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- Was gibt dir dein Taschenrechner aus, wenn du die Umkehrfunktion des Sinus nutzt? - Überlege dir am Einheitskreis, an welcher Stelle der Sinuswert (die \(y\)-Koordinate) noch einmal denselben Wert annimmt. - Wie hängen die beiden Winkel im Bereich von \(0\) bis \(\pi\) zusammen, die denselben Sinuswert haben? - Prüfe, ob beide gefundenen Werte im geforderten Intervall liegen.

1. Berechnung des ersten Werts mit der Arkussinus-Funktion: \(x_1 = \arcsin(0{,}3) \approx 0{,}3046\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion am Einheitskreis (\(\sin(x) = \sin(\pi - x)\)), um die zweite Lösung im vorgegebenen Intervall zu bestimmen: \(x_2 = \pi - x_1 \approx 3{,}1416 - 0{,}3046 = 2{,}8370\). 3. Rundung der Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen: \(x_1 \approx 0{,}30\) und \(x_2 \approx 2{,}84\).

\(x_1 \approx 0{,}30\); \(x_2 \approx 2{,}84\)

- Überprüfe vor jeder Rechnung, ob der Winkel in Grad (mit dem Symbol \(^{\circ}\)) oder als reine Zahl im Bogenmaß gegeben ist. - Stelle deinen Taschenrechner für die Teilaufgaben a) und d) auf den Modus „DEG“ (Degree) ein. - Stelle deinen Taschenrechner für die Teilaufgaben b) und c) auf den Modus „RAD“ (Radian) ein. - Achte beim Runden auf die vierte Nachkommastelle, um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird.

1. Berechnung von \(\sin(115^{\circ})\) im Gradmaß (DEG): \(\sin(115^{\circ}) \approx 0{,}9063\). Gerundet: \(0{,}906\). 2. Berechnung von \(\sin(2{,}8)\) im Bogenmaß (RAD): \(\sin(2{,}8) \approx 0{,}3349\). Gerundet: \(0{,}335\). 3. Berechnung von \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\) im Bogenmaß (RAD): \(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}8660\). Gerundet: \(-0{,}866\). 4. Berechnung von \(\sin(-45^{\circ})\) im Gradmaß (DEG): \(\sin(-45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071\). Gerundet: \(-0{,}707\).

a) \(0{,}906\) b) \(0{,}335\) c) \(-0{,}866\) d) \(-0{,}707\)

- Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist. - Überlege dir, in welchen Winkelbereichen die vier Quadranten liegen (z. B. I. Quadrant: \(0^\circ\) bis \(90^\circ\)). - Wie hängen die Vorzeichen von Sinus und Kosinus mit der Lage im Einheitskreis zusammen?

1. Berechnung von \(\sin(142{,}5^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}6088\). Da \(90^\circ < 142{,}5^\circ < 180^\circ\), liegt der Winkel im II. Quadranten. 2. Berechnung von \(\cos(195^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9659\). Da \(180^\circ < 195^\circ < 270^\circ\), liegt der Winkel im III. Quadranten. 3. Berechnung von \(\sin(280{,}4^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(-0{,}9836\). Da \(270^\circ < 280{,}4^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten. 4. Berechnung von \(\cos(340^\circ)\): Der Taschenrechner liefert gerundet \(0{,}9397\). Da \(270^\circ < 340^\circ < 360^\circ\), liegt der Winkel im IV. Quadranten.

a) \(\sin(142{,}5^\circ) \approx 0{,}6088\); II. Quadrant b) \(\cos(195^\circ) \approx -0{,}9659\); III. Quadrant c) \(\sin(280{,}4^\circ) \approx -0{,}9836\); IV. Quadrant d) \(\cos(340^\circ) \approx 0{,}9397\); IV. Quadrant

- Überprüfe vor der Rechnung, ob auf dem Display deines Taschenrechners „RAD“ oder ein kleines „R“ zu sehen ist. - Achte beim Runden auf die fünfte Nachkommastelle: Ist diese 5 oder größer, musst du aufrunden. - Negative Vorzeichen müssen beim Argument der Funktion mit eingegeben werden.

1. Einstellung des Taschenrechners auf den Modus RAD (Bogenmaß). 2. Eingabe der Werte und Rundung auf vier Dezimalstellen: a) \(\sin(0{,}85) \approx 0{,}7513\) b) \(\cos(2{,}12) \approx -0{,}5220\) c) \(\sin(-0{,}5) \approx -0{,}4794\) d) \(\cos(7{,}5) \approx 0{,}3466\)

a) \(0{,}7513\) b) \(-0{,}5220\) c) \(-0{,}4794\) d) \(0{,}3466\)

- In welchem Quadranten des Einheitskreises liegt der jeweilige Winkel? - Wie groß ist der spitze Winkel zur \(x\)-Achse (der Bezugswinkel)? - Welche Vorzeichen haben Sinus und Kosinus in den verschiedenen Quadranten? - Erinnerst du dich an die Werte für die Winkel \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\) und \(\frac{\pi}{3}\)?

1. Für \(x = \frac{5}{6}\pi\) (II. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{6}\). Da der Sinus im II. Quadranten positiv und der Kosinus negativ ist, ergibt sich \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Für \(x = \frac{4}{3}\pi\) (III. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{3}\). Im III. Quadranten sind sowohl Sinus als auch Kosinus negativ. Es folgt \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). 3. Für \(x = \frac{7}{4}\pi\) (IV. Quadrant): Der Bezugswinkel ist \(\frac{\pi}{4}\). Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Somit gilt \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

a) \(\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right) = 0{,}5\); \(\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) b) \(\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -0{,}5\) c) \(\sin\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\cos\left(\frac{7}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

- Überprüfe vor dem Rechnen die Einstellung deines Taschenrechners. Suchst du Gradmaß oder Bogenmaß? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „am nächsten bei 0“ liegt? - Achte beim Runden genau auf die fünfte Nachkommastelle.

1. Berechnung der einzelnen Funktionswerte im Bogenmaß: \(\sin(4{,}5) \approx -0{,}9775\) \(\cos(-2{,}1) \approx -0{,}5048\) \(\sin(-0{,}75) \approx -0{,}6816\) \(\cos(10{,}2) \approx -0{,}7055\) 2. Vergleich der Beträge der Ergebnisse, um die Nähe zu \(0\) zu bestimmen: \(|-0{,}5048| < |-0{,}6816| < |-0{,}7055| < |-0{,}9775|\) Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt mit \(-0{,}5048\) am nächsten bei \(0\).

a) \(-0{,}9775\); b) \(-0{,}5048\); c) \(-0{,}6816\); d) \(-0{,}7055\). Der Wert \(\cos(-2{,}1)\) liegt am nächsten bei \(0\).

- Überlege dir, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion die x-Achse kreuzt. - Erinnere dich an die Periodizität der Sinusfunktion. Wie weit liegen die Täler des Graphen auseinander? - Es hilft, sich den Verlauf des Graphen im Kopf oder als Skizze vorzustellen. - Prüfe systematisch die Vielfachen von \(\pi\) und \(\frac{\pi}{2}\) innerhalb der Intervallgrenzen.

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion befinden sich an den Stellen \(x = k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) sind dies die Werte \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 2. Der kleinste Funktionswert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser Wert wird an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. 3. Innerhalb des Intervalls \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich durch Einsetzen von \(k\) die Werte \(x = -\frac{\pi}{2}\) (für \(k = -1\)) und \(x = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k = 0\)).

Nullstellen: \(x \in \{-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\}\) Stellen mit \(\sin(x) = -1\): \(x \in \{-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\}\)

- In welchen regelmäßigen Abständen wiederholen sich die Nullstellen beim Sinus? - Überlege, welche ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) in den genannten Bereich fallen. - Vergiss nicht, die Intervallgrenzen mit zu prüfen. - Wie viele Zahlen liegen in der Menge \(\{0, 1, 2, \dots, 10\}\)?

1. Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen allgemein bei \(x = k \cdot \pi\) für alle ganzen Zahlen \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Im Intervall \([-2\pi; 2\pi]\) ergeben sich für \(k \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) die Nullstellen \(-2\pi\), \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). 3. Im Intervall \([0; 10\pi]\) sind die Nullstellen durch die Werte \(k \cdot \pi\) mit \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) gegeben. 4. Durch Zählen der möglichen Werte für \(k\) ergibt sich eine Gesamtzahl von 11 Nullstellen.

a) \(-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi\) b) Es sind 11 Nullstellen, da alle Werte \(k \cdot \pi\) mit \(k \in \{0, 1, \dots, 10\}\) im Intervall liegen.

- Nutze die Sinus- und Kosinustasten auf deinem Taschenrechner. Achte darauf, dass er auf „DEG“ (Degree) eingestellt ist. - Achte beim Vergleichen der Werte auf die Summe der Winkel. Was ergibt \(12^\circ + 78^\circ\)? - Schau dir an, an welchen Stellen in der Tabelle dieselben Dezimalzahlen auftauchen.

1. Berechnung der fehlenden Werte: \(\sin 12^\circ \approx 0{,}21\) \(\cos 28^\circ \approx 0{,}88\) \(\sin 45^\circ \approx 0{,}71\) \(\sin 62^\circ \approx 0{,}88\) (bereits gegeben) \(\implies \cos 62^\circ \approx 0{,}47\) \(\sin 78^\circ \approx 0{,}98\) 2. Die vervollständigte Tabelle lautet: \(\sin \alpha\): \(0{,}21\); \(0{,}47\); \(0{,}71\); \(0{,}88\); \(0{,}98\) \(\cos \alpha\): \(0{,}98\); \(0{,}88\); \(0{,}71\); \(0{,}47\); \(0{,}21\) 3. Beobachtung: Es gilt \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\). Zum Beispiel ist \(\sin 12^\circ = \cos 78^\circ = 0{,}21\) und \(\sin 28^\circ = \cos 62^\circ = 0{,}47\). Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich.

Die fehlenden Werte sind: \(\sin 12^\circ \approx 0{,}21\); \(\cos 28^\circ \approx 0{,}88\); \(\sin 45^\circ \approx 0{,}71\); \(\cos 62^\circ \approx 0{,}47\); \(\sin 78^\circ \approx 0{,}98\). Auffälligkeit: Die Werte wiederholen sich „über Kreuz“, da \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt (Komplementärwinkel).

- Überlege dir, an welchen Stellen der Einheitskreis die entsprechende \(y\)-Koordinate (für Sinus) oder \(x\)-Koordinate (für Kosinus) besitzt. - Denke daran, dass es in einem vollen Umlauf von \(2\pi\) meist zwei Stellen mit demselben Sinus- oder Kosinuswert gibt. - Wie hängen die beiden Winkel beim Sinus zusammen, wenn man die Symmetrie zur \(y\)-Achse betrachtet? - Wie hängen die beiden Winkel beim Kosinus zusammen, wenn man die Symmetrie zur \(x\)-Achse betrachtet? - Falls dein Taschenrechner einen negativen Wert ausgibt, wie kannst du diesen durch Addition der Periodenlänge in den Bereich von \(0\) bis \(2\pi\) verschieben?

1. Für \(\sin(x) = 0{,}5\): Der Hauptwert ist \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis ergibt sich die zweite Lösung durch \(\pi - x_1\), also \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\). 2. Für \(\cos(x) = 0\): Die Nullstellen der Kosinusfunktion im gegebenen Intervall liegen bei \(x_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\). 3. Für \(\sin(x) = -0{,}6\): Der Taschenrechner liefert \(\arcsin(-0{,}6) \approx -0{,}64\). Da \(x \in [0; 2\pi)\) sein muss, berechnet man \(x_1 = \pi - (-0{,}6435) \approx 3{,}79\) und \(x_2 = 2\pi + (-0{,}6435) \approx 5{,}64\).

a) \(x_1 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52\); \(x_2 = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\) b) \(x_1 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\); \(x_2 = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\) c) \(x_1 \approx 3{,}79\); \(x_2 \approx 5{,}64\)

- Stelle dir den Graphen der Funktion vor und zeichne eine horizontale Linie beim gesuchten Wert ein. Wo schneiden sie sich? - Beachte, dass bei Extremwerten wie \(1\) oder \(-1\) innerhalb eines Intervalls von \(2\pi\) oft nur eine Lösung existiert. - Nutze die Periodizität und Symmetrieeigenschaften (\(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) und \(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um weitere Lösungen zu finden. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „Radiant“ (RAD) eingestellt ist.

1. Für \(\cos(x) = -0{,}5\): Der Arkuskosinus liefert \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\). Die zweite Lösung im Intervall liegt symmetrisch zu \(2\pi\), also \(x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\). 2. Für \(\sin(x) = 1\): Im Intervall \([0; 2\pi)\) erreicht die Sinusfunktion ihren Maximalwert nur an einer Stelle, nämlich bei \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\). 3. Für \(\cos(x) = 0{,}25\): Der Taschenrechner liefert \(x_1 = \arccos(0{,}25) \approx 1{,}318\). Die zweite Lösung ergibt sich durch \(x_2 = 2\pi - 1{,}318 \approx 4{,}965\).

a) \(x_1 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094\); \(x_2 = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189\) b) \(x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571\) c) \(x_1 \approx 1{,}318\); \(x_2 \approx 4{,}965\)

- Überlege, an welchen Stellen der Graph der Sinusfunktion seine höchsten und tiefsten Punkte erreicht. - Wie verhält sich der Graph links und rechts von einem Hochpunkt oder Tiefpunkt? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Sinusfunktion und ihrer Punktsymmetrie. - Eine Skizze des Graphen im Kopf oder auf Papier kann helfen, die Symmetrieachsen und -zentren schnell zu finden.

1. Begründung der Symmetrieachse: An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) besitzt die Sinusfunktion ein lokales Minimum mit dem Funktionswert \(-1\). Da der Graph der Sinusfunktion an jeder ihrer Extremstellen achsensymmetrisch verläuft, ist die Gerade \(x = 1{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 2. Bestimmung der weiteren Symmetrieachse: Im Intervall \([0; \pi]\) liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0{,}5\pi\) (bzw. \(x = \frac{\pi}{2}\)). Somit ist die Gerade \(x = 0{,}5\pi\) eine Symmetrieachse. 3. Identifikation der Symmetriezentren: Die Nullstellen der Funktion \(f(x) = \sin(x)\) liegen bei \(x = k \cdot \pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im vorgegebenen Intervall \([-\pi; 2\pi]\) liegen die Nullstellen bei \(-\pi\), \(0\), \(\pi\) und \(2\pi\). Mögliche Symmetriezentren sind daher die Punkte \((-\pi|0)\), \((0|0)\), \((\pi|0)\) und \((2\pi|0)\).

a) An der Stelle \(x = 1{,}5\pi\) befindet sich ein Tiefpunkt; der Graph ist an den Vertikalen durch die Extrempunkte achsensymmetrisch. b) \(x = 0{,}5\pi\) (oder \(x = \frac{\pi}{2}\)). c) Zum Beispiel: \(P_1(-\pi|0)\), \(P_2(0|0)\) und \(P_3(\pi|0)\).

- Unterscheide genau zwischen der Zahl \(2\) ohne Einheit und dem Winkel \(2^{\circ}\). - Welcher Modus an deinem Taschenrechner ist für welchen Teil der Summe notwendig? - Berechne erst beide Sinuswerte einzeln und achte auf die Rundungsvorgaben, bevor du sie addierst.

1. Berechnung des ersten Summanden im Bogenmaß (RAD): \(\sin(2) \approx 0{,}90929...\). Gerundet auf vier Stellen: \(0{,}9093\). 2. Berechnung des zweiten Summanden im Gradmaß (DEG): \(\sin(2^{\circ}) \approx 0{,}03489...\). Gerundet auf vier Stellen: \(0{,}0349\). 3. Addition der gerundeten Zwischenwerte: \(T = 0{,}9093 + 0{,}0349 = 0{,}9442\).

\(T = 0{,}9442\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Sinuswert negativ ist. - Nutze den Taschenrechner für einen ersten Wert und überlege dann anhand der Symmetrie am Einheitskreis, wie du auf die beiden Lösungen im gesuchten Intervall kommst. - Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung und achsensymmetrisch zu den Extrema.

1. Berechnung des Arkussinus-Wertes mit dem Taschenrechner: \(\arcsin(-0{,}42) \approx -0{,}4334\). 2. Da dieser Wert außerhalb des Intervalls \([0; 2\pi)\) liegt, wird die erste Lösung durch die Symmetrieeigenschaft \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) bestimmt: \(x_1 = \pi - (-0{,}4334) \approx 3{,}58\). 3. Die zweite Lösung ergibt sich durch die Periodizität der Sinusfunktion: \(x_2 = 2\pi + (-0{,}4334) \approx 5{,}85\).

\(x_1 \approx 3{,}58\); \(x_2 \approx 5{,}85\)

- Erinnere dich an die Standardwerte für Sinus und Kosinus (z. B. für \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)). - In welchen Quadranten des Einheitskreises ist der Kosinuswert negativ? - Skizziere dir den Einheitskreis, um die Lage der Winkel zu veranschaulichen.

1. Bestimmung des Grundwertes im zweiten Quadranten: Da \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ist, folgt aus der Symmetrie \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)\) die erste Lösung \(x_1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{4}\pi\). 2. Nutzung der Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zur x-Achse (\(\cos(x) = \cos(2\pi - x)\)), um die zweite Lösung im Intervall zu finden: \(x_2 = 2\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{5}{4}\pi\).

\(x_1 = \frac{3}{4}\pi\); \(x_2 = \frac{5}{4}\pi\)

- Welche Koordinate am Einheitskreis gibt den Sinuswert eines Winkels an? - In welchen Quadranten ist der Sinus positiv und in welchen negativ? - Kannst du die Lage der Winkel im Koordinatensystem skizzieren? - Vergleiche die Werte der Brüche, falls du die exakten Wurzelwerte nicht direkt im Kopf hast.

1. Bestimmung der Sinuswerte am Einheitskreis: \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) \(\sin(0) = 0\) \(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -0{,}5\) \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}87\) 2. Absteigende Sortierung der Werte: \(1 > 0{,}71 > 0 > -0{,}5 > -0{,}87\). 3. Zuordnung der Buchstaben ergibt das Wort POLAR.

POLAR

- In welchen Quadranten ist der Sinuswert negativ? - Kannst du einen Hilfswert im ersten Quadranten finden, der dir bei der Lösung hilft? - Wie hängen die Winkel in den verschiedenen Quadranten zusammen? - Stell dir die Situation am Einheitskreis vor.

1. Bestimmung des Referenzwinkels \(x_{\text{ref}}\) im ersten Quadranten, für den der Betrag der Gleichung erfüllt ist: \(\sin(x_{\text{ref}}) = \frac{1}{2} \implies x_{\text{ref}} = \frac{\pi}{6}\). 2. Identifikation der Quadranten, in denen der Sinuswert negativ ist (3. und 4. Quadrant). 3. Berechnung der Lösungen durch Transformation des Referenzwinkels in diese Quadranten: \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) und \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\).

\(L = \left\{ \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} \right\}\)

- Setze die Werte für \(x\) direkt in die Funktionsgleichung ein. - Du kannst den gesamten Term \(\sin(x) + \cos(x)\) in einem Schritt in den Taschenrechner eingeben. - Achte darauf, dass bei negativen Werten wie in Teilaufgabe c) das Vorzeichen korrekt berücksichtigt wird.

1. Sicherstellen, dass der Taschenrechner im Modus RAD arbeitet. 2. Schrittweise Berechnung der einzelnen Terme für jedes \(x\) und anschließende Addition: a) \(f(1{,}4) = \sin(1{,}4) + \cos(1{,}4) \approx 0{,}9854 + 0{,}1700 = 1{,}1554 \rightarrow 1{,}155\) b) \(f(3{,}5) = \sin(3{,}5) + \cos(3{,}5) \approx -0{,}3508 + (-0{,}9365) = -1{,}2873 \rightarrow -1{,}287\) c) \(f(-2{,}1) = \sin(-2{,}1) + \cos(-2{,}1) \approx -0{,}8632 + (-0{,}5048) = -1{,}3680 \rightarrow -1{,}368\)

a) \(f(1{,}4) \approx 1{,}155\) b) \(f(3{,}5) \approx -1{,}287\) c) \(f(-2{,}1) \approx -1{,}368\)

- Erinnere dich an den Verlauf der Kosinuskurve. Wo liegen die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse in der Nähe des Ursprungs? - Was passiert mit dem gesamten Graphen, wenn man vom Funktionsterm eine konstante Zahl subtrahiert? - Wie ändern sich die höchste und die tiefste Stelle des Graphen durch eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse?

1. Die Nullstellen der Kosinusfunktion \(\cos(x)\) liegen im Intervall \([-\pi; \pi]\) dort, wo die Kurve die \(x\)-Achse schneidet. Dies ist bei \(x_1 = -\frac{\pi}{2}\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) der Fall. 2. Der Wertebereich der Funktion \(g(x) = \cos(x)\) ist \([-1; 1]\). Die Funktion \(h(x) = \cos(x) - 1\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach unten. Die neuen Grenzen des Wertebereichs berechnen sich aus \(-1 - 1 = -2\) für das Minimum und \(1 - 1 = 0\) für das Maximum. Der Wertebereich ist somit \(W = [-2; 0]\).

a) \(x_1 = -\frac{\pi}{2}\); \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) b) \(W = [-2; 0]\)

- Nutze die Symmetrien am Einheitskreis, um die Werte zu vergleichen. - Überlege dir, in welchen Quadranten die Winkel liegen und welche Vorzeichen die Funktionen dort haben. - Kannst du die Gleichungen durch bekannte Identitäten wie \(\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2}-x)\) oder \(\cos(x) = \cos(2\pi-x)\) erklären? - Skizziere dir grob den Verlauf der Sinus- und Kosinuskurve.

1. Prüfung von a): Es gilt \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Die Aussage ist wahr. Begründung: Komplementärwinkelbeziehung \(\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\). 2. Prüfung von b): Im II. Quadranten ist \(\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), aber \(\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Die Aussage ist falsch, da die Vorzeichen unterschiedlich sind. 3. Prüfung von c): Es gilt \(\cos\left(\frac{5}{3}\pi\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5\). Die Aussage ist wahr. Begründung: Achsensymmetrie der Kosinusfunktion zur \(y\)-Achse bzw. Symmetrie am Einheitskreis bezüglich der \(x\)-Achse.

a) Wahr, da beide Werte \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) betragen. b) Falsch, da \(\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}\). c) Wahr, da beide Werte \(0{,}5\) betragen.

- Setze die gegebenen Zahlen zuerst in die Klammern ein, bevor du den Sinus oder Kosinus berechnest. - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf das Vorzeichen in der Klammer. - Rechne am besten mit den ungerundeten Zwischenwerten deines Taschenrechners weiter, um Rundungsfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen der Werte in den Term a): \(\sin(1{,}5) \cdot \cos(-2{,}8) \approx 0{,}99749 \cdot (-0{,}94222) \approx -0{,}9399\) 2. Einsetzen der Werte in den Term b): \(\cos(1{,}5) + \sin(-2{,}8) \approx 0{,}07074 + (-0{,}33499) \approx -0{,}2643\) 3. Einsetzen der Werte in den Term c): \(\sin(1{,}5 + (-2{,}8)) = \sin(-1{,}3) \approx -0{,}9636\)

a) \(-0{,}9399\) b) \(-0{,}2643\) c) \(-0{,}9636\)

- Was sind der höchste und der tiefste Punkt, den die Sinuswelle erreicht? - Wie oft passt eine volle Periode der Länge \(2\pi\) in das angegebene Intervall? - Kannst du die markanten Punkte (Hochpunkte, Tiefpunkte) innerhalb einer Periode benennen?

1. Der maximale Wert der Sinusfunktion ist \(1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) sind dies \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) (für \(k=0\)) und \(x_2 = \frac{5\pi}{2}\) (für \(k=1\)). 2. Der minimale Wert der Sinusfunktion ist \(-1\). Dieser wird allgemein an den Stellen \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\) erreicht. Im Intervall \([0; 3\pi]\) liegt nur die Stelle \(x_3 = \frac{3\pi}{2}\) (für \(k=0\)). Der nächste Wert \(x = \frac{7\pi}{2}\) liegt bereits außerhalb des Intervalls.

a) \(x \in \{\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\}\) b) \(x = \frac{3\pi}{2}\)

- An welchen Stellen erreicht die Sinuskurve ihre höchsten und tiefsten Werte? - Stelle dir den Verlauf des Graphen vor oder nutze den Einheitskreis: Wann nimmt die \(y\)-Koordinate zu, wenn du den Kreis abläufst? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du dich von einem Tiefpunkt zu einem Hochpunkt bewegst? - Beachte die Grenzen des vorgegebenen Intervalls von \(-\pi\) bis \(\pi\).

1. Identifikation der Extremstellen im Intervall \([-\pi; \pi]\): Die Sinusfunktion erreicht ihren minimalen Wert \(-1\) bei \(x = -\frac{\pi}{2}\) und ihren maximalen Wert \(1\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\). 2. Bestimmung der Monotonieintervalle: Die Funktion steigt zwischen einem Tiefpunkt und dem darauffolgenden Hochpunkt. Im Bereich \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt der Wert von \(-1\) auf \(1\) zu, daher ist sie dort streng monoton steigend. 3. In den verbleibenden Randbereichen des Intervalls \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) nehmen die Funktionswerte ab (von \(0\) auf \(-1\) bzw. von \(1\) auf \(0\)), weshalb die Funktion dort streng monoton fallend ist.

a) Tiefpunkt bei \(x = -\frac{\pi}{2}\), Hochpunkt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). b) Streng monoton steigend im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\). c) Streng monoton fallend in den Intervallen \([-\pi; -\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\).

- Überlege dir am Einheitskreis, welche zwei Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben. - Wie hängen Winkel zusammen, die denselben Sinuswert besitzen? - Denke an den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\). - Gibt es mehr als eine Stelle, an der die Funktion den gegebenen Wert annimmt?

1. Berechnung des ersten Winkels mit der inversen Sinusfunktion des Taschenrechners: \(\alpha_1 = \arcsin(0{,}2588) \approx 15{,}0^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels unter Ausnutzung der Symmetrie der Sinuswerte am Einheitskreis (oder der Sinuskurve): \(\alpha_2 = 180^\circ - \alpha_1\). 3. Einsetzen des Wertes: \(\alpha_2 = 180^\circ - 15{,}0^\circ = 165{,}0^\circ\). 4. Da beide Winkel im geforderten Intervall liegen, sind dies die gesuchten Lösungen.

\(\alpha_1 \approx 15{,}0^\circ\) und \(\alpha_2 \approx 165{,}0^\circ\)

- Wie viele Lösungen erwartest du innerhalb einer Periode (\(2\pi\))? - Nutze die Symmetrie am Einheitskreis oder am Graphen der Sinusfunktion. - Denke daran, dass du zu jeder Lösung Vielfache der Periode addieren oder subtrahieren kannst. - Prüfe am Ende genau, welche der berechneten Werte im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes mit dem Taschenrechner: \(x_1 = \arcsin(-0{,}45) \approx -0{,}47\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes im Einheitskreis (Symmetrie): \(x_2 = \pi - (-0{,}4668) \approx 3{,}61\). 3. Erzeugung weiterer Lösungen durch Addition/Subtraktion der Periode \(2\pi \approx 6{,}28\). 4. Für Intervall a) \(0 \le x \le 2\pi\): \(x_2 \approx 3{,}61\) und \(x_3 = x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). 5. Für Intervall b) \(-2\pi \le x \le 2\pi\): Neben \(x_1 \approx -0{,}47\) und \(x_2 \approx 3{,}61\) (aus a) nicht alle im Intervall) prüfen wir: \(x_2 - 2\pi \approx -2{,}67\) und \(x_1 + 2\pi \approx 5{,}82\). Alle vier Werte liegen im Bereich \([-6{,}28; 6{,}28]\).

a) \(L = \{3{,}61; 5{,}82\}\) b) \(L = \{-2{,}67; -0{,}47; 3{,}61; 5{,}82\}\)

- Überlege dir, in welchen Quadranten der Einheitskreis negative Sinuswerte liefert. - Wenn du einen Wert mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du die Symmetrie der Sinuskurve nutzen, um den zweiten Wert innerhalb einer Periode zu finden? - Denke daran, dass sich die Funktionswerte alle \(360^\circ\) wiederholen.

1. Berechnung des ersten Winkels mit dem Taschenrechner: \(\alpha_1 = \arcsin(-0{,}42) \approx -24{,}83^\circ\). Dieser Wert liegt im gesuchten Intervall \([-360^\circ; 0^\circ]\). 2. Nutzung der Symmetrie der Sinusfunktion (\(\sin(\alpha) = \sin(-180^\circ - \alpha)\) für den Bereich um \(-180^\circ\)): \(\alpha_2 = -180^\circ - (-24{,}83^\circ) = -155{,}17^\circ\). Auch dieser Wert liegt im Intervall. 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(360^\circ\): \(-24{,}83^\circ - 360^\circ = -384{,}83^\circ\) (außerhalb) und \(-155{,}17^\circ - 360^\circ = -515{,}17^\circ\) (außerhalb). Die gesuchten Winkel sind \(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\) und \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\).

\(\alpha_1 \approx -24{,}83^\circ\); \(\alpha_2 \approx -155{,}17^\circ\)

- Überlege dir, welchen kleinsten und größten Wert die Sinusfunktion annehmen kann. - Stelle dir den Graphen der Sinusfunktion im Intervall von \(0\) bis \(2\pi\) vor. Wo startet er, wo endet er und wo sind die Hoch- und Tiefpunkte? - Beachte genau, ob die Randwerte \(0\) und \(2\pi\) zum Intervall gehören. - Wie oft schneidet eine horizontale Gerade den Graphen innerhalb einer Wellenbewegung?

1. Abgleich des Wertes \(c\) mit dem Wertebereich \([-1; 1]\) der Sinusfunktion. 2. Für \(c = 1\): Das Maximum wird im Intervall genau einmal an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 3. Für \(c = 0{,}8\): Da \(0 < 0{,}8 < 1\), gibt es zwei Schnittpunkte mit der horizontalen Geraden (2 Lösungen). 4. Für \(c = 0\): Die Sinuskurve schneidet die x-Achse am Anfang (\(x = 0\)), in der Mitte (\(x = \pi\)) und am Ende (\(x = 2\pi\)) des abgeschlossenen Intervalls (3 Lösungen). 5. Für \(c = -1\): Das Minimum wird genau einmal an der Stelle \(x = \frac{3\pi}{2}\) erreicht (1 Lösung). 6. Für \(c = -2\): Da \(-2 < -1\), liegt der Wert außerhalb des Wertebereichs (0 Lösungen). 7. Vergleich der Fälle: Bei \(c = 0\) werden sowohl die Nullstelle in der Periodenmitte als auch beide Randpunkte des Intervalls \([0; 2\pi]\) mitgezählt, während Extrempunkte wie bei \(c = 1\) nur einmal pro Periode auftreten.

a) 1 Lösung; b) 2 Lösungen; c) 3 Lösungen; d) 1 Lösung; e) 0 Lösungen. Bei \(c = 0\) gibt es drei Lösungen, da die Sinuskurve die x-Achse am Anfang (\(0\)), in der Mitte (\(\pi\)) und am Ende (\(2\pi\)) des Intervalls berührt bzw. schneidet. Das Maximum (\(c = 1\)) wird dagegen nur an einem einzigen Punkt erreicht.

- Welchen Wertebereich hat die Kosinusfunktion? - Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion zwischen \(0\) und \(2\pi\). Wo liegen die Höchst- und Tiefpunkte? - Denke an die Symmetrie des Graphen innerhalb einer Periode. - Achte darauf, dass das Intervall \([0; 2\pi]\) beide Endpunkte einschließt.

1. Analyse des Wertebereichs der Kosinusfunktion: Da \(-1 \le \cos(x) \le 1\), gibt es für \(|k| > 1\) keine Lösungen (Anzahl 0). 2. Untersuchung des Minimums: Der Wert \(-1\) wird im Intervall \([0; 2\pi]\) nur an der Stelle \(x = \pi\) erreicht (Anzahl 1). 3. Untersuchung der Zwischenwerte: Für alle \(k \in (-1; 1)\) gibt es aufgrund der Achsensymmetrie zur Geraden \(x = \pi\) innerhalb einer Periode genau zwei Stellen mit demselben Kosinuswert (Anzahl 2). 4. Untersuchung des Maximums: Der Wert \(1\) wird an den Intervallgrenzen \(x = 0\) und \(x = 2\pi\) erreicht (Anzahl 2).

1. Anzahl: 0 2. Anzahl: 1; Lösung: \(x = \pi\) 3. Anzahl: 2 4. Anzahl: 2; Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\pi\)

- Erinnere dich an den Satz des Pythagoras im Einheitskreis. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen, wenn man die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck betrachtet? - Wenn du den Sinus eines Winkels kennst, wie groß ist dann der Kosinus des „Restwinkels“ im Dreieck?

1. Teil a): Einsetzen in den trigonometrischen Pythagoras: \((0{,}8)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies 0{,}64 + \cos^2 \alpha = 1\). 2. Umstellen nach \(\cos^2 \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}64 = 0{,}36\). 3. Wurzel ziehen (da \(\alpha\) spitz ist, ist der Kosinus positiv): \(\cos \alpha = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\). 4. Teil b): Da \(\cos \beta = \sin \alpha\) gefordert ist und wir wissen, dass \(\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\) gilt, muss \(\beta = 90^\circ - \alpha\) sein. 5. Berechnung von \(\alpha\): \(\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ\). 6. Berechnung von \(\beta\): \(\beta = 90^\circ - 53{,}13^\circ = 36{,}87^\circ\). 7. Überprüfung: \(\cos 36{,}87^\circ \approx 0{,}8\). Die Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\).

a) \(\cos \alpha = 0{,}6\) b) \(\beta \approx 36{,}87^\circ\). Es gilt \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind komplementär.

- Überlege dir zuerst, in welchen Quadranten des Einheitskreises der Sinus bzw. der Kosinus den gesuchten Wert annimmt. - Nutze die Taschenrechnerfunktion für den ersten Wert und bestimme den zweiten Wert mithilfe der Symmetrieeigenschaften (\(180^\circ - \alpha\) beim Sinus, \(-\alpha\) bzw. \(360^\circ - \alpha\) beim Kosinus). - Prüfe durch Addition oder Subtraktion von \(360^\circ\), ob weitere Lösungen im vorgegebenen Bereich liegen. - Achte genau auf die Intervallgrenzen, besonders im negativen Bereich.

1. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe a) mit dem Arkussinus: \(x_1 = \arcsin(-0{,}65) \approx -40{,}5^\circ\). 2. Bestimmung des zweiten Winkels innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = 180^\circ - (-40{,}54^\circ) \approx 220{,}5^\circ\). 3. Anwendung der Periodizität (\(\pm 360^\circ\)), um alle Lösungen im Intervall \([-180^\circ; 360^\circ]\) zu finden: \(x_3 = -40{,}54^\circ + 360^\circ \approx 319{,}5^\circ\) und \(x_4 = 220{,}54^\circ - 360^\circ \approx -139{,}5^\circ\). 4. Berechnung des ersten Winkels für Teilaufgabe b) mit dem Arkuskosinus: \(x_1 = \arccos(0{,}22) \approx 77{,}3^\circ\). 5. Bestimmung des zweiten Winkels durch die Symmetrie zur x-Achse: \(x_2 = -77{,}29^\circ \approx -77{,}3^\circ\). 6. Anwendung der Periodizität für das Intervall: \(x_3 = -77{,}29^\circ + 360^\circ \approx 282{,}7^\circ\).

a) \(L = \{-139{,}5^\circ; -40{,}5^\circ; 220{,}5^\circ; 319{,}5^\circ\}\) b) \(L = \{-77{,}3^\circ; 77{,}3^\circ; 282{,}7^\circ\}\)

- Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Nutze die Symmetrie der Funktionen am Einheitskreis: Beim Kosinus liegt der zweite Wert bei \(2\pi - x_1\), beim Sinus bei \(\pi - x_1\). - Prüfe am Ende, ob alle deine berechneten Werte im Bereich zwischen \(0\) und \(2\pi\) (ca. \(6{,}28\)) liegen.

1. Berechnung des ersten Wertes für a) im Bogenmaß: \(x_1 = \arccos(-0{,}55) \approx 2{,}15\). 2. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = 2\pi - 2{,}153... \approx 4{,}13\). 3. Berechnung des ersten Wertes für b) im Bogenmaß: \(x_1 = \arcsin(0{,}15) \approx 0{,}15\). 4. Bestimmung der zweiten Lösung im Intervall \([0; 2\pi]\) durch Symmetrie: \(x_2 = \pi - 0{,}150... \approx 2{,}99\).

a) \(L = \{2{,}15; 4{,}13\}\) b) \(L = \{0{,}15; 2{,}99\}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Lösungen eine Sinusfunktion innerhalb einer Periode von \(2\pi\) normalerweise hat. - Nutze die Symmetrieeigenschaften am Einheitskreis, um aus dem ersten Taschenrechner-Ergebnis einen zweiten Wert zu finden. - Prüfe durch Addition oder Subtraktion der Periodenlänge, ob weitere Werte in das vorgegebene Intervall fallen. - Beachte die Grenzen des Intervalls, wobei \(\pi \approx 3{,}14\) ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert) mit der Umkehrfunktion: \(x_1 = \arcsin(0{,}75) \approx 0{,}85\). Dieser Wert liegt im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 2. Bestimmung des zweiten Wertes innerhalb einer Periode durch die Symmetrie am Einheitskreis: \(x_2 = \pi - x_1 \approx 3{,}14 - 0{,}848 \approx 2{,}29\). Dieser Wert liegt ebenfalls im Intervall \([-\pi; 2\pi]\). 3. Überprüfung weiterer Werte durch Addition oder Subtraktion der Periode \(2\pi\): \(x_1 - 2\pi \approx -5{,}44\) (außerhalb), \(x_2 - 2\pi \approx -3{,}99\) (außerhalb), \(x_1 + 2\pi \approx 7{,}13\) (außerhalb). 4. Die Lösungen im Intervall sind somit \(x_1 \approx 0{,}85\) und \(x_2 \approx 2{,}29\).

\(x_1 \approx 0{,}85\); \(x_2 \approx 2{,}29\)

- Denk daran, dass es innerhalb einer vollen Umdrehung (\(360^\circ\)) meist zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinus- oder Kosinuswert gibt. - Skizziere dir den Einheitskreis, um zu sehen, in welchen Quadranten die gesuchten Winkel liegen müssen. - Wenn du einen Winkel mit dem Taschenrechner gefunden hast, wie kannst du mithilfe der Symmetrie den zweiten Winkel berechnen? - Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die berechneten Winkel wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Lösung für \(\sin(\alpha) = 0{,}42\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arcsin(0{,}42) \approx 24{,}8^\circ\). Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis (Sinuswerte sind im I. und II. Quadranten positiv) liegt die zweite Lösung bei \(180^\circ - 24{,}8^\circ = 155{,}2^\circ\). 2. Lösung für \(\cos(\alpha) = -0{,}75\): Die erste Lösung ergibt sich über \(\arccos(-0{,}75) \approx 138{,}6^\circ\). Da der Kosinuswert im II. und III. Quadranten negativ ist und die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur x-Achse im Einheitskreis ist, liegt die zweite Lösung bei \(360^\circ - 138{,}6^\circ = 221{,}4^\circ\).

a) \(\alpha_1 \approx 24{,}8^\circ\); \(\alpha_2 \approx 155{,}2^\circ\) b) \(\alpha_1 \approx 138{,}6^\circ\); \(\alpha_2 \approx 221{,}4^\circ\)

- Erinnere dich an die Symmetrie der Kosinusfunktion an der \(y\)-Achse. Was bedeutet das für das Vorzeichen deiner Lösungen? - Wie groß ist die Periodenlänge der Kosinusfunktion? - Es hilft, sich den Graphen der Funktion grob zu skizzieren, um die Anzahl der erwarteten Schnittpunkte im Intervall zu sehen. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des ersten Wertes (Hauptwert): \(x_1 = \arccos(-0{,}2) \approx 1{,}772\). 2. Nutzung der Symmetrie der Kosinusfunktion (\(\cos(x) = \cos(-x)\)): \(x_2 = -x_1 \approx -1{,}772\). 3. Bestimmung weiterer Lösungen durch Periodizität (\(\pm 2\pi\)): - \(x_1 - 2\pi \approx 1{,}772 - 6{,}283 = -4{,}511\) - \(x_2 + 2\pi \approx -1{,}772 + 6{,}283 = 4{,}511\) 4. Prüfung der Intervallgrenzen (\(-2\pi \approx -6{,}283\) bis \(2\pi \approx 6{,}283\)): Alle vier gefundenen Werte liegen im Bereich. Weitere Vielfache von \(2\pi\) führen aus dem Intervall heraus.

\(x \in \{-4{,}511; -1{,}772; 1{,}772; 4{,}511\}\)