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- Wie hängen die Anzahl der Stellen einer Zahl und ihr Zehnerlogarithmus zusammen? - Welche Rechenregeln für Logarithmen kannst du anwenden, um die Basis \(6\) zu zerlegen? - Überlege, was der ganzzahlige Teil eines Logarithmus über die Größe der Zahl aussagt.

1. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen: \(\lg(6^{60}) = 60 \cdot \lg 6\) 2. Zerlegung der Basis unter Verwendung des Gesetzes für Produkte: \(\lg 6 = \lg(2 \cdot 3) = \lg 2 + \lg 3\) 3. Einsetzen der gegebenen Näherungswerte: \(\lg 6 \approx 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781\) 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(60 \cdot 0{,}7781 = 46{,}686\) 5. Bestimmung der Stellenanzahl: Die Anzahl der Stellen einer Zahl \(N\) entspricht \(\lfloor \lg N \rfloor + 1\). Mit \(\lfloor 46{,}686 \rfloor = 46\) ergibt sich \(46 + 1 = 47\).

Die Zahl \(6^{60}\) hat 47 Stellen.

- Überlege dir zuerst, wie der Wachstumsfaktor lautet, wenn der Bestand jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz zunimmt. - Welchen Wert muss der Bestand am Ende haben, wenn er sich verdoppelt hat? - Mit welcher mathematischen Operation kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Brauchst du den Anfangswert von \(2\,000\,\text{m}^3\) wirklich für die finale Berechnung oder kürzt er sich vielleicht heraus?

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung mit dem Anfangswert \(B_0 = 2\,000\), dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}035\) und dem Zielwert \(B_n = 4\,000\): \(2\,000 \cdot 1{,}035^n = 4\,000\). 2. Vereinfachen der Gleichung durch Division durch \(2\,000\): \(1{,}035^n = 2\). 3. Anwenden des Logarithmus, um den Exponenten zu isolieren: \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}035)}\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(n \approx 20{,}1488\). 5. Rundung auf die geforderte Genauigkeit: \(20{,}1\).

Nach etwa \(20{,}1\) Jahren hat sich der Holzbestand verdoppelt.

- Was muss für den Zehnerlogarithmus einer Zahl gelten, damit sie höchstens 100 Stellen hat? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, in der die gesuchte Zahl \(n\) vorkommt? - Erinnere dich an die Rechenregel für den Logarithmus einer Potenz.

1. Aufstellen der Bedingung für die Stellenanzahl: Eine Zahl hat höchstens 100 Stellen, wenn ihr Zehnerlogarithmus kleiner als 100 ist, also \(\lg(2^n) < 100\). 2. Anwendung des Logarithmengesetzes für Potenzen: \(n \cdot \lg 2 < 100\). 3. Umformung nach \(n\): \(n < \frac{100}{\lg 2}\). 4. Numerische Berechnung mit dem Näherungswert: \(n < \frac{100}{0{,}30103} \approx 332{,}19\). 5. Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, ist der größtmögliche Wert \(n = 332\). 6. Überprüfung: Für \(n = 332\) ist \(\lg(2^{332}) \approx 99{,}94\), was \(\lfloor 99{,}94 \rfloor + 1 = 100\) Stellen entspricht. Für \(n = 333\) wäre \(\lg(2^{333}) \approx 100{,}24\), was 101 Stellen entspräche.

Die größte natürliche Zahl ist \(n = 332\).

- Kannst du den Wachstumsfaktor aus dem Prozentsatz bestimmen? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum aus? - Was bedeutet „verdreifachen“ für den Endwert im Vergleich zum Startwert? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, wenn die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: \(B(t) = B_0 \cdot q^t\) mit dem Anfangswert \(B_0 = 80\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\). 2. Berechnung für \(t = 15\): \(B(15) = 80 \cdot 1{,}06^{15} \approx 191{,}72\). Der Bestand beträgt nach \(15\) Jahren etwa \(192\) Vögel. 3. Ansatz für die Verdreifachung: \(80 \cdot 1{,}06^x = 3 \cdot 80\), also \(1{,}06^x = 3\). 4. Lösen der Exponentialgleichung mittels Logarithmus: \(x = \frac{\log(3)}{\log(1{,}06)} \approx 18{,}85\). 5. Der Bestand hat sich nach etwa \(18{,}9\) Jahren verdreifacht.

a) ca. \(192\) Vögel b) nach ca. \(18{,}9\) Jahren

- Kannst du für beide Städte eine Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum aufstellen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Städte die gleiche Einwohnerzahl haben? - Wie kannst du die Gleichung umformen, damit alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(f_A(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^t\) und \(f_B(t) = 40\,000 \cdot 1{,}012^t\). 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(25\,000 \cdot 1{,}035^t = 40\,000 \cdot 1{,}012^t\). 3. Umformen der Gleichung zur Isolation der Potenzen: \(\frac{1{,}035^t}{1{,}012^t} = \frac{40\,000}{25\,000}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen und Vereinfachen des Bruchs: \(\left(\frac{1{,}035}{1{,}012}\right)^t = 1{,}6\). 5. Anwenden des Logarithmus: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}035}{1{,}012}\right) = \ln(1{,}6)\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}035) - \ln(1{,}012)} \approx 20{,}91\).

Nach etwa \(20{,}9\) Jahren haben beide Städte die gleiche Einwohnerzahl.

- Wenn etwas um einen Prozentsatz abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann jeweils für den nächsten Schritt übrig? - „Ein Viertel“ lässt sich als Dezimalzahl ausdrücken. Wie lautet diese? - Du kannst die Anfangsmenge als \(100\,\%\) oder einfach als Variable \(A\) betrachten – sie wird am Ende keine Rolle für die Zeitdauer spielen. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(q\) aus der prozentualen Abnahme: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Aufstellen der Zerfallsgleichung für den Bruchteil der Restmenge: \(0{,}88^n = 0{,}25\) (da ein Viertel verbleiben soll). 3. Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung: \(\log(0{,}88^n) = \log(0{,}25)\), woraus \(n \cdot \log(0{,}88) = \log(0{,}25)\) folgt. 4. Auflösen nach der Anzahl der Tage \(n\): \(n = \frac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}88)}\). 5. Berechnung des Werts: \(n \approx 10{,}8476\). 6. Rundung auf eine Dezimalstelle: \(10{,}8\).

Nach etwa \(10{,}8\) Tagen ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden.

- Stelle für beide Personen eine Formel für das Kapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren auf. - Beachte, dass bei einer vierteljährlichen Verzinsung die Zinsen viermal pro Jahr gutgeschrieben werden. - Wie kannst du eine Gleichung oder Ungleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Überlege am Ende, ob das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, um die Frage zu beantworten.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen für das Kapital nach \(n\) Jahren: Frau Meyer: \(K_M(n) = 2500 \cdot 1{,}04^n\); Herr Schmidt: \(K_S(n) = 2800 \cdot 1{,}008^{4n}\). 2. Ansetzen der Ungleichung für den Zeitpunkt des Überholens: \(2500 \cdot 1{,}04^n > 2800 \cdot 1{,}008^{4n}\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(n\): \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}008^4}\right)^n > \frac{2800}{2500}\). 4. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln\left(\frac{1{,}04}{1{,}008^4}\right) > \ln(1{,}12)\). 5. Berechnung des numerischen Wertes: \(n > \frac{\ln(1{,}12)}{\ln(1{,}04) - 4 \cdot \ln(1{,}008)} \approx 15{,}42\). 6. Da nach vollen Jahren gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden: \(n = 16\).

Nach \(16\) Jahren ist das Kapital von Frau Meyer erstmals größer als das von Herrn Schmidt.

- Stelle für jede Stadt eine Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum auf. - Wann sind die beiden Funktionswerte genau gleich groß? - Nutze Potenzgesetze, um die Unbekannte im Exponenten auf einer Seite der Gleichung zusammenzufassen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen für beide Städte: \(A(t) = 45\,000 \cdot 1{,}032^t\) und \(N(t) = 110\,000 \cdot 1{,}012^t\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(45\,000 \cdot 1{,}032^t = 110\,000 \cdot 1{,}012^t\). 3. Umformen der Gleichung durch Division: \(\frac{1{,}032^t}{1{,}012^t} = \frac{110\,000}{45\,000}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \(\left(\frac{1{,}032}{1{,}012}\right)^t = \frac{22}{9}\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}032}{1{,}012}\right) = \ln\left(\frac{22}{9}\right)\). 6. Berechnung von \(t\): \(t = \frac{\ln(22/9)}{\ln(1{,}032/1{,}012)} \approx 45{,}67\). 7. Da die Überschreitung nach \(45{,}67\) Jahren stattfindet, ist dies im 46. Jahr der Fall.

Nach etwa \(45{,}7\) Jahren (also im 46. Jahr) wird die Einwohnerzahl von Altdorf die von Neustadt überschreiten.

- Wie sieht die Grundformel für Zinseszins aus? - Setze die beiden Terme für die Endbeträge gleich, um den Zeitpunkt zu finden, an dem sie denselben Wert haben. - Du kannst die Basis der Potenzen dividieren, wenn sie denselben Exponenten haben. - Überlege, wie du den Logarithmus einsetzen kannst, um den Exponenten zu isolieren.

1. Modellierung des Kapitals durch Exponentialfunktionen: \(K_A(t) = 12\,500 \cdot 1{,}065^t\) und \(K_B(t) = 20\,000 \cdot 1{,}038^t\). 2. Ansatz zur Berechnung des Zeitpunkts der Gleichheit: \(12\,500 \cdot 1{,}065^t = 20\,000 \cdot 1{,}038^t\). 3. Isolation der Terme mit \(t\): \(\frac{1{,}065^t}{1{,}038^t} = \frac{20\,000}{12\,500}\). 4. Vereinfachung der Brüche: \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}038}\right)^t = 1{,}6\). 5. Logarithmieren der Gleichung: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}065}{1{,}038}\right) = \ln(1{,}6)\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}065/1{,}038)} \approx 18{,}30\).

Nach etwa \(18{,}3\) Jahren sind die Guthaben gleich groß; danach übertrifft das Guthaben von Anlage A das von Anlage B.

- Überlege zuerst, wie oft die Zinsen bei beiden Angeboten pro Jahr gutgeschrieben werden. - Kannst du für beide Kapitalanlagen eine Formel für das Guthaben nach \(t\) Jahren aufstellen? - Wie lässt sich der vierteljährliche Zinssatz in einen jährlichen Wachstumsfaktor umrechnen? - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um eine Variable im Exponenten zu isolieren. - Überlege, ob du eine Gleichung oder eine Ungleichung lösen musst.

1. Aufstellen der Wachstumsgleichungen für die Zeit \(t\) in Jahren: \(K_A(t) = 8\,000 \cdot 1{,}0075^{4t}\) und \(K_B(t) = 9\,000 \cdot 1{,}025^{t}\). 2. Ansetzen der Ungleichung für den Zeitpunkt des Überholens: \(8\,000 \cdot (1{,}0075^4)^t > 9\,000 \cdot 1{,}025^t\). 3. Umformen der Ungleichung durch Division und Zusammenfassen der Potenzen: \(\left(\frac{1{,}0075^4}{1{,}025}\right)^t > \frac{9\,000}{8\,000}\). 4. Logarithmieren beider Seiten: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}0075^4}{1{,}025}\right) > \ln(1{,}125)\). 5. Berechnung der Basis \(\frac{1{,}0075^4}{1{,}025} \approx 1{,}005209\) und des Logarithmus: \(t > \frac{\ln(1{,}125)}{\ln(1{,}005209)} \approx 22{,}67\). 6. Das Kapital \(K_A\) übersteigt \(K_B\) nach etwa \(22{,}67\) Jahren.

Nach etwa \(22{,}67\) Jahren (bzw. ab dem 23. Jahr).

- Welchen Wert hat der Wachstumsfaktor bei einer Zunahme von \(12\,\%\)? - Stelle eine Gleichung auf, bei der die Zeit im Exponenten steht. - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen im Exponenten auflösen? - Überlege, ob das Ergebnis auf- oder abgerundet werden muss, damit die Bedingung „vollständig bedeckt“ erfüllt ist.

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung: Die Fläche nach \(t\) Tagen berechnet sich durch \(B(t) = B_0 \cdot q^t\). Mit dem Anfangswert \(B_0 = 4{,}5\), dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}12 = 1{,}12\) und der Zielfläche \(B(t) = 1\,800\) ergibt sich die Gleichung \(4{,}5 \cdot 1{,}12^t = 1\,800\). 2. Isolieren der Potenz: Division durch \(4{,}5\) führt zu \(1{,}12^t = 400\). 3. Anwendung des Logarithmus: Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man \(t \cdot \ln(1{,}12) = \ln(400)\). 4. Berechnung der Zeit: \(t = \frac{\ln(400)}{\ln(1{,}12)} \approx 52{,}87\). Nach etwa \(53\) Tagen ist der See vollständig bedeckt.

Nach \(53\) Tagen ist der See vollständig mit Algen bedeckt.

- Welchen Anteil des Giftstoffs lässt der Filter bei jedem Schritt noch durch? - Kannst du eine Formel für den Restbestand nach einer bestimmten Anzahl von Schritten aufstellen? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Denke daran, dass das Ergebnis eine ganze Zahl von Durchläufen sein muss.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors pro Durchlauf: \(q = 1 - 0{,}65 = 0{,}35\). 2. Aufstellen der Ungleichung für die Giftstoffmenge nach \(n\) Durchläufen: \(0{,}35^n < 0{,}005\). 3. Anwendung des Logarithmus zur Isolierung von \(n\): \(n \cdot \log(0{,}35) < \log(0{,}005)\). 4. Da \(\log(0{,}35)\) negativ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen beim Dividieren um: \(n > \frac{\log(0{,}005)}{\log(0{,}35)}\). 5. Numerische Berechnung: \(n > \frac{-2{,}301}{-0{,}456} \approx 5{,}047\). 6. Da \(n\) eine ganze Zahl sein muss, sind mindestens 6 Durchläufe erforderlich.

Nach 6 Durchläufen beträgt die Giftstoffmenge weniger als \(0{,}5\,\%\) des ursprünglichen Wertes.

- Wie viel Prozent des Wertes bleiben nach einem Jahr jeweils übrig? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wertverlust über die Zeit beschreibt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu holen? - Überlege, ob das Ergebnis auf- oder abgerundet werden muss, damit die Bedingung „weniger als ein Drittel“ erfüllt ist.

1. Bestimmung des jährlichen Wachstumsfaktors (Abnahmefaktor): \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Aufstellen der Exponentialgleichung für den Restwert \(V_n\) nach \(n\) Jahren im Verhältnis zum Anfangswert \(V_0\): \(V_0 \cdot 0{,}88^n < \frac{1}{3} \cdot V_0\). 3. Kürzen von \(V_0\) führt zur Ungleichung: \(0{,}88^n < \frac{1}{3}\). 4. Logarithmieren beider Seiten: \(n \cdot \log(0{,}88) < \log\left(\frac{1}{3}\right)\). 5. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichens beim Dividieren durch \(\log(0{,}88)\): \(n > \frac{\log(1/3)}{\log(0{,}88)}\). 6. Berechnung des Wertes: \(n > \frac{-0{,}4771}{-0{,}0555} \approx 8{,}59\). 7. Da nur volle Jahre betrachtet werden, ist der Wert nach 9 Jahren erstmals unter ein Drittel gesunken.

Nach 9 Jahren beträgt der Wert der Maschine erstmals weniger als ein Drittel des Kaufpreises.

- Wenn etwas an Wert verliert, wie groß ist dann der Faktor, mit dem du multiplizierst? - Welche Werte aus dem Text entsprechen dem Startwert und dem Zielwert? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Zeit als Variable vorkommt? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Unbekannten im Exponenten aufzulösen?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(W(t) = W_0 \cdot q^t\) mit dem Neuwert \(W_0 = 2\,400\) und dem Abminderungsfaktor \(q = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). 2. Wert nach \(3\) Jahren berechnen: \(W(3) = 2\,400 \cdot 0{,}75^3 = 2\,400 \cdot 0{,}421875 = 1\,012{,}50\). Der Wert beträgt \(1\,012{,}50\,\text{€}\). 3. Gleichung für den Zielwert aufstellen: \(2\,400 \cdot 0{,}75^x = 200\). 4. Umformen der Gleichung: \(0{,}75^x = \frac{200}{2\,400} = \frac{1}{12}\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(x = \frac{\log(1/12)}{\log(0{,}75)} \approx 8{,}64\). Da nach ganzen Jahren gefragt ist, unterschreitet der Wert nach \(9\) Jahren die Grenze von \(200\,\text{€}\).

a) \(1\,012{,}50\,\text{€}\) b) nach ca. \(8{,}6\) Jahren (bzw. nach \(9\) Jahren ist der Wert erstmals unter \(200\,\text{€}\))

- Stelle zuerst die Wachstumsformeln für beide Betriebe auf. - Wie drückst du die Bedingung „\(75\,\%\) des Bestandes von B“ als mathematischen Term aus? - Setze den Bestand von A mit dem berechneten Anteil von B gleich. - Nutze Logarithmengesetze, um die Variable aus dem Exponenten zu holen.

1. Aufstellen der Bestandsfunktionen: \(B_A(t) = 800 \cdot 1{,}04^t\) und \(B_B(t) = 2\,000 \cdot 1{,}015^t\). 2. Aufstellen der Zielgleichung (\(B_A\) soll \(75\,\%\) von \(B_B\) sein): \(800 \cdot 1{,}04^t = 0{,}75 \cdot (2\,000 \cdot 1{,}015^t)\). 3. Vereinfachen der rechten Seite: \(800 \cdot 1{,}04^t = 1\,500 \cdot 1{,}015^t\). 4. Umformen der Gleichung: \(\frac{1{,}04^t}{1{,}015^t} = \frac{1\,500}{800}\). 5. Zusammenfassen: \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}015}\right)^t = 1{,}875\). 6. Logarithmieren und nach \(t\) auflösen: \(t = \frac{\ln(1{,}875)}{\ln(1{,}04) - \ln(1{,}015)} \approx 25{,}83\).

Nach etwa \(25{,}8\) Jahren beträgt der Holzbestand von Betrieb A genau \(75\,\%\) des Bestandes von Betrieb B.

- Wähle eine einheitliche Zeiteinheit für beide Optionen, zum Beispiel Monate. - Drücke den jährlichen Wachstumsfaktor von Option A passend in Monaten aus. - Setze die beiden Kapitalfunktionen in Beziehung zueinander, um den Schnittpunkt zu finden. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten „herunterzuholen“?

1. Definition der Zeitvariablen \(m\) in Monaten. Die jährliche Verzinsung von Option A wird auf Monate umgerechnet: \(K_A(m) = 6000 \cdot 1{,}025^{m/12}\). 2. Aufstellen der Wachstumsfunktion für Option B: \(K_B(m) = 5500 \cdot 1{,}004^m\). 3. Aufstellen der Ungleichung: \(5500 \cdot 1{,}004^m > 6000 \cdot 1{,}025^{m/12}\). 4. Umformen und Logarithmieren: \(m \cdot \ln(1{,}004) - \frac{m}{12} \cdot \ln(1{,}025) > \ln\left(\frac{6000}{5500}\right)\). 5. Ausklammern von \(m\) und Isolieren: \(m \cdot \left(\ln(1{,}004) - \frac{\ln(1{,}025)}{12}\right) > \ln\left(\frac{12}{11}\right)\). 6. Numerische Berechnung: \(m > \frac{\ln(12/11)}{\ln(1{,}004) - \frac{1}{12}\ln(1{,}025)} \approx 44{,}98\). 7. Da nach vollen Monaten gefragt ist, ergibt sich \(m = 45\).

Nach \(45\) Monaten übersteigt das Guthaben von Option B zum ersten Mal das von Option A.

- Notiere dir für beide Kulturen den Anfangswert und den Wachstumsfaktor pro Zeitabschnitt. - Achte darauf, dass die Zeitabschnitte (4 Stunden vs. 12 Stunden) unterschiedlich sind. Wie kannst du das in der Formel berücksichtigen? - Du suchst den Zeitpunkt, an dem beide Bestände gleich groß sind – danach wird die schnellere Kultur die andere überholen. - Nutze den Logarithmus, um die gesuchte Zeit \(t\) aus den Exponenten zu holen.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen mit der Zeit \(t\) in Stunden: \(N_A(t) = 1\,500 \cdot 1{,}15^{\frac{t}{4}}\) und \(N_B(t) = 2\,500 \cdot 1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1\,500 \cdot 1{,}15^{\frac{t}{4}} = 2\,500 \cdot 1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 3. Logarithmieren der Gleichung: \(\ln(1\,500) + \frac{t}{4} \cdot \ln(1{,}15) = \ln(2\,500) + \frac{t}{12} \cdot \ln(1{,}35)\). 4. Ordnen der Terme nach \(t\): \(t \cdot \left(\frac{\ln(1{,}15)}{4} - \frac{\ln(1{,}35)}{12}\right) = \ln(2\,500) - \ln(1\,500)\). 5. Berechnung der Werte: \(t \cdot (0{,}03494 - 0{,}02501) \approx 0{,}5108\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t \approx \frac{0{,}5108}{0{,}00993} \approx 51{,}43\). 7. Nach ca. \(51{,}43\) Stunden ist Kultur A größer als Kultur B.

Nach etwa \(51{,}43\) Stunden.

- Wie lautet die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum? - Was ist der Unterschied zwischen dem Prozentsatz der Zunahme und dem Wachstumsfaktor? - Verwende Logarithmen, um die gesuchte Anzahl an Jahren zu berechnen. - Addiere die berechneten Jahre zum Startjahr, um den genauen Zeitpunkt zu bestimmen.

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(B_0 = 450\), der Wachstumsfaktor beträgt \(q = 1{,}35\) und der Schwellenwert ist \(G = 15\,000\). 2. Aufstellen der Exponentialgleichung: \(450 \cdot 1{,}35^t = 15\,000\). 3. Vereinfachen der Gleichung: Division durch \(450\) ergibt \(1{,}35^t = \frac{15\,000}{450} = \frac{100}{3} \approx 33{,}33\). 4. Lösen mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(33{,}33)}{\ln(1{,}35)} \approx 11{,}68\). 5. Bestimmung des Kalenderjahres: Da \(t \approx 11{,}68\) Jahre nach Beginn von 2024 vergehen, wird die Kapazität im Laufe des 12. Jahres nach 2024 erschöpft sein (\(2024 + 11 = 2035\)). Somit ist der Speicher im Jahr 2035 voll.

Die Kapazität wird im Jahr 2035 erschöpft sein.