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- Überlege dir zuerst, wie der Wachstumsfaktor lautet, wenn der Bestand jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz zunimmt. - Welchen Wert muss der Bestand am Ende haben, wenn er sich verdoppelt hat? - Mit welcher mathematischen Operation kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Brauchst du den Anfangswert von \(2\,000\,\text{m}^3\) wirklich für die finale Berechnung oder kürzt er sich vielleicht heraus?

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung mit dem Anfangswert \(B_0 = 2\,000\), dem Wachstumsfaktor \(q = 1{,}035\) und dem Zielwert \(B_n = 4\,000\): \(2\,000 \cdot 1{,}035^n = 4\,000\). 2. Vereinfachen der Gleichung durch Division durch \(2\,000\): \(1{,}035^n = 2\). 3. Anwenden des Logarithmus, um den Exponenten zu isolieren: \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}035)}\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(n \approx 20{,}1488\). 5. Rundung auf die geforderte Genauigkeit: \(20{,}1\).

Nach etwa \(20{,}1\) Jahren hat sich der Holzbestand verdoppelt.

- Welchen Wert muss das Kapital nach der gesuchten Zeit im Vergleich zum Startwert erreicht haben? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Exponenten steht? - Wie berechnet man den Wachstumsfaktor \(q\) aus einem Prozentsatz? - Überlege, welcher Rechenschritt als Erster hilft, wenn auf beiden Seiten der Gleichung \(K_0\) steht.

1. Für die Verdopplungszeit \(t_V\) muss gelten: \(K(t_V) = 2 \cdot K_0\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung: \(2 \cdot K_0 = K_0 \cdot q^{t_V}\). 3. Durch Division beider Seiten durch \(K_0\) (da \(K_0 \neq 0\)) erhält man \(2 = q^{t_V}\). 4. Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten: \(\lg 2 = \lg(q^{t_V})\). 5. Nach den Logarithmengesetzen gilt \(\lg 2 = t_V \cdot \lg q\). 6. Umstellen nach der gesuchten Größe ergibt \(t_V = \frac{\lg 2}{\lg q}\). 7. Für einen Zinssatz von \(4{,}5\,\%\) ist der Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{4{,}5}{100} = 1{,}045\). 8. Berechnung: \(t_V = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}045} \approx \frac{0{,}30103}{0{,}019116} \approx 15{,}75\).

a) Nachweis durch Lösen der Gleichung \(2 \cdot K_0 = K_0 \cdot q^{t_V}\) nach \(t_V\). b) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(15{,}75\,\text{Jahre}\).

- Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von Endmenge zu Anfangsmenge? - Welche mathematische Operation kehrt eine Potenz mit unbekannter Basis um? - Wie gehst du vor, wenn die Unbekannte einmal im Exponenten und einmal in der Basis steht? - Achte darauf, welche Information für welches Isotop gegeben ist.

1. Für Isotop A wird der Ansatz \(0{,}5 \cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}92^{t_H}\) gewählt. 2. Vereinfachen zu \(0{,}5 = 0{,}92^{t_H}\) und Logarithmieren: \(\lg 0{,}5 = t_H \cdot \lg 0{,}92\). 3. Auflösen nach \(t_H\): \(t_H = \frac{\lg 0{,}5}{\lg 0{,}92} \approx 8{,}31\). Die Halbwertszeit beträgt somit \(8{,}31\,\text{Tage}\). 4. Für Isotop B ist bekannt, dass nach \(t = 5\) Tagen die Menge auf \(0{,}5 \cdot N_0\) gesunken ist. 5. Ansatz: \(0{,}5 = b^5\). 6. Ziehen der 5. Wurzel: \(b = \sqrt[5]{0{,}5} = 0{,}5^{\frac{1}{5}} \approx 0{,}871\).

a) Die Halbwertszeit von Isotop A beträgt ca. \(8{,}31\,\text{Tage}\). b) Der tägliche Zerfallsfaktor für Isotop B beträgt \(b \approx 0{,}871\).

- Was bedeutet eine Verdopplung mathematisch für den Wachstumsfaktor? - Welche Rechenoperation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Denke daran, dass der Wachstumsfaktor \(q\) aus dem Prozentsatz \(p\) gebildet wird. - Vergleiche die Differenzen zwischen den geschätzten und den exakten Werten.

1. Berechnung der Verdopplungszeiten mit der Faustformel \(d \approx \frac{70}{p}\): Für \(p_1 = 2\): \(d_1 = \frac{70}{2} = 35\) Jahre. Für \(p_2 = 5\): \(d_2 = \frac{70}{5} = 14\) Jahre. Für \(p_3 = 10\): \(d_3 = \frac{70}{10} = 7\) Jahre. 2. Berechnung der exakten Verdopplungszeit mit der Formel \(1 \cdot q^d = 2\), wobei \(q = 1 + \frac{p}{100}\): Für \(p_1 = 2\) (\(q = 1{,}02\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)} \approx 35{,}00\) Jahre. Für \(p_2 = 5\) (\(q = 1{,}05\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21\) Jahre. Für \(p_3 = 10\) (\(q = 1{,}10\)): \(d = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}10)} \approx 7{,}27\) Jahre. 3. Vergleich der Abweichungen: Bei \(p = 2\) beträgt die Abweichung etwa \(|35{,}00 - 35| = 0{,}00\). Bei \(p = 5\) beträgt die Abweichung etwa \(|14{,}21 - 14| = 0{,}21\). Bei \(p = 10\) beträgt die Abweichung etwa \(|7{,}27 - 7| = 0{,}27\). Die geringste Abweichung liegt somit beim Zinssatz von \(2\,\%\) vor.

a) \(d_1 = 35\); \(d_2 = 14\); \(d_3 = 7\). b) \(d_1 \approx 35{,}00\); \(d_2 \approx 14{,}21\); \(d_3 \approx 7{,}27\). c) Bei \(p = 2\) ist die Abweichung am geringsten (nahezu \(0\)).

- Kannst du den Wachstumsfaktor aus dem Prozentsatz bestimmen? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum aus? - Was bedeutet „verdreifachen“ für den Endwert im Vergleich zum Startwert? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, wenn die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: \(B(t) = B_0 \cdot q^t\) mit dem Anfangswert \(B_0 = 80\) und dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\). 2. Berechnung für \(t = 15\): \(B(15) = 80 \cdot 1{,}06^{15} \approx 191{,}72\). Der Bestand beträgt nach \(15\) Jahren etwa \(192\) Vögel. 3. Ansatz für die Verdreifachung: \(80 \cdot 1{,}06^x = 3 \cdot 80\), also \(1{,}06^x = 3\). 4. Lösen der Exponentialgleichung mittels Logarithmus: \(x = \frac{\log(3)}{\log(1{,}06)} \approx 18{,}85\). 5. Der Bestand hat sich nach etwa \(18{,}9\) Jahren verdreifacht.

a) ca. \(192\) Vögel b) nach ca. \(18{,}9\) Jahren

- Kannst du für beide Städte eine Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum aufstellen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn beide Städte die gleiche Einwohnerzahl haben? - Wie kannst du die Gleichung umformen, damit alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen: \(f_A(t) = 25\,000 \cdot 1{,}035^t\) und \(f_B(t) = 40\,000 \cdot 1{,}012^t\). 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(25\,000 \cdot 1{,}035^t = 40\,000 \cdot 1{,}012^t\). 3. Umformen der Gleichung zur Isolation der Potenzen: \(\frac{1{,}035^t}{1{,}012^t} = \frac{40\,000}{25\,000}\). 4. Zusammenfassen der Potenzen und Vereinfachen des Bruchs: \(\left(\frac{1{,}035}{1{,}012}\right)^t = 1{,}6\). 5. Anwenden des Logarithmus: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}035}{1{,}012}\right) = \ln(1{,}6)\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}035) - \ln(1{,}012)} \approx 20{,}91\).

Nach etwa \(20{,}9\) Jahren haben beide Städte die gleiche Einwohnerzahl.

- Überlege zuerst, wie sich der Wachstumsfaktor aus dem Prozentsatz ergibt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Bei der Verdopplungszeit ist der genaue Startwert des Kapitals eigentlich egal – warum ist das so? - Achte bei der Faustregel darauf, dass du für den Zinssatz nur die Zahl vor dem Prozentzeichen einsetzt.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktion: Mit dem Anfangskapital \(K_0 = 4000\,\text{€}\) und dem Zinssatz \(p = 1{,}5\,\%\) ergibt sich der Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{1{,}5}{100} = 1{,}015\). Die Formel lautet \(K_n = 4000 \cdot 1{,}015^n\). 2. Berechnung für \(n = 8\): \(K_8 = 4000 \cdot 1{,}015^8 \approx 4505{,}97\,\text{€}\). 3. Berechnung der Laufzeit für \(5000\,\text{€}\): Ansatz \(4000 \cdot 1{,}015^n = 5000\). Umformen zu \(1{,}015^n = 1{,}25\). Anwendung des Logarithmus: \(n = \frac{\ln(1{,}25)}{\ln(1{,}015)} \approx 14{,}99\). Nach ca. \(15\) Jahren sind \(5000\,\text{€}\) erreicht. 4. Exakte Verdopplungszeit: Ansatz \(1{,}015^n = 2\). Berechnung \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}015)} \approx 46{,}56\) Jahre. 5. Faustregel: \(n \approx \frac{70}{1{,}5} \approx 46{,}67\) Jahre.

a) Das Kapital beträgt nach \(8\) Jahren ca. \(4505{,}97\,\text{€}\). b) Nach ca. \(15\) Jahren ist das Kapital auf \(5000\,\text{€}\) angewachsen. c) Die exakte Verdopplungszeit beträgt ca. \(46{,}56\) Jahre; die Faustregel liefert einen Näherungswert von ca. \(46{,}67\) Jahren.

- Wie verändert sich ein Wert, wenn er stündlich um einen festen Prozentsatz zunimmt? - Was bedeutet „Vervierfachung“ für das Verhältnis zwischen Endwert und Anfangswert? - Kannst du die Verdopplungszeit berechnen, ohne den Anfangswert von 250 zu benutzen? - Vergleiche die Ergebnisse der exakten Rechnung und der Faustregel – wie groß ist der Unterschied?

1. Wachstumsfaktor und Gleichung: Bei einer Zunahme von \(8\,\%\) ist \(q = 1 + 0{,}08 = 1{,}08\). Die Funktionsgleichung lautet \(B(t) = 250 \cdot 1{,}08^t\). 2. Vervierfachung: Die Population erreicht \(4 \cdot 250 = 1000\) Bakterien. Ansatz \(250 \cdot 1{,}08^t = 1000\), also \(1{,}08^t = 4\). Berechnung über Logarithmus: \(t = \frac{\ln(4)}{\ln(1{,}08)} \approx 18{,}01\). Die Vervierfachung tritt nach etwa \(18\) Stunden ein. 3. Verdopplungszeit exakt: Ansatz \(1{,}08^t = 2\). Berechnung \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}08)} \approx 9{,}01\) Stunden. 4. Faustregel: \(t \approx \frac{70}{8} = 8{,}75\) Stunden. Die Abweichung beträgt etwa \(0{,}26\) Stunden (ca. \(15\) bis \(16\) Minuten).

a) \(q = 1{,}08\); Gleichung: \(B(t) = 250 \cdot 1{,}08^t\). b) Nach ca. \(18\) Stunden hat sich die Anzahl vervierfacht. c) Die exakte Verdopplungszeit beträgt ca. \(9{,}01\) Stunden. Die Faustregel ergibt \(8{,}75\) Stunden, was eine gute Näherung darstellt.

- Überlege, mit welchem Faktor du einen Wert multiplizieren musst, wenn er um einen bestimmten Prozentsatz wächst. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn der Endwert genau doppelt so groß sein soll wie der Anfangswert? - Welche mathematische Operation hilft dir, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Wenn du weißt, wie lange eine Verdopplung dauert, kannst du daraus direkt schließen, wie lange eine Vervierfachung dauert?

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung für die Verdopplung mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}065 = 1{,}065\): \(1{,}065^n = 2\). 2. Lösen der Gleichung mittels Logarithmus: \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}065)} \approx 11{,}0067\). Die Verdopplung erfolgt nach ca. \(11{,}0\) Jahren. 3. Aufstellen der Gleichung für die Vervierfachung: \(1{,}065^n = 4\). Alternativ kann das Gesetz genutzt werden, dass eine Vervierfachung zwei aufeinanderfolgenden Verdopplungszeiträumen entspricht (\(2 \cdot 2 = 4\)). 4. Berechnung der Zeit: \(n = \frac{\log(4)}{\log(1{,}065)} \approx 22{,}0134\). Die Kapazitätsgrenze wird nach ca. \(22{,}0\) Jahren erreicht.

a) Die Population verdoppelt sich nach etwa \(11{,}0\) Jahren. b) Die Kapazitätsgrenze (Vervierfachung) wird nach etwa \(22{,}0\) Jahren erreicht.

- Bestimme zuerst für beide Fälle den Wachstumsfaktor \(q\). - Setze den allgemeinen Wachstumsansatz \(B(n) = B(0) \cdot q^n\) an und überlege, was für \(B(n)\) eingesetzt werden muss, damit es eine Verdopplung darstellt. - Die Anfangswerte sind nicht gegeben, kürzen sich aber bei der Berechnung der Verdopplungszeit ohnehin heraus.

1. Bestimmung der Wachstumsfaktoren für beide Prozesse: \(q_{\text{Produktion}} = 1{,}052\) und \(q_{\text{Kosten}} = 1{,}028\). 2. Berechnung der Verdopplungszeit für die Produktion durch Lösen von \(1{,}052^n = 2\): \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}052)} \approx 13{,}67\). 3. Berechnung der Verdopplungszeit für die Materialkosten durch Lösen von \(1{,}028^n = 2\): \(n = \frac{\log(2)}{\log(1{,}028)} \approx 25{,}10\).

Die Produktionsmenge verdoppelt sich nach etwa \(13{,}7\) Jahren. Die Materialkosten pro Stück verdoppeln sich nach etwa \(25{,}1\) Jahren.

- Wie unterscheidet sich der Wachstumsfaktor bei einer Abnahme von dem bei einer Zunahme? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für den Endwert im Vergleich zum Anfangswert? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Basis kleiner als 1 ist.

1. Schätzung mit Faustformel: Mit \(p = 10\) ergibt sich \(T_H \approx 70 : 10 = 7\) Stunden. 2. Exakte Berechnung: Die Zerfallsgleichung lautet \(0{,}90^{T_H} = 0{,}5\). Durch Anwendung des Logarithmus erhält man \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}90)} \approx 6{,}58\) Stunden. 3. Prozentuale Abweichung: Die absolute Differenz beträgt \(|7 - 6{,}58| = 0{,}42\). Die relative Abweichung berechnet sich durch \(\frac{0{,}42}{6{,}58} \cdot 100\,\% \approx 6{,}38\,\%\).

a) \(T_H \approx 7\) Stunden. b) \(T_H \approx 6{,}58\) Stunden. c) Die Abweichung beträgt etwa \(6{,}4\,\%\).

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum auf. - Überlege, welchen Wert der Wachstumsfaktor \(q\) bei einer Zunahme von \(p\,\%\) hat. - Was bedeutet „Verdreifachung“ für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Nutze den Logarithmus, um eine Gleichung der Form \(q^n = 3\) nach \(n\) aufzulösen.

1. Die exakte Zeitspanne wird über die Gleichung \((1 + \frac{p}{100})^n = 3\) bestimmt. Durch Anwendung des Logarithmus ergibt sich \(n = \frac{\ln(3)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\). Für \(p = 4\) erhält man \(n \approx \frac{1{,}0986}{0{,}0392} \approx 28{,}01\) Jahre. Für \(p = 8\) ergibt sich \(n \approx \frac{1{,}0986}{0{,}0770} \approx 14{,}27\) Jahre. 2. Anwendung der Faustformel: Für \(p = 4\) ergibt sich \(n_{Faust} = \frac{110}{4} = 27{,}5\) Jahre (Abweichung ca. \(0{,}51\) Jahre). Für \(p = 8\) ergibt sich \(n_{Faust} = \frac{110}{8} = 13{,}75\) Jahre (Abweichung ca. \(0{,}52\) Jahre). Die Faustformel liefert in beiden Fällen eine gute Annäherung, unterschätzt die Zeit jedoch leicht.

1. Bei \(4\,\%\): \(n \approx 28{,}01\) Jahre; bei \(8\,\%\): \(n \approx 14{,}27\) Jahre. 2. Faustformel-Werte: \(27{,}5\) Jahre (für \(p=4\)) und \(13{,}75\) Jahre (für \(p=8\)). Die Abweichungen betragen jeweils etwa ein halbes Jahr.

- Überlege dir, wie oft sich die Menge halbiert, wenn die Zeit ein Vielfaches der Halbwertszeit ist. - Kannst du eine allgemeine Funktionsgleichung für den Zerfall aufstellen? - Wie hängen der Zerfallsfaktor und die Halbwertszeit zusammen? - Um nach einer Zeit zu suchen, die im Exponenten steht, ist der Logarithmus hilfreich. - Was bedeutet „Prozentsatz der Anfangsmenge“ mathematisch für den Faktor in deiner Gleichung?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{T}}\) mit \(N_0 = 600\) und \(T = 3\). 2. Zu a): Einsetzen der Zeiten \(t = 6\), \(t = 9\) und \(t = 12\). Da dies Vielfache der Halbwertszeit sind, ergibt sich: \(N(6) = 600 \cdot 0{,}5^2 = 150\,\text{mg}\) \(N(9) = 600 \cdot 0{,}5^3 = 75\,\text{mg}\) \(N(12) = 600 \cdot 0{,}5^4 = 37{,}5\,\text{mg}\) 3. Zu b): Lösen der Gleichung \(600 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3}} = 5\). \(0{,}5^{\frac{t}{3}} = \frac{5}{600} = \frac{1}{120}\) \(\frac{t}{3} = \log_{0{,}5}\left(\frac{1}{120}\right) = \frac{\ln(1/120)}{\ln(0{,}5)} \approx 6{,}91\) \(t \approx 3 \cdot 6{,}91 \approx 20{,}72\,\text{h}\). 4. Zu c): Berechnung des Faktors \(0{,}5^{\frac{10}{3}} \approx 0{,}0992\). Dies entspricht einem Prozentsatz von \(9{,}92\,\%\).

a) Nach \(6\) Stunden: \(150\,\text{mg}\); nach \(9\) Stunden: \(75\,\text{mg}\); nach \(12\) Stunden: \(37{,}5\,\text{mg}\). b) Nach ca. \(20{,}72\) Stunden ist die Menge auf \(5\,\text{mg}\) gesunken. c) Nach \(10\) Stunden sind noch ca. \(9{,}92\,\%\) vorhanden.

- Setze für die Anfangsmenge \(100\,\%\) oder den Faktor \(1\) an. - Wie viele Halbwertszeiten passen in den Zeitraum von \(14\) Tagen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Brüchen wie \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\) und den Potenzen von \(\frac{1}{2}\). - Wenn du die Anzahl der Halbwertszeiten kennst, wie berechnest du daraus die Gesamtzahl der Tage?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(N(t) = 100 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}}\) (in Prozent). 2. Zu a): Einsetzen von \(t = 14\): \(N(14) = 100 \cdot 0{,}5^{\frac{14}{3{,}8}} \approx 100 \cdot 0{,}5^{3{,}684} \approx 7{,}78\,\%\). 3. Zu b): Lösen der Gleichung \(0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}} = 0{,}10\). \(\frac{t}{3{,}8} = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 3{,}322\) \(t \approx 3{,}8 \cdot 3{,}322 \approx 12{,}62\,\text{Tage}\). 4. Zu c): Da \(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\), entspricht dies genau \(6\) Halbwertszeiten. \(t = 6 \cdot 3{,}8 = 22{,}8\,\text{Tage}\).

a) Nach \(14\) Tagen sind noch ca. \(7{,}78\,\%\) vorhanden. b) Nach ca. \(12{,}62\) Tagen ist die Menge auf \(10\,\%\) gesunken. c) Nach \(6\) Halbwertszeiten bzw. \(22{,}8\) Tagen ist nur noch \(\frac{1}{64}\) vorhanden.

- Wenn etwas um einen Prozentsatz abnimmt, wie berechnet man dann den Faktor, mit dem man multiplizieren muss? - Potenzgesetze helfen dir, den Anteil nach mehreren Zeitschritten zu berechnen. - Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der noch genau \(50\,\%\) eines Stoffes vorhanden sind. - In Teilaufgabe d) ist der Faktor \(a\) gesucht, der nach \(4\) Schritten zum Wert \(0{,}5\) führt.

1. Der stündliche Zerfallsfaktor \(a\) berechnet sich aus der Abnahme: \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Nach \(5\) Stunden beträgt der Anteil \(0{,}88^5 \approx 0{,}5277\). Es sind also noch ca. \(52{,}8\,\%\) vorhanden. 3. Die Halbwertszeit \(T_H\) wird durch die Gleichung \(0{,}88^{T_H} = 0{,}5\) bestimmt. Es folgt \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}88)} \approx 5{,}42\) Stunden. 4. Damit die Halbwertszeit \(4\) Stunden beträgt, muss gelten: \(a^4 = 0{,}5\). Daraus folgt \(a = \sqrt[4]{0{,}5} \approx 0{,}8409\). Die prozentuale Abnahme muss also \(p = (1 - 0{,}8409) \cdot 100 \approx 15{,}9\,\%\) betragen.

a) \(a = 0{,}88\) b) ca. \(52{,}8\,\%\) c) \(T_H \approx 5{,}42\) Stunden d) \(p \approx 15{,}9\,\%\)

- Überlege zuerst, mit welchem Faktor die Intensität multipliziert werden muss, wenn sie um einen bestimmten Prozentsatz abnimmt. - Wie oft muss dieser Faktor angewendet werden, wenn die Schicht mehrere Millimeter dick ist? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Kannst du die Fragestellungen als Gleichungen der Form \(q^x = y\) formulieren?

1. Der Abnahmefaktor pro Millimeter beträgt \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). Für \(3\,\text{mm}\) ergibt sich der Anteil \(0{,}88^3 = 0{,}681472\), was etwa \(68{,}15\,\%\) entspricht. 2. Zur Berechnung der Halbwertsdicke wird die Gleichung \(0{,}88^x = 0{,}5\) gelöst. Mittels Logarithmieren folgt \(x = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}88)} \approx 5{,}42\,\text{mm}\). 3. Zur Berechnung der Zehntelwertsdicke wird die Gleichung \(0{,}88^x = 0{,}1\) gelöst. Es ergibt sich \(x = \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}88)} \approx 18{,}01\,\text{mm}\).

1. Es sind noch ca. \(68{,}15\,\%\) der Intensität vorhanden. 2. Die Lichtintensität ist nach ca. \(5{,}42\,\text{mm}\) auf die Hälfte gesunken. 3. Die Schichtdicke muss ca. \(18{,}01\,\text{mm}\) betragen.

- Wenn etwas um einen Prozentsatz abnimmt, wie viel Prozent bleiben dann jeweils für den nächsten Schritt übrig? - „Ein Viertel“ lässt sich als Dezimalzahl ausdrücken. Wie lautet diese? - Du kannst die Anfangsmenge als \(100\,\%\) oder einfach als Variable \(A\) betrachten – sie wird am Ende keine Rolle für die Zeitdauer spielen. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um eine Unbekannte aus dem Exponenten „herunterzuholen“.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors \(q\) aus der prozentualen Abnahme: \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Aufstellen der Zerfallsgleichung für den Bruchteil der Restmenge: \(0{,}88^n = 0{,}25\) (da ein Viertel verbleiben soll). 3. Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung: \(\log(0{,}88^n) = \log(0{,}25)\), woraus \(n \cdot \log(0{,}88) = \log(0{,}25)\) folgt. 4. Auflösen nach der Anzahl der Tage \(n\): \(n = \frac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}88)}\). 5. Berechnung des Werts: \(n \approx 10{,}8445\). 6. Rundung auf eine Dezimalstelle: \(10{,}8\).

Nach etwa \(10{,}8\) Tagen ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden.

- Stelle für beide Personen eine Formel für das Kapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren auf. - Beachte, dass bei einer vierteljährlichen Verzinsung die Zinsen viermal pro Jahr gutgeschrieben werden. - Wie kannst du eine Gleichung oder Ungleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Überlege am Ende, ob das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, um die Frage zu beantworten.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen für das Kapital nach \(n\) Jahren: Frau Meyer: \(K_M(n) = 2500 \cdot 1{,}04^n\); Herr Schmidt: \(K_S(n) = 2800 \cdot 1{,}008^{4n}\). 2. Ansetzen der Ungleichung für den Zeitpunkt des Überholens: \(2500 \cdot 1{,}04^n > 2800 \cdot 1{,}008^{4n}\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(n\): \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}008^4}\right)^n > \frac{2800}{2500}\). 4. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln\left(\frac{1{,}04}{1{,}008^4}\right) > \ln(1{,}12)\). 5. Berechnung des numerischen Wertes: \(n > \frac{\ln(1{,}12)}{\ln(1{,}04) - 4 \cdot \ln(1{,}008)} \approx 15{,}42\). 6. Da nach vollen Jahren gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden: \(n = 16\).

Nach \(16\) Jahren ist das Kapital von Frau Meyer erstmals größer als das von Herrn Schmidt.

- Überlege dir, wie viel vom "Platz bis zur Grenze" jedes Jahr neu besetzt wird. - Du kannst die Werte Schritt für Schritt berechnen, indem du immer den Zuwachs zum alten Bestand addierst. - Für den zweiten Teil hilft es, eine Gleichung aufzustellen, in der die Zeit im Exponenten steht. - Denke daran, dass das Ergebnis für die Jahre eine ganze Zahl sein muss, die die Bedingung erfüllt.

1. Aufstellen der Rekursionsformel oder der expliziten Formel für begrenztes Wachstum: \(B(n) = G - (G - B(0)) \cdot (1 - k)^n\). Hier ist \(G = 3\,000\), \(B(0) = 600\) und \(k = 0{,}18\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: Jahr 0: \(600\) Jahr 1: \(600 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 600) = 1\,032\) Jahr 2: \(1\,032 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,032) \approx 1\,386\) Jahr 3: \(1\,386 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,386) \approx 1\,677\) Jahr 4: \(1\,677 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,677) \approx 1\,915\) Jahr 5: \(1\,915 + 0{,}18 \cdot (3\,000 - 1\,915) \approx 2\,110\) 3. Bestimmung des Zeitpunktes für \(B(n) > 2\,500\): Ansatz: \(3\,000 - 2\,400 \cdot 0{,}82^n = 2\,500\) \(500 = 2\,400 \cdot 0{,}82^n\) \(0{,}82^n = \frac{500}{2\,400} \approx 0{,}2083\) \(n = \frac{\ln(0{,}2083)}{\ln(0{,}82)} \approx 7{,}90\) Nach 8 Jahren ist der Bestand größer als \(2\,500\).

a) <table> <tr><td>Jahr</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>Bestand</td><td>600</td><td>1032</td><td>1386</td><td>1677</td><td>1915</td><td>2110</td></tr> </table> b) Nach 8 Jahren hat der Bestand eine Größe von mehr als \(2\,500\) Fischen erreicht.

- Welche Art von Wachstum liegt vor, wenn sich die Änderungsrate auf die Differenz zu einer festen Grenze bezieht? - Kannst du eine Formel aufstellen, die den Bestand zu einem beliebigen Zeitpunkt beschreibt? - Welcher Wert stellt die Sättigungsgrenze dar und wie groß ist die anfängliche Lücke? - Wie gehst du vor, wenn die gesuchte Variable im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum: \(f(t) = S - (S - f(0)) \cdot (1 - k)^t\) mit der Sättigungsgrenze \(S = 1200\), dem Anfangswert \(f(0) = 300\) und der Wachstumsrate \(k = 0{,}10\). Dies ergibt \(f(t) = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^t\). 2. Berechnung des Bestandes nach \(8\) Wochen: \(f(8) = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^8 \approx 812{,}58\). Der Schüler beherrscht ca. \(813\) Wörter. 3. Bestimmung des Zeitpunkts für \(f(t) = 1000\): \(1000 = 1200 - 900 \cdot 0{,}9^t\). 4. Isolieren der Potenz: \(900 \cdot 0{,}9^t = 200 \Rightarrow 0{,}9^t = \frac{2}{9}\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(t = \frac{\ln(2/9)}{\ln(0{,}9)} \approx 14{,}28\). Nach \(15\) Wochen sind es mehr als \(1000\) Wörter.

a) Nach \(8\) Wochen beherrscht der Schüler ca. \(813\) Wörter. b) Nach \(15\) Wochen beherrscht er erstmals mehr als \(1000\) Wörter.

- Überlege zuerst, wie viele Haushalte am Ende insgesamt einen Anschluss haben sollen. - Bei dieser Art von Wachstum nähert sich der Bestand einer festen Grenze an. Der monatliche Zuwachs bezieht sich immer auf die noch vorhandene Lücke zu dieser Grenze. - Du kannst die Aufgabe schrittweise mit einer Tabelle lösen oder eine Formel für den Restbestand aufstellen, der exponentiell abnimmt. - Wenn du eine Gleichung der Form \(a^n = b\) hast, hilft dir der Logarithmus weiter.

1. Bestimmung der Zielgröße: \(75\,\%\) von \(8\,000\) Haushalten entsprechen \(0{,}75 \cdot 8\,000 = 6\,000\) Haushalten. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung für begrenztes Wachstum: Mit der Sättigungsgrenze \(G = 8\,000\), dem Anfangswert \(B(0) = 400\) und dem Wachstumsfaktor \(k = 0{,}12\) ergibt sich die Formel für den Bestand nach \(n\) Monaten: \(B(n) = G - (G - B(0)) \cdot (1 - k)^n\). 3. Einsetzen der Werte: \(B(n) = 8\,000 - (8\,000 - 400) \cdot (1 - 0{,}12)^n = 8\,000 - 7\,600 \cdot 0{,}88^n\). 4. Lösen der Gleichung \(6\,000 = 8\,000 - 7\,600 \cdot 0{,}88^n\): \(-2\,000 = -7\,600 \cdot 0{,}88^n\) \(\frac{2\,000}{7\,600} = 0{,}88^n\) \(\frac{5}{19} \approx 0{,}2632 = 0{,}88^n\) 5. Berechnung mittels Logarithmus: \(n = \frac{\ln(5/19)}{\ln(0{,}88)} \approx 10{,}44\). 6. Da nach ganzen Monaten gefragt ist, wird der Wert auf \(11\) aufgerundet, da nach \(10\) Monaten die \(75\,\%\)-Hürde noch nicht erreicht ist.

Nach \(11\) Monaten haben mindestens \(75\,\%\) der Haushalte einen Glasfaseranschluss.

- Wie lautet der Wachstumsfaktor, wenn ein Bestand jährlich um einen konstanten Prozentsatz wächst? - Welchen Faktor muss der gesamte Bestand erreichen, damit er als „verdoppelt“ gilt? - Ist der Anfangswert für die Berechnung der Verdopplungszeit überhaupt entscheidend? - Wie kannst du den Zeitpunkt bestimmen, an dem ein bestimmter Zielwert erreicht wird?

1. Der Wachstumsfaktor beträgt \(q = 1 + 0{,}028 = 1{,}028\), also \(W(t) = 25\,000 \cdot 1{,}028^t\). 2. Nach \(10\) Jahren: \(W(10) = 25\,000 \cdot 1{,}028^{10} \approx 32\,951{,}19\,\text{m}^3\). 3. Nach \(20\) Jahren: \(W(20) = 25\,000 \cdot 1{,}028^{20} \approx 43\,431{,}25\,\text{m}^3\). 4. Verdopplungszeit: \(1{,}028^t = 2\), also \(t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}028} \approx 25{,}10\) Jahre. 5. Verdreifachungszeit: \(1{,}028^t = 3\), also \(t = \frac{\ln 3}{\ln 1{,}028} \approx 39{,}78\) Jahre.

a) Nach \(10\) Jahren beträgt der Bestand ca. \(32\,951{,}19\,\text{m}^3\), nach \(20\) Jahren ca. \(43\,431{,}25\,\text{m}^3\). b) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(25{,}10\) Jahre. c) Der Bestand hat sich nach ca. \(39{,}78\) Jahren verdreifacht.

- Wie viel Prozent des Wirkstoffs sind nach einer Stunde noch vorhanden? - Welcher Faktor \(q\) beschreibt diese Abnahme in einer Exponentialfunktion? - Welchen Wert muss die Funktion erreichen, damit man von einer Halbwertszeit spricht? - Nutze den Logarithmus, um die Zeit \(t\) aus der Gleichung zu isolieren.

1. Der stündliche Abnahmefaktor ist \(q = 1 - 0{,}14 = 0{,}86\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}86^t = 0{,}5\). 3. Durch Logarithmieren erhält man \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}86)} \approx 4{,}59577\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet beträgt die Halbwertszeit \(4{,}60\) Stunden.

Die Halbwertszeit des Medikaments beträgt ca. \(4{,}60\) Stunden.

- Wie sieht die Grundformel für Zinseszins aus? - Setze die beiden Terme für die Endbeträge gleich, um den Zeitpunkt zu finden, an dem sie denselben Wert haben. - Du kannst die Basis der Potenzen dividieren, wenn sie denselben Exponenten haben. - Überlege, wie du den Logarithmus einsetzen kannst, um den Exponenten zu isolieren.

1. Modellierung des Kapitals durch Exponentialfunktionen: \(K_A(t) = 12\,500 \cdot 1{,}065^t\) und \(K_B(t) = 20\,000 \cdot 1{,}038^t\). 2. Ansatz zur Berechnung des Zeitpunkts der Gleichheit: \(12\,500 \cdot 1{,}065^t = 20\,000 \cdot 1{,}038^t\). 3. Isolation der Terme mit \(t\): \(\frac{1{,}065^t}{1{,}038^t} = \frac{20\,000}{12\,500}\). 4. Vereinfachung des Bruchs: \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}038}\right)^t = 1{,}6\). 5. Logarithmieren der Gleichung: \(t \cdot \ln\left(\frac{1{,}065}{1{,}038}\right) = \ln(1{,}6)\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t = \frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}065/1{,}038)} \approx 18{,}30\). 7. Nach etwa \(18{,}3\) Jahren sind die Guthaben gleich hoch. Für Zeiten \(t > 18{,}30\) ist \(K_A(t) > K_B(t)\), also übertrifft Anlage A danach Anlage B.

Nach etwa \(18{,}3\) Jahren sind die Guthaben gleich hoch. Für Zeiten danach übertrifft Anlage A das Guthaben von Anlage B.

- Welchen Wert hat der Wachstumsfaktor bei einer Zunahme von \(12\,\%\)? - Stelle eine Gleichung auf, bei der die Zeit im Exponenten steht. - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen im Exponenten auflösen? - Überlege, ob das Ergebnis auf- oder abgerundet werden muss, damit die Bedingung „vollständig bedeckt“ erfüllt ist.

1. Aufstellen der Wachstumsgleichung: Die Fläche nach \(t\) Tagen berechnet sich durch \(B(t) = B_0 \cdot q^t\). Mit dem Anfangswert \(B_0 = 4{,}5\), dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + 0{,}12 = 1{,}12\) und der Zielfläche \(B(t) = 1\,800\) ergibt sich die Gleichung \(4{,}5 \cdot 1{,}12^t = 1\,800\). 2. Isolieren der Potenz: Division durch \(4{,}5\) führt zu \(1{,}12^t = 400\). 3. Anwendung des Logarithmus: Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man \(t \cdot \ln(1{,}12) = \ln(400)\). 4. Berechnung der Zeit: \(t = \frac{\ln(400)}{\ln(1{,}12)} \approx 52{,}87\). Nach etwa \(53\) Tagen ist der See vollständig bedeckt.

Nach \(53\) Tagen ist der See vollständig mit Algen bedeckt.

- Welchen Anteil des Giftstoffs lässt der Filter bei jedem Schritt noch durch? - Kannst du eine Formel für den Restbestand nach einer bestimmten Anzahl von Schritten aufstellen? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht? - Denke daran, dass das Ergebnis eine ganze Zahl von Durchläufen sein muss.

1. Bestimmung des Abnahmefaktors pro Durchlauf: \(q = 1 - 0{,}65 = 0{,}35\). 2. Aufstellen der Ungleichung für die Giftstoffmenge nach \(n\) Durchläufen: \(0{,}35^n < 0{,}005\). 3. Anwendung des Logarithmus zur Isolierung von \(n\): \(n \cdot \log(0{,}35) < \log(0{,}005)\). 4. Da \(\log(0{,}35)\) negativ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen beim Dividieren um: \(n > \frac{\log(0{,}005)}{\log(0{,}35)}\). 5. Numerische Berechnung: \(n > \frac{-2{,}301}{-0{,}456} \approx 5{,}047\). 6. Da \(n\) eine ganze Zahl sein muss, sind mindestens 6 Durchläufe erforderlich.

Nach 6 Durchläufen beträgt die Giftstoffmenge weniger als \(0{,}5\,\%\) des ursprünglichen Wertes.

- Wie viel Prozent des Wertes bleiben nach einem Jahr jeweils übrig? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wertverlust über die Zeit beschreibt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu holen? - Überlege, ob das Ergebnis auf- oder abgerundet werden muss, damit die Bedingung „weniger als ein Drittel“ erfüllt ist.

1. Bestimmung des jährlichen Wachstumsfaktors (Abnahmefaktor): \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 2. Aufstellen der Exponentialgleichung für den Restwert \(V_n\) nach \(n\) Jahren im Verhältnis zum Anfangswert \(V_0\): \(V_0 \cdot 0{,}88^n < \frac{1}{3} \cdot V_0\). 3. Kürzen von \(V_0\) führt zur Ungleichung: \(0{,}88^n < \frac{1}{3}\). 4. Logarithmieren beider Seiten: \(n \cdot \log(0{,}88) < \log\left(\frac{1}{3}\right)\). 5. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichens beim Dividieren durch \(\log(0{,}88)\): \(n > \frac{\log(1/3)}{\log(0{,}88)}\). 6. Berechnung des Wertes: \(n > \frac{-0{,}4771}{-0{,}0555} \approx 8{,}59\). 7. Da nur volle Jahre betrachtet werden, ist der Wert nach 9 Jahren erstmals unter ein Drittel gesunken.

Nach 9 Jahren beträgt der Wert der Maschine erstmals weniger als ein Drittel des Kaufpreises.

- Wie verändert sich ein Wert, wenn er jede Stunde um einen festen Prozentsatz kleiner wird? - Welche Zahl musst du als Basis für deine Exponentialfunktion wählen, wenn \(15\,\%\) verloren gehen? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ mathematisch für den Wachstumsfaktor? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die gesuchte Größe im Exponenten steht?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion mit dem Anfangswert \(N_0 = 400\) und dem Abnahmefaktor \(b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\): \(N(t) = 400 \cdot 0{,}85^t\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: \(N(0) = 400\), \(N(1) = 400 \cdot 0{,}85 = 340\), \(N(2) = 340 \cdot 0{,}85 = 289\), \(N(3) = 289 \cdot 0{,}85 = 245{,}65\). 3. Berechnung der Halbwertszeit durch den Ansatz \(0{,}85^t = 0{,}5\). Logarithmieren führt zu \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)} \approx 4{,}27\). Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). 4. Berechnung des Zeitpunkts für den Schwellenwert: \(400 \cdot 0{,}85^t = 50 \implies 0{,}85^t = 0{,}125\). Auflösen nach \(t\) ergibt \(t = \frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}85)} \approx 12{,}80\). Nach etwa \(12{,}8\,\text{Stunden}\) sind weniger als \(50\,\text{mg}\) vorhanden.

a) <table> <tr><td>Zeit in \(\text{h}\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Menge in \(\text{mg}\)</td><td>400</td><td>340</td><td>289</td><td>245{,}65</td></tr> </table> b) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(4{,}27\,\text{Stunden}\). c) Nach ca. \(12{,}8\,\text{Stunden}\) ist die Menge unter \(50\,\text{mg}\) gesunken.

- Mit welchem Faktor musst du eine Zahl multiplizieren, um sie um \(18\,\%\) zu erhöhen? - Überlege dir, wie viel Prozent der ursprünglichen Fläche nach der Verdopplung vorhanden sind. - Achte beim Vergleichen von Flächen auf die Einheiten. Wie viele Quadratzentimeter stecken in einem Quadratmeter? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Variable aus dem Exponenten zu „holen“?

1. Bestimmung des Wachstumsfaktors \(b = 1 + 0{,}18 = 1{,}18\) und Aufstellen der Funktionsgleichung \(A(t) = 2500 \cdot 1{,}18^t\) mit \(t\) in Tagen und \(A\) in \(\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Verdopplungszeit mit dem Ansatz \(1{,}18^t = 2\). Umformen ergibt \(t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}18)} \approx 4{,}19\). Die Fläche verdoppelt sich alle \(4{,}19\,\text{Tage}\). 3. Berechnung der Fläche nach \(12\) Tagen: \(A(12) = 2500 \cdot 1{,}18^{12} \approx 18\,218{,}98\). Die Fläche beträgt ca. \(18\,219\,\text{cm}^2\). 4. Umrechnung des Zielwerts: \(2\,\text{m}^2 = 20\,000\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Zeitdauer: \(2500 \cdot 1{,}18^t = 20\,000 \implies 1{,}18^t = 8\). Auflösen ergibt \(t = \frac{\ln(8)}{\ln(1{,}18)} \approx 12{,}56\). Die Marke wird nach ca. \(12{,}6\,\text{Tagen}\) überschritten.

a) Die Verdopplungszeit beträgt ca. \(4{,}19\,\text{Tage}\). b) Nach \(12\) Tagen sind ca. \(18\,219\,\text{cm}^2\) bedeckt. c) Nach ca. \(12{,}6\,\text{Tagen}\) wird eine Fläche von \(2\,\text{m}^2\) überschritten.

- Welcher Abnahmefaktor \(b\) gehört zu einer Abnahme von \(2{,}4\,\%\)? - Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielle Abnahmeprozesse? - Wie berechnest du die prozentuale Änderung zwischen dem Anfangswert und einem späteren Wert? - Was bedeutet „Halbwertszeit“ für das Verhältnis zwischen Endwert und Anfangswert? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Bestimmung des jährlichen Abnahmefaktors: \(b = 1 - 0{,}024 = 0{,}976\). 2. Berechnung der Masse nach \(15\) Jahren mit der Formel \(N(t) = N_0 \cdot b^t\): \(N(15) = 400 \cdot 0{,}976^{15} \approx 277{,}85\,\text{mg}\). 3. Berechnung der prozentualen Abnahme über \(15\) Jahre: \(1 - 0{,}976^{15} \approx 0{,}3054\), was einer Abnahme von ca. \(30{,}54\,\%\) entspricht. 4. Berechnung der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(0{,}5 = 0{,}976^T\): \(T = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}976)} \approx 28{,}53\). Die Halbwertszeit beträgt etwa \(28{,}5\) Jahre.

a) Nach \(15\) Jahren sind noch ca. \(277{,}85\,\text{mg}\) vorhanden. b) Die Masse nimmt insgesamt um ca. \(30{,}54\,\%\) ab. c) Die Halbwertszeit beträgt ca. \(28{,}5\) Jahre.

- Was bedeutet es für den verbleibenden Anteil, wenn die Hälfte nach \(10\,\text{Minuten}\) weg ist? - Wenn \(90\,\%\) der Substanz verschwunden sind, wie viel Prozent sind dann noch übrig? - Kannst du eine Funktionsgleichung für den Zerfall aufstellen? Nutze den Logarithmus, um die Zeit zu berechnen.

1. Aufstellen des Zerfallsgesetzes mit der Halbwertszeit \(T_{1/2} = 10\,\text{min}\): \(N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{10}}\). 2. Bestimmung des gesuchten Zustands: Wenn \(90\,\%\) zerfallen sind, sind noch \(10\,\%\) (also \(0{,}1 \cdot N_0\)) vorhanden. 3. Aufstellen der Gleichung: \(0{,}1 \cdot N_0 = N_0 \cdot 0{,}5^{\frac{t}{10}} \implies 0{,}1 = 0{,}5^{\frac{t}{10}}\). 4. Logarithmieren beider Seiten: \(\ln(0{,}1) = \frac{t}{10} \cdot \ln(0{,}5)\). 5. Auflösen nach \(t\): \(t = 10 \cdot \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 10 \cdot 3{,}3219 \approx 33{,}2\,\text{min}\).

d) \(33{,}2\,\text{min}\)

- Stelle für beide Kulturen eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. - Wie oft passt der Verdopplungs- oder Verdreifachungszeitraum in eine unbekannte Zeit \(t\)? - Setze die Funktionen jeweils mit der Zielgröße gleich und löse nach der Zeit auf. - Der Logarithmus hilft dir dabei, eine Variable im Exponenten zu isolieren.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen für die Zeit \(t\) in Minuten: Kultur A: \(N_A(t) = 100 \cdot 2^{\frac{t}{20}}\) Kultur B: \(N_B(t) = 100 \cdot 3^{\frac{t}{30}}\) 2. Berechnung der Zeit \(t_A\) für Kultur A bis \(1\,000\,000\): \(100 \cdot 2^{\frac{t}{20}} = 1\,000\,000 \Rightarrow 2^{\frac{t}{20}} = 10\,000\) \(\frac{t}{20} = \log_2(10\,000) \Rightarrow t_A = 20 \cdot \frac{\ln(10\,000)}{\ln(2)} \approx 265{,}75\,\text{min}\) 3. Berechnung der Zeit \(t_B\) für Kultur B bis \(1\,000\,000\): \(100 \cdot 3^{\frac{t}{30}} = 1\,000\,000 \Rightarrow 3^{\frac{t}{30}} = 10\,000\) \(\frac{t}{30} = \log_3(10\,000) \Rightarrow t_B = 30 \cdot \frac{\ln(10\,000)}{\ln(3)} \approx 251{,}51\,\text{min}\) 4. Vergleich und Differenz: Kultur B erreicht den Wert zuerst, da \(251{,}51 < 265{,}75\). Differenz: \(265{,}754 - 251{,}508 = 14{,}246\,\text{min}\). Gerundet beträgt der Zeitunterschied \(14{,}25\,\text{min}\).

Kultur B erreicht die Marke zuerst. Der Zeitunterschied beträgt etwa \(14{,}25\) Minuten.

- Welche Rechenoperation hilft dir dabei, eine Unbekannte im Exponenten zu bestimmen? - Isoliere zuerst die Potenz, bevor du den Logarithmus anwendest. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze für Potenzen.

1. Fall a): Aufstellen der Gleichung \(15\,000 = 10\,000 \cdot 1{,}04^n\). Division durch \(10\,000\) führt zu \(1{,}5 = 1{,}04^n\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n = \frac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}04)} \approx 10{,}3\) Jahre. 2. Fall b): Aufstellen der Gleichung \(1\,200 = 500 \cdot 1{,}06^n\). Division durch \(500\) führt zu \(2{,}4 = 1{,}06^n\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n = \frac{\log(2{,}4)}{\log(1{,}06)} \approx 15{,}0\) Jahre.

a) \(n \approx 10{,}3\) Jahre b) \(n \approx 15{,}0\) Jahre

- Wenn etwas an Wert verliert, wie groß ist dann der Faktor, mit dem du multiplizierst? - Welche Werte aus dem Text entsprechen dem Startwert und dem Zielwert? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Zeit als Variable vorkommt? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach einer Unbekannten im Exponenten aufzulösen?

1. Aufstellen der Zerfallsfunktion: \(W(t) = W_0 \cdot q^t\) mit dem Neuwert \(W_0 = 2\,400\) und dem Abminderungsfaktor \(q = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). 2. Wert nach \(3\) Jahren berechnen: \(W(3) = 2\,400 \cdot 0{,}75^3 = 2\,400 \cdot 0{,}421875 = 1\,012{,}50\). Der Wert beträgt \(1\,012{,}50\,\text{€}\). 3. Gleichung für den Zielwert aufstellen: \(2\,400 \cdot 0{,}75^x = 200\). 4. Umformen der Gleichung: \(0{,}75^x = \frac{200}{2\,400} = \frac{1}{12}\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(x = \frac{\log(1/12)}{\log(0{,}75)} \approx 8{,}64\). Da nach ganzen Jahren gefragt ist, unterschreitet der Wert nach \(9\) Jahren die Grenze von \(200\,\text{€}\).

a) \(1\,012{,}50\,\text{€}\) b) nach ca. \(8{,}6\) Jahren (bzw. nach \(9\) Jahren ist der Wert erstmals unter \(200\,\text{€}\))

- Stelle zuerst die Wachstumsformeln für beide Betriebe auf. - Wie drückst du die Bedingung „\(75\,\%\) des Bestandes von B“ als mathematischen Term aus? - Setze den Bestand von A mit dem berechneten Anteil von B gleich. - Nutze Logarithmengesetze, um die Variable aus dem Exponenten zu holen.

1. Aufstellen der Bestandsfunktionen: \(B_A(t) = 800 \cdot 1{,}04^t\) und \(B_B(t) = 2\,000 \cdot 1{,}015^t\). 2. Aufstellen der Zielgleichung (\(B_A\) soll \(75\,\%\) von \(B_B\) sein): \(800 \cdot 1{,}04^t = 0{,}75 \cdot (2\,000 \cdot 1{,}015^t)\). 3. Vereinfachen der rechten Seite: \(800 \cdot 1{,}04^t = 1\,500 \cdot 1{,}015^t\). 4. Umformen der Gleichung: \(\frac{1{,}04^t}{1{,}015^t} = \frac{1\,500}{800}\). 5. Zusammenfassen: \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}015}\right)^t = 1{,}875\). 6. Logarithmieren und nach \(t\) auflösen: \(t = \frac{\ln(1{,}875)}{\ln(1{,}04) - \ln(1{,}015)} \approx 25{,}83\).

Nach etwa \(25{,}8\) Jahren beträgt der Holzbestand von Betrieb A genau \(75\,\%\) des Bestandes von Betrieb B.

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang zwischen dem Wachstumsfaktor und der Zeit bis zur Verdopplung beschreibt? - Wie hängen der Wachstumsfaktor \(q\) und der Zinssatz \(p\) zusammen? - Ist für die Berechnung der Verdopplungs- oder Verzehnfachungszeit die Höhe des Startkapitals von Bedeutung? - Welche Gleichung musst du lösen, um herauszufinden, wann aus einem Startwert das Zehnfache geworden ist? - Überlege, wie du Logarithmengesetze nutzen kannst, um die Berechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Wachstumsfaktors \(q\) aus der Verdopplungszeit: \(q^{14} = 2 \Rightarrow q = \sqrt[14]{2} \approx 1{,}05076\). 2. Umrechnung in den Zinssatz \(p\): \(p = (q - 1) \cdot 100 \approx 5{,}08\,\%\). 3. Ansatz für die Verzehnfachung: \(q^n = 10\) bzw. \((\sqrt[14]{2})^n = 10\). 4. Auflösen nach der Zeit \(n\) mittels Logarithmen: \(n = \frac{\ln(10)}{\ln(q)} = 14 \cdot \frac{\ln(10)}{\ln(2)} \approx 46{,}5\). Die Verzehnfachung ist nach ca. \(46{,}5\) Jahren erreicht.

a) ca. \(5{,}08\,\%\) b) ca. \(46{,}5\) Jahre

- Wie sieht die Gleichung aus, wenn sich ein Bestand vervierfacht? - Berechne für verschiedene Zinssätze die benötigte Zeit mit dem Logarithmus. - Schau dir die Ergebnisse der Multiplikation von Zeit und Zinssatz genau an – erkennst du eine Konstanz? - Wähle eine einfache, gut merkbare Zahl für deine Faustformel.

1. Berechnung der exakten Werte über \(n = \frac{\ln(4)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\): Für \(p = 2\): \(n \approx 70{,}01\) Jahre. Für \(p = 5\): \(n \approx 28{,}41\) Jahre. Für \(p = 10\): \(n \approx 14{,}55\) Jahre. 2. Produkte \(n \cdot p\): Für \(p = 2\): \(70{,}01 \cdot 2 = 140{,}02\). Für \(p = 5\): \(28{,}41 \cdot 5 = 142{,}05\). Für \(p = 10\): \(14{,}55 \cdot 10 = 145{,}5\). Ein geeigneter Mittelwert für die Konstante \(c\) liegt im Bereich von \(140\) bis \(145\). Eine gängige Faustformel wäre \(n \approx \frac{140}{p}\) oder \(n \approx \frac{144}{p}\).

1. Exakte Zeiten: \(70{,}01\) Jahre (\(2\,\%\)), \(28{,}41\) Jahre (\(5\,\%\)), \(14{,}55\) Jahre (\(10\,\%\)). 2. Die Produkte \(n \cdot p\) liegen alle nahe bei \(140\) bis \(145\). Eine mögliche Faustformel lautet \(n \approx \frac{140}{p}\).

- Überlege zuerst, wie viel Prozent der Masse nach dem Zeitraum noch übrig sind. - Wie hängen der Zerfallsfaktor für einen langen Zeitraum und der jährliche Faktor mathematisch zusammen? - Für die Halbwertszeit suchst du den Zeitpunkt, an dem die Masse auf die Hälfte des Startwerts gesunken ist. - Um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht, ist der Logarithmus hilfreich.

1. Nach \(500\) Jahren sind noch \(75\,\%\) vorhanden, also beträgt der Zerfallsfaktor für diesen Zeitraum \(q = 0{,}75\). 2. Für den jährlichen Faktor gilt \(a^{500} = 0{,}75\), somit \(a = \sqrt[500]{0{,}75} \approx 0{,}9994\). 3. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}75^{T_H/500} = 0{,}5\). Daher \(T_H = 500 \cdot \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 1204{,}71\). Auf Jahre gerundet beträgt die Halbwertszeit \(1205\) Jahre. 4. Für einen Restanteil von \(1\,\%\) gilt \(0{,}75^{t/500} = 0{,}01\). Daraus folgt \(t = 500 \cdot \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}75)} \approx 8003{,}92\). Gerundet sind nach etwa \(8004\) Jahren noch \(1\,\%\) vorhanden.

a) \(q = 0{,}75\) b) \(a \approx 0{,}9994\) c) \(T_H \approx 1205\) Jahre d) Nach ca. \(8004\) Jahren.

- Wähle eine einheitliche Zeiteinheit für beide Optionen, zum Beispiel Monate. - Drücke den jährlichen Wachstumsfaktor von Option A passend in Monaten aus. - Setze die beiden Kapitalfunktionen in Beziehung zueinander, um den Schnittpunkt zu finden. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten „herunterzuholen“?

1. Definition der Zeitvariablen \(m\) in Monaten. Die jährliche Verzinsung von Option A wird auf Monate umgerechnet: \(K_A(m) = 6000 \cdot 1{,}025^{m/12}\). 2. Aufstellen der Wachstumsfunktion für Option B: \(K_B(m) = 5500 \cdot 1{,}004^m\). 3. Aufstellen der Ungleichung: \(5500 \cdot 1{,}004^m > 6000 \cdot 1{,}025^{m/12}\). 4. Umformen und Logarithmieren: \(m \cdot \ln(1{,}004) - \frac{m}{12} \cdot \ln(1{,}025) > \ln\left(\frac{6000}{5500}\right)\). 5. Ausklammern von \(m\) und Isolieren: \(m \cdot \left(\ln(1{,}004) - \frac{\ln(1{,}025)}{12}\right) > \ln\left(\frac{12}{11}\right)\). 6. Numerische Berechnung: \(m > \frac{\ln(12/11)}{\ln(1{,}004) - \frac{1}{12}\ln(1{,}025)} \approx 44{,}98\). 7. Da nach vollen Monaten gefragt ist, ergibt sich \(m = 45\).

Nach \(45\) Monaten übersteigt das Guthaben von Option B zum ersten Mal das von Option A.

- Was ist der Zielwert, dem sich der Ladestand annähert? - Konzentriere dich auf den Teil der Ladung, der noch "fehlt". Wie verändert sich dieser fehlende Teil alle 5 Minuten? - Wie viele Zeitintervalle passen in eine halbe Stunde? - Wenn du die Anzahl der Intervalle berechnet hast, vergiss nicht, diese wieder in Minuten umzurechnen.

1. Bestimmung des Sättigungsmankos (fehlende Ladung) zu Beginn: \(D_0 = 100 - 12 = 88\,\%\). 2. Die Abnahme des Mankos pro Intervall beträgt \(15\,\%\), der Wachstumsfaktor ist also \(0{,}85\). 3. Funktionsgleichung für das Manko: \(D(n) = 88 \cdot 0{,}85^n\). Der Ladestand ist \(C(n) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^n\). 4. Teil b): Eine halbe Stunde entspricht \(30 : 5 = 6\) Intervallen. \(C(6) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^6 \approx 100 - 33{,}19 = 66{,}81\,\%\). 5. Teil c): Gesuchter Ladestand \(90\,\%\) bedeutet ein Restmanko von \(10\,\%\). 6. Gleichung: \(10 = 88 \cdot 0{,}85^n \implies 0{,}85^n = \frac{10}{88}\). 7. Lösung durch Logarithmieren: \(n = \frac{\ln(10/88)}{\ln(0{,}85)} \approx 13{,}38\) Intervalle. 8. Umrechnung in Minuten: \(t = 13{,}38 \cdot 5 \approx 66{,}91\,\text{Minuten}\).

a) \(C(n) = 100 - 88 \cdot 0{,}85^n\) (wobei \(n\) die Anzahl der 5-Minuten-Intervalle ist). b) Nach \(30\,\text{Minuten}\) beträgt der Ladestand ca. \(66{,}8\,\%\). c) Der Ladestand von \(90\,\%\) wird nach etwa \(66{,}9\,\text{Minuten}\) erreicht.

- Notiere dir für beide Kulturen den Anfangswert und den Wachstumsfaktor pro Zeitabschnitt. - Achte darauf, dass die Zeitabschnitte (4 Stunden vs. 12 Stunden) unterschiedlich sind. Wie kannst du das in der Formel berücksichtigen? - Du suchst den Zeitpunkt, an dem beide Bestände gleich groß sind – danach wird die schnellere Kultur die andere überholen. - Nutze den Logarithmus, um die gesuchte Zeit \(t\) aus den Exponenten zu holen.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen mit der Zeit \(t\) in Stunden: \(N_A(t) = 1\,500 \cdot 1{,}15^{\frac{t}{4}}\) und \(N_B(t) = 2\,500 \cdot 1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 2. Gleichsetzen der Funktionen zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(1\,500 \cdot 1{,}15^{\frac{t}{4}} = 2\,500 \cdot 1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 3. Logarithmieren der Gleichung: \(\ln(1\,500) + \frac{t}{4} \cdot \ln(1{,}15) = \ln(2\,500) + \frac{t}{12} \cdot \ln(1{,}35)\). 4. Ordnen der Terme nach \(t\): \(t \cdot \left(\frac{\ln(1{,}15)}{4} - \frac{\ln(1{,}35)}{12}\right) = \ln(2\,500) - \ln(1\,500)\). 5. Berechnung der Werte: \(t \cdot (0{,}03494 - 0{,}02501) \approx 0{,}5108\). 6. Auflösen nach \(t\): \(t \approx \frac{0{,}5108}{0{,}00993} \approx 51{,}43\). 7. Nach etwa \(51{,}43\) Stunden sind beide Kulturen gleich groß. Für Zeiten \(t > 51{,}43\) ist Kultur A größer als Kultur B.

Nach etwa \(51{,}43\) Stunden sind beide Kulturen gleich groß. Kultur A übertrifft Kultur B für Zeiten \(t > 51{,}43\) Stunden.

- Wie lautet die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum? - Was ist der Unterschied zwischen dem Prozentsatz der Zunahme und dem Wachstumsfaktor? - Verwende Logarithmen, um die gesuchte Anzahl an Jahren zu berechnen. - Addiere die berechneten Jahre zum Startjahr, um den genauen Zeitpunkt zu bestimmen.

1. Bestimmung der Parameter: Der Anfangswert ist \(B_0 = 450\), der Wachstumsfaktor beträgt \(q = 1{,}35\) und der Schwellenwert ist \(G = 15\,000\). 2. Aufstellen der Exponentialgleichung: \(450 \cdot 1{,}35^t = 15\,000\). 3. Vereinfachen der Gleichung: Division durch \(450\) ergibt \(1{,}35^t = \frac{15\,000}{450} = \frac{100}{3} \approx 33{,}33\). 4. Lösen mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(33{,}33)}{\ln(1{,}35)} \approx 11{,}68\). 5. Bestimmung des Kalenderjahres: Da \(t \approx 11{,}68\) Jahre nach Beginn von 2024 vergehen, wird die Kapazität im Laufe des 12. Jahres nach 2024 erschöpft sein (\(2024 + 11 = 2035\)). Somit ist der Speicher im Jahr 2035 voll.

Die Kapazität wird im Jahr 2035 erschöpft sein.

- Wie kannst du den täglichen Zerfallsfaktor bestimmen, wenn du weißt, was nach etwa 8 Tagen passiert? - Wenn nur noch \(10\,\%\) übrig sind, welcher Anteil (als Dezimalzahl) der Startmenge ist das? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Exponenten steht? - Kannst du eine allgemeine Formel \(N(t) = N_0 \cdot b^t\) aufstellen?

1. Aufstellen der Gleichung für den täglichen Abnahmefaktor \(b\): \(b^{8{,}02} = 0{,}5\). 2. Berechnung von \(b\): \(b = \sqrt[8{,}02]{0{,}5} \approx 0{,}9172\). 3. Berechnung der täglichen Zerfallsrate \(p\): \(1 - 0{,}9172 = 0{,}0828\), also \(p \approx 8{,}28\,\%\). 4. Ansatz zur Bestimmung der Zeit \(t\) für einen Restbestand von \(10\,\%\): \(0{,}5^{\frac{t}{8{,}02}} = 0{,}1\) oder \(0{,}9172^t = 0{,}1\). 5. Lösen der Gleichung mittels Logarithmus: \(t = \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}9172)}\) oder \(t = 8{,}02 \cdot \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}5)}\). 6. Berechnung des Wertes: \(t \approx 26{,}64\) Tage.

a) Die tägliche Zerfallsrate beträgt ca. \(8{,}28\,\%\). b) Nach etwa \(26{,}6\) Tagen sind noch \(10\,\%\) der Menge vorhanden.

- Wie hängen der jährliche Faktor \(b\) und die Halbwertszeit \(T\) zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, die die aktuelle Menge mit der ursprünglichen Menge verknüpft. - Überlege, wie du den Exponenten isolieren kannst, um die Zeit \(t\) zu berechnen. - Achte beim Rechnen mit dem Abnahmefaktor auf genügend Nachkommastellen, da kleine Unterschiede hier große Auswirkungen auf das Alter haben.

1. Berechnung des jährlichen Abnahmefaktors \(b\) aus der Halbwertszeit \(T = 5730\): \(b^{5730} = 0{,}5 \Rightarrow b = 0{,}5^{\frac{1}{5730}} \approx 0{,}999879\). 2. Aufstellen der Zerfallsgleichung mit dem Anfangswert \(N_0 = 12{,}0\) und dem aktuellen Wert \(N(t) = 3{,}5\): \(3{,}5 = 12{,}0 \cdot 0{,}999879^t\). 3. Isolieren des Potenzterms: \(\frac{3{,}5}{12{,}0} = 0{,}999879^t\). 4. Lösen nach \(t\) mittels Logarithmus: \(t = \frac{\ln(3{,}5 / 12{,}0)}{\ln(0{,}999879)} \approx 10\,185{,}7\). Der Knochenfund ist etwa \(10\,186\) Jahre alt.

a) Der jährliche Abnahmefaktor beträgt ca. \(0{,}999879\). b) Der Knochenfund ist ca. \(10\,186\) Jahre alt.