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- Welcher Vergleich aufeinanderfolgender Messwerte ist bei einem exponentiellen Modell entscheidend? - Prüfe, ob dieser Vergleich in allen drei Schritten denselben Wert ergibt.

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Messwerte sind \(\frac{24}{16}=1{,}5\), \(\frac{36}{24}=1{,}5\) und \(\frac{54}{36}=1{,}5\). 2. Weil der Quotient konstant ist, passt die Messreihe exakt zu einem exponentiellen Modell mit Wachstumsfaktor \(a=1{,}5\).

Ja. Die Messreihe ist exakt exponentiell mit \(a=1{,}5\).

- Welcher Wert gehört zum Zeitpunkt \(t=0\), und welche Rolle hat er in einer Exponentialfunktion? - Welche multiplikative Änderung führt vom Anfangsbestand zum Bestand nach einem Jahr? - Wie lautet die Form \(f(t)=b\cdot a^t\), wenn Anfangswert und Wachstumsfaktor bekannt sind?

1. Bei \(t=0\) gilt \(f(0)=40\). Damit ist der Anfangswert \(b=40\). 2. Nach einem Jahr gilt \(40a=48\). Daher ist der Wachstumsfaktor \(a=\frac{48}{40}=1{,}2\). 3. Somit lautet die Funktionsgleichung \(f(t)=40\cdot1{,}2^t\).

\(f(t)=40\cdot1{,}2^t\)

- Prüfe, ob die Quotienten aufeinanderfolgender Tabellenwerte konstant sind. - Was sagt ein konstanter Quotient über den Wachstumsfaktor aus? - Verwende den Startwert und den gefundenen Faktor für die Prognose und runde erst den Endwert.

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind \(600:400=1{,}5\), \(900:600=1{,}5\) und \(1350:900=1{,}5\). Deshalb liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Der Wachstumsfaktor ist \(a=1{,}5\). Damit beträgt die Zunahme \((1{,}5-1)\cdot100\,%=50\,%\) pro Stunde. 3. Mit \(N(t)=400\cdot1{,}5^t\) ergibt sich \(N(6)=400\cdot1{,}5^6=4556{,}25\approx4556\). Nach \(6\) Stunden werden nach dem Modell etwa \(4556\) Personen erreicht.

a) Ja. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind konstant \(1{,}5\). b) \(a=1{,}5\); Zunahme \(50\,%\) pro Stunde. c) Etwa \(4556\) Personen.

- Vergleiche aufeinanderfolgende Tabellenwerte durch Division statt durch Subtraktion. - Welcher Tabellenwert bestimmt bei \(g(x)=a\cdot b^x\) den Parameter \(a\) unmittelbar? - Nutze die Größe des Faktors \(b\), um den Graphenverlauf zu beschreiben.

1. Bei jedem Schritt \(x\mapsto x+1\) wird der Funktionswert mit \(0{,}5\) multipliziert: \(6:12=3:6=1{,}5:3=0{,}5\). Das passt zu einer Exponentialfunktion. 2. Aus \(g(0)=a\) folgt \(a=6\). Der konstante Faktor ist \(b=0{,}5\). Somit ist \(g(x)=6\cdot0{,}5^x\). 3. Der Graph schneidet die y-Achse bei \((0|6)\), ist streng fallend und nähert sich für \(x\to+\infty\) dem Wert \(0\).

a) \(a=6\), \(b=0{,}5\), also \(g(x)=6\cdot0{,}5^x\). b) y-Achsenabschnitt \((0|6)\); der Graph fällt; für \(x\to+\infty\) gilt \(g(x)\to0\).

- Bei einem exakt exponentiellen Modell wäre welcher Vergleich zwischen benachbarten Messwerten konstant? - Die Werte wurden gerundet. Musst du deshalb exakt gleiche Quotienten erwarten? - Entscheide nicht anhand eines einzelnen Quotienten, sondern betrachte die ganze Reihe.

1. Die Quotienten sind \(\frac{149}{100}=1{,}49\), \(\frac{226}{149}\approx1{,}52\), \(\frac{336}{226}\approx1{,}49\) und \(\frac{509}{336}\approx1{,}51\). 2. Die Quotienten sind nicht exakt gleich, liegen aber alle nahe bei \(1{,}5\). Da die Messwerte gerundet sind, sind kleine Abweichungen zu erwarten. 3. Ein exponentielles Modell mit einem Faktor von ungefähr \(1{,}5\) ist deshalb für diese Messreihe plausibel.

Die Quotienten sind ungefähr \(1{,}49\), \(1{,}52\), \(1{,}49\) und \(1{,}51\). Sie liegen alle nahe bei \(1{,}5\); daher ist ein exponentielles Modell mit Faktor etwa \(1{,}5\) plausibel.

- Nutze zuerst den Messpunkt bei \(t=0\), um einen Kandidaten auszuschließen. - Lies anschließend zwei spätere, beschriftete Messwerte aus der Abbildung ab und vergleiche sie mit den Modellwerten. - Erwarte wegen der angegebenen Rundung keine exakt konstanten Quotienten. - Entscheide nach der Passung mehrerer Punkte, nicht danach, ob ein Modell einen einzelnen Punkt genau trifft.

1. Der erste Messpunkt liegt bei \(t=0\) und dem Wert \(50\). Modell C scheidet damit aus, weil es bei \(t=0\) den Wert \(70\) liefert. 2. Bei \(t=2\) zeigt die Abbildung den gerundeten Messwert \(110\). Modell A liefert \(50\cdot1{,}5^2=112{,}5\), während Modell B \(150\) liefert. Modell A liegt deutlich näher. 3. Bei \(t=3\) beträgt der Messwert \(170\). Modell A liefert \(168{,}75\), Modell B liefert \(200\). Auch hier passt Modell A besser. 4. Die Quotienten der gerundeten Messwerte sind wegen der Rundung nicht exakt konstant. Die Punkte liegen aber insgesamt nahe an einer Entwicklung mit Faktor etwa \(1{,}5\). Daher ist Modell A am besten geeignet.

Modell A: \(M(t)=50\cdot1{,}5^t\). Es hat den passenden Anfangswert und liegt zum Beispiel bei \(t=2\) und \(t=3\) deutlich näher an den gerundeten Messpunkten als Modell B; Modell C hat bereits den falschen Anfangswert.

- Lies Anfangswert und den direkt folgenden Messwert aus der Abbildung ab. - Welcher Quotient der beiden ersten Werte liefert den Wachstumsfaktor? - Vergleiche die späteren Modellwerte mit den beschrifteten Messpunkten, ohne exakte Übereinstimmung zu verlangen.

1. Aus der Abbildung liest man \(M(0)=40\) und für den zweiten Messpunkt bei \(t=1\) den Wert \(50\) ab. Daher ist \(b=40\) und \(a=\frac{50}{40}=1{,}25\). 2. Das Modell lautet \(M(t)=40\cdot1{,}25^t\). 3. Es gilt \(M(2)=40\cdot1{,}25^2=62{,}50\) und \(M(3)=40\cdot1{,}25^3=78{,}125\approx78{,}13\). 4. Die späteren Messwerte sind \(64\) und \(79\). Die absoluten Abweichungen betragen \(1{,}50\) beziehungsweise etwa \(0{,}88\). Für auf ganze Einheiten gerundete Messwerte ist die Übereinstimmung damit plausibel.

a) \(M(t)=40\cdot1{,}25^t\) b) \(M(2)=62{,}50\), \(M(3)\approx78{,}13\) c) Die Abweichungen zu \(64\) und \(79\) sind klein; das Modell passt plausibel zu den gerundeten Daten.

- Welche Art von Folge entsteht, wenn eine Größe in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Faktor verändert wird? - Wie viele gleiche Wachstumsschritte liegen zwischen dem Anfangswert und dem Wert nach sieben Tagen? - Drücke den täglichen Wachstumsfaktor zunächst exakt aus, bevor du die Zwischenwerte berechnest.

1. Für den Anfangswert gilt \(A(0)=2\,\text{m}^2\), nach sieben Tagen \(A(7)=10\,\text{m}^2\). 2. Für den täglichen Wachstumsfaktor \(a\) gilt \(10=2a^7\), also \(a^7=5\) und damit \(a=\sqrt[7]{5}\). 3. Mit \(A(t)=2(\sqrt[7]{5})^t\) erhält man für die Tage 1 bis 6 nacheinander \(2\sqrt[7]{5}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^2}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^3}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^4}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^5}\,\text{m}^2\) und \(2\sqrt[7]{5^6}\,\text{m}^2\). 4. Gerundet sind das \(2{,}52\,\text{m}^2\), \(3{,}17\,\text{m}^2\), \(3{,}99\,\text{m}^2\), \(5{,}02\,\text{m}^2\), \(6{,}31\,\text{m}^2\) und \(7{,}95\,\text{m}^2\).

Exakt: \(2\sqrt[7]{5}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^2}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^3}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^4}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^5}\,\text{m}^2\), \(2\sqrt[7]{5^6}\,\text{m}^2\) Gerundet: \(2{,}52\,\text{m}^2\), \(3{,}17\,\text{m}^2\), \(3{,}99\,\text{m}^2\), \(5{,}02\,\text{m}^2\), \(6{,}31\,\text{m}^2\), \(7{,}95\,\text{m}^2\)

- Achte beim anfänglichen Temperaturunterschied auf das Vorzeichen der Minustemperatur. - Nutze die Angabe nach \(10\) Minuten zunächst für einen Zehn-Minuten-Schritt; daraus kannst du den Faktor pro Minute bestimmen. - Die Torte nähert sich der Umgebungstemperatur von unten. Wie erhältst du ihre Temperatur aus dem verbleibenden Temperaturunterschied? - Für Teil d kannst du die Änderung über jeweils \(20\) Minuten zusammenfassen.

1. Der anfängliche Temperaturunterschied beträgt \(D(0)=22-(-18)=40\,^{\circ}\text{C}\). 2. Aus \(40a^{10}=32\) folgt \(a^{10}=0{,}8\) und damit \(a=\sqrt[10]{0{,}8}\approx0{,}9779\). Somit gilt \(D(t)=40(\sqrt[10]{0{,}8})^t\). 3. Nach \(30\) Minuten ist \(D(30)=40\cdot0{,}8^3=20{,}48\,^{\circ}\text{C}\). Die Torte hat daher die Temperatur \(22-20{,}48=1{,}52\,^{\circ}\text{C}\). 4. Es gilt \(D(0)=40\,^{\circ}\text{C}\), \(D(20)=40\cdot0{,}8^2=25{,}60\,^{\circ}\text{C}\), \(D(40)=40\cdot0{,}8^4=16{,}384\,^{\circ}\text{C}\approx16{,}38\,^{\circ}\text{C}\) und \(D(60)=40\cdot0{,}8^6=10{,}48576\,^{\circ}\text{C}\approx10{,}49\,^{\circ}\text{C}\).

a) \(40\,^{\circ}\text{C}\) b) \(a=\sqrt[10]{0{,}8}\approx0{,}9779\); \(D(t)=40(\sqrt[10]{0{,}8})^t\) c) \(1{,}52\,^{\circ}\text{C}\) d) \(D(0)=40\,^{\circ}\text{C}\), \(D(20)=25{,}60\,^{\circ}\text{C}\), \(D(40)\approx16{,}38\,^{\circ}\text{C}\), \(D(60)\approx10{,}49\,^{\circ}\text{C}\)

- Die Tabellenwerte liegen jeweils zwei Jahre auseinander. Bestimme deshalb zuerst den Faktor für zwei Jahre. - Ein negativer Zeitwert bedeutet hier, das Modell rückwärts anzuwenden. - Für den prozentual verbleibenden Anteil genügt es, den Wachstumsfaktor über die gesamte Zeit zu betrachten.

1. Für zwei Jahre beträgt der Faktor \(\frac{768}{1200}=0{,}64\). Daher gilt \(a^2=0{,}64\) und somit \(a=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\). 2. Der Anfangswert ist \(b=1200\,\text{€}\). Das Modell lautet \(V(t)=1200\cdot0{,}8^t\). 3. \(V(6)=1200\cdot0{,}8^6=314{,}5728\,\text{€}\approx314{,}57\,\text{€}\). 4. \(V(-1)=1200\cdot0{,}8^{-1}=1500\,\text{€}\). 5. \(V(10)=1200\cdot0{,}8^{10}=128{,}84901888\,\text{€}\approx128{,}85\,\text{€}\). 6. Der verbleibende Anteil ist \(0{,}8^{10}\cdot100\,\%\approx10{,}74\,\%\).

a) \(a=0{,}8\); \(V(t)=1200\cdot0{,}8^t\) b) \(314{,}57\,\text{€}\) c) \(1500\,\text{€}\) d) \(128{,}85\,\text{€}\); etwa \(10{,}74\,\%\) des Anfangswertes

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Potenzgleichung nach dem Wachstumsfaktor auflösen? - Welche Rolle spielen negative beziehungsweise rationale Exponenten in den Teilen b und c?

1. Setze jeweils die Punktkoordinaten in \(f(x)=a^x\) ein und löse nach \(a\) auf. 2. Für \(P(4;81)\) gilt \(81=a^4\). Daher ist \(a=\sqrt[4]{81}=3\). 3. Für \(Q(-3;0{,}125)\) gilt \(0{,}125=a^{-3}\), also \(\frac{1}{8}=\frac{1}{a^3}\). Damit ist \(a^3=8\) und \(a=2\). 4. Für \(R(1{,}5;8)\) gilt \(8=a^{1{,}5}=a^{\frac{3}{2}}\). Daher ist \(a=8^{\frac{2}{3}}=4\).

a) \(a=3\) b) \(a=2\) c) \(a=4\)

- Welchen Wert hat \(a^0\), und was bedeutet das für den Punkt mit \(x=0\)? - Nutze danach den zweiten Punkt, um den Wachstumsfaktor zu bestimmen. - Beachte bei Teil b die Bedeutung eines negativen Exponenten.

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=b\), weil \(a^0=1\). So lässt sich der Anfangswert jeweils direkt bestimmen. 2. In a) folgt aus \(A(0;7)\) zunächst \(b=7\). Mit \(B(2;63)\) gilt dann \(63=7a^2\), also \(a^2=9\) und wegen \(a>0\) somit \(a=3\). 3. In b) folgt aus \(A(0;200)\) zunächst \(b=200\). Mit \(B(-1;50)\) gilt dann \(50=200a^{-1}=\frac{200}{a}\), also \(a=4\).

a) \(b=7\); \(a=3\) b) \(b=200\); \(a=4\)

- Welche zwei Gleichungen erhältst du, wenn du beide Punkte in \(f(x)=b\cdot a^x\) einsetzt? - Wie kannst du durch Division den Vorfaktor beseitigen? - Wenn die Funktion feststeht, wie erhältst du die fehlenden Funktionswerte?

1. Aus den beiden Punkten folgen die Gleichungen \(18=ba^2\) und \(162=ba^4\). 2. Durch Division erhält man \(\frac{162}{18}=\frac{ba^4}{ba^2}\), also \(9=a^2\). Wegen \(a>0\) ist \(a=3\). 3. Mit \(18=b\cdot3^2\) folgt \(b=2\). Damit lautet die Funktion \(f(x)=2\cdot3^x\). 4. Es ist \(y_C=f(0)=2\) und \(y_D=f(-1)=\frac{2}{3}\).

\(f(x)=2\cdot3^x\) \(y_C=2\), \(y_D=\frac{2}{3}\)

- Zwischen dem ersten und dem letzten Wert liegen vier gleich lange Wachstumsintervalle. - Welcher Potenz von \(a\) entspricht deshalb der gesamte Faktor vom ersten zum letzten Messwert? - Verwende für den Vergleich möglichst den ungerundeten Faktor und runde erst das Endergebnis.

1. Über vier gleiche Schritte gilt \(80a^4=270\). Also ist \(a=\sqrt[4]{\frac{270}{80}}=\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\approx1{,}355\). 2. Das geschätzte Modell lautet \(M(t)=80\cdot\left(\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\right)^t\), näherungsweise \(M(t)=80\cdot1{,}355^t\). 3. Mit dem ungerundeten Faktor ergibt sich \(M(2)\approx146{,}97\). Der gemessene Wert ist \(146\); die Abweichung beträgt also nur etwa \(0{,}97\).

\(a\approx1{,}355\); \(M(t)=80\cdot\left(\sqrt[4]{\frac{27}{8}}\right)^t\). Für \(t=2\) gilt \(M(2)\approx146{,}97\), also liegt das Modell etwa \(0{,}97\) über dem Messwert.

- Achte im Bild darauf, welche Modellkurve über mehrere Zeitpunkte nahe an den Messpunkten bleibt. - Nutze die angegebenen Messwerte bei \(t=2\) und \(t=3\) und vergleiche sie mit beiden Modellwerten. - Verwende für die Abweichung den Betrag der Differenz zwischen Modellwert und Messwert. - Überlege bei c), ob ein Modell, das nur einen Punkt trifft, deshalb schon die Entwicklung der übrigen Messwerte gut beschreibt.

1. In der Abbildung verläuft die exponentielle Kurve \(e\) durchgehend nahe an den Messpunkten, während die lineare Gerade \(l\) besonders in der Mitte sichtbar höher liegt. 2. Bei \(t=2\) beträgt der Messwert \(82\). Das lineare Modell liefert \(l(2)=90\), also eine absolute Abweichung von \(8\). Das exponentielle Modell liefert \(e(2)=52\cdot1{,}25^2=81{,}25\), also eine Abweichung von \(0{,}75\). 3. Bei \(t=3\) beträgt der Messwert \(102\). Es gilt \(l(3)=109\), also beträgt die Abweichung \(7\). Für das exponentielle Modell ist \(e(3)=52\cdot1{,}25^3=101{,}5625\), also beträgt die Abweichung \(0{,}4375\). 4. An beiden überprüften Zeitpunkten liegt \(e\) deutlich näher am Messwert; auch die übrigen Punkte liegen in der Abbildung nahe an \(e\). Deshalb beschreibt das exponentielle Modell die Messreihe besser. 5. Ein einzelner Treffer kann zufällig oder durch die Wahl der Modellparameter entstehen. Für eine Modellentscheidung muss die Passung über mehrere Messpunkte betrachtet werden.

a) Das exponentielle Modell \(e\) passt insgesamt besser. b) Bei \(t=2\): Abweichung \(l\): \(8\), Abweichung \(e\): \(0{,}75\). Bei \(t=3\): Abweichung \(l\): \(7\), Abweichung \(e\): \(0{,}4375\). c) Ein einzelner Treffer bewertet nicht die Passung der gesamten Messreihe; mehrere Messpunkte müssen berücksichtigt werden.

- Die beiden Werte zum Aufstellen des Modells liegen zwei Zeiteinheiten auseinander. Welcher Potenz des Faktors entspricht ihr Verhältnis? - Lies den späteren Kontrollmesswert direkt am markierten Punkt \(P\) ab; er wurde nicht zum Bestimmen des Modells verwendet. - Vergleiche Modellwert und Kontrollmesswert erst nach dem Aufstellen des Modells. - Für die relative Abweichung ist der gemessene Kontrollwert der Bezugswert.

1. Aus \(216=150a^2\) folgt \(a^2=1{,}44\) und damit \(a=1{,}2\). 2. Aus der Abbildung liest man für den Kontrollpunkt \(P\) bei \(t=4\) den Messwert \(300\) ab. 3. Das Modell lautet \(N(t)=150\cdot1{,}2^t\). Für \(t=4\) ergibt sich \(N(4)=150\cdot1{,}2^4=311{,}04\). 4. Die absolute Abweichung vom Kontrollmesswert beträgt \(311{,}04-300=11{,}04\). Relativ zum Messwert sind das \(\frac{11{,}04}{300}\cdot100\,\%=3{,}68\,\%\). 5. Da \(3{,}68\,\%\le5\,\%\) ist, besteht das Modell den vorgegebenen Test.

a) \(a=1{,}2\) b) \(N(4)=300\) als Kontrollmesswert. c) Modellwert \(311{,}04\); relative Abweichung \(3{,}68\,\%\). d) Ja. Die Abweichung liegt unter \(5\,\%\).

- Stelle für jeden gegebenen Punkt eine Gleichung in \(a\) und \(b\) auf. - Welche Variable lässt sich aus einer der beiden Gleichungen besonders einfach ausdrücken? - Prüfe beim Rückwärtseinsetzen, wie sich negative Exponenten auf den Wachstumsfaktor auswirken.

1. Aus den Punktkoordinaten folgen \(4=ba\) und \(32=ba^{-2}\). 2. Aus \(4=ba\) folgt \(b=\frac{4}{a}\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich \(32=\frac{4}{a}a^{-2}=4a^{-3}=\frac{4}{a^3}\). 3. Damit ist \(a^3=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\) und somit \(a=0{,}5\). 4. Aus \(b=\frac{4}{0{,}5}\) folgt \(b=8\). Die Funktion lautet \(f(x)=8\cdot0{,}5^x\). 5. Es ist \(f(2)=8\cdot0{,}5^2=2\) und \(f(-3)=8\cdot0{,}5^{-3}=64\).

\(a=0{,}5\), \(b=8\) \(R(2;2)\), \(S(-3;64)\)

- Überlege für jeden Monat, wie viele Einwohner noch nicht angemeldet sind. - Welche Größe wird von Monat zu Monat um denselben relativen Anteil kleiner: die Nutzerzahl oder die noch freie Differenz zur Grenze? - Kannst du die Entwicklung dieser Restdifferenz zunächst beschreiben, ohne schon eine fertige Funktionsgleichung vorzugeben? - Was muss für große \(x\) mit der Restdifferenz geschehen, damit die Nutzerzahl sich der Einwohnerzahl nähert?

1. Im ersten Monat kommen \(0{,}20(20\,000-2000)=3600\) Nutzer hinzu, also ist \(N(1)=5600\). Danach folgen \(N(2)=5600+0{,}20(20\,000-5600)=8480\) und \(N(3)=8480+0{,}20(20\,000-8480)=10\,784\). 2. Die Differenz zur Sättigungsgrenze beträgt anfangs \(18\,000\). Von dieser Differenz bleiben nach jedem Monat \(80\,\%\) übrig. Daher gilt \(N(x)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^x\). 3. \(N(12)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^{12}\approx18\,763\). 4. Der Term \(18\,000\cdot0{,}8^x\) bleibt positiv und wird mit wachsendem \(x\) immer kleiner. Deshalb nähert sich \(N(x)\) der Grenze \(20\,000\) von unten, ohne sie zu überschreiten.

a) Monat 1: \(5600\); Monat 2: \(8480\); Monat 3: \(10\,784\) b) \(N(x)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^x\) c) Etwa \(18\,763\) Nutzer; der Graph nähert sich \(20\,000\) von unten an und überschreitet die Grenze nicht.

- Trenne bei jedem Modell die Messwerte, die zum Festlegen der Parameter benutzt wurden, von dem Messwert, der zur Kontrolle übrig bleibt. - Setze für Modell A nur \(t=2\) und für Modell B nur \(t=4\) ein. - Vergleiche die Abweichungen relativ zum jeweiligen Messwert, weil die beiden Kontrollwerte unterschiedlich groß sind. - Überlege bei d), wie sicher eine Modellentscheidung ist, die auf nur einem Kontrollpunkt pro Modell beruht.

1. Modell A verwendet die Messwerte bei \(t=0\) und \(t=4\); nicht verwendet wurde der Punkt \((2\mid126)\). Modell B verwendet \(t=0\) und \(t=2\); nicht verwendet wurde der Punkt \((4\mid205)\). 2. Für Modell A gilt \(A(2)=80\cdot\sqrt{\frac{205}{80}}=\sqrt{80\cdot205}\approx128{,}06\). Die relative Abweichung vom Messwert \(126\) beträgt \(\frac{|128{,}06-126|}{126}\cdot100\,\%\approx1{,}6\,\%\). 3. Für Modell B gilt \(B(4)=80\cdot\left(\frac{126}{80}\right)^2=198{,}45\). Die relative Abweichung vom Messwert \(205\) beträgt \(\frac{|198{,}45-205|}{205}\cdot100\,\%\approx3{,}2\,\%\). 4. Nach diesem Validierungskriterium schneidet Modell A besser ab, weil seine relative Abweichung am nicht verwendeten Punkt kleiner ist. 5. Die Entscheidung bleibt vorläufig, weil jedes Modell nur an einem einzelnen zurückgehaltenen Messpunkt geprüft wurde und die Prüfzeitpunkte verschieden sind. Weitere Messpunkte, die bei keiner Modellbildung verwendet wurden, würden einen belastbareren Vergleich ermöglichen.

a) Modell A: nicht verwendet \((2\mid126)\). Modell B: nicht verwendet \((4\mid205)\). b) Modell A: etwa \(1{,}6\,\%\) relative Abweichung. Modell B: etwa \(3{,}2\,\%\). c) Nach diesem Kriterium schneidet Modell A besser ab. d) Die Aussage ist vorläufig, weil jeweils nur ein anderer, nicht verwendeter Messpunkt geprüft wird. Zusätzliche unabhängige Kontrollmessungen würden den Vergleich zuverlässiger machen.

- Trenne zuerst bewusst die Daten, mit denen du das Modell festlegst, von denen, mit denen du es später prüfst. - Welche Wahl von Modellbildungspunkten nutzt die Entwicklung über den Beobachtungszeitraum sinnvoll, ohne alle Daten zu verbrauchen? - Bei der Validierung sollte der Messwert der Bezugswert für die relative Abweichung sein. - Prüfe nicht nur, ob das Modell die von dir gewählten Modellbildungspunkte trifft; das ist durch die Konstruktion bereits garantiert.

1. Eine sinnvolle Möglichkeit ist, die Randpunkte \((0;100)\) und \((5;304)\) zur Modellbildung zu verwenden, weil sie den gesamten Beobachtungszeitraum aufspannen. Dann ist \(b=100\) und aus \(304=100a^5\) folgt \(a=\sqrt[5]{3{,}04}\approx1{,}249\). 2. Das Modell lautet damit \(M(t)=100(\sqrt[5]{3{,}04})^t\). 3. Für den nicht verwendeten Messpunkt bei \(t=2\) ergibt sich \(M(2)\approx156{,}01\). Die relative Abweichung von \(157\) beträgt \(\frac{|156{,}01-157|}{157}\cdot100\,\%\approx0{,}63\,\%\). 4. Für \(t=4\) ergibt sich \(M(4)\approx243{,}39\). Die relative Abweichung von \(246\) beträgt \(\frac{|243{,}39-246|}{246}\cdot100\,\%\approx1{,}06\,\%\). 5. Die geprüften, nicht zur Modellbildung verwendeten Werte werden mit kleinen relativen Abweichungen getroffen. Damit ist ein exponentielles Modell für den beobachteten Zeitraum plausibel. Andere begründete Punktauswahlen sind ebenfalls möglich, wenn die anschließende Validierung getrennt erfolgt.

a) Beispiel mit \((0;100)\) und \((5;304)\): \(M(t)=100(\sqrt[5]{3{,}04})^t\) mit \(a\approx1{,}249\). Die Randpunkte spannen den gesamten Beobachtungszeitraum auf. b) Zum Beispiel bei \(t=2\): etwa \(0{,}63\,\%\) relative Abweichung; bei \(t=4\): etwa \(1{,}06\,\%\). Andere nicht zur Modellbildung verwendete Messpunkte sind zulässig. c) Das exponentielle Modell ist für den beobachteten Zeitraum plausibel. Andere klar getrennte und begründete Modellierungs- und Validierungswahlen sind zulässig.

- Suche zuerst nach einem Abschnitt, in dem die relativen Änderungen ungefähr stabil wirken, statt sofort alle Messwerte mit einem Modell erzwingen zu wollen. - Halte bewusst Messwerte zurück, damit du dein Modell an Daten prüfen kannst, die es nicht schon durch die Konstruktion trifft. - Betrachte neben numerischen Abweichungen auch die sachliche Kapazitätsgrenze. - Eine gute Modellentscheidung umfasst nicht nur einen Term, sondern auch eine Aussage darüber, wo der Term nicht mehr vertrauenswürdig ist.

1. Eine mögliche Wahl ist der frühe Bereich \(t=0\) bis \(t=3\). Mit den Randpunkten \((0;60)\) und \((3;132)\) gilt \(b=60\) und \(132=60a^3\). Daher ist \(a=\sqrt[3]{2{,}2}\approx1{,}301\) und \(M(t)=60(\sqrt[3]{2{,}2})^t\). 2. Im gewählten frühen Bereich liefert das Modell \(M(1)\approx78{,}04\) und \(M(2)\approx101{,}49\); das liegt nahe bei den Messwerten \(78\) und \(102\). 3. Für spätere, nicht zur Modellbildung verwendete Werte ergibt sich \(M(4)\approx171{,}68\), also etwa \(7{,}30\,\%\) relative Abweichung von \(160\). Für \(t=5\) gilt \(M(5)\approx223{,}28\), also etwa \(21{,}35\,\%\) Abweichung von \(184\). Bei \(t=6\) liefert das Modell \(M(6)=290{,}40\), obwohl die Kapazitätsgrenze nur \(220\) beträgt. 4. Das exponentielle Modell beschreibt die frühe Phase gut, verliert aber mit zunehmender Zeit deutlich an Plausibilität. Spätestens vor \(t=6\) muss es verworfen oder überarbeitet werden; schon die wachsenden Abweichungen bei \(t=4\) und \(t=5\) zeigen die beginnende Modellgrenze. 5. Eine Prognose für \(t=7\) mit demselben Modell ist nicht vertretbar, weil das Modell bereits vorher die sachliche Kapazitätsgrenze verletzt. Ein überarbeitetes Modell müsste eine obere Begrenzung beziehungsweise eine mit wachsender Auslastung abnehmende Zunahme berücksichtigen.

a) Beispielstrategie: früher Bereich \(t=0\) bis \(t=3\), bestimmt mit \((0;60)\) und \((3;132)\). Dann ist \(M(t)=60(\sqrt[3]{2{,}2})^t\) mit \(a\approx1{,}301\). b) Zum Beispiel bei \(t=4\): etwa \(7{,}30\,\%\), bei \(t=5\): etwa \(21{,}35\,\%\) relative Abweichung; bei \(t=6\) sagt das Modell \(290{,}40\) voraus und überschreitet damit die Kapazitätsgrenze \(220\). c) Das Modell eignet sich nur für die frühe Phase; spätestens vor \(t=6\) muss es verworfen oder überarbeitet werden. d) Eine Prognose für \(t=7\) ist mit demselben Modell nicht vertretbar. Ein überarbeitetes Modell muss die obere Begrenzung beziehungsweise eine mit zunehmender Auslastung abnehmende Zunahme berücksichtigen. Andere begründete Modellierungsstrategien sind zulässig.