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- Welchen Wert hat der Bestand zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz wächst, mit welchem Faktor multipliziert man den aktuellen Wert dann jede Stunde? - Handelt es sich hier um lineares oder exponentielles Wachstum?

1. Identifikation des Anfangswerts: \(N_0 = 400\) 2. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\) bei einer Zunahme von \(2\,\%\): \(q = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02\) 3. Aufstellen der allgemeinen Exponentialfunktion \(N(t) = N_0 \cdot q^t\): \(N(t) = 400 \cdot 1{,}02^t\) 4. Vergleich mit den vorgegebenen Optionen ergibt Antwort c).

c) \(N = 400 \cdot 1{,}02^t\)

- Wie oft musst du den ersten Wert mit dem Quotienten multiplizieren, um zum fünften Wert zu gelangen? - Stelle eine Gleichung der Form \(x_5 = x_1 q^n\) auf. - Überlege, welche Zahl viermal mit sich selbst multipliziert 16 ergibt. - Was bedeutet „aufsteigend“ für das Vorzeichen und die Größe von \(q\)?

1. Aufstellen der Beziehung zwischen dem ersten und dem fünften Glied einer geometrischen Folge: \(x_5 = x_1 q^4\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(8 = 0{,}5 \cdot q^4\). 3. Umformen zur Potenzgleichung: \(q^4 = \frac{8}{0{,}5} = 16\). 4. Ziehen der 4. Wurzel: \(q = \sqrt[4]{16} = 2\) (da die Folge aufsteigend und die Glieder positiv sind, entfällt \(q = -2\)). 5. Berechnung der fehlenden Glieder: \(x_2 = x_1 q = 0{,}5 \cdot 2 = 1\) \(x_3 = x_2 q = 1 \cdot 2 = 2\) \(x_4 = x_3 q = 2 \cdot 2 = 4\)

Der Quotient ist \(q = 2\). Die fehlenden Glieder lauten \(x_2 = 1\), \(x_3 = 2\) und \(x_4 = 4\).

- Was ist der Startwert in dieser Situation? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, wie viel Prozent bleiben dann noch übrig? - Wie schreibt man einen Prozentsatz als Dezimalzahl für eine Rechnung um? - Wie sieht die Grundform einer Exponentialfunktion aus?

1. Bestimmung des Anfangswertes zum Zeitpunkt des Kaufs (\(t = 0\)): \(V_0 = 45\,000\). 2. Ermittlung des Abnahmefaktors \(b\): Da der Wert um \(18\,\%\) sinkt, verbleiben jedes Jahr \(100\,\% - 18\,\% = 82\,\%\) des Wertes vom Vorjahr. 3. Umrechnung des Prozentsatzes in einen Dezimalfaktor: \(b = 0{,}82\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(V(t) = V_0 \cdot b^t\): \(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\).

\(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\)

- Wie hängen der Prozentsatz und der Faktor zusammen, mit dem man den neuen Wert berechnet? - Überlege, wie oft du den jährlichen Faktor anwenden musst, um den Wert nach mehreren Jahren zu erhalten. - Was bedeutet es für den Faktor, wenn man den Zuwachs über einen längeren Zeitraum betrachtet?

1. Berechnung des Wachstumsfaktors: \(q = 1 + \frac{2{,}4}{100} = 1{,}024\). 2. Waldfläche nach \(3\) Jahren: \(4500 \cdot 1{,}024^3 \approx 4831{,}84\,\text{ha}\). 3. Waldfläche nach \(10\) Jahren: \(4500 \cdot 1{,}024^{10} \approx 5704{,}43\,\text{ha}\). 4. Gesamtfaktor nach \(5\) Jahren: \(1{,}024^5 \approx 1{,}1259\).

a) \(q = 1{,}024\) b) Nach \(3\) Jahren: ca. \(4831{,}84\,\text{ha}\); nach \(10\) Jahren: ca. \(5704{,}43\,\text{ha}\) c) Der Faktor beträgt \(1{,}1259\).

- Welchen Wert hat die Variable für den Anfangsbestand in der gegebenen Formel? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem der Anfangswert multipliziert wurde, um zum ersten Folgewert zu gelangen? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Wachstumsrate zusammen?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(a\): Da \(N(1) = N_0 \cdot a^1\), gilt \(1040 = 800a\). Daraus folgt \(a = \frac{1040}{800} = 1{,}3\). 2. Berechnung der prozentualen Zunahme: Der Wachstumsfaktor \(a = 1{,}3\) entspricht einer Zunahme von \(30\,\%\), da \(1{,}3 = 1 + 0{,}30\). 3. Berechnung des Bestandes nach 6 Stunden: \(N(6) = 800 \cdot 1{,}3^6 \approx 3861{,}45\). Gerundet ergibt dies \(3861\) Bakterien.

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 1{,}3\). b) Die stündliche Zunahme beträgt \(30\,\%\). c) Nach 6 Stunden sind etwa \(3861\) Bakterien vorhanden.

- Der Wachstumsfaktor liegt bei einer Zunahme immer über 1. - Wenn du einen Wert für ein bestimmtes Jahr suchst, bestimme zuerst die Differenz zum Startjahr. - Du kannst das Ergebnis für 2030 direkt mit der Hochzahl 10 berechnen. - Runde das Endergebnis bei Lebewesen auf ganze Zahlen, da es keine halben Orchideen gibt.

1. Der jährliche Wachstumsfaktor ist \(q = 1 + 0{,}054 = 1{,}054\). 2. Die Bestände werden mit \(W(t) = 1200 \cdot 1{,}054^t\) berechnet: \(W(1) = 1264{,}8 \approx 1265\), \(W(2) \approx 1333\), \(W(3) \approx 1405\). 3. Für das Jahr 2030 ist \(t = 10\): \(W(10) = 1200 \cdot 1{,}054^{10} \approx 2030{,}43\). Der Faktor für zehn Jahre ist \(1{,}054^{10} \approx 1{,}6920\). 4. Für das Jahr 2045 ist \(t = 25\): \(W(25) = 1200 \cdot 1{,}054^{25} \approx 4468{,}86\). Gerundet sind das etwa \(4469\) Orchideen.

a) \(q = 1{,}054\) b) 2021: ca. \(1265\); 2022: ca. \(1333\); 2023: ca. \(1405\) Exemplare c) Bestand 2030: ca. \(2030\) Exemplare; Faktor für 10 Jahre: \(q^{10} \approx 1{,}6920\) d) ca. \(4469\) Exemplare

- Was bedeutet eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz für den Faktor, mit dem man jedes Jahr multipliziert? - Überlege, welcher Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\) vorliegt. - Um den Prozentsatz nach einer bestimmten Zeit zu finden, kannst du untersuchen, wie sich der Faktor \(b^t\) entwickelt.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(b\): Da der Bestand um \(6{,}2\,\%\) abnimmt, gilt \(b = 1 - 0{,}062 = 0{,}938\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(V_0 = 8400\): \(V(t) = 8400 \cdot 0{,}938^t\). 3. Berechnung des verbleibenden Anteils nach \(t = 8\) Jahren: \(b^8 = 0{,}938^8 \approx 0{,}5993\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}5993 \cdot 100\,\% \approx 59{,}93\,\%\).

a) \(V(t) = 8400 \cdot 0{,}938^t\) b) Nach 8 Jahren sind noch ca. \(59{,}93\,\%\) des Vorrats vorhanden.

- Überlege dir, wie der Wachstumsfaktor \(a\) mit der prozentualen Änderung zusammenhängt: Ist \(a > 1\) oder \(a < 1\)? - Der Anfangswert \(C\) steht in der Funktionsgleichung immer an der Stelle, die nicht von der Potenz beeinflusst wird. - Erinnere dich an den Zusammenhang \(a = 1 \pm \frac{p}{100}\).

1. Erste Zeile: Bei einer Zunahme von \(35\,\%\) berechnet sich der Wachstumsfaktor als \(a = 1 + \frac{35}{100} = 1{,}35\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\). 2. Zweite Zeile: Ein Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}82\) entspricht einer Abnahme, da \(a < 1\). Die prozentuale Änderung ist \(0{,}82 - 1 = -0{,}18\), also eine Abnahme von \(18\,\%\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\). 3. Dritte Zeile: Aus dem Term \(8 \cdot 1{,}045^x\) liest man den Anfangswert \(C = 8\) und den Wachstumsfaktor \(a = 1{,}045\) ab. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus \(1{,}045 - 1 = 0{,}045\), was einer Zunahme von \(4{,}5\,\%\) entspricht.

1. Zeile: \(a = 1{,}35\); \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\) 2. Zeile: Änderung: \(-18\,\%\) (oder Abnahme um \(18\,\%\)); \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\) 3. Zeile: Änderung: \(+4{,}5\,\%\) (oder Zunahme um \(4{,}5\,\%\)); \(a = 1{,}045\); \(C = 8\)

- Der Anfangswert ist der Wert der Funktion bei \(x = 0\). - Die prozentuale Veränderung findest du, indem du die Differenz des Wachstumsfaktors zu \(1\) betrachtest. - Achte bei Teilaufgabe b) auf die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Analyse von \(f(x)\): Anfangswert \(C = 400\). Da \(a = 1{,}015\), liegt eine Zunahme vor. \(1{,}015 - 1 = 0{,}015\), also eine Zunahme um \(1{,}5\,\%\). 2. Analyse von \(g(x)\): Anfangswert \(C = 25\). Da \(a = 0{,}6\), liegt eine Abnahme vor. \(1 - 0{,}6 = 0{,}4\), also eine Abnahme um \(40\,\%\). 3. Analyse von \(h(x)\): Anfangswert \(C = 2\). Da \(a = 3\), liegt eine Zunahme vor. \(3 - 1 = 2\), also eine Zunahme um \(200\,\%\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b): Setze \(x = 2\) in \(f(x)\) ein: \(f(2) = 400 \cdot 1{,}015^2 = 400 \cdot 1{,}030225 = 412{,}09\).

a) \(f(x)\): Anfangswert \(400\), Zunahme um \(1{,}5\,\%\); \(g(x)\): Anfangswert \(25\), Abnahme um \(40\,\%\); \(h(x)\): Anfangswert \(2\), Zunahme um \(200\,\%\) b) \(f(2) = 412{,}09\)

- Welcher Wert stellt den Startzeitpunkt dar? - Wie verändert eine prozentuale Abnahme den Bestand von einem Jahr zum nächsten? - Mit welchem Faktor musst du multiplizieren, wenn der Bestand um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? - Überlege, wie oft dieser Faktor bei einer Zeitspanne von mehreren Jahren angewendet werden muss.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(a\) aus der prozentualen Abnahme: \(a = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(N_0 = 450\): \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\). 3. Berechnung des Bestands nach \(5\) Jahren: \(N(5) = 450 \cdot 0{,}94^5 \approx 330{,}26\). Gerundet ergibt dies \(330\) Pflanzen. 4. Berechnung des Bestands nach \(10\) Jahren: \(N(10) = 450 \cdot 0{,}94^{10} \approx 242{,}38\). Gerundet ergibt dies \(242\) Pflanzen.

a) \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\) b) Nach \(5\) Jahren: ca. \(330\) Pflanzen; nach \(10\) Jahren: ca. \(242\) Pflanzen.

- Wo schneidet der Graph die vertikale Achse? Dieser Punkt gibt dir den Startwert an. - Schau dir den Wert nach genau einem Jahr an. Wie hat er sich im Vergleich zum Startwert verändert? - Der Wachstumsfaktor \(b\) gibt an, mit welchem Wert der Bestand multipliziert wird. Wie hängen dieser Faktor und der prozentuale Verlust zusammen? - Für den letzten Teil kannst du im Diagramm auf der y-Achse den Wert suchen, der ein Viertel von \(800\,\text{€}\) ist, und den zugehörigen x-Wert ablesen.

1. Aus dem Graphen lässt sich der Anfangswert bei \(t = 0\) ablesen: \(W(0) = a = 800\,\text{€}\). 2. Nach einem Jahr (\(t = 1\)) beträgt der Wert noch \(600\,\text{€}\). Der Wachstumsfaktor berechnet sich zu \(b = \frac{W(1)}{W(0)} = \frac{600}{800} = 0{,}75\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(W(t) = 800 \cdot 0{,}75^t\). 3. Die prozentuale Abnahme pro Jahr ergibt sich aus \(1 - b = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). Dies entspricht einer Wertminderung von \(25\,\%\) pro Jahr. 4. Gesucht ist der Zeitpunkt \(t\), an dem \(W(t) = \frac{1}{4} \cdot 800 = 200\) gilt. \(800 \cdot 0{,}75^t = 200\) \(0{,}75^t = 0{,}25\) \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}75)} \approx 4{,}82\). Nach etwa \(4{,}8\) Jahren ist das Smartphone nur noch ein Viertel seines ursprünglichen Preises wert.

a) Anfangswert \(a = 800\); Wachstumsfaktor \(b = 0{,}75\); Funktionsgleichung: \(W(t) = 800 \cdot 0{,}75^t\). b) Der Wert sinkt um \(25\,\%\) pro Jahr. c) Nach etwa \(4{,}82\) Jahren beträgt der Wert noch ein Viertel (\(200\,\text{€}\)).

- Der Faktor \(a\) gibt an, mit welcher Zahl der Bestand pro Zeiteinheit multipliziert wird. - Vergleiche den Wert bei \(t=1\) mit dem Startwert bei \(t=0\). - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann übrig? Das hilft dir, den Zusammenhang zwischen \(a\) und der Prozentzahl zu finden.

1. Bestimmung des Anfangswerts: Aus dem Graphen liest man bei \(t=0\) den Wert \(c = 20\) ab. 2. Bestimmung des Faktors \(a\): Nach einer Stunde (\(t=1\)) beträgt die Konzentration \(16\,\text{mg/l}\). Es gilt \(16 = 20 \cdot a^1\), woraus \(a = \frac{16}{20} = 0{,}8\) folgt. 3. Berechnung der prozentualen Abnahme: Ein Wachstumsfaktor von \(0{,}8\) entspricht einem Erhalt von \(80\,\%\) des Vorwertes. Die Abnahme beträgt somit \(100\,\% - 80\,\% = 20\,\%\) pro Stunde.

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 0{,}8\). b) Die Konzentration nimmt pro Stunde um \(20\,\%\) ab.

- Überlege dir, wie viele Personen in jedem Schritt neu dazukommen. Ist das immer die gleiche Anzahl oder vervielfacht sie sich? - Für die Gesamtzahl musst du alle Personen addieren, die das Gerücht zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits kennen. - Erkennst du ein Muster in der Summenbildung? Es handelt sich um eine geometrische Reihe. - Prüfe für Teilaufgabe c) aufeinanderfolgende ganzzahlige Potenzen von \(3\).

1. Die Anzahl der Personen, die das Gerücht in jeder Stunde neu erfahren, bildet eine geometrische Folge. In der \(n\)-ten Stunde erfahren \(3^n\) Personen das Gerücht neu. Für \(n = 5\) ergibt sich \(3^5 = 243\). 2. Die Gesamtzahl nach \(n\) Stunden ist \(N(n) = 1 + \sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\). 3. Für \(n = 8\) gilt \(N(8) = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19683 - 1}{2} = 9841\). 4. Für den Schwellenwert werden aufeinanderfolgende ganze Stunden geprüft: \(N(10) = \frac{3^{11} - 1}{2} = \frac{177147 - 1}{2} = 88\,573 < 250\,000\). \(N(11) = \frac{3^{12} - 1}{2} = \frac{531441 - 1}{2} = 265\,720 > 250\,000\). Damit haben nach \(11\) Stunden erstmals mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört.

a) 243 Personen b) \(9841\) Personen c) Nach 11 Stunden

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor man einen Wert multiplizieren muss, um eine Abnahme von \(12\,\%\) zu beschreiben. - Welche Art von mathematischem Modell beschreibt eine gleichbleibende prozentuale Änderung? - Berechne die Restwerte für aufeinanderfolgende volle Jahre in der Nähe des Schwellenwerts. - Denk daran, dass nach dem ersten vollen Jahr gesucht wird, in dem der Wert unter der Grenze liegt.

1. Der jährliche Abnahmefaktor beträgt \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Damit gilt \(W(n) = 54\,000 \cdot 0{,}88^n\). 2. Nach \(5\) Jahren: \(W(5) = 54\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 28\,497{,}52\). Gerundet beträgt der Restwert \(28\,498\,\text{€}\). 3. Für die erste Unterschreitung von \(20\,000\,\text{€}\) werden aufeinanderfolgende volle Jahre geprüft: \(W(7) = 54\,000 \cdot 0{,}88^7 \approx 22\,068{,}48\,\text{€}\), also noch mehr als \(20\,000\,\text{€}\). \(W(8) = 54\,000 \cdot 0{,}88^8 \approx 19\,420{,}26\,\text{€}\), also weniger als \(20\,000\,\text{€}\). Nach \(8\) Jahren liegt der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\).

a) Der Restwert nach \(5\) Jahren beträgt \(28\,498\,\text{€}\). b) Nach \(8\) Jahren sinkt der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\).

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du den Exponenten um einen bestimmten Betrag erhöhst? - Achte darauf, in welcher Zeiteinheit die Variable im Exponenten definiert ist. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um? - Was bedeutet ein exponentielles Wachstum für die Multiplikation über mehrere Zeitschritte hinweg?

1. Berechnung der Wachstumsfaktoren für die Zeitintervalle \(\Delta t\): Der Faktor ergibt sich aus \(b^{\Delta t}\) mit \(b = 1{,}5\). 2. Faktor nach 2 Stunden: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 3. Faktor nach 3 Stunden: \(1{,}5^3 = 3{,}375\). 4. Faktor nach 5 Stunden: \(1{,}5^5 = 7{,}59375\). 5. Berechnung der Bakterienanzahl für Teil b) durch Einsetzen der Zeitwerte in Stunden in die Funktionsgleichung. 6. Nach einer halben Stunde (\(t = 0{,}5\)): \(N(0{,}5) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}5} \approx 244{,}95\). Gerundet: \(245\) Bakterien. 7. Nach 15 Minuten (\(t = 0{,}25\)): \(N(0{,}25) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}25} \approx 221{,}34\). Gerundet: \(221\) Bakterien.

a) Nach 2 Stunden: Faktor \(2{,}25\); nach 3 Stunden: Faktor \(3{,}375\); nach 5 Stunden: Faktor \(7{,}59375\). b) Nach einer halben Stunde: ca. \(245\) Bakterien; nach 15 Minuten: ca. \(221\) Bakterien.

- Wenn ein Wert sinkt, ist der Faktor kleiner als \(1\). Wie berechnest du diesen? - Für den Wert nach mehreren Jahren kannst du die Potenz des jährlichen Faktors nutzen. - Um die prozentuale Senkung über mehrere Jahre zu finden, bestimme zuerst den Anteil des Restwerts am Startwert.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors: \(q = 1 - \frac{15}{100} = 0{,}85\). 2. Wert nach \(2\) Jahren: \(12\,500 \cdot 0{,}85^2 = 9031{,}25\,\text{€}\). 3. Wert nach \(5\) Jahren: \(12\,500 \cdot 0{,}85^5 \approx 5546{,}32\,\text{€}\). 4. Gesamtfaktor für \(3\) Jahre: \(0{,}85^3 = 0{,}614125\). 5. Prozentuale Abnahme: \((1 - 0{,}614125) \cdot 100 = 38{,}5875\,\%\), gerundet \(38{,}59\,\%\).

a) \(q = 0{,}85\) b) Nach \(2\) Jahren: \(9031{,}25\,\text{€}\); nach \(5\) Jahren: ca. \(5546{,}32\,\text{€}\) c) Der Wert ist um ca. \(38{,}59\,\%\) gesunken.

- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn du den Wert eines Jahres durch den Wert des Vorjahres teilst? - Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von zum Beispiel \(1{,}05\) für die prozentuale Steigerung? - Welche Formel hilft dir, einen Wert über viele Zeitschritte hinweg zu berechnen, wenn der Faktor immer gleich bleibt?

1. Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{5125{,}00}{5000{,}00} = 1{,}025\); \(\frac{5253{,}13}{5125{,}00} \approx 1{,}025\); \(\frac{5384{,}46}{5253{,}13} \approx 1{,}025\). Damit ist der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}025\). 2. Bestimmung des Zinssatzes: Aus \(q = 1 + \frac{p}{100}\) folgt \(1{,}025 = 1 + \frac{p}{100}\), also \(p = 2{,}5\,\%\). 3. Berechnung des Kapitals nach 10 Jahren mit der Zinseszinsformel: \(K_{10} = 5000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 6400{,}42\,\text{€}\).

a) Die Quotienten ergeben jeweils etwa \(1{,}025\). b) Der Zinssatz beträgt \(p = 2{,}5\,\%\). c) Nach 10 Jahren beträgt das Kapital \(6400{,}42\,\text{€}\).

- Überlege zuerst, ob es sich um eine Zunahme oder eine Abnahme handelt. - Wie verändert ein Prozentsatz den Wert 1, wenn man ihn als Dezimalzahl ausdrückt? - Für mehrere Jahre hintereinander kannst du die Potenzschreibweise nutzen. - Der Faktor für einen längeren Zeitraum ergibt sich aus dem jährlichen Faktor hoch der Anzahl der Jahre.

1. Berechnung des Abnahmefaktors: \(q = 1 - 0{,}021 = 0{,}979\). 2. Verbrauch nach \(4\) Jahren: \(W(4) = 850 \cdot 0{,}979^4 \approx 780{,}82\,\text{GWh}\). 3. Faktor für den Zeitraum von \(10\) Jahren: \(q_{10} = 0{,}979^{10} \approx 0{,}8088\). 4. Verbrauch nach \(10\) Jahren: \(W(10) = 850 \cdot 0{,}979^{10} \approx 687{,}46\,\text{GWh}\). 5. Gesamte prozentuale Abnahme: \((1 - 0{,}979^{10}) \cdot 100\,\% \approx 19{,}12\,\%\).

a) \(q = 0{,}979\) b) ca. \(780{,}82\,\text{GWh}\) c) Faktor: ca. \(0{,}8088\); Verbrauch: ca. \(687{,}46\,\text{GWh}\) d) um ca. \(19{,}12\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Größe in der jeweiligen Spalte gesucht ist. - Stelle die Grundformel der Zinseszinsrechnung nach der gesuchten Variablen um. - Achte beim Zinssatz darauf, ob der Wachstumsfaktor \(q\) oder der Prozentsatz \(p\) berechnet werden soll. - Beim Umstellen nach dem Zinssatz musst du eine Wurzel ziehen.

1. Berechnung von \(K_6\): Einsetzen der Werte in die Formel \(K_6 = 4000 \cdot 1{,}035^6 \approx 4917{,}02\,\text{€}\). 2. Berechnung von \(K_0\): Umstellen der Formel nach \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + \frac{p}{100})^n}\). Einsetzen ergibt \(K_0 = \frac{8000}{1{,}0225^{10}} \approx 6404{,}08\,\text{€}\). 3. Berechnung von \(p\): Umstellen der Formel nach \(q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\). Einsetzen ergibt \(q = \sqrt[8]{\frac{4000}{2500}} = \sqrt[8]{1{,}6} \approx 1{,}0605\). Daraus folgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 6{,}1\,\%\).

Spalte 1: \(K_n \approx 4917{,}02\,\text{€}\) Spalte 2: \(K_0 \approx 6404{,}08\,\text{€}\) Spalte 3: \(p \approx 6{,}1\,\%\)

- Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn das Kapital jährlich um einen bestimmten Prozentsatz wächst? - Wie unterscheidet sich der Gesamtwert nach einer bestimmten Zeit vom reinen Zuwachs in einem einzelnen Jahr? - Welchen Gesamtwert muss das Konto erreichen, damit der Gewinn das vorgegebene Ziel überschreitet? - Prüfe für Teilaufgabe c) zwei aufeinanderfolgende volle Jahre in der Nähe des Zielwerts.

1. Der Wachstumsfaktor ist \(q = 1 + \frac{1{,}75}{100} = 1{,}0175\), also \(K_n = 2500 \cdot 1{,}0175^n\). 2. Nach \(5\) Jahren: \(K_5 = 2500 \cdot 1{,}0175^5 \approx 2726{,}54\,\text{€}\). 3. Nach \(10\) Jahren: \(K_{10} = 2500 \cdot 1{,}0175^{10} \approx 2973{,}61\,\text{€}\). 4. Zuwachs im \(10.\) Jahr: \(K_{10} - K_9 \approx 2973{,}61 - 2922{,}47 = 51{,}14\,\text{€}\). 5. Für einen Gesamtzuwachs von mehr als \(500\,\text{€}\) muss \(K_n > 3000\,\text{€}\) gelten. Es ist \(K_{10} \approx 2973{,}61\,\text{€} < 3000\,\text{€}\) und \(K_{11} \approx 3025{,}65\,\text{€} > 3000\,\text{€}\). Daher ist die Grenze nach \(11\) vollen Jahren erstmals überschritten.

a) Nach \(5\) Jahren beträgt das Guthaben \(2726{,}54\,\text{€}\), nach \(10\) Jahren \(2973{,}61\,\text{€}\). b) Der Zuwachs im \(10.\) Jahr beträgt \(51{,}14\,\text{€}\). c) Nach \(11\) Jahren hat sich das Kapital zum ersten Mal um mehr als \(500\,\text{€}\) erhöht.

- Stelle für beide Verträge eine passende Gleichung für das Kapital nach \(n\) Jahren auf. - Vergleiche die Ergebnisse nach \(5\) und \(15\) Jahren – was fällt dir bei der Entwicklung auf? - Warum könnte ein Vertrag mit weniger Startkapital langfristig mehr wert sein? - Wie kannst du herausfinden, wann die Werte der beiden Verträge genau gleich sind oder sich die Rangfolge umkehrt?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(K_A(n) = 4000 \cdot 1{,}03^n\) und \(K_B(n) = 4500 \cdot 1{,}02^n\). 2. Berechnung für \(n = 5\): \(K_A(5) = 4000 \cdot 1{,}03^5 \approx 4637{,}10\,\text{€}\) und \(K_B(5) = 4500 \cdot 1{,}02^5 \approx 4968{,}36\,\text{€}\). 3. Berechnung für \(n = 15\): \(K_A(15) = 4000 \cdot 1{,}03^{15} \approx 6231{,}87\,\text{€}\) und \(K_B(15) = 4500 \cdot 1{,}02^{15} \approx 6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist nun höher. 4. Bestimmung des Schnittpunkts: \(4000 \cdot 1{,}03^n > 4500 \cdot 1{,}02^n \Rightarrow (\frac{1{,}03}{1{,}02})^n > \frac{4500}{4000} \Rightarrow 1{,}009804^n > 1{,}125\). 5. Durch Probieren: Für \(n = 12\) ist \(K_A(12) \approx 5703{,}04\) und \(K_B(12) \approx 5707{,}08\). Für \(n = 13\) ist \(K_A(13) \approx 5874{,}13\) und \(K_B(13) \approx 5821{,}23\). 6. Ergebnis: Nach \(13\) Jahren überholt Vertrag A den Vertrag B.

a) Nach \(5\) Jahren: Vertrag A \(\approx 4637{,}10\,\text{€}\), Vertrag B \(\approx 4968{,}36\,\text{€}\). b) Nach \(15\) Jahren: Vertrag A \(\approx 6231{,}87\,\text{€}\), Vertrag B \(\approx 6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist höher. c) Nach \(13\) Jahren ist der Kontostand von Vertrag A zum ersten Mal höher als der von Vertrag B.

- Wie berechnet man den Wachstumsfaktor aus einer prozentualen Zunahme? - Welche Formel hilft dir, den Endwert nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten direkt zu bestimmen? - Denk daran, dass bei Lebewesen das Runden auf ganze Zahlen am Ende der Rechnung sinnvoll ist. - Was bedeutet „Differenz“ mathematisch für den Vergleich zweier Ergebnisse?

1. Die Wachstumsfaktoren sind \(q_1 = 1{,}06\) und \(q_2 = 1{,}035\). 2. Szenario A: \(N_1(5) \approx 1606\), \(N_1(10) \approx 2149\), \(N_1(15) \approx 2876\). 3. Szenario B: \(N_2(5) \approx 1425\), \(N_2(10) \approx 1693\), \(N_2(15) \approx 2010\). 4. Die Differenz nach \(15\) Jahren wird vor dem Runden berechnet: \(1200 \cdot 1{,}06^{15} - 1200 \cdot 1{,}035^{15} \approx 865{,}45\). Gerundet beträgt der Unterschied \(865\) Tiere.

a) Nach \(5\) Jahren: ca. \(1606\) Tiere; nach \(10\) Jahren: ca. \(2149\) Tiere; nach \(15\) Jahren: ca. \(2876\) Tiere. b) Nach \(5\) Jahren: ca. \(1425\) Tiere; nach \(10\) Jahren: ca. \(1693\) Tiere; nach \(15\) Jahren: ca. \(2010\) Tiere. c) Der Unterschied beträgt gerundet \(865\) Tiere.

- Erinnere dich an die Zinseszinsformel. - Wie wirkt sich ein kleiner Unterschied im Zinssatz über eine lange Zeit (z. B. 20 Jahre) aus? - Achte bei Geldbeträgen darauf, das Ergebnis kaufmännisch auf zwei Dezimalstellen zu runden. - Welche Rechenoperation führt dich zum Vergleich der beiden Endsummen?

1. Berechnung der Wachstumsfaktoren: Bank A \(q_1 = 1{,}032\); Bank B \(q_2 = 1{,}021\). 2. Kapitalentwicklung Bank A: \(K_A(10) = 30\,000 \cdot 1{,}032^{10} \approx 41\,107{,}23\,\text{€}\); \(K_A(20) = 30\,000 \cdot 1{,}032^{20} \approx 56\,326{,}82\,\text{€}\). 3. Kapitalentwicklung Bank B: \(K_B(10) = 30\,000 \cdot 1{,}021^{10} \approx 36\,929{,}95\,\text{€}\); \(K_B(20) = 30\,000 \cdot 1{,}021^{20} \approx 45\,460{,}70\,\text{€}\). 4. Berechnung des Vorteils (Differenz) nach 20 Jahren: \(56\,326{,}82\,\text{€} - 45\,460{,}70\,\text{€} = 10\,866{,}12\,\text{€}\).

a) Nach \(10\) Jahren: \(41\,107{,}23\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren: \(56\,326{,}82\,\text{€}\). b) Nach \(10\) Jahren: \(36\,929{,}95\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren: \(45\,460{,}70\,\text{€}\). c) Der finanzielle Vorteil beträgt \(10\,866{,}12\,\text{€}\).

- Was bleibt von \(100\,\%\) übrig, wenn man \(12\,\%\) wegnimmt? - Achte darauf, dass die Intensität in jedem Meter vom neuen Wert aus berechnet wird, nicht immer vom Startwert. - Vergleiche das Ergebnis einer schrittweisen (exponentiellen) Abnahme mit einer einfachen Multiplikation der Prozentzahl.

1. Der Abnahmefaktor \(q\) gibt an, welcher Anteil nach einem Schritt verbleibt. Bei einer Abnahme um \(p\,\%\) bleiben \((100 - p)\,\%\) übrig, also \(q = 1 - \frac{p}{100}\). Hier: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Berechnung der Intensitäten mit \(I(d) = 100\,\% \cdot 0{,}88^d\). 3. In \(2\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^2 = 77{,}44\,\%\). 4. In \(5\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^5 \approx 52{,}77\,\%\). 5. In \(10\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^{10} \approx 27{,}85\,\%\). 6. Stellungnahme: Die Behauptung des Tauchers ist falsch, da er fälschlicherweise von einer linearen Abnahme ausgeht (\(5 \cdot 12\,\% = 60\,\%\)). Bei exponentieller Abnahme wird die Verringerung jedoch immer auf den bereits reduzierten Wert angewendet. Nach \(5\,\text{m}\) sind noch ca. \(52{,}77\,\%\) vorhanden, die Intensität ist also nur um ca. \(47{,}23\,\%\) gesunken.

a) \(q = 0{,}88\). Der Faktor entspricht dem verbleibenden Anteil (\(100\,\% - 12\,\% = 88\,\%\)). b) \(2\,\text{m}\): \(77{,}44\,\%\); \(5\,\text{m}\): ca. \(52{,}77\,\%\); \(10\,\text{m}\): ca. \(27{,}85\,\%\). c) Die Aussage ist falsch. Eine Abnahme um \(60\,\%\) würde bedeuten, dass noch \(40\,\%\) vorhanden sind. Tatsächlich sind es aber ca. \(52{,}77\,\%\), da sich die \(12\,\%\) immer auf den Restwert der vorherigen Tiefe beziehen.

- Unterscheide zwischen prozentualer Zunahme und dem Wachstumsfaktor. - Wie sieht die allgemeine Form einer Exponentialfunktion aus? - Setze den gegebenen Zeitwert in deine Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b\): Bei einer Zunahme von \(22\,\%\) ist \(b = 1 + 0{,}22 = 1{,}22\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(A_0 = 0{,}5\): \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\). 3. Berechnung der Fläche für \(t = 5\): \(A(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^5\). 4. Berechnung des Werts: \(0{,}5 \cdot 2{,}7027\dots \approx 1{,}3513\dots\). 5. Gerundetes Endergebnis: \(1{,}35\,\text{m}^2\).

a) \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\) b) Nach 5 Wochen sind ca. \(1{,}35\,\text{m}^2\) bedeckt.

- Überlege zuerst, welcher Faktor einer Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz entspricht. - Wie verändert sich dieser Faktor, wenn der Vorgang mehrfach hintereinander abläuft? - Für den Aufgabenteil c) kannst du entweder systematisch probieren oder eine Gleichung mithilfe von Logarithmen lösen.

1. Der Abnahmefaktor pro Schicht beträgt \(q = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\). 2. Berechnung für \(4\) Schichten: \(0{,}82^4 \approx 0{,}4521\). Die Konzentration sinkt auf etwa \(45{,}2\,\%\). 3. Abnahmefaktoren: Pro Schicht \(q_1 = 0{,}82\); für \(2\) Schichten \(q_2 = 0{,}82^2 = 0{,}6724\); für \(5\) Schichten \(q_5 = 0{,}82^5 \approx 0{,}3707\). 4. Bestimmung der Schichtanzahl \(n\): \(0{,}82^n < 0{,}1\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}82)} \approx 11{,}6\). Es sind somit mindestens \(12\) Schichten erforderlich.

a) ca. \(45{,}2\,\%\) b) Für \(1\) Filterschicht: \(0{,}82\); für \(2\) Filterschichten: \(0{,}6724\); für \(5\) Filterschichten: ca. \(0{,}371\) c) Mindestens \(12\) Schichten

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor die Menge jede Stunde multipliziert werden muss, wenn \(20\,\%\) verloren gehen. - Wie verändert sich dieser Faktor, wenn man den Vorgang mehrmals hintereinander betrachtet? - Ein Viertel der Anfangsmenge bedeutet, dass der Anteil der verbleibenden Menge \(0{,}25\) beträgt. - Du kannst die gesuchte Zeit durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner finden.

1. Mit dem Anfangswert \(A_0 = 120\) und dem Abnahmefaktor \(q = 0{,}8\) gilt \(A(t) = 120 \cdot 0{,}8^t\). 2. Nach \(3\) Stunden: \(A(3) = 120 \cdot 0{,}8^3 = 61{,}44\,\text{mg}\). 3. Der Zerfallsfaktor für \(4\) Stunden beträgt \(0{,}8^4 = 0{,}4096\). 4. Ein Viertel der Anfangsmenge sind \(30\,\text{mg}\). Es gilt: \(A(6) = 120 \cdot 0{,}8^6 \approx 31{,}46\,\text{mg} > 30\,\text{mg}\), \(A(7) = 120 \cdot 0{,}8^7 \approx 25{,}17\,\text{mg} < 30\,\text{mg}\). Damit ist die Menge nach \(7\) Stunden erstmals geringer als ein Viertel der Anfangsmenge.

a) Nach \(3\,\text{Stunden}\) sind noch \(61{,}44\,\text{mg}\) vorhanden. b) Der Zerfallsfaktor für \(4\,\text{Stunden}\) beträgt \(0{,}4096\). c) Nach \(7\,\text{Stunden}\) ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel (\(30\,\text{mg}\)).

- Wenn ein Wert um einen Prozentsatz sinkt, berechnet man den neuen Wert durch Multiplikation mit einem Faktor kleiner als 1. - Der Zerfallsfaktor für längere Zeiträume lässt sich durch Potenzieren des täglichen Faktors bestimmen. - Beachte, dass sich die \(12\,\%\) am zweiten Tag auf den bereits reduzierten Wert des ersten Tages beziehen, nicht auf den Startwert.

1. Täglicher Zerfallsfaktor: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Schadstoffgehalt nach \(5\,\text{Tagen}\): \(250 \cdot 0{,}88^5 \approx 250 \cdot 0{,}52773 \approx 131{,}93\). Der Gehalt beträgt ca. \(131{,}93\,\text{mg/l}\). 3. Zerfallsfaktor für eine Woche: \(q^7 = 0{,}88^7 \approx 0{,}4087\). 4. Überprüfung der Aussage: Nach zwei Tagen beträgt der verbleibende Anteil \(q^2 = 0{,}88^2 = 0{,}7744\). Dies entspricht einer Senkung um \(1 - 0{,}7744 = 0{,}2256\), also \(22{,}56\,\%\). Da \(22{,}56\,\% \neq 24\,\%\), ist die Aussage falsch.

a) Nach \(5\,\text{Tagen}\) beträgt der Schadstoffgehalt ca. \(131{,}93\,\text{mg/l}\). b) Der tägliche Zerfallsfaktor ist \(q = 0{,}88\); für eine Woche beträgt er ca. \(0{,}4087\). c) Die tatsächliche Reduktion nach zwei Tagen beträgt nur \(22{,}56\,\%\), da die Abnahme an jedem Tag vom jeweils aktuellen Bestand berechnet wird.

- Welchen Faktor musst du verwenden, wenn ein Wert auf \(80\,\%\) sinkt? - Wie oft musst du diesen Faktor anwenden, um die Höhe nach dem 3. Sprung zu finden? - Wie viele Zentimeter sind ein Meter? - Setze den Näherungswert für die Potenz in deine Formel ein, um die Schätzung zu erhalten.

1. Identifikation des Höhenfaktors: Eine Höhe von \(80\,\%\) entspricht dem Faktor \(q = 0{,}8\). Der Startwert ist \(h_0 = 2{,}50\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): - Nach dem 3. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^3 = 128\,\text{cm} = 1{,}28\,\text{m}\). - Nach dem 4. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^4 = 102{,}4\,\text{cm} = 1{,}024\,\text{m}\). - Nach dem 6. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^6 \approx 65{,}54\,\text{cm} \approx 0{,}655\,\text{m}\). 3. Schätzung für Teilaufgabe b): Die Höhe nach dem 10. Aufprall ist \(2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}8^{10}\). Mit der Näherung \(0{,}8^{10} \approx 0{,}1\) ergibt sich \(2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}1 = 0{,}25\,\text{m} = 25\,\text{cm}\).

a) 3. Aufprall: \(1{,}28\,\text{m}\) (\(128\,\text{cm}\)); 4. Aufprall: \(1{,}024\,\text{m}\) (\(102{,}4\,\text{cm}\)); 6. Aufprall: ca. \(0{,}655\,\text{m}\) (\(65{,}54\,\text{cm}\)). b) Nach dem 10. Aufprall erreicht der Ball noch eine Höhe von etwa \(0{,}25\,\text{m}\) (bzw. \(25\,\text{cm}\)).

- Überlege dir, wie du den neuen Funktionswert \(f(x+h)\) mithilfe der Potenzgesetze umschreiben kannst. - Welcher Teil des Terms entspricht dem ursprünglichen \(f(x)\) und was bleibt als Faktor übrig? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent oder ein Bruch als Exponent bedeutet.

1. Für eine Zunahme von \(x\) um \(h\) gilt allgemein \(f(x+h) = 5 \cdot 3^{x+h} = 5 \cdot 3^x \cdot 3^h = f(x) \cdot 3^h\). Der Änderungsfaktor ist also \(3^h\). 2. Zu a): Bei \(h = 1\) ergibt sich der Faktor \(3^1 = 3\). 3. Zu b): Bei \(h = 4\) ergibt sich der Faktor \(3^4 = 81\). 4. Zu c): Bei einer Verkleinerung um \(2\) ist \(h = -2\). Der Faktor ist \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 5. Zu d): Bei \(h = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(3^{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

a) Faktor \(3\) b) Faktor \(81\) c) Faktor \(\frac{1}{9}\) d) Faktor \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)

- Wie hängt der Wachstumsfaktor in der Funktionsgleichung mit der täglichen prozentualen Zunahme zusammen? - Wenn zwei Tage vergehen, wird der Wachstumsfaktor zweimal angewendet. Wie berechnet man das? - Ein halber Tag entspricht dem Exponenten \(0{,}5\). Wie kannst du diesen Faktor berechnen?

1. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}15^h\), wobei \(h\) die Zeitdifferenz ist. Die Änderung in Prozent ist \((q - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Zu a): Für \(h = 1\) ist der Faktor \(1{,}15^1 = 1{,}15\). Dies entspricht einer Zunahme von \(15\,\%\). 3. Zu b): Für \(h = 2\) ist der Faktor \(1{,}15^2 = 1{,}3225\). Dies entspricht einer Zunahme von \(32{,}25\,\%\), gerundet \(32{,}3\,\%\). 4. Zu c): Für \(h = 0{,}5\) ist der Faktor \(1{,}15^{0{,}5} = \sqrt{1{,}15} \approx 1{,}07238\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(7{,}2\,\%\).

a) Zunahme um \(15\,\%\) b) Zunahme um ca. \(32{,}3\,\%\) c) Zunahme um ca. \(7{,}2\,\%\)

- Überlege dir, wie man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Werte berechnet. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (wie \(0{,}5\)) als Wurzeln schreiben kann. - Wenn du eine Gleichung wie \(4^s = 32\) lösen möchtest, hilft es oft, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) darzustellen. - Was passiert mit dem Exponenten in der Funktionsgleichung, wenn du \(x\) durch \(x+s\) ersetzt?

1. Für \(x = 0\) ergibt sich \(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{4^1}{4^0} = \frac{4}{1} = 4\). Für \(x = 2\) ergibt sich \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{4^3}{4^2} = \frac{64}{16} = 4\). Das Verhältnis ist konstant und entspricht der Basis der Funktion. 2. Bei einer Erhöhung um \(s = 1{,}5\) wird der Funktionswert mit \(4^{1{,}5}\) multipliziert. Da \(4^{1{,}5} = 4^1 \cdot 4^{0{,}5} = 4 \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\), beträgt der Faktor \(8\). 3. Gesucht ist \(s\) mit \(4^s = 32\). Durch Umschreiben zur Basis \(2\) erhält man \((2^2)^s = 2^5\), also \(2^{2s} = 2^5\). Der Exponentenvergleich liefert \(2s = 5\), woraus \(s = 2{,}5\) folgt. 4. Der allgemeine Wachstumsfaktor für eine Schrittweite \(s\) lautet \(a^s\).

1. Das Verhältnis ist in beiden Fällen \(4\). 2. Der Faktor ist \(8\). 3. Die Schrittweite beträgt \(s = 2{,}5\). 4. Der Faktor lautet \(a^s\).

- Wie rechnet man eine prozentuale Abnahme in einen Multiplikationsfaktor um? - Wenn etwas mehrmals hintereinander um denselben Faktor abnimmt, welche Rechenoperation nutzt man für die Zeitdauer im Exponenten? - Beachte den Unterschied zwischen dem „noch vorhandenen Wert“ (Faktor) und dem „Verlust“ (Differenz zu \(100\,\%\)). - Überlege dir, ob sich die \(10\,\%\) jedes Jahr auf die gleiche Ausgangszahl beziehen oder auf den jeweils neuen, kleineren Wert.

1. Eine Abnahme um \(10\,\%\) entspricht einem Abnahmefaktor von \(q = 1 - 0{,}10 = 0{,}9\). 2. Nach \(5\) Jahren wird der Bestand mit \(q^5 = 0{,}9^5\) multipliziert. \(0{,}9^5 = 0{,}59049\). Dies entspricht etwa \(59{,}05\,\%\) des ursprünglichen Bestands. 3. Nach \(10\) Jahren gilt der Faktor \(q^{10} = 0{,}9^{10} = (0{,}9^5)^2 \approx 0{,}348678\). 4. Prozentualer Verlust nach \(5\) Jahren: \(100\,\% - 59{,}05\,\% = 40{,}95\,\%\). Prozentualer Verlust nach \(10\) Jahren: \(100\,\% - 34{,}87\,\% = 65{,}13\,\%\). Da \(65{,}13\,\% \neq 2 \cdot 40{,}95\,\% = 81{,}9\,\%\), ist die Aussage falsch. Der Verlust verdoppelt sich nicht, da sich die \(10\,\%\) Abnahme in den Folgejahren immer auf den bereits verminderten Bestand beziehen.

1. \(q = 0{,}9\) 2. Es sind noch ca. \(59{,}05\,\%\) vorhanden. 3. Der Faktor beträgt ca. \(0{,}3487\). 4. Die Aussage ist falsch. Der Verlust nach \(5\) Jahren beträgt ca. \(40{,}95\,\%\), nach \(10\) Jahren jedoch nur ca. \(65{,}13\,\%\) (und nicht \(81{,}9\,\%\)).

- Überlege dir, welche Rechenregel für Potenzen gilt, wenn man im Exponenten zwei Zahlen addiert. - Wenn ein Wert mit dem Faktor \(n\) multipliziert wird, wie berechnest du daraus die prozentuale Steigerung oder Abnahme? - Ein Exponent von \(0{,}5\) ist das Gleiche wie das Ziehen einer Quadratwurzel. - Eine Verringerung von \(x\) bedeutet, dass du eine negative Zahl für die Änderung einsetzt.

1. Für die Änderung des Funktionswertes bei einer Addition von \(k\) zum Argument \(x\) gilt allgemein: \(f(x+k) = a^{x+k} = a^k \cdot a^x = a^k \cdot f(x)\). Der Faktor, um den sich der Wert ändert, ist also \(1{,}44^k\). 2. Zu a): Für \(k = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{0{,}5} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Dies entspricht einer Zunahme von \(20\,\%\). 3. Zu b): Für \(k = 2\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^2 = 2{,}0736\). Dies entspricht einer Zunahme von \(107{,}36\,\%\). 4. Zu c): Für \(k = -1\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{-1} = \frac{1}{1{,}44} \approx 0{,}6944\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \(0{,}6944 - 1 = -0{,}3056\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}6\,\%\) entspricht.

a) Der Funktionswert nimmt um \(20\,\%\) zu. b) Der Funktionswert nimmt um \(107{,}36\,\%\) zu. c) Der Funktionswert nimmt um ca. \(30{,}6\,\%\) ab.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du das Argument um einen festen Wert veränderst? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis. - Überlege, wie man Brüche vereinfacht, in denen Potenzen vorkommen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „unabhängig von \(x\)“ sein soll?

1. Einsetzen der Funktionsvorschrift in das Verhältnis: \(\frac{f(x-4)}{f(x)} = \frac{c \cdot a^{x-4}}{c \cdot a^x}\). Durch Kürzen von \(c\) und Anwenden der Potenzgesetze (\(a^n : a^m = a^{n-m}\)) folgt: \(a^{(x-4)-x} = a^{-4}\). Alternativ lässt sich dies als \(\frac{1}{a^4}\) schreiben. Da dieser Ausdruck nicht mehr von \(x\) abhängt, ist das Verhältnis konstant. 2. Einsetzen von \(a = 0{,}8\): \(0{,}8^{-4} = \frac{1}{0{,}8^4}\). Berechnung des Nenners: \(0{,}8^4 = 0{,}4096\). Damit ergibt sich der Wert \(\frac{1}{0{,}4096} = 2{,}44140625\).

1. \(\frac{f(x-4)}{f(x)} = a^{-4}\) oder \(\frac{1}{a^4}\) 2. \(2{,}44140625\)

- Wenn eine Erhöhung um einen bestimmten Wert einer Multiplikation entspricht, welcher Operation entspricht dann eine Verminderung? - Du musst den Wachstumsfaktor \(a\) nicht unbedingt einzeln ausrechnen, um das Problem zu lösen. - Wie hängen die Faktoren für einen Schritt vorwärts und einen Schritt rückwärts zusammen? - Kannst du den Zusammenhang zwischen \(f(t)\) und \(f(t+2)\) als Gleichung aufschreiben?

1. Aus der Information, dass sich der Bestand bei einer Zunahme von \(t\) um \(2\) vervierfacht, folgt für den Wachstumsfaktor \(a\): \(f(t+2) = f(t) \cdot a^2 = 4 \cdot f(t)\). Daraus ergibt sich direkt \(a^2 = 4\). 2. Für eine Verminderung der Zeit um \(2\) Einheiten gilt bei Exponentialfunktionen: \(f(t-2) = f(t) \cdot a^{-2} = f(t) \cdot \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Einsetzen von \(a^2 = 4\) in die Beziehung für den verminderten Zeitpunkt erhält man: \(f(t-2) = f(t) \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25 \cdot f(t)\).

\(f(t-2) = 0{,}25 \cdot f(t)\)

- Setze für \(x\) den Term \(x + \frac{1}{3}\) in die Klammer im Exponenten ein. - Achte beim Auflösen der Klammer im Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den Faktor vor dem \(x\). - Wie lässt sich eine negative Potenz wie \(2^{-1}\) als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Was bleibt übrig, wenn du den neuen Funktionsterm durch den alten teilst?

1. Einsetzen des neuen Arguments \(x + \frac{1}{3}\) in die Funktionsgleichung: \(h(x + \frac{1}{3}) = 5 \cdot 2^{-3(x + \frac{1}{3})}\). 2. Vereinfachung des Exponenten durch Ausmultiplizieren: \(-3x - 3 \cdot \frac{1}{3} = -3x - 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze zur Trennung der Terme: \(5 \cdot 2^{-3x} \cdot 2^{-1}\). 4. Identifikation des Faktors als \(2^{-1}\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Identifiziere den Startwert und den Faktor, mit dem der Bestand pro Zeitschritt multipliziert wird. - Setze die gesuchten Zeitpunkte für die Variable in deine Funktionsgleichung ein. - Da es sich um Lebewesen handelt, solltest du das Endergebnis auf ganze Zahlen runden.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(B(0) = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}4\) ergibt sich die Gleichung \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). 2. Berechnung für \(t = 5\): \(B(5) = 250 \cdot 1{,}4^5 = 250 \cdot 5{,}37824 = 1344{,}56\). Gerundet sind dies ca. \(1345\) Pflanzen. 3. Berechnung für \(t = 10\): \(B(10) = 250 \cdot 1{,}4^{10} \approx 250 \cdot 28{,}925465 = 7231{,}366\). Gerundet sind dies ca. \(7231\) Pflanzen.

Die Funktionsgleichung lautet \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). Nach 5 Jahren sind etwa \(1345\) Pflanzen vorhanden, nach 10 Jahren sind es etwa \(7231\) Pflanzen.

- Welche Zahl musst du fünfmal mit sich selbst multiplizieren, um das Verhältnis der Endanzahl zur Anfangsanzahl zu erhalten? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und die prozentuale Steigerung zusammen?

1. Teil a: Werte in die Formel einsetzen: \(10\,000 = 1200 \cdot q^5\). 2. Division durch \(1200\): \(q^5 = \frac{10000}{1200} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8{,}3333\). 3. Ziehen der 5. Wurzel: \(q = \sqrt[5]{\frac{25}{3}} \approx 1{,}528\). 4. Teil b: Die Zuwachsrate berechnet sich aus \(q - 1\). 5. Berechnung: \(1{,}528 - 1 = 0{,}528\). 6. Umrechnung in Prozent: \(0{,}528 \cdot 100\,\% = 52{,}8\,\%\).

a) Der Wachstumsfaktor beträgt \(q \approx 1{,}528\). b) Die stündliche Zuwachsrate beträgt \(52{,}8\,\%\).

- Welche Gleichung beschreibt eine wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor? - Wie kannst du eine vierte Wurzel ziehen, wenn dein Taschenrechner nur eine Quadratwurzeltaste hat? - Musst du für Teilaufgabe b) den gerundeten Wert von \(k\) verwenden oder gibt es einen exakteren Weg über \(k^2\)?

1. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt nach vier Schritten: \(A_4 = A_0 k^4\). 2. Einsetzen der Werte: \(400 = 2500 \cdot k^4\). 3. Auflösen nach \(k^4\): \(k^4 = \frac{400}{2500} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 4. Berechnen von \(k\): \(k = \sqrt[4]{0{,}16} = \sqrt{\sqrt{0{,}16}} = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}6325\). 5. Berechnung des Flächeninhalts nach dem zweiten Schritt: \(A_2 = A_0 k^2\). 6. Da \(k^2 = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4\), folgt: \(A_2 = 2500 \cdot 0{,}4 = 1000\,\text{cm}^2\).

a) Der Faktor beträgt \(k \approx 0{,}6325\). b) Nach dem zweiten Schritt betrug der Flächeninhalt \(1000\,\text{cm}^2\).

- Wie bestimmt man den Wachstumsfaktor \(q\), wenn eine prozentuale Zunahme gegeben ist? - Welche Zahl musst du für \(t\) einsetzen, wenn der Zeitraum in Monaten angegeben ist, die Einheit von \(t\) aber Jahre sind? - Überlege dir, ob der Faktor für den Gesamtwert nur von der Zeitspanne oder auch vom Startwert abhängt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Bei einer Steigerung von \(6\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\). Mit \(W_0 = 500\) folgt \(W(t) = 500 \cdot 1{,}06^t\). 2. Bestimmung der Wachstumsfaktoren für Zeiträume \(\Delta t\): 3. Faktor nach 2 Jahren: \(1{,}06^2 = 1{,}1236\). 4. Faktor nach 5 Jahren: \(1{,}06^5 \approx 1{,}3382\). 5. Faktor nach 10 Jahren: \(1{,}06^{10} \approx 1{,}7908\). 6. Berechnung der Werte für Teil b) durch Einsetzen der entsprechenden Jahresanteile für \(t\). 7. Nach 3 Monaten (\(t = \frac{3}{12} = 0{,}25\)): \(W(0{,}25) = 500 \cdot 1{,}06^{0{,}25} \approx 507{,}34\,\text{€}\). 8. Nach \(1{,}5\) Jahren (\(t = 1{,}5\)): \(W(1{,}5) = 500 \cdot 1{,}06^{1{,}5} \approx 545{,}67\,\text{€}\).

a) \(W(t) = 500 \cdot 1{,}06^t\). Faktoren: nach 2 Jahren \(1{,}1236\); nach 5 Jahren ca. \(1{,}3382\); nach 10 Jahren ca. \(1{,}7908\). b) Nach 3 Monaten: \(507{,}34\,\text{€}\); nach \(1{,}5\) Jahren: \(545{,}67\,\text{€}\).

- Stelle die Funktionsgleichung für den Luftdruck in Abhängigkeit von der Anzahl der Kilometer über dem Meeresspiegel auf. - Beachte bei Teil b), dass \(500\,\text{m}\) genau der Hälfte des Standardschrittes von \(1000\,\text{m}\) entsprechen. - Für die Frage nach der Halbierung suchst du den Wert der Variable, bei dem das Ergebnis \(0{,}5\) des Startwerts ist.

1. Der Abnahmefaktor pro \(1000\,\text{m}\) ist \(q = 0{,}88\). 2. Für \(3000\,\text{m}\) (\(3\) Einheiten à \(1000\,\text{m}\)) gilt: \(0{,}88^3 = 0{,}681472\). Es sind noch ca. \(68{,}1\,\%\) vorhanden. 3. Faktoren bestimmen: Für \(1000\,\text{m}\) ist \(q = 0{,}88\); für \(500\,\text{m}\) ist \(q_{500} = 0{,}88^{0{,}5} = \sqrt{0{,}88} \approx 0{,}9381\); für \(5000\,\text{m}\) ist \(q_5 = 0{,}88^5 \approx 0{,}5277\). 4. Halbwertshöhe berechnen: \(0{,}88^x = 0{,}5\). Lösung mittels Logarithmus: \(x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)} \approx 5{,}422\). Da \(x\) in Einheiten von \(1000\,\text{m}\) gemessen wird, beträgt die Höhe ca. \(5422\,\text{m}\).

a) ca. \(68{,}1\,\%\) b) Faktor \(1000\,\text{m}\): \(0{,}88\); Faktor \(500\,\text{m}\): ca. \(0{,}938\); Faktor \(5000\,\text{m}\): ca. \(0{,}528\) c) In ca. \(5422\,\text{m}\) Höhe

- Überlege zuerst, wie groß der Unterschied zwischen Kakao und Raumtemperatur zu Beginn ist. - Wenn eine Größe um einen Prozentsatz abnimmt, mit welchem Faktor musst du dann multiplizieren? - Unterscheide zwischen dem Temperaturunterschied und der tatsächlichen Temperatur des Getränks. - Für die Zeitdauer kannst du verschiedene Werte in deine Formel einsetzen, bis das Ergebnis unter den gesuchten Wert fällt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den Temperaturunterschied: Der Anfangsunterschied beträgt \(D_0 = 80 - 20 = 60\). Die Abnahme um \(12\,\%\) entspricht einem Abnahmefaktor von \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Somit gilt \(f(x) = 60 \cdot 0{,}88^x\). 2. Berechnung der Unterschiede: Nach \(5\) Minuten: \(f(5) = 60 \cdot 0{,}88^5 \approx 31{,}66\,^\circ\text{C}\). Nach \(15\) Minuten: \(f(15) = 60 \cdot 0{,}88^{15} \approx 8{,}82\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der Kakaotemperatur nach \(10\) Minuten: Der Unterschied ist \(f(10) = 60 \cdot 0{,}88^{10} \approx 16{,}71\,^\circ\text{C}\). Die Temperatur des Kakaos beträgt somit \(20 + 16{,}71 = 36{,}71\,^\circ\text{C}\). 4. Für einen Temperaturunterschied unter \(5\,^\circ\text{C}\) gilt \(60 \cdot 0{,}88^x < 5\). Daraus folgt \(x > \frac{\ln(5/60)}{\ln(0{,}88)} \approx 19{,}44\). Der Unterschied unterschreitet \(5\,^\circ\text{C}\) somit nach etwas mehr als \(19{,}44\) Minuten. Bei Messungen nur zu ganzzahligen Minuten ist dies erstmals nach \(20\) Minuten der Fall.

a) \(f(x) = 60 \cdot 0{,}88^x\) b) Nach \(5\) Minuten: ca. \(31{,}66\,^\circ\text{C}\); nach \(15\) Minuten: ca. \(8{,}82\,^\circ\text{C}\). c) Ca. \(36{,}71\,^\circ\text{C}\). d) Nach etwas mehr als \(19{,}44\) Minuten; bei ganzzahligen Messzeitpunkten erstmals nach \(20\) Minuten.

- Welcher Abnahmefaktor \(q\) entspricht einer Abnahme von \(15\,\%\)? - Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(W(t) = W_0 \cdot q^t\) auf. - Für welche Teilaufgabe musst du den Funktionswert berechnen und für welche den Exponenten bestimmen? - Erinnere dich an den Logarithmus, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den Bestand \(W(t)\) nach \(t\) Stunden: \(W(t) = 400 \cdot 0{,}85^t\). 2. Berechnung für \(t=2\): \(W(2) = 400 \cdot 0{,}85^2 = 289\,\text{mg}\). 3. Berechnung für \(t=5\): \(W(5) = 400 \cdot 0{,}85^5 \approx 177{,}48\,\text{mg}\). 4. Berechnung für \(t=10\): \(W(10) = 400 \cdot 0{,}85^{10} \approx 78{,}75\,\text{mg}\). 5. Lösen der Gleichung \(400 \cdot 0{,}85^t = 100\) nach \(t\): \(0{,}85^t = 0{,}25 \Rightarrow t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)} \approx 8{,}53\,\text{Stunden}\). 6. Lösen der Gleichung \(400 \cdot 0{,}85^t = 40\) bzw. \(0{,}85^t = 0{,}1\) nach \(t\): \(t = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)} \approx 14{,}17\,\text{Stunden}\).

a) Nach \(2\) Stunden: \(289\,\text{mg}\); nach \(5\) Stunden: ca. \(177{,}48\,\text{mg}\); nach \(10\) Stunden: ca. \(78{,}75\,\text{mg}\). b) Nach ca. \(8{,}53\) Stunden. c) Nach ca. \(14{,}17\) Stunden.

- Wie hängt der Wachstumsfaktor mit der prozentualen Zunahme oder Abnahme zusammen? - Wenn der Faktor kleiner als 1 ist, handelt es sich um eine Abnahme. - Überlege, wie du den Faktor für einen negativen Schritt oder einen halben Schritt berechnest. - Die Formel für den neuen Wert lautet \(g(x+h) = g(x) \cdot 0{,}8^h\).

1. Der Änderungsfaktor für einen Schritt der Länge \(h\) beträgt \(0{,}8^h\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \((0{,}8^h - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Schrittweite \(h = 1\): \(0{,}8^1 = 0{,}8\). Änderung: \((0{,}8 - 1) \cdot 100\,\% = -20\,\%\). 3. Schrittweite \(h = 2\): \(0{,}8^2 = 0{,}64\). Änderung: \((0{,}64 - 1) \cdot 100\,\% = -36\,\%\). 4. Schrittweite \(h = -1\): \(0{,}8^{-1} = 1{,}25\). Änderung: \((1{,}25 - 1) \cdot 100\,\% = +25\,\%\). 5. Schrittweite \(h = 0{,}5\): \(0{,}8^{0{,}5} \approx 0{,}8944\). Änderung: \((0{,}8944 - 1) \cdot 100\,\% \approx -10{,}6\,\%\).

(1) Abnahme um \(20\,\%\) (2) Abnahme um \(36\,\%\) (3) Zunahme um \(25\,\%\) (4) Abnahme um ca. \(10{,}6\,\%\)

- Der Wachstums- oder Zerfallsfaktor pro Schritt \(x\) ist die Basis der Funktion. Wie wirkt sich das auf mehrere Schritte aus? - Erinnere dich: Eine Multiplikation mit einem Faktor kleiner als 1 bedeutet eine prozentuale Abnahme. Wie rechnet man das um? - Für den letzten Aufgabenteil hilft das Potenzgesetz \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Zu a): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\) wird der Funktionswert mit dem Faktor \(0{,}75^2\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^2 = 0{,}5625\). 2. Zu b): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) wird der Wert mit \(0{,}75^3\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^3 = 0{,}421875\). Die prozentuale Abnahme ist \(1 - 0{,}421875 = 0{,}578125\), also ca. \(57{,}81\,\%\). 3. Zu c): Wird \(x\) verdoppelt, betrachten wir \(g(2x) = 0{,}75^{2x}\). Nach den Potenzgesetzen gilt \(0{,}75^{2x} = (0{,}75^x)^2\). Da \(y = 0{,}75^x\) ist, gilt \(g(2x) = y^2\). Der Funktionswert wird also quadriert.

a) Der Funktionswert ändert sich um den Faktor \(0{,}5625\). b) Der Funktionswert nimmt um \(57{,}8125\,\%\) ab. c) Der Funktionswert wird quadriert (\(y_{neu} = y^2\)).

- Wie bestimmt man den Wachstumsfaktor \(q\) aus einer prozentualen Zunahme? - Wie sieht die allgemeine Form einer Exponentialfunktion für Wachstumsprozesse aus? - Um nach der Zeit zu suchen, musst du die Gleichung so umstellen, dass die Potenz allein auf einer Seite steht. - Welche mathematische Funktion benötigst du, um den Exponenten \(t\) zu isolieren?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(B_0 = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}12 = 1{,}12\) ergibt sich \(B(t) = 250 \cdot 1{,}12^t\). 2. Einsetzen der Zeitpunkte in die Funktionsgleichung: \(B(1) = 250 \cdot 1{,}12 = 280\) \(B(3{,}5) = 250 \cdot 1{,}12^{3{,}5} \approx 371{,}71 \approx 372\) \(B(8) = 250 \cdot 1{,}12^8 \approx 618{,}99 \approx 619\) \(B(12{,}5) = 250 \cdot 1{,}12^{12{,}5} \approx 1030{,}78 \approx 1031\) 3. Auflösen der Gleichung \(B(t) = y\) nach \(t\) mittels Logarithmus, also \(t = \frac{\lg(y/250)}{\lg(1{,}12)}\): \(B(t) = 400 \Rightarrow t \approx 4{,}15\,\text{h}\) \(B(t) = 1000 \Rightarrow t \approx 12{,}23\,\text{h}\) \(B(t) = 2500 \Rightarrow t \approx 20{,}32\,\text{h}\)

a) \(B(t) = 250 \cdot 1{,}12^t\) b) Die modellierten Bestände betragen gerundet \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen. c) Die Zielwerte werden nach ca. \(4{,}15\), \(12{,}23\) und \(20{,}32\) Stunden erreicht.