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- Vergleiche den vorhergesagten Wert direkt mit der gegebenen Kapazität. - Was bedeutet es für ein Modell, wenn es in der realen Situation unmögliche Werte liefert?

1. Der Modellwert \(525\) ist größer als die vorhandene Kapazität von \(480\) Sitzplätzen. 2. Eine reale Belegung von \(525\) Sitzplätzen ist in diesem Saal unmöglich. Das Modell ist für diesen Zeitpunkt daher nicht mehr sachgerecht und darf nicht unverändert weiter extrapoliert werden.

Der Modellwert ist unmöglich, weil \(525>480\) gilt. Das Modell hat seinen sachlichen Gültigkeitsbereich verlassen und sollte für diesen Zeitraum nicht unverändert weiterverwendet werden.

- Schau dir den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse an. - Gehe vom Wert 40 auf der y-Achse waagerecht zum Graphen und dann senkrecht nach unten zur Zeit-Achse. - Was passiert mit einer heißen Tasse, wenn sie lange in einem normal temperierten Raum steht?

1. Zum Zeitpunkt \(t = 0\,\text{min}\) lässt sich auf der y-Achse eine Temperatur von \(80\,^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Man sucht den Wert \(40\) auf der y-Achse und liest den zugehörigen x-Wert ab. Dies ist nach etwa \(10\,\text{Minuten}\) der Fall. 3. Die Umgebungstemperatur beträgt \(20\,^\circ\text{C}\). Je kleiner der Temperaturunterschied zur Umgebung wird, desto langsamer kühlt der Tee ab. Im dargestellten Modell nähert sich seine Temperatur daher langfristig \(20\,^\circ\text{C}\) an, ohne diesen Wert zu unterschreiten.

a) \(80\,^\circ\text{C}\). b) Nach ca. \(10\,\text{Minuten}\). c) Mit kleiner werdendem Temperaturunterschied verlangsamt sich die Abkühlung; im Modell nähert sich der Tee \(20\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an.

- Bestimme vor jedem Schritt zuerst, wie viel Speicherkapazität noch frei ist. - Der Zuwachs bezieht sich nicht auf die bereits gespeicherte Energie, sondern auf die verbleibende Differenz zur Kapazität. - Wie kannst du „alter Speicherstand plus ein Anteil der freien Kapazität“ mit \(S_n\) ausdrücken?

1. Zu Beginn sind \(80-20=60\,\text{kWh}\) Speicherkapazität frei. In der ersten Stunde kommen davon \(25\,\%\), also \(15\,\text{kWh}\), hinzu. Daher ist \(S_1=35\,\text{kWh}\). 2. Danach sind \(80-35=45\,\text{kWh}\) frei. In der zweiten Stunde kommen \(0{,}25\cdot45=11{,}25\,\text{kWh}\) hinzu. Somit ist \(S_2=46{,}25\,\text{kWh}\). 3. Allgemein beträgt die noch freie Kapazität nach \(n\) Stunden \(80-S_n\). Daher gilt \(S_{n+1}=S_n+0{,}25(80-S_n)\). 4. Je größer \(S_n\) wird, desto kleiner wird die Restdifferenz \(80-S_n\). Da nur \(25\,\%\) dieser Restdifferenz hinzukommen, wird auch der absolute Zuwachs kleiner.

a) \(S_1=35\,\text{kWh}\), \(S_2=46{,}25\,\text{kWh}\) b) \(S_{n+1}=S_n+0{,}25(80-S_n)\) c) Die freie Speicherkapazität wird kleiner; deshalb werden auch \(25\,\%\) davon von Stunde zu Stunde kleiner.

- Untersuche, um wie viele Grade die Temperatur in gleichen Zeitabschnitten sinkt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Werte nicht immer um denselben Betrag fallen? - Überlege, warum ein heißes Getränk irgendwann nicht mehr kälter wird.

1. Prüfung auf Linearität: Im Intervall \([0;2]\) beträgt die durchschnittliche Änderungsrate \((59-75):(2-0)=-8\,^\circ\text{C/min}\). Im Intervall \([2;4]\) beträgt sie \((47-59):(4-2)=-6\,^\circ\text{C/min}\). Da die Änderungsraten nicht konstant sind, ist die Zuordnung nicht linear. 2. Die Temperatur sinkt kontinuierlich. Zu Beginn kühlt der Kakao schneller ab; später wird die Abkühlung langsamer. Zwischen Minute 10 und Minute 15 beträgt die durchschnittliche Änderungsrate nur noch \((23-28):(15-10)=-1\,^\circ\text{C/min}\). 3. Die Zimmertemperatur muss unter \(23\,^\circ\text{C}\) liegen, weil der Kakao bei der letzten Messung noch abkühlt. Ein Wert von etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\) ist plausibel. Aus endlich vielen Messwerten lässt sich die genaue Zimmertemperatur ohne ein zusätzliches Abkühlungsmodell jedoch nicht eindeutig bestimmen.

a) Die Zuordnung ist nicht linear, weil die Temperaturabnahme pro Minute nicht konstant ist, zum Beispiel \(-8\,^\circ\text{C/min}\) am Anfang und \(-1\,^\circ\text{C/min}\) im letzten Intervall. b) Der Kakao kühlt anfangs schnell und später immer langsamer ab. c) Eine plausible Schätzung liegt bei etwa \(20\,^\circ\text{C}\) bis \(22\,^\circ\text{C}\). Der genaue Wert ist aus den Messdaten allein nicht eindeutig bestimmbar.

- Stelle eine Tabelle auf, in der du Schritt für Schritt die Restmenge vom Vortag berechnest und die neue Dosis addierst. - Der Abbau von \(30\,\%\) bedeutet, dass noch \(70\,\%\) der Menge vorhanden sind. - Ein Gleichgewichtszustand herrscht dann, wenn die Abbaumenge genau der neu zugeführten Menge entspricht.

1. Berechnung der Bestände direkt nach der Einnahme mit \(x_n = x_{n-1} \cdot 0{,}7 + 20\): Tag 1: \(20\,\text{mg}\). Tag 2: \(20 \cdot 0{,}7 + 20 = 34\,\text{mg}\). Tag 3: \(34 \cdot 0{,}7 + 20 = 43{,}8\,\text{mg}\). Tag 4: \(43{,}8 \cdot 0{,}7 + 20 = 50{,}66\,\text{mg}\). Tag 5: \(50{,}66 \cdot 0{,}7 + 20 = 55{,}462\,\text{mg}\). 2. Vergleich der Werte: Am 4. Tag wird der Wert von \(50\,\text{mg}\) zum ersten Mal überschritten (\(50{,}66 > 50\)). 3. Bestimmung des Grenzwerts \(G\): \(G = G \cdot 0{,}7 + 20 \Rightarrow 0{,}3G = 20 \Rightarrow G = \frac{20}{0{,}3} = 66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

a) Mengen nach der Einnahme: Tag 1: \(20\,\text{mg}\); Tag 2: \(34\,\text{mg}\); Tag 3: \(43{,}8\,\text{mg}\); Tag 4: \(50{,}66\,\text{mg}\); Tag 5: \(55{,}462\,\text{mg}\). b) Nach 4 Tagen sind zum ersten Mal mehr als \(50\,\text{mg}\) vorhanden. c) Der langfristige Grenzwert beträgt \(66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

- Beschreibe zuerst, wie aus der Wassermenge eines Tages die Wassermenge des nächsten Tages entsteht. - Für die Obergrenze suchst du einen Zustand, bei dem sich die Wassermenge von einem Tag zum nächsten nicht mehr ändert. - Für Teil c) reicht es, die Tageswerte in der Nähe von \(250\,\text{l}\) nacheinander zu vergleichen.

1. Mit \(W_0=0\) gilt \(W_{n+1}=0{,}85W_n+60\). Daher ist \(W_1=60\,\text{l}\), \(W_2=111\,\text{l}\), \(W_3=154{,}35\,\text{l}\) und \(W_4=191{,}1975\,\text{l}\approx191{,}20\,\text{l}\). 2. Für einen Grenzwert \(L\) gilt \(L=0{,}85L+60\). Daraus folgt \(0{,}15L=60\) und damit \(L=400\,\text{l}\). 3. Weiteres Berechnen ergibt \(W_5\approx222{,}52\,\text{l}\), \(W_6\approx249{,}14\,\text{l}\) und \(W_7\approx271{,}77\,\text{l}\). Damit werden \(250\,\text{l}\) am 7. Tag erstmals überschritten.

a) Nach zwei Tagen: \(111\,\text{l}\); nach drei Tagen: \(154{,}35\,\text{l}\); nach vier Tagen: \(191{,}20\,\text{l}\) b) \(400\,\text{l}\) c) Am 7. Tag

- Betrachte zuerst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Zimmer. - Eine Abnahme um \(15\,\%\) bedeutet, dass nach jedem Intervall \(85\,\%\) des bisherigen Unterschieds verbleiben. - Um aus dem Unterschied wieder die Teetemperatur zu erhalten, musst du die Umgebungstemperatur berücksichtigen. - Überlege für die langfristige Entwicklung, was mit einem immer wieder verkleinerten positiven Temperaturunterschied geschieht.

1. Die Anfangsdifferenz zur Umgebung beträgt \(80-20=60\,^\circ\text{C}\). Pro Fünf-Minuten-Intervall bleibt der Faktor \(0{,}85\). 2. Nach \(5\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85=51\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(71{,}00\,^\circ\text{C}\). 3. Nach \(10\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^2=43{,}35\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(63{,}35\,^\circ\text{C}\). 4. Nach \(15\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^3=36{,}8475\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(56{,}8475\,^\circ\text{C}\approx56{,}85\,^\circ\text{C}\). 5. Nach \(20\,\text{min}\) beträgt die Differenz \(60\cdot0{,}85^4=31{,}320375\,^\circ\text{C}\), also ist die Teetemperatur \(51{,}320375\,^\circ\text{C}\approx51{,}32\,^\circ\text{C}\). 6. Die Temperatur sinkt nicht gegen \(0\,^\circ\text{C}\), sondern nähert sich der Umgebungstemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) an. Deshalb ist die Abnahme nach unten begrenzt. 7. Die absolute Abnahme pro Intervall wird kleiner, weil sich die \(15\,\%\) jeweils auf eine kleiner werdende Temperaturdifferenz beziehen.

a) \(71{,}00\,^\circ\text{C}\), \(63{,}35\,^\circ\text{C}\), \(56{,}85\,^\circ\text{C}\), \(51{,}32\,^\circ\text{C}\) b) Die Temperatur nähert sich langfristig \(20\,^\circ\text{C}\); diese Umgebungstemperatur begrenzt die Abnahme. c) Die absolute Temperaturabnahme pro Fünf-Minuten-Intervall wird immer kleiner.

- Überlege dir zuerst, wie man den „Freiraum“ im Wald mathematisch ausdrückt. - Der neue Bestand setzt sich immer aus dem alten Bestand plus dem berechneten Zuwachs zusammen. - Was passiert mit der Lücke zur Kapazitätsgrenze, wenn der Wald voller wird? - Schau dir die berechneten Zuwächse von Jahr zu Jahr an – werden sie größer oder kleiner?

1. Der Zuwachs beträgt \(0{,}25(4000 - B_n)\). Damit ergibt sich \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\). 2. Berechnung der Modellwerte ohne Zwischenrundung: - Jahr 0: \(B_0 = 800\) - Jahr 1: \(B_1 = 1600\) - Jahr 2: \(B_2 = 2200\) - Jahr 3: \(B_3 = 2650\) - Jahr 4: \(B_4 = 2987{,}5 \approx 2988\) - Jahr 5: \(B_5 = 3240{,}625 \approx 3241\) 3. Es liegt begrenztes Wachstum vor, da der Bestand eine obere Schranke von \(4000\) besitzt. Weil die Differenz zum Maximum immer kleiner wird, nimmt auch der jährliche Zuwachs ab und nähert sich Null an.

a) \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25(4000 - B_n)\) oder \(B_{n+1} = 0{,}75B_n + 1000\) b) Gerundet: \(B_1 = 1600\), \(B_2 = 2200\), \(B_3 = 2650\), \(B_4 \approx 2988\), \(B_5 \approx 3241\). c) Das Wachstum ist durch die Kapazität von \(4000\) Bäumen nach oben begrenzt. Der jährliche Zuwachs wird immer kleiner, je näher der Bestand der Grenze kommt.

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer jährlichen Zunahme um \(12\,\%\)? - Welche Voraussetzungen müsste ein dauerhaft gleichbleibender relativer Zuwachs in einem abgegrenzten Lebensraum erfüllen? - Überlege für c), was mit der zusätzlich möglichen Anzahl neuer Tiere geschieht, wenn die Sättigungsgrenze fast erreicht ist.

1. Der Wachstumsfaktor beträgt \(a=1{,}12\). Nach \(15\) Jahren ergibt das Modell \(120\cdot1{,}12^{15}\approx656{,}82\), also etwa \(657\) Rehe. 2. Ein exponentielles Modell setzt voraus, dass der relative Zuwachs dauerhaft in gleicher Weise möglich ist. In einem abgegrenzten Waldgebiet begrenzen beispielsweise Nahrungsangebot, verfügbarer Lebensraum, Krankheiten oder Fressfeinde die Populationsgröße. 3. Wenn sich die Population der Sättigungsgrenze \(G\) nähert, wird die jährliche absolute Zunahme immer kleiner und nähert sich \(0\). Der Bestand verändert sich dann nur noch wenig.

a) Etwa \(657\) Rehe b) Das Modell ist langfristig unrealistisch, weil zum Beispiel Nahrung und Lebensraum begrenzt sind; auch Krankheiten oder Fressfeinde können das Wachstum begrenzen. c) Die jährliche absolute Zunahme wird immer kleiner und nähert sich \(0\).

- Setze beide Zeitwerte in das exponentielle Modell ein und vergleiche die Ergebnisse anschließend mit der gesamten Seeoberfläche. - Kann eine reale bedeckte Fläche größer sein als die verfügbare Fläche? - Beziehe deine Begründung in c) ausdrücklich auf die begrenzten Bedingungen dieses Sees und nicht auf biologische Prozesse im Allgemeinen.

1. Für \(t=10\) gilt \(f(10)=5\cdot1{,}5^{10}=288{,}3251953125\,\text{m}^2\approx288{,}33\,\text{m}^2\). 2. Für \(t=20\) gilt \(f(20)=5\cdot1{,}5^{20}=16\,626{,}283650398254\,\text{m}^2\approx16\,626{,}28\,\text{m}^2\). 3. Der See besitzt nur \(10\,000\,\text{m}^2\) Oberfläche. Deshalb ist Modell 1 für \(t=20\) nicht plausibel: Es sagt eine bedeckte Fläche voraus, die größer als die gesamte Seeoberfläche ist. 4. In diesem See sind Fläche, Licht und Nährstoffe begrenzt. Ein Modell mit Sättigungsgrenze kann diese konkrete Begrenzung berücksichtigen und deshalb für längere Zeiträume plausibler sein. Das bedeutet nicht, dass ein logistisches Modell in jedem biologischen Kontext automatisch geeignet ist.

a) Nach \(10\) Wochen etwa \(288{,}33\,\text{m}^2\); nach \(20\) Wochen etwa \(16\,626{,}28\,\text{m}^2\) b) Modell 1 ist bei \(t=20\) nicht plausibel, weil die berechnete Fläche größer als \(10\,000\,\text{m}^2\) ist. c) Hier bildet eine Sättigungsgrenze die endliche Seeoberfläche und weitere begrenzte Ressourcen ab; deshalb kann ein solches Modell langfristig plausibler sein.

- Überlege dir, wie sich die Temperaturdifferenz von einer Minute zur nächsten verändert. - Welchen Wert strebt die Temperatur langfristig an? - Kannst du den Term für den Anteil bestimmen, der nach einer Minute von der Differenz übrig bleibt? - Berechne die Folgenglieder nacheinander, bis die Zieltemperatur erstmals unterschritten wird.

1. Rekursive Vorschrift: \(T_{n+1} = T_n - 0{,}12(T_n - 21) = 0{,}88T_n + 2{,}52\) mit \(T_0 = 80\). 2. Explizite Formel: Die Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt anfangs \(59\) und wird pro Minute mit \(0{,}88\) multipliziert. Daher gilt \(T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n\). 3. Für den ersten Zeitpunkt unter \(45^\circ\text{C}\) werden die Folgenglieder schrittweise berechnet: \(T_7 \approx 45{,}112^\circ\text{C}\) \(T_8 \approx 42{,}218^\circ\text{C}\) Somit ist der Kaffee nach \(8\) Minuten zum ersten Mal kälter als \(45^\circ\text{C}\).

a) \( T_{n+1} = 0{,}88T_n + 2{,}52 \) mit \( T_0 = 80 \) b) \( T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n \) c) Nach \( 8 \) Minuten.

- Betrachte zunächst nur den Temperaturunterschied zwischen Tee und Umgebung. - Welche Restquote bleibt nach einer Verringerung um \(12\,\%\) jeweils übrig? - Was geschieht langfristig mit einem positiven Wert, der in jedem Schritt mit einem Faktor zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert wird?

1. Zu Beginn beträgt der Temperaturunterschied \(90\,^{\circ}\text{C}-18\,^{\circ}\text{C}=72\,^{\circ}\text{C}\). 2. Jede Minute bleiben \(88\,\%\) des vorherigen Unterschieds bestehen. Der Wachstumsfaktor für die Temperaturdifferenz ist daher \(a=0{,}88\). 3. Die Temperatur wird durch \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) beschrieben. 4. Nach \(5\) Minuten gilt \(T(5)=18+72\cdot0{,}88^5\approx56{,}0\,^{\circ}\text{C}\). 5. Nach \(10\) Minuten gilt \(T(10)=18+72\cdot0{,}88^{10}\approx38{,}1\,^{\circ}\text{C}\). 6. Für große \(x\) wird \(72\cdot0{,}88^x\) immer kleiner und nähert sich \(0\). Daher nähert sich \(T(x)\) der Umgebungstemperatur \(18\,^{\circ}\text{C}\).

a) Nach \(5\) Minuten etwa \(56{,}0\,^{\circ}\text{C}\); nach \(10\) Minuten etwa \(38{,}1\,^{\circ}\text{C}\) b) \(T(x)=18+72\cdot0{,}88^x\) c) Die Temperatur nähert sich \(18\,^{\circ}\text{C}\), also der Umgebungstemperatur.

- Lies zuerst die Höhe der gestrichelten horizontalen Linie an der \(y\)-Achse ab. - Suche danach im Diagramm den Bereich, in dem die Exponentialkurve diese Linie kreuzt. - Um die erste volle Woche sicher zu bestimmen, vergleiche zwei aufeinanderfolgende ganzzahlige Zeitpunkte um den Schnittpunkt. - Was bedeutet es für ein Modell, wenn es Werte oberhalb einer sachlich festen Kapazität liefert?

1. Aus der Abbildung liest man für die gestrichelte Kapazitätslinie \(1000\,\text{m}^2\) ab. 2. Für \(t=5\) gilt \(f(5)=80\cdot1{,}6^5=838{,}8608\,\text{m}^2\approx838{,}86\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt noch unter der Kapazitätsgrenze. 3. Für \(t=6\) gilt \(f(6)=80\cdot1{,}6^6=1342{,}17728\,\text{m}^2\approx1342{,}18\,\text{m}^2\). Dieser Wert liegt über \(1000\,\text{m}^2\). 4. Die erste volle Woche mit einer Überschreitung ist daher Woche \(6\). Spätestens dort ist das ungebremste exponentielle Modell sachlich nicht mehr anwendbar; schon vorher kann sich das reale Wachstum wegen knapper werdender Fläche verlangsamen.

a) \(1000\,\text{m}^2\) b) Woche \(6\); \(f(5)\approx838{,}86\,\text{m}^2\), \(f(6)\approx1342{,}18\,\text{m}^2\) c) Ab diesem Bereich kann das exponentielle Modell die reale Ausbreitung nicht mehr beschreiben, weil es mehr Fläche vorhersagt, als verfügbar ist.

- Lies zuerst die beiden Messwerte bei \(t=4\) und \(t=5\) aus der Abbildung ab. - Vergleiche jeden Messwert mit dem Wert der exponentiellen Modellkurve am selben Zeitpunkt. - Für die Entscheidung ist nicht nur die Richtung der Abweichung wichtig, sondern ihre Größe relativ zum Messwert. - Achte bei den späteren Punkten darauf, ob ihr Abstand zur exponentiellen Kurve größer oder kleiner wird.

1. Aus der Abbildung liest man bei \(t=4\) den Messwert \(500\) ab. Das Modell liefert \(E(4)=100\cdot1{,}5^4=506{,}25\). Die relative Abweichung beträgt \(\frac{6{,}25}{500}\cdot100\,\%=1{,}25\,\%\approx1{,}3\,\%\). 2. Bei \(t=5\) beträgt der Messwert \(600\), während \(E(5)=100\cdot1{,}5^5=759{,}375\) gilt. Die relative Abweichung ist \(\frac{159{,}375}{600}\cdot100\,\%=26{,}5625\,\%\approx26{,}6\,\%\). 3. Bei \(t=4\) erfüllt das Modell das Kriterium noch, bei \(t=5\) nicht mehr. Die späteren Messpunkte steigen deutlich langsamer als die exponentielle Modellkurve und flachen zunehmend ab.

a) Bei \(t=4\): etwa \(1{,}3\,\%\); bei \(t=5\): etwa \(26{,}6\,\%\) b) Ab \(t=5\) ist das Modell nach dem vorgegebenen Kriterium nicht mehr geeignet. c) Die späteren Messwerte wachsen langsamer als das exponentielle Modell und flachen zunehmend ab.

- Frage dich, wodurch der bisherige Wachstumsfaktor überhaupt entstanden sein könnte. - Welche konkrete Bedingung ändert sich direkt nach dem Beobachtungszeitraum? - Je weiter du in die Zukunft extrapolierst, desto länger müssen die Modellannahmen unverändert gelten. - Welche Messung könnte zeigen, ob der bisherige Faktor nach der Änderung noch passt?

1. Das Modell setzt unter anderem voraus, dass die Bedingungen, die den bisherigen konstanten relativen Zuwachs erzeugt haben, ungefähr gleich bleiben und dass keine Begrenzung wie ein ausgeschöpfter Interessentenkreis wirksam wird. 2. Für den unmittelbar folgenden Tag ist die Extrapolation nur kurz und die Rahmenbedingungen könnten sich noch ähnlich verhalten. Für \(30\) weitere Tage ist das deutlich unsicherer, insbesondere weil die Werbeaktion endet und damit ein wichtiger Einflussfaktor wegfällt. 3. Entscheidend wäre mindestens ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion. Er zeigt, ob der bisherige Wachstumsfaktor unter den neuen Bedingungen weiterhin ungefähr gilt.

a) Zum Beispiel: ungefähr gleichbleibende Rahmenbedingungen und weiterhin ein annähernd konstanter relativer Zuwachs ohne wirksame Sättigung. b) Eine sehr kurze Extrapolation verlangt weniger stabile Annahmen als eine Prognose über \(30\) weitere Tage; außerdem endet nach Tag \(4\) die Werbeaktion. c) Ein neuer Messwert nach Ende der Werbeaktion sollte mit der Modellprognose verglichen werden.

- Vergleiche die Menge, die täglich abgebaut wird, mit der Menge, die täglich neu hinzukommt. - Was müsste passieren, damit der Wert im Körper konstant bleibt? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor (die Abbaurate) vergrößerst?

1. Mit \(A_0 = 40\) und \(A_{n+1} = 0{,}8A_n + 5\) gilt: Nach Tag 1 sind \(40 \cdot 0{,}8 + 5 = 37\,\text{mg}\) vorhanden. Nach Tag 2 sind es \(37 \cdot 0{,}8 + 5 = 34{,}6\,\text{mg}\). 2. Für die Änderung gilt \(A_{n+1} - A_n = 5 - 0{,}2A_n\). Solange \(A_n > 25\) ist, ist diese Differenz negativ. Außerdem gilt \(A_{n+1} - 25 = 0{,}8(A_n - 25)\), sodass alle Folgenglieder oberhalb von \(25\) bleiben und sich diesem Wert nähern. Die Folge sinkt daher monoton gegen \(25\,\text{mg}\). 3. Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) erfüllt der Grenzwert \(L = 0{,}75L + 5\). Somit gilt \(0{,}25L = 5\) und \(L = 20\,\text{mg}\). Der Grenzwert würde sinken.

a) Nach dem ersten Tag: \(37\,\text{mg}\); nach dem zweiten Tag: \(34{,}6\,\text{mg}\). b) Für \(A_n > 25\,\text{mg}\) ist der tägliche Abbau größer als die Zufuhr. Die Menge sinkt monoton und stabilisiert sich bei \(25\,\text{mg}\). c) Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) würde der Grenzwert auf \(20\,\text{mg}\) sinken.

- Betrachte zunächst die Temperaturdifferenz zur Umgebung und nicht direkt die absolute Temperatur. - Für Teil b) brauchst du keinen Logarithmus: Berechne Werte in der Nähe der gesuchten Temperatur und vergleiche zwei aufeinanderfolgende Minuten. - Welche Annahmen des Modells könnten sich bei einem realen Experiment mit der Zeit verändern? - Unterscheide zwischen „mathematisch exakt gleich“ und „praktisch nicht mehr messbar verschieden“.

1. Die Anfangsdifferenz beträgt \(D_0=22-(-12)=34\,\text{K}\). Pro Minute bleibt davon der Faktor \(0{,}85\). Daher gilt \(T_n=22-34\cdot0{,}85^n\). 2. Damit ist \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2=-2{,}565\,^\circ\text{C}\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\) und \(T_3=1{,}11975\,^\circ\text{C}\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\). 3. In der Nähe des Schwellenwerts gilt \(T_9\approx14{,}13\,^\circ\text{C}\) und \(T_{10}\approx15{,}31\,^\circ\text{C}\). Daher ist die Temperatur nach \(10\) vollen Minuten erstmals größer als \(15\,^\circ\text{C}\). 4. Das Modell setzt eine konstante Umgebungstemperatur und einen über die gesamte Zeit konstanten relativen Abnahmefaktor der Temperaturdifferenz voraus. Diese Annahmen gelten in der Realität nur näherungsweise. Außerdem erreicht das Modell \(22\,^\circ\text{C}\) mathematisch nie exakt, während eine sehr kleine Differenz wegen begrenzter Messgenauigkeit praktisch nicht mehr feststellbar ist.

a) \(T_0=-12{,}00\,^\circ\text{C}\), \(T_1=-6{,}90\,^\circ\text{C}\), \(T_2\approx-2{,}57\,^\circ\text{C}\), \(T_3\approx1{,}12\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(10\) vollen Minuten c) Das Modell idealisiert den Vorgang durch einen konstanten Faktor und eine konstante Umgebungstemperatur; zudem nähert es sich \(22\,^\circ\text{C}\) nur asymptotisch, während Messungen kleine Unterschiede irgendwann nicht mehr auflösen.

- Überlege für jeden Monat, wie viele Einwohner noch nicht angemeldet sind. - Welche Größe wird von Monat zu Monat um denselben relativen Anteil kleiner: die Nutzerzahl oder die noch freie Differenz zur Grenze? - Kannst du die Entwicklung dieser Restdifferenz zunächst beschreiben, ohne schon eine fertige Funktionsgleichung vorzugeben? - Was muss für große \(x\) mit der Restdifferenz geschehen, damit die Nutzerzahl sich der Einwohnerzahl nähert?

1. Im ersten Monat kommen \(0{,}20(20\,000-2000)=3600\) Nutzer hinzu, also ist \(N(1)=5600\). Danach folgen \(N(2)=5600+0{,}20(20\,000-5600)=8480\) und \(N(3)=8480+0{,}20(20\,000-8480)=10\,784\). 2. Die Differenz zur Sättigungsgrenze beträgt anfangs \(18\,000\). Von dieser Differenz bleiben nach jedem Monat \(80\,\%\) übrig. Daher gilt \(N(x)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^x\). 3. \(N(12)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^{12}\approx18\,763\). 4. Der Term \(18\,000\cdot0{,}8^x\) bleibt positiv und wird mit wachsendem \(x\) immer kleiner. Deshalb nähert sich \(N(x)\) der Grenze \(20\,000\) von unten, ohne sie zu überschreiten.

a) Monat 1: \(5600\); Monat 2: \(8480\); Monat 3: \(10\,784\) b) \(N(x)=20\,000-18\,000\cdot0{,}8^x\) c) Etwa \(18\,763\) Nutzer; der Graph nähert sich \(20\,000\) von unten an und überschreitet die Grenze nicht.

- Prüfe zuerst Anfangswert und ersten Schritt beider Modelle; dort können unterschiedliche Modelle noch gleich aussehen. - Entnimm für b) die beiden beschrifteten Messwerte direkt der Abbildung und vergleiche sie mit beiden Modellwerten am selben Zeitpunkt. - Untersuche für das langfristige Verhalten, was mit \(1{,}5^t\) und mit \(0{,}9^t\) für große \(t\) geschieht. - Eine Modellentscheidung sollte sowohl die beobachteten Daten als auch eine bekannte sachliche Grenze berücksichtigen.

1. Es gilt \(E(0)=50\,\text{m}^2\) und \(B(0)=300-250=50\,\text{m}^2\). Außerdem ist \(E(1)=75\,\text{m}^2\) und \(B(1)=300-250\cdot0{,}9=75\,\text{m}^2\). Anfangswert und erster Schritt unterscheiden die Modelle daher noch nicht. 2. Aus der Abbildung liest man bei \(t=2\) den Messwert \(98\,\text{m}^2\) ab. Es gilt \(E(2)=112{,}50\,\text{m}^2\) und \(B(2)=300-250\cdot0{,}9^2=97{,}50\,\text{m}^2\). Die absoluten Abweichungen betragen \(14{,}50\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}50\,\text{m}^2\). 3. Bei \(t=4\) liest man \(136\,\text{m}^2\) ab. Es gilt \(E(4)=253{,}125\,\text{m}^2\approx253{,}13\,\text{m}^2\) und \(B(4)=300-250\cdot0{,}9^4=135{,}975\,\text{m}^2\approx135{,}98\,\text{m}^2\). Mit den ungerundeten Modellwerten betragen die absoluten Abweichungen \(117{,}125\,\text{m}^2\) beziehungsweise \(0{,}025\,\text{m}^2\). 4. Das Modell \(E\) wächst unbegrenzt und überschreitet schließlich die verfügbare Fläche. Beim Modell \(B\) wird \(0{,}9^t\) immer kleiner, sodass sich \(B(t)\) der Grenze \(300\,\text{m}^2\) von unten nähert. 5. Die späteren Messpunkte liegen deutlich näher an \(B\), und nur \(B\) berücksichtigt die Kapazitätsgrenze. Deshalb sollte \(B\) weiterverwendet werden. Dass beide Modelle bei \(t=0\) und \(t=1\) dieselben Modellwerte liefern, reicht nicht aus, weil sie danach stark unterschiedliche Entwicklungen vorhersagen und bereits der Messwert bei \(t=1\) mit \(76\,\text{m}^2\) von ihrem gemeinsamen Modellwert \(75\,\text{m}^2\) abweicht.

a) Beide Modelle liefern \(50\,\text{m}^2\) bei \(t=0\) und \(75\,\text{m}^2\) bei \(t=1\). b) Aus der Abbildung: \(98\,\text{m}^2\) bei \(t=2\), \(136\,\text{m}^2\) bei \(t=4\). Bei \(t=2\): \(E=112{,}50\,\text{m}^2\), \(B=97{,}50\,\text{m}^2\); Abweichungen \(14{,}50\,\text{m}^2\) und \(0{,}50\,\text{m}^2\). Bei \(t=4\): \(E\approx253{,}13\,\text{m}^2\), \(B\approx135{,}98\,\text{m}^2\); mit den ungerundeten Modellwerten betragen die Abweichungen \(117{,}125\,\text{m}^2\) und \(0{,}025\,\text{m}^2\). c) \(E\) wächst unbegrenzt; \(B\) nähert sich \(300\,\text{m}^2\). d) Modell \(B\) sollte weiterverwendet werden, weil es sowohl die späteren Messungen als auch die Kapazitätsgrenze wesentlich besser berücksichtigt. Dass \(E\) und \(B\) bei \(t=0\) und \(t=1\) dieselben Modellwerte liefern, genügt nicht zur Modellwahl.