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- Wie rechnet man ein Winkelmaß im Bogenmaß allgemein in Grad um? - Welcher Anteil des Vollkreises (\(2\pi\)) entspricht dem gegebenen Wert? - Denke an den Zusammenhang zwischen \(\pi\) und \(180^\circ\).

1. Verwendung der Umrechnungsformel von Bogenmaß in Gradmaß: \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) 2. Einsetzen des gegebenen Bogenmaßes \(x = \frac{5\pi}{12}\): \(\alpha = \frac{5\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) 3. Kürzen von \(\pi\) und Vereinfachen des Bruchs: \(\alpha = \frac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ\)

b) \(75^\circ\)

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^\circ\)) der gegebene Winkel ist. - Wie viel Bogenmaß entspricht einem halben Kreis (\(180^\circ\))? - Kürze die Brüche so weit wie möglich, um das Ergebnis elegant als Vielfaches von \(\pi\) zu schreiben.

1. Anwendung der Umrechnungsformel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung für a): \(30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30}{180}\pi = \frac{1}{6}\pi\). 3. Berechnung für b): \(135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{135}{180}\pi = \frac{3}{4}\pi\). 4. Berechnung für c): \(-210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{210}{180}\pi = -\frac{7}{6}\pi\). 5. Berechnung für d): \(315^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{315}{180}\pi = \frac{7}{4}\pi\). 6. Berechnung für e): \(1080^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{1080}{180}\pi = 6\pi\).

a) \(x = \frac{1}{6}\pi\) (oder \(\frac{\pi}{6}\)) b) \(x = \frac{3}{4}\pi\) c) \(x = -\frac{7}{6}\pi\) d) \(x = \frac{7}{4}\pi\) e) \(x = 6\pi\)

- Überlege dir, welcher Anteil des Vollkreises (\(360^\circ\) bzw. \(2\pi\)) der jeweilige Winkel ist. - Nutze den Zusammenhang, dass \(180^\circ\) genau dem Bogenmaß \(\pi\) entspricht. - Kannst du die Brüche im Bogenmaß kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Umrechnung von \(120^\circ\) ins Bogenmaß: \(x = \frac{120^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{2}{3}\pi\). 2. Umrechnung von \(\frac{5\pi}{6}\) ins Gradmaß: \(\alpha = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). 3. Umrechnung von \(225^\circ\) ins Bogenmaß: \(x = \frac{225^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5}{4}\pi\). 4. Umrechnung von \(\frac{5\pi}{3}\) ins Gradmaß: \(\alpha = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 60^\circ = 300^\circ\).

Die fehlenden Werte lauten: - Für \(\alpha = 120^\circ\) ist \(x = \frac{2\pi}{3}\). - Für \(x = \frac{5\pi}{6}\) ist \(\alpha = 150^\circ\). - Für \(\alpha = 225^\circ\) ist \(x = \frac{5\pi}{4}\). - Für \(x = \frac{5\pi}{3}\) ist \(\alpha = 300^\circ\).

- Welchen Anteil am Vollkreis (\(360^\circ\)) nimmt der gegebene Winkel ein? - Ein gestreckter Winkel von \(180^\circ\) entspricht im Bogenmaß genau \(\pi\). - Kannst du den Bruch, der durch die Division mit \(180\) entsteht, so weit wie möglich kürzen?

Die Umrechnung vom Gradmaß \(\alpha\) in das Bogenmaß \(x\) erfolgt über die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Einsetzen von \(\alpha = 120^\circ\): \(x = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\) 2. Einsetzen von \(\alpha = 315^\circ\): \(x = \frac{315\pi}{180} = \frac{7\pi}{4}\) 3. Einsetzen von \(\alpha = -30^\circ\): \(x = \frac{-30\pi}{180} = -\frac{\pi}{6}\) 4. Einsetzen von \(\alpha = 270^\circ\): \(x = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}\) 5. Einsetzen von \(\alpha = 72^\circ\): \(x = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}\)

a) \(x = \frac{2\pi}{3}\) b) \(x = \frac{7\pi}{4}\) c) \(x = -\frac{\pi}{6}\) d) \(x = \frac{3\pi}{2}\) e) \(x = \frac{2\pi}{5}\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einem Vollkreis in Grad und im Bogenmaß? - Kannst du ein Verhältnis oder einen Dreisatz aufstellen, um die Einheiten umzurechnen? - Überlege dir, wie viel Radiant genau \(180^\circ\) entsprechen. - Achte bei der Rechnung auf die Vorzeichen; diese bleiben bei der Umrechnung erhalten.

1. Zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß wird die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(72^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72}{180}\pi = \frac{2}{5}\pi\). 3. Für b) ergibt sich \(-210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{210}{180}\pi = -\frac{7}{6}\pi\). 4. Zur Umrechnung von Bogenmaß in Gradmaß wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) verwendet. 5. Für c) ergibt sich \(\frac{4}{9}\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{9} = 80^\circ\). 6. Für d) ergibt sich \(-1{,}5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -1{,}5 \cdot 180^\circ = -270^\circ\).

a) \(x = \frac{2}{5}\pi\) b) \(x = -\frac{7}{6}\pi\) c) \(\alpha = 80^\circ\) d) \(\alpha = -270^\circ\)

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^{\circ}\)) der gegebene Winkel ist. - Wie viel Radiant entsprechen einem halben Kreis mit \(180^{\circ}\)? - Du kannst das Verhältnis \(\frac{\text{Bogenmaß}}{\pi} = \frac{\text{Gradmaß}}{180^{\circ}}\) zur Umrechnung nutzen. - Denk beim Kürzen der Brüche an gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner.

1. Zur Umrechnung von Gradmaß \(\alpha\) in Bogenmaß \(x\) wird die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}\) verwendet. 2. Für \(\alpha = 240^{\circ}\) ergibt sich \(x = 240^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{4}{3}\pi\). 3. Für \(\beta = -150^{\circ}\) ergibt sich \(x = -150^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = -\frac{5}{6}\pi\). 4. Für \(\gamma = 315^{\circ}\) ergibt sich \(x = 315^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{7}{4}\pi\). 5. Für \(\delta = 720^{\circ}\) ergibt sich \(x = 720^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = 4\pi\).

a) \(x = \frac{4}{3}\pi\) b) \(x = -\frac{5}{6}\pi\) c) \(x = \frac{7}{4}\pi\) d) \(x = 4\pi\)

- Welcher Winkel im Bogenmaß entspricht einem halben Kreis (\(180^\circ\))? - Kannst du die Werte durch einfache Division oder Multiplikation von \(\pi\) bzw. \(180^\circ\) finden? - Überlege dir, welchen Bruchteil eines Halbkreises der gegebene Winkel darstellt. - Achte bei negativen Winkeln darauf, dass das Vorzeichen im Ergebnis erhalten bleibt.

1. Zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß wird die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) verwendet. Für \(120^\circ\) ergibt sich \(120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2}{3}\pi\). Für \(210^\circ\) ergibt sich \(210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7}{6}\pi\). Für \(-45^\circ\) ergibt sich \(-45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{1}{4}\pi\). 2. Zur Umrechnung von Bogenmaß in Gradmaß wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) verwendet. Für \(\frac{3}{4}\pi\) ergibt sich \(\frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ\). Für \(\frac{5}{3}\pi\) ergibt sich \(\frac{5}{3} \cdot 180^\circ = 300^\circ\).

Die fehlenden Werte sind: \(120^\circ \rightarrow \frac{2}{3}\pi\) \(\frac{3}{4}\pi \rightarrow 135^\circ\) \(210^\circ \rightarrow \frac{7}{6}\pi\) \(\frac{5}{3}\pi \rightarrow 300^\circ\) \(-45^\circ \rightarrow -\frac{1}{4}\pi\)

- Überlege dir, wie viel Grad einem vollen Kreis im Bogenmaß (\(2\pi\)) entsprechen. - Welchen Anteil am Vollkreis stellt der gegebene Wert im Bogenmaß dar? - Welche Konstante verbindet den Radius und den Umfang eines Kreises?

1. Zur Umrechnung von Bogenmaß \(x\) in Gradmaß \(\alpha\) wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) verwendet. 2. Für a) ergibt sich \(\alpha = 0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 28{,}6478^\circ\), gerundet \(28{,}65^\circ\). 3. Für b) ergibt sich \(\alpha = 2{,}4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 137{,}5098^\circ\), gerundet \(137{,}51^\circ\). 4. Für c) ergibt sich \(\alpha = 4{,}8 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 275{,}0197^\circ\), gerundet \(275{,}02^\circ\). 5. Für d) ergibt sich \(\alpha = 5{,}9 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 338{,}0450^\circ\), gerundet \(338{,}05^\circ\).

a) \(\alpha \approx 28{,}65^\circ\) b) \(\alpha \approx 137{,}51^\circ\) c) \(\alpha \approx 275{,}02^\circ\) d) \(\alpha \approx 338{,}05^\circ\)

- Überlege dir, welcher Anteil eines Vollkreises (\(360^\circ\)) der gegebene Winkel ist. - Ein Vollkreis entspricht im Bogenmaß genau \(2\pi\). - Welcher Wert im Bogenmaß entspricht dann einem halben Kreis (\(180^\circ\))? - Stelle ein Verhältnis zwischen dem Winkel im Gradmaß und dem gestreckten Winkel auf.

Das Bogenmaß \(x\) wird mithilfe der Formel \(x = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}\) berechnet. 1. Für \(24^\circ\): \(\frac{24 \cdot \pi}{180} \approx 0{,}4188\). Gerundet: \(0{,}42\). 2. Für \(165^\circ\): \(\frac{165 \cdot \pi}{180} \approx 2{,}8797\). Gerundet: \(2{,}88\). 3. Für \(212{,}5^\circ\): \(\frac{212{,}5 \cdot \pi}{180} \approx 3{,}7088\). Gerundet: \(3{,}71\). 4. Für \(333^\circ\): \(\frac{333 \cdot \pi}{180} \approx 5{,}8119\). Gerundet: \(5{,}81\).

a) \(0{,}42\) b) \(2{,}88\) c) \(3{,}71\) d) \(5{,}81\)

- Welchen Anteil des Vollkreises (\(360^\circ\)) macht der gegebene Winkel aus? - Ein voller Kreis entspricht im Bogenmaß \(2\pi\). Wie kannst du diesen Zusammenhang nutzen? - Denke daran, dass das Bogenmaß oft als Vielfaches von \(\pi\) angegeben wird, hier aber ein Dezimalwert gesucht ist. - Verwende für \(\pi\) die Taste an deinem Taschenrechner für eine höhere Genauigkeit vor dem Runden.

Die Umrechnung vom Gradmaß \(\alpha\) in das Bogenmaß \(x\) erfolgt über die Formel \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Für \(\alpha_1 = 15^\circ\): \(x_1 = 15^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{12} \approx 0{,}26\). 2. Für \(\alpha_2 = 135^\circ\): \(x_2 = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}36\). 3. Für \(\alpha_3 = -200^\circ\): \(x_3 = -200^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{10\pi}{9} \approx -3{,}49\). 4. Für \(\alpha_4 = 345^\circ\): \(x_4 = 345^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{23\pi}{12} \approx 6{,}02\).

a) \(0{,}26\) b) \(2{,}36\) c) \(-3{,}49\) d) \(6{,}02\)

- Überlege dir, welcher Anteil des Vollkreises (\(360^\circ\) bzw. \(2\pi\)) der gegebene Winkel ist. - Wie hängen der gestreckte Winkel (\(180^\circ\)) und die Kreiszahl \(\pi\) zusammen? - Kannst du die Brüche so weit wie möglich kürzen, um das Vielfache von \(\pi\) zu finden?

Die Umrechnung von Gradmaß \(\alpha\) in Bogenmaß \(x\) erfolgt über die Formel \(x = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}\). 1. Für die Werte in a) ergibt sich: \(60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3}\); \(135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4}\); \(330^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{11\pi}{6}\). 2. Für die negativen Werte in b) ergibt sich: \(-90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{\pi}{2}\); \(-210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{7\pi}{6}\). 3. Für die Werte in c) ergibt die numerische Berechnung: \(12^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0{,}209\); \(200^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 3{,}491\).

a) \(\frac{\pi}{3}\); \(\frac{3\pi}{4}\); \(\frac{11\pi}{6}\) b) \(-\frac{\pi}{2}\); \(-\frac{7\pi}{6}\) c) \(\approx 0{,}209\); \(\approx 3{,}491\)

- Es hilft, alle Winkel in dieselbe Einheit (entweder Gradmaß oder Bogenmaß) umzurechnen. - Orientierung am Einheitskreis: Wo liegen die Viertel- und Achtelpunkte (\(90^\circ\), \(180^\circ\), \(45^\circ\) etc.)? - Erinnere dich daran, dass \(\pi\) etwa \(3{,}14\) ist, falls Dezimalzahlen vorkommen.

1. Vergleich a): \(\frac{5\pi}{4}\) entspricht \(\frac{5}{4} \cdot 180^\circ = 225^\circ\). Da \(240^\circ > 225^\circ\), ist \(240^\circ\) der größere Winkel. 2. Vergleich b): \(\frac{11\pi}{6}\) entspricht \(\frac{11}{6} \cdot 180^\circ = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ\). Da \(330^\circ > 320^\circ\), ist \(\frac{11\pi}{6}\) der größere Winkel. 3. Vergleich c): \(1{,}5\pi\) entspricht \(\frac{3}{2}\pi\), was \(270^\circ\) entspricht. Da \(280^\circ > 270^\circ\), ist \(280^\circ\) der größere Winkel.

a) \(240^\circ\) ist größer als \(\frac{5\pi}{4}\) (da \(\frac{5\pi}{4} = 225^\circ\)). b) \(\frac{11\pi}{6}\) ist größer als \(320^\circ\) (da \(\frac{11\pi}{6} = 330^\circ\)). c) \(280^\circ\) ist größer als \(1{,}5\pi\) (da \(1{,}5\pi = 270^\circ\)).

- Achte darauf, ob der gegebene Wert ein Vielfaches von \(\pi\) ist oder eine reine Dezimalzahl. - Wenn kein \(\pi\) im Bogenmaß steht, musst du den Zahlenwert von \(\pi \approx 3{,}14159\) in deine Rechnung einbeziehen. - Überlege dir zur Kontrolle grob: Ein Radiant (\(x=1\)) entspricht etwa \(57{,}3^\circ\). - Achte auf das Vorzeichen des Winkels.

Zur Umrechnung werden die Formeln \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\) und \(x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) verwendet. 1. \(x = 2{,}4 \rightarrow \alpha = 2{,}4 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 137{,}51^\circ\) 2. \(\alpha = 100^\circ \rightarrow x = 100 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 1{,}75\) 3. \(x = -\frac{3\pi}{4} \rightarrow \alpha = -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -135^\circ\) 4. \(x = 6 \rightarrow \alpha = 6 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 343{,}77^\circ\) 5. \(\alpha = 12{,}5^\circ \rightarrow x = 12{,}5 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0{,}22\)

a) \(\alpha \approx 137{,}51^\circ\) b) \(x \approx 1{,}75\) c) \(\alpha = -135^\circ\) d) \(\alpha \approx 343{,}77^\circ\) e) \(x \approx 0{,}22\)

- Wie oft passt der Winkel in einen Halbkreis von \(180^\circ\)? - Was musst du tun, um das \(\pi\) im Bogenmaß zu eliminieren oder einzuführen? - Kannst du die Brüche so weit wie möglich kürzen?

1. Berechnung für die erste Spalte: \(\alpha = 150^\circ \Rightarrow x = 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5}{6}\pi\). 2. Berechnung für die zweite Spalte: \(x = \frac{5}{4}\pi \Rightarrow \alpha = \frac{5}{4} \cdot 180^\circ = 225^\circ\). 3. Berechnung für die dritte Spalte: \(\alpha = -40^\circ \Rightarrow x = -40^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{2}{9}\pi\). 4. Berechnung für die vierte Spalte: \(x = -0{,}2\pi \Rightarrow \alpha = -0{,}2 \cdot 180^\circ = -36^\circ\).

Erste Spalte: \(x = \frac{5}{6}\pi\) Zweite Spalte: \(\alpha = 225^\circ\) Dritte Spalte: \(x = -\frac{2}{9}\pi\) Vierte Spalte: \(\alpha = -36^\circ\)

- Wie viele Grad entsprechen dem Bogenmaß \(\pi\)? - Wenn ein \(\pi\) im Bogenmaß vorkommt, kannst du es beim Umrechnen einfach gegen das \(\pi\) im Nenner des Umrechnungsfaktors kürzen. - Steht kein \(\pi\) beim Wert, musst du den Wert direkt mit \(\frac{180^{\circ}}{\pi}\) multiplizieren und den Taschenrechner nutzen. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen für die Richtung des Winkels?

1. Zur Umrechnung von Bogenmaß \(x\) in Gradmaß \(\alpha\) wird die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}\) verwendet. 2. Für \(x = \frac{11\pi}{6}\) ergibt sich \(\alpha = \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 11 \cdot 30^{\circ} = 330^{\circ}\). 3. Für \(x = -\frac{3\pi}{4}\) ergibt sich \(\alpha = -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -3 \cdot 45^{\circ} = -135^{\circ}\). 4. Für \(x = 0{,}5\) ergibt sich \(\alpha = 0{,}5 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 28{,}6^{\circ}\). 5. Für \(x = 10\pi\) ergibt sich \(\alpha = 10\pi \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = 1800^{\circ}\).

a) \(\alpha = 330^{\circ}\) b) \(\alpha = -135^{\circ}\) c) \(\alpha \approx 28{,}6^{\circ}\) d) \(\alpha = 1800^{\circ}\)

- Wie hängen der Vollkreis in Grad (\(360^\circ\)) und im Bogenmaß (\(2\pi\)) zusammen? - Überlege dir, mit welchem Faktor man vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnet. - Erinnere dich an die Sinuswerte besonderer Winkel am Einheitskreis. - Achte beim Taschenrechner darauf, ob er auf „DEG“ (Grad) oder „RAD“ (Bogenmaß) eingestellt ist.

1. Berechnung für \(\alpha = 60^\circ\): Das Bogenmaß ist \(x = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\). Der Sinuswert ist \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\). 2. Berechnung für \(x = \frac{3}{4}\pi\): Das Gradmaß ist \(\alpha = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ\). Der Sinuswert ist \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\). 3. Berechnung für \(\sin(x) = -1\): Im Bereich \([0; 2\pi]\) tritt dieser Wert bei \(x = \frac{3}{2}\pi \approx 4{,}71\) auf. Das entspricht einem Gradmaß von \(\alpha = 270^\circ\). 4. Berechnung für \(\alpha = 310^\circ\): Das Bogenmaß ist \(x = \frac{310 \cdot \pi}{180} = \frac{31}{18}\pi \approx 5{,}41\). Der Sinuswert ist \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}77\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td>\(\alpha\)</td> <td>\(x\)</td> <td>\(\sin(x)\)</td> </tr> <tr> <td>\(60^\circ\)</td> <td>\(\frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\)</td> <td>\(\approx 0{,}87\)</td> </tr> <tr> <td>\(135^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{4}\pi \approx 2{,}36\)</td> <td>\(\approx 0{,}71\)</td> </tr> <tr> <td>\(270^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{2}\pi \approx 4{,}71\)</td> <td>\(-1\)</td> </tr> <tr> <td>\(310^\circ\)</td> <td>\(\frac{31}{18}\pi \approx 5{,}41\)</td> <td>\(\approx -0{,}77\)</td> </tr> </table>

- Wie viel Grad entspricht einer vollen Umdrehung im Einheitskreis? - Wie oft passt eine volle Umdrehung in die größeren Winkel hinein? - Was passiert mit der Position eines Zeigers, wenn man ihn um genau \(360^\circ\) weiterdreht? - Kannst du die Winkel so verändern, dass sie alle in einem Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegen?

1. Umrechnung in Gradmaß mittels \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\): \(x_1 = \frac{1}{3} \cdot 180^\circ = 60^\circ\); \(x_2 = \frac{7}{3} \cdot 180^\circ = 420^\circ\); \(x_3 = -\frac{5}{3} \cdot 180^\circ = -300^\circ\); \(x_4 = \frac{4}{3} \cdot 180^\circ = 240^\circ\). 2. Prüfung auf dieselbe Endlage durch Addition/Subtraktion von Vielfachen einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\) oder \(2\pi\)): \(420^\circ - 360^\circ = 60^\circ\); \(-300^\circ + 360^\circ = 60^\circ\). 3. Ergebnis: \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da sie sich nur um ganze Umdrehungen unterscheiden. \(x_4\) beschreibt eine andere Position (\(240^\circ\)).

a) \(x_1 = 60^\circ\), \(x_2 = 420^\circ\), \(x_3 = -300^\circ\), \(x_4 = 240^\circ\). b) \(x_1, x_2\) und \(x_3\) beschreiben dieselbe Position, da \(420^\circ = 60^\circ + 1 \cdot 360^\circ\) und \(-300^\circ = 60^\circ - 1 \cdot 360^\circ\) gilt.

- Überlege dir, welchen Anteil der Vollkreis (\(360^\circ\) bzw. \(2\pi\)) der gegebene Winkel einnimmt. - Die Umrechnungszahl zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß basiert auf dem Verhältnis des gestreckten Winkels (\(180^\circ\) entspricht \(\pi\)). - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Negative Winkel werden analog zu positiven Winkeln umgerechnet.

1. Berechnung für \(45^\circ\): Das Bogenmaß ergibt sich aus \(x = \frac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ}\). Für \(45^\circ\) folgt \(x = \frac{45\pi}{180} = \frac{1}{4}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx 0{,}79\). 2. Berechnung für \(\frac{3}{5}\pi\): Das Gradmaß ergibt sich aus \(\alpha = \frac{x \cdot 180^\circ}{\pi}\). Einsetzen liefert \(\alpha = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ\). Der gerundete Wert des Bogenmaßes ist \(\frac{3}{5} \cdot \pi \approx 1{,}88\). 3. Berechnung für \(240^\circ\): \(x = \frac{240\pi}{180} = \frac{4}{3}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx 4{,}19\). 4. Berechnung für \(-60^\circ\): \(x = \frac{-60\pi}{180} = -\frac{1}{3}\pi\). Gerundet ergibt dies \(x \approx -1{,}05\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <th>Gradmaß \(\alpha\)</th> <th>Bogenmaß \(x\) (exakt)</th> <th>Bogenmaß \(x\) (gerundet)</th> </tr> <tr> <td>\(45^\circ\)</td> <td>\(\frac{1}{4}\pi\)</td> <td>\(0{,}79\)</td> </tr> <tr> <td>\(108^\circ\)</td> <td>\(\frac{3}{5}\pi\)</td> <td>\(1{,}88\)</td> </tr> <tr> <td>\(240^\circ\)</td> <td>\(\frac{4}{3}\pi\)</td> <td>\(4{,}19\)</td> </tr> <tr> <td>\(-60^\circ\)</td> <td>\(-\frac{1}{3}\pi\)</td> <td>\(-1{,}05\)</td> </tr> </table>

- Um verschiedene Winkelmaße zu vergleichen, müssen sie in dieselbe Einheit umgerechnet werden. - Werte ohne Einheit (wie \(1{,}2\)) stehen im Mathematikunterricht meist für das Bogenmaß. - Nutze für \(\pi\) die Taste an deinem Taschenrechner für eine höhere Genauigkeit vor dem Runden.

1. Umrechnung aller Werte in das Bogenmaß (Dezimaldarstellung): - \(75^\circ \approx \frac{75 \cdot \pi}{180} \approx 1{,}31\) - \(1{,}2\) (bereits im Bogenmaß) - \(\frac{2}{3}\pi \approx \frac{2 \cdot 3{,}14159}{3} \approx 2{,}09\) - \(210^\circ \approx \frac{210 \cdot \pi}{180} \approx 3{,}67\) - \(4\) (bereits im Bogenmaß) 2. Vergleich der Werte: \(1{,}2 < 1{,}31 < 2{,}09 < 3{,}67 < 4\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte ergibt die Reihenfolge: \(1{,}2\); \(75^\circ\); \(\frac{2}{3}\pi\); \(210^\circ\); \(4\).

Die sortierte Reihenfolge lautet: \(1{,}2\); \(75^\circ\); \(\frac{2}{3}\pi\); \(210^\circ\); \(4\).

- Wie verhält sich das Vorzeichen bei der Umrechnung zwischen den Maßeinheiten? - Entspricht ein Wert über \(2\pi\) einem Winkel, der größer als eine volle Umdrehung ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang: \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\).

1. Die Umrechnungsformel lautet \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 2. Berechnung für a): \(\alpha = -0{,}9 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx -51{,}5662^\circ\). Gerundet ergibt dies \(-51{,}6^\circ\). 3. Berechnung für b): \(\alpha = 3{,}1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 177{,}6169^\circ\). Gerundet ergibt dies \(177{,}6^\circ\). 4. Berechnung für c): \(\alpha = 7{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 412{,}5296^\circ\). Gerundet ergibt dies \(412{,}5^\circ\).

a) \(\alpha \approx -51{,}6^\circ\) b) \(\alpha \approx 177{,}6^\circ\) c) \(\alpha \approx 412{,}5^\circ\)

- Die Umrechnungsformel bleibt auch bei negativen Vorzeichen oder sehr großen Werten identisch. - Achte darauf, das Vorzeichen im Ergebnis beizubehalten. - Wie viele volle Umdrehungen stecken beispielsweise in \(1500^\circ\)? Das hilft dir, die Größenordnung deines Ergebnisses einzuschätzen. - Verwende für \(\pi\) den Taschenrechnerwert, um Rundungsfehler zu minimieren.

Die Umrechnung erfolgt durch Multiplikation des Gradmaßes mit dem Faktor \(\frac{\pi}{180^\circ}\). 1. Für \(-15^\circ\): \(\frac{-15 \cdot \pi}{180} \approx -0{,}2617\). Gerundet: \(-0{,}262\). 2. Für \(480^\circ\): \(\frac{480 \cdot \pi}{180} \approx 8{,}3775\). Gerundet: \(8{,}378\). 3. Für \(-210^\circ\): \(\frac{-210 \cdot \pi}{180} \approx -3{,}6651\). Gerundet: \(-3{,}665\). 4. Für \(1500^\circ\): \(\frac{1500 \cdot \pi}{180} \approx 26{,}1799\). Gerundet: \(26{,}180\).

a) \(-0{,}262\) b) \(8{,}378\) c) \(-3{,}665\) d) \(26{,}180\)

- Überlege dir, wie viel Grad der volle Kreisumfang im Bogenmaß (\(2\pi\)) entspricht. - Welchen Anteil am Vollkreis nimmt der gegebene Winkel ein? - Nutze den Dreisatz oder eine Formel, die das Verhältnis von Gradmaß zu \(180^\circ\) mit dem Verhältnis von Bogenmaß zu \(\pi\) verknüpft. - Achte bei der Eingabe in den Taschenrechner darauf, ob du mit \(\pi\) oder einer Dezimalzahl rechnest.

1. Umrechnung von \(72^\circ\) in das Bogenmaß: \(x = \frac{72 \cdot \pi}{180} = \frac{2}{5}\pi \approx 1{,}3\). 2. Umrechnung von \(1{,}5\) in das Gradmaß: \(\alpha = \frac{1{,}5 \cdot 180}{\pi} \approx 85{,}9^\circ\). 3. Umrechnung von \(-210^\circ\) in das Bogenmaß: \(x = \frac{-210 \cdot \pi}{180} = -\frac{7}{6}\pi \approx -3{,}7\). 4. Umrechnung von \(\frac{3}{4}\pi\) in das Gradmaß: \(\alpha = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ\). 5. Umrechnung von \(5\) in das Gradmaß: \(\alpha = \frac{5 \cdot 180}{\pi} \approx 286{,}5^\circ\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: | Gradmaß \(\alpha\) | Bogenmaß \(x\) | | :--- | :--- | | \(72^\circ\) | \(1{,}3\) (bzw. \(\frac{2}{5}\pi\)) | | \(85{,}9^\circ\) | \(1{,}5\) | | \(-210^\circ\) | \(-3{,}7\) (bzw. \(-\frac{7}{6}\pi\)) | | \(135^\circ\) | \(2{,}4\) (bzw. \(\frac{3}{4}\pi\)) | | \(286{,}5^\circ\) | \(5\) |

- Um verschiedene Angaben vergleichen zu können, ist es am einfachsten, sie in die gleiche Einheit (entweder Grad oder Bogenmaß) zu bringen. - Denke daran, dass \(\pi\) ungefähr \(3{,}14\) ist, um die Größenordnung der Bogenmaß-Werte grob abzuschätzen. - Wie rechnest du einen Wert im Bogenmaß in Grad um?

1. Umrechnung aller Werte in das Gradmaß zur besseren Vergleichbarkeit. 2. \(\alpha = 155^\circ\) ist bereits im Gradmaß gegeben. 3. Umrechnung von \(\beta = 2{,}7\): \(\alpha_{\beta} = \frac{2{,}7 \cdot 180}{\pi} \approx 154{,}7^\circ\). 4. Umrechnung von \(\gamma = \frac{5}{6}\pi\): \(\alpha_{\gamma} = \frac{5}{6} \cdot 180^\circ = 150^\circ\). 5. Umrechnung von \(\delta = 2{,}8\): \(\alpha_{\delta} = \frac{2{,}8 \cdot 180}{\pi} \approx 160{,}4^\circ\). 6. Vergleich der Werte: \(150^\circ < 154{,}7^\circ < 155^\circ < 160{,}4^\circ\). 7. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(\gamma < \beta < \alpha < \delta\).

Die sortierte Reihenfolge lautet: \(\gamma < \beta < \alpha < \delta\) (entspricht \(150^\circ < 154{,}7^\circ < 155^\circ < 160{,}4^\circ\)).

- Überlege dir, welcher Winkel im Gradmaß einem vollen Kreisbogen im Bogenmaß (\(2\pi\)) entspricht. - Wie viel Grad entsprechen dann genau einem Radiant (\(1\,\text{rad}\))? - Achte beim Runden genau auf die Ziffer an der zweiten Nachkommastelle. - Das Vorzeichen bleibt bei der Umrechnung erhalten.

Die Umrechnung vom Bogenmaß \(x\) in das Gradmaß \(\alpha\) erfolgt über die Formel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 1. Für \(x_1 = 1{,}2\): \(\alpha_1 = 1{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 68{,}8^\circ\). 2. Für \(x_2 = -0{,}5\): \(\alpha_2 = -0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx -28{,}6^\circ\). 3. Für \(x_3 = 3{,}5\): \(\alpha_3 = 3{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 200{,}5^\circ\). 4. Für \(x_4 = 6{,}2\): \(\alpha_4 = 6{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 355{,}2^\circ\).

a) \(68{,}8^\circ\) b) \(-28{,}6^\circ\) c) \(200{,}5^\circ\) d) \(355{,}2^\circ\)

- Um verschiedene mathematische Größen zu vergleichen, ist es oft hilfreich, sie in die gleiche Einheit zu bringen. - Welche Einheit (Gradmaß oder Bogenmaß) fällt dir leichter zu vergleichen? - Achte bei der Umrechnung von Werten ohne das Symbol \(\pi\) darauf, den Wert für \(\pi\) genau einzusetzen (z. B. mit der Taste am Taschenrechner).

Zur Vergleichbarkeit werden alle Winkel in das Gradmaß umgerechnet unter Verwendung der Formel \(\alpha = \frac{x \cdot 180^\circ}{\pi}\). 1. Umrechnung von \(x_1\): \(1{,}2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 68{,}75^\circ\). 2. Umrechnung von \(x_2\): \(\frac{2}{5}\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 72^\circ\). 3. Umrechnung von \(x_3\): \(0{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 28{,}65^\circ\). 4. Vergleich aller Werte in Grad: \(28{,}65^\circ < 40^\circ < 68{,}75^\circ < 72^\circ < 75^\circ\). 5. Zuordnung der ursprünglichen Bezeichnungen ergibt die Reihenfolge: \(x_3 < \alpha_2 < x_1 < x_2 < \alpha_1\).

\(x_3 < \alpha_2 < x_1 < x_2 < \alpha_1\)

- Erinnere dich daran, dass \(\pi\) im Bogenmaß genau \(180^\circ\) entspricht. - Du kannst das \(\pi\) in den Brüchen oft einfach gegen das \(\pi\) im Nenner der Umrechnungsformel kürzen. - Wenn kein \(\pi\) im Bogenmaß steht, musst du den Wert der Zahl \(\pi \approx 3{,}14159\) für die Division verwenden. - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen für die Drehrichtung eines Winkels?

1. Nutzung der Umrechnungsformel \(\alpha = x \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\). 2. Berechnung für a): \(\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ\). 3. Berechnung für b): \(\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 315^\circ\). 4. Berechnung für c): \(-\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = -270^\circ\). 5. Berechnung für d): \(4{,}5\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4{,}5 \cdot 180^\circ = 810^\circ\). 6. Berechnung für e): \(1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}2957...^\circ \approx 57{,}3^\circ\).

a) \(\alpha = 120^\circ\) b) \(\alpha = 315^\circ\) c) \(\alpha = -270^\circ\) d) \(\alpha = 810^\circ\) e) \(\alpha \approx 57{,}3^\circ\)

- Wie viel Grad entsprechen ungefähr einem Radiant (Bogenmaß 1)? - Skizziere die Sinus- oder Kosinusfunktion, um das Monotonieverhalten oder Symmetrien zu erkennen. - Überlege dir bei Teilaufgabe c), in welchen Quadranten der Sinuswert negativ ist. - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis, um von einem bekannten Winkel im ersten Quadranten auf andere Quadranten zu schließen.

1. Umrechnung von \(\alpha = 225^\circ\): \(x = \frac{225}{180}\pi = \frac{5}{4}\pi\). 2. Vergleich von \(\cos(1)\) und \(\cos(1^\circ)\): Der Wert \(1\) im Bogenmaß entspricht etwa \(57{,}3^\circ\). Da die Kosinusfunktion im Intervall \([0^\circ; 90^\circ]\) streng monoton fallend ist, gilt \(\cos(1^\circ) > \cos(57{,}3^\circ)\), woraus folgt: \(\cos(1^\circ) > \cos(1)\). 3. Lösung der Gleichung \(\sin(x) = -0{,}5\): Der Referenzwinkel im ersten Quadranten für \(\sin(x_0) = 0{,}5\) ist \(x_0 = \frac{\pi}{6}\). Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) (3. und 4. Quadrant) liegen die Lösungen bei \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6}\pi\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6}\pi\).

a) \(x = \frac{5}{4}\pi\) b) \(\cos(1^\circ)\) ist größer, da \(1^\circ\) wesentlich näher an \(0\) liegt als \(1\,\text{rad} \approx 57{,}3^\circ\) und die Kosinusfunktion nahe \(0\) ihren maximalen Wert hat. c) \(x_1 = \frac{7}{6}\pi\) und \(x_2 = \frac{11}{6}\pi\)