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- Überlege, wie du die Formel umstellen musst, um die gesuchte Größe zu isolieren. - Welche Zahl in der Formel steht für den Prozentsatz? - Achte darauf, dass das Ergebnis eine Zeitangabe in Jahren ist.

1. Umstellen der Faustformel nach der Verdopplungszeit: \(d \approx \frac{70}{p}\). 2. Berechnung für \(p = 1{,}4\): \(d \approx \frac{70}{1{,}4} = 50\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(50\,\text{Jahre}\). 3. Berechnung für \(p = 2{,}5\): \(d \approx \frac{70}{2{,}5} = 28\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(28\,\text{Jahre}\). 4. Berechnung für \(p = 3{,}5\): \(d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(20\,\text{Jahre}\). 5. Berechnung für \(p = 5{,}0\): \(d \approx \frac{70}{5{,}0} = 14\). Die Verdopplungszeit beträgt etwa \(14\,\text{Jahre}\).

1. \(50\,\text{Jahre}\) 2. \(28\,\text{Jahre}\) 3. \(20\,\text{Jahre}\) 4. \(14\,\text{Jahre}\)

- Welchen Wert muss das Kapital nach der gesuchten Zeit im Vergleich zum Startwert erreicht haben? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Exponenten steht? - Wie berechnet man den Wachstumsfaktor \(q\) aus einem Prozentsatz? - Überlege, welcher Rechenschritt als Erster hilft, wenn auf beiden Seiten der Gleichung \(K_0\) steht.

1. Für die Verdopplungszeit \(t_V\) muss gelten: \(K(t_V) = 2 \cdot K_0\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(2 \cdot K_0 = K_0 \cdot q^{t_V}\). 3. Durch Division beider Seiten durch \(K_0\) (da \(K_0 \neq 0\)) erhält man \(2 = q^{t_V}\). 4. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\lg 2 = \lg(q^{t_V})\). 5. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(\lg 2 = t_V \cdot \lg q\). 6. Umstellen nach der gesuchten Größe ergibt \(t_V = \frac{\lg 2}{\lg q}\). 7. Für einen Zinssatz von \(4{,}5\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{4{,}5}{100} = 1{,}045\). 8. Berechnung: \(t_V = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}045} \approx \frac{0{,}30103}{0{,}019116} \approx 15{,}75\).

a) Nachweis durch Lösen der Gleichung \(2 \cdot K_0 = K_0 \cdot q^{t_V}\) nach \(t_V\). b) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(15{,}75\,\text{Jahre}\).

- Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von Endmenge zu Anfangsmenge? - Welche mathematische Operation kehrt eine Potenz mit unbekannter Basis um? - Wie gehst du vor, wenn die Unbekannte einmal im Exponenten und einmal in der Basis steht? - Achte darauf, welche Information für welches Isotop gegeben ist.

1. Für Isotop A wird der Ansatz \(0{,}5 \cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}92^{t_H}\) gewählt. 2. Vereinfachen zu \(0{,}5 = 0{,}92^{t_H}\) und Logarithmieren: \(\lg 0{,}5 = t_H \cdot \lg 0{,}92\). 3. Auflösen nach \(t_H\): \(t_H = \frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}92} \approx 8{,}31\). Die Halbwertszeit beträgt somit \(8{,}31\,\text{Tage}\). 4. Für Isotop B ist bekannt, dass nach \(t = 5\) Tagen die Menge auf \(0{,}5 \cdot N_0\) gesunken ist. 5. Ansatz: \(0{,}5 = b^5\). 6. Ziehen der 5. Wurzel: \(b = \sqrt[5]{0{,}5} = 0{,}5^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}871\).

a) Die Halbwertszeit von Isotop A beträgt ca. \(8{,}31\,\text{Tage}\). b) Der tägliche Zerfallsfaktor für Isotop B beträgt \(b \approx 0{,}871\).

- Was bedeutet eine Verdopplung mathematisch für den Wachstumsfaktor? - Welche Rechenoperation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Denke daran, dass der Wachstumsfaktor \(q\) aus dem Prozentsatz \(p\) gebildet wird. - Vergleiche die Differenzen zwischen den geschätzten und den exakten Werten.

1. Berechnung der Verdopplungszeiten mit der Faustformel \(d \approx \frac{70}{p}\): Für \(p_1 = 2\): \(d_1 = \frac{70}{2} = 35\) Jahre. Für \(p_2 = 5\): \(d_2 = \frac{70}{5} = 14\) Jahre. Für \(p_3 = 10\): \(d_3 = \frac{70}{10} = 7\) Jahre. 2. Berechnung der exakten Verdopplungszeit mit der Formel \(1 \cdot q^d = 2\), wobei \(q = 1 + \frac{p}{100}\): Für \(p_1 = 2\) (\(q = 1{,}02\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}00\) Jahre. Für \(p_2 = 5\) (\(q = 1{,}05\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21\) Jahre. Für \(p_3 = 10\) (\(q = 1{,}10\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}10)} \approx 7{,}27\) Jahre. 3. Vergleich der Abweichungen: Bei \(p = 2\) beträgt die Abweichung etwa \(|35{,}00 - 35| = 0{,}00\). Bei \(p = 5\) beträgt die Abweichung etwa \(|14{,}21 - 14| = 0{,}21\). Bei \(p = 10\) beträgt die Abweichung etwa \(|7{,}27 - 7| = 0{,}27\). Die geringste Abweichung liegt somit beim Zinssatz von \(2\,\%\) vor.

a) \(d_1 = 35\); \(d_2 = 14\); \(d_3 = 7\). b) \(d_1 \approx 35{,}00\); \(d_2 \approx 14{,}21\); \(d_3 \approx 7{,}27\). c) Bei \(p = 2\) ist die Abweichung am geringsten (nahezu \(0\)).

- Wie viele Stunden hat ein Tag? Rechne die Zeitdauer erst in die passende Einheit um. - Wenn sich etwas in einer bestimmten Zeit verdoppelt, wie sieht dann die Gleichung für den Wachstumsfaktor aus? - Die Faustformel ist eine einfache Umstellung der Formel aus der ersten Aufgabe. - Achte beim Runden am Ende darauf, dass es sich um eine Anzahl von Lebewesen handelt.

1. Abschätzung mit der Faustformel: Aus \(p \cdot 14 \approx 70\) folgt \(p \approx \frac{70}{14} = 5\). Die geschätzte Wachstumsrate beträgt \(5\,\%\). 2. Berechnung des exakten Wachstumsfaktors \(q\): Es gilt \(q^{14} = 2\). Daraus folgt \(q = \sqrt[14]{2} \approx 1{,}050756\). Die exakte Wachstumsrate ist \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 5{,}08\,\%\). 3. Berechnung der Bakterienanzahl nach drei Tagen (\(t = 3 \cdot 24 = 72\) Stunden): \(N(72) = 500 \cdot q^{72} = 500 \cdot (2^{1/14})^{72} = 500 \cdot 2^{72/14}\). \(N(72) \approx 500 \cdot 35{,}437 \approx 17\,718{,}54\). Nach drei Tagen sind es ca. \(17\,719\) Bakterien.

a) \(p \approx 5\,\%\). b) \(q \approx 1{,}0508\); \(p \approx 5{,}08\,\%\). c) Nach drei Tagen sind es etwa \(17\,719\) Bakterien.

- Überlege zuerst, wie sich der Wachstumsfaktor aus dem Prozentsatz ergibt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Bei der Verdopplungszeit ist der genaue Startwert des Kapitals eigentlich egal – warum ist das so? - Achte bei der Faustregel darauf, dass du für den Zinssatz nur die Zahl vor dem Prozentzeichen einsetzt.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: Mit dem Anfangskapital \(K_0 = 4000\,\text{€}\) und dem Zinssatz \(p = 1{,}5\,\%\) ergibt sich der Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{1{,}5}{100} = 1{,}015\). Die Formel lautet \(K_n = 4000 \cdot 1{,}015^n\). 2. Berechnung für \(n = 8\): \(K_8 = 4000 \cdot 1{,}015^8 \approx 4505{,}97\,\text{€}\). 3. Berechnung der Laufzeit für \(5000\,\text{€}\): Ansatz \(4000 \cdot 1{,}015^n = 5000\). Umformen zu \(1{,}015^n = 1{,}25\). Anwendung des Logarithmus: \(n = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}015)} \approx 14{,}99\). Nach ca. \(15\) Jahren sind \(5000\,\text{€}\) erreicht. 4. Exakte Verdopplungszeit: Ansatz \(1{,}015^n = 2\). Berechnung \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}015)} \approx 46{,}56\) Jahre. 5. Faustregel: \(n \approx \frac{70}{1{,}5} \approx 46{,}67\) Jahre.

a) Das Kapital beträgt nach \(8\) Jahren ca. \(4505{,}97\,\text{€}\). b) Nach ca. \(15\) Jahren ist das Kapital auf \(5000\,\text{€}\) angewachsen. c) Die exakte Verdopplungszeit beträgt ca. \(46{,}56\) Jahre; die Faustregel liefert einen Näherungswert von ca. \(46{,}67\) Jahren.

- Wie verändert sich ein Wert, wenn er stündlich um einen festen Prozentsatz zunimmt? - Was bedeutet „Vervierfachung“ für das Verhältnis zwischen Endwert und Anfangswert? - Kannst du die Verdopplungszeit berechnen, ohne den Anfangswert von 250 zu benutzen? - Vergleiche die Ergebnisse der exakten Rechnung und der Faustregel – wie groß ist der Unterschied?

1. Wachstumsfaktor und Gleichung: Bei einer Zunahme von \(8\,\%\) ist \(q = 1 + 0{,}08 = 1{,}08\). Die Funktionsgleichung lautet \(B(t) = 250 \cdot 1{,}08^t\). 2. Vervierfachung: Die Population erreicht \(4 \cdot 250 = 1000\) Bakterien. Ansatz \(250 \cdot 1{,}08^t = 1000\), also \(1{,}08^t = 4\). Berechnung über Logarithmus: \(t = \frac{\ln(4)}{\ln(1{,}08)} \approx 18{,}01\). Die Vervierfachung tritt nach etwa \(18\) Stunden ein. 3. Verdopplungszeit exakt: Ansatz \(1{,}08^t = 2\). Berechnung \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}08)} \approx 9{,}01\) Stunden. 4. Faustregel: \(t \approx \frac{70}{8} = 8{,}75\) Stunden. Die Abweichung beträgt etwa \(0{,}26\) Stunden (ca. \(15\) bis \(16\) Minuten).

a) \(q = 1{,}08\); Gleichung: \(B(t) = 250 \cdot 1{,}08^t\). b) Nach ca. \(18\) Stunden hat sich die Anzahl vervierfacht. c) Die exakte Verdopplungszeit beträgt ca. \(9{,}01\) Stunden. Die Faustregel ergibt \(8{,}75\) Stunden, was eine gute Näherung darstellt.

- Überlege, mit welchem Faktor du einen Wert multiplizieren musst, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz wächst. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn der Endwert genau doppelt so groß sein soll wie der Anfangswert? - Welche mathematische Operation hilft dir, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Wenn du weißt, wie lange eine Verdopplung dauert, kannst du daraus direkt schließen, wie lange eine Vervierfachung dauert?

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung für die Verdopplung mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}065 = 1{,}065\): \(1{,}065^n = 2\). 2. Lösen der Gleichung mittels Logarithmus: \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}065)} \approx 11{,}0067\). Die Verdopplung erfolgt nach ca. \(11{,}0\) Jahren. 3. Aufstellen der Gleichung für die Vervierfachung: \(1{,}065^n = 4\). Alternativ kann das Gesetz genutzt werden, dass eine Vervierfachung zwei aufeinanderfolgenden Verdopplungszeiträumen entspricht (\(2 \cdot 2 = 4\)). 4. Berechnung der Zeit: \(n = \frac{\log(4)}{\log(1{,}065)} \approx 22{,}0134\). Die Kapazitätsgrenze wird nach ca. \(22{,}0\) Jahren erreicht.

a) Die Population verdoppelt sich nach etwa \(11{,}0\) Jahren. b) Die Kapazitätsgrenze (Vervierfachung) wird nach etwa \(22{,}0\) Jahren erreicht.

- Bestimme zuerst für beide Fälle den Wachstumsfaktor \(q\). - Setze den allgemeinen Wachstumsansatz \(B(n) = B(0) \cdot q^n\) an und überlege, was für \(B(n)\) eingesetzt werden muss, damit es eine Verdopplung darstellt. - Die Anfangswerte sind nicht gegeben, kürzen sich aber bei der Berechnung der Verdopplungszeit ohnehin heraus.

1. Bestimmung der Wachstumsfaktoren für beide Prozesse: \(q_{\text{Produktion}} = 1{,}052\) und \(q_{\text{Kosten}} = 1{,}028\). 2. Berechnung der Verdopplungszeit für die Produktion durch Lösen von \(1{,}052^n = 2\): \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}052)} \approx 13{,}67\). 3. Berechnung der Verdopplungszeit für die Materialkosten durch Lösen von \(1{,}028^n = 2\): \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}028)} \approx 25{,}10\).

Die Produktionsmenge verdoppelt sich nach etwa \(13{,}7\) Jahren. Die Materialkosten pro Stück verdoppeln sich nach etwa \(25{,}1\) Jahren.

- Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und der Prozentsatz \(p\) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Überlege dir, wie du den Unterschied zwischen zwei Werten im Verhältnis zum exakten Wert ausdrücken kannst.

1. Berechnung mit der Faustformel: Für \(p_1 = 4\) ergibt sich \(d_1 \approx 70 : 4 = 17{,}5\) Jahre. Für \(p_2 = 18\) ergibt sich \(d_2 \approx 70 : 18 \approx 3{,}89\) Jahre. 2. Exakte Berechnung: Für \(p_1 = 4\) gilt \(1{,}04^{d} = 2\). Durch Logarithmieren folgt \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 17{,}67\) Jahre. Für \(p_2 = 18\) gilt \(1{,}18^{d} = 2\), woraus \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}18)} \approx 4{,}19\) Jahre folgt. 3. Vergleich: Bei \(p_1 = 4\) beträgt die Abweichung etwa \(0{,}17\) Jahre (ca. \(1\,\%\)). Bei \(p_2 = 18\) beträgt die Abweichung etwa \(0{,}30\) Jahre (ca. \(7\,\%\)). Die Faustformel ist für den kleineren Zinssatz \(p_1 = 4\) präziser.

a) \(d_1 \approx 17{,}5\) Jahre; \(d_2 \approx 3{,}89\) Jahre. b) \(d_1 \approx 17{,}67\) Jahre; \(d_2 \approx 4{,}19\) Jahre. c) Die Faustformel ist bei \(p_1 = 4\) präziser (geringere prozentuale Abweichung).

- Wie unterscheidet sich der Wachstumsfaktor bei einer Abnahme von dem bei einer Zunahme? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Endwert im Vergleich zum Anfangswert? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Basis kleiner als 1 ist.

1. Schätzung mit Faustformel: Mit \(p = 10\) ergibt sich \(T_H \approx 70 : 10 = 7\) Stunden. 2. Exakte Berechnung: Die Zerfallsgleichung lautet \(0{,}90^{T_H} = 0{,}5\). Durch Anwendung des Logarithmus erhält man \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}90)} \approx 6{,}58\) Stunden. 3. Prozentuale Abweichung: Die absolute Differenz beträgt \(|7 - 6{,}58| = 0{,}42\). Die relative Abweichung berechnet sich durch \(\frac{0{,}42}{6{,}58} \cdot 100\,\% \approx 6{,}38\,\%\).

a) \(T_H \approx 7\) Stunden. b) \(T_H \approx 6{,}58\) Stunden. c) Die Abweichung beträgt etwa \(6{,}4\,\%\).

- Wie viele Jahre vergehen zwischen dem Startjahr und dem Zieljahr? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn sie jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz zunimmt? - Welche Formel beschreibt exponentielles Wachstum? - Wenn sich ein Bestand verdoppelt, welchen Wert muss der Wachstumsanteil \(q^n\) dann annehmen? - Mit welcher mathematischen Operation kannst du eine Gleichung lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Berechnung der Zeitspanne zwischen den Zählungen: \(n = 2030 - 1960 = 70\) Jahre. 2. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\): \(q = 1 + \frac{2{,}8}{100} = 1{,}028\). 3. Berechnung des Endbestands nach 70 Jahren: \(N_{70} = 150 \cdot 1{,}028^{70} \approx 1036{,}6\). Auf ganze Zahlen gerundet ergibt dies ca. 1037 Vögel. 4. Ansatz für die Verdopplungszeit \(T\): \(1{,}028^T = 2\). 5. Lösung der Gleichung mittels Logarithmen: \(T = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}028)} \approx 25{,}1\). Die Verdopplungszeit beträgt somit ca. \(25{,}1\) Jahre.

a) ca. \(1037\) Vögel b) ca. \(25{,}1\) Jahre

- Was ist in diesem Fall die gesuchte Größe in der Gleichung? - Wie verändert sich die Wachstumsrate, wenn die Verdopplung länger dauert? - Setze die gegebenen Werte für die Zeit in die Formel ein.

1. Umstellen der Faustregel nach der Wachstumsrate: \(p \approx \frac{70}{d}\). 2. Berechnung für Kultur A (\(d = 20\)): \(p \approx \frac{70}{20} = 3{,}5\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(3{,}5\,\%\) pro Stunde. 3. Berechnung für Kultur B (\(d = 35\)): \(p \approx \frac{70}{35} = 2\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(2\,\%\) pro Stunde. 4. Berechnung für Kultur C (\(d = 50\)): \(p \approx \frac{70}{50} = 1{,}4\). Die Wachstumsrate beträgt ca. \(1{,}4\,\%\) pro Stunde.

1. \(3{,}5\,\%\) 2. \(2\,\%\) 3. \(1{,}4\,\%\)

- Überlege dir, wie viel von der ursprünglichen Menge nach der Halbwertszeit noch vorhanden ist. - Stelle eine Gleichung auf, in der der Wachstumsfaktor \(q\) die Unbekannte ist. - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Änderung zusammen? - Welche mathematische Operation kehrt ein Potenzieren mit einem bekannten Exponenten um?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: \(W(t) = W_0 \cdot q^t\), wobei \(q\) der stündliche Zerfallsfaktor ist. 2. Bedingung für die Halbwertszeit \(T_h\): \(q^{T_h} = 0{,}5\). 3. Berechnung für Isotop A (\(T_h = 8\)): \(q = \sqrt[8]{0{,}5} \approx 0{,}9170\). Die stündliche Abnahmerate ergibt sich aus \(1 - 0{,}9170 = 0{,}0830\), also ca. \(8{,}30\,\%\). 4. Berechnung für Isotop B (\(T_h = 14\)): \(q = \sqrt[14]{0{,}5} \approx 0{,}9517\). Die stündliche Abnahmerate ergibt sich aus \(1 - 0{,}9517 = 0{,}0483\), also ca. \(4{,}83\,\%\).

Die stündliche Abnahmerate beträgt für Isotop A ca. \(8{,}30\,\%\) und für Isotop B ca. \(4{,}83\,\%\).

- Was bedeutet „Verdopplung“ für den Wert des Wachstumsfaktors über den gesamten Zeitraum? - Stelle eine Potenzgleichung der Form \(q^n = a\) auf. - Wie extrahiert man die Basis, wenn der Exponent gegeben ist? - Vergiss nicht, den Wachstumsfaktor am Ende in eine Prozentangabe umzurechnen.

1. Ansatz für exponentielles Wachstum: \(A(t) = A_0 \cdot q^t\), wobei \(q\) der tägliche Wachstumsfaktor ist. 2. Bedingung für die Verdopplungszeit \(T_v\): \(q^{T_v} = 2\). 3. Lösung für Szenario 1 (\(T_v = 10\)): \(q = 2^{1/10} \approx 1{,}0718\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 7{,}18\,\%\). 4. Lösung für Szenario 2 (\(T_v = 6\)): \(q = 2^{1/6} \approx 1{,}1225\). Die tägliche Wachstumsrate beträgt \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 12{,}25\,\%\).

In Szenario 1 beträgt die tägliche Wachstumsrate ca. \(7{,}18\,\%\), in Szenario 2 ca. \(12{,}25\,\%\).

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum auf. - Überlege, welchen Wert der Wachstumsfaktor \(q\) bei einer Zunahme von \(p\,\%\) hat. - Was bedeutet „Verdreifachung“ für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Nutze den Logarithmus, um eine Gleichung der Form \(q^n = 3\) nach \(n\) aufzulösen.

1. Die exakte Zeitspanne wird über die Gleichung \((1 + \frac{p}{100})^n = 3\) bestimmt. Durch Anwendung des Logarithmus ergibt sich \(n = \frac{\ln(3)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\). Für \(p = 4\) erhält man \(n \approx \frac{1{,}0986}{0{,}0392} \approx 28{,}01\) Jahre. Für \(p = 8\) ergibt sich \(n \approx \frac{1{,}0986}{0{,}0770} \approx 14{,}27\) Jahre. 2. Anwendung der Faustformel: Für \(p = 4\) ergibt sich \(n_{Faust} = \frac{110}{4} = 27{,}5\) Jahre (Abweichung ca. \(0{,}51\) Jahre). Für \(p = 8\) ergibt sich \(n_{Faust} = \frac{110}{8} = 13{,}75\) Jahre (Abweichung ca. \(0{,}52\) Jahre). Die Faustformel liefert in beiden Fällen eine gute Annäherung, unterschätzt die Zeit jedoch leicht.

1. Bei \(4\,\%\): \(n \approx 28{,}01\) Jahre; bei \(8\,\%\): \(n \approx 14{,}27\) Jahre. 2. Faustformel-Werte: \(27{,}5\) Jahre (für \(p=4\)) und \(13{,}75\) Jahre (für \(p=8\)). Die Abweichungen betragen jeweils etwa ein halbes Jahr.

- Überlege dir, wie oft sich die Menge halbiert, wenn die Zeit ein Vielfaches der Halbwertszeit ist. - Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für den Zerfall aufstellen? - Wie hängen der Zerfallsfaktor und die Halbwertszeit zusammen? - Um nach einer Zeit zu suchen, die im Exponenten steht, ist der Logarithmus hilfreich. - Was bedeutet „Prozentsatz der Anfangsmenge“ mathematisch für den Faktor in deiner Gleichung?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T}}\) mit \(N_0 = 600\) und \(T = 3\). 2. Zu a): Einsetzen der Zeiten \(t = 6\), \(t = 9\) und \(t = 12\). Da dies Vielfache der Halbwertszeit sind, ergibt sich: \(N(6) = 600 \cdot 0{,}5^2 = 150\,\text{mg}\) \(N(9) = 600 \cdot 0{,}5^3 = 75\,\text{mg}\) \(N(12) = 600 \cdot 0{,}5^4 = 37{,}5\,\text{mg}\) 3. Zu b): Lösen der Gleichung \(600 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}} = 5\). \(0{,}5^{\frac{t}{3}} = \frac{5}{600} = \frac{1}{120}\) \(\frac{t}{3} = \log_{0{,}5}\left(\frac{1}{120}\right) = \frac{\ln(1/120)}{\ln(0{,}5)} \approx 6{,}91\) \(t \approx 3 \cdot 6{,}91 \approx 20{,}72\,\text{h}\). 4. Zu c): Berechnung des Faktors \(0{,}5^{\frac{10}{3}} \approx 0{,}0992\). Dies entspricht einem Prozentsatz von \(9{,}92\,\%\).

a) Nach \(6\) Stunden: \(150\,\text{mg}\); nach \(9\) Stunden: \(75\,\text{mg}\); nach \(12\) Stunden: \(37{,}5\,\text{mg}\). b) Nach ca. \(20{,}72\) Stunden ist die Menge auf \(5\,\text{mg}\) gesunken. c) Nach \(10\) Stunden sind noch ca. \(9{,}92\,\%\) vorhanden.

- Setze für die Anfangsmenge \(100\,\%\) oder den Faktor \(1\) an. - Wie viele Halbwertszeiten passen in den Zeitraum von \(14\) Tagen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen wie \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\) und den Potenzen von \(\frac{1}{2}\). - Wenn du die Anzahl der Halbwertszeiten kennst, wie berechnest du daraus die Gesamtzahl der Tage?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(N(t) = 100 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}}\) (in Prozent). 2. Zu a): Einsetzen von \(t = 14\): \(N(14) = 100 \cdot 0{,}5^{\frac{14}{3{,}8}} \approx 100 \cdot 0{,}5^{3{,}684} \approx 7{,}78\,\%\). 3. Zu b): Lösen der Gleichung \(0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}} = 0{,}10\). \(\frac{t}{3{,}8} = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 3{,}322\) \(t \approx 3{,}8 \cdot 3{,}322 \approx 12{,}62\,\text{Tage}\). 4. Zu c): Da \(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\), entspricht dies genau \(6\) Halbwertszeiten. \(t = 6 \cdot 3{,}8 = 22{,}8\,\text{Tage}\).

a) Nach \(14\) Tagen sind noch ca. \(7{,}78\,\%\) vorhanden. b) Nach ca. \(12{,}62\) Tagen ist die Menge auf \(10\,\%\) gesunken. c) Nach \(6\) Halbwertszeiten bzw. \(22{,}8\) Tagen ist nur noch \(\frac{1}{64}\) vorhanden.

- Überlege zuerst, wie viel Prozent der Masse nach dem Zeitraum noch übrig sind. - Wie hängen der Zerfallsfaktor für einen langen Zeitraum und der jährliche Faktor mathematisch zusammen? - Für die Halbwertszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem die Masse auf die Hälfte des Startwerts gesunken ist. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus hilfreich.

1. Der Zerfallsfaktor für \(500\) Jahre ergibt sich aus der verbleibenden Masse: \(100\,\% - 25\,\% = 75\,\%\), also \(q = 0{,}75\). 2. Der jährliche Zerfallsfaktor \(a\) wird über die Gleichung \(a^{500} = 0{,}75\) berechnet: \(a = \sqrt[500]{0{,}75} \approx 0{,}9994\). 3. Zur Berechnung der Halbwertszeit \(T_H\) wird der Ansatz \(0{,}75^{\frac{T_H}{500}} = 0{,}5\) verwendet. Durch Logarithmieren ergibt sich \(T_H = 500 \cdot \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 1\,204{,}7\). Gerundet beträgt die Halbwertszeit \(1\,205\) Jahre. 4. Für den Zeitpunkt, an dem noch \(1\,\%\) vorhanden ist, löst man \(0{,}75^{\frac{t}{500}} = 0{,}01\). Dies führt zu \(t = 500 \cdot \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}75)} \approx 8\,004{,}7\). Nach etwa \(8\,005\) Jahren ist nur noch \(1\,\%\) der Masse übrig.

a) \(q = 0{,}75\) b) \(a \approx 0{,}9994\) c) \(T_H \approx 1\,205\) Jahre d) Nach ca. \(8\,005\) Jahren.

- Wenn etwas um einen Prozentsatz abnimmt, wie berechnet man dann den Faktor, mit dem man multiplizieren muss? - Potenzgesetze helfen dir, den Anteil nach mehreren Zeitschritten zu berechnen. - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der noch genau \(50\,\%\) eines Stoffes vorhanden sind. - In Teilaufgabe d) ist der Faktor \(a\) gesucht, der nach \(4\) Schritten zum Wert \(0{,}5\) führt.

1. Der stündliche Zerfallsfaktor \(a\) berechnet sich aus der Abnahme: \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Nach \(5\) Stunden beträgt der Anteil \(0{,}88^5 \approx 0{,}5277\). Es sind also noch ca. \(52{,}8\,\%\) vorhanden. 3. Die Halbwertszeit \(T_H\) wird durch die Gleichung \(0{,}88^{T_H} = 0{,}5\) bestimmt. Es folgt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)} \approx 5{,}42\) Stunden. 4. Damit die Halbwertszeit \(4\) Stunden beträgt, muss gelten: \(a^4 = 0{,}5\). Daraus folgt \(a = \sqrt[4]{0{,}5} \approx 0{,}8409\). Die prozentuale Abnahme muss also \(p = (1 - 0{,}8409) \cdot 100 \approx 15{,}9\,\%\) betragen.

a) \(a = 0{,}88\) b) ca. \(52{,}8\,\%\) c) \(T_H \approx 5{,}42\) Stunden d) \(p \approx 15{,}9\,\%\)

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor die Intensität multipliziert werden muss, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie oft muss dieser Faktor angewendet werden, wenn die Schicht mehrere Millimeter dick ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Kannst du die Fragestellungen als Gleichungen der Form \(q^x = y\) formulieren?

1. Der Abnahmefaktor pro Millimeter beträgt \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Für \(3\,\text{mm}\) ergibt sich der Anteil \(0{,}88^3 = 0{,}681472\), was etwa \(68{,}15\,\%\) entspricht. 2. Zur Berechnung der Halbwertsdicke wird die Gleichung \(0{,}88^x = 0{,}5\) gelöst. Mittels Logarithmieren folgt \(x = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}88)} \approx 5{,}42\,\text{mm}\). 3. Zur Berechnung der Zehntelwertsdicke wird die Gleichung \(0{,}88^x = 0{,}1\) gelöst. Es ergibt sich \(x = \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}88)} \approx 18{,}01\,\text{mm}\).

1. Es sind noch ca. \(68{,}15\,\%\) der Intensität vorhanden. 2. Die Lichtintensität ist nach ca. \(5{,}42\,\text{mm}\) auf die Hälfte gesunken. 3. Die Schichtdicke muss ca. \(18{,}01\,\text{mm}\) betragen.

- Bestimme zunächst den Faktor, der den verbleibenden Anteil nach einer Stunde angibt. - Für die Halbwertszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem das Verhältnis von aktueller Konzentration zu Anfangskonzentration genau \(0{,}5\) beträgt. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Logarithmen, um Gleichungen nach der Zeit \(t\) aufzulösen. - Überprüfe dein Ergebnis: Wenn pro Stunde \(15\,\%\) verschwinden, sollte die Hälfte nach mehr als 3, aber weniger als 6 Stunden erreicht sein.

1. Mit einer Abnahme von \(15\,\%\) pro Stunde ergibt sich der Abnahmefaktor \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Die Funktionsgleichung lautet \(C(t) = C_0 \cdot 0{,}85^t\). 2. Die Halbwertszeit wird durch die Gleichung \(0{,}85^t = 0{,}5\) bestimmt. Durch Logarithmieren erhält man \(t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}85)} \approx 4{,}27\). Die Halbwertszeit beträgt also etwa \(4{,}27\,\text{Stunden}\). 3. Für die Reduktion auf ein Fünftel gilt \(0{,}85^t = 0{,}2\). Dies führt zu \(t = \frac{\log(0{,}2)}{\log(0{,}85)} \approx 9{,}90\). Nach etwa \(9{,}90\,\text{Stunden}\) ist die Konzentration auf \(20\,\%\) gesunken.

1. \(C(t) = C_0 \cdot 0{,}85^t\) 2. Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). 3. Nach ca. \(9{,}90\,\text{Stunden}\) ist die Konzentration auf ein Fünftel gesunken.

- Welcher Wert in der Formel entspricht der Menge zum Zeitpunkt Null? - Wie kannst du den Faktor bestimmen, mit dem die Menge pro Zeiteinheit multipliziert wird? - Überlege dir, wie oft sich die Menge halbiert haben muss, wenn sie nach 16 Tagen nur noch ein Viertel beträgt. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, musst du nur noch den gesuchten Zeitpunkt einsetzen.

1. Der Anfangswert ist \(m_0 = 80\). 2. Zur Bestimmung des Zerfallsfaktors \(a\) wird die Information nach \(16\,\text{Tagen}\) genutzt: \(80 \cdot a^{16} = 20\). 3. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a^{16} = 0{,}25\), woraus \(a = \sqrt[16]{0{,}25} \approx 0{,}917\) folgt. Die Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 80 \cdot 0{,}917^t\) oder exakt \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}}\). 4. Für den Wert nach \(24\,\text{Tagen}\) wird \(t = 24\) in die Funktion eingesetzt: \(m(24) = 80 \cdot (0{,}5^{\frac{1}{8}})^{24} = 80 \cdot 0{,}5^3\). 5. Das Ergebnis ist \(80 \cdot 0{,}125 = 10\). Nach \(24\,\text{Tagen}\) sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

a) \(m(t) = 80 \cdot 0{,}917^t\) (oder \(m(t) = 80 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{8}}\)) b) Nach \(24\,\text{Tagen}\) sind noch \(10\,\text{mg}\) vorhanden.

- Was bedeutet der Begriff Halbwertszeit für den Wert des Zerfallsfaktors über einen bestimmten Zeitraum? - Kannst du die Abnahme der Masse als Potenz zur Basis \(0{,}5\) ausdrücken? - Wie oft muss sich die Anfangsmenge von \(120\,\text{mg}\) halbieren, um bei \(15\,\text{mg}\) zu landen? - Wenn du weißt, wie oft die Halbierung stattgefunden hat, kannst du die Gesamtzeit leicht berechnen.

1. Der Anfangswert ist \(c = 120\). 2. Da sich die Masse alle \(15\,\text{Minuten}\) halbiert, gilt \(b^{15} = 0{,}5\). Daraus ergibt sich der Zerfallsfaktor \(b = \sqrt[15]{0{,}5} \approx 0{,}9548\). Die Funktionsgleichung ist \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\). 3. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}} = 15\) aufgestellt. 4. Division durch \(120\) führt zu \(0{,}5^{\frac{t}{15}} = \frac{15}{120} = 0{,}125\). 5. Da \(0{,}125 = 0{,}5^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(\frac{t}{15} = 3\). 6. Multiplikation mit \(15\) ergibt \(t = 45\). Die Masse beträgt nach \(45\,\text{Minuten}\) noch \(15\,\text{mg}\).

a) \(f(t) = 120 \cdot 0{,}9548^t\) (oder \(f(t) = 120 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{15}}\)) b) Nach \(45\,\text{Minuten}\) ist die Masse auf \(15\,\text{mg}\) gesunken.

- Wie verändert sich ein Wert, wenn er jede Stunde um einen festen Prozentsatz abnimmt? - Welche allgemeine Formel nutzt man für exponentielle Abnahmeprozesse? - Was muss für den Bestand gelten, damit man von der „Halbwertszeit“ spricht? - Mit welcher mathematischen Operation kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht?

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(q\): Da die Menge stündlich um \(12\,\%\) abnimmt, gilt \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(W_0 = 150\) ergibt sich \(W(t) = 150 \cdot 0{,}88^t\). 3. Berechnung der Tabellenwerte durch Einsetzen von \(t \in \{1; 2; 3; 4; 5\}\): \(W(1) = 132\,\text{mg}\); \(W(2) \approx 116{,}16\,\text{mg}\); \(W(3) \approx 102{,}22\,\text{mg}\); \(W(4) \approx 89{,}95\,\text{mg}\); \(W(5) \approx 79{,}16\,\text{mg}\). 4. Berechnung der Halbwertszeit: Ansatz \(0{,}88^t = 0{,}5\). Anwendung des Logarithmus führt zu \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)} \approx 5{,}42\,\text{Stunden}\). 5. Berechnung des \(10\,\%\)-Werts: Ansatz \(0{,}88^t = 0{,}1\). Lösung über Logarithmen ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}88)} \approx 18{,}01\,\text{Stunden}\).

a) Tabelle der Werte: <table> <tr><th>Zeit \(t\) (in \(\text{h}\))</th><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><th>Menge (in \(\text{mg}\))</th><td>132{,}00</td><td>116{,}16</td><td>102{,}22</td><td>89{,}95</td><td>79{,}16</td></tr> </table> b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(5{,}42\,\text{Stunden}\). c) Nach ca. \(18{,}01\,\text{Stunden}\) sind noch \(10\,\%\) der Anfangsmenge vorhanden.

- Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn ein Bestand jährlich um einen konstanten Prozentsatz wächst? - Welchen Faktor muss der gesamte Bestand erreichen, damit er als „verdoppelt“ gilt? - Ist der Anfangswert für die Berechnung der Verdopplungszeit überhaupt entscheidend? - Wie kannst du den Zeitpunkt bestimmen, an dem ein bestimmter Zielwert erreicht wird?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\): Bei einer Zunahme von \(2{,}8\,\%\) ist \(q = 1 + 0{,}028 = 1{,}028\). 2. Aufstellen der Wachstumsfunktion: \(W(t) = 25\,000 \cdot 1{,}028^t\). 3. Berechnung für \(t=10\): \(W(10) = 25\,000 \cdot 1{,}028^{10} \approx 32\,951{,}43\,\text{m}^3\). 4. Berechnung für \(t=20\): \(W(20) = 25\,000 \cdot 1{,}028^{20} \approx 43\,432{,}23\,\text{m}^3\). 5. Bestimmung der Verdopplungszeit: Ansatz \(1{,}028^t = 2\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}028)} \approx 25{,}10\,\text{Jahre}\). 6. Bestimmung der Verdreifachungszeit: Ansatz \(1{,}028^t = 3\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(3)}{\ln(1{,}028)} \approx 39{,}78\,\text{Jahre}\).

a) Nach \(10\) Jahren beträgt der Bestand ca. \(32\,951{,}43\,\text{m}^3\), nach \(20\) Jahren ca. \(43\,432{,}23\,\text{m}^3\). b) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(25{,}10\,\text{Jahre}\). c) Der Bestand hat sich nach ca. \(39{,}78\,\text{Jahren}\) verdreifacht.

- Was bedeutet „Verdopplung“ für den Endwert im Vergleich zum Anfangswert? - Welchen Wachstumsfaktor \(q\) ergibt ein Zuwachs von \(3{,}25\,\%\)? - Mit welcher Rechenoperation kannst du eine Gleichung lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Spielt die Höhe des Anfangskapitals für die Verdopplungszeit eine Rolle?

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung für die Verdopplung: \(K_0 \cdot 1{,}0325^n = 2 \cdot K_0\). 2. Vereinfachen der Gleichung durch Division durch \(K_0\): \(1{,}0325^n = 2\). 3. Anwendung des Logarithmus zur Bestimmung der Laufzeit \(n\): \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}0325)}\). 4. Berechnung des numerischen Wertes: \(n \approx 21{,}672\). 5. Das Kapital hat sich nach ca. \(21{,}7\) Jahren verdoppelt.

Das Kapital hat sich nach ca. \(21{,}7\) Jahren verdoppelt.

- Wie viel Prozent des Wirkstoffs sind nach einer Stunde noch vorhanden? - Welcher Faktor \(q\) beschreibt diese Abnahme in einer Exponentialfunktion? - Welchen Wert muss die Funktion erreichen, damit man von einer Halbwertszeit spricht? - Nutze den Logarithmus, um die Zeit \(t\) aus der Gleichung zu isolieren.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(q\) aus der prozentualen Abnahme: \(q = 1 - 0{,}14 = 0{,}86\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Halbwertszeit: \(0{,}86^t = 0{,}5\). 3. Auflösen nach der Zeit \(t\) mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}86)}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(t \approx 4{,}594\). 5. Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}59\) Stunden.

Die Halbwertszeit des Medikaments beträgt ca. \(4{,}59\) Stunden.

- Wie verändert sich ein Wert, wenn er jede Stunde um einen festen Prozentsatz kleiner wird? - Welche Zahl musst du als Basis für deine Exponentialfunktion wählen, wenn \(15\,\%\) verloren gehen? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ mathematisch für den Wachstumsfaktor? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion mit dem Anfangswert \(N_0 = 400\) und dem Abnahmefaktor \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): \(N(t) = 400 \cdot 0{,}85^t\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: \(N(0) = 400\), \(N(1) = 400 \cdot 0{,}85 = 340\), \(N(2) = 340 \cdot 0{,}85 = 289\), \(N(3) = 289 \cdot 0{,}85 = 245{,}65\). 3. Berechnung der Halbwertszeit durch den Ansatz \(0{,}85^t = 0{,}5\). Logarithmieren führt zu \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)} \approx 4{,}27\). Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). 4. Berechnung des Zeitpunkts für den Schwellenwert: \(400 \cdot 0{,}85^t = 50 \implies 0{,}85^t = 0{,}125\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}85)} \approx 12{,}80\). Nach etwa \(12{,}8\,\text{Stunden}\) sind weniger als \(50\,\text{mg}\) vorhanden.

a) <table> <tr><td>Zeit in \(\text{h}\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Menge in \(\text{mg}\)</td><td>400</td><td>340</td><td>289</td><td>245{,}65</td></tr> </table> b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). c) Nach ca. \(12{,}8\,\text{Stunden}\) ist die Menge unter \(50\,\text{mg}\) gesunken.

- Mit welchem Faktor musst du eine Zahl multiplizieren, um sie um \(18\,\%\) zu erhöhen? - Überlege dir, wie viel Prozent der ursprünglichen Fläche nach der Verdopplung vorhanden sind. - Achte beim Vergleichen von Flächen auf die Einheiten. Wie viele Quadratzentimeter stecken in einem Quadratmeter? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Variable aus dem Exponenten zu „holen“?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b = 1 + 0{,}18 = 1{,}18\) und Aufstellen der Funktionsgleichung \(A(t) = 2500 \cdot 1{,}18^t\) mit \(t\) in Tagen und \(A\) in \(\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Verdopplungszeit mit dem Ansatz \(1{,}18^t = 2\). Umformen ergibt \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}18)} \approx 4{,}19\). Die Fläche verdoppelt sich alle \(4{,}19\,\text{Tage}\). 3. Berechnung der Fläche nach \(12\) Tagen: \(A(12) = 2500 \cdot 1{,}18^{12} \approx 18\,218{,}98\). Die Fläche beträgt ca. \(18\,219\,\text{cm}^2\). 4. Umrechnung des Zielwerts: \(2\,\text{m}^2 = 20\,000\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Zeitdauer: \(2500 \cdot 1{,}18^t = 20\,000 \implies 1{,}18^t = 8\). Auflösen ergibt \(t = \frac{\ln(8)}{\ln(1{,}18)} \approx 12{,}56\). Die Marke wird nach ca. \(12{,}6\,\text{Tagen}\) überschritten.

a) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(4{,}19\,\text{Tage}\). b) Nach \(12\) Tagen sind ca. \(18\,219\,\text{cm}^2\) bedeckt. c) Nach ca. \(12{,}6\,\text{Tagen}\) wird eine Fläche von \(2\,\text{m}^2\) überschritten.

- Was bedeutet Halbwertszeit für den Faktor, mit dem eine Menge nach dieser Zeit multipliziert wird? - Wie hängen der Zerfallsfaktor \(b\) und die prozentuale Änderung \(p\) zusammen? - Welche Funktionsgleichung beschreibt einen exponentiellen Zerfallsprozess? - Überlege, wie oft die Halbwertszeit in den betrachteten Zeitraum von 50 Jahren passt.

1. Ansatz für den jährlichen Zerfallsfaktor \(b\) über die Halbwertszeit \(T_{1/2} = 30{,}17\): \(b^{30{,}17} = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(b\): \(b = 0{,}5^{\frac{1}{30{,}17}} \approx 0{,}97729\). 3. Bestimmung der jährlichen Zerfallsrate \(p\): \(p = 1 - b \approx 0{,}02271\), was einer Rate von ca. \(2{,}27\,\%\) entspricht. 4. Berechnung der Restaktivität nach \(t = 50\) Jahren mit dem Startwert \(N_0 = 600\): \(N(50) = 600 \cdot 0{,}97729^{50}\) oder \(N(50) = 600 \cdot 0{,}5^{\frac{50}{30{,}17}}\). 5. Ergebnis: \(N(50) \approx 190{,}22\,\text{Bq}\).

a) Der jährliche Zerfallsfaktor beträgt \(b \approx 0{,}9773\); die jährliche Zerfallsrate liegt bei \(p \approx 2{,}27\,\%\). b) Nach \(50\) Jahren sind noch ca. \(190{,}22\,\text{Bq}\) vorhanden.

- Welcher Abnahmefaktor \(b\) gehört zu einer Abnahme von \(2{,}4\,\%\)? - Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielle Abnahmeprozesse? - Wie berechnest du die prozentuale Änderung zwischen dem Anfangswert und einem späteren Wert? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für das Verhältnis zwischen Endwert und Anfangswert? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Bestimmung des jährlichen Abnahmefaktors: \(b = 1 - 0{,}024 = 0{,}976\). 2. Berechnung der Masse nach \(15\) Jahren mit der Formel \(N(t) = N_0 \cdot b^t\): \(N(15) = 400 \cdot 0{,}976^{15} \approx 277{,}85\,\text{mg}\). 3. Berechnung der prozentualen Abnahme über \(15\) Jahre: \(1 - 0{,}976^{15} \approx 0{,}3054\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}54\,\%\) entspricht. 4. Berechnung der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(0{,}5 = 0{,}976^T\): \(T = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}976)} \approx 28{,}53\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(28{,}5\) Jahre.

a) Nach \(15\) Jahren sind noch ca. \(277{,}85\,\text{mg}\) vorhanden. b) Die Masse nimmt insgesamt um ca. \(30{,}54\,\%\) ab. c) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(28{,}5\) Jahre.

- Was bedeutet es für den verbleibenden Anteil, wenn die Hälfte nach 10 Minuten weg ist? - Wenn 90 % der Substanz verschwunden sind, wie viel Prozent sind dann noch übrig? - Kannst du eine Funktionsgleichung für den Zerfall aufstellen? Nutze den Logarithmus, um die Zeit zu berechnen.

1. Aufstellen des Zerfallsgesetzes mit der Halbwertszeit \(T_{1/2} = 10\text{ min}\): \(N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/10}\). 2. Bestimmung des gesuchten Zustands: Wenn 90 % zerfallen sind, sind noch 10 % (also \(0,1 \cdot N_0\)) vorhanden. 3. Aufstellen der Gleichung: \(0,1 \cdot N_0 = N_0 \cdot 0,5^{t/10} \implies 0,1 = 0,5^{t/10}\). 4. Logarithmieren beider Seiten: \(\ln(0,1) = \frac{t}{10} \cdot \ln(0,5)\). 5. Auflösen nach \(t\): \(t = 10 \cdot \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,5)} \approx 10 \cdot 3,3219 \approx 33,2\text{ min}\).

d) 33,2 min

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang zwischen dem Wachstumsfaktor und der Zeit bis zur Verdopplung beschreibt? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und der Zinssatz \(p\) zusammen? - Ist für die Berechnung der Verdopplungs- oder Verzehnfachungszeit die Höhe des Startkapitals von Bedeutung? - Welche Gleichung musst du lösen, um herauszufinden, wann aus einem Startwert das Zehnfache geworden ist? - Überlege, wie du Logarithmengesetze nutzen kannst, um die Berechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Wachstumsfaktors \(q\) aus der Verdopplungszeit: \(q^{14} = 2 \Rightarrow q = \sqrt[14]{2} \approx 1{,}05076\). 2. Umrechnung in den Zinssatz \(p\): \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 5{,}08\,\%\). 3. Ansatz für die Verzehnfachung: \(q^n = 10\) bzw. \((\sqrt[14]{2})^n = 10\). 4. Auflösen nach der Zeit \(n\) mittels Logarithmen: \(n = \frac{\ln(10)}{\ln(q)} = 14 \cdot \frac{\ln(10)}{\ln(2)} \approx 46{,}5\). Die Verzehnfachung ist nach ca. \(46{,}5\) Jahren erreicht.

a) ca. \(5{,}08\,\%\) b) ca. \(46{,}5\) Jahre

- Wie sieht die Gleichung aus, wenn sich ein Bestand vervierfacht? - Berechne für verschiedene Zinssätze die benötigte Zeit mit dem Logarithmus. - Schau dir die Ergebnisse der Multiplikation von Zeit und Zinssatz genau an – erkennst du eine Konstanz? - Wähle eine einfache, gut merkbare Zahl für deine Faustformel.

1. Berechnung der exakten Werte über \(n = \frac{\ln(4)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\): Für \(p = 2\): \(n \approx 70{,}01\) Jahre. Für \(p = 5\): \(n \approx 28{,}41\) Jahre. Für \(p = 10\): \(n \approx 14{,}55\) Jahre. 2. Produkte \(n \cdot p\): Für \(p = 2\): \(70{,}01 \cdot 2 = 140{,}02\). Für \(p = 5\): \(28{,}41 \cdot 5 = 142{,}05\). Für \(p = 10\): \(14{,}55 \cdot 10 = 145{,}5\). Ein geeigneter Mittelwert für die Konstante \(c\) liegt im Bereich von \(140\) bis \(145\). Eine gängige Faustformel wäre \(n \approx \frac{140}{p}\) oder \(n \approx \frac{144}{p}\).

1. Exakte Zeiten: \(70{,}01\) Jahre (\(2\,\%\)), \(28{,}41\) Jahre (\(5\,\%\)), \(14{,}55\) Jahre (\(10\,\%\)). 2. Die Produkte \(n \cdot p\) liegen alle nahe bei \(140\) bis \(145\). Eine mögliche Faustformel lautet \(n \approx \frac{140}{p}\).

- Wie kannst du den täglichen Zerfallsfaktor bestimmen, wenn du weißt, was nach etwa 8 Tagen passiert? - Wenn nur noch \(10\,\%\) übrig sind, welcher Anteil (als Dezimalzahl) der Startmenge ist das? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Kannst du eine allgemeine Formel \(N(t) = N_0 \cdot b^t\) aufstellen?

1. Aufstellen der Gleichung für den täglichen Abnahmefaktor \(b\): \(b^{8{,}02} = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(b\): \(b = \sqrt[8{,}02]{0{,}5} \approx 0{,}9172\). 3. Berechnung der täglichen Zerfallsrate \(p\): \(1 - 0{,}9172 = 0{,}0828\), also \(p \approx 8{,}28\,\%\). 4. Ansatz zur Bestimmung der Zeit \(t\) für einen Restbestand von \(10\,\%\): \(0{,}5^{\frac{t}{8{,}02}} = 0{,}1\) oder \(0{,}9172^t = 0{,}1\). 5. Lösen der Gleichung mittels Logarithmus: \(t = \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}9172)}\) oder \(t = 8{,}02 \cdot \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}5)}\). 6. Berechnung des Wertes: \(t \approx 26{,}64\) Tage.

a) Die tägliche Zerfallsrate beträgt ca. \(8{,}28\,\%\). b) Nach etwa \(26{,}6\) Tagen sind noch \(10\,\%\) der Menge vorhanden.

- Wie hängen der jährliche Faktor \(b\) und die Halbwertszeit \(T\) zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, die die aktuelle Menge mit der ursprünglichen Menge verknüpft. - Überlege, wie du den Exponenten isolieren kannst, um die Zeit \(t\) zu berechnen. - Achte beim Rechnen mit dem Abnahmefaktor auf genügend Nachkommastellen, da kleine Unterschiede hier große Auswirkungen auf das Alter haben.

1. Berechnung des jährlichen Abnahmefaktors \(b\) aus der Halbwertszeit \(T = 5730\): \(b^{5730} = 0{,}5 \Rightarrow b = 0{,}5^{\frac{1}{5730}} \approx 0{,}999879\). 2. Aufstellen der Zerfallsgleichung mit dem Anfangswert \(N_0 = 12{,}0\) und dem aktuellen Wert \(N(t) = 3{,}5\): \(3{,}5 = 12{,}0 \cdot 0{,}999879^t\). 3. Isolieren des Potenzterms: \(\frac{3{,}5}{12{,}0} = 0{,}999879^t\). 4. Lösen nach \(t\) mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(3{,}5 / 12{,}0)}{\ln(0{,}999879)} \approx 10\,185{,}7\). Der Knochenfund ist etwa \(10\,186\) Jahre alt.

a) Der jährliche Abnahmefaktor beträgt ca. \(0{,}999879\). b) Der Knochenfund ist ca. \(10\,186\) Jahre alt.