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- Welche Zahl steht in der Potenzgleichung als Exponent? - Der Logarithmus gibt genau den Exponenten an, mit dem die Basis potenziert werden muss.

Die Hochzahl in \(4^3=64\) ist \(3\). Daher gilt \(\log_4 64=3\).

\(3\)

- Lies am markierten Punkt ab, welcher Exponent zu welchem Potenzwert gehört. - Formuliere den Zusammenhang anschließend als „Der Logarithmus zur Basis ... von ... ist ...“.

Der Punkt \(A(3\mid 8)\) bedeutet \(2^3=8\). In Logarithmusschreibweise lautet derselbe Zusammenhang \(\log_2 8=3\).

\(\log_2 8=3\)

- Welche Zahl steht beim Logarithmus unten als Basis? - Welche Potenzgleichung ist zu \(\log_b(a)=c\) äquivalent?

1. Nach der Definition bedeutet \(\log_3(81)=4\), dass \(3^4=81\) gilt. 2. Damit ist \(3\) die Basis, \(81\) das Argument und \(4\) der Logarithmuswert. 3. Somit ist Antwort B richtig.

B; denn \(3^4=81\).

- Welche zwei Bedingungen muss eine Logarithmusbasis erfüllen? - Welche Bedingung gilt für das Argument eines reellen Logarithmus?

1. Für einen reellen Logarithmus muss die Basis positiv und ungleich \(1\) sein; das Argument muss positiv sein. 2. A ist nicht definiert, weil die Basis \(1\) ist. B ist nicht definiert, weil die Basis negativ ist. C ist nicht definiert, weil das Argument negativ ist. 3. Bei D ist die Basis \(\frac{1}{2}>0\) und ungleich \(1\), außerdem ist das Argument \(4>0\). Daher ist D definiert.

D: \(\log_{\frac{1}{2}}(4)\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Was bedeutet der Logarithmus zur Basis \(b\) anschaulich? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten \(0\). - Gehe schrittweise vor, indem du zuerst den Logarithmus auflöst und dann die verbleibende lineare Gleichung nach \(x\) umstellst.

a) Anwendung der Definition des Logarithmus auf die Gleichung \(\log_2(x) = 6\) ergibt \(x = 2^6\), woraus \(x = 64\) folgt. b) Umformung der zweiten Gleichung in die Potenzform \(2x + 15 = 5^3 = 125\). Durch Subtraktion von \(15\) erhält man \(2x = 110\), was nach Division durch \(2\) zu \(x = 55\) führt. c) Da \(3^0 = 1\) ist, folgt aus \(\log_3(x - 4) = 0\) die lineare Gleichung \(x - 4 = 1\), also \(x = 5\). d) Die Gleichung \(\log_{10}(0{,}1x) = 2\) wird zu \(0{,}1x = 10^2 = 100\) umgeformt. Multiplikation mit \(10\) ergibt \(x = 1000\).

a) \(x = 64\) b) \(x = 55\) c) \(x = 5\) d) \(x = 1000\)

- Was gibt der Logarithmuswert über die Beziehung zwischen Basis und Ergebnis einer Potenz an? - Wie hängen Basis, Exponent und Potenzwert zusammen? - Kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}001\) als Zehnerpotenz schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert eines Bruchs?

1. Umwandlung von Potenz- in Logarithmusform mittels der Definition \(b^c = a \Leftrightarrow \log_b a = c\): a) \(7^3 = 343 \Rightarrow \log_7 343 = 3\) b) \(2^{-4} = \frac{1}{16} \Rightarrow \log_2 \left(\frac{1}{16}\right) = -4\) 2. Umwandlung von Logarithmus- in Potenzform: c) \(\log_3 243 = 5 \Rightarrow 3^5 = 243\) 3. Bestimmung von \(x\) durch Anwendung der Definition und Potenzgesetze: d) \(10^x = 0{,}001\) entspricht \(\log_{10} 0{,}001 = x\). Da \(0{,}001 = 10^{-3}\), folgt \(x = -3\). e) \(\log_2 x = -3\) entspricht \(2^{-3} = x\). Da \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), folgt \(x = 0{,}125\).

a) \(\log_7 343 = 3\) b) \(\log_2 \frac{1}{16} = -4\) c) \(3^5 = 243\) d) \(x = -3\) e) \(x = 0{,}125\) (oder \(x = \frac{1}{8}\))

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandelt. - Welche Zahl hoch drei ergibt 125? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung einer Potenz? - Kannst du die Zahl 9 als eine Potenz der Basis 3 schreiben? - Beachte, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

Die Definition \(\log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a\) wird auf jede Teilaufgabe angewendet: 1. Für a): \(x^3 = 125\). Da \(5^3 = 125\), ist \(x = 5\). 2. Für b): \(2^{-4} = x\). Dies entspricht \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für c): \(9^x = 3\). Da \(9 = 3^2\), gilt \((3^2)^x = 3^1\), also \(3^{2x} = 3^1\). Daraus folgt \(2x = 1\), also \(x = 0{,}5\). 4. Für d): \(x^{-2} = \frac{1}{16}\). Dies bedeutet \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}\), woraus \(x^2 = 16\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ist \(x = 4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 0{,}0625\) c) \(x = 0{,}5\) d) \(x = 4\)

- Übersetze jede Logarithmusgleichung zunächst in die entsprechende Potenzschreibweise. - Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Prüfe mögliche algebraische Lösungen noch einmal an diesen Basisbedingungen.

1. a) Aus \(\log_a(4)=-2\) folgt \(a^{-2}=4\). Damit gilt \(a^2=\frac{1}{4}\). Algebraisch sind zunächst \(a=\frac{1}{2}\) und \(a=-\frac{1}{2}\) möglich. Eine Logarithmusbasis muss positiv und ungleich \(1\) sein, daher bleibt \(a=\frac{1}{2}\). Somit gilt \(0<a<1\). 2. b) Aus \(\log_x(625)=4\) folgt \(x^4=625\). Algebraisch erhält man \(x=5\) oder \(x=-5\). Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) ist nur \(x=5\) als Logarithmusbasis zulässig.

a) \(a=\frac{1}{2}\), also \(0<a<1\). b) \(x=5\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus verschwindet? - Achte darauf, welche Zahl die Basis und welche das Ergebnis der Potenz ist. - Bei Wurzeln als Basis hilft es, diese als Potenz mit gebrochenem Exponenten zu schreiben.

1. Anwendung der Definition \(\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a\). 2. Für \(\log_4 x = -2\): Berechnung von \(x = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für \(\log_x 64 = 3\): Aufstellen der Potenzgleichung \(x^3 = 64\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 4\). 4. Für \(\log_{\sqrt{5}} x = 4\): Berechnung von \(x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25\). 5. Für \(\log_{\frac{1}{3}} 27 = x\): Aufstellen der Gleichung \((\frac{1}{3})^x = 27\). Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), folgt \(3^{-x} = 3^3\), also \(x = -3\).

1) \(x=\frac{1}{16}=0{,}0625\) 2) \(x=4\) 3) \(x=25\) 4) \(x=-3\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie hängen die Zahlen 16 und 4 als Potenzen derselben Basis zusammen? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt.

1. Zur Lösung von a): Anwendung der Definition \(\log_2(x) = -4 \Leftrightarrow 2^{-4} = x\). Berechnung von \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Zur Lösung von b): Anwendung der Definition \(\log_b(0{,}01) = -2 \Leftrightarrow b^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(b^2 = 100\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich \(b = 10\). 3. Zur Lösung von c): Setze \(\log_{16}(4) = y\). Dann gilt \(16^y = 4\). Da \(16 = 4^2\), folgt \((4^2)^y = 4^1\), also \(4^{2y} = 4^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(2y = 1\), also \(y = 0{,}5\). 4. Zur Lösung von d): Anwendung der Definition \(\log_5(\sqrt{125}) = y \Leftrightarrow 5^y = \sqrt{125}\). Da \(125 = 5^3\), ist \(\sqrt{125} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{1{,}5}\). Somit ist \(y = 1{,}5\).

a) \(x = \frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) b) \(b = 10\) c) \(0{,}5\) d) \(y = 1{,}5\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet die Basis eines Logarithmus anschaulich? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_x(b) = c \Leftrightarrow x^c = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^3 = 125\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Für b): Gleichung \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel ergibt \(x = \sqrt[5]{32} = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(x^2 = 100\) folgt. Da die Basis positiv sein muss, ergibt sich \(x = 10\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\)

- Wie ist der Logarithmus als Umkehroperation zur Potenzierung definiert? - Was bedeutet \(\log_a b=c\) als Potenzgleichung? - Welche Werte sind als Basis eines Logarithmus zulässig? - Kannst du Dezimalzahlen als Brüche oder Zehnerpotenzen schreiben?

1. Aus \(\log_2x=-3\) folgt \(x=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Aus \(\log_x81=4\) folgt \(x^4=81\). Da die Basis \(x\) positiv sein muss, ist \(x=3\). 3. Aus \(\log_{0{,}1}100=x\) folgt \((10^{-1})^x=10^2\). Damit gilt \(-x=2\), also \(x=-2\). 4. Das Argument ist \(x=\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}=0{,}03125\).

1) \(x=\frac{1}{8}=0{,}125\) 2) \(x=3\) 3) \(x=-2\) 4) \(x=\frac{1}{32}=0{,}03125\)

- Wie kannst du den Logarithmus als Potenzgleichung schreiben? - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf den Wert einer Potenz aus? - Wie lässt sich eine Potenz mit einem Stammbruch als Exponenten als Wurzel schreiben? - Welchen Wert hat eine von null verschiedene Basis beim Exponenten null?

1. Mit \(\log_a b=c\iff b=a^c\) wird jeweils das Argument bestimmt. 2. Für a) gilt \(b=0{,}5^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}=0{,}125\). 3. Für b) gilt \(b=2^{-5}=\frac{1}{32}=0{,}03125\). 4. Für c) gilt \(b=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\). 5. Für d) gilt \(b=11^0=1\).

a) \(b=0{,}125\) b) \(b=\frac{1}{32}=0{,}03125\) c) \(b=2\) d) \(b=1\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für das Ergebnis? - Was ergibt jede Basis (außer 0), wenn man sie mit 0 potenziert? - Kannst du einen Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b x = y \iff b^y = x\): \(x = 10^4 = 10\,000\) 2. Potenzrechnung mit negativem Exponenten: \(x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) 3. Potenzgesetze für den Exponenten Null: \(x = 7^0 = 1\) 4. Umrechnung des rationalen Exponenten in eine Wurzel: \(x = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)

a) \(x = 10\,000\) b) \(x = 0{,}125\) c) \(x = 1\) d) \(x = 5\)

- Wie kannst du jede Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umformen? - Wie kannst du eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für eine Potenz?

1. Für a) gilt \(x=3^4=81\). 2. Für b) gilt \(x=5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04\). 3. Für c) gilt \(x=9^{2{,}5}=9^{\frac{5}{2}}=(\sqrt{9})^5=243\). 4. Für d) gilt \(x=10^{-1}=0{,}1\).

a) \(x=81\) b) \(x=0{,}04\) c) \(x=243\) d) \(x=0{,}1\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Basis muss mit dem gegebenen Exponenten das jeweilige Argument ergeben? - Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Schreibe jeweils \(\log_b y=z\) als \(b^z=y\). 2. Für a) gilt \(b^2=144\). Wegen \(b>0\) ist \(b=12\). 3. Für b) gilt \(b^{-3}=\frac{1}{27}\), also \(b^3=27\) und damit \(b=3\). 4. Für c) gilt \(b^3=216\), also \(b=6\). 5. Für d) gilt \(b^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}\), also \(b=5\).

a) \(b=12\) b) \(b=3\) c) \(b=6\) d) \(b=5\)

- Schreibe jede Logarithmusgleichung als Potenzgleichung. - Wie wirken sich ein negativer Exponent und der Exponent \(0{,}5\) auf die Potenz aus? - Prüfe bei jeder gefundenen Basis die Bedingungen \(a>0\) und \(a\neq1\).

1. Verwende jeweils die Definition \(\log_a(x)=y\iff a^y=x\). 2. a) \(a^4=16\), also \(a=2\). 3. b) \(a^{-2}=0{,}01=\frac{1}{100}\), also \(a^2=100\) und wegen \(a>0\) gilt \(a=10\). 4. c) \(a^{0{,}5}=3\), also \(\sqrt a=3\) und damit \(a=9\). 5. d) \(a^{-1}=2\), also \(\frac1a=2\) und damit \(a=0{,}5\).

a) \(a=2\) b) \(a=10\) c) \(a=9\) d) \(a=0{,}5\)

- Überlege dir, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um den Wert im Logarithmus zu erhalten. - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen oder negativen Exponenten umschreiben? - Welche Zahl ergibt sich, wenn du die Identität \(\log_b(b^x)\) betrachtest?

1. Anwendung der grundlegenden Logarithmus-Identität \(\log_b(b^x) = x\). 2. Umformung der Ausdrücke in Potenzschreibweise: Bei b) gilt \(\frac{1}{3^k} = 3^{-k}\). Bei c) entspricht die Wurzel dem Exponenten \(\frac{1}{m}\), also \(2^{\frac{1}{m}}\). Bei d) wird der Bruch und die Wurzel kombiniert zu \(a^{-\frac{3}{4}}\). 3. Auslesen der Exponenten als Endergebnisse: a) \(n\), b) \(-k\), c) \(\frac{1}{m}\), d) \(-\frac{3}{4}\).

a) \(n\) b) \(-k\) c) \(\frac{1}{m}\) d) \(-\frac{3}{4}\)

- Wie lautet die grundlegende Definition des Logarithmus als Umkehrung einer Potenz? - Kannst du die Gleichung \(\log_a x = y\) in eine Potenzgleichung der Form \(a^y = x\) umschreiben? - Denke daran, dass \(x^{0{,}5}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt{x}\). - Wie kannst du eine Gleichung mit einem negativen Exponenten so umformen, dass der Exponent positiv wird?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\). 2. Zu a): \(a^3 = 216\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{216} = 6\). 3. Zu b): \(a^{0{,}5} = 5\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt durch Quadrieren \(\sqrt{a} = 5 \Rightarrow a = 5^2 = 25\). 4. Zu c): \(a^{-5} = \frac{1}{32}\). Umformen zu \(\frac{1}{a^5} = \frac{1}{2^5}\) ergibt durch Vergleich der Basen \(a = 2\). 5. Zu d): \(a^{0{,}5} = \sqrt{11}\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt \(\sqrt{a} = \sqrt{11}\) und somit \(a = 11\).

a) \(a = 6\) b) \(a = 25\) c) \(a = 2\) d) \(a = 11\)

- Was bedeutet \(\log_a b\) als Exponent zur Basis \(a\)? - Welche Umkehrbeziehung besteht zwischen Potenzieren und Logarithmieren? - Gibt es eine allgemeine Vereinfachung für Terme der Form \(a^{\log_a y}\)?

1. Es gilt allgemein \(a^{\log_a b}=b\). 2. Für a) folgt \(12^{\log_{12}8}=8\). 3. Für b) folgt \(10^{\log_{10}(5a)}=5a\). 4. Für c) folgt \(2^{\log_2\sqrt{11}}=\sqrt{11}\). 5. Für d) folgt \(x^{\log_x25}=25\).

a) \(8\) b) \(5a\) c) \(\sqrt{11}\) d) \(25\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis der Potenzierung ist. - Die Basis des Logarithmus entspricht immer der Basis der Potenz. - Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: „Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um das Ergebnis zu erhalten?“ - Die \(b\)-te Wurzel aus dem Potenzwert liefert bei positiver Basis wieder die Basis \(a\).

Unter den im Aufgabentext genannten Bedingungen erfolgt die Umrechnung durch Identifikation von Basis \(a\), Exponent \(b\) und Potenzwert \(c\) gemäß \(a^b = c \iff \sqrt[b]{c} = a \iff \log_a(c) = b\). 1. Für \(7^3 = 343\) ist \(a=7\), \(b=3\), \(c=343\). Wurzelform: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmusform: \(\log_7(343) = 3\). 2. Für \(\log_2(64) = 6\) ist \(a=2\), \(c=64\), \(b=6\). Potenzform: \(2^6 = 64\); Wurzelform: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 3. Für \(\sqrt[4]{625} = 5\) ist \(b=4\), \(c=625\), \(a=5\). Potenzform: \(5^4 = 625\); Logarithmusform: \(\log_5(625) = 4\). 4. Für \((\frac{1}{2})^4 = 0{,}0625\) ist \(a=\frac{1}{2}\), \(b=4\), \(c=0{,}0625\). Wurzelform: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmusform: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\).

a) Wurzel: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmus: \(\log_7(343) = 3\) b) Potenz: \(2^6 = 64\); Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\) c) Potenz: \(5^4 = 625\); Logarithmus: \(\log_5(625) = 4\) d) Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmus: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\)

- Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Zahl ist jeweils das Argument des Logarithmus? - Wie kannst du eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bewirkt ein negativer Exponent?

1. Nach der Definition ist die Basis hoch dem Logarithmuswert gleich dem Argument. 2. Für a) gilt \(x=10^5=100\,000\). 3. Für b) gilt \(x=0{,}1^{-3}=\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=1000\). 4. Für c) gilt \(x=4^{1{,}5}=4^{\frac{3}{2}}=8\).

a) \(x=100\,000\) b) \(x=1000\) c) \(x=8\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege dir, welche Zahl hoch die rechte Seite die Zahl im Logarithmus ergibt. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den gesuchten Wert?

1. Umformung der Logarithmengleichung \(\log_x b = c\) in die Potenzform \(x^c = b\). 2. Teilaufgabe a): \(x^4 = 625 \implies x = \sqrt[4]{625} = 5\). 3. Teilaufgabe b): \(x^{-5} = \frac{1}{32} \implies \frac{1}{x^5} = \frac{1}{32} \implies x^5 = 32 \implies x = 2\). 4. Teilaufgabe c): \(x^{-4} = 0{,}0001 \implies \frac{1}{x^4} = \frac{1}{10000} \implies x^4 = 10\,000 \implies x = 10\). 5. Teilaufgabe d): \(x^1 = 6 \implies x = 6\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen, Potenzen und Wurzeln. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^n = a\) nach \(b\) auflösen? - Was bewirkt ein Bruch als Exponent? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus: \(\log_b y = x \iff b^x = y\). 2. Teilaufgabe a): \(b^3 = 343 \implies b = \sqrt[3]{343} = 7\). 3. Teilaufgabe b): \(b^{-2} = \frac{1}{9} \implies \frac{1}{b^2} = \frac{1}{9} \implies b^2 = 9 \implies b = 3\) (da die Basis \(b > 0\) sein muss). 4. Teilaufgabe c): \(b^{\frac{1}{3}} = 2 \implies \sqrt[3]{b} = 2 \implies b = 2^3 = 8\). 5. Teilaufgabe d): \(b^{-1} = 0{,}125 \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{8} \implies b = 8\).

a) \(b = 7\) b) \(b = 3\) c) \(b = 8\) d) \(b = 8\)

- Vereinfache zuerst die Potenzen mit Logarithmen im Exponenten. - Welche Umkehrbeziehung gilt, wenn Potenzbasis und Logarithmusbasis übereinstimmen? - Löse anschließend die entstehende lineare Gleichung.

1. Mit \(b^{\log_b y}=y\) gilt \(5^{\log_5 4}=4\), \(10^{\log_{10}31}=31\) und \(2^{\log_2 9}=9\). 2. Damit wird die Gleichung zu \(4a=31+9=40\). 3. Division durch \(4\) liefert \(a=10\).

\(a=10\)

- Was geschieht mit den Rollen von \( x \) und \( y \), wenn man eine Funktion umkehrt? - Wie hängen die Definitionsmenge einer Funktion und die Wertemenge ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Wenn ein Punkt \( (a|b) \) auf einem Funktionsgraphen liegt, welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen der Umkehrfunktion?

1. Bei einer Umkehrfunktion werden Definitions- und Wertebereich der Ausgangsfunktion vertauscht. Somit gilt für die Logarithmusfunktion \( g \): \( D_g = W_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \) (alle positiven reellen Zahlen) und \( W_g = D_f = \mathbb{R} \) (alle reellen Zahlen). 2. Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, werden die Koordinaten der Punkte vertauscht. Aus \( P(0|1) \) auf dem Graphen von \( f \) folgt der Punkt \( P'(1|0) \) auf dem Graphen von \( g \). Dieser Punkt \( P' \) zeigt, dass die Logarithmusfunktion \( g(x) = \log_5(x) \) ihre Nullstelle bei \( x = 1 \) hat.

1. \( D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \); \( W_g = \mathbb{R} \). 2. Der Punkt ist \( P'(1|0) \). Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion die Nullstelle \( x = 1 \) besitzt.

- Forme die Logarithmusgleichungen in Potenzgleichungen um. - Welche Zahl hoch \(3\) ergibt \(216\)? - Was bedeutet der Exponent \(-3\) für eine Potenz? - Bei Exponent \(1\) kannst du die Basis unmittelbar ablesen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^3=216\), also \(b=6\). 3. b) \(b^{-3}=0{,}125=\frac18\). Damit ist \(b^3=8\) und \(b=2\). 4. c) \(b^1=5\), also \(b=5\).

a) \(b=6\) b) \(b=2\) c) \(b=5\)

- Übersetze jede Logarithmusgleichung in die zugehörige Potenzgleichung. - Wie lässt sich ein Exponent von \(0{,}5\) als Wurzel deuten? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}04\) gegebenenfalls als Bruch. - Beachte bei geraden Potenzen die Bedingung \(b>0\) für Logarithmusbasen.

1. Verwende \(\log_b(x)=y\iff b^y=x\). 2. a) \(b^{0{,}5}=10\), also \(\sqrt b=10\) und damit \(b=100\). 3. b) \(b^{-4}=\frac1{81}\), also \(b^4=81\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=3\). 4. c) \(b^{-2}=0{,}04=\frac1{25}\), also \(b^2=25\). Wegen \(b>0\) folgt \(b=5\).

a) \(b=100\) b) \(b=3\) c) \(b=5\)

- Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichungen in die Form \(b^c = a\) umzuschreiben. - Wenn die Basis gesucht ist, kannst du die entsprechende Wurzel ziehen. - Wenn der Exponent gesucht ist, versuche beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Dezimalzahlen wie \(0{,}5\) können oft einfacher als Brüche wie \(\frac{1}{2}\) betrachtet werden, um Wurzelbeziehungen zu erkennen.

1. Anwendung der Definition \(2^5 = x\): Berechnung ergibt \(x = 32\). 2. Umformung in die Potenzform \(x^4 = 81\): Da die Basis positiv sein muss, folgt aus \(3^4 = 81\), dass \(x = 3\). 3. Bestimmung des Exponenten für \(4^y = \frac{1}{64}\): Wegen \(64 = 4^3\) ist \(\frac{1}{64} = 4^{-3}\), also \(y = -3\). 4. Lösung von \(9^x = 3\): Da \(3 = \sqrt{9} = 9^{0{,}5}\), ist \(x = 0{,}5\) bzw. \(x = \frac{1}{2}\). 5. Umformung des Terms: \(\sqrt{1000} = \sqrt{10^3} = (10^3)^{0{,}5} = 10^{1{,}5}\). Der Logarithmus zur Basis 10 ergibt \(y = 1{,}5\) bzw. \(y = \frac{3}{2}\).

a) \(x = 32\) b) \(x = 3\) c) \(y = -3\) d) \(x = 0{,}5\) e) \(y = 1{,}5\)

- Welche Potenzgleichung gehört zu \(\log_a(32)=5\)? - Welche positive Zahl ergibt in der fünften Potenz \(32\)? - Verwende die gefundene Basis anschließend für den zweiten Logarithmus.

1. Aus \(\log_a(32)=5\) folgt \(a^5=32\). 2. Da \(2^5=32\), ist \(a=2\). 3. Damit ist \(\log_a(8)=\log_2(8)=3\), denn \(2^3=8\).

Die Basis ist \(a=2\), und \(\log_a(8)=3\).

- Forme die erste Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung um. - Was bedeutet der negative Exponent \(-2\)? - Welche Bedingung muss die Logarithmusbasis zusätzlich zur Potenzgleichung erfüllen? - Prüfe b) wieder mithilfe der entsprechenden Potenzaussage.

1. Aus \(\log_b\left(\frac1{9}\right)=-2\) folgt \(b^{-2}=\frac1{9}\). 2. Damit gilt \(\frac1{b^2}=\frac1{9}\), also \(b^2=9\). Wegen \(b>0\) ist \(b=3\). 3. Für b) prüft man \(\log_3(27)=3\). Da \(3^3=27\), ist die Aussage wahr.

a) \(b=3\) b) Ja, \(\log_3(27)=3\).

- Übersetze eine Logarithmusaussage zuerst in die passende Potenzgleichung. - Setze die in Teil 1 gefundene Basis in Teil 2 ein. - Welche Potenz von \(\frac{1}{10}\) ergibt \(100\)?

1. Aus \(\log_b(10)=1\) folgt nach der Definition des Logarithmus \(b^1=10\). Daher ist \(b=10\). 2. Damit lautet die zweite Basis \(\frac{1}{10}\). Gesucht ist \(\log_{\frac{1}{10}}(100)\). Da \(\left(\frac{1}{10}\right)^{-2}=100\), gilt \(\log_{\frac{1}{10}}(100)=-2\).

1. \(b=10\). 2. \(\log_{\frac{1}{10}}(100)=-2\).

- Wie lautet die Definition des Logarithmus als Potenzgleichung? - Wie kannst du negative oder gebrochene Exponenten rückgängig machen? - Welche Bedingungen muss die gefundene Basis erfüllen?

1. Aus \(\log_b125=3\) folgt \(b^3=125\), also \(b=5\). 2. Aus \(\log_b0{,}01=-2\) folgt \(b^{-2}=0{,}01=\frac{1}{100}\). Daher ist \(b^2=100\); wegen \(b>0\) folgt \(b=10\). 3. Aus \(\log_b\left(\frac{1}{8}\right)=-3\) folgt \(b^{-3}=\frac{1}{8}\), also \(b^3=8\) und \(b=2\). 4. Aus \(\log_b7=0{,}5\) folgt \(b^{0{,}5}=7\), also \(b=49\).

a) \(b=5\) b) \(b=10\) c) \(b=2\) d) \(b=49\)

- Vergleiche zuerst die vertikalen Asymptoten; eine Verschiebung im Argument verändert deren Lage. - Für die Graphen mit derselben Asymptote liefern die markierten Werte bei \(x=e\) zusätzliche Information. - Überlege, wie ein äußerer Faktor beziehungsweise ein Minuszeichen die y-Werte von \(\ln(x)\) verändert. - Prüfe jeden Graphen mit einem eigenen Merkmal, statt den letzten Term nur durch Ausschluss zuzuordnen.

1. Der Graph \(h\) hat seine vertikale Asymptote bei \(x=-3\) und enthält den Punkt \((-2|0)\). Daher gehört \(h\) zu \(y=\ln(x+3)\), also Term 3. 2. Die übrigen drei Graphen haben die vertikale Asymptote \(x=0\). Beim blauen Graphen gilt \(f(e)=1\); daher ist \(f(x)=\ln(x)\), also Term 1. 3. Beim grünen Graphen gilt \(g(e)=2\). Damit sind die Funktionswerte von \(\ln(x)\) verdoppelt: \(g(x)=2\ln(x)\), also Term 2. 4. Beim roten Graphen gilt \(k(e)=-1\). Er ist die Spiegelung von \(\ln(x)\) an der x-Achse: \(k(x)=-\ln(x)\), also Term 4. 5. Term 5 bleibt übrig.

\(f\rightarrow1\), \(g\rightarrow2\), \(h\rightarrow3\), \(k\rightarrow4\); Term 5 bleibt übrig.

- Stelle den Logarithmus in jeder Gleichung möglichst zuerst allein. - Welche Potenzgleichung gehört anschließend zur Logarithmusgleichung? - Prüfe, ob die gefundenen Werte als Logarithmusargumente positiv sind.

1. Aus \(\log_5(x)=2\) folgt \(x=5^2=25\). 2. In b) ergibt die Division durch \(3\) zunächst \(\log_2(x)=4\). Daher ist \(x=2^4=16\).

a) \(x=25\) b) \(x=16\)

- Lies jede Tabellenzeile zunächst als Potenzgleichung. - Welche Größe wird beim Wechsel von der Potenz- zur Logarithmusschreibweise gesucht? - Achte darauf, dass Basis und Ergebnis der Potenz ihre Rollen behalten.

1. Aus \(5^{-2}=\frac{1}{25}\) folgt \(\log_5(\frac{1}{25})=-2\). 2. Aus \(5^2=25\) folgt \(\log_5(25)=2\). 3. Der Logarithmus \(\log_5(a)\) gibt den Exponenten an, mit dem \(5\) potenziert werden muss, um \(a\) zu erhalten.

a) \(\log_5(\frac{1}{25})=-2\) und \(\log_5(25)=2\) b) \(\log_5(a)\) ist der Exponent, für den \(5^{\log_5(a)}=a\) gilt.

- Lies die Koordinaten der beiden markierten Punkte direkt an den Achsen ab. - Welche besondere Eigenschaft haben die Punkte auf der Geraden \(h\)? - Vergleiche die Reihenfolge der beiden Koordinaten von A und B. - Ein Punkt \((x\mid y)\) auf einer Exponentialfunktion beschreibt eine Potenzgleichung; bei der Umkehrfunktion werden Eingabe und Ausgabe vertauscht.

1. Aus dem Diagramm liest man A\((2\mid4)\) und B\((4\mid2)\) ab. 2. Die Gerade \(h\) verläuft durch Punkte mit gleichen x- und y-Koordinaten; daher gilt \(h:y=x\). Bei A und B sind die Koordinaten vertauscht. Das entspricht der Spiegelung an \(y=x\), wie sie bei einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion auftritt. 3. Aus A folgt die Potenzgleichung \(2^2=4\). Die dazugehörige Logarithmusaussage lautet \(\log_2(4)=2\), passend zu B.

a) A\((2\mid4)\), B\((4\mid2)\) b) \(h:y=x\); die Koordinaten von A und B sind vertauscht. c) \(2^2=4\) und \(\log_2(4)=2\)

- Forme jede Logarithmusgleichung zunächst in die entsprechende Potenzgleichung um. - Achte darauf, ob die gesuchte Größe im Argument, im Exponenten oder in der Basis steckt. - Welche zusätzlichen Bedingungen muss eine Logarithmusbasis erfüllen? - Prüfe bei der Gleichung mit variabler Basis, welche Lösungen der Potenzgleichung als Logarithmusbasis zulässig sind.

1. Aus \(\log_2(x+10)=6\) folgt \(x+10=2^6=64\), also \(x=54\). 2. Logarithmieren zur Basis \(10\) und Potenzieren mit der Basis \(10\) sind Umkehroperationen. Daher gilt \(x+5=8\) und somit \(x=3\). 3. Aus \(\log_4(x)=-2\) folgt \(x=4^{-2}=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 4. Aus \(\log_x(81)=4\) folgt \(x^4=81\). Algebraisch erfüllen \(x=3\) und \(x=-3\) diese Potenzgleichung. Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) bleibt \(x=3\).

a) \(x=54\) b) \(x=3\) c) \(x=0{,}0625\) oder \(x=\frac{1}{16}\) d) \(x=3\)

- Wenn die Basis \(x\) gesucht ist, hilft das Wurzelziehen nach dem Umstellen. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz? - Nutze die Eigenschaft, dass Logarithmus und Potenzieren mit derselben Basis zueinander umgekehrt sind. - Ein Exponent von \(1{,}5\) kann als \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden – das hilft beim Rechnen ohne Taschenrechner.

1. Die Gleichung \(\log_x(81) = 4\) wird als Potenz \(x^4 = 81\) geschrieben. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich durch Ziehen der vierten Wurzel \(x = 3\). 2. Anwendung der Definition ergibt \(x = 4^{-1}\). Dies entspricht dem Kehrwert, also \(x = 0{,}25\). 3. Unter Verwendung der Identität \(\log_b(b^a) = a\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(3x - 1 = 8\). Addition von \(1\) und Division durch \(3\) liefert \(x = 3\). 4. Umformung in die Potenzform ergibt \(3x = 9^{1{,}5}\). Da \(9^{1{,}5} = 9^1 \cdot 9^{0{,}5} = 9 \cdot \sqrt{9} = 27\) ist, folgt \(3x = 27\) und somit \(x = 9\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 0{,}25\) c) \(x = 3\) d) \(x = 9\)

- Wie kann man eine Wurzel als Potenz schreiben? - Überlege dir, welche Frage man stellt, wenn man einen Logarithmus berechnet. - Was passiert, wenn du eine positive Zahl (wie die 2) immer wieder mit sich selbst multiplizierst oder teilst? Kann das Ergebnis negativ werden? - Erinnere dich an die Definition: \(b^x = a\). Was weißt du über das Vorzeichen von \(a\), wenn \(b\) positiv ist?

1. Berechnung der Logarithmen: \(\log_2 64 = 6\), da \(2^6 = 64\). \(\log_{10} \sqrt{10} = \log_{10} (10^{0{,}5}) = 0{,}5\), da \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}\). 2. Analyse des allgemeinen Ausdrucks: \(\log_b (b^5) = 5\). Die Definition fragt nach dem Exponenten, mit dem man \(b\) potenzieren muss, um \(b^5\) zu erhalten. Dieser Exponent ist offensichtlich 5. 3. Untersuchung der Existenz: Die Gleichung \(\log_2 (-8) = x\) ist äquivalent zu \(2^x = -8\). Da eine Potenz mit einer positiven Basis (\(2 > 0\)) für jeden reellen Exponenten \(x\) immer ein positives Ergebnis liefert (\(2^x > 0\)), kann das Ergebnis niemals \(-8\) sein. Daher ist der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert.

a) \(\log_2 64 = 6\) und \(\log_{10} \sqrt{10} = 0{,}5\) b) \(\log_b (b^5) = 5\), da \(b^5\) die Potenz zur Basis \(b\) mit dem Exponenten 5 ist. c) Die Gleichung \(2^x = -8\) hat keine Lösung, da Potenzen mit positiver Basis stets positiv sind.

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: \(y = \log_a(x)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Funktionswerts, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert? - Überlege dir den Verlauf des Graphen für eine Basis größer als 1. Wo liegt die Nullstelle?

1. Definitionsbereich: Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, gilt für beide Funktionen \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x) = \log_2(x)\): \(f(0{,}25) = -2\); \(f(1) = 0\); \(f(2) = 1\); \(f(4) = 2\). Für \(g(x) = \log_{0{,}5}(x)\): \(g(0{,}25) = 2\); \(g(1) = 0\); \(g(2) = -1\); \(g(4) = -2\). 3. Nachweis der Spiegelung: Mit der gegebenen Identität folgt \(g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) = -\log_2(x) = -f(x)\). Ein negativer Vorfaktor der gesamten Funktionsgleichung entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Vorzeichen von \(f(0{,}75)\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Wegen \(f(1) = 0\) und \(0{,}75 < 1\) muss \(f(0{,}75) < 0\) gelten. Der Wert ist also negativ.

a) \(D = \mathbb{R}^+\) bzw. \(x > 0\). b) \(f\): \(-2; 0; 1; 2\). \(g\): \(2; 0; -1; -2\). c) Wegen \(g(x) = -f(x)\) liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. d) Negativ, da \(f\) wegen der Basis \(2 > 1\) streng monoton steigt und \(0{,}75\) kleiner als die Nullstelle \(1\) ist.

- Welche Bedingungen muss die Basis eines Logarithmus erfüllen? - Wie kannst du jede Logarithmusgleichung als Potenzgleichung schreiben? - Prüfe bei einer unbekannten Basis, welche Lösungen nach den Basisbedingungen zulässig bleiben.

1. Aus \(\log_2(x-4)=5\) folgt \(x-4=2^5=32\), also \(x=36\). 2. Aus \(\log_{x+2}(49)=2\) folgt \((x+2)^2=49\). Damit ist \(x+2=7\) oder \(x+2=-7\). Für die Basis gilt \(x+2>0\) und \(x+2\neq1\); deshalb bleibt nur \(x=5\). 3. Aus \(\log_{0{,}2}(x)=-3\) folgt \(x=0{,}2^{-3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}=125\). 4. Aus \(\log_x\left(\frac{1}{100}\right)=-2\) folgt \(x^{-2}=\frac{1}{100}\), also \(x^2=100\). Wegen \(x>0\) und \(x\neq1\) ist \(x=10\).

1) \(x=36\) 2) \(x=5\) 3) \(x=125\) 4) \(x=10\)

- Wende zuerst die Definition des Logarithmus an, um die Logarithmus-Schreibweise loszuwerden. - Kannst du den Dezimalbruch im Exponenten als gewöhnlichen Bruch schreiben? - Wie löst man eine Gleichung der Form \(x^{\frac{a}{b}} = c\)? - Welche Potenzregel kennst du, bei der das Ergebnis immer 1 ist, unabhängig von der Basis?

1. Zur Lösung von a): Die Gleichung \(\log_3(2x - 1) = 2\) ist äquivalent zu \(3^2 = 2x - 1\). Berechnung von \(9 = 2x - 1\), daraus folgt \(10 = 2x\) und somit \(x = 5\). 2. Zur Lösung von b): Die Gleichung \(\log_x(27) = 0{,}75\) bedeutet \(x^{0{,}75} = 27\). Da \(0{,}75 = \frac{3}{4}\), gilt \(x^{\frac{3}{4}} = 27\). Um \(x\) zu isolieren, potenziert man beide Seiten mit \(\frac{4}{3}\): \(x = 27^{\frac{4}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^4 = 3^4 = 81\). 3. Zur Lösung von c): Sei \(b > 0\) und \(b \neq 1\) eine beliebige Basis. Gesucht ist der Wert \(c = \log_b(1)\). Gemäß Definition gilt \(b^c = 1\). Da \(b^0 = 1\) gilt und die Exponentialfunktion \(b^x\) für jede zulässige Basis \(b>0\), \(b \neq 1\), streng monoton und damit eindeutig ist, ist \(c=0\) die einzige Möglichkeit. Somit ist \(\log_b(1) = 0\) für jede Basis \(b\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 81\) c) Begründung: Da \(b^0 = 1\) gilt und \(b^x\) für jede zulässige Basis eindeutig ist, folgt aus der Definition des Logarithmus direkt \(\log_b(1) = 0\).

- Wie lassen sich Brüche oder Wurzeln als Potenzen schreiben? - Könnte es helfen, beide Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sie denselben Exponenten haben? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenzierst? - Überlege, welche Rechenregeln für Potenzen dir hier weiterhelfen könnten.

1. Anwendung der Definition \(\log_x(b) = a \Leftrightarrow x^a = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^{-7} = \frac{1}{128}\). Umformung zu \(\frac{1}{x^7} = \frac{1}{128}\), also \(x^7 = 128\). Ziehen der siebten Wurzel ergibt \(x = 2\). 3. Für b): Gleichung \(x^{1{,}5} = 2\sqrt{2}\). Da \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) und \(2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\), folgt direkt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{\frac{3}{2}} = 27\). Umformung durch Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\): \(x = 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 2\) c) \(x = 9\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für eine Basis, die selbst ein Bruch ist? - Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten ausdrücken? - Vergleiche am Ende deine drei Ergebnisse sorgfältig.

1. Aus \(\log_x8=1{,}5\) folgt \(x^{1{,}5}=8\). Mit \(1{,}5=\frac{3}{2}\) ergibt sich \(x^{\frac{3}{2}}=2^3\), also \(x=4\). 2. Aus \(\log_{0{,}5}x=-3\) folgt \(x=0{,}5^{-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=8\). 3. Aus \(\log_{10}\sqrt{10}=x\) folgt \(10^x=\sqrt{10}=10^{0{,}5}\), also \(x=0{,}5\). 4. Die drei Werte sind \(4\), \(8\) und \(0{,}5\). Daher ist \(0{,}5\) der kleinste Wert.

(1) \(x=4\) (2) \(x=8\) (3) \(x=0{,}5\) Kleinster Wert: \(0{,}5\)

- Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Prüfe bei einer Gleichung mit \(x^2\), ob mehrere algebraische Lösungen entstehen und ob ihre Logarithmusargumente zulässig sind. - Frage bei Teil 3, ob die Gleichung \(1^y=1\) einen eindeutig bestimmten Exponenten besitzt. - Erinnere dich: Eine zulässige Logarithmusbasis ist positiv und ungleich \(1\).

1. Umwandlung in die Potenzform: \(x^{\frac{1}{6}}=\sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\), folgt \(x^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}\). Potenzieren mit 6 ergibt \(x=(2^{\frac{1}{2}})^6=2^3=8\). 2. Anwendung der Definition: \(x^2+2=3^3\), also \(x^2+2=27\). Damit ist \(x^2=25\), also \(x_1=5\) oder \(x_2=-5\). Das Argument \(x^2+2\) hat für beide Werte den positiven Wert \(27\); daher sind beide Lösungen zulässig. 3. Die Basis eines Logarithmus muss positiv und ungleich \(1\) sein. Bei der Basis \(1\) wäre \(1^y=1\) für jedes \(y\) erfüllt. Der Exponent und damit der Logarithmuswert wären nicht eindeutig bestimmt; deshalb ist die Basis \(1\) ausgeschlossen.

1) \(x=8\) 2) \(x\in\{-5;5\}\) 3) Die Basis \(1\) ist ausgeschlossen, weil \(1^y=1\) für jedes \(y\) gilt und der Logarithmuswert dadurch nicht eindeutig wäre.

- Denke an die Bedingungen für die Basis \(x\) und das Argument \(a\) eines Logarithmus. - Welche Werte darf eine Basis niemals annehmen? - Kann man den Logarithmus von jeder beliebigen Zahl bilden? - Stelle die Gleichung in die Form \(x = \dots\) um, indem du die entsprechende Wurzel ziehst oder potenzierst.

Die allgemeine Form \(\log_x(a) = a\) entspricht \(x^a = a\) mit den Bedingungen für die Basis \(x > 0\), \(x \neq 1\) und das Argument \(a > 0\). 1. Für \(a = 3\): \(x^3 = 3 \implies x = \sqrt[3]{3}\). Da \(\sqrt[3]{3} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a = 1\): \(x^1 = 1 \implies x = 1\). Da die Basis eines Logarithmus laut Definition ungleich \(1\) sein muss, gibt es hier keine gültige Lösung. 3. Für \(a = \frac{1}{4}\): \(x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \implies x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}\). Da \(\frac{1}{256} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 4. Für \(a = -1\): Das Argument des Logarithmus muss stets positiv sein (\(a > 0\)). Daher ist \(\log_x(-1)\) nicht definiert und es existiert keine Lösung.

a) \(x = \sqrt[3]{3}\) b) Keine Lösung, da die Basis \(x \neq 1\) sein muss. c) \(x = \frac{1}{256}\) d) Keine Lösung, da das Argument \(a > 0\) sein muss.

- Versuche zuerst, den Ausdruck innerhalb der Klammer mithilfe der Potenzgesetze zu einer einzigen Potenz zu vereinfachen. - Wie schreibst du eine Quadratwurzel oder eine 5. Wurzel als Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst oder dividierst?

1. Zusammenfassen der Argumente im Logarithmus mithilfe der Potenzgesetze für Produkte (\(x^r \cdot x^s = x^{r+s}\)) und Quotienten (\(\frac{x^r}{x^s} = x^{r-s}\)). 2. Umwandlung von Wurzeln in rationale Exponenten: \(\sqrt{b} = b^{0{,}5}\), \(\sqrt[3]{c^2} = c^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt[5]{d} = d^{0{,}2}\). 3. Berechnung der resultierenden Exponenten: a) \(2 + 5 = 7\) b) \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) c) Direkte Umwandlung ergibt \(\frac{2}{3}\) d) \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\) (oder \(\frac{4}{5}\)).

a) \(7\) b) \(-2{,}5\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(0{,}8\)

- Schreibe die Logarithmen zuerst in die entsprechende Potenzform um. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis der Potenz? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Basis leichter zu erkennen? - Erinnere dich daran, dass ein rationaler Exponent wie \(1{,}5\) als Bruch \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Logarithmengleichungen in die Potenzschreibweise \(a^c = b\). 2. Zu a): \(a^{-3} = 0{,}001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(a = 10\). 3. Zu b): \(a^{1{,}5} = 8\). Umformen zu \(a^{\frac{3}{2}} = 8\), dann Quadrieren und Ziehen der dritten Wurzel: \(a = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\). 4. Zu c): \(a^{-1} = \frac{1}{7} = 7^{-1}\). Es folgt direkt \(a = 7\). 5. Zu d): \(a^{\frac{1}{3}} = 2\). Potenzieren beider Seiten mit \(3\) ergibt \(a = 2^3 = 8\).

a) \(a = 10\) b) \(a = 4\) c) \(a = 7\) d) \(a = 8\)

- Vereinfache zuerst jeweils den Teil mit dem Logarithmus im Exponenten. - Welche Umkehrbeziehung gilt für \(a^{\log_a b}\)? - Führe danach die verbleibenden Grundrechenarten aus.

1. Für a) ist \(3^{\log_3 4}=4\). Daher ergibt sich \(5\cdot4-7=13\). 2. Für b) ist \(10^{\log_{10}8}=8\) und \(10^{\log_{10}12}=12\). Daher ergibt sich \(20\). 3. Für c) ist \(6^{\log_6 18}=18\). Daher ergibt sich \(18:3=6\). 4. Für d) ist \(4^{\log_4 5}=5\). Daher ergibt sich \(5^2=25\).

a) \(13\) b) \(20\) c) \(6\) d) \(25\)

- Schreibe jede Logarithmusgleichung zunächst als passende Potenzgleichung. - Wenn die Basis gesucht ist, prüfe anschließend auch die Bedingungen an eine Logarithmusbasis. - Wenn der Logarithmuswert gesucht ist, versuche das Argument als Potenz der Logarithmusbasis darzustellen. - Variablen wie \(k\) ändern nichts an der Definition des Logarithmus.

1. Aus \(\log_x1000=3\) folgt \(x^3=1000\), also \(x=10\). 2. Aus \(\log_4x=2{,}5\) folgt \(x=4^{2{,}5}=4^2\sqrt4=32\). 3. Aus \(\left(\frac{1}{3}\right)^x=9=3^2\) folgt \(x=-2\). 4. Es gilt \(\sqrt{7^5}=7^{\frac{5}{2}}\). Daher ist \(x=\frac{5}{2}=2{,}5\). 5. Aus \(\log_b b^{k-1}=x\) folgt direkt \(x=k-1\).

a) \(x=10\) b) \(x=32\) c) \(x=-2\) d) \(x=2{,}5\) e) \(x=k-1\)

- Was passiert, wenn der Logarithmuswert als Exponent zur selben Basis verwendet wird? - Wie vereinfachst du einen Term der Form \(b^{\log_b y}\)? - Welche Wirkung haben Quadrieren und Quadratwurzel hier nacheinander?

1. Mit \(b^{\log_b y}=y\) gilt \(10^{\log_{10}\sqrt{x}}=\sqrt{x}\). 2. Daher ist \((\sqrt{x})^2=x\). 3. Ebenso gilt \(8^{\log_8(3x)}=3x\). 4. Somit ist \(T=x+3x=4x\).

\(4x\)

- Stelle dir vor, wie sich der Verlauf eines Graphen ändert, wenn man ihn an der Geraden \( y = x \) spiegelt. - Was passiert mit einer waagerechten Linie, wenn man alle ihre \( x \)- und \( y \)-Koordinaten vertauscht? - Wenn eine Funktion für sehr kleine Eingabewerte gegen Null geht, was bedeutet das für die Umkehrfunktion und deren Eingabewerte nahe Null?

1. Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion an der Geraden \( y = x \). Da diese Spiegelung die Anordnung der Punkte entlang der Kurve erhält (größere \( x \)-Werte der Exponentialfunktion führen zu größeren \( y \)-Werten und umgekehrt), bleibt das Steigungsverhalten erhalten. Wenn \( f \) streng monoton steigt, muss auch die gespiegelte Funktion \( g \) für steigende \( x \)-Werte steigende \( y \)-Werte aufweisen. 2. Durch die Spiegelung an \( y = x \) werden waagerechte Linien zu senkrechten Linien. Die waagerechte Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion wird somit zur senkrechten Asymptote \( x = 0 \) (die \( y \)-Achse) der Logarithmusfunktion. Da sich \( f(x) \) für \( x \to -\infty \) der \( 0 \) nähert, nähert sich \( g(x) \) für \( x \to 0 \) (von rechts) dem Wert \( -\infty \) an.

1. Da die Spiegelung an \( y = x \) die Ordnung der Funktionswerte erhält, folgt aus dem streng monoton steigenden Verhalten von \( f(x) = a^x \) direkt, dass auch \( g(x) = \log_a(x) \) streng monoton steigend ist. 2. Die Asymptote von \( g(x) \) ist die \( y \)-Achse mit der Gleichung \( x = 0 \). Sie ergibt sich durch Spiegelung der waagerechten Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden.

- Was passiert mit dem Logarithmus, wenn du für \( x \) den Wert \( 1 \) einsetzt? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: Wie kannst du eine Gleichung der Form \( \log_b(x) = y \) als Potenz schreiben? - Überlege dir die grundlegende Eigenschaft einer Funktion bezüglich der Zuordnung von \( x \)- und \( y \)-Werten.

1. Einsetzen von \( A(1 \mid 5) \) in die Funktionsgleichung: \( 5 = \log_b(1) + c \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) gilt, folgt direkt \( c = 5 \). 2. Einsetzen von \( B(16 \mid 9) \) und \( c = 5 \): \( 9 = \log_b(16) + 5 \), woraus \( \log_b(16) = 4 \) folgt. 3. Umstellen der Logarithmusgleichung in die Potenzform: \( b^4 = 16 \). Da die Basis \( b \) positiv sein muss, ergibt sich \( b = \sqrt[4]{16} = 2 \). Die Funktionsgleichung lautet \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). 4. Da \( \log_b(1) \) immer \( 0 \) ergibt, fällt der Term mit der Basis \( b \) bei \( x = 1 \) weg, wodurch \( c \) allein durch den \( y \)-Wert an dieser Stelle bestimmt wird. 5. Für die Punkte \( P \) und \( Q \) müsste gelten: \( f(2) = 3 \) und \( f(2) = 4 \). Da einer \( x \)-Koordinate in einer Funktion jedoch nur genau ein \( y \)-Wert zugeordnet werden darf, existiert keine solche Funktion.

a) \( c = 5 \) und \( b = 2 \). Die Funktion ist \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). b) Da \( \log_b(1) = 0 \) für jede Basis gilt, bleibt in der Gleichung nur \( y = c \) übrig. c) Nein, da einer \( x \)-Koordinate (\( x = 2 \)) zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet werden müssten, was der Definition einer Funktion widerspricht.

- Wie hängen der Logarithmus und die Potenzrechnung zusammen? Kannst du die Gleichung umschreiben? - Welche besonderen Regeln kennst du für Potenzen mit dem Exponenten 0 oder 1? - Überlege dir, welche Werte für die Basis eines Logarithmus überhaupt erlaubt sind. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz?

1. Umformung der Gleichungen in die Potenzform \(a^y = x\). 2. Zu a): \(a^3 = 64\). Da \(4^3 = 64\), ist die Basis \(a = 4\). 3. Zu b): \(a^1 = 11\). Da \(a^1 = a\), folgt direkt \(a = 11\). 4. Zu c): \(a^0 = 5\). Da für jede zulässige Basis \(a^0 = 1\) gilt, ist die Gleichung \(1 = 5\) ein Widerspruch. Es existiert keine Basis \(a\). 5. Zu d): \(a^{-2} = \frac{1}{25}\). Dies entspricht \(\frac{1}{a^2} = \frac{1}{25}\), also \(a^2 = 25\). Wegen der Bedingung \(a > 0\) ist die Basis \(a = 5\).

a) \(a = 4\) b) \(a = 11\) c) Keine Lösung, da \(a^0 = 1 \neq 5\) d) \(a = 5\)

- Schreibe jede Teilaufgabe zuerst als Potenzgleichung auf. - Wenn im Exponenten ein Bruch steht, wie kannst du diesen „umkehren“? - Was passiert, wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst? Gibt es hier eine eindeutige Lösung? - Erinnere dich daran, dass die Basis \(b\) immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition \(\log_b x = y \iff b^y = x\). 2. Zu a): \(b^3 = 1000\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(b = \sqrt[3]{1000} = 10\). 3. Zu b): \(b^{\frac{1}{3}} = 2\). Umformen durch Potenzieren mit 3 ergibt \(b = 2^3 = 8\). 4. Zu c): \(b^{-1} = 0{,}1\). Dies entspricht \(\frac{1}{b} = \frac{1}{10}\), woraus \(b = 10\) folgt. 5. Zu d): \(b^0 = 1\). Da \(b^0 = 1\) für jede positive Basis \(b \neq 1\) erfüllt ist, sind alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\) Lösungen.

a) \(b = 10\) b) \(b = 8\) c) \(b = 10\) d) Alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\)

- Welche Potenzgleichung gehört jeweils zur gegebenen Logarithmusgleichung? - Welche Lösungen entstehen bei der quadratischen Gleichung in b)? - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Werte positive Logarithmusargumente ergeben.

1. Aus \(\log_3(4x-5)=2\) folgt \(4x-5=3^2=9\). Damit ist \(x=3{,}5\); das Argument ist dann positiv. 2. Aus \(\log_{10}(x^2+19)=2\) folgt \(x^2+19=100\), also \(x^2=81\). Damit sind \(x=9\) und \(x=-9\) möglich; für beide ist das Argument positiv.

a) \(L=\{3{,}5\}\) b) \(L=\{-9;9\}\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Welche Zahl hoch 3 ergibt 125? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens.

1. Aus \(\log_a(125)=3\) folgt nach der Definition des Logarithmus \(a^3=125\). Daher ist \(a=5\). 2. Es gilt \(\frac{1}{25}=5^{-2}\). Daher ist \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\). 3. Aus \(\log_5(x)=5\) folgt \(x=5^5=3125\).

a) \(a=5\) b) \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\) c) \(x=3125\)

- Welche Zehnerpotenzen stehen hinter den drei Zahlen in a)? - Wie übersetzt du einen negativen Logarithmuswert in eine Zehnerpotenz? - Welche Regel zerlegt \(\log_{10}(10x)\)?

1. Wegen \(10^1=10\), \(10^2=100\) und \(10^6=1\,000\,000\) gilt \(\log_{10}10=1\), \(\log_{10}100=2\) und \(\log_{10}1\,000\,000=6\). 2. Aus \(\log_{10}x=-4\) folgt \(x=10^{-4}=0{,}0001\). 3. Mit der Produktregel gilt für \(x>0\): \(\log_{10}(10x)=\log_{10}10+\log_{10}x=1+\log_{10}x\). Eine Verzehnfachung erhöht den Wert daher um \(1\).

a) \(1\), \(2\), \(6\) b) \(x=0{,}0001\) c) \(\log_{10}(10x)=1+\log_{10}x\); der Logarithmuswert steigt um \(1\).

- Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Kannst du die Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus alleine auf einer Seite steht? - Wie lautet die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz? - Hilft es dir, die Dezimalzahl im Exponenten als Bruch zu schreiben? - Kannst du die Zahl 32 als Potenz einer kleineren Basis ausdrücken?

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(32 \mid 7{,}5)\) in die Funktionsgleichung: \(7{,}5 = 3 \cdot \log_b(32)\) 2. Isolation des Logarithmus durch Division durch 3: \(\log_b(32) = 2{,}5\) 3. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Umwandlung in eine Potenzgleichung: \(b^{2{,}5} = 32\) 4. Umschreiben des Exponenten als Bruch: \(b^{\frac{5}{2}} = 32\) 5. Auflösen nach \(b\) durch Potenzieren mit dem Kehrwert des Exponenten: \(b = 32^{\frac{2}{5}}\) 6. Berechnung des Wertes unter Verwendung von \(32 = 2^5\): \(b = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4\)

Die Basis ist \(b = 4\).

- Welche Koordinate eines Punktes ist immer Null, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Setze die entsprechende Koordinate in die Funktionsgleichung ein. - Isoliere den Logarithmus-Ausdruck in der Gleichung. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmus und Basis. - Welcher Exponent führt dazu, dass das Ergebnis der Potenz genau der Basis entspricht?

1. Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse: Da der Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse liegt, ist \(x = 0\). Der Punkt ist somit \(S(0 \mid -1)\). 2. Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung: \(-1 = \log_b(0 + 5) - 2\) 3. Vereinfachen und Isolieren des Logarithmus: \(\log_b(5) = 1\) 4. Umwandlung in die Potenzform: \(b^1 = 5\) 5. Bestimmung der Basis: \(b = 5\)

Die Basis ist \(b = 5\).

- Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. - Versuche, beide Seiten der Gleichung auf denselben Exponenten zu bringen. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, insbesondere \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) und \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). - Was passiert, wenn du beide Seiten einer Gleichung mit demselben Kehrwert des Exponenten potenzierst?

Die Gleichungen werden unter Verwendung der Definition \(\log_b a = c \iff b^c = a\) gelöst. 1. Zu a): \(b^{-3} = \frac{27}{8}\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\left(\frac{1}{b}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Daraus folgt \(\frac{1}{b} = \frac{3}{2}\), also \(b = \frac{2}{3}\). 2. Zu b): \(b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}}\). Da \(49 = 7^2\), gilt \(b^{\frac{2}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}\). Da \(b > 0\) gilt, folgt \(b = 7\). 3. Zu c): \(b^{-2} = 0{,}0625\). Da \(0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}\), gilt \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{16}\). Daraus folgt \(b^2 = 16\), und wegen \(b > 0\) ist \(b = 4\).

a) \(b = \frac{2}{3}\) b) \(b = 7\) c) \(b = 4\)

- Welcher Punkt auf dem Graphen verrät dir etwas über den Wert von \(a\), wenn du den \(x\)-Wert \(-1\) oder \(1\) betrachtest? - Wie nennt man die Umkehroperation zum Potenzieren mit einer festen Basis? - Versuche, die Zahl \(8\) und die Basis \(0{,}5\) als Potenzen der gleichen Grundzahl (zum Beispiel \(2\)) zu schreiben.

1. Am Graphen lässt sich der Punkt \(P(-1 \mid 2)\) ablesen. Einsetzen in den Funktionsterm ergibt \(f(-1) = a^{-1} = 2\). Daraus folgt \(\frac{1}{a} = 2\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}5^x\). 2. Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion zur Basis \(a\) ist die Logarithmusfunktion zur selben Basis. Somit gilt \(f^{-1}(x) = \log_{0{,}5}(x)\). 3. Zur Berechnung von \(f^{-1}(8)\) lösen wir die Gleichung \(0{,}5^y = 8\). Mit \(0{,}5 = 2^{-1}\) und \(8 = 2^3\) folgt \((2^{-1})^y = 2^3 \Rightarrow 2^{-y} = 2^3\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(-y = 3\), also \(y = -3\). Es gilt \(f^{-1}(8) = -3\).

a) \(a = 0{,}5\) b) \(f^{-1}(x) = \log_{0{,}5}(x)\) c) \(f^{-1}(8) = -3\)