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- Erinnere dich daran, welche Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - Wie hängen die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse \(1\) zusammen? - Nutze die Sinus- und Kosinus-Tasten deines Taschenrechners und achte darauf, dass er auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Ablesen am Einheitskreis: Der Punkt bei \(70^\circ\) hat näherungsweise die Koordinaten \((0{,}34\mid0{,}94)\). Daher gilt \(\cos(70^\circ)\approx0{,}34\) und \(\sin(70^\circ)\approx0{,}94\). 2. Mit dem Taschenrechner: \(\sin(70^\circ)\approx0{,}940\) und \(\cos(70^\circ)\approx0{,}342\). 3. Mit diesen auf drei Dezimalstellen gerundeten Werten ergibt sich \(0{,}940^2+0{,}342^2=0{,}883600+0{,}116964=1{,}000564\approx1{,}001\). 4. Mit den ungerundeten exakten Funktionswerten gilt nach dem trigonometrischen Pythagoras für jeden Winkel \(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\). Die kleine Abweichung in Teil c) entsteht nur durch das Runden.

a) \(\sin(70^\circ)\approx0{,}94\); \(\cos(70^\circ)\approx0{,}34\) b) \(\sin(70^\circ)\approx0{,}940\); \(\cos(70^\circ)\approx0{,}342\) c) Mit den Werten aus b): \(1{,}000564\approx1{,}001\). Theoretisch ist die Summe mit ungerundeten Werten genau \(1\).

- Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis definiert? - Welche Koordinate entspricht der vertikalen Auslenkung, welche der horizontalen? - Achte beim Zeichnen darauf, dass \(1\,\text{LE}\) (Längeneinheit) genau \(10\,\text{cm}\) entspricht, sodass ein Millimeter in der Zeichnung einem Hundertstel einer Längeneinheit entspricht.

1. Zeichnen des Einheitskreises mit Radius \(10\,\text{cm}\) und Abtragen des Winkels \(35^\circ\) im Gegenuhrzeigersinn ab der positiven \(x\)-Achse. 2. Ablesen der Koordinaten am Koordinatensystem: Die \(x\)-Koordinate (Abstand zur \(y\)-Achse) liegt bei etwa \(0{,}82\), die \(y\)-Koordinate (Abstand zur \(x\)-Achse) bei etwa \(0{,}57\). 3. Berechnung mit dem Taschenrechner: \(\cos(35^\circ) \approx 0{,}819\) und \(\sin(35^\circ) \approx 0{,}574\). 4. Zusammenhang: Im Einheitskreis entspricht die \(x\)-Koordinate eines Punktes dem Kosinus des Winkels (\(x = \cos(\alpha)\)) und die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels (\(y = \sin(\alpha)\)).

a) Die abgelesenen Koordinaten sollten etwa \(P(0{,}82 | 0{,}57)\) betragen. b) Die Taschenrechnerwerte sind \(\cos(35^\circ) \approx 0{,}819\) und \(\sin(35^\circ) \approx 0{,}574\). Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Kosinuswert und die \(y\)-Koordinate dem Sinuswert.

- Überlege dir, welche Koordinate (\(x\) oder \(y\)) am Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus zugeordnet ist. - Stelle dir vor, wie sich ein Punkt auf dem Kreisbogen von \(0^\circ\) in Richtung \(90^\circ\) bewegt. Wird sein Abstand zur \(x\)-Achse oder zur \(y\)-Achse dabei größer? - Was passiert genau bei \(45^\circ\)? Zeichne dir zur Not eine Skizze.

1. Im ersten Quadranten (\(0^\circ\) bis \(90^\circ\)) entspricht der Sinuswert der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Da die \(y\)-Koordinate bei steigendem Winkel zunimmt, gilt: Wegen \(25^\circ < 55^\circ\) ist \(\sin(25^\circ) < \sin(55^\circ)\). 2. Der Kosinuswert entspricht der \(x\)-Koordinate. Diese nimmt bei steigendem Winkel im ersten Quadranten ab. Wegen \(25^\circ < 55^\circ\) ist \(\cos(25^\circ) > \cos(55^\circ)\). 3. Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich groß (\(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\)). Für Winkel kleiner als \(45^\circ\) ist die \(x\)-Koordinate (Kosinus) größer als die \(y\)-Koordinate (Sinus). Da \(10^\circ < 45^\circ\), ist \(\cos(10^\circ) > \sin(10^\circ)\).

a) \(\sin(55^\circ)\) ist größer. b) \(\cos(25^\circ)\) ist größer. c) \(\cos(10^\circ)\) ist größer.

- Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis allgemein in Abhängigkeit vom Winkel? - Wie verändern sich die Koordinaten, wenn man einen Punkt an der vertikalen Achse spiegelt? - In welchem Quadranten liegt ein Punkt mit negativer x-Koordinate und positiver y-Koordinate?

1. Die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis sind durch \((\cos(\alpha) | \sin(\alpha))\) gegeben. Für \(\alpha = 60^\circ\) gilt: \(x = \cos(60^\circ) = 0{,}5\) und \(y = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Somit ist \(P(0{,}5 | \frac{\sqrt{3}}{2})\). 2. Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((-0{,}5 | \frac{\sqrt{3}}{2})\). Da der \(x\)-Wert negativ und der \(y\)-Wert positiv ist, liegt der Punkt im zweiten Quadranten. Durch Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt sich der Winkel \(\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Aus den Koordinaten von \(Q\) folgen direkt die trigonometrischen Werte: \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\) und \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

a) \(P(0{,}5 | \frac{\sqrt{3}}{2})\) b) \(\beta = 120^\circ\) c) \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\)

- Stell dir den Einheitskreis vor: Welche Koordinate entspricht dem Sinus, welche dem Kosinus? - Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert positiv oder negativ ist. - Wie hängen die Winkel in den verschiedenen Quadranten zusammen, wenn sie denselben Betrag beim Sinuswert haben? - Wo schneidet der Einheitskreis die Koordinatenachsen?

1. Für \(\sin(\alpha) = 0{,}5\) suchen wir die Punkte auf dem Einheitskreis mit der \(y\)-Koordinate \(0{,}5\). Dies ist im 1. Quadranten bei \(30^\circ\) und im 2. Quadranten bei \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\) der Fall. 2. Für \(\cos(\alpha) = 0\) suchen wir die Punkte auf dem Einheitskreis mit der \(x\)-Koordinate \(0\). Dies sind die Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = -1\) suchen wir den Punkt auf dem Einheitskreis mit der \(y\)-Koordinate \(-1\). Dies ist der tiefste Punkt des Kreises bei \(270^\circ\).

a) \(\alpha = 30^\circ\) oder \(\alpha = 150^\circ\) b) \(\alpha = 90^\circ\) oder \(\alpha = 270^\circ\) c) \(\alpha = 270^\circ\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinus bzw. Kosinus das gleiche Vorzeichen hat. - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der Achsen. - Wie hängen Winkel im ersten und zweiten Quadranten zusammen, wenn sie denselben Sinuswert haben? - Wie hängen Winkel im ersten und vierten Quadranten zusammen, wenn sie denselben Kosinuswert haben?

1. Für \(\sin(\alpha) = \sin(80^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 80^\circ\). Da der Sinus im ersten und zweiten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\). 2. Für \(\cos(\alpha) = \cos(10^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 10^\circ\). Da der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 10^\circ = 350^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = \sin(200^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 200^\circ\). Der Sinus ist im dritten und vierten Quadranten negativ. Der Referenzwinkel zur \(x\)-Achse ist \(200^\circ - 180^\circ = 20^\circ\). Der Winkel im vierten Quadranten ist \(\alpha_2 = 360^\circ - 20^\circ = 340^\circ\). 4. Für \(\cos(\alpha) = \cos(300^\circ)\): Ein Winkel ist \(\alpha_1 = 300^\circ\). Da der Kosinus im ersten und vierten Quadranten positiv ist, ergibt sich der zweite Winkel durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).

a) \(80^\circ, 100^\circ\) b) \(10^\circ, 350^\circ\) c) \(200^\circ, 340^\circ\) d) \(60^\circ, 300^\circ\)

- Nutze die Symmetrieeigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (Achsen- und Punktsymmetrie). - Überlege, wie sich Sinus und Kosinus bei einer Verschiebung um \(90^\circ\) oder \(270^\circ\) zueinander verhalten. - Teste im Zweifelsfall einen Winkel wie \(\alpha = 0^\circ\) oder \(\alpha = 30^\circ\), um eine Aussage schnell zu widerlegen.

1. \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\) und \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 2. \(\sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\) und \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 3. \(\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\) und \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 4. \(\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\) und \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\). Die Aussage ist wahr. 5. \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). Da \(\cos(\alpha) = -\cos(\alpha)\) nicht für alle \(\alpha\) gilt, ist die Aussage falsch.

Wahr sind die Gleichungen 1, 2, 3 und 4. Gleichung 5 ist falsch.

- Überlege zuerst, in welchem Quadranten der gegebene Winkel liegt. - Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den jeweiligen Quadranten? - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der horizontalen oder vertikalen Achse. - Wie weit ist der Winkel von der \(x\)-Achse (\(180^\circ\) oder \(360^\circ\)) entfernt?

1. Der Winkel \(138^\circ\) liegt im II. Quadranten. Es gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(180^\circ - 138^\circ = 42^\circ\) ergibt sich \(\sin 138^\circ = \sin 42^\circ\). 2. Der Winkel \(222^\circ\) liegt im III. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(222^\circ - 180^\circ = 42^\circ\) ergibt sich \(\cos 222^\circ = -\cos 42^\circ\). 3. Der Winkel \(305^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Es gilt \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(360^\circ - 305^\circ = 55^\circ\) ergibt sich \(\sin 305^\circ = -\sin 55^\circ\).

1. \(\sin 42^\circ\) 2. \(-\cos 42^\circ\) 3. \(-\sin 55^\circ\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der gesuchte Winkel liegt. - Wie hängen die \(y\)-Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis zusammen, wenn man sie an der \(y\)-Achse oder am Ursprung spiegelt? - Welchen Bezugswinkel im ersten Quadranten kannst du für die Berechnungen nutzen? - Erinnere dich an die Vorzeichen der Sinuswerte in den vier Quadranten.

1. Der Winkel \(165^\circ\) liegt im II. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 165^\circ = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ \approx 0{,}2588\). 2. Der Winkel \(195^\circ\) liegt im III. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 195^\circ = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ \approx -0{,}2588\). 3. Der Winkel \(345^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Es gilt die Beziehung \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 15^\circ\) folgt: \(\sin 345^\circ = \sin(360^\circ - 15^\circ) = -\sin 15^\circ \approx -0{,}2588\).

1. \(\sin 165^\circ \approx 0{,}2588\) 2. \(\sin 195^\circ \approx -0{,}2588\) 3. \(\sin 345^\circ \approx -0{,}2588\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Sinus eines Winkels und dem Kosinus seines Komplementärwinkels? - Wie viele Stellen im Einheitskreis haben denselben \(x\)-Wert? - Skizziere einen Einheitskreis und markiere die Positionen, an denen der Kosinus positiv ist.

1. Anwendung des Zusammenhangs zwischen Sinus und Kosinus am Einheitskreis über komplementäre Winkel: \(\sin 68^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 68^{\circ}) = \cos 22^{\circ}\). 2. Identifikation der ersten Lösung im ersten Quadranten: \(\alpha_1 = 22^{\circ}\). 3. Bestimmung der zweiten Lösung unter Ausnutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion an der \(x\)-Achse im Einheitskreis: \(\alpha_2 = 360^{\circ} - 22^{\circ} = 338^{\circ}\).

\(\alpha_1 = 22^{\circ}\) und \(\alpha_2 = 338^{\circ}\)

- Welche Gleichung beschreibt alle Punkte, die auf einem Kreis mit Radius \(1\) um den Ursprung liegen? - In welcher Beziehung stehen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis zu den trigonometrischen Funktionen? - Wie ist der Tangens über Sinus und Kosinus definiert?

1. Berechnung der x-Koordinate: Im Einheitskreis gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Mit \(y = 0{,}5\) folgt \(x^2 + 0{,}5^2 = 1\), also \(x^2 = 0{,}75\). Da \(P\) im ersten Quadranten liegt, ist \(x = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866\). 2. Bestimmung des Winkels: Da \(\sin(\alpha) = y = 0{,}5\), folgt \(\alpha = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ\). 3. Berechnung des Tangens: Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}\). Einsetzen ergibt \(\tan(30^\circ) = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}75}} \approx 0{,}577\).

a) \(x = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866\) b) \(\alpha = 30^\circ\) c) \(\tan(30^\circ) \approx 0{,}577\)

- Stelle dir vor, wie ein Punkt auf dem Kreis wandert, wenn der Winkel größer wird. - Was passiert mit der Höhe des Punktes, wenn der Winkel von \(0^\circ\) auf \(90^\circ\) ansteigt? - Was passiert mit dem Abstand zur \(y\)-Achse? - Wann liegt ein Punkt genau in der Mitte zwischen der waagerechten und der senkrechten Achse?

1. Zu a): Der Sinus entspricht der \(y\)-Koordinate. Im ersten Quadranten (\(0^\circ\) bis \(90^\circ\)) nimmt die \(y\)-Koordinate mit steigendem Winkel zu. Da \(75^\circ > 20^\circ\), ist \(\sin(75^\circ) > \sin(20^\circ)\). 2. Zu b): Der Kosinus entspricht der \(x\)-Koordinate. Im ersten Quadranten nimmt die \(x\)-Koordinate mit steigendem Winkel ab (der Punkt wandert nach links). Da \(10^\circ < 80^\circ\), ist \(\cos(10^\circ) > \cos(80^\circ)\). 3. Zu c): Sinus und Kosinus sind gleich groß, wenn die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis identisch sind. Dies ist auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten der Fall, also bei \(\alpha = 45^\circ\).

a) \(\sin(75^\circ)\) ist größer, da die \(y\)-Koordinate im 1. Quadranten bei größerem Winkel höher liegt. b) \(\cos(10^\circ)\) ist größer, da die \(x\)-Koordinate im 1. Quadranten bei kleinerem Winkel weiter rechts liegt. c) Bei \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\).

- Überlege dir, wie sich die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis verändern, wenn der Winkel größer wird. - Welchen speziellen Wert haben Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - Was weißt du über den Wert von \(\tan(45^\circ)\)? - Wie ist der Tangens als Verhältnis von Sinus und Kosinus definiert?

1. Vergleich von \(A\) und \(B\): Da \(40^\circ < 45^\circ\) ist, gilt am Einheitskreis für die Koordinaten des Punktes \(y < x\), also \(\sin(40^\circ) < \cos(40^\circ)\). 2. Vergleich von \(A\) und \(C\): Da \(\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)}\) und \(\cos(40^\circ) < 1\) ist, muss \(\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ)\) gelten. 3. Vergleich von \(B\) und \(C\): \(\cos(40^\circ) \approx 0{,}7660\) und \(\tan(40^\circ) \approx 0{,}8391\). Geometrisch ist im Einheitskreis die Tangensstrecke bei \(40^\circ\) länger als die \(x\)-Koordinate (\(0{,}8391 > 0{,}7660\)). 4. Vergleich von \(C\) und \(D\): Die Tangensfunktion steigt im ersten Quadranten streng monoton an. Da \(40^\circ < 50^\circ\), ist \(\tan(40^\circ) < \tan(50^\circ)\). Zudem ist \(\tan(50^\circ) > 1\), da \(50^\circ > 45^\circ\). 5. Gesamtreihenfolge: \(\sin(40^\circ) < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \tan(50^\circ)\).

Die Reihenfolge lautet: \(\sin(40^\circ) < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \tan(50^\circ)\).

- Welche Gleichung beschreibt alle Punkte, die auf einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung liegen? - Welche trigonometrische Funktion entspricht der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Tangens des Winkels zusammen?

1. Berechnung der \(x\)-Koordinate: Da \(P\) auf dem Einheitskreis liegt, gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Mit \(y = 0{,}8\) folgt \(x^2 + 0{,}8^2 = 1\), also \(x^2 + 0{,}64 = 1\). Damit ist \(x^2 = 0{,}36\). Da \(P\) im ersten Quadranten liegt, ist \(x = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\). 2. Bestimmung des Winkels: Da \(\sin(\alpha) = y = 0{,}8\), berechnet man \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\). 3. Berechnung des Tangens: \(\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).

a) \(x = 0{,}6\) b) \(\alpha \approx 53{,}13^\circ\) c) \(\tan(\alpha) = \frac{4}{3}\)

- Welche trigonometrische Funktion (Sinus oder Kosinus) ist im Einheitskreis direkt mit der \(y\)-Koordinate verknüpft? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Radius \(r=1\) zusammen? - Gibt es eine Formel, die Sinus und Kosinus desselben Winkels verbindet?

1. Im Einheitskreis entspricht die \(y\)-Koordinate dem Sinus des Winkels \(\alpha\). Es gilt also \(\sin \alpha = 0{,}45\). Daraus folgt \(\alpha = \arcsin(0{,}45) \approx 26{,}74^\circ\). 2. Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Kosinus des Winkels: \(x = \cos(26{,}7436\dots^\circ) \approx 0{,}89\). Alternativ kann der Satz des Pythagoras im Einheitskreis verwendet werden: \(x^2 + y^2 = 1^2 \implies x = \sqrt{1 - 0{,}45^2} = \sqrt{1 - 0{,}2025} = \sqrt{0{,}7975} \approx 0{,}89\).

1. \(\alpha \approx 26{,}74^\circ\) 2. \(x \approx 0{,}89\)

- Erinnere dich an die Definitionen: Welcher Wert entspricht der \(x\)-Koordinate, welcher der \(y\)-Koordinate? - Wo liegen die Punkte auf dem Kreis für extrem kleine Winkel (nahe \(0^\circ\)) oder extrem große Winkel (nahe \(90^\circ\))? - Wie ist der Tangens im Verhältnis zu Sinus und Kosinus definiert?

1. Aussage a ist falsch. Am Einheitskreis ist \(\cos(\alpha)\) die \(x\)-Koordinate. Bei \(90^\circ\) ist \(x = 0\). Da \(80^\circ\) nahe bei \(90^\circ\) liegt, ist \(\cos(80^\circ)\) nahe bei \(0\), nicht bei \(1\). 2. Aussage b ist falsch. Am Einheitskreis sind die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten gleich, wenn der Punkt auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegt. Dies ist bei \(\alpha = 45^\circ\) der Fall, dort gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) \approx 0{,}707\). 3. Aussage c ist wahr. Es gilt \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). Da im Bereich \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) der Wert von \(\cos(\alpha)\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, bewirkt die Division durch diesen Wert eine Vergrößerung des Sinuswertes. Geometrisch ist die Strecke des Tangens auf der Tangente bei \(x=1\) immer länger als die Gegenkathete im Einheitskreis.

a) Falsch. \(\cos(80^\circ)\) ist nahe \(0\). b) Falsch. Für \(\alpha = 45^\circ\) sind beide Werte gleich groß. c) Wahr.

- Welche Steigung hat eine Gerade, die mit der positiven \(x\)-Achse einen bestimmten Winkel einschließt? - Wie findet man den Schnittpunkt zweier Geraden, wenn eine davon eine waagerechte Gerade ist? - Erinnere dich an die Definitionen von Sinus und Kosinus im Einheitskreis.

1. Aufstellen der Geradengleichung für den freien Schenkel: Der Schenkel verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung \(m = \tan 60^\circ = \sqrt{3}\). Die Gleichung lautet \(y = \sqrt{3} \cdot x\). 2. Berechnung des Schnittpunkts mit \(y=1\): Setze \(1 = \sqrt{3} \cdot x\). Daraus folgt \(x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). Der Punkt ist \(Q(0{,}577 | 1)\). 3. Berechnung über die Definition: In einem rechtwinkligen Dreieck mit \(\alpha = 60^\circ\) sei die Gegenkathete \(g = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und die Ankathete \(a = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). 4. Einsetzen in die Formel: \(\cot 60^\circ = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). Die Ergebnisse stimmen überein.

a) Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes \(Q\) ist \(x = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). b) Der berechnete Wert \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\) bestätigt das geometrische Ergebnis.

- Wie hängen die Winkel \(70^\circ\) und \(290^\circ\) zusammen, wenn du eine volle Umdrehung betrachtest? - Überlege dir, welche Symmetrie vorliegt (Spiegelung an einer Achse?). - Welche Koordinate am Einheitskreis entspricht dem Sinus, welche dem Kosinus?

1. Der Winkel \(290^\circ\) kann als \(360^\circ - 70^\circ\) dargestellt werden. 2. Im Einheitskreis entspricht der Kosinus der \(x\)-Koordinate. Da \(290^\circ\) durch Spiegelung von \(70^\circ\) an der \(x\)-Achse entsteht, bleibt die \(x\)-Koordinate identisch. Daher \(\cos(70^\circ) = \cos(290^\circ)\). 3. Der Sinus entspricht der \(y\)-Koordinate. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt sich das Vorzeichen der \(y\)-Koordinate um. 4. Es gilt daher \(\sin(290^\circ) = -\sin(70^\circ)\). Das Verhältnis ist \(-1\). 5. In der Skizze liegen die Punkte symmetrisch zur horizontalen Achse (erster und vierter Quadrant).

a) Da \(290^\circ = 360^\circ - 70^\circ\), liegen die Punkte auf dem Einheitskreis symmetrisch zur \(x\)-Achse. Die \(x\)-Koordinaten (Kosinuswerte) sind daher gleich. b) Es gilt \(\sin(290^\circ) = -\sin(70^\circ)\), also \(\frac{\sin(290^\circ)}{\sin(70^\circ)} = -1\). c) Die Skizze zeigt zwei Punkte: einer im 1. Quadranten (\(70^\circ\)) und einer im 4. Quadranten (\(290^\circ\)), die vertikal genau übereinander liegen.

- Forme die Gleichungen zuerst so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht. - Bei Teilaufgabe c) hilft dir die Überlegung, dass Winkel mit dem gleichen Sinuswert die gleiche y-Koordinate am Einheitskreis haben.

1. Gleichung \(2 \cdot \cos(\alpha) = 1{,}5\) nach \(\cos(\alpha)\) auflösen: \(\cos(\alpha) = 0{,}75\). Erster Winkel \(\alpha_1 = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}41^\circ\). Zweiter Winkel \(\alpha_2 = 360^\circ - 41{,}41^\circ = 318{,}59^\circ\). 2. Gleichung \(3 \cdot \sin(\alpha) = -1{,}2\) nach \(\sin(\alpha)\) auflösen: \(\sin(\alpha) = -0{,}4\). Referenzwinkel \(\arcsin(0{,}4) \approx 23{,}58^\circ\). Winkel in Quadrant 3 und 4: \(\alpha_1 = 180^\circ + 23{,}58^\circ = 203{,}58^\circ\) und \(\alpha_2 = 360^\circ - 23{,}58^\circ = 336{,}42^\circ\). 3. Für \(\sin(\alpha) = \sin(40^\circ)\) ist der erste Winkel direkt \(40^\circ\). Der zweite Winkel mit gleichem Sinuswert ergibt sich aus der Supplementärbeziehung: \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 41{,}41^\circ\); \(\alpha_2 \approx 318{,}59^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 203{,}58^\circ\); \(\alpha_2 \approx 336{,}42^\circ\) c) \(\alpha_1 = 40^\circ\); \(\alpha_2 = 140^\circ\)

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern gleich Null? - Denke beim Lösen von Quadraten (\(x^2 = a\)) immer an beide möglichen Vorzeichen der Wurzel. - Wie viele Lösungen erwartest du im Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\)?

1. Gleichung a) nutzt den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. 2. Erster Faktor: \(\sin(\alpha) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(\alpha) = 1\). Dies ist für \(\alpha = 90^\circ\) erfüllt. 3. Zweiter Faktor: \(\cos(\alpha) + 0{,}5 = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) = -0{,}5\). Dies ist für \(\alpha = 120^\circ\) und \(\alpha = 240^\circ\) erfüllt. 4. Zusammenführung für a): \(L = \{90^\circ; 120^\circ; 240^\circ\}\). 5. Gleichung b): \(\cos^2(\alpha) = 0{,}25\) durch Wurzelziehen lösen: \(\cos(\alpha) = 0{,}5\) oder \(\cos(\alpha) = -0{,}5\). 6. Für \(\cos(\alpha) = 0{,}5\): \(\alpha = 60^\circ\) und \(\alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\). 7. Für \(\cos(\alpha) = -0{,}5\): \(\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) und \(\alpha = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 8. Zusammenführung für b): \(L = \{60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ\}\).

a) \(L = \{90^\circ; 120^\circ; 240^\circ\}\) b) \(L = \{60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ\}\)

- Wie hängen die Winkel \(140^\circ\), \(220^\circ\) und \(320^\circ\) mit dem Winkel \(40^\circ\) zusammen? - Denke an die Spiegelungen am Einheitskreis (an der \(y\)-Achse, der \(x\)-Achse oder am Ursprung). - Ändert sich bei der jeweiligen Spiegelung das Vorzeichen des Sinuswertes (der \(y\)-Koordinate)?

1. Für \(\sin(140^\circ)\): Der Winkel \(140^\circ\) entspricht \(180^\circ - 40^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(140^\circ) = \sin(40^\circ) \approx 0{,}643\). 2. Für \(\sin(220^\circ)\): Der Winkel \(220^\circ\) entspricht \(180^\circ + 40^\circ\). Dies ist eine Punktspiegelung am Ursprung. Es gilt \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(220^\circ) = -0{,}643\). 3. Für \(\sin(320^\circ)\): Der Winkel \(320^\circ\) entspricht \(360^\circ - 40^\circ\). Dies ist eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Es gilt \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\). Somit ist \(\sin(320^\circ) = -0{,}643\).

a) \(\sin(140^\circ) \approx 0{,}643\) b) \(\sin(220^\circ) \approx -0{,}643\) c) \(\sin(320^\circ) \approx -0{,}643\)

- Nutze die Beziehung \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). - Erinnere dich an die Tabelle der Standardwerte für \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\). - Spiegle den Punkt für \(120^\circ\) an der x-Achse, um einen Winkel im 3. Quadranten mit gleichem x-Wert zu finden. - Wann sind in einem Koordinatensystem die x- und y-Werte eines Punktes gleich groß?

1. Es gilt \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). Zudem ist bekannt, dass \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Die Summe ergibt \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). 2. Der Kosinuswert von \(\alpha = 120^\circ\) ist \(\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0{,}5\). Gesucht ist ein Winkel \(\beta\) im 3. Quadranten mit \(\cos(\beta) = -0{,}5\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse oder durch die Beziehung \(\cos(180^\circ + \gamma) = -\cos(\gamma)\) ergibt sich mit \(\gamma = 60^\circ\): \(\beta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 3. Am Einheitskreis gilt \(\sin(\alpha) = y\) und \(\cos(\alpha) = x\). Die Bedingung \(x = y\) wird im ersten Quadranten nur von Punkten auf der Winkelhalbierenden erfüllt. Diese teilt den rechten Winkel (\(90^\circ\)) exakt in der Mitte, woraus \(\alpha = 45^\circ\) folgt.

a) \(x = 1\) b) \(\beta = 240^\circ\) c) Da \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) die Koordinaten \(y\) und \(x\) am Einheitskreis sind, müssen diese für Gleichheit auf der Geraden \(y = x\) liegen. Im ersten Quadranten ist dies nur bei \(45^\circ\) der Fall.

- Was weißt du über die Werte von Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - In welchem Bereich liegen die Werte der Sinusfunktion generell? - Wie berechnet man einen Winkel im dritten Quadranten, wenn man den Basiswinkel aus dem ersten Quadranten kennt?

1. Da \(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) \approx 0{,}707\), suchen wir Winkel mit \(\sin(\alpha) = \sin(45^\circ)\). Dies sind \(\alpha_1 = 45^\circ\) und \(\alpha_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 2. Der Kosinuswert \(-0{,}5\) gehört zu einem Referenzwinkel von \(60^\circ\), da \(\cos(60^\circ) = 0{,}5\). Im dritten Quadranten wird der Winkel von der negativen \(x\)-Achse aus gemessen: \(\alpha = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\). 3. Der Sinuswert entspricht der \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. Da der Radius des Einheitskreises \(1\) beträgt, liegen alle \(y\)-Koordinaten im Bereich \([-1; 1]\). Ein Wert von \(1{,}2\) ist daher unmöglich.

a) \(45^\circ, 135^\circ\) b) \(240^\circ\) c) Der Sinuswert liegt immer im Intervall \([-1; 1]\), da die Punkte auf dem Einheitskreis liegen.

- Betrachte die Vorzeichenregeln für Brüche: Wann ist ein Bruch positiv? - Denke an die Punktspiegelung am Ursprung im Einheitskreis. - Wie oft wiederholen sich die Werte der Tangensfunktion innerhalb einer vollen Umdrehung?

1. Überprüfung der Behauptung: Die Gleichung \(\tan \alpha = 0{,}75\) liefert mit dem Taschenrechner \(\alpha_1 = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\). Da der Tangens im III. Quadranten ebenfalls positiv ist (Sinus und Kosinus negativ), ist die zweite Lösung \(\alpha_2 = 180^\circ + 36{,}87^\circ = 216{,}87^\circ\). Die Behauptung ist also falsch. 2. Lösung von \(\tan \alpha = -2\): Der Taschenrechner liefert \(\arctan(-2) \approx -63{,}43^\circ\). Um Werte im Intervall \([0^\circ; 360^\circ)\) zu erhalten, addiert man \(180^\circ\) bzw. \(360^\circ\): \(\alpha_1 = -63{,}43^\circ + 180^\circ = 116{,}57^\circ\) und \(\alpha_2 = -63{,}43^\circ + 360^\circ = 296{,}57^\circ\). 3. Allgemeine Erklärung: Da die Tangensfunktion eine Periode von \(180^\circ\) hat, liegen zwei Winkel, die denselben Tangenswert haben, im Einheitskreis genau gegenüber. Man findet die zweite Lösung, indem man \(180^\circ\) zur ersten Lösung addiert oder davon subtrahiert.

a) \(\alpha_1 \approx 36{,}87^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 216{,}87^\circ\). Die Behauptung ist falsch. b) \(L = \{116{,}57^\circ; 296{,}57^\circ\}\) c) Man addiert \(180^\circ\) zur ersten Lösung oder subtrahiert \(180^\circ\) von ihr, um die zweite Lösung innerhalb einer vollen Umdrehung zu finden.

- Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Winkel, die größer als \(360^\circ\) sind, lassen sich durch Subtraktion von Vielfachen von \(360^\circ\) auf den Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) zurückführen. - Wie verhalten sich Sinus und Kosinus bei negativen Winkeln? Erinnere dich an die Symmetrie am Einheitskreis.

1. Berechnung von \(\sin(510^\circ)\): Durch Abzug einer vollen Umdrehung ergibt sich \(\sin(510^\circ - 360^\circ) = \sin(150^\circ)\). Der Wert ist \(0{,}500\). 2. Berechnung von \(\cos(-130{,}4^\circ)\): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(-130{,}4^\circ) = \cos(130{,}4^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}648\). 3. Berechnung von \(\sin(1000^\circ)\): Reduktion auf das Grundintervall durch \(\sin(1000^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \sin(280^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}985\). 4. Berechnung von \(\cos(825^\circ)\): Reduktion auf das Grundintervall durch \(\cos(825^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cos(105^\circ)\). Der berechnete Wert gerundet ist \(-0{,}259\).

a) \(0{,}500\) b) \(-0{,}648\) c) \(-0{,}985\) d) \(-0{,}259\)

- Skizziere einen Einheitskreis und trage den Winkel \(35^\circ\) ein. - Überlege, wie die anderen Winkel mit \(35^\circ\) zusammenhängen (z. B. \(180^\circ - 35^\circ\)). - Welche Koordinaten am Einheitskreis entsprechen dem Kosinuswert? - Erinnere dich an die Regel für die Periodizität von Sinus und Kosinus.

1. Zu a): Der Winkel \(325^\circ\) entspricht \(360^\circ - 35^\circ\). Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\), also \(\cos(325^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 2. Zu b): Der Winkel \(145^\circ\) entspricht \(180^\circ - 35^\circ\). Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ergibt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\), also \(\cos(145^\circ) = -\cos(35^\circ) \approx -0{,}819\). 3. Zu c): Aufgrund der Geradheit der Kosinusfunktion gilt \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(-35^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\). 4. Zu d): Da die Kosinusfunktion eine Periode von \(360^\circ\) hat, gilt \(\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)\). Somit ist \(\cos(395^\circ) = \cos(35^\circ) \approx 0{,}819\).

a) \(0{,}819\) b) \(-0{,}819\) c) \(0{,}819\) d) \(0{,}819\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der Winkel liegt. Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus dort? - Skizziere im Kopf den Einheitskreis. Ist die Projektion auf die Achsen eher lang (nahe 1 oder -1) oder kurz (nahe 0)? - Erinnere dich daran, dass der Sinuswert der \(y\)-Koordinate und der Kosinuswert der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht.

1. \(\sin(110^\circ)\): Der Winkel liegt im 2. Quadranten, der Sinuswert ist positiv. Da \(110^\circ\) nah an \(90^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(1\) sein. Ergebnis: \(0{,}94\). 2. \(\cos(200^\circ)\): Der Winkel liegt im 3. Quadranten, der Kosinuswert ist negativ. Da \(200^\circ\) nah an \(180^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(-1\) sein. Ergebnis: \(-0{,}94\). 3. \(\sin(340^\circ)\): Der Winkel liegt im 4. Quadranten, der Sinuswert ist negativ. Da \(340^\circ\) nah an \(360^\circ\) liegt, muss der Wert nahe \(0\) sein. Ergebnis: \(-0{,}34\). 4. \(\cos(70^\circ)\): Der Winkel liegt im 1. Quadranten, der Kosinuswert ist positiv. Da \(70^\circ\) nah an \(90^\circ\) liegt, muss der Wert klein sein. Ergebnis: \(0{,}34\).

a) \(0{,}94\) b) \(-0{,}94\) c) \(-0{,}34\) d) \(0{,}34\)

- Beachte die Vorzeichenregeln: Sinus ist oben positiv, Kosinus ist rechts positiv. - Können Sinus- oder Kosinuswerte jemals größer als \(1\) oder kleiner als \(-1\) sein? - Wie verhalten sich die Werte in der Nähe der Achsen (bei \(0^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\))?

1. \(\sin(10^\circ)\): 1. Quadrant, \(y\)-Wert positiv und sehr klein (nahe \(0^\circ\)). Ergebnis: \(0{,}17\). 2. \(\cos(100^\circ)\): 2. Quadrant, \(x\)-Wert negativ und klein (nahe \(90^\circ\)). Ergebnis: \(-0{,}17\). 3. \(\sin(260^\circ)\): 3. Quadrant, \(y\)-Wert negativ und groß (nahe \(270^\circ\)). Ergebnis: \(-0{,}98\). 4. \(\cos(350^\circ)\): 4. Quadrant, \(x\)-Wert positiv und groß (nahe \(360^\circ\)). Da Kosinuswerte nie größer als \(1\) sein können, entfällt \(1{,}05\). Ergebnis: \(0{,}98\).

a) \(0{,}17\) b) \(-0{,}17\) c) \(-0{,}98\) d) \(0{,}98\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Unterteile den Einheitskreis in vier Quadranten (jeweils \(90^\circ\)). Wo landet man bei \(310^\circ\)? - Bei negativen Winkeln drehst du dich im Uhrzeigersinn. Wo liegt der Winkel \(-215^\circ\)?

1. Berechnung der Werte für \(\gamma\): \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}766\) und \(\cos(310^\circ) \approx 0{,}643\). 2. Begründung der Vorzeichen: Der Winkel \(310^\circ\) liegt im IV. Quadranten (\(270^\circ < 310^\circ < 360^\circ\)). Dort sind die \(x\)-Werte (Kosinus) positiv und die \(y\)-Werte (Sinus) negativ. 3. Berechnung der Werte für \(\delta\): \(\sin(-215^\circ) \approx 0{,}574\) und \(\cos(-215^\circ) \approx -0{,}819\).

a) \(\sin(310^\circ) \approx -0{,}766\); \(\cos(310^\circ) \approx 0{,}643\). Begründung: Der Winkel liegt im IV. Quadranten, daher ist der Kosinuswert positiv und der Sinuswert negativ. b) \(\sin(-215^\circ) \approx 0{,}574\); \(\cos(-215^\circ) \approx -0{,}819\).

- Wie viele Lösungen erwartest du im Bereich einer vollen Umdrehung am Einheitskreis? - Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert positiv bzw. negativ ist. - Wenn dein Taschenrechner einen negativen Winkel ausgibt, wie kannst du diesen in den Bereich von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) verschieben? - Nutze die Symmetrieeigenschaft \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\), um den zweiten Winkel zu finden.

1. Berechnung für \(\sin(\alpha) = 0{,}35\): Der Taschenrechner liefert den ersten Winkel \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}35) \approx 20{,}5^\circ\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis (\(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\)) ergibt sich der zweite Winkel im zweiten Quadranten zu \(\alpha_2 = 180^\circ - 20{,}487...^\circ \approx 159{,}5^\circ\). 2. Berechnung für \(\sin(\alpha) = -0{,}82\): Der Taschenrechner liefert \(\arcsin(-0{,}82) \approx -55{,}1^\circ\). Da der Winkel im Intervall \([0^\circ; 360^\circ)\) liegen muss, berechnet man \(\alpha_1 = 360^\circ - 55{,}08...^\circ \approx 304{,}9^\circ\). Der zweite Winkel liegt im dritten Quadranten und ergibt sich aus der Symmetrie zu \(\alpha_2 = 180^\circ - (-55{,}08...^\circ) \approx 235{,}1^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 20{,}5^\circ\); \(\alpha_2 \approx 159{,}5^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 235{,}1^\circ\); \(\alpha_2 \approx 304{,}9^\circ\)

- Erinnere dich an die Definition des Kosinus als x-Koordinate am Einheitskreis. - Bei welchen Winkeln haben Punkte auf dem Einheitskreis dieselbe x-Koordinate? - Gibt es besondere Winkel wie \(30^\circ\), \(45^\circ\) oder \(60^\circ\), deren Werte du auswendig kennst? - Verwende die Beziehung \(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\) für den zweiten Winkel.

1. Lösung für \(\cos(\alpha) = -0{,}4\): Mit der Umkehrfunktion ergibt sich \(\alpha_1 = \arccos(-0{,}4) \approx 113{,}6^\circ\). Da die Kosinuswerte symmetrisch zur x-Achse sind (\(\cos(\alpha) = \cos(360^\circ - \alpha)\)), liegt der zweite Winkel im dritten Quadranten bei \(\alpha_2 = 360^\circ - 113{,}57...^\circ \approx 246{,}4^\circ\). 2. Lösung für \(\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\): Dies ist ein Standardwert am Einheitskreis. Der erste Winkel im ersten Quadranten ist \(\alpha_1 = 30^\circ\). Der zweite Winkel mit demselben Kosinuswert liegt im vierten Quadranten und berechnet sich durch \(\alpha_2 = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 113{,}6^\circ\); \(\alpha_2 \approx 246{,}4^\circ\) b) \(\alpha_1 = 30^\circ\); \(\alpha_2 = 330^\circ\)

- Überlege dir am Einheitskreis, in welchem Quadranten der Winkel liegt und ob sich die Sinus- oder Kosinuswerte bei Verschiebungen um \(90^\circ\), \(180^\circ\) oder \(270^\circ\) vertauschen. - Achte besonders auf das Vorzeichen im jeweiligen Quadranten. - Es kann helfen, für \(\alpha\) einen kleinen Beispielwinkel wie \(10^\circ\) einzusetzen, um die Werte zu vergleichen.

1. Untersuchung der Terme mithilfe der Reduktionsformeln am Einheitskreis: - \(A: \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)\) - \(B: \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(C: \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) - \(D: \cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(E: \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) - \(F: \cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) 2. Gruppierung der wertgleichen Terme: - Gruppe 1 (Wert \(\sin(\alpha)\)): Kärtchen B, D und E. - Gruppe 2 (Wert \(-\sin(\alpha)\)): Kärtchen A, C und F.

Gruppe 1: B, D, E (alle entsprechen \(\sin(\alpha)\)) Gruppe 2: A, C, F (alle entsprechen \(-\sin(\alpha)\))

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis und den Werten von Sinus und Kosinus? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck am Einheitskreis. - Überlege dir, welches Vorzeichen der Kosinuswert im zweiten Quadranten (zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)) haben muss.

1. Anwendung des trigonometrischen Pythagoras: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \((0{,}6)^2 + \cos^2(\alpha) = 1\), woraus \(0{,}36 + \cos^2(\alpha) = 1\) folgt. 3. Isolieren von \(\cos^2(\alpha)\): \(\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). 4. Bestimmung der möglichen Werte für den Kosinus: \(\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) oder \(\cos(\alpha) = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8\). 5. Berücksichtigung des Quadranten: Da \(\alpha\) ein stumpfer Winkel im zweiten Quadranten ist (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), muss der Kosinuswert negativ sein. Somit gilt \(\cos(\alpha) = -0{,}8\).

\(\cos(\alpha) = -0{,}8\)

- Wie hängen die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit \(1\) zusammen? - Wenn der Kosinuswert feststeht, wie viele Punkte auf dem Einheitskreis erfüllen diese Bedingung im Bereich einer vollen Umdrehung? - Achte darauf, dass beim Lösen einer Gleichung der Form \(x^2 = a\) zwei Lösungen entstehen können.

1. Verwendung der Identität \(\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1\). 2. Einsetzen des Kosinuswertes: \(\sin^2(\beta) + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1\). 3. Quadrieren des Bruchs: \(\sin^2(\beta) + \frac{144}{169} = 1\). 4. Subtraktion zur Isolierung von \(\sin^2(\beta)\): \(\sin^2(\beta) = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\). 5. Ziehen der Wurzel für beide möglichen Vorzeichen: \(\sin(\beta) = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}\). 6. Da im Intervall von \(0^\circ\) bis \(360^\circ\) für einen negativen Kosinuswert zwei Punkte auf dem Einheitskreis existieren (einer im zweiten und einer im dritten Quadranten), sind beide Vorzeichen für den Sinus möglich: \(\sin(\beta) = \frac{5}{13}\) oder \(\sin(\beta) = -\frac{5}{13}\).

\(\sin(\beta) = \frac{5}{13}\) oder \(\sin(\beta) = -\frac{5}{13}\)

- Welche Bedeutung haben die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis für den Sinus und Kosinus? - Überlege dir, wie man Punkte am Einheitskreis an den Achsen spiegeln kann, um gleiche Koordinatenwerte zu erhalten. - In welchen Quadranten ist der Sinuswert positiv, in welchen der Kosinuswert negativ? - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Abstand zur horizontalen oder vertikalen Mittelachse haben?

1. Da die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis durch \((\cos(\alpha) | \sin(\alpha))\) gegeben sind, berechnet man \(\cos(115^{\circ}) \approx -0{,}42\) und \(\sin(115^{\circ}) \approx 0{,}91\). Somit ist \(P(-0{,}42 | 0{,}91)\). 2. Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(\sin(\alpha) = \sin(180^{\circ} - \alpha)\). Für \(\beta\) ergibt sich \(180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur \(x\)-Achse gilt \(\cos(\alpha) = \cos(360^{\circ} - \alpha)\). Für \(\gamma\) ergibt sich \(360^{\circ} - 115^{\circ} = 245^{\circ}\).

a) \(P(-0{,}42 | 0{,}91)\) b) \(\beta = 65^{\circ}\) c) \(\gamma = 245^{\circ}\)

- Versuche, jeden Winkel in den Bereich zwischen \(0^{\circ}\) und \(360^{\circ}\) zu bringen, indem du Vielfache von \(360^{\circ}\) addierst oder subtrahierst. - Skizziere dir im Kopf, in welchem Quadranten der Zeiger für den jeweiligen Winkel steht. - Achte besonders auf die Vorzeichen (plus oder minus) je nach Quadrant. - Überlege bei sehr großen Winkeln, wie viele volle Umdrehungen enthalten sind.

1. Für \(\alpha = 220^{\circ}\) liegt der Punkt im dritten Quadranten. Die Werte sind \(\sin(220^{\circ}) \approx -0{,}64\) und \(\cos(220^{\circ}) \approx -0{,}77\). 2. Der Winkel \(\alpha = -30^{\circ}\) entspricht einer Drehung im Uhrzeigersinn und liegt im vierten Quadranten (identisch mit \(330^{\circ}\)). Es gilt \(\sin(-30^{\circ}) = -0{,}5\) und \(\cos(-30^{\circ}) \approx 0{,}87\). 3. Für \(\alpha = 400^{\circ}\) zieht man eine volle Umdrehung ab: \(400^{\circ} - 360^{\circ} = 40^{\circ}\). Die Werte sind \(\sin(40^{\circ}) \approx 0{,}64\) und \(\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}77\). 4. Für \(\alpha = 900^{\circ}\) zieht man zwei volle Umdrehungen ab: \(900^{\circ} - 720^{\circ} = 180^{\circ}\). Der Punkt liegt auf der negativen \(x\)-Achse, woraus \(\sin(180^{\circ}) = 0\) und \(\cos(180^{\circ}) = -1\) folgt.

a) \(\sin(220^{\circ}) \approx -0{,}64\); \(\cos(220^{\circ}) \approx -0{,}77\) b) \(\sin(-30^{\circ}) = -0{,}5\); \(\cos(-30^{\circ}) \approx 0{,}87\) c) \(\sin(400^{\circ}) \approx 0{,}64\); \(\cos(400^{\circ}) \approx 0{,}77\) d) \(\sin(900^{\circ}) = 0\); \(\cos(900^{\circ}) = -1\)

- Achte bei den Teilaufgaben (3) und (4) darauf, ob dein Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) oder Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Woran erkennst du in der Aufgabenstellung, ob ein Winkel im Grad- oder im Bogenmaß angegeben ist? - Erinnere dich an die Werte von \(\pi\), \(2\pi\) usw., um die Lage im Einheitskreis abzuschätzen. - Welche Vorzeichen haben die x- und y-Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Berechnung der Funktionswerte (bei (3) und (4) im Bogenmaß): (1) \(\cos(110^\circ) \approx -0{,}342\) (2) \(\sin(260^\circ) \approx -0{,}985\) (3) \(\cos(4) \approx -0{,}654\) (4) \(\sin(-0{,}8) \approx -0{,}717\) 2. Bestimmung des Quadranten für \(\alpha = 4\): Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) gilt, liegt die Zahl \(4\) im Intervall \((\pi; 1{,}5\pi)\). Dieser Bereich entspricht dem 3. Quadranten des Einheitskreises.

a) (1) \(-0{,}342\); (2) \(-0{,}985\); (3) \(-0{,}654\); (4) \(-0{,}717\) b) Der Punkt liegt im 3. Quadranten, da \(\pi < 4 < 1{,}5\pi\) gilt.

- Überlege dir, welche Koordinate (x oder y) am Einheitskreis dem Sinus und welche dem Kosinus entspricht. - Wie hängen die Winkel \(200^\circ\) und \(160^\circ\) zusammen? Kannst du eine Spiegelachse finden? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn du ihn an der x-Achse, der y-Achse oder am Ursprung spiegelst? - Skizziere die Winkel grob im Einheitskreis, um die Symmetrie zu sehen.

1. Zu a): Die Winkel \(200^\circ\) und \(160^\circ\) liegen symmetrisch zur x-Achse, da \(360^\circ - 200^\circ = 160^\circ\) (oder alternativ \(180^\circ + 20^\circ\) und \(180^\circ - 20^\circ\)). Bei einer Spiegelung an der x-Achse bleibt die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis unverändert. Da der Kosinus der x-Koordinate entspricht, gilt \(\cos(200^\circ) = \cos(160^\circ)\). 2. Zu b): Der Winkel \(200^\circ\) kann als \(180^\circ + 20^\circ\) dargestellt werden. Der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis entsteht also durch eine Punktspiegelung des Punktes zum Winkel \(20^\circ\) am Ursprung. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung kehren sich die Vorzeichen beider Koordinaten um. Da der Sinus der y-Koordinate entspricht, folgt \(\sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ)\).

a) Die Winkel sind symmetrisch zur x-Achse (\(180^\circ \pm 20^\circ\)), wodurch die x-Koordinate (Kosinus) gleich bleibt. b) Der Punkt zu \(200^\circ\) ist punktsymmetrisch zum Punkt zu \(20^\circ\) bezüglich des Ursprungs, wodurch die y-Koordinate (Sinus) das Vorzeichen wechselt.

- Erinnere dich daran, dass der Kosinuswert dem \(x\)-Wert und der Sinuswert dem \(y\)-Wert eines Punktes auf dem Einheitskreis entspricht. - In welchen Quadranten sind die Koordinaten positiv, in welchen negativ? - Prüfe, ob die Beziehung zum nächstgelegenen Vielfachen von \(180^\circ\) korrekt berechnet wurde.

1. \(160^\circ\) liegt im II. Quadranten. Dort ist der Kosinus negativ. Da \(\cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ\), ist die Aussage falsch. Korrektur: \(\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ\). 2. \(215^\circ\) liegt im III. Quadranten. Dort ist der Sinus negativ. Da \(\sin(180^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ\), ist die Aussage richtig. 3. \(290^\circ\) liegt im IV. Quadranten. Dort ist der Kosinus positiv. Da \(\cos(360^\circ - 70^\circ) = \cos 70^\circ\), ist die Aussage richtig.

1. Falsch; Korrektur: \(\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ\) 2. Richtig 3. Richtig

- Der Kosinuswert entspricht der \(x\)-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis. - Prüfe für jeden Winkel, wie er sich durch \(180^\circ\) oder \(360^\circ\) und den gegebenen Winkel \(76^\circ\) ausdrücken lässt. - In welchen Quadranten ist der Kosinus positiv und in welchen negativ? - Nutze die Spiegelung an der \(y\)-Achse oder der \(x\)-Achse, um die Werte zu vergleichen.

1. Der Winkel \(104^\circ\) ist der supplementäre Winkel zu \(76^\circ\) im II. Quadranten. Es gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). Somit ist \(\cos 104^\circ = \cos(180^\circ - 76^\circ) = -\cos 76^\circ \approx -0{,}2419\). 2. Der Winkel \(256^\circ\) liegt im III. Quadranten und lässt sich als \(180^\circ + 76^\circ\) darstellen. Es gilt \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha\). Somit ist \(\cos 256^\circ = -\cos 76^\circ \approx -0{,}2419\). 3. Der Winkel \(284^\circ\) liegt im IV. Quadranten und entspricht \(360^\circ - 76^\circ\). Es gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha\). Somit ist \(\cos 284^\circ = \cos 76^\circ \approx 0{,}2419\).

1. \(\cos 104^\circ \approx -0{,}2419\) 2. \(\cos 256^\circ \approx -0{,}2419\) 3. \(\cos 284^\circ \approx 0{,}2419\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Quadranten der gegebene Winkel liegt. - Welches Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten? - Wie weit ist der Winkel von der \(x\)-Achse (also von \(180^\circ\) oder \(360^\circ\)) entfernt?

1. Für Winkel im II. Quadranten (\(90^\circ < \phi < 180^\circ\)) gilt \(\sin \phi = \sin(180^\circ - \phi)\) und \(\cos \phi = -\cos(180^\circ - \phi)\). Somit ist \(\sin 105^\circ = \sin 75^\circ\) und \(\cos 167^\circ = -\cos 13^\circ\). 2. Für Winkel im III. Quadranten (\(180^\circ < \phi < 270^\circ\)) gilt \(\sin \phi = -\sin(\phi - 180^\circ)\) und \(\cos \phi = -\cos(\phi - 180^\circ)\). Somit ist \(\sin 212^\circ = -\sin 32^\circ\) und \(\cos 195^\circ = -\cos 15^\circ\). 3. Für Winkel im IV. Quadranten (\(270^\circ < \phi < 360^\circ\)) gilt \(\sin \phi = -\sin(360^\circ - \phi)\) und \(\cos \phi = \cos(360^\circ - \phi)\). Somit ist \(\sin 290^\circ = -\sin 70^\circ\) und \(\cos 348^\circ = \cos 12^\circ\).

a) \(\sin 75^\circ\); \(-\cos 13^\circ\) b) \(-\sin 32^\circ\); \(-\cos 15^\circ\) c) \(-\sin 70^\circ\); \(\cos 12^\circ\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Sinus- und Kosinuswerte an der \(x\)- und \(y\)-Achse im Einheitskreis. - Skizziere die Winkel grob im Einheitskreis, um die Lage und die Vorzeichen zu prüfen. - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Abstand zur \(180^\circ\)-Markierung haben?

1. Quadrantenbestimmung: \(175^\circ\) liegt im II. Quadranten (\(\sin\) ist positiv), \(185^\circ\) liegt im III. Quadranten (\(\sin\) ist negativ). 2. Rückführung Sinus: \(\sin 175^\circ = \sin(180^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ\). \(\sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ\). 3. Rückführung Kosinus: \(\cos 175^\circ = \cos(180^\circ - 5^\circ) = -\cos 5^\circ\). \(\cos 185^\circ = \cos(180^\circ + 5^\circ) = -\cos 5^\circ\). Da beide Terme \(-\cos 5^\circ\) ergeben, sind die Werte gleich.

a) \(\alpha\): II. Quadrant, positiv; \(\beta\): III. Quadrant, negativ. b) \(\sin 175^\circ = \sin 5^\circ\); \(\sin 185^\circ = -\sin 5^\circ\). c) \(\cos 175^\circ = -\cos 5^\circ\) und \(\cos 185^\circ = -\cos 5^\circ\), daher \(\cos 175^\circ = \cos 185^\circ\).

- Welche Gleichungen beschreiben die beiden Winkelhalbierenden im Koordinatensystem? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Sinus und Kosinus zusammen? - In welchen Quadranten sind die x- und y-Werte dem Betrag nach gleich groß? - Überlege dir, bei welchem bekannten Winkel Sinus und Kosinus denselben Wert annehmen.

1. Die Winkelhalbierenden des Koordinatensystems haben die Gleichungen \(y = x\) (1. und 3. Quadrant) und \(y = -x\) (2. und 4. Quadrant). 2. Für die erste Winkelhalbierende gilt \(\sin \alpha = \cos \alpha\). Dies ist im Einheitskreis bei \(\alpha_1 = 45^\circ\) und \(\alpha_2 = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ\) der Fall. 3. Für die zweite Winkelhalbierende gilt \(\sin \alpha = -\cos \alpha\). Dies entspricht den Winkeln \(\alpha_3 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\) und \(\alpha_4 = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ\). 4. Die gesuchten Winkel sind somit \(45^\circ\), \(135^\circ\), \(225^\circ\) und \(315^\circ\).

\(\alpha \in \{45^\circ; 135^\circ; 225^\circ; 315^\circ\}\)

- Setze die beiden Funktionsterme gleich, um die Schnittstellen zu finden. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass nur noch eine trigonometrische Funktion (wie der Tangens) vorkommt? - In welchen Quadranten haben Sinus und Kosinus unterschiedliche Vorzeichen? - Wie viele Lösungen erwartest du in einem vollen Kreisumlauf (\(360^\circ\))? - Achte darauf, dass das gesuchte Intervall zwei volle Umdrehungen umfasst.

1. Ansatz der Gleichung: \(\sin \alpha = -\cos \alpha\). 2. Division durch \(\cos \alpha\) (für \(\cos \alpha \neq 0\)) führt auf die Gleichung \(\tan \alpha = -1\). 3. Bestimmung der Lösungen im ersten Umlauf \([0^\circ; 360^\circ]\): Da \(\tan 45^\circ = 1\), liegt der Tangenswert \(-1\) im zweiten und vierten Quadranten bei \(\alpha_1 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ\). 4. Berücksichtigung der Periodizität: Da Sinus und Kosinus eine Periode von \(360^\circ\) haben, wiederholen sich die Schnittpunkte im Intervall \([360^\circ; 720^\circ]\). 5. Berechnung der weiteren Stellen: \(\alpha_3 = 135^\circ + 360^\circ = 495^\circ\) und \(\alpha_4 = 315^\circ + 360^\circ = 675^\circ\).

\(\alpha \in \{135^\circ; 315^\circ; 495^\circ; 675^\circ\}\)

- Welche Koordinaten auf dem Einheitskreis entsprechen dem Sinus und welche dem Kosinus? - In welchem Quadranten sind welche Koordinaten positiv oder negativ? - Wie hängen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks am Einheitskreis mit dem Abstand zum Ursprung zusammen? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Im Einheitskreis entspricht die \(y\)-Koordinate dem Sinuswert und die \(x\)-Koordinate dem Kosinuswert. Es gilt die Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 1\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes: \(x^2 + (-0{,}28)^2 = 1\). 3. Berechnung des Quadrats: \(x^2 + 0{,}0784 = 1\). 4. Umstellen nach \(x^2\): \(x^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216\). 5. Da der Punkt im 4. Quadranten liegt, muss die \(x\)-Koordinate (der Kosinus) positiv sein: \(x = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96\). Somit ist \(\cos \alpha = 0{,}96\). 6. Überprüfung der Identität: \((-0{,}28)^2 + 0{,}96^2 = 0{,}0784 + 0{,}9216 = 1\). Die Gleichung ist erfüllt.

1. \(\cos \alpha = 0{,}96\) 2. \((-0{,}28)^2 + 0{,}96^2 = 0{,}0784 + 0{,}9216 = 1\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit einem rechtwinkligen Dreieck zusammen? - Welche Rolle spielt der Radius des Einheitskreises in der Pythagoras-Formel? - Was geschieht mathematisch mit einem negativen Vorzeichen, wenn man den Wert quadriert? - Überlege, wie man die Längen der Dreiecksseiten ausdrückt, wenn die Koordinaten negativ sind.

1. Ein Punkt \(P(x|y)\) auf dem Einheitskreis hat den Abstand \(r = 1\) vom Ursprung. 2. Im 2. Quadranten bilden die Koordinatenabschnitte mit den Längen \(|x|\) und \(|y|\) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Radius \(r = 1\) ist. 3. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: \(|x|^2 + |y|^2 = 1^2\). 4. Da \(x = \cos \alpha\) und \(y = \sin \alpha\), können wir substituieren: \(|\cos \alpha|^2 + |\sin \alpha|^2 = 1\). 5. Da das Quadrat einer reellen Zahl (egal ob positiv oder negativ) immer dem Quadrat ihres Betrages entspricht (\(a^2 = |a|^2\)), folgt: \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\). Das negative Vorzeichen von \(\cos \alpha\) im 2. Quadranten hat somit keinen Einfluss auf die Summe der Quadrate.

Die Begründung erfolgt über den Satz von Pythagoras am Einheitskreis: Da die Koordinaten \(x = \cos \alpha\) und \(y = \sin \alpha\) die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (als Beträge \(|x|\) und \(|y|\)) mit der Hypotenuse \(1\) darstellen, gilt \(x^2 + y^2 = 1^2\). Da \((-a)^2 = a^2\) gilt, fällt das negative Vorzeichen des Kosinus im 2. Quadranten beim Quadrieren weg, sodass stets \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\) erfüllt bleibt.

- Überlege dir, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis zusammenhängen. - Erinnere dich an die Formel für Komplementärwinkel: Welche Beziehung besteht zwischen \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(90^{\circ} - \alpha)\)? - Nutze Symmetrieeigenschaften wie \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\) oder \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha)\), um Winkel in den Bereich zwischen \(0^{\circ}\) und \(90^{\circ}\) zu bringen. - Es gibt oft mehrere korrekte Möglichkeiten, einen Wert auszudrücken.

1. Unter Verwendung von \(\sin \alpha = \cos (90^{\circ} - \alpha)\) ergibt sich für a): \(\sin 18^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 18^{\circ}) = \cos 72^{\circ}\). 2. Für b) nutzt man \(\sin \alpha = \sin (180^{\circ} - \alpha)\), also \(\sin 155^{\circ} = \sin 25^{\circ}\). Mit der Komplementärbeziehung folgt \(\cos (90^{\circ} - 25^{\circ}) = \cos 65^{\circ}\). 3. Für c) führt die direkte Anwendung der Formel \(\cos (90^{\circ} - (-40^{\circ}))\) zu \(\cos 130^{\circ}\). Alternativ gilt \(\sin (-40^{\circ}) = -\sin 40^{\circ} = -\cos 50^{\circ}\). 4. Für d) gilt \(\sin 245^{\circ} = \sin (180^{\circ} + 65^{\circ}) = -\sin 65^{\circ}\). Dies entspricht \(-\cos 25^{\circ}\) oder auch \(\cos (90^{\circ} - 245^{\circ}) = \cos (-155^{\circ})\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(\cos 72^{\circ}\) b) \(\cos 65^{\circ}\) c) \(\cos 130^{\circ}\) oder \(-\cos 50^{\circ}\) d) \(\cos (-155^{\circ})\) oder \(-\cos 25^{\circ}\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zusammen? - Welche Rolle spielt die Verschiebung um \(90^{\circ}\) zwischen den Graphen von Sinus und Kosinus? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei Winkeln, die in verschiedenen Quadranten liegen. - Überprüfe, ob du Symmetrien wie \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\) nutzen kannst, um den Term zu vereinfachen.

1. Anwendung von \(\cos \alpha = \sin (90^{\circ} - \alpha)\) für a): \(\cos 77^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 77^{\circ}) = \sin 13^{\circ}\). 2. Für b) ergibt \(\sin (90^{\circ} - 112^{\circ})\) den Wert \(\sin (-22^{\circ})\). Da \(\cos 112^{\circ} = -\cos 68^{\circ}\), ist auch \(-\sin 22^{\circ}\) korrekt. 3. Da \(\cos (-\alpha) = \cos \alpha\), gilt für c): \(\cos (-15^{\circ}) = \cos 15^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}\). 4. Für d) nutzt man \(\cos 195^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 15^{\circ}) = -\cos 15^{\circ}\). Dies ist gleich \(-\sin 75^{\circ}\). Direkt angewendet: \(\sin (90^{\circ} - 195^{\circ}) = \sin (-105^{\circ})\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(\sin 13^{\circ}\) b) \(\sin (-22^{\circ})\) oder \(-\sin 22^{\circ}\) c) \(\sin 75^{\circ}\) d) \(\sin (-105^{\circ})\) oder \(-\sin 75^{\circ}\)

- Überlege dir, wie du einen Kosinuswert in einen Sinuswert umrechnen kannst. - Erinnere dich an die Symmetrie der Sinusfunktion: Welche zwei Winkel im Bereich bis \(180^{\circ}\) haben denselben Sinuswert? - In welchen Quadranten ist der Sinuswert positiv?

1. Umwandlung des Kosinuswerts in einen Sinuswert mittels der Beziehung für Komplementärwinkel: \(\cos 25^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \sin 65^{\circ}\). 2. Bestimmung des ersten Winkels im ersten Quadranten: \(\alpha_1 = 65^{\circ}\). 3. Ermittlung des zweiten Winkels durch die Symmetrie der Sinuswerte bezüglich der \(y\)-Achse (Eigenschaft \(\sin \alpha = \sin(180^{\circ} - \alpha)\)): \(\alpha_2 = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\).

\(\alpha_1 = 65^{\circ}\) und \(\alpha_2 = 115^{\circ}\)

- Überlege dir, in welchem Quadranten der jeweilige Winkel liegt. - Welche Zusammenhänge gibt es zwischen Sinus und Kosinus bei Winkeln, die sich zu \(90^{\circ}\) oder \(180^{\circ}\) ergänzen? - Erinnere dich an die Symmetrie der Funktionsgraphen oder die Spiegelungen am Einheitskreis. - Wie verhalten sich die Vorzeichen der Koordinaten in den verschiedenen Quadranten?

1. Für \(\sin 146^{\circ}\) nutzt man die Supplementbeziehung \(\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\). Mit \(\alpha = 34^{\circ}\) folgt \(\sin 146^{\circ} = \sin 34^{\circ} \approx 0{,}56\). 2. Für \(\cos 159^{\circ}\) nutzt man \(\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha\). Mit \(\alpha = 21^{\circ}\) ergibt sich \(\cos 159^{\circ} = -\cos 21^{\circ} \approx -0{,}93\). 3. Für \(\sin 69^{\circ}\) nutzt man den Zusammenhang zwischen Komplementärwinkeln \(\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha\). Mit \(\alpha = 21^{\circ}\) gilt \(\sin 69^{\circ} = \cos 21^{\circ} \approx 0{,}93\). 4. Da die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\). Somit ist \(\cos(-21^{\circ}) = \cos 21^{\circ} \approx 0{,}93\).

a) \(\sin 146^{\circ} \approx 0{,}56\) b) \(\cos 159^{\circ} \approx -0{,}93\) c) \(\sin 69^{\circ} \approx 0{,}93\) d) \(\cos (-21^{\circ}) \approx 0{,}93\)

- Kannst du den gegebenen Winkel als Summe oder Differenz mit \(90^{\circ}\), \(180^{\circ}\) oder \(360^{\circ}\) darstellen? - Skizziere dir den Einheitskreis und markiere die Winkel, um zu sehen, welche Koordinaten (x für Kosinus, y für Sinus) gleich oder entgegengesetzt sind. - Achte besonders auf das Vorzeichen im jeweiligen Quadranten.

1. Der Winkel \(192^{\circ}\) liegt im dritten Quadranten. Es gilt \(\sin(180^{\circ} + \alpha) = -\sin \alpha\). Mit \(\alpha = 12^{\circ}\) folgt \(\sin 192^{\circ} = -\sin 12^{\circ} \approx -0{,}21\). 2. Über die Komplementärbeziehung \(\cos(90^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha\) folgt mit \(\alpha = 12^{\circ}\), dass \(\cos 78^{\circ} = \sin 12^{\circ} \approx 0{,}21\). 3. Analog gilt für \(\sin 37^{\circ}\) die Beziehung \(\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha\). Mit \(\alpha = 53^{\circ}\) ergibt sich \(\sin 37^{\circ} = \cos 53^{\circ} \approx 0{,}60\). 4. Der Winkel \(233^{\circ}\) lässt sich als \(180^{\circ} + 53^{\circ}\) schreiben. Mit \(\cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha\) folgt \(\cos 233^{\circ} = -\cos 53^{\circ} \approx -0{,}60\).

a) \(\sin 192^{\circ} \approx -0{,}21\) b) \(\cos 78^{\circ} \approx 0{,}21\) c) \(\sin 37^{\circ} \approx 0{,}60\) d) \(\cos 233^{\circ} \approx -0{,}60\)

- Was weißt du über den Abstand eines Punktes auf dem Einheitskreis zum Ursprung? - Welcher mathematische Satz hilft dir, die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 1 in Beziehung zu setzen? - Wie hängen die Koordinaten \(x\) und \(y\) eines Punktes auf dem Einheitskreis mit dem Radius zusammen? - Was muss für die Summe der Quadrate gelten, damit ein Punkt exakt auf dem Kreisrand liegt?

1. Da der Punkt auf dem Einheitskreis liegt, gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Mit \(y = 0{,}44\) folgt \(x^2 + 0{,}44^2 = 1\), also \(x^2 + 0{,}1936 = 1\). Daraus ergibt sich \(x^2 = 0{,}8064\). Da der Punkt im ersten Quadranten liegt (\(x > 0\)), ist \(x = \sqrt{0{,}8064} \approx 0{,}898\). 2. Mit \(x = \frac{3}{5} = 0{,}6\) gilt \(0{,}6^2 + y^2 = 1\). Das führt zu \(0{,}36 + y^2 = 1\), also \(y^2 = 0{,}64\). Die positive Lösung ist \(y = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). 3. Für einen Punkt auf dem Einheitskreis muss die Summe der Quadrate der Koordinaten \(1\) ergeben. Es wird geprüft: \(0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85\). Da \(0{,}85 \neq 1\), kann der Punkt \(Q\) nicht auf dem Einheitskreis liegen.

1. \(x \approx 0{,}898\) 2. \(y = 0{,}8\) 3. Nein, da \(0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}85 \neq 1\).

- Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a^2 + b^2 = c^2\) nach einer der Variablen auflösen? - Denke daran, dass \(\sin^2 \alpha\) eine abkürzende Schreibweise für \((\sin \alpha)^2\) ist. - Wenn ein Ergebnis als Wurzel verlangt ist, versuche den Wert unter der Wurzel als Bruch zu schreiben und teilweise die Wurzel zu ziehen. - Achte bei Dezimalzahlen beim Quadrieren auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Die Gleichung \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) wird nach \(\cos^2 \alpha\) umgestellt: \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\). Durch Ziehen der Wurzel (unter Berücksichtigung des positiven Werts) erhält man \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\). 2. Einsetzen von \(\sin \alpha = 0{,}96\): \(\cos \alpha = \sqrt{1 - 0{,}96^2} = \sqrt{1 - 0{,}9216} = \sqrt{0{,}0784} = 0{,}28\). 3. Einsetzen von \(\cos \alpha = 0{,}5 = \frac{1}{2}\): \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (0{,}5)^2} = \sqrt{1 - 0{,}25} = \sqrt{0{,}75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 4. Einsetzen von \(\sin 20^{\circ} \approx 0{,}342\): \(\cos 20^{\circ} = \sqrt{1 - 0{,}342^2} = \sqrt{1 - 0{,}116964} = \sqrt{0{,}883036} \approx 0{,}940\).

1. \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\) 2. \(\cos \alpha = 0{,}28\) 3. \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 4. \(\cos 20^{\circ} \approx 0{,}940\)

- Stelle dir die Längen der Gegenkathete (Sinus) und Ankathete (Kosinus) im Einheitskreis bei verschiedenen Winkeln vor. - Was passiert mit dem Sinuswert, wenn der Winkel größer wird? - Wie verhalten sich Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - Überlege, wie der Tangens als Länge auf einer Tangente am Einheitskreis dargestellt werden kann.

1. Da \(0<\cos(20^\circ)<1\) gilt, ist \(\tan(20^\circ)=\frac{\sin(20^\circ)}{\cos(20^\circ)}>\sin(20^\circ)\). 2. Für den Vergleich von Tangens und Kosinus gilt wegen \(\cos(20^\circ)>0\): \(\tan(20^\circ)<\cos(20^\circ)\) genau dann, wenn \(\sin(20^\circ)<\cos^2(20^\circ)\). Am Einheitskreis ist \(\sin(20^\circ)<\sin(30^\circ)=\frac12\) und \(\cos(20^\circ)>\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\), also \(\cos^2(20^\circ)>\frac34\). Damit ist \(\sin(20^\circ)<\cos^2(20^\circ)\). 3. Außerdem ist \(\cos(20^\circ)=\sin(70^\circ)<\sin(80^\circ)\), weil der Sinus im ersten Quadranten mit dem Winkel wächst. 4. Insgesamt gilt \(\sin(20^\circ)<\tan(20^\circ)<\cos(20^\circ)<\sin(80^\circ)\).

Die richtige Reihenfolge ist: \(\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) < \sin(80^\circ)\).

- Vergleiche zuerst Sinus und Kosinus. Welcher Wert ist bei einem steilen Winkel (über \(45^\circ\)) größer? - Wie groß ist der Sinus maximal? - Welchen Wert nimmt der Tangens bei \(45^\circ\) an und was passiert danach?

1. Analyse von \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\): Für \(\alpha = 45^\circ\) gilt \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)\). Da im Bereich \(45^\circ < \alpha < 90^\circ\) der Punkt auf dem Einheitskreis näher an der \(y\)-Achse als an der \(x\)-Achse liegt, ist die \(y\)-Koordinate (Sinus) größer als die \(x\)-Koordinate (Kosinus). Also: \(\cos(\alpha) < \sin(\alpha)\). 2. Analyse von \(\tan(\alpha)\): Der Tangenswert entspricht der Länge auf der Tangente bei \(x=1\). Da \(\tan(45^\circ) = 1\) ist und der Tangens im ersten Quadranten streng monoton steigt, gilt für \(\alpha > 45^\circ\), dass \(\tan(\alpha) > 1\). 3. Da \(\sin(\alpha)\) im Einheitskreis immer kleiner oder gleich \(1\) ist (für \(\alpha < 90^\circ\) gilt \(\sin(\alpha) < 1\)), folgt daraus \(\sin(\alpha) < \tan(\alpha)\). 4. Zusammenfassende Reihenfolge: \(\cos(\alpha) < \sin(\alpha) < \tan(\alpha)\).

Die Reihenfolge lautet: \(\cos(\alpha) < \sin(\alpha) < \tan(\alpha)\).

- Suche nach zwei rechtwinkligen Dreiecken, die ineinander liegen und den Ursprung als gemeinsamen Eckpunkt haben. - Welche Seitenlängen dieser Dreiecke sind durch die Koordinaten von \(P\) und \(Q\) gegeben? - Wie lautet die Formel für das Verhältnis entsprechender Seiten in ähnlichen Dreiecken?

1. Identifikation der ähnlichen Dreiecke: Das erste rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte \(O(0|0)\), \(P_y(0|\sin \alpha)\) und \(P(\cos \alpha | \sin \alpha)\). Seine Kathetenlängen sind \(\sin \alpha\) (auf der \(y\)-Achse) und \(\cos \alpha\) (horizontal). 2. Das zweite rechtwinklige Dreieck hat die Eckpunkte \(O(0|0)\), \(S(0|1)\) und \(Q(x_Q | 1)\). Seine Kathetenlängen sind \(1\) (auf der \(y\)-Achse) und \(x_Q\) (horizontal). 3. Anwendung des Strahlensatzes: Da die horizontalen Katheten parallel verlaufen, gilt das Verhältnis \(\frac{\text{horizontale Kathete 2}}{\text{vertikale Kathete 2}} = \frac{\text{horizontale Kathete 1}}{\text{vertikale Kathete 1}}\). 4. Einsetzen der Längen: \(\frac{x_Q}{1} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). 5. Ergebnis: Daraus folgt direkt \(x_Q = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha\).

Durch das Verhältnis der Katheten in den ähnlichen Dreiecken ergibt sich \(\frac{x_Q}{1} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\), woraus direkt \(x_Q = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) folgt.

- Wann ist eine Steigung genau so groß wie ihr Kehrwert? - Stell dir vor, du drehst den Schenkel im Einheitskreis ganz nah an die \(x\)-Achse heran. Wo schneidet dieser Strahl die waagerechte Gerade in der Höhe \(1\)? - Was passiert mit dem Tangenswert eines Winkels, wenn der Winkel immer kleiner wird?

1. Bedingung für Gleichheit: Es muss gelten \(\tan \alpha = \cot \alpha\). Da \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\), folgt \(\tan \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \implies \tan^2 \alpha = 1\). 2. Lösung für \(\alpha\): Im Bereich \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) ist \(\tan \alpha\) positiv, also \(\tan \alpha = 1\). Dies ist für \(\alpha = 45^\circ\) der Fall. 3. Untersuchung für \(\alpha \to 0^\circ\): Wenn \(\alpha\) kleiner wird, nähert sich der freie Schenkel der \(x\)-Achse an. 4. Geometrische Begründung: Der Schnittpunkt \(Q\) mit der Geraden \(y=1\) wandert dabei immer weiter nach rechts (in positive \(x\)-Richtung), da der Schenkel immer "flacher" wird. 5. Ergebnis für das Verhältnis: Während \(\tan \alpha\) gegen \(0\) geht, wächst \(\cot \alpha\) (die \(x\)-Koordinate von \(Q\)) über alle Grenzen (geht gegen unendlich). Das Verhältnis \(\frac{\cot \alpha}{\tan \alpha}\) geht gegen \(+\infty\).

a) Die Abschnitte sind für \(\alpha = 45^\circ\) gleich lang. b) Wenn \(\alpha\) gegen \(0^\circ\) strebt, wird der Kotangens-Abschnitt unendlich lang, während der Tangens-Abschnitt gegen \(0\) geht. Daher geht \(\frac{\cot \alpha}{\tan \alpha}\) gegen \(+\infty\). Geometrisch liegt das daran, dass der Schenkel fast parallel zur Geraden \(y=1\) verläuft und der Schnittpunkt weit nach rechts rückt.

- Nutze deinen Taschenrechner, um die Werte für den Sinus und Kosinus von \(45^\circ\) zu addieren. - Stelle dir ein rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem vor, dessen Hypotenuse die Länge \(1\) hat. - Welche Seitenlängen haben die Katheten dieses Dreiecks ausgedrückt durch Sinus und Kosinus? - Welcher berühmte Satz gilt für die Seiten in diesem rechtwinkligen Dreieck?

1. Überprüfung für \(45^\circ\): \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\) und \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\). Die Summe ist \(\approx 1{,}414\), was ungleich \(1\) ist. Die Vermutung ist widerlegt. 2. Herleitung im Einheitskreis: Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \(x = \cos(\alpha)\) und \(y = \sin(\alpha)\). 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse \(r = 1\) und den Katheten \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) gilt \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1^2\). 4. Schlussfolgerung: Da die Quadrate der Werte addiert \(1\) ergeben, kann die einfache Summe der Werte (außer in Grenzfällen wie \(0^\circ\) oder \(90^\circ\)) nicht \(1\) ergeben.

a) Für \(\alpha = 45^\circ\) ergibt sich \(\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ) \approx 0{,}707 + 0{,}707 = 1{,}414 \neq 1\). Die Vermutung ist also falsch. b) Im Einheitskreis bilden \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse \(1\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt daher die Beziehung \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\).

- Stell dir vor, du zeichnest einen Winkel von der positiven \(x\)-Achse aus nach oben (gegen den Uhrzeigersinn) und den anderen Winkel „rückwärts“ von \(360^\circ\) aus. - Welche Symmetrieachse liegt genau zwischen diesen beiden Positionen? - Wie verhalten sich die \(x\)- und \(y\)-Werte von Punkten, die an der \(x\)-Achse gespiegelt wurden?

1. Ein Punkt \(P_\alpha\) auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten \((\cos(\alpha) | \sin(\alpha))\). 2. Der Winkel \(360^\circ - \alpha\) entspricht einer Spiegelung des Punktes \(P_\alpha\) an der \(x\)-Achse. 3. Bei einer Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. 4. Daraus folgt für die \(x\)-Koordinate: \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\). 5. Daraus folgt für die \(y\)-Koordinate: \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\).

a) \(\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)\) b) \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)\) c) Der Punkt \(P_\gamma\) entsteht durch Spiegelung von \(P_\alpha\) an der \(x\)-Achse. Dabei bleibt die \(x\)-Koordinate (Kosinus) unverändert, während die \(y\)-Koordinate (Sinus) ihr Vorzeichen wechselt.

- Welche Gleichung beschreibt alle Punkte auf dem Einheitskreis? - Wenn die x-Koordinate negativ ist, auf welcher Seite der y-Achse liegt der Punkt? - Erinnerst du dich an die besonderen Werte für Sinus und Kosinus bei \(45^\circ\)? - Wie berechnet man Winkel in anderen Quadranten ausgehend von einem Basiswinkel im ersten Quadranten?

1. Es gilt \(x^2 + y^2 = 1\). Einsetzen von \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \((-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + y^2 = 1 \implies \frac{2}{4} + y^2 = 1 \implies \frac{1}{2} + y^2 = 1\). 2. Daraus folgt \(y^2 = \frac{1}{2}\), also \(y = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). 3. Fall 1: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Dies entspricht dem 2. Quadranten. Der Winkel ist \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 4. Fall 2: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, y = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Dies entspricht dem 3. Quadranten. Der Winkel ist \(180^\circ + 45^\circ = 225^\circ\). 5. Der Punkt befindet sich im zweiten oder dritten Quadranten.

1. Die möglichen \(y\)-Koordinaten sind \(y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(y_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2. Die zugehörigen Winkel sind \(\alpha_1 = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 225^\circ\). 3. Der Punkt befindet sich im 2. oder 3. Quadranten.

- Was bedeutet die Gleichung für die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis? - In welchen Quadranten haben Sinus und Kosinus unterschiedliche Vorzeichen? - Für welchen bekannten Winkel sind die Beträge von Sinus und Kosinus identisch? - Kannst du die Gerade \(y = -x\) in den Einheitskreis einzeichnen?

1. Die Bedingung \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\) bedeutet am Einheitskreis, dass die \(y\)-Koordinate gleich dem Negativen der \(x\)-Koordinate sein muss (\(y = -x\)). 2. Dies tritt nur in Quadranten auf, in denen Sinus und Kosinus unterschiedliche Vorzeichen haben, also im 2. Quadranten (\(x < 0, y > 0\)) und im 4. Quadranten (\(x > 0, y < 0\)). 3. Da der Betrag von Sinus und Kosinus gleich sein muss, betrachten wir die Winkel, deren Sinus- und Kosinuswerte den gleichen Betrag haben. Das ist bei einem Referenzwinkel von \(45^\circ\) der Fall (\(|\sin(45^\circ)| = |\cos(45^\circ)| = \frac{\sqrt{2}}{2}\)). 4. Im 2. Quadranten entspricht dies \(\alpha_1 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Hier ist \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). 5. Im 4. Quadranten entspricht dies \(\alpha_2 = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ\). Hier ist \(\sin(315^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos(315^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\alpha_1 = 135^\circ\) und \(\alpha_2 = 315^\circ\)

- Welche fundamentale Gleichung verbindet Sinus und Kosinus desselben Winkels? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes am Einheitskreis bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse oder der \(x\)-Achse? - Überlege, in welchem Quadranten der Winkel \(360^\circ - \alpha\) liegt, wenn \(\alpha\) spitz ist.

1. Berechnung von \(\cos(\alpha)\): Mit \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) folgt \(\cos^2(\alpha) = 1 - 0{,}28^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216\). Da \(\alpha\) ein spitzer Winkel ist, gilt \(\cos(\alpha) = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96\). 2. Bestimmung von \(\sin(180^\circ - \alpha)\): Da der Sinus im I. und II. Quadranten für symmetrische Winkel gleich ist, gilt \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) = 0{,}28\). 3. Bestimmung von \(\cos(360^\circ - \alpha)\): Da der Kosinus im I. und IV. Quadranten für symmetrische Winkel gleich ist (Spiegelung an der \(x\)-Achse), gilt \(\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) = 0{,}96\).

a) \(\cos(\alpha) = 0{,}96\). b) \(\sin(180^\circ - \alpha) = 0{,}28\) und \(\cos(360^\circ - \alpha) = 0{,}96\).

- Was bedeutet es geometrisch am Einheitskreis, wenn zwei Koordinaten gleich groß sind? - Könnte man die Gleichung durch Dividieren umformen, um eine andere Winkelfunktion zu erhalten? - Kannst du einen gemeinsamen Term in der zweiten Gleichung ausklammern?

1. Zu a): Die Bedingung \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\) bedeutet am Einheitskreis, dass die x- und y-Koordinaten identisch sind. Dies ist auf der Geraden \(y = x\) der Fall. 2. Schnittpunkte mit dem Einheitskreis liegen bei \(45^\circ\) (1. Quadrant, beide positiv) und \(225^\circ\) (3. Quadrant, beide negativ). Alternativ: \(\tan(\alpha) = 1\) für \(\cos(\alpha) \neq 0\). 3. Zu b): Ausklammern von \(\cos(\alpha)\) ergibt \(\cos(\alpha) \cdot (\cos(\alpha) + 1) = 0\). 4. Fall 1: \(\cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ\) oder \(\alpha = 270^\circ\). 5. Fall 2: \(\cos(\alpha) + 1 = 0 \Rightarrow \cos(\alpha) = -1 \Rightarrow \alpha = 180^\circ\). 6. Die Lösungen sind somit \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\).

a) \(\alpha \in \{45^\circ; 225^\circ\}\) b) \(\alpha \in \{90^\circ; 180^\circ; 270^\circ\}\)

- Welches Vorzeichen haben \(x\) und \(y\) in den verschiedenen Quadranten? - Wie sind Sinus und Kosinus am Einheitskreis durch die Koordinaten eines Punktes definiert? - Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Zusammenhang mit dem Einheitskreis. - Was passiert mit einem Punkt \((x \mid y)\), wenn man ihn an der \(y\)-Achse spiegelt?

1. Da die \(x\)-Koordinate negativ und die \(y\)-Koordinate positiv ist, liegt der Punkt im 2. Quadranten. 2. Am Einheitskreis gilt \(x = \cos(\alpha)\) und \(y = \sin(\alpha)\). Daher ist \(\cos(\alpha) = -0{,}8\) und \(\sin(\alpha) = 0{,}6\). 3. Berechnung: \(0{,}6^2 + (-0{,}8)^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\). Dies bestätigt den trigonometrischen Pythagoras. 4. Der Winkel \(180^\circ - \alpha\) entsteht durch Spiegelung des Punktes \(P\) an der \(y\)-Achse. Dabei bleibt der \(y\)-Wert gleich, und der \(x\)-Wert ändert sein Vorzeichen. Die Koordinaten von \(Q\) sind somit \((0{,}8 \mid 0{,}6)\).

a) 2. Quadrant b) \(\cos(\alpha) = -0{,}8\); \(\sin(\alpha) = 0{,}6\) c) \(1\); trigonometrischer Pythagoras d) \(Q(0{,}8 \mid 0{,}6)\)

- Stelle dir vor, wie sich die x- und y-Koordinaten eines Punktes verändern, wenn er auf dem Kreis von \(0^\circ\) nach \(90^\circ\) wandert. - Verwende die Symmetrie \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\) und \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\). - Erinnere dich an die exakten Werte für \(30^\circ\) und \(60^\circ\). Ist der Sinus eine lineare Funktion? - Überlege, ob ein Wert positiv oder negativ ist, um die Sortierung zu vereinfachen.

1. Im ersten Quadranten startet \(\cos(0^\circ) = 1\) und \(\sin(0^\circ) = 0\). Bei \(45^\circ\) sind beide gleich (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)). Da der Kosinus in diesem Quadranten streng monoton fällt und der Sinus streng monoton steigt, gilt \(\cos(\alpha) > \sin(\alpha)\) für \(0^\circ \le \alpha < 45^\circ\). 2. Analyse der Werte: \(\cos(160^\circ)\) ist negativ (2. Quadrant, nahe \(-1\)). \(\sin(20^\circ)\) und \(\sin(160^\circ)\) sind identisch, da \(\sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ)\); der Wert ist positiv und klein (da \(20^\circ\) nahe \(0^\circ\)). \(\cos(20^\circ)\) ist positiv und nahe \(1\). Reihenfolge: \(\cos(160^\circ) < \sin(20^\circ) = \sin(160^\circ) < \cos(20^\circ)\). 3. Die exakten Werte sind \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\) und \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\). Das Doppelte von \(\sin(30^\circ)\) wäre \(2 \cdot 0{,}5 = 1\). Da \(0{,}866 \neq 1\), ist die Behauptung falsch. Der Sinus wächst nicht proportional zum Winkel.

a) Für \(0^\circ \le \alpha < 45^\circ\). b) \(\cos(160^\circ) < \sin(20^\circ) = \sin(160^\circ) < \cos(20^\circ)\). c) \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\); das Doppelte wäre \(1\). Aber \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\). Da \(0{,}866 \neq 1\), ist die Aussage widerlegt.

- Nutze die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus bei Winkeln, die sich zu \(90^\circ\) ergänzen. - Überlege, wie sich der Sinuswert verhält, wenn du einen Winkel von \(180^\circ\) abziehst oder zu \(180^\circ\) addierst. - Kannst du den Ausdruck \(\cos(90^\circ - \gamma)\) vereinfachen?

1. Komplementärwinkel: Da \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), ist \(\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ \approx 0{,}1736\). 2. Symmetrie zur y-Achse: \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), daher \(\sin 170^\circ = \sin 10^\circ \approx 0{,}1736\). 3. Symmetrie zum Ursprung: \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha\), daher \(\sin 190^\circ = -0{,}1736\). 4. Umformung der Gleichung in Teil c: \(\cos(90^\circ - \gamma) = \sin \gamma\). Gesucht ist also \(\sin \gamma = -0{,}1736\). 5. Bestimmung der Winkel für negativen Sinus: \(\gamma_1 = 180^\circ + 10^\circ = 190^\circ\) und \(\gamma_2 = 360^\circ - 10^\circ = 350^\circ\).

a) \(\cos 80^\circ \approx 0{,}1736\) b) \(\sin 170^\circ \approx 0{,}1736\); \(\sin 190^\circ \approx -0{,}1736\) c) \(\gamma_1 = 190^\circ\) und \(\gamma_2 = 350^\circ\)

- Benutze deinen Taschenrechner für den ersten Teil und vergleiche die Ergebnisse. - Stelle dir die beiden Winkel im Einheitskreis vor. Wie liegen die zugehörigen Punkte zueinander? - Welche Koordinate am Einheitskreis (x oder y) gehört zu welcher trigonometrischen Funktion? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes \((x|y)\), wenn man ihn an der senkrechten Achse spiegelt?

1. Berechnung der Werte: \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\) und \(\sin 110^\circ \approx 0{,}9397\). Feststellung: Die Werte sind identisch. 2. Geometrische Begründung: Der Punkt zum Winkel \(180^\circ - \alpha\) entsteht durch Spiegelung des Punktes zum Winkel \(\alpha\) an der y-Achse. Da der Sinuswert der y-Koordinate entspricht und sich diese bei einer Spiegelung an der y-Achse nicht ändert, gilt \(\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)\). 3. Untersuchung des Kosinus: Der Kosinuswert entspricht der x-Koordinate. Bei Spiegelung an der y-Achse kehrt sich das Vorzeichen der x-Koordinate um. Somit gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). 4. Beispielprüfung: \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\), während \(\cos 110^\circ \approx -0{,}3420\) ist. Die Beziehung ist also im Allgemeinen nicht korrekt (außer für \(\cos \alpha = 0\)).

a) Es gilt \(\sin 70^\circ = \sin 110^\circ \approx 0{,}9397\). Die Werte sind gleich. b) Die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ - \alpha\) liegen symmetrisch zur y-Achse. Da der Sinus die y-Koordinate darstellt, haben beide Winkel denselben Sinuswert. c) Nein, die Beziehung gilt nicht. Der Kosinus entspricht der x-Koordinate, die bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. Es gilt \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer kleiner wird (fast Null) und der Zähler etwa gleich bleibt? - Erinnere dich an eine wichtige Grundregel der Mathematik bezüglich Divisionen. - Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis bei \(180^\circ\)?

1. Berechnung der Werte: \(\tan 80^\circ \approx 5{,}67\), \(\tan 89^\circ \approx 57{,}29\), \(\tan 89{,}9^\circ \approx 572{,}96\). Beobachtung: Die Werte werden extrem groß, wenn der Winkel gegen \(90^\circ\) strebt. 2. Begründung für \(90^\circ\): Am Einheitskreis hat der Punkt für \(90^\circ\) die Koordinaten \((0|1)\), also ist \(\cos 90^\circ = 0\). Da in der Definition \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) der Kosinus im Nenner steht, würde man durch Null teilen, was nicht definiert ist. 3. Wert für \(180^\circ\): Am Einheitskreis gilt für \(180^\circ\), dass \(\sin 180^\circ = 0\) und \(\cos 180^\circ = -1\). Eingesetzt ergibt dies \(\tan 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0\).

a) \(\tan 80^\circ \approx 5{,}67\); \(\tan 89^\circ \approx 57{,}29\); \(\tan 89{,}9^\circ \approx 572{,}96\). Die Werte wachsen sehr stark an. b) \(\cos 90^\circ = 0\). Eine Division durch Null ist nicht definiert. c) \(\tan 180^\circ = 0\), da \(\sin 180^\circ = 0\) und \(\cos 180^\circ = -1\).

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes \((x \mid y)\) zu den Koordinatenachsen? - Was bedeutet „gleich weit entfernt“ für die Beträge der Koordinaten? - Überlege dir, welche Geraden alle Punkte enthalten, die von beiden Achsen den gleichen Abstand haben. - Wie viele Schnittpunkte haben diese Geraden mit dem Einheitskreis?

1. Mathematische Modellierung der Abstände: Der Abstand zur \(x\)-Achse entspricht dem Betrag der \(y\)-Koordinate, also \(|\sin(\alpha)|\). Der Abstand zur \(y\)-Achse entspricht dem Betrag der \(x\)-Koordinate, also \(|\cos(\alpha)|\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(|\sin(\alpha)| = |\cos(\alpha)|\). Dies ist gleichbedeutend mit \(\sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\). 3. Fallunterscheidung: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\) oder \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\). 4. Lösung für \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha)\): Dies führt zu \(\tan(\alpha) = 1\), woraus sich \(\alpha_1 = 45^\circ\) (I. Quadrant) und \(\alpha_2 = 225^\circ\) (III. Quadrant) ergeben. 5. Lösung für \(\sin(\alpha) = -\cos(\alpha)\): Dies führt zu \(\tan(\alpha) = -1\), woraus sich \(\alpha_3 = 135^\circ\) (II. Quadrant) und \(\alpha_4 = 315^\circ\) (IV. Quadrant) ergeben. 6. Geometrische Begründung: Die Punkte liegen auf den Winkelhalbierenden der Quadranten, die jeweils einen Abstand von \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) zu beiden Achsen haben.

\(\alpha \in \{45^\circ; 135^\circ; 225^\circ; 315^\circ\}\)