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- Stelle eine Tabelle auf, in der du Schritt für Schritt die Restmenge vom Vortag berechnest und die neue Dosis addierst. - Der Abbau von \(30\,\%\) bedeutet, dass noch \(70\,\%\) der Menge vorhanden sind. - Ein Gleichgewichtszustand herrscht dann, wenn die Abbaumenge genau der neu zugeführten Menge entspricht.

1. Berechnung der Bestände direkt nach der Einnahme mit \(x_n = x_{n-1} \cdot 0{,}7 + 20\): Tag 1: \(20\,\text{mg}\). Tag 2: \(20 \cdot 0{,}7 + 20 = 34\,\text{mg}\). Tag 3: \(34 \cdot 0{,}7 + 20 = 43{,}8\,\text{mg}\). Tag 4: \(43{,}8 \cdot 0{,}7 + 20 = 50{,}66\,\text{mg}\). Tag 5: \(50{,}66 \cdot 0{,}7 + 20 = 55{,}462\,\text{mg}\). 2. Vergleich der Werte: Am 4. Tag wird der Wert von \(50\,\text{mg}\) zum ersten Mal überschritten (\(50{,}66 > 50\)). 3. Bestimmung des Grenzwerts \(G\): \(G = G \cdot 0{,}7 + 20 \Rightarrow 0{,}3G = 20 \Rightarrow G = \frac{20}{0{,}3} = 66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

a) Mengen nach der Einnahme: Tag 1: \(20\,\text{mg}\); Tag 2: \(34\,\text{mg}\); Tag 3: \(43{,}8\,\text{mg}\); Tag 4: \(50{,}66\,\text{mg}\); Tag 5: \(55{,}462\,\text{mg}\). b) Nach 4 Tagen sind zum ersten Mal mehr als \(50\,\text{mg}\) vorhanden. c) Der langfristige Grenzwert beträgt \(66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

- Vergleiche die Menge, die täglich abgebaut wird, mit der Menge, die täglich neu hinzukommt. - Was müsste passieren, damit der Wert im Körper konstant bleibt? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor (die Abbaurate) vergrößerst?

1. Mit \(A_0 = 40\) und \(A_{n+1} = 0{,}8A_n + 5\) gilt: Nach Tag 1 sind \(40 \cdot 0{,}8 + 5 = 37\,\text{mg}\) vorhanden. Nach Tag 2 sind es \(37 \cdot 0{,}8 + 5 = 34{,}6\,\text{mg}\). 2. Für die Änderung gilt \(A_{n+1} - A_n = 5 - 0{,}2A_n\). Solange \(A_n > 25\) ist, ist diese Differenz negativ. Außerdem gilt \(A_{n+1} - 25 = 0{,}8(A_n - 25)\), sodass alle Folgenglieder oberhalb von \(25\) bleiben und sich diesem Wert nähern. Die Folge sinkt daher monoton gegen \(25\,\text{mg}\). 3. Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) erfüllt der Grenzwert \(L = 0{,}75L + 5\). Somit gilt \(0{,}25L = 5\) und \(L = 20\,\text{mg}\). Der Grenzwert würde sinken.

a) Nach dem ersten Tag: \(37\,\text{mg}\); nach dem zweiten Tag: \(34{,}6\,\text{mg}\). b) Für \(A_n > 25\,\text{mg}\) ist der tägliche Abbau größer als die Zufuhr. Die Menge sinkt monoton und stabilisiert sich bei \(25\,\text{mg}\). c) Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) würde der Grenzwert auf \(20\,\text{mg}\) sinken.

- Überlege zuerst, wie groß der Temperaturunterschied zwischen dem Tee und dem Zimmer am Anfang ist. - Wenn etwas um \(15\,\%\) abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann jeweils übrig? - Die Temperatur des Tees setzt sich aus der Umgebungstemperatur und der aktuellen Differenz zusammen. - Was passiert mit dem Tee, wenn er sehr lange im Zimmer steht? Kann er kälter als das Zimmer werden?

1. Bestimmung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 80\,^\circ\text{C} - 20\,^\circ\text{C} = 60\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Differenzen nach \(n\) Intervallen zu je \(5\,\text{min}\) mit dem Abnahmefaktor \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): - Nach \(5\,\text{min}\) (\(n=1\)): \(D_1 = 60 \cdot 0{,}85 = 51{,}0\,^\circ\text{C}\). - Nach \(10\,\text{min}\) (\(n=2\)): \(D_2 = 51{,}0 \cdot 0{,}85 = 43{,}35\,^\circ\text{C}\). - Nach \(15\,\text{min}\) (\(n=3\)): \(D_3 = 43{,}35 \cdot 0{,}85 \approx 36{,}85\,^\circ\text{C}\). - Nach \(20\,\text{min}\) (\(n=4\)): \(D_4 = 36{,}8475 \cdot 0{,}85 \approx 31{,}32\,^\circ\text{C}\). 3. Addition der Umgebungstemperatur zu den Differenzen: - \(T(5) = 20 + 51{,}0 = 71{,}0\,^\circ\text{C}\). - \(T(10) = 20 + 43{,}35 = 63{,}35\,^\circ\text{C}\). - \(T(15) \approx 20 + 36{,}85 = 56{,}85\,^\circ\text{C}\). - \(T(20) \approx 20 + 31{,}32 = 51{,}32\,^\circ\text{C}\). 4. Begründung der begrenzten Abnahme: Die Temperatur sinkt nicht gegen Null, sondern nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur von \(20\,^\circ\text{C}\) an, da die Differenz exponentiell abnimmt. 5. Die absolute Temperaturabnahme wird immer geringer, da sich die Abnahme von \(15\,\%\) stets auf eine kleiner werdende Differenz bezieht.

a) Nach \(5\,\text{min}\): \(71{,}0\,^\circ\text{C}\); nach \(10\,\text{min}\): \(63{,}35\,^\circ\text{C}\); nach \(15\,\text{min}\): ca. \(56{,}85\,^\circ\text{C}\); nach \(20\,\text{min}\): ca. \(51{,}32\,^\circ\text{C}\). b) Es ist eine begrenzte Abnahme, da die Temperatur nach unten durch die Umgebungstemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) begrenzt ist. Die Differenz nähert sich Null, die Gesamttemperatur also \(20\,^\circ\text{C}\). c) Die absolute Abnahme sinkt, da die Differenz, von der der prozentuale Anteil berechnet wird, immer kleiner wird.

- Überlege dir zuerst, wie man den „Freiraum“ im Wald mathematisch ausdrückt. - Der neue Bestand setzt sich immer aus dem alten Bestand plus dem berechneten Zuwachs zusammen. - Was passiert mit der Lücke zur Kapazitätsgrenze, wenn der Wald voller wird? - Schau dir die berechneten Zuwächse von Jahr zu Jahr an – werden sie größer oder kleiner?

1. Der Zuwachs beträgt \(0{,}25(4000 - B_n)\). Damit ergibt sich \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\). 2. Berechnung der Modellwerte ohne Zwischenrundung: - Jahr 0: \(B_0 = 800\) - Jahr 1: \(B_1 = 1600\) - Jahr 2: \(B_2 = 2200\) - Jahr 3: \(B_3 = 2650\) - Jahr 4: \(B_4 = 2987{,}5 \approx 2988\) - Jahr 5: \(B_5 = 3240{,}625 \approx 3241\) 3. Es liegt begrenztes Wachstum vor, da der Bestand eine obere Schranke von \(4000\) besitzt. Weil die Differenz zum Maximum immer kleiner wird, nimmt auch der jährliche Zuwachs ab und nähert sich Null an.

a) \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\) oder \(B_{n+1} = 0{,}75B_n + 1000\) b) Gerundet: \(B_1 = 1600\), \(B_2 = 2200\), \(B_3 = 2650\), \(B_4 \approx 2988\), \(B_5 \approx 3241\). c) Das Wachstum ist durch die Kapazität von \(4000\) Bäumen nach oben begrenzt. Der jährliche Zuwachs wird immer kleiner, je näher der Bestand der Grenze kommt.

- Welche Formel nutzt du für die Berechnung bei einem festen Prozentsatz? - Was braucht ein Lebewesen zum Überleben, das in einem Wald nur begrenzt vorhanden ist? - Stell dir vor, der Wald ist „voll“. Wie viele neue Kitze können dann noch erfolgreich aufwachsen?

1. Berechnung des Bestands nach \(15\) Jahren mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}12\): \(120 \cdot 1{,}12^{15} \approx 656{,}82\). Es gäbe ca. \(657\) Rehe. 2. Ein exponentielles Modell setzt unbegrenzte Ressourcen voraus. In der Realität begrenzen Faktoren wie das Nahrungsangebot, der verfügbare Lebensraum (Platz), die Ausbreitung von Krankheiten oder das Vorhandensein von Fressfeinden die Populationsgröße. 3. Wenn sich die Population der Sättigungsgrenze \(G\) nähert, nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab. Die jährliche Zunahme wird immer kleiner und nähert sich dem Wert \(0\) an, sodass der Bestand nahezu konstant bleibt.

a) Nach \(15\) Jahren gäbe es ca. \(657\) Rehe. b) Das Modell ist unrealistisch, da Ressourcen wie Nahrung und Platz begrenzt sind. Weitere Faktoren sind Krankheiten oder Fressfeinde. c) Die Wachstumsrate sinkt und nähert sich Null an; der Bestand stabilisiert sich nahe der Sättigungsgrenze.

- Setze die Zeitwerte in die Funktionsgleichung ein und vergleiche das Ergebnis mit der Seeoberfläche. - Kann eine Pflanze mehr Platz einnehmen, als der See groß ist? - Was passiert mit dem Wachstum, wenn kaum noch freie, unbesiedelte Stellen im See übrig sind?

1. Berechnung für Modell 1: Nach \(10\) Wochen: \(5 \cdot 1{,}5^{10} \approx 288{,}33\,\text{m}^2\). Nach \(20\) Wochen: \(5 \cdot 1{,}5^{20} \approx 16\,626{,}28\,\text{m}^2\). 2. Vergleich mit der Gesamtoberfläche: Da der See nur \(10\,000\,\text{m}^2\) groß ist, kann Modell 1 für \(t = 20\) nicht mehr gelten, weil der berechnete Wert die physikalisch mögliche Fläche überschreitet. 3. Biologische Systeme stoßen an Kapazitätsgrenzen wie Raum, Licht und Nährstoffe. Während das exponentielle Modell unbegrenztes Wachstum beschreibt, berücksichtigt das logistische Modell die Verlangsamung des Wachstums bei zunehmender Dichte und Ressourcenknappheit.

a) Nach \(10\) Wochen: ca. \(288{,}33\,\text{m}^2\); nach \(20\) Wochen: ca. \(16\,626{,}28\,\text{m}^2\). b) Modell 1 ist für \(t = 20\) nicht anwendbar, da die berechnete Fläche größer als die Seeoberfläche von \(10\,000\,\text{m}^2\) ist. c) Logistische Modelle sind sinnvoller, weil sie natürliche Sättigungsgrenzen wie begrenzten Lebensraum, Licht und Nährstoffe berücksichtigen.

- Kannst du eine Formel aufstellen, die den Bestand von einem Tag auf den nächsten beschreibt? - Was passiert mit der Wassermenge, wenn der tägliche Verlust genau so groß ist wie die tägliche Zufuhr? - Überlege dir, wie du die Wachstumsrate und den festen Zuwachs in einer Gleichung kombinieren kannst. - Für die Berechnung des Zeitpunkts könnte ein Logarithmus oder systematisches Probieren hilfreich sein.

1. Berechnung der ersten Werte mit der Rekursionsformel \(W_{n+1} = W_n \cdot 0{,}85 + 60\): Nach Tag 1: \(60\,\text{l}\). Nach Tag 2: \(60 \cdot 0{,}85 + 60 = 111\,\text{l}\). Nach Tag 3: \(111 \cdot 0{,}85 + 60 = 154{,}35\,\text{l}\). Nach Tag 4: \(154{,}35 \cdot 0{,}85 + 60 \approx 191{,}20\,\text{l}\). 2. Bestimmung des Grenzwerts \(L\): Im Gleichgewicht gilt \(L = L \cdot 0{,}85 + 60\). Auflösen nach \(L\): \(0{,}15L = 60 \implies L = \frac{60}{0{,}15} = 400\). Die Obergrenze liegt bei \(400\,\text{l}\). 3. Zeitpunkt für \(250\,\text{l}\) finden: Die explizite Formel lautet \(W_n = 400(1 - 0{,}85^n)\). Gleichung: \(250 = 400(1 - 0{,}85^n) \implies 0{,}625 = 1 - 0{,}85^n \implies 0{,}85^n = 0{,}375\). 4. Logarithmieren: \(n = \frac{\ln(0{,}375)}{\ln(0{,}85)} \approx 6{,}03\). Da die Zufuhr täglich erfolgt, ist der Wert am 7. Tag erstmals überschritten.

a) Nach zwei Tagen: \(111\,\text{l}\); nach drei Tagen: \(154{,}35\,\text{l}\); nach vier Tagen: ca. \(191{,}20\,\text{l}\). b) Die Obergrenze beträgt \(400\,\text{l}\). c) Nach \(7\) Tagen sind erstmals mehr als \(250\,\text{l}\) im Teich.

- Achte bei der Berechnung der Differenz auf das Vorzeichen der negativen Starttemperatur. - Die Temperatur berechnet sich aus: Zimmertemperatur minus aktuelle Differenz. - Erinnere dich daran, dass die Differenz exponentiell abnimmt. - Was bedeutet es für die Messbarkeit, wenn eine Differenz mathematisch zwar existiert, aber winzig klein wird?

1. Berechnung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 22 - (-12) = 34\,\text{K}\). Der Abnahmefaktor für die Differenz ist \(0{,}85\). 2. Berechnung der Werte mit \(T_n = 22 - 34 \cdot 0{,}85^n\): \(n=0: T_0 = -12\,^\circ\text{C}\) \(n=1: T_1 = 22 - 34 \cdot 0{,}85 = -6{,}9\,^\circ\text{C}\) \(n=2: T_2 = 22 - 34 \cdot 0{,}85^2 = -2{,}565\,^\circ\text{C}\) \(n=3: T_3 = 22 - 34 \cdot 0{,}85^3 \approx 1{,}12\,^\circ\text{C}\) 3. Für \(T_n > 15\,^\circ\text{C}\) muss die Differenz kleiner als \(7\,\text{K}\) sein. Aus \(34 \cdot 0{,}85^n < 7\) folgt \(n > \frac{\ln(7/34)}{\ln(0{,}85)} \approx 9{,}72\). Nach \(10\) Minuten ist die Temperatur erstmals höher als \(15\,^\circ\text{C}\). 4. Das Modell setzt eine konstante Raumtemperatur und einen über die gesamte Zeit konstanten relativen Abnahmefaktor der Temperaturdifferenz voraus. Diese Annahmen gelten real nur näherungsweise. Außerdem ist eine sehr kleine Differenz wegen der begrenzten Messauflösung praktisch nicht mehr feststellbar, obwohl das Modell mathematisch keine exakte Gleichheit mit \(22\,^\circ\text{C}\) liefert.

a) \(T_0 = -12\,^\circ\text{C}\), \(T_1 = -6{,}9\,^\circ\text{C}\), \(T_2 \approx -2{,}57\,^\circ\text{C}\), \(T_3 \approx 1{,}12\,^\circ\text{C}\). b) Nach \(10\) Minuten ist die Temperatur erstmals höher als \(15\,^\circ\text{C}\). c) Das Modell ist eine Idealisierung mit konstantem Abnahmefaktor und konstanter Umgebungstemperatur. In Messungen wird eine hinreichend kleine Differenz als nicht mehr unterscheidbar behandelt, obwohl sie im Modell nie exakt Null wird.