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- Was bedeutet der Logarithmus \(\log_b(a)\) als Potenz geschrieben? - Überlege dir, mit welcher Zahl du die Basis potenzieren musst, um den Numerus zu erhalten. - Wie kannst du Brüche oder Dezimalzahlen als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Kannst du eine Gleichung zuerst so umformen, dass der Logarithmus alleine auf einer Seite steht?

1. Berechnung von \(\log_{2}(128)\): Da \(2^7 = 128\), gilt \(\log_{2}(128) = 7\). 2. Berechnung von \(\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)\): Da \(3^{-2} = \frac{1}{9}\), gilt \(\log_{3}\left(\frac{1}{9}\right) = -2\). 3. Berechnung von \(4\log_{10}(0{,}1)\): Da \(10^{-1} = 0{,}1\), ist \(\log_{10}(0{,}1) = -1\). Das Ergebnis ist \(4 \cdot (-1) = -4\). 4. Lösung von \(\log_{5}(x) = 2\): Anwendung der Definition \(x = 5^2\) ergibt \(x = 25\). 5. Lösung von \(3\log_{2}(x) = 12\): Zuerst Division durch \(3\) ergibt \(\log_{2}(x) = 4\). Anwendung der Definition \(x = 2^4\) ergibt \(x = 16\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(-4\) d) \(x = 25\) e) \(x = 16\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um das Argument zu erhalten? - Erinnere dich daran, wie man Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten schreibt. - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Potenz ausdrücken? - Was ist das Ergebnis eines Logarithmus, wenn das Argument 1 ist?

1. Bestimmung des Exponenten \(x\) für \(6^x = 216\): Da \(6^3 = 216\), gilt \(\log_6(216) = 3\). 2. Anwendung der Logarithmenseigenschaft für das Argument \(1\): Da \(5^0 = 1\), gilt \(\log_5(1) = 0\). 3. Umformung des Dezimalbruchs in eine Potenz zur Basis \(2\): \(0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\). Somit ist \(\log_2(0{,}25) = -2\). 4. Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise: \(\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}} = 10^{0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}(\sqrt{10}) = 0{,}5\).

a) \(3\) b) \(0\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\)

- Überlege dir, wie man eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandelt. - Welche Zahl hoch drei ergibt 125? - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung einer Potenz? - Kannst du die Zahl 9 als eine Potenz der Basis 3 schreiben? - Beachte, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

Die Definition \(\log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a\) wird auf jede Teilaufgabe angewendet: 1. Für a): \(x^3 = 125\). Da \(5^3 = 125\), ist \(x = 5\). 2. Für b): \(2^{-4} = x\). Dies entspricht \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für c): \(9^x = 3\). Da \(9 = 3^2\), gilt \((3^2)^x = 3^1\), also \(3^{2x} = 3^1\). Daraus folgt \(2x = 1\), also \(x = 0{,}5\). 4. Für d): \(x^{-2} = \frac{1}{16}\). Dies bedeutet \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}\), woraus \(x^2 = 16\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ist \(x = 4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 0{,}0625\) c) \(x = 0{,}5\) d) \(x = 4\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus verschwindet? - Achte darauf, welche Zahl die Basis und welche das Ergebnis der Potenz ist. - Bei Wurzeln als Basis hilft es, diese als Potenz mit gebrochenem Exponenten zu schreiben.

1. Anwendung der Definition \(\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a\). 2. Für \(\log_4 x = -2\): Berechnung von \(x = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Für \(\log_x 64 = 3\): Aufstellen der Potenzgleichung \(x^3 = 64\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = 4\). 4. Für \(\log_{\sqrt{5}} x = 4\): Berechnung von \(x = (\sqrt{5})^4 = (5^{\frac{1}{2}})^4 = 5^2 = 25\). 5. Für \(\log_{\frac{1}{3}} 27 = x\): Aufstellen der Gleichung \((\frac{1}{3})^x = 27\). Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), folgt \(3^{-x} = 3^3\), also \(x = -3\).

1) \(x = \frac{1}{16} = 0{,}0625\); 2) \(x = 4\); 3) \(x = 25\); 4) \(x = -3\).

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie hängen die Zahlen 16 und 4 als Potenzen derselben Basis zusammen? - Erinnere dich daran, wie man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreibt.

1. Zur Lösung von a): Anwendung der Definition \(\log_2(x) = -4 \Leftrightarrow 2^{-4} = x\). Berechnung von \(x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 2. Zur Lösung von b): Anwendung der Definition \(\log_b(0{,}01) = -2 \Leftrightarrow b^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(b^2 = 100\) folgt. Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, ergibt sich \(b = 10\). 3. Zur Lösung von c): Setze \(\log_{16}(4) = y\). Dann gilt \(16^y = 4\). Da \(16 = 4^2\), folgt \((4^2)^y = 4^1\), also \(4^{2y} = 4^1\). Durch Exponentenvergleich erhält man \(2y = 1\), also \(y = 0{,}5\). 4. Zur Lösung von d): Anwendung der Definition \(\log_5(\sqrt{125}) = y \Leftrightarrow 5^y = \sqrt{125}\). Da \(125 = 5^3\), ist \(\sqrt{125} = (5^3)^{\frac{1}{2}} = 5^{1{,}5}\). Somit ist \(y = 1{,}5\).

a) \(x = \frac{1}{16}\) (oder \(0{,}0625\)) b) \(b = 10\) c) \(0{,}5\) d) \(y = 1{,}5\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Was bedeutet die Basis eines Logarithmus anschaulich? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv und ungleich 1 sein muss.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_x(b) = c \Leftrightarrow x^c = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^3 = 125\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Für b): Gleichung \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel ergibt \(x = \sqrt[5]{32} = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{-2} = 0{,}01\). Umformung zu \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), woraus \(x^2 = 100\) folgt. Da die Basis positiv sein muss, ergibt sich \(x = 10\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\)

- Kannst du die Logarithmengleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Welche Zahl hoch drei ergibt 125? - Wie hängen Brüche und negative Exponenten zusammen? - Erinnere dich daran, dass die Basis eines Logarithmus immer positiv sein muss.

1. Anwendung der Definition \(\log_b a = c \iff b^c = a\). 2. Zu 1): \(x^3 = 125\). Durch Ziehen der Kubikwurzel erhält man \(x = \sqrt[3]{125} = 5\). 3. Zu 2): \(2^x = \frac{1}{32}\). Da \(\frac{1}{32} = 2^{-5}\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = -5\). 4. Zu 3): \(x^{-2} = 0{,}25\). Dies entspricht \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}\), also \(x^2 = 4\). Da die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, folgt \(x = 2\). 5. Zu 4): \(9^x = 3\). Da \(3 = \sqrt{9} = 9^{0{,}5}\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = 0{,}5\).

1) \(x = 5\); 2) \(x = -5\); 3) \(x = 2\); 4) \(x = 0{,}5\).

- Überlege dir, wie der Logarithmus als Umkehroperation zur Potenzierung definiert ist. - Was bedeutet die Schreibweise \(\log_a b = c\) als Potenz ausgedrückt? - Achte bei der Suche nach der Basis darauf, welche Werte für die Basis eines Logarithmus laut Definition erlaubt sind. - Kannst du Dezimalzahlen als Brüche oder Zehnerpotenzen schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Anwendung der Definition \(a^c = b\): \(x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Aufstellen der Potenzgleichung: \(x^4 = 81\). Da die Basis \(x\) eines Logarithmus positiv sein muss, folgt \(x = \sqrt[4]{81} = 3\). 3. Umschreiben zur Basis 10: \(0{,}1^x = 100 \Rightarrow (10^{-1})^x = 10^2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2\). 4. Berechnung des Numerus: \(x = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} = 0{,}03125\).

1) \(x = 0{,}125\); 2) \(x = 3\); 3) \(x = -2\); 4) \(x = 0{,}03125\)

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Potenz der Basis schreiben? - Welche Bedeutung hat ein negativer Exponent für den Wert einer Potenz? - Wie lassen sich Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten darstellen? - Überlege dir, welche Hochzahl \(x\) die Gleichung \(2^x = \dots\) lösen würde.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus \(\log_b(a) = x \iff b^x = a\). Für den ersten Wert gilt \(2^5 = 32\), daraus folgt \(\log_2(32) = 5\). 2. Umschreiben des Bruchs als Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}\). Somit ist \(\log_2(2^{-3}) = -3\). 3. Umschreiben der Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). Somit ist \(\log_2(2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}\). 4. Kombination von Bruch- und Wurzelregeln: \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}}\). Somit ist \(\log_2(2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\).

1) \(5\) 2) \(-3\) 3) \(\frac{1}{3}\) 4) \(-0{,}5\)

- Wie hängen die Zehnerpotenzen mit der Anzahl der Stellen einer Zahl zusammen? - Was ist das Ergebnis von \(\lg(10^3)\) oder \(\lg(10^4)\)? - Überlege dir ein Beispiel: Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt eine dreistellige Zahl wie \(500\)?

1. Eine natürliche Zahl mit \(k\) Stellen liegt im Bereich \(10^{k-1} \le n < 10^k\). 2. Anwendung des dekadischen Logarithmus ergibt \(\lg(10^{k-1}) \le \lg(n) < \lg(10^k)\), also \(k-1 \le \lg(n) < k\). 3. Alle Zahlen mit der gleichen Anzahl an Stellen haben somit die gleiche Kennzahl (den ganzzahligen Anteil) \(\lfloor \lg(n) \rfloor = k-1\). 4. Für eine sechsstellige Zahl (\(k=6\)) gilt entsprechend \(10^5 \le x < 10^6\). 5. Der Logarithmus liegt im Intervall \([5; 6)\), da \(\lg(10^5) = 5\) und \(\lg(10^6) = 6\).

a) Die dekadischen Logarithmen haben die gleiche Kennzahl (den gleichen ganzzahligen Anteil). b) Das Intervall ist \([5; 6)\).

- Versuche, die Basis des Logarithmus als Basis einer Potenz zu verwenden. - Wie wirkt sich ein negativer Exponent auf den Wert einer Potenz aus? - Weißt du noch, wie man Brüche als Exponenten in Wurzeln umwandelt? - Welchen Wert hat jede Basis (außer Null), wenn sie mit Null potenziert wird?

1. Nutzung der Definition \(\log_a b = c \iff b = a^c\) zur Bestimmung des Numerus. 2. Für a): Berechnung von \(b = 0{,}5^3\). Mit \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ergibt sich \((\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\), Ergebnis \(b = 0{,}125\). 3. Für b): Berechnung von \(b = 2^{-5}\). Umformung zu \(\frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}\), Ergebnis \(b = 0{,}03125\). 4. Für c): Anwendung der Regel für rationale Exponenten \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\). Berechnung von \(b = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}\), Ergebnis \(b = 2\). 5. Für d): Anwendung des Potenzgesetzes für den Exponenten Null. Berechnung von \(b = 11^0\), Ergebnis \(b = 1\).

a) \(b = 0{,}125\) b) \(b = \frac{1}{32}\) (oder \(0{,}03125\)) c) \(b = 2\) d) \(b = 1\)

- Überlege dir bei jedem Logarithmus: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Kannst du Brüche als Potenzen mit negativem Exponenten schreiben? - Gibt es eine allgemeine Regel für den Logarithmus von 1 zu einer beliebigen Basis? - Vielleicht hilft es, die Potenzreihen der Zahlen 2, 3, 5 und 7 kurz im Kopf durchzugehen.

1. Für \(\log_2 128\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(2^x = 128\). Da \(2^7 = 128\), folgt \(x = 7\). 2. Für \(\log_5 \frac{1}{25}\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(5^x = \frac{1}{25}\). Da \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Für \(\log_3 243\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(3^x = 243\). Da \(3^5 = 243\), folgt \(x = 5\). 4. Für \(\log_9 1\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(9^x = 1\). Da \(9^0 = 1\), folgt \(x = 0\). 5. Für \(\log_7 343\): Bestimmung des Exponenten \(x\), sodass \(7^x = 343\). Da \(7^3 = 343\), folgt \(x = 3\).

a) \(7\) b) \(-2\) c) \(5\) d) \(0\) e) \(3\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Welche Zahl muss mit dem gegebenen Exponenten potenziert werden, um den Numerus zu erhalten? - Denke daran, dass die Basis eines Logarithmus laut Definition immer positiv und ungleich 1 sein muss. - Wie lässt sich eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben?

1. Umwandlung der Logarithmusgleichungen in die Exponentialform \(b^z = y\). 2. Für a): \(b^2 = 144 \Rightarrow b = \sqrt{144} = 12\). 3. Für b): \(b^{-3} = \frac{1}{27} \Rightarrow \frac{1}{b^3} = \frac{1}{27} \Rightarrow b^3 = 27 \Rightarrow b = 3\). 4. Für c): \(b^3 = 216 \Rightarrow b = \sqrt[3]{216} = 6\). 5. Für d): \(b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}\). Da \(\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\), folgt durch Vergleich der Exponenten \(b = 5\).

a) \(b = 12\) b) \(b = 3\) c) \(b = 6\) d) \(b = 5\)

- Was bedeutet die Logarithmusschreibweise als Potenz ausgedrückt? - Suche nach Potenzen der Basis, die knapp kleiner und knapp größer als die Zahl im Logarithmus sind. - Erinnere dich bei Brüchen oder Dezimalzahlen kleiner als 1 an negative Exponenten. - Wie verhalten sich die Werte der Potenzen, wenn der Exponent größer wird?

1. Für \(\log_2 25\): Vergleich mit den Potenzen \(2^4 = 16\) und \(2^5 = 32\). Da \(16 < 25 < 32\), liegt der Wert zwischen \(4\) und \(5\). 2. Für \(\log_3 \frac{1}{10}\): Vergleich mit den Potenzen \(3^{-3} = \frac{1}{27}\) und \(3^{-2} = \frac{1}{9}\). Da \(\frac{1}{27} < \frac{1}{10} < \frac{1}{9}\), liegt der Wert zwischen \(-3\) und \(-2\). 3. Für \(\lg 0{,}05\): Vergleich mit den Zehnerpotenzen \(10^{-2} = 0{,}01\) und \(10^{-1} = 0{,}1\). Da \(0{,}01 < 0{,}05 < 0{,}1\), liegt der Wert zwischen \(-2\) und \(-1\).

a) Zwischen \(4\) und \(5\) b) Zwischen \(-3\) und \(-2\) c) Zwischen \(-2\) und \(-1\)

- Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege dir, welche Zahl hoch die rechte Seite die Zahl im Logarithmus ergibt. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Basis? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den gesuchten Wert?

1. Umformung der Logarithmengleichung \(\log_x b = c\) in die Potenzform \(x^c = b\). 2. Teilaufgabe a): \(x^4 = 625 \implies x = \sqrt[4]{625} = 5\). 3. Teilaufgabe b): \(x^{-5} = \frac{1}{32} \implies \frac{1}{x^5} = \frac{1}{32} \implies x^5 = 32 \implies x = 2\). 4. Teilaufgabe c): \(x^{-4} = 0{,}0001 \implies \frac{1}{x^4} = \frac{1}{10000} \implies x^4 = 10\,000 \implies x = 10\). 5. Teilaufgabe d): \(x^1 = 6 \implies x = 6\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 2\) c) \(x = 10\) d) \(x = 6\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe: Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren, um den Wert im Logarithmus zu erhalten? - Kannst du die Zahl im Logarithmus als Potenz der angegebenen Basis schreiben? - Erinnere dich daran, wie man Brüche und Wurzeln mithilfe von negativen oder gebrochenen Exponenten ausdrückt. - Was bedeutet die Abkürzung \(\lg\)?

1. Bestimmung der Potenz zur Basis 2: Da \(2^9 = 512\), ist \(\log_2 512 = 9\). 2. Anwendung der Potenzgesetze für Brüche: Wegen \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\) folgt \(\log_3 \frac{1}{27} = -3\). 3. Darstellung der Dezimalzahl als Zehnerpotenz: \(0{,}01 = 10^{-2}\), daraus ergibt sich \(\lg 0{,}01 = -2\). 4. Umkehrung der Quadratzahl: Da \(\sqrt{16} = 16^{0{,}5} = 4\), ist \(\log_{16} 4 = 0{,}5\). 5. Darstellung der Wurzel als rationaler Exponent: \(\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}\), somit ist \(\log_5 \sqrt[3]{5} = \frac{1}{3}\).

a) \(9\) b) \(-3\) c) \(-2\) d) \(0{,}5\) e) \(\frac{1}{3}\)

- Überlege dir, wie man Wurzeln allgemein als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben kann. - Versuche, die Zahl im Logarithmus so umzuformen, dass sie als Potenz der Basis dargestellt wird. - Welche Bedeutung hat ein negativer Exponent bei einem Bruch? - Gibt es ein Logarithmengesetz, mit dem du Exponenten vor den Logarithmus ziehen kannst?

1. Teilaufgabe a: Schreibe die Wurzel als Potenz \(\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}}\). Drücke die Basis \(16\) als Zweierpotenz aus: \((2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}\). Es folgt \(\log_2 2^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Schreibe \(\sqrt[4]{125} = 125^{\frac{1}{4}}\). Da \(125 = 5^3\), ergibt sich \((5^3)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{4}}\). Der Logarithmus ist \(\log_5 5^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Teilaufgabe c: Forme den Bruch und die Wurzel in eine Potenz um: \(\frac{1}{\sqrt{27}} = 27^{-\frac{1}{2}}\). Da \(27 = 3^3\), folgt \((3^3)^{-\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{3}{2}}\). Der Wert ist \(-1{,}5\). 4. Teilaufgabe d: Schreibe \(0{,}1 = 10^{-1}\). Damit gilt \(\sqrt[5]{0{,}1} = (10^{-1})^{\frac{1}{5}} = 10^{-\frac{1}{5}}\). Der Logarithmus ergibt \(-0{,}2\).

a) \(\frac{4}{3}\) b) \(0{,}75\) c) \(-1{,}5\) d) \(-0{,}2\)

- Überlege dir, welche Potenz der Basis gerade noch kleiner und welche gerade schon größer als die Zahl im Logarithmus ist. - Denke daran, dass negative Exponenten zu Brüchen oder Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 führen. - Was bedeutet die Definition des Logarithmus für die Beziehung zwischen Basis, Exponent und Ergebnis?

1. Für \(\log_3 80\): Da \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\) ist, folgt aus \(27 < 80 < 81\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 2. Für \(\log_2 0{,}7\): Da \(2^{-1} = 0{,}5\) und \(2^0 = 1\) ist, folgt aus \(0{,}5 < 0{,}7 < 1\), dass der Wert zwischen \(-1\) und 0 liegt. 3. Für \(\log_4 70\): Da \(4^3 = 64\) und \(4^4 = 256\) ist, folgt aus \(64 < 70 < 256\), dass der Wert zwischen 3 und 4 liegt. 4. Für \(\log_{10} 500\): Da \(10^2 = 100\) und \(10^3 = 1000\) ist, folgt aus \(100 < 500 < 1000\), dass der Wert zwischen 2 und 3 liegt.

a) zwischen 3 und 4 b) zwischen \(-1\) und 0 c) zwischen 3 und 4 d) zwischen 2 und 3

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Wie kannst du eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Welche Zahl hoch 3 ergibt 216? - Erinnere dich daran, was ein negativer Exponent bei einer Potenz bewirkt.

1. Einsetzen der Koordinaten von \(P(x \mid y)\) in die Funktionsgleichung \(y = \log_b(x)\) führt zur Gleichung \(b^y = x\). 2. Für Teil a): \(b^3 = 216\). Ziehen der dritten Wurzel ergibt \(b = \sqrt[3]{216} = 6\). 3. Für Teil b): \(b^{-3} = 0{,}125\). Umformen ergibt \(\frac{1}{b^3} = \frac{1}{8}\), also \(b^3 = 8\). Daraus folgt \(b = 2\). 4. Für Teil c): \(b^1 = 5\). Daraus folgt direkt \(b = 5\).

a) \(b = 6\) b) \(b = 2\) c) \(b = 5\)

- Nutze die Definition des Logarithmus: \(y = \log_{b}(x)\) ist gleichbedeutend mit \(b^y = x\). - Setze die \(x\)- und \(y\)-Werte des Punktes in die Potenzschreibweise ein. - Löse die entstandene Gleichung nach \(b\) auf. Beachte dabei, dass die Basis \(b\) immer positiv sein muss.

Wir setzen die Koordinaten von \(P(x \mid y)\) in die Gleichung \(y = \log_{b}(x)\) ein, was äquivalent zu \(b^y = x\) ist. 1. Für \(P(100 \mid 2)\): \(b^2 = 100\). Da \(b > 0\), folgt \(b = \sqrt{100} = 10\). 2. Für \(P(\frac{1}{9} \mid -2)\): \(b^{-2} = \frac{1}{9}\). Dies bedeutet \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{9}\), also \(b^2 = 9\). Somit ist \(b = 3\). 3. Für \(P(2 \mid 0{,}5)\): \(b^{0{,}5} = 2\). Das ist gleichbedeutend mit \(\sqrt{b} = 2\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(b = 2^2 = 4\). 4. Für \(P(5 \mid 1)\): \(b^1 = 5\). Daraus folgt direkt \(b = 5\).

Die gesuchten Basen sind: a) \(b = 10\) b) \(b = 3\) c) \(b = 4\) d) \(b = 5\)

- Kannst du das Argument als Potenz der Basis schreiben? - Manchmal hilft es, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln und diese dann zu kürzen. - Denke an den Zusammenhang zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. - Wie wirken sich Brüche im Argument auf das Vorzeichen des Logarithmus aus?

1. Berechnung von \(\log_2(128)\): Da \(2^7 = 128\), ist das Ergebnis \(7\). 2. Zusammenhang zwischen \(9\) und \(3\): Da \(\sqrt{9} = 9^{0{,}5} = 3\), ist \(\log_9(3) = 0{,}5\). 3. Umrechnung des Dezimalbruchs: \(0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = 5^{-3}\). Somit ist \(\log_5(0{,}008) = -3\). 4. Kombination von Bruch und Wurzel: \(\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{0{,}5}} = 10^{-0{,}5}\). Somit ist \(\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -0{,}5\).

a) \(7\) b) \(0{,}5\) c) \(-3\) d) \(-0{,}5\)

- Versuche, die Zahlen im Logarithmus als Potenzen der jeweiligen Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreibt. - Welchen Wert hat ein Logarithmus immer, wenn das Argument 1 ist? - Vergleiche die Ergebnisse am Ende auf dem Zahlenstrahl.

1. Berechnung von \(P\): \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), daher ist \(\log_3(3^{-2}) = -2\). Somit ist \(P = -2\). 2. Berechnung von \(Q\): \(\sqrt{8} = 8^{0{,}5} = (2^3)^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\). Daher ist \(\log_2(2^{1{,}5}) = 1{,}5\). Somit ist \(Q = 1{,}5\). 3. Berechnung von \(R\): Da jede positive Basis hoch 0 den Wert 1 ergibt (\(5^0 = 1\)), ist \(\log_5(1) = 0\). Somit ist \(R = 0\). 4. Vergleich der Werte: Es gilt \(-2 < 0 < 1{,}5\). 5. Ordnung: \(P < R < Q\).

Die Werte sind \(P = -2\), \(Q = 1{,}5\) und \(R = 0\). Die Reihenfolge lautet: \(P < R < Q\).

- Wie muss die Basis eines Logarithmus beschaffen sein, und welchen Wert darf sie nicht annehmen? Gibt es Einschränkungen für das Ergebnis einer Potenz? - Versuche, Terme in Klammern zunächst als eine Einheit zu betrachten. - Dezimalzahlen lassen sich oft leichter als Brüche verarbeiten. - Was bedeutet ein negativer Exponent für die Berechnung?

1. Für \(\log_2 (x - 4) = 5\): Umwandlung in \(x - 4 = 2^5\). Da \(2^5 = 32\), folgt \(x - 4 = 32\), also \(x = 36\). 2. Für \(\log_{x+2} 49 = 2\): Umwandlung in \((x + 2)^2 = 49\). Die Gleichung hat die Lösungen \(x + 2 = 7\) oder \(x + 2 = -7\). Für die Basis müssen \(x + 2 > 0\) und \(x + 2 \neq 1\) gelten. Daher ist nur \(x + 2 = 7\) zulässig, woraus \(x = 5\) folgt; dieser Wert erfüllt beide Basisbedingungen. 3. Für \(\log_{0{,}2} x = -3\): Umwandlung in \(x = 0{,}2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125\). 4. Für \(\log_x \frac{1}{100} = -2\): Umwandlung in \(x^{-2} = \frac{1}{100}\). Dies entspricht \(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{100}\), also \(x^2 = 100\). Da die Basis \(x\) positiv und ungleich \(1\) sein muss, folgt \(x = 10\); der Wert ist zulässig.

1) \(x = 36\); 2) \(x = 5\); 3) \(x = 125\); 4) \(x = 10\).

- Wende zuerst die Definition des Logarithmus an, um die Logarithmus-Schreibweise loszuwerden. - Kannst du den Dezimalbruch im Exponenten als gewöhnlichen Bruch schreiben? - Wie löst man eine Gleichung der Form \(x^{\frac{a}{b}} = c\)? - Welche Potenzregel kennst du, bei der das Ergebnis immer 1 ist, unabhängig von der Basis?

1. Zur Lösung von a): Die Gleichung \(\log_3(2x - 1) = 2\) ist äquivalent zu \(3^2 = 2x - 1\). Berechnung von \(9 = 2x - 1\), daraus folgt \(10 = 2x\) und somit \(x = 5\). 2. Zur Lösung von b): Die Gleichung \(\log_x(27) = 0{,}75\) bedeutet \(x^{0{,}75} = 27\). Da \(0{,}75 = \frac{3}{4}\), gilt \(x^{\frac{3}{4}} = 27\). Um \(x\) zu isolieren, potenziert man beide Seiten mit \(\frac{4}{3}\): \(x = 27^{\frac{4}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^4 = 3^4 = 81\). 3. Zur Lösung von c): Sei \(b > 0\) und \(b \neq 1\) eine beliebige Basis. Gesucht ist der Wert \(c = \log_b(1)\). Gemäß Definition gilt \(b^c = 1\). Da \(b^0 = 1\) gilt und die Exponentialfunktion \(b^x\) für jede zulässige Basis \(b>0\), \(b \neq 1\), streng monoton und damit eindeutig ist, ist \(c=0\) die einzige Möglichkeit. Somit ist \(\log_b(1) = 0\) für jede Basis \(b\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 81\) c) Begründung: Da \(b^0 = 1\) gilt und \(b^x\) für jede zulässige Basis eindeutig ist, folgt aus der Definition des Logarithmus direkt \(\log_b(1) = 0\).

- Wie lassen sich Brüche oder Wurzeln als Potenzen schreiben? - Könnte es helfen, beide Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sie denselben Exponenten haben? - Was passiert, wenn du beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Exponenten potenzierst? - Überlege, welche Rechenregeln für Potenzen dir hier weiterhelfen könnten.

1. Anwendung der Definition \(\log_x(b) = a \Leftrightarrow x^a = b\). 2. Für a): Gleichung \(x^{-7} = \frac{1}{128}\). Umformung zu \(\frac{1}{x^7} = \frac{1}{128}\), also \(x^7 = 128\). Ziehen der siebten Wurzel ergibt \(x = 2\). 3. Für b): Gleichung \(x^{1{,}5} = 2\sqrt{2}\). Da \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) und \(2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{0{,}5} = 2^{1{,}5}\), folgt direkt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 4. Für c): Gleichung \(x^{\frac{3}{2}} = 27\). Umformung durch Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\): \(x = 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 2\) c) \(x = 9\)

- Wie lässt sich eine Dezimalzahl im Exponenten als Bruch schreiben? - Was bedeutet ein negativer Exponent für eine Basis, die selbst ein Bruch ist? - Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten ausdrücken? - Vergleiche am Ende deine drei Ergebnisse sorgfältig.

1. Berechnung für (1): Die Gleichung \(\log_x 8 = 1{,}5\) ist äquivalent zu \(x^{1{,}5} = 8\). Mit \(1{,}5 = \frac{3}{2}\) ergibt sich \(x^{\frac{3}{2}} = 2^3\). Potenzieren beider Seiten mit \(\frac{2}{3}\) liefert \(x = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\). 2. Berechnung für (2): Die Gleichung \(\log_{0{,}5} x = -3\) ist äquivalent zu \(x = 0{,}5^{-3}\). Da \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist, gilt \(x = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8\). 3. Berechnung für (3): Die Gleichung \(\log_{10} \sqrt{10} = x\) ist äquivalent zu \(10^x = \sqrt{10}\). Da \(\sqrt{10} = 10^{0{,}5}\) ist, folgt durch Exponentenvergleich \(x = 0{,}5\). 4. Vergleich: Die berechneten Werte sind \(4\), \(8\) und \(0{,}5\). Der kleinste Wert ist \(0{,}5\).

In (1) ist \(x = 4\), in (2) ist \(x = 8\) und in (3) ist \(x = 0{,}5\). Der kleinste Wert ist \(0{,}5\).

- Wurzeln lassen sich als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben. - Denk daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Lösungen möglich sind. Prüfe, ob beide im Logarithmus erlaubt sind. - Warum ist es in der Mathematik wichtig, dass eine Operation wie der Logarithmus ein eindeutiges Ergebnis liefert? - Schau dir die Definitionsmenge für die Basis eines Logarithmus in deinem Lehrbuch noch einmal genau an.

1. Umwandlung in die Potenzform: \(x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{2}\). Da \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), folgt \(x^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2}}\). Potenzieren mit 6 ergibt \(x = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8\). 2. Anwendung der Definition: \(x^2 + 2 = 3^3 \Rightarrow x^2 + 2 = 27\). Umformen ergibt \(x^2 = 25\), woraus die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\) folgen. Da der Numerus \(x^2+2\) für beide Werte positiv ist (\(27 > 0\)), sind beide Lösungen gültig. 3. Laut Definition muss die Basis \(a\) eines Logarithmus \(\log_a b\) positiv und ungleich 1 sein (\(a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\)). Wäre die Basis 1, so wäre die Gleichung \(1^y = 1\) für jedes beliebige \(y\) erfüllt. Damit wäre der Logarithmus nicht eindeutig bestimmt, weshalb die Basis 1 ausgeschlossen wird.

1) \(x = 8\); 2) \(x \in \{ -5; 5 \}\); 3) Die Basis \(1\) ist per Definition ausgeschlossen, da der Logarithmus sonst nicht eindeutig definiert wäre (jede Zahl \(y\) wäre eine Lösung für \(\log_1 1\)).

- Denke an die Bedingungen für die Basis \(x\) und das Argument \(a\) eines Logarithmus. - Welche Werte darf eine Basis niemals annehmen? - Kann man den Logarithmus von jeder beliebigen Zahl bilden? - Stelle die Gleichung in die Form \(x = \dots\) um, indem du die entsprechende Wurzel ziehst oder potenzierst.

Die allgemeine Form \(\log_x(a) = a\) entspricht \(x^a = a\) mit den Bedingungen für die Basis \(x > 0\), \(x \neq 1\) und das Argument \(a > 0\). 1. Für \(a = 3\): \(x^3 = 3 \implies x = \sqrt[3]{3}\). Da \(\sqrt[3]{3} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 2. Für \(a = 1\): \(x^1 = 1 \implies x = 1\). Da die Basis eines Logarithmus laut Definition ungleich \(1\) sein muss, gibt es hier keine gültige Lösung. 3. Für \(a = \frac{1}{4}\): \(x^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \implies x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256}\). Da \(\frac{1}{256} > 0\) und \(\neq 1\), ist dies die Lösung. 4. Für \(a = -1\): Das Argument des Logarithmus muss stets positiv sein (\(a > 0\)). Daher ist \(\log_x(-1)\) nicht definiert und es existiert keine Lösung.

a) \(x = \sqrt[3]{3}\) b) Keine Lösung, da die Basis \(x \neq 1\) sein muss. c) \(x = \frac{1}{256}\) d) Keine Lösung, da das Argument \(a > 0\) sein muss.

- Zwischen welchen bekannten Potenzen der jeweiligen Basis liegt der gegebene Wert? - Für die hier vorkommenden Basen \(3\), \(2\) und \(10\), die alle größer als \(1\) sind, ist die Logarithmusfunktion streng steigend. - Bei Dezimalzahlen wie \(0{,}3\) kann es helfen, an negative Exponenten der Basis zu denken. - Was bedeutet die Abkürzung \(\lg\)? Welche Basis ist hier gemeint?

1. Für \(\log_3(20)\): Suche Potenzen von \(3\). Es gilt \(3^2 = 9\) und \(3^3 = 27\). Da \(9 < 20 < 27\), liegt der Logarithmus wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion zwischen \(2\) und \(3\). 2. Für \(\log_2(0{,}3)\): Suche Potenzen von \(2\). Es gilt \(2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\) und \(2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da \(0{,}25 < 0{,}3 < 0{,}5\), liegt der Logarithmus zwischen \(-2\) und \(-1\). 3. Für \(\lg(500)\) (Basis 10): Suche Potenzen von \(10\). Es gilt \(10^2 = 100\) und \(10^3 = 1000\). Da \(100 < 500 < 1000\), liegt der Logarithmus zwischen \(2\) und \(3\).

a) \(2 < \log_3(20) < 3\) b) \(-2 < \log_2(0{,}3) < -1\) c) \(2 < \lg(500) < 3\)

- Was muss für den Wert innerhalb des Logarithmus (den Numerus) immer gelten? - Wie verhält sich das Ungleichheitszeichen, wenn man den Logarithmus durch Potenzieren der Basis entfernt? - Denke daran, dass \(\lg\) den Zehnerlogarithmus (Basis 10) bezeichnet. - Vergiss nicht, die Bedingung für den Definitionsbereich am Ende mit deinem Ergebnis zu schneiden.

1. Für \(\lg(x) < 2\) muss der Numerus positiv sein (\(x > 0\)). Da die Logarithmusfunktion zur Basis 10 streng monoton steigend ist, folgt aus \(\lg(x) < 2\), dass \(x < 10^2 = 100\). Das Ergebnis ist \(0 < x < 100\). 2. Für \(\lg(2x) \ge 1\) muss \(2x > 0\) gelten (\(x > 0\)). Die Ungleichung liefert \(2x \ge 10^1 = 10\), woraus \(x \ge 5\) folgt. Da \(5 > 0\), ist dies die Lösung. 3. Für \(\lg(x - 1) < 0\) muss \(x - 1 > 0\) gelten (\(x > 1\)). Die Ungleichung liefert \(x - 1 < 10^0 = 1\), woraus \(x < 2\) folgt. Kombiniert ergibt sich \(1 < x < 2\).

1) \(0 < x < 100\) 2) \(x \ge 5\) 3) \(1 < x < 2\)

- Welche Einschränkungen gelten für den Logarithmus \(\ln(x)\)? - Gibt es Werte, für die der Nenner null wird? - Wenn ein Wert sowohl den Zähler als auch den Nenner null werden lässt, gehört er dann zur Definitionsmenge? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt, um den Zähler zu untersuchen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) erfordert \(x > 0\). Zusätzlich darf der Nenner nicht null werden: \(x^2 - 1 = 0 \iff x = 1\) oder \(x = -1\). Da \(-1\) nicht im Bereich \(x > 0\) liegt, ist nur \(x = 1\) als Ausschlusswert relevant. Somit ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ und } x \neq 1\}\) bzw. \(D = ]0; 1[ \cup ]1; \infty[\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Der Zähler wird null, wenn \((x-5) \cdot \ln(x) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt muss \(x-5 = 0\) oder \(\ln(x) = 0\) gelten. 3. Dies liefert die Kandidaten \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\). 4. Prüfung der Definitionsmenge: Der Wert \(x = 5\) liegt in \(D\). Der Wert \(x = 1\) liegt jedoch nicht in \(D\), da dort der Nenner der Funktion null wird. Die einzige Nullstelle ist somit \(x = 5\).

\(D = ]0; 1[ \cup ]1; \infty[\) oder \(D = \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\); Nullstelle bei \(x = 5\)

- Was bedeutet die Abkürzung \(\lg\)? - Versuche, alle Zahlen als Potenzen der gleichen Basis darzustellen. - Wie kannst du eine Dezimalzahl wie \(0{,}5\) als Bruch schreiben, um leichter mit Potenzen von 2 zu arbeiten? - Welche Potenzschreibweise hilft dir bei Wurzeln im Nenner eines Bruches?

1. Berechnung von \(\lg 0{,}001\): Da \(10^{-3} = 0{,}001\), ist der Wert \(-3\). 2. Umformung von \(\sqrt[4]{1000}\): Da \(1000 = 10^3\), ist \(\sqrt[4]{10^3} = 10^{\frac{3}{4}}\). Der Logarithmus \(\lg 10^{\frac{3}{4}}\) ergibt \(0{,}75\). 3. Berechnung von \(\log_{0{,}5} 8\): Mit der Basis \(0{,}5 = 2^{-1}\) und \(8 = 2^3\) ergibt sich die Gleichung \((2^{-1})^x = 2^3\), woraus \(-x = 3\) und somit \(x = -3\) folgt. 4. Umformung von \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\): Es gilt \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = 2^{-\frac{1}{3}}\). Mit der Basis \(0{,}5 = 2^{-1}\) folgt \((2^{-1})^x = 2^{-\frac{1}{3}}\), also \(-x = -\frac{1}{3}\), woraus \(x = \frac{1}{3}\) resultiert.

a) \(-3\) b) \(0{,}75\) (oder \(\frac{3}{4}\)) c) \(-3\) d) \(\frac{1}{3}\)

- Kannst du das Argument (die Zahl im Logarithmus) als Potenz der Basis schreiben? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese zuerst in einen Bruch umzuwandeln. - Erinnere dich daran, welche Basis beim Symbol \(\lg\) implizit gemeint ist. - Vereinfache komplizierte Ausdrücke wie Wurzeln, bevor du den Logarithmus bestimmst.

1. Zu a): Gesucht ist \(x\) mit \(7^x = 49\). Da \(7^2 = 49\), ist \(x = 2\). 2. Zu b): Gesucht ist \(x\) mit \(7^x = \frac{1}{7} = 7^{-1}\). Somit ist \(x = -1\). 3. Zu c): Wandle die Dezimalzahl in einen Bruch um: \(0{,}125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}\). Daraus folgt \(\log_2 2^{-3} = -3\). 4. Zu d): \(\lg\) steht für den Zehnerlogarithmus. \(10^x = 0{,}01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\). Also ist der Wert \(-2\). 5. Zu e): Vereinfache zuerst das Argument: \(\sqrt{64} = 8\). Die Gleichung lautet \(4^x = 8\). Da \(4^{1{,}5} = (2^2)^{1{,}5} = 2^3 = 8\), ist das Ergebnis \(1{,}5\).

a) \(2\) b) \(-1\) c) \(-3\) d) \(-2\) e) \(1{,}5\)

- Kannst du die Zahlen unter der Wurzel als Potenz der Basis schreiben? - Wie schreibt man eine Wurzel als Exponenten? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Exponenten, wenn eine Zahl im Nenner eines Bruchs steht? - Welche Rechenregel gilt für das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis?

1. Umwandlung der Argumente in Potenzen zur Basis des Logarithmus: a) \(\log_3 \sqrt[4]{3^3} = \log_3 3^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4}\) b) \(\log_2 \frac{1}{\sqrt[5]{2^3}} = \log_2 2^{-\frac{3}{5}} = -\frac{3}{5}\) c) \(\lg \sqrt[3]{10^2} = \lg 10^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\) d) \(\log_5 (5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = \log_5 5^{2 + \frac{1}{2}} = \log_5 5^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2}\) e) \(\log_7 \frac{1}{7^2 \cdot 7^{\frac{1}{3}}} = \log_7 7^{-(2 + \frac{1}{3})} = \log_7 7^{-\frac{7}{3}} = -\frac{7}{3}\)

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(-\frac{3}{5}\) c) \(\frac{2}{3}\) d) \(\frac{5}{2} = 2{,}5\) e) \(-\frac{7}{3}\)

- Was bedeuten die Koordinaten eines Punktes für die Funktionsgleichung? - Setze den \(x\)-Wert und den zugehörigen Funktionswert \(f(x)\) in die Gleichung ein. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(y = \log_a(x)\) nach \(a\) auflösen? - Überlege, wie man negative Exponenten oder Dezimalzahlen als Brüche schreiben kann, um die Basis leichter zu finden.

1. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(x \mid y)\) in die Funktionsgleichung \(y = \log_a(x)\). 2. Umformung der erhaltenen Gleichung in die Exponentialschreibweise \(a^y = x\). 3. Für a): \(a^4 = 16 \Rightarrow a = \sqrt[4]{16} = 2\). 4. Für b): \(a^{-2} = 0{,}01 \Rightarrow \frac{1}{a^2} = \frac{1}{100} \Rightarrow a^2 = 100 \Rightarrow a = 10\). 5. Für c): \(a^{0{,}5} = 3 \Rightarrow \sqrt{a} = 3 \Rightarrow a = 3^2 = 9\). 6. Für d): \(a^{-1} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0{,}5\).

a) \(a = 2\) b) \(a = 10\) c) \(a = 9\) d) \(a = 0{,}5\)

- Kannst du für jeden Wert einzeln abschätzen, wie groß er ungefähr ist? - Welche Hochzahl muss die Basis jeweils haben, um in die Nähe des Zielwertes zu kommen? - Reicht es aus, die benachbarten ganzen Zahlen zu kennen, um die Werte zu vergleichen?

1. Intervall für \(x = \log_2 40\): Vergleich mit \(2^5 = 32\) und \(2^6 = 64\). Da \(32 < 40 < 64\), gilt \(5 < x < 6\). 2. Intervall für \(y = \log_3 80\): Vergleich mit \(3^3 = 27\) und \(3^4 = 81\). Da \(27 < 80 < 81\), gilt \(3 < y < 4\). 3. Intervall für \(z = \log_5 120\): Vergleich mit \(5^2 = 25\) und \(5^3 = 125\). Da \(25 < 120 < 125\), gilt \(2 < z < 3\). 4. Vergleich der Intervalle: Da \(x\) größer als \(5\) ist, während \(y\) kleiner als \(4\) und \(z\) kleiner als \(3\) sind, ist \(x\) der größte Wert.

\(x = \log_2 40\) ist der größte Wert, da \(5 < x < 6\), während \(3 < y < 4\) und \(2 < z < 3\) gilt.

- Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt die Zahl 5? - Wie kannst du die Gleichung \(10^x = 5\) mithilfe von Probieren und Eingrenzen lösen? - Erinnere dich daran, dass \(10^{0{,}5}\) dasselbe ist wie \(\sqrt{10}\). - Nutze deinen Taschenrechner, um Potenzen mit Dezimalzahlen im Exponenten zu berechnen.

1. Startintervall finden: Wegen \(10^0 = 1\) und \(10^1 = 10\) liegt \(\lg 5\) im Intervall \([0; 1]\). 2. Eingrenzung auf Zehntel: Durch Testen von Werten wie \(10^{0{,}6} \approx 3{,}981\) und \(10^{0{,}7} \approx 5{,}012\) folgt \(0{,}6 < \lg 5 < 0{,}7\). 3. Eingrenzung auf Hundertstel: Durch Testen von Werten wie \(10^{0{,}69} \approx 4{,}898\) und \(10^{0{,}70} \approx 5{,}012\) folgt \(0{,}69 < \lg 5 < 0{,}70\). 4. Prüfung der dritten Nachkommastelle zur Rundung: \(10^{0{,}698} \approx 4{,}989\) und \(10^{0{,}699} \approx 5{,}0003\). Somit liegt der Wert zwischen \(0{,}698\) und \(0{,}699\). 5. Ergebnis: Der auf zwei Nachkommastellen gerundete Wert ist \(0{,}70\).

\(\lg 5 \approx 0{,}70\)

- Was bedeutet \(\log_2 3 = x\) als Potenz geschrieben? - Suche zuerst die zwei ganzen Zahlen, zwischen denen das Ergebnis liegen muss. - Verwende die Potenzfunktion deines Taschenrechners, um dich dem Zielwert 3 anzunähern. - Wenn du ein Intervall wie \([1{,}5; 1{,}6]\) gefunden hast, welcher Wert liegt genau in der Mitte?

1. Startintervall bestimmen: Da \(2^1 = 2\) und \(2^2 = 4\), muss der Wert zwischen \(1\) und \(2\) liegen. 2. Schrittweise Verfeinerung (Zehntel): \(2^{1{,}5} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2{,}828\) und \(2^{1{,}6} \approx 3{,}031\). Das Intervall ist \([1{,}5; 1{,}6]\). 3. Schrittweise Verfeinerung (Hundertstel): \(2^{1{,}58} \approx 2{,}9897\) und \(2^{1{,}59} \approx 3{,}0105\). Das Intervall ist \([1{,}58; 1{,}59]\). 4. Prüfung der dritten Stelle: \(2^{1{,}584} \approx 2{,}9980\) und \(2^{1{,}585} \approx 3{,}0001\). Da der Wert sehr nah an \(1{,}585\) liegt, aber knapp darunter (da \(2^{1{,}585}\) minimal größer als \(3\) ist), liegt er im Intervall \([1{,}584; 1{,}585]\). 5. Gerundetes Ergebnis: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(1{,}58\).

\(\log_2 3 \approx 1{,}58\)

- Welche Basis ist bei der Schreibweise \(\lg\) gemeint? - Kannst du die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umschreiben? - Überlege, wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kann, um die Potenz einfacher zu berechnen. - Was bewirkt ein Minuszeichen im Exponenten einer Potenz?

1. Nutzung der Definition des Logarithmus: Die Basis hoch das Ergebnis ist gleich dem Numerus. 2. Für a): Da \(\lg\) der Zehnerlogarithmus ist, gilt \(x = 10^5 = 100\,000\). 3. Für b): Mit der Basis \(0{,}1\) ergibt sich \(x = 0{,}1^{-3} = (\frac{1}{10})^{-3} = 10^3 = 1000\). 4. Für c): Umwandlung der Dezimalzahl im Exponenten: \(x = 4^{1{,}5} = 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8\).

a) \(x = 100\,000\) b) \(x = 1000\) c) \(x = 8\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen, Potenzen und Wurzeln. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(b^n = a\) nach \(b\) auflösen? - Was bewirkt ein Bruch als Exponent? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Anwendung der Definition des Logarithmus: \(\log_b y = x \iff b^x = y\). 2. Teilaufgabe a): \(b^3 = 343 \implies b = \sqrt[3]{343} = 7\). 3. Teilaufgabe b): \(b^{-2} = \frac{1}{9} \implies \frac{1}{b^2} = \frac{1}{9} \implies b^2 = 9 \implies b = 3\) (da die Basis \(b > 0\) sein muss). 4. Teilaufgabe c): \(b^{\frac{1}{3}} = 2 \implies \sqrt[3]{b} = 2 \implies b = 2^3 = 8\). 5. Teilaufgabe d): \(b^{-1} = 0{,}125 \implies \frac{1}{b} = \frac{1}{8} \implies b = 8\).

a) \(b = 7\) b) \(b = 3\) c) \(b = 8\) d) \(b = 8\)

- Schreibe die Logarithmusgleichung zuerst in eine Potenzgleichung der Form \(b^{\text{Ergebnis}} = \text{Numerus}\) um. - Wenn die Basis \(x\) gesucht ist, hilft oft das Ziehen einer Wurzel. - Wenn das Ergebnis \(x\) gesucht ist, versuche den Term im Logarithmus so umzuformen, dass die Basis des Logarithmus und die Basis der Potenz identisch sind. - Lasse dich von Variablen wie \(k\) nicht verunsichern und wende die Definition des Logarithmus konsequent an.

1. Umwandlung in die Exponentialform \(x^3 = 1000\): Durch Ziehen der dritten Wurzel folgt \(x = 10\). 2. Anwendung der Definition \(x = 4^{2{,}5}\): Berechnung durch \(4^2 \cdot \sqrt{4} = 16 \cdot 2 = 32\). 3. Aufstellen der Gleichung \((\frac{1}{3})^x = 9\): Da \((\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9\), ist \(x = -2\). 4. Umschreiben der Wurzel als Potenz: \(\sqrt{7^5} = (7^5)^{\frac{1}{2}} = 7^{2{,}5}\), daraus folgt direkt \(x = 2{,}5\). 5. Nutzung der Identität \(\log_b b^y = y\): Hier ist der Exponent \(k-1\), also gilt \(x = k-1\).

a) \(x = 10\) b) \(x = 32\) c) \(x = -2\) d) \(x = 2{,}5\) e) \(x = k-1\)

- Wenn die Basis des Logarithmus und die Zahl im Logarithmus nicht sofort zusammenpassen, versuche beide auf eine gemeinsame Grundpotenz (z. B. 2 oder 3) zurückzuführen. - Nutze die Rechenregeln für Potenzen, um Brüche mit Wurzeln zusammenzufassen. - Erinnere dich: \(\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y\) und \(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y\).

1. Teilaufgabe a: Schreibe \(\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}\). Da die Basis \(4 = 2^2\) ist, gilt \(2 = 4^{\frac{1}{2}}\). Somit ist \(2^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{4}}\). Ergebnis: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Teilaufgabe b: Es gilt \(\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}\). Da die Basis \(9 = 3^2\) ist, folgt \(3 = 9^{\frac{1}{2}}\). Einsetzen liefert \((9^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{6}}\). Ergebnis: \(\frac{1}{6}\). 3. Teilaufgabe c: Nutze die Potenzgesetze für den Numerus: \(\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^2} = 2^{\frac{1}{3} - 2} = 2^{-\frac{5}{3}}\). Der Logarithmus zur Basis \(2\) ergibt direkt \(-\frac{5}{3}\). 4. Teilaufgabe d: Forme den Numerus um: \(\frac{10^2}{10^{\frac{1}{4}}} = 10^{2 - \frac{1}{4}} = 10^{\frac{7}{4}}\). Der Logarithmus zur Basis \(10\) ist \(1{,}75\).

a) \(0{,}75\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(-\frac{5}{3}\) d) \(1{,}75\)

- Kannst du die Dezimalzahlen im Logarithmus als Brüche schreiben, um die Potenzen leichter zu finden? - Erinnere dich: \(b^x = a\) ist gleichbedeutend mit \(x = \log_b a\). Suche also nach passenden Werten für \(x\). - Welche ganzzahligen Potenzen der Basis liegen am nächsten an der Zahl im Logarithmus?

1. Zu a): Untersuchung der 5er-Potenzen ergibt \(5^{-3} = \frac{1}{125} = 0{,}008\) und \(5^{-2} = \frac{1}{25} = 0{,}04\). Da \(0{,}008 < 0{,}03 < 0{,}04\), gilt \(-3 < \log_5 0{,}03 < -2\). 2. Zu b): Untersuchung der 8er-Potenzen ergibt \(8^2 = 64\) und \(8^3 = 512\). Da \(64 < 100 < 512\), gilt \(2 < \log_8 100 < 3\). 3. Zu c): Untersuchung der 2er-Potenzen ergibt \(2^1 = 2\) und \(2^2 = 4\). Da \(2 < 2{,}5 < 4\), gilt \(1 < \log_2 2{,}5 < 2\). 4. Zu d): Untersuchung der 10er-Potenzen ergibt \(10^{-3} = 0{,}001\) und \(10^{-2} = 0{,}01\). Da \(0{,}001 < 0{,}002 < 0{,}01\), gilt \(-3 < \log_{10} 0{,}002 < -2\).

a) \(-3 < \log_5 0{,}03 < -2\) b) \(2 < \log_8 100 < 3\) c) \(1 < \log_2 2{,}5 < 2\) d) \(-3 < \log_{10} 0{,}002 < -2\)

- Setze die \(x\)- und \(y\)-Werte in die allgemeine Gleichung ein. - Wie kann man einen Exponenten von \(0{,}5\) als Wurzel schreiben? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie löst man Gleichungen der Form \(b^{-n} = \frac{1}{k}\)?

1. Nutzung der Definition des Logarithmus: \(y = \log_b(x) \iff b^y = x\). 2. Für Punkt \(A\): \(b^{0{,}5} = 10\). Da \(b^{0{,}5} = \sqrt{b}\) ist, gilt \(\sqrt{b} = 10\). Quadrieren beider Seiten liefert \(b = 100\). 3. Für Punkt \(B\): \(b^{-4} = \frac{1}{81}\). Dies entspricht \(\frac{1}{b^4} = \frac{1}{81}\), also \(b^4 = 81\). Die vierte Wurzel ergibt \(b = 3\). 4. Für Punkt \(C\): \(b^{-2} = 0{,}04\). Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \(0{,}04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}\). Somit gilt \(\frac{1}{b^2} = \frac{1}{25}\), woraus \(b^2 = 25\) und damit \(b = 5\) folgt.

a) \(b = 100\) b) \(b = 3\) c) \(b = 5\)

- Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichungen in die Form \(b^c = a\) umzuschreiben. - Wenn die Basis gesucht ist, kannst du die entsprechende Wurzel ziehen. - Wenn der Exponent gesucht ist, versuche beide Seiten der Gleichung auf dieselbe Basis zu bringen. - Dezimalzahlen wie \(0{,}5\) können oft einfacher als Brüche wie \(\frac{1}{2}\) betrachtet werden, um Wurzelbeziehungen zu erkennen.

1. Anwendung der Definition \(2^5 = x\): Berechnung ergibt \(x = 32\). 2. Umformung in die Potenzform \(x^4 = 81\): Da die Basis positiv sein muss, folgt aus \(3^4 = 81\), dass \(x = 3\). 3. Bestimmung des Exponenten für \(4^y = \frac{1}{64}\): Wegen \(64 = 4^3\) ist \(\frac{1}{64} = 4^{-3}\), also \(y = -3\). 4. Lösung von \(9^x = 3\): Da \(3 = \sqrt{9} = 9^{0{,}5}\), ist \(x = 0{,}5\) bzw. \(x = \frac{1}{2}\). 5. Umformung des Terms: \(\sqrt{1000} = \sqrt{10^3} = (10^3)^{0{,}5} = 10^{1{,}5}\). Der Logarithmus zur Basis 10 ergibt \(y = 1{,}5\) bzw. \(y = \frac{3}{2}\).

a) \(x = 32\) b) \(x = 3\) c) \(y = -3\) d) \(x = 0{,}5\) e) \(y = 1{,}5\)

- Denke daran, dass der Logarithmus und die Potenzierung mit derselben Basis sich gegenseitig aufheben. - Wie gehst du vor, wenn im Argument des Logarithmus ein ganzer Term steht? - Kannst du die Definition des Logarithmus auch anwenden, wenn die Basis die gesuchte Variable ist? - Was bedeutet ein negativer Exponent für das Ergebnis einer Potenz?

1. Berechnung von \(2 \cdot \log_{3}(9) - \log_{5}(125)\): Es gilt \(\log_{3}(9) = 2\) und \(\log_{5}(125) = 3\). Der Term ergibt \(2 \cdot 2 - 3 = 1\). 2. Lösung von \(\log_{2}(x + 10) = 6\): Umformung in die Potenzform ergibt \(x + 10 = 2^6 = 64\). Subtraktion von \(10\) führt zu \(x = 54\). 3. Lösung von \(\log_{10}(10^{x+5}) = 8\): Da der Logarithmus zur Basis \(10\) die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion \(10^y\) ist, gilt \(x + 5 = 8\). Daraus folgt \(x = 3\). 4. Lösung von \(\log_{4}(x) = -2\): Umformung ergibt \(x = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 5. Lösung von \(\log_{x}(81) = 4\): Umformung ergibt \(x^4 = 81\). Algebraisch sind zunächst \(x=3\) und \(x=-3\) möglich. Wegen \(x>0\) und der Basisbedingung \(x \neq 1\) bleibt \(x=3\).

a) \(1\) b) \(x = 54\) c) \(x = 3\) d) \(x = 0{,}0625\) (oder \(\frac{1}{16}\)) e) \(x = 3\) (zulässige Basis: \(x>0\), \(x \neq 1\))

- Kannst du die Ungleichung durch eine geschickte Ersetzung (Substitution) vereinfachen? - Welche Logarithmengesetze helfen dir, zwei Logarithmen zu einem zusammenzufassen? - Achte besonders bei Quadraten im Numerus darauf, welche Werte für \(x\) erlaubt sind. - Untersuche bei quadratischen Ungleichungen den Verlauf der zugehörigen Parabel.

1. Definitionsbereich: \(x^2 > 0 \implies x \neq 0\). Die Ungleichung \(\lg(x^2) \le 2\) führt zu \(x^2 \le 10^2 = 100\). Dies ist für \(-10 \le x \le 10\) erfüllt. Unter Berücksichtigung von \(x \neq 0\) ergibt sich \(L = [-10; 0) \cup (0; 10]\). 2. Definitionsbereich: \(x > 0\). Substitution \(u = \lg x\) führt zu \(u^2 - 3u + 2 \le 0\). Die Nullstellen des Terms sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 2\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt die Ungleichung für \(1 \le u \le 2\). Rücksubstitution: \(1 \le \lg x \le 2 \implies 10^1 \le x \le 10^2\). Somit ist \(L = [10; 100]\). 3. Definitionsbereich: \(x > 0\) und \(x - 9 > 0\), also \(x > 9\). Anwendung der Logarithmengesetze: \(\lg(x(x - 9)) > 1 \implies x^2 - 9x > 10 \implies x^2 - 9x - 10 > 0\). Die Nullstellen von \(x^2 - 9x - 10 = 0\) sind \(x = 10\) und \(x = -1\). Der quadratische Ausdruck ist größer als Null für \(x < -1\) oder \(x > 10\). In Kombination mit dem Definitionsbereich \(x > 9\) ergibt sich \(L = (10; \infty)\).

1) \(L = \{x \in \mathbb{R} \mid -10 \le x \le 10, x \neq 0\}\) bzw. \(L = [-10; 0) \cup (0; 10]\) 2) \(L = [10; 100]\) 3) \(L = (10; \infty)\)

- Welche Bedingungen müssen für den Logarithmus erfüllt sein, damit er definiert ist? - Achte darauf, dass der gesamte Nenner nicht den Wert null annehmen darf. - Welche \(x\)-Werte machen den Zähler zu null? - Sind alle diese \(x\)-Werte auch in der Menge der erlaubten Eingabewerte enthalten?

1. Definitionsmenge des Logarithmus: Das Argument muss positiv sein, also \(x + 3 > 0 \iff x > -3\). 2. Ausschluss der Nullstellen des Nenners: \(\ln(x + 3) = 0 \iff x + 3 = e^0 \iff x + 3 = 1 \iff x = -2\). 3. Zusammenführung der Bedingungen: \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > -3 \text{ und } x \neq -2\}\) bzw. \(D = ]-3; \infty[ \setminus \{-2\}\). 4. Bestimmung der Nullstellen: Der Zähler muss null sein. \(x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ oder } x = -2\). 5. Abgleich mit der Definitionsmenge: Der Wert \(x = -2\) ist gemäß Schritt 2 nicht im Definitionsbereich enthalten. Der Wert \(x = 2\) liegt im Intervall \(]-3; \infty[\) und ist ungleich \(-2\). 6. Ergebnis: Die einzige Nullstelle der Funktion ist \(x = 2\).

\(D = ]-3; \infty[ \setminus \{-2\}\) Nullstelle: \(x = 2\)

- Schreibe Dezimalzahlen zuerst als Brüche um. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(2\) und \(4\), falls die Basis nicht direkt passt. - Verwende die Potenzgesetze für Division: \(a^m {:} a^n = a^{m-n}\). - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Exponent ausdrücken?

1. Darstellung der Dezimalzahlen und Brüche als Potenzen der Basis: a) \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\); somit \(\log_2 (2^{-3})^{\frac{1}{2}} = \log_2 2^{-1{,}5} = -1{,}5\) b) \(0{,}04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}\); somit \(\log_5 (5^{-2})^{\frac{1}{4}} = \log_5 5^{-0{,}5} = -0{,}5\) c) \(\lg \frac{10^1}{10^{\frac{2}{5}}} = \lg 10^{1 - \frac{2}{5}} = \lg 10^{\frac{3}{5}} = \frac{3}{5} = 0{,}6\) d) \(\log_3 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^2} = \log_3 3^{\frac{3}{2} - 2} = \log_3 3^{-\frac{1}{2}} = -0{,}5\) e) \(\log_4 \sqrt[3]{2^5} = \log_4 (2^5)^{\frac{1}{3}} = \log_4 (4^{\frac{1}{2}})^{\frac{5}{3}} = \log_4 4^{\frac{5}{6}} = \frac{5}{6}\)

a) \(-1{,}5\) b) \(-0{,}5\) c) \(0{,}6\) d) \(-0{,}5\) e) \(\frac{5}{6}\)

- Überlege dir, wie man die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln kann. - Was passiert mit dem Bruch im Exponenten, wenn du beide Seiten der Gleichung potenzierst? - Untersuche die Eigenschaften der Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung (z. B. gerade oder ungerade). - Erinnere dich an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.

1. Annahme des Gegenteils: \(\log_2 5 = \frac{m}{n}\) mit \(m, n \in \mathbb{N}^*\). 2. Anwendung der Definition des Logarithmus führt zur Gleichung \(2^{\frac{m}{n}} = 5\). 3. Durch Potenzieren beider Seiten mit \(n\) erhält man die Gleichung \(2^m = 5^n\). 4. Da \(m \ge 1\), ist die linke Seite \(2^m\) eine Potenz von 2 und somit eine gerade Zahl. 5. Da \(n \ge 1\), ist die rechte Seite \(5^n\) eine Potenz von 5 und somit eine ungerade Zahl. 6. Da eine gerade Zahl niemals gleich einer ungeraden Zahl sein kann, entsteht ein Widerspruch. 7. Folglich ist die Annahme falsch und \(\log_2 5\) ist irrational.

Die Annahme \(\log_2 5 = \frac{m}{n}\) führt auf die Gleichung \(2^m = 5^n\). Da Potenzen von 2 (für \(m \in \mathbb{N}^*\)) stets gerade und Potenzen von 5 (für \(n \in \mathbb{N}^*\)) stets ungerade sind, besitzt diese Gleichung keine Lösung in den natürlichen Zahlen. Somit ist \(\log_2 5\) irrational.

- Was bedeutet es für die Basis 10, wenn man sie in ihre Primfaktoren zerlegt? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite nur noch Potenzen einer einzigen Primzahl stehen? - Beachte den Zusammenhang zwischen der Größe der Basis und dem Wert des Logarithmus, um die Exponenten zu vergleichen. - Überlege, welche Primfaktoren in den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen können.

1. Annahme: \(\log_{10} 2 = \frac{p}{q}\) mit \(p, q \in \mathbb{N}^*\). 2. Umformung gemäß Definition: \(10^{\frac{p}{q}} = 2\), was durch Potenzieren mit \(q\) zu \(10^p = 2^q\) führt. 3. Da \(2 < 10\) und \(p, q \ge 1\), muss für die Gültigkeit der Gleichung \(p < q\) gelten. 4. Primfaktorzerlegung der Basis 10: \((2 \cdot 5)^p = 2^q\). 5. Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(2^p \cdot 5^p = 2^q\). 6. Division durch \(2^p\) (da \(q > p\)) führt zu \(5^p = 2^{q-p}\). 7. Die linke Seite \(5^p\) ist eine ungerade Zahl (Primfaktor 5), während die rechte Seite \(2^{q-p}\) wegen \(q-p \ge 1\) eine gerade Zahl ist (Primfaktor 2). 8. Dies widerspricht dem Fundamentalsatz der Arithmetik (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Daher ist \(\log_{10} 2\) irrational.

Aus der Annahme \(\log_{10} 2 = \frac{p}{q}\) folgt \(10^p = 2^q\). Die Zerlegung ergibt \(2^p \cdot 5^p = 2^q\), was zu \(5^p = 2^{q-p}\) führt. Da eine Potenz von 5 niemals eine Potenz von 2 sein kann (für \(p, q-p \ge 1\)), ist der Logarithmus irrational.