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- Welche Art von Folge beschreibt exponentielles Wachstum? - Wie viele Schritte liegen zwischen dem Startwert und dem Wert nach einer Woche? - Wie berechnet man den Faktor, mit dem man von einem Tag zum nächsten gelangt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln.

1. Identifikation der gegebenen Werte: Der Anfangswert ist \(b_0 = 2\) und der Wert nach sieben Schritten ist \(b_7 = 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für den täglichen Wachstumsfaktor \(q\): \(b_7 = b_0 \cdot q^7 \implies 10 = 2 \cdot q^7 \implies q^7 = 5\). 3. Berechnung des Wachstumsfaktors: \(q = \sqrt[7]{5} \approx 1{,}2585\). 4. Berechnung der sechs Zwischenwerte \(b_n = 2 \cdot (\sqrt[7]{5})^n\): - Tag 1: \(b_1 = 2 \cdot \sqrt[7]{5} \approx 2{,}52\,\text{m}^2\) - Tag 2: \(b_2 = 2 \cdot \sqrt[7]{25} \approx 3{,}17\,\text{m}^2\) - Tag 3: \(b_3 = 2 \cdot \sqrt[7]{125} \approx 3{,}99\,\text{m}^2\) - Tag 4: \(b_4 = 2 \cdot \sqrt[7]{625} \approx 5{,}02\,\text{m}^2\) - Tag 5: \(b_5 = 2 \cdot \sqrt[7]{3125} \approx 6{,}31\,\text{m}^2\) - Tag 6: \(b_6 = 2 \cdot \sqrt[7]{15\,625} \approx 7{,}95\,\text{m}^2\)

Die Flächeninhalte betragen (gerundet): \(2{,}52\,\text{m}^2\); \(3{,}17\,\text{m}^2\); \(3{,}99\,\text{m}^2\); \(5{,}02\,\text{m}^2\); \(6{,}31\,\text{m}^2\) und \(7{,}95\,\text{m}^2\). Exakt: \(2 \cdot \sqrt[7]{5^1}, 2 \cdot \sqrt[7]{5^2}, 2 \cdot \sqrt[7]{5^3}, 2 \cdot \sqrt[7]{5^4}, 2 \cdot \sqrt[7]{5^5}, 2 \cdot \sqrt[7]{5^6}\).

- Überlege dir, welcher Wert den Bestand am Anfang beschreibt. - Wie verändert sich der Bestand von Jahr 0 zu Jahr 1 mathematisch gesehen? - Welche allgemeine Form hat eine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum? - Wie kannst du den Faktor berechnen, mit dem der Anfangswert multipliziert werden muss, um den Wert nach einem Jahr zu erhalten?

1. Identifikation des Anfangswertes zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(a = 40\). 2. Berechnung des Wachstumsfaktors \(b\) unter Verwendung des Wertes nach einem Jahr (\(t = 1\)): \(40 \cdot b^1 = 48\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(b = \frac{48}{40} = 1{,}2\). 4. Einsetzen des Anfangswertes und des Wachstumsfaktors in die allgemeine Form \(f(t) = a \cdot b^t\): \(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\).

\(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\)

- Was bedeutet eine Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz für den Faktor, mit dem man jedes Jahr multipliziert? - Überlege, welcher Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\) vorliegt. - Um den Prozentsatz nach einer bestimmten Zeit zu finden, kannst du untersuchen, wie sich der Faktor \(b^t\) entwickelt.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(b\): Da der Bestand um \(6{,}2\,\%\) abnimmt, gilt \(b = 1 - 0{,}062 = 0{,}938\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(V_0 = 8\,400\): \(V(t) = 8\,400 \cdot 0{,}938^t\). 3. Berechnung des verbleibenden Anteils nach \(t = 8\) Jahren: Der Anteil berechnet sich durch \(b^8 = 0{,}938^8 \approx 0{,}5989\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}5989 \cdot 100\,\% \approx 59{,}89\,\%\).

a) \(V(t) = 8\,400 \cdot 0{,}938^t\) b) Nach 8 Jahren sind noch ca. \(59{,}89\,\%\) des Vorrats vorhanden.

- Wie verändern sich die Werte von einem Zeitschritt zum nächsten? Ist es immer die gleiche Differenz oder das gleiche Verhältnis? - Was bedeutet der Wert bei der Zeit Null für deine Formel? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Steigerung zusammen? - Setze die gesuchten Zeitpunkte einfach für die Variable in deine gefundene Gleichung ein.

1. Prüfung des Wachstumsverhaltens durch Quotientenbildung benachbarter Werte: \(\frac{600}{400} = 1{,}5\); \(\frac{900}{600} = 1{,}5\); \(\frac{1350}{900} = 1{,}5\). Da die Quotienten konstant sind, liegt exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(b = 1{,}5\) vor. 2. Der Anfangswert \(a\) ist der Funktionswert bei \(t = 0\), also \(a = 400\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 400 \cdot 1{,}5^t\). 4. Berechnung für \(t = 5\): \(N(5) = 400 \cdot 1{,}5^5 = 400 \cdot 7{,}59375 = 3037{,}5 \approx 3038\). 5. Berechnung für \(t = 8\): \(N(8) = 400 \cdot 1{,}5^8 = 400 \cdot 25{,}62890625 = 10\,251{,}5625 \approx 10\,252\). 6. Die prozentuale Zunahme ergibt sich aus \(b - 1 = 1{,}5 - 1 = 0{,}5\), was einer Zunahme von \(50\,\%\) entspricht.

a) \(a = 400\), \(b = 1{,}5\) (da \(\frac{600}{400} = \frac{900}{600} = \dots = 1{,}5\)) b) \(N(t) = 400 \cdot 1{,}5^t\) c) Nach 5 Stunden: ca. \(3038\) Bakterien; nach 8 Stunden: ca. \(10\,252\) Bakterien d) Die Zunahme beträgt \(50\,\%\) pro Stunde.

- Überlege dir, welcher Wert die Menge zum Zeitpunkt Null darstellt. - Was bedeutet „verdoppeln“ für den Wachstumsfaktor in deiner Gleichung? - Achte darauf, die Zeitangaben wie „ein Jahr“ in die Einheit umzurechnen, die in deiner Formel für \(t\) verwendet wird.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert ist \(N(0) = 4\,500\). Da sich der Bestand jeden Monat verdoppelt, ist der Wachstumsfaktor \(q = 2\). Die Gleichung lautet \(N(t) = 4\,500 \cdot 2^t\). 2. Berechnung für ein halbes Jahr (\(t = 6\)): \(N(6) = 4\,500 \cdot 2^6 = 4\,500 \cdot 64 = 288\,000\). 3. Berechnung für ein ganzes Jahr (\(t = 12\)): \(N(12) = 4\,500 \cdot 2^{12} = 4\,500 \cdot 4\,096 = 18\,432\,000\).

Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 4\,500 \cdot 2^t\). Nach einem halben Jahr gibt es \(288\,000\) Nutzer, nach einem Jahr sind es \(18\,432\,000\) Nutzer.

- Welcher Wert stellt den Startzeitpunkt dar? - Wie verändert eine prozentuale Abnahme den Bestand von einem Jahr zum nächsten? - Mit welchem Faktor musst du multiplizieren, wenn der Bestand um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? - Überlege, wie oft dieser Faktor bei einer Zeitspanne von mehreren Jahren angewendet werden muss.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(a\) aus der prozentualen Abnahme: \(a = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(N_0 = 450\): \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\). 3. Berechnung des Bestands nach \(5\) Jahren: \(N(5) = 450 \cdot 0{,}94^5 \approx 330{,}26\). Gerundet ergibt dies \(330\) Pflanzen. 4. Berechnung des Bestands nach \(10\) Jahren: \(N(10) = 450 \cdot 0{,}94^{10} \approx 242{,}38\). Gerundet ergibt dies \(242\) Pflanzen.

a) \(N(t) = 450 \cdot 0{,}94^t\) b) Nach \(5\) Jahren: ca. \(330\) Pflanzen; nach \(10\) Jahren: ca. \(242\) Pflanzen.

- Überlege, welcher Zusammenhang zwischen dem ersten Glied, dem letzten Glied, der Summe und dem Wachstumsfaktor besteht. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur der Wachstumsfaktor \(q\) als Unbekannte vorkommt? - Wenn du den Wachstumsfaktor kennst, wie oft muss dieser mit dem Startwert verrechnet werden, um den Endwert zu erreichen? - Logarithmen oder das Ausprobieren von Potenzen können helfen, den Exponenten zu finden.

1. Identifikation der gegebenen Werte der geometrischen Folge: \(a_1 = 64\), \(a_n = 324\) und die Summe \(S_n = 844\). 2. Verwendung der Summenformel \(S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}\), um den Wachstumsfaktor \(q\) zu berechnen: \(844 = \frac{324q - 64}{q - 1}\) \(844(q - 1) = 324q - 64\) \(844q - 844 = 324q - 64\) \(520q = 780\) \(q = 1{,}5\) 3. Berechnung von \(n\) mithilfe der Formel für das allgemeine Glied \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\): \(324 = 64 \cdot 1{,}5^{n-1}\) \(5{,}0625 = 1{,}5^{n-1}\) 4. Da \(1{,}5^4 = 5{,}0625\), folgt: \(n - 1 = 4 \implies n = 5\) Die Kampagne dauerte \(5\) Tage.

\(n = 5\)

- Was ist der Unterschied zwischen einem festen Euro-Betrag pro Jahr und einem festen Prozentsatz pro Jahr? - Wie berechnet man den Wert genau in der Mitte eines Zeitraums bei linearem Wachstum? - Wie berechnet man den Wert genau in der Mitte eines Zeitraums bei exponentiellem Wachstum? - Welche Durchschnittsberechnung (Mittelwert) passt zu welcher Wachstumsart?

1. Exponentielles Modell: Gesucht ist das geometrische Mittel von Start- und Endwert. Wachstumsfaktor über 10 Jahre ist \(q^{10} = \frac{50\,000}{20\,000} = 2{,}5\). Der Faktor für 5 Jahre ist \(q^5 = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811\). Wert nach 5 Jahren: \(20\,000 \cdot \sqrt{2{,}5} \approx 31\,622{,}78\,\text{€}\). 2. Lineares Modell: Gesucht ist das arithmetische Mittel. Gesamtzunahme ist \(30\,000\,\text{€}\) in 10 Jahren, also \(3\,000\,\text{€}\) pro Jahr. Wert nach 5 Jahren: \(20\,000 + 5 \cdot 3000 = 35\,000\,\text{€}\). 3. Vergleich: Das lineare Modell liefert mit \(35\,000\,\text{€}\) einen höheren Wert als das exponentielle Modell (\(31\,622{,}78\,\text{€}\)). 4. Begründung: Für Wertanlagen und Zinsen wird typischerweise das exponentielle Modell (Zinseszins) verwendet, da sich der Zuwachs meist auf den jeweils aktuellen Wert bezieht.

a) \(31\,622{,}78\,\text{€}\) b) \(35\,000{,}00\,\text{€}\) c) Das lineare Modell liefert den höheren Wert. Das exponentielle Modell ist für Wertanlagen realistischer (Zinseszins-Effekt).

- Was ist der Startwert in dieser Situation? - Wenn etwas um einen bestimmten Prozentsatz sinkt, wie viel Prozent bleiben dann noch übrig? - Wie schreibt man einen Prozentsatz als Dezimalzahl für eine Rechnung um? - Wie sieht die Grundform einer Exponentialfunktion aus?

1. Bestimmung des Anfangswertes zum Zeitpunkt des Kaufs (\(t = 0\)): \(V_0 = 45\,000\). 2. Ermittlung des Abnahmefaktors \(b\): Da der Wert um \(18\,\%\) sinkt, verbleiben jedes Jahr \(100\,\% - 18\,\% = 82\,\%\) des Wertes vom Vorjahr. 3. Umrechnung des Prozentsatzes in einen Dezimalfaktor: \(b = 0{,}82\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichung in der Form \(V(t) = V_0 \cdot b^t\): \(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\).

\(V(t) = 45\,000 \cdot 0{,}82^t\)

- Unterscheide zwischen prozentualer Zunahme und dem Wachstumsfaktor. - Wie sieht die allgemeine Form einer Exponentialfunktion aus? - Setze den gegebenen Zeitwert in deine Funktionsgleichung ein.

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b\): Bei einer Zunahme von \(22\,\%\) ist \(b = 1 + 0{,}22 = 1{,}22\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung mit dem Anfangswert \(A_0 = 0{,}5\): \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\). 3. Berechnung der Fläche für \(t = 5\): \(A(5) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^5\). 4. Berechnung des Werts: \(0{,}5 \cdot 2{,}7027... \approx 1{,}3513...\). 5. Gerundetes Endergebnis: \(1{,}35\,\text{m}^2\).

a) \(A(t) = 0{,}5 \cdot 1{,}22^t\) b) Nach 5 Wochen sind ca. \(1{,}35\,\text{m}^2\) bedeckt.

- Überlege zuerst, welcher Faktor einer Abnahme um einen bestimmten Prozentsatz entspricht. - Wie verändert sich dieser Faktor, wenn der Vorgang mehrfach hintereinander abläuft? - Für den Aufgabenteil c) kannst du entweder systematisch probieren oder eine Gleichung mithilfe von Logarithmen lösen.

1. Der Abnahmefaktor pro Schicht beträgt \(q = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\). 2. Berechnung für \(4\) Schichten: \(0{,}82^4 \approx 0{,}4521\). Die Konzentration sinkt auf etwa \(45{,}2\,\%\). 3. Abnahmefaktoren: Pro Schicht \(q_1 = 0{,}82\); für \(2\) Schichten \(q_2 = 0{,}82^2 = 0{,}6724\); für \(5\) Schichten \(q_5 = 0{,}82^5 \approx 0{,}3707\). 4. Bestimmung der Schichtanzahl \(n\): \(0{,}82^n < 0{,}1\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}82)} \approx 11{,}6\). Es sind somit mindestens \(12\) Schichten erforderlich.

a) ca. \(45{,}2\,\%\) b) Für \(1\) Filterschicht: \(0{,}82\); für \(2\) Filterschichten: \(0{,}6724\); für \(5\) Filterschichten: ca. \(0{,}371\) c) Mindestens \(12\) Schichten

- Überlege zuerst, wie groß der Unterschied zwischen Kakao und Raumtemperatur zu Beginn ist. - Wenn eine Größe um einen Prozentsatz abnimmt, mit welchem Faktor musst du dann multiplizieren? - Unterscheide zwischen dem Temperaturunterschied und der tatsächlichen Temperatur des Getränks. - Für die Zeitdauer kannst du verschiedene Werte in deine Formel einsetzen, bis das Ergebnis unter den gesuchten Wert fällt.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den Temperaturunterschied: Der Anfangsunterschied beträgt \(D_0 = 80 - 20 = 60\). Die Abnahme um \(12\,\%\) entspricht einem Abnahmefaktor von \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Somit gilt \(f(x) = 60 \cdot 0{,}88^x\). 2. Berechnung der Unterschiede: Nach \(5\) Minuten: \(f(5) = 60 \cdot 0{,}88^5 \approx 31{,}66\,^\circ\text{C}\). Nach \(15\) Minuten: \(f(15) = 60 \cdot 0{,}88^{15} \approx 8{,}82\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der Kakaotemperatur nach \(10\) Minuten: Der Unterschied ist \(f(10) = 60 \cdot 0{,}88^{10} \approx 16{,}71\,^\circ\text{C}\). Die Temperatur des Kakaos beträgt somit \(20 + 16{,}71 = 36{,}71\,^\circ\text{C}\). 4. Bestimmung des Zeitpunktes für einen Unterschied \(< 5\,^\circ\text{C}\): \(60 \cdot 0{,}88^x = 5 \Rightarrow 0{,}88^x = \frac{5}{60} \approx 0{,}0833\). Durch Logarithmieren oder systematisches Probieren ergibt sich \(x \approx 19{,}43\). Ab der \(20.\) Minute ist der Unterschied kleiner als \(5\,^\circ\text{C}\).

a) \(f(x) = 60 \cdot 0{,}88^x\) b) Nach \(5\) Minuten: ca. \(31{,}66\,^\circ\text{C}\); nach \(15\) Minuten: ca. \(8{,}82\,^\circ\text{C}\). c) Ca. \(36{,}71\,^\circ\text{C}\). d) Nach etwa \(19{,}4\) Minuten (also ab der \(20.\) Minute).

- Welcher Abnahmefaktor \(q\) entspricht einer Abnahme von \(15\,\%\)? - Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(W(t) = W_0 \cdot q^t\) auf. - Für welche Teilaufgabe musst du den Funktionswert berechnen und für welche den Exponenten bestimmen? - Erinnere dich an den Logarithmus, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den Bestand \(W(t)\) nach \(t\) Stunden: \(W(t) = 400 \cdot 0{,}85^t\). 2. Berechnung für \(t=2\): \(W(2) = 400 \cdot 0{,}85^2 = 289\,\text{mg}\). 3. Berechnung für \(t=5\): \(W(5) = 400 \cdot 0{,}85^5 \approx 177{,}48\,\text{mg}\). 4. Berechnung für \(t=10\): \(W(10) = 400 \cdot 0{,}85^{10} \approx 78{,}75\,\text{mg}\). 5. Lösen der Gleichung \(400 \cdot 0{,}85^t = 100\) nach \(t\): \(0{,}85^t = 0{,}25 \Rightarrow t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)} \approx 8{,}53\,\text{Stunden}\). 6. Lösen der Gleichung \(400 \cdot 0{,}85^t = 40\) bzw. \(0{,}85^t = 0{,}1\) nach \(t\): \(t = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}85)} \approx 14{,}17\,\text{Stunden}\).

a) Nach \(2\) Stunden: \(289\,\text{mg}\); nach \(5\) Stunden: ca. \(177{,}48\,\text{mg}\); nach \(10\) Stunden: ca. \(78{,}75\,\text{mg}\). b) Nach ca. \(8{,}53\) Stunden. c) Nach ca. \(14{,}17\) Stunden.

- Wie verändert sich der \(y\)-Wert, wenn \(x\) um \(1\) zunimmt? - Überprüfe, ob der Quotient aufeinanderfolgender \(y\)-Werte konstant bleibt. - Welche allgemeine Form hat eine Exponentialfunktion? - Was könnte ein negativer Zeitwert in Bezug auf den Startzeitpunkt der Messung bedeuten?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b\): Aus den Werten für \(x=0\) und \(x=1\) ergibt sich \(b = \frac{750}{500} = 1{,}5\). Alternativ über \(x=2\): \(1125 = 500 \cdot b^2 \implies b^2 = 2{,}25 \implies b = 1{,}5\). 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(a = 500\) lautet die Funktion \(N(x) = 500 \cdot 1{,}5^x\). 3. Berechnung der fehlenden Werte: - \(x = 4\): \(500 \cdot 1{,}5^4 = 2531{,}25\) - \(x = 5\): \(500 \cdot 1{,}5^5 = 3796{,}875\) - \(x = 10\): \(500 \cdot 1{,}5^{10} \approx 28\,832{,}52\) - \(x = -2\): \(500 \cdot 1{,}5^{-2} = \frac{500}{2{,}25} = 222{,}\bar{2} \approx 222{,}22\) 4. Interpretation: Der Wert bei \(x = -2\) gibt die Anzahl der Bakterien an, die zwei Stunden vor dem Start der Messung (\(x = 0\)) in der Kultur vorhanden waren.

Funktionsgleichung: \(N(x) = 500 \cdot 1{,}5^x\) Fehlende Werte: \(N(4) = 2531{,}25\); \(N(5) = 3796{,}875\); \(N(10) \approx 28\,832{,}52\); \(N(-2) \approx 222{,}22\). Erklärung für \(x = -2\): Dies ist die berechnete Bakterienanzahl zwei Stunden vor Beobachtungsbeginn.

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Basis auflösen, wenn diese eine Hochzahl hat? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere für negative und rationale Exponenten. - Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Wurzeln leichter zu erkennen?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(x; y)\) in die Funktionsgleichung \(y = b^x\) und Auflösen nach \(b\). 2. Für \(P(4; 81)\): \(81 = b^4 \implies b = \sqrt[4]{81} = 3\). 3. Für \(Q(-3; 0{,}125)\): \(0{,}125 = b^{-3} \implies \frac{1}{8} = \frac{1}{b^3} \implies b^3 = 8 \implies b = 2\). 4. Für \(R(1{,}5; 8)\): \(8 = b^{1{,}5} \implies 8 = b^{\frac{3}{2}} \implies b = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).

a) \(b = 3\) b) \(b = 2\) c) \(b = 4\)

- Welchen Wert hat jede Basis hoch null? Wie hilft dir das beim ersten Punkt? - Setze den gefundenen Wert für \(c\) in die allgemeine Form ein, bevor du den zweiten Punkt nutzt. - Wie löst man eine Gleichung auf, in der die Unbekannte im Nenner steht oder ein Quadrat ist?

1. Nutze den Punkt mit \(x = 0\), um den Startwert \(c\) direkt zu bestimmen, da \(a^0 = 1\) gilt. 2. Setze \(c\) und den zweiten Punkt in die Gleichung ein, um \(a\) zu berechnen. 3. Fall a): \(f(0) = 7 \implies c = 7\). Einsetzen von \(B(2; 63)\): \(63 = 7 \cdot a^2 \implies 9 = a^2 \implies a = 3\). 4. Fall b): \(f(0) = 200 \implies c = 200\). Einsetzen von \(B(-1; 50)\): \(50 = 200 \cdot a^{-1} \implies 50 = \frac{200}{a} \implies a = \frac{200}{50} = 4\).

a) \(c = 7\); \(a = 3\) b) \(c = 200\); \(a = 4\)

- Was passiert, wenn du die Koordinaten der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Wie kannst du aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Unbekannte eliminieren? - Denk an die Potenzgesetze, wenn du Terme wie \(a^3\) durch \(a^1\) teilst. - Welchen Wert muss die Basis \(a\) bei einer Exponentialfunktion üblicherweise haben?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Koordinaten: (I) \(4{,}5 = k \cdot a^1\) (II) \(40{,}5 = k \cdot a^3\) 2. Division von Gleichung (II) durch Gleichung (I) zur Elimination von \(k\): \(\frac{40{,}5}{4{,}5} = \frac{k \cdot a^3}{k \cdot a^1} \implies 9 = a^2\) 3. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(a\) (da \(a > 0\)): \(a = \sqrt{9} = 3\) 4. Berechnung des Startwerts \(k\) durch Einsetzen von \(a = 3\) in Gleichung (I): \(4{,}5 = k \cdot 3 \implies k = 1{,}5\) 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(y = 1{,}5 \cdot 3^x\)

\(y = 1{,}5 \cdot 3^x\)

- Identifiziere den Startwert und den Faktor, mit dem der Bestand pro Zeitschritt multipliziert wird. - Setze die gesuchten Zeitpunkte für die Variable in deine Funktionsgleichung ein. - Da es sich um Lebewesen handelt, solltest du das Endergebnis auf ganze Zahlen runden.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(B(0) = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}4\) ergibt sich die Gleichung \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). 2. Berechnung für \(t = 5\): \(B(5) = 250 \cdot 1{,}4^5 = 250 \cdot 5{,}37824 = 1\,344{,}56\). Gerundet sind dies ca. \(1\,345\) Pflanzen. 3. Berechnung für \(t = 10\): \(B(10) = 250 \cdot 1{,}4^{10} \approx 250 \cdot 28{,}925465 = 7\,231{,}366\). Gerundet sind dies ca. \(7\,231\) Pflanzen.

Die Funktionsgleichung lautet \(B(t) = 250 \cdot 1{,}4^t\). Nach 5 Jahren sind etwa \(1\,345\) Pflanzen vorhanden, nach 10 Jahren sind es etwa \(7\,231\) Pflanzen.

- Identifiziere den Anfangswert und den Prozentsatz der Abnahme. - Wie berechnet man den Faktor \(a\), wenn etwas pro Zeiteinheit um \(p\,\%\) abnimmt? - Achte darauf, dass die Zeit \(t\) in der Funktionsgleichung und die gesuchten Zeitspannen in derselben Einheit (hier Stunden) angegeben werden. - Wie viele Stunden hat ein ganzer Tag?

1. Ermittlung des Abnahmefaktors \(a\) pro Stunde: \(a = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). 2. Aufstellen der Exponentialfunktion mit dem Startwert \(M_0 = 250\): \(M(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\). 3. Einsetzen von \(t = 6\) für die erste Zeitspanne: \(M(6) = 250 \cdot 0{,}85^6 \approx 94{,}287\dots\,\text{mg}\). Gerundet: \(94{,}29\,\text{mg}\). 4. Einsetzen von \(t = 24\) für die zweite Zeitspanne (da \(1\) Tag = \(24\) Stunden): \(M(24) = 250 \cdot 0{,}85^{24} \approx 5{,}058\dots\,\text{mg}\). Gerundet: \(5{,}06\,\text{mg}\).

a) \(M(t) = 250 \cdot 0{,}85^t\) b) Nach \(6\) Stunden: \(94{,}29\,\text{mg}\); nach \(24\) Stunden: \(5{,}06\,\text{mg}\).

- Was passiert, wenn du die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt? - Gibt es einen Weg, eine der beiden Unbekannten zu entfernen, indem du die beiden Gleichungen miteinander verknüpfst? - Wie kannst du eine Potenzgleichung lösen, wenn die Basis gesucht ist? - Wenn du einen der Parameter bereits kennst, wie kommst du dann an den zweiten?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems durch Einsetzen der Punktkoordinaten: \(18 = a \cdot b^2\) und \(60{,}75 = a \cdot b^5\). 2. Division der zweiten Gleichung durch die erste, um die Variable \(a\) zu eliminieren: \(\frac{60{,}75}{18} = \frac{a \cdot b^5}{a \cdot b^2}\). 3. Vereinfachen und Lösen nach \(b\): \(3{,}375 = b^3\), woraus durch Ziehen der dritten Wurzel \(b = 1{,}5\) folgt. 4. Einsetzen von \(b = 1{,}5\) in die erste Gleichung zur Bestimmung von \(a\): \(18 = a \cdot 1{,}5^2 \Rightarrow 18 = a \cdot 2{,}25\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{18}{2{,}25} = 8\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 8 \cdot 1{,}5^x\).

\(a = 8\); \(b = 1{,}5\); \(f(x) = 8 \cdot 1{,}5^x\)

- Wie bestimmt man den Wachstumsfaktor \(q\) aus einer prozentualen Zunahme? - Wie sieht die allgemeine Form einer Exponentialfunktion für Wachstumsprozesse aus? - Um nach der Zeit zu suchen, musst du die Gleichung so umstellen, dass die Potenz allein auf einer Seite steht. - Welche mathematische Funktion benötigst du, um den Exponenten \(t\) zu isolieren?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung: Mit dem Anfangswert \(B_0 = 250\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}12 = 1{,}12\) ergibt sich \(B(t) = 250 \cdot 1{,}12^t\). 2. Einsetzen der Zeitpunkte in die Funktionsgleichung: \(B(1) = 250 \cdot 1{,}12^1 = 280\) \(B(3{,}5) = 250 \cdot 1{,}12^{3{,}5} \approx 371{,}71\) \(B(8) = 250 \cdot 1{,}12^8 \approx 618{,}99\) \(B(12{,}5) = 250 \cdot 1{,}12^{12{,}5} \approx 1030{,}78\) 3. Auflösen der Gleichung \(B(t) = y\) nach \(t\) mittels Logarithmus (\(t = \frac{\lg(y/250)}{\lg(1{,}12)}\)): \(B(t) = 400 \implies 1{,}12^t = 1{,}6 \implies t = \frac{\lg(1{,}6)}{\lg(1{,}12)} \approx 4{,}15\,\text{h}\) \(B(t) = 1\,000 \implies 1{,}12^t = 4 \implies t = \frac{\lg(4)}{\lg(1{,}12)} \approx 12{,}23\,\text{h}\) \(B(t) = 2\,500 \implies 1{,}12^t = 10 \implies t = \frac{\lg(10)}{\lg(1{,}12)} \approx 20{,}31\,\text{h}\)

a) \(B(t) = 250 \cdot 1{,}12^t\) b) Die Bestände betragen etwa \(280\); \(371{,}71\); \(618{,}99\) und \(1030{,}78\) Individuen. c) Die Zielwerte werden nach ca. \(4{,}15\); \(12{,}23\) und \(20{,}31\) Stunden erreicht.

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um zwei Gleichungen zu erhalten? - Wie kannst du durch Division der beiden Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren? - Denke daran, dass die Basis einer Exponentialfunktion immer positiv sein muss. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, wie findest du dann den Funktionswert an einer bestimmten Stelle?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den gegebenen Punkten: \(18 = c \cdot a^2\) und \(162 = c \cdot a^4\). 2. Division der Gleichungen führt zu \(\frac{162}{18} = \frac{c \cdot a^4}{c \cdot a^2}\), woraus \(9 = a^2\) folgt. Da bei Exponentialfunktionen \(a > 0\) gilt, ergibt sich \(a = 3\). 3. Einsetzen von \(a = 3\) in die erste Gleichung: \(18 = c \cdot 3^2 = 9c\), woraus \(c = 2\) resultiert. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). 4. Berechnung der fehlenden Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte: \(y_C = f(0) = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2\) und \(y_D = f(-1) = 2 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). Die fehlenden Koordinaten sind \(y_C = 2\) und \(y_D = \frac{2}{3}\).

- Welche Art von Folge beschreibt eine prozentuale Abnahme? - Stelle zuerst eine Gleichung auf, um das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Werten zu bestimmen. - Achte darauf, dass bei einer Abnahme der Faktor \(q\) zwischen \(0\) und \(1\) liegen muss. - Wie lässt sich ein Exponent bestimmen, wenn die Basis und das Ergebnis bekannt sind?

1. Gegeben sind \(a_1 = 512\), \(a_n = 216\) und \(S_n = 1400\). 2. Einsetzen in die Summenformel für geometrische Folgen \(S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}\): \(1400 = \frac{216q - 512}{q - 1}\) \(1400q - 1400 = 216q - 512\) \(1184q = 888\) \(q = \frac{888}{1184} = 0{,}75\) 3. Bestimmung von \(n\) über die Formel \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\): \(216 = 512 \cdot 0{,}75^{n-1}\) \(\frac{216}{512} = 0{,}75^{n-1}\) \(0{,}421875 = 0{,}75^{n-1}\) 4. Lösen der Gleichung durch Logarithmieren oder Probieren: \(\log_{0{,}75}(0{,}421875) = 3\) \(n - 1 = 3 \implies n = 4\) Die Messreihe endete nach \(4\) Beanspruchungen.

\(n = 4\)

- Stelle die Funktionsgleichung für den Luftdruck in Abhängigkeit von der Anzahl der Kilometer über dem Meeresspiegel auf. - Beachte bei Teil b), dass \(500\,\text{m}\) genau der Hälfte des Standardschrittes von \(1\,000\,\text{m}\) entsprechen. - Für die Halbiert-Frage suchst du den Wert der Variable, bei dem das Ergebnis \(0{,}5\) des Startwerts ist.

1. Der Abnahmefaktor pro \(1\,000\,\text{m}\) ist \(q = 0{,}88\). 2. Für \(3\,000\,\text{m}\) (\(3\) Einheiten à \(1\,000\,\text{m}\)) gilt: \(0{,}88^3 = 0{,}681472\). Es sind noch ca. \(68{,}1\,\%\) vorhanden. 3. Faktoren bestimmen: Für \(1\,000\,\text{m}\) ist \(q = 0{,}88\); für \(500\,\text{m}\) ist \(q_{500} = 0{,}88^{0{,}5} = \sqrt{0{,}88} \approx 0{,}9381\); für \(5\,000\,\text{m}\) ist \(q_5 = 0{,}88^5 \approx 0{,}5277\). 4. Halbwertshöhe berechnen: \(0{,}88^x = 0{,}5\). Lösung mittels Logarithmus: \(x = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)} \approx 5{,}422\). Da \(x\) in Einheiten von \(1\,000\,\text{m}\) gemessen wird, beträgt die Höhe ca. \(5\,422\,\text{m}\).

a) ca. \(68{,}1\,\%\) b) Faktor \(1\,000\,\text{m}\): \(0{,}88\); Faktor \(500\,\text{m}\): ca. \(0{,}938\); Faktor \(5\,000\,\text{m}\): ca. \(0{,}528\) c) In ca. \(5\,422\,\text{m}\) Höhe

- Achte beim Anfangsunterschied auf das Vorzeichen der Minustemperatur. - Nutze den Wert nach 10 Minuten, um den Faktor für einen Zehn-Minuten-Schritt oder direkt für eine Minute zu finden. - Die Torte nähert sich der Umgebungstemperatur von unten an – wie berechnest du dann ihre Temperatur aus dem Unterschied? - In der Wertetabelle kannst du ausnutzen, dass sich der Unterschied alle 10 Minuten um denselben Faktor (hier \(0{,}8\)) ändert.

1. Anfangsunterschied: \(D_0 = 22 - (-18) = 40\,^\circ\text{C}\). 2. Bestimmung des Abnahmefaktors \(a\): \(40 \cdot a^{10} = 32 \Rightarrow a^{10} = 0{,}8 \Rightarrow a = \sqrt[10]{0{,}8} \approx 0{,}9779\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 40 \cdot 0{,}9779^x\). 3. Temperatur nach \(30\) Minuten: \(f(30) = 40 \cdot (a^{10})^3 = 40 \cdot 0{,}8^3 = 40 \cdot 0{,}512 = 20{,}48\,^\circ\text{C}\) (Unterschied). Die Tortentemperatur ist \(22 - 20{,}48 = 1{,}52\,^\circ\text{C}\). 4. Wertetabelle für den Unterschied: \(x = 0: 40\,^\circ\text{C}\) \(x = 20: 40 \cdot 0{,}8^2 = 25{,}6\,^\circ\text{C}\) \(x = 40: 40 \cdot 0{,}8^4 = 16{,}384\,^\circ\text{C}\) \(x = 60: 40 \cdot 0{,}8^6 \approx 10{,}49\,^\circ\text{C}\)

a) \(40\,^\circ\text{C}\) b) \(a \approx 0{,}978\); \(f(x) = 40 \cdot 0{,}978^x\) (oder exakt \(f(x) = 40 \cdot (\sqrt[10]{0{,}8})^x\)) c) \(1{,}52\,^\circ\text{C}\) d) \(0\,\text{min}: 40\,^\circ\text{C}\); \(20\,\text{min}: 25{,}6\,^\circ\text{C}\); \(40\,\text{min}: 16{,}38\,^\circ\text{C}\); \(60\,\text{min}: 10{,}49\,^\circ\text{C}\).

- Wie verändert sich der Wert, wenn er pro Schritt um einen festen Prozentsatz sinkt? - Überlege dir, wie du den Prozentsatz in einen Faktor umwandelst. - Wenn du die Tiefe für einen bestimmten Zielwert suchst, musst du eine Exponentialgleichung lösen. - Überlege, ob du für den Oberflächenwert mit \(100\) oder mit \(1\) rechnen möchtest.

1. Aufstellen des Modells für die Intensität \(I(d)\) in der Tiefe \(d\) in Metern: \(I(d) = 100 \cdot 0{,}78^d\) (in Prozent). 2. Berechnung der Werte: \(I(2) = 100 \cdot 0{,}78^2 = 60{,}84\,\%\); \(I(5) = 100 \cdot 0{,}78^5 \approx 28{,}87\,\%\); \(I(10) = 100 \cdot 0{,}78^{10} \approx 8{,}34\,\%\). 3. Bestimmung der Halbwertstiefe durch Lösen von \(0{,}78^d = 0{,}5\): \(d = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}78)} \approx 2{,}79\,\text{m}\). 4. Bestimmung der Tiefe für die aphotische Zone durch Lösen von \(100 \cdot 0{,}78^d = 1\) bzw. \(0{,}78^d = 0{,}01\): \(d = \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}78)} \approx 18{,}54\,\text{m}\).

a) In \(2\,\text{m}\) Tiefe: \(60{,}84\,\%\); in \(5\,\text{m}\) Tiefe: ca. \(28{,}87\,\%\); in \(10\,\text{m}\) Tiefe: ca. \(8{,}34\,\%\). b) In einer Tiefe von ca. \(2{,}79\,\text{m}\). c) Die aphotische Zone beginnt in einer Tiefe von ca. \(18{,}54\,\text{m}\).

- Achte darauf, dass die Zeitabstände in der Tabelle zwei Jahre betragen. Wie findest du daraus den Faktor für nur ein Jahr? - Ein negativer Zeitwert bedeutet einen Blick in die Vergangenheit. - Der Prozentsatz des verbleibenden Wertes hängt nur vom Wachstums- oder Abnahmefaktor und der Zeit ab, nicht vom Startwert. - Überlege, ob das Ergebnis bei einem Wertverlust kleiner oder größer als der Startwert sein muss.

1. Bestimmung des Faktors für zwei Jahre: \(\frac{V(2)}{V(0)} = \frac{768}{1200} = 0{,}64\). Da \(b^2 = 0{,}64\), folgt für den jährlichen Abnahmefaktor \(b = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 2. Der Anfangswert bei \(t = 0\) ist \(a = 1200\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 1200 \cdot 0{,}8^t\). 3. Wert nach 6 Jahren: \(V(6) = 1200 \cdot 0{,}8^6 = 1200 \cdot 0{,}262144 = 314{,}5728 \approx 314{,}57\,\text{€}\). 4. Wert bei \(t = -1\): \(V(-1) = 1200 \cdot 0{,}8^{-1} = \frac{1200}{0{,}8} = 1500\,\text{€}\). 5. Wert nach 10 Jahren: \(V(10) = 1200 \cdot 0{,}8^{10} \approx 1200 \cdot 0{,}10737 \approx 128{,}85\,\text{€}\). 6. Prozentsatz nach 10 Jahren: \(0{,}8^{10} \approx 0{,}1074\), das entspricht ca. \(10{,}74\,\%\) des Anfangswertes.

a) \(b = 0{,}8\); \(V(t) = 1200 \cdot 0{,}8^t\) b) ca. \(314{,}57\,\text{€}\) c) \(1500\,\text{€}\) d) Nach 10 Jahren beträgt der Wert ca. \(128{,}85\,\text{€}\). Das sind ca. \(10{,}74\,\%\) des Neupreises.

- Berechne das Verhältnis zwischen dem Wert nach einem Jahr und dem Anfangswert. - Setze den Anfangswert und den Wachstumsfaktor in die Grundform \(f(x) = a \cdot b^x\) ein. - Um Werte für spätere Zeitpunkte zu finden, wende die Funktionsgleichung auf die gegebenen \(t\)-Werte an. - Ein negativer \(t\)-Wert führt dich in die Vergangenheit des Prozesses.

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(q\): Aus \(W(0) = 5000\) und \(W(1) = 4000\) folgt \(q = \frac{4000}{5000} = 0{,}8\). Zur Kontrolle mit \(W(3)\): \(5000 \cdot 0{,}8^3 = 5000 \cdot 0{,}512 = 2560\). 2. Funktionsgleichung: \(W(t) = 5000 \cdot 0{,}8^t\). 3. Berechnung der fehlenden Werte: - \(t = 2\): \(5000 \cdot 0{,}8^2 = 3200\) - \(t = 5\): \(5000 \cdot 0{,}8^5 = 1638{,}40\) - \(t = 10\): \(5000 \cdot 0{,}8^{10} \approx 536{,}87\) - \(t = -1\): \(5000 \cdot 0{,}8^{-1} = \frac{5000}{0{,}8} = 6250\) 4. Interpretation: Der Wert bei \(t = -1\) beschreibt den Wert der Maschine ein Jahr vor dem Zeitpunkt, der als \(t = 0\) festgelegt wurde (z. B. der Preis beim Kauf, falls die Beobachtung erst ein Jahr nach dem Erwerb startete).

Funktionsgleichung: \(W(t) = 5000 \cdot 0{,}8^t\) Fehlende Werte: \(W(2) = 3200{,}00\,\text{€}\); \(W(5) = 1638{,}40\,\text{€}\); \(W(10) \approx 536{,}87\,\text{€}\); \(W(-1) = 6250{,}00\,\text{€}\). Erklärung für \(t = -1\): Der Wert der Maschine ein Jahr vor dem Beginn der Aufzeichnung.

- Setze beide Punkte in die Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Wie verändert sich der Exponent, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Exponenten beim Punkt \(A\). - Welche Rechenoperation macht das Potenzieren mit \(3\) rückgängig?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung: (I) \(12{,}5 = c \cdot b^{-1}\) (II) \(0{,}1 = c \cdot b^2\) 2. Division von Gleichung (II) durch Gleichung (I): \(\frac{0{,}1}{12{,}5} = \frac{c \cdot b^2}{c \cdot b^{-1}} \implies 0{,}008 = b^{2 - (-1)} = b^3\) 3. Bestimmung der Basis \(b\): \(b = \sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2\) 4. Berechnung des Parameters \(c\) durch Einsetzen von \(b = 0{,}2\) in (II): \(0{,}1 = c \cdot 0{,}2^2 \implies 0{,}1 = c \cdot 0{,}04 \implies c = 2{,}5\) 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = 2{,}5 \cdot 0{,}2^x\)

\(f(x) = 2{,}5 \cdot 0{,}2^x\)

- Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf. - Kannst du eine Variable isolieren und in die andere Gleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung der Basis? - Setze die bekannten \(x\)-Werte in deine fertige Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Werte zu erhalten.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung: \(4 = c \cdot a^1\) und \(32 = c \cdot a^{-2}\). 2. Auflösen nach \(c\) aus der ersten Gleichung: \(c = \frac{4}{a}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(32 = \frac{4}{a} \cdot a^{-2} = 4 \cdot a^{-3} = \frac{4}{a^3}\). 3. Umstellen nach \(a^3\): \(a^3 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(a = 0{,}5\). 4. Bestimmen von \(c\): \(c = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Die Gleichung ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^x\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: Für \(x = 2\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^2 = 8 \cdot 0{,}25 = 2\). Für \(x = -3\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^{-3} = 8 \cdot 8 = 64\).

Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = 8\). Die vervollständigten Punkte lauten \(R(2; 2)\) und \(S(-3; 64)\).