Kostenlose Arbeitsblätter

- Suche in der Tabelle nach zwei aufeinanderfolgenden Werten, bei denen der zweite genau halb so groß ist wie der erste. - Wie viel Zeit liegt zwischen diesen beiden Messungen?

1. Die Wirkstoffmenge halbiert sich von \(80\,\text{mg}\) auf \(40\,\text{mg}\) in \(4\) Stunden. Dasselbe Muster zeigt sich in den weiteren Intervallen. 2. Die Halbwertszeit beträgt daher \(4\) Stunden. Das bedeutet: Nach jeweils \(4\) Stunden ist nur noch die Hälfte der zuvor vorhandenen Wirkstoffmenge übrig.

Die Halbwertszeit beträgt \(4\) Stunden. Nach jeweils \(4\) Stunden halbiert sich die vorhandene Wirkstoffmenge.

- Welche Größe ist in jedem Fall gesucht, und welche Größe ist jeweils gegeben? - Stelle die angegebene Faustformel so um, dass die Verdopplungszeit allein steht. - Prüfe, ob eine größere Wachstumsrate zu einer kürzeren oder längeren Verdopplungszeit führen sollte.

1. Nach der Verdopplungszeit umgestellt lautet die Faustformel \(T_V\approx\frac{70}{p}\). 2. Für \(p=1{,}4\) gilt \(T_V\approx\frac{70}{1{,}4}=50\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(50\,\text{Jahre}\). 3. Für \(p=2{,}5\) gilt \(T_V\approx\frac{70}{2{,}5}=28\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(28\,\text{Jahre}\). 4. Für \(p=3{,}5\) gilt \(T_V\approx\frac{70}{3{,}5}=20\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(20\,\text{Jahre}\). 5. Für \(p=5{,}0\) gilt \(T_V\approx\frac{70}{5{,}0}=14\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(14\,\text{Jahre}\).

1. Etwa \(50\,\text{Jahre}\) 2. Etwa \(28\,\text{Jahre}\) 3. Etwa \(20\,\text{Jahre}\) 4. Etwa \(14\,\text{Jahre}\)

- Welche Größe ist diesmal gesucht, und welche steht jeweils als Messwert fest? - Stelle die angegebene Faustregel nach der Wachstumsrate um. - Prüfe deine Ergebnisse qualitativ: Welche Kultur mit kürzerer Verdopplungszeit sollte die größere Wachstumsrate besitzen?

1. Nach der Wachstumsrate umgestellt lautet die Faustregel \(p\approx\frac{70}{T_V}\). 2. Für Kultur A gilt \(p\approx\frac{70}{20}=3{,}5\). Die Wachstumsrate beträgt etwa \(3{,}5\,\%\) pro Stunde. 3. Für Kultur B gilt \(p\approx\frac{70}{35}=2\). Die Wachstumsrate beträgt etwa \(2\,\%\) pro Stunde. 4. Für Kultur C gilt \(p\approx\frac{70}{50}=1{,}4\). Die Wachstumsrate beträgt etwa \(1{,}4\,\%\) pro Stunde.

1. Etwa \(3{,}5\,\%\) pro Stunde 2. Etwa \(2\,\%\) pro Stunde 3. Etwa \(1{,}4\,\%\) pro Stunde

- Welche gleichbleibende Multiplikation beschreibt eine Halbierung in jedem Zeitabschnitt? - Achte beim Umrechnen von Milligramm in Gramm auf den Umrechnungsfaktor zwischen den Einheiten. - Verwende für den Überschlag in Teil b) bewusst die im Text angegebene Näherung statt des exakten Potenzwerts.

1. Pro Zeitabschnitt halbiert sich die Masse. Der Wachstumsfaktor ist daher \(a=0{,}5\), sodass \(m(n)=640\cdot0{,}5^n\) gilt. 2. Für \(n=2\) erhält man \(m(2)=640\cdot0{,}5^2=160\,\text{mg}=0{,}16\,\text{g}\). 3. Für \(n=3\) erhält man \(m(3)=640\cdot0{,}5^3=80\,\text{mg}=0{,}08\,\text{g}\). 4. Für \(n=5\) erhält man \(m(5)=640\cdot0{,}5^5=20\,\text{mg}=0{,}02\,\text{g}\). 5. Für den Überschlag nach zehn Zeitabschnitten gilt \(m(10)=640\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\approx640\cdot\frac{1}{1000}=0{,}64\,\text{mg}\).

a) <table> <tr> <th>Zeitabschnitt \(n\)</th> <th>Masse in \(\text{mg}\)</th> <th>Masse in \(\text{g}\)</th> </tr> <tr> <td>2</td> <td>\(160\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>\(80\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(20\)</td> <td>\(0{,}02\)</td> </tr> </table> b) Nach zehn Zeitabschnitten sind überschlägig noch etwa \(0{,}64\,\text{mg}\) vorhanden.

- Welcher Wert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Was bedeutet „verdoppelt sich jeden Monat“ für den gleichbleibenden Wachstumsfaktor? - Wandle ein halbes und ein ganzes Jahr in die Zeiteinheit der Funktion um, bevor du einsetzt.

1. Der Anfangswert ist \(b=4500\). Da sich der Bestand jeden Monat verdoppelt, ist der Wachstumsfaktor \(a=2\). Damit gilt \(N(t)=4500\cdot2^t\). 2. Ein halbes Jahr entspricht \(6\) Monaten. Daher ist \(N(6)=4500\cdot2^6=288\,000\). 3. Ein Jahr entspricht \(12\) Monaten. Daher ist \(N(12)=4500\cdot2^{12}=18\,432\,000\).

Die Funktionsgleichung lautet \(N(t)=4500\cdot2^t\). Nach einem halben Jahr gibt es \(288\,000\) Nutzer, nach einem Jahr \(18\,432\,000\) Nutzer.

- Schau dir zuerst den Startwert auf der vertikalen Achse an, wenn die Zeit Null ist. - Um eine Verdopplung zu finden, suchst du auf der vertikalen Achse den doppelten Startwert und gehst von dort waagerecht zum Graphen. - Gehe von einem Punkt auf dem Graphen senkrecht nach unten, um die zugehörige Zeit auf der horizontalen Achse zu finden.

1. Bestimmung der Anfangspopulation zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(N(0) = 100\). 2. Für die Verdopplung (Teilaufgabe a) wird der Zeitpunkt gesucht, an dem \(N(t) = 200\) ist. Aus dem Graphen lässt sich ein Wert von etwa \(3\,\text{Stunden}\) ablesen. 3. Für Teilaufgabe b) wird der Schnittpunkt des Graphen mit der horizontalen Linie bei \(N = 400\) gesucht. Dies entspricht etwa \(6\,\text{Stunden}\). 4. Für Teilaufgabe c) wird der Funktionswert an der Stelle \(t = 9\) abgelesen. Der Graph liegt hier bei etwa \(750\) Bakterien.

a) Nach etwa \(3\,\text{Stunden}\). b) Nach etwa \(6\,\text{Stunden}\). c) Es sind etwa \(750\) Bakterien vorhanden.

- Bestimme zuerst den gemeinsamen Anfangswert der beiden Graphen. - Suche für jede Sorte den Zeitpunkt, an dem sich dieser Anfangswert verdoppelt hat. - Setze für Teil b) den gegebenen Zeitpunkt in das Modell ein und runde erst das Endergebnis.

1. Beide Sorten starten bei \(5\,\text{m}^2\). Sorte \(1\) erreicht \(10\,\text{m}^2\) nach \(4\) Tagen, Sorte \(2\) nach \(6\) Tagen. Daher gilt \(T_V=4\,\text{Tage}\) für Sorte \(1\) und \(T_V=6\,\text{Tage}\) für Sorte \(2\). 2. Für Sorte \(1\) gilt \(f(10)=5\cdot2^{10/4}=5\cdot2^{2{,}5}\approx28{,}28\,\text{m}^2\).

a) Sorte \(1\): \(T_V=4\,\text{Tage}\); Sorte \(2\): \(T_V=6\,\text{Tage}\) b) \(f(10)\approx28{,}28\,\text{m}^2\)

- Welche Größe entspricht hier der Verdopplungszeit in der angegebenen Faustformel? - Der Faktor für eine Stunde muss sich über \(14\) gleiche Zeitschritte zu einem Gesamtfaktor von \(2\) zusammensetzen. - Achte in Teil c) darauf, die drei Tage in dieselbe Zeiteinheit wie den Wachstumsfaktor umzuwandeln und erst am Ende zu runden.

1. Die Verdopplungszeit beträgt \(T_V=14\,\text{h}\). Aus \(p\cdot14\approx70\) folgt \(p\approx70:14=5\). Die Faustformel liefert etwa \(5\,\%\) pro Stunde. 2. Für den exakten Wachstumsfaktor gilt \(a^{14}=2\). Daher ist \(a=\sqrt[14]{2}\approx1{,}0508\). 3. Aus dem Wachstumsfaktor folgt \((a-1)\cdot100\,\%\approx5{,}08\,\%\) pro Stunde. 4. Drei Tage entsprechen \(72\) Stunden. Damit gilt \(N(72)=500\cdot(\sqrt[14]{2})^{72}=500\cdot2^{72/14}\approx17\,665{,}43\). Gerundet sind das \(17\,665\) Bakterien.

a) \(p\approx5\,\%\) pro Stunde b) \(a=\sqrt[14]{2}\approx1{,}0508\); \(p\approx5{,}08\,\%\) pro Stunde c) Etwa \(17\,665\) Bakterien

- Nach einer Halbwertszeit ist noch die Hälfte des vorherigen Werts vorhanden. - Gesucht ist jeweils ein Faktor für einen einzelnen Zeitschritt, der über die gesamte Halbwertszeit den Faktor \(0{,}5\) ergibt. - Übersetze den erhaltenen Wachstumsfaktor anschließend in den Anteil, der pro Stunde verloren geht.

1. Für eine Halbwertszeit \(T_H\) erfüllt der stündliche Wachstumsfaktor \(a\) die Gleichung \(a^{T_H}=0{,}5\). 2. Für Isotop A gilt \(a=\sqrt[8]{0{,}5}\approx0{,}917004\). Die stündliche Abnahmerate beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx8{,}30\,\%\). 3. Für Isotop B gilt \(a=\sqrt[14]{0{,}5}\approx0{,}951695\). Die stündliche Abnahmerate beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx4{,}83\,\%\).

Isotop A: etwa \(8{,}30\,\%\) pro Stunde; Isotop B: etwa \(4{,}83\,\%\) pro Stunde.

- Eine Verdopplungszeit beschreibt, nach wie vielen gleichen Zeitschritten insgesamt der Faktor \(2\) erreicht wird. - Suche für jedes Szenario den gleichbleibenden Faktor eines einzelnen Tages. - Übersetze den Anteil des Wachstumsfaktors oberhalb von \(1\) in eine prozentuale Zunahme.

1. Für eine Verdopplungszeit \(T_V\) erfüllt der tägliche Wachstumsfaktor \(a\) die Gleichung \(a^{T_V}=2\). 2. Bei \(T_V=10\) gilt \(a=\sqrt[10]{2}\approx1{,}071773\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \((a-1)\cdot100\,\%\approx7{,}18\,\%\). 3. Bei \(T_V=6\) gilt \(a=\sqrt[6]{2}\approx1{,}122462\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \((a-1)\cdot100\,\%\approx12{,}25\,\%\).

Verdopplungszeit \(10\) Tage: etwa \(7{,}18\,\%\) pro Tag; Verdopplungszeit \(6\) Tage: etwa \(12{,}25\,\%\) pro Tag.

- Betrachte die Höhe zunächst in Schritten von \(1000\,\text{m}\). - Wie muss sich ein Faktor für eine halbe oder für mehrere ganze Höheneinheiten zum bekannten Faktor verhalten? - Suche für Teil c) durch systematisches Probieren eine Höhe, bei der ungefähr die Hälfte des Ausgangswerts übrig bleibt.

1. Pro \(1000\,\text{m}\) bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Luftdrucks erhalten. Der Wachstumsfaktor für \(1000\,\text{m}\) ist daher \(a=0{,}88\). 2. Für \(3000\,\text{m}\) beträgt der Restanteil \(0{,}88^3=0{,}681472\), also etwa \(68{,}1\,\%\). 3. Für \(500\,\text{m}\) ist der Faktor \(\sqrt{0{,}88}\approx0{,}938\); für \(5000\,\text{m}\) ist er \(0{,}88^5\approx0{,}528\). Für \(1000\,\text{m}\) bleibt er \(0{,}88\). 4. Für \(5{,}4\,\text{km}\) gilt \(0{,}88^{5{,}4}\approx0{,}5014\), für \(5{,}5\,\text{km}\) etwa \(0{,}4951\). Auf \(0{,}1\,\text{km}\) genau liegt die Halbwertshöhe daher bei etwa \(5{,}4\,\text{km}\).

a) Etwa \(68{,}1\,\%\) b) \(1000\,\text{m}\): \(0{,}88\); \(500\,\text{m}\): \(0{,}938\); \(5000\,\text{m}\): \(0{,}528\) c) Etwa \(5{,}4\,\text{km}\), also etwa \(5400\,\text{m}\)

- Welcher verbleibende Faktor gehört zu einer Abnahme von \(22\,\%\) pro Meter? - Welche Restanteile gehören zur Hälfte beziehungsweise zu \(1\,\%\)? - In b) und c) ist die gesuchte Tiefe der Exponent.

1. Pro Meter bleibt der Faktor \(0{,}78\). Damit gilt für die Intensität in Prozent \(I(d)=100\cdot0{,}78^d\). 2. Es ist \(I(2)=60{,}84\,\%\), \(I(5)\approx28{,}87\,\%\) und \(I(10)\approx8{,}34\,\%\). 3. Für die Halbierung gilt \(0{,}78^d=0{,}5\). Daher ist \(d=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}78)}\approx2{,}79\,\text{m}\). 4. Für einen Restanteil von \(1\,\%\) gilt \(0{,}78^d=0{,}01\). Daher ist \(d=\frac{\log_{10}(0{,}01)}{\log_{10}(0{,}78)}\approx18{,}53\,\text{m}\).

a) \(2\,\text{m}\): \(60{,}84\,\%\); \(5\,\text{m}\): \(28{,}87\,\%\); \(10\,\text{m}\): \(8{,}34\,\%\) b) etwa \(2{,}79\,\text{m}\) c) etwa \(18{,}53\,\text{m}\)

- Welcher Parameter der Form \(b\cdot a^t\) ist durch den Messwert bei \(t=0\) bereits festgelegt? - Vergleiche die Masse nach \(16\) Tagen mit dem Anfangswert und überlege, welcher gleichbleibende Tagesfaktor diese Gesamtänderung erzeugt. - Prüfe für Teil b), ob sich die gegebene Zeit besonders einfach in gleich lange Halbierungsabschnitte zerlegen lässt.

1. Der Anfangswert ist \(b=80\). 2. Aus \(80\cdot a^{16}=20\) folgt \(a^{16}=0{,}25\). Damit ist \(a=\sqrt[16]{0{,}25}=0{,}5^{1/8}\approx0{,}9170\). 3. In der verlangten Form kann das Modell als \(m(t)=80\cdot\left(0{,}5^{1/8}\right)^t\) geschrieben werden. Gleichwertig ist \(m(t)=80\cdot0{,}5^{t/8}\); mit gerundetem Tagesfaktor gilt näherungsweise \(m(t)\approx80\cdot0{,}9170^t\). 4. Nach \(24\) Tagen ist \(m(24)=80\cdot0{,}5^{24/8}=80\cdot0{,}5^3=10\,\text{mg}\).

a) Exakt: \(m(t)=80\cdot\left(0{,}5^{1/8}\right)^t\), äquivalent \(m(t)=80\cdot0{,}5^{t/8}\); näherungsweise \(m(t)\approx80\cdot0{,}9170^t\) b) \(10\,\text{mg}\)

- Welche Gesamtänderung findet während genau einer Halbwertszeit statt, und wie muss dazu der Faktor eines einzelnen Minuten-Schritts passen? - Für Teil b) kannst du die Zielmasse mit dem Anfangswert vergleichen und den erhaltenen Anteil als Potenz von \(0{,}5\) betrachten. - Nutze die Halbwertszeit, um die Zahl der Halbierungen in eine Gesamtzeit zu übersetzen.

1. Der Anfangswert ist \(b=120\). Für den Wachstumsfaktor der exponentiellen Abnahme gilt wegen der Halbwertszeit \(a^{15}=0{,}5\). 2. Daher ist \(a=\sqrt[15]{0{,}5}\approx0{,}9548\). Somit lautet die Funktionsgleichung \(f(t)=120\cdot\left(\sqrt[15]{0{,}5}\right)^t\), äquivalent \(f(t)=120\cdot0{,}5^{t/15}\). 3. Für \(15\,\text{mg}\) gilt \(120\cdot0{,}5^{t/15}=15\), also \(0{,}5^{t/15}=15:120=0{,}125\). 4. Weil \(0{,}125=0{,}5^3\), folgt \(t:15=3\) und damit \(t=45\). Nach \(45\,\text{Minuten}\) sind noch \(15\,\text{mg}\) vorhanden.

a) \(a=\sqrt[15]{0{,}5}\approx0{,}9548\); \(f(t)=120\cdot\left(\sqrt[15]{0{,}5}\right)^t\), äquivalent \(f(t)=120\cdot0{,}5^{t/15}\) b) \(45\,\text{Minuten}\)

- Welche Gesamtwirkung hat die exponentielle Abnahme über genau eine Halbwertszeit? - Der gesuchte Jahresfaktor muss über \(30{,}05\) Jahre den Gesamtfaktor \(0{,}5\) ergeben. - Für Teil b) kannst du die \(50\) Jahre als Vielfaches der Halbwertszeit im Exponenten ausdrücken; runde erst das Endergebnis.

1. Über die Halbwertszeit gilt \(a^{30{,}05}=0{,}5\). Daher ist \(a=0{,}5^{\frac{1}{30{,}05}}\approx0{,}9771975\), also auf vier Dezimalstellen \(a\approx0{,}9772\). 2. Die jährliche prozentuale Abnahmerate beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx2{,}28\,\%\). 3. Nach \(50\) Jahren gilt \(A(50)=600\cdot0{,}5^{\frac{50}{30{,}05}}\approx189{,}35\,\text{Bq}\).

a) \(a\approx0{,}9772\); jährliche Abnahmerate etwa \(2{,}28\,\%\) b) \(A(50)\approx189{,}35\,\text{Bq}\)

- Bestimme zunächst den Anfangswert und die Höhen, die der Hälfte, einem Viertel und einem Achtel davon entsprechen. - Vergleiche die Zeitabstände zwischen den aufeinanderfolgenden Halbierungen. - Für die prozentuale Änderung brauchst du den gleichbleibenden Faktor eines einzelnen Stunden-Schritts. - Prüfe für Teil d), wie viele vollständige Halbwertszeiten in \(15\) Stunden liegen.

1. Aus dem Diagramm liest man den Anfangswert \(80\,\text{mg}\) ab. \(40\,\text{mg}\) werden nach \(3\) Stunden, \(20\,\text{mg}\) nach \(6\) Stunden und \(10\,\text{mg}\) nach \(9\) Stunden erreicht. Jede weitere Halbierung benötigt also dieselbe Zeitspanne von \(3\) Stunden. 2. Damit beträgt die Halbwertszeit \(T_H=3\,\text{h}\). 3. Der stündliche Wachstumsfaktor \(a\) erfüllt \(a^3=0{,}5\). Somit ist \(a=\sqrt[3]{0{,}5}\approx0{,}7937\). Die prozentuale Abnahme pro Stunde beträgt \((1-a)\cdot100\,\%\approx20{,}6\,\%\). 4. Nach \(15\) Stunden sind \(15:3=5\) Halbwertszeiten vergangen. Daher ist \(W(15)=80\cdot0{,}5^5=2{,}5\,\text{mg}\).

a) Halbiert nach \(3\) Stunden, geviertelt nach \(6\) Stunden, geachtelt nach \(9\) Stunden; die Abstände betragen jeweils \(3\) Stunden. b) \(T_H=3\,\text{h}\) c) Etwa \(20{,}6\,\%\) Abnahme pro Stunde d) \(2{,}5\,\text{mg}\)

- Lies die Anfangsbestände an den Schnittpunkten mit der vertikalen Achse ab. - Suche jeweils den Zeitpunkt, an dem sich der Anfangsbestand verdoppelt beziehungsweise halbiert hat. - Der Faktor eines einzelnen Stunden-Schritts muss über die charakteristische Zeit den Gesamtfaktor \(2\) beziehungsweise \(0{,}5\) ergeben. - Verwende für Teil d) die exakten charakteristischen Zeitdarstellungen und runde erst am Ende.

1. Aus den Schnittpunkten mit der vertikalen Achse liest man \(f(0)=10\) und \(g(0)=80\) ab. 2. Der Bestand von \(f\) steigt von \(10\) auf \(20\) in \(3\) Stunden, also ist \(T_V=3\,\text{h}\). Der Bestand von \(g\) sinkt von \(80\) auf \(40\) in \(4\) Stunden, also ist \(T_H=4\,\text{h}\). 3. Für \(f\) gilt \(10\cdot a^3=20\), also \(a=2^{1/3}\). Damit ist \(f(t)=10\cdot2^{t/3}\), äquivalent \(f(t)=10\cdot\left(2^{1/3}\right)^t\). 4. Für \(g\) gilt \(80\cdot a^4=40\), also \(a=0{,}5^{1/4}\). Damit ist \(g(t)=80\cdot0{,}5^{t/4}\), äquivalent \(g(t)=80\cdot\left(0{,}5^{1/4}\right)^t\). 5. Nach \(15\) Stunden ist \(f(15)=10\cdot2^{15/3}=320\) und \(g(15)=80\cdot0{,}5^{15/4}\approx5{,}9\).

a) \(f(0)=10\); \(g(0)=80\) b) \(T_V=3\,\text{h}\); \(T_H=4\,\text{h}\) c) \(f(t)=10\cdot2^{t/3}\); \(g(t)=80\cdot0{,}5^{t/4}\) d) \(f(15)=320\); \(g(15)\approx5{,}9\)

- Suche im Graphen den Zeitpunkt, an dem die Anfangsmasse auf die Hälfte gesunken ist. - Setze den abgelesenen Anfangswert und die Halbwertszeit in die vorgegebene Modellform ein. - Berechne für Teil c) zunächst mit dem ungerundeten Ausdruck und runde erst die Restmasse.

1. Die Anfangsmasse beträgt \(10\,\text{mg}\); die Hälfte davon sind \(5\,\text{mg}\). Dieser Wert wird im Graphen nach \(8\) Tagen erreicht. Daher ist \(T_H=8\,\text{Tage}\). 2. Mit \(b=10\) und \(T_H=8\) lautet das Modell \(m(t)=10\cdot0{,}5^{t/8}\). 3. Nach \(20\) Tagen gilt \(m(20)=10\cdot0{,}5^{20/8}=10\cdot0{,}5^{2{,}5}\approx1{,}77\,\text{mg}\).

a) \(T_H=8\,\text{Tage}\) b) \(m(t)=10\cdot0{,}5^{t/8}\) c) \(m(20)\approx1{,}77\,\text{mg}\)