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- Überlege dir, welcher Wert den Bestand am Anfang beschreibt. - Wie verändert sich der Bestand von Jahr 0 zu Jahr 1 mathematisch gesehen? - Welche allgemeine Form hat eine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum? - Wie kannst du den Faktor berechnen, mit dem der Anfangswert multipliziert werden muss, um den Wert nach einem Jahr zu erhalten?

1. Identifikation des Anfangswertes zum Zeitpunkt \(t = 0\): \(a = 40\). 2. Berechnung des Wachstumsfaktors \(b\) unter Verwendung des Wertes nach einem Jahr (\(t = 1\)): \(40 \cdot b^1 = 48\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(b = \frac{48}{40} = 1{,}2\). 4. Einsetzen des Anfangswertes und des Wachstumsfaktors in die allgemeine Form \(f(t) = ab^t\): \(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\).

\(f(t) = 40 \cdot 1{,}2^t\)

- Welche Art von Folge beschreibt exponentielles Wachstum? - Wie viele Schritte liegen zwischen dem Startwert und dem Wert nach einer Woche? - Wie berechnet man den Faktor, mit dem man von einem Tag zum nächsten gelangt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln.

1. Identifikation der gegebenen Werte: Der Anfangswert ist \(b_0 = 2\) und der Wert nach sieben Schritten ist \(b_7 = 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für den täglichen Wachstumsfaktor \(q\): \(b_7 = b_0 q^7 \implies 10 = 2 \cdot q^7 \implies q^7 = 5\). 3. Berechnung des Wachstumsfaktors: \(q = \sqrt[7]{5} \approx 1{,}2585\). 4. Berechnung der sechs Zwischenwerte \(b_n = 2(\sqrt[7]{5})^n\): - Tag 1: \(b_1 = 2\sqrt[7]{5} \approx 2{,}52\,\text{m}^2\) - Tag 2: \(b_2 = 2\sqrt[7]{25} \approx 3{,}17\,\text{m}^2\) - Tag 3: \(b_3 = 2\sqrt[7]{125} \approx 3{,}99\,\text{m}^2\) - Tag 4: \(b_4 = 2\sqrt[7]{625} \approx 5{,}02\,\text{m}^2\) - Tag 5: \(b_5 = 2\sqrt[7]{3125} \approx 6{,}31\,\text{m}^2\) - Tag 6: \(b_6 = 2\sqrt[7]{15\,625} \approx 7{,}95\,\text{m}^2\)

Die Flächeninhalte betragen (gerundet): \(2{,}52\,\text{m}^2\); \(3{,}17\,\text{m}^2\); \(3{,}99\,\text{m}^2\); \(5{,}02\,\text{m}^2\); \(6{,}31\,\text{m}^2\) und \(7{,}95\,\text{m}^2\). Exakt: \(2\sqrt[7]{5^1}, 2\sqrt[7]{5^2}, 2\sqrt[7]{5^3}, 2\sqrt[7]{5^4}, 2\sqrt[7]{5^5}, 2\sqrt[7]{5^6}\).

- Wie verändern sich die Werte von einem Zeitschritt zum nächsten? Ist es immer die gleiche Differenz oder das gleiche Verhältnis? - Was bedeutet der Wert bei der Zeit Null für deine Formel? - Wie hängen der Wachstumsfaktor und die prozentuale Steigerung zusammen? - Setze die gesuchten Zeitpunkte einfach für die Variable in deine gefundene Gleichung ein.

1. Prüfung des Wachstumsverhaltens durch Quotientenbildung benachbarter Werte: \(\frac{600}{400} = 1{,}5\); \(\frac{900}{600} = 1{,}5\); \(\frac{1350}{900} = 1{,}5\). Da die Quotienten konstant sind, liegt exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor \(b = 1{,}5\) vor. 2. Der Anfangswert \(a\) ist der Funktionswert bei \(t = 0\), also \(a = 400\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = 400 \cdot 1{,}5^t\). 4. Berechnung für \(t = 5\): \(N(5) = 400 \cdot 1{,}5^5 = 400 \cdot 7{,}59375 = 3037{,}5 \approx 3038\). 5. Berechnung für \(t = 8\): \(N(8) = 400 \cdot 1{,}5^8 = 400 \cdot 25{,}62890625 = 10\,251{,}5625 \approx 10\,252\). 6. Die prozentuale Zunahme ergibt sich aus \(b - 1 = 1{,}5 - 1 = 0{,}5\), was einer Zunahme von \(50\,\%\) entspricht.

a) \(a = 400\), \(b = 1{,}5\) (da \(\frac{600}{400} = \frac{900}{600} = \dots = 1{,}5\)) b) \(N(t) = 400 \cdot 1{,}5^t\) c) Nach 5 Stunden: ca. \(3038\) Bakterien; nach 8 Stunden: ca. \(10\,252\) Bakterien d) Die Zunahme beträgt \(50\,\%\) pro Stunde.

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Wie kannst du eine Gleichung nach der Basis auflösen, wenn diese eine Hochzahl hat? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere für negative und rationale Exponenten. - Kannst du die Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Wurzeln leichter zu erkennen?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(x; y)\) in die Funktionsgleichung \(y = b^x\) und Auflösen nach \(b\). 2. Für \(P(4; 81)\): \(81 = b^4 \implies b = \sqrt[4]{81} = 3\). 3. Für \(Q(-3; 0{,}125)\): \(0{,}125 = b^{-3} \implies \frac{1}{8} = \frac{1}{b^3} \implies b^3 = 8 \implies b = 2\). 4. Für \(R(1{,}5; 8)\): \(8 = b^{1{,}5} \implies 8 = b^{\frac{3}{2}} \implies b = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).

a) \(b = 3\) b) \(b = 2\) c) \(b = 4\)

- Welchen Wert hat jede Basis hoch null? Wie hilft dir das beim ersten Punkt? - Setze den gefundenen Wert für \(c\) in die allgemeine Form ein, bevor du den zweiten Punkt nutzt. - Wie löst man eine Gleichung auf, in der die Unbekannte im Nenner steht oder ein Quadrat ist?

1. Nutze den Punkt mit \(x = 0\), um den Startwert \(c\) direkt zu bestimmen, da \(a^0 = 1\) gilt. 2. Setze \(c\) und den zweiten Punkt in die Gleichung ein, um \(a\) zu berechnen. 3. Fall a): \(f(0) = 7 \implies c = 7\). Einsetzen von \(B(2; 63)\): \(63 = 7 \cdot a^2 \implies 9 = a^2 \implies a = 3\). 4. Fall b): \(f(0) = 200 \implies c = 200\). Einsetzen von \(B(-1; 50)\): \(50 = 200 \cdot a^{-1} \implies 50 = \frac{200}{a} \implies a = \frac{200}{50} = 4\).

a) \(c = 7\); \(a = 3\) b) \(c = 200\); \(a = 4\)

- Kannst du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um zwei Gleichungen zu erhalten? - Wie kannst du durch Division der beiden Gleichungen eine der Unbekannten eliminieren? - Denke daran, dass die Basis einer Exponentialfunktion immer positiv sein muss. - Wenn du die Funktionsgleichung hast, wie findest du dann den Funktionswert an einer bestimmten Stelle?

1. Aufstellen eines Gleichungssystems mit den gegebenen Punkten: \(18 = ca^2\) und \(162 = ca^4\). 2. Division der Gleichungen führt zu \(\frac{162}{18} = \frac{ca^4}{ca^2}\), woraus \(9 = a^2\) folgt. Da bei Exponentialfunktionen \(a > 0\) gilt, ergibt sich \(a = 3\). 3. Einsetzen von \(a = 3\) in die erste Gleichung: \(18 = c \cdot 3^2 = 9c\), woraus \(c = 2\) resultiert. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). 4. Berechnung der fehlenden Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte: \(y_C = f(0) = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2\) und \(y_D = f(-1) = 2 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2 \cdot 3^x\). Die fehlenden Koordinaten sind \(y_C = 2\) und \(y_D = \frac{2}{3}\).

- Achte beim Anfangsunterschied auf das Vorzeichen der Minustemperatur. - Nutze den Wert nach 10 Minuten, um den Faktor für einen Zehn-Minuten-Schritt oder direkt für eine Minute zu finden. - Die Torte nähert sich der Umgebungstemperatur von unten an – wie berechnest du dann ihre Temperatur aus dem Unterschied? - In der Wertetabelle kannst du ausnutzen, dass sich der Unterschied alle 10 Minuten um denselben Faktor (hier \(0{,}8\)) ändert.

1. Anfangsunterschied: \(D_0 = 22 - (-18) = 40\,^\circ\text{C}\). 2. Bestimmung des Abnahmefaktors \(a\): \(40 \cdot a^{10} = 32 \Rightarrow a^{10} = 0{,}8 \Rightarrow a = \sqrt[10]{0{,}8} \approx 0{,}9779\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 40 \cdot 0{,}9779^x\). 3. Temperatur nach \(30\) Minuten: \(f(30) = 40 \cdot (a^{10})^3 = 40 \cdot 0{,}8^3 = 40 \cdot 0{,}512 = 20{,}48\,^\circ\text{C}\) (Unterschied). Die Tortentemperatur ist \(22 - 20{,}48 = 1{,}52\,^\circ\text{C}\). 4. Wertetabelle für den Unterschied: \(x = 0: 40\,^\circ\text{C}\) \(x = 20: 40 \cdot 0{,}8^2 = 25{,}6\,^\circ\text{C}\) \(x = 40: 40 \cdot 0{,}8^4 = 16{,}384\,^\circ\text{C}\) \(x = 60: 40 \cdot 0{,}8^6 \approx 10{,}49\,^\circ\text{C}\)

a) \(40\,^\circ\text{C}\) b) \(a \approx 0{,}978\); \(f(x) = 40 \cdot 0{,}978^x\) (oder exakt \(f(x) = 40 \cdot (\sqrt[10]{0{,}8})^x\)) c) \(1{,}52\,^\circ\text{C}\) d) \(0\,\text{min}: 40\,^\circ\text{C}\); \(20\,\text{min}: 25{,}6\,^\circ\text{C}\); \(40\,\text{min}: 16{,}38\,^\circ\text{C}\); \(60\,\text{min}: 10{,}49\,^\circ\text{C}\).

- Achte darauf, dass die Zeitabstände in der Tabelle zwei Jahre betragen. Wie findest du daraus den Faktor für nur ein Jahr? - Ein negativer Zeitwert bedeutet einen Blick in die Vergangenheit. - Der Prozentsatz des verbleibenden Wertes hängt nur vom Wachstums- oder Abnahmefaktor und der Zeit ab, nicht vom Startwert. - Überlege, ob das Ergebnis bei einem Wertverlust kleiner oder größer als der Startwert sein muss.

1. Bestimmung des Faktors für zwei Jahre: \(\frac{V(2)}{V(0)} = \frac{768}{1200} = 0{,}64\). Da \(b^2 = 0{,}64\), folgt für den jährlichen Abnahmefaktor \(b = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 2. Der Anfangswert bei \(t = 0\) ist \(a = 1200\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = 1200 \cdot 0{,}8^t\). 3. Wert nach 6 Jahren: \(V(6) = 1200 \cdot 0{,}8^6 = 1200 \cdot 0{,}262144 = 314{,}5728 \approx 314{,}57\,\text{€}\). 4. Wert bei \(t = -1\): \(V(-1) = 1200 \cdot 0{,}8^{-1} = \frac{1200}{0{,}8} = 1500\,\text{€}\). 5. Wert nach 10 Jahren: \(V(10) = 1200 \cdot 0{,}8^{10} \approx 1200 \cdot 0{,}10737 \approx 128{,}85\,\text{€}\). 6. Prozentsatz nach 10 Jahren: \(0{,}8^{10} \approx 0{,}1074\), das entspricht ca. \(10{,}74\,\%\) des Anfangswertes.

a) \(b = 0{,}8\); \(V(t) = 1200 \cdot 0{,}8^t\) b) ca. \(314{,}57\,\text{€}\) c) \(1500\,\text{€}\) d) Nach 10 Jahren beträgt der Wert ca. \(128{,}85\,\text{€}\). Das sind ca. \(10{,}74\,\%\) des Anfangswertes.

- Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf. - Kannst du eine Variable isolieren und in die andere Gleichung einsetzen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung der Basis? - Setze die bekannten \(x\)-Werte in deine fertige Funktionsgleichung ein, um die \(y\)-Werte zu erhalten.

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung: \(4 = ca^1\) und \(32 = ca^{-2}\). 2. Auflösen nach \(c\) aus der ersten Gleichung: \(c = \frac{4}{a}\). Einsetzen in die zweite Gleichung: \(32 = \frac{4}{a} \cdot a^{-2} = 4 \cdot a^{-3} = \frac{4}{a^3}\). 3. Umstellen nach \(a^3\): \(a^3 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(a = 0{,}5\). 4. Bestimmen von \(c\): \(c = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Die Gleichung ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^x\). 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: Für \(x = 2\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^2 = 8 \cdot 0{,}25 = 2\). Für \(x = -3\) ist \(y = 8 \cdot 0{,}5^{-3} = 8 \cdot 8 = 64\).

Die Parameter sind \(a = 0{,}5\) und \(c = 8\). Die vervollständigten Punkte lauten \(R(2; 2)\) und \(S(-3; 64)\).

- Überlege für jeden Monat: Wie viele Menschen haben die App noch nicht? - Nimm von diesen „Nicht-Nutzern“ \(20\,\%\) und addiere sie zur bisherigen Nutzerzahl. - Die Formel für dieses Wachstum sieht so aus: Sättigungswert minus Restdifferenz, die exponentiell abnimmt. - Was passiert im Graphen, wenn die Kurve sich der oberen gestrichelten Linie nähert?

1. Berechnung der Nutzerzahlen: - Monat 0: \(2000\) - Monat 1: \(2000 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 2000) = 2000 + 3600 = 5600\) - Monat 2: \(5600 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 5600) = 5600 + 2880 = 8480\) - Monat 3: \(8480 + 0{,}20 \cdot (20\,000 - 8480) = 8480 + 2304 = 10\,784\) 2. Die Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum lautet allgemein \(N(x) = S - (S - N_0)(1 - k)^x\). Hier: \(S = 20\,000\), \(N_0 = 2000\), \(k = 0{,}20\). Also \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). 3. Nutzerzahl nach 12 Monaten: \(N(12) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^{12} \approx 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}0687 \approx 18\,763\). 4. Da die Anzahl der Neuanmeldungen immer ein Bruchteil des noch verfügbaren Potentials ist und dieses Potential (die Differenz zu \(20\,000\)) zwar immer kleiner wird, aber theoretisch nie ganz verschwindet, nähert sich der Graph der Grenze von \(20\,000\) nur an, ohne sie zu erreichen oder zu überschreiten.

a) Die Nutzerzahlen sind: Monat 1: \(5600\); Monat 2: \(8480\); Monat 3: \(10\,784\). b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(x) = 20\,000 - 18\,000 \cdot 0{,}8^x\). c) Nach einem Jahr werden ca. \(18\,763\) Nutzer erwartet. Da die Zunahme proportional zum noch verfügbaren Potential ist, nähert sich die Kurve der Kapazitätsgrenze von \(20\,000\) Einwohnern nur asymptotisch an, kann sie aber nicht überschreiten, da es nicht mehr als \(20\,000\) Einwohner gibt.

- Prüfe, mit welcher Zahl man jeweils multiplizieren muss, um von einem Wert zum nächsten zu gelangen. - Der Anfangswert \(a\) entspricht dem Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\). - Setze für die Prognose den entsprechenden Zeitwert in deine gefundene Formel ein.

1. Überprüfung des Wachstumsfaktors: Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind \(\frac{30}{10} = 3\), \(\frac{90}{30} = 3\) und \(\frac{270}{90} = 3\). Da der Faktor konstant ist, liegt exponentielles Wachstum mit \(b = 3\) vor. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der Anfangswert bei \(t = 0\) ist \(a = 10\). Mit \(b = 3\) lautet die Gleichung \(y = 10 \cdot 3^t\). 3. Berechnung für Woche 4: Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(y = 10 \cdot 3^4 = 10 \cdot 81 = 810\).

a) Der Wachstumsfaktor beträgt \(b = 3\), da sich die Nutzerzahl jede Woche verdreifacht. b) Die Funktionsgleichung lautet \(y = 10 \cdot 3^t\). c) Am Ende der 4. Woche sind \(810\) Nutzer zu erwarten.