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- Beide Logarithmen haben dieselbe Basis. - Welche Regel verbindet eine Summe von Logarithmen mit einem Produkt der Argumente?

Mit der Produktregel gilt \(\log_7 2+\log_7 5=\log_7(2\cdot5)=\log_7 10\).

\(\log_7 10\)

- Achte auf den Exponenten des gesamten Arguments. - Bei der Potenzregel wird dieser Exponent zum Faktor vor dem Logarithmus.

Mit der Potenzregel gilt \(\log_3(x^4)=4\log_3x\).

\(4\log_3x\)

- Welche einzelne Logarithmusform entsteht aus einer Differenz zweier Logarithmen gleicher Basis? - Vereinfache anschließend zuerst das Argument.

1. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_5(75)-\log_5(3)=\log_5\left(\frac{75}{3}\right)\). 2. Damit erhält man \(\log_5(25)=2\), weil \(5^2=25\).

\(2\)

- Berechne zuerst den Logarithmus der Summe \(8+8\). - Berechne danach die beiden Logarithmen auf der rechten Seite getrennt. - Welche der bekannten Logarithmusregeln bezieht sich auf ein Produkt und nicht auf eine Summe?

1. Links gilt \(\log_2(8+8)=\log_2(16)=4\). 2. Rechts gilt \(\log_2(8)+\log_2(8)=3+3=6\). 3. Die beiden Seiten sind nicht gleich. Die Produktregel gilt für ein Produkt im Argument, nicht für eine Summe.

Die Behauptung ist falsch: links erhält man \(4\), rechts \(6\). Für \(\log_b(u+v)\) gibt es keine entsprechende Summenregel.

- Schreibe die Zahlen als Produkte oder Quotienten mit \(3\) und Zehnerpotenzen. - Wie kannst du eine Wurzel als Potenz schreiben? - Entscheide jeweils, ob Produktregel, Quotientenregel oder Potenzregel passt.

1. Mit der Produktregel gilt \(\log_{10}300=\log_{10}(3\cdot100)=\log_{10}3+2\approx2{,}4771\). 2. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_{10}0{,}003=\log_{10}\left(\frac{3}{1000}\right)=\log_{10}3-3\approx-2{,}5229\). 3. Mit der Potenzregel gilt \(\log_{10}81=\log_{10}(3^4)=4\log_{10}3\approx1{,}9084\). 4. Mit der Potenzregel gilt \(\log_{10}\sqrt3=\frac{1}{2}\log_{10}3\approx0{,}23855\approx0{,}2386\).

1) \(\log_{10}300\approx2{,}4771\) 2) \(\log_{10}0{,}003\approx-2{,}5229\) 3) \(\log_{10}81\approx1{,}9084\) 4) \(\log_{10}\sqrt3\approx0{,}2386\)

- Wie kannst du einen Faktor vor einem Logarithmus mit der Potenzregel in das Argument übernehmen? - Welche Regel verbindet eine Summe von Logarithmen mit einem Produkt? - Welche Regel verbindet eine Differenz von Logarithmen mit einem Quotienten?

1. Mit Potenzregel und Produktregel gilt \(\log_{10}x=\log_{10}(a^2b^3)\). Daher ist \(x=a^2b^3\). 2. Mit Potenzregel und Quotientenregel gilt \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{\sqrt a}{b}\right)\). Daher ist \(x=\frac{\sqrt a}{b}\).

1) \(x=a^2b^3\) 2) \(x=\frac{\sqrt a}{b}\)

- Wie kannst du \(12\) und \(1{,}5\) mit \(2\) und \(3\) darstellen? - Welche Formel erlaubt einen Basiswechsel auf den Logarithmus zur Basis \(10\)? - Welche Logarithmusregel passt zu einer Potenz beziehungsweise einem Quotienten?

1. Wegen \(12=2^2\cdot3\) gilt \(\log_{10}12=2\log_{10}2+\log_{10}3\approx1{,}0791\approx1{,}079\). 2. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_2 3=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\approx1{,}58505\approx1{,}585\). 3. Wegen \(1{,}5=\frac{3}{2}\) gilt mit Quotientenregel und Basiswechsel \(\log_3 1{,}5=1-\frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\approx0{,}36911\approx0{,}369\).

a) \(\log_{10}12\approx1{,}079\) b) \(\log_2 3\approx1{,}585\) c) \(\log_3 1{,}5\approx0{,}369\)

- Welche Rechenoperation liegt im Argument außen vor? - Wie kannst du Potenzen und Wurzeln mit der Potenzregel aus dem Argument herausziehen? - Welchen Zehnerlogarithmus kannst du anschließend direkt auswerten?

1. Mit der Quotientenregel gilt \(x=\log_{10}(100a^4)-\log_{10}\sqrt[3]{b}\). 2. Produktregel und Potenzregel liefern \(x=\log_{10}100+4\log_{10}a-\frac{1}{3}\log_{10}b\). 3. Wegen \(\log_{10}100=2\) ergibt sich \(x=2+4\log_{10}a-\frac{1}{3}\log_{10}b\).

\(x=2+4\log_{10}a-\frac{1}{3}\log_{10}b\)

- Wie hängen Logarithmus und Potenz zusammen? Versuche die Gleichung umzuschreiben. - Überlege, wie man eine Potenz mit einer Dezimalzahl im Exponenten als Wurzel schreiben kann. - Was musst du am Ende immer prüfen, wenn du eine Lösung für eine Logarithmusgleichung gefunden hast?

1. Anwendung der Definition des Logarithmus, um die Gleichung in die Exponentialform zu überführen: \(2x - 1 = 4^{2{,}5}\). 2. Berechnung des Potenzwertes: \(4^{2{,}5} = 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32\). 3. Lösen der linearen Gleichung: \(2x - 1 = 32\) führt zu \(2x = 33\), also \(x = 16{,}5\). 4. Überprüfung des Definitionsbereichs: Da \(2 \cdot 16{,}5 - 1 = 32 > 0\) ist, liegt der Wert im zulässigen Bereich. 5. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{16{,}5\}\).

\(L = \{16{,}5\}\)

- Welche Formel schreibt einen Logarithmus mit beliebiger Basis als Quotienten zweier Zehnerlogarithmen? - Berechne Zähler und Nenner erst getrennt und runde erst am Ende. - Prüfe dein Ergebnis grob mit \(6^2=36\) und \(6^3=216\).

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_6 45=\frac{\log_{10}45}{\log_{10}6}\). 2. Der Taschenrechner liefert \(\log_{10}45\approx1{,}653213\) und \(\log_{10}6\approx0{,}778151\). 3. Damit ist \(\log_6 45\approx1{,}653213:0{,}778151\approx2{,}124539\). 4. Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(2{,}1245\).

\(\log_6 45\approx2{,}1245\)

- Wie lautet die Basiswechselformel mit dem Logarithmus zur Basis \(10\)? - Runde den Quotienten erst am Ende. - Welche beiden benachbarten Potenzen der Basis \(5\) schließen \(12\) ein?

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_5 12=\frac{\log_{10}12}{\log_{10}5}\approx1{,}543959\). 2. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(1{,}544\). 3. Wegen \(5^1=5<12<25=5^2\) gilt zusätzlich \(1<\log_5 12<2\).

\(\log_5 12\approx1{,}544\); der Wert liegt zwischen \(1\) und \(2\).

- Welche der drei Logarithmusregeln passt zum Quotienten \(\frac{1}{16}\)? - Wie kannst du \(4\sqrt2\) mithilfe von Produktregel und Potenzregel zerlegen? - Welche einfachen Logarithmuswerte zur Basis \(2\) entstehen dabei?

1. Mit der Quotientenregel ist \(\log_2\left(\frac{1}{16}\right)=\log_2 1-\log_2 16=0-4=-4\). 2. Mit Produktregel und Potenzregel gilt \(\log_2(4\sqrt2)=\log_2 4+\frac{1}{2}\log_2 2=2+0{,}5=2{,}5\). 3. Somit ist \(T=-4+2{,}5=-1{,}5\).

\(T=-1{,}5\)

- Schreibe jede Zahl als Produkt aus \(6\) und einer Zehnerpotenz. - Welche Regel zerlegt den Logarithmus eines Produkts? - Was ist \(\log_{10}(10^k)\)?

1. Wegen \(60=6\cdot10\), \(6000=6\cdot10^3\) und \(0{,}06=6\cdot10^{-2}\) liefert die Produktregel \(\log_{10}60\approx1{,}778\), \(\log_{10}6000\approx3{,}778\) und \(\log_{10}0{,}06\approx-1{,}222\). 2. Allgemein gilt \(\log_{10}(x\cdot10^k)=\log_{10}x+\log_{10}(10^k)=\log_{10}x+k\). Der Logarithmuswert erhöht sich also um \(k\).

a) \(\log_{10}60\approx1{,}778\); \(\log_{10}6000\approx3{,}778\); \(\log_{10}0{,}06\approx-1{,}222\) b) Der Logarithmuswert ändert sich um \(k\): \(\log_{10}(x\cdot10^k)=\log_{10}x+k\).

- Wie lässt sich \(15\) mit den beiden gegebenen Argumenten darstellen? - Welche Regel zerlegt den Logarithmus eines Produkts? - Wie erhältst du die kleinste beziehungsweise größte mögliche Summe aus zwei gegebenen Intervallen?

1. Mit der Produktregel gilt \(\log_{10}15=\log_{10}3+\log_{10}5\). 2. Die unteren Grenzen ergeben \(0{,}4771+0{,}6989=1{,}1760\). 3. Die oberen Grenzen ergeben \(0{,}4772+0{,}6990=1{,}1762\). 4. Daher gilt \(1{,}1760<\log_{10}15<1{,}1762\).

\(1{,}1760<\log_{10}15<1{,}1762\)

- Identifiziere jeweils den Exponenten des gesamten Arguments. - Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie kannst du einen Kehrwert als Potenz mit negativem Exponenten schreiben?

1. Mit der Potenzregel gilt \(\log_b(x^9)=9\log_bx\). 2. Mit der Potenzregel gilt \(\log_b(y^{-4})=-4\log_by\). 3. Wegen \(\sqrt[3]{z}=z^{\frac{1}{3}}\) gilt \(\log_b\sqrt[3]{z}=\frac{1}{3}\log_bz\). 4. Wegen \(\frac{1}{a^5}=a^{-5}\) gilt \(\log_b\left(\frac{1}{a^5}\right)=-5\log_ba\). 5. Mit der Potenzregel gilt \(\log_b(w^{0{,}75})=0{,}75\log_bw\).

a) \(9\log_bx\) b) \(-4\log_by\) c) \(\frac{1}{3}\log_bz\) d) \(-5\log_ba\) e) \(0{,}75\log_bw\)

- Welche Potenzen entstehen aus den Faktoren vor den Logarithmen? - Welche beiden Terme werden beim Zusammenfassen zu Faktoren im Zähler? - Wohin gelangt das Argument des subtrahierten Logarithmus?

1. Mit der Potenzregel gilt \(5\log_bp=\log_b(p^5)\), \(\frac{1}{3}\log_bq=\log_b\sqrt[3]{q}\) und \(2\log_br=\log_b(r^2)\). 2. Produktregel und Quotientenregel ergeben \(\log_b\left(\frac{p^5\sqrt[3]{q}}{r^2}\right)\).

\(\log_b\left(\frac{p^5\sqrt[3]{q}}{r^2}\right)\)

- Welche Regel fasst die Summe der ersten beiden Logarithmen zusammen? - Welche Regel passt anschließend zur Differenz? - Welche Zehnerpotenz erhältst du im letzten Logarithmus?

1. Mit der Produktregel gilt \(\log_{10}120+\log_{10}25=\log_{10}3000\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(\log_{10}3000-\log_{10}3=\log_{10}1000\). 3. Wegen \(10^3=1000\) ist \(\log_{10}1000=3\).

\(3\)

- Welchen Wert hat \(\sqrt[3]{64}\)? - Welche Zweierpotenz ist \(64\)? - Schreibe im allgemeinen Fall die Wurzel als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{n}\).

1. Links gilt \(\log_2\sqrt[3]{64}=\log_2 4=2\). 2. Rechts gilt \(\frac{1}{3}\log_2 64=\frac{1}{3}\cdot6=2\). Beide Seiten stimmen überein. 3. Allgemein ist \(\log_a\sqrt[n]{u}=\log_a\left(u^{\frac{1}{n}}\right)=\frac{1}{n}\log_au\) nach der Potenzregel.

Im Beispiel haben beide Seiten den Wert \(2\). Allgemein folgt \(\log_a\sqrt[n]{u}=\frac{1}{n}\log_au\) direkt aus der Potenzregel.

- Welche Regel verbindet einen Exponenten im Argument mit einem Faktor vor dem Logarithmus? - Wie kannst du die fünfte Wurzel als Potenz schreiben? - Setze den gegebenen Wert erst nach der Umformung ein.

1. Mit der Potenzregel gilt \(\log_b(x^3)=3\log_bx=3\cdot1{,}2=3{,}6\). 2. Wegen \(\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\) gilt \(\log_b\sqrt[5]{x}=\frac{1}{5}\log_bx=0{,}24\).

a) \(3{,}6\) b) \(0{,}24\)

- Wie hängen Logarithmen mit verschiedenen Basen mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel \( \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \). Welche Basis bietet sich hier als Vergleichsbasis an? - Welche Zahl im Nenner der Basiswechselformel entspricht dem Kehrwert des Streckungsfaktors?

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Funktionen basierend auf der geometrischen Abbildung: \( g(x) = k \cdot f(x) \), also \( \log_5(x) = k \cdot \lg(x) \). 2. Anwendung der Basiswechselformel auf \( \log_5(x) \), um zur Basis \( 10 \) (Zehnerlogarithmus) zu gelangen: \( \log_5(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(5)} \). 3. Vergleich der beiden Ausdrücke für \( g(x) \): \( k \cdot \lg(x) = \frac{1}{\lg(5)} \cdot \lg(x) \). 4. Identifikation des Streckungsfaktors: \( k = \frac{1}{\lg(5)} \). 5. Numerische Berechnung: \( \lg(5) \approx 0{,}69897 \), daraus folgt \( k = \frac{1}{0{,}69897} \approx 1{,}43067 \). 6. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \( k \approx 1{,}43 \).

Der Streckungsfaktor beträgt \( k = \frac{1}{\lg(5)} \approx 1{,}43 \).

- Welche Regel fasst in a) die beiden Logarithmen zusammen? - Wie kannst du in b) die Zahl \(1\) als Logarithmus zur Basis \(10\) schreiben? - Übersetze in c) die Logarithmusgleichung in eine Potenzgleichung. - Prüfe bei allen Teilen die Positivität der Argumente.

1. Mit der Produktregel ist \(\log_3(4x)=\log_3 12\). Daher gilt \(4x=12\) und \(x=3\); der Wert ist zulässig. 2. Die zweite Gleichung wird zu \(\log_{10}x=\log_{10}2+\log_{10}10=\log_{10}20\). Daher ist \(x=20\). 3. Aus \(\log_5(2x-4)=2\) folgt \(2x-4=5^2=25\), also \(x=14{,}5\). Das Argument ist dann positiv.

a) \(L=\{3\}\) b) \(L=\{20\}\) c) \(L=\{14{,}5\}\)

- Berechne zunächst beide Seiten unabhängig voneinander. - Vergleiche anschließend die beiden Zahlenwerte. - Welche Rolle spielt der Exponent in der Potenzregel, die du aus Exponentialgleichungen kennst?

1. Links gilt \(\log_2(8^2)=\log_2 64=6\). 2. Rechts gilt \((\log_2 8)^2=3^2=9\). 3. Die beiden Seiten sind also nicht gleich. 4. Richtig ist die Potenzregel \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\) für \(b>0\), \(b\neq1\) und \(u>0\). Der Exponent wird als Faktor vor den Logarithmus geschrieben; der Logarithmuswert wird nicht potenziert.

Links ergibt sich \(6\), rechts \(9\). Die Behauptung ist falsch. Richtig ist \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\).

- Übersetze die beiden gegebenen Logarithmusgleichungen zuerst in Potenzgleichungen. - Welche Potenzregel gilt beim Multiplizieren zweier Potenzen mit gleicher Basis? - Übersetze das Ergebnis anschließend zurück in die Logarithmusschreibweise.

1. Aus \(\log_b(u)=r\) und \(\log_b(v)=s\) folgen \(u=b^r\) und \(v=b^s\). 2. Daher ist \(uv=b^r\cdot b^s=b^{r+s}\). 3. Nach der Definition des Logarithmus gilt deshalb \(\log_b(uv)=r+s\). 4. Da \(r=\log_b(u)\) und \(s=\log_b(v)\) sind, erhält man die Produktregel \(\log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v)\).

Aus \(uv=b^{r+s}\) folgt \(\log_b(uv)=r+s=\log_b(u)+\log_b(v)\).

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: \(y = \log_a(x)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Funktionswerts, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert? - Überlege dir den Verlauf des Graphen für eine Basis größer als 1. Wo liegt die Nullstelle?

1. Definitionsbereich: Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, gilt für beide Funktionen \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x) = \log_2(x)\): \(f(0{,}25) = -2\); \(f(1) = 0\); \(f(2) = 1\); \(f(4) = 2\). Für \(g(x) = \log_{0{,}5}(x)\): \(g(0{,}25) = 2\); \(g(1) = 0\); \(g(2) = -1\); \(g(4) = -2\). 3. Nachweis der Spiegelung: Mit der gegebenen Identität folgt \(g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) = -\log_2(x) = -f(x)\). Ein negativer Vorfaktor der gesamten Funktionsgleichung entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Vorzeichen von \(f(0{,}75)\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Wegen \(f(1) = 0\) und \(0{,}75 < 1\) muss \(f(0{,}75) < 0\) gelten. Der Wert ist also negativ.

a) \(D = \mathbb{R}^+\) bzw. \(x > 0\). b) \(f\): \(-2; 0; 1; 2\). \(g\): \(2; 0; -1; -2\). c) Wegen \(g(x) = -f(x)\) liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. d) Negativ, da \(f\) wegen der Basis \(2 > 1\) streng monoton steigt und \(0{,}75\) kleiner als die Nullstelle \(1\) ist.

- Wie lässt sich die Zahl \(1\) als Logarithmus zur Basis \(10\) schreiben? - Wie kannst du den Faktor \(2\) mithilfe der Potenzregel in das Argument übernehmen? - Fasse anschließend Differenz und Summe mit Quotientenregel und Produktregel zusammen.

1. Mit der Potenzregel gilt \(2\log_{10}6=\log_{10}36\), außerdem ist \(1=\log_{10}10\). 2. Mit der Quotientenregel wird \(\log_{10}36-\log_{10}9=\log_{10}4\). 3. Die Produktregel liefert \(\log_{10}4+\log_{10}10=\log_{10}40\). 4. Da die Logarithmen dieselbe Basis haben, sind ihre Argumente gleich. Somit ist \(x=40\).

\(x=40\)

- Wie kannst du Faktoren vor einem Logarithmus mithilfe der Potenzregel in das Argument übernehmen? - Welche Regeln fassen Summen und Differenzen von Logarithmen zusammen? - Setze für die Veränderung \(2a\) und \(4c\) in deinen gefundenen Term ein und vereinfache.

1. Mit der Potenzregel gilt \(2\log_{10}a=\log_{10}(a^2)\) und \(\frac{1}{2}\log_{10}b=\log_{10}\sqrt b\). Produktregel und Quotientenregel liefern \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{a^2\sqrt b}{c}\right)\). Daher ist \(x=\frac{a^2\sqrt b}{c}\). 2. Für die veränderten Größen ergibt sich \(x_{\text{neu}}=\frac{(2a)^2\sqrt b}{4c}=\frac{4a^2\sqrt b}{4c}=\frac{a^2\sqrt b}{c}=x\). Der Wert bleibt also unverändert.

a) \(x=\frac{a^2\sqrt b}{c}\) b) Der Wert von \(x\) bleibt unverändert.

- Fasse zuerst die beiden Logarithmen in der Klammer zusammen. - Wie wirkt der Faktor \(\frac{1}{3}\) nach der Potenzregel auf das Argument? - Schreibe die Zahl \(1\) als Logarithmus zur Basis \(10\) und fasse anschließend die Differenz zusammen.

1. Mit Potenzregel und Produktregel gilt \(\log_{10}(u+v)+2\log_{10}(u-v)=\log_{10}\left((u+v)(u-v)^2\right)\). 2. Die Potenzregel liefert \(\frac{1}{3}\log_{10}\left((u+v)(u-v)^2\right)=\log_{10}\sqrt[3]{(u+v)(u-v)^2}\). 3. Wegen \(1=\log_{10}10\) und der Quotientenregel folgt \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{10}{\sqrt[3]{(u+v)(u-v)^2}}\right)\). 4. Daher ist \(x=\frac{10}{\sqrt[3]{(u+v)(u-v)^2}}\).

\(x=\frac{10}{\sqrt[3]{(u+v)(u-v)^2}}\)

- Fasse zunächst die Differenz der beiden Logarithmen mit der Quotientenregel zusammen. - Lässt sich der entstehende algebraische Bruch faktorisieren und kürzen? - Schreibe \(1\) als Logarithmus zur Basis \(10\). - Bestimme die Bedingungen an \(a\) aus den ursprünglichen Argumenten.

1. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{a^2-9}{a+3}\right)+1\). 2. Aus \(a^2-9=(a-3)(a+3)\) folgt unter den Definitionsbedingungen \(\frac{a^2-9}{a+3}=a-3\). 3. Mit \(1=\log_{10}10\) und der Produktregel folgt \(\log_{10}x=\log_{10}(10(a-3))\). Daher ist \(x=10(a-3)=10a-30\). 4. Aus \(a^2-9>0\) und \(a+3>0\) folgt insgesamt \(a>3\).

\(x=10a-30\) für \(a>3\)

- Wie wirkt der Faktor \(\frac{1}{2}\) nach der Potenzregel auf das Argument? - Fasse die beiden positiven Logarithmen mit der Produktregel und anschließend die Differenz mit der Quotientenregel zusammen. - Setze für den Spezialfall erst \(b=3a\) in deinen Term ein und nutze \(a>0\).

1. Mit Potenzregel, Produktregel und Quotientenregel gilt \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{\sqrt a\sqrt{a+b}}{c}\right)=\log_{10}\left(\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\right)\). Daher ist \(x=\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\). 2. Für \(b=3a\) wird \(x=\frac{\sqrt{a(a+3a)}}{c}=\frac{\sqrt{4a^2}}{c}\). Wegen \(a>0\) ist \(\sqrt{4a^2}=2a\), also \(x=\frac{2a}{c}\).

a) \(x=\frac{\sqrt{a(a+b)}}{c}\) b) Für \(b=3a\) gilt \(x=\frac{2a}{c}\).

- Kannst du jede gesuchte Zahl aus \(2\), \(3\) und \(10\) durch Multiplikation, Division oder Potenzieren zusammensetzen? - Welche Logarithmusregel entspricht der jeweiligen Rechenoperation im Argument? - Nutze die gegebenen Näherungswerte erst nach der algebraischen Umformung.

1. Mit der Produktregel gilt \(\log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3\approx0{,}7781\). 2. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_{10}1{,}5=\log_{10}3-\log_{10}2\approx0{,}1761\). 3. Wegen \(5=\frac{10}{2}\) gilt \(\log_{10}5=1-\log_{10}2\approx0{,}6990\). 4. Wegen \(18=2\cdot3^2\) liefern Produktregel und Potenzregel \(\log_{10}18=\log_{10}2+2\log_{10}3\approx1{,}2552\).

1) \(\log_{10}6\approx0{,}7781\) 2) \(\log_{10}1{,}5\approx0{,}1761\) 3) \(\log_{10}5\approx0{,}6990\) 4) \(\log_{10}18\approx1{,}2552\)

- Zerlege zunächst Produkt und Quotient mit Produktregel beziehungsweise Quotientenregel. - Wie kannst du Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen schreiben? - Welchen Wert hat \(\log_b b\)? - Prüfe anschließend, welche Terme mit \(\log_bx\) sich aufheben.

1. Mit Produktregel und Potenzregel gilt \(\log_b(b\sqrt x)=\log_b b+\frac{1}{2}\log_bx=1+\frac{1}{2}\log_bx\). 2. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_b\left(\frac{b^2}{x}\right)=2-\log_bx\). 3. Da \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), liefert die Potenzregel \(-\frac{1}{2}\log_b(x^{-1})=\frac{1}{2}\log_bx\). 4. Insgesamt ergibt sich \(A=1+\frac{1}{2}\log_bx+2-\log_bx+\frac{1}{2}\log_bx=3\).

\(A=3\)

- Prüfe die angegebenen Logarithmen zunächst über die zugehörigen Potenzgleichungen. - Beim Gegenbeispiel genügt es zu prüfen, ob \(6^1=9\) gilt. - Vergleiche „Basis verdoppeln“ mit „Basis quadrieren“ mithilfe der Basiswechselformel.

1. Es gilt \(\log_2 16=4\) und \(\log_4 16=2\). In diesem Beispiel halbiert sich der Wert. 2. Als Gegenbeispiel gilt \(\log_3 9=2\). Wäre die Behauptung allgemein richtig, müsste \(\log_6 9=1\) sein. Das ist falsch, denn \(6^1\neq9\). 3. Beim Quadrieren der Basis halbiert sich der Wert stets: \(\log_{b^2}a=\frac{\log_{10}a}{\log_{10}(b^2)}=\frac{\log_{10}a}{2\log_{10}b}=\frac{1}{2}\log_ba\).

Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. Das Quadrieren der Basis halbiert den Logarithmuswert: \(\log_{b^2}a=\frac{1}{2}\log_ba\).

- Wie kannst du Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Was ist \(\log_a(a^r)\) nach der Definition des Logarithmus? - Vereinfache Zähler und Nenner getrennt, bevor du den Bruch berechnest.

1. Im Zähler ist \(a^2\sqrt{a}=a^{\frac{5}{2}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{5}{2}})=\frac{5}{2}\). 2. Im Nenner ist \(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\). Daher gilt \(\log_a(a^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}\). 3. Somit ist \(x=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{15}{4}=3{,}75\).

\(x=3{,}75\)

- Bringe beide Logarithmen mit der Basiswechselformel auf die Basis \(10\). - Runde erst am Ende der jeweiligen Rechnung. - Schätze vorab mit benachbarten Potenzen, in welcher Größenordnung die Werte liegen.

1. \(\log_2 10=\frac{\log_{10}10}{\log_{10}2}\approx3{,}321928\approx3{,}322\). 2. \(\log_3 30=\frac{\log_{10}30}{\log_{10}3}\approx3{,}095903\approx3{,}096\). 3. Da \(3{,}322>3{,}096\), ist \(\log_2 10\) größer.

\(\log_2 10\approx3{,}322\) und \(\log_3 30\approx3{,}096\); daher ist \(\log_2 10\) größer.

- Welche Regel trennt den Quotienten im Argument? - Wie kannst du Produkt, Quadrat und Wurzel anschließend mit Produktregel und Potenzregel behandeln? - Welchen Wert hat \(\log_a a\)? - Ersetze erst am Ende die beiden verbleibenden Logarithmen durch \(x\) und \(y\).

1. Mit der Quotientenregel gilt \(L=\log_a(u^2\sqrt v)-\log_a a\). 2. Produktregel und Potenzregel liefern \(L=2\log_a u+\frac{1}{2}\log_a v-1\). 3. Mit \(x=\log_a u\) und \(y=\log_a v\) folgt \(L=2x+0{,}5y-1\).

\(L=2x+0{,}5y-1\)

- Wie lässt sich \(1{,}5\) als Quotient aus \(3\) und \(2\) schreiben? - Welche Regel gilt für den Logarithmus eines Quotienten? - Wann wird eine Differenz am kleinsten beziehungsweise am größten, wenn beide Terme nur innerhalb eines Intervalls bekannt sind?

1. Wegen \(1{,}5=\frac{3}{2}\) gilt mit der Quotientenregel \(\log_{10}1{,}5=\log_{10}3-\log_{10}2\). 2. Die kleinste mögliche Differenz erhält man aus \(0{,}4771-0{,}3011=0{,}1760\). 3. Die größte mögliche Differenz erhält man aus \(0{,}4772-0{,}3010=0{,}1762\). 4. Somit gilt \(0{,}1760<\log_{10}1{,}5<0{,}1762\).

\(0{,}1760<\log_{10}1{,}5<0{,}1762\)

- Welche Regel fasst eine Summe von Logarithmen zusammen? - Welche Regel fasst eine Differenz von Logarithmen zusammen? - Eine Summe innerhalb eines einzelnen Arguments darf nicht mit der Produktregel zerlegt werden.

1. Produktregel und Quotientenregel liefern \(\log_ya+\log_yb-\log_yc=\log_y\left(\frac{ab}{c}\right)\). 2. Zunächst ist \(\log_y15-\log_y3=\log_y5\). Danach folgt \(\log_y5-\log_yz=\log_y\left(\frac{5}{z}\right)\). 3. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_y(x+1)-\log_yx=\log_y\left(\frac{x+1}{x}\right)\).

a) \(\log_y\left(\frac{ab}{c}\right)\) b) \(\log_y\left(\frac{5}{z}\right)\) c) \(\log_y\left(\frac{x+1}{x}\right)\)

- Wie kannst du die Faktoren vor den Logarithmen mit der Potenzregel in die Argumente übernehmen? - Welche Potenz der Basis \(a\) hat den Logarithmuswert \(3\)? - Fasse zuerst die positiven Terme mit der Produktregel und danach den subtrahierten Term mit der Quotientenregel zusammen.

1. Mit der Potenzregel gilt \(\frac{1}{2}\log_a(x^2+y^2)=\log_a\sqrt{x^2+y^2}\) und \(2\log_ax=\log_a(x^2)\). 2. Wegen \(3=\log_a(a^3)\) und mit Produktregel sowie Quotientenregel ergibt sich \(\log_a\left(\frac{x^2\sqrt{x^2+y^2}}{a^3}\right)\).

\(\log_a\left(\frac{x^2\sqrt{x^2+y^2}}{a^3}\right)\)

- Schreibe beide Logarithmen in a) mit derselben Hilfsbasis \(10\). - Welcher Faktor kürzt sich danach? - Übertrage die erhaltene Identität auf das Produkt in b).

1. Mit der Basiswechselformel ist \(\log_ab\cdot\log_bc=\frac{\log_{10}b}{\log_{10}a}\cdot\frac{\log_{10}c}{\log_{10}b}\). 2. Kürzen von \(\log_{10}b\) ergibt \(\frac{\log_{10}c}{\log_{10}a}=\log_ac\). 3. Damit ist \(\log_3 5\cdot\log_5 9=\log_3 9=2\).

a) \(\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac\) b) \(2\)

- Welche allgemeine Basiswechselformel gilt für eine beliebige zulässige Hilfsbasis? - Setze für die Hilfsbasis \(e\) ein. - Warum darf die Hilfsbasis beim Basiswechsel frei gewählt werden?

1. Die Basiswechselformel mit der Hilfsbasis \(e\) liefert \(\log_3x=\frac{\ln x}{\ln3}\). 2. Damit ist \(\log_3 10=\frac{\ln10}{\ln3}\approx2{,}0959\). 3. Außerdem ist \(\log_3 81=\frac{\ln81}{\ln3}=4\), weil \(81=3^4\). 4. Die Basiswechselformel liefert unabhängig von der gewählten zulässigen Hilfsbasis denselben Logarithmuswert. Daher sind \(\frac{\ln10}{\ln3}\) und \(\frac{\log_{10}10}{\log_{10}3}\) gleich.

a) \(\log_3x=\frac{\ln x}{\ln3}\) b) \(\log_3 10\approx2{,}0959\); \(\log_3 81=4\) c) Beide Quotienten sind Darstellungen desselben Logarithmuswerts \(\log_3 10\) nach der Basiswechselformel.

- Schreibe benachbarte Faktoren mit der Basiswechselformel zur Basis \(10\). - Welche Faktoren kürzen sich dabei? - Welche Dreierpotenz ist \(81\)?

1. Mit der Basiswechselformel gilt \(\log_3 10\cdot\log_{10}12=\frac{\log_{10}10}{\log_{10}3}\cdot\frac{\log_{10}12}{\log_{10}10}=\log_3 12\). 2. Erneut mit der Basiswechselformel folgt \(\log_3 12\cdot\log_{12}81=\log_3 81\). 3. Da \(3^4=81\), ist der Wert \(4\).

\(4\)

- Bringe die ersten beiden Logarithmen mit der Basiswechselformel auf die Basis \(10\). - Vergleiche die drei gerundeten Werte erst nach vollständiger Berechnung. - Überlege zusätzlich, warum bei gleichem Argument eine größere Basis einen kleineren Exponenten benötigen kann.

1. \(\log_2 20=\frac{\log_{10}20}{\log_{10}2}\approx4{,}32\). 2. \(\log_5 20=\frac{\log_{10}20}{\log_{10}5}\approx1{,}86\). 3. \(\log_{10}20\approx1{,}30\). 4. Wegen \(4{,}32>1{,}86>1{,}30\) bestätigt sich die Vermutung für diese drei Basen bei festem Argument \(20\).

\(\log_2 20\approx4{,}32\), \(\log_5 20\approx1{,}86\), \(\log_{10}20\approx1{,}30\). Für diese Werte wird der Logarithmuswert bei größerer Basis kleiner.

- Übernimm zuerst die Faktoren vor den Logarithmen mit der Potenzregel in die Argumente. - Fasse die entstehenden Logarithmen mit Produktregel und Quotientenregel zusammen. - Vereinfache den resultierenden Bruch erst am Ende.

1. Mit der Potenzregel wird der erste Ausdruck zu \(\log_b(10p)-\log_b(2p)\). Die Quotientenregel liefert \(\log_b\left(\frac{10p}{2p}\right)=\log_b5\). 2. Mit der Potenzregel wird der zweite Ausdruck zu \(\log_x(16a^2)+\log_x(b^3)-\log_x(8a^2b^3)\). Produktregel und Quotientenregel ergeben \(\log_x\left(\frac{16a^2b^3}{8a^2b^3}\right)=\log_x2\).

a) \(\log_b5\) b) \(\log_x2\)

- Beginne jeweils mit der äußersten Rechenoperation im Argument. - Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Eine Summe wie \(x+y\) darf nicht mit einer Logarithmusregel zerlegt werden.

1. \(\log_a(x^3y^5)=3\log_ax+5\log_ay\). 2. \(\log_a\left(\frac{b^2}{\sqrt c}\right)=2\log_ab-\frac{1}{2}\log_ac\). 3. \(\log_a\sqrt[4]{\frac{u^3}{v}}=\frac{1}{4}(3\log_au-\log_av)=\frac{3}{4}\log_au-\frac{1}{4}\log_av\). 4. \(\log_a\left(\frac{1}{z^2(x+y)}\right)=-2\log_az-\log_a(x+y)\). Die Summe \(x+y\) bleibt als ein Argument erhalten.

a) \(3\log_ax+5\log_ay\) b) \(2\log_ab-\frac{1}{2}\log_ac\) c) \(\frac{3}{4}\log_au-\frac{1}{4}\log_av\) d) \(-2\log_az-\log_a(x+y)\)

- Übernimm Faktoren vor den Logarithmen zuerst mit der Potenzregel in die Argumente. - Welche Regel fasst eine Summe, welche eine Differenz zusammen? - Welche bekannte Faktorisierung steckt in \((u+v)(u-v)\)?

1. Mit Potenzregel und Produktregel gilt \(4\log_kx+3\log_ky=\log_k(x^4y^3)\). 2. Mit Potenzregel und Quotientenregel gilt \(\frac{1}{3}\log_ka-2\log_kb=\log_k\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\right)\). 3. Mit der Produktregel wird \(\log_k(u+v)+\log_k(u-v)=\log_k((u+v)(u-v))=\log_k(u^2-v^2)\). 4. Zunächst ist \(\log_kr-2\log_ks=\log_k\left(\frac{r}{s^2}\right)\). Die Potenzregel für den äußeren Faktor \(3\) ergibt \(\log_k\left(\frac{r^3}{s^6}\right)\).

a) \(\log_k(x^4y^3)\) b) \(\log_k\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{b^2}\right)\) c) \(\log_k(u^2-v^2)\) d) \(\log_k\left(\frac{r^3}{s^6}\right)\)

- Welche Quotientenform entsteht aus der Differenz der beiden Logarithmen im ersten Ausdruck? - Lässt sich \(x^2-9\) faktorisieren? - Zerlege im zweiten Ausdruck den letzten Logarithmus und fasse gleichartige Terme zusammen.

1. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_a\left(\frac{x^2-9}{x+3}\right)\). Wegen \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x>3\) bleibt \(\log_a(x-3)\). 2. Der letzte Logarithmus zerfällt zu \(3\log_aq-\log_ap\). Damit heben sich die Terme mit \(q\) auf und es bleibt \(\log_ap\).

a) \(\log_a(x-3)\) b) \(\log_ap\)

- Schreibe \(2\), \(4\) und \(8\) als Potenzen von \(2\) und von \(0{,}5\). - Welche Zweierpotenz ist \(0{,}5\)? - Setze diese Beziehung in die Basiswechselformel ein.

1. Es ist \(f(2)=1\), \(f(4)=2\) und \(f(8)=3\). Wegen \(0{,}5^{-1}=2\), \(0{,}5^{-2}=4\) und \(0{,}5^{-3}=8\) gilt \(g(2)=-1\), \(g(4)=-2\) und \(g(8)=-3\). Die Werte sind jeweils Gegenzahlen. 2. Mit der Basiswechselformel ist \(g(x)=\frac{\log_2x}{\log_2 0{,}5}\). Da \(0{,}5=2^{-1}\), ist \(\log_2 0{,}5=-1\). Somit gilt \(g(x)=-\log_2x=-f(x)\).

a) \(f(2)=1\), \(f(4)=2\), \(f(8)=3\); \(g(2)=-1\), \(g(4)=-2\), \(g(8)=-3\). Die Werte sind jeweils Gegenzahlen. b) Für alle \(x>0\) gilt \(g(x)=-f(x)\).

- Bestimme für jeden Teil zuerst die Bedingungen an die Argumente. - Welche Regel passt jeweils zu Summe, Faktor vor dem Logarithmus oder Differenz? - Prüfe Lösungen quadratischer Gleichungen anschließend gegen den ursprünglichen Definitionsbereich.

1. Für die erste Gleichung gilt \(x>3\). Mit der Produktregel folgt \(\log_2((x+3)(x-3))=4\), also \(x^2-9=16\). Aus \(x=\pm5\) ist nur \(x=5\) zulässig. 2. Für die zweite Gleichung gilt \(x>0\). Mit der Potenzregel wird \(\log_{10}(x^2)=\log_{10}(x+20)\). Daher ist \(x^2=x+20\), also \(x=5\) oder \(x=-4\). Zulässig ist nur \(x=5\). 3. Für die dritte Gleichung gilt \(x>1\). Mit der Quotientenregel folgt \(\log_4\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=1\). Daher ist \(\frac{x+2}{x-1}=4\), also \(x=2\), und dieser Wert ist zulässig.

a) \(L=\{5\}\) b) \(L=\{5\}\) c) \(L=\{2\}\)

- Welche Potenzgleichung gehört jeweils zur gegebenen Logarithmusgleichung? - Welche Lösungen entstehen bei der quadratischen Gleichung in b)? - Prüfe am Ende, ob die gefundenen Werte positive Logarithmusargumente ergeben.

1. Aus \(\log_3(4x-5)=2\) folgt \(4x-5=3^2=9\). Damit ist \(x=3{,}5\); das Argument ist dann positiv. 2. Aus \(\log_{10}(x^2+19)=2\) folgt \(x^2+19=100\), also \(x^2=81\). Damit sind \(x=9\) und \(x=-9\) möglich; für beide ist das Argument positiv.

a) \(L=\{3{,}5\}\) b) \(L=\{-9;9\}\)

- Welche Bedingungen ergeben sich aus den Argumenten? - Welche Regel fasst die Differenz auf der linken Seite zusammen? - Was folgt, wenn zwei Logarithmen derselben Basis gleich sind?

1. Die Argumente müssen positiv sein. Aus \(x+4>0\) und \(x-1>0\) folgt \(x>1\). 2. Mit der Quotientenregel wird die linke Seite zu \(\log_5\left(\frac{x+4}{2}\right)\). 3. Da auf beiden Seiten Logarithmen derselben Basis stehen, gilt \(\frac{x+4}{2}=x-1\). Daraus folgt \(x=6\). 4. Wegen \(6>1\) ist der Wert zulässig. Somit ist \(L=\{6\}\).

\(L=\{6\}\)

- Welche Zehnerpotenzen stehen hinter den drei Zahlen in a)? - Wie übersetzt du einen negativen Logarithmuswert in eine Zehnerpotenz? - Welche Regel zerlegt \(\log_{10}(10x)\)?

1. Wegen \(10^1=10\), \(10^2=100\) und \(10^6=1\,000\,000\) gilt \(\log_{10}10=1\), \(\log_{10}100=2\) und \(\log_{10}1\,000\,000=6\). 2. Aus \(\log_{10}x=-4\) folgt \(x=10^{-4}=0{,}0001\). 3. Mit der Produktregel gilt für \(x>0\): \(\log_{10}(10x)=\log_{10}10+\log_{10}x=1+\log_{10}x\). Eine Verzehnfachung erhöht den Wert daher um \(1\).

a) \(1\), \(2\), \(6\) b) \(x=0{,}0001\) c) \(\log_{10}(10x)=1+\log_{10}x\); der Logarithmuswert steigt um \(1\).

- Welches Logarithmengesetz hilft dir, ein Produkt im Logarithmus aufzuteilen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) immer wieder verdoppelst? Gibt es eine Obergrenze? - Wie lautet die Umkehrfunktion zum Logarithmus zur Basis 2 (\(\log_2\))?

1. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(g(2x) = \log_2(2x) = \log_2(2) + \log_2(x) = 1 + \log_2(x)\). Damit ist die Eigenschaft gezeigt. 2. Da man den Funktionswert durch wiederholtes Verdoppeln von \(x\) immer wieder um \(1\) steigern kann, lassen sich beliebig große Funktionswerte erreichen, wenn \(x\) groß genug gewählt wird. Die Funktion wächst also unbegrenzt. 3. Die Gleichung \(\log_2(x) = 20\) wird durch \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\) gelöst. 4. Die Gleichung \(\log_2(x) = 30\) wird durch \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\) gelöst.

a) Nachweis über \(\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)\). b) Durch sukzessive Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert schrittweise um \(1\) und überschreitet jede Schranke. c) Für \(g(x) = 20\) ist \(x = 2^{20} = 1\,048\,576\); für \(g(x) = 30\) ist \(x = 2^{30} = 1\,073\,741\,824\).

- Gib \(\log_b(u)\) zunächst einen eigenen Variablennamen. - Übersetze diese Logarithmusgleichung mithilfe der Definition in eine Potenzgleichung. - Welche Potenzregel verwendest du für \((b^r)^z\)?

1. Setze \(r=\log_b(u)\). Dann gilt nach der Definition \(u=b^r\). 2. Potenzieren mit \(z\) ergibt \(u^z=(b^r)^z=b^{rz}\). 3. Nach der Logarithmusdefinition folgt daraus \(\log_b(u^z)=rz\). 4. Mit \(r=\log_b(u)\) erhält man \(\log_b(u^z)=z\log_b(u)\).

Aus \(u=b^r\) mit \(r=\log_b(u)\) folgt \(u^z=b^{rz}\). Daher ist \(\log_b(u^z)=rz=z\log_b(u)\).

- Für welche Werte sind beide Argumente positiv? - Welche Regel fasst die Summe der Logarithmen zusammen? - Prüfe die Lösungen der entstehenden quadratischen Gleichung anschließend gegen den Definitionsbereich.

1. Beide Argumente sind nur für \(x>2\) positiv. 2. Mit der Produktregel folgt \(\log_2(x(x-2))=3\). 3. Daher gilt \(x(x-2)=2^3=8\), also \(x^2-2x-8=0\). 4. Die Lösungen sind \(x=4\) und \(x=-2\). Wegen \(x>2\) bleibt nur \(x=4\).

\(L=\{4\}\)

- Multipliziere zuerst die Faktoren vor den Klammern hinein und achte auf die Vorzeichen. - Wie kannst du die entstehenden Faktoren vor den Logarithmen mit der Potenzregel in die Argumente übernehmen? - Fasse anschließend die positiven und negativen Logarithmen mit Produktregel und Quotientenregel zusammen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(\log_{10}x=\frac{2}{3}\log_{10}(a+b)-\frac{1}{3}\log_{10}a-\frac{1}{4}\log_{10}b+\frac{1}{2}\log_{10}(a-b)\). 2. Mit der Potenzregel folgt \(\log_{10}x=\log_{10}\left((a+b)^{\frac{2}{3}}\right)-\log_{10}\left(a^{\frac{1}{3}}\right)-\log_{10}\left(b^{\frac{1}{4}}\right)+\log_{10}\left((a-b)^{\frac{1}{2}}\right)\). 3. Produktregel und Quotientenregel liefern \(\log_{10}x=\log_{10}\left(\frac{(a+b)^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{4}}}\right)\). 4. Daher ist \(x=\frac{\sqrt[3]{(a+b)^2}\sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{b}}\).

\(x=\frac{\sqrt[3]{(a+b)^2}\sqrt{a-b}}{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{b}}\)

- Welche Primfaktoren können mit den gegebenen Logarithmuswerten erfasst werden? - Wie kannst du \(\log_{10}5\) aus \(\log_{10}10\) und \(\log_{10}2\) bestimmen? - Prüfe anschließend die Primfaktorzerlegungen der Zahlen bis \(20\).

1. Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel ist \(14=2\cdot7\), aber \(\log_{10}7\) lässt sich aus den gegebenen Werten nicht bestimmen. 2. Aus \(\log_{10}10=\log_{10}2+\log_{10}5=1\) ist auch \(\log_{10}5\) bestimmbar. Damit sind genau die Zahlen bis \(20\) zugänglich, deren Primfaktorzerlegung nur \(2\), \(3\) und \(5\) enthält: \(1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20\). 3. Es fehlen die Primzahlen \(7\), \(11\), \(13\), \(17\) und \(19\).

1. Die Aussage ist falsch; beispielsweise benötigt \(\log_{10}14\) auch \(\log_{10}7\). 2. \(1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20\) 3. \(7,11,13,17,19\)

- Welche binomische Formel passt zu \(u^2-v^2\)? - Wie zerlegst du den Quotienten und die Wurzel mit Quotientenregel und Potenzregel? - Welche gleichartigen Logarithmen entstehen nach Anwendung der Produktregel?

1. Mit der Quotientenregel und der Potenzregel gilt \(2\log_k(u-v)-\frac{1}{2}\log_k(u^2-v^2)\). 2. Wegen \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\) liefert die Produktregel \(2\log_k(u-v)-\frac{1}{2}(\log_k(u-v)+\log_k(u+v))\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{3}{2}\log_k(u-v)-\frac{1}{2}\log_k(u+v)\).

\(\frac{3}{2}\log_k(u-v)-\frac{1}{2}\log_k(u+v)\)

- Setze die Koordinaten des Punktes \( S \) einfach in die allgemeine Funktionsgleichung ein. - Erinnere dich daran, welche Hochzahl man benötigt, um die Basis auf den Wert im Logarithmus zu bringen. - Nutze die Umrechnungsformel, um eine der beiden Funktionen auf die Basis der anderen umzuschreiben.

1. Für \( x = 1 \) gilt \( y = a \cdot \log_b(1) \). Da \( \log_b(1) = 0 \) für alle zulässigen \( b \) ist, folgt \( y = a \cdot 0 = 0 \). Somit liegt \( S(1 \mid 0) \) auf jedem Graphen. 2. Prüfung für \( a=2, b=3 \): \( 2 \cdot \log_3(9) = 2 \cdot 2 = 4 \). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Prüfung für \( a=4, b=9 \): \( 4 \cdot \log_9(9) = 4 \cdot 1 = 4 \). Die Bedingung ist ebenfalls erfüllt. 4. Umformung von \( y = 4 \cdot \log_9(x) \) mit der Basis \( k = 3 \): \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} \). 5. Da \( \log_3(9) = 2 \) ist, ergibt sich \( y = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \). Die Graphen und Funktionen sind also identisch.

a) Da \( \log_b(1) = 0 \), ist \( y = a \cdot 0 = 0 \). b) Beides führt auf \( y = 4 \). c) Es handelt sich um dieselbe Funktion, da \( 4 \cdot \log_9(x) = 4 \cdot \frac{\log_3(x)}{2} = 2 \cdot \log_3(x) \).

- Bringe zuerst alle Logarithmen auf dieselbe Basis. - Welche Werte haben \(\log_2 4\) und \(\log_2\sqrt2\)? - Welche Regel fasst anschließend die Summe der beiden Logarithmen zusammen? - Was folgt aus der Gleichheit zweier Logarithmen derselben Basis?

1. Durch Basiswechsel auf die Basis \(2\) gilt \(\log_4 9=\frac{\log_2 9}{\log_2 4}=\log_2 3\). 2. Ebenso ist \(\log_{\sqrt2}6=\frac{\log_2 6}{\log_2\sqrt2}=2\log_2 6=\log_2 36\). 3. Damit lautet die Gleichung \(\log_2x+\log_2 3=\log_2 36\). Die Produktregel ergibt \(\log_2(3x)=\log_2 36\). 4. Da die Logarithmen dieselbe Basis haben, gilt \(3x=36\), also \(x=12\).

\(x=12\)