen. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Gib den täglichen Wachstumsfaktor \(a\) sowie den Wachstumsfaktor für eine Woche an. Runde den Wochenfaktor auf vier Dezimalstellen. c) Umwelttechnikerin Lea Vogt behauptet: „Nach zwei Tagen ist der Gehalt um genau \(24\,\%\) gesunken.“ Zeige durch eine Rechnung, dass diese Aussage falsch ist. Gib die tatsächliche Reduktion auf zwei Dezimalstellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den pro Tag verbleibenden Anteil. - Für eine Woche wird derselbe Wachstumsfaktor siebenmal angewendet. - Berechne in c) den verbleibenden Anteil nach zwei Tagen und daraus die gesamte Reduktion.

Lösung

1. Der tägliche Wachstumsfaktor ist \(a=1-0{,}12=0{,}88\). 2. Nach \(5\) Tagen gilt \(250\cdot0{,}88^5\approx131{,}93\,\text{mg/l}\). 3. Der Wochenfaktor ist \(0{,}88^7\approx0{,}4087\). 4. Nach zwei Tagen beträgt der verbleibende Anteil \(0{,}88^2=0{,}7744\). Die tatsächliche Reduktion ist daher \((1-0{,}7744)\cdot100\,\%=22{,}56\,\%\). Die Behauptung ist falsch.

Antwort

a) \(131{,}93\,\text{mg/l}\) b) Täglich \(a=0{,}88\); für eine Woche \(0{,}4087\) c) Die tatsächliche Reduktion beträgt \(22{,}56\,\%\), nicht \(24\,\%\).
42836210
Ein Flummi wird aus einer Höhe von \(2{,}50\,\text{m}\) fallen gelassen. Bei jedem Aufprall auf den Boden erreicht er nur noch \(80\,\%\) der vorherigen Höhe. a) Berechne die Sprunghöhe nach dem \(3.\), \(4.\) und \(6.\) Aufprall. Gib die Ergebnisse in Metern und Zentimetern an. Runde, falls nötig, Meterwerte auf drei Dezimalstellen und Zentimeterwerte auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme durch einen Überschlag die ungefähre Höhe nach dem \(10.\) Aufprall. Nutze hierfür die Näherung \(0{,}8^{10}\approx0{,}1\).

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor entspricht dem verbleibenden Anteil von \(80\,\%\)? - Verwende die Nummer des Aufpralls als Exponenten, wenn die Ausgangshöhe vor dem ersten Aufprall als Startwert gilt. - Rechne erst mit einer Einheit und wandle anschließend zwischen Metern und Zentimetern um.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor pro Aufprall ist \(a=0{,}8\). Die Ausgangshöhe beträgt \(2{,}50\,\text{m}=250\,\text{cm}\). 2. Nach dem \(3.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^3=128\,\text{cm}=1{,}28\,\text{m}\). 3. Nach dem \(4.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^4=102{,}4\,\text{cm}=1{,}024\,\text{m}\). 4. Nach dem \(6.\) Aufprall gilt \(250\cdot0{,}8^6=65{,}536\,\text{cm}\approx65{,}5\,\text{cm}\), entsprechend \(0{,}65536\,\text{m}\approx0{,}655\,\text{m}\). 5. Mit \(0{,}8^{10}\approx0{,}1\) ergibt sich nach dem \(10.\) Aufprall ungefähr \(2{,}50\,\text{m}\cdot0{,}1=0{,}25\,\text{m}=25\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(3.\) Aufprall: \(1{,}28\,\text{m}\) beziehungsweise \(128\,\text{cm}\); \(4.\) Aufprall: \(1{,}024\,\text{m}\) beziehungsweise \(102{,}4\,\text{cm}\); \(6.\) Aufprall: \(0{,}655\,\text{m}\) beziehungsweise \(65{,}5\,\text{cm}\). b) Etwa \(0{,}25\,\text{m}\) beziehungsweise \(25\,\text{cm}\).
42836710
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x) = 5 \cdot 3^x\). Untersuche, wie sich der Funktionswert \(f(x)\) verändert, wenn die Stelle \(x\) variiert wird. Gib jeweils den Faktor an, mit dem der ursprüngliche Funktionswert multipliziert werden muss, wenn a) \(x\) um \(1\) vergrößert wird; b) \(x\) um \(4\) vergrößert wird; c) \(x\) um \(2\) verkleinert wird; d) \(x\) um \(0{,}5\) vergrößert wird.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du den neuen Funktionswert \(f(x+h)\) mithilfe der Potenzgesetze umschreiben kannst. - Welcher Teil des Terms entspricht dem ursprünglichen \(f(x)\) und was bleibt als Faktor übrig? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent oder ein Bruch als Exponent bedeutet.

Lösung

1. Für eine Zunahme von \(x\) um \(h\) gilt allgemein \(f(x+h) = 5 \cdot 3^{x+h} = 5 \cdot 3^x \cdot 3^h = f(x) \cdot 3^h\). Der Änderungsfaktor ist also \(3^h\). 2. Zu a): Bei \(h = 1\) ergibt sich der Faktor \(3^1 = 3\). 3. Zu b): Bei \(h = 4\) ergibt sich der Faktor \(3^4 = 81\). 4. Zu c): Bei einer Verkleinerung um \(2\) ist \(h = -2\). Der Faktor ist \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 5. Zu d): Bei \(h = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(3^{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

Antwort

a) Faktor \(3\) b) Faktor \(81\) c) Faktor \(\frac{1}{9}\) d) Faktor \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
42836810
Der Bestand einer Algenkultur wächst exponentiell und lässt sich durch die Funktion \(A(t)=A_0\cdot1{,}15^t\) beschreiben, wobei \(t\) die Zeit in Tagen angibt. Bestimme die prozentuale Änderung des Bestandes, wenn a) die Zeit \(t\) um genau einen Tag zunimmt; b) die Zeit \(t\) um zwei Tage zunimmt; c) die Zeit \(t\) um einen halben Tag zunimmt. Runde deine Ergebnisse, falls nötig, auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gilt für genau einen Tag? - Wie wirkt sich derselbe Faktor über zwei Tage aus? - Ein halber Tag entspricht einem halben Exponenten; bestimme daraus zuerst den Faktor und dann die prozentuale Änderung.

Lösung

1. Der tägliche Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}15\). Für eine Zeitdifferenz \(h\) ist der zugehörige Faktor \(a^h=1{,}15^h\); die prozentuale Änderung ist \((1{,}15^h-1)\cdot100\,\%\). 2. Für \(h=1\) ist der Faktor \(1{,}15\). Das entspricht einer Zunahme um \(15\,\%\). 3. Für \(h=2\) ist der Faktor \(1{,}15^2=1{,}3225\). Das entspricht einer Zunahme um \(32{,}25\,\%\approx32{,}3\,\%\). 4. Für \(h=0{,}5\) ist der Faktor \(\sqrt{1{,}15}\approx1{,}07238\). Das entspricht einer Zunahme um etwa \(7{,}2\,\%\).

Antwort

a) Zunahme um \(15\,\%\) b) Zunahme um etwa \(32{,}3\,\%\) c) Zunahme um etwa \(7{,}2\,\%\)
42837210
Betrachte die Funktion \(g\) mit \(g(x)=100\cdot0{,}8^x\). Bestimme die prozentuale Veränderung des Funktionswerts, wenn das Argument \(x\): (1) um \(1\) vergrößert wird; (2) um \(2\) vergrößert wird; (3) um \(1\) verkleinert wird; (4) um \(0{,}5\) vergrößert wird. Runde die Prozentsätze gegebenenfalls auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Vergleiche den neuen Exponenten mit dem ursprünglichen Exponenten. - Bei mehreren oder gebrochenen Schritten musst du den Wachstumsfaktor entsprechend potenzieren. - Für einen Schritt rückwärts ist der zugehörige Faktor größer als \(1\); prüfe dies mit einem Potenzgesetz.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor für einen Schritt der Länge \(h\) ist \(0{,}8^h\). Die prozentuale Änderung ist \((0{,}8^h-1)\cdot100\,\%\). 2. Für \(h=1\) ist der Faktor \(0{,}8\); die Änderung beträgt \(-20\,\%\). 3. Für \(h=2\) ist der Faktor \(0{,}8^2=0{,}64\); die Änderung beträgt \(-36\,\%\). 4. Für \(h=-1\) ist der Faktor \(0{,}8^{-1}=1{,}25\); die Änderung beträgt \(+25\,\%\). 5. Für \(h=0{,}5\) ist der Faktor \(\sqrt{0{,}8}\approx0{,}8944\); die Änderung beträgt etwa \(-10{,}6\,\%\).

Antwort

(1) Abnahme um \(20\,\%\) (2) Abnahme um \(36\,\%\) (3) Zunahme um \(25\,\%\) (4) Abnahme um etwa \(10{,}6\,\%\)
42837510
Betrachte die Exponentialfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 4^x\). 1. Berechne das Verhältnis der Funktionswerte \(\frac{f(x+1)}{f(x)}\) für die Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Was stellst du fest? 2. Bestimme den Faktor, mit dem ein beliebiger Funktionswert \(f(x)\) multipliziert werden muss, wenn das Argument \(x\) um die Schrittweite \(s = 1{,}5\) erhöht wird. 3. Ermittle die Schrittweite \(s\), bei der sich der Funktionswert genau um den Faktor \(32\) vergrößert. 4. Vervollständige den folgenden Satz allgemein für Funktionen der Form \(f(x) = a^x\): „Wenn das Argument \(x\) um eine beliebige Schrittweite \(s\) zunimmt, so wird der zugehörige Funktionswert immer mit dem Faktor ... multipliziert.“

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Werte berechnet. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (wie \(0{,}5\)) als Wurzeln schreiben kann. - Wenn du eine Gleichung wie \(4^s = 32\) lösen möchtest, hilft es oft, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) darzustellen. - Was passiert mit dem Exponenten in der Funktionsgleichung, wenn du \(x\) durch \(x+s\) ersetzt?

Lösung

1. Für \(x = 0\) ergibt sich \(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{4^1}{4^0} = \frac{4}{1} = 4\). Für \(x = 2\) ergibt sich \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{4^3}{4^2} = \frac{64}{16} = 4\). Das Verhältnis ist konstant und entspricht der Basis der Funktion. 2. Bei einer Erhöhung um \(s = 1{,}5\) wird der Funktionswert mit \(4^{1{,}5}\) multipliziert. Da \(4^{1{,}5} = 4^1 \cdot 4^{0{,}5} = 4 \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\), beträgt der Faktor \(8\). 3. Gesucht ist \(s\) mit \(4^s = 32\). Durch Umschreiben zur Basis \(2\) erhält man \((2^2)^s = 2^5\), also \(2^{2s} = 2^5\). Der Exponentenvergleich liefert \(2s = 5\), woraus \(s = 2{,}5\) folgt. 4. Der allgemeine Wachstumsfaktor für eine Schrittweite \(s\) lautet \(a^s\).

Antwort

1. Das Verhältnis ist in beiden Fällen \(4\). 2. Der Faktor ist \(8\). 3. Die Schrittweite beträgt \(s = 2{,}5\). 4. Der Faktor lautet \(a^s\).
42837610
In einem Forstbestand nimmt die Anzahl der Tannen aufgrund einer Umweltbelastung jährlich um \(10\,\%\) ab. 1. Gib den Wachstumsfaktor \(a\) für den Zeitraum von einem Jahr an. 2. Berechne, welcher Prozentsatz des ursprünglichen Bestands nach \(5\) Jahren noch vorhanden ist. Runde auf zwei Dezimalstellen. 3. Bestimme den Wachstumsfaktor, der die Bestandsänderung nach insgesamt \(10\) Jahren beschreibt. Runde auf vier Dezimalstellen. 4. Förster Tobias Neumann behauptet: „Wenn der Bestand nach \(5\) Jahren um einen gewissen Prozentsatz gesunken ist, dann muss der prozentuale Verlust nach \(10\) Jahren genau doppelt so hoch sein.“ Prüfe diese Aussage rechnerisch. Runde Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Bestands bleibt nach jedem Jahr erhalten? - Unterscheide zwischen verbleibendem Anteil und verlorenem Anteil. - Vergleiche in 4. die beiden gesamten Verluste und nicht die jährliche prozentuale Abnahme.

Lösung

1. Bei einer jährlichen Abnahme um \(10\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(a=0{,}9\). 2. Nach \(5\) Jahren ist der Faktor \(0{,}9^5=0{,}59049\). Damit sind noch \(59{,}05\,\%\) des Anfangsbestands vorhanden. 3. Nach \(10\) Jahren ist der Faktor \(0{,}9^{10}=0{,}3486784401\approx0{,}3487\). 4. Nach \(5\) Jahren beträgt der Verlust \(40{,}95\,\%\). Nach \(10\) Jahren sind noch etwa \(34{,}87\,\%\) vorhanden, also beträgt der Verlust \(65{,}13\,\%\). Das ist nicht das Doppelte von \(40{,}95\,\%\); die Behauptung ist falsch.

Antwort

1. \(a=0{,}9\) 2. \(59{,}05\,\%\) 3. \(0{,}3487\) 4. Die Behauptung ist falsch: Verlust nach \(5\) Jahren \(40{,}95\,\%\), nach \(10\) Jahren \(65{,}13\,\%\).
42837710
Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) mit \(a>0\) der Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\), deren Graph durch den jeweils angegebenen Punkt verläuft. a) \(P(4;81)\) b) \(Q(-3;0{,}125)\) c) \(R(1{,}5;8)\)

Denkanstöße

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Potenzgleichung nach dem Wachstumsfaktor auflösen? - Welche Rolle spielen negative beziehungsweise rationale Exponenten in den Teilen b und c?

Lösung

1. Setze jeweils die Punktkoordinaten in \(f(x)=a^x\) ein und löse nach \(a\) auf. 2. Für \(P(4;81)\) gilt \(81=a^4\). Daher ist \(a=\sqrt[4]{81}=3\). 3. Für \(Q(-3;0{,}125)\) gilt \(0{,}125=a^{-3}\), also \(\frac{1}{8}=\frac{1}{a^3}\). Damit ist \(a^3=8\) und \(a=2\). 4. Für \(R(1{,}5;8)\) gilt \(8=a^{1{,}5}=a^{\frac{3}{2}}\). Daher ist \(a=8^{\frac{2}{3}}=4\).

Antwort

a) \(a=3\) b) \(a=2\) c) \(a=4\)
42838010
Betrachte die allgemeine Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) und \(a\neq1\). a) Bei einer bestimmten Funktion \(f\) vervierfacht sich der Funktionswert jedes Mal, wenn \(x\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) dieser Funktion. b) Erkläre, warum im Fall \(a=1\) keine exponentielle Zu- oder Abnahme vorliegt. Welches geometrische Gebilde würde der Graph darstellen? c) Untersuche, warum ein negativer Wert wie \(a=-2\) problematisch ist, wenn man die Funktion für alle reellen Zahlen \(x\) definieren möchte. Betrachte dazu beispielhaft die Funktionswerte für \(x=2\) und \(x=0{,}5\).

Denkanstöße

- Wie verändert sich \(a^x\), wenn der Exponent um einen festen Betrag zunimmt? - Überlege für Teil b), welche Funktionswerte die Potenzen von \(1\) besitzen. - Prüfe für Teil c) getrennt einen ganzzahligen und einen nicht ganzzahligen Exponenten.

Lösung

1. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\) wird der Funktionswert mit \(a^2\) multipliziert. Wegen der Vervierfachung gilt \(a^2=4\). Da für Exponentialfunktionen \(a>0\) gilt, folgt \(a=2\). 2. Für \(a=1\) gilt \(f(x)=1^x=1\) für alle \(x\). Der Graph ist die waagerechte Gerade \(y=1\); die Funktionswerte zeigen weder eine exponentielle Zunahme noch eine exponentielle Abnahme. 3. Für \(x=2\) ist \((-2)^2=4\) reell definiert. Für \(x=0{,}5\) wäre dagegen \((-2)^{0{,}5}=\sqrt{-2}\) zu berechnen, was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist. Daher eignet sich \(-2\) nicht als Wachstumsfaktor einer reellwertigen Exponentialfunktion mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}\).

Antwort

a) \(a=2\) b) Für \(a=1\) ist \(f(x)=1\) konstant; der Graph ist die waagerechte Gerade \(y=1\). c) Für \(x=2\) ist \((-2)^2=4\) reell, für \(x=0{,}5\) ist \(\sqrt{-2}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Eine solche Potenz definiert daher keine reellwertige Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\).
42838310
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x) = 1{,}44^x\). Bestimme die prozentuale Änderung des Funktionswertes \(f(x)\), wenn das Argument \(x\) a) um \(0{,}5\) vergrößert wird; b) um \(2\) vergrößert wird; c) um \(1\) verringert wird (Runde auf eine Dezimalstelle).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Rechenregel für Potenzen gilt, wenn man im Exponenten zwei Zahlen addiert. - Wenn ein Wert mit dem Faktor \(n\) multipliziert wird, wie berechnest du daraus die prozentuale Steigerung oder Abnahme? - Ein Exponent von \(0{,}5\) ist das Gleiche wie das Ziehen einer Quadratwurzel. - Eine Verringerung von \(x\) bedeutet, dass du eine negative Zahl für die Änderung einsetzt.

Lösung

1. Für die Änderung des Funktionswertes bei einer Addition von \(k\) zum Argument \(x\) gilt allgemein: \(f(x+k) = a^{x+k} = a^k \cdot a^x = a^k \cdot f(x)\). Der Faktor, um den sich der Wert ändert, ist also \(1{,}44^k\). 2. Zu a): Für \(k = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{0{,}5} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Dies entspricht einer Zunahme von \(20\,\%\). 3. Zu b): Für \(k = 2\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^2 = 2{,}0736\). Dies entspricht einer Zunahme von \(107{,}36\,\%\). 4. Zu c): Für \(k = -1\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{-1} = \frac{1}{1{,}44} \approx 0{,}6944\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \(0{,}6944 - 1 = -0{,}3056\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}6\,\%\) entspricht.

Antwort

a) Der Funktionswert nimmt um \(20\,\%\) zu. b) Der Funktionswert nimmt um \(107{,}36\,\%\) zu. c) Der Funktionswert nimmt um ca. \(30{,}6\,\%\) ab.
42839110
Gegeben ist eine Exponentialfunktion der Form \(f(x)=b\cdot a^x\) mit \(b\neq0\), \(a>0\) und \(a\neq1\). 1. Zeige allgemein, dass das Verhältnis \(\frac{f(x-4)}{f(x)}\) unabhängig von \(x\) ist, und drücke diesen konstanten Wert mithilfe des Wachstumsfaktors \(a\) aus. 2. Berechne diesen Wert für \(a=0{,}8\).

Denkanstöße

- Setze die Funktionsvorschrift sowohl für \(f(x-4)\) als auch für \(f(x)\) in den Quotienten ein. - Prüfe vor dem Kürzen, welche Bedingungen sicherstellen, dass der Nenner nicht \(0\) ist. - Vereinfache anschließend nur mit Potenzgesetzen und beobachte, ob \(x\) noch vorkommt.

Lösung

1. Einsetzen ergibt \(\frac{f(x-4)}{f(x)}=\frac{b\cdot a^{x-4}}{b\cdot a^x}\). Wegen \(b\neq0\) und \(a>0\) ist der Nenner ungleich \(0\), sodass gekürzt werden darf. 2. Mit den Potenzgesetzen folgt \(\frac{a^{x-4}}{a^x}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\). Der Ausdruck enthält kein \(x\) und ist daher konstant. 3. Für \(a=0{,}8\) gilt \(0{,}8^{-4}=\frac{1}{0{,}8^4}=\frac{1}{0{,}4096}=2{,}44140625\).

Antwort

1. \(\frac{f(x-4)}{f(x)}=a^{-4}=\frac{1}{a^4}\) 2. \(2{,}44140625\)
42839210
Bei einem exponentiellen Prozess vervierfacht sich der Bestand \(f(t)\), wenn die Zeit \(t\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Stelle eine Gleichung auf, die den Bestand zum Zeitpunkt \(t-2\) allein mithilfe des Bestands zum Zeitpunkt \(t\) ausdrückt. Bestimme dabei den konkreten Zahlenfaktor.

Denkanstöße

- Wenn eine Erhöhung um einen bestimmten Wert einer Multiplikation entspricht, welcher Operation entspricht dann eine Verminderung? - Du musst den Wachstumsfaktor \(a\) nicht unbedingt einzeln ausrechnen, um das Problem zu lösen. - Wie hängen die Faktoren für einen Schritt vorwärts und einen Schritt rückwärts zusammen? - Kannst du den Zusammenhang zwischen \(f(t)\) und \(f(t+2)\) als Gleichung aufschreiben?

Lösung

1. Aus der Information, dass sich der Bestand bei einer Zunahme von \(t\) um \(2\) vervierfacht, folgt für den Wachstumsfaktor \(a\): \(f(t+2) = f(t) \cdot a^2 = 4 \cdot f(t)\). Daraus ergibt sich direkt \(a^2 = 4\). 2. Für eine Verminderung der Zeit um \(2\) Einheiten gilt bei Exponentialfunktionen: \(f(t-2) = f(t) \cdot a^{-2} = f(t) \cdot \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Einsetzen von \(a^2 = 4\) in die Beziehung für den verminderten Zeitpunkt erhält man: \(f(t-2) = f(t) \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25 \cdot f(t)\).

Antwort

\(f(t-2) = 0{,}25 \cdot f(t)\)
42839610
Gegeben ist die Exponentialfunktion \(h(x)=5\cdot2^{-3x}\). Das Argument wird jeweils um \(\frac{1}{3}\) vergrößert. a) Bestimme den Faktor, mit dem sich der Funktionswert bei jedem solchen Schritt verändert. b) Interpretiere diesen Faktor als prozentuale Änderung des Funktionswerts pro Schritt. c) Begründe, warum derselbe Faktor unabhängig vom Ausgangswert \(x\) gilt.

Denkanstöße

- Vergleiche den Funktionswert nach dem Schritt direkt mit dem Funktionswert davor. - Achte darauf, wie sich der Exponent verändert, wenn \(x\) um \(\frac{1}{3}\) wächst. - Für die prozentuale Interpretation ist entscheidend, welcher Anteil des vorherigen Funktionswerts nach einem Schritt übrig bleibt.

Lösung

1. Für einen Schritt der Länge \(\frac{1}{3}\) betrachtet man den Quotienten \(\frac{h(x+\frac{1}{3})}{h(x)}\). 2. Es gilt \(h(x+\frac{1}{3})=5\cdot2^{-3x-1}=5\cdot2^{-3x}\cdot2^{-1}\). Daher ist \(\frac{h(x+\frac{1}{3})}{h(x)}=2^{-1}=0{,}5\). 3. Der Funktionswert wird in jedem Schritt halbiert. Das entspricht einer Abnahme um \(50\,\%\). 4. Im Quotienten kürzt sich der von \(x\) abhängige Faktor \(5\cdot2^{-3x}\) vollständig heraus. Deshalb bleibt der Schritt-Faktor \(0{,}5\) für jedes \(x\) gleich.

Antwort

a) Faktor \(0{,}5\) b) Abnahme um \(50\,\%\) pro Schritt c) Der Quotient \(\frac{h(x+\frac{1}{3})}{h(x)}\) ist für jedes \(x\) gleich \(0{,}5\).
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Für einen biologischen Bestand wird ein vereinfachtes exponentielles Modell verwendet. Zu Beginn sind \(250\) Individuen vorhanden; die modellierte Anzahl wächst stündlich um \(12\,\%\). a) Stelle die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne die Bestandsgrößen für \(t=1\), \(t=3{,}5\), \(t=8\) und \(t=12{,}5\). Runde die modellierten Bestände auf ganze Individuen. c) Ermittle mithilfe von Logarithmen, nach wie vielen Stunden der Bestand \(400\), \(1000\) beziehungsweise \(2500\) Individuen erreicht. Runde die Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(12\,\%\) stündlichem Wachstum? - Setze in b) die gegebenen Zeiten in dein Modell ein. - In c) steht die gesuchte Zeit im Exponenten; isoliere zuerst die Potenz. - Runde die Bestandswerte beziehungsweise Zeiten erst am Ende wie verlangt.

Lösung

1. Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(1{,}12\). Damit gilt \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\). 2. Es ist \(B(1)=280\), \(B(3{,}5)\approx371{,}71\), \(B(8)\approx618{,}99\) und \(B(12{,}5)\approx1030{,}78\). Gerundet sind das \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen. 3. Für einen Zielbestand \(y\) gilt \(250\cdot1{,}12^t=y\), also \(t=\frac{\log_{10}(\frac{y}{250})}{\log_{10}(1{,}12)}\). 4. Für \(y=400\) ergibt sich \(t\approx4{,}15\), für \(y=1000\) \(t\approx12{,}23\) und für \(y=2500\) \(t\approx20{,}32\) Stunden.

Antwort

a) \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\) b) \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen c) \(400\) Individuen nach \(4{,}15\) Stunden; \(1000\) nach \(12{,}23\) Stunden; \(2500\) nach \(20{,}32\) Stunden
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Betrachte die Funktion \(g(x)=0{,}75^x\). a) Um welchen Faktor ändert sich der Funktionswert, wenn man \(x\) um \(2\) vergrößert? b) Um wie viel Prozent nimmt der Funktionswert ab, wenn man \(x\) um \(3\) vergrößert? c) Wie verändert sich der Funktionswert \(y\), wenn man das Argument \(x\) verdoppelt? Gib einen allgemeinen Ausdruck in Abhängigkeit von \(y\) an.

Denkanstöße

- Der Wachstumsfaktor pro Schritt ist \(0{,}75\). Wie wirkt er über mehrere Schritte? - Bei einem Faktor kleiner als \(1\) erhältst du die prozentuale Abnahme aus dem fehlenden Anteil zu \(1\). - Für c) nutze ein Potenzgesetz, wenn der Exponent \(x\) verdoppelt wird.

Lösung

1. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\) wird der Funktionswert mit \(0{,}75^2=0{,}5625\) multipliziert. 2. Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) ist der Faktor \(0{,}75^3=0{,}421875\). Die prozentuale Abnahme beträgt \((1-0{,}421875)\cdot100\,\%=57{,}8125\,\%\). 3. Für die Verdopplung des Arguments gilt \(g(2x)=0{,}75^{2x}=(0{,}75^x)^2\). Mit \(y=0{,}75^x\) folgt \(g(2x)=y^2\).

Antwort

a) Faktor \(0{,}5625\) b) Abnahme um \(57{,}8125\,\%\) c) Der Funktionswert wird quadriert: \(g(2x)=y^2\).

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