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- Untersuche, wie sich der Schallpegel verändert, wenn du von einem Tabellenwert zum nächsten springst. - Setze zwei Punkte aus der Tabelle in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem für die Unbekannten zu erhalten. - Nutze die Eigenschaft \( \lg(10^x) = x \), um die Gleichungen zu vereinfachen. - Um nach der Variablen im Logarithmus aufzulösen, musst du die Umkehroperation (die Zehnerpotenz) anwenden.

1. Berechnung der Pegeländerung bei Verzehnfachtung: Ein Vergleich der Tabellenwerte (z. B. \( 10^{-12} \) zu \( 10^{-11} \), was zwischen den Spalten liegt, oder direkt \( 10^{-10} \) zu \( 10^{-8} \)) zeigt, dass eine Verhundertfachung (\( \cdot 10^2 \)) ein Plus von \( 20\,\text{dB} \) bedeutet. Eine Verzehnfachtung entspricht somit einer Erhöhung um \( 10\,\text{dB} \). 2. Bestimmung von \( a \) und \( b \): Einsetzen von \( (10^{-12} \mid 0) \) ergibt \( 0 = a \cdot \lg(10^{-12}) + b \Rightarrow 0 = -12a + b \Rightarrow b = 12a \). Einsetzen von \( (10^{-10} \mid 20) \) ergibt \( 20 = a \cdot \lg(10^{-10}) + 12a \Rightarrow 20 = -10a + 12a \Rightarrow 20 = 2a \Rightarrow a = 10 \). Daraus folgt \( b = 120 \). Die Gleichung lautet \( L = 10 \cdot \lg(I) + 120 \). 3. Probe: Für \( I = 10^{-6} \) gilt \( L = 10 \cdot \lg(10^{-6}) + 120 = 10 \cdot (-6) + 120 = 60 \). Der Wert stimmt mit der Tabelle überein. 4. Umkehrfunktion: Auflösen von \( L = 10 \cdot \lg(I) + 120 \) nach \( I \): \( L - 120 = 10 \cdot \lg(I) \Rightarrow \frac{L - 120}{10} = \lg(I) \Rightarrow I = 10^{\frac{L - 120}{10}} \). 5. Berechnung für \( 50\,\text{dB} \): \( I = 10^{\frac{50 - 120}{10}} = 10^{-7} \). Die Intensität beträgt \( 10^{-7}\,\text{W/m}^2 \).

a) Der Schallpegel erhöht sich um \( 10\,\text{dB} \). b) \( a = 10 \); \( b = 120 \); Funktionsgleichung: \( L = 10 \cdot \lg(I) + 120 \). c) Umkehrfunktion: \( I = 10^{\frac{L - 120}{10}} \); für \( 50\,\text{dB} \) ergibt sich \( I = 10^{-7}\,\text{W/m}^2 \).

- Schau dir an, um welchen festen Betrag die Spannung steigt, wenn die Beleuchtungsstärke mit 10 multipliziert wird. - Der Logarithmus von 1 ist immer Null – das hilft dir, einen der Parameter sofort zu finden. - Denk daran, dass der Zehnerlogarithmus \( \lg \) die Umkehrfunktion zur Basis 10 besitzt.

1. Analyse der Tabellenwerte: Bei einer Verzehnfachtung von \( x \) (z. B. von \( 1 \) auf \( 10 \)) steigt \( U \) jeweils um \( 20\,\text{mV} \) (\( 25 - 5 = 20 \); \( 45 - 25 = 20 \)). 2. Bestimmung der Parameter: Setze \( x = 1 \) in \( U = a \cdot \lg(x) + b \) ein: \( 5 = a \cdot \lg(1) + b \). Da \( \lg(1) = 0 \), folgt direkt \( b = 5 \). Setze \( x = 10 \) ein: \( 25 = a \cdot \lg(10) + 5 \). Da \( \lg(10) = 1 \), folgt \( 25 = a + 5 \), also \( a = 20 \). Die Gleichung lautet \( U = 20 \cdot \lg(x) + 5 \). 3. Berechnung der Beleuchtungsstärke für \( 100\,\text{mV} \): Setze \( U = 100 \) in die Gleichung ein: \( 100 = 20 \cdot \lg(x) + 5 \). Subtrahiere \( 5 \): \( 95 = 20 \cdot \lg(x) \). Dividiere durch \( 20 \): \( 4{,}75 = \lg(x) \). Wende die Umkehrfunktion an: \( x = 10^{4{,}75} \). 4. Numerisches Ergebnis: \( x \approx 56\,234{,}13 \).

a) Eine Verzehnfachtung von \( x \) führt zu einer Erhöhung der Spannung um \( 20\,\text{mV} \). b) \( U = 20 \cdot \lg(x) + 5 \). c) Die Beleuchtungsstärke beträgt \( x = 10^{4{,}75}\,\text{lx} \approx 56\,234{,}13\,\text{lx} \).

- Setze für Teilaufgabe a) den gegebenen Wert für \(I\) in die Formel ein und vereinfache den Bruch. - Bei b) hilft es, die Differenz der Dezibelwerte zu betrachten und die Definition des Logarithmus zur Basis 10 zu verwenden. - Überlege dir für c), wie man die Differenz zweier Logarithmen mit derselben Basis zusammenfassen kann. - Denke daran, dass \(\lg(x)\) der Logarithmus zur Basis 10 ist.

1. Berechnung der Lautstärke für das Auto: \(L = 10 \cdot \lg(5 \cdot 10^6) = 10 \cdot (\lg(5) + 6) \approx 10 \cdot (0{,}699 + 6) = 66{,}99\,\text{dB}\). 2. Bestimmung des Faktors der Intensitätsverringerung: Die Differenz beträgt \(\Delta L = 84 - 66 = 18\,\text{dB}\). Es gilt \(18 = 10 \cdot \lg\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\). Daraus folgt \(1{,}8 = \lg\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\) und somit \(\frac{I_1}{I_2} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}10\). Die Intensität wurde etwa um den Faktor \(63\) verringert. 3. Allgemeiner Nachweis für \(10\,\text{dB}\): Sei \(L_1 - L_2 = 10\). Dann ist \(10 \cdot \lg\left(\frac{I_1}{I_0}\right) - 10 \cdot \lg\left(\frac{I_2}{I_0}\right) = 10\). Durch Division durch \(10\) erhält man \(\lg\left(\frac{I_1}{I_0}\right) - \lg\left(\frac{I_2}{I_0}\right) = 1\). Nach dem Logarithmusgesetz für Quotienten folgt \(\lg\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 1\), woraus \(10^1 = \frac{I_1}{I_2}\) resultiert. Somit ist \(I_2 = \frac{1}{10} I_1\).

a) Die Lautstärke beträgt ca. \(67\,\text{dB}\). b) Die Intensität wurde um den Faktor \(10^{1{,}8} \approx 63{,}1\) verringert. c) Aus \(10 = 10 \cdot \lg\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\) folgt \(1 = \lg\left(\frac{I_1}{I_2}\right)\) und damit \(\frac{I_1}{I_2} = 10^1 = 10\).

- Was bedeutet das Minuszeichen vor dem Logarithmus für das Ergebnis? - Wie kannst du eine Logarithmusgleichung nach dem Argument im Inneren auflösen? - Erinnere dich an die Definition: Wenn \(\lg(x) = y\), dann ist \(x = 10^y\). - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir, wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis durcheinander dividierst?

1. Berechnung der pH-Werte für Aufgabenteil a: (1) \(\text{pH} = -\lg(0{,}032) \approx 1{,}49\) (2) \(\text{pH} = -\lg(10^{-10}) = 10\) 2. Umstellung der Formel zur Berechnung der Konzentration für Aufgabenteil b: \(\text{pH} = -\lg(c) \iff -\text{pH} = \lg(c) \iff c = 10^{-\text{pH}}\) Einsetzen von \(\text{pH} = 5{,}5\): \(c = 10^{-5{,}5} \approx 3{,}16 \cdot 10^{-6}\,\text{mol/l}\). 3. Vergleich der Konzentrationen für Aufgabenteil c: Konzentration Zitronensaft: \(c_1 = 10^{-2{,}4}\) Konzentration Essig: \(c_2 = 10^{-2{,}9}\) Verhältnis bilden: \(\frac{c_1}{c_2} = \frac{10^{-2{,}4}}{10^{-2{,}9}} = 10^{-2{,}4 - (-2{,}9)} = 10^{0{,}5} \approx 3{,}16\). Die Konzentration im Zitronensaft ist etwa \(3{,}16\)-mal so hoch wie im Essig.

a) (1) \(\text{pH} \approx 1{,}49\); (2) \(\text{pH} = 10\) b) \(c(H_3O^+) \approx 3{,}16 \cdot 10^{-6}\,\text{mol/l}\) c) Die Konzentration im Zitronensaft ist um den Faktor \(10^{0{,}5} \approx 3{,}16\) höher.

- Für a) musst du die Gleichung nach dem Bruch \(\frac{I}{I_0}\) auflösen. - In b) kannst du die Rechenregeln für Logarithmen nutzen, um den Faktor 2 vom restlichen Term zu trennen. - Überlege dir in c), wie sich die Gesamtintensität verhält, wenn du \(n\) gleiche Quellen hast. - Die Erhöhung der Lautstärke hängt nur vom Faktor der Intensitätssteigerung ab, nicht vom Startwert.

1. Berechnung des Intensitätsverhältnisses: \(75 = 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{I_0}\right) \Rightarrow 7{,}5 = \lg\left(\frac{I}{I_0}\right) \Rightarrow \frac{I}{I_0} = 10^{7{,}5} \approx 31\,622\,776{,}6\). Die Intensität ist etwa das \(31{,}6\)-millionenfache von \(I_0\). 2. Lautstärke bei Verdopplung der Intensität: \(L_{neu} = 10 \cdot \lg\left(\frac{2I}{I_0}\right) = 10 \cdot (\lg 2 + \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)) = 10 \cdot \lg 2 + 75 \approx 3{,}01 + 75 = 78{,}01\,\text{dB}\). 3. Anzahl der Lautsprecher für \(85\,\text{dB}\): Es soll gelten \(85 = 10 \cdot \lg\left(\frac{n \cdot I}{I_0}\right)\). Dies führt zu \(8{,}5 = \lg n + \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)\). Mit \(\lg\left(\frac{I}{I_0}\right) = 7{,}5\) folgt \(8{,}5 = \lg n + 7{,}5\), also \(\lg n = 1\). Daraus ergibt sich \(n = 10^1 = 10\).

a) Die Intensität \(I\) ist das \(10^{7{,}5} \approx 31{,}6 \cdot 10^6\)-fache von \(I_0\). b) Die neue Lautstärke beträgt ca. \(78\,\text{dB}\). c) Es werden \(10\) Lautsprecher benötigt.

- Kannst du den Bruch innerhalb des Logarithmus vereinfachen, bevor du den Logarithmus berechnest? - Isoliere zuerst den Logarithmus-Ausdruck auf einer Seite der Gleichung. - Welches Logarithmusgesetz hilft dir, wenn du die Differenz zweier Logarithmen berechnen willst? - Überlege dir für den letzten Teil, was passiert, wenn du für \(I\) einen beliebigen Wert einsetzt und ihn dann verdoppelst.

1. Berechnung für Aufgabenteil a: Einsetzen der Werte: \(L = 10 \cdot \lg\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right) = 10 \cdot \lg(10^5)\). Da \(\lg(10^5) = 5\), ergibt sich \(L = 10 \cdot 5 = 50\,\text{dB}\). 2. Berechnung für Aufgabenteil b: Gleichung aufstellen: \(120 = 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\). Division durch 10: \(12 = \lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\). Anwendung der Definition des Logarithmus: \(10^{12} = \frac{I}{10^{-12}}\). Multiplikation mit \(10^{-12}\): \(I = 10^{12} \cdot 10^{-12} = 10^0 = 1\,\text{W/m}^2\). 3. Berechnung für Aufgabenteil c: Vergleich von \(L_1 = 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)\) und \(L_2 = 10 \cdot \lg\left(\frac{2I}{I_0}\right)\). Differenz bilden: \(\Delta L = 10 \cdot \lg\left(\frac{2I}{I_0}\right) - 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \cdot \left(\lg\left(\frac{2I}{I_0}\right) - \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)\right)\). Anwendung der Logarithmusgesetze: \(\Delta L = 10 \cdot \lg\left(\frac{2I/I_0}{I/I_0}\right) = 10 \cdot \lg(2) \approx 10 \cdot 0{,}301 = 3{,}01\,\text{dB}\). Der Schallintensitätspegel steigt um ca. \(3\,\text{dB}\).

a) \(50\,\text{dB}\) b) \(1\,\text{W/m}^2\) c) Der Schallintensitätspegel steigt um ca. \(3\,\text{dB}\).