Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie viel Prozent des Magnesiums bleiben täglich im Körper erhalten? - Erstelle eine Tabelle für die ersten Tage. - Denk daran, dass die neue Dosis immer erst nach dem Abbau des Vortages hinzugefügt wird. - Führe die Rechnung so lange fort, bis der gesuchte Wert erreicht ist.

1. Berechnung der täglichen Bestände unmittelbar nach der Einnahme unter Berücksichtigung eines Verbleibs von \(75\,\%\) (\(0{,}75\)) des Vortagesbestandes zuzüglich der neuen Dosis von \(200\text{ mg}\). 2. Tag 1: \(200\text{ mg}\). 3. Tag 2: \(200 \cdot 0{,}75 + 200 = 350\text{ mg}\). 4. Tag 3: \(350 \cdot 0{,}75 + 200 = 462{,}5\text{ mg}\). 5. Tag 4: \(462{,}5 \cdot 0{,}75 + 200 = 546{,}875\text{ mg}\). 6. Tag 5: \(546{,}875 \cdot 0{,}75 + 200 = 610{,}15625\text{ mg}\). 7. Vergleich: Am 5. Tag ist \(610{,}15625 > 600\).

Nach 5 Tagen wird der Wert von \(600\text{ mg}\) erstmals überschritten.

- Wie verändert sich die Menge in einem Monat? Versuche, eine Rechenvorschrift aufzustellen. - Was passiert, wenn der Abbau und der Zufluss genau gleich groß sind? - Überlege dir, wie sich der Zuwachs von Monat zu Monat verändert. Wird er größer oder kleiner?

1. Berechnung der monatlichen Bestände mit der Rekursionsformel \(x_{n+1} = x_n \cdot 0{,}8 + 45\): Nach 1 Monat: \(100 \cdot 0{,}8 + 45 = 125\,\text{kg}\). Nach 2 Monaten: \(125 \cdot 0{,}8 + 45 = 145\,\text{kg}\). Nach 3 Monaten: \(145 \cdot 0{,}8 + 45 = 161\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Sättigungswerts \(S\) durch Gleichsetzen von \(x_{n+1}\) und \(x_n\): \(S = S \cdot 0{,}8 + 45 \Rightarrow 0{,}2 \cdot S = 45 \Rightarrow S = 225\,\text{kg}\). 3. Da der Sättigungswert bei \(225\,\text{kg}\) liegt und die Folge der Bestände bei einem Startwert unterhalb von \(S\) streng monoton wachsend gegen \(S\) konvergiert, wird der Wert \(225\,\text{kg}\) nie überschritten und somit \(250\,\text{kg}\) nie erreicht.

a) Nach einem Monat: \(125\,\text{kg}\); nach zwei Monaten: \(145\,\text{kg}\); nach drei Monaten: \(161\,\text{kg}\). b) Der Sättigungswert beträgt \(225\,\text{kg}\). c) Der Sättigungswert von \(225\,\text{kg}\) stellt die obere Grenze des Modells dar. Da der Bestand sich diesem Wert nur annähert, aber ihn nicht überschreitet, können \(250\,\text{kg}\) nicht erreicht werden.

- Stelle eine Tabelle auf, in der du Schritt für Schritt die Restmenge vom Vortag berechnest und die neue Dosis addierst. - Der Abbau von \(30\,\%\) bedeutet, dass noch \(70\,\%\) der Menge vorhanden sind. - Ein Gleichgewichtszustand herrscht dann, wenn die Abbaumenge genau der neu zugeführten Menge entspricht.

1. Berechnung der Bestände direkt nach der Einnahme mit \(x_n = x_{n-1} \cdot 0{,}7 + 20\): Tag 1: \(20\,\text{mg}\). Tag 2: \(20 \cdot 0{,}7 + 20 = 34\,\text{mg}\). Tag 3: \(34 \cdot 0{,}7 + 20 = 43{,}8\,\text{mg}\). Tag 4: \(43{,}8 \cdot 0{,}7 + 20 = 50{,}66\,\text{mg}\). Tag 5: \(50{,}66 \cdot 0{,}7 + 20 = 55{,}462\,\text{mg}\). 2. Vergleich der Werte: Am 4. Tag wird der Wert von \(50\,\text{mg}\) zum ersten Mal überschritten (\(50{,}66 > 50\)). 3. Bestimmung des Grenzwerts \(G\): \(G = G \cdot 0{,}7 + 20 \Rightarrow 0{,}3 \cdot G = 20 \Rightarrow G = \frac{20}{0{,}3} = 66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

a) Mengen nach der Einnahme: Tag 1: \(20\,\text{mg}\); Tag 2: \(34\,\text{mg}\); Tag 3: \(43{,}8\,\text{mg}\); Tag 4: \(50{,}66\,\text{mg}\); Tag 5: \(55{,}462\,\text{mg}\). b) Nach 4 Tagen sind zum ersten Mal mehr als \(50\,\text{mg}\) vorhanden. c) Der langfristige Grenzwert beträgt \(66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

- Kannst du eine Formel aufstellen, die den Bestand von einem Tag auf den nächsten beschreibt? - Was passiert mit der Wassermenge, wenn der tägliche Verlust genau so groß ist wie die tägliche Zufuhr? - Überlege dir, wie du die Wachstumsrate und den festen Zuwachs in einer Gleichung kombinieren kannst. - Für die Berechnung des Zeitpunkts könnte ein Logarithmus oder systematisches Probieren hilfreich sein.

1. Berechnung der ersten Werte mit der Rekursionsformel \(W_{n+1} = W_n \cdot 0{,}85 + 60\): Nach Tag 1: \(60\,\text{l}\). Nach Tag 2: \(60 \cdot 0{,}85 + 60 = 111\,\text{l}\). Nach Tag 3: \(111 \cdot 0{,}85 + 60 = 154{,}35\,\text{l}\). Nach Tag 4: \(154{,}35 \cdot 0{,}85 + 60 \approx 191{,}20\,\text{l}\). 2. Bestimmung des Grenzwerts \(L\): Im Gleichgewicht gilt \(L = L \cdot 0{,}85 + 60\). Auflösen nach \(L\): \(0{,}15 \cdot L = 60 \implies L = \frac{60}{0{,}15} = 400\). Die Obergrenze liegt bei \(400\,\text{l}\). 3. Zeitpunkt für \(250\,\text{l}\) finden: Die explizite Formel lautet \(W_n = 400 \cdot (1 - 0{,}85^n)\). Gleichung: \(250 = 400 \cdot (1 - 0{,}85^n) \implies 0{,}625 = 1 - 0{,}85^n \implies 0{,}85^n = 0{,}375\). 4. Logarithmieren: \(n = \frac{\ln(0{,}375)}{\ln(0{,}85)} \approx 6{,}03\). Da die Zufuhr täglich erfolgt, ist der Wert am 7. Tag erstmals überschritten.

a) Nach zwei Tagen: \(111\,\text{l}\); nach drei Tagen: \(154{,}35\,\text{l}\); nach vier Tagen: ca. \(191{,}20\,\text{l}\). b) Die Obergrenze beträgt \(400\,\text{l}\). c) Nach \(7\) Tagen sind erstmals mehr als \(250\,\text{l}\) im Teich.

- Vergleiche die Menge, die täglich abgebaut wird, mit der Menge, die täglich neu hinzukommt. - Was müsste passieren, damit der Wert im Körper konstant bleibt? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Division, wenn du den Divisor (die Abbaurate) vergrößerst?

1. Berechnung der Folgewerte mit \(A_0 = 40\) und \(A_{n+1} = A_n \cdot 0{,}8 + 5\): Nach Tag 1: \(40 \cdot 0{,}8 + 5 = 37\,\text{mg}\). Nach Tag 2: \(37 \cdot 0{,}8 + 5 = 34{,}6\,\text{mg}\). 2. Nachweis des Sinkens: Da der Abbau am ersten Tag (\(20\,\%\) von \(40\,\text{mg} = 8\,\text{mg}\)) größer ist als die Zufuhr (\(5\,\text{mg}\)), nimmt die Gesamtmenge ab. 3. Berechnung des Sättigungswerts \(L\): \(L = 0{,}8 \cdot L + 5 \implies 0{,}2 \cdot L = 5 \implies L = 25\,\text{mg}\). Die Menge stabilisiert sich bei \(25\,\text{mg}\). 4. Analyse der Änderung: Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) lautet die Gleichung \(0{,}25 \cdot L = 5 \implies L = 20\,\text{mg}\). Der Grenzwert würde also sinken.

a) Nach dem ersten Tag: \(37\,\text{mg}\); nach dem zweiten Tag: \(34{,}6\,\text{mg}\). b) Da zu Beginn mehr abgebaut wird (\(8\,\text{mg}\)) als hinzukommt (\(5\,\text{mg}\)), sinkt der Spiegel bis zum Gleichgewicht bei \(25\,\text{mg}\). c) Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) würde der Grenzwert auf \(20\,\text{mg}\) sinken.

- Überlege zuerst, wie groß der Temperaturunterschied zwischen dem Tee und dem Zimmer am Anfang ist. - Wenn etwas um \(15\,\%\) abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann jeweils übrig? - Die Temperatur des Tees setzt sich aus der Umgebungstemperatur und der aktuellen Differenz zusammen. - Was passiert mit dem Tee, wenn er sehr lange im Zimmer steht? Kann er kälter als das Zimmer werden?

1. Bestimmung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 80^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 60^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Differenzen nach \(n\) Intervallen zu je \(5\,\text{Minuten}\) mit dem Abnahmefaktor \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): - Nach \(5\,\text{Min}\) (\(n=1\)): \(D_1 = 60 \cdot 0{,}85 = 51{,}0^\circ\text{C}\). - Nach \(10\,\text{Min}\) (\(n=2\)): \(D_2 = 51{,}0 \cdot 0{,}85 = 43{,}35^\circ\text{C}\). - Nach \(15\,\text{Min}\) (\(n=3\)): \(D_3 = 43{,}35 \cdot 0{,}85 \approx 36{,}85^\circ\text{C}\). - Nach \(20\,\text{Min}\) (\(n=4\)): \(D_4 = 36{,}8475 \cdot 0{,}85 \approx 31{,}32^\circ\text{C}\). 3. Addition der Umgebungstemperatur (\(20^\circ\text{C}\)) zu den Differenzen: - \(T(5) = 20 + 51{,}0 = 71{,}0^\circ\text{C}\). - \(T(10) = 20 + 43{,}35 = 63{,}35^\circ\text{C}\). - \(T(15) \approx 20 + 36{,}85 = 56{,}85^\circ\text{C}\). - \(T(20) \approx 20 + 31{,}32 = 51{,}32^\circ\text{C}\). 4. Begründung der begrenzten Abnahme: Die Temperatur sinkt nicht gegen Null, sondern nähert sich asymptotisch der Umgebungstemperatur von \(20^\circ\text{C}\) an, da die Differenz exponentiell abnimmt. 5. Die absolute Temperaturabnahme wird immer geringer, da sich die \(15\,\%\) Abnahme stets auf eine kleiner werdende Differenz beziehen.

a) Nach \(5\,\text{Min}\): \(71{,}0^\circ\text{C}\); nach \(10\,\text{Min}\): \(63{,}35^\circ\text{C}\); nach \(15\,\text{Min}\): ca. \(56{,}85^\circ\text{C}\); nach \(20\,\text{Min}\): ca. \(51{,}32^\circ\text{C}\). b) Es ist eine begrenzte Abnahme, da die Temperatur nach unten durch die Umgebungstemperatur (\(20^\circ\text{C}\)) begrenzt ist. Die Differenz nähert sich Null, die Gesamttemperatur also \(20^\circ\text{C}\). c) Die absolute Abnahme sinkt, da die Differenz, von der der prozentuale Anteil berechnet wird, immer kleiner wird.

- Überlege dir zuerst, wie man den „Freiraum“ im Wald mathematisch ausdrückt. - Der neue Bestand setzt sich immer aus dem alten Bestand plus dem berechneten Zuwachs zusammen. - Was passiert mit der Lücke zur Kapazitätsgrenze, wenn der Wald voller wird? - Schau dir die berechneten Zuwächse von Jahr zu Jahr an – werden sie größer oder kleiner?

1. Aufstellen der rekursiven Formel: Der Zuwachs beträgt \(0{,}25 \cdot (4000 - B_n)\). Damit ergibt sich \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25 \cdot (4000 - B_n)\). 2. Berechnung der Bestände: - Jahr 0: \(B_0 = 800\) - Jahr 1: \(800 + 0{,}25 \cdot (4000 - 800) = 800 + 800 = 1600\) - Jahr 2: \(1600 + 0{,}25 \cdot (4000 - 1600) = 1600 + 600 = 2200\) - Jahr 3: \(2200 + 0{,}25 \cdot (4000 - 2200) = 2200 + 450 = 2650\) - Jahr 4: \(2650 + 0{,}25 \cdot (4000 - 2650) = 2650 + 337{,}5 = 2987{,}5\) - Jahr 5: \(2987{,}5 + 0{,}25 \cdot (4000 - 2987{,}5) = 2987{,}5 + 253{,}125 = 3240{,}625\) 3. Begründung: Es liegt begrenztes Wachstum vor, da der Bestand eine obere Schranke (\(4000\)) besitzt, die nicht überschritten werden kann. Da die Differenz zum Maximum mit steigendem Bestand immer kleiner wird, nimmt auch der jährliche Zuwachs (der \(25\,\%\) dieser Differenz beträgt) immer weiter ab und nähert sich Null an.

a) \(B_{n+1} = B_n + 0{,}25 \cdot (4000 - B_n)\) oder \(B_{n+1} = 0{,}75 \cdot B_n + 1000\) b) \(B_1 = 1600\); \(B_2 = 2200\); \(B_3 = 2650\); \(B_4 = 2987{,}5\); \(B_5 \approx 3240{,}6\) c) Das Wachstum ist durch die Kapazität von \(4000\) Bäumen nach oben begrenzt. Da der Zuwachs proportional zum verbleibenden Platz ist, wird er immer kleiner, je näher der Bestand der Grenze kommt.

- Überlege zuerst, wie groß der Temperaturunterschied zu Beginn ist. - Wie verändert sich dieser Unterschied von Minute zu Minute? - Stelle eine Formel für den Temperaturunterschied auf, bevor du die eigentliche Temperatur berechnest. - Für die Bestimmung des Zeitpunkts kannst du den Logarithmus verwenden oder die Werte schrittweise berechnen. - Was passiert mit einem Exponentialausdruck \(a \cdot b^n\), wenn \(n\) immer größer wird?

1. Bestimmung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 85^\circ\text{C} - 19^\circ\text{C} = 66^\circ\text{C}\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Temperaturdifferenz nach \(n\) Minuten: \(D_n = 66 \cdot 0{,}9^n\). 3. Berechnung der Temperatur nach \(5\) Minuten: \(T_5 = 19 + 66 \cdot 0{,}9^5 \approx 19 + 38{,}97 = 57{,}97^\circ\text{C}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für \(T_n < 40^\circ\text{C}\): Die Differenz muss kleiner als \(40 - 19 = 21\) sein. Lösen von \(66 \cdot 0{,}9^n < 21\) ergibt \(0{,}9^n < \frac{21}{66} \approx 0{,}318\). Mittels Logarithmus folgt \(n > \frac{\ln(0{,}318)}{\ln(0{,}9)} \approx 10{,}87\). Nach \(11\) Minuten ist die Temperatur erstmals unter \(40^\circ\text{C}\). 5. Begründung der Modellgrenze: Der Ausdruck \(66 \cdot 0{,}9^n\) wird für wachsende \(n\) immer kleiner, bleibt aber für alle endlichen \(n\) positiv. Da die Differenz nie Null wird, nähert sich die Temperatur \(19^\circ\text{C}\) nur asymptotisch an, erreicht den Wert aber mathematisch nicht.

a) Der Tee ist nach \(5\) Minuten etwa \(58{,}0^\circ\text{C}\) warm. b) Nach \(11\) Minuten sinkt die Temperatur erstmals unter \(40^\circ\text{C}\). c) Da die Temperaturdifferenz eine exponentielle Abnahme beschreibt (\(D_n = D_0 \cdot 0{,}9^n\)), nähert sie sich der Null an, wird aber für kein endliches \(n\) exakt Null. Somit bleibt die Temperatur immer geringfügig über \(19^\circ\text{C}\).

- Überlege dir, wie viel vom "Platz bis zur Grenze" jedes Jahr neu besetzt wird. - Du kannst die Werte Schritt für Schritt berechnen, indem du immer den Zuwachs zum alten Bestand addierst. - Für den zweiten Teil hilft es, eine Gleichung aufzustellen, in der die Zeit im Exponenten steht. - Denke daran, dass das Ergebnis für die Jahre eine ganze Zahl sein muss, die die Bedingung erfüllt.

1. Aufstellen der Rekursionsformel oder der expliziten Formel für begrenztes Wachstum: \(B(n) = G - (G - B(0)) \cdot (1 - k)^n\). Hier ist \(G = 3\,000\), \(B(0) = 600\) und \(k = 0{,}18\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: Jahr 0: \(600\) Jahr 1: \(600 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 600) = 1\,032\) Jahr 2: \(1\,032 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,032) \approx 1\,386\) Jahr 3: \(1\,386 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,386) \approx 1\,677\) Jahr 4: \(1\,677 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,677) \approx 1\,915\) Jahr 5: \(1\,915 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,915) \approx 2\,110\) 3. Bestimmung des Zeitpunktes für \(B(n) > 2\,500\): Ansatz: \(3\,000 - 2\,400 \cdot 0{,}82^n = 2\,500\) \(500 = 2\,400 \cdot 0{,}82^n\) \(0{,}82^n = \frac{500}{2\,400} \approx 0{,}2083\) \(n = \frac{\ln(0{,}2083)}{\ln(0{,}82)} \approx 7{,}89\) Nach 8 Jahren ist der Bestand größer als \(2\,500\).

a) <table> <tr><td>Jahr</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>Bestand</td><td>600</td><td>1032</td><td>1386</td><td>1677</td><td>1915</td><td>2110</td></tr> </table> b) Nach 8 Jahren hat der Bestand eine Größe von mehr als \(2\,500\) Fischen erreicht.

- Welche Art von Wachstum liegt vor, wenn sich die Änderungsrate auf die Differenz zu einer festen Grenze bezieht? - Kannst du eine Formel aufstellen, die den Bestand zu einem beliebigen Zeitpunkt beschreibt? - Welcher Wert stellt die Sättigungsgrenze dar und wie groß ist die anfängliche Lücke? - Wie gehst du vor, wenn die gesuchte Variable im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum: \(f(t) = S - (S - f(0)) \cdot (1 - k)^t\) mit der Sättigungsgrenze \(S = 1200\), dem Anfangswert \(f(0) = 300\) und der Wachstumsrate \(k = 0{,}10\). Dies ergibt \(f(t) = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^t\). 2. Berechnung des Bestandes nach \(8\) Wochen: \(f(8) = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^8 \approx 812{,}58\). Der Schüler beherrscht ca. \(813\) Wörter. 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(f(t) = 1000\): \(1000 = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^t\). 4. Isolieren der Potenz: \(900 \cdot 0{,}9^t = 200 \Rightarrow 0{,}9^t = \frac{2}{9}\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(t = \frac{\ln(2/9)}{\ln(0{,}9)} \approx 14{,}28\). Nach \(15\) Wochen sind es mehr als \(1000\) Wörter.

a) Nach \(8\) Wochen beherrscht der Schüler ca. \(813\) Wörter. b) Nach \(15\) Wochen beherrscht er erstmals mehr als \(1000\) Wörter.

- Was bedeutet es für die Berechnung, wenn die Zunahme vom "Restpotenzial" abhängt? - Identifiziere die obere Grenze, den Startwert und den Abnahmefaktor für die Lücke. - Wie verändert sich die Lücke zur Sättigungsgrenze von Tag zu Tag? - Überlege am Ende, ob das Ergebnis als Dezimalzahl im Kontext der Fragestellung „Wann“ sinnvoll gerundet werden muss.

1. Modellierung des Wachstums durch die Funktionsgleichung \(f(t) = S - (S - f(0)) \cdot (1 - k)^t\) mit \(S = 5000\), \(f(0) = 400\) und \(k = 0{,}05\). Daraus folgt \(f(t) = 5000 - 4600 \cdot 0{,}95^t\). 2. Berechnung für \(t = 20\): \(f(20) = 5000 - 4600 \cdot 0{,}95^{20} \approx 3351{,}04\). Es gibt ca. \(3351\) Nutzer. 3. Berechnung der Zeitdauer bis \(f(t) = 4000\): \(4000 = 5000 - 4600 \cdot 0{,}95^t\). 4. Umformung zur Basis-Potenz: \(4600 \cdot 0{,}95^t = 1000 \Rightarrow 0{,}95^t = \frac{10}{46} = \frac{5}{23}\). 5. Berechnung mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(5/23)}{\ln(0{,}95)} \approx 29{,}75\). Am \(30\). Tag wird die Marke überschritten.

a) Nach \(20\) Tagen hat die App ca. \(3351\) Nutzer. b) Die Marke von \(4000\) Nutzern wird nach ca. \(30\) Tagen überschritten.

- Überlege dir, was die einzelnen Teile der Formel für den Zuwachs bedeuten. - Setze für die Berechnung von \(B_2\) den Wert ein, den du für \(B_1\) erhalten hast. - Probiere für den exponentiellen Teil verschiedene Werte für \(n\) aus oder nutze den Logarithmus. - Was passiert bei einem exponentiellen Modell mit sehr großen Werten für \(n\)? Ist das in der Realität möglich?

1. Berechnung von \(B_1\): \(B_1 = 100 + 0{,}0005 \cdot 100 \cdot (1000 - 100) = 100 + 0{,}05 \cdot 900 = 145\). 2. Berechnung von \(B_2\): \(B_2 = 145 + 0{,}0005 \cdot 145 \cdot (1000 - 145) = 145 + 0{,}0725 \cdot 855 = 206{,}9875 \approx 207\). 3. Prüfung des exponentiellen Modells \(E_n = 100 \cdot 1{,}45^n\): Für \(n=6\): \(E_6 = 100 \cdot 1{,}45^6 \approx 929{,}4\). Für \(n=7\): \(E_7 = 100 \cdot 1{,}45^7 \approx 1347{,}6\). Das Modell überschreitet die Grenze von \(1000\) somit im 7. Monat. 4. Beurteilung: Das exponentielle Modell ignoriert die Sättigungsgrenze (Nahrungsangebot, Platz). Es würde mathematisch gegen Unendlich wachsen, während das logistische Modell die natürliche Begrenzung des Lebensraums berücksichtigt, da der Zuwachs gegen Null geht, wenn \(B_n\) sich \(1000\) nähert.

a) \(B_1 = 145\); \(B_2 \approx 207\) (genau \(206{,}9875\)). b) Im 7. Monat (\(E_7 \approx 1348 > 1000\)). c) Das exponentielle Modell berücksichtigt keine Kapazitätsgrenzen und führt zu unrealistisch hohen Werten, während das logistische Modell die Sättigung bei \(1000\) Tieren korrekt abbildet.

- Betrachte nicht die absolute Temperatur, sondern den Unterschied zur Raumtemperatur. - Wie viel Prozent der Differenz bleiben nach einer Minute übrig, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz sinkt? - Kannst du eine Formel für den Zerfall der Temperaturdifferenz aufstellen? - Überlege, wie du eine Gleichung löst, bei der die gesuchte Zeit im Exponenten steht.

1. Bestimmung der Anfangsdifferenz \(D_0 = 92{,}0^\circ\text{C} - 21{,}0^\circ\text{C} = 71{,}0^\circ\text{C}\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Temperaturdifferenz nach \(n\) Minuten: \(D_n = 71{,}0 \cdot 0{,}94^n\). 3. Berechnung für Teil a): \(D_{10} = 71{,}0 \cdot 0{,}94^{10} \approx 38{,}24^\circ\text{C}\). Die Temperatur des Tees beträgt somit \(T_{10} = 21{,}0 + 38{,}24 = 59{,}24^\circ\text{C}\). 4. Berechnung für Teil b): Die gesuchte Differenz ist \(D_n = 55{,}0 - 21{,}0 = 34{,}0^\circ\text{C}\). 5. Lösen der Gleichung \(34{,}0 = 71{,}0 \cdot 0{,}94^n\) durch Logarithmieren: \(n = \frac{\ln(34/71)}{\ln(0{,}94)} \approx 11{,}93\). 6. Ergebnis: Nach ca. \(11{,}9\) Minuten wird die Temperatur von \(55{,}0^\circ\text{C}\) erreicht.

a) Nach \(10\,\text{Minuten}\) beträgt die Temperatur ca. \(59{,}2^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur von \(55{,}0^\circ\text{C}\) wird nach etwa \(11{,}9\,\text{Minuten}\) erreicht.

- Wie viel Prozent des Schadstoffs bleiben jede Woche im See? - Berechne die Werte für die ersten Wochen nacheinander mit dem Taschenrechner. - Was passiert mit der Menge, wenn der wöchentliche Abbau genau so groß ist wie der neue Zufluss? - Gibt es einen maximalen Wert, dem sich die Schadstoffmenge annähert?

1. Aufstellen der Rekursionsvorschrift: \(x_{n+1} = x_n \cdot 0{,}92 + 5\) mit \(x_0 = 0\). 2. Schrittweise Berechnung für Teilaufgabe a): Woche 1: \(5\text{ kg}\) Woche 2: \(5 \cdot 0{,}92 + 5 = 9{,}6\text{ kg}\) Woche 3: \(9{,}6 \cdot 0{,}92 + 5 = 13{,}832\text{ kg}\) Woche 4: \(13{,}832 \cdot 0{,}92 + 5 = 17{,}72544\text{ kg}\). 3. Berechnung des Grenzwertes für Teilaufgabe b): Ein Sättigungswert \(G\) wird erreicht, wenn Abbau und Zufluss im Gleichgewicht stehen. 4. Ansatz: \(G \cdot 0{,}08 = 5\) oder \(G = G \cdot 0{,}92 + 5\). 5. Berechnung: \(G = \frac{5}{0{,}08} = 62{,}5\text{ kg}\). 6. Da der Grenzwert \(62{,}5\text{ kg}\) unterhalb von \(65\text{ kg}\) liegt, wird dieser Wert niemals überschritten.

a) Nach 4 Wochen befinden sich \(17{,}72544\text{ kg}\) Schadstoff im See. b) Nein, die Menge kann \(65\text{ kg}\) nicht überschreiten, da der theoretische Sättigungswert bei \(62{,}5\text{ kg}\) liegt.

- Überlege zuerst, wie viele Haushalte am Ende insgesamt einen Anschluss haben sollen. - Bei dieser Art von Wachstum nähert sich der Bestand einer festen Grenze an. Der monatliche Zuwachs bezieht sich immer auf die noch vorhandene Lücke zu dieser Grenze. - Du kannst die Aufgabe schrittweise mit einer Tabelle lösen oder eine Formel für den Restbestand aufstellen, der exponentiell abnimmt. - Wenn du eine Gleichung der Form \(a^n = b\) hast, hilft dir der Logarithmus weiter.

1. Bestimmung der Zielgröße: \(75\,\%\) von \(8\,000\) Haushalten entsprechen \(0{,}75 \cdot 8\,000 = 6\,000\) Haushalten. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für begrenztes Wachstum: Mit der Sättigungsgrenze \(G = 8\,000\), dem Anfangswert \(B(0) = 400\) und dem Wachstumsfaktor \(k = 0{,}12\) ergibt sich die Formel für den Bestand nach \(n\) Monaten: \(B(n) = G - (G - B(0)) \cdot (1 - k)^n\). 3. Einsetzen der Werte: \(B(n) = 8\,000 - (8\,000 - 400) \cdot (1 - 0{,}12)^n = 8\,000 - 7\,600 \cdot 0{,}88^n\). 4. Lösen der Gleichung \(6\,000 = 8\,000 - 7\,600 \cdot 0{,}88^n\): \(-2\,000 = -7\,600 \cdot 0{,}88^n\) \(\frac{2\,000}{7\,600} = 0{,}88^n\) \(\frac{5}{19} \approx 0{,}2632 = 0{,}88^n\) 5. Berechnung mittels Logarithmus: \(n = \frac{\ln(5/19)}{\ln(0{,}88)} \approx 10{,}42\). 6. Da nach ganzen Monaten gefragt ist, wird der Wert auf \(11\) aufgerundet, da nach \(10\) Monaten die \(75\,\%\)-Hürde noch nicht erreicht ist.

Nach \(11\) Monaten haben mindestens \(75\,\%\) der Haushalte einen Glasfaseranschluss.

- Welche Formel nutzt du für die Berechnung bei einem festen Prozentsatz? - Was braucht ein Lebewesen zum Überleben, das in einem Wald nur begrenzt vorhanden ist? - Stell dir vor, der Wald ist „voll“. Wie viele neue Kitze können dann noch erfolgreich aufwachsen?

1. Berechnung des Bestands nach \(15\) Jahren mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}12\): \(120 \cdot 1{,}12^{15} \approx 656{,}82\). Es gäbe ca. \(657\) Rehe. 2. Ein exponentielles Modell setzt unbegrenzte Ressourcen voraus. In der Realität begrenzen Faktoren wie das Nahrungsangebot, der verfügbare Lebensraum (Platz), die Ausbreitung von Krankheiten oder das Vorhandensein von Fressfeinden die Populationsgröße. 3. Wenn sich die Population der Sättigungsgrenze \(G\) nähert, nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit ab. Die jährliche Zunahme wird immer kleiner und nähert sich dem Wert \(0\) an, sodass der Bestand nahezu konstant bleibt.

a) Nach \(15\) Jahren gäbe es ca. \(657\) Rehe. b) Das Modell ist unrealistisch, da Ressourcen wie Nahrung und Platz begrenzt sind. Weitere Faktoren sind Krankheiten oder Fressfeinde. c) Die Wachstumsrate sinkt und nähert sich Null an; der Bestand stabilisiert sich nahe der Sättigungsgrenze.

- Setze die Zeitwerte in die Funktionsgleichung ein und vergleiche das Ergebnis mit der Seeoberfläche. - Kann eine Pflanze mehr Platz einnehmen, als der See groß ist? - Was passiert mit dem Wachstum, wenn kaum noch freie, unbesiedelte Stellen im See übrig sind?

1. Berechnung für Modell 1: Nach \(10\) Wochen: \(5 \cdot 1{,}5^{10} \approx 288{,}33\,\text{m}^2\). Nach \(20\) Wochen: \(5 \cdot 1{,}5^{20} \approx 16\,625{,}35\,\text{m}^2\). 2. Vergleich mit der Gesamtoberfläche: Da der See nur \(10\,000\,\text{m}^2\) groß ist, kann Modell 1 für \(t = 20\) nicht mehr stimmen, da der berechnete Wert (\(16\,625{,}35\,\text{m}^2\)) die physikalisch mögliche Fläche überschreitet. 3. Begründung für logistisches Wachstum: Biologische Systeme stoßen immer an Kapazitätsgrenzen (Raum, Licht, Nährstoffe). Während das exponentielle Modell ein unendliches Wachstum suggeriert, bildet das logistische Modell die reale Verlangsamung des Wachstums bei zunehmender Dichte und Ressourcenknappheit ab.

a) Nach \(10\) Wochen: ca. \(288{,}33\,\text{m}^2\); nach \(20\) Wochen: ca. \(16\,625{,}35\,\text{m}^2\). b) Modell 1 ist für \(t = 20\) nicht anwendbar, da die berechnete Fläche größer als die Seeoberfläche (\(10\,000\,\text{m}^2\)) ist. c) Logistische Modelle sind sinnvoller, da sie natürliche Sättigungsgrenzen (begrenzter Lebensraum, Nahrung) berücksichtigen, die in jedem realen Ökosystem existieren.

- Berechne zuerst den Unterschied zwischen der Starttemperatur und der Zieltemperatur. - Überlege dir, wie man den Temperaturzuwachs als Abnahme der Differenz beschreiben kann. - Für die Tabelle musst du in jedem Schritt die neue Differenz berechnen und von der Zieltemperatur abziehen. - Denke an die Eigenschaften von Exponentialfunktionen: Erreichen sie jemals ihre Asymptote?

1. Startwert der Differenz: \(D_0 = 22^\circ\text{C} - 6^\circ\text{C} = 16^\circ\text{C}\). 2. Abnahmefaktor der Differenz: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 3. Berechnung der Differenzen \(D_n = 16 \cdot 0{,}88^n\) und Temperaturen \(T_n = 22 - D_n\): - \(t=0\): \(T=6^\circ\text{C}\) - \(t=10\): \(D_1=14{,}08 \Rightarrow T=22-14{,}08=7{,}92^\circ\text{C}\) - \(t=20\): \(D_2 \approx 12{,}39 \Rightarrow T \approx 9{,}61^\circ\text{C}\) - \(t=30\): \(D_3 \approx 10{,}90 \Rightarrow T \approx 11{,}10^\circ\text{C}\) - \(t=40\): \(D_4 \approx 9{,}60 \Rightarrow T \approx 12{,}40^\circ\text{C}\) - \(t=50\): \(D_5 \approx 8{,}44 \Rightarrow T \approx 13{,}56^\circ\text{C}\) - \(t=60\): \(D_6 \approx 7{,}43 \Rightarrow T \approx 14{,}57^\circ\text{C}\) 4. Funktionsgleichung: \(T(t) = 22 - 16 \cdot 0{,}88^t\). 5. Prüfung für \(3\,\text{Stunden}\) (\(t=18\)): \(T(18) = 22 - 16 \cdot 0{,}88^{18} \approx 22 - 1{,}65 = 20{,}35^\circ\text{C}\). 6. Mathematisch wird die Grenze von \(22^\circ\text{C}\) nie exakt erreicht, da eine Exponentialfunktion mit Basis \(0 < q < 1\) nie den Wert Null erreicht, sondern sich nur annähert.

a) Werte (gerundet): \(0\,\text{min}: 6^\circ\text{C}\); \(10\,\text{min}: 7{,}9^\circ\text{C}\); \(20\,\text{min}: 9{,}6^\circ\text{C}\); \(30\,\text{min}: 11{,}1^\circ\text{C}\); \(40\,\text{min}: 12{,}4^\circ\text{C}\); \(50\,\text{min}: 13{,}6^\circ\text{C}\); \(60\,\text{min}: 14{,}6^\circ\text{C}\). b) \(T(t) = 22 - 16 \cdot 0{,}88^t\). c) Nein, mathematisch nähert sich die Temperatur der \(22^\circ\text{C}\)-Grenze nur immer weiter an, erreicht sie aber nie exakt (Asymptote). Nach \(3\,\text{Stunden}\) beträgt sie etwa \(20{,}35^\circ\text{C}\).

- Unterscheide zwischen der tatsächlichen Temperatur und der Differenz zur Raumtemperatur. - Wenn etwas um \(15\,\%\) abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann übrig? - Die Temperatur nähert sich einem festen Wert an. Was passiert mit der Änderung, wenn dieser Wert fast erreicht ist? - Probiere für Aufgabenteil c) verschiedene Zeitintervalle aus oder nutze den Logarithmus, falls bekannt.

1. Bestimmung der Differenzabnahme: Die Anfangsdifferenz beträgt \(D_0 = 90 - 20 = 70\,\text{K}\). Der Abnahmefaktor der Differenz pro 4-Minuten-Intervall ist \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). 2. Berechnung der Temperaturen \(T_n = 20 + 70 \cdot 0{,}85^n\): - \(n=1\) (4 Min): \(20 + 70 \cdot 0{,}85^1 = 79{,}5\,^\circ\text{C}\) - \(n=2\) (8 Min): \(20 + 70 \cdot 0{,}85^2 = 70{,}575\,^\circ\text{C}\) - \(n=3\) (12 Min): \(20 + 70 \cdot 0{,}85^3 \approx 62{,}99\,^\circ\text{C}\) - \(n=4\) (16 Min): \(20 + 70 \cdot 0{,}85^4 \approx 56{,}54\,^\circ\text{C}\) 3. Begründung: Da nur die Differenz schrumpft (exponentieller Zerfall gegen Null), nähert sich die Gesamttemperatur der Umgebungstemperatur von \(20\,^\circ\text{C}\) an, kann diese aber mathematisch nie unterschreiten, da die Differenz immer positiv bleibt. 4. Bestimmung der Zeit für \(T < 40\): Gesucht ist \(20 + 70 \cdot 0{,}85^n < 40\), also \(70 \cdot 0{,}85^n < 20\), was \(0{,}85^n < \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\) entspricht. - \(n=7\): \(0{,}85^7 \approx 0{,}3205\) - \(n=8\): \(0{,}85^8 \approx 0{,}2725\) Somit ist nach \(n=8\) Intervallen, also \(8 \cdot 4 = 32\) Minuten, die Temperatur erstmals unter \(40\,^\circ\text{C}\).

a) \(4\,\text{min}: 79{,}5\,^\circ\text{C}\); \(8\,\text{min}: 70{,}58\,^\circ\text{C}\); \(12\,\text{min}: 62{,}99\,^\circ\text{C}\); \(16\,\text{min}: 56{,}54\,^\circ\text{C}\) b) Die Temperaturdifferenz nähert sich asymptotisch der Null an, wodurch die Temperatur gegen die Sättigungsgrenze (Raumtemperatur) von \(20\,^\circ\text{C}\) strebt. c) Nach \(32\) Minuten.

- Achte bei der Berechnung der Differenz auf das Vorzeichen der negativen Starttemperatur. - Die Temperatur berechnet sich aus: Zimmertemperatur minus aktuelle Differenz. - Erinnere dich daran, dass die Differenz exponentiell abnimmt. - Was bedeutet es für die Messbarkeit, wenn eine Differenz mathematisch zwar existiert, aber winzig klein wird?

1. Berechnung der Anfangsdifferenz: \(D_0 = 22 - (-12) = 34\,\text{K}\). Der Abnahmefaktor für die Differenz ist \(0{,}85\). 2. Berechnung der Werte für die Tabelle (\(T_n = 22 - 34 \cdot 0{,}85^n\)): \(n=0: T_0 = -12^\circ\text{C}\) \(n=1: T_1 = 22 - 34 \cdot 0{,}85 = -6{,}9^\circ\text{C}\) \(n=2: T_2 = 22 - 34 \cdot 0{,}85^2 = -2{,}565^\circ\text{C}\) \(n=3: T_3 = 22 - 34 \cdot 0{,}85^3 \approx 1{,}12^\circ\text{C}\). 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(T_n > 15^\circ\text{C}\): Die Differenz zur Umgebung muss kleiner als \(22 - 15 = 7\) sein. Lösen von \(34 \cdot 0{,}85^n < 7\) ergibt \(0{,}85^n < \frac{7}{34} \approx 0{,}206\). Es folgt \(n > \frac{\ln(0{,}206)}{\ln(0{,}85)} \approx 9{,}72\). Nach \(10\) Minuten ist die Temperatur über \(15^\circ\text{C}\). 4. Modellgrenzen: Mathematisch nähert sich die Temperatur der \(22^\circ\text{C}\)-Grenze nur an. In der Realität gibt es jedoch kleinste physikalische Einheiten und Messungenauigkeiten, die einen Unterschied unmessbar machen. Zudem können äußere Einflüsse (Luftzug, minimale Schwankungen der Raumtemperatur) das Modell überlagern.

a) Werte: \(T_0 = -12^\circ\text{C}\); \(T_1 = -6{,}9^\circ\text{C}\); \(T_2 \approx -2{,}57^\circ\text{C}\); \(T_3 \approx 1{,}12^\circ\text{C}\). b) Nach \(10\) Minuten ist die Temperatur erstmals über \(15^\circ\text{C}\). c) Das Modell ist eine mathematische Idealisierung. In der Realität erreichen Objekte ihre Umgebungstemperatur aufgrund von mikroskopischen Effekten und minimalen thermischen Fluktuationen tatsächlich oder der Unterschied ist nicht mehr messbar.

- Die Temperatur nähert sich einer festen Grenze an. Wie lautet diese Grenze hier? - Der "Restunterschied" zur Umgebungstemperatur schrumpft jede Minute um einen bestimmten Prozentsatz. - Nutze den Logarithmus, um die Gleichung nach der Zeit aufzulösen. - Überlege für den letzten Teil, was passieren würde, wenn der Kakao sehr lange im Raum steht.

1. Modellierung der Temperaturkurve: \(T(t) = T_{\text{Umgebung}} + (T_{\text{Start}} - T_{\text{Umgebung}}) \cdot (1 - k)^t\). Hier \(T(t) = 20 + (80 - 20) \cdot 0{,}88^t = 20 + 60 \cdot 0{,}88^t\). 2. Berechnung für \(t = 10\): \(T(10) = 20 + 60 \cdot 0{,}88^{10} \approx 20 + 60 \cdot 0{,}2785 \approx 36{,}7^\circ\text{C}\). 3. Berechnung für \(T(t) < 35\): \(20 + 60 \cdot 0{,}88^t = 35\) \(60 \cdot 0{,}88^t = 15\) \(0{,}88^t = 0{,}25\) \(t = \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}88)} \approx 10{,}84\). Nach etwa 11 Minuten sinkt die Temperatur unter \(35^\circ\text{C}\). 4. Begründung: Ein rein exponentielles Modell würde besagen, dass die Temperatur gegen \(0^\circ\text{C}\) (oder tiefer) strebt, was in einem \(20^\circ\text{C}\) warmen Raum unmöglich ist. Das begrenzte Modell berücksichtigt, dass der Kakao nicht kälter als seine Umgebung werden kann.

a) Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur ca. \(36{,}7^\circ\text{C}\). b) Nach etwa \(10{,}8\) Minuten (bzw. in der 11. Minute) sinkt die Temperatur unter \(35^\circ\text{C}\). c) Ein rein exponentielles Modell würde gegen \(0\) konvergieren. Da die Umgebungstemperatur \(20^\circ\text{C}\) beträgt, kann der Kakao nicht kälter als \(20^\circ\text{C}\) werden, was nur das begrenzte Modell korrekt wiedergibt.

- Was ist der Zielwert, dem sich der Ladestand annähert? - Konzentriere dich auf den Teil der Ladung, der noch "fehlt". Wie verändert sich dieser fehlende Teil alle 5 Minuten? - Wie viele Zeitintervalle passen in eine halbe Stunde? - Wenn du die Anzahl der Intervalle berechnet hast, vergiss nicht, diese wieder in Minuten umzurechnen.

1. Bestimmung des Sättigungsmankos (fehlende Ladung) zu Beginn: \(D_0 = 100 - 12 = 88\,\%\). 2. Die Abnahme des Mankos pro Intervall beträgt \(15\,\%\), der Wachstumsfaktor ist also \(0{,}85\). 3. Funktionsgleichung für das Manko: \(D(n) = 88 \cdot 0{,}85^n\). Der Ladestand ist \(C(n) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^n\). 4. Teil b): Eine halbe Stunde entspricht \(30 : 5 = 6\) Intervallen. \(C(6) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^6 \approx 100 - 33{,}19 = 66{,}81\,\%\). 5. Teil c): Gesuchter Ladestand \(90\,\%\) bedeutet ein Restmanko von \(10\,\%\). 6. Gleichung: \(10 = 88 \cdot 0{,}85^n \implies 0{,}85^n = \frac{10}{88}\). 7. Lösung durch Logarithmieren: \(n = \frac{\ln(10/88)}{\ln(0{,}85)} \approx 13{,}39\) Intervalle. 8. Umrechnung in Minuten: \(t = 13{,}39 \cdot 5 = 66{,}95\,\text{Minuten}\).

a) \(C(n) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^n\) (wobei \(n\) die Anzahl der 5-Minuten-Intervalle ist). b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand ca. \(66{,}8\,\%\). c) Der Ladestand von \(90\,\%\) wird nach etwa \(67\,\text{Minuten}\) erreicht.

- Nutze für den zweiten Tag das gerundete oder exakte Ergebnis des ersten Tages. - Die Zunahme ist der Term, der in der Gleichung zum vorherigen Wert addiert wird. - Überlege, was passiert, wenn man in eine Exponentialfunktion immer größere Werte für die Zeit einsetzt. - Kann es in einer Stadt mit einer festen Einwohnerzahl unendlich viele Kranke geben?

1. Berechnung von \(I_1\): \(I_1 = 100 + 0{,}0002 \cdot 100 \cdot (10\,000 - 100) = 100 + 0{,}02 \cdot 9\,900 = 100 + 198 = 298\). 2. Berechnung von \(I_2\): \(I_2 = 298 + 0{,}0002 \cdot 298 \cdot (10\,000 - 298) = 298 + 0{,}0596 \cdot 9\,702 \approx 298 + 578{,}24 \approx 876\). 3. Zunahme bei \(I = 5\,000\): \(\Delta I = 0{,}0002 \cdot 5\,000 \cdot (10\,000 - 5\,000) = 1 \cdot 5\,000 = 5\,000\) Personen pro Tag. 4. Begründung Modellvergleich: Das exponentielle Modell \(I_n = 100 \cdot 1{,}2^n\) wächst über alle Grenzen (\(I_n \to \infty\) für \(n \to \infty\)). In der Realität kann die Anzahl der Infizierten die Gesamtzahl der Einwohner (\(10\,000\)) nicht überschreiten. Das logistische Modell berücksichtigt diese Sättigungsgrenze, während das exponentielle Modell bereits nach etwa \(26\) Tagen mehr Infizierte vorhersagen würde, als Einwohner vorhanden sind (\(100 \cdot 1{,}2^{26} \approx 11\,447\)).

a) \(I_1 = 298\); \(I_2 \approx 876\) (genau \(876{,}2392\)) b) Die Zunahme beträgt \(5\,000\) Personen pro Tag. c) Das exponentielle Modell berücksichtigt keine Obergrenze. Nach dem Modell würde die Zahl der Infizierten die Einwohnerzahl von \(10\,000\) überschreiten, was unmöglich ist.