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- Überlege dir, wie sich eine Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) verhält, wenn die Basis \(a\) größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Exponent positiv, negativ oder null ist? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten. - Welchen Wert hat jede Potenz mit dem Exponenten 0?

1. Für \(1{,}05^{12}\) ist die Basis \(a = 1{,}05 > 1\). Da der Exponent \(12 > 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 2. Für \(0{,}92^{5}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}92 < 1\). Da der Exponent \(5 > 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 3. Für \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}5 < 1\). Da der Exponent \(-3 < 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 4. Für \(\left(\frac{5}{4}\right)^{-0{,}2}\) ist die Basis \(a = 1{,}25 > 1\). Da der Exponent \(-0{,}2 < 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 5. Jede von Null verschiedene Basis mit dem Exponenten 0 ergibt den Wert 1. Da \(\sqrt{2}-1 \neq 0\), ist der Wert gleich 1.

a) Größer als 1 b) Kleiner als 1 c) Größer als 1 d) Kleiner als 1 e) Gleich 1

- Wie hängen die Basen \(5\) und \(0{,}2\) mathematisch zusammen? - Was passiert mit einem Punkt \((x|y)\), wenn man das Vorzeichen von \(x\) umkehrt? - Überlege dir, ob die Funktionswerte immer größer oder immer kleiner werden, wenn du größere Zahlen einsetzt.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x)\) ergeben sich \(f(-1) = 0{,}2\), \(f(0) = 1\) und \(f(1) = 5\). Für \(g(x)\) ergeben sich \(g(-1) = 5\), \(g(0) = 1\) und \(g(1) = 0{,}2\). 2. Nachweis der Identität: Da \(0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}\) ist, gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervorgeht. 3. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben die Werte von \(f(x) = 5^x\) gegen unendlich (\(f(x) \to \infty\)), während die Werte von \(g(x) = 0{,}2^x\) gegen Null streben (\(g(x) \to 0\)), da die Basis kleiner als 1 ist.

a) \(f(-1)=0{,}2\), \(f(0)=1\), \(f(1)=5\); \(g(-1)=5\), \(g(0)=1\), \(g(1)=0{,}2\). b) Es gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Die Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) (exponentielles Wachstum) und \(g(x) \to 0\) (exponentieller Zerfall).

- Wie findet man allgemein die Punkte, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit einer Potenz, wenn der Exponent immer negativer wird? - Welche Parameter in der Funktionsgleichung bewirken eine Verschiebung entlang der Achsen?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 2^{0-2} - 4 = 2^{-2} - 4 = 0{,}25 - 4 = -3{,}75\). Ergebnis: \(S_y(0 | -3{,}75)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(2^{x-2} - 4 = 0 \Rightarrow 2^{x-2} = 4 \Rightarrow 2^{x-2} = 2^2 \Rightarrow x-2 = 2 \Rightarrow x = 4\). Ergebnis: \(N(4 | 0)\). 3. Waagerechte Asymptote: Da \(2^{x-2} > 0\) für alle \(x\) und \(2^{x-2} \to 0\) für \(x \to -\infty\), folgt \(f(x) \to -4\). Gleichung: \(y = -4\). 4. Transformationen: Verschiebung um 2 Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und um 4 Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten).

a) Schnittpunkte: \(S_y(0 | -3{,}75)\) und \(N(4 | 0)\). b) Waagerechte Asymptote: \(y = -4\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = -4\) von oben an. c) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten.

- Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt einer Funktion mit der vertikalen Achse? - Welcher Teil der Funktionsgleichung \(c \cdot a^x\) bestimmt, ob der Graph steigt oder fällt? - Was passiert mit einer Potenz, wenn der Exponent negativ und sehr groß wird? - Denke an die Definition einer Asymptote bei Exponentialfunktionen der Form \(y = c \cdot a^x\).

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) berechnet: \(f(0) = 0{,}4 \cdot 2^0 = 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}4\). Der Punkt lautet \(S_y(0 | 0{,}4)\). 2. Da die Basis \(a = 2\) größer als \(1\) ist und der Streckfaktor \(c = 0{,}4\) positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend. 3. Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). Für \(x \to -\infty\) nähern sich die Funktionswerte der Asymptote an, das heißt \(f(x) \to 0\).

a) \(S_y(0 | 0{,}4)\) b) Die Funktion ist streng monoton steigend, da die Basis \(2 > 1\) ist. c) Die Asymptote ist \(y = 0\). Für \(x \to -\infty\) streben die Funktionswerte gegen \(0\).

- Was passiert mit dem Wert einer Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Schau dir die Basis der Potenz an: Ist sie größer oder kleiner als 1? - Können Exponentialfunktionen der Form \(y = a \cdot b^x\) (mit \(a > 0\)) jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Überlege dir, was mit dem Graphen passiert, wenn man auf der \(x\)-Achse ganz weit nach links geht.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 3^0 = 1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 1{,}5)\). 2. Bestimmung der Monotonie: Da die Basis \(b = 3\) größer als \(1\) ist und der Vorfaktor \(a = 1{,}5\) positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend. 3. Ermittlung des Wertebereichs: Da \(3^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv ist und \(1{,}5 > 0\) gilt, nimmt die Funktion nur positive Werte an. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\) bzw. \(\mathbb{R}^+\). 4. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Da die Basis \(b > 1\) ist, nähert sich \(3^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte der Null an. Somit nähern sich auch die Funktionswerte \(1{,}5 \cdot 3^x\) der \(0\) an. Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist die waagerechte Asymptote.

a) \(S_y(0 \mid 1{,}5)\) b) Streng monoton steigend, da die Basis \(3 > 1\) ist. c) \(W = \mathbb{R}^+\) (alle reellen Zahlen größer als \(0\)). d) Die Funktionswerte nähern sich der \(0\) an (die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote).

- Welchen Einfluss hat eine Zahl, die direkt am Funktionswert addiert oder subtrahiert wird, auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem? - Wie findet man rechnerisch heraus, an welcher Stelle ein Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Was ändert sich an den möglichen Ergebnissen (y-Werten), wenn man die Kurve nur nach links oder rechts schiebt?

1. Asymptote und Nullstelle von \(g\): Die Subtraktion von 9 verschiebt den Graphen von \(f\) um 9 Einheiten nach unten. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -9\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird berechnet durch \(3^x - 9 = 0 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(N(2|0)\). 2. Transformation von \(h\): Der Term \(x+1\) im Exponenten bewirkt eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um eine Einheit nach links in Richtung der negativen \(x\)-Achse. 3. Wertemenge: Die Wertemenge von \(f\) ist \(\mathbb{R}^+ = \{y \in \mathbb{R} | y > 0\}\). Da die Transformation zu \(h\) nur eine horizontale Verschiebung ist, ändert sich die Menge der angenommenen \(y\)-Werte nicht. Die Wertemenge bleibt identisch.

a) Waagerechte Asymptote: \(y = -9\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(2|0)\). b) Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um 1 Einheit nach links. c) Die Wertemenge ändert sich nicht (sie bleibt \(y > 0\)), da eine Verschiebung in \(x\)-Richtung keinen Einfluss auf die Spanne der \(y\)-Werte hat.

- Welchen Einfluss hat die Größe der Basis auf den Verlauf des Graphen? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit 0 potenziert? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. Wie hängen \(1{,}25\) und \(0{,}8\) als Brüche zusammen?

1. Monotonieverhalten: Da die Basis von \(f\) mit \(a = 1{,}25 > 1\) größer als 1 ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Da die Basis von \(g\) mit \(a = 0{,}8 < 1\) zwischen 0 und 1 liegt, ist die Funktion streng monoton fallend. 2. Gemeinsame Punkte und Asymptote: Jede Exponentialfunktion der Form \(y = a^x\) verläuft durch den Punkt \((0|1)\), da \(a^0 = 1\) für alle \(a \neq 0\) gilt. Die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) ist die waagerechte Asymptote für beide Funktionen, da sich die Funktionswerte für \(x \to -\infty\) (bei \(f\)) bzw. \(x \to \infty\) (bei \(g\)) beliebig nah an 0 annähern. 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\). Es gilt \(f(-x) = 1{,}25^{-x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-x} = \left(\frac{4}{5}\right)^x = 0{,}8^x\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, geht \(g\) durch Spiegelung von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f\) ist streng monoton steigend (\(a > 1\)); \(g\) ist streng monoton fallend (\(0 < a < 1\)). b) Gemeinsamer Schnittpunkt: \(S(0|1)\); Asymptote: \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). c) Da \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) und \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) Kehrwerte sind, gilt \(1{,}25^{-x} = (1{,}25^{-1})^x = 0{,}8^x\).

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man den Exponenten verändert? Nutze die Potenzgesetze. - Was passiert, wenn du die Zahl 1 immer wieder mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten (Brüchen). Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\)? - Überlege, für welche Arten von Zahlen Wurzeln aus negativen Werten gezogen werden können.

1. Bestimmung der Basis: Nach der Grundeigenschaft gilt \(f(x+s) = f(x) \cdot a^s\). Hier ist \(s = 2\) und der Faktor \(a^s = 4\). Aus \(a^2 = 4\) folgt wegen \(a > 0\) die Basis \(a = 2\). 2. Sonderfall \(a = 1\): Für \(a = 1\) gilt \(f(x) = 1^x = 1\) für alle \(x\). Dies ist eine konstante Funktion. Der Graph ist eine Parallele zur \(x\)-Achse durch den Punkt \((0|1)\). Es findet kein Wachstum und kein Zerfall statt, weshalb die typischen Eigenschaften (wie die Annäherung an eine Asymptote oder Monotonie) nicht vorhanden sind. 3. Negative Basis: Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) definiert. Für \(x = 0{,}5\) müsste man jedoch \((-2)^{0{,}5} = \sqrt{-2}\) berechnen. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Da dies für sehr viele \(x\)-Werte (alle Brüche mit geradem Nenner im gekürzten Exponenten) auftritt, lässt sich kein durchgehender Graph über \(\mathbb{R}\) zeichnen.

a) Die Basis ist \(a = 2\). b) Bei \(a = 1\) ist \(f(x) = 1\) konstant; der Graph ist eine waagerechte Gerade. Es liegt kein exponentielles Verhalten vor. c) Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) (definiert), aber für \(x = 0{,}5\) ist \(\sqrt{-2}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert. Ein geschlossener Graph über \(\mathbb{R}\) ist somit nicht möglich.

- Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Was passiert mit dem Wert von \(b^x\), wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt? - Welchen Einfluss hat die Basis \(b\) auf das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion? - Ändert ein positiver Faktor vor dem Potenzterm die grundsätzliche Richtung des Graphen?

1. Berechnung der \(y\)-Achsenabschnitte durch Einsetzen von \(x = 0\): Für \(f(0) = 2{,}5 \cdot 1{,}4^0 = 2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5\), also \(S_y(0 \mid 2{,}5)\). Für \(g(0) = 0{,}4 \cdot 1{,}4^0 = 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}4\), also \(S_y(0 \mid 0{,}4)\). 2. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Term \(1{,}4^x\) dem Wert \(0\) an. Da die Multiplikation einer Zahl, die gegen Null geht, mit einem konstanten Faktor (\(2{,}5\) bzw. \(0{,}4\)) ebenfalls gegen Null strebt, besitzen beide Graphen die \(x\)-Achse als waagerechte Asymptote. Die Gleichung lautet \(y = 0\). 3. Beide Funktionen haben die gleiche Basis \(b = 1{,}4\). Da \(b > 1\) ist und beide Streckfaktoren positiv sind (\(2{,}5 > 0\) und \(0{,}4 > 0\)), sind sowohl \(f\) als auch \(g\) über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

1. \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2{,}5)\), \(g\) schneidet sie bei \((0 \mid 0{,}4)\). 2. Da \(1{,}4^x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) geht, gehen auch \(f(x)\) und \(g(x)\) gegen \(0\). Die Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Beide Funktionen sind streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}4\) größer als \(1\) ist und die Vorfaktoren positiv sind.

- Setze beispielhaft verschiedene Werte für \(a\) ein (z. B. \(a=1\) und \(a=2\)) und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Funktion mit einer positiven Zahl multiplizierst. Ändert sich das Vorzeichen oder die Richtung? - Erinnere dich an die Definition des Wertebereichs. Welche Werte kann der Ausdruck \(0{,}8^x\) annehmen?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich aus \(f_a(0) = a \cdot 0{,}8^0 = a\). Der Punkt \((0 \mid a)\) ist direkt vom Parameter \(a\) abhängig. 2. Die waagerechte Asymptote wird durch das Verhalten für \(x \to \infty\) bestimmt. Da \(0 < 0{,}8 < 1\) ist, geht \(0{,}8^x\) gegen \(0\). Damit strebt \(a \cdot 0{,}8^x\) unabhängig von \(a\) gegen \(0\). Die Asymptote ist immer \(y = 0\). 3. Da die Basis \(0{,}8\) kleiner als \(1\) ist und der Streckfaktor \(a\) als positiv vorausgesetzt wurde, sind alle Funktionen der Schar streng monoton fallend. Die Eigenschaft ist unabhängig von \(a\). 4. Da \(0{,}8^x\) immer positive Werte liefert und \(a > 0\) ist, ist das Produkt \(a \cdot 0{,}8^x\) stets positiv. Der Wertebereich ist somit für alle \(a\) immer \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\).

Abhängig von \(a\): - Die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse (dieser liegt bei \((0 \mid a)\)). Unabhängig von \(a\): - Die waagerechte Asymptote (\(y = 0\)). - Das Monotonieverhalten (alle sind streng monoton fallend, da \(0{,}8 < 1\) und \(a > 0\)). - Der Wertebereich (alle haben \(W = \mathbb{R}^+\)).

- Vergleiche die Basen und die Vorfaktoren der beiden Funktionen. - Überlege dir, welcher Punkt auf der \(y\)-Achse jeweils erreicht wird. - Setze die Funktionsterme in einen Bruch und schaue, ob du den Ausdruck kürzen kannst. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Funktionswert immer das Vielfache eines anderen ist?

1. Gemeinsamkeiten: Beide Funktionen haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\) und sind beide streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}2 > 1\) ist. 2. Der Faktor \(c\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung. Da \(5 > 2\), verläuft der Graph von \(g\) für alle \(x\) oberhalb des Graphen von \(h\) und schneidet die \(y\)-Achse bei einem höheren Wert (\(5\) statt \(2\)). 3. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{5 \cdot 1{,}2^x}{2 \cdot 1{,}2^x} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Das Verhältnis ist für alle \(x\) konstant.

a) Beide Graphen sind streng monoton steigend und haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote. b) Der Faktor bestimmt den \(y\)-Achsenabschnitt und die Streckung in \(y\)-Richtung; \(g(x)\) liegt für alle \(x\) oberhalb von \(h(x)\). c) \(\frac{g(x)}{h(x)} = 2{,}5\). Das Verhältnis der Funktionswerte ist an jeder Stelle \(x\) gleich.

- Setze den gegebenen \(x\)-Wert einfach in die Funktionsgleichung ein und achte auf die Potenzgesetze. - Welchen Einfluss hat eine Basis zwischen 0 und 1 auf den Verlauf des Graphen? - Was ist eine Asymptote und welcher Linie nähert sich der Graph für sehr große \(x\)-Werte an? - Betrachte den Faktor vor der Potenz. Wie verändert dieser die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse?

1. Berechnung des Funktionswertes für \(x = 3\): \(h(3) = 4 \cdot 0{,}5^3 = 4 \cdot 0{,}125 = 0{,}5\). 2. Analyse der Monotonie: Die Basis ist \(b = 0{,}5\). Da \(0 < 0{,}5 < 1\) gilt, ist die Funktion streng monoton fallend. 3. Bestimmung der Asymptote: Für sehr große \(x\)-Werte nähert sich \(0{,}5^x\) der Null an. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet daher \(y = 0\). 4. Vergleich der Graphen: Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(g\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Dadurch verläuft der Graph von \(h\) steiler und sein \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(4\) statt bei \(1\).

a) \(h(3) = 0{,}5\) b) Streng monoton fallend, da die Basis \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt. c) \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). d) Der Graph von \(h\) ist gegenüber dem Graphen von \(g\) mit dem Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt; der \(y\)-Achsenabschnitt verschiebt sich von \(1\) auf \(4\).

- Überlege, wie man die Zahl 8 als Potenz zur Basis 2 ausdrücken kann. - Welches Potenzgesetz hilft dir, ein Produkt von Potenzen mit gleicher Basis zusammenzufassen? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion direkt am \(x\)-Wert im Funktionsterm auf den Graphen auswirkt. - Was bedeutet eine Verschiebung nach rechts mathematisch für das Argument \(x\) in der Funktion?

1. Der Streckfaktor in \(y\)-Richtung lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung \(g(x) = a \cdot 2^x\) ablesen; hier ist \(a = 8\). 2. Unter Verwendung des Potenzgesetzes \(b^n \cdot b^m = b^{n+m}\) wird \(8\) als \(2^3\) geschrieben: \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). 3. Ein Term der Form \(f(x+c)\) bewirkt eine Verschiebung um \(c\) Einheiten nach links (für \(c > 0\)). Da \(g(x) = 2^{x+3}\), ist der Graph von \(g\) gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach links verschoben. 4. Eine Verschiebung um \(s\) nach rechts führt zur Funktionsgleichung \(y = b^{x-s}\). Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Der Streckfaktor lautet somit \(b^{-s}\) bzw. \(\frac{1}{b^s}\).

a) Der Streckfaktor ist \(8\). b) \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. c) Der Faktor lautet \(b^{-s}\) (oder \(\frac{1}{b^s}\)).

- Was passiert mit jeder Zahl (außer Null), wenn man sie mit Null potenziert? - Wie beeinflusst die Größe der Basis (größer oder kleiner als 1) den Verlauf des Graphen? - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt und was ein Kehrwert für den Exponenten bedeutet. - Welche Symmetrie erzeugt man, wenn man in einer Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzt?

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f(0) = 2{,}5^0 = 1\) und \(g(0) = 0{,}4^0 = 1\). Beide Graphen schneiden die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|1)\). 2. Da die Basis von \(f\) mit \(2{,}5 > 1\) ist, handelt es sich um eine streng monoton steigende Funktion (exponentielles Wachstum). Da die Basis von \(g\) mit \(0 < 0{,}4 < 1\) ist, handelt es sich um eine streng monoton fallende Funktion (exponentieller Zerfall). 3. Es gilt \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) und \(2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}\). Damit ist \(g(x) = (\frac{2}{5})^x = (\frac{5}{2})^{-x} = 2{,}5^{-x} = f(-x)\). Geometrisch bedeutet die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\), dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse entsteht.

1. Der Schnittpunkt ist \(S(0|1)\). 2. \(f\) ist streng monoton steigend (\(b > 1\)); \(g\) ist streng monoton fallend (\(0 < b < 1\)). 3. \(0{,}4^x = (\frac{2}{5})^x = (\frac{5}{2})^{-x} = 2{,}5^{-x}\). Dies entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse.

- Setze die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Kann eine Potenz mit positiver Basis jemals den Wert Null oder einen negativen Wert annehmen? - Welche Gerade wird vom Graphen nie erreicht, aber immer weiter angenähert? - Wie hängen Spiegelungen an Achsen mit den Vorzeichen der Koordinaten zusammen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2|9)\) in \(y = b^x\) ergibt \(9 = b^2\). Da \(b > 0\) sein muss, folgt \(b = 3\). Da \(3 > 1\) gilt, beschreibt die Funktion einen Wachstumsprozess. 2. Da \(3^x\) für alle reellen \(x\) stets positiv ist, ist der Wertebereich \(W = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(y > 0\)). Der Graph nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse an, daher ist die Asymptote die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) erreicht. Die Gleichung lautet somit \(g(x) = 3^{-x}\). Unter Verwendung der Definition negativer Exponenten ergibt sich \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

1. \(b = 3\); es ist ein Wachstumsprozess. 2. Wertebereich \(W = \{y \in \mathbb{R} | y > 0\}\); Asymptote \(y = 0\). 3. \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

- Was passiert mit dem \(x\)-Wert eines Punktes, wenn du ihn an der \(y\)-Achse spiegelst? - Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. - Welche Bedingung muss die Basis einer Exponentialfunktion erfüllen, damit der Graph fällt?

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Transformation \(x \to -x\) beschrieben. Es folgt \(g(x) = f(-x) = 5^{-x}\). Dies lässt sich umschreiben zu \(g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x\) oder \(g(x) = 0{,}2^x\). 2. Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse wird durch die Transformation \(y \to -y\) bzw. \(h(x) = -f(x)\) beschrieben. Es ergibt sich \(h(x) = -5^x\). 3. Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn die Basis \(a\) der Funktion \(y = a^x\) im Intervall \(0 < a < 1\) liegt und die Funktionswerte positiv sind. Dies trifft auf die Funktion \(g\) zu. Der Wachstumsfaktor ist \(a = 0{,}2\) (bzw. \(\frac{1}{5}\)).

1. \(g(x) = 0{,}2^x\) (oder \(g(x) = 5^{-x}\)) 2. \(h(x) = -5^x\) 3. Die Funktion \(g\) beschreibt einen Zerfallsprozess; der Abnahmefaktor ist \(a = 0{,}2\).

- Überlege dir, wie man einen negativen Exponenten in einen positiven umwandeln kann. - Was geschieht mit den Koordinaten eines Punktes bei einer Achsenspiegelung? - Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen der Funktionswerte aus?

1. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit ist \(q(x) = p(-x) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-x}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(q(x) = \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \right)^x = 4^x\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). Aus \(A(1 \mid 0{,}25)\) wird somit \(A'(-1 \mid 0{,}25)\). 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). Aus \(q(x) = 4^x\) folgt somit \(r(x) = -4^x\).

1. \(q(x) = 4^x\) 2. \(A'(-1 \mid 0{,}25)\) 3. \(r(x) = -4^x\)

- Wie ändert sich die Richtung eines Ungleichheitszeichens bei monoton fallenden Funktionen? - Vergleiche die Größe der Exponenten in Teilaufgabe b mit der Richtung des Ungleichheitszeichens der Potenzen. - Wann ist ein mathematischer Ausdruck im Exponenten (wie ein Bruch) nicht definiert? - Suche für Teilaufgabe d nach Potenzen der Basis 2, deren Ergebnisse knapp unter und knapp über dem gesuchten Wert liegen.

1. Da die Basis \(0{,}6\) kleiner als 1 ist, ist die Funktion \(f(x) = 0{,}6^x\) streng monoton fallend. Aus \(0{,}6^m < 0{,}6^n\) folgt daher \(m > n\). 2. Da die Exponenten \(5 < 7\) sind, die Potenzwerte sich aber umgekehrt verhalten (\(a^5 > a^7\)), muss die Exponentialfunktion streng monoton fallend sein. Dies ist für \(0 < a < 1\) der Fall. 3. Die Funktion ist definiert, wenn der Exponent definiert ist. Da der Exponent ein Bruch mit dem Nenner \(x-4\) ist, darf dieser nicht Null sein. Also \(x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 4. Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f(k) = 2^k\) streng monoton steigend. Es gilt \(2^{-3} = 0{,}125\) und \(2^{-2} = 0{,}25\). Da \(0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}25\) gilt, folgt \(-3 < k < -2\). Die Zahlen sind \(-3\) und \(-2\).

a) \(m > n\) b) \(0 < a < 1\) c) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4\}\) d) \(-3 < k < -2\)

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der \(y\)-Achse. - Wann nimmt ein Ausdruck der Form \(2^{\text{etwas}}\) seinen größten Wert an, wenn die Basis größer als 1 ist? - Betrachte den Exponenten separat: Was passiert mit \(-x^2 + 1\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Symmetrieprüfung: \(g(-x) = 2^{-(-x)^2 + 1} = 2^{-x^2 + 1} = g(x)\). Da \(g(x) = g(-x)\), liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Höchster Punkt: Der Exponent \(-x^2 + 1\) wird maximal, wenn \(x^2\) minimal ist, also bei \(x = 0\). Funktionswert \(g(0) = 2^{-0^2 + 1} = 2^1 = 2\). Ergebnis: \(H(0 | 2)\). 3. Verhalten im Unendlichen: Für \(x \to \pm \infty\) wird der Exponent \(-x^2 + 1\) beliebig klein (negativ groß). Somit gilt \(g(x) \to 0\). 4. Geometrische Bedeutung: Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist die waagerechte Asymptote des Graphen für beide Richtungen.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(x) = g(-x)\). b) Der höchste Punkt ist \(H(0 | 2)\). c) Der Grenzwert ist 0. Die \(x\)-Achse ist die waagerechte Asymptote des Graphen.

- Kannst du den Term \(10^{x+1}\) mithilfe von Potenzgesetzen in ein Produkt zerlegen? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}01\) als Potenz zur Basis 10. - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Potenz \(b^k\) mit positiver Basis \(b\) immer hat. - Kann eine Verschiebung eines Graphen, der nur oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, dazu führen, dass er plötzlich unterhalb der Achse liegt?

1. Durch Anwendung der Potenzgesetze gilt \(h(x) = 10^{x+1} = 10^1 \cdot 10^x = 10 \cdot 10^x\). Dies entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(10\). 2. Die Zahl \(0{,}01\) wird als Zehnerpotenz geschrieben: \(0{,}01 = 10^{-2}\). Damit ist \(k(x) = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 3. Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung führt immer auf eine Funktionsgleichung der Form \(y = b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Da \(b > 0\), ist der resultierende Streckfaktor \(a = b^{-s}\) immer positiv. Eine Streckung mit einem negativen Faktor \(a\) (Spiegelung an der \(x\)-Achse) kann daher niemals allein durch eine Verschiebung in \(x\)-Richtung erreicht werden. Die Aussage ist somit falsch.

a) Wegen \(10^{x+1} = 10 \cdot 10^x\) liegt eine Streckung mit dem Faktor \(10\) vor. b) Wegen \(0{,}01 \cdot 10^x = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\) entsteht der Graph durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. c) Die Aussage ist falsch. Da \(b^{x-s}\) für \(b > 0\) stets positiv ist, können Streckungen mit negativen Faktoren \(a\) (die eine Spiegelung beinhalten) nicht durch bloße Verschiebung dargestellt werden.