Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Was bedeutet der Logarithmus zur Basis \(b\) anschaulich? - Erinnere dich an den Wert von Potenzen mit dem Exponenten \(0\). - Gehe schrittweise vor, indem du zuerst den Logarithmus auflöst und dann die verbleibende lineare Gleichung nach \(x\) umstellst.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus auf die Gleichung \(\log_2(x) = 6\) ergibt \(x = 2^6\), woraus \(x = 64\) folgt. 2. Umformung der zweiten Gleichung in die Potenzform \(2x + 15 = 5^3 = 125\). Durch Subtraktion von \(15\) erhält man \(2x = 110\), was nach Division durch \(2\) zu \(x = 55\) führt. 3. Da \(3^0 = 1\) ist, folgt aus \(\log_3(x - 4) = 0\) die lineare Gleichung \(x - 4 = 1\), also \(x = 5\). 4. Die Gleichung \(\log_{10}(0{,}1x) = 2\) wird zu \(0{,}1x = 10^2 = 100\) umgeformt. Multiplikation mit \(10\) ergibt \(x = 1000\).

a) \(x = 64\) b) \(x = 55\) c) \(x = 5\) d) \(x = 1000\)

- Was gibt der Logarithmuswert über die Beziehung zwischen Basis und Ergebnis einer Potenz an? - Wie hängen Basis, Exponent und Potenzwert zusammen? - Kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}001\) als Zehnerpotenz schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert eines Bruchs?

1. Umwandlung von Potenz- in Logarithmusform mittels der Definition \(b^c = a \Leftrightarrow \log_b a = c\): a) \(7^3 = 343 \Rightarrow \log_7 343 = 3\) b) \(2^{-4} = \frac{1}{16} \Rightarrow \log_2 \left(\frac{1}{16}\right) = -4\) 2. Umwandlung von Logarithmus- in Potenzform: c) \(\log_3 243 = 5 \Rightarrow 3^5 = 243\) 3. Bestimmung von \(x\) durch Anwendung der Definition und Potenzgesetze: d) \(10^x = 0{,}001\) entspricht \(\log_{10} 0{,}001 = x\). Da \(0{,}001 = 10^{-3}\), folgt \(x = -3\). e) \(\log_2 x = -3\) entspricht \(2^{-3} = x\). Da \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), folgt \(x = 0{,}125\).

a) \(\log_7 343 = 3\) b) \(\log_2 \frac{1}{16} = -4\) c) \(3^5 = 243\) d) \(x = -3\) e) \(x = 0{,}125\) (oder \(x = \frac{1}{8}\))

- Was bedeutet die Definition des Logarithmus als Umkehroperation zur Potenzbildung? - Wie verändern sich die Ergebnisse einer Potenz \(5^x\), wenn der Exponent \(x\) immer größer wird? - Was ist der kleinste Wert, den die Potenz \(5^x\) annehmen kann, wenn \(x\) mindestens 2 sein muss? - Gibt es eine untere Grenze für die Ergebnisse von Potenzen, selbst wenn der Exponent sehr klein oder negativ wäre?

1. Der Logarithmus \(\log_{5}(y) = x\) ist gleichbedeutend mit der Gleichung \(5^x = y\). 2. Da die Exponentialfunktion \(f(x) = 5^x\) für eine Basis größer als 1 streng monoton steigend ist, folgt aus der Bedingung \(x \ge 2\), dass \(5^x \ge 5^2\). 3. Mit \(5^2 = 25\) ergibt sich, dass nur für Werte \(y \ge 25\) ein Logarithmus existiert. 4. Alle positiven reellen Zahlen, die kleiner als 25 sind, besitzen somit keinen Logarithmus zur Basis 5 unter der gegebenen Einschränkung. Dies entspricht dem Intervall \((0; 25)\).

Alle Zahlen im Intervall \((0; 25)\), also alle Zahlen \(y\) mit \(0 < y < 25\).

- Wann ist das Innere eines Logarithmus nicht zulässig? - Kannst du die Nullstellen des quadratischen Ausdrucks bestimmen? - Hilft dir eine Skizze der Parabel dabei, die Bereiche unterhalb der x-Achse zu erkennen?

1. Ein Logarithmus \(\lg(A)\) ist genau dann nicht definiert, wenn sein Argument \(A \le 0\) ist. 2. Die Untersuchung der Ungleichung \(x^2 - 7x + 10 \le 0\) beginnt mit der Bestimmung der Nullstellen des quadratischen Terms: \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 3. Die Anwendung der p-q-Formel ergibt \(x_{1,2} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 10} = 3{,}5 \pm 1{,}5\). Die Nullstellen liegen somit bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 5\). 4. Da der Graph von \(y = x^2 - 7x + 10\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, nimmt der Term zwischen den Nullstellen und an den Nullstellen selbst Werte kleiner oder gleich Null an. 5. Der Ausdruck ist folglich für alle \(x\) im Intervall \([2; 5]\) nicht definiert.

\(x \in [2; 5]\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? - Was bedeutet ein negativer Exponent für das Ergebnis? - Was ergibt jede Basis (außer 0), wenn man sie mit 0 potenziert? - Kannst du einen Bruch im Exponenten als Wurzel schreiben?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b x = y \iff b^y = x\): \(x = 10^4 = 10\,000\) 2. Potenzrechnung mit negativem Exponenten: \(x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) 3. Potenzgesetze für den Exponenten Null: \(x = 7^0 = 1\) 4. Umrechnung des rationalen Exponenten in eine Wurzel: \(x = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)

a) \(x = 10\,000\) b) \(x = 0{,}125\) c) \(x = 1\) d) \(x = 5\)

- Überlege dir, mit welchem Exponenten man die Basis potenzieren muss, um den Wert im Logarithmus zu erhalten. - Kannst du Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen oder negativen Exponenten umschreiben? - Welche Zahl ergibt sich, wenn du die Identität \(\log_b(b^x)\) betrachtest?

1. Anwendung der grundlegenden Logarithmus-Identität \(\log_b(b^x) = x\). 2. Umformung der Ausdrücke in Potenzschreibweise: Bei b) gilt \(\frac{1}{3^k} = 3^{-k}\). Bei c) entspricht die Wurzel dem Exponenten \(\frac{1}{m}\), also \(2^{\frac{1}{m}}\). Bei d) wird der Bruch und die Wurzel kombiniert zu \(a^{-\frac{3}{4}}\). 3. Auslesen der Exponenten als Endergebnisse: a) \(n\), b) \(-k\), c) \(\frac{1}{m}\), d) \(-\frac{3}{4}\).

a) \(n\) b) \(-k\) c) \(\frac{1}{m}\) d) \(-\frac{3}{4}\)

- Wie lautet die grundlegende Definition des Logarithmus als Umkehrung einer Potenz? - Kannst du die Gleichung \(\log_a x = y\) in eine Potenzgleichung der Form \(a^y = x\) umschreiben? - Denke daran, dass \(x^{0{,}5}\) das Gleiche ist wie \(\sqrt{x}\). - Wie kannst du eine Gleichung mit einem negativen Exponenten so umformen, dass der Exponent positiv wird?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\). 2. Zu a): \(a^3 = 216\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(a = \sqrt[3]{216} = 6\). 3. Zu b): \(a^{0{,}5} = 5\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt durch Quadrieren \(\sqrt{a} = 5 \Rightarrow a = 5^2 = 25\). 4. Zu c): \(a^{-5} = \frac{1}{32}\). Umformen zu \(\frac{1}{a^5} = \frac{1}{2^5}\) ergibt durch Vergleich der Basen \(a = 2\). 5. Zu d): \(a^{0{,}5} = \sqrt{11}\). Da \(a^{0{,}5} = \sqrt{a}\), folgt \(\sqrt{a} = \sqrt{11}\) und somit \(a = 11\).

a) \(a = 6\) b) \(a = 25\) c) \(a = 2\) d) \(a = 11\)

- Was bedeutet der Logarithmus \(\log_a b\) eigentlich als Exponent zur Basis \(a\)? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zum Logarithmieren ist. - Gibt es eine allgemeine Regel für Terme der Form \(a^{\log_a x}\)?

Die Lösung basiert auf der Identität \(a^{\log_a b} = b\), die direkt aus der Definition des Logarithmus folgt. 1. Anwendung der Identität auf \(12^{\log_{12} 8}\) ergibt \(8\). 2. Anwendung auf \(10^{\lg(5a)}\) ergibt \(5a\), da \(\lg\) der Logarithmus zur Basis \(10\) ist. 3. Anwendung auf \(2^{\log_2 \sqrt{11}}\) ergibt \(\sqrt{11}\). 4. Anwendung auf \(x^{\log_x 25}\) ergibt \(25\).

a) \(8\) b) \(5a\) c) \(\sqrt{11}\) d) \(25\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis der Potenzierung ist. - Die Basis des Logarithmus entspricht immer der Basis der Potenz. - Der Logarithmus fragt nach dem Exponenten: „Mit was muss ich die Basis potenzieren, um das Ergebnis zu erhalten?“ - Die Wurzel zieht aus dem Potenzwert den Exponenten, um die Basis zu finden.

Die Umrechnung erfolgt durch Identifikation von Basis \(a\), Exponent \(b\) und Potenzwert \(c\) gemäß der Äquivalenz \(a^b = c \iff \sqrt[b]{c} = a \iff \log_a(c) = b\). 1. Für \(7^3 = 343\) ist \(a=7\), \(b=3\), \(c=343\). Wurzelform: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmusform: \(\log_7(343) = 3\). 2. Für \(\log_2(64) = 6\) ist \(a=2\), \(c=64\), \(b=6\). Potenzform: \(2^6 = 64\); Wurzelform: \(\sqrt[6]{64} = 2\). 3. Für \(\sqrt[4]{625} = 5\) ist \(b=4\), \(c=625\), \(a=5\). Potenzform: \(5^4 = 625\); Logarithmusform: \(\log_5(625) = 4\). 4. Für \((\frac{1}{2})^4 = 0{,}0625\) ist \(a=\frac{1}{2}\), \(b=4\), \(c=0{,}0625\). Wurzelform: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmusform: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\).

a) Wurzel: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmus: \(\log_7(343) = 3\) b) Potenz: \(2^6 = 64\); Wurzel: \(\sqrt[6]{64} = 2\) c) Potenz: \(5^4 = 625\); Logarithmus: \(\log_5(625) = 4\) d) Wurzel: \(\sqrt[4]{0{,}0625} = \frac{1}{2}\); Logarithmus: \(\log_{\frac{1}{2}}(0{,}0625) = 4\)

- Kannst du die Terme mit Logarithmen im Exponenten vereinfachen, bevor du die Gleichung löst? - Was bedeutet die Schreibweise \(\lg\) für die Basis des Logarithmus? - Ersetze die komplizierten Ausdrücke durch ihre berechneten Werte und löse dann die entstandene einfache Gleichung.

1. Vereinfachung der Potenzen mit Logarithmen im Exponenten unter Nutzung der Eigenschaft \(b^{\log_b y} = y\): \(5^{\log_5 4} = 4\), \(10^{\lg 31} = 31\) und \(2^{\log_2 9} = 9\). 2. Einsetzen der vereinfachten Werte in die Ausgangsgleichung: \(a \cdot 4 = 31 + 9\). 3. Berechnung der Summe auf der rechten Seite: \(31 + 9 = 40\). 4. Auflösen nach \(a\) durch Division: \(a = 40 : 4 = 10\).

\(a = 10\)

- Wie hängen der Logarithmus und die Potenzrechnung zusammen? - Kannst du die gegebene Funktionsgleichung mit dem Punkt \(P\) in eine Potenzgleichung umwandeln? - Welche Zahl ergibt hoch fünf genommen gerade \(32\)? - Setze die gefundene Basis in die Funktion ein, um den zweiten Wert zu berechnen.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(32; 5)\) in die Funktionsgleichung: \(5 = \log_a(32)\). 2. Anwendung der Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz: \(a^5 = 32\). 3. Auflösen nach \(a\): Da \(2^5 = 32\), folgt \(a = 2\). 4. Berechnung des gesuchten Funktionswertes: \(f(8) = \log_2(8)\). 5. Bestimmung des Ergebnisses: Wegen \(2^3 = 8\) ist \(f(8) = 3\).

Die Basis ist \(a = 2\). Der Funktionswert an der Stelle \(x = 8\) ist \(f(8) = 3\).

- Wenn die Basis \(x\) gesucht ist, hilft das Wurzelziehen nach dem Umstellen. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz? - Nutze die Eigenschaft, dass Logarithmus und Potenzieren mit derselben Basis zueinander umgekehrt sind. - Ein Exponent von \(1{,}5\) kann als \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden – das hilft beim Rechnen ohne Taschenrechner.

1. Die Gleichung \(\log_x(81) = 4\) wird als Potenz \(x^4 = 81\) geschrieben. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich durch Ziehen der vierten Wurzel \(x = 3\). 2. Anwendung der Definition ergibt \(x = 4^{-1}\). Dies entspricht dem Kehrwert, also \(x = 0{,}25\). 3. Unter Verwendung der Identität \(\log_b(b^a) = a\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(3x - 1 = 8\). Addition von \(1\) und Division durch \(3\) liefert \(x = 3\). 4. Umformung in die Potenzform ergibt \(3x = 9^{1{,}5}\). Da \(9^{1{,}5} = 9^1 \cdot 9^{0{,}5} = 9 \cdot \sqrt{9} = 27\) ist, folgt \(3x = 27\) und somit \(x = 9\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 0{,}25\) c) \(x = 3\) d) \(x = 9\)

- Wie kann man eine Wurzel als Potenz schreiben? - Überlege dir, welche Frage man stellt, wenn man einen Logarithmus berechnet. - Was passiert, wenn du eine positive Zahl (wie die 2) immer wieder mit sich selbst multiplizierst oder teilst? Kann das Ergebnis negativ werden? - Erinnere dich an die Definition: \(b^x = a\). Was weißt du über das Vorzeichen von \(a\), wenn \(b\) positiv ist?

1. Berechnung der Logarithmen: \(\log_2 64 = 6\), da \(2^6 = 64\). \(\log_{10} \sqrt{10} = \log_{10} (10^{0{,}5}) = 0{,}5\), da \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}\). 2. Analyse des allgemeinen Ausdrucks: \(\log_b (b^5) = 5\). Die Definition fragt nach dem Exponenten, mit dem man \(b\) potenzieren muss, um \(b^5\) zu erhalten. Dieser Exponent ist offensichtlich 5. 3. Untersuchung der Existenz: Die Gleichung \(\log_2 (-8) = x\) ist äquivalent zu \(2^x = -8\). Da eine Potenz mit einer positiven Basis (\(2 > 0\)) für jeden reellen Exponenten \(x\) immer ein positives Ergebnis liefert (\(2^x > 0\)), kann das Ergebnis niemals \(-8\) sein. Daher ist der Logarithmus für negative Zahlen nicht definiert.

a) \(\log_2 64 = 6\) und \(\log_{10} \sqrt{10} = 0{,}5\) b) \(\log_b (b^5) = 5\), da \(b^5\) die Potenz zur Basis \(b\) mit dem Exponenten 5 ist. c) Die Gleichung \(2^x = -8\) hat keine Lösung, da Potenzen mit positiver Basis stets positiv sind.

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: \(y = \log_a(x)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Funktionswerts, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert? - Überlege dir den Verlauf des Graphen für eine Basis größer als 1. Wo liegt die Nullstelle?

1. Definitionsbereich: Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, gilt für beide Funktionen \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x) = \log_2(x)\): \(f(0{,}25) = -2\); \(f(1) = 0\); \(f(2) = 1\); \(f(4) = 2\). Für \(g(x) = \log_{0{,}5}(x)\): \(g(0{,}25) = 2\); \(g(1) = 0\); \(g(2) = -1\); \(g(4) = -2\). 3. Nachweis der Spiegelung: Mit der gegebenen Identität folgt \(g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) = -\log_2(x) = -f(x)\). Ein negativer Vorfaktor der gesamten Funktionsgleichung entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Vorzeichen von \(f(0{,}75)\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Wegen \(f(1) = 0\) und \(0{,}75 < 1\) muss \(f(0{,}75) < 0\) gelten. Der Wert ist also negativ.

a) \(D = \mathbb{R}^+\) bzw. \(x > 0\). b) \(f\): \(-2; 0; 1; 2\). \(g\): \(2; 0; -1; -2\). c) Wegen \(g(x) = -f(x)\) liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. d) Negativ, da \(f\) für \(a > 1\) streng monoton steigt und \(0{,}75\) kleiner als die Nullstelle \(1\) ist.

- Wie verhält sich eine Exponentialfunktion, wenn die Basis größer als 1 ist? - Wie verhält sie sich im Gegensatz dazu, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt? - Was passiert mit dem Wert der Potenz, wenn der Exponent \(x\) den Wert 1 überschreitet? - Können Potenzwerte negativ oder Null werden?

1. Fall \(b = 2\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f(x) = 2^x\) streng monoton steigend. Für \(x > 1\) gilt \(2^x > 2^1\), also \(y > 2\). Der Logarithmus existiert für \(y \in (2; \infty)\). 2. Fall \(b = 0{,}5\): Da die Basis \(0 < 0{,}5 < 1\) ist, ist die Funktion \(g(x) = 0{,}5^x\) streng monoton fallend. Für \(x > 1\) gilt \(0{,}5^x < 0{,}5^1\), also \(y < 0{,}5\). Da Potenzen mit positiver Basis immer größer als 0 sind, folgt \(0 < y < 0{,}5\). Der Logarithmus existiert für \(y \in (0; 0{,}5)\). 3. Vergleich: Bei einer Basis größer als 1 führen größere Exponenten zu größeren Werten für \(y\). Bei einer Basis zwischen 0 und 1 führen größere Exponenten zu kleineren Werten für \(y\), die sich der Null annähern.

a) Für \(b = 2\) besitzen alle Zahlen \(y > 2\) einen Logarithmus. b) Für \(b = 0{,}5\) besitzen alle Zahlen \(0 < y < 0{,}5\) einen Logarithmus. Vergleich: Während bei \(b = 2\) nur große Zahlen einen Logarithmus haben, sind es bei \(b = 0{,}5\) nur kleine Zahlen nahe Null.

- Überlege dir zuerst, wo das \(x\) steht: Ist es die Basis, die mit sich selbst multipliziert wird, oder gibt es an, wie oft eine feste Zahl multipliziert wird? - Achte bei geraden Exponenten darauf, ob es mehr als eine Zahl gibt, die beim Potenzieren dasselbe Ergebnis liefert. - Denk an den Graphen einer Exponentialfunktion – verläuft dieser jemals unterhalb der x-Achse?

1. Berechnung der Lösungen: (1) \(x^4 = 16 \implies x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2\) (zwei reelle Lösungen). (2) \(2^x = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4\) (eine eindeutige Lösung). (3) \(x^{-1} = 0{,}2 \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \implies x = 5\). (4) \(5^x = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \implies x = \frac{2}{3}\). 2. Struktureller Unterschied: In (1) und (3) handelt es sich um Potenzgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) in der Basis steht. In (2) und (4) handelt es sich um Exponentialgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) im Exponenten steht. 3. Begründung der Lösbarkeit: Die Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)) nimmt nur positive Werte an, weshalb \(10^x = -10\) unmöglich ist. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (wie \(x^3\)) bilden hingegen den gesamten reellen Zahlenbereich ab, weshalb negative Zielwerte erreicht werden können (\(x = -10\)).

a) (1) \(x_1 = 2, x_2 = -2\); (2) \(x = 4\); (3) \(x = 5\); (4) \(x = \frac{2}{3}\) b) Bei (1) und (3) ist \(x\) die Basis (Potenzgleichung), bei (2) und (4) ist \(x\) der Exponent (Exponentialgleichung). c) \(10^x\) ist für alle reellen \(x\) immer positiv, daher kann das Ergebnis niemals \(-10\) sein. \(x^3\) kann dagegen negative Werte annehmen (hier \(x = -10\)).

- Identifiziere in jedem gegebenen Ausdruck zuerst, was die Basis und was der Exponent ist. - Erinnere dich daran, dass der Logarithmus immer den Exponenten als Ergebnis liefert. - Die Wurzel mit dem Exponenten als Wurzelexponent liefert die Basis zurück. - Achte darauf, welche Zahl an welcher Stelle in der jeweiligen Formel steht.

1. Zeile 1: Aus \(\sqrt[4]{625} = 5\) folgt die Potenzform \(5^4 = 625\). Der Exponent ist \(4\), die Basis \(5\). Damit ergibt sich die Logarithmusform \(\log_{5}(625) = 4\). 2. Zeile 2: Aus \(\log_{3}(243) = 5\) folgt die Potenzform \(3^5 = 243\). Die Basis ist \(3\), der Exponent \(5\). Damit ergibt sich die Wurzelform \(\sqrt[5]{243} = 3\). 3. Zeile 3: Aus \(7^3 = 343\) folgt direkt die Wurzelform \(\sqrt[3]{343} = 7\) und die Logarithmusform \(\log_{7}(343) = 3\).

Zeile 1: Potenz: \(5^4 = 625\); Logarithmus: \(\log_{5}(625) = 4\) Zeile 2: Potenz: \(3^5 = 243\); Wurzel: \(\sqrt[5]{243} = 3\) Zeile 3: Wurzel: \(\sqrt[3]{343} = 7\); Logarithmus: \(\log_{7}(343) = 3\)

- Erinnere dich an die Definition des Logarithmus als Umkehrung der Potenz. - Welche Basis ist bei der Abkürzung \(\lg\) gemeint? - Wie kannst du eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was passiert mit der Basis, wenn der Exponent negativ ist?

1. Umformung in die Potenzschreibweise: \(x = 3^4 = 81\) 2. Berechnung mit negativem Exponenten: \(x = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0{,}04\) 3. Umwandlung des Dezimalbruchs im Exponenten: \(x = 9^{2{,}5} = 9^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{9})^5 = 3^5 = 243\) 4. Bestimmung der Basis bei der Schreibweise \(\lg\) (Basis 10): \(x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1\)

a) \(x = 81\) b) \(x = 0{,}04\) c) \(x = 243\) d) \(x = 0{,}1\)

- Versuche zuerst, den Ausdruck innerhalb der Klammer mithilfe der Potenzgesetze zu einer einzigen Potenz zu vereinfachen. - Wie schreibst du eine Quadratwurzel oder eine 5. Wurzel als Exponenten? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst oder dividierst?

1. Zusammenfassen der Argumente im Logarithmus mithilfe der Potenzgesetze für Produkte (\(x^r \cdot x^s = x^{r+s}\)) und Quotienten (\(\frac{x^r}{x^s} = x^{r-s}\)). 2. Umwandlung von Wurzeln in rationale Exponenten: \(\sqrt{b} = b^{0{,}5}\), \(\sqrt[3]{c^2} = c^{\frac{2}{3}}\) und \(\sqrt[5]{d} = d^{0{,}2}\). 3. Berechnung der resultierenden Exponenten: a) \(2 + 5 = 7\) b) \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) c) Direkte Umwandlung ergibt \(\frac{2}{3}\) d) \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\) (oder \(\frac{4}{5}\)).

a) \(7\) b) \(-2{,}5\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(0{,}8\)

- Schreibe die Logarithmen zuerst in die entsprechende Potenzform um. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis der Potenz? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Basis leichter zu erkennen? - Erinnere dich daran, dass ein rationaler Exponent wie \(1{,}5\) als Bruch \(\frac{3}{2}\) geschrieben werden kann.

1. Umwandlung der Logarithmengleichungen in die Potenzschreibweise \(a^c = b\). 2. Zu a): \(a^{-3} = 0{,}001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(a = 10\). 3. Zu b): \(a^{1{,}5} = 8\). Umformen zu \(a^{3/2} = 8\), dann Quadrieren und Ziehen der dritten Wurzel: \(a = 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\). 4. Zu c): \(a^{-1} = \frac{1}{7} = 7^{-1}\). Es folgt direkt \(a = 7\). 5. Zu d): \(a^{1/3} = 2\). Potenzieren beider Seiten mit \(3\) ergibt \(a = 2^3 = 8\).

a) \(a = 10\) b) \(a = 4\) c) \(a = 7\) d) \(a = 8\)

- Versuche zuerst, den Teil des Terms zu vereinfachen, der den Logarithmus im Exponenten enthält. - Erinnere dich an die Definition: \(a^{\log_a b}\) ist die Zahl, die man erhält, wenn man \(a\) mit dem Logarithmus von \(b\) zur Basis \(a\) potenziert. - Wende nach der Vereinfachung des Logarithmus-Terms die ganz normalen Vorrangregeln der Arithmetik (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) an.

1. Für Teilaufgabe a) wird zunächst \(3^{\log_3 4} = 4\) berechnet. Dann folgt \(5 \cdot 4 - 7 = 20 - 7 = 13\). 2. In Teilaufgabe b) nutzt man \(10^{\lg 8} = 8\) und \(10^{\lg 12} = 12\). Die Summe ergibt \(8 + 12 = 20\). 3. Bei Teilaufgabe c) ergibt der Zähler \(6^{\log_6 18} = 18\). Die Division durch \(3\) liefert \(18 : 3 = 6\). 4. Für Teilaufgabe d) vereinfacht sich die Basis in der Klammer zu \(4^{\log_4 5} = 5\). Das Quadrat davon ist \(5^2 = 25\).

a) \(13\) b) \(20\) c) \(6\) d) \(25\)

- Überlege, was passiert, wenn man eine Zahl erst logarithmiert und das Ergebnis dann als Exponenten zur selben Basis verwendet. - Gibt es eine Kurzschreibweise für Terme der Form \(b^{\log_b y}\)? - Beachte, wie sich das Quadrieren und die Quadratwurzel gegenseitig beeinflussen. - Versuche, die beiden Summanden nacheinander zu vereinfachen.

1. Anwendung der Identität \(b^{\log_b y} = y\) auf den Ausdruck in der Klammer: \(10^{\lg \sqrt{x}} = \sqrt{x}\). 2. Quadrieren des Ergebnisses: \((\sqrt{x})^2 = x\). 3. Anwendung derselben Identität auf den zweiten Summanden: \(8^{\log_8(3x)} = 3x\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(x + 3x = 4x\).

\(4x\)

- Was geschieht mit den Rollen von \( x \) und \( y \), wenn man eine Funktion umkehrt? - Wie hängen die Definitionsmenge einer Funktion und die Wertemenge ihrer Umkehrfunktion zusammen? - Wenn ein Punkt \( (a|b) \) auf einem Funktionsgraphen liegt, welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen der Umkehrfunktion?

1. Bei einer Umkehrfunktion werden Definitions- und Wertebereich der Ausgangsfunktion vertauscht. Somit gilt für die Logarithmusfunktion \( g \): \( D_g = W_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \) (alle positiven reellen Zahlen) und \( W_g = D_f = \mathbb{R} \) (alle reellen Zahlen). 2. Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, werden die Koordinaten der Punkte vertauscht. Aus \( P(0|1) \) auf dem Graphen von \( f \) folgt der Punkt \( P'(1|0) \) auf dem Graphen von \( g \). Dieser Punkt \( P' \) zeigt, dass die Logarithmusfunktion \( g(x) = \log_5(x) \) ihre Nullstelle bei \( x = 1 \) hat.

1. \( D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \); \( W_g = \mathbb{R} \). 2. Der Punkt ist \( P'(1|0) \). Dies bedeutet, dass die Logarithmusfunktion die Nullstelle \( x = 1 \) besitzt.

- Was passiert mit dem Logarithmus, wenn du für \( x \) den Wert \( 1 \) einsetzt? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: Wie kannst du eine Gleichung der Form \( \log_b(x) = y \) als Potenz schreiben? - Überlege dir die grundlegende Eigenschaft einer Funktion bezüglich der Zuordnung von \( x \)- und \( y \)-Werten.

1. Einsetzen von \( A(1 \mid 5) \) in die Funktionsgleichung: \( 5 = \log_b(1) + c \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) gilt, folgt direkt \( c = 5 \). 2. Einsetzen von \( B(16 \mid 9) \) und \( c = 5 \): \( 9 = \log_b(16) + 5 \), woraus \( \log_b(16) = 4 \) folgt. 3. Umstellen der Logarithmusgleichung in die Potenzform: \( b^4 = 16 \). Da die Basis \( b \) positiv sein muss, ergibt sich \( b = \sqrt[4]{16} = 2 \). Die Funktionsgleichung lautet \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). 4. Da \( \log_b(1) \) immer \( 0 \) ergibt, fällt der Term mit der Basis \( b \) bei \( x = 1 \) weg, wodurch \( c \) allein durch den \( y \)-Wert an dieser Stelle bestimmt wird. 5. Für die Punkte \( P \) und \( Q \) müsste gelten: \( f(2) = 3 \) und \( f(2) = 4 \). Da einer \( x \)-Koordinate in einer Funktion jedoch nur genau ein \( y \)-Wert zugeordnet werden darf, existiert keine solche Funktion.

a) \( c = 5 \) und \( b = 2 \). Die Funktion ist \( f(x) = \log_2(x) + 5 \). b) Da \( \log_b(1) = 0 \) für jede Basis gilt, bleibt in der Gleichung nur \( y = c \) übrig. c) Nein, da einer \( x \)-Koordinate (\( x = 2 \)) zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet werden müssten, was der Definition einer Funktion widerspricht.

- Wie hängen der Logarithmus und die Potenzrechnung zusammen? Kannst du die Gleichung umschreiben? - Welche besonderen Regeln kennst du für Potenzen mit dem Exponenten 0 oder 1? - Überlege dir, welche Werte für die Basis eines Logarithmus überhaupt erlaubt sind. - Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz?

1. Umformung der Gleichungen in die Potenzform \(a^y = x\). 2. Zu a): \(a^3 = 64\). Da \(4^3 = 64\), ist die Basis \(a = 4\). 3. Zu b): \(a^1 = 11\). Da \(a^1 = a\), folgt direkt \(a = 11\). 4. Zu c): \(a^0 = 5\). Da für jede zulässige Basis \(a^0 = 1\) gilt, ist die Gleichung \(1 = 5\) ein Widerspruch. Es existiert keine Basis \(a\). 5. Zu d): \(a^{-2} = \frac{1}{25}\). Dies entspricht \(\frac{1}{a^2} = \frac{1}{25}\), also \(a^2 = 25\). Wegen der Bedingung \(a > 0\) ist die Basis \(a = 5\).

a) \(a = 4\) b) \(a = 11\) c) Keine Lösung, da \(a^0 = 1 \neq 5\) d) \(a = 5\)

- Schreibe jede Teilaufgabe zuerst als Potenzgleichung auf. - Wenn im Exponenten ein Bruch steht, wie kannst du diesen „umkehren“? - Was passiert, wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst? Gibt es hier eine eindeutige Lösung? - Erinnere dich daran, dass die Basis \(b\) immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition \(\log_b x = y \iff b^y = x\). 2. Zu a): \(b^3 = 1000\). Ziehen der Kubikwurzel ergibt \(b = \sqrt[3]{1000} = 10\). 3. Zu b): \(b^{\frac{1}{3}} = 2\). Umformen durch Potenzieren mit 3 ergibt \(b = 2^3 = 8\). 4. Zu c): \(b^{-1} = 0{,}1\). Dies entspricht \(\frac{1}{b} = \frac{1}{10}\), woraus \(b = 10\) folgt. 5. Zu d): \(b^0 = 1\). Da \(b^0 = 1\) für jede positive Basis \(b \neq 1\) erfüllt ist, sind alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\) Lösungen.

a) \(b = 10\) b) \(b = 8\) c) \(b = 10\) d) Alle \(b \in \mathbb{R}^+\) mit \(b \neq 1\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreibt. - Welche Zahl hoch 3 ergibt 125? - Wie hängen Brüche mit negativen Exponenten zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus als Umkehrung des Potenzierens.

1. Zur Bestimmung der Basis \(a\) wird der Punkt \(P(125 \mid 3)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(\log_a(125) = 3\). Dies entspricht der Exponentialgleichung \(a^3 = 125\). Durch Ziehen der Kubikwurzel ergibt sich \(a = 5\). 2. Für die Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = \frac{1}{25}\) wird \(f\left(\frac{1}{25}\right) = \log_5\left(\frac{1}{25}\right)\) gebildet. Da \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\) gilt, ist der Funktionswert \(-2\). 3. Zur Bestimmung von \(x\) für \(f(x) = 5\) wird die Gleichung \(\log_5(x) = 5\) gelöst. Die Umkehrung ergibt \(x = 5^5\), woraus \(x = 3\,125\) folgt.

a) \(a = 5\) b) \(f\left(\frac{1}{25}\right) = -2\) c) \(x = 3\,125\)

- Was gibt der Logarithmus zur Basis 10 über die Zehnerpotenzen an? - Wie lässt sich eine Zahl mit negativem Exponenten als Dezimalzahl schreiben? - Welches Logarithmusgesetz hilft dir, wenn im Argument ein Produkt steht? - Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(10 \cdot x\) ersetzt.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Basis 10: \(\log_{10}(10) = 1\), da \(10^1 = 10\). Entsprechend ist \(\log_{10}(100) = 2\) (wegen \(10^2 = 100\)) und \(\log_{10}(1\,000\,000) = 6\) (wegen \(10^6 = 1\,000\,000\)). 2. Um das Argument für \(y = -4\) zu finden, wird die Gleichung \(\log_{10}(x) = -4\) nach \(x\) aufgelöst. Dies ergibt \(x = 10^{-4} = 0{,}0001\). 3. Ersetzt man in der Funktion \(h(x) = \log_{10}(x)\) das Argument \(x\) durch \(10x\), erhält man \(h(10x) = \log_{10}(10 \cdot x)\). Nach den Logarithmusgesetzen gilt \(\log_{10}(10 \cdot x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x)\). Da \(\log_{10}(10) = 1\) ist, ergibt sich \(1 + \log_{10}(x) = 1 + h(x)\). Der Wert ist also um 1 größer als der ursprüngliche Funktionswert.

a) \(h(10) = 1\); \(h(100) = 2\); \(h(1\,000\,000) = 6\) b) \(x = 0{,}0001\) c) Es gilt \(\log_{10}(10x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x)\).

- Was bedeutet ein negativer Exponent bei einer Potenz? - Denke daran, dass die Basis \(b\) einer Logarithmusfunktion immer positiv sein muss. - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen.

1. Teilaufgabe a): Einsetzen des Punktes \(Q\) führt zu \(-2 = \log_b\left(\frac{1}{9}\right)\). 2. Umformung in die Potenzform: \(b^{-2} = \frac{1}{9}\). 3. Anwendung der Definition negativer Exponenten: \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{9}\), woraus \(b^2 = 9\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ist \(b = 3\). 4. Teilaufgabe b): Einsetzen der Koordinaten von \(R(27; 3)\) in die Funktionsgleichung \(y = \log_3(x)\). 5. Prüfung der Gleichung: \(3 = \log_3(27)\). Da \(3^3 = 27\) gilt, ist die Aussage wahr. Der Punkt \(R\) liegt somit auf dem Graphen.

a) Die Basis ist \(b = 3\). b) Ja, der Punkt \(R(27; 3)\) liegt auf dem Graphen, da \(\log_3(27) = 3\) eine wahre Aussage ist.

- Welche Zahlen darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Wann wird ein Logarithmus Null? - Wie beeinflusst die Größe der Basis (größer oder kleiner als 1) den Verlauf des Graphen? - Erinnerst du dich an einen Zusammenhang zwischen Basen wie \(4\) und \(0{,}25\)? - Was passiert mit einem Funktionsgraphen, wenn man alle \(y\)-Werte mit \(-1\) multipliziert?

1. Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, ist der Definitionsbereich für beide Funktionen \(D = \mathbb{R}^+\) (bzw. \(x > 0\)). Die Nullstelle berechnet sich aus \(\log_b(x) = 0\), was für jede Basis \(b\) bei \(x = 1\) der Fall ist. Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt also bei \(N(1|0)\). 2. Da die Basis von \(f\) mit \(4 > 1\) größer als 1 ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Die Basis von \(g\) ist \(0{,}25\). Da \(0 < 0{,}25 < 1\) gilt, ist die Funktion \(g\) streng monoton fallend. 3. Es gilt \(0{,}25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}\). Mit der Umrechnungsformel oder der Definition des Logarithmus folgt \(g(x) = \log_{4^{-1}}(x) = \frac{\log_4(x)}{\log_4(4^{-1})} = \frac{\log_4(x)}{-1} = -\log_4(x)\). Da \(g(x) = -f(x)\) gilt, entsteht der Graph von \(g\) durch Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse.

1. Definitionsbereich: \(D = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(1|0)\). 2. \(f\) ist streng monoton steigend; \(g\) ist streng monoton fallend. 3. Die Graphen sind an der \(x\)-Achse gespiegelt, da \(g(x) = -f(x)\) gilt.

- Wie hängen die Basis, der Logarithmuswert und das Argument zusammen? (Definition des Logarithmus) - Überlege dir, welche Potenz von \(b\) die Zahl \(10\) ergibt. - Stell dir den typischen Verlauf einer Logarithmusfunktion mit einer Basis größer als 1 vor. - Wie verändert sich das Vorzeichen des Logarithmus, wenn man die Basis durch ihren Kehrwert ersetzt?

1. Durch Einsetzen von \(P(10|1)\) in \(y = \log_b(x)\) erhält man \(1 = \log_b(10)\). Nach der Definition des Logarithmus gilt \(b^1 = 10\), also ist die Basis \(b = 10\). 2. Da die Basis \(b = 10 > 1\) ist, nähert sich die Funktion für \(x \to 0\) der vertikalen Asymptote (der \(y\)-Achse) an, die Funktionswerte gehen gegen minus unendlich (\(h(x) \to -\infty\)). Für \(x \to \infty\) wachsen die Funktionswerte unbegrenzt (\(h(x) \to \infty\)). 3. Die Basis von \(k\) ist \(\frac{1}{10} = 0{,}1\). Gesucht ist \(k(100) = \log_{0{,}1}(100)\). Es gilt \(0{,}1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 = 100\). Somit ist der Funktionswert \(k(100) = -2\).

1. \(b = 10\) 2. Für \(x \to 0\) gilt \(h(x) \to -\infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to \infty\). 3. \(k(100) = -2\)

- Wann ist ein quadratischer Ausdruck wie \(16 - x^2\) größer als Null? - Wie verhalten sich die Funktionswerte einer fallenden Funktion, wenn die Eingabewerte größer werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Logarithmus und der Exponentialschreibweise. - Beachte bei der Suche nach der Basis \(x\), welche Einschränkungen für die Basis eines Logarithmus grundsätzlich gelten.

1. Definitionsbereich von \(h(x)\): Die Bedingung \(16 - x^2 > 0\) führt auf \(x^2 < 16\), woraus \(-4 < x < 4\) folgt. Somit ist \(D = ]-4; 4[\). 2. Bedingung für \(a\): Damit sich das Relationszeichen zwischen den Argumenten \(m\) und \(n\) im Vergleich zu den Logarithmuswerten umkehrt, muss die Funktion streng monoton fallend sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(0 < a < 1\) gilt. 3. Analyse der Basis \(a\): Da das Argument \(4 > 1\) ist, der Logarithmuswert \(-2\) jedoch negativ ist, muss die Funktion den Wert \(0\) bei \(x = 1\) unterschreiten. Das bedeutet, die Funktion ist streng monoton fallend, woraus \(0 < a < 1\) folgt. (Alternativ: \(a^{-2} = 4 \Rightarrow \frac{1}{a^2} = 4 \Rightarrow a^2 = 0{,}25 \Rightarrow a = 0{,}5\)). 4. Lösung der Gleichung: Aus \(\log_x(625) = 4\) folgt gemäß der Definition \(x^4 = 625\). Die vierte Wurzel aus \(625\) ist \(5\). Da die Basis eines Logarithmus positiv und ungleich \(1\) sein muss, ist \(x = 5\) die einzige Lösung.

a) \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x < 4\}\). b) \(0 < a < 1\), da die Funktion streng monoton fallend sein muss, um die Ordnung der Argumente umzukehren. c) \(0 < a < 1\), da der Logarithmus eines Wertes \(>1\) nur bei einer fallenden Funktion negativ sein kann. d) \(x = 5\).

- Was muss für das Argument des Logarithmus gelten, damit er für alle Zahlen definiert ist? - Wann hat eine quadratische Funktion keine Nullstellen? - Welcher Teil einer Lösungsformel entscheidet darüber, ob es Schnittpunkte mit der x-Achse gibt? - Wie muss die Parabel im Koordinatensystem liegen, damit sie immer oberhalb der x-Achse bleibt?

1. Der Ausdruck ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert, wenn das Argument des Logarithmus stets positiv ist: \(x^2 + 6x + c > 0\) für alle \(x\). 2. Die Funktion \(f(x) = x^2 + 6x + c\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel. Diese ist genau dann überall positiv, wenn sie die x-Achse weder berührt noch schneidet. 3. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die quadratische Gleichung \(x^2 + 6x + c = 0\) keine reellen Lösungen besitzt. 4. Die Diskriminante \(D\) der p-q-Formel muss also negativ sein: \(D = (\frac{p}{2})^2 - q < 0\). 5. Einsetzen der Werte \(p = 6\) und \(q = c\) führt zu \((\frac{6}{2})^2 - c < 0\), also \(9 - c < 0\). 6. Daraus folgt die Bedingung \(c > 9\).

\(c > 9\)

- Stelle dir vor, wie sich der Verlauf eines Graphen ändert, wenn man ihn an der Geraden \( y = x \) spiegelt. - Was passiert mit einer waagerechten Linie, wenn man alle ihre \( x \)- und \( y \)-Koordinaten vertauscht? - Wenn eine Funktion für sehr kleine Eingabewerte gegen Null geht, was bedeutet das für die Umkehrfunktion und deren Eingabewerte nahe Null?

1. Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion an der Geraden \( y = x \). Da diese Spiegelung die Anordnung der Punkte entlang der Kurve erhält (größere \( x \)-Werte der Exponentialfunktion führen zu größeren \( y \)-Werten und umgekehrt), bleibt das Steigungsverhalten erhalten. Wenn \( f \) streng monoton steigt, muss auch die gespiegelte Funktion \( g \) für steigende \( x \)-Werte steigende \( y \)-Werte aufweisen. 2. Durch die Spiegelung an \( y = x \) werden waagerechte Linien zu senkrechten Linien. Die waagerechte Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion wird somit zur senkrechten Asymptote \( x = 0 \) (die \( y \)-Achse) der Logarithmusfunktion. Da sich \( f(x) \) für \( x \to -\infty \) der \( 0 \) nähert, nähert sich \( g(x) \) für \( x \to 0 \) (von rechts) dem Wert \( -\infty \) an.

1. Da die Spiegelung an \( y = x \) die Ordnung der Funktionswerte erhält, folgt aus dem streng monoton steigenden Verhalten von \( f(x) = a^x \) direkt, dass auch \( g(x) = \log_a(x) \) streng monoton steigend ist. 2. Die Asymptote von \( g(x) \) ist die \( y \)-Achse mit der Gleichung \( x = 0 \). Sie ergibt sich durch Spiegelung der waagerechten Asymptote \( y = 0 \) der Exponentialfunktion an der Winkelhalbierenden.

- Setze die Koordinaten des Punktes \( S \) einfach in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Erinnere dich daran, welche Hochzahl man benötigt, um die Basis auf den Wert im Logarithmus zu bringen. - Nutze die Umrechnungsformel, um eine der beiden Funktionen auf die Basis der anderen umzuschreiben.

1. Für \( x = 1 \) gilt \( y = a \cdot \log_b(1) \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) ist, folgt \( y = a \cdot 0 = 0 \). Somit liegt \( S(1 \mid 0) \) auf jedem Graphen. 2. Prüfung für \( a=2, b=3 \): \( 2 \cdot \log_3(9) = 2 \cdot 2 = 4 \). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Prüfung für \( a=4, b=9 \): \( 4 \cdot \log_9(9) = 4 \cdot 1 = 4 \). Die Bedingung ist ebenfalls erfüllt. 4. Umformung von \( y = 4 \cdot \log_9(x) \) mit der Basis \( k = 3 \): \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} \). 5. Da \( \log_3(9) = 2 \) ist, ergibt sich \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \). Die Graphen und Funktionen sind also identisch.

a) Da \( \log_b(1) = 0 \), ist \( y = a \cdot 0 = 0 \). b) Beides führt auf \( y = 4 \). c) Es handelt sich um dieselbe Funktion, da \( 4 \cdot \log_9(x) = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \).