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- Überlege dir, wie sich eine Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) verhält, wenn die Basis \(a\) größer als 1 oder zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Exponent positiv, negativ oder null ist? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten. - Welchen Wert hat jede Potenz mit dem Exponenten 0?

1. Für \(1{,}05^{12}\) ist die Basis \(a = 1{,}05 > 1\). Da der Exponent \(12 > 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 2. Für \(0{,}92^{5}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}92 < 1\). Da der Exponent \(5 > 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 3. Für \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\) ist die Basis \(0 < a = 0{,}5 < 1\). Da der Exponent \(-3 < 0\) ist, ist der Wert größer als 1. 4. Für \(\left(\frac{5}{4}\right)^{-0{,}2}\) ist die Basis \(a = 1{,}25 > 1\). Da der Exponent \(-0{,}2 < 0\) ist, ist der Wert kleiner als 1. 5. Jede von Null verschiedene Basis mit dem Exponenten 0 ergibt den Wert 1. Da \(\sqrt{2}-1 \neq 0\), ist der Wert gleich 1.

a) Größer als 1 b) Kleiner als 1 c) Größer als 1 d) Kleiner als 1 e) Gleich 1

- Wie hängen die Basen \(5\) und \(0{,}2\) mathematisch zusammen? - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn man das Vorzeichen von \(x\) umkehrt? - Überlege dir, ob die Funktionswerte immer größer oder immer kleiner werden, wenn du größere Zahlen einsetzt.

1. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x)\) ergeben sich \(f(-1) = 0{,}2\), \(f(0) = 1\) und \(f(1) = 5\). Für \(g(x)\) ergeben sich \(g(-1) = 5\), \(g(0) = 1\) und \(g(1) = 0{,}2\). 2. Nachweis der Identität: Da \(0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}\) ist, gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse hervorgeht. 3. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben die Werte von \(f(x) = 5^x\) gegen unendlich (\(f(x) \to \infty\)), während die Werte von \(g(x) = 0{,}2^x\) gegen Null streben (\(g(x) \to 0\)), da die Basis kleiner als 1 ist.

a) \(f(-1)=0{,}2\), \(f(0)=1\), \(f(1)=5\); \(g(-1)=5\), \(g(0)=1\), \(g(1)=0{,}2\). b) Es gilt \(g(x) = (5^{-1})^x = 5^{-x} = f(-x)\). Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse. c) Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\) (exponentielles Wachstum) und \(g(x) \to 0\) (exponentieller Zerfall).

- Wie findet man allgemein die Punkte, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit einer Potenz, wenn der Exponent immer negativer wird? - Welche Parameter in der Funktionsgleichung bewirken eine Verschiebung entlang der Achsen?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 2^{0-2} - 4 = 2^{-2} - 4 = 0{,}25 - 4 = -3{,}75\). Ergebnis: \(S_y(0 \mid -3{,}75)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(2^{x-2} - 4 = 0 \Rightarrow 2^{x-2} = 4 \Rightarrow 2^{x-2} = 2^2 \Rightarrow x-2 = 2 \Rightarrow x = 4\). Ergebnis: \(N(4 \mid 0)\). 3. Waagerechte Asymptote: Da \(2^{x-2} > 0\) für alle \(x\) und \(2^{x-2} \to 0\) für \(x \to -\infty\), folgt \(f(x) \to -4\). Gleichung: \(y = -4\). 4. Transformationen: Verschiebung um 2 Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und um 4 Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten).

a) Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid -3{,}75)\) und \(N(4 \mid 0)\). b) Waagerechte Asymptote: \(y = -4\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = -4\) von oben an. c) Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten.

- Was passiert mit dem Wert einer Potenz, wenn der Exponent Null ist? - Schau dir die Basis der Potenz an: Ist sie größer oder kleiner als 1? - Können Exponentialfunktionen der Form \(y = ab^x\) (mit \(a > 0\)) jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Überlege dir, was mit dem Graphen passiert, wenn man auf der \(x\)-Achse ganz weit nach links geht.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 3^0 = 1{,}5 \cdot 1 = 1{,}5\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 1{,}5)\). 2. Bestimmung der Monotonie: Da die Basis \(b = 3\) größer als \(1\) ist und der Vorfaktor \(a = 1{,}5\) positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend. 3. Ermittlung des Wertebereichs: Da \(3^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv ist und \(1{,}5 > 0\) gilt, nimmt die Funktion nur positive Werte an. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\) bzw. \(\mathbb{R}^+\). 4. Grenzverhalten für \(x \to -\infty\): Da die Basis \(b > 1\) ist, nähert sich \(3^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte der Null an. Somit nähern sich auch die Funktionswerte \(1{,}5 \cdot 3^x\) der \(0\) an. Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist die waagerechte Asymptote.

a) \(S_y(0 \mid 1{,}5)\) b) Streng monoton steigend, da die Basis \(3 > 1\) ist. c) \(W = \mathbb{R}^+\) (alle reellen Zahlen größer als \(0\)). d) Die Funktionswerte nähern sich der \(0\) an (die \(x\)-Achse ist waagerechte Asymptote).

- Überlege zuerst, welchen Wert die Funktion an der Stelle \(x = 0\) annimmt. Wo schneidet der Graph die senkrechte Achse? - Schau dir die Basis \(b\) an: Ist sie größer oder kleiner als 1? Was bedeutet das für den Verlauf des Graphen? - Vergleiche Graphen mit demselben Startwert. Welcher steigt oder fällt schneller?

1. Bestimmung der \(y\)-Achsenabschnitte: Bei \(x = 0\) ergeben die Gleichungen (a) und (b) den Wert \(y = 3\), während (c) und (d) den Wert \(y = 1{,}5\) ergeben. Die Graphen (1) und (2) schneiden die \(y\)-Achse bei \(3\), die Graphen (3) und (4) bei \(1{,}5\). 2. Analyse des Wachstumsverhaltens: Basen \(b > 1\) stehen für Wachstum (steigender Graph), Basen \(0 < b < 1\) für Zerfall (fallender Graph). 3. Zuordnung: - (a) hat \(a = 3\) und \(b = 1{,}4 > 1\) (Wachstum) \(\rightarrow\) Graph (1) - (b) hat \(a = 3\) und \(b = 0{,}6 < 1\) (Zerfall) \(\rightarrow\) Graph (2) - (c) hat \(a = 1{,}5\) und \(b = 1{,}4 > 1\) (Wachstum) \(\rightarrow\) Graph (3) - (d) hat \(a = 1{,}5\) und \(b = 0{,}6 < 1\) (Zerfall) \(\rightarrow\) Graph (4)

Die Zuordnung lautet: (a) – (1), (b) – (2), (c) – (3), (d) – (4).

- Bestimme für jeden Graphen den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, indem du den Wert bei \(x=0\) abliest. - Achte darauf, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. Was bedeutet das für die Basis der Exponentialfunktion? - Suche nach waagerechten Linien, denen sich der Graph für sehr große oder sehr kleine \(x\) annähert. - Überprüfe, ob ein Graph gegenüber der Standardform nach oben oder unten verschoben wurde.

1. Graph A ist eine streng monoton steigende Exponentialfunktion, die durch den Punkt \((0 \mid 1)\) verläuft und die \(x\)-Achse (\(y=0\)) als waagerechte Asymptote besitzt. Dies entspricht Term (1) mit der Basis \(2 > 1\). 2. Graph B ist eine streng monoton fallende Exponentialfunktion, die ebenfalls durch den Punkt \((0 \mid 1)\) verläuft und die \(x\)-Achse als Asymptote hat. Dies entspricht Term (2) mit der Basis \(0{,}5 < 1\). 3. Graph C ist streng monoton steigend wie Graph A, wurde aber um 3 Einheiten nach unten verschoben. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\) und der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid -2)\). Dies passt zu Term (3): \(f(0) = 2^0 - 3 = 1 - 3 = -2\). 4. Term (4) bleibt übrig. Diese Funktion müsste durch den Punkt \((0 \mid 2)\) verlaufen, da \(f(0) = 2 \cdot 0{,}5^0 = 2\). Keiner der Graphen zeigt diesen Schnittpunkt.

Graph A: (1) \(f(x) = 2^x\), Graph B: (2) \(f(x) = 0{,}5^x\), Graph C: (3) \(f(x) = 2^x - 3\); Term (4) bleibt übrig.

- Berechne für jede Funktion den Wert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden. - Schau dir die waagerechten Asymptoten an: Welcher konstanten Zahl nähert sich der Graph für große \(x\)-Werte? - Überlege, ob die Funktion fällt oder steigt. Ein Minuszeichen vor dem Potenzterm spiegelt zunächst an der \(x\)-Achse; der additive Term verschiebt den Graphen anschließend in \(y\)-Richtung.

1. Analyse von Funktion A: \(f(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = 2 \cdot 1 = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). Dies entspricht Graph c). 2. Analyse von Funktion B: \(g(x) = 0{,}5^x - 2\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(g(0) = 1 - 2 = -1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = -2\). Dies entspricht Graph a). 3. Analyse von Funktion C: \(h(x) = 2 - 0{,}5^x\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(h(0) = 2 - 1 = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). Da die Basis \(0{,}5 < 1\) ist, aber ein Minuszeichen vor der Potenz steht, ist die Funktion insgesamt steigend. Dies entspricht Graph b). 4. Zusammenfassung der Zuordnung: A-c, B-a, C-b.

Die richtige Zuordnung ist: A gehört zu Graph c), B gehört zu Graph a), C gehört zu Graph b).

- Welchen Einfluss hat eine Zahl, die direkt am Funktionswert addiert oder subtrahiert wird, auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem? - Wie findet man rechnerisch heraus, an welcher Stelle ein Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Was ändert sich an den möglichen Ergebnissen (y-Werten), wenn man die Kurve nur nach links oder rechts schiebt?

1. Asymptote und Nullstelle von \(g\): Die Subtraktion von 9 verschiebt den Graphen von \(f\) um 9 Einheiten nach unten. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -9\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird berechnet durch \(3^x - 9 = 0 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(N(2 \mid 0)\). 2. Transformation von \(h\): Der Term \(x+1\) im Exponenten bewirkt eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um eine Einheit nach links in Richtung der negativen \(x\)-Achse. 3. Wertemenge: Die Wertemenge von \(f\) ist \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\). Da die Transformation zu \(h\) nur eine horizontale Verschiebung ist, ändert sich die Menge der angenommenen \(y\)-Werte nicht. Somit gilt \(W_h = W_f\).

a) Waagerechte Asymptote: \(y = -9\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(2 \mid 0)\). b) Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um 1 Einheit nach links. c) Die Wertemenge ändert sich nicht: \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\).

- Welchen Einfluss hat die Größe der Basis auf den Verlauf des Graphen? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit 0 potenziert? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. Wie hängen \(1{,}25\) und \(0{,}8\) als Brüche zusammen?

1. Monotonieverhalten: Da die Basis von \(f\) mit \(a = 1{,}25 > 1\) größer als 1 ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Da die Basis von \(g\) mit \(a = 0{,}8 < 1\) zwischen 0 und 1 liegt, ist die Funktion streng monoton fallend. 2. Gemeinsame Punkte und Asymptote: Jede Exponentialfunktion der Form \(y = a^x\) verläuft durch den Punkt \((0 \mid 1)\), da \(a^0 = 1\) für alle \(a \neq 0\) gilt. Die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\) ist die waagerechte Asymptote für beide Funktionen, da sich die Funktionswerte für \(x \to -\infty\) (bei \(f\)) bzw. \(x \to \infty\) (bei \(g\)) beliebig nah an 0 annähern. 3. Spiegelung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\). Es gilt \(f(-x) = 1{,}25^{-x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-x} = \left(\frac{4}{5}\right)^x = 0{,}8^x\). Da dies exakt der Funktionsgleichung von \(g(x)\) entspricht, geht \(g\) durch Spiegelung von \(f\) an der \(y\)-Achse hervor.

a) \(f\) ist streng monoton steigend (\(a > 1\)); \(g\) ist streng monoton fallend (\(0 < a < 1\)). b) Gemeinsamer Schnittpunkt: \(S(0 \mid 1)\); Asymptote: \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). c) Da \(1{,}25 = \frac{5}{4}\) und \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) Kehrwerte sind, gilt \(1{,}25^{-x} = (1{,}25^{-1})^x = 0{,}8^x\).

- Wie verändert sich der Funktionswert, wenn man den Exponenten verändert? Nutze die Potenzgesetze. - Was passiert, wenn du die Zahl 1 immer wieder mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten (Brüchen). Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\)? - Überlege, für welche Arten von Zahlen Wurzeln aus negativen Werten gezogen werden können.

1. Bestimmung der Basis: Nach der Grundeigenschaft gilt \(f(x+s) = f(x) \cdot a^s\). Hier ist \(s = 2\) und der Faktor \(a^s = 4\). Aus \(a^2 = 4\) folgt wegen \(a > 0\) die Basis \(a = 2\). 2. Sonderfall \(a = 1\): Für \(a = 1\) gilt \(f(x) = 1^x = 1\) für alle \(x\). Dies ist eine konstante Funktion. Der Graph ist eine Parallele zur \(x\)-Achse durch den Punkt \((0 \mid 1)\). Es findet kein Wachstum und kein Zerfall statt. 3. Negative Basis: Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) definiert. Für \(x = 0{,}5\) müsste man jedoch \((-2)^{0{,}5} = \sqrt{-2}\) berechnen. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Daher ist \(a = -2\) keine zulässige Basis für eine reellwertige Exponentialfunktion mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\).

a) Die Basis ist \(a = 2\). b) Bei \(a = 1\) ist \(f(x) = 1\) konstant; der Graph ist eine waagerechte Gerade. Es liegt kein exponentielles Wachstum oder Zerfall vor. c) Für \(x = 2\) ist \((-2)^2 = 4\) definiert, für \(x = 0{,}5\) ist \(\sqrt{-2}\) in \(\mathbb{R}\) jedoch nicht definiert. Somit entsteht keine reellwertige Funktion mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R}\).

- Wie findet man allgemein den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse? - Was passiert mit dem Wert von \(b^x\), wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt? - Welchen Einfluss hat die Basis \(b\) auf das Steigungsverhalten einer Exponentialfunktion? - Ändert ein positiver Faktor vor dem Potenzterm die grundsätzliche Richtung des Graphen?

1. Berechnung der \(y\)-Achsenabschnitte durch Einsetzen von \(x = 0\): Für \(f(0) = 2{,}5 \cdot 1{,}4^0 = 2{,}5 \cdot 1 = 2{,}5\), also \(S_y(0 \mid 2{,}5)\). Für \(g(0) = 0{,}4 \cdot 1{,}4^0 = 0{,}4 \cdot 1 = 0{,}4\), also \(S_y(0 \mid 0{,}4)\). 2. Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Term \(1{,}4^x\) dem Wert \(0\) an. Da die Multiplikation einer Zahl, die gegen Null geht, mit einem konstanten Faktor (\(2{,}5\) bzw. \(0{,}4\)) ebenfalls gegen Null strebt, besitzen beide Graphen die \(x\)-Achse als waagerechte Asymptote. Die Gleichung lautet \(y = 0\). 3. Beide Funktionen haben die gleiche Basis \(b = 1{,}4\). Da \(b > 1\) ist und beide Streckfaktoren positiv sind (\(2{,}5 > 0\) und \(0{,}4 > 0\)), sind sowohl \(f\) als auch \(g\) über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

1. \(f\) schneidet die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2{,}5)\), \(g\) schneidet sie bei \((0 \mid 0{,}4)\). 2. Da \(1{,}4^x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(0\) geht, gehen auch \(f(x)\) und \(g(x)\) gegen \(0\). Die Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Beide Funktionen sind streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}4\) größer als \(1\) ist und die Vorfaktoren positiv sind.

- Setze beispielhaft verschiedene Werte für \(a\) ein (z. B. \(a=1\) und \(a=2\)) und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Funktion mit einer positiven Zahl multiplizierst. Ändert sich das Vorzeichen oder die Richtung? - Erinnere dich an die Definition des Wertebereichs. Welche Werte kann der Ausdruck \(0{,}8^x\) annehmen?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich aus \(f_a(0) = a \cdot 0{,}8^0 = a\). Der Punkt \((0 \mid a)\) ist direkt vom Parameter \(a\) abhängig. 2. Die waagerechte Asymptote wird durch das Verhalten für \(x \to \infty\) bestimmt. Da \(0 < 0{,}8 < 1\) ist, geht \(0{,}8^x\) gegen \(0\). Damit strebt \(a \cdot 0{,}8^x\) unabhängig von \(a\) gegen \(0\). Die Asymptote ist immer \(y = 0\). 3. Da die Basis \(0{,}8\) kleiner als \(1\) ist und der Streckfaktor \(a\) als positiv vorausgesetzt wurde, sind alle Funktionen der Schar streng monoton fallend. Die Eigenschaft ist unabhängig von \(a\). 4. Da \(0{,}8^x\) immer positive Werte liefert und \(a > 0\) ist, ist das Produkt \(a \cdot 0{,}8^x\) stets positiv. Der Wertebereich ist somit für alle \(a\) immer \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\).

Abhängig von \(a\): - Die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse (dieser liegt bei \((0 \mid a)\)). Unabhängig von \(a\): - Die waagerechte Asymptote (\(y = 0\)). - Das Monotonieverhalten (alle sind streng monoton fallend, da \(0{,}8 < 1\) und \(a > 0\)). - Der Wertebereich (für alle gilt \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\)).

- Vergleiche die Basen und die Vorfaktoren der beiden Funktionen. - Überlege dir, welcher Punkt auf der \(y\)-Achse jeweils erreicht wird. - Setze die Funktionsterme in einen Bruch und schaue, ob du den Ausdruck kürzen kannst. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Funktionswert immer das Vielfache eines anderen ist?

1. Gemeinsamkeiten: Beide Funktionen haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\) und sind beide streng monoton steigend, da die Basis \(1{,}2 > 1\) ist. 2. Der Faktor \(c\) bewirkt eine Streckung in \(y\)-Richtung. Da \(5 > 2\), verläuft der Graph von \(g\) für alle \(x\) oberhalb des Graphen von \(h\) und schneidet die \(y\)-Achse bei einem höheren Wert (\(5\) statt \(2\)). 3. Berechnung des Verhältnisses: \(\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{5 \cdot 1{,}2^x}{2 \cdot 1{,}2^x} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). Das Verhältnis ist für alle \(x\) konstant.

a) Beide Graphen sind streng monoton steigend und haben die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) als waagerechte Asymptote. b) Der Faktor bestimmt den \(y\)-Achsenabschnitt und die Streckung in \(y\)-Richtung; \(g(x)\) liegt für alle \(x\) oberhalb von \(h(x)\). c) \(\frac{g(x)}{h(x)} = 2{,}5\). Das Verhältnis der Funktionswerte ist an jeder Stelle \(x\) gleich.

- Setze den gegebenen \(x\)-Wert einfach in die Funktionsgleichung ein und achte auf die Potenzgesetze. - Welchen Einfluss hat eine Basis zwischen 0 und 1 auf den Verlauf des Graphen? - Was ist eine Asymptote und welcher Linie nähert sich der Graph für sehr große \(x\)-Werte an? - Betrachte den Faktor vor der Potenz. Wie verändert dieser die Lage des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse?

1. Berechnung des Funktionswertes für \(x = 3\): \(h(3) = 4 \cdot 0{,}5^3 = 4 \cdot 0{,}125 = 0{,}5\). 2. Analyse der Monotonie: Die Basis ist \(b = 0{,}5\). Da \(0 < 0{,}5 < 1\) gilt, ist die Funktion streng monoton fallend. 3. Bestimmung der Asymptote: Für sehr große \(x\)-Werte nähert sich \(0{,}5^x\) der Null an. Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet daher \(y = 0\). 4. Vergleich der Graphen: Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(g\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Jeder Funktionswert wird vervierfacht; der Graph von \(h\) liegt daher für alle \(x\) oberhalb des Graphen von \(g\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(4\) statt bei \(1\).

a) \(h(3) = 0{,}5\) b) Streng monoton fallend, da die Basis \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt. c) \(y = 0\) (die \(x\)-Achse). d) Der Graph von \(h\) ist gegenüber dem Graphen von \(g\) mit dem Faktor \(4\) in \(y\)-Richtung gestreckt; der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ändert sich von \((0 \mid 1)\) zu \((0 \mid 4)\).

- Überlege, wie man die Zahl 8 als Potenz zur Basis 2 ausdrücken kann. - Welches Potenzgesetz hilft dir, ein Produkt von Potenzen mit gleicher Basis zusammenzufassen? - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition oder Subtraktion direkt am \(x\)-Wert im Funktionsterm auf den Graphen auswirkt. - Was bedeutet eine Verschiebung nach rechts mathematisch für das Argument \(x\) in der Funktion?

1. Der Streckfaktor in \(y\)-Richtung lässt sich direkt aus der Funktionsgleichung \(g(x) = a \cdot 2^x\) ablesen; hier ist \(a = 8\). 2. Unter Verwendung des Potenzgesetzes \(b^n \cdot b^m = b^{n+m}\) wird \(8\) als \(2^3\) geschrieben: \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). 3. Ein Term der Form \(f(x+c)\) bewirkt eine Verschiebung um \(c\) Einheiten nach links (für \(c > 0\)). Da \(g(x) = 2^{x+3}\), ist der Graph von \(g\) gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach links verschoben. 4. Eine Verschiebung um \(s\) nach rechts führt zur Funktionsgleichung \(y = b^{x-s}\). Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Der Skalierungsfaktor lautet somit \(b^{-s}\) bzw. \(\frac{1}{b^s}\). Für Faktoren größer als \(1\) liegt eine Streckung, für Faktoren zwischen \(0\) und \(1\) eine Stauchung vor.

a) Der Streckfaktor ist \(8\). b) \(g(x) = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x+3}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. c) Der Skalierungsfaktor lautet \(b^{-s}\) (oder \(\frac{1}{b^s}\)). Je nach Wert ist dies eine Streckung oder eine Stauchung.

- Setze die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung ein, um die Unbekannte zu finden. - Kann eine Potenz mit positiver Basis jemals den Wert Null oder einen negativen Wert annehmen? - Welche Gerade wird vom Graphen nie erreicht, aber immer weiter angenähert? - Wie hängen Spiegelungen an Achsen mit den Vorzeichen der Koordinaten zusammen?

1. Einsetzen des Punktes \(P(2 \mid 9)\) in \(y = b^x\) ergibt \(9 = b^2\). Da \(b > 0\) sein muss, folgt \(b = 3\). Da \(3 > 1\) gilt, beschreibt die Funktion einen Wachstumsprozess. 2. Da \(3^x\) für alle reellen \(x\) stets positiv ist, ist der Wertebereich \(W = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(y > 0\)). Der Graph nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse an, daher ist die Asymptote die Gerade mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) erreicht. Die Gleichung lautet somit \(g(x) = 3^{-x}\). Unter Verwendung der Definition negativer Exponenten ergibt sich \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

1. \(b = 3\); es ist ein Wachstumsprozess. 2. Wertebereich \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}\); Asymptote \(y = 0\). 3. \(g(x) = (\frac{1}{3})^x\).

- Was passiert mit dem \(x\)-Wert eines Punktes, wenn du ihn an der \(y\)-Achse spiegelst? - Wie verändert sich das Vorzeichen des Funktionswerts bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten. - Welche Bedingung muss die Basis einer Exponentialfunktion erfüllen, damit der Graph fällt?

1. Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird durch die Transformation \(x \to -x\) beschrieben. Es folgt \(g(x) = f(-x) = 5^{-x}\). Dies lässt sich umschreiben zu \(g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x\) oder \(g(x) = 0{,}2^x\). 2. Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse wird durch die Transformation \(y \to -y\) bzw. \(h(x) = -f(x)\) beschrieben. Es ergibt sich \(h(x) = -5^x\). 3. Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn die Basis \(a\) der Funktion \(y = a^x\) im Intervall \(0 < a < 1\) liegt und die Funktionswerte positiv sind. Dies trifft auf die Funktion \(g\) zu. Der Wachstumsfaktor ist \(a = 0{,}2\) (bzw. \(\frac{1}{5}\)).

1. \(g(x) = 0{,}2^x\) (oder \(g(x) = 5^{-x}\)) 2. \(h(x) = -5^x\) 3. Die Funktion \(g\) beschreibt einen Zerfallsprozess; der Abnahmefaktor ist \(a = 0{,}2\).

- Überlege dir, wie man einen negativen Exponenten in einen positiven umwandeln kann. - Was geschieht mit den Koordinaten eines Punktes bei einer Achsenspiegelung? - Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen der Funktionswerte aus?

1. Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit ist \(q(x) = p(-x) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-x}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(q(x) = \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \right)^x = 4^x\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert sich das Vorzeichen der \(x\)-Koordinate, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt: \((x \mid y) \to (-x \mid y)\). Aus \(A(1 \mid 0{,}25)\) wird somit \(A'(-1 \mid 0{,}25)\). 3. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). Aus \(q(x) = 4^x\) folgt somit \(r(x) = -4^x\).

1. \(q(x) = 4^x\) 2. \(A'(-1 \mid 0{,}25)\) 3. \(r(x) = -4^x\)

- Schau dir zuerst an, welcher Geraden sich der Graph für sehr kleine \(x\)-Werte (weit links) immer weiter annähert. - Vergleiche den Verlauf des gezeichneten Graphen mit dem der normalen Exponentialfunktion \(f(x) = 2^x\). Steigt oder fällt er? Verläuft er oberhalb oder unterhalb der Asymptote? - Überlege, wie sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des Funktionsterms auswirkt. - Wie verschiebt man einen Graphen entlang der \(y\)-Achse und wie verändert das die Lage der Asymptote? - Setze zur Überprüfung deines Terms markante Punkte aus dem Koordinatensystem (z. B. den \(y\)-Achsenabschnitt) in deine Gleichung ein.

1. **Waagerechte Asymptote bestimmen**: Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass sich der Funktionsgraph für sehr kleine \(x\)-Werte (also weit links) der gestrichelten Linie annähert. Diese liegt auf der Höhe \(y = 3\). Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet somit \(y = 3\). 2. **Transformationen und Funktionsterm herleiten**: - Die Basis-Exponentialfunktion \(f(x) = 2^x\) ist streng monoton steigend und nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse (\(y = 0\)) an. - Der gezeichnete Graph ist streng monoton fallend und verläuft unterhalb seiner Asymptote. Dies deutet auf eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hin. Der gespiegelte Graph hat den Term \(-2^x\). - Da die Asymptote bei \(y = 3\) statt \(y = 0\) liegt, wurde der gespiegelte Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. - Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = -2^x + 3\) (oder gleichwertig \(g(x) = 3 - 2^x\)). 3. **Punktprobe zur Verifizierung**: - Für \(x = 0\) gilt: \(g(0) = 3 - 2^0 = 3 - 1 = 2\). Der Punkt \((0 \mid 2)\) liegt auf dem Graphen. - Für \(x = 1\) gilt: \(g(1) = 3 - 2^1 = 3 - 2 = 1\). Der Punkt \((1 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen. - Für \(x = 2\) gilt: \(g(2) = 3 - 2^2 = 3 - 4 = -1\). Der Punkt \((2 \mid -1)\) liegt auf dem Graphen. Dies bestätigt den ermittelten Funktionsterm.

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 3\). b) Der Funktionsterm ist \(g(x) = 3 - 2^x\) (oder \(g(x) = -2^x + 3\)). Der Graph von \(f(x) = 2^x\) wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(3\) Einheiten nach oben verschoben.

- Woran erkennst du an der Basis \(b\), ob eine Exponentialfunktion \(y = b^x\) wächst oder fällt? - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse ist für alle diese Funktionen gemeinsam? - Setze doch einmal \(x = 1\) oder \(x = -1\) in die Funktionsterme ein. Welche Funktionswerte erhältst du? - Vergleiche die beiden steigenden Graphen: Welcher wächst schneller und welcher Funktionsterm gehört somit zu welchem Graphen? - Betrachte die fallenden Graphen: Wie wirkt sich eine kleinere Basis zwischen \(0\) und \(1\) auf den Verlauf des Graphen aus?

1. Unterscheidung nach Wachstum und Zerfall: Bei einer Exponentialfunktion der Form \(y = b^x\) bestimmt die Basis \(b\) das Wachstumsverhalten. Für \(b > 1\) wächst die Funktion von links nach rechts (Graphen (1) und (2)), was auf \(A(x) = 3^x\) und \(B(x) = 1{,}5^x\) zutrifft. Für \(0 < b < 1\) fällt die Funktion (Graphen (3) und (4)), was auf \(C(x) = 0{,}5^x\) und \(D(x) = 0{,}2^x\) zutrifft. 2. Zuordnung der steigenden Graphen (1) und (2): Da \(3 > 1{,}5\), wächst \(A(x) = 3^x\) für positive \(x\) schneller als \(B(x) = 1{,}5^x\). Zudem gilt für \(x = 1\) der Funktionswert \(A(1) = 3\), was zu Graph (1) passt, und \(B(1) = 1{,}5\), was zu Graph (2) passt. Somit gehört Graph (1) zu \(A(x)\) und Graph (2) zu \(B(x)\). 3. Zuordnung der fallenden Graphen (3) und (4): Je kleiner die Basis \(b\) bei Zerfallsprozessen, desto schneller fällt der Graph für positive \(x\)-Werte. Da \(0{,}2 < 0{,}5\), fällt \(D(x) = 0{,}2^x\) steiler ab als \(C(x) = 0{,}5^x\). Durch Einsetzen von \(x = -1\) erhält man \(C(-1) = 2\) für Graph (3) und \(D(-1) = 5\) für Graph (4). Somit gehört Graph (3) zu \(C(x)\) und Graph (4) zu \(D(x)\).

Graph (1) gehört zu \(A(x) = 3^x\), Graph (2) zu \(B(x) = 1{,}5^x\), Graph (3) zu \(C(x) = 0{,}5^x\) und Graph (4) zu \(D(x) = 0{,}2^x\).

- Kannst du wichtige Punkte auf den Graphen ablesen, wie zum Beispiel den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder den Funktionswert bei \(x = 1\)? - Wie unterscheidet sich das Aussehen eines Graphen bei einer Basis, die größer als \(1\) ist, von dem bei einer Basis zwischen \(0\) und \(1\)? - Kannst du durch Einsetzen von \(x = 0\), \(x = 1\) oder \(x = -1\) prüfen, welche Terme zu den Punkten auf den Graphen passen? - Gibt es Terme, die mathematisch identisch sind, obwohl sie anders aufgeschrieben wurden? Erinnere dich an die Potenzgesetze für negative Exponenten.

1. Bestimmung des Funktionsterms für Graph A: Der Graph steigt an, verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 1)\) und bei \(x = 1\) durch den Punkt \((1 \mid 3)\). Dies entspricht der Basis \(3\), weshalb der Term (1) \(f(x) = 3^x\) zugeordnet wird. 2. Bestimmung des Funktionsterms für Graph B: Der Graph steigt ebenfalls an, verläuft durch \((0 \mid 1)\) und bei \(x = 1\) durch den Punkt \((1 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht der Basis \(1{,}5\), weshalb der Term (2) \(f(x) = 1{,}5^x\) zugeordnet wird. 3. Bestimmung des Funktionsterms für Graph C: Der Graph fällt für steigende \(x\)-Werte, verläuft durch \((0 \mid 1)\) und bei \(x = -1\) durch den Punkt \((-1 \mid 2)\). Dies entspricht der Basis \(0{,}5\), weshalb der Term (3) \(f(x) = 0{,}5^x\) zugeordnet wird. Wegen der Potenzregel \(2^{-x} = (2^{-1})^x = 0{,}5^x\) passt auch der Term (6) \(f(x) = 2^{-x}\). 4. Bestimmung des Funktionsterms für Graph D: Der Graph ist nach unten verschoben und nähert sich für sehr kleine \(x\) der Asymptote \(y = -2\). Er verläuft durch den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -1)\) und die Nullstelle \((1 \mid 0)\). Einsetzen in \(f(x) = 2^x - 2\) liefert \(f(0) = 2^0 - 2 = -1\) und \(f(1) = 2^1 - 2 = 0\), weshalb der Term (4) \(f(x) = 2^x - 2\) zugeordnet wird.

Graph A: (1); Graph B: (2); Graph C: (3) und (6); Graph D: (4).

- Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um, um den Zusammenhang leichter zu erkennen. - Erinnere dich an die Regel für negative Exponenten: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn du ihn an der \(y\)-Achse spiegelst? Wie ändern sich seine Koordinaten?

1. Rechnerischer Nachweis: Es ist \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Somit gilt \(g(x) = (\frac{2}{5})^x\). Da \(2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}\) ist, gilt \(f(x) = (\frac{5}{2})^x\). Es folgt \(f(-x) = (\frac{5}{2})^{-x} = (\frac{2}{5})^x = g(x)\). 2. Geometrische Bedeutung: Die Bedingung \(g(x) = f(-x)\) bedeutet, dass der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse entsteht. 3. Schnittpunkt: Gleichsetzen \(2{,}5^x = 0{,}4^x\). Da beide Basen positiv und ungleich sind, ist dies nur für den Exponenten \(x = 0\) möglich (\(1 = 1\)). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 1)\).

a) \(g(x) = 0{,}4^x = (\frac{2}{5})^x = (\frac{5}{2})^{-x} = 2{,}5^{-x} = f(-x)\). b) Der Graph von \(g\) ist das Spiegelbild des Graphen von \(f\) an der \(y\)-Achse. c) Der Schnittpunkt ist \(S(0 \mid 1)\).

- Nutze für Aufgabenteil c) das Potenzgesetz \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Produkt immer den Wert 1 ergibt?

1. Für \(x\geq0\) steigt \(f(x)\), während \(g(x)\) fällt. Beide Graphen verlaufen durch \((0\mid1)\). Als vollständige Funktionsgraphen sind sie Spiegelbilder an der \(y\)-Achse, denn \(g(x)=f(-x)\). 2. Für \(x=3\) ist \(f(3)=2^3=8\) und \(g(3)=0{,}5^3=0{,}125\). Das Verhältnis ist \(\frac{8}{0{,}125}=64\). 3. \(f(x)\cdot g(x)=2^x\cdot0{,}5^x=(2\cdot0{,}5)^x=1^x=1\). Das Produkt ist für alle \(x\) konstant \(1\).

a) Für \(x\geq0\) steigt \(f\), während \(g\) fällt. Beide Graphen gehen durch \((0\mid1)\); als vollständige Funktionsgraphen sind sie Spiegelbilder an der \(y\)-Achse. b) Das Verhältnis beträgt \(64\). c) \(f(x)\cdot g(x)=1\) für alle \(x\).

- Schau dir zuerst an, wo die Graphen die \(y\)-Achse schneiden. Welcher Wert in der Funktionsgleichung gibt diesen Punkt an? - Wenn mehrere Graphen durch denselben Punkt auf der \(y\)-Achse gehen, vergleiche ihre Steilheit. - Überlege dir für einen festen Wert von \(x\) (zum Beispiel \(x=1\)), welcher Funktionswert bei welcher Basis am größten sein muss.

Die Zuordnung erfolgt über den \(y\)-Achsenabschnitt und das Wachstumsverhalten (Steilheit): 1. Der \(y\)-Achsenabschnitt entspricht dem Faktor \(a\) in \(y = ab^x\). 2. Graph (1) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\), was zu Gleichung (e) passt. 3. Graph (2) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 0{,}5\), was zu Gleichung (d) passt. 4. Die Graphen (3), (4) und (5) schneiden die \(y\)-Achse alle bei \(y = 1\). Hier entscheidet die Basis \(b\). 5. Je größer die Basis \(b\) ist, desto steiler verläuft der Graph für \(x > 0\). 6. Graph (3) ist am steilsten \(\rightarrow\) (c) \(y = 3{,}5^x\). 7. Graph (4) liegt in der Mitte \(\rightarrow\) (b) \(y = 2{,}2^x\). 8. Graph (5) verläuft am flachsten \(\rightarrow\) (a) \(y = 1{,}4^x\).

Die richtige Zuordnung ist: (1) \(\rightarrow\) (e), (2) \(\rightarrow\) (d), (3) \(\rightarrow\) (c), (4) \(\rightarrow\) (b), (5) \(\rightarrow\) (a).

- Der Parameter \(a\) entspricht immer dem Funktionswert an der Stelle \(x = 0\). - Wähle für den zweiten Parameter einen Punkt auf dem Graphen aus, dessen Koordinaten du genau ablesen kannst (zum Beispiel bei \(x = 1\) oder \(x = -1\)). - Setze die Koordinaten dieses Punktes in den Ansatz \(y = ab^x\) ein, um \(b\) zu berechnen.

1. Graph \(f\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 5)\), also ist \(a = 5\). Ein weiterer gut lesbarer Punkt ist \((1 \mid 6)\). Einsetzen in \(y = 5b^x\) ergibt \(6 = 5 \cdot b^1\), woraus \(b = \frac{6}{5} = 1{,}2\) folgt. Die Gleichung lautet \(f(x) = 5 \cdot 1{,}2^x\). 2. Graph \(g\): Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 2)\), also ist \(a = 2\). Ein weiterer Punkt ist \((1 \mid 1)\) oder \((-1 \mid 4)\). Aus \(1 = 2 \cdot b^1\) folgt \(b = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(g(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\).

Die Funktionsgleichungen lauten \(f(x) = 5 \cdot 1{,}2^x\) und \(g(x) = 2 \cdot 0{,}5^x\).

- Überlege zuerst, wie sich die Asymptote der Grundfunktion durch die Verschiebung verändert hat. - Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem Potenzterm. - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um dein Ergebnis zu kontrollieren.

1. Die waagerechte Asymptote befindet sich bei \(y = 3\). Da die Basisfunktion \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) die Asymptote \(y=0\) hat, folgt aus der Verschiebung \(d = 3\). 2. Aufgrund der vorgegebenen Spiegelung an der \(x\)-Achse lautet der Ansatz für den Funktionsterm: \(g(x) = - \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3\). 3. Zur Verifizierung lesen wir den \(y\)-Achsenabschnitt ab, der bei \((0 \mid 2)\) liegt. Einsetzen in den Ansatz: \(- \left(\frac{1}{2}\right)^0 + 3 = -1 + 3 = 2\). Dies bestätigt den Wert. 4. Auch weitere Punkte wie \((-2 \mid -1)\) liegen auf dem Graphen: \(- \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + 3 = -4 + 3 = -1\). 5. Die gesuchte Gleichung ist \(g(x) = - \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3\).

\(g(x) = - \left(\frac{1}{2}\right)^x + 3\)

- Bestimme zuerst den Parameter \(d\), indem du die Lage der waagerechten Asymptote betrachtest. - Setze einen gut ablesbaren Punkt in den Funktionsterm ein, um den Streckungsfaktor \(a\) zu berechnen. - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse eignet sich oft besonders gut für Berechnungen.

1. Die Asymptote liegt bei \(y = -6\). Dies gibt den Wert für die vertikale Verschiebung an: \(d = -6\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist im Koordinatensystem bei \(P(0 \mid -3)\) erkennbar. Einsetzen der Koordinaten in den Ansatz \(h(x) = a \cdot 2^x - 6\) liefert: \(a \cdot 2^0 - 6 = -3 \implies a \cdot 1 - 6 = -3 \implies a = 3\). 3. Zur Überprüfung nutzen wir die Nullstelle bei \(x = 1\), also den Punkt \((1 \mid 0)\): \(h(1) = 3 \cdot 2^1 - 6 = 6 - 6 = 0\). Der Punkt liegt auf dem Graphen. 4. Die vollständige Funktionsgleichung lautet \(h(x) = 3 \cdot 2^x - 6\).

\(h(x) = 3 \cdot 2^x - 6\)

- Welchen Wert nimmt der Potenzterm an, wenn du für \(x\) die Zahl \(0\) einsetzt? - Die Asymptote verrät dir den Wert der additiven Konstanten \(d\). - Wenn der Graph unterhalb der Asymptote verläuft, muss der Vorfaktor \(a\) negativ sein. - Überprüfe dein Ergebnis mit einem zweiten Punkt aus dem Koordinatensystem.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 8\), woraus \(d = 8\) folgt. 2. Der Punkt \((0 \mid 6)\) ist am Graphen ablesbar. Durch Einsetzen in den Funktionsterm \(k(x) = a\left(\frac{1}{2}\right)^x + 8\) erhalten wir: \(a\left(\frac{1}{2}\right)^0 + 8 = 6 \implies a + 8 = 6 \implies a = -2\). 3. Zur Kontrolle prüfen wir mit dem Punkt \((-2 \mid 0)\): \(k(-2) = -2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + 8 = -2 \cdot 4 + 8 = -8 + 8 = 0\). Dies bestätigt die Parameter. 4. Der gesuchte Funktionsterm ist \(k(x) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^x + 8\).

\(k(x) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^x + 8\)

- Wo liegt die waagerechte Asymptote bei den verschobenen Graphen? Das verrät dir die Verschiebung in \(y\)-Richtung. - Verfolge den Punkt \((0 \mid 1)\) des Basisgraphen \(f\). Wo befindet sich dieser „Referenzpunkt“ bei den anderen Graphen?

1. Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zum Punkt \((3 \mid 2)\) bei \(g\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Somit gilt: \(g(x) = 2^{x - 3} + 1\). 2. Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(f\) nur vertikal verschoben. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zu \((0 \mid -2)\). Somit gilt: \(h(x) = 2^x - 3\).

\(g(x) = 2^{x - 3} + 1\), \(h(x) = 2^x - 3\)

- Überlege dir, wie eine Exponentialfunktion wie \(2^x\) im Koordinatensystem verläuft. - Setze einfache Werte für \(x\) wie \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) und \(2\) ein und vergleiche die Ergebnisse mit den Werten auf den Geraden. - Wechselt beim Vergleich einer Geraden mit \(2^x\) zwischen zwei Stellen die Lage der Graphen, liegt dazwischen ein Schnittpunkt. - Prüfe, ob ein solcher Lagewechsel in mehr als einem Intervall auftritt.

1. Untersuche die Anzahl der Schnittpunkte für jeden Graphen durch Vergleichen der Funktionswerte von \(f(x) = 2^x\) mit der jeweiligen linearen Funktion. 2. Graph a) zeigt die Gerade \(g_a(x) = x + 2\). Prüfe markante Punkte: - Für \(x = 2\) gilt \(f(2) = 2^2 = 4\) und \(g_a(2) = 2 + 2 = 4\). Dies ist ein Schnittpunkt bei \((2 \mid 4)\). - Für \(x = 0\) gilt \(f(0) = 1\) und \(g_a(0) = 2\). Die Gerade liegt hier oberhalb der Kurve. - Für \(x = -2\) gilt \(f(-2) = 0{,}25\) und \(g_a(-2) = 0\). Hier liegt die Kurve oberhalb der Geraden. - Da die Kurve stetig ist und die Position zur Geraden wechselt, muss es zwischen \(x = -2\) und \(x = 0\) einen weiteren Schnittpunkt geben (bei etwa \(x \approx -1{,}69\)). Somit gibt es genau zwei Schnittpunkte. 3. Graph b) zeigt die Gerade \(g_b(x) = -x + 1\). Da \(f(x) = 2^x\) für alle \(x\) positiv und streng monoton steigend ist, während \(g_b(x)\) für \(x > 1\) negativ wird und streng monoton fällt, gibt es nur den Schnittpunkt bei \(x = 0\) (\(f(0) = 1\), \(g_b(0) = 1\)). 4. Graph c) zeigt die Gerade \(g_c(x) = 0{,}5x\). Für \(x \le 0\) ist \(g_c(x) \le 0\), während \(f(x) > 0\). Für \(x > 0\) gilt wegen \(2^x \ge 1 + x \ln(2) > 0{,}5x\) ebenfalls \(f(x) > g_c(x)\). Es gibt keine Schnittpunkte. 5. Ergebnis: Nur Graph a) besitzt mehr als einen Schnittpunkt.

Der Graph a) schneidet den Graphen von \(f(x) = 2^x\) in mehr als einem Punkt.

- Überlege zuerst, wie du den Term mit dem negativen Exponenten vereinfachen kannst. - Was sagt die Basis der Exponentialfunktion über den Verlauf des Graphen (steigend oder fallend) aus? - Setze einfache Werte für \(x\) ein (z. B. \(0\) und \(1\)), um die Koordinaten spezieller Punkte zu berechnen. - Wo nähert sich der Graph der \(x\)-Achse an?

1. Die Funktionsgleichung wird umgeformt: \(f(x) = 0{,}25^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-x} = 4^x\). 2. Da die Basis \(4 > 1\) ist, handelt es sich um eine streng monoton steigende Exponentialfunktion. 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = 4^0 = 1\). 4. Ein weiterer Punkt auf dem Graphen ist \(f(1) = 4^1 = 4\). 5. Der Graph in Abbildung a) zeigt eine steigende Kurve, die durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid 4)\) verläuft, während die anderen Graphen entweder fallend sind (b), unterhalb der \(x\)-Achse liegen (c) oder verschoben sind (d).

Der Graph in Abbildung a) gehört zur Funktion \(f(x) = 0{,}25^{-x}\).

- Wie ändert sich die Richtung eines Ungleichheitszeichens bei monoton fallenden Funktionen? - Vergleiche die Größe der Exponenten in Teilaufgabe b mit der Richtung des Ungleichheitszeichens der Potenzen. - Wann ist ein mathematischer Ausdruck im Exponenten (wie ein Bruch) nicht definiert? - Suche für Teilaufgabe d nach Potenzen der Basis 2, deren Ergebnisse knapp unter und knapp über dem gesuchten Wert liegen.

1. Da die Basis \(0{,}6\) kleiner als 1 ist, ist die Funktion \(f(x) = 0{,}6^x\) streng monoton fallend. Aus \(0{,}6^m < 0{,}6^n\) folgt daher \(m > n\). 2. Da die Exponenten \(5 < 7\) sind, die Potenzwerte sich aber umgekehrt verhalten (\(a^5 > a^7\)), muss die Exponentialfunktion streng monoton fallend sein. Dies ist für \(0 < a < 1\) der Fall. 3. Die Funktion ist definiert, wenn der Exponent definiert ist. Da der Exponent ein Bruch mit dem Nenner \(x-4\) ist, darf dieser nicht Null sein. Also \(x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\). Der Definitionsbereich ist \(D = \mathbb{R} \setminus \{4\}\). 4. Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f(k) = 2^k\) streng monoton steigend. Es gilt \(2^{-3} = 0{,}125\) und \(2^{-2} = 0{,}25\). Da \(0{,}125 < 0{,}2 < 0{,}25\) gilt, folgt \(-3 < k < -2\). Die Zahlen sind \(-3\) und \(-2\).

a) \(m > n\) b) \(0 < a < 1\) c) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4\}\) d) \(-3 < k < -2\)

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der \(y\)-Achse. - Wann nimmt ein Ausdruck der Form \(2^{\text{etwas}}\) seinen größten Wert an, wenn die Basis größer als 1 ist? - Betrachte den Exponenten separat: Was passiert mit \(-x^2 + 1\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Symmetrieprüfung: \(g(-x) = 2^{-(-x)^2 + 1} = 2^{-x^2 + 1} = g(x)\). Da \(g(x) = g(-x)\), liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Höchster Punkt: Der Exponent \(-x^2 + 1\) wird maximal, wenn \(x^2\) minimal ist, also bei \(x = 0\). Funktionswert \(g(0) = 2^{-0^2 + 1} = 2^1 = 2\). Ergebnis: \(H(0 \mid 2)\). 3. Verhalten im Unendlichen: Für \(x \to \pm \infty\) wird der Exponent \(-x^2 + 1\) beliebig klein (negativ groß). Somit gilt \(g(x) \to 0\). 4. Geometrische Bedeutung: Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist die waagerechte Asymptote des Graphen für beide Richtungen.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(x) = g(-x)\). b) Der höchste Punkt ist \(H(0 \mid 2)\). c) Der Grenzwert ist 0. Die \(x\)-Achse ist die waagerechte Asymptote des Graphen.

- Kannst du den Term \(10^{x+1}\) mithilfe von Potenzgesetzen in ein Produkt zerlegen? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}01\) als Potenz zur Basis 10. - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Potenz \(b^k\) mit positiver Basis \(b\) immer hat. - Kann eine Verschiebung eines Graphen, der nur oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, dazu führen, dass er plötzlich unterhalb der Achse liegt?

1. Durch Anwendung der Potenzgesetze gilt \(h(x) = 10^{x+1} = 10^1 \cdot 10^x = 10 \cdot 10^x\). Dies entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(10\). 2. Die Zahl \(0{,}01\) wird als Zehnerpotenz geschrieben: \(0{,}01 = 10^{-2}\). Damit ist \(k(x) = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. 3. Eine Verschiebung um \(s\) Einheiten nach rechts führt auf \(b^{x-s} = b^{-s} \cdot b^x\). Der zugehörige Faktor \(b^{-s}\) ist stets positiv. Umgekehrt kann bei \(b > 0\) und \(b \neq 1\) jeder positive Faktor durch eine passende Verschiebung dargestellt werden. Für \(a = 0\) oder \(a < 0\) ist dies nicht möglich. Die Aussage ist daher falsch.

a) Wegen \(10^{x+1} = 10 \cdot 10^x\) liegt eine Streckung mit dem Faktor \(10\) vor. b) Wegen \(0{,}01 \cdot 10^x = 10^{-2} \cdot 10^x = 10^{x-2}\) entsteht der Graph durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. c) Die Aussage ist falsch. Eine Verschiebung in \(x\)-Richtung erzeugt nur positive Faktoren. Die Faktoren \(a = 0\) und \(a < 0\) können dadurch nicht entstehen.

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven von \(f\) und \(j\) kreuzen. - Überprüfe, welche Funktionsterme zu den Graphen gehören, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verlaufen. - Eine Nullstelle bedeutet, dass der Funktionswert an dieser Stelle null ist. - Wie kannst du aus zwei Funktionen, die jeweils eine der gewünschten Nullstellen haben, eine einzige Funktion kombinieren?

1. Die Gleichung \(f(x) = j(x)\) wird durch die Schnittpunkte des exponentiellen Graphen \(G_f\) und der Parabel \(G_j\) gelöst. Aus der Grafik liest man näherungsweise \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\) ab. 2. Die Punkte \(A\) und \(B\) sind die Schnittpunkte der Geraden \(g\) und der Parabel \(j\). Durch Gleichsetzen der Funktionsterme erhält man die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). 3. Die Stelle \(x = 2\) ist eine Nullstelle von \(f\), \(g\) und \(j\). Die Stelle \(x = -1\) ist eine Nullstelle von \(h\). Eine Funktion mit beiden Nullstellen lässt sich als Produkt bilden: \(m(x) = g(x) \cdot h(x) = (-x + 2)(x + 1)\). Alternativ ist auch \(m(x) = f(x) \cdot h(x) = (2^x - 4)(x + 1)\) möglich.

a) Näherungsweise gilt \(x_1 \approx 2\) und \(x_2 \approx -2{,}8\). b) Zu lösen ist die Gleichung \(-x + 2 = -x^2 + 4\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(m(x) = (-x + 2)(x + 1)\).