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- Überlege, wie du die Formel umstellen musst, um die gesuchte Größe zu isolieren. - Welche Zahl in der Formel steht für den Prozentsatz? - Achte darauf, dass das Ergebnis eine Zeitangabe in Jahren ist.

1. Umstellen der Faustformel nach der Verdopplungszeit: \(d \approx \frac{70}{p}\). 2. Berechnung für \(p = 1{,}4\): \(d \approx \frac{70}{1{,}4} = 50\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(50\,\text{Jahre}\). 3. Berechnung für \(p = 2{,}5\): \(d \approx \frac{70}{2{,}5} = 28\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(28\,\text{Jahre}\). 4. Berechnung für \(p = 3{,}5\): \(d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(20\,\text{Jahre}\). 5. Berechnung für \(p = 5{,}0\): \(d \approx \frac{70}{5{,}0} = 14\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(14\,\text{Jahre}\).

1. \(50\,\text{Jahre}\) 2. \(28\,\text{Jahre}\) 3. \(20\,\text{Jahre}\) 4. \(14\,\text{Jahre}\)

- Was ist in diesem Fall die gesuchte Größe in der Gleichung? - Wie verändert sich die Wachstumsrate, wenn die Verdopplung länger dauert? - Setze die gegebenen Werte für die Zeit in die Formel ein.

1. Umstellen der Faustregel nach der Wachstumsrate: \(p \approx \frac{70}{d}\). 2. Berechnung für Kultur A (\(d = 20\)): \(p \approx \frac{70}{20} = 3{,}5\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(3{,}5\,\%\) pro Stunde. 3. Berechnung für Kultur B (\(d = 35\)): \(p \approx \frac{70}{35} = 2\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(2\,\%\) pro Stunde. 4. Berechnung für Kultur C (\(d = 50\)): \(p \approx \frac{70}{50} = 1{,}4\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}4\,\%\) pro Stunde.

1. \(3{,}5\,\%\) 2. \(2\,\%\) 3. \(1{,}4\,\%\)

- Überlege dir, welcher Wert die Menge zum Zeitpunkt Null darstellt. - Was bedeutet „verdoppeln“ für den Wachstumsfaktor in deiner Gleichung? - Achte darauf, die Zeitangaben wie „ein Jahr“ in die Einheit umzurechnen, die in deiner Formel für \(t\) verwendet wird.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(N(0) = 4500\). Da sich der Bestand jeden Monat verdoppelt, ist der Wachstumsfaktor \(q = 2\). Die Gleichung lautet \(N(t) = 4500 \cdot 2^t\). 2. Berechnung für ein halbes Jahr (\(t = 6\)): \(N(6) = 4500 \cdot 2^6 = 4500 \cdot 64 = 288\,000\). 3. Berechnung für ein ganzes Jahr (\(t = 12\)): \(N(12) = 4500 \cdot 2^{12} = 4500 \cdot 4096 = 18\,432\,000\).

Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 4500 \cdot 2^t\). Nach einem halben Jahr gibt es \(288\,000\) Nutzer, nach einem Jahr sind es \(18\,432\,000\) Nutzer.

- Was bedeutet der Begriff Halbwertszeit für den Wert des Zerfallsfaktors über einen bestimmten Zeitraum? - Kannst du die Abnahme der Masse als Potenz zur Basis \(0{,}5\) ausdrücken? - Wie oft muss sich die Anfangsmenge von \(120\,\text{mg}\) halbieren, um bei \(15\,\text{mg}\) zu landen? - Wenn du weißt, wie oft die Halbierung stattgefunden hat, kannst du die Gesamtzeit leicht berechnen.

1. Der Anfangswert ist \(c = 120\). 2. Da sich die Masse alle \(15\,\text{Minuten}\) halbiert, gilt \(b^{15} = 0{,}5\). Daraus ergibt sich der Zerfallsfaktor \(b = \sqrt[15]{0{,}5} \approx 0{,}9548\). Die Funktionsgleichung ist \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\). 3. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}} = 15\) aufgestellt. 4. Division durch \(120\) führt zu \(0{,}5^{\frac{t}{15}} = \frac{15}{120} = 0{,}125\). 5. Da \(0{,}125 = 0{,}5^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(\frac{t}{15} = 3\). 6. Multiplikation mit \(15\) ergibt \(t = 45\). Die Masse beträgt nach \(45\,\text{Minuten}\) noch \(15\,\text{mg}\).

a) \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) (oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\)) b) Nach \(45\,\text{Minuten}\) ist die Masse auf \(15\,\text{mg}\) gesunken.

- Schau dir zuerst den Startwert auf der vertikalen Achse an, wenn die Zeit Null ist. - Um eine Verdopplung zu finden, suchst du auf der vertikalen Achse den doppelten Startwert und gehst von dort waagerecht zum Graphen. - Gehe von einem Punkt auf dem Graphen senkrecht nach unten, um die zugehörige Zeit auf der horizontalen Achse zu finden.

1. Bestimmung der Anfangspopulation zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(N(0) = 100\). 2. Für die Verdopplung (Teilaufgabe a) wird der Zeitpunkt gesucht, an dem \(N(t) = 200\) ist. Aus dem Graphen lässt sich ein Wert von etwa \(3\,\text{Stunden}\) ablesen. 3. Für Teilaufgabe b) wird der Schnittpunkt des Graphen mit der horizontalen Linie bei \(N = 400\) gesucht. Dies entspricht etwa \(6\,\text{Stunden}\). 4. Für Teilaufgabe c) wird der Funktionswert an der Stelle \(t = 9\) abgelesen. Der Graph liegt hier bei etwa \(750\) Bakterien.

a) Nach etwa \(3\,\text{Stunden}\). b) Nach etwa \(6\,\text{Stunden}\). c) Es sind etwa \(750\) Bakterien vorhanden.

- Schau dir den Anfangswert bei \(t=0\) an und suche dann auf der y-Achse den doppelt so hohen Wert. - Welcher x-Wert gehört zu diesem verdoppelten y-Wert? Das ist die gesuchte Zeitspanne. - Achte beim Einsetzen in die Formel darauf, ob das Ergebnis mit deiner Beobachtung im Graphen plausibel übereinstimmt.

1. Ablesen der Verdopplungszeit: Beide Sorten starten bei \(5\,\text{m}^2\). Sorte \(1\) erreicht den doppelten Wert (\(10\,\text{m}^2\)) nach \(4\,\text{Tagen}\). Sorte \(2\) erreicht \(10\,\text{m}^2\) nach \(6\,\text{Tagen}\). Die Verdopplungszeiten sind somit \(T_1 = 4\,\text{Tage}\) und \(T_2 = 6\,\text{Tage}\). 2. Berechnung der Fläche für Sorte \(1\): Einsetzen von \(t = 10\) in \(f(t) = 5 \cdot 2^{\frac{t}{4}}\) ergibt \(f(10) = 5 \cdot 2^{2{,}5}\). 3. Ergebnisberechnung: \(f(10) = 5 \cdot \sqrt{2^5} = 5 \cdot \sqrt{32} \approx 28{,}28\). Nach \(10\,\text{Tagen}\) sind ca. \(28{,}28\,\text{m}^2\) bedeckt.

a) Die Verdopplungszeit von Sorte \(1\) beträgt \(4\,\text{Tage}\), die von Sorte \(2\) beträgt \(6\,\text{Tage}\). b) Nach \(10\,\text{Tagen}\) ist eine Fläche von etwa \(28{,}28\,\text{m}^2\) bedeckt.

- Wie viele Stunden hat ein Tag? Rechne die Zeitdauer erst in die passende Einheit um. - Wenn sich etwas in einer bestimmten Zeit verdoppelt, wie sieht dann die Gleichung für den Wachstumsfaktor aus? - Die Faustformel ist eine einfache Umstellung der Formel aus der ersten Aufgabe. - Achte beim Runden am Ende darauf, dass es sich um eine Anzahl von Lebewesen handelt.

1. Mit der Faustformel \(p \cdot 14 \approx 70\) folgt \(p \approx \frac{70}{14} = 5\). Die geschätzte Wachstumsrate beträgt \(5\,\%\). 2. Für den exakten stündlichen Wachstumsfaktor gilt \(q^{14} = 2\), also \(q = \sqrt[14]{2} \approx 1{,}0507566\). Damit ist \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 5{,}08\,\%\). 3. Drei Tage entsprechen \(72\) Stunden. Daher: \(N(72) = 500 \cdot q^{72} = 500 \cdot 2^{72/14} \approx 500 \cdot 35{,}330864 \approx 17\,665{,}43\). Gerundet sind nach drei Tagen etwa \(17\,665\) Bakterien vorhanden.

a) \(p \approx 5\,\%\). b) \(q \approx 1{,}0508\); \(p \approx 5{,}08\,\%\). c) Nach drei Tagen sind es etwa \(17\,665\) Bakterien.

- Überlege dir, wie viel von der ursprünglichen Menge nach der Halbwertszeit noch vorhanden ist. - Stelle eine Gleichung auf, in der der Wachstumsfaktor \(q\) die Unbekannte ist. - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Änderung zusammen? - Welche mathematische Operation kehrt ein Potenzieren mit einem bekannten Exponenten um?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: \(W(t) = W_0 \cdot q^t\), wobei \(q\) der stündliche Zerfallsfaktor ist. 2. Bedingung für die Halbwertszeit \(T_h\): \(q^{T_h} = 0{,}5\). 3. Berechnung für Isotop A (\(T_h = 8\)): \(q = \sqrt[8]{0{,}5} \approx 0{,}9170\). Die stündliche Abnahmerate ergibt sich aus \(1 - 0{,}9170 = 0{,}0830\), also ca. \(8{,}30\,\%\). 4. Berechnung für Isotop B (\(T_h = 14\)): \(q = \sqrt[14]{0{,}5} \approx 0{,}9517\). Die stündliche Abnahmerate ergibt sich aus \(1 - 0{,}9517 = 0{,}0483\), also ca. \(4{,}83\,\%\).

Die stündliche Abnahmerate beträgt für Isotop A ca. \(8{,}30\,\%\) und für Isotop B ca. \(4{,}83\,\%\).

- Was bedeutet „Verdopplung“ für den Wert des Wachstumsfaktors über den gesamten Zeitraum? - Stelle eine Potenzgleichung der Form \(q^n = a\) auf. - Wie extrahiert man die Basis, wenn der Exponent gegeben ist? - Vergiss nicht, den Wachstumsfaktor am Ende in eine Prozentangabe umzurechnen.

1. Ansatz für exponentielles Wachstum: \(A(t) = A_0 \cdot q^t\), wobei \(q\) der tägliche Wachstumsfaktor ist. 2. Bedingung für die Verdopplungszeit \(T_v\): \(q^{T_v} = 2\). 3. Lösung für Szenario 1 (\(T_v = 10\)): \(q = 2^{1/10} \approx 1{,}0718\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 7{,}18\,\%\). 4. Lösung für Szenario 2 (\(T_v = 6\)): \(q = 2^{1/6} \approx 1{,}1225\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 12{,}25\,\%\).

In Szenario 1 beträgt die tägliche Wachstumsrate ca. \(7{,}18\,\%\), in Szenario 2 ca. \(12{,}25\,\%\).

- Was bedeutet es für den Rechenweg, wenn sich ein Wert in jedem Schritt halbiert? - Wie rechnet man Milligramm in Gramm um? - Kannst du eine Formel aufstellen, die die Masse nach \(n\) Schritten beschreibt? - Nutze für den Überschlag direkt den im Text angegebenen Näherungswert.

1. Bestimmung des Zerfallsfaktors: Da sich die Masse pro Zeitabschnitt halbiert, gilt \(q = 0{,}5\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): - Nach 2 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^2 = 160\,\text{mg} = 0{,}16\,\text{g}\) - Nach 3 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^3 = 80\,\text{mg} = 0{,}08\,\text{g}\) - Nach 5 Abschnitten: \(640\,\text{mg} \cdot 0{,}5^5 = 20\,\text{mg} = 0{,}02\,\text{g}\) 3. Erstellung der Tabelle mit den berechneten Werten für \(n=2, 3, 5\). 4. Überschlag für Teilaufgabe b): Die Masse nach 10 Abschnitten berechnet sich durch \(640\,\text{mg} \cdot (\frac{1}{2})^{10}\). Mit der Näherung ergibt sich \(640 \cdot \frac{1}{1000} = 0{,}64\,\text{mg}\).

a) <table> <tr> <th>Zeitabschnitt \(n\)</th> <th>Masse in mg</th> <th>Masse in g</th> </tr> <tr> <td>2</td> <td>\(160\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>\(80\)</td> <td>\(0{,}08\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(20\)</td> <td>\(0{,}02\)</td> </tr> </table> b) Nach 10 Zeitabschnitten sind noch ca. \(0{,}64\,\text{mg}\) vorhanden.

- Welcher Wert in der Formel entspricht der Menge zum Zeitpunkt Null? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem die Menge pro Zeiteinheit multipliziert wird? - Überlege dir, wie oft sich die Menge halbiert haben muss, wenn sie nach 16 Tagen nur noch ein Viertel beträgt. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, musst du nur noch den gesuchten Zeitpunkt einsetzen.

1. Der Anfangswert ist \(m_0 = 80\). 2. Aus \(80 \cdot a^{16} = 20\) folgt \(a^{16} = 0{,}25\). Damit ist \(a = \sqrt[16]{0{,}25} = 0{,}5^{1/8} \approx 0{,}9170\). 3. Eine exakte Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{t/8}\). Näherungsweise kann auch \(m(t) \approx 80 \cdot 0{,}9170^t\) verwendet werden. 4. Nach \(24\) Tagen: \(m(24) = 80 \cdot 0{,}5^{24/8} = 80 \cdot 0{,}5^3 = 10\,\text{mg}\).

a) Exakt: \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{t/8}\); näherungsweise: \(m(t) \approx 80 \cdot 0{,}9170^t\). b) Nach \(24\) Tagen sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

- Was bedeutet Halbwertszeit für den Faktor, mit dem eine Menge nach dieser Zeit multipliziert wird? - Wie hängen der Zerfallsfaktor \(b\) und die prozentuale Änderung \(p\) zusammen? - Welche Funktionsgleichung beschreibt einen exponentiellen Zerfallsprozess? - Überlege, wie oft die Halbwertszeit in den betrachteten Zeitraum von 50 Jahren passt.

1. Ansatz für den jährlichen Zerfallsfaktor \(b\) über die Halbwertszeit \(T_{1/2} = 30{,}17\): \(b^{30{,}17} = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(b\): \(b = 0{,}5^{\frac{1}{30{,}17}} \approx 0{,}97729\). 3. Bestimmung der jährlichen Zerfallsrate \(p\): \(p = 1 - b \approx 0{,}02271\), was einer Rate von ca. \(2{,}27\,\%\) entspricht. 4. Berechnung der Restaktivität nach \(t = 50\) Jahren mit dem Startwert \(N_0 = 600\): \(N(50) = 600 \cdot 0{,}97729^{50}\) oder \(N(50) = 600 \cdot 0{,}5^{\frac{50}{30{,}17}}\). 5. Ergebnis: \(N(50) \approx 190{,}22\,\text{Bq}\).

a) Der jährliche Zerfallsfaktor beträgt \(b \approx 0{,}9773\); die jährliche Zerfallsrate liegt bei \(p \approx 2{,}27\,\%\). b) Nach \(50\) Jahren sind noch ca. \(190{,}22\,\text{Bq}\) vorhanden.

- Kannst du den Anfangswert auf der vertikalen Achse bei \(t = 0\) ablesen? - Betrachte die Werte auf der vertikalen Achse, die der Hälfte, einem Viertel und einem Achtel dieses Anfangswertes entsprechen. Zu welchen Zeiten \(t\) erreicht der Graph diese Werte? - Vergleiche die Abstände zwischen diesen Zeiten. Was fällt dir dabei auf? - Überlege, wie der stündliche Faktor \(b\) mit der Halbwertszeit zusammenhängt. Wenn sich eine Menge in 3 Stunden halbiert, mit welchem Faktor wird sie dann pro Stunde multipliziert? - Wie viele Halbwertszeiten sind nach 15 Stunden vergangen? Nutze dies, um die verbleibende Menge direkt zu berechnen.

1. **Ablesen der Zeiten für die Reduzierung**: - Die Anfangsmenge bei \(t = 0\) beträgt \(80\,\text{mg}\). - Eine Halbierung auf \(40\,\text{mg}\) wird nach \(3\,\text{Stunden}\) erreicht. - Eine Reduzierung auf ein Viertel (\(20\,\text{mg}\)) wird nach \(6\,\text{Stunden}\) erreicht. - Eine Reduzierung auf ein Achtel (\(10\,\text{mg}\)) wird nach \(9\,\text{Stunden}\) erreicht. - Auffälligkeit: Die Zeitspanne für jede weitere Halbierung ist konstant und beträgt immer \(3\,\text{Stunden}\). 2. **Halbwertszeit**: - Die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) ist der Zeitraum, in dem sich die Menge jeweils halbiert. Aus Aufgabenteil a) folgt direkt: \(T_{1/2} = 3\,\text{Stunden}\). 3. **Prozentuale Abnahme pro Stunde**: - Der stündliche Wachstumsfaktor \(b\) erfüllt die Gleichung \(b^3 = 0{,}5\). - Daraus berechnet man \(b = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}7937\). - Die prozentuale Abnahme pro Stunde beträgt somit \(1 - 0{,}7937 = 0{,}2063\), also ca. \(20{,}6\,\%\). 4. **Restmenge nach 15 Stunden**: - Nach \(15\,\text{Stunden}\) sind genau \(5\) Halbwertszeiten vergangen (da \(15 : 3 = 5\)). - Die verbleibende Menge berechnet sich als: \(W(15) = 80\,\text{mg} \cdot 0{,}5^5 = 80\,\text{mg} \cdot \frac{1}{32} = 2{,}5\,\text{mg}\).

a) Halbiert nach \(3\,\text{Stunden}\), geviertelt nach \(6\,\text{Stunden}\), geachtelt nach \(9\,\text{Stunden}\). Es fällt auf, dass jede weitere Halbierung genau \(3\,\text{Stunden}\) dauert. b) Die Halbwertszeit beträgt \(3\,\text{Stunden}\). c) Die prozentuale Abnahme beträgt ca. \(20{,}6\,\%\) pro Stunde. d) Nach \(15\,\text{Stunden}\) sind noch genau \(2{,}5\,\text{mg}\) des Wirkstoffs im Körper vorhanden.

- Was bedeutet der „Anfangsbestand“ mathematisch für den Wert von \(t\)? Wo kannst du diesen Wert auf der Achse ablesen? - Wenn sich ein Bestand verdoppelt oder halbiert, welcher neue Wert wird dann ausgehend vom Anfangsbestand erreicht? Suche diesen neuen Wert auf der vertikalen Achse und lies die zugehörige Zeit ab. - Wie hängen der Anfangsbestand und der Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor mit den Parametern der allgemeinen Funktionsgleichung \(N(t) = N_0 b^t\) zusammen? - Achte beim Berechnen des Bestands nach \(15\,\text{Stunden}\) darauf, den korrekten Wert für \(t\) in deine aufgestellten Gleichungen einzusetzen.

1. Bestimmung der Anfangswerte: Aus den Schnittpunkten der Graphen mit der y-Achse bei \(t = 0\) ergeben sich die Anfangsbestände \(f(0) = 10\) und \(g(0) = 80\). 2. Bestimmung der charakteristischen Zeiten: - Für den Wachstumsprozess \(f\) verdoppelt sich der Bestand von \(10\) auf \(20\) nach \(t = 3\,\text{h}\). Somit ist die Verdopplungszeit \(T_V = 3\,\text{h}\). - Für den Zerfallsprozess \(g\) halbiert sich der Bestand von \(80\) auf \(40\) nach \(t = 4\,\text{h}\). Somit ist die Halbwertszeit \(T_H = 4\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichungen: - Mit \(f(t) = N_0 b^t\) folgt für \(f(t)\) aus \(f(3) = 20\): \(10 \cdot b^3 = 20 \implies b = 2^{\frac{1}{3}} \approx 1{,}26\). Die Gleichung lautet \(f(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{3}}\) bzw. \(f(t) \approx 10 \cdot 1{,}26^t\). - Mit \(g(t) = N_0 b^t\) folgt für \(g(t)\) aus \(g(4) = 40\): \(80 \cdot b^4 = 40 \implies b = 0{,}5^{\frac{1}{4}} \approx 0{,}84\). Die Gleichung lautet \(g(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) bzw. \(g(t) \approx 80 \cdot 0{,}84^t\). 4. Berechnung für \(t = 15\,\text{h}\): - Für \(f\): \(f(15) = 10 \cdot 2^{\frac{15}{3}} = 10 \cdot 2^5 = 320\). - Für \(g\): \(g(15) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{15}{4}} = 80 \cdot 0{,}5^{3{,}75} \approx 5{,}9\).

a) Anfangsbestände: \(f(0) = 10\), \(g(0) = 80\) b) Verdopplungszeit von \(f\): \(T_V = 3\,\text{h}\); Halbwertszeit von \(g\): \(T_H = 4\,\text{h}\) c) Funktionsgleichungen: \(f(t) = 10 \cdot 2^{\frac{t}{3}}\) (oder \(f(t) \approx 10 \cdot 1{,}26^t\)) und \(g(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{4}}\) (oder \(g(t) \approx 80 \cdot 0{,}84^t\)) d) Bestände nach \(15\,\text{h}\): \(f(15) = 320\) und \(g(15) \approx 5{,}9\)

- Was bedeutet der Begriff „Halbwertszeit“? Schau im Graphen nach, bei welchem x-Wert die Menge auf die Hälfte des Startwerts gesunken ist. - Überlege dir, welche Einheiten auf den Achsen verwendet werden. - Setze für die Berechnung in Teil c) den gegebenen Zeitwert einfach für die Variable \(t\) in deine Formel ein.

1. Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Anfangsmasse vorhanden ist. Da \(m_0 = 10\,\text{mg}\), suchen wir den Zeitpunkt für \(5\,\text{mg}\). Im Graphen liest man bei \(y = 5\) den Wert \(t = 8\) ab. Die Halbwertszeit beträgt also \(T_{1/2} = 8\,\text{Tage}\). 2. Mit \(m_0 = 10\) und \(T_{1/2} = 8\) ergibt sich die Funktionsgleichung \(m(t) = 10 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}}\). 3. Zur Berechnung der Restmasse nach \(20\,\text{Tagen}\) setzt man \(t = 20\) in die Gleichung ein: \(m(20) = 10 \cdot 0{,}5^{\frac{20}{8}} = 10 \cdot 0{,}5^{2{,}5} \approx 1{,}77\,\text{mg}\). Nach \(20\,\text{Tagen}\) sind noch etwa \(1{,}77\,\text{mg}\) vorhanden.

a) Die Halbwertszeit beträgt \(T_{1/2} = 8\,\text{Tage}\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 10 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}}\). c) Nach \(20\,\text{Tagen}\) sind noch ca. \(1{,}77\,\text{mg}\) vorhanden.

- Wie verändert sich der Wert, wenn er pro Schritt um einen festen Prozentsatz sinkt? - Überlege dir, wie du den Prozentsatz in einen Faktor umwandelst. - Wenn du die Tiefe für einen bestimmten Zielwert suchst, musst du eine Exponentialgleichung lösen. - Überlege, ob du für den Oberflächenwert mit \(100\) oder mit \(1\) rechnen möchtest.

1. Aufstellen des Modells für die Intensität \(I(d)\) in der Tiefe \(d\) in Metern: \(I(d) = 100 \cdot 0{,}78^d\) (in Prozent). 2. Berechnung der Werte: \(I(2) = 100 \cdot 0{,}78^2 = 60{,}84\,\%\); \(I(5) = 100 \cdot 0{,}78^5 \approx 28{,}87\,\%\); \(I(10) = 100 \cdot 0{,}78^{10} \approx 8{,}34\,\%\). 3. Bestimmung der Halbwertstiefe durch Lösen von \(0{,}78^d = 0{,}5\): \(d = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}78)} \approx 2{,}79\,\text{m}\). 4. Bestimmung der Tiefe für die aphotische Zone durch Lösen von \(100 \cdot 0{,}78^d = 1\) bzw. \(0{,}78^d = 0{,}01\): \(d = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}78)} \approx 18{,}53\,\text{m}\).

a) In \(2\,\text{m}\) Tiefe: \(60{,}84\,\%\); in \(5\,\text{m}\) Tiefe: ca. \(28{,}87\,\%\); in \(10\,\text{m}\) Tiefe: ca. \(8{,}34\,\%\). b) In einer Tiefe von ca. \(2{,}79\,\text{m}\). c) Die aphotische Zone beginnt in einer Tiefe von ca. \(18{,}53\,\text{m}\).