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- Kannst du die Zahlen auf beiden Seiten als Potenzen mit derselben Basis schreiben? - Versuche zuerst, den Term mit der Unbekannten im Exponenten zu isolieren. - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, müssen auch die Exponenten übereinstimmen. - Überlege, welche Hochzahl nötig ist, um von der Basis zum Ergebnis zu kommen.

1. Teilaufgabe a): Da \(125 = 5^3\), lässt sich die Gleichung als \(5^{x-3} = 5^3\) schreiben. Durch Exponentenvergleich ergibt sich \(x-3 = 3\), woraus \(x = 6\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird die Gleichung zu \(4 \cdot 10^x = 40\,000\) umgeformt. Division durch 4 führt zu \(10^x = 10\,000\). Da \(10\,000 = 10^4\), folgt \(x = 4\). 3. Teilaufgabe c): Da \(128 = 2^7\), gilt \(2^{3x+1} = 2^7\). Der Vergleich der Exponenten liefert \(3x+1 = 7\). Subtraktion von 1 ergibt \(3x = 6\), also \(x = 2\).

a) \(x = 6\) b) \(x = 4\) c) \(x = 2\)

- Überlege bei Exponentialgleichungen, ob du beide Seiten auf dieselbe Basis bringen kannst. - Denke bei Brüchen an Potenzen mit negativen Exponenten. - Isoliere den Ausdruck mit der Unbekannten zuerst, bevor du rechnest.

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von 50 ergibt \(2 \cdot 10^x = 200\). Division durch 2 führt zu \(10^x = 100\). Da \(10^2 = 100\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = 2\). 2. Teilaufgabe b): Da \(49 = 7^2\), kann die rechte Seite als \(7^{-2}\) geschrieben werden. Die Gleichung lautet \(7^{x - 2} = 7^{-2}\). Der Exponentenvergleich ergibt \(x - 2 = -2\), woraus \(x = 0\) folgt.

a) \(x = 2\) b) \(x = 0\)

- Versuche, alle Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) zu schreiben. - Welche Zahl bietet sich als gemeinsame Basis für 5, 25 und 125 an? - Nutze die Potenzgesetze, um die Terme auf beiden Seiten zu vereinfachen, bis dort jeweils nur noch eine Potenz steht. - Wenn die Basen links und rechts gleich sind, kannst du einfach die Ausdrücke in den Exponenten gleichsetzen.

1. Transformation auf die gemeinsame Basis \(5\): Es gilt \(25 = 5^2\) und \(125 = 5^3\). Die Gleichung lautet damit \((5^2)^{x+1} = 5^1 \cdot (5^3)^x\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) und \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)): Auf der linken Seite ergibt sich \(5^{2(x+1)} = 5^{2x+2}\) und auf der rechten Seite \(5^1 \cdot 5^{3x} = 5^{3x+1}\). 3. Exponentenvergleich: Da die Basen gleich sind, müssen die Exponenten übereinstimmen: \(2x + 2 = 3x + 1\). 4. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(2x\) und \(1\) auf beiden Seiten führt zu \(x = 1\).

\(x = 1\)

- Überlege dir, wie man den neuen Funktionswert \(f(x+5)\) mithilfe von Potenzgesetzen umschreiben kann. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „um den Faktor \(n\) größer“ wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen wie \(\frac{1}{9}\) und Potenzen mit negativen Exponenten. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Basis auf beiden Seiten gleich ist?

1. Für die Erhöhung um 5 betrachtet man das Verhältnis \(\frac{f(x+5)}{f(x)} = \frac{3^{x+5}}{3^x}\). 2. Durch Anwendung der Potenzgesetze ergibt sich \(3^{x+5-x} = 3^5\). 3. Die Berechnung von \(3^5\) ergibt \(243\). Der Funktionswert vergrößert sich also um den Faktor 243. 4. Für die Verringerung auf ein Neuntel setzt man den Ansatz \(\frac{f(x-k)}{f(x)} = \frac{1}{9}\) an. 5. Dies führt auf die Gleichung \(3^{-k} = 3^{-2}\), woraus direkt \(k = 2\) folgt. Das Argument \(x\) muss also um 2 verringert werden.

a) Der Funktionswert vergrößert sich um den Faktor 243. b) Das Argument \(x\) muss um 2 verringert werden.

- Versuche zuerst, den Term mit der Basis \(0{,}5\) zu isolieren. - Wenn du \(0{,}5^y = 0{,}25\) hast, welchen Wert muss \(y\) dann haben? - Achte darauf, dass im Exponenten nicht nur \(x\), sondern ein ganzer Ausdruck steht. Wie gehst du im letzten Schritt damit um?

1. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(12 \cdot 0{,}5^{x-2} = 3\) 2. Division durch \(12\): \(0{,}5^{x-2} = 0{,}25\) 3. Logarithmieren beider Seiten: \(\log_{0{,}5}(0{,}5^{x-2}) = \log_{0{,}5}(0{,}25)\) 4. Bestimmung des Exponenten: \(x - 2 = 2\) (da \(0{,}5^2 = 0{,}25\)) 5. Auflösen nach \(x\) durch Addition von \(2\): \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle, an der sich zwei Graphen schneiden? - Kannst du beide Seiten der Gleichung so umformen, dass sie dieselbe Basis haben? - Welche Rechenregeln für Potenzen helfen dir, die Terme zusammenzufassen? - Wie kannst du den fehlenden \(y\)-Wert bestimmen, wenn du \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(2 \cdot 9^x = 54 \cdot 3^x\) 2. Division durch \(2\): \(9^x = 27 \cdot 3^x\) 3. Ausdrücken aller Terme zur Basis \(3\): \((3^2)^x = 3^3 \cdot 3^x\) 4. Anwendung der Potenzgesetze: \(3^{2x} = 3^{x+3}\) 5. Exponentenvergleich (Logarithmieren zur Basis 3): \(2x = x + 3\) 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x = 3\) 7. Berechnung des \(y\)-Werts durch Einsetzen: \(f(3) = 2 \cdot 9^3 = 2 \cdot 729 = 1458\) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(3 | 1458)\).

\(S(3 | 1458)\)

- Kannst du die Zahlen als Potenzen mit einer gemeinsamen Basis schreiben? - Welche Rolle spielen negative Exponenten bei Brüchen oder Dezimalzahlen? - Wenn die Basen auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind, was muss dann für die Exponenten gelten? - Kannst du die linke Seite mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen?

1. Teilaufgabe a): Umformung der rechten Seite zur Basis 3 ergibt \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\). Durch Exponentenvergleich folgt \(2x+5 = -3\). Subtraktion von 5 führt zu \(2x = -8\), Division durch 2 ergibt \(x = -4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4\}\). 2. Teilaufgabe b): Umformung beider Seiten zur Basis 2 ergibt \((2^2)^{x-1} = 2^{2x-2}\) und \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\). Der Exponentenvergleich liefert \(2x-2 = -3\). Addition von 2 ergibt \(2x = -1\), woraus \(x = -0{,}5\) folgt. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\).

a) \(x = -4\) b) \(x = -0{,}5\)

- Wie bekommt man eine Unbekannte aus dem Exponenten "nach unten"? - Welcher Logarithmus bietet sich an, wenn die Basis der Potenz 2 ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Logarithmen von Brüchen.

1. Anwendung des Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten der Gleichung: \(\log_2(2^{6x}) = \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 2. Vereinfachung der linken Seite: \(6x = \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 3. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{1}{6} \log_2\left(\frac{1}{3}\right)\) 4. Anwendung der Logarithmusregel \(\log_a\left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a(b)\): \(x = \frac{1}{6} (-\log_2(3)) = -\frac{1}{6} \log_2 3\)

d) \(x = -\frac{1}{6} \cdot \log_2 3\)

- Kannst du eine der Basen so umschreiben, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht? - Was passiert, wenn du die Gleichung schrittweise wie eine normale lineare Gleichung umformst, um die Potenz zu isolieren? - Erinnere dich an die Potenzgesetze, besonders für den Fall „Potenz einer Potenz“. - Manchmal hilft es, erst alle Faktoren vor der Potenz zu beseitigen.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation beider Seiten mit 2 ergibt \(3^{x+1} = 27\). Da \(27 = 3^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(x+1 = 3\), also \(x = 2\). 2. Teilaufgabe b): Die Basis 9 wird als \(3^2\) geschrieben, sodass die Gleichung \((3^2)^{x-1} = 3^{x+2}\) lautet. Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(3^{2x-2} = 3^{x+2}\). Der Vergleich der Exponenten führt zu \(2x - 2 = x + 2\), woraus durch Umformen \(x = 4\) resultiert. 3. Teilaufgabe c): Die Gleichung wird durch Addition von 15 zu \(10 \cdot 2^x = 20\) umgeformt. Division durch 10 ergibt \(2^x = 2\). Da \(2 = 2^1\), folgt \(x = 1\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 4\) c) \(x = 1\)

- Kannst du eine Zahl wie 32 als Potenz einer kleineren Primzahl schreiben? - Was weißt du über den Exponenten, wenn das Ergebnis einer Potenz 1 ist? - Versuche, die Gleichung so umzuformen, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht. - Verwende Potenzgesetze wie \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\), um Ausdrücke zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Division durch 4 ergibt \(5^{x - 1} = 125\). Da \(125 = 5^3\), folgt durch Exponentenvergleich \(x - 1 = 3\). Addition von 1 ergibt \(x = 4\). 2. Teilaufgabe b): Beide Seiten lassen sich als Potenzen zur Basis 2 ausdrücken: \((2^2)^{x + 1} = 2^5\). Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(2^{2x + 2} = 2^5\). Der Exponentenvergleich führt zu \(2x + 2 = 5\), also \(2x = 3\) und somit \(x = 1{,}5\). 3. Teilaufgabe c): Da die Basis \(6\) positiv und ungleich \(1\) ist, gilt \(6^y = 1\) genau für \(y = 0\). Somit muss der Exponent \(2x = 0\) sein. Daraus folgt \(x = 0\).

a) \(x = 4\) b) \(x = 1{,}5\) c) \(x = 0\)

- Versuche, beide Seiten der Gleichung als Potenz mit derselben Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen als Brüche darstellt, die Potenzen von 2, 5 oder 10 sind. - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, kannst du die Exponenten direkt miteinander vergleichen. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden?

1. Gleichung \(10^x = 0{,}01\): Da \(0{,}01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = -2\). 2. Gleichung \(\left(\frac{2}{5}\right)^x = 6{,}25\): Da \(6{,}25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Gleichung \(0{,}5^x = 32\): Da \(0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\) und \(32 = 2^5\), lautet die Gleichung \((2^{-1})^x = 2^5\), also \(2^{-x} = 2^5\). Somit ist \(x = -5\). 4. Gleichung \(27 \cdot 3^x = \frac{1}{3}\): Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), gilt \(3^3 \cdot 3^x = 3^{-1}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(3^{3+x} = 3^{-1}\). Daraus ergibt sich \(3+x = -1\), also \(x = -4\).

a) \(x = -2\) b) \(x = -2\) c) \(x = -5\) d) \(x = -4\)

- Kannst du eine der Potenzen so umschreiben, dass sie die gleiche Basis wie die andere hat? - Fällt dir eine Struktur auf, die an eine quadratische Gleichung erinnert? - Versuche, einen Teil des Ausdrucks durch eine neue Variable zu ersetzen. - Vergiss am Ende nicht, den Wert der neuen Variable wieder auf die ursprüngliche Unbekannte zurückzuführen.

1. Umschreiben des ersten Terms unter Verwendung der Potenzgesetze: \(4^{x+1} = 4^1 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2\). 2. Einsetzen in die Gleichung ergibt eine quadratische Form: \(4 \cdot (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 4 = 0\). 3. Substitution von \(u = 2^x\) führt zur quadratischen Gleichung \(4u^2 - 17u + 4 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung mittels Mitternachtsformel oder p-q-Formel: Die Diskriminante ist \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2\). Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4\) und \(u_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Rücksubstitution für \(u_1\): \(2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2\). 6. Rücksubstitution für \(u_2\): \(2^x = 0{,}25 \implies 2^x = 2^{-2} \implies x_2 = -2\). 7. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2; 2\}\).

\(L = \{-2; 2\}\)

- Kannst du die rechte Seite als Potenz mit der gleichen Basis wie die linke Seite schreiben? - Erinnere dich an die Potenzgesetze für Brüche und negative Exponenten. - Welche Zahl muss im Exponenten stehen, damit eine Zehnerpotenz den Wert \(10\,000\) hat? - Denke bei quadratischen Ausdrücken im Exponenten daran, dass es mehr als eine Lösung geben kann.

1. Für a): Die rechte Seite wird als \(125 = 5^3\) dargestellt. Durch Gleichsetzen der Exponenten ergibt sich \(3x - 2 = 3\). Addition von 2 führt zu \(3x = 5\), woraus \(x = \frac{5}{3}\) folgt. 2. Für b): Die rechte Seite wird als \(\frac{1}{32} = 2^{-5}\) geschrieben. Der Exponentenvergleich liefert \(x + 4 = -5\). Subtraktion von 4 ergibt \(x = -9\). 3. Für c): Da \(10\,000 = 10^4\) ist, lautet die Gleichung der Exponenten \(x^2 - 5 = 4\). Addition von 5 ergibt \(x^2 = 9\). Die Wurzelziehung liefert die beiden Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

a) \(x = \frac{5}{3}\) b) \(x = -9\) c) \(x \in \{-3; 3\}\)

- Wie kannst du eine Gleichung, bei der die Variable im Exponenten steht, nach dieser Variablen auflösen? - Erinnere dich an die Formel, mit der man Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen kann. - Ist das Ergebnis positiv oder negativ? Überlege, was passiert, wenn man eine Zahl kleiner als 1 mit sich selbst multipliziert. - Kannst du das Ergebnis durch Probieren mit dem Taschenrechner grob eingrenzen?

1. Überführung der Exponentialgleichung in die Logarithmusform: \(x = \log_{0{,}8} 0{,}2\). 2. Anwendung der Basiswechselformel zur Vorbereitung der Berechnung: \(x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)}\). 3. Bestimmung der natürlichen Logarithmen: \(\ln(0{,}2) \approx -1{,}609438\) und \(\ln(0{,}8) \approx -0{,}223144\). 4. Division der negativen Werte führt zu einem positiven Ergebnis: \(x \approx 7{,}212567\). 5. Rundung auf drei Nachkommastellen liefert das Endergebnis \(x \approx 7{,}213\).

\(x \approx 7{,}213\)

- Was musst du zuerst tun, um die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite stehen zu haben? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten „nach unten“ zu holen? - Achte darauf, die Rechenschritte nacheinander auszuführen und erst am Ende zu runden.

1. Division der Gleichung durch \(2\), um die Potenz zu isolieren: \(1{,}8^{x+4} = 5{,}5\). 2. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(1{,}8^{x+4}) = \ln(5{,}5)\). 3. Anwendung der Logarithmusregel für Potenzen: \((x+4) \cdot \ln(1{,}8) = \ln(5{,}5)\). 4. Division durch \(\ln(1{,}8)\): \(x + 4 = \frac{\ln(5{,}5)}{\ln(1{,}8)}\). 5. Berechnung des Quotienten: \(\frac{\ln(5{,}5)}{\ln(1{,}8)} \approx 2{,}9014\). 6. Subtraktion von \(4\) zur Bestimmung von \(x\): \(x \approx 2{,}9014 - 4 = -1{,}0986\). 7. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(x \approx -1{,}10\).

\(x \approx -1{,}10\)

- Stelle zuerst eine Gleichung für den Zuwachs \(k\) auf, indem du \(h(x+k) = 100 \cdot h(x)\) setzt. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a^k = b\) nach \(k\) auflösen? - Beachte bei Teil b) die Beziehung zwischen den Basen 6 und 36. Wie lässt sich 36 als Potenz von 6 schreiben? - Nutze die Potenzgesetze für Potenzen von Potenzen, um die neue Gleichung mit der alten zu vergleichen.

1. Ansatz für Teilaufgabe a): \(6^{x+k} = 100 \cdot 6^x\). Durch Division durch \(6^x\) erhält man die Exponentialgleichung \(6^k = 100\). 2. Anwendung des Logarithmus führt zu \(k = \log_6(100) = \frac{\lg(100)}{\lg(6)}\). 3. Numerische Berechnung: \(k \approx \frac{2}{0{,}77815} \approx 2{,}570\). 4. Ansatz für Teilaufgabe b): \(36^k = 100\). Da \(36 = 6^2\), lässt sich die Gleichung als \((6^2)^k = 100\) bzw. \(6^{2k} = 100\) schreiben. 5. Vergleich mit der Gleichung aus a) zeigt: \(2k_{neu} = k_{alt}\). Der benötigte Zuwachs \(k\) halbiert sich somit auf \(k \approx 1{,}285\).

a) Das Argument \(x\) muss um etwa \(2{,}570\) erhöht werden. b) Der Wert halbiert sich auf etwa \(1{,}285\), da \(36^k = (6^2)^k = 6^{2k}\) gilt und somit der Exponent doppelt so schnell wächst.

- Was musst du zuerst tun, um die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite stehen zu haben? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Gibt es ein bestimmtes Rechengesetz für Logarithmen, das hier nützlich ist? - Kannst du das Ergebnis durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüfen?

1. Division beider Seiten durch \(12\): \(1{,}5^x = 5{,}0625\) 2. Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten: \(\log(1{,}5^x) = \log(5{,}0625)\) 3. Anwendung der Logarithmusgesetze: \(x \cdot \log(1{,}5) = \log(5{,}0625)\) 4. Isolieren von \(x\): \(x = \frac{\log(5{,}0625)}{\log(1{,}5)}\) 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Versuche zuerst, den Teil mit der Potenz allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil vom Exponenzieren? - Erinnerst du dich an die Logarithmengesetze, mit denen man Exponenten „nach vorne“ ziehen kann? - Achte darauf, bei Aufgaben mit \(x+1\) oder \(2x\) im Exponenten am Ende noch den letzten Schritt zur Isolation von \(x\) zu gehen.

1. Teilaufgabe a): Division durch \(8\) ergibt \(1{,}4^x = 2{,}5\). Anwendung des Logarithmus liefert \(x \cdot \lg(1{,}4) = \lg(2{,}5)\), woraus \(x = \frac{\lg(2{,}5)}{\lg(1{,}4)} \approx 2{,}72\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Division durch \(2\) ergibt \(3^{x+1} = 7{,}5\). Logarithmieren führt zu \((x+1) \cdot \lg(3) = \lg(7{,}5)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(7{,}5)}{\lg(3)} - 1 \approx 0{,}83\). 3. Teilaufgabe c): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(4^{2x} = 20\). Durch Logarithmieren erhält man \(2x \cdot \lg(4) = \lg(20)\). Isolation von \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(20)}{2 \cdot \lg(4)} \approx 1{,}08\).

a) \(x \approx 2{,}72\) b) \(x \approx 0{,}83\) c) \(x \approx 1{,}08\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz mit der Basis \(2{,}5\) alleine auf einer Seite steht? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu „holen“? - Überlege, wie du den Logarithmus einsetzen kannst, nachdem du die Gleichung vereinfacht hast.

1. Isolation des Exponentialterms durch Addition von \(18{,}5\): \(3 \cdot 2{,}5^x = 46{,}875\) 2. Division beider Seiten durch \(3\): \(2{,}5^x = 15{,}625\) 3. Anwendung des Logarithmus zur Basis \(2{,}5\) oder des dekadischen Logarithmus auf beide Seiten: \(x = \log_{2{,}5}(15{,}625)\) bzw. \(x = \frac{\lg(15{,}625)}{\lg(2{,}5)}\) 4. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 3\)

\(x = 3\)

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen und die Zahlen auf die andere. - Welches Potenzgesetz erlaubt es dir, zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu einer einzigen Potenz zusammenzufassen? - Wenn die Basen unterschiedlich sind und nicht einfach angeglichen werden können, welches mathematische Werkzeug hilft dir dann, den Exponenten zu isolieren? - Denke daran, am Ende sowohl den \(x\)-Wert als auch den zugehörigen \(y\)-Wert anzugeben.

1. Gleichsetzen der Funktionen: \(10 \cdot 1{,}2^x = 25 \cdot 0{,}8^x\) 2. Umstellen der Gleichung nach den Exponentialtermen: \(\frac{1{,}2^x}{0{,}8^x} = \frac{25}{10}\) 3. Zusammenfassen der Potenzen: \((\frac{1{,}2}{0{,}8})^x = 2{,}5\), was vereinfacht \(1{,}5^x = 2{,}5\) ergibt. 4. Anwendung des Logarithmus zur Bestimmung von \(x\): \(x = \frac{\lg(2{,}5)}{\lg(1{,}5)} \approx 2{,}26\) 5. Berechnung des \(y\)-Werts durch Einsetzen in \(f(x)\): \(y = 10 \cdot 1{,}2^{2{,}2618...} \approx 15{,}12\) Der Schnittpunkt ist \(S(2{,}26 | 15{,}12)\).

\(S(2{,}26 | 15{,}12)\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz mit der Unbekannten allein auf einer Seite steht? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Ist es möglich, verschiedene Basen auf eine gemeinsame Basis (wie zum Beispiel \(2\)) zurückzuführen? - Überlege, ob du Potenzgesetze anwenden kannst, um Terme mit gleicher Basis zusammenzufassen.

1. Gleichung a: Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten ergibt \(x \cdot \lg(6) = \lg(45)\). Umformen nach \(x\) führt zu \(x = \frac{\lg(45)}{\lg(6)}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 2{,}12\). 2. Gleichung b: Zuerst Division durch \(2\) ergibt \(5^{x+1} = 35\). Logarithmieren liefert \((x+1) \cdot \lg(5) = \lg(35)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(35)}{\lg(5)} - 1\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}21\). 3. Gleichung c: Umwandlung der Basen auf die Basis \(2\) ergibt \((2^2)^{2x} = 3 \cdot (2^3)^x\), also \(2^{4x} = 3 \cdot 2^{3x}\). Division durch \(2^{3x}\) führt zu \(2^x = 3\). Somit ist \(x = \frac{\lg(3)}{\lg(2)}\). Der Näherungswert ist \(x \approx 1{,}58\).

a) \(x = \frac{\lg(45)}{\lg(6)} \approx 2{,}12\) b) \(x = \frac{\lg(35)}{\lg(5)} - 1 \approx 1{,}21\) c) \(x = \frac{\lg(3)}{\lg(2)} \approx 1{,}58\)

- Welches Potenzgesetz hilft dir, einen Ausdruck der Form \((b^m)^n\) zu vereinfachen? - Erkennst du im Exponenten eine binomische Formel? - Was passiert, wenn nach dem Gleichsetzen der Exponenten eine quadratische Gleichung entsteht? Welche Lösungsverfahren kennst du dafür? - Überlege, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung maximal haben kann.

1. Teilaufgabe a): Da die Basen identisch sind, können die Exponenten gleichgesetzt werden: \(x^2 - 3x = x - 3\). Durch Umformung entsteht die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Potenzgesetze für Potenzen von Potenzen ergibt \(b^{(x+1)(x-1)} = b^3\). Mit der dritten binomischen Formel folgt \(b^{x^2-1} = b^3\). Der Exponentenvergleich führt auf \(x^2 - 1 = 3\), also \(x^2 = 4\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x_1 = 1; x_2 = 3\) b) \(x_1 = 2; x_2 = -2\)

- Wie isoliert man den Exponenten \(x\), wenn die Basis und das Ergebnis der Potenz bekannt sind? - Nutze den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen. - Verwende die Basiswechselformel, um den Logarithmus mit dem Taschenrechner auswertbar zu machen. - Überprüfe dein Ergebnis kurz durch eine Überschlagsrechnung (z. B. \(2^5 = 32\) und \(2^6 = 64\)).

Die Gleichungen der Form \(b^x = a\) werden durch \(x = \log_b a\) gelöst. Die numerische Berechnung erfolgt über \(x = \frac{\lg a}{\lg b}\). 1. Für a): \(x = \log_2 50 = \frac{\lg 50}{\lg 2} \approx \frac{1{,}69897}{0{,}30103} \approx 5{,}64\). 2. Für b): \(x = \log_{1{,}04} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 1{,}04} \approx \frac{0{,}47712}{0{,}01703} \approx 28{,}01\). 3. Für c): \(x = \log_{0{,}9} 0{,}5 = \frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}9} \approx \frac{-0{,}30103}{-0{,}04576} \approx 6{,}58\).

a) \(x \approx 5{,}64\) b) \(x \approx 28{,}01\) c) \(x \approx 6{,}58\)

- Kannst du beide Seiten der Gleichung als Potenzen mit der gleichen Basis schreiben? - Überlege, wie man einen Bruch als Potenz mit negativem Exponenten ausdrücken kann. - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein.

Zunächst werden beide Seiten der Gleichung auf die gemeinsame Basis 3 gebracht. Die linke Seite ergibt nach den Potenzgesetzen \( 3^{x(x+4)} = 3^{x^2+4x} \), während die rechte Seite als \( (3^{-1})^{x+6} = 3^{-x-6} \) geschrieben werden kann. Durch den Exponentenvergleich erhält man die quadratische Gleichung \( x^2 + 4x = -x - 6 \). Diese wird in die Normalform \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) überführt. Durch Anwendung der p-q-Formel oder durch Faktorisierung zu \( (x+2)(x+3) = 0 \) ergeben sich die Lösungen \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = -3 \).

\( L = \{-3; -2\} \)

- Versuche zuerst, den Term mit der Potenz allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“? - Achte darauf, Rechenschritte wie Division oder Subtraktion zuerst auszuführen, bevor du den Logarithmus anwendest. - Wenn im Exponenten ein Produkt oder eine Summe steht, klammere diesen Ausdruck beim Logarithmieren ein.

1. Gleichung a: Division durch \(3\) ergibt \(4^{x-2} = 5\). Logarithmieren führt zu \((x-2) \cdot \ln(4) = \ln(5)\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\ln(5)}{\ln(4)} + 2 \approx 3{,}16\). 2. Gleichung b: Subtraktion von \(5\) ergibt \(2 \cdot 3^x = 16\). Division durch \(2\) liefert \(3^x = 8\). Logarithmieren ergibt \(x \cdot \ln(3) = \ln(8)\), woraus \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \approx 1{,}89\) folgt. 3. Gleichung c: Multiplikation mit \(2\) ergibt \(1{,}2^{2x} = 8\). Logarithmieren führt zu \(2x \cdot \ln(1{,}2) = \ln(8)\). Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\ln(8)}{2 \cdot \ln(1{,}2)} \approx 5{,}70\).

a) \(x \approx 3{,}16\) b) \(x \approx 1{,}89\) c) \(x \approx 5{,}70\)

- Wende den Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an. - Wie kannst du Exponenten vor den Logarithmus ziehen? - Vergiss nicht, beim Auflösen nach \(x\) alle Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen und \(x\) auszuklammern.

1. Logarithmieren beider Seiten der Gleichung führt zu \(\lg(6^{x - 1}) = \lg(5^x)\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen ergibt \((x - 1) \cdot \lg(6) = x \cdot \lg(5)\). 3. Durch Ausmultiplizieren der Klammer erhält man \(x \cdot \lg(6) - \lg(6) = x \cdot \lg(5)\). 4. Ordnen der Terme nach \(x\) führt zu \(x \cdot (\lg(6) - \lg(5)) = \lg(6)\). 5. Auflösen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{\lg(6)}{\lg(6) - \lg(5)} = \frac{\lg(6)}{\lg(1{,}2)}\). 6. Das berechnete Ergebnis ist \(x \approx 9{,}83\).

\(x = \frac{\lg(6)}{\lg(6) - \lg(5)} \approx 9{,}83\)

- Kannst du die Basis 9 durch eine Potenz der Basis 3 ersetzen? - Wie lässt sich \(3^{x+1}\) in ein Produkt zerlegen? - Versuche die Gleichung so umzuformen, dass nur noch eine Potenz mit der Unbekannten \(x\) im Exponenten vorkommt.

1. Anwendung der Potenzgesetze: \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\) und \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x\). 2. Einsetzen in die Gleichung ergibt \(3^{2x} = 2 \cdot 3 \cdot 3^x\), also \(3^{2x} = 6 \cdot 3^x\). 3. Division durch \(3^x\) (da \(3^x > 0\)) vereinfacht die Gleichung zu \(3^x = 6\). 4. Anwendung des Logarithmus zur Basis 3 oder des Zehnerlogarithmus führt zu \(x = \log_3(6) = \frac{\lg(6)}{\lg(3)}\). 5. Der exakte Wert ist \(x = \log_3(6)\), was gerundet \(x \approx 1{,}631\) ergibt.

\(x = \log_3(6) \approx 1{,}631\)

- Versuche, auf jeder Seite der Gleichung einen gemeinsamen Faktor auszuklammern. - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass alle Terme mit \(x\) im Exponenten auf einer Seite stehen? - Gibt es ein Potenzgesetz, das dir hilft, Brüche von Potenzen mit gleicher Basis zusammenzufassen? - Wann haben zwei Potenzen mit unterschiedlichen Basen (wie 3 und 4) denselben Wert?

1. Ausklammern der jeweils kleinsten Potenz auf beiden Seiten der Gleichung: \(4^{x-1} \cdot (2 \cdot 4^1 + 1) = 3^x \cdot (3^1 + 1)\). 2. Berechnen der Klammerwerte: \(4^{x-1} \cdot (8 + 1) = 3^x \cdot 4\), also \(9 \cdot 4^{x-1} = 4 \cdot 3^x\). 3. Umformen der Gleichung durch Division, um die Potenzen zu isolieren: \(\frac{4^{x-1}}{4} = \frac{3^x}{9}\). 4. Vereinfachen unter Anwendung der Potenzgesetze (\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)): \(4^{x-2} = 3^{x-2}\). 5. Division durch \(3^{x-2}\) (da dieser Ausdruck für alle reellen \(x\) positiv ist): \(\frac{4^{x-2}}{3^{x-2}} = 1\), was gleichbedeutend ist mit \((\frac{4}{3})^{x-2} = 1\). 6. Da die Basis \(\frac{4}{3}\) positiv und ungleich \(1\) ist, gilt \(\left(\frac{4}{3}\right)^y = 1\) genau für \(y = 0\). Daher folgt \(x - 2 = 0\). 7. Daraus ergibt sich die Lösung \(x = 2\).

\(x = 2\)

- Welcher Exponent bewirkt bei jeder positiven Basis ungleich \(1\) das Ergebnis \(1\)? - Wenn die Basen nicht identisch sind, wie zum Beispiel 4 und 2, kannst du eine Basis als Potenz der anderen ausdrücken? - Verwende die Potenzgesetze, um Klammern im Exponenten korrekt aufzulösen. - Bei einer quadratischen Gleichung wie in Teil d) hilft oft das Umstellen auf die Form „gleich Null“.

1. Für a): Da \(1 = 7^0\), folgt aus dem Exponentenvergleich \(4x + 2 = 0\). Subtraktion von 2 und Division durch 4 ergibt \(x = -0{,}5\). 2. Für b): Mit \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\) ergibt der Vergleich der Exponenten \(2x = -3\). Division durch 2 führt zu \(x = -1{,}5\). 3. Für c): Die Basis 4 wird als \(2^2\) geschrieben, sodass \((2^2)^{x-3} = 2^{2x-6}\) entsteht. Der Vergleich mit der rechten Seite \(2^{x+1}\) liefert \(2x - 6 = x + 1\). Durch Umstellen erhält man \(x = 7\). 4. Für d): Der direkte Vergleich der Exponenten führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 + x = 2\), also \(x^2 + x - 2 = 0\). Die Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) ergibt die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\).

a) \(L = \{-0{,}5\}\) b) \(L = \{-1{,}5\}\) c) \(L = \{7\}\) d) \(L = \{-2; 1\}\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass der Logarithmus auf beide Seiten angewendet werden kann? - Denke an die Rechenregeln für Logarithmen, insbesondere für Produkte und Potenzen. - Wenn \(x\) in mehreren Termen vorkommt, wie kannst du diese Terme zusammenfassen? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite zu bringen und \(x\) dann auszuklammern.

1. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\ln(5^{x-1}) = \ln(2 \cdot 3^{x+1})\). 2. Anwendung der Logarithmusregeln für Produkte und Potenzen: \((x-1) \cdot \ln(5) = \ln(2) + (x+1) \cdot \ln(3)\). 3. Auflösen der Klammern: \(x \cdot \ln(5) - \ln(5) = \ln(2) + x \cdot \ln(3) + \ln(3)\). 4. Alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite und alle Konstanten auf die rechte Seite bringen: \(x \cdot \ln(5) - x \cdot \ln(3) = \ln(2) + \ln(3) + \ln(5)\). 5. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (\ln(5) - \ln(3)) = \ln(2 \cdot 3 \cdot 5)\). 6. Division zur Isolation von \(x\): \(x = \frac{\ln(30)}{\ln(\frac{5}{3})}\). 7. Numerische Berechnung: \(x \approx \frac{3{,}4012}{0{,}5108} \approx 6{,}6582\). 8. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(x \approx 6{,}66\).

\(x \approx 6{,}66\)

- Kannst du beide Seiten der Ungleichung als Potenzen zur Basis 2 ausdrücken? - Denke daran, dass \(0{,}5\) der Kehrwert von 2 ist. - Wenn du die Exponenten vergleichst, achte darauf, ob die Basis größer oder kleiner als 1 ist. Bei einer Basis größer als 1 bleibt die Richtung der Ungleichung gleich. - Nach dem Vergleich der Exponenten erhältst du eine quadratische Ungleichung. Wie bestimmt man den Bereich, in dem eine Parabel oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt?

1. Transformation auf die Basis \(2\): Mit \(0{,}5 = 2^{-1}\) und \(4 = 2^2\) folgt \((2^{-1})^{x^2-1} \le (2^2)^{x-1}\). 2. Vereinfachung der Exponenten: Anwendung der Potenzgesetze liefert \(2^{-x^2+1} \le 2^{2x-2}\). 3. Exponentenvergleich: Da die Basis \(2 > 1\) ist, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Vergleich der Exponenten erhalten: \(-x^2 + 1 \le 2x - 2\). 4. Umformung in eine quadratische Ungleichung: \(0 \le x^2 + 2x - 3\). 5. Bestimmung der Nullstellen von \(x^2 + 2x - 3 = 0\): Mit der \(p-q\)-Formel oder Faktorisierung \((x+3)(x-1) = 0\) ergeben sich \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 1\). 6. Da die zugehörige Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Ausdruck für Werte außerhalb des Intervalls zwischen den Nullstellen größer oder gleich Null. Die Lösungsmenge ist somit \(L = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le -3 \lor x \ge 1\}\).

\(L = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le -3 \text{ oder } x \ge 1\}\) (oder in Intervallschreibweise: \(L = ]-\infty; -3] \cup [1; \infty[\))

- Wenn \(x\) auf beiden Seiten im Exponenten steht, hilft es oft, die Potenzen mithilfe von Rechenregeln aufzuteilen (z. B. \(a^{b+c} = a^b \cdot a^c\)). - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Potenzen mit dem gleichen Exponenten wie \(a^x\) und \(b^x\) lassen sich zu \(\left(\frac{a}{b}\right)^x\) zusammenfassen. - Überlege, ob du Basen wie \(6^{2x}\) zu \((6^2)^x\) umschreiben kannst, um die Exponenten anzugleichen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Potenzgesetze ergibt \(5 \cdot 2^x = 3^x \cdot 3^2\), also \(5 \cdot 2^x = 9 \cdot 3^x\). Sortieren der Terme führt zu \(\frac{2^x}{3^x} = \frac{9}{5}\), was \(\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1{,}8\) entspricht. Logarithmieren ergibt \(x = \frac{\lg(1{,}8)}{\lg(2/3)} \approx -1{,}45\). 2. Teilaufgabe b): Umformen der linken Seite ergibt \(\frac{6^{2x}}{6} = 12 \cdot 4^x\), also \(36^x = 72 \cdot 4^x\). Division durch \(4^x\) führt zu \(\frac{36^x}{4^x} = 72\), vereinfacht \(9^x = 72\). Die Anwendung des Logarithmus ergibt \(x = \frac{\lg(72)}{\lg(9)} \approx 1{,}95\).

a) \(x \approx -1{,}45\) b) \(x \approx 1{,}95\)

- Wenn die Unbekannte in mehreren Exponenten mit unterschiedlichen Basen vorkommt, hilft oft das Logarithmieren der gesamten Gleichung. - Verwende die Logarithmengesetze, um Produkte und Potenzen innerhalb des Logarithmus aufzuteilen. - Kannst du Terme wie \(2^x \cdot 5^x\) durch geschicktes Anwenden der Potenzgesetze vereinfachen? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.

1. Gleichung a: Logarithmieren beider Seiten ergibt \(x \cdot \lg(3) = \lg(2) + (x-1) \cdot \lg(5)\). Ausmultiplizieren und Sortieren nach \(x\) führt zu \(x \cdot (\lg(3) - \lg(5)) = \lg(2) - \lg(5)\). Division ergibt \(x = \frac{\lg(2) - \lg(5)}{\lg(3) - \lg(5)} = \frac{\lg(0{,}4)}{\lg(0{,}6)}\). Näherungswert: \(x \approx 1{,}79\). 2. Gleichung b: Division durch \(5\) und durch \(2^x\) führt auf die Form \(\frac{7}{5} = \frac{3^x}{2^x}\), also \(1{,}4 = 1{,}5^x\). Logarithmieren liefert \(x = \frac{\lg(1{,}4)}{\lg(1{,}5)}\). Näherungswert: \(x \approx 0{,}83\). 3. Gleichung c: Anwendung der Potenzgesetze links ergibt \(2 \cdot 2^x \cdot 5^x = 2 \cdot (2 \cdot 5)^x = 2 \cdot 10^x\). Die Gleichung lautet nun \(2 \cdot 10^x = 0{,}8 \cdot 10^{2x}\). Division durch \(0{,}8 \cdot 10^x\) ergibt \(2{,}5 = 10^x\). Somit ist \(x = \lg(2{,}5)\). Näherungswert: \(x \approx 0{,}40\).

a) \(x = \frac{\lg(0{,}4)}{\lg(0{,}6)} \approx 1{,}79\) b) \(x = \frac{\lg(1{,}4)}{\lg(1{,}5)} \approx 0{,}83\) c) \(x = \lg(2{,}5) \approx 0{,}40\)

- Versuche, alle Terme auf die Basis 2 oder auf die Basis \(0{,}5\) zu bringen. - Wie lässt sich eine Quadratwurzel als Exponent schreiben? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn man durch eine negative Zahl dividiert? - Achte darauf, ob deine gewählte Basis größer oder kleiner als 1 ist, wenn du die Exponenten vergleichst.

Beide Seiten werden auf die Basis 2 transformiert. Es gilt \( 0{,}5^{x-2} = (2^{-1})^{x-2} = 2^{-x+2} \). Die rechte Seite lässt sich als \( 2^{0{,}5} \cdot 2^{x+1} = 2^{x+1{,}5} \) zusammenfassen. Da die Basis \( 2 > 1 \) ist, bleibt das Ungleichheitszeichen beim Vergleich der Exponenten unverändert: \( -x + 2 \ge x + 1{,}5 \). Durch Subtraktion von \( x \) und \( 2 \) auf beiden Seiten ergibt sich \( -2x \ge -0{,}5 \). Die Division durch \( -2 \) kehrt das Ungleichheitszeichen um, woraus \( x \le 0{,}25 \) folgt.

\( x \le 0{,}25 \)

- Wenn \(x\) auf beiden Seiten im Exponenten steht, kannst du durch Logarithmieren und anschließendes Ausmultiplizieren der Klammern alle Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen. - Erinnere dich daran, wie du mit einem Bruch im Exponenten rechnest. - Potenzgesetze wie \(a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m}\) können helfen, die Gleichung zu vereinfachen, bevor du den Logarithmus anwendest. - Überlege, ob du Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen kannst, indem du die Basis dividierst.

1. Gleichung a: Anwendung der Logarithmengesetze ergibt \(\ln(5) + x \cdot \ln(2) = (x+1) \cdot \ln(3)\). Ausmultiplizieren und Sortieren nach \(x\): \(x \cdot (\ln(2) - \ln(3)) = \ln(3) - \ln(5)\). Es folgt \(x = \frac{\ln(3) - \ln(5)}{\ln(2) - \ln(3)} = \frac{\ln(3/5)}{\ln(2/3)} \approx 1{,}26\). 2. Gleichung b: Logarithmieren ergibt \(\frac{1}{x} \cdot \ln(8) = \ln(2{,}4)\). Umstellen nach \(x\) liefert \(x = \frac{\ln(8)}{\ln(2{,}4)} \approx 2{,}37\). 3. Gleichung c: Umformen zu \(2 \cdot 4^x = \frac{3}{5} \cdot 5^x\) und Division durch \(4^x\) sowie \(\frac{3}{5}\) ergibt \(\frac{10}{3} = (\frac{5}{4})^x\). Logarithmieren führt zu \(x = \frac{\ln(10/3)}{\ln(1{,}25)} \approx 5{,}39\).

a) \(x \approx 1{,}26\) b) \(x \approx 2{,}37\) c) \(x \approx 5{,}39\)