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Die Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion der Form \(f(x)=b\cdot a^x\). a) Lies \(f(0)\) und damit den Anfangswert \(b\) ab. b) Lies \(f(1)\) ab und bestimme daraus den Wachstumsfaktor \(a\). c) Entscheide, ob der Graph streng monoton zunimmt oder streng monoton abnimmt.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) und \(a\neq1\). Der Wachstumsfaktor \(a\) ist nicht angegeben. a) Entscheide anhand des Graphen, ob \(0<a<1\) oder \(a>1\) gilt. Begründe mit dem Verlauf des Graphen. b) Lies \(f(1)\) ab und bestimme daraus den Wachstumsfaktor \(a\). c) Ordne \(f(-2)\), \(f(0)\) und \(f(2)\) der Größe nach und nenne die waagrechte Gerade, der sich der Graph für große positive \(x\) annähert.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=2^{x-2}-4\). a) Berechne die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den beiden Koordinatenachsen. b) Bestimme die waagerechte Asymptote und beschreibe das Verhalten der Funktionswerte für \(x\to-\infty\). c) Der Graph von \(f\) entsteht durch Verschiebungen aus dem Graphen der Grundfunktion \(g(x)=2^x\). Beschreibe diese Verschiebungen genau.

Untersuche die Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(x)=1{,}5\cdot3^x\) auf ihre wesentlichen Eigenschaften. a) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse. b) Gib das Monotonieverhalten der Funktion an und begründe deine Entscheidung. c) Bestimme den Wertebereich der Funktion. d) Beschreibe das Verhalten der Funktionswerte für immer kleiner werdende \(x\)-Werte.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(h\) mit \(h(x)=4\cdot0{,}5^x\). a) Bestimme den Funktionswert an der Stelle \(x=3\). b) Gib an, ob die Funktion steigend oder fallend ist, und begründe deine Entscheidung mathematisch. c) Nenne die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen. d) Vergleiche den Graphen von \(h\) mit dem Graphen der Grundfunktion \(g(x)=0{,}5^x\). Beschreibe den Unterschied.

In der Abbildung siehst du vier Graphen p, q, r und s von Exponentialfunktionen der Form \(y=a^x\). Ordne jedem Graphen einen der folgenden Funktionsterme zu: \(A(x)=3^x\) \(B(x)=1{,}5^x\) \(C(x)=0{,}5^x\) \(D(x)=0{,}2^x\) Begründe deine Zuordnung mithilfe von exponentieller Zunahme bzw. Abnahme, der Steilheit oder markanten Punkten.

Eine Tasse heißer Tee wird in einem Zimmer mit einer konstanten Temperatur von \(20\,^\circ\text{C}\) abgestellt. Das Diagramm zeigt die Temperatur des Tees in Abhängigkeit von der Zeit. a) Welche Temperatur hatte der Tee zu Beginn der Messung? b) Wie lange dauert es ungefähr, bis der Tee eine trinkwarme Temperatur von \(40\,^\circ\text{C}\) erreicht hat? c) Erkläre, warum der Graph sich im weiteren Verlauf der Zeit immer mehr der \(20\,^\circ\text{C}\)-Linie annähert, sie aber nicht unterschreitet.

Das folgende Koordinatensystem zeigt die Graphen p, q, r, s und u von fünf verschiedenen Exponentialfunktionen. Ordne die Graphen mithilfe ihrer \(y\)-Achsenabschnitte und ihres Wachstumsverhaltens eindeutig den Funktionsgleichungen zu. Begründe deine Wahl: (a) \(y=1{,}4^x\) (b) \(y=2{,}2^x\) (c) \(y=3{,}5^x\) (d) \(y=0{,}5\cdot2{,}5^x\) (e) \(y=2\cdot1{,}2^x\)

Ordne den Funktionsgleichungen (a) bis (d) die entsprechenden Graphen p, q, r und s zu. Begründe deine Entscheidung mithilfe des \(y\)-Achsenabschnitts und des Verhaltens als exponentielle Zunahme beziehungsweise Abnahme. (a) \(y=3\cdot1{,}4^x\) (b) \(y=3\cdot0{,}6^x\) (c) \(y=1{,}5\cdot1{,}4^x\) (d) \(y=1{,}5\cdot0{,}6^x\)

Ermittle die Funktionsgleichung für den dargestellten Graphen. Er ist durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung in \(y\)-Richtung aus \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) entstanden.

Der Graph der Funktion \(h\) ist durch Streckung in \(y\)-Richtung und Verschiebung aus der Basisfunktion \(f(x)=2^x\) entstanden. Bestimme den Funktionsterm der Form \(h(x)=a\cdot2^x+d\).

Die Funktion \(k\) hat die Form \(k(x)=a\left(\frac{1}{2}\right)^x+d\). Ermittle die Werte für \(a\) und \(d\) anhand des Graphen und notiere den vollständigen Funktionsterm.

Welche der vier Funktionsgleichungen gehört zu welchem Graphen in den Teilbildern a), b) und c)? Begründe deine Wahl anhand der Monotonie, des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse und bei Bedarf eines weiteren gut ablesbaren Punkts. Ein Term passt zu keinem der Graphen. (1) \(f(x)=2^x\) (2) \(f(x)=0{,}5^x\) (3) \(f(x)=3^x\) (4) \(f(x)=2\cdot0{,}5^x\)

In der Abbildung ist der Graph der Exponentialfunktion \(f(x) = 2^x\) blau dargestellt. Bestimme die Funktionsterme für die Graphen \(g\) und \(h\).

Ordne den drei Funktionsgleichungen A, B und C den jeweils passenden Graphen a), b) oder c) zu. A: \(f(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\) B: \(g(x) = 0{,}5^x - 2\) C: \(h(x) = 2 - 0{,}5^x\)

Welcher der unten abgebildeten Graphen stellt die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = 0{,}25^{-x}\) dar? Begründe deine Entscheidung durch Untersuchung der Basis und markanter Punkte.

Die Abbildung zeigt vier Punkte eines Graphen einer Exponentialfunktion der Form \(f(x)=b\cdot a^x\) mit \(a>0\). Bestimme \(b\) und \(a\) aus der Abbildung und gib den Funktionsterm an. Begründe außerdem, ob der Graph wächst oder fällt.

Lea hat den Graphen der Funktion \(f(x)=4\cdot0{,}5^x\) skizziert. Die Abbildung zeigt ihre Skizze. a) Nenne zwei konkrete Merkmale der dargestellten Skizze, die nicht zum Graphen von \(f\) passen. b) Beschreibe, wie der korrekte Graph rechts von \(x=1\) weiterverlaufen muss. c) Gib drei Punkte an, die beim Korrigieren der Skizze sicher auf dem Graphen liegen.

Gegeben ist \(g(x)=2\cdot1{,}5^x\). In der Abbildung ist außerdem der Graph \(h\) eingezeichnet, der durch Spiegelung des Graphen von \(g\) an der \(x\)-Achse entsteht. a) Gib einen Funktionsterm für \(h\) an. b) Bestimme den Schnittpunkt von \(h\) mit der \(y\)-Achse. c) Entscheide, ob \(h\) streng monoton zunimmt oder streng monoton abnimmt, und begründe mit der Spiegelung.

Analysiere die folgenden Aussagen über Exponentialfunktionen und ziehe die entsprechenden Schlussfolgerungen. a) Es gilt \(0{,}6^m<0{,}6^n\). Welche Beziehung besteht zwischen \(m\) und \(n\)? b) Für eine positive Basis \(a\) gilt \(a^5>a^7\). In welchem Bereich muss \(a\) liegen? c) Gegeben ist \(2^k=0{,}2\). Bestimme zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen, zwischen denen der Exponent \(k\) liegen muss.

Gegeben sind die beiden Funktionen \(f(x)=5^x\) und \(g(x)=0{,}2^x\). a) Berechne die Funktionswerte beider Funktionen für \(x\in\{-1;0;1\}\). b) Überprüfe rechnerisch, ob die Beziehung \(g(x)=f(-x)\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. Erläutere, welche geometrische Eigenschaft der Graphen daraus folgt. c) Beschreibe das Verhalten der Funktionswerte von \(f\) und \(g\) für sehr große positive \(x\)-Werte.

Betrachte die Funktion \(f(x)=3^x\). Durch Transformationen entstehen \(g(x)=3^x-9\) und \(h(x)=3^{x+1}\). a) Bestimme für \(g\) die waagerechte Asymptote sowie den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. b) Beschreibe, wie der Graph von \(h\) aus dem Graphen von \(f\) hervorgeht. c) Untersuche, ob die Verschiebung von \(f\) zu \(h\) die Wertemenge verändert. Begründe.

Untersuche die Funktion \(g\) mit der Gleichung \(g(x)=2^{-x^2+1}\) auf ihre Eigenschaften. a) Überprüfe rechnerisch, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft. b) Ermittle die Koordinaten des höchsten Punktes des Graphen. c) Bestimme den Grenzwert der Funktionswerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). Welche geometrische Bedeutung hat dies für den Graphen?

Gegeben sind die zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit den Funktionsgleichungen \(f(x) = 1{,}25^x\) und \(g(x) = 0{,}8^x\). a) Untersuche das Monotonieverhalten beider Funktionen. Begründe deine Entscheidung mithilfe der Basis \(a\). b) Bestimme den gemeinsamen Schnittpunkt beider Graphen sowie die Gleichung der gemeinsamen Asymptote. c) Weise nach, dass der Graph von \(g\) durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse entsteht.

Betrachte die allgemeine Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) und \(a\neq1\). a) Bei einer bestimmten Funktion \(f\) vervierfacht sich der Funktionswert jedes Mal, wenn \(x\) um \(2\) Einheiten zunimmt. Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) dieser Funktion. b) Erkläre, warum im Fall \(a=1\) keine exponentielle Zu- oder Abnahme vorliegt. Welches geometrische Gebilde würde der Graph darstellen? c) Untersuche, warum ein negativer Wert wie \(a=-2\) problematisch ist, wenn man die Funktion für alle reellen Zahlen \(x\) definieren möchte. Betrachte dazu beispielhaft die Funktionswerte für \(x=2\) und \(x=0{,}5\).

Gegeben sind die zwei Exponentialfunktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=2{,}5\cdot1{,}4^x\) und \(g(x)=0{,}4\cdot1{,}4^x\). 1. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen mit der \(y\)-Achse. 2. Erkläre, warum beide Funktionen die gleiche waagerechte Asymptote besitzen, und gib deren Gleichung an. 3. Vergleiche das Monotonieverhalten der beiden Funktionen. Begründe deine Antwort.

Betrachte die Funktionsschar \(f_b(x)=b\cdot0{,}8^x\) mit \(b>0\). Untersuche, welche der folgenden Eigenschaften vom Vorfaktor \(b\) abhängen und welche für alle Funktionen der Schar unabhängig von \(b\) identisch sind: - die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse, - die Gleichung der waagerechten Asymptote, - das Monotonieverhalten, - der Wertebereich der Funktion.

Gegeben sind die zwei Funktionen \(g(x)=5\cdot1{,}2^x\) und \(h(x)=2\cdot1{,}2^x\). a) Nenne eine Gemeinsamkeit der beiden Funktionsgraphen bezüglich ihrer Asymptoten oder ihres Monotonieverhaltens. b) Erkläre, wie sich der Vorfaktor \(b\), hier \(5\) beziehungsweise \(2\), auf die Lage der Graphen im Koordinatensystem auswirkt. c) Berechne das Verhältnis der Funktionswerte \(\frac{g(x)}{h(x)}\) für einen beliebigen Wert von \(x\). Was fällt dir auf?

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=2^x\). a) Der Graph von \(g(x)=8\cdot2^x\) geht durch eine Streckung in \(y\)-Richtung aus dem Graphen von \(f\) hervor. Gib den Streckfaktor an. b) Zeige mithilfe der Potenzgesetze, dass der Graph von \(g\) auch durch eine Verschiebung aus dem Graphen von \(f\) entstehen kann. Bestimme Richtung und Weite der Verschiebung. c) Vervollständige den folgenden Satz für einen beliebigen Wachstumsfaktor \(a>0\) mit \(a\neq1\): „Wenn man den Graphen zu \(y=a^x\) um \(s\) Einheiten nach rechts verschiebt, entspricht dies einer Skalierung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor ...“

Der Graph einer Exponentialfunktion der Form \(y=a^x\) verläuft durch den Punkt \(P(2\mid9)\). 1. Bestimme den Wachstumsfaktor \(a\) der Funktion und entscheide, ob sie eine exponentielle Zunahme oder Abnahme beschreibt. 2. Gib den Wertebereich der Funktion an und nenne die Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen. 3. Eine neue Funktion \(g\) hat die Eigenschaft, dass ihr Graph das Spiegelbild des ersten Graphen an der \(y\)-Achse ist. Bestimme die Funktionsgleichung von \(g\) und schreibe sie ohne negatives Vorzeichen im Exponenten.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=5^x\). 1. Der Graph von \(f\) wird an der \(y\)-Achse gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichung der daraus resultierenden Funktion \(g\). 2. Der Graph von \(f\) wird an der \(x\)-Achse gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichung der daraus resultierenden Funktion \(h\). 3. Eine der Funktionen \(f\), \(g\) oder \(h\) beschreibt für positive Funktionswerte eine exponentielle Abnahme. Identifiziere diese Funktion und gib den zugehörigen Wachstumsfaktor \(a\) an.

Betrachte die Funktion \(p\) mit \(p(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x\). 1. Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion \(q\), deren Graph durch Spiegelung des Graphen von \(p\) an der \(y\)-Achse entsteht? 2. Der Punkt \(A(1 \mid 0{,}25)\) liegt auf dem Graphen von \(p\). Bestimme die Koordinaten des Punktes \(A'\), der durch Spiegelung von \(A\) an der \(y\)-Achse auf dem Graphen von \(q\) liegt. 3. Wenn man den Graphen von \(q\) anschließend an der \(x\)-Achse spiegelt, erhält man den Graphen einer Funktion \(r\). Gib die Funktionsgleichung von \(r\) an.

Betrachte die Grundfunktion \(f(x)=2^x\). 1. Eine Funktion \(g\) ist gegeben durch \(g(x)=b\cdot2^x\). Bestimme den Vorfaktor \(b\), wenn der Graph von \(g\) durch den Punkt \(P(3\mid2)\) verläuft. 2. Beschreibe die geometrische Bedeutung des Vorfaktors \(b\), wenn man den Graphen von \(g\) mit dem Graphen von \(f\) vergleicht. Gehe dabei insbesondere auf die Fälle \(|b|>1\), \(0<|b|<1\) und \(b=-1\) ein.

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=0{,}5^x\) und \(h(x)=-3\cdot0{,}5^x\). 1. Bestimme die Koordinaten der \(y\)-Achsenabschnitte beider Funktionen. 2. Beschreibe die Transformationen, die den Graphen von \(f\) in den Graphen von \(h\) überführen. 3. Begründe mathematisch, warum der Graph von \(h\) streng monoton steigend ist, obwohl der Wachstumsfaktor \(a=0{,}5\) kleiner als \(1\) ist.

Der abgebildete Graph der Funktion \(g\) ist durch Spiegelung und Verschiebung aus dem Graphen der Exponentialfunktion \(f(x)=2^x\) entstanden. a) Gib die Gleichung der waagerechten Asymptote an, der sich der Graph für sehr kleine \(x\)-Werte annähert. b) Ermittle den Funktionsterm von \(g(x)\) und beschreibe die beiden geometrischen Transformationen, die nacheinander auf den Graphen von \(f\) angewendet wurden.

Die Abbildung zeigt die Graphen von vier Exponentialfunktionen p, q, r und s der Standardform \(b\cdot a^x\). Ordne jedem Graphen alle passenden Funktionsterme aus der Liste zu. Begründe deine Entscheidung mit markanten Punkten und dem Wachstums- beziehungsweise Abnahmeverhalten. 1) \(f(x)=3^x\) 2) \(f(x)=1{,}5^x\) 3) \(f(x)=0{,}5^x\) 4) \(f(x)=2^x\) 5) \(f(x)=2^{-x}\) 6) \(f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x\)

Gegeben sind die Funktionen \(f(x) = 2{,}5^x\) und \(g(x) = 0{,}4^x\). a) Zeige durch eine Rechnung unter Verwendung von Potenzgesetzen, dass gilt: \(g(x) = f(-x)\). b) Beschreibe, welche geometrische Bedeutung dieser Zusammenhang für die Graphen der beiden Funktionen hat. c) Berechne den Schnittpunkt der beiden Graphen.

Ein Biologe untersucht die relative Bestandsgröße zweier Bakterienkulturen, gemessen in Millionen Bakterien. Zu Beginn enthält jede Kultur eine Million Bakterien. Kultur A verdoppelt ihren Bestand jede Stunde \(f(x)=2^x\), während der Bestand von Kultur B jede Stunde auf die Hälfte sinkt \(g(x)=0{,}5^x\). Für das biologische Modell gilt \(x\geq0\); die Abbildung zeigt die vollständigen Funktionsgraphen. a) Beschreibe anhand der Abbildung die Verläufe beider Kulturen und erläutere die Symmetrie der beiden Graphen. b) Berechne das Verhältnis der Bestände \(\frac{f(x)}{g(x)}\) für \(x=3\). c) Zeige allgemein, dass das Produkt der Funktionswerte \(f(x)\cdot g(x)\) für jeden Zeitpunkt \(x\) konstant ist. Welchen Wert hat dieses Produkt?

Bestimme für die beiden Graphen \(f\) und \(g\) jeweils eine Funktionsgleichung der Form \(y=b\cdot a^x\). Lies dazu geeignete Punkte, etwa den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und einen weiteren Punkt, aus dem Koordinatensystem ab.

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f(x)=2^x\). In den Teilbildern a), b) und c) ist jeweils zusätzlich der Graph einer linearen Funktion \(g\) dargestellt. In welchem Teilbild schneiden sich die Graphen von \(f\) und \(g\) in mehr als einem Punkt?

Untersuche mit einer dynamischen Mathematiksoftware die Funktionenschar \(f_a(x)=a^x\) und die Gerade \(g(x)=x\). Lege einen Schieberegler für \(a\) im Bereich von \(1{,}30\) bis \(1{,}55\) an. Wähle ein Grafikfenster, in dem \(0\le x\le9\) und \(0\le y\le9\) sichtbar sind. a) Stelle zuerst \(a=1{,}35\) und danach \(a=1{,}40\) ein. Bestimme mit dem Schnittpunkt-Werkzeug jeweils die \(x\)-Koordinaten beider Schnittpunkte von \(f_a\) und \(g\). Runde auf zwei Nachkommastellen. Stelle anschließend \(a=1{,}50\) ein und gib die Anzahl der Schnittpunkte an. b) Verändere \(a\) von \(1{,}40\) bis \(1{,}50\) zunächst in Schritten von \(0{,}01\). Zwischen welchen zwei benachbarten Reglerwerten ändert sich die Anzahl der Schnittpunkte? c) Verkleinere in diesem Bereich die Schrittweite auf \(0{,}001\). Gib ein Intervall der Länge \(0{,}001\) an, in dem der Übergang von zwei Schnittpunkten zu keinem Schnittpunkt liegt. Schätze außerdem die \(x\)-Koordinate, bei der sich die beiden Schnittpunkte beim Grenzübergang ungefähr vereinigen, auf eine Nachkommastelle. d) Beschreibe, wie sich die beiden Schnittpunkte beim Vergrößern von \(a\) aufeinander zu bewegen und was nach dem Übergang geschieht.

Betrachte die Funktionen \(f(x)=10^x\) und \(h(x)=10^{x+1}\). a) Begründe, warum der Graph von \(h\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung aus dem Graphen von \(f\) hervorgeht, und gib den Streckfaktor an. b) Gegeben ist die Funktion \(k(x)=0{,}01\cdot10^x\). Beschreibe, wie der Graph von \(k\) durch Verschiebung aus dem Graphen von \(f\) entsteht. c) Beurteile für einen Wachstumsfaktor \(a>0\) mit \(a\neq1\) die Aussage: „Jede Multiplikation der Funktionswerte von \(y=a^x\) mit einem beliebigen Faktor \(k\in\mathbb{R}\) kann auch als Verschiebung in \(x\)-Richtung dargestellt werden.“

Das Diagramm zeigt die Graphen von vier verschiedenen Funktionen \(f\), \(g\), \(h\) und \(j\). a) Welche x-Werte erfüllen näherungsweise die Bedingung \(f(x) = j(x)\)? b) Die Punkte \(A\) und \(B\) markieren die Schnittpunkte von \(g\) und \(j\). Welche Gleichung müsste man lösen, um diese Stellen rechnerisch zu bestimmen? c) Eine neue Funktion \(m\) soll durch Verknüpfung zweier der gegebenen Funktionen gebildet werden. Ihr Graph soll die x-Achse genau an den Stellen \(x = 2\) und \(x = -1\) schneiden. Gib einen möglichen Funktionsterm für \(m(x)\) an.