- Schreibe \(125\) als Potenz zur Basis \(5\). - Bei gleicher Basis müssen die Exponenten übereinstimmen.

Da \(125=5^3\), folgt aus \(5^x=5^3\) direkt \(x=3\).

\(x=3\)

- Die gesuchte Lösung ist die waagerechte Koordinate des Schnittpunkts. - Suche die Stelle, an der sich die beiden dargestellten Graphen treffen.

1. Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=2\). 2. Daher ist \(x=2\) die Lösung von \(f(x)=g(x)\).

\(x=2\)

- Isoliere zuerst die Potenz mit dem unbekannten Exponenten. - Welche logarithmische Schreibweise ist zu einer Gleichung der Form \(2^x=7\) äquivalent?

1. Division durch \(5\) ergibt \(2^x=7\). 2. Nach der Definition des Logarithmus folgt \(x=\log_2(7)\).

\(x=\log_2(7)\)

- Welcher Logarithmus passt unmittelbar zur Basis \(2\)? - Löse nach dem Logarithmieren zunächst nach \(x\) auf. - Wie kannst du \(\log_2\frac{1}{3}\) mit der Quotientenregel umformen?

1. Logarithmieren zur Basis \(2\) ergibt \(6x=\log_2\frac{1}{3}\). 2. Daher ist \(x=\frac{1}{6}\log_2\frac{1}{3}\). 3. Mit der Quotientenregel gilt \(\log_2\frac{1}{3}=\log_2 1-\log_2 3=-\log_2 3\). 4. Somit ist \(x=-\frac{1}{6}\log_2 3\), also Antwort d) richtig.

d) \(x=-\frac{1}{6}\log_2 3\)

- Isoliere zuerst den Potenzterm, falls noch andere Terme vorkommen. - Kannst du beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben? - Bei gleicher Basis kannst du anschließend die Exponenten vergleichen.

1. Wegen \(125=5^3\) gilt \(x-3=3\), also \(x=6\). 2. Aus \(4\cdot10^x+50=40\,050\) folgt \(10^x=10\,000=10^4\), also \(x=4\). 3. Wegen \(128=2^7\) gilt \(3x+1=7\), also \(x=2\).

a) \(x=6\) b) \(x=4\) c) \(x=2\)

- Isoliere zunächst den Potenzterm. - Kannst du eine Basis so umschreiben, dass auf beiden Seiten dieselbe Basis steht? - Nutze bei einer Potenz von einer Potenz die Potenzregeln.

1. Aus \(\frac{1}{2}\cdot3^{x+1}=13{,}5\) folgt \(3^{x+1}=27=3^3\). Daher ist \(x=2\). 2. Wegen \(9=3^2\) gilt \(3^{2x-2}=3^{x+2}\). Also ist \(2x-2=x+2\) und damit \(x=4\). 3. Aus \(10\cdot2^x-15=5\) folgt \(2^x=2=2^1\). Daher ist \(x=1\).

a) \(x=2\) b) \(x=4\) c) \(x=1\)

- Isoliere zuerst den Potenzterm. - Kannst du beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben? - Ein Kehrwert lässt sich oft mit einem negativen Exponenten darstellen.

1. Aus \(2\cdot10^x+50=250\) folgt \(10^x=100=10^2\). Daher ist \(x=2\). 2. Wegen \(\frac{1}{49}=7^{-2}\) gilt \(x-2=-2\). Daher ist \(x=0\).

a) \(x=2\) b) \(x=0\)

- Isoliere den Potenzterm, falls nötig. - Schreibe \(4\) und \(32\) in b) als Potenzen derselben Basis. - Welcher Exponent einer positiven Basis ungleich \(1\) ergibt den Wert \(1\)?

1. Aus \(4\cdot5^{x-1}=500\) folgt \(5^{x-1}=125=5^3\). Daher ist \(x=4\). 2. Wegen \(4=2^2\) und \(32=2^5\) gilt \(2^{2x+2}=2^5\). Also ist \(2x+2=5\) und damit \(x=1{,}5\). 3. Da \(6^0=1\), muss \(2x=0\) gelten. Daher ist \(x=0\).

a) \(x=4\) b) \(x=1{,}5\) c) \(x=0\)

- Versuche, beide Seiten der Gleichung als Potenz mit derselben Basis zu schreiben. - Erinnere dich daran, wie man Dezimalzahlen als Brüche darstellt, die Potenzen von 2, 5 oder 10 sind. - Wenn die Basen auf beiden Seiten gleich sind, kannst du die Exponenten direkt miteinander vergleichen. - Welche Rechenregel gilt, wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden?

1. Gleichung \(10^x = 0{,}01\): Da \(0{,}01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\), folgt durch Exponentenvergleich \(x = -2\). 2. Gleichung \(\left(\frac{2}{5}\right)^x = 6{,}25\): Da \(6{,}25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\), folgt \(x = -2\). 3. Gleichung \(0{,}5^x = 32\): Da \(0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}\) und \(32 = 2^5\), lautet die Gleichung \((2^{-1})^x = 2^5\), also \(2^{-x} = 2^5\). Somit ist \(x = -5\). 4. Gleichung \(27 \cdot 3^x = \frac{1}{3}\): Da \(27 = 3^3\) und \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), gilt \(3^3 \cdot 3^x = 3^{-1}\). Mit den Potenzgesetzen folgt \(3^{3+x} = 3^{-1}\). Daraus ergibt sich \(3+x = -1\), also \(x = -4\).

a) \(x = -2\) b) \(x = -2\) c) \(x = -5\) d) \(x = -4\)

- Wie lässt sich \(0{,}8^x=0{,}2\) als Logarithmusgleichung schreiben? - Welche Basiswechselformel verwendet den Logarithmus zur Basis \(10\)? - Runde erst nach der Division.

1. Aus der Exponentialgleichung folgt \(x=\log_{0{,}8}0{,}2\). 2. Mit der Basiswechselformel ist \(x=\frac{\log_{10}0{,}2}{\log_{10}0{,}8}\). 3. Der Taschenrechner liefert \(\log_{10}0{,}2\approx-0{,}698970\) und \(\log_{10}0{,}8\approx-0{,}096910\). 4. Damit ist \(x\approx7{,}212567\approx7{,}213\).

\(x\approx7{,}213\)

- Versuche, alle Zahlen als Potenzen derselben Grundzahl (Basis) zu schreiben. - Welche Zahl bietet sich als gemeinsame Basis für 5, 25 und 125 an? - Nutze die Potenzgesetze, um die Terme auf beiden Seiten zu vereinfachen, bis dort jeweils nur noch eine Potenz steht. - Wenn die Basen links und rechts gleich sind, kannst du einfach die Ausdrücke in den Exponenten gleichsetzen.

1. Transformation auf die gemeinsame Basis \(5\): Es gilt \(25 = 5^2\) und \(125 = 5^3\). Die Gleichung lautet damit \((5^2)^{x+1} = 5^1 \cdot (5^3)^x\). 2. Anwendung der Potenzgesetze (\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) und \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)): Auf der linken Seite ergibt sich \(5^{2(x+1)} = 5^{2x+2}\) und auf der rechten Seite \(5^1 \cdot 5^{3x} = 5^{3x+1}\). 3. Exponentenvergleich: Da die Basen gleich sind, müssen die Exponenten übereinstimmen: \(2x + 2 = 3x + 1\). 4. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(2x\) und \(1\) auf beiden Seiten führt zu \(x = 1\).

\(x = 1\)

- Isoliere zuerst die Potenz. - Welche Regel bringt den Exponenten beim Logarithmieren vor den Logarithmus? - Prüfe das Ergebnis anschließend durch Einsetzen.

1. Division durch \(12\) ergibt \(1{,}5^x=5{,}0625\). 2. Logarithmieren zur Basis \(10\) und die Potenzregel liefern \(x\log_{10}1{,}5=\log_{10}5{,}0625\). 3. Daher ist \(x=\frac{\log_{10}5{,}0625}{\log_{10}1{,}5}=4\). 4. Probe: \(12\cdot1{,}5^4=60{,}75\).

\(x=4\)

- Versuche zuerst, den Term mit der Basis \(0{,}5\) zu isolieren. - Wenn du \(0{,}5^y = 0{,}25\) hast, welchen Wert muss \(y\) dann haben? - Achte darauf, dass im Exponenten nicht nur \(x\), sondern ein ganzer Ausdruck steht. Wie gehst du im letzten Schritt damit um?

1. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(12 \cdot 0{,}5^{x-2} = 3\) 2. Division durch \(12\): \(0{,}5^{x-2} = 0{,}25\) 3. Logarithmieren beider Seiten: \(\log_{0{,}5}(0{,}5^{x-2}) = \log_{0{,}5}(0{,}25)\) 4. Bestimmung des Exponenten: \(x - 2 = 2\) (da \(0{,}5^2 = 0{,}25\)) 5. Auflösen nach \(x\) durch Addition von \(2\): \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an der Stelle, an der sich zwei Graphen schneiden? - Kannst du beide Seiten der Gleichung so umformen, dass sie dieselbe Basis haben? - Welche Rechenregeln für Potenzen helfen dir, die Terme zusammenzufassen? - Wie kannst du den fehlenden \(y\)-Wert bestimmen, wenn du \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(2 \cdot 9^x = 54 \cdot 3^x\) 2. Division durch \(2\): \(9^x = 27 \cdot 3^x\) 3. Ausdrücken aller Terme zur Basis \(3\): \((3^2)^x = 3^3 \cdot 3^x\) 4. Anwendung der Potenzgesetze: \(3^{2x} = 3^{x+3}\) 5. Exponentenvergleich (Logarithmieren zur Basis 3): \(2x = x + 3\) 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x = 3\) 7. Berechnung des \(y\)-Werts durch Einsetzen: \(f(3) = 2 \cdot 9^3 = 2 \cdot 729 = 1458\) Der Schnittpunkt liegt bei \(S(3 | 1458)\).

\(S(3 | 1458)\)

- Schreibe beide Seiten jeweils als Potenzen derselben Basis. - Brüche und Dezimalzahlen kleiner als \(1\) lassen sich oft mit negativen Exponenten darstellen. - Vergleiche anschließend die Exponenten.

1. Wegen \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) gilt \(2x+5=-3\), also \(x=-4\). 2. Wegen \(4=2^2\) und \(0{,}125=2^{-3}\) gilt \(2x-2=-3\), also \(x=-0{,}5\).

a) \(L=\{-4\}\) b) \(L=\{-0{,}5\}\)

- Schreibe jede Gleichung zunächst in der Form \(x=\log_ba\). - Wie lautet die Basiswechselformel mit dem Logarithmus zur Basis \(10\)? - Runde erst am Ende des Quotienten.

1. \(x=\log_2 50=\frac{\log_{10}50}{\log_{10}2}\approx5{,}64\). 2. \(x=\log_{1{,}04}3=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}1{,}04}\approx28{,}01\). 3. \(x=\log_{0{,}9}0{,}5=\frac{\log_{10}0{,}5}{\log_{10}0{,}9}\approx6{,}58\).

a) \(x\approx5{,}64\) b) \(x\approx28{,}01\) c) \(x\approx6{,}58\)

- Prüfe bei jeder Gleichung zuerst, ob sich beide Seiten als Potenzen derselben einfachen Basis schreiben lassen. - Nur wenn das nicht sinnvoll gelingt, brauchst du für den Exponenten einen Logarithmus. - Runde in b) erst nach der vollständigen Berechnung.

1. In a) lassen sich beide Seiten als Potenzen zur Basis \(4\) schreiben: \(64=4^3\). Daher gilt \(x+1=3\) und somit \(x=2\). 2. In b) ist \(18\) keine einfache Potenz von \(5\). Deshalb wird logarithmiert: \(x=\log_5(18)=\frac{\log_{10}(18)}{\log_{10}(5)}\approx1{,}80\).

a) gemeinsame Basis; \(x=2\) b) Logarithmus; \(x\approx1{,}80\)

- Was wird aus dem Exponenten \(3x\), wenn du die Gleichung in logarithmische Form übersetzt? - Überlege, an welcher Stelle der Faktor \(3\) nach dem Logarithmieren steht. - Setze für die Rückprobe den gerundeten Wert wieder in den ursprünglichen Exponenten ein.

1. Aus \(2^{3x}=10\) folgt nach Logarithmieren \(3x=\log_2(10)\). Der Faktor \(3\) gehört zum Exponenten und darf nicht in das Argument des Logarithmus verschoben werden. 2. Daher ist \(x=\frac{\log_2(10)}{3}=\frac{\log_{10}(10)}{3\log_{10}(2)}\approx1{,}107\). 3. Für die Rückprobe gilt mit dem gerundeten Wert \(2^{3\cdot1{,}107}\approx9{,}994\), also näherungsweise \(10\).

a) Der Faktor \(3\) teilt den Logarithmuswert und gehört nicht in dessen Argument. b) \(x\approx1{,}107\) c) \(2^{3\cdot1{,}107}\approx9{,}994\approx10\)

- Nach der Substitution sollte eine Gleichung entstehen, in der \(x\) nicht mehr vorkommt. - Überlege, wie \(4^x\) mit \(2^x\) zusammenhängt. - Beim Rückweg von \(u\) zu \(x\) kann eine Lösung als Logarithmus stehen bleiben.

1. Wegen \(4^x=(2^x)^2\) wird die Gleichung mit \(u=2^x\) zu \(u^2-5u+6=0\). 2. Es gilt \(u^2-5u+6=(u-2)(u-3)\). Daher ist \(u=2\) oder \(u=3\). 3. Aus \(2^x=2\) folgt \(x=1\). Aus \(2^x=3\) folgt \(x=\log_2(3)\). 4. Für \(x=1\) ist \(4^1-5\cdot2^1+6=4-10+6=0\). 5. Für \(x=\log_2(3)\) gilt \(2^x=3\) und damit \(4^x=(2^x)^2=9\). Also ist \(9-15+6=0\).

Aus \(u=2\) oder \(u=3\) folgt \(x=1\) oder \(x=\log_2(3)\). Rückprobe: Für \(x=1\) gilt \(4-10+6=0\). Für \(x=\log_2(3)\) gilt \(2^x=3\) und damit \(9-15+6=0\).

- Was bedeutet die Definition \(u=2^x\), wenn du von \(u\) wieder zu \(x\) zurückgehst? - Behandle die drei gegebenen Werte der Hilfsvariablen einzeln. - Bei einem Wert, der keine einfache Zweierpotenz ist, kann die Rücksubstitution als Logarithmus stehen bleiben.

1. Die Werte \(1\), \(3\) und \(4\) gehören zur Hilfsvariablen \(u=2^x\), nicht direkt zu \(x\). 2. Aus \(2^x=1\) folgt \(x=0\). 3. Aus \(2^x=3\) folgt \(x=\log_2(3)\). 4. Aus \(2^x=4\) folgt \(x=2\). 5. Für \(x=0\) ist \(8^0-8\cdot4^0+19\cdot2^0-12=1-8+19-12=0\). Für \(x=\log_2(3)\) gilt \(2^x=3\), also \(8^x=27\) und \(4^x=9\); damit ist \(27-72+57-12=0\). Für \(x=2\) ist \(64-128+76-12=0\).

Tiago verwechselt die Werte der Hilfsvariablen \(u\) mit den gesuchten Werten von \(x\). Richtig sind \(x=0\), \(x=\log_2(3)\) und \(x=2\). Rückprobe: Für \(x=0\) gilt \(1-8+19-12=0\). Für \(x=\log_2(3)\) gilt \(27-72+57-12=0\). Für \(x=2\) gilt \(64-128+76-12=0\).

- Überlege dir zuerst, wo das \(x\) steht: Ist es die Basis, die mit sich selbst multipliziert wird, oder gibt es an, wie oft eine feste Zahl multipliziert wird? - Achte bei geraden Exponenten darauf, ob es mehr als eine Zahl gibt, die beim Potenzieren dasselbe Ergebnis liefert. - Denk an den Graphen einer Exponentialfunktion – verläuft dieser jemals unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Berechnung der Lösungen: (1) \(x^4 = 16 \implies x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2\) (zwei reelle Lösungen). (2) \(2^x = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4\) (eine eindeutige Lösung). (3) \(x^{-1} = 0{,}2 \implies \frac{1}{x} = \frac{1}{5} \implies x = 5\). (4) \(5^x = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}} \implies x = \frac{2}{3}\). 2. Struktureller Unterschied: In (1) und (3) handelt es sich um Potenzgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) in der Basis steht. In (2) und (4) handelt es sich um Exponentialgleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) im Exponenten steht. 3. Begründung der Lösbarkeit: Die Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\) (mit \(a > 0\)) nimmt nur positive Werte an, weshalb \(10^x = -10\) unmöglich ist. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (wie \(x^3\)) bilden hingegen den gesamten reellen Zahlenbereich ab, weshalb negative Zielwerte erreicht werden können (\(x = -10\)).

a) (1) \(x_1 = 2, x_2 = -2\); (2) \(x = 4\); (3) \(x = 5\); (4) \(x = \frac{2}{3}\) b) Bei (1) und (3) ist \(x\) die Basis (Potenzgleichung), bei (2) und (4) ist \(x\) der Exponent (Exponentialgleichung). c) \(10^x\) ist für alle reellen \(x\) immer positiv, daher kann das Ergebnis niemals \(-10\) sein. \(x^3\) kann dagegen negative Werte annehmen (hier \(x = -10\)).

- Schreibe die rechte Seite jeweils als Potenz derselben Basis wie links. - Ein Kehrwert lässt sich mithilfe eines negativen Exponenten darstellen. - Bei einer quadratischen Gleichung im Exponenten können zwei reelle Lösungen entstehen.

1. Wegen \(125=5^3\) gilt \(3x-2=3\), also \(x=\frac{5}{3}\). 2. Wegen \(\frac{1}{32}=2^{-5}\) gilt \(x+4=-5\), also \(x=-9\). 3. Wegen \(10\,000=10^4\) gilt \(x^2-5=4\), also \(x^2=9\). Daher ist \(x=-3\) oder \(x=3\).

a) \(x=\frac{5}{3}\) b) \(x=-9\) c) \(x\in\{-3;3\}\)

- Welcher Exponent ergibt bei einer positiven Basis ungleich \(1\) den Wert \(1\)? - Kannst du \(4\) als Potenz von \(2\) schreiben? - Nach dem Exponentenvergleich kann eine lineare oder quadratische Gleichung entstehen.

1. Wegen \(1=7^0\) gilt \(4x+2=0\), also \(x=-0{,}5\). 2. Wegen \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) gilt \(2x=-3\), also \(x=-1{,}5\). 3. Wegen \(4=2^2\) gilt \(2^{2x-6}=2^{x+1}\). Daher ist \(2x-6=x+1\) und somit \(x=7\). 4. Aus \(x^2+x=2\) folgt \(x^2+x-2=0=(x+2)(x-1)\). Daher ist \(x=-2\) oder \(x=1\).

a) \(L=\{-0{,}5\}\) b) \(L=\{-1{,}5\}\) c) \(L=\{7\}\) d) \(L=\{-2;1\}\)

- Isoliere zuerst die Potenz. - Welche Regel bringt den Exponenten nach dem Logarithmieren vor den Logarithmus? - Löse anschließend die entstehende lineare Gleichung nach \(x\) auf und runde erst am Ende.

1. Division durch \(2\) ergibt \(1{,}8^{x+4}=5{,}5\). 2. Logarithmieren zur Basis \(10\) und die Potenzregel liefern \((x+4)\log_{10}1{,}8=\log_{10}5{,}5\). 3. Daher ist \(x+4=\frac{\log_{10}5{,}5}{\log_{10}1{,}8}\approx2{,}9003\). 4. Somit ist \(x\approx-1{,}0997\approx-1{,}10\).

\(x\approx-1{,}10\)

- Stelle zunächst eine Gleichung für \(h(x+k)\) im Verhältnis zu \(h(x)\) auf. - Wie löst du \(6^k=100\) mithilfe des Basiswechsels? - Welche Beziehung besteht zwischen den Basen \(6\) und \(36\)?

1. Aus \(h(x+k)=100h(x)\) folgt nach Division durch \(6^x\) die Gleichung \(6^k=100\). 2. Damit ist \(k=\log_6 100=\frac{\log_{10}100}{\log_{10}6}\approx2{,}570\). 3. Für \(g\) gilt entsprechend \(36^k=100\). Wegen \(36=6^2\) ist \(6^{2k}=100\). 4. Verglichen mit \(6^{k_{\text{alt}}}=100\) folgt \(2k_{\text{neu}}=k_{\text{alt}}\), also \(k_{\text{neu}}\approx1{,}285\).

a) \(k\approx2{,}570\) b) Der Wert halbiert sich auf \(k\approx1{,}285\).

- Isoliere in jedem Teil zuerst die Potenz. - Logarithmiere anschließend mit derselben Basis und nutze die Potenzregel. - Achte bei \(x+1\) und \(2x\) auf den abschließenden linearen Rechenschritt.

1. Aus \(8\cdot1{,}4^x=20\) folgt \(1{,}4^x=2{,}5\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}2{,}5}{\log_{10}1{,}4}\approx2{,}72\). 2. Aus \(15=2\cdot3^{x+1}\) folgt \(3^{x+1}=7{,}5\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}7{,}5}{\log_{10}3}-1\approx0{,}83\). 3. Aus \(0{,}5\cdot4^{2x}=10\) folgt \(4^{2x}=20\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}20}{2\log_{10}4}\approx1{,}08\).

a) \(x\approx2{,}72\) b) \(x\approx0{,}83\) c) \(x\approx1{,}08\)

- Isoliere zuerst die Potenz mit der Basis \(2{,}5\). - Wie kannst du den gesuchten Exponenten als Logarithmus schreiben? - Prüfe, ob sich der erhaltene Logarithmus sogar exakt erkennen lässt.

1. Addition von \(18{,}5\) und Division durch \(3\) ergeben \(2{,}5^x=15{,}625\). 2. Damit ist \(x=\log_{2{,}5}15{,}625=\frac{\log_{10}15{,}625}{\log_{10}2{,}5}\). 3. Da \(2{,}5^3=15{,}625\), folgt \(x=3\).

\(x=3\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich. - Wie kannst du zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu einer Potenz zusammenfassen? - Bestimme zuerst den \(x\)-Wert und setze den ungerundeten Wert anschließend in eine Funktion ein.

1. Gleichsetzen liefert \(10\cdot1{,}2^x=25\cdot0{,}8^x\). 2. Nach Division folgt \(\left(\frac{1{,}2}{0{,}8}\right)^x=2{,}5\), also \(1{,}5^x=2{,}5\). 3. Mit dem Basiswechsel ist \(x=\frac{\log_{10}2{,}5}{\log_{10}1{,}5}\approx2{,}259851\). 4. Einsetzen des ungerundeten Werts ergibt \(y=10\cdot1{,}2^x\approx15{,}09864\). 5. Somit ist der Schnittpunkt \(S(2{,}26\mid15{,}10)\).

\(S(2{,}26\mid15{,}10)\)

- Isoliere in jedem Teil zuerst die Potenz. - Nutze den Basiswechsel zur Basis \(10\), wenn sich keine gemeinsame Basis direkt anbietet. - In c) lassen sich \(4\) und \(8\) als Zweierpotenzen schreiben.

1. Aus \(6^x=45\) folgt \(x=\frac{\log_{10}45}{\log_{10}6}\approx2{,}12\). 2. Aus \(2\cdot5^{x+1}=70\) folgt \(5^{x+1}=35\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}35}{\log_{10}5}-1\approx1{,}21\). 3. Wegen \(4^{2x}=2^{4x}\) und \(8^x=2^{3x}\) wird die dritte Gleichung zu \(2^x=3\). Somit ist \(x=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\approx1{,}58\).

a) \(x=\frac{\log_{10}45}{\log_{10}6}\approx2{,}12\) b) \(x=\frac{\log_{10}35}{\log_{10}5}-1\approx1{,}21\) c) \(x=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\approx1{,}58\)

- Bei gleicher Basis kannst du die Exponenten vergleichen. - Wie vereinfacht sich \((b^{x+1})^{x-1}\)? - Nach dem Exponentenvergleich entstehen quadratische Gleichungen.

1. Aus dem Exponentenvergleich folgt \(x^2-3x=x-3\), also \(x^2-4x+3=0=(x-1)(x-3)\). Daher ist \(x=1\) oder \(x=3\). 2. Mit der Potenzregel für Potenzen gilt \((b^{x+1})^{x-1}=b^{(x+1)(x-1)}=b^{x^2-1}\). Daher ist \(x^2-1=3\), also \(x=2\) oder \(x=-2\).

a) \(L=\{1;3\}\) b) \(L=\{-2;2\}\)

- Schreibe beide Seiten als Potenzen der Basis \(3\). - Welche Potenzregel gilt für eine Potenz von einer Potenz? - Nach dem Exponentenvergleich entsteht eine quadratische Gleichung.

1. Links gilt \((3^x)^{x+4}=3^{x^2+4x}\), rechts \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x+6}=3^{-x-6}\). 2. Der Exponentenvergleich liefert \(x^2+4x=-x-6\), also \(x^2+5x+6=0\). 3. Wegen \((x+2)(x+3)=0\) gilt \(x=-2\) oder \(x=-3\).

\(L=\{-3;-2\}\)

- Isoliere in jedem Teil zuerst die Potenz. - Logarithmiere anschließend mit derselben Basis. - Achte bei verschobenen oder vervielfachten Exponenten auf den letzten linearen Rechenschritt.

1. Aus \(3\cdot4^{x-2}=15\) folgt \(4^{x-2}=5\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}4}+2\approx3{,}16\). 2. Aus \(5+2\cdot3^x=21\) folgt \(3^x=8\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}8}{\log_{10}3}\approx1{,}89\). 3. Aus \(0{,}5\cdot1{,}2^{2x}=4\) folgt \(1{,}2^{2x}=8\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}8}{2\log_{10}1{,}2}\approx5{,}70\).

a) \(x\approx3{,}16\) b) \(x\approx1{,}89\) c) \(x\approx5{,}70\)

- Logarithmiere beide Seiten mit derselben Basis. - Welche Regel bringt die Exponenten vor die Logarithmen? - Sammle danach alle Terme mit \(x\) und klammere \(x\) aus.

1. Logarithmieren zur Basis \(10\) und die Potenzregel ergeben \((x-1)\log_{10}6=x\log_{10}5\). 2. Daraus folgt \(x(\log_{10}6-\log_{10}5)=\log_{10}6\). 3. Mit der Quotientenregel ist \(\log_{10}6-\log_{10}5=\log_{10}1{,}2\). Somit ist \(x=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}1{,}2}\approx9{,}83\).

\(x=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}6-\log_{10}5}\approx9{,}83\)

- Schreibe \(9\) als Potenz von \(3\). - Wie lässt sich \(3^{x+1}\) zerlegen? - Vereinfache die Gleichung so weit, dass nur noch eine Potenz mit \(x\) übrig bleibt.

1. Wegen \(9^x=3^{2x}\) und \(3^{x+1}=3\cdot3^x\) gilt \(3^{2x}=6\cdot3^x\). 2. Division durch \(3^x>0\) ergibt \(3^x=6\). 3. Daher ist \(x=\log_3 6=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}3}\approx1{,}631\).

\(x=\log_3 6\approx1{,}631\)

- Wie lassen sich Potenzen mit demselben Exponenten zusammenfassen? - In b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Welche beiden Logarithmusregeln zerlegen in c) den Logarithmus eines Produkts aus Potenzen?

1. Es gilt \(1{,}2^t\cdot1{,}5^t=(1{,}2\cdot1{,}5)^t=1{,}8^t\). 2. Aus \(1{,}8^t=20\) folgt \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}8)}\approx5{,}10\). 3. Logarithmiert man das ursprüngliche Produkt, erhält man mit Produktregel und Potenzregel \(\log_{10}(20)=\log_{10}(1{,}2^t)+\log_{10}(1{,}5^t)=t\log_{10}(1{,}2)+t\log_{10}(1{,}5)\). 4. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}2)+\log_{10}(1{,}5)}\approx5{,}10\), also derselbe Wert.

a) \(1{,}8^t\) b) \(t\approx5{,}10\) c) Beide Rechenwege liefern \(t\approx5{,}10\).

- Welche Information über den Anfangsfaktor \(a\) steckt in einem markierten Punkt mit \(x=0\)? - Wie muss auch der zweite markierte Punkt zum selben Funktionsterm passen? - Welche konstante y-Höhe hat der Graph von \(g\)? - Wie lässt sich ein Schnittpunkt durch gleiche Funktionswerte ausdrücken?

1. Aus dem Graphen liest man A\((0\mid10)\), B\((2\mid20)\) und \(g(x)=50\) ab. 2. Aus A folgt \(a=10\). Mit B gilt \(10q^2=20\), also \(q^2=2\) und wegen \(q>0\) ist \(q=\sqrt2\). Damit lautet \(f(x)=10(\sqrt2)^x\). 3. Für die Schnittstelle gilt \(10(\sqrt2)^x=50\), also \((\sqrt2)^x=5\). 4. Daher ist \(x=\frac{\log_{10}(5)}{\log_{10}(\sqrt2)}\approx4{,}64\).

a) A\((0\mid10)\), B\((2\mid20)\), \(g(x)=50\); \(f(x)=10(\sqrt2)^x\) b) \(x\approx4{,}64\)

- Die beiden Exponentialterme haben entgegengesetzte Exponenten. Wie hängen ihre Werte zusammen? - Wenn du einen Exponentialterm durch eine Hilfsvariable ersetzt, was wird aus dem anderen? - Behalte im Blick, welche Werte eine Exponentialfunktion annehmen kann.

1. Setze \(u=3^x\). Dann gilt \(u>0\) und \(3^{-x}=\frac{1}{u}\). 2. Damit wird die Gleichung zu \(u+\frac{4}{u}=5\). Nach Multiplikation mit \(u\) folgt \(u^2-5u+4=0\). 3. Es gilt \(u^2-5u+4=(u-1)(u-4)\). Also ist \(u=1\) oder \(u=4\); beide Werte sind zulässig. 4. Aus \(3^x=1\) folgt \(x=0\). Aus \(3^x=4\) folgt \(x=\log_3(4)\). 5. Für \(x=0\) ist \(3^0+4\cdot3^0=1+4=5\). Für \(x=\log_3(4)\) gilt \(3^x=4\) und \(3^{-x}=\frac14\), also \(4+4\cdot\frac14=5\).

Eine passende Substitution ist \(u=3^x\). Dann gilt \(u+\frac4u=5\), also \(u=1\) oder \(u=4\). Damit sind die Lösungen \(x=0\) und \(x=\log_3(4)\). Rückprobe: \(1+4=5\) bzw. \(4+4\cdot\frac14=5\).

- Logarithmiere beide Seiten mit derselben Basis. - Welche Regel zerlegt das Produkt auf der rechten Seite? - Bringe anschließend alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und klammere \(x\) aus. - Runde erst nach dem abschließenden Quotienten.

1. Logarithmieren zur Basis \(10\) ergibt \((x-1)\log_{10}5=\log_{10}2+(x+1)\log_{10}3\). 2. Alle Terme mit \(x\) werden zusammengefasst: \(x(\log_{10}5-\log_{10}3)=\log_{10}2+\log_{10}3+\log_{10}5\). 3. Mit Produktregel und Quotientenregel folgt \(x=\frac{\log_{10}30}{\log_{10}(5:3)}\). 4. Numerisch ergibt sich \(x\approx6{,}6582\approx6{,}66\).

\(x\approx6{,}66\)

- Versuche, Potenzen mit gleichem Exponenten zu einem Quotienten zusammenzufassen. - Schreibe \(6^{2x}\) als \(36^x\), wenn das die Basen besser vergleichbar macht. - Löse erst die vereinfachte Exponentialgleichung mithilfe des Basiswechsels.

1. Die erste Gleichung wird zu \(5\cdot2^x=9\cdot3^x\), also \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{9}{5}=1{,}8\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}1{,}8}{\log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)}\approx-1{,}45\). 2. Aus \(6^{2x-1}=12\cdot4^x\) folgt \(36^x=72\cdot4^x\), also \(9^x=72\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}72}{\log_{10}9}\approx1{,}95\).

a) \(x\approx-1{,}45\) b) \(x\approx1{,}95\)

- Bringe bei unterschiedlichen Basen möglichst Potenzen mit demselben Exponenten zusammen. - Logarithmiere erst, wenn die algebraische Struktur vereinfacht ist. - In c) lässt sich \(2^x\cdot5^x\) direkt zusammenfassen.

1. Logarithmieren der ersten Gleichung ergibt \(x\log_{10}3=\log_{10}2+(x-1)\log_{10}5\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}0{,}4}{\log_{10}0{,}6}\approx1{,}79\). 2. Aus \(7\cdot2^x=5\cdot3^x\) folgt \(1{,}4=1{,}5^x\). Damit ist \(x=\frac{\log_{10}1{,}4}{\log_{10}1{,}5}\approx0{,}83\). 3. Links ist \(2^{x+1}\cdot5^x=2\cdot10^x\). Daher gilt \(2\cdot10^x=0{,}8\cdot10^{2x}\), also \(10^x=2{,}5\). Somit ist \(x=\log_{10}2{,}5\approx0{,}40\).

a) \(x\approx1{,}79\) b) \(x\approx0{,}83\) c) \(x\approx0{,}40\)

- Wenn \(x\) auf beiden Seiten im Exponenten steht, logaritmiere und sammle anschließend alle Terme mit \(x\). - Beachte in b), dass der Exponent \(\frac{1}{x}\) nur für \(x\neq0\) definiert ist. - Kannst du in c) Potenzen mit demselben Exponenten zu einer Potenz eines Quotienten zusammenfassen?

1. Logarithmieren ergibt \(\log_{10}5+x\log_{10}2=(x+1)\log_{10}3\). Daraus folgt \(x=\frac{\log_{10}(3:5)}{\log_{10}(2:3)}\approx1{,}26\). 2. Aus \(\frac{1}{x}\log_{10}8=\log_{10}2{,}4\) folgt \(x=\frac{\log_{10}8}{\log_{10}2{,}4}\approx2{,}38\). 3. Die dritte Gleichung wird zu \(\frac{10}{3}=\left(\frac{5}{4}\right)^x\). Daher ist \(x=\frac{\log_{10}(10:3)}{\log_{10}1{,}25}\approx5{,}40\).

a) \(x\approx1{,}26\) b) \(x\approx2{,}38\) c) \(x\approx5{,}40\)

- Wie kannst du eine Gleichung mit \(x\) in mehreren Exponenten so umformen, dass \(x\) nur noch linear vorkommt? - Achte beim Umstellen darauf, wann der Faktor vor \(x\) gleich null werden kann. - Für das Vorzeichen in c) reicht es, die Vorzeichen von Zähler und Nenner zu untersuchen.

1. Logarithmieren liefert \((2x-1)\log_{10}(a)=(x+2)\log_{10}(7)\). 2. Damit gilt \(x\left(2\log_{10}(a)-\log_{10}(7)\right)=\log_{10}(a)+2\log_{10}(7)\). 3. Für \(a\neq\sqrt7\) ist der Faktor vor \(x\) ungleich null. Daher ist \(x=\frac{\log_{10}(a)+2\log_{10}(7)}{2\log_{10}(a)-\log_{10}(7)}\). 4. Für \(a=\sqrt7\) wird die linke Seite der Ausgangsgleichung zu \(7^{x-\frac12}\), die rechte Seite ist \(7^{x+2}\). Diese Werte können nicht gleich sein. Es gibt also keine Lösung. 5. Für \(a=2\) folgt \(x=\frac{\log_{10}(2)+2\log_{10}(7)}{2\log_{10}(2)-\log_{10}(7)}\approx-8{,}19\). 6. Der Zähler ist positiv. Der Nenner ist negativ, weil \(2\log_{10}(2)-\log_{10}(7)=\log_{10}\left(\frac47\right)<0\). Deshalb muss \(x\) negativ sein.

a) \(x=\frac{\log_{10}(a)+2\log_{10}(7)}{2\log_{10}(a)-\log_{10}(7)}\) für \(a\neq\sqrt7\) b) Für \(a=\sqrt7\) gibt es keine Lösung, denn dann müsste \(7^{x-\frac12}=7^{x+2}\) gelten. c) Für \(a=2\) ist \(x\approx-8{,}19\). Der Zähler der Formel aus a) ist positiv, der Nenner ist \(\log_{10}\left(\frac47\right)<0\); daher ist \(x<0\).