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- Wie hängen die Anzahl der Stellen einer Zahl und ihr Zehnerlogarithmus zusammen? - Welche Rechenregeln für Logarithmen kannst du anwenden, um die Basis \(6\) zu zerlegen? - Überlege, was der ganzzahlige Teil eines Logarithmus über die Größe der Zahl aussagt.

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen: \(\lg(6^{60}) = 60 \cdot \lg 6\) 2. Zerlegung der Basis unter Verwendung des Gesetzes für Produkte: \(\lg 6 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 2 + \lg 3\) 3. Einsetzen der gegebenen Näherungswerte: \(\lg 6 \approx 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781\) 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(60 \cdot 0{,}7781 = 46{,}686\) 5. Bestimmung der Stellenanzahl: Die Anzahl der Stellen einer Zahl \(N\) entspricht \(\lfloor \lg N \rfloor + 1\). Mit \(\lfloor 46{,}686 \rfloor = 46\) ergibt sich \(46 + 1 = 47\).

Die Zahl \(6^{60}\) hat 47 Stellen.

- Was muss für den Zehnerlogarithmus einer Zahl gelten, damit sie höchstens 100 Stellen hat? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, in der die gesuchte Zahl \(n\) vorkommt? - Erinnere dich an die Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz.

1. Aufstellen der Bedingung für die Stellenanzahl: Eine Zahl hat höchstens 100 Stellen, wenn ihr Zehnerlogarithmus kleiner als 100 ist, also \(\lg(2^n) < 100\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen: \(n \cdot \lg 2 < 100\). 3. Umformung nach \(n\): \(n < \frac{100}{\lg 2}\). 4. Numerische Berechnung mit dem Näherungswert: \(n < \frac{100}{0{,}30103} \approx 332{,}19\). 5. Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, ist der größtmögliche Wert \(n = 332\). 6. Überprüfung: Für \(n = 332\) ist \(\lg(2^{332}) \approx 99{,}94\), was \(\lfloor 99{,}94 \rfloor + 1 = 100\) Stellen entspricht. Für \(n = 333\) wäre \(\lg(2^{333}) \approx 100{,}24\), was 101 Stellen entspräche.

Die größte natürliche Zahl ist \(n = 332\).

- Achte auf die Einheiten der Achsen. \(x\) gibt die Anzahl in Tausend an. - Suche Punkte auf dem Graphen, deren Koordinaten du exakt auf den Gitterlinien ablesen kannst. - Wenn du die Basis einer Funktion \(y = \log_{b}(x)\) suchst, schau nach dem \(x\)-Wert, bei dem \(y = 1\) ist.

1. Ablesen aus dem Graphen: Bei \(y = 1\) liegt der Punkt \((2 \mid 1)\) auf dem Graphen, also sind \(2000\) Bakterien vorhanden. Bei \(y = 3\) liegt der Punkt \((8 \mid 3)\) auf dem Graphen, also sind \(8000\) Bakterien vorhanden. 2. Bestimmung der Basis \(b\): Wir nutzen den Punkt \((2 \mid 1)\). Einsetzen in \(y = \log_{b}(x)\) ergibt \(1 = \log_{b}(2)\), also \(b^1 = 2\). Die Basis ist \(b = 2\). Die Funktionsgleichung lautet \(y = \log_{2}(x)\). 3. Berechnung für \(16\,000\) Bakterien: Hier ist \(x = 16\), da \(x\) in Tausend angegeben ist. Wir berechnen \(y = \log_{2}(16)\). Da \(2^4 = 16\), ist \(y = 4\). Es dauert also \(4\) Stunden.

a) Nach \(1\) Stunde sind \(2000\) Bakterien vorhanden, nach \(3\) Stunden sind es \(8000\) Bakterien. b) Die Funktionsgleichung lautet \(y = \log_{2}(x)\). c) Nach \(4\) Stunden sind \(16\,000\) Bakterien vorhanden.