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- Wie lässt sich die Zahl 1 als Zehnerlogarithmus ausdrücken? - Kannst du die Koeffizienten vor den Logarithmen mit Hilfe der Potenzregel beseitigen? - Überlege, wie du Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus verschmelzen kannst.

1. Umwandlung des Faktors in einen Exponenten: \(2 \lg 6 = \lg 6^2 = \lg 36\). 2. Darstellung der Zahl \(1\) als Logarithmus zur Basis 10: \(1 = \lg 10\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für die Differenz: \(\lg 36 - \lg 9 = \lg\left(\frac{36}{9}\right) = \lg 4\). 4. Anwendung des Logarithmengesetzes für die Summe: \(\lg 4 + \lg 10 = \lg(4 \cdot 10) = \lg 40\). 5. Durch Entlogarithmieren (Basis 10) folgt \(x = 40\).

\(x = 40\)

- Kannst du die Faktoren vor den Logarithmen mithilfe der Potenzregel in den Logarithmus ziehen? - Wie lassen sich addierte oder subtrahierte Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Was passiert mit dem Gesamtwert eines Bruchs, wenn der Zähler mit einem Quadrat wächst und der Nenner linear? - Versuche, die neuen Werte für die Variablen direkt in deine gefundene Formel einzusetzen und den Ausdruck zu vereinfachen.

1. Anwendung der Logarithmengesetze für Potenzen auf die Summanden: \(2 \lg a = \lg(a^2)\) und \(\frac{1}{2} \lg b = \lg(\sqrt{b})\). 2. Zusammenfassen der Logarithmen mit den Gesetzen für Produkte und Quotienten: \(\lg(a^2) + \lg(\sqrt{b}) - \lg c = \lg\left(\frac{a^2 \cdot \sqrt{b}}{c}\right)\). 3. Durch Entlogarithmieren (Numerus-Vergleich) ergibt sich der Term für \(x\): \(x = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\). 4. Untersuchung der Änderung: Ersetzen von \(a\) durch \(2a\) und \(c\) durch \(4c\) im Term für \(x\): \(x_{\text{neu}} = \frac{(2a)^2 \sqrt{b}}{4c} = \frac{4a^2 \sqrt{b}}{4c} = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\). 5. Vergleich der Terme: Da \(x_{\text{neu}} = x\), bleibt der Wert von \(x\) unverändert.

a) \(x = \frac{a^2 \sqrt{b}}{c}\) b) Der Wert von \(x\) bleibt unverändert, da sich der Faktor \(4\) im Zähler (\(2^2\)) und der Faktor \(4\) im Nenner gegenseitig aufheben.

- Welche Rechenregel erlaubt es dir, einen Faktor vor einem Logarithmus in den Exponenten des Arguments zu ziehen? - Wie lassen sich die Summe oder die Differenz zweier Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Was bedeutet ein Exponent von \(\frac{1}{2}\) für das Argument?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \(k \cdot \log u = \log u^k\) auf die Summanden: \(\log x = \log a^4 + \log b^2\). 2. Anwendung des Additionsgesetzes \(\log u + \log v = \log(u \cdot v)\): \(\log x = \log(a^4 \cdot b^2)\). 3. Durch Vergleich der Argumente (Numeri) ergibt sich \(x = a^4 b^2\). 4. Im zweiten Fall Anwendung des Potenzgesetzes innerhalb der Klammer: \(\log x = \frac{1}{2}(\log c - \log d^4)\). 5. Anwendung des Subtraktionsgesetzes \(\log u - \log v = \log\left(\frac{u}{v}\right)\): \(\log x = \frac{1}{2} \log\left(\frac{c}{d^4}\right)\). 6. Erneute Anwendung des Potenzgesetzes für den Vorfaktor \(\frac{1}{2}\): \(\log x = \log\left(\left(\frac{c}{d^4}\right)^{1/2}\right) = \log\left(\frac{\sqrt{c}}{d^2}\right)\). 7. Es folgt \(x = \frac{\sqrt{c}}{d^2}\).

1) \(x = a^4 b^2\) 2) \(x = \frac{\sqrt{c}}{d^2}\)

- Wie kannst du einen Faktor vor dem Logarithmus als Exponenten in den Logarithmus ziehen? - Welches Gesetz hilft dir, die Summe oder Differenz zweier Logarithmen zusammenzufassen? - Wie hängen Brüche im Exponenten mit Wurzeln zusammen?

1. Anwendung des Potenzgesetzes auf die Summanden: \(2 \lg a = \lg(a^2)\) und \(3 \lg b = \lg(b^3)\). 2. Anwendung der Additionsregel für Logarithmen zur Zusammenfassung: \(\lg(a^2) + \lg(b^3) = \lg(a^2 \cdot b^3)\). 3. Durch Vergleich der Argumente (Numeri) ergibt sich \(x = a^2 b^3\). 4. Für den zweiten Teil Anwendung des Potenzgesetzes: \(\frac{1}{2} \lg a = \lg(a^{1/2}) = \lg \sqrt{a}\). 5. Anwendung der Subtraktionsregel für Logarithmen: \(\lg \sqrt{a} - \lg b = \lg \frac{\sqrt{a}}{b}\). 6. Durch Vergleich der Numeri ergibt sich \(x = \frac{\sqrt{a}}{b}\).

1) \(x = a^2 b^3\) 2) \(x = \frac{\sqrt{a}}{b}\)

- Was zeichnet eine arithmetische Folge im Vergleich zu einer geometrischen Folge aus? - Welches Logarithmengesetz hilft dir, wenn du die Differenz zweier Logarithmen berechnen möchtest? - Wie ist der Quotient aufeinanderfolgender Glieder in einer geometrischen Folge definiert? - Kannst du den Ausdruck für das allgemeine Glied der neuen Folge vereinfachen, bevor du die Differenz bildest?

1. Berechnung der ersten drei Glieder von \(b_n\): \(b_1 = 3 \cdot 2^0 = 3\), \(b_2 = 3 \cdot 2^1 = 6\), \(b_3 = 3 \cdot 2^2 = 12\). 2. Anwendung des Logarithmus für \(a_n\): \(a_1 = \lg(3)\), \(a_2 = \lg(6)\), \(a_3 = \lg(12)\). 3. Untersuchung der Differenz aufeinanderfolgender Glieder von \(a_n\): \(a_{n+1} - a_n = \lg(b_{n+1}) - \lg(b_n)\). 4. Anwendung der Logarithmengesetze: \(\lg(b_{n+1}) - \lg(b_n) = \lg\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)\). 5. Da \(b_n\) eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(q = 2\) ist, gilt \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\). 6. Daraus folgt \(d = \lg(2)\). Da dieser Wert unabhängig von \(n\) ist, handelt es sich um eine arithmetische Folge.

a) \(a_1 = \lg(3)\), \(a_2 = \lg(6)\), \(a_3 = \lg(12)\) b) Die Differenz ist konstant \(d = \lg(2)\), daher ist die Folge arithmetisch.

- Überlege dir, ob der Wert des Logarithmus positiv oder negativ ist. - Was passiert mit dem Relationszeichen einer Ungleichung, wenn man sie mit einer negativen Zahl multipliziert? - Erinnere dich an den Verlauf des Graphen einer Logarithmusfunktion mit einer Basis zwischen 0 und 1.

1. Berechnung der Logarithmenwerte: Da die Basis \(0{,}5\) kleiner als \(1\) ist, sind Logarithmen von Zahlen größer als \(1\) negativ. Es gilt \(\log_{0{,}5}(10) = \frac{\lg(10)}{\lg(0{,}5)} \approx -3{,}32\). 2. Überprüfung der Multiplikation: Die Multiplikation der Ungleichung \(3 > 2\) mit der negativen Zahl \(\log_{0{,}5}(10)\) erfordert die Umkehrung des Relationszeichens. Richtig wäre: \(3 \cdot \log_{0{,}5}(10) < 2 \cdot \log_{0{,}5}(10)\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Linke Seite: \(3 \cdot (-3{,}32) \approx -9{,}96\); Rechte Seite: \(2 \cdot (-3{,}32) \approx -6{,}64\). Da \(-9{,}96 < -6{,}64\), ist die ursprüngliche Behauptung falsch. 4. Eigenschaft der Logarithmusfunktion: Für eine Basis \(b\) mit \(0 < b < 1\) ist die Funktion \(f(x) = \log_b(x)\) streng monoton fallend. Daher folgt aus \(1000 > 100\), dass \(\log_{0{,}5}(1000) < \log_{0{,}5}(100)\) gelten muss.

Die Argumentation ist falsch. Der Fehler liegt im ersten Schritt: Da \(\log_{0{,}5}(10)\) negativ ist (ca. \(-3{,}32\)), dreht sich das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation um. Zudem ist die Logarithmusfunktion zur Basis \(0{,}5\) streng monoton fallend, weshalb für größere Argumente kleinere Funktionswerte folgen: \(\log_{0{,}5}(1000) < \log_{0{,}5}(100)\).

- Überlege, welche Rechenoperation die „äußerste“ im Argument ist. - Wie kann man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Gibt es einen Teil des Terms, den du direkt als Zahl berechnen kannst? - Erinnere dich an die Gesetze für Produkte und Quotienten im Logarithmus.

1. Anwendung des Quotientengesetzes für Logarithmen: \(x = \lg(100 \cdot a^4) - \lg(\sqrt[3]{b})\) 2. Anwendung des Produktgesetzes auf den ersten Teil: \(x = \lg(100) + \lg(a^4) - \lg(\sqrt[3]{b})\) 3. Den Logarithmus von \(100\) zur Basis \(10\) berechnen: \(\lg(100) = 2\) 4. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen (wobei \(\sqrt[3]{b} = b^{1/3}\)): \(x = 2 + 4 \cdot \lg(a) - \frac{1}{3} \cdot \lg(b)\)

\(x = 2 + 4\lg(a) - \frac{1}{3}\lg(b)\)

- Kannst du die Zahlen \(16\), \(4\) und \(\sqrt{2}\) als Potenzen zur Basis \(2\) schreiben? - Welches Gesetz hilft dir, wenn im Logarithmus ein Bruch steht? - Was passiert mit dem Exponenten, wenn du den Logarithmus einer Potenz bildest? - Überlege, welchen Wert der Logarithmus von \(1\) zu einer beliebigen Basis hat.

1. Anwendung des Quotientengesetzes auf den ersten Summanden: \(\log_2\left(\frac{1}{16}\right) = \log_2(1) - \log_2(16)\). Da \(\log_2(1) = 0\) und \(\log_2(16) = 4\) ist, ergibt sich \(-4\). 2. Zerlegung des zweiten Summanden mittels Produktgesetz: \(\log_2(4 \cdot \sqrt{2}) = \log_2(4) + \log_2(\sqrt{2})\). 3. Berechnung der Teilwerte: \(\log_2(4) = 2\) und \(\log_2(2^{0{,}5}) = 0{,}5\). Die Summe für diesen Teil beträgt \(2{,}5\). 4. Zusammenführung beider Teilergebnisse: \(T = -4 + 2{,}5 = -1{,}5\).

\(T = -1{,}5\)

- Überlege, wie du die Zahlen als Produkt aus 6 und einer Zehnerpotenz schreiben kannst. - Welches Logarithmengesetz erlaubt es dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was ist der Zehnerlogarithmus von \(10\), \(1000\) oder \(0{,}01\)?

1. Anwendung des Gesetzes für den Logarithmus eines Produkts: \(\lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b)\). 2. Berechnung von \(\lg(60) = \lg(6 \cdot 10^1) = \lg(6) + 1 \approx 1{,}778\). 3. Berechnung von \(\lg(6000) = \lg(6 \cdot 10^3) = \lg(6) + 3 \approx 3{,}778\). 4. Berechnung von \(\lg(0{,}06) = \lg(6 \cdot 10^{-2}) = \lg(6) - 2 \approx -1{,}222\). 5. Allgemeine Regel: Die Multiplikation mit \(10^k\) addiert den Wert \(k\) zum Logarithmus, da \(\lg(x \cdot 10^k) = \lg(x) + \lg(10^k) = \lg(x) + k\).

a) \(\lg(60) \approx 1{,}778\); \(\lg(6000) \approx 3{,}778\); \(\lg(0{,}06) \approx -1{,}222\). b) Der Wert des Logarithmus erhöht sich um \(k\), da \(\lg(x \cdot 10^k) = \lg(x) + k\).

- Kannst du die Zahl im Logarithmus als Produkt, Quotient oder Potenz der Zahlen 3 und 5 schreiben? - Überlege, welchen Wert \(\log_5 5\) hat. - Wie lässt sich eine Wurzel als Exponent schreiben? - Schreibe die Dezimalzahl \(0{,}6\) als Bruch.

1. Anwendung des Potenzgesetzes: \(\log_5 9 = \log_5(3^2) = 2 \cdot \log_5 3 \approx 2 \cdot 0{,}683 = 1{,}366\). 2. Anwendung des Produktgesetzes: \(\log_5 15 = \log_5(3 \cdot 5) = \log_5 3 + \log_5 5 = \log_5 3 + 1 \approx 0{,}683 + 1 = 1{,}683\). 3. Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_5 0{,}6 = \log_5\left(\frac{3}{5}\right) = \log_5 3 - \log_5 5 = \log_5 3 - 1 \approx 0{,}683 - 1 = -0{,}317\). 4. Anwendung des Wurzelgesetzes bzw. Potenzgesetzes: \(\log_5 \sqrt{3} = \log_5(3^{0{,}5}) = 0{,}5 \cdot \log_5 3 \approx 0{,}5 \cdot 0{,}683 = 0{,}3415\).

1. \(1{,}366\) 2. \(1{,}683\) 3. \(-0{,}317\) 4. \(0{,}3415\)

- Überlege dir, wie du die Zahl im Logarithmus durch die Basis 5 und die gegebene Zahl 2 ausdrücken kannst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Produkte, Quotienten und Potenzen bei Logarithmen. - Welchen Wert hat ein Logarithmus, wenn die Zahl im Logarithmus mit der Basis übereinstimmt? - Manchmal hilft es, Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen: \(\log_5 4 = \log_5(2^2) = 2 \cdot \log_5 2 \approx 2 \cdot 0{,}43 = 0{,}86\). 2. Anwendung des Produktgesetzes und der Eigenschaft \(\log_b b = 1\): \(\log_5 10 = \log_5(2 \cdot 5) = \log_5 2 + \log_5 5 \approx 0{,}43 + 1 = 1{,}43\). 3. Darstellung als Bruch und Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_5 0{,}4 = \log_5(\frac{2}{5}) = \log_5 2 - \log_5 5 \approx 0{,}43 - 1 = -0{,}57\). 4. Anwendung des Wurzelgesetzes: \(\log_5 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_5 2 \approx 0{,}5 \cdot 0{,}43 = 0{,}215\). 5. Darstellung als Bruch und Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_5 2{,}5 = \log_5(\frac{5}{2}) = \log_5 5 - \log_5 2 \approx 1 - 0{,}43 = 0{,}57\).

a) \(0{,}86\) b) \(1{,}43\) c) \(-0{,}57\) d) \(0{,}215\) e) \(0{,}57\)

- Wie kannst du die Zahl 15 mithilfe der Zahlen 3 und 5 ausdrücken? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man den Logarithmus eines Produkts zerlegen kann? - Wenn du zwei Werte addierst, die jeweils in einem bestimmten Bereich liegen, wie verändern sich dann die Grenzen des Bereichs für die Summe?

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Produkte: \(\lg 15 = \lg(3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5\). 2. Addition der unteren Schranken: \(0{,}4771 + 0{,}6989 = 1{,}1760\). 3. Addition der oberen Schranken: \(0{,}4772 + 0{,}6990 = 1{,}1762\). 4. Zusammenführung der Ergebnisse zur Intervallangabe: \(1{,}1760 < \lg 15 < 1{,}1762\).

Es gilt \(1{,}1760 < \lg 15 < 1{,}1762\).

- Kannst du den Exponenten innerhalb des Logarithmus identifizieren? - Wie schreibt man eine Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten? - Gibt es eine Möglichkeit, Brüche im Logarithmus durch negative Exponenten zu ersetzen? - Welche Zahl rückt nach vorne, wenn man das Gesetz anwendet?

1. Direkte Anwendung des Logarithmengesetzes auf die Potenz \(x^9\) ergibt \(9 \cdot \log_b(x)\). 2. Setzen des negativen Exponenten \(-4\) als Faktor vor den Logarithmus führt zu \(-4 \cdot \log_b(y)\). 3. Umschreiben der dritten Wurzel als Potenz \(z^{\frac{1}{3}}\) und Anwendung des Gesetzes ergibt \(\frac{1}{3} \cdot \log_b(z)\). 4. Umformung des Bruchs in eine Potenz mit negativem Exponenten \(a^{-5}\) liefert \(-5 \cdot \log_b(a)\). 5. Multiplikation des Logarithmus mit dem Dezimalexponenten ergibt \(0{,}75 \cdot \log_b(w)\).

a) \(9 \cdot \log_b(x)\) b) \(-4 \cdot \log_b(y)\) c) \(\frac{1}{3} \cdot \log_b(z)\) d) \(-5 \cdot \log_b(a)\) e) \(0{,}75 \cdot \log_b(w)\)

- Überlege zuerst, wie du Faktoren vor dem Logarithmus in den Logarithmus hineinziehen kannst. - Wie lassen sich Summen von Logarithmen mit gleicher Basis zusammenfassen? - Welche Regel gilt für die Differenz zweier Logarithmen? - Erinnere dich daran, dass ein Exponent von \(\frac{1}{3}\) als Wurzel geschrieben werden kann.

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen auf jeden Teilterm: \(5 \log_b p = \log_b (p^5)\), \(\frac{1}{3} \log_b q = \log_b (q^{1/3}) = \log_b (\sqrt[3]{q})\) und \(2 \log_b r = \log_b (r^2)\). 2. Anwendung des Additionsgesetzes (Produktregel) auf die ersten beiden Terme: \(\log_b (p^5) + \log_b (\sqrt[3]{q}) = \log_b (p^5 \cdot \sqrt[3]{q})\). 3. Anwendung des Subtraktionsgesetzes (Quotientenregel) für den verbleibenden Term: \(\log_b (p^5 \cdot \sqrt[3]{q}) - \log_b (r^2) = \log_b \left( \frac{p^5 \cdot \sqrt[3]{q}}{r^2} \right)\).

\(\log_b \left( \frac{p^5 \cdot \sqrt[3]{q}}{r^2} \right)\)

- Kannst du die Logarithmen mit der gleichen Basis zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Überlege, welche Rechenregel bei der Addition von Logarithmen angewendet wird. - Was geschieht mit den Werten innerhalb der Logarithmen, wenn diese voneinander subtrahiert werden? - Versuche, das Ergebnis als Potenz der Basis 10 zu schreiben.

1. Anwendung der Logarithmengesetze für Summen: \(\lg 120 + \lg 25 = \lg(120 \cdot 25) = \lg 3000\) 2. Anwendung der Logarithmengesetze für Differenzen: \(\lg 3000 - \lg 3 = \lg\left(\frac{3000}{3}\right) = \lg 1000\) 3. Bestimmung des Logarithmus zur Basis 10: Da \(10^3 = 1000\), ist \(\lg 1000 = 3\).

\(3\)

- Was bedeutet der Logarithmus zur Basis 2 von 64? Welche Zahl \(x\) erfüllt \(2^x = 64\)? - Wie lässt sich eine Wurzel allgemein als Potenz mit einem Bruch im Exponenten schreiben? - Wenn du eine Wurzel als Potenz geschrieben hast, welches Gesetz für Logarithmen von Potenzen kannst du dann anwenden?

1. Berechnung der linken Seite: Zuerst wird der Radikand berechnet: \(\sqrt[3]{64} = 4\). Dann wird der Logarithmus bestimmt: \(\log_2(4) = 2\), da \(2^2 = 4\). 2. Berechnung der rechten Seite: Der Logarithmus des Arguments wird bestimmt: \(\log_2(64) = 6\), da \(2^6 = 64\). Multiplikation mit dem Vorfaktor ergibt \(\frac{1}{3} \cdot 6 = 2\). 3. Vergleich: Da beide Seiten den Wert \(2\) ergeben, ist die Gleichung für dieses Beispiel verifiziert. 4. Herleitung: Ersetzt man \(\sqrt[n]{u}\) durch die Potenzschreibweise \(u^{\frac{1}{n}}\), so erhält man den Ausdruck \(\log_a(u^{\frac{1}{n}})\). Wendet man darauf das Logarithmengesetz für Potenzen mit dem Exponenten \(k = \frac{1}{n}\) an, folgt direkt die Formel \(\frac{1}{n} \cdot \log_a(u)\).

Linke Seite: \(\log_2(\sqrt[3]{64}) = 2\); Rechte Seite: \(\frac{1}{3} \cdot \log_2(64) = 2\). Die Rückführung erfolgt über \(\log_a(\sqrt[n]{u}) = \log_a(u^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \cdot \log_a(u)\).

- Berechne zuerst beide Seiten der Gleichung getrennt voneinander. - Wie oft musst du \( 0{,}1 \) mit sich selbst multiplizieren, um \( 100 \) zu erhalten? Denke auch an negative Exponenten. - Wenn zwei Funktionen für jedes \( x \) genau entgegengesetzte \( y \)-Werte liefern, wie liegen ihre Graphen zueinander?

1. Überprüfung für \( b=10 \) und \( x=100 \): Die linke Seite ergibt \( \log_{10}(100) = 2 \), da \( 10^2 = 100 \). 2. Die rechte Seite ergibt \( - \log_{0{,}1}(100) \). Da \( 0{,}1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 = 100 \), ist \( \log_{0{,}1}(100) = -2 \). Somit ist \( -(-2) = 2 \). Die Gleichung ist erfüllt. 3. Geometrische Bedeutung: Die Funktionsgleichungen unterscheiden sich nur durch ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Term (\( f(x) \) vs. \( -f(x) \)). 4. Dies bedeutet, dass jeder Punkt \( (x|y) \) des einen Graphen einem Punkt \( (x|-y) \) des anderen Graphen entspricht. Die Graphen sind somit zueinander symmetrisch bezüglich der \( x \)-Achse (Achsenspiegelung).

a) \( \log_{10}(100) = 2 \) und \( -\log_{0{,}1}(100) = -(-2) = 2 \). Die Gleichung stimmt. b) Die Graphen der beiden Funktionen sind an der \( x \)-Achse gespiegelt, da für jedes \( x \) gilt, dass die \( y \)-Werte zueinander gegenzahlig sind.

- Wie lautet die allgemeine Formel, um einen Logarithmus von einer Basis in eine andere umzurechnen? - Kannst du die Basis der zweiten Funktion als Potenz der Basis der ersten Funktion ausdrücken? - Welche Auswirkung hat ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf den Verlauf des Graphen im Koordinatensystem?

1. Anwendung der Basiswechselformel auf \( g(x) \), um die Basis \( \frac{1}{2} \) auf die Basis \( 2 \) umzuschreiben: \( g(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(\frac{1}{2})} \). 2. Berechnung des Nenners: Da \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) gilt, ist \( \log_2(\frac{1}{2}) = -1 \). 3. Einsetzen des Ergebnisses in die Gleichung: \( g(x) = \frac{\log_2(x)}{-1} = - \log_2(x) \). 4. Da \( g(x) = -f(x) \) gilt, entspricht dies geometrisch einer Spiegelung des Graphen von \( f \) an der \( x \)-Achse.

Durch Anwendung der Basiswechselformel ergibt sich \( g(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(0{,}5)} \). Wegen \( \log_2(0{,}5) = -1 \) folgt \( g(x) = - \log_2(x) \), was einer Spiegelung an der \( x \)-Achse entspricht.

- Können Logarithmen mit der gleichen Basis zusammengefasst werden? - Wie lässt sich eine Zahl ohne Logarithmus in eine Logarithmusform mit einer bestimmten Basis umwandeln? - Was besagt die Definition des Logarithmus über den Zusammenhang zwischen Basis, Exponent und Numerus? - Hast du am Ende geprüft, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich liegt?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Logarithmengesetzes für Summen ergibt \(\log_3(4x) = \log_3(12)\). Durch Numerivergleich folgt \(4x = 12\), also \(x = 3\). Da \(3 > 0\), ist \(L = \{3\}\). 2. Teilaufgabe b): Umformen der Gleichung zu \(\lg(x) = \lg(2) + 1\). Ersetzen der \(1\) durch \(\lg(10)\) liefert \(\lg(x) = \lg(2) + \lg(10)\). Anwendung des Summengesetzes ergibt \(\lg(x) = \lg(2 \cdot 10) = \lg(20)\). Somit ist \(x = 20\). Wegen \(20 > 0\) ist \(L = \{20\}\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der Definition des Logarithmus ergibt \(2x - 4 = 5^2\). Auflösen der linearen Gleichung: \(2x - 4 = 25 \implies 2x = 29 \implies x = 14{,}5\). Prüfung des Arguments: \(2 \cdot 14{,}5 - 4 = 25 > 0\). Somit ist \(L = \{14{,}5\}\).

a) \(L = \{3\}\) b) \(L = \{20\}\) c) \(L = \{14{,}5\}\)

- Welche Rechenregeln kennst du, um mehrere Logarithmen zu einem einzigen zusammenzufassen? - Was bedeutet ein Faktor vor einem Logarithmus für dessen Argument? - Wie gehst du mit Summen oder Differenzen von Logarithmen um? - Kannst du den Term so umformen, dass auf beiden Seiten der Gleichung nur noch ein einziger Logarithmus steht?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen (\(n \cdot \log a = \log a^n\)) auf die einzelnen Terme in Teilaufgabe a): \(\log x = \log a^2 + \log b^3 - \log c\). 2. Anwendung des Summen- und Differenzengesetzes (\(\log a + \log b = \log(a \cdot b)\) und \(\log a - \log b = \log(a/b)\)): \(\log x = \log \frac{a^2 \cdot b^3}{c}\). 3. Vergleich der Argumente (Entlogarithmieren): \(x = \frac{a^2 b^3}{c}\). 4. Für Teilaufgabe b) Anwendung des Potenzgesetzes auf den ersten Term: \(\log x = \log u^{1/2} + \log(u+v) = \log \sqrt{u} + \log(u+v)\). 5. Anwendung des Summengesetzes: \(\log x = \log(\sqrt{u} \cdot (u+v))\). 6. Vergleich der Argumente: \(x = (u+v)\sqrt{u}\).

a) \(x = \frac{a^2 b^3}{c}\) b) \(x = (u+v)\sqrt{u}\)

- Kannst du die Terme in der Klammer zuerst zusammenfassen? - Was passiert mit einem Faktor vor einem Logarithmus, wenn man ihn in den Logarithmus hineinzieht? - Welche Rechenregel gilt für die Differenz zweier Logarithmen? - Versuche, die gesamte rechte Seite in der Form \(\log(\dots)\) zu schreiben.

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für die Summe in der Klammer: \(\log a + \log b = \log(a \cdot b)\). 2. Anwendung des Gesetzes für Potenzen auf den Vorfaktor \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} \log(ab) = \log((ab)^{1/2}) = \log\sqrt{ab}\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes auf den Subtraktionsterm: \(3 \log c = \log c^3\). 4. Zusammenfassen der Differenz zweier Logarithmen zum Logarithmus eines Quotienten: \(\log\sqrt{ab} - \log c^3 = \log\left(\frac{\sqrt{ab}}{c^3}\right)\). 5. Vergleich der Argumente ergibt die Lösung \(x = \frac{\sqrt{ab}}{c^3}\).

\(x = \frac{\sqrt{ab}}{c^3}\)

- Kannst du den Ausdruck im ersten Logarithmus mit einer binomischen Formel faktorisieren und dann kürzen? - Wie kannst du die Zahl 1 als Logarithmus zur Basis 10 schreiben? - Versuche, die gesamte rechte Seite der Gleichung in einen einzigen Logarithmus-Ausdruck umzuwandeln.

1. Zusammenfassen der Logarithmen auf der rechten Seite unter Verwendung des Subtraktionsgesetzes: \(\lg\left(\frac{a^2 - 9}{a + 3}\right) + 1\). 2. Vereinfachung des Bruchs durch Anwendung der dritten binomischen Formel im Zähler: \(\frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} = a - 3\). Die Gleichung lautet nun \(\lg x = \lg(a - 3) + 1\). 3. Umwandlung der Zahl \(1\) in einen Logarithmus zur Basis 10: \(1 = \lg 10\). 4. Anwendung des Additionsgesetzes für Logarithmen: \(\lg(a - 3) + \lg 10 = \lg(10 \cdot (a - 3))\). 5. Durch Entlogarithmieren (Vergleich der Argumente) erhält man \(x = 10(a - 3)\). 6. Ausmultiplizieren ergibt das Endergebnis \(x = 10a - 30\).

\(x = 10a - 30\)

- Welche Vorrangregeln (Klammern zuerst!) gelten hier? - Wie kannst du eine Zahl vor einem Logarithmus als Exponenten in das Argument schreiben? - Kannst du die Summe oder Differenz zweier Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Versuche, die rechte Seite der Gleichung Schritt für Schritt zu einem einzigen Logarithmus umzuformen.

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen auf den Term in der Klammer: \(2 \lg c = \lg(c^2)\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Produkte innerhalb der Klammer: \(\lg b + \lg(c^2) = \lg(b \cdot c^2)\). 3. Anwendung des Faktors \(\frac{1}{3}\) als Exponent: \(\frac{1}{3} \lg(b c^2) = \lg(\sqrt[3]{b c^2})\). 4. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen auf den ersten Term: \(2 \lg a = \lg(a^2)\). 5. Zusammenführen der Terme mit dem Logarithmengesetz für Quotienten: \(\lg(a^2) - \lg(\sqrt[3]{b c^2}) = \lg\left(\frac{a^2}{\sqrt[3]{b c^2}}\right)\). 6. Vergleich der Argumente: \(x = \frac{a^2}{\sqrt[3]{b c^2}}\).

\(x = \frac{a^2}{\sqrt[3]{b c^2}}\)

- Kannst du die Klammer zuerst auflösen oder den Faktor davor direkt als Potenz verwenden? - Welche Rechenregel hilft dir, wenn Logarithmen subtrahiert werden? - Wie hängen Brüche im Exponenten mit Wurzeln zusammen? - Versuche, die rechte Seite der Gleichung so umzuformen, dass dort nur noch ein einziger Logarithmus steht.

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\): \(\lg x = 3 \lg a - \frac{1}{2} \lg b - 2 \lg c\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen (\(k \cdot \lg u = \lg u^k\)): \(\lg x = \lg a^3 - \lg b^{1/2} - \lg c^2\). 3. Anwendung der Summen- und Differenzregeln (\(\lg u - \lg v = \lg \frac{u}{v}\)): \(\lg x = \lg \frac{a^3}{b^{1/2} \cdot c^2}\). 4. Umwandlung der rationalen Potenz in eine Wurzel und Identifikation von \(x\): \(x = \frac{a^3}{c^2 \sqrt{b}}\).

\(x = \frac{a^3}{c^2 \sqrt{b}}\)

- Kannst du die Zahlen im Logarithmus so zerlegen, dass nur die Faktoren 2, 3 oder 10 vorkommen? - Wie hängen Multiplikation und Division innerhalb eines Logarithmus mit Addition und Subtraktion außerhalb zusammen? - Welchen Wert hat der Zehnerlogarithmus von 10? - Überlege, wie du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln kannst.

1. Zerlegung von 18 in Primfaktoren: \(18 = 2 \cdot 3^2\). Anwendung der Logarithmengesetze: \(\lg 18 = \lg 2 + 2 \cdot \lg 3 = a + 2b\). Einsetzen der Werte: \(0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 1{,}255\). 2. Darstellung von 5 als Quotient: \(5 = \frac{10}{2}\). Anwendung des Logarithmengesetzes für Quotienten: \(\lg 5 = \lg 10 - \lg 2 = 1 - a\). Einsetzen des Wertes: \(1 - 0{,}301 = 0{,}699\). 3. Darstellung von \(0{,}75\) als Bruch: \(0{,}75 = \frac{3}{4} = \frac{3}{2^2}\). Anwendung der Logarithmengesetze: \(\lg 0{,}75 = \lg 3 - 2 \cdot \lg 2 = b - 2a\). Einsetzen der Werte: \(0{,}477 - 2 \cdot 0{,}301 = -0{,}125\).

1. \(\lg 18 \approx 1{,}255\) 2. \(\lg 5 \approx 0{,}699\) 3. \(\lg 0{,}75 \approx -0{,}125\)

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine arithmetische Folge. - Welche Rechenregeln für Potenzen könnten nützlich sein, um einen Quotienten von Potenzen mit gleicher Basis zu vereinfachen? - Wann genau nennt man eine Folge „geometrisch“? Welche Bedingung muss für das Verhältnis benachbarter Glieder gelten? - Wie hängen die Differenz der Exponenten und der Quotient der Potenzen zusammen?

1. Aufstellen der Formel für das allgemeine Glied der arithmetischen Folge: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). 2. Einsetzen in die Definition von \(x_n\): \(x_n = 10^{a_1 + (n-1)d}\). 3. Bestimmung des ersten Gliedes \(x_1\): \(x_1 = 10^{a_1}\). 4. Berechnung des Quotienten aufeinanderfolgender Glieder: \(q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{10^{a_{n+1}}}{10^{a_n}}\). 5. Anwendung der Potenzgesetze: \(\frac{10^{a_{n+1}}}{10^{a_n}} = 10^{a_{n+1} - a_n}\). 6. Da \(a_n\) arithmetisch ist, gilt \(a_{n+1} - a_n = d\). 7. Somit ergibt sich \(q = 10^d\). Da \(q\) konstant ist, ist \(x_n\) eine geometrische Folge mit \(x_1 = 10^{a_1}\) und \(q = 10^d\).

Ja, \(x_n\) ist eine geometrische Folge. Das erste Glied ist \(x_1 = 10^{a_1}\) und der konstante Quotient ist \(q = 10^d\).

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Wie kannst du die Zahl auf der rechten Seite als Logarithmus zur passenden Basis schreiben? - Hat die Basis einen Einfluss darauf, ob das „Größer-als“-Zeichen erhalten bleibt? - Vergiss nicht, am Ende deine berechneten Werte mit der Definitionsmenge abzugleichen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(x^2 - 8 > 0\). Dies führt zu \(x^2 > 8\), woraus \(|x| > \sqrt{8}\) folgt. Die Definitionsmenge ist \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x < -\sqrt{8} \text{ oder } x > \sqrt{8}\}\). 2. Umformung der Ungleichung: Die Zahl \(-2\) wird als Logarithmus zur Basis \(\frac{1}{3}\) ausgedrückt: \(-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{3}}(9)\). 3. Lösen der Ungleichung unter Beachtung der Basis: Da die Basis \(b = \frac{1}{3}\) kleiner als \(1\) ist, ist die Logarithmusfunktion streng monoton fallend. Beim Entfernen des Logarithmus kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: \(x^2 - 8 < 9\). 4. Berechnung der Intervalle: \(x^2 < 17\) führt zu \(|x| < \sqrt{17}\), also \(-\sqrt{17} < x < \sqrt{17}\). 5. Schnittmenge mit der Definitionsmenge: Die Lösung muss beide Bedingungen erfüllen: \(\sqrt{8} < |x| < \sqrt{17}\). Dies ergibt die Intervalle \(L = (-\sqrt{17}; -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}; \sqrt{17})\).

Die Lösungsmenge ist \(L = (-\sqrt{17}; -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}; \sqrt{17})\). Dies entspricht gerundet etwa \((-4{,}12; -2{,}83) \cup (2{,}83; 4{,}12)\).

- Kannst du die Terme innerhalb der Logarithmen als Potenzen zur Basis \(a\) schreiben? - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn die Basis und die Basis der Potenz im Argument gleich sind? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. - Schreibe Dezimalzahlen als Brüche, um die Division zu vereinfachen.

1. Vereinfachung des Zählers: \(a^2 \cdot \sqrt{a} = a^2 \cdot a^{1/2} = a^{2{,}5}\). Damit ist \(\log_a(a^{2{,}5}) = 2{,}5\). 2. Vereinfachung des Nenners: \(\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}\). Damit ist \(\log_a(a^{2/3}) = \frac{2}{3}\). 3. Einsetzen der Werte in den Bruch: \(x = \frac{2{,}5}{2/3}\). 4. Berechnung des Bruchs: \(2{,}5 : \frac{2}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{4} = 3{,}75\).

\(x = 3{,}75\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Logarithmus mehr vorkommt? - Erinnere dich daran, dass das Quadrieren einer negativen Zahl ein positives Ergebnis liefert. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer Gleichung, in der die Unbekannte im Quadrat vorkommt?

1. Umwandlung der Logarithmusgleichung in die entsprechende Potenzform: \(x^2 + 2 = 3^3\). 2. Berechnung des Potenzwertes auf der rechten Seite: \(3^3 = 27\). 3. Umformung der entstandenen quadratischen Gleichung: \(x^2 + 2 = 27\) ergibt \(x^2 = 25\). 4. Bestimmung der Quadratwurzeln: \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 5. Prüfung der Einsetzbarkeit: Da für beide Werte \(x^2 + 2 = 27 > 0\) gilt, sind beide Lösungen gültig. 6. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{-5; 5\}\).

\(L = \{-5; 5\}\)

- Wie lautet die Umkehrfunktion des Logarithmus zur Basis 9? - Was bedeutet ein Exponent von \(0{,}5\) mathematisch? - Bleibt das Ungleichheitszeichen gleich, wenn die Basis größer als 1 ist? - Hast du geprüft, ob alle gefundenen Werte im Definitionsbereich der Logarithmusfunktion liegen?

1. Anwendung der Exponentialfunktion zur Basis 9 auf alle Teile der Ungleichung: \(9^{0{,}5} \le 9^{\log_9 x} < 9^1\). 2. Vereinfachung der Ausdrücke: Da \(9^{0{,}5} = \sqrt{9} = 3\) und \(9^{\log_9 x} = x\), ergibt sich \(3 \le x < 9\). 3. Da die Basis \(9 > 1\) ist, bleibt die Orientierung der Ungleichheitszeichen erhalten. 4. Da alle Werte im Intervall \(x \ge 3\) größer als Null sind, ist die Bedingung für den Definitionsbereich des Logarithmus (\(x > 0\)) erfüllt. 5. Die Lösungsmenge lautet \(L = [3; 9[\).

\(L = [3; 9[\)

- Welche Werte darf das Argument (der Ausdruck in der Klammer) eines Logarithmus annehmen? - Wie kannst du den Logarithmus „auflösen“, um an das \(x\) heranzukommen? - Was passiert mit der Zahl auf der rechten Seite, wenn du die Basis 2 verwendest? - Vergiss nicht, am Ende deine Lösung mit dem Definitionsbereich abzugleichen.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(x + 4 > 0 \implies x > -4\). 2. Umformung der Ungleichung durch Anwendung der Exponentialfunktion zur Basis 2: \(x + 4 \le 2^3\). 3. Berechnung der Potenz: \(2^3 = 8\), also \(x + 4 \le 8\). 4. Isolation der Variablen \(x\): \(x \le 4\). 5. Bildung der Schnittmenge aus dem Definitionsbereich (\(x > -4\)) und der rechnerischen Lösung (\(x \le 4\)): \(-4 < x \le 4\). 6. Die Lösungsmenge ist \(L = ]-4; 4]\).

\(L = ]-4; 4]\)

- Beginne damit, den großen Bruch mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen aufzulösen. - Wie kannst du eine Wurzel als Potenz umschreiben? - Gibt es einen Teil des Terms, der sich direkt zu einer Zahl vereinfachen lässt, weil Basis und Numerus gleich sind? - Achte darauf, dass am Ende nur noch \(x\), \(y\) und Zahlen in deinem Ausdruck vorkommen.

1. Anwendung des Quotientengesetzes zur Trennung des Zählers vom Nenner: \(\log_a(u^2 \cdot \sqrt{v}) - \log_a(a)\). 2. Vereinfachung des Terms \(\log_a(a) = 1\). 3. Anwendung des Produktgesetzes auf den verbleibenden Logarithmus: \(\log_a(u^2) + \log_a(\sqrt{v}) - 1\). 4. Umformung der Wurzel in eine Potenzschreibweise (\(\sqrt{v} = v^{0{,}5}\)) und Anwendung des Potenzgesetzes: \(2 \cdot \log_a(u) + 0{,}5 \cdot \log_a(v) - 1\). 5. Substitution der gegebenen Variablen \(x\) und \(y\): \(2x + 0{,}5y - 1\).

\(L = 2x + 0{,}5y - 1\)

- Wie oft musst du die Zahl \(a\) mit 10 multiplizieren, um \(b\) zu erhalten? - Nutze das Gesetz \(\lg(u \cdot v) = \lg(u) + \lg(v)\). - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sich das Komma einer Zahl verschiebt?

1. Berechnung der Logarithmen: \(\lg(2{,}5) \approx 0{,}398\) und \(\lg(250) \approx 2{,}398\). 2. Bestimmung der Differenz: \(2{,}398 - 0{,}398 = 2\). 3. Darstellung von \(b\) durch \(a\): \(250 = 2{,}5 \cdot 100 = 2{,}5 \cdot 10^2\). 4. Anwendung des Logarithmengesetzes: \(\lg(b) = \lg(a \cdot 10^2) = \lg(a) + \lg(10^2) = \lg(a) + 2\). 5. Daraus folgt direkt \(\lg(b) - \lg(a) = 2\).

a) \(\lg(2{,}5) \approx 0{,}398\); \(\lg(250) \approx 2{,}398\). b) Die Differenz beträgt \(2\). c) Da \(b = a \cdot 10^2\), gilt nach den Logarithmengesetzen \(\lg(b) = \lg(a) + \lg(10^2) = \lg(a) + 2\). Die Differenz ist also genau der Exponent der Zehnerpotenz.

- Zerlege die Zahlen in Primfaktoren wie 2 und 3. - Denke daran, dass beim Zehnerlogarithmus die Basis 10 ist. Was ist also \(\lg 10\)? - Wie kannst du die Zahl 5 durch 10 und 2 ausdrücken? - Kannst du \(1{,}5\) als einen Bruch mit den Zahlen 2 und 3 schreiben?

1. Zerlegung in Faktoren: \(\lg 12 = \lg(2^2 \cdot 3) = 2 \cdot \lg 2 + \lg 3 \approx 2 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079\). 2. Verwendung der Basis: \(\lg 5 = \lg\left(\frac{10}{2}\right) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699\). 3. Darstellung als Quotient: \(\lg 1{,}5 = \lg\left(\frac{3}{2}\right) = \lg 3 - \lg 2 \approx 0{,}477 - 0{,}301 = 0{,}176\). 4. Kombination der Regeln: \(\lg 180 = \lg(2 \cdot 3^2 \cdot 10) = \lg 2 + 2 \cdot \lg 3 + \lg 10 \approx 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 + 1 = 0{,}301 + 0{,}954 + 1 = 2{,}255\).

1. \(1{,}079\) 2. \(0{,}699\) 3. \(0{,}176\) 4. \(2{,}255\)

- Wie hängen Logarithmen von Produkten mit den Logarithmen der einzelnen Faktoren zusammen? - Welche Rechenoperation entspricht der Division beim Logarithmieren? - Wie kann man eine Wurzel als Potenz umschreiben, um ein Logarithmengesetz anzuwenden? - Kannst du die Zahl 820 so zerlegen, dass der gegebene Wert \(\lg 8{,}2\) und eine Zehnerpotenz vorkommen?

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Produkte: \(\lg(3{,}6 \cdot 8{,}2) = \lg 3{,}6 + \lg 8{,}2 \approx 0{,}5563 + 0{,}9138 = 1{,}4701\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Quotienten: \(\lg(8{,}2 : 3{,}6) = \lg 8{,}2 - \lg 3{,}6 \approx 0{,}9138 - 0{,}5563 = 0{,}3575\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für Wurzeln: \(\lg \sqrt[4]{3{,}6} = \frac{1}{4} \cdot \lg 3{,}6 \approx \frac{0{,}5563}{4} = 0{,}139075\). 4. Zerlegung unter Verwendung der Zehnerpotenz: \(\lg 820 = \lg(8{,}2 \cdot 100) = \lg 8{,}2 + \lg 100 = \lg 8{,}2 + 2 \approx 0{,}9138 + 2 = 2{,}9138\).

a) \(\approx 1{,}4701\) b) \(\approx 0{,}3575\) c) \(\approx 0{,}139075\) d) \(\approx 2{,}9138\)

- Welche Rechenregel gilt für den Logarithmus einer Potenz? - Kannst du die Zahl unter der Wurzel (\(25\)) als Produkt aus \(2{,}5\) und einer anderen Zahl schreiben? - Denk daran, dass der Logarithmus zur Basis 10 von 10 genau 1 ist. - Wie lässt sich eine dritte Wurzel als Exponent ausdrücken?

1. Addition der Logarithmen für das Produkt: \(\lg(2{,}5 \cdot 5{,}4) = \lg 2{,}5 + \lg 5{,}4 \approx 0{,}3979 + 0{,}7324 = 1{,}1303\). 2. Subtraktion der Logarithmen für den Quotienten: \(\lg(5{,}4 : 2{,}5) = \lg 5{,}4 - \lg 2{,}5 \approx 0{,}7324 - 0{,}3979 = 0{,}3345\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes: \(\lg(2{,}5^3) = 3 \cdot \lg 2{,}5 \approx 3 \cdot 0{,}3979 = 1{,}1937\). 4. Umformung des Radikanden und Anwendung der Gesetze: \(\lg \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \lg(2{,}5 \cdot 10) = \frac{1}{3} (\lg 2{,}5 + \lg 10) = \frac{1}{3} (0{,}3979 + 1) = \frac{1{,}3979}{3} \approx 0{,}465967\).

a) \(\approx 1{,}1303\) b) \(\approx 0{,}3345\) c) \(\approx 1{,}1937\) d) \(\approx 0{,}465967\)

- Wie lässt sich die Dezimalzahl \(1{,}5\) als Bruch mit den Zahlen 2 und 3 schreiben? - Welches Logarithmengesetz gilt für die Division? - Überlege genau: Wann wird eine Differenz \(A - B\) am kleinsten und wann am größten, wenn für \(A\) und \(B\) jeweils ein Bereich gegeben ist?

1. Darstellung von \(1{,}5\) als Quotient der gegebenen Basiszahlen: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Quotienten: \(\lg 1{,}5 = \lg\left(\frac{3}{2}\right) = \lg 3 - \lg 2\). 3. Berechnung der unteren Schranke durch Subtraktion der maximalen oberen Schranke von der minimalen unteren Schranke: \(0{,}4771 - 0{,}3011 = 0{,}1760\). 4. Berechnung der oberen Schranke durch Subtraktion der minimalen unteren Schranke von der maximalen oberen Schranke: \(0{,}4772 - 0{,}3010 = 0{,}1762\). 5. Ergebnis: \(0{,}1760 < \lg 1{,}5 < 0{,}1762\).

Für \(\lg 1{,}5\) gilt das Intervall \(0{,}1760 < \lg 1{,}5 < 0{,}1762\).

- Überlege, welche Rechenoperation im Inneren des Logarithmus steht. - Ein Produkt im Logarithmus wird zu einer Summe von Logarithmen. - Ein Quotient im Logarithmus wird zu einer Differenz von Logarithmen. - Achte auf Klammern, wenn im Nenner ein Produkt steht. - Gibt es spezielle Werte wie die Basis selbst, die sich vereinfachen lassen?

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Produkte \(\log_b(u \cdot v) = \log_b u + \log_b v\): \(\log_k k + \log_k m + \log_k n\). Vereinfachung von \(\log_k k = 1\) ergibt \(1 + \log_k m + \log_k n\). 2. Anwendung des Gesetzes für Quotienten \(\log_b(\frac{u}{v}) = \log_b u - \log_b v\): \(\log_k 5 - \log_k (k \cdot x)\). Erneute Anwendung des Produktgesetzes auf den Subtrahenden: \(\log_k 5 - (\log_k k + \log_k x)\). Vereinfachung von \(\log_k k = 1\) und Auflösen der Klammer führt zu \(\log_k 5 - 1 - \log_k x\). 3. Kombination beider Gesetze: \(\log_k(a \cdot b) - \log_k c = \log_k a + \log_k b - \log_k c\).

a) \(1 + \log_k m + \log_k n\) b) \(\log_k 5 - 1 - \log_k x\) c) \(\log_k a + \log_k b - \log_k c\)

- Kannst du die Gesetze für Produkte und Quotienten auch „rückwärts“ anwenden? - Aus einer Summe von Logarithmen wird der Logarithmus eines Produkts. - Aus einer Differenz von Logarithmen wird der Logarithmus eines Quotienten. - Rechne Zahlenwerte so weit wie möglich aus, bevor du sie in den finalen Term schreibst. - Überlege, ob Summen innerhalb eines Logarithmus (wie \(x+1\)) weiter zerlegt werden können.

1. Zusammenfassung der Summe zum Produkt und der Differenz zum Quotienten: \(\log_y(a \cdot b) - \log_y c = \log_y \left(\frac{a \cdot b}{c}\right)\). 2. Schrittweise Zusammenfassung: \(\log_y \left(\frac{15}{3}\right) - \log_y z = \log_y 5 - \log_y z = \log_y \left(\frac{5}{z}\right)\). 3. Anwendung des Quotientengesetzes auf die Differenz: \(\log_y \left(\frac{x+1}{x}\right)\).

a) \(\log_y \left(\frac{ab}{c}\right)\) b) \(\log_y \left(\frac{5}{z}\right)\) c) \(\log_y \left(\frac{x+1}{x}\right)\)

- Versuche zuerst, den Term im Logarithmus als eine einzige Potenz mit einer Basis und einem Exponenten zu schreiben. - Erinnere dich an die Potenzregeln für Brüche und Wurzeln: \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\) und \(\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\). - Was passiert mit dem Exponenten einer Potenz, wenn sie im Nenner steht? - Kannst du den Term im Logarithmus vereinfachen, bevor du das Logarithmengesetz anwendest?

1. Umwandlung der Wurzel in die Potenzschreibweise \((x^2)^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{2}{5}}\) und Anwendung des Logarithmengesetzes ergibt \(\frac{2}{5} \cdot \log_k(x)\). 2. Umformung der Quadratwurzel im Nenner zu \(y^{-\frac{1}{2}}\) führt nach Anwendung des Gesetzes zu \(-\frac{1}{2} \cdot \log_k(y)\). 3. Vereinfachung des Doppelbruchs bzw. des negativen Exponenten im Nenner ergibt \(\frac{1}{z^{-3}} = z^3\), woraus \(3 \cdot \log_k(z)\) folgt. 4. Anwendung der allgemeinen Definition für Wurzeln als Potenzen \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) liefert das Ergebnis \(\frac{m}{n} \cdot \log_k(a)\).

a) \(\frac{2}{5} \cdot \log_k(x)\) b) \(-\frac{1}{2} \cdot \log_k(y)\) c) \(3 \cdot \log_k(z)\) d) \(\frac{m}{n} \cdot \log_k(a)\)

- Welche Rechenoperationen stehen im Argument des Logarithmus? - Erinnerst du dich an das Gesetz für Brüche innerhalb eines Logarithmus? - Wie kannst du ein Produkt innerhalb des Logarithmus umschreiben? - Wie lassen sich Potenzen und Wurzeln als Faktoren vor den Logarithmus ziehen?

1. Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_a (5 x^2 \cdot \sqrt[3]{y}) - \log_a (z^4)\) 2. Anwendung des Produktgesetzes auf den ersten Teil: \(\log_a 5 + \log_a x^2 + \log_a \sqrt[3]{y} - \log_a z^4\) 3. Anwendung der Potenz- und Wurzelgesetze zur weiteren Zerlegung: \(\log_a 5 + 2 \cdot \log_a x + \frac{1}{3} \cdot \log_a y - 4 \cdot \log_a z\)

\(\log_a 5 + 2 \log_a x + \frac{1}{3} \log_a y - 4 \log_a z\)

- Was passiert mit den Brüchen im Inneren der Logarithmen, wenn du die Logarithmen addierst? - Kannst du den entstehenden Ausdruck durch Kürzen vereinfachen? - Welche Potenz von 2 ergibt den Wert, den du im Numerus erhalten hast?

1. Zusammenfassen der Logarithmen mit der Summenregel: \(\log_2\left(\frac{14}{5} \cdot \frac{10}{7} \cdot 8\right)\) 2. Vereinfachen des Produkts im Numerus: \(\frac{14}{7} = 2\) und \(\frac{10}{5} = 2\), woraus folgt \(2 \cdot 2 \cdot 8 = 32\) 3. Berechnung des Logarithmus zur Basis 2: Da \(2^5 = 32\), ist \(\log_2 32 = 5\).

\(5\)

- Wie kannst du Logarithmen mit unterschiedlichen Basen auf eine gemeinsame Basis (z. B. den Zehnerlogarithmus) bringen? - Schau dir die Brüche nach dem Einsetzen der Formel genau an – lässt sich etwas vereinfachen? - Kannst du das Ergebnis aus Teil a) direkt auf die Zahlen in Teil b) übertragen? - Welche Zahl erhält man, wenn man 3 quadriert?

1. Ersetzen der Logarithmen in der Gleichung \(\log_a(b) \cdot \log_b(c)\) durch die Basiswechselformel: \(\frac{\lg(b)}{\lg(a)} \cdot \frac{\lg(c)}{\lg(b)}\). 2. Kürzen des Terms \(\lg(b)\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{\lg(c)}{\lg(a)}\). 3. Rückführung des Quotienten auf einen Logarithmus ergibt \(\log_a(c)\), womit die Identität bewiesen ist. 4. Anwendung der bewiesenen Regel auf Teilaufgabe b): \(\log_3(5) \cdot \log_5(9) = \log_3(9)\). 5. Da \(3^2 = 9\) ist, folgt \(\log_3(9) = 2\).

a) Der Beweis erfolgt durch Einsetzen: \(\frac{\lg b}{\lg a} \cdot \frac{\lg c}{\lg b} = \frac{\lg c}{\lg a} = \log_a c\). b) \(2\)

- Welche allgemeine Formel kennst du, um die Basis eines Logarithmus zu wechseln? - Ersetze in der allgemeinen Formel die Platzhalter durch die in der Aufgabe genannten Basen. - Was bedeutet Logarithmus eigentlich? Welche Potenz von 3 ergibt 81? - Hängt der Wert eines Logarithmus davon ab, welchen „Umweg“ über eine andere Basis man beim Rechnen wählt?

1. Anwendung der Basiswechselformel \(\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\) mit \(b=3\) und \(k=e\) liefert \(\log_3(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)}\). 2. Berechnung für \(x=10\): \(\frac{\ln(10)}{\ln(3)} \approx \frac{2{,}302585}{1{,}098612} \approx 2{,}0959\). 3. Berechnung für \(x=81\): \(\frac{\ln(81)}{\ln(3)} = \frac{\ln(3^4)}{\ln(3)} = \frac{4 \cdot \ln(3)}{\ln(3)} = 4\). 4. Begründung für c): Die Basiswechselformel besagt, dass \(\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\) für jede beliebige Basis \(k\) gilt. Daher führen sowohl die Basis \(k=e\) (\(\ln\)) als auch die Basis \(k=10\) (\(\lg\)) auf denselben Wert für \(\log_3(10)\).

a) \(\log_3(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)}\) b) \(\log_3(10) \approx 2{,}0959\); \(\log_3(81) = 4\) c) Beide Quotienten entsprechen nach der Basiswechselformel dem Wert \(\log_3(10)\), da die Wahl der Hilfsbasis (\(e\) oder \(10\)) das Endergebnis nicht beeinflusst.

- Musst du \(x\) oder \(b\) wirklich kennen, um die Aufgaben zu lösen? - Gibt es ein Gesetz, das beschreibt, wie man einen Exponenten innerhalb eines Logarithmus als Faktor vor den Logarithmus ziehen kann? - Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen? Kannst du eine Wurzel als Potenz mit einem bestimmten Exponenten schreiben?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen \(\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)\). Mit \(k = 3\) und dem gegebenen Wert \(1{,}2\) ergibt sich: \(3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6\). 2. Teilaufgabe b: Anwendung des Logarithmengesetzes für Wurzeln \(\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x)\). Mit \(n = 5\) und dem gegebenen Wert \(1{,}2\) ergibt sich: \(\frac{1}{5} \cdot 1{,}2 = 1{,}2 : 5 = 0{,}24\).

a) \(3{,}6\) b) \(0{,}24\)

- Was passiert, wenn die Basis eines Logarithmus mit dem Argument des nächsten Logarithmus in einem Produkt übereinstimmt? - Gibt es eine Regel, mit der man Logarithmen auf eine neue Basis umrechnen kann? - Kannst du das Produkt schrittweise von links nach rechts vereinfachen? - Überlege, welche Potenz von 3 die Zahl 81 ergibt.

1. Anwendung der Verkettungsregel für Logarithmen \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \) auf die ersten beiden Faktoren: \( \log_3 10 \cdot \log_{10} 12 = \log_3 12 \). 2. Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in das ursprüngliche Produkt: \( \log_3 12 \cdot \log_{12} 81 \). 3. Erneute Anwendung der Verkettungsregel auf das neue Produkt: \( \log_3 12 \cdot \log_{12} 81 = \log_3 81 \). 4. Bestimmung des Wertes von \( \log_3 81 \): Da \( 3^4 = 81 \) gilt, ist der Wert des Logarithmus \( 4 \).

4

- Versuche, die Zahlen 8 und 125 als Potenzen mit demselben Exponenten darzustellen. - Kennst du eine Regel, wie man mit Exponenten in der Basis eines Logarithmus umgeht? - Was ergibt das Produkt zweier Logarithmen, bei denen Basis und Argument vertauscht sind? - Kannst du den ersten Faktor so umformen, dass er die Basis 2 oder das Argument 5 erhält?

1. Umschreiben der Zahlen als Potenzen mit kleineren Basen: \( 8 = 2^3 \) und \( 125 = 5^3 \). 2. Einsetzen in den ersten Logarithmus: \( \log_{2^3} (5^3) \). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes \( \log_{a^n} (b^n) = \log_a b \): Hierbei ist \( a=2 \), \( b=5 \) und \( n=3 \). Dies ergibt \( \log_{2^3} (5^3) = \log_2 5 \). 4. Einsetzen in das ursprüngliche Produkt: \( \log_2 5 \cdot \log_5 2 \). 5. Anwendung des Zusammenhangs \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \) oder der Verkettungsregel für Logarithmen: \( \log_2 5 \cdot \log_5 2 = \log_2 2 \). 6. Berechnung des Ergebnisses: \( \log_2 2 = 1 \).

1

- Kannst du die Zahlen vor den Logarithmen umschreiben? - Welche Rechenregel gilt für die Summe zweier Logarithmen mit gleicher Basis? - Wie gehst du mit einem Minuszeichen vor einer Klammer oder einem Logarithmus um? - Gibt es eine Regel für die Differenz von Logarithmen?

1. Teilaufgabe a): Zuerst werden die Faktoren vor den Logarithmen als Exponenten in den Logarithmus gezogen (Potenzgesetz): \(\log_a(x^3) + \log_a(y^2) - \log_a(z^4)\). Anschließend werden die Terme durch Addition und Subtraktion zusammengefasst (Produkt- und Quotientengesetz): \(\log_a\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z^4}\right)\). 2. Teilaufgabe b): Zunächst wird der Ausdruck in der Klammer mithilfe des Potenz- und Produktgesetzes zusammengefasst: \(\log_k v + \log_k(w^2) = \log_k(v \cdot w^2)\). Der gesamte Term lautet dann \(5 \cdot \log_k u - \log_k(v \cdot w^2)\). Durch Anwendung des Potenzgesetzes auf den ersten Term erhält man \(\log_k(u^5) - \log_k(v \cdot w^2)\). Schließlich liefert das Quotientengesetz das Ergebnis \(\log_k\left(\frac{u^5}{v \cdot w^2}\right)\).

a) \(\log_a\left(\frac{x^3 \cdot y^2}{z^4}\right)\) b) \(\log_k\left(\frac{u^5}{v \cdot w^2}\right)\)

- Überlege dir, welche Operation (Multiplikation, Division, Potenzieren) im Argument des Logarithmus als letzte ausgeführt würde – mit dem entsprechenden Gesetz beginnst du. - Denke daran, dass Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten geschrieben werden können. - Achte darauf, ob sich Ausdrücke in Klammern (wie Summen) überhaupt weiter zerlegen lassen. - Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen im Inneren um, wenn du ein Produkt im Nenner zerlegst.

1. Aufteilen des Produkts in eine Summe und Anwendung des Potenzgesetzes: \(\log_a x^3 + \log_a y^5 = 3 \log_a x + 5 \log_a y\) 2. Aufteilen des Quotienten in eine Differenz und Umwandlung der Wurzel in die Potenz \(c^{\frac{1}{2}}\): \(\log_a b^2 - \log_a c^{\frac{1}{2}} = 2 \log_a b - \frac{1}{2} \log_a c\) 3. Umwandlung der vierten Wurzel in den Exponenten \(\frac{1}{4}\) und Anwendung der Quotienten- sowie Potenzregel: \(\frac{1}{4} (3 \log_a u - \log_a v) = \frac{3}{4} \log_a u - \frac{1}{4} \log_a v\) 4. Anwendung des Logarithmengesetzes für Kehrwerte (\(\log \frac{1}{A} = -\log A\)) und anschließende Zerlegung des Produkts: \(-(\log_a z^2 + \log_a (x+y)) = -2 \log_a z - \log_a (x+y)\)

a) \(3 \log_a x + 5 \log_a y\) b) \(2 \log_a b - \frac{1}{2} \log_a c\) c) \(\frac{3}{4} \log_a u - \frac{1}{4} \log_a v\) d) \(-2 \log_a z - \log_a (x+y)\)

- Gehe in umgekehrter Reihenfolge wie beim Zerlegen vor: Verwandle zuerst die Koeffizienten vor den Logarithmen in Exponenten. - Addierte Logarithmen werden zu einem Logarithmus eines Produkts zusammengefasst. - Subtrahierte Logarithmen führen zu einem Quotienten im Argument. - Halte Ausschau nach bekannten mathematischen Strukturen wie den binomischen Formeln, um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Anwendung des Potenzgesetzes (Koeffizienten werden zu Exponenten) und anschließendes Zusammenfassen mittels Produktgesetz: \(\log_k x^4 + \log_k y^3 = \log_k (x^4 y^3)\) 2. Umwandlung des Faktors \(\frac{1}{3}\) in eine dritte Wurzel und Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_k \sqrt[3]{a} - \log_k b^2 = \log_k \frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\) 3. Anwendung des Produktgesetzes und Vereinfachung des Arguments mithilfe der dritten binomischen Formel: \(\log_k ((u+v)(u-v)) = \log_k (u^2 - v^2)\) 4. Zusammenfassen der Differenz in der Klammer zum Quotienten und anschließende Anwendung des Faktors 3 als Exponent auf das gesamte Argument: \(\log_k (\frac{r}{s^2})^3 = \log_k \frac{r^3}{s^6}\)

a) \(\log_k (x^4 y^3)\) b) \(\log_k \frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\) c) \(\log_k (u^2 - v^2)\) d) \(\log_k \frac{r^3}{s^6}\)

- Welchen Exponenten benötigt man, um von der Basis auf die Zahl \( x \) zu kommen? - Wie kannst du die Zahl \( 0{,}5 \) als Potenz von \( 2 \) ausdrücken? - Erinnere dich an die Formel, mit der man die Basis eines Logarithmus umschreiben kann. - Was passiert grafisch mit einem Punkt \( (x|y) \), wenn er zu \( (x|-y) \) wird?

1. Berechnung der Funktionswerte für \( f \): \( f(2) = \log_2(2) = 1 \), \( f(4) = \log_2(4) = 2 \) und \( f(8) = \log_2(8) = 3 \). 2. Berechnung der Funktionswerte für \( g \): Wegen \( 0{,}5^{-1} = 2 \), \( 0{,}5^{-2} = 4 \) und \( 0{,}5^{-3} = 8 \) ergeben sich die Werte \( g(2) = -1 \), \( g(4) = -2 \) und \( g(8) = -3 \). 3. Zusammenhang: Die Funktionswerte von \( g \) sind jeweils die Gegenzahlen der Funktionswerte von \( f \). 4. Beweis mit der Basiswechselformel: \( g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(0{,}5)} \). Da \( 0{,}5 = 2^{-1} \), gilt \( \log_2(0{,}5) = -1 \). Somit folgt \( g(x) = \frac{\log_2(x)}{-1} = - \log_2(x) = -f(x) \). 5. Geometrische Abbildung: Da für jedes \( x \) der Funktionswert \( y \) durch \( -y \) ersetzt wird, handelt es sich um eine Achsenspiegelung an der \( x \)-Achse.

a) \( f(2)=1, f(4)=2, f(8)=3 \) und \( g(2)=-1, g(4)=-2, g(8)=-3 \). Die Werte sind jeweils Gegenzahlen. b) Nachweis über \( \log_{0{,}5}(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(2^{-1})} = -f(x) \). c) Achsenspiegelung an der \( x \)-Achse, da \( g(x) = -f(x) \).

- Wie hängen Logarithmen mit verschiedenen Basen mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel \( \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \). Welche Basis bietet sich hier als Vergleichsbasis an? - Welche Zahl im Nenner der Basiswechselformel entspricht dem Kehrwert des Streckungsfaktors?

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Funktionen basierend auf der geometrischen Abbildung: \( g(x) = k \cdot f(x) \), also \( \log_5(x) = k \cdot \lg(x) \). 2. Anwendung der Basiswechselformel auf \( \log_5(x) \), um zur Basis \( 10 \) (Zehnerlogarithmus) zu gelangen: \( \log_5(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(5)} \). 3. Vergleich der beiden Ausdrücke für \( g(x) \): \( k \cdot \lg(x) = \frac{1}{\lg(5)} \cdot \lg(x) \). 4. Identifikation des Streckungsfaktors: \( k = \frac{1}{\lg(5)} \). 5. Numerische Berechnung: \( \lg(5) \approx 0{,}69897 \), daraus folgt \( k = \frac{1}{0{,}69897} \approx 1{,}43067 \). 6. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \( k \approx 1{,}43 \).

Der Streckungsfaktor beträgt \( k = \frac{1}{\lg(5)} \approx 1{,}43 \).

- Kannst du die Zahl auf der linken Seite als Logarithmus schreiben? - Welches Gesetz hilft dir, zwei Logarithmen mit der gleichen Basis zu addieren? - Vergiss nicht zu prüfen, für welche Werte von \(x\) der Logarithmus überhaupt definiert ist. - Was muss gelten, damit zwei Logarithmen mit derselben Basis denselben Wert haben?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). 2. Umwandlung der Konstanten \(1\) in einen Logarithmus zur Basis \(5\): \(1 = \log_5(5)\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für Summen: \(\log_5(5 \cdot (x - 1)) = \log_5(20)\). 4. Gleichsetzen der Argumente (Numeri): \(5(x - 1) = 20\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(5x - 5 = 20 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: \(5 > 1\), somit ist die Lösung zulässig.

\(\mathbb{L} = \{5\}\)

- Für welche Werte von \(x\) ist der Logarithmus überhaupt definiert? - Kannst du die linke Seite mit einem Logarithmengesetz zusammenfassen? - Wie lässt sich die Zahl 2 als Logarithmus zur Basis 10 schreiben? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du die Basis des Logarithmus betrachtest?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, woraus \(x > 0\) folgt. 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Summen (\(\log a + \log b = \log(a \cdot b)\)): \(\lg(5x) \ge 2\). 3. Anwendung der Definition des Logarithmus zur Basis 10: Da die Basis \(10 > 1\) ist, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Exponenzieren erhalten: \(5x \ge 10^2\), also \(5x \ge 100\). 4. Division durch 5: \(x \ge 20\). 5. Abgleich mit dem Definitionsbereich \(x > 0\): Da alle Werte \(\ge 20\) auch \(> 0\) sind, ist die Bedingung erfüllt. 6. Resultierende Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = [20; \infty[\).

\(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 20\}\) oder \(\mathbb{L} = [20; \infty[\)

- Achte zuerst darauf, für welche \(x\) der Ausdruck überhaupt sinnvoll ist. - Könntest du die 1 so umschreiben, dass sie auch ein Logarithmus mit der Basis 3 ist? - Gibt es ein Gesetz, mit dem du zwei subtrahierte Logarithmen zu einem einzigen Term vereinen kannst? - Vergiss am Ende nicht, dein Ergebnis mit der Definitionsmenge zu vergleichen.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x+4 > 0 \Rightarrow x > -4\). 2. Umformung der Konstanten 1 in einen Logarithmus zur Basis 3: \(1 = \log_3(3)\). 3. Anwendung des Logarithmengesetzes für Differenzen (\(\log a - \log b = \log\frac{a}{b}\)): \(\log_3\left(\frac{x+4}{3}\right) < \log_3(2)\). 4. Vergleich der Argumente: Da die Basis \(3 > 1\) ist, bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten: \(\frac{x+4}{3} < 2\). 5. Auflösen nach \(x\): Multiplikation mit 3 ergibt \(x+4 < 6\), Subtraktion von 4 ergibt \(x < 2\). 6. Schnittmenge mit dem Definitionsbereich: Aus \(x > -4\) und \(x < 2\) folgt \(-4 < x < 2\). 7. Resultierende Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = ]-4; 2[\).

\(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x < 2\}\) oder \(\mathbb{L} = ]-4; 2[\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) überhaupt eingesetzt werden dürfen. - Gibt es eine Regel, wie man zwei Logarithmen mit der gleichen Basis addiert? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\log_b(A) = c\) in eine Potenzgleichung umwandeln? - Prüfe am Ende, ob alle deine berechneten Werte im Definitionsbereich liegen.

1. Definitionsbereich bestimmen: Da die Argumente der Logarithmen positiv sein müssen, gilt \(x+5 > 0\) und \(x > 0\), woraus sich \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) ergibt. 2. Logarithmengesetz für Summen anwenden: \(\log_6(x \cdot (x+5)) = 2\). 3. Gleichung in die Exponentialform umwandeln: \(x(x+5) = 6^2\), also \(x^2 + 5x = 36\). 4. Quadratische Gleichung lösen: \(x^2 + 5x - 36 = 0\) ergibt mit der Lösungsformel die Werte \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -9\). 5. Abgleich mit dem Definitionsbereich: Nur \(x = 4\) liegt in \(D\). Somit ist \(L = \{4\}\).

\(L = \{4\}\)

- Überlege dir zuerst, für welche Werte von \(x\) der Ausdruck im Logarithmus positiv ist. - Wie lässt sich eine Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung umwandeln? - Welche Rechenregeln helfen dir, wenn zwei Logarithmen mit der gleichen Basis addiert werden? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine berechneten Werte im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Definition des Logarithmus ergibt \(4x - 5 = 3^2 = 9\). Addition von \(5\) liefert \(4x = 14\), woraus \(x = 3{,}5\) folgt. Da \(4 \cdot 3{,}5 - 5 = 9 > 0\), ist die Lösung im Definitionsbereich enthalten. \(L = \{3{,}5\}\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Definition des Logarithmus (Basis 10) ergibt \(x^2 + 19 = 10^2 = 100\). Subtraktion von \(19\) ergibt \(x^2 = 81\). Das Ziehen der Wurzel liefert \(x_1 = 9\) und \(x_2 = -9\). Beide Werte sind zulässig, da \((\pm 9)^2 + 19 = 100 > 0\). \(L = \{9; -9\}\). 3. Teilaufgabe c): Der Definitionsbereich ist \(x > 2\). Anwendung des Logarithmusgesetzes für Summen ergibt \(\log_2(x(x - 2)) = 3\). Anwendung der Definition liefert \(x^2 - 2x = 2^3 = 8\). Die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\) hat die Lösungen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). Da nur \(x = 4\) im Definitionsbereich liegt, ist \(L = \{4\}\).

a) \(L = \{3{,}5\}\) b) \(L = \{9; -9\}\) c) \(L = \{4\}\)

- Was muss für die Terme innerhalb der Logarithmen gelten? - Kannst du die linke Seite der Gleichung mithilfe von Logarithmusgesetzen zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen? - Wenn auf beiden Seiten der Gleichung nur noch ein Logarithmus mit derselben Basis steht, was kannst du dann über die Argumente sagen? - Setze dein Ergebnis am Ende zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Die Argumente der Logarithmen müssen positiv sein, also \(x + 4 > 0\) und \(x - 1 > 0\). Dies ergibt \(x > 1\). 2. Anwendung des Logarithmusgesetzes für Differenzen auf der linken Seite: \(\log_5\left(\frac{x + 4}{2}\right) = \log_5(x - 1)\). 3. Da die Logarithmusfunktion injektiv ist (bzw. durch „Entlogarithmieren“), folgt: \(\frac{x + 4}{2} = x - 1\). 4. Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x + 4 = 2x - 2\). 5. Auflösen nach \(x\) durch Subtraktion von \(x\) und Addition von \(2\) liefert \(x = 6\). 6. Da \(6 > 1\), liegt der Wert im Definitionsbereich.

\(L = \{6\}\)

- Es ist oft hilfreich, zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammern zu einem einzigen Logarithmus zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man Faktoren vor einem Logarithmus als Exponenten in das Argument zieht. - Wie hängen Brüche im Exponenten mit Wurzeln zusammen? - Achte auf das Minuszeichen vor den Klammern oder Termen; es entscheidet darüber, ob der Ausdruck in den Zähler oder Nenner wandert.

1. In Teilaufgabe a) wird zunächst der Ausdruck in der Klammer mit dem Differenzengesetz zusammengefasst: \(\log x = \frac{1}{3}(\log p^2 - \log q) = \frac{1}{3}\log \frac{p^2}{q}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes: \(\log x = \log \left(\frac{p^2}{q}\right)^{1/3} = \log \sqrt[3]{\frac{p^2}{q}}\). Daraus folgt \(x = \sqrt[3]{\frac{p^2}{q}}\). 3. In Teilaufgabe b) wird zuerst der Ausdruck in der Klammer zusammengefasst: \(\log b + \log c^2 = \log(b \cdot c^2)\). 4. Multiplikation mit dem Faktor \(\frac{3}{4}\) ergibt \(\log (b \cdot c^2)^{3/4} = \log \sqrt[4]{(b c^2)^3} = \log \sqrt[4]{b^3 c^6}\). 5. Die gesamte Gleichung lautet nun \(\log x = \log a - \log \sqrt[4]{b^3 c^6}\). 6. Anwendung des Differenzengesetzes: \(\log x = \log \frac{a}{\sqrt[4]{b^3 c^6}}\). 7. Vergleich der Argumente liefert \(x = \frac{a}{\sqrt[4]{b^3 c^6}}\).

a) \(x = \sqrt[3]{\frac{p^2}{q}}\) b) \(x = \frac{a}{\sqrt[4]{b^3 c^6}}\)

- Wie kannst du die Zahl 1 als Logarithmus zur Basis 10 darstellen? - Achte besonders auf die Klammern: Es ist oft hilfreich, zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammer zu vereinfachen. - Ein Bruch als Exponent lässt sich als Wurzel schreiben. Weißt du noch, welche Wurzel zu \(\frac{1}{3}\) gehört? - Gehe Schritt für Schritt vor und kombiniere am Ende alle Teile zu einem einzigen Logarithmus auf der rechten Seite.

1. Zusammenfassen des Ausdrucks innerhalb der Klammer: \(2 \lg(u - v) = \lg((u - v)^2)\), somit \(\lg(u + v) + \lg((u - v)^2) = \lg((u + v)(u - v)^2)\). 2. Anwendung des Faktors \(\frac{1}{3}\) als Exponent: \(\frac{1}{3} \lg((u + v)(u - v)^2) = \lg\left(\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}\right)\). 3. Umschreiben der Konstanten \(1\) als Logarithmus: \(1 = \lg 10\). 4. Subtraktion der Logarithmen unter Verwendung der Quotientenregel: \(\lg 10 - \lg\left(\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}\right) = \lg\left(\frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\right)\). 5. Durch Numerus-Vergleich folgt: \(x = \frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\).

\(x = \frac{10}{\sqrt[3]{(u + v)(u - v)^2}}\)

- Was bedeutet ein Faktor von \(\frac{1}{2}\) vor einem Logarithmus für das Argument? - Fasse zuerst die Terme mit gleichem Vorfaktor zusammen oder nutze das Potenzgesetz für jeden Term einzeln. - Ersetze in Aufgabenteil b) jeden Buchstaben \(b\) durch den Ausdruck \(3a\) und vereinfache den Term unter der Wurzel. - Denke daran, dass \(\sqrt{k \cdot m} = \sqrt{k} \cdot \sqrt{m}\) gilt.

1. Teilaufgabe a: Anwendung der Logarithmengesetze auf die rechte Seite: \(\lg x = \lg(a^{1/2}) + \lg((a+b)^{1/2}) - \lg c = \lg(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a+b}) - \lg c = \lg\left(\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\right)\). 2. Vergleich der Argumente liefert: \(x = \frac{\sqrt{a^2 + ab}}{c}\). 3. Teilaufgabe b: Einsetzen von \(b = 3a\) in den gefundenen Term: \(x = \frac{\sqrt{a^2 + a(3a)}}{c} = \frac{\sqrt{a^2 + 3a^2}}{c} = \frac{\sqrt{4a^2}}{c}\). 4. Da \(a > 0\), gilt \(\sqrt{4a^2} = 2a\). Somit ergibt sich \(x = \frac{2a}{c}\).

a) \(x = \frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\) bzw. \(x = \frac{\sqrt{a^2+ab}}{c}\) b) Durch Einsetzen von \(b=3a\) erhält man \(x = \frac{\sqrt{4a^2}}{c} = \frac{2a}{c}\).

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du die Minuszeichen vor den Klammern berücksichtigst? - Erinnerst du dich, welche Terme in den Zähler und welche in den Nenner eines Bruchs kommen, wenn man Logarithmen kombiniert? - Wie kannst du Terme mit dem gleichen Wurzelexponenten zusammenfassen? - Gehe schrittweise vor: erst die Klammern, dann die Koeffizienten, dann die Kombination zu einem Logarithmus.

1. Multiplikation der Faktoren in die Klammern: \(\lg x = \frac{2}{3} \lg(a+b) - \frac{1}{3} \lg a - \frac{1}{4} \lg b + \frac{1}{2} \lg(a-b)\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen auf jeden Term: \(\lg x = \lg(a+b)^{2/3} - \lg a^{1/3} - \lg b^{1/4} + \lg(a-b)^{1/2}\). 3. Zusammenfassen der Logarithmen mit positiven Vorzeichen (Zähler) und negativen Vorzeichen (Nenner): \(\lg x = \lg \frac{(a+b)^{2/3} \cdot (a-b)^{1/2}}{a^{1/3} \cdot b^{1/4}}\). 4. Umwandlung der rationalen Exponenten in Wurzelschreibweise: \(x = \frac{\sqrt[3]{(a+b)^2} \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{b}}\). 5. Optional: Zusammenfassen der dritten Wurzeln: \(x = \frac{\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2}{a}} \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt[4]{b}}\) oder eine andere äquivalente Form.

\(x = \frac{\sqrt[3]{(a+b)^2} \cdot \sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{b}}\)

- Wie lässt sich die Zahl 1 als Logarithmus zur Basis 10 darstellen? - Gibt es eine binomische Formel, die das Produkt im Argument vereinfachen kann? - Solltest du zuerst die Ausdrücke in den Klammern zusammenfassen oder die Klammer auflösen? - Wie lassen sich Brüche im Exponenten als Wurzeln schreiben?

1. Ausklammern des Faktors \(\frac{1}{2}\) und Anwendung des Additionsgesetzes im ersten Teil: \(\frac{1}{2} (\lg(a+b) + \lg(a-b)) = \frac{1}{2} \lg((a+b)(a-b))\). 2. Vereinfachung des Produkts mittels der dritten binomischen Formel: \(\lg((a^2 - b^2)^{1/2})\). 3. Umwandlung in die Wurzelschreibweise liefert das Ergebnis \(x = \sqrt{a^2 - b^2}\). 4. Umformung der Konstante im zweiten Teil: \(1 = \lg 10\). 5. Zusammenfassen des Ausdrucks in der Klammer mittels Potenz- und Additionsgesetz: \(2 \lg a + \lg b = \lg(a^2 b)\). 6. Anwendung des Vorfaktors \(\frac{1}{3}\) als Exponent: \(\lg((a^2 b)^{1/3}) = \lg \sqrt[3]{a^2 b}\). 7. Anwendung der Subtraktionsregel: \(\lg 10 - \lg \sqrt[3]{a^2 b} = \lg \frac{10}{\sqrt[3]{a^2 b}}\). 8. Vergleich der Numeri führt zum Ergebnis \(x = \frac{10}{\sqrt[3]{a^2 b}}\).

1) \(x = \sqrt{a^2 - b^2}\) 2) \(x = \frac{10}{\sqrt[3]{a^2 b}}\)

- Was genau ist eine zusammengesetzte Zahl? - Kannst du den Logarithmus einer Zahl berechnen, wenn du einen ihrer Primfaktoren nicht kennst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(\lg 2\), \(\lg 5\) und \(\lg 10\). - Gehe die Zahlen von 1 bis 20 durch und prüfe ihre Primfaktorzerlegung.

1. Die Aussage ist falsch. Eine zusammengesetzte Zahl ist das Produkt von Primfaktoren. Um ihren Logarithmus zu berechnen, müssen die Logarithmen aller ihrer Primfaktoren bekannt sein. Die Zahl \(14 = 2 \cdot 7\) ist zusammengesetzt, aber \(\lg 7\) ist weder gegeben noch aus \(\lg 2\) oder \(\lg 3\) ableitbar. 2. Berechenbar sind alle Zahlen, deren Primfaktorzerlegung nur aus den Faktoren 2, 3 und 5 besteht (da \(\lg 5 = \lg 10 - \lg 2\) berechenbar ist). Dies sind: 1 (da \(\lg 1 = 0\)), 2, 3, 4 (\(2^2\)), 5, 6 (\(2 \cdot 3\)), 8 (\(2^3\)), 9 (\(3^2\)), 10, 12 (\(2^2 \cdot 3\)), 15 (\(3 \cdot 5\)), 16 (\(2^4\)), 18 (\(2 \cdot 3^2\)) und 20 (\(2 \cdot 10\)). 3. Es fehlen die Primzahlen, die nicht 2, 3 oder 5 sind. Im Bereich bis 20 sind das: 7, 11, 13, 17 und 19.

1. Die Aussage ist falsch, da zum Beispiel \(\lg 14\) die Kenntnis von \(\lg 7\) erfordert. 2. Berechenbar sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20. 3. Es fehlen die Primzahlen 7, 11, 13, 17 und 19.

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Versuche, die gesuchten Zahlen als Produkt, Quotient oder Potenz der Zahlen 2, 3 und der Basis 10 darzustellen. - Wie hängen die Zahlen 5, 10 und 2 mathematisch zusammen? - Nutze die Logarithmengesetze systematisch nacheinander. - Was ist der Wert von \(\log_{10} 10\)?

1. Zerlegung in Faktoren: \(\log_{10} 6 = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778\). 2. Darstellung als Quotient: \(\log_{10} 1{,}5 = \log_{10}(\frac{3}{2}) = \log_{10} 3 - \log_{10} 2 \approx 0{,}477 - 0{,}301 = 0{,}176\). 3. Kombination von Gesetzen: \(\log_{10} 12 = \log_{10}(2^2 \cdot 3) = 2 \cdot \log_{10} 2 + \log_{10} 3 \approx 2 \cdot 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}602 + 0{,}477 = 1{,}079\). 4. Trick mit der Basis: \(\log_{10} 5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699\). 5. Primfaktorzerlegung unter Einbezug der 10: \(\log_{10} 180 = \log_{10}(2 \cdot 3^2 \cdot 10) = \log_{10} 2 + 2 \cdot \log_{10} 3 + \log_{10} 10 \approx 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 + 1 = 1{,}301 + 0{,}954 = 2{,}255\).

a) \(0{,}778\) b) \(0{,}176\) c) \(1{,}079\) d) \(0{,}699\) e) \(2{,}255\)

- Wie kannst du eine einfache Zahl als Logarithmus zu einer beliebigen Basis ausdrücken? - Behandle die Koeffizienten vor den Logarithmen zuerst. - Achte darauf, dass alle Terme die gleiche Basis besitzen, bevor du sie kombinierst. - Was passiert mit dem Numerus, wenn du Logarithmen addierst oder subtrahierst?

1. Anwendung des Potenzgesetzes auf die logarithmischen Terme: \(\frac{1}{2} \log_a (x^2 + y^2) = \log_a \sqrt{x^2 + y^2}\) und \(2 \log_a x = \log_a (x^2)\). 2. Umwandlung der Konstanten \(3\) in einen Logarithmus zur Basis \(a\): \(3 = 3 \cdot \log_a a = \log_a (a^3)\). 3. Zusammenfassen der ersten beiden Logarithmen durch Multiplikation der Numeri: \(\log_a (\sqrt{x^2 + y^2} \cdot x^2)\). 4. Einbeziehen des konstanten Terms durch Division des Numerus: \(\log_a \left( \frac{x^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{a^3} \right)\).

\(\log_a \left( \frac{x^2 \sqrt{x^2 + y^2}}{a^3} \right)\)

- Kannst du den Term im Nenner mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren? - Welche Logarithmengesetze helfen dir, Brüche und Produkte in Summen oder Differenzen zu verwandeln? - Wie hängen Wurzeln und Potenzen zusammen, wenn man Logarithmengesetze anwendet? - Gibt es nach der Zerlegung Terme, die du zusammenfassen kannst?

1. Anwendung des Quotientengesetzes auf den gesamten Bruch: \(\log_k (u - v)^2 - \log_k \sqrt{u^2 - v^2}\) 2. Umschreiben von Potenz und Wurzel als Faktoren vor dem Logarithmus: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u^2 - v^2)\) 3. Faktorisierung des Terms \(u^2 - v^2\) im zweiten Logarithmus mittels der dritten binomischen Formel: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k ((u - v)(u + v))\) 4. Anwendung des Produktgesetzes auf das Argument des zweiten Terms: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} (\log_k (u - v) + \log_k (u + v))\) 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der gleichartigen Logarithmen: \(2 \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v) = \frac{3}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v)\)

\(\frac{3}{2} \log_k (u - v) - \frac{1}{2} \log_k (u + v)\)

- Überlege zuerst, wie du Brüche oder Faktoren vor dem Logarithmus in das Innere verschieben kannst. - Erinnerst du dich, wie man Potenzen mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) auch schreiben kann? - Fasse alle Teile zu einem einzigen Bruch innerhalb des Logarithmus zusammen. - Schau dir das Ergebnis im Logarithmus genau an – lässt sich dort noch etwas kürzen?

1. Teilaufgabe a): Der Faktor \(\frac{1}{2}\) wird als Exponent in den Logarithmus gezogen: \(\log_b((100 \cdot p^2)^{1/2}) - \log_b(2 \cdot p)\). Da \(\sqrt{100 \cdot p^2} = 10 \cdot p\) ist, ergibt sich \(\log_b(10 \cdot p) - \log_b(2 \cdot p)\). Durch Anwendung des Quotientengesetzes erhält man \(\log_b\left(\frac{10 \cdot p}{2 \cdot p}\right)\). Nach Kürzen des Bruchs bleibt \(\log_b(5)\). 2. Teilaufgabe b): Die Faktoren vor den Logarithmen werden als Exponenten verwendet: \(\log_x((4 \cdot a)^2) + \log_x(b^3) - \log_x(8 \cdot a^2 \cdot b^3) = \log_x(16 \cdot a^2) + \log_x(b^3) - \log_x(8 \cdot a^2 \cdot b^3)\). Zusammenfassen durch Multiplikation der Argumente bei Addition und Division bei Subtraktion: \(\log_x\left(\frac{16 \cdot a^2 \cdot b^3}{8 \cdot a^2 \cdot b^3}\right)\). Nach dem Kürzen vereinfacht sich der Term zu \(\log_x(2)\).

a) \(\log_b(5)\) b) \(\log_x(2)\)

- Gibt es eine Möglichkeit, die Differenz zweier Logarithmen als Logarithmus eines Bruchs zu schreiben? - Schau dir den Term \(x^2 - 9\) genau an – erinnert er dich an eine bestimmte Formel zum Faktorisieren? - Du kannst Logarithmen von Brüchen entweder direkt verrechnen oder sie zuerst mithilfe der Gesetze aufspalten. - Kannst du den Ausdruck im Numerus am Ende noch kürzen oder vereinfachen?

1. Teilaufgabe a: Anwendung des Differenzengesetzes für Logarithmen ergibt \(\log_a \frac{x^2 - 9}{x + 3}\). 2. Faktorisieren des Zählers mittels der 3. binomischen Formel: \(\log_a \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}\). 3. Kürzen des Terms \((x + 3)\) im Bruch führt zum Ergebnis \(\log_a (x - 3)\). 4. Teilaufgabe b: Zerlegen des letzten Terms mittels Quotienten- und Potenzgesetz: \(\log_a \frac{q^3}{p} = 3 \log_a q - \log_a p\). 5. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(2 \log_a p - 3 \log_a q + 3 \log_a q - \log_a p\). 6. Zusammenfassen der Terme: \(2 \log_a p - \log_a p = \log_a p\). Alternativ führt das Zusammenfassen zu \(\log_a \frac{p^2 \cdot q^3}{q^3 \cdot p}\) nach Kürzen zum selben Ergebnis.

a) \(\log_a (x - 3)\) b) \(\log_a p\)

- Wie kannst du eine Differenz von zwei Logarithmen zusammenfassen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen. - Achte darauf, dass das Argument eines Logarithmus immer positiv sein muss. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(x + 6 > 0\) und \(x > 0\), daraus folgt \(x > 0\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Differenzen: \(\log_2\left(\frac{x + 6}{x}\right) = 2\). 3. Anwendung der Definition des Logarithmus (Entlogarithmieren): \(\frac{x + 6}{x} = 2^2\). 4. Berechnung der Potenz: \(2^2 = 4\). 5. Lösen der Gleichung: \(x + 6 = 4x \Rightarrow 6 = 3x \Rightarrow x = 2\). 6. Abgleich mit dem Definitionsbereich: \(2 > 0\), somit ist die Lösung zulässig.

\(\mathbb{L} = \{2\}\)

- Gibt es ein Gesetz, mit dem man einen Faktor vor dem Logarithmus in den Logarithmus hineinziehen kann? - Wie gehst du vor, wenn du eine Differenz von zwei Logarithmen hast? - Welche Werte dürfen für die Variable nicht eingesetzt werden? - Wenn eine quadratische Gleichung entsteht, sind dann immer alle Lösungen auch für die ursprüngliche Logarithmusgleichung gültig?

1. Teilaufgabe a): Definitionsbereich festlegen: \(x + 3 > 0\) und \(x - 3 > 0 \implies x > 3\). Zusammenfassen der Logarithmen: \(\log_2((x + 3)(x - 3)) = 4\). Anwendung der Definition: \((x + 3)(x - 3) = 2^4\). Mit der dritten binomischen Formel folgt \(x^2 - 9 = 16\), also \(x^2 = 25\). Die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\) werden geprüft. Nur \(x = 5\) liegt im Definitionsbereich. \(L = \{5\}\). 2. Teilaufgabe b): Definitionsbereich: \(x > 0\) und \(x + 20 > 0 \implies x > 0\). Anwendung des Potenzgesetzes für Logarithmen: \(\lg(x^2) = \lg(x + 20)\). Numerivergleich liefert die quadratische Gleichung \(x^2 = x + 20\), also \(x^2 - x - 20 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -4\). Da \(x > 0\) sein muss, ist \(L = \{5\}\). 3. Teilaufgabe c): Definitionsbereich: \(x > -2\) und \(x > 1 \implies x > 1\). Anwendung des Quotientengesetzes: \(\log_4\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right) = 1\). Anwendung der Definition: \(\frac{x + 2}{x - 1} = 4^1\). Multiplikation mit dem Nenner: \(x + 2 = 4(x - 1) \implies x + 2 = 4x - 4\). Auflösen ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\). Da \(2 > 1\), ist \(L = \{2\}\).

a) \(L = \{5\}\) b) \(L = \{5\}\) c) \(L = \{2\}\)

- Kannst du alle Logarithmen auf die gleiche Basis bringen? Nutze dazu die Basiswechselformel. - Was weißt du über den Zusammenhang zwischen \(\sqrt{2}\), \(2\) und \(4\)? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf beiden Seiten nur noch ein einzelner Logarithmus zur selben Basis steht. - Wenn \(\log_a(u) = \log_a(v)\) gilt, was lässt sich dann über \(u\) und \(v\) sagen?

1. Definitionsbereich festlegen: Da das Argument des Logarithmus positiv sein muss, gilt \(x > 0\). 2. Basen vereinheitlichen (hier auf Basis 2): \(\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{2} = \frac{2 \log_2 3}{2} = \log_2 3\). \(\log_{\sqrt{2}} 6 = \frac{\log_2 6}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 6}{0{,}5} = 2 \log_2 6 = \log_2 (6^2) = \log_2 36\). 3. Gleichung mit einheitlicher Basis aufschreiben: \(\log_2 x + \log_2 3 = \log_2 36\). 4. Logarithmengesetz für Summen anwenden: \(\log_2 (3x) = \log_2 36\). 5. Numeri vergleichen: \(3x = 36 \Rightarrow x = 12\). 6. Da \(12 > 0\), ist die Lösung gültig.

\(x = 12\)