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- Welchen Wert hat der Bestand zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz wächst, mit welchem Faktor multipliziert man den aktuellen Wert dann jede Stunde? - Handelt es sich hier um lineares oder exponentielles Wachstum?

1. Identifikation des Anfangswerts: \(N_0 = 400\) 2. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\) bei einer Zunahme von \(2\%\): \(q = 1 + \frac{2}{100} = 1,02\) 3. Aufstellen der allgemeinen Exponentialfunktion \(N(t) = N_0 \cdot q^t\): \(N(t) = 400 \cdot 1,02^t\) 4. Vergleich mit den vorgegebenen Optionen ergibt Antwort c).

c) \(N = 400 \cdot 1,02^t\)

- Wie hängen der Prozentsatz und der Faktor zusammen, mit dem man den neuen Wert berechnet? - Überlege, wie oft du den jährlichen Faktor anwenden musst, um den Wert nach mehreren Jahren zu erhalten. - Was bedeutet es für den Faktor, wenn man den Zuwachs über einen längeren Zeitraum betrachtet?

1. Berechnung des Wachstumsfaktors: \(q = 1 + \frac{2{,}4}{100} = 1{,}024\). 2. Waldfläche nach \(3\) Jahren: \(4500 \cdot 1{,}024^3 \approx 4831{,}84\,\text{ha}\). 3. Waldfläche nach \(10\) Jahren: \(4500 \cdot 1{,}024^{10} \approx 5704{,}43\,\text{ha}\). 4. Gesamtfaktor nach \(5\) Jahren: \(1{,}024^5 \approx 1{,}1259\).

a) \(q = 1{,}024\) b) Nach \(3\) Jahren: ca. \(4831{,}84\,\text{ha}\); nach \(10\) Jahren: ca. \(5704{,}43\,\text{ha}\) c) Der Faktor beträgt \(1{,}1259\).

- Welchen Wert hat die Variable für den Anfangsbestand in der gegebenen Formel? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem der Anfangswert multipliziert wurde, um zum ersten Folgewert zu gelangen? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Wachstumsrate zusammen?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(a\): Da \(N(1) = N_0 \cdot a^1\), gilt \(1\,040 = 800 \cdot a\). Daraus folgt \(a = \frac{1\,040}{800} = 1{,}3\). 2. Berechnung der prozentualen Zunahme: Der Wachstumsfaktor \(a = 1{,}3\) entspricht einer Zunahme von \(30\,\%\), da \(1{,}3 = 1 + 0{,}30\). 3. Berechnung des Bestandes nach 6 Stunden: \(N(6) = 800 \cdot 1{,}3^6 \approx 3\,861{,}45\). Gerundet ergibt dies \(3\,861\) Bakterien.

a) Der Wachstumsfaktor ist \(a = 1{,}3\). b) Die stündliche Zunahme beträgt \(30\,\%\). c) Nach 6 Stunden sind etwa \(3\,861\) Bakterien vorhanden.

- Der Wachstumsfaktor liegt bei einer Zunahme immer über 1. - Wenn du einen Wert für ein bestimmtes Jahr suchst, bestimme zuerst die Differenz zum Startjahr. - Du kannst das Ergebnis für 2030 direkt mit der Hochzahl 10 berechnen. - Runde das Endergebnis bei Lebewesen auf ganze Zahlen, da es keine halben Orchideen gibt.

1. Aufstellen des jährlichen Wachstumsfaktors: \(q = 1 + 0{,}054 = 1{,}054\). 2. Berechnung der Bestände durch schrittweise Multiplikation oder Potenzierung: \(W(1) = 1\,200 \cdot 1{,}054^1 = 1\,264{,}8 \approx 1\,265\) \(W(2) = 1\,200 \cdot 1{,}054^2 \approx 1\,333\) \(W(3) = 1\,200 \cdot 1{,}054^3 \approx 1\,405\) 3. Berechnung für das Jahr 2030 (\(t = 10\)): \(W(10) = 1\,200 \cdot 1{,}054^{10} \approx 1\,200 \cdot 1{,}692 = 2\,030{,}4\). Der 10-Jahres-Faktor ist \(1{,}054^{10} \approx 1{,}692\). 4. Berechnung für das Jahr 2045 (\(t = 25\)): \(W(25) = 1\,200 \cdot 1{,}054^{25} \approx 1\,200 \cdot 3{,}7125 \approx 4\,455\).

a) \(q = 1{,}054\) b) 2021: ca. \(1\,265\); 2022: ca. \(1\,333\); 2023: ca. \(1\,405\) Exemplare c) Bestand 2030: ca. \(2\,030\) Exemplare; Faktor für 10 Jahre: \(q^{10} \approx 1{,}692\) d) ca. \(4\,455\) Exemplare

- Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn das Kapital jährlich um einen bestimmten Prozentsatz wächst? - Wie unterscheidet sich der Gesamtwert nach einer bestimmten Zeit vom reinen Zuwachs in einem einzelnen Jahr? - Welchen Gesamtwert muss das Konto erreichen, damit der Gewinn das vorgegebene Ziel überschreitet? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die Anzahl der Jahre als Platzhalter im Exponenten steht?

1. Berechnung des Kapitals nach \(n\) Jahren mit der Zinseszinsformel \(K_n = K_0 \cdot q^n\) mit \(q = 1 + \frac{1{,}75}{100} = 1{,}0175\). 2. Für \(n = 5\): \(K_5 = 2500 \cdot 1{,}0175^5 \approx 2726{,}54\,\text{€}\). 3. Für \(n = 10\): \(K_{10} = 2500 \cdot 1{,}0175^{10} \approx 2973{,}61\,\text{€}\). 4. Berechnung des Zuwachses im \(10.\) Jahr: \(K_{10} - K_9 = 2973{,}61 - 2500 \cdot 1{,}0175^9 \approx 2973{,}61 - 2922{,}47 = 51{,}14\,\text{€}\). 5. Bedingung für eine Erhöhung um mehr als \(500\,\text{€}\): \(K_n > 3000\). 6. Lösen der Ungleichung \(2500 \cdot 1{,}0175^n > 3000\), was \(1{,}0175^n > 1{,}2\) entspricht. Durch systematisches Probieren oder Logarithmieren ergibt sich \(n \approx 10{,}51\). Somit ist das Kapital nach \(11\) vollen Jahren erstmals um mehr als \(500\,\text{€}\) gestiegen.

a) Nach \(5\) Jahren beträgt das Guthaben \(2726{,}54\,\text{€}\), nach \(10\) Jahren \(2973{,}61\,\text{€}\). b) Der Zuwachs im \(10.\) Jahr beträgt \(51{,}14\,\text{€}\). c) Nach \(11\) Jahren hat sich das Kapital zum ersten Mal um mehr als \(500\,\text{€}\) erhöht.

- Achte darauf, die Klammern bei der Eingabe im Taschenrechner korrekt zu setzen, besonders wenn der Exponent ein Minuszeichen oder eine Wurzel enthält. - Die Taste für Potenzen ist oft mit \(y^x\), \(x^y\) oder einem kleinen Dach-Symbol \(\wedge\) beschriftet. - Überprüfe, ob du die Wurzeln im Exponenten vollständig eingegeben hast, bevor du die Potenz berechnest.

1. Berechnung der Potenzwerte durch Eingabe der Basis und des irrationalen Exponenten in den Taschenrechner. 2. Rundung der Ergebnisse auf die vierte Nachkommastelle: a) \(1{,}05^{\sqrt{2}} \approx 1{,}0714\) b) \(0{,}75^{\sqrt{0{,}5}} \approx 0{,}8159\) c) \(1{,}2^{-\sqrt{3}} \approx 0{,}7292\) d) \((\sqrt{3})^{\sqrt{5}} \approx 3{,}4154\)

a) \(1{,}0714\) b) \(0{,}8159\) c) \(0{,}7292\) d) \(3{,}4154\)

- Überlege dir, wie sich der Funktionswert ändert, wenn du \(x\) durch \(x + 2\) ersetzt. - Welche Rechenregel für Potenzen erlaubt es dir, eine Summe im Exponenten als Produkt zu schreiben? - Hängt der Faktor, um den der Wert wächst, von der Startstelle \(x\) ab? - Untersuche das Verhältnis \(\frac{f(x+2)}{f(x)}\).

1. Bestimmung der Änderung des Funktionswertes bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\): \(f(x + 2) = 1{,}5 \cdot 1{,}4^{x+2}\). 2. Anwendung der Potenzgesetze zur Zerlegung des Ausdrucks: \(1{,}5 \cdot 1{,}4^x \cdot 1{,}4^2\). 3. Vergleich mit dem ursprünglichen Funktionswert \(f(x)\) liefert den gesuchten Faktor \(k = 1{,}4^2\). 4. Berechnung des Werts: \(1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96\).

\(1{,}96\)

- Überlege dir, wie viele Personen in jedem Schritt neu dazukommen. Ist das immer die gleiche Anzahl oder vervielfacht sie sich? - Für die Gesamtzahl musst du alle Personen addieren, die das Gerücht zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits kennen. - Erkennst du ein Muster in der Summenbildung? Es handelt sich um eine geometrische Reihe. - Bei Teilaufgabe c) kannst du die passende Gleichung nach der Zeit \(n\) auflösen, zum Beispiel mit dem Logarithmus oder durch systematisches Probieren von Potenzen.

1. Die Anzahl der Personen, die das Gerücht in jeder Stunde neu erfahren, bildet eine geometrische Folge mit dem Startwert \(a_1 = 3\) (nach einer Stunde) und dem Quotienten \(q = 3\). Die Anzahl der neu informierten Personen in der \(n\)-ten Stunde berechnet sich durch \(3^n\). Für \(n = 5\) ergibt sich \(3^5 = 243\). 2. Die Gesamtzahl der Personen, die das Gerücht nach \(n\) Stunden kennen, ist die Summe der ersten Person und der neu hinzugekommenen Personen: \(N(n) = 1 + \sum_{k=1}^n 3^k\). Dies entspricht der Summenformel für geometrische Reihen: \(N(n) = 1 + 3 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 1 + \frac{3^{n+1} - 3}{2} = \frac{3^{n+1} - 1}{2}\). 3. Für \(n = 8\) berechnet man: \(N(8) = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19\,683 - 1}{2} = 9\,841\). 4. Um den Zeitpunkt für \(250\,000\) Personen zu finden, löst man \(\frac{3^{n+1} - 1}{2} > 250\,000\). Dies führt zu \(3^{n+1} > 500\,001\). Mittels Logarithmus folgt \(n+1 > \log_3(500\,001) \approx 11{,}94\). Daraus ergibt sich \(n+1 = 12\), also \(n = 11\). Nach 11 Stunden haben mehr als \(250\,000\) Menschen das Gerücht gehört.

a) 243 Personen b) 9\,841 Personen c) Nach 11 Stunden

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor man einen Wert multiplizieren muss, um eine Abnahme von \(12\,\%\) zu beschreiben. - Welche Art von mathematischem Modell beschreibt eine gleichbleibende prozentuale Änderung? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht? - Denk daran, dass die Zeitangabe in diesem Kontext meist in ganzen Jahren sinnvoll ist.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den exponentiellen Zerfall mit dem Anfangswert \(W_0 = 54\,000\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\): \(W(n) = 54\,000 \cdot 0{,}88^n\). 2. Berechnung des Wertes nach \(n = 5\) Jahren: \(W(5) = 54\,000 \cdot 0{,}88^5 \approx 28\,497{,}56\). Der gerundete Restwert beträgt \(28\,498\,\text{€}\). 3. Ansatz zur Bestimmung der Zeitdauer: \(54\,000 \cdot 0{,}88^n < 20\,000\). 4. Umformung zur Isolation der Potenz: \(0{,}88^n < \frac{20\,000}{54\,000} \approx 0{,}37037\). 5. Anwendung des Logarithmus zur Lösung nach \(n\): \(n \cdot \ln(0{,}88) < \ln\left(\frac{10}{27}\right)\). Da \(\ln(0{,}88)\) negativ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: \(n > \frac{\ln(10/27)}{\ln(0{,}88)} \approx 7{,}78\). 6. Nach \(8\) Jahren ist der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\) gesunken.

a) Der Restwert nach \(5\) Jahren beträgt \(28\,498\,\text{€}\). b) Nach \(8\) Jahren sinkt der Wert erstmals unter \(20\,000\,\text{€}\).

- Was bleibt übrig, wenn \(15\,\%\) entfernt werden? Nutze diesen Wert als Basis für deine Berechnung. - Wird der Verlust immer vom ursprünglichen Startwert oder vom jeweils neuen Wert berechnet? - Berechne für den zweiten Teil konkret, was nach zwei Schritten noch vorhanden ist.

1. Festlegen des Durchlassfaktors: Eine Absorption von \(15\,\%\) bedeutet, dass \(85\,\%\) des Lichts durchgelassen werden, also \(q = 0{,}85\). 2. Berechnung der Intensität nach \(8\,\text{cm}\) bei einer Ausgangsintensität von \(I_0 = 100\,\%\): \(I(8) = 100 \cdot 0{,}85^8 \approx 27{,}249\). Die verbleibende Intensität beträgt etwa \(27{,}2\,\%\). 3. Überprüfung der Aussage für \(2\,\text{cm}\): Die verbleibende Intensität nach \(2\,\text{cm}\) beträgt \(100 \cdot 0{,}85^2 = 72{,}25\,\%\). 4. Bestimmung des gefilterten Anteils nach \(2\,\text{cm}\): \(100\,\% - 72{,}25\,\% = 27{,}75\,\%\). 5. Vergleich und Beurteilung: Da \(27{,}75\,\% \neq 30\,\%\), ist die Aussage falsch. Der Mitarbeiter geht fälschlicherweise von einem linearen statt eines exponentiellen Modells aus.

a) Es sind noch etwa \(27{,}2\,\%\) der ursprünglichen Lichtintensität vorhanden. b) Die Aussage ist falsch. Nach \(2\,\text{cm}\) werden nur \(27{,}75\,\%\) des Lichts gefiltert, da die zweiten \(15\,\%\) nur auf den bereits reduzierten Wert der ersten Schicht wirken.

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du den Exponenten um einen bestimmten Betrag erhöhst? - Achte darauf, in welcher Zeiteinheit die Variable im Exponenten definiert ist. - Wie rechnet man Minuten in Stunden um? - Was bedeutet ein exponentielles Wachstum für die Multiplikation über mehrere Zeitschritte hinweg?

1. Berechnung der Wachstumsfaktoren für die Zeitintervalle \(\Delta t\): Der Faktor ergibt sich aus \(b^{\Delta t}\) mit \(b = 1{,}5\). 2. Faktor nach 2 Stunden: \(1{,}5^2 = 2{,}25\). 3. Faktor nach 3 Stunden: \(1{,}5^3 = 3{,}375\). 4. Faktor nach 5 Stunden: \(1{,}5^5 = 7{,}59375\). 5. Berechnung der Bakterienanzahl für Teil b) durch Einsetzen der Zeitwerte in Stunden in die Funktionsgleichung. 6. Nach einer halben Stunde (\(t = 0{,}5\)): \(N(0{,}5) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}5} \approx 244{,}95\). Gerundet: \(245\) Bakterien. 7. Nach 15 Minuten (\(t = 0{,}25\)): \(N(0{,}25) = 200 \cdot 1{,}5^{0{,}25} \approx 221{,}34\). Gerundet: \(221\) Bakterien.

a) Nach 2 Stunden: Faktor \(2{,}25\); nach 3 Stunden: Faktor \(3{,}375\); nach 5 Stunden: Faktor \(7{,}59375\). b) Nach einer halben Stunde: ca. \(245\) Bakterien; nach 15 Minuten: ca. \(221\) Bakterien.

- Wenn ein Wert sinkt, ist der Faktor kleiner als \(1\). Wie berechnest du diesen? - Für den Wert nach mehreren Jahren kannst du die Potenz des jährlichen Faktors nutzen. - Um die prozentuale Senkung über mehrere Jahre zu finden, bestimme zuerst den Anteil des Restwerts am Startwert.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors: \(q = 1 - \frac{15}{100} = 0{,}85\). 2. Wert nach \(2\) Jahren: \(12\,500 \cdot 0{,}85^2 = 9031{,}25\,\text{€}\). 3. Wert nach \(5\) Jahren: \(12\,500 \cdot 0{,}85^5 \approx 5546{,}32\,\text{€}\). 4. Gesamtfaktor für \(3\) Jahre: \(0{,}85^3 = 0{,}614125\). 5. Prozentuale Abnahme: \((1 - 0{,}614125) \cdot 100 = 38{,}5875\,\%\), gerundet \(38{,}59\,\%\).

a) \(q = 0{,}85\) b) Nach \(2\) Jahren: \(9031{,}25\,\text{€}\); nach \(5\) Jahren: ca. \(5546{,}32\,\text{€}\) c) Der Wert ist um ca. \(38{,}59\,\%\) gesunken.

- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn du den Wert eines Jahres durch den Wert des Vorjahres teilst? - Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von zum Beispiel \(1{,}05\) für die prozentuale Steigerung? - Welche Formel hilft dir, einen Wert über viele Zeitschritte hinweg zu berechnen, wenn der Faktor immer gleich bleibt?

1. Berechnung der Quotienten aufeinanderfolgender Werte: \(\frac{5\,125{,}00}{5\,000{,}00} = 1{,}025\); \(\frac{5\,253{,}13}{5\,125{,}00} \approx 1{,}025\); \(\frac{5\,384{,}46}{5\,253{,}13} \approx 1{,}025\). Damit ist der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}025\). 2. Bestimmung des Zinssatzes: Aus \(q = 1 + \frac{p}{100}\) folgt \(1{,}025 = 1 + \frac{p}{100}\), also \(p = 2{,}5\,\%\). 3. Berechnung des Kapitals nach 10 Jahren mit der Zinseszinsformel: \(K_{10} = 5\,000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 6\,400{,}42\,\text{€}\).

a) Die Quotienten ergeben jeweils etwa \(1{,}025\). b) Der Zinssatz beträgt \(p = 2{,}5\,\%\). c) Nach 10 Jahren beträgt das Kapital \(6\,400{,}42\,\text{€}\).

- Überlege zuerst, ob es sich um eine Zunahme oder eine Abnahme handelt. - Wie verändert ein Prozentsatz den Wert 1, wenn man ihn als Dezimalzahl ausdrückt? - Für mehrere Jahre hintereinander kannst du die Potenzschreibweise nutzen. - Der Faktor für einen längeren Zeitraum ergibt sich aus dem jährlichen Faktor hoch der Anzahl der Jahre.

1. Berechnung des Abnahmefaktors: \(q = 1 - \frac{p}{100} = 1 - 0{,}021 = 0{,}979\). 2. Berechnung des Verbrauchs nach 4 Jahren: \(W(4) = 850\,\text{GWh} \cdot 0{,}979^4 \approx 781{,}17\,\text{GWh}\). 3. Bestimmung des Wachstumsfaktors für den 10-Jahres-Zeitraum: \(q_{10} = 0{,}979^{10} \approx 0{,}8086\). 4. Berechnung des Verbrauchs nach 10 Jahren: \(W(10) = 850\,\text{GWh} \cdot 0{,}8086 \approx 687{,}31\,\text{GWh}\). 5. Berechnung der prozentualen Abnahme über 10 Jahre: \(1 - 0{,}8086 = 0{,}1914\), was einer Senkung um ca. \(19{,}14\,\%\) entspricht.

a) \(q = 0{,}979\) b) ca. \(781{,}17\,\text{GWh}\) c) Faktor: ca. \(0{,}8086\); Verbrauch: ca. \(687{,}31\,\text{GWh}\) d) um ca. \(19{,}14\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Größe in der jeweiligen Spalte gesucht ist. - Stelle die Grundformel der Zinseszinsrechnung nach der gesuchten Variablen um. - Achte beim Zinssatz darauf, ob der Wachstumsfaktor \(q\) oder der Prozentsatz \(p\) berechnet werden soll. - Beim Umstellen nach dem Zinssatz musst du eine Wurzel ziehen.

1. Berechnung von \(K_6\): Einsetzen der Werte in die Formel \(K_6 = 4\,000 \cdot 1{,}035^6 \approx 4\,917{,}02\,\text{€}\). 2. Berechnung von \(K_0\): Umstellen der Formel nach \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + \frac{p}{100})^n}\). Einsetzen ergibt \(K_0 = \frac{8\,000}{1{,}0225^{10}} \approx 6\,404{,}11\,\text{€}\). 3. Berechnung von \(p\): Umstellen der Formel nach \(q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\). Einsetzen ergibt \(q = \sqrt[8]{\frac{4\,000}{2\,500}} = \sqrt[8]{1{,}6} \approx 1{,}0605\). Daraus folgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 6{,}1\,\%\).

Spalte 1: \(K_n \approx 4\,917{,}02\,\text{€}\) Spalte 2: \(K_0 \approx 6\,404{,}11\,\text{€}\) Spalte 3: \(p \approx 6{,}1\,\%\)

- Stelle für beide Verträge eine passende Gleichung für das Kapital nach \(n\) Jahren auf. - Vergleiche die Ergebnisse nach \(5\) und \(15\) Jahren – was fällt dir bei der Entwicklung auf? - Warum könnte ein Vertrag mit weniger Startkapital langfristig mehr wert sein? - Wie kannst du herausfinden, wann die Werte der beiden Verträge genau gleich sind oder sich die Rangfolge umkehrt?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(K_A(n) = 4000 \cdot 1{,}03^n\) und \(K_B(n) = 4500 \cdot 1{,}02^n\). 2. Berechnung für \(n = 5\): \(K_A(5) = 4000 \cdot 1{,}03^5 \approx 4637{,}10\,\text{€}\) und \(K_B(5) = 4500 \cdot 1{,}02^5 \approx 4968{,}36\,\text{€}\). 3. Berechnung für \(n = 15\): \(K_A(15) = 4000 \cdot 1{,}03^{15} \approx 6231{,}87\,\text{€}\) und \(K_B(15) = 4500 \cdot 1{,}02^{15} \approx 6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist nun höher. 4. Bestimmung des Schnittpunkts: \(4000 \cdot 1{,}03^n > 4500 \cdot 1{,}02^n \Rightarrow (\frac{1{,}03}{1{,}02})^n > \frac{4500}{4000} \Rightarrow 1{,}009804^n > 1{,}125\). 5. Durch Probieren: Für \(n = 12\) ist \(K_A(12) \approx 5703{,}04\) und \(K_B(12) \approx 5707{,}08\). Für \(n = 13\) ist \(K_A(13) \approx 5874{,}13\) und \(K_B(13) \approx 5821{,}23\). 6. Ergebnis: Nach \(13\) Jahren überholt Vertrag A den Vertrag B.

a) Nach \(5\) Jahren: Vertrag A \(\approx 4637{,}10\,\text{€}\), Vertrag B \(\approx 4968{,}36\,\text{€}\). b) Nach \(15\) Jahren: Vertrag A \(\approx 6231{,}87\,\text{€}\), Vertrag B \(\approx 6056{,}41\,\text{€}\). Vertrag A ist höher. c) Nach \(13\) Jahren ist der Kontostand von Vertrag A zum ersten Mal höher als der von Vertrag B.

- Wie berechnet man den Wachstumsfaktor aus einer prozentualen Zunahme? - Welche Formel hilft dir, den Endwert nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten direkt zu bestimmen? - Denk daran, dass bei Lebewesen das Runden auf ganze Zahlen am Ende der Rechnung sinnvoll ist. - Was bedeutet „Differenz“ mathematisch für den Vergleich zweier Ergebnisse?

1. Bestimmung der Wachstumsfaktoren: Szenario A (optimal) hat \(q_1 = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\); Szenario B (klimatische Veränderung) hat \(q_2 = 1 + 0{,}035 = 1{,}035\). 2. Berechnung Szenario A: \(N_1(5) = 1\,200 \cdot 1{,}06^5 \approx 1\,606\); \(N_1(10) = 1\,200 \cdot 1{,}06^{10} \approx 2\,149\); \(N_1(15) = 1\,200 \cdot 1{,}06^{15} \approx 2\,876\). 3. Berechnung Szenario B: \(N_2(5) = 1\,200 \cdot 1{,}035^5 \approx 1\,425\); \(N_2(10) = 1\,200 \cdot 1{,}035^{10} \approx 1\,693\); \(N_2(15) = 1\,200 \cdot 1{,}035^{15} \approx 2\,010\). 4. Berechnung der Differenz nach 15 Jahren: \(2\,876 - 2\,010 = 866\).

a) Nach \(5\) Jahren: ca. \(1\,606\) Tiere; nach \(10\) Jahren: ca. \(2\,149\) Tiere; nach \(15\) Jahren: ca. \(2\,876\) Tiere. b) Nach \(5\) Jahren: ca. \(1\,425\) Tiere; nach \(10\) Jahren: ca. \(1\,693\) Tiere; nach \(15\) Jahren: ca. \(2\,010\) Tiere. c) Der Unterschied beträgt \(866\) Tiere.

- Erinnere dich an die Zinseszinsformel. - Wie wirkt sich ein kleiner Unterschied im Zinssatz über eine lange Zeit (z. B. 20 Jahre) aus? - Achte bei Geldbeträgen darauf, das Ergebnis kaufmännisch auf zwei Dezimalstellen zu runden. - Welche Rechenoperation führt dich zum Vergleich der beiden Endsummen?

1. Berechnung der Wachstumsfaktoren: Bank A \(q_1 = 1{,}032\); Bank B \(q_2 = 1{,}021\). 2. Kapitalentwicklung Bank A: \(K_A(10) = 30\,000 \cdot 1{,}032^{10} \approx 41\,107{,}23\,\text{€}\); \(K_A(20) = 30\,000 \cdot 1{,}032^{20} \approx 56\,326{,}82\,\text{€}\). 3. Kapitalentwicklung Bank B: \(K_B(10) = 30\,000 \cdot 1{,}021^{10} \approx 36\,929{,}95\,\text{€}\); \(K_B(20) = 30\,000 \cdot 1{,}021^{20} \approx 45\,460{,}70\,\text{€}\). 4. Berechnung des Vorteils (Differenz) nach 20 Jahren: \(56\,326{,}82\,\text{€} - 45\,460{,}70\,\text{€} = 10\,866{,}12\,\text{€}\).

a) Nach \(10\) Jahren: \(41\,107{,}23\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren: \(56\,326{,}82\,\text{€}\). b) Nach \(10\) Jahren: \(36\,929{,}95\,\text{€}\); nach \(20\) Jahren: \(45\,460{,}70\,\text{€}\). c) Der finanzielle Vorteil beträgt \(10\,866{,}12\,\text{€}\).

- Überlege dir, mit welchem Faktor man einen Wert multiplizieren muss, um \(15\,\%\) abzuziehen. - Wie verändert sich der Wert von Jahr zu Jahr, wenn immer der aktuelle Restwert die Basis für den Verlust ist? - Kannst du eine allgemeine Formel für den Wert nach \(n\) Jahren aufstellen? - Was bedeutet „die Hälfte des Preises“ mathematisch für deine Rechnung?

1. Der Abnahmefaktor \(q\) berechnet sich aus der prozentualen Abnahme \(p = 15\,\%\) durch \(q = 1 - \frac{15}{100} = 0{,}85\). 2. Die Berechnung der Werte erfolgt mit der Formel \(W(n) = W_0 \cdot q^n\). 3. Wert nach 1 Jahr: \(3200\,\text{€} \cdot 0{,}85 = 2720\,\text{€}\). 4. Wert nach 2 Jahren: \(3200\,\text{€} \cdot 0{,}85^2 = 2312\,\text{€}\). 5. Wert nach 3 Jahren: \(3200\,\text{€} \cdot 0{,}85^3 = 1965{,}20\,\text{€}\). 6. Wert nach 5 Jahren: \(3200\,\text{€} \cdot 0{,}85^5 \approx 1420{,}13\,\text{€}\). 7. Wert nach 4 Jahren: \(3200\,\text{€} \cdot 0{,}85^4 = 1670{,}42\,\text{€}\). Da die Hälfte des Kaufpreises \(1600\,\text{€}\) beträgt, ist das Rad nach 4 Jahren noch mehr als die Hälfte wert (\(1670{,}42\,\text{€} > 1600\,\text{€}\)).

a) \(q = 0{,}85\) b) Nach 1 Jahr: \(2720\,\text{€}\); nach 2 Jahren: \(2312\,\text{€}\); nach 3 Jahren: \(1965{,}20\,\text{€}\); nach 5 Jahren: \(1420{,}13\,\text{€}\). c) Ja, nach 4 Jahren ist es noch \(1670{,}42\,\text{€}\) wert, was mehr als die Hälfte (\(1600\,\text{€}\)) ist.

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor die Menge jede Stunde multipliziert werden muss, wenn \(20\,\%\) verloren gehen. - Wie verändert sich dieser Faktor, wenn man den Vorgang mehrmals hintereinander betrachtet? - Ein Viertel der Anfangsmenge bedeutet, dass der Anteil der verbleibenden Menge \(0{,}25\) beträgt. - Du kannst die gesuchte Zeit durch systematisches Probieren mit dem Taschenrechner finden.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(A_0 = 120\) und dem Abnahmefaktor \(q = 1 - 0{,}20 = 0{,}8\) ergibt sich \(A(t) = 120 \cdot 0{,}8^t\). 2. Berechnung für \(t = 3\): \(A(3) = 120 \cdot 0{,}8^3 = 120 \cdot 0{,}512 = 61{,}44\). Nach drei Stunden sind noch \(61{,}44\,\text{mg}\) vorhanden. 3. Zerfallsfaktor für \(4\,\text{Stunden}\): Dieser entspricht \(q^4 = 0{,}8^4 = 0{,}4096\). 4. Bestimmung des Zeitpunktes für ein Viertel der Anfangsmenge (\(30\,\text{mg}\)): Gesucht ist \(t\) mit \(0{,}8^t < 0{,}25\). Durch Probieren oder Logarithmieren ergibt sich \(t \approx 6{,}21\). Somit ist die Menge nach \(7\,\text{Stunden}\) zum ersten Mal geringer als ein Viertel.

a) Nach \(3\,\text{Stunden}\) sind noch \(61{,}44\,\text{mg}\) vorhanden. b) Der Zerfallsfaktor für \(4\,\text{Stunden}\) beträgt \(0{,}4096\). c) Nach \(7\,\text{Stunden}\) ist die Menge zum ersten Mal geringer als ein Viertel (\(30\,\text{mg}\)).

- Wenn ein Wert um einen Prozentsatz sinkt, berechnet man den neuen Wert durch Multiplikation mit einem Faktor kleiner als 1. - Der Zerfallsfaktor für längere Zeiträume lässt sich durch Potenzieren des täglichen Faktors bestimmen. - Beachte, dass sich die \(12\,\%\) am zweiten Tag auf den bereits reduzierten Wert des ersten Tages beziehen, nicht auf den Startwert.

1. Täglicher Zerfallsfaktor: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Schadstoffgehalt nach \(5\,\text{Tagen}\): \(250 \cdot 0{,}88^5 \approx 250 \cdot 0{,}52773 \approx 131{,}93\). Der Gehalt beträgt ca. \(131{,}93\,\text{mg/l}\). 3. Zerfallsfaktor für eine Woche: \(q^7 = 0{,}88^7 \approx 0{,}4087\). 4. Überprüfung der Aussage: Nach zwei Tagen beträgt der verbleibende Anteil \(q^2 = 0{,}88^2 = 0{,}7744\). Dies entspricht einer Senkung um \(1 - 0{,}7744 = 0{,}2256\), also \(22{,}56\,\%\). Da \(22{,}56\,\% \neq 24\,\%\), ist die Aussage falsch.

a) Nach \(5\,\text{Tagen}\) beträgt der Schadstoffgehalt ca. \(131{,}93\,\text{mg/l}\). b) Der tägliche Zerfallsfaktor ist \(q = 0{,}88\); für eine Woche beträgt er ca. \(0{,}4087\). c) Die tatsächliche Reduktion nach zwei Tagen beträgt nur \(22{,}56\,\%\), da die Abnahme vom jeweils aktuellen Bestand berechnet wird (Zinseszins-Effekt).

- Was bedeutet es für den Rechenweg, wenn sich ein Wert in jedem Schritt halbiert? - Wie rechnet man Milligramm in Gramm um? - Kannst du eine Formel aufstellen, die die Masse nach \(n\) Schritten beschreibt? - Nutze für den Überschlag direkt den im Text angegebenen Näherungswert.

1. Bestimmung des Zerfallsfaktors: Da sich die Masse pro Zeitabschnitt halbiert, gilt \(q = 0{,}5\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): - Nach 2 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^2 = 160\,\text{mg} = 0{,}16\,\text{g}\) - Nach 3 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^3 = 80\,\text{mg} = 0{,}08\,\text{g}\) - Nach 5 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^5 = 20\,\text{mg} = 0{,}02\,\text{g}\) 3. Erstellung der Tabelle mit den berechneten Werten für \(n=2, 3, 5\). 4. Überschlag für Teilaufgabe b): Die Masse nach 10 Abschnitten berechnet sich durch \(640\,\text{mg} \cdot (\frac{1}{2})^{10}\). Mit der Näherung ergibt sich \(640 \cdot \frac{1}{1000} = 0{,}64\,\text{mg}\).

a) <table> <tr> <th>Zeitabschnitt \(n\)</th> <th>Masse in \(\text{mg}\)</th> <th>Masse in \(\text{g}\)</th> </tr> <tr> <td>2</td> <td>\(160\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>\(80\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(20\)</td> <td>\(0{,}02\)</td> </tr> </table> b) Nach 10 Zeitabschnitten sind noch ca. \(0{,}64\,\text{mg}\) vorhanden.

- Welchen Faktor musst du verwenden, wenn ein Wert auf \(80\,\%\) sinkt? - Wie oft musst du diesen Faktor anwenden, um die Höhe nach dem 3. Sprung zu finden? - Wie viele Zentimeter sind ein Meter? - Setze den Näherungswert für die Potenz in deine Formel ein, um die Schätzung zu erhalten.

1. Identifikation des Höhenfaktors: Eine Höhe von \(80\,\%\) entspricht dem Faktor \(q = 0{,}8\). Der Startwert ist \(h_0 = 2{,}50\,\text{m} = 250\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): - Nach dem 3. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^3 = 128\,\text{cm} = 1{,}28\,\text{m}\). - Nach dem 4. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^4 = 102{,}4\,\text{cm} = 1{,}024\,\text{m}\). - Nach dem 6. Aufprall: \(250\,\text{cm} \cdot 0{,}8^6 \approx 65{,}54\,\text{cm} \approx 0{,}655\,\text{m}\). 3. Schätzung für Teilaufgabe b): Die Höhe nach dem 10. Aufprall ist \(2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}8^{10}\). Mit der Näherung \(0{,}8^{10} \approx 0{,}1\) ergibt sich \(2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}1 = 0{,}25\,\text{m} = 25\,\text{cm}\).

a) 3. Aufprall: \(1{,}28\,\text{m}\) (\(128\,\text{cm}\)); 4. Aufprall: \(1{,}024\,\text{m}\) (\(102{,}4\,\text{cm}\)); 6. Aufprall: ca. \(0{,}655\,\text{m}\) (\(65{,}54\,\text{cm}\)). b) Nach dem 10. Aufprall erreicht der Ball noch eine Höhe von etwa \(0{,}25\,\text{m}\) (bzw. \(25\,\text{cm}\)).

- Überlege dir, wie du den neuen Funktionswert \(f(x+h)\) mithilfe der Potenzgesetze umschreiben kannst. - Welcher Teil des Terms entspricht dem ursprünglichen \(f(x)\) und was bleibt als Faktor übrig? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent oder ein Bruch als Exponent bedeutet.

1. Für eine Zunahme von \(x\) um \(h\) gilt allgemein \(f(x+h) = 5 \cdot 3^{x+h} = 5 \cdot 3^x \cdot 3^h = f(x) \cdot 3^h\). Der Änderungsfaktor ist also \(3^h\). 2. Zu a): Bei \(h = 1\) ergibt sich der Faktor \(3^1 = 3\). 3. Zu b): Bei \(h = 4\) ergibt sich der Faktor \(3^4 = 81\). 4. Zu c): Bei einer Verkleinerung um \(2\) ist \(h = -2\). Der Faktor ist \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\). 5. Zu d): Bei \(h = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(3^{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

a) Faktor \(3\) b) Faktor \(81\) c) Faktor \(\frac{1}{9}\) d) Faktor \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)

- Wie hängt der Wachstumsfaktor in der Funktionsgleichung mit der täglichen prozentualen Zunahme zusammen? - Wenn zwei Tage vergehen, wird der Wachstumsfaktor zweimal angewendet. Wie berechnet man das? - Ein halber Tag entspricht dem Exponenten \(0{,}5\). Wie kannst du diesen Faktor berechnen?

1. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}15^h\), wobei \(h\) die Zeitdifferenz ist. Die Änderung in Prozent ist \((q - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Zu a): Für \(h = 1\) ist der Faktor \(1{,}15^1 = 1{,}15\). Dies entspricht einer Zunahme von \(15\,\%\). 3. Zu b): Für \(h = 2\) ist der Faktor \(1{,}15^2 = 1{,}3225\). Dies entspricht einer Zunahme von \(32{,}25\,\%\), gerundet \(32{,}3\,\%\). 4. Zu c): Für \(h = 0{,}5\) ist der Faktor \(1{,}15^{0{,}5} = \sqrt{1{,}15} \approx 1{,}07238\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(7{,}2\,\%\).

a) Zunahme um \(15\,\%\) b) Zunahme um ca. \(32{,}3\,\%\) c) Zunahme um ca. \(7{,}2\,\%\)

- Überlege dir, wie sich eine Änderung im Exponenten auf das Produkt auswirkt. - Erinnere dich an die Potenzgesetze für Summen und Differenzen im Exponenten. - Was bedeutet eine Verkleinerung für das Vorzeichen der Änderung im Exponenten? - Wie berechnet man eine Wurzel mithilfe von Potenzen?

1. Für eine Änderung des Arguments um \(h\) wird der Funktionswert mit \(b^h\) multipliziert, wobei \(b = 3\) die Basis ist. 2. Bei einer Vergrößerung von \(x\) um 1 ist der Faktor \(3^1 = 3\). 3. Bei einer Vergrößerung von \(x\) um 2 ist der Faktor \(3^2 = 9\). 4. Bei einer Verkleinerung von \(x\) um 1 ist der Faktor \(3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\). 5. Bei einer Vergrößerung von \(x\) um \(0{,}5\) ist der Faktor \(3^{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\).

(1) Faktor 3 (2) Faktor 9 (3) Faktor \(\frac{1}{3}\) (oder ca. \(0{,}33\)) (4) Faktor ca. \(1{,}73\)

- Überlege dir, wie man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Werte berechnet. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere wie man Potenzen mit rationalen Exponenten (wie \(0{,}5\)) als Wurzeln schreiben kann. - Wenn du eine Gleichung wie \(4^s = 32\) lösen möchtest, hilft es oft, beide Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) darzustellen. - Was passiert mit dem Exponenten in der Funktionsgleichung, wenn du \(x\) durch \(x+s\) ersetzt?

1. Für \(x = 0\) ergibt sich \(\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{4^1}{4^0} = \frac{4}{1} = 4\). Für \(x = 2\) ergibt sich \(\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{4^3}{4^2} = \frac{64}{16} = 4\). Das Verhältnis ist konstant und entspricht der Basis der Funktion. 2. Bei einer Erhöhung um \(s = 1{,}5\) wird der Funktionswert mit \(4^{1{,}5}\) multipliziert. Da \(4^{1{,}5} = 4^1 \cdot 4^{0{,}5} = 4 \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8\), beträgt der Faktor \(8\). 3. Gesucht ist \(s\) mit \(4^s = 32\). Durch Umschreiben zur Basis \(2\) erhält man \((2^2)^s = 2^5\), also \(2^{2s} = 2^5\). Der Exponentenvergleich liefert \(2s = 5\), woraus \(s = 2{,}5\) folgt. 4. Der allgemeine Wachstumsfaktor für eine Schrittweite \(s\) lautet \(a^s\).

1. Das Verhältnis ist in beiden Fällen \(4\). 2. Der Faktor ist \(8\). 3. Die Schrittweite beträgt \(s = 2{,}5\). 4. Der Faktor lautet \(a^s\).

- Wie rechnet man eine prozentuale Abnahme in einen Multiplikationsfaktor um? - Wenn etwas mehrmals hintereinander um denselben Faktor abnimmt, welche Rechenoperation nutzt man für die Zeitdauer im Exponenten? - Beachte den Unterschied zwischen dem „noch vorhandenen Wert“ (Faktor) und dem „Verlust“ (Differenz zu \(100\,\%\)). - Überlege dir, ob sich die \(10\,\%\) jedes Jahr auf die gleiche Ausgangszahl beziehen oder auf den jeweils neuen, kleineren Wert.

1. Eine Abnahme um \(10\,\%\) entspricht einem Abnahmefaktor von \(q = 1 - 0{,}10 = 0{,}9\). 2. Nach \(5\) Jahren wird der Bestand mit \(q^5 = 0{,}9^5\) multipliziert. \(0{,}9^5 = 0{,}59049\). Dies entspricht etwa \(59{,}05\,\%\) des ursprünglichen Bestands. 3. Nach \(10\) Jahren gilt der Faktor \(q^{10} = 0{,}9^{10} = (0{,}9^5)^2 \approx 0{,}348678\). 4. Prozentualer Verlust nach \(5\) Jahren: \(100\,\% - 59{,}05\,\% = 40{,}95\,\%\). Prozentualer Verlust nach \(10\) Jahren: \(100\,\% - 34{,}87\,\% = 65{,}13\,\%\). Da \(65{,}13\,\% \neq 2 \cdot 40{,}95\,\% = 81{,}9\,\%\), ist die Aussage falsch. Der Verlust verdoppelt sich nicht, da sich die \(10\,\%\) Abnahme in den Folgejahren immer auf den bereits verminderten Bestand beziehen.

1. \(q = 0{,}9\) 2. Es sind noch ca. \(59{,}05\,\%\) vorhanden. 3. Der Faktor beträgt ca. \(0{,}3487\). 4. Die Aussage ist falsch. Der Verlust nach \(5\) Jahren beträgt ca. \(40{,}95\,\%\), nach \(10\) Jahren jedoch nur ca. \(65{,}13\,\%\) (und nicht \(81{,}9\,\%\)).

- Setze die gegebenen Werte für \(t\) einfach in die Funktionsgleichung ein. - Denke daran, dass \(\pi\) eine feste Zahl auf deinem Taschenrechner ist. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob man die Wurzel aus 8 vereinfachen kann. - Runde erst ganz am Ende deiner Rechnung auf zwei Stellen nach dem Komma.

1. Einsetzen der Zeitwerte in die Funktion \(K(t) = 1000 \cdot 1{,}025^t\) und Berechnung mit dem Taschenrechner. 2. Für Teilaufgabe a): \(K(\sqrt{10}) = 1000 \cdot 1{,}025^{\sqrt{10}} \approx 1081{,}21\,\text{€}\). 3. Für Teilaufgabe b): \(K(\pi) = 1000 \cdot 1{,}025^{\pi} \approx 1080{,}66\,\text{€}\). 4. Für Teilaufgabe c): Berechnung von \(K(\sqrt{8}) = 1000 \cdot 1{,}025^{\sqrt{8}} \approx 1072{,}34\,\text{€}\) und \(K(2\sqrt{2}) = 1000 \cdot 1{,}025^{2\sqrt{2}} \approx 1072{,}34\,\text{€}\). Die Werte sind identisch, da die Exponenten mathematisch gleichwertig sind: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

a) \(1081{,}21\,\text{€}\) b) \(1080{,}66\,\text{€}\) c) Beide Werte betragen \(1072{,}34\,\text{€}\). Sie sind gleich, weil \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) gilt.

- Überlege dir, welche Rechenregel für Potenzen gilt, wenn man im Exponenten zwei Zahlen addiert. - Wenn sich ein Wert ver- \(n\)-facht, wie berechnest du daraus die prozentuale Steigerung oder Abnahme? - Ein Exponent von \(0{,}5\) ist das Gleiche wie das Ziehen einer Quadratwurzel. - Eine Verringerung von \(x\) bedeutet, dass du eine negative Zahl für die Änderung einsetzt.

1. Für die Änderung des Funktionswertes bei einer Addition von \(k\) zum Argument \(x\) gilt allgemein: \(f(x+k) = a^{x+k} = a^k \cdot a^x = a^k \cdot f(x)\). Der Faktor, um den sich der Wert ändert, ist also \(1{,}44^k\). 2. Zu a): Für \(k = 0{,}5\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{0{,}5} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Dies entspricht einer Zunahme von \(20\,\%\). 3. Zu b): Für \(k = 2\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^2 = 2{,}0736\). Dies entspricht einer Zunahme von \(107{,}36\,\%\). 4. Zu c): Für \(k = -1\) ergibt sich der Faktor \(1{,}44^{-1} = \frac{1}{1{,}44} \approx 0{,}6944\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \(0{,}6944 - 1 = -0{,}3056\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}6\,\%\) entspricht.

a) Der Funktionswert nimmt um \(20\,\%\) zu. b) Der Funktionswert nimmt um \(107{,}36\,\%\) zu. c) Der Funktionswert nimmt um ca. \(30{,}6\,\%\) ab.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn du das Argument um einen festen Wert veränderst? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis. - Überlege, wie man Brüche vereinfacht, in denen Potenzen vorkommen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „unabhängig von \(x\)“ sein soll?

1. Einsetzen der Funktionsvorschrift in das Verhältnis: \(\frac{f(x-4)}{f(x)} = \frac{c \cdot a^{x-4}}{c \cdot a^x}\). Durch Kürzen von \(c\) und Anwenden der Potenzgesetze (\(a^n : a^m = a^{n-m}\)) folgt: \(a^{(x-4)-x} = a^{-4}\). Alternativ lässt sich dies als \(\frac{1}{a^4}\) schreiben. Da dieser Ausdruck nicht mehr von \(x\) abhängt, ist das Verhältnis konstant. 2. Einsetzen von \(a = 0{,}8\): \(0{,}8^{-4} = \frac{1}{0{,}8^4}\). Berechnung des Nenners: \(0{,}8^4 = 0{,}4096\). Damit ergibt sich der Wert \(\frac{1}{0{,}4096} = 2{,}441\,406\,25\).

1. \(\frac{f(x-4)}{f(x)} = a^{-4}\) oder \(\frac{1}{a^4}\) 2. \(2{,}441\,406\,25\)

- Wenn eine Erhöhung um einen bestimmten Wert einer Multiplikation entspricht, welcher Operation entspricht dann eine Verminderung? - Du musst den Wachstumsfaktor \(a\) nicht unbedingt einzeln ausrechnen, um das Problem zu lösen. - Wie hängen die Faktoren für einen Schritt vorwärts und einen Schritt rückwärts zusammen? - Kannst du den Zusammenhang zwischen \(f(t)\) und \(f(t+2)\) als Gleichung aufschreiben?

1. Aus der Information, dass sich der Bestand bei einer Zunahme von \(t\) um \(2\) vervierfacht, folgt für den Wachstumsfaktor \(a\): \(f(t+2) = f(t) \cdot a^2 = 4 \cdot f(t)\). Daraus ergibt sich direkt \(a^2 = 4\). 2. Für eine Verminderung der Zeit um \(2\) Einheiten gilt bei Exponentialfunktionen: \(f(t-2) = f(t) \cdot a^{-2} = f(t) \cdot \frac{1}{a^2}\). 3. Durch Einsetzen von \(a^2 = 4\) in die Beziehung für den verminderten Zeitpunkt erhält man: \(f(t-2) = f(t) \cdot \frac{1}{4} = 0{,}25 \cdot f(t)\).

\(f(t-2) = 0{,}25 \cdot f(t)\)

- Setze für \(x\) den Term \(x + \frac{1}{3}\) in die Klammer im Exponenten ein. - Achte beim Auflösen der Klammer im Exponenten besonders auf das Vorzeichen und den Faktor vor dem \(x\). - Wie lässt sich eine negative Potenz wie \(2^{-1}\) als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Was bleibt übrig, wenn du den neuen Funktionsterm durch den alten teilst?

1. Einsetzen des neuen Arguments \(x + \frac{1}{3}\) in die Funktionsgleichung: \(h(x + \frac{1}{3}) = 5 \cdot 2^{-3(x + \frac{1}{3})}\). 2. Vereinfachung des Exponenten durch Ausmultiplizieren: \(-3 \cdot x - 3 \cdot \frac{1}{3} = -3x - 1\). 3. Anwendung der Potenzgesetze zur Trennung der Terme: \(5 \cdot 2^{-3x} \cdot 2^{-1}\). 4. Identifikation des Faktors als \(2^{-1}\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Überlege dir, wie der Wachstumsfaktor \(a\) mit der prozentualen Änderung zusammenhängt: Ist \(a > 1\) oder \(a < 1\)? - Der Anfangswert \(C\) steht in der Funktionsgleichung immer an der Stelle, die nicht von der Potenz beeinflusst wird. - Erinnere dich an den Zusammenhang \(a = 1 \pm \frac{p}{100}\).

1. Erste Zeile: Bei einer Zunahme von \(35\,\%\) berechnet sich der Wachstumsfaktor als \(a = 1 + \frac{35}{100} = 1{,}35\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\). 2. Zweite Zeile: Ein Wachstumsfaktor von \(a = 0{,}82\) entspricht einer Abnahme, da \(a < 1\). Die prozentuale Änderung ist \(0{,}82 - 1 = -0{,}18\), also eine Abnahme von \(18\,\%\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\). 3. Dritte Zeile: Aus dem Term \(8 \cdot 1{,}045^x\) liest man den Anfangswert \(C = 8\) und den Wachstumsfaktor \(a = 1{,}045\) ab. Die prozentuale Änderung berechnet sich aus \(1{,}045 - 1 = 0{,}045\), was einer Zunahme von \(4{,}5\,\%\) entspricht.

1. Zeile: \(a = 1{,}35\); \(f(x) = 120 \cdot 1{,}35^x\) 2. Zeile: Änderung: \(-18\,\%\) (oder Abnahme um \(18\,\%\)); \(f(x) = 50 \cdot 0{,}82^x\) 3. Zeile: Änderung: \(+4{,}5\,\%\) (oder Zunahme um \(4{,}5\,\%\)); \(a = 1{,}045\); \(C = 8\)

- Der Anfangswert ist der Wert der Funktion bei \(x = 0\). - Die prozentuale Veränderung findest du, indem du die Differenz des Wachstumsfaktors zu \(1\) betrachtest. - Achte bei Teilaufgabe b) auf die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Analyse von \(f(x)\): Anfangswert \(C = 400\). Da \(a = 1{,}015\), liegt eine Zunahme vor. \(1{,}015 - 1 = 0{,}015\), also eine Zunahme um \(1{,}5\,\%\). 2. Analyse von \(g(x)\): Anfangswert \(C = 25\). Da \(a = 0{,}6\), liegt eine Abnahme vor. \(1 - 0{,}6 = 0{,}4\), also eine Abnahme um \(40\,\%\). 3. Analyse von \(h(x)\): Anfangswert \(C = 2\). Da \(a = 3\), liegt eine Zunahme vor. \(3 - 1 = 2\), also eine Zunahme um \(200\,\%\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b): Setze \(x = 2\) in \(f(x)\) ein: \(f(2) = 400 \cdot 1{,}015^2 = 400 \cdot 1{,}030225 = 412{,}09\).

a) \(f(x)\): Anfangswert \(400\), Zunahme um \(1{,}5\,\%\); \(g(x)\): Anfangswert \(25\), Abnahme um \(40\,\%\); \(h(x)\): Anfangswert \(2\), Zunahme um \(200\,\%\) b) \(f(2) = 412{,}09\)

- Stelle für beide Kulturen eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. - Wie oft passt der Verdopplungs- oder Verdreifachungszeitraum in eine unbekannte Zeit \(t\)? - Setze die Funktionen jeweils mit der Zielgröße gleich und löse nach der Zeit auf. - Der Logarithmus hilft dir dabei, eine Variable im Exponenten zu isolieren.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen für die Zeit \(t\) in Minuten: Kultur A: \(N_A(t) = 100 \cdot 2^{\frac{t}{20}}\) Kultur B: \(N_B(t) = 100 \cdot 3^{\frac{t}{30}}\) 2. Berechnung der Zeit \(t_A\) für Kultur A bis \(1\,000\,000\): \(100 \cdot 2^{\frac{t}{20}} = 1\,000\,000 \Rightarrow 2^{\frac{t}{20}} = 10\,000\) \(\frac{t}{20} = \log_2(10\,000) \Rightarrow t_A = 20 \cdot \frac{\ln(10\,000)}{\ln(2)} \approx 265{,}75\,\text{min}\) 3. Berechnung der Zeit \(t_B\) für Kultur B bis \(1\,000\,000\): \(100 \cdot 3^{\frac{t}{30}} = 1\,000\,000 \Rightarrow 3^{\frac{t}{30}} = 10\,000\) \(\frac{t}{30} = \log_3(10\,000) \Rightarrow t_B = 30 \cdot \frac{\ln(10\,000)}{\ln(3)} \approx 251{,}51\,\text{min}\) 4. Vergleich und Differenz: Kultur B erreicht den Wert zuerst, da \(251{,}51 < 265{,}75\). Differenz: \(265{,}754 - 251{,}508 = 14{,}246\,\text{min}\). Gerundet beträgt der Zeitunterschied \(14{,}25\,\text{min}\).

Kultur B erreicht die Marke zuerst. Der Zeitunterschied beträgt etwa \(14{,}25\) Minuten.

- Wie bestimmt man den Wachstumsfaktor \(q\), wenn eine prozentuale Zunahme gegeben ist? - Welche Zahl musst du für \(t\) einsetzen, wenn der Zeitraum in Monaten angegeben ist, die Einheit von \(t\) aber Jahre sind? - Überlege dir, ob der Faktor für den Gesamtwert nur von der Zeitspanne oder auch vom Startwert abhängt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Bei einer Steigerung von \(6\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\). Mit \(W_0 = 500\) folgt \(W(t) = 500 \cdot 1{,}06^t\). 2. Bestimmung der Wachstumsfaktoren für Zeiträume \(\Delta t\): 3. Faktor nach 2 Jahren: \(1{,}06^2 = 1{,}1236\). 4. Faktor nach 5 Jahren: \(1{,}06^5 \approx 1{,}3382\). 5. Faktor nach 10 Jahren: \(1{,}06^{10} \approx 1{,}7908\). 6. Berechnung der Werte für Teil b) durch Einsetzen der entsprechenden Jahresanteile für \(t\). 7. Nach 3 Monaten (\(t = \frac{3}{12} = 0{,}25\)): \(W(0{,}25) = 500 \cdot 1{,}06^{0{,}25} \approx 507{,}34\,\text{€}\). 8. Nach \(1{,}5\) Jahren (\(t = 1{,}5\)): \(W(1{,}5) = 500 \cdot 1{,}06^{1{,}5} \approx 545{,}67\,\text{€}\).

a) \(W(t) = 500 \cdot 1{,}06^t\). Faktoren: nach 2 Jahren \(1{,}1236\); nach 5 Jahren ca. \(1{,}3382\); nach 10 Jahren ca. \(1{,}7908\). b) Nach 3 Monaten: \(507{,}34\,\text{€}\); nach \(1{,}5\) Jahren: \(545{,}67\,\text{€}\).

- Welche Rechenoperation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Isoliere zuerst die Potenz, bevor du den Logarithmus anwendest. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze für Potenzen.

1. Fall a): Aufstellen der Gleichung \(15\,000 = 10\,000 \cdot 1{,}04^n\). Division durch \(10\,000\) führt zu \(1{,}5 = 1{,}04^n\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n = \frac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx 10{,}3\) Jahre. 2. Fall b): Aufstellen der Gleichung \(1\,200 = 500 \cdot 1{,}06^n\). Division durch \(500\) führt zu \(2{,}4 = 1{,}06^n\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n = \frac{\log(2{,}4)}{\log(1{,}06)} \approx 15{,}0\) Jahre.

a) \(n \approx 10{,}3\) Jahre b) \(n \approx 15{,}0\) Jahre

- Was bleibt von \(100\,\%\) übrig, wenn man \(12\,\%\) wegnimmt? - Achte darauf, dass die Intensität in jedem Meter vom neuen Wert aus berechnet wird, nicht immer vom Startwert. - Vergleiche das Ergebnis einer schrittweisen (exponentiellen) Abnahme mit einer einfachen Multiplikation der Prozentzahl.

1. Der Abnahmefaktor \(q\) gibt an, welcher Anteil nach einem Schritt verbleibt. Bei einer Abnahme um \(p\,\%\) bleiben \((100 - p)\,\%\) übrig, also \(q = 1 - \frac{p}{100}\). Hier: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Berechnung der Intensitäten mit \(I(d) = 100\,\% \cdot 0{,}88^d\). 3. In \(2\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^2 = 77{,}44\,\%\). 4. In \(5\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^5 \approx 52{,}77\,\%\). 5. In \(10\,\text{m}\) Tiefe: \(100 \cdot 0{,}88^{10} \approx 27{,}85\,\%\). 6. Stellungnahme: Die Behauptung des Tauchers ist falsch, da er fälschlicherweise von einer linearen Abnahme ausgeht (\(5 \cdot 12\,\% = 60\,\%\)). Bei exponentieller Abnahme wird die Verringerung jedoch immer auf den bereits reduzierten Wert angewendet. Nach \(5\,\text{m}\) sind noch ca. \(52{,}77\,\%\) vorhanden, die Intensität ist also nur um ca. \(47{,}23\,\%\) gesunken.

a) \(q = 0{,}88\). Der Faktor entspricht dem verbleibenden Anteil (\(100\,\% - 12\,\% = 88\,\%\)). b) \(2\,\text{m}\): \(77{,}44\,\%\); \(5\,\text{m}\): ca. \(52{,}77\,\%\); \(10\,\text{m}\): ca. \(27{,}85\,\%\). c) Die Aussage ist falsch. Eine Abnahme um \(60\,\%\) würde bedeuten, dass noch \(40\,\%\) vorhanden sind. Tatsächlich sind es aber ca. \(52{,}77\,\%\), da sich die \(12\,\%\) immer auf den Restwert der vorherigen Tiefe beziehen.

- Wie hängt der Wachstumsfaktor mit der prozentualen Zunahme oder Abnahme zusammen? - Wenn der Faktor kleiner als 1 ist, handelt es sich um eine Abnahme. - Überlege, wie du den Faktor für einen negativen Schritt oder einen halben Schritt berechnest. - Die Formel für den neuen Wert lautet \(g(x+h) = g(x) \cdot 0{,}8^h\).

1. Der Änderungsfaktor für einen Schritt der Länge \(h\) beträgt \(0{,}8^h\). Die prozentuale Änderung berechnet sich durch \((0{,}8^h - 1) \cdot 100\,\%\). 2. Schrittweite \(h = 1\): \(0{,}8^1 = 0{,}8\). Änderung: \((0{,}8 - 1) \cdot 100\,\% = -20\,\%\). 3. Schrittweite \(h = 2\): \(0{,}8^2 = 0{,}64\). Änderung: \((0{,}64 - 1) \cdot 100\,\% = -36\,\%\). 4. Schrittweite \(h = -1\): \(0{,}8^{-1} = 1{,}25\). Änderung: \((1{,}25 - 1) \cdot 100\,\% = +25\,\%\). 5. Schrittweite \(h = 0{,}5\): \(0{,}8^{0{,}5} \approx 0{,}8944\). Änderung: \((0{,}8944 - 1) \cdot 100\,\% \approx -10{,}6\,\%\).

(1) Abnahme um \(20\,\%\) (2) Abnahme um \(36\,\%\) (3) Zunahme um \(25\,\%\) (4) Abnahme um ca. \(10{,}6\,\%\)

- Der Wachstums- oder Zerfallsfaktor pro Schritt \(x\) ist die Basis der Funktion. Wie wirkt sich das auf mehrere Schritte aus? - Erinnere dich: Eine Multiplikation mit einem Faktor kleiner als 1 bedeutet eine prozentuale Abnahme. Wie rechnet man das um? - Für den letzten Aufgabenteil hilft das Potenzgesetz \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\).

1. Zu a): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(2\) wird der Funktionswert mit dem Faktor \(0{,}75^2\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^2 = 0{,}5625\). 2. Zu b): Bei einer Erhöhung von \(x\) um \(3\) wird der Wert mit \(0{,}75^3\) multipliziert. Berechnung: \(0{,}75^3 = 0{,}421875\). Die prozentuale Abnahme ist \(1 - 0{,}421875 = 0{,}578125\), also ca. \(57{,}81\,\%\). 3. Zu c): Wird \(x\) verdoppelt, betrachten wir \(g(2x) = 0{,}75^{2x}\). Nach den Potenzgesetzen gilt \(0{,}75^{2x} = (0{,}75^x)^2\). Da \(y = 0{,}75^x\) ist, gilt \(g(2x) = y^2\). Der Funktionswert wird also quadriert.

a) Der Funktionswert ändert sich um den Faktor \(0{,}5625\). b) Der Funktionswert nimmt um \(57{,}8125\,\%\) ab. c) Der Funktionswert wird quadriert (\(y_{neu} = y^2\)).