- Suche eine Potenz von \(5\), die \(125\) ergibt. - Der gesuchte Logarithmus ist der zugehörige Exponent.

Weil \(5^3=125\), gilt \(\log_5 125=3\).

\(3\)

- Suche die beiden benachbarten Zweierpotenzen, zwischen denen \(6\) liegt. - Die zugehörigen Exponenten begrenzen den Wert des Logarithmus.

Es gilt \(2^2=4<6<8=2^3\). Daher liegt \(\log_2 6\) zwischen \(2\) und \(3\).

\(2<\log_2 6<3\)

- Schreibe \(\frac{1}{25}\) als Potenz zur Basis \(5\). - Welcher Exponent ergibt genau diesen Wert?

1. Es gilt \(\frac{1}{25}=5^{-2}\). 2. Daher ist \(\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2\).

\(-2\)

- Welche Potenz der jeweiligen Basis ergibt das Argument? - Wie kannst du \(\frac{1}{9}\) beziehungsweise \(0{,}1\) als Potenz der jeweiligen Basis schreiben? - Beachte in c), dass der Faktor \(4\) außerhalb des Logarithmus steht.

1. Da \(2^7=128\), gilt \(\log_2(128)=7\). 2. Da \(3^{-2}=\frac{1}{9}\), gilt \(\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2\). 3. Da \(10^{-1}=0{,}1\), ist \(\log_{10}(0{,}1)=-1\). Damit ergibt sich \(4\log_{10}(0{,}1)=-4\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(-4\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um das Argument zu erhalten? - Erinnere dich daran, wie man Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten schreibt. - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Potenz ausdrücken? - Was ist das Ergebnis eines Logarithmus, wenn das Argument 1 ist?

1. Bestimmung des Exponenten \(x\) für \(6^x = 216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\log_6(216) = 3\). 2. Anwendung der Logarithmenseigenschaft für das Argument \(1\): Da \(5^0 = 1\), gilt \(\log_5(1) = 0\). 3. Umformung des Dezimalbruchs in eine Potenz zur Basis \(2\): \(0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\). Somit ist \(\log_2(0{,}25) = -2\). 4. Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise: \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}} = 10^{0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}(\sqrt{10}) = 0{,}5\).

a) \(3\) b) \(0\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\)

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben? - Welche Bedeutung hat ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten darstellen? - Überlege dir, welche Hochzahl \(x\) die Gleichung \(2^x = \dots\) lösen würde.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b(a) = x \iff b^x = a\). Für den ersten Wert gilt \(2^5 = 32\), daraus folgt \(\log_2(32) = 5\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}\). Somit ist \(\log_2(2^{-3}) = -3\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\log_2(2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}\). 4. Kombination von Bruch- und Wurzelregeln: \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(\log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\).

1) \(5\) 2) \(-3\) 3) \(\frac{1}{3}\) 4) \(-0{,}5\)

- Suche zwei aufeinanderfolgende ganzzahlige Exponenten, deren Potenzen das jeweilige Argument einschließen. - Wie verändern sich Potenzen bei einer Basis größer als \(1\), wenn der Exponent wächst? - Bei einem Argument kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein.

1. Es gilt \(3^2=9\) und \(3^3=27\). Wegen \(9<20<27\) folgt \(2<\log_3(20)<3\). 2. Es gilt \(2^{-2}=0{,}25\) und \(2^{-1}=0{,}5\). Wegen \(0{,}25<0{,}3<0{,}5\) folgt \(-2<\log_2(0{,}3)<-1\). 3. Es gilt \(10^2=100\) und \(10^3=1000\). Wegen \(100<500<1000\) folgt \(2<\log_{10}(500)<3\).

a) \(2<\log_3(20)<3\) b) \(-2<\log_2(0{,}3)<-1\) c) \(2<\log_{10}(500)<3\)

- Kannst du das Argument jeweils als Potenz der Basis schreiben? - Bei Dezimalzahlen kann eine Umwandlung in einen Bruch helfen. - Vereinfache Wurzeln, bevor du den Logarithmus bestimmst.

1. Da \(7^2=49\), gilt a) \(2\). 2. Da \(7^{-1}=\frac{1}{7}\), gilt b) \(-1\). 3. Es ist \(0{,}125=\frac{1}{8}=2^{-3}\), also gilt c) \(-3\). 4. Es ist \(0{,}01=10^{-2}\), also gilt d) \(-2\). 5. Es ist \(\sqrt{64}=8=4^{1{,}5}\), also gilt e) \(1{,}5\).

a) \(2\) b) \(-1\) c) \(-3\) d) \(-2\) e) \(1{,}5\)

- Überlege dir bei jedem Logarithmus: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Kannst du Brüche als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Gibt es eine allgemeine Regel für den Logarithmus von 1 zu einer beliebigen Basis? - Vielleicht hilft es, die Potenzreihen der Zahlen 2, 3, 5 und 7 kurz im Kopf durchzugehen.

1. Für \(\log_2 128\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(2^x = 128\). Da \(2^7 = 128\), folgt \(x = 7\). 2. Für \(\log_5 \frac{1}{25}\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(5^x = \frac{1}{25}\). Da \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Für \(\log_3 243\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(3^x = 243\). Da \(3^5 = 243\), folgt \(x = 5\). 4. Für \(\log_9 1\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(9^x = 1\). Da \(9^0 = 1\), folgt \(x = 0\). 5. Für \(\log_7 343\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(7^x = 343\). Da \(7^3 = 343\), folgt \(x = 3\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(5\) d) \(0\) e) \(3\)

- Suche Potenzen der jeweiligen Basis, die das Argument einschließen. - Für Argumente kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein. - Vergleiche anschließend die Exponenten der beiden benachbarten Potenzen.

1. Wegen \(2^4=16<25<32=2^5\) liegt \(\log_2 25\) zwischen \(4\) und \(5\). 2. Wegen \(3^{-3}=\frac{1}{27}<\frac{1}{10}<\frac{1}{9}=3^{-2}\) liegt \(\log_3\left(\frac{1}{10}\right)\) zwischen \(-3\) und \(-2\). 3. Wegen \(10^{-2}=0{,}01<0{,}05<0{,}1=10^{-1}\) liegt \(\log_{10}(0{,}05)\) zwischen \(-2\) und \(-1\).

a) Zwischen \(4\) und \(5\) b) Zwischen \(-3\) und \(-2\) c) Zwischen \(-2\) und \(-1\)

- Welche Formel schreibt einen Logarithmus mit beliebiger Basis als Quotienten zweier Zehnerlogarithmen? - Berechne Zähler und Nenner erst getrennt und runde erst am Ende. - Prüfe dein Ergebnis grob mit \(6^2=36\) und \(6^3=216\).

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_6 45=\frac{\log_{10}45}{\log_{10}6}\). 2. Der Taschenrechner liefert \(\log_{10}45\approx1{,}653213\) und \(\log_{10}6\approx0{,}778151\). 3. Damit ist \(\log_6 45\approx1{,}653213:0{,}778151\approx2{,}124539\). 4. Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(2{,}1245\).

\(\log_6 45\approx2{,}1245\)

- Wie lautet die Basiswechselformel mit dem Logarithmus zur Basis \(10\)? - Runde den Quotienten erst am Ende. - Welche beiden benachbarten Potenzen der Basis \(5\) schließen \(12\) ein?

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_5 12=\frac{\log_{10}12}{\log_{10}5}\approx1{,}543959\). 2. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(1{,}544\). 3. Wegen \(5^1=5<12<25=5^2\) gilt zusätzlich \(1<\log_5 12<2\).

\(\log_5 12\approx1{,}544\); der Wert liegt zwischen \(1\) und \(2\).

- Welche Potenz der jeweiligen Basis ergibt das Argument? - Schreibe Brüche und Wurzeln bei Bedarf als Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten. - Achte bei der Basis \(10\) darauf, die Dezimalzahl als Zehnerpotenz zu schreiben.

1. Da \(2^9=512\), gilt \(\log_2 512=9\). 2. Wegen \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) gilt \(\log_3\frac{1}{27}=-3\). 3. Da \(0{,}01=10^{-2}\), gilt \(\log_{10}0{,}01=-2\). 4. Wegen \(4=16^{\frac{1}{2}}\) gilt \(\log_{16}4=\frac{1}{2}=0{,}5\). 5. Wegen \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\) gilt \(\log_5\sqrt[3]{5}=\frac{1}{3}\).

a) \(9\) b) \(-3\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\) e) \(\frac{1}{3}\)

- Wie kannst du jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Forme anschließend das gesamte Argument als Potenz der jeweiligen Logarithmusbasis um. - Bei einem Kehrwert hilft ein negativer Exponent.

1. Es gilt \(\sqrt[3]{16}=(2^4)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{4}{3}\). 2. Es gilt \(\sqrt[4]{125}=(5^3)^{\frac{1}{4}}=5^{\frac{3}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. Es gilt \(\frac{1}{\sqrt{27}}=27^{-\frac{1}{2}}=(3^3)^{-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{3}{2}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{3}{2}=-1{,}5\). 4. Es gilt \(\sqrt[5]{0{,}1}=(10^{-1})^{\frac{1}{5}}=10^{-\frac{1}{5}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{1}{5}=-0{,}2\).

a) \(\frac{4}{3}\) b) \(0{,}75\) c) \(-1{,}5\) d) \(-0{,}2\)

- Überlege dir, welche Potenz der Basis gerade noch kleiner und welche gerade schon größer als die Zahl im Logarithmus ist. - Denke daran, dass negative Exponenten zu Brüchen oder Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 führen. - Was bedeutet die Definition des Logarithmus für die Beziehung zwischen Basis, Exponent und Ergebnis?

1. Für \(\log_3 80\): Da \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\) ist, folgt aus \(27 < 80 < 81\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 2. Für \(\log_2 0{,}7\): Da \(2^{-1} = 0{,}5\) und \(2^0 = 1\) ist, folgt aus \(0{,}5 < 0{,}7 < 1\), dass der Wert zwischen \(-1\) und 0 liegt. 3. Für \(\log_4 70\): Da \(4^3 = 64\) und \(4^4 = 256\) ist, folgt aus \(64 < 70 < 256\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 4. Für \(\log_{10} 500\): Da \(10^2 = 100\) und \(10^3 = 1000\) ist, folgt aus \(100 < 500 < 1000\), dass der Wert zwischen 2 und 3 liegt.

a) zwischen 3 und 4 b) zwischen \(-1\) und 0 c) zwischen 3 und 4 d) zwischen 2 und 3

- Suche ganzzahlige Potenzen der jeweiligen Basis, die das Argument einschließen. - Für Argumente kleiner als \(1\) können negative Exponenten hilfreich sein. - Übertrage die Reihenfolge der Potenzen auf die zugehörigen Exponenten.

1. Wegen \(5^{-3}=0{,}008<0{,}03<0{,}04=5^{-2}\) gilt \(-3<\log_5 0{,}03<-2\). 2. Wegen \(8^2=64<100<512=8^3\) gilt \(2<\log_8 100<3\). 3. Wegen \(2^1=2<2{,}5<4=2^2\) gilt \(1<\log_2 2{,}5<2\). 4. Wegen \(10^{-3}=0{,}001<0{,}002<0{,}01=10^{-2}\) gilt \(-3<\log_{10}0{,}002<-2\).

a) \(-3<\log_5 0{,}03<-2\) b) \(2<\log_8 100<3\) c) \(1<\log_2 2{,}5<2\) d) \(-3<\log_{10}0{,}002<-2\)

- Welche Größe steht bei einem Basiswechsel im Nenner? - Schreibe den Quotienten so, dass \(\log_{10}(x)\) als eigener Faktor zu sehen ist. - Runde erst, wenn du den Faktor \(k\) vollständig bestimmt hast.

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_5(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(5)}\). 2. Damit ist \(\log_5(x)=\frac{1}{\log_{10}(5)}\cdot\log_{10}(x)\). Also gilt \(k=\frac{1}{\log_{10}(5)}\). 3. Es ist \(k\approx1{,}43\).

\(\log_5(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(5)}=\frac{1}{\log_{10}(5)}\cdot\log_{10}(x)\) Daher ist \(k=\frac{1}{\log_{10}(5)}\approx1{,}43\).

- Welche beiden benachbarten Potenzen von \(3\) schließen \(50\) ein? - Was muss das für den gesuchten Exponenten bedeuten? - Nutze die Überschlagsprüfung, bevor du das Taschenrechnerergebnis akzeptierst.

1. Es gilt \(3^3=27\) und \(3^4=81\). Wegen \(27<50<81\) muss \(3<\log_3 50<4\) gelten. 2. Mit dem Basiswechsel erhält man \(\log_3 50=\frac{\log_{10}50}{\log_{10}3}\approx3{,}5609\), also gerundet \(3{,}56\). 3. Der Wert \(4{,}61\) liegt nicht im zuvor bestimmten Intervall und ist daher nicht plausibel.

a) \(3<\log_3 50<4\) b) \(\log_3 50\approx3{,}56\) c) \(4{,}61\) ist nicht plausibel und falsch.

- Bestimme zunächst jeden der beiden Logarithmen einzeln über eine passende Potenz. - Setze die beiden Werte erst danach in den gesamten Term ein.

1. Wegen \(3^2=9\) gilt \(\log_3(9)=2\). 2. Wegen \(5^3=125\) gilt \(\log_5(125)=3\). 3. Damit ist \(2\log_3(9)-\log_5(125)=2\cdot2-3=1\).

\(1\)

- Dein Taschenrechner muss nicht direkt einen Logarithmus zur Basis \(7\) anbieten. - Welche Basiswechselformel kannst du mit \(\log_{10}\) verwenden? - Bei der Rückprobe setzt du den gerundeten Logarithmuswert wieder als Exponenten ein.

1. Mit dem Basiswechsel gilt \(\log_7(30)=\frac{\log_{10}(30)}{\log_{10}(7)}\approx1{,}74787\). 2. Auf drei Dezimalstellen gerundet ist \(x\approx1{,}748\). 3. Die Rückprobe ergibt \(7^{1{,}748}\approx30{,}008\). Das liegt sehr nahe bei \(30\) und bestätigt den gerundeten Wert.

\(\log_7(30)\approx1{,}748\); Rückprobe: \(7^{1{,}748}\approx30{,}008\)

- Zwischen welchen zwei einfachen Potenzen von \(3\) liegt \(20\)? - Was sagt diese Einordnung über den möglichen Logarithmuswert aus? - Verwende erst danach den Taschenrechner für die genauere Berechnung.

1. Es gilt \(3^2=9<20<27=3^3\). Daher muss \(2<\log_3(20)<3\) gelten. 2. Der Wert \(4{,}73\) liegt außerhalb dieses Intervalls und kann deshalb nicht stimmen. 3. Mit dem Basiswechsel ergibt sich \(\log_3(20)=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(3)}\approx2{,}72683\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet ist der richtige Wert \(2{,}73\).

a) Weil \(3^2<20<3^3\), muss der Logarithmus zwischen \(2\) und \(3\) liegen. b) \(\log_3(20)\approx2{,}73\)

- Schreibe jeden Intervallschritt als Vergleich von Potenzwerten. - Bei der Basis \(2\) wächst \(2^x\); deshalb zeigt die Lage des Potenzwerts, auf welcher Seite der gesuchte Exponent liegt. - Für ein Hundertstelintervall müssen die beiden Grenzen genau \(0{,}01\) auseinanderliegen.

1. Es gilt \(2^2=4<5<8=2^3\). Daher ist \(2<\log_2(5)<3\). 2. \(2^{2{,}3}\approx4{,}925<5<5{,}278\approx2^{2{,}4}\). Also gilt \(2{,}3<\log_2(5)<2{,}4\). 3. \(2^{2{,}32}\approx4{,}993<5<5{,}028\approx2^{2{,}33}\). Damit gilt \(2{,}32<\log_2(5)<2{,}33\).

a) \(2^2=4<5<8=2^3\), also \(2<\log_2(5)<3\). b) \(2^{2{,}3}\approx4{,}925<5<5{,}278\approx2^{2{,}4}\), also \(2{,}3<\log_2(5)<2{,}4\). c) \(2^{2{,}32}\approx4{,}993<5<5{,}028\approx2^{2{,}33}\), also \(2{,}32<\log_2(5)<2{,}33\).

- Vergleiche bei den drei möglichen Tests die Länge des größeren Teilintervalls, das übrig bleiben könnte. - Aus \(3^r<7\) folgt \(r<\log_3(7)\); bei \(3^r>7\) liegt der gesuchte Exponent links von \(r\). - Arbeite nach jeder Entscheidung nur noch mit dem Teilintervall weiter, in dem \(x\) liegen kann.

1. Beim Test \(1{,}2\) könnte ein Restintervall der Länge \(0{,}8\) bleiben, ebenso beim Test \(1{,}8\). Der Test \(1{,}5\) teilt \((1;2)\) in zwei gleich lange Teile. Im ungünstigsten Fall bleibt nur die Länge \(0{,}5\). Daher ist \(1{,}5\) die beste Wahl. 2. Es ist \(3^{1{,}5}=\sqrt{27}\approx5{,}20<7\). Also gilt \(1{,}5<x<2\). 3. Die Mitte des neuen Intervalls ist \(1{,}75\). Es gilt \(3^{1{,}75}\approx6{,}84<7\). Daher folgt \(1{,}75<x<2\).

a) \(1{,}5\), weil damit das Ausgangsintervall in zwei gleich lange Teile zerlegt wird; im ungünstigsten Fall bleibt ein Intervall der Länge \(0{,}5\). b) \(3^{1{,}5}\approx5{,}20<7\), also \(1{,}5<x<2\). c) Die Mitte ist \(1{,}75\). Wegen \(3^{1{,}75}\approx6{,}84<7\) gilt \(1{,}75<x<2\).

- Kannst du das Argument als Potenz der Basis schreiben? - Manchmal hilft es, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln und diese dann zu kürzen. - Denke an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. - Wie wirken sich Brüche im Argument auf das Vorzeichen des Logarithmus aus?

1. Berechnung von \(\log_2(128)\): Da \(2^7 = 128\), ist das Ergebnis \(7\). 2. Zusammenhang zwischen \(9\) und \(3\): Da \(\sqrt{9} = 9^{0{,}5} = 3\), ist \(\log_9(3) = 0{,}5\). 3. Umrechnung des Dezimalbruchs: \(0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}\). Somit ist \(\log_5(0{,}008) = -3\). 4. Kombination von Bruch und Wurzel: \(\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{0{,}5}} = 10^{-0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -0{,}5\).

a) \(7\) b) \(0{,}5\) c) \(-3\) d) \(-0{,}5\)

- Versuche, die Zahlen im Logarithmus als Potenzen der jeweiligen Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreibt. - Welchen Wert hat ein Logarithmus immer, wenn das Argument 1 ist? - Vergleiche die Ergebnisse am Ende auf dem Zahlenstrahl.

1. Berechnung von \(P\): \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), daher ist \(\log_3(3^{-2}) = -2\). Somit ist \(P = -2\). 2. Berechnung von \(Q\): \(\sqrt{8} = 8^{0{,}5} = (2^3)^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\). Daher ist \(\log_2(2^{1{,}5}) = 1{,}5\). Somit ist \(Q = 1{,}5\). 3. Berechnung von \(R\): Da jede positive Basis hoch 0 den Wert 1 ergibt (\(5^0 = 1\)), ist \(\log_5(1) = 0\). Somit ist \(R = 0\). 4. Vergleich der Werte: Es gilt \(-2 < 0 < 1{,}5\). 5. Ordnung: \(P < R < Q\).

Die Werte sind \(P = -2\), \(Q = 1{,}5\) und \(R = 0\). Die Reihenfolge lautet: \(P < R < Q\).

- Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Was ist \(\log_a(a^r)\) nach der Definition des Logarithmus? - Vereinfache Zähler und Nenner getrennt, bevor du den Bruch berechnest.

1. Im Zähler ist \(a^2\sqrt{a}=a^{\frac{5}{2}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{5}{2}})=\frac{5}{2}\). 2. Im Nenner ist \(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}\). 3. Somit ist \(x=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{4}=3{,}75\).

\(x=3{,}75\)

- Versuche, Argumente und Basen als Potenzen derselben Zahl darzustellen. - Wie kannst du Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen schreiben? - Vergleiche anschließend die Exponenten.

1. Da \(10^{-3}=0{,}001\), gilt \(\log_{10}(0{,}001)=-3\). 2. Es ist \(\sqrt[4]{1000}=\sqrt[4]{10^3}=10^{\frac{3}{4}}\). Daher gilt \(\log_{10}\sqrt[4]{1000}=\frac{3}{4}=0{,}75\). 3. Mit \(0{,}5=2^{-1}\) und \(8=2^3\) folgt aus \((2^{-1})^x=2^3\), dass \(x=-3\) ist. 4. Es ist \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=2^{-\frac{1}{3}}\). Aus \((2^{-1})^x=2^{-\frac{1}{3}}\) folgt \(x=\frac{1}{3}\).

a) \(-3\) b) \(0{,}75=\frac{3}{4}\) c) \(-3\) d) \(\frac{1}{3}\)

- Welche bekannte Potenz steckt jeweils unter der Wurzel oder im Nenner? - Wie kannst du Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen schreiben? - Stelle jedes vollständige Argument als eine Potenz der Logarithmusbasis dar.

1. Für a) ist \(\sqrt[4]{27}=3^{\frac{3}{4}}\), also \(\frac{3}{4}\). 2. Für b) ist \(\frac{1}{\sqrt[5]{8}}=2^{-\frac{3}{5}}\), also \(-\frac{3}{5}\). 3. Für c) ist \(\sqrt[3]{100}=10^{\frac{2}{3}}\), also \(\frac{2}{3}\). 4. Für d) ist \(25\sqrt{5}=5^{\frac{5}{2}}\), also \(\frac{5}{2}\). 5. Für e) ist \(\frac{1}{49\sqrt[3]{7}}=7^{-\frac{7}{3}}\), also \(-\frac{7}{3}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(-\frac{3}{5}\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(\frac{5}{2}\) e) \(-\frac{7}{3}\)

- Schreibe Dezimalzahlen zuerst als Potenzen einer passenden Basis. - Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Nutze bei Quotienten die Potenzregel für gleiche Basen.

1. Für a) ist \(0{,}125=2^{-3}\), also \(\sqrt{0{,}125}=2^{-\frac{3}{2}}\). Der Wert ist \(-1{,}5\). 2. Für b) ist \(0{,}04=5^{-2}\), also \(\sqrt[4]{0{,}04}=5^{-\frac{1}{2}}\). Der Wert ist \(-0{,}5\). 3. Für c) ist \(\frac{10}{\sqrt[5]{100}}=10^{1-\frac{2}{5}}=10^{\frac{3}{5}}\). Der Wert ist \(0{,}6\). 4. Für d) ist \(\frac{\sqrt{27}}{9}=3^{\frac{3}{2}-2}=3^{-\frac{1}{2}}\). Der Wert ist \(-0{,}5\). 5. Für e) ist \(\sqrt[3]{32}=2^{\frac{5}{3}}=4^{\frac{5}{6}}\). Der Wert ist \(\frac{5}{6}\).

a) \(-1{,}5\) b) \(-0{,}5\) c) \(0{,}6\) d) \(-0{,}5\) e) \(\frac{5}{6}\)

- Kannst du für jeden Wert einzeln abschätzen, wie groß er ungefähr ist? - Welche Hochzahl muss die Basis jeweils haben, um in die Nähe des Zielwertes zu kommen? - Reicht es aus, die benachbarten ganzen Zahlen zu kennen, um die Werte zu vergleichen?

1. Intervall für \(x = \log_2 40\): Vergleich mit \(2^5 = 32\) und \(2^6 = 64\). Da \(32 < 40 < 64\), gilt \(5 < x < 6\). 2. Intervall für \(y = \log_3 80\): Vergleich mit \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\). Da \(27 < 80 < 81\), gilt \(3 < y < 4\). 3. Intervall für \(z = \log_5 120\): Vergleich mit \(5^2 = 25\) und \(5^3 = 125\). Da \(25 < 120 < 125\), gilt \(2 < z < 3\). 4. Vergleich der Intervalle: Da \(x\) größer als \(5\) ist, während \(y\) kleiner als \(4\) und \(z\) kleiner als \(3\) sind, ist \(x\) der größte Wert.

\(x = \log_2 40\) ist der größte Wert, da \(5 < x < 6\), während \(3 < y < 4\) und \(2 < z < 3\) gilt.

- Bringe beide Logarithmen mit der Basiswechselformel auf die Basis \(10\). - Runde erst am Ende der jeweiligen Rechnung. - Schätze vorab mit benachbarten Potenzen, in welcher Größenordnung die Werte liegen.

1. \(\log_2 10=\frac{\log_{10}10}{\log_{10}2}\approx3{,}321928\approx3{,}322\). 2. \(\log_3 30=\frac{\log_{10}30}{\log_{10}3}\approx3{,}095903\approx3{,}096\). 3. Da \(3{,}322>3{,}096\), ist \(\log_2 10\) größer.

\(\log_2 10\approx3{,}322\) und \(\log_3 30\approx3{,}096\); daher ist \(\log_2 10\) größer.

- Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt die Zahl \(5\)? - Wie kannst du die Gleichung \(10^x=5\) durch systematisches Eingrenzen lösen? - Verfeinere dein Intervall schrittweise von ganzen Zahlen zu Zehnteln und Hundertsteln. - Prüfe für die Rundung, auf welcher Seite der Mitte zwischen zwei Hundertsteln der gesuchte Exponent liegt.

1. Wegen \(10^0=1\) und \(10^1=10\) liegt \(\log_{10}5\) zwischen \(0\) und \(1\). 2. Es gilt \(10^{0{,}6}\approx3{,}981\) und \(10^{0{,}7}\approx5{,}012\). Daher ist \(0{,}6<\log_{10}5<0{,}7\). 3. Weiter gilt \(10^{0{,}69}\approx4{,}898\) und \(10^{0{,}70}\approx5{,}012\). Somit ist \(0{,}69<\log_{10}5<0{,}70\). 4. Zur Rundung prüft man noch genauer: \(10^{0{,}698}\approx4{,}989\) und \(10^{0{,}699}\approx5{,}0003\). Also liegt der Wert zwischen \(0{,}698\) und \(0{,}699\). 5. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(\log_{10}5\approx0{,}70\).

\(\log_{10}5\approx0{,}70\)

- Was bedeutet \(\log_2 3 = x\) als Potenz geschrieben? - Suche zuerst die zwei ganzen Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Verwende die Potenzfunktion deines Taschenrechners, um dich dem Zielwert 3 anzunähern. - Wenn du ein Intervall wie \([1{,}5; 1{,}6]\) gefunden hast, welcher Wert liegt genau in der Mitte?

1. Startintervall bestimmen: Da \(2^1 = 2\) und \(2^2 = 4\), muss der Wert zwischen \(1\) und \(2\) liegen. 2. Schrittweise Verfeinerung (Zehntel): \(2^{1{,}5} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2{,}828\) und \(2^{1{,}6} \approx 3{,}031\). Das Intervall ist \([1{,}5; 1{,}6]\). 3. Schrittweise Verfeinerung (Hundertstel): \(2^{1{,}58} \approx 2{,}9897\) und \(2^{1{,}59} \approx 3{,}0105\). Das Intervall ist \([1{,}58; 1{,}59]\). 4. Prüfung der dritten Stelle: \(2^{1{,}584} \approx 2{,}9980\) und \(2^{1{,}585} \approx 3{,}0001\). Da der Wert sehr nah an \(1{,}585\) liegt, aber knapp darunter (da \(2^{1{,}585}\) minimal größer als \(3\) ist), liegt er im Intervall \([1{,}584; 1{,}585]\). 5. Gerundetes Ergebnis: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(1{,}58\).

\(\log_2 3 \approx 1{,}58\)

- Bringe die ersten beiden Logarithmen mit der Basiswechselformel auf die Basis \(10\). - Vergleiche die drei gerundeten Werte erst nach vollständiger Berechnung. - Überlege zusätzlich, warum bei gleichem Argument eine größere Basis einen kleineren Exponenten benötigen kann.

1. \(\log_2 20=\frac{\log_{10}20}{\log_{10}2}\approx4{,}32\). 2. \(\log_5 20=\frac{\log_{10}20}{\log_{10}5}\approx1{,}86\). 3. \(\log_{10}20\approx1{,}30\). 4. Wegen \(4{,}32>1{,}86>1{,}30\) bestätigt sich die Vermutung für diese drei Basen bei festem Argument \(20\).

\(\log_2 20\approx4{,}32\), \(\log_5 20\approx1{,}86\), \(\log_{10}20\approx1{,}30\). Für diese Werte wird der Logarithmuswert bei größerer Basis kleiner.

- Suche für Argument und Logarithmusbasis eine gemeinsame Grundpotenz. - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Fasse Potenzen mit derselben Basis zusammen, bevor du den Logarithmus auswertest.

1. \(\sqrt8=2^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{3}{4}\). 2. \(\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{6}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{1}{6}\). 3. \(\frac{\sqrt[3]{2}}{4}=2^{\frac{1}{3}-2}=2^{-\frac{5}{3}}\). Daher ist der Logarithmus \(-\frac{5}{3}\). 4. \(\frac{100}{\sqrt[4]{10}}=10^{2-\frac{1}{4}}=10^{\frac{7}{4}}\). Daher ist der Logarithmus \(\frac{7}{4}\).

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(-\frac{5}{3}\) d) \(\frac{7}{4}\)